0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

228

Upload: others

Post on 21-Jan-2020

8 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96
Page 2: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96
Page 3: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

���������� ���

�������������� ����������������� ��

���������������������������������������

��������������� ������������������������������������������ �������� �����������������

�� !"#$%&'#%&($)���*#+%,�-"#*.(/!0($)��������1 �2������������3��������4

Page 4: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

2

Содержание

���������� ��������� ������������������������������������. . . . . . . . . . . . 10��� ������������� �!�����"������ �����������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13� ����������� �������������������� �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14� ������� ����������������������������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16� ����������������!������������������������"� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19� ��#������"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����"� . . . . . . . . . . . 22� ��'��(���������������� �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25� ��)��*�������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29� ��+��,�%��������������� �������� ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30� ��-��/������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36� ��7�����������"��������8 �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37����;�������������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38�������/����������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39�������=�������8� �����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40�������>����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42����#��?������������������"������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

��� ����#���������������� �������������$����%������������������ . . . . . . . . . 49� �����(�!���������� �����!���$�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50� ���������$���������!���%������������������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53� �����@��A������!���%������������������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55� ��#��=�$���������!�������!���. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57� ��'��=�$��������!���$�����������!���. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59� ��)��@���� ������8���������%���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61� ��+��=�$������������8��B���"�C����!��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63� ��-��=������������!���&������� �����!���$�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65� ��7��D���� ��!���8��!�������8����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67����;��D���� �� ����8��!�������8�����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74�������E��8��F��������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75������������%�!��$�������8��F��������8� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76�������=���%�!��$�������8��F��������8� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79����#��(��%��������"������������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82����'��������������8� ������!���G��������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84����)��?���%�!��$�������8��F��������8� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89������������� ��������� �������������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Page 5: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

3

��� ���������!����#������� &������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92� �����/��8�� ������8���������%���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93� �����( ����������8�� ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94� �����=�����������8�� ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96� ��#��H�������������� ����������8�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98� ��'��H������������8�� ����������8�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99� ��)����$ ����������8�� ������������� � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102� ��+�����!������ �������� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104� ��-��,� ��������$���!�!� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105� ��7��(��������%�!��!������ ������$�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ���;��I���� ������������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108�������?��������?�����������!���"��$������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110�������J���%�������������������%�!��������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111�������>"� &����!�8��A��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114����#��@���� �����!�8��A��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120��� ��'�(����� �����)*��������+�����,���������������������� � � � � � � � � � � �121� #����E���������������$�����������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122� #������$ ���������������� ����!� �$��������K���� ������������������������� ���$�����������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125� #������$��������������������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127� #�#��E�"����������"���$�����������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130� #�'����$ ���������������� ���������"����������������%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132� #�)����$ ���������������� ����$������"����������������%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134� #�+������"��$���������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140� #�-��H8 �L��"��$�&M����!���!���������������!����������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141� #�7�����$�����!��� � �����!����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142�#��;��>������!��� � ������(��%���!��� � �����!����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144�#�����H8 �������������!��� � ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146�#�����H8 �������������!��!������ �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150��� �'�#��������� ����&�#����� ��� ������������#���������� ����������� � � 151� '����(!��"��$�������K������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152� '����J���%����K����������G�8��K��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153� '����N��K���!�����!��!������� ���%�$������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156� '�#��=$���������!� �������8��K����� ���%����K�����% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158� '�'���������L������L������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159� '�)��O$����������!������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161� '�+��J���%���������������������!��������������8��8��K�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163� '�-��(����� ���%������������%��������!������������ ����G���A�����8��K�������!��"�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165� '�7����A���������� ���%������������%��������!�����������!��"���!�������� . . 169�'��;����A���������� ���%������������%��������!�����������!��"��� ������ . . . 172�'�������A�����$�����!�������������� ���%������������%��������!����������. . . . 176

���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Page 6: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

4

'�����(����������������8 ������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180�'�����������8� ���%����8� ����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182�'��#��=��A��%��8� ����8� ���������8����%�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184�'��'��(����A����������������������8 �������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188�'��)��*������������8� �����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190�'��+��/�����"������K������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193�'��-�����$���������K���������,��8�����L�8��8�����L�8��K�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195�'��7�����8��$�������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198�'��;���� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��% . . . . . . . . . . . . . . . . 200�'�����=���������"��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202�'�����(�������������%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204���������� ��������� ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206������������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207@"��$�����"����� ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209(��� ������ -���������� � ������� ����������������������. . . . . . . . . . . .220

Page 7: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

5

Уважаемые учителя!

H��"��%����! ���� ��+P8��� ��L����M�%��$�H��"�������/��������8��!��"��L����������'� ������� ����� ���%L�������G�������������� ����!������������ ���"M��"��$���� �����A�� �>$��"�%������%���!�" �����H��"P��%����! �����!��������������"��$���� ���%�!��8������B������� ���C�!��!������� /�������L� ��"�����%L� !���Q�� ������ �� ��� ���&� ���"������ �����"����!��"�%L���!���� L���� ��������K�����������&M����������%�!�� ! ���������&� ���"���� ������ ��L� �!���� ���&� ������� �"������� �� ��PM�� ���&�!��8���������� �%�

!"����#�����$���8 ���?���L���A��A�����$ ����%�!���M����������� ������� �������%���������

������(&���������!������������������������"������%��������������=�F�%�8 �������&������ �����!������8�������L�!�����������������������@"Q�P����� !�������� "������� �8 �L� !������ "������L� �������� �� ���������8� ������ �� ���A����� ������ ������ , �� ������ ���8�� !��������� F���������M���L���!� ����$������L������������$�� ��R,��� ����S������%����L����"������!� ����������$� ���L���8��!��%����������P �"���������

?���L���A��A������$$ ����%�!���M�����!����������� �����!���$�� �������%���������������T� ����!���� ����������������8��F�����K�8����L���P�������$��� ���!�������������)�� ��L���+�� ����$���&�����8��F�������P�8� ����������!��$�����������8��F������=�F��8 ����"� ���� &�����K������ ��!���8���� ����8��!�������8������

?���L� ��A��A��� �� $$$ ����L� !���M���� ���8�� ����� �� ��%����� ���� ��P���������������������8��!��!������ �������$�������$�� ��������$���!��!�P ��L������ �������������U����L�����M������������� ���%� �����8��P��������VVV�8 �����=�F�%�8 �������M�����"���&���!���� ���&��"� &��%��������� ���%�!�8��A������$� ������$���������

?���L���A��A�����$& ����L��������&�K���� ������MG���8�����������������!�����������=�F�%�8 ����� ���&����%����8 ��L��"��$��������!���!����P�������������!��� � �����!���������M�%L��������!��� � ����L���%�����8� ��������������!��� � ��������!��!������ ����������������

E������& ���'������� ���%����K������L��G�8��K��L� ���%����������P�����������!����������L������ ���%������������%��������!����������L����A������$����������� ������������������%��=�F�%�8 ���������������MP����$��������������� ���%�!��%�����8��!�������������L�$�������������!������������ F�8�� !��L� !��� !���� ���%���� ������������ ���������� =� ������W�8 �������G�����A����������������������8 �������8� �����L�!��$��������P8��F������!�����8� ���8�����8� �����L� "�����K�������L��� $�������M����$�������������������������������X����!����� ����!��"��!��$�������

Page 8: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

6

�"������%���K������������$�������F����!����������O ���&����$������P������!���� ���������" �8�!��������������� ����M�� ������"����

=������������%�8 ����� �����M���������$�������!���$�8� ������R����������"�S��Y��$��������������&��������8 ����

( ���)�"��#� *������ ���� �"��$��� 8�����8�� ! ����������� !�� !�������/��������� ��+P8��� ����Y���"��$���! ��������������#����"��������� ���=����� �������%�8 �������$����������L��������"�������� ��$���������!����$���������L��� &�G�������F��8 �����=� &�G�������8 �����������! ���������������������F�!�������������8���������=��������������!�����$���L��������������������������L�K�������"�����������L����������"���L��������=��������������������$�����������!�������L����������!������������8��P�����=������������!��������!��" ����������������������$��� ���«+������-�����,������%����������"������=��������������"� �!��� ���������&M�%�� ������ ���%���!��L���� �&�!����������� ���������������������$�����P��������������������!��"�������A������=������������8���������!����� �����"��$��L�������&M�������G����������������������=��������! ��������������8�������������� ���!����� ����������L�������������������)������������������L�������!���� G������������������!�����$����������.+�//���������-������"����,L� ���&�M�������"��L���������� ����!������������� �"������� ������!����$� �������"����������M������E������L�!������ �������"��$P��������������"�$�� ���L�F��U��!���� G�����K�����!����������E����%����� �������� ��� �� ��"���� �� ���"��$��%� K����� ������ !��� �� ������ ��� �$�����������&M�8�� �������� =� ����������� !��"��� ����� �"��$��� �� �8�� ��"� �A�8�� ��������8�� ������������ H��� �� !��� 8�������� ! ����������� ��8��!�����������!� �$�����F���"��$���

0��#�������"����#�1

Деятельность X���������� �&�!�������������M����������� ���%����� ����

Образец @"��$��������/������� ������� ����� ��� � �"�$P

�������"����%�Z��/������������� ��������� ��� ����!������������� ������ L��� �������� �� ��� ��� � !������������������� �������� [�2��3��Q.�/�������������� ��������� L������������������P�� �������� ������������� ������ L��� �����"�������������������

* %

1, 2, 3, ...

... , –3, –2, –1, 0

N

Z

Q

a

n@"Q����������L�!���� �L��!���� ����

Упражнения H!���������!�����

i �����8� ���������8��F���L������������������������� �8 �� "����� �� !� ������ ����L� ����P�����%������$���������F������8� ��������

`a�b�kl^�aj�b�lm^�̀ j�b�km� �̀b��k�^��a�b��l^��j�b��m`a�b�lm^�aj�b�km^�̀ j�b�kl� �̀b��l�^��a�b��m^��j�b��k

<�����5

<�������5����������L����������!���M�����M���

Ответы @�������������$�����%�

Page 9: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

7

В конце 7 класса учащийся:

n ����L� $�!�����L� ��������� �� ��������� ������� ����� �� �L� !�������� ����A�����$�������%����"Q�����������!����������������^

n �!��M����������������!���&������� �����!���$�� ��L�!��������K���� ������MG���8�����������^

n !������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��!�������8�������� ��P��8�� !�������8�� ���L� �� �������� � "����%� ������%� ���� ���%���������������� ������������ ���%������������%��������!����������L�!�A�������������������������������������������L�!���$��G��������^

n ��!� ������%���� ������L�����������������������������8�� �����^ n ��A��� ���%�������������������%�!��������%L������������!��������%������� ��

������������ ���%������������%��������!����������L�!��"���!����������!����� �����A�����!���������������!��������%������� �L���������������� ����%��%�K�������$���������������� �������^

n $������������F ���������8� �����������A���������������L�8������������$�"�����L�!���������������������������������8 ������8� ����������%������A��8���8 �^

n �� �� ���$��� !�!� ��L� ���� ��������%� !��!������ ��� ���$��L� "��������8� �������8� �����!���8��������L�����K�8���L����������&�$������%�K�P8���L������ ���������%�����L�����8��K���!����%�!��$�����������������&� y = kx + bL��!���� ��������!����������F�%�!����%�������������������^

n ��������"� &��&�������� ���&�!�8��A������$� �����$�������^ n !����� ��������������������8�����L�8��8������� ��8��K���L��!���� ���8��P

������$�������L�!�����������������!��8��$��������������������������^ n ��������� ��F �����������"��%���!�����������!�����!��������K���� ��

���������������%�

Основные стандарты и подстандарты по содержательным линиям

�5=�����)�>�����!"�?�>��1

������������� ����������� ����������������� ������������������������������������$�!������������� ������� ���������(��������������������������� ������� �������������$������������������%��������L�������&M�&�������� �������� ������#���������������A�����$�������%����"Q�����������!�����������������

������������������� �������������������� �����������!����"�����#���������

1.2.1���*������$���������� ���8�����������L�!������������!� ������ ��������P!� ��������%��%�B������� ����$�����������!���������� �����!���$�� ��C�

������������������%����!���������� �����!���$�� ���

Page 10: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

8

�������H!��M������������L��� &��&M����!���������� �����!���$�� �������#������������K���� ������MG���8������������!��������������$����������P

�������������%�����'������������ �� ��A����� !����� $����� K���� �� !���8�� !�������8�� ���� ��

����8��!�������8��������$��������������� %�!��������������������&����� !"�����&������

����������������!��" �$�� ��������G������A�����!����������$�������!������������������!� ����������$� �����

�5@� �����/��#���!"�?�>��1

2.1.��'!������ �� ��()��� ����� ����� �� �������� ���)��!�� �������*�� �������!"���������"�

��������(��� ��������������"����%�������%� ���%��������������� ���P��������� ���%������������%��������!�����������

2.1.2. X�!����������������������������������������������L�!���$��G�����������������@!���� ��� �� ����o������ ���%��%� $�������� ������!������ ������P

��L�������������������������� �������� ������'!��������()��� �����������!�

2.2����=�!� ������%���� ������L�����������������������������8�� ����������������A��� ���%�������������������%�!��������%L������������!��������%�!���

$���������� �������������� ���%������������%��������!�����������2.2.3. @!���� ���!��"���!�����������A�����!���8�������������!��������%���

���� ����$���'!������ �� ���� ������� ����������&� ����� ��� ������ ���� ��*������ ��

����������������������=�������������� ���%��%�K�������$��������������� ���%�!��%�����8��!����

�����������!���!���� ���%���������������������������$�����������������P!������%�!��I� ��&�����!������%�!��D����8�%��

�5A�������!"�?�>��1

$�����,����������������������������(���������*&��(����� ���(�����)���#�������������������(� ���"��������

��������X������������F ���������8� �����������A���������������L�8��������P�������$�"������

��������,� �����$���!�!� ��L�������������%�!��!������ ������$��L�"���������8 �������8� �����!���8���������

����������������� ��%��� �8 ��L� !� �������� !��� !���������� ����� !��� � �����!����������%�!����%�

Page 11: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

9

����#�������������������������������������8 ������8� ����������%������AP��8���8 ��

����'����������!������������L�������L�!����%�����������"����%��������$�����������(����� �������)���������������������������)������#

���������������������(���� K�8���L� ���������&� $������%� K�8���L� ����� ���� �����%� �����

BI���� ������������C���������X������!��������!��$��������8��F��������8� ��������������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + bL��!���� ��������!���P

�������F�%�!����%��������������������

�5B�������!"�?�>��1

-�������������� ��������������������&���������������*�������#��!������������

#������������������������$������������������%��� �������$�����%������8�&�-��������������! ������������&����������������������! ������

#������*�������"� &��&�������� ���&�!�8��A������$� ������$��������

�5C�������#�������������!"�?�>��1

/����0�)���������������������������� ������!�������������������������&����

'������(�"�����������L��!� �$�����$����������'������������ ��������������������8�����L�8��8������� ��8��K����'������@!���� ���8��������$���������"��������� ������������'���#��������������������!��8��$���������������������������

/������������������������!������������������������'�������*�������� ��F �����������"��%���!����������F�!��������������8���P

��������� �������������"��%�'������@!���� ����� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��%�'���������������K���� ���������������%�

Page 12: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

10

Образец годового планирования по предмету Математика для 7-го класса

� D�� =��' C���)���'A����$5E���������'�"����5

F�����'���� �����#� �G

1.1. ������ �������������������� �������� � 1.1.1.1.2. �� ����������������������������������� � 1.1.3.1.3. �����������!������������������������"�� � 1.1.1.

1.4. ����"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����"� � 1.1.1.

1.5. (���������������� �������� � 1.1.2.1.6. *�������� � ������L�������1.7. ,�%��������������� �������� ��� � 1.2.1.1.8. /������ � 1.1.4.

@"��$����� �8����������8�������������p�� �1.9. ���������"��������8 � � 3.1.2.

1.10. �����������8� ����� � 3.1.1.1.11. /����������8� ����� � 3.1.1.1.12. =�������8� ����� � 3.1.1.1.13. >����� � 3.1.5.1.14. ?������������������"������������ � 3.1.5.

����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�� �

A����$$5C��*�������������'*�#�������5H�� ��;����������� �����#�� �GI�

2.1. (�!���������� �����!���$�� �� � 1.2.2.2.2. ����$���������!���%������������������������� � 1.2.2.2.3. @��A������!���%������������������������ � 1.2.2.2.4. =�$���������!�������!��� � 1.2.2.2.5. =�$��������!���$�����������!���� � 1.2.2.2.6. @���� ������8���������%���� � 1.2.2.2.7. =�$������������8��B���"�C����!��� � 1.2.2.2.8. =������������!���&������� �����!���$�� �� � ������L�������2.9. D���� ��!���8��!�������8����� � 1.2.5.

2.10. D���� �� ����8��!�������8����� � 1.2.5.@"��$����� �8����������8�������������p�� �

2.11. E��8��F��������8� ����� � 3.2.2.2.12. �����%�!��$�������8��F��������8� ������ � 3.2.2.2.13. =���%�!��$�������8��F��������8� ������ � ������L�#�����

Page 13: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

11

2.14. (��%��������"������������8� ����� � 3.1.1.2.15. ������������8� ������!���G�������� � 3.1.2.2.16. ?���%�!��$�������8��F��������8� ������ � 3.2.2.

����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�# �@"��$���"� �A�8����������8�������������p�� �A����$$$5J�� �"���5C���)���'>*��*��)�#���� ��

3.1. /��8�� ������8���������%���� � 2.2.1.3.2. ( ����������8�� ���� � 2.2.1.3.3. =�����������8�� ���� � 2.2.1.3.4. H�������������� ����������8�� �� � 2.2.1.3.5. H������������8�� ����������8�� �� � 2.2.1.3.6. ��$ ����������8�� ������������� � � 2.2.1.3.7. ���!������ �������� ����� � 3.1.2.3.8. ,� ��������$���!�!� �� � 3.1.2.3.9. (��������%�!��!������ ������$�� � 3.1.2.

3.10. I���� ������������ � 3.2.1.3.11. ?��������?�����������!���"��$������ � 2.2.1.3.12. J���%�������������������%�!��������% � 2.2.2.3.13. >"� &����!�8��A��� � #�����L�������3.14. @���� �����!�8��A��� � #�����L�������

����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�' �

A����$&5K����'��#��?L��� ����M����5N�����#�*������������� �G

4.1. E���������������$�����������������% � 1.2.4.

4.2. ��$ ���������������� ����!� �$��������K���� ��������������������������$�����������������% � 1.2.4.

4.3. ��$��������������������������% � 1.2.4.4.4. E�"����������"���$�����������������% � 1.2.4.

4.5. ��$ ���������������� ���������"����������������% � 1.2.4.

4.6. ��$ ���������������� ����$������"����������������% � 1.2.4.

4.7. ����"��$���������������% � 1.2.4.@"��$����� �8����������8�������������p�) �

4.8. H8 �L��"��$�&M����!���!���������������!����������% � 3.1.3.

4.9. ���$�����!��� � �����!����� � 3.1.3.

4.10. >������!��� � ������(��%���!��� � �����!����� � 3.1.3.

Page 14: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

12

4.11. H8 �������������!��� � ������������� � 3.1.3.

4.12. H8 �������������!��!������ �������������� � 3.1.3.

����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�+ �

A����&5C�������������>5C�����'�� �'���� �����#�5C�������#������������� ��

5.1. (!��"��$�������K������ � ������L�'�����5.2. J���%����K����������G�8��K�� � ������L�������5.3. N��K���!�����!��!������� ���%�$������� � ������L�������5.4. =$���������!� �������8��K����� ���%����K�����% � ������L�������5.5. �������L������L������ � 2.3.1.5.6. O$����������!������ � ������L�#�����

5.7. J���%���������������������!��������������8��8��K�� � ������L�������

5.8. (����� ���%������������%��������!��������������G���A�����8��K�������!��"�� � 2.1.1.

5.9. ��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"���!�������� � 2.1.1.

5.10. ��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"��� ������ � 2.1.1.

5.11. ��A�����$�����!�������������� ���%������������%��������!���������� � 2.1.1.

@"��$����� �8����������8�������������p�- �5.12. (����������������8 ������8� ����� � 3.1.4.5.13. ������8� ���%����8� ���� � ������L�������5.14. =��A��%��8� ����8� ���������8����%�� � 3.1.4.5.15. (����A����������������������8 ��������8� ������ � 3.1.1.5.16. *������������8� ����� � 3.1.1.5.17. /�����"������K������� � 5.1.1.

5.18. ���$���������K���������,��8�����L�8��8�����L�8��K�� � '�����L�'�����

5.19. ���8��$�������� � 5.1.4.

5.20. �� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��% � 5.2.2.

5.21. =���������"��� � 5.2.1.5.22. (�������������% � 5.2.3.

����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�7 �

N����� ��������������� ��������� ������������� �

Page 15: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

13

ГЛ А В А I

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

C���)��� !"������)����� D�� =��'

1.1.1.

A���

�$5

E��

����

���'

�"�

���5

F��

���'

���

� ��

���#

!��#�5�5������� �������������������� �������� �

1.1.3. !��#�5�5��� ����������������������������������� �

1.1.1. !��#�5�5������������!������������������������"� �

1.1.1. !��#�5�5����"��$�������!����������%������P��%����"�����"���������&����"� �

1.1.2. !��#�5�5(���������������� �������� �

������L�2.2.3. !��#�5�5*�������� �

1.2.1. !��#�5�5,�%��������������� �������� ��� �

1.1.4. !��#�5�5�/������ �

@"��$����� �8����������8�������������p�� �

3.1.5. !��#�5 5����������"��������8 � �

3.1.5. !��#�5�G5������������8� ����� �

3.1.2. !��#�5��5�/����������8� ����� �

3.1.1. !��#�5��5�=�������8� ����� �

3.1.1. !��#�5��5>����� �

3.1.1. !��#�5��5�?������������������"������������ �

����������"� �

@"��$����� �8����������8�������������p�� �

Page 16: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

14

Глава I

Урок 1.1. Представление и чтение рациональных чисел

C���)���1��������������$�!������������� ������� ��E�������� ���"����1 ����� �� $�!������ �����P�� ������� ��K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1���"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� ,��� ����L� ������� �����"����L���!� ��������M������� �������� �������� �����=�F��������� ��������� ���������� "��� !������������ ��� F����� !�����������!�&������ *���� ����L� �� ��L� ���"���� �� �����M����$��&��$���������������$��'U)�� ����=�!� �������� ����L������!�P����&��������������� ����L��� ������ L�!���$���&�F���� ������������"�L����&��������������!���� ������������ �������� �

H��� ��!����� ������M��������L������&M�&�������������� ����L���P ������������ �������� L��L�$���������!���L��"Q��������F��������E�������&����M�������������"�$����������������������� �������� �$������Z��

B����)��������#�>��*���1�E���$�!����&�������&��������� ������� �\

, ��!����������� ������������M������ ������8��!!���X�������p��U+���!� P��&�����������!����8�������L�$�������p�-U���U��������������8���������H��M���P���"Q�����L��������������������������$� ���L�!� ��������!�����!� ��P�����������$�����%L����������L������������!� ������$�����%���M�� ������ ��������L������������� ������ ���%���!����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5=����������A�����$������������������ �������� ������!� ��&P����%���� ������L���������L��������������� ������(�F������%���������M��P��$��������$���������������$��)�� ���(��������"����!��"���!������� ������� ��������������"M�8�������� ��$����"���

�C 0 15 0 15 6 4

3

80 175

0 15 1 6 4

0 375 0 175

0 15 5 4, , ,

,

, ,

, ,

, ,− ⋅

− +=

⋅ −( )− +

=⋅ −( ))−

=−−

= = ∈0 2

0 81

0 2

8 1

24 05 4 05

,

,

,

,, ; , ; Q

"C 0 45 0 45 3 4

11

21 1

0 45 1 3 4

1 5 11

0 45 2 4

0 4

1 08, , ,

,

, ,

,

, ,

,

,− ⋅

−=

−( )−

=−( )

=−

00 4

10 8

42 7 2 7

,

,, ; , ;=

−= − − ∈ Q

6

ГЛ А В А I . РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

1.1. Представление и чтение рациональных чисел

Множество рациональных чисел – QДеятельность

�5��������������� ��������������������������������������������������

���������������������������������������

�5�!����������������"�������������������#����"������$%&'

�5��(��������������� �)�������������� ��������$%&'�(���������������

�)������������������������$%&'

�5��*��������������%+����������� �����)�����������$'������������� ���

����������)��������������%+��������� ��������-���� �����)��������-

���$'

�5������������������ ���)����������������������������113

��

����������������� ���)����������)��������������������/�36

��

��������������%���������������������������������������� �-��( ����-���

���-������'

9���%����������������������������������an

���)�����"�����������%�

#���a������������%�n����������������'�a���:%�n��N.

Образец

�=�������������������������������� ��������������)����������>�?%+@��%�@�

��?%$+'

3��4�0 5

1

2, ;�

� � �1 3

13

10, ;�

� � � �− =

−=−

0 2525

100

1

4, .

N���"����1��*������������������������ ��������)������������������

����-���� �D%�������������)����������>�−

= − =−

1

4

1

4

1

4.

ED �������������"�"���"�����������������������%���������D ���

�������������������������������������� ��������������)������������>�

77

1� ;

�− =

−5

15

3;�

00

1� .

Page 17: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

15

Рациональные числа. Элементы треугольника

�C

0 47 3 5 3 5

1

81 125

3 5 0 47 1

0 125 1 125

3 5 0 53

11

, , ,

,

, ,

, ,

, ,⋅ −

−=

−( )−

=−( )−

= ,,855∈Q

H��M������ �����"Q����L������������ ��������������������!� �������������� @"Q�����L� ��� F�� �� �� �� �&�� ������� �����L� �L� $�!���� ��� �� ���������"�L����M���������&L��������������&��!���� ���&�������� �������� �

1 855 1855

10001

171

200

371

200, .� � �

�����1]C�#L;'^�"C�U_�L+^��C��L-''�!*��M����� � 5� "C� � �� x� b� 'L�^� y� b� ;L+L� �� � �� ���� ����� $�������� ������������

xy

21 37

3 1 0 17

+−

,

, ,������!����������������������$�!��������������$�������:

xy

2 21 37

3 1 0 17

5 3 1 37

3 1 0 7 0 17

28 09 1 37

2 17 0 17

+−

=+

⋅ −=

+−

,

, ,

, ,

, , ,

, ,

, ,== =

29 46

214 73

,, .

�����1"C�#L�+��!*��M�������G5������!� ������F�8��$����������M������8����"������8��!P!����@��������� �������������������!��������%������� �&�$����������P�����������$�����$����������!��������%��@�����������"���8��!!����������&�!����� �&�����"� ���!� ��������������!*��M��������5�������!� ������$�������!�����������%�������������!�����������%��$�8��!!�������� ������8��!!������$� �����"����&���!*��M��������5Y���!���������������$������������������A��8��$��������������!� ������$������������ ����� �����" �����,�������� ��!� ������ ����$�P!����&����V���������V�� "���F�%��" �����

x �7

12;L�' 2 3

5

11;L+

11

7 �

11

12 11

28 3

1

7 5

3

7 �L�

�31

2 2

1

24 �

7

8 U_+ �12

1

11 �2

9

20

;L� �7

60 �;L;' ;L#

38

55 ;L�#

U_� �L+' U_;L+' U_) �104

11 U_�L�

�5

9 35

108 �

5

36 �1

1

9 �1

91

99 �

7

18

=� �A����������������M��������L�������������������������� �L�!�P ����������������=�$������������������ ������� �������!�!��������M��P�����������&�����" ����� ��������������� ������

Page 18: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

16

Глава I

+�//���������������"����1�( �"���!����$� ������"����������M�������A�P������������$������!���������� �B��������������%����"�L��"���������%����"�C���!������&�����������F�������� ����� �&���!� ������"� �A�8���� ������$�����%����!���"��$������������������� ����������M������!� ��� �������P"����� ����J����'%��#����'����)������������������1H��� ���� ���������L���P"�����M�%������$"��������A�"���!���!���"��$�����������8����!������������� �P��8���� �������8����� � �!���"��$������������%���$�����?��������������1@"�"M�&��$��������$�!������������������ �������� L����� ���MG���$��"��M�������������������������������(�����!��������!���"P��$���������$����$�!��%���� ������"������������n�X�!������������������ �������� !����� ������'#������������������

H�������V

X�������������!�$��������������� �������� ^*����$��G�!������������� ���8���� �^,� ����A�"�����$�!���������� �������� ^*�� ��$��GL� ��� �� ��� �� ����� ����� �� �� ����� �� �&�� �����P�� ��������� ���L������

H�������VV

X�!������������� ������� �L����������������L�� ������L������������$�!���^*���������!���M������ ��!���!���"��$�����������8����!������������� �������� ������8���� ��!������������

H�������VVV X�!�������������������� ������� ������$����������

H�������VW ����"��$���������� ������� ���$�����%�$�!��������8�&����"�����!��"���L�!����������� ���������������� �������� ����

Урок 1.2. Числовая ось. Расстояние между двумя точками

C���)���1 1.1.3. ����$����� ��� ����������%� ��� ����L� ������&M�&� �����P�� �������� ��E�����������"����1����$���������� ���%��������L�������&M�&�������� �P������� �L��������������������������������L�����������������������������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1���"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1, ���"Q����������������"�����!����� ������������ �P�����=�!����%����� �������"��������������� ���%����������� ������� �L������������$����$�!�����H��M�%�L���M�� �&M�%�F������ ����L��!�������

Page 19: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

17

Рациональные числа. Элементы треугольника

�GL����$��������!� ���������� ������ ���%�����@!���� �������L��������&M�&��� �� �2

1

2L���P

$������� ����� �L���������������F���� ����P!�� �8���.

����F������� �������!���������M���L�����$�������!���� G�������!��� ������X�������� ���"Q���P�����M����$������� B� ��!������������8��$������CL�����������"��$���

=������%����� ����������������������P��� ������L� �$�"���G������ ��� �� ���%� ��� ��P�� �L��������� ��������B� �����������C�� ������$�����X�������������������L���!� ������%�!�����L������&����������������L���!� �����P��%� ���� B� �� �������� ��$����� ������ "� �A�%�������A�%������������C��=� �A�����������������M������!� ����������$� ������

B����)��������#�>��*���1E��������&��������� ������� ������� ���%���\�E����������!���� �����������������������������L�����$�"�������������� �P��%���\

���������� ����������,�����������"�����$���������!� ��&���������������������������X���������8����!� �������8��!!���� ��!������X������L�$�!�����������"����� ���L��� ����"������� ������[

]C��"�$������������� ���%����������$������%����������%^�"C��!���� �������������������L�$������%������ ���%���^��C���������������������������������������!���������� ���%��������P

���������F��������"�$�����$�"������������� ���%����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5

x1 3 6

O CAKMN B D

0–2–6

���" �$�� �����!���� �&����������������L��������������������[lBU_'CL�kBU_�L'CL�mBU_�L�CL�̀ BU_;L'CL�jB�L7CL�aB#CL�rB'L+C��H��M������!� ��� ���������&����� ������������!���� �&��������������!*��M�������5=�F���$�����������8�����8�����������L��������!��"�������P��� ��%�� �������� ������ ������ �������� ��� F�%� !������� ���M���L� �!���� �������������������������������L�!�������� ���������&�F������������ ���%���L�$�����$�"� �A�%����������������&�����A�&��E����������������������������&������� ���%����

�C�A BO

0 10,5 22,7

9

Рациональные числа. Элементы треугольника

1.2. Числовая ось. Расстояние между двумя точками

Числовая осьДеятельность

�5 G�����-�������������������D����'

�5 (�����������������-���������������������������'

�5 H������� ������������ ����� $� ��� ������-� ���'� I��� �����������

�������$��( ����-������-������'

�5 =����������� ��1

2 �����������-����'�(�������������������������"�

���������-�������� ���1

2.�

=�"��"%����������-����)��������������������J�������L�������5%������������

�� �������� �������%� ��)�����"� "������> ���P'� �������� �������������

�����r���Q �������������������������"�������M����������-����'�O��������

r������������%��������������DP�"������������������������%����������r�

������������%���������������5%����������"����RrR%�r�SA%�OAT�RrR%�?�SO.

Образец

(�����������������-����������%������������DP��������>���%/@��23

4@���?%+

3��4�( �)������)��������������������M%�U���V>

x0 1–1–2–3–3,6 –0,5

–4

A B C

–5–

���� �����%� ����� ���%/� ������#����"� ������ ������� ��W� �� ���@� ����� �23

4�

��������������$%����������?%+�������������?'

(��������������"����������D ���)����������������M���U�������X���-����'

РасстояниеДеятельность

G�-�����������"������������������YJ��L���ZJ 21

5L'

�5 G���������������D������������-���������('

�5 ( �)�������������YJ���L���ZJ 21

5L�������-�������-����'

�5 U������������������������"�����'�G�-�����������"����(M���(U'�

�5 (���������������"����MU'�U����������������'

�5�G�-�������)������ 21

5���J��L'�������������������������

����"���")��������������"�����MU�����)�����D� 21

5���J��L��

Page 20: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

18

Глава I

(�8 ����������[�̀ a�b�sa�U�s �̀b���L+�U��;L'�b���L��*���$�"����������� ���%���L��!���� ����������"� �A�%����������%���L+�t��;L'��( ������ ���L�̀ a�b���L+�U��;L'�b���L��� � � � � �����[���L��!*��M�������5�]C����� ���&��$����L����kl�b��L'#���kBU_�L7C��*������8�����8�����������!� ������������/���l������ ���%����B�������$�������������!������ �� ����!�����A���&������8�%C����F���L���!� ����$������L���������&������ ����[$���"�>1�*���� ���%���������/���!� �8����!������������l��=�F��� ��������������� ���%�����$�"����&������ ���&M����"��$��[

x

O

0–2,9a

N M

E��������� l� �"�$����&�� "����%� �[� lB�C�� ���� ��������� �� ���������� !����%������B/C������ ���%�������������� ���%������BlC�!� ����[�U_�L7�U�a�b��L'#��@&���a�b�U_�L7�U��L'#�b�U_)L##�$$���"�>1�*���� ���%���������l���!� �8����!������������/������ ������F��� ������L'#�t��L7L��������l��������!� �8����!����������� ����G��@[

x

O

0–2,9 a

NM

�������������������������!����%������BlC������ ���%�������������� ���%������B/C�!� ������L'#[�a�U�BU_�L7C�b��L'#�� ��a�f��L7�b��L'#��@&���a�b��L'#�U��L7�b�;L)#�

�����[�lBU_)L##C�� ��lB;L)#C�

!*��M��������5 ������!� ������F�8��$����������M���������&������ ���%���������>BU'CL�=BuC����-�������������������!� ������������������������������!�!��������8������8���?������"��$����������������>���=������ ���%�������������;�������=�� ���8�L������������������ &"�������������������������#������������������>���=���!� �������7����$���������%�� ���L�������$�!���[�`a�b�29 ��#�b���)�B�C��?�8���x�b�U�'�f���)�b����

�����1�aB���C�!*��M��������5]C����� ����>=�b�@>�U�@=L��������>���=���!� �8�&�������%�������������� ����G��@��X������$���������� ����[

x x

O O

0 0

A AB B

"C��i ��/l�b�@/�f�@lL��������/���l��� ������!� �8����!����$���������������� ����G��@��X�����������$���������� ����[

x x

O O

0 0

N MM N

Page 21: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

19

Рациональные числа. Элементы треугольника

!*��M��������5�@>�b��#��L��������sa�b��L'�����s �̀b�#�g�sa������ ������������������ ����G����������=���� ����L'��L��������������������=�"�����L'�� ��U��L'��$���"�>[�a�B�L'C���̀ B�#C��?�����̀ ���a���!� �8�&��!������������������� ����G�[`a�b��#�U��L'�b��;L'���$$���"�>[�aB�L'C���`BU�#C��?����� �̀��a���!� �8�&��!����$���������������� ����G�[�̀ a�b��L'�U�BU_�#C�b��+L'���$$$���"�>[�aBU_�L'C���`B�#C��?����� �̀��a���!� �8�&��!����$���������������� ����G�[�̀ a�b��#�U�BU_�L'C�b��+L'���$&���"�>[�aBU_�L'C���`BU_�#C��?����� �̀��a���!� �8�&��!������������������� ����G�[�̀ a�b�U_�L'�U�BU_�#C�b��;L'���

�����[�̀ B�#C�� ��̀ BU_�#C^�aBU_�L'C�� ��aB�L'C^��;L'���� ���+L'��� +�//���������������"����[�H��M���L�!���$��A��� �"������$� ������!�������"������L� �!����&� ������� �� �$��"��������� ������� ����� ��� � ��� �� ���%����� ���� ���� �A�"��� ��!���&�� "�� ��� ��8�� !��� �"�$�������� ��� �� ���%���� ������ ����� ��� L� �� ���M���L� !�����$���A��� �"��� ��$� ���� �� !�������"������L��� ����$��������"� �A��$�����%�����8���!��J����'%��#����'����)������������������1�,��������������M���������P����L�����������������������$����8�$���������� �!����� �&������� ���%�����������������?��������������1�H��� �L��MG���$L��"��M���������������M�������!��"���"��$������������� ���%����������� �������� �����������������������������������������L��"�"M���!��%�����������������n�O$�"�������

!����� ������'#������������������H�������V X��������������$������������ �������� ������ ���%���^

�����"�$��������������� �������� ������ ���%�������!��� ����P�������!� ������ ����^�����"�$��������������� �������� ������ ���%����!����������!� ���� ������������� ������� ��

H�������VV @!���� ����������������������� ���%���L��������$��������������$���������� ���%�������������������%L����������%�������P�� ������� ��L������������!���� G��������$������!������������P��������������������������������

H�������VVV @����������� ���%����������$������������������������!��P�� �������������������*���������������������������������

H�������VW (������ ���� ������� ��� �� ���%� ��� ����L� ������&M���������� ������� ��L������� ��������"Q�����������!� ����$������������������������������������������

Урок 1.3. Бесконечная перио ди ческая десятичная дробьC���)���1���������������$�!������������� ������� ��E�����������"����1��������!�A��!������������������������"��K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1XuHL���$8���������L��"�������

Page 22: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

20

Глава I

E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�N��8��K���������L�>$��"�%������%��$���������

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�H��� ��!����� �������PM������" ����XuH�����!��&�R,���"�S�B� ��!���P�������G����F����C����"��M������������������!P����[�=�����%�K������$�!����&�����"������ �\�

0��P O�"������ !����

H��M������!������� "����" ����$�!����&��GL� ��� $��&� �� $�!��� ��$���� ������� ���"�%[��"����������� ���"�L� !���� ���%� ���"�L� ��!���� ���%� ���"�L� ��A������ ��� �L��������%����"��������X�������������� "������M����$�!����&��L����������� ��"�� �$���� �� ���"���� i������L� ��� $���� ���M����� ��8�� "��� $�!����� ��$�����!��� ��������H��� ���� ����!������L���"��������������M����"� �����!��� �������!� �������!������������ �� ��8��!!����� ���������!����� �������� �� �����$������� �����������!���"��$��������"��������������"�����������&����"��B����)��������#�>��*���[�E���$�!����&�������&�����"�L����������!�����P �������� �� �����$������� ��������"���������!���� ����\

, ��!����������� ������������� ����$��G����M������"����� ����=���"����� ���$�!����&��$������L�������������"����L�� ��!������L�!����� ���������P�� ����X���������!� ��&����!������ �&���8��!!������R������� �"�����[� H��� �� ��"M��� ���PM�������!������������������������"���������������=������&����M������������$��!�����������!�������������������������"�%��=��������!����8��������8����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M������ 5,������������������������ �&�

2

15

17

600

1

60

4

375

1

250, , , ,

�����;;;���.]C�=���L���������&������!���������$��A��%�A��: 30;;����g 1

6050� ���

"C�=������!� �������$�G$�[��;;;����g� 17

60085�

���

=���L���������%�!�������������� �8��������� ����: 300;���� ⋅ =4

37532

���

12

Глава I

1.3. Бесконечная периодическая десятичная дробь��������������� �������������� ����������� ������������ ������

������������� ��������� ������������������������ ��� � �����������

����������������

0,(6); 5,2(7)Деятельность

!������"�����2

3� ����������������.

�5 #�"�����������$����%��!����������&������������������"�������

�5 '���������&(��)�������*���������&��������������� ���"������������

�5 +���������������&(��)�������*���������&��������������� ���"�����������

�5 !���������������)��������&(��)�������*���������&���������������

���"��������������-�������� � ���� ������/�

�5 9���������������������������������/�����"���� �:�������

;��� �"��������������������������<������&(���������������� �

��������)� ��� ������ ������ ��"� ���� *����)�"��#�> )�����"��> )����P5!� �����*�����<������&(����"� �������������������

9�����������"�������������������������������� �����*�����

&(�����<������&(��"���� ���� ���������2

3�=�>)???����=�>)@?A��=����1�

��&���!"����&����������

Образец

!��� ����BA�7

9;

$A�5

12; �%A� 6

2

99� ����������������

3��4

17

90 777 0 7) , ... , = = ( )

25

120 41666 0 41 6) , ... , = = ( )

3 62

996 0202 6 02) , ... , = = ( )

0,416... 0,0202...

8... 2...

198200

99

020

198200

020023)71) 2) 5

70 50

70 20

80

80

7...

0 0

63 48

63 12

72

72

9 12

0,777...

целая часть периодповторяющаяся

группа цифр

!��������������������������� ����� �� �� Z�BA�"���'�*����)�S"��#��)�����"�'������[�$A�������'�*����)�"��#��)�����"�'�������

=����> *����)�"��#�> )�����"��> )����P� ��"� ������ ����������

�����)� �������������������"��������"�����������������������������Z�

$)@\A[� >)@%]A[� B$)@\$^A������

C������>*����)�"��#�>)�����"��>)����P���"� �����������������

�����)� � ������� �������� ������ "������� ����"� ����� �� ���������� &(��

�������������������������Z�_)]@\A[� >)>$@?%A[� ^)>@B]$A������

%)$\@]A�`�"����1�������!"��������&����&����!"���&���������;��� ��� ��"������ "����������� �������*��*����� ����� ��� ��������

��������)� ������ $� � \)� ��� ������� ���<�� �������� �������)� ��� �����

���������������"� ��� ���������������������� ����������������

�������������������

H���"�'�)�����"�'�)����1� 5

160 3125� , ;�

72

252 88� , ;�

19

500 38� , ; �

13

200 65� , .

N����)�"��#��)�����"�'�)����1 1

60 1 6= ( ), ;�

5

120 41 6= ( ), ;�

9

260 3 461538= ( ), .

Page 23: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

21

Рациональные числа. Элементы треугольника

=������!� �������$�G$��"� �A������L���������%�!�������������� �8��������� ��������-'�U����b�+��B��C��C��������+'����������������������%���!� �������$�G$��������%�!��� �����

������8��������

=����1000

7014

2

714 285714= = ( ), �B��C�����L���������%�!��������������� �P

8����������� �����

=���� 502

955

7

955 7= = ( ),

B��C�������������������%L���������&������!��P

�������$��A��%�A��L�������%L���������&�!���������!�������%���� G.8C��=���� !� G�� !�������8�� ��� G�[� �;;;� ��� ⋅ =

4

37532 � B��CL� ����� !� G��

��$��A��8��A���[��;0;���� ⋅ =1

6050 B��C. ( ������ ���L������!� G��!�������P

��8����� G������������!� G����$��A��8��A�������';�U����b��-�B��C�+�//���������������"����1�H��M���L�!���$��A��� �"�%���$� �����!�������"������L�$������&�������$�����!����������%�������$�!���!����������%���P������%����"����!���"��$��������"��������������"����!����������&��������&����"������F�%�!���������������M�������� ����!� ��� ���������$��������!� P�������$������%�!���!���!�������%�p��U#��H��M���L�!���$��A�������A�%���$� �����!��������"������L�����������$����������!���"��$�������"� ��� ���������"�%���!��������������������������"������?��������������1�H��� ��!����������M���L�$�!� �����" ����XuHL�$�!������������� "����" ������$�����L������������!� ��� ������������@"�"M����$�P���������$�!�����������!������������������������"�%�����������n���������$�!��!����� ������'#������������������H�������V �������$�!������!������������������������"�L�$�����������!��P

�"��$��������"��������������"����!����������&��������&����"�^X��������������$���������� �L������M���� ����������M�����!���P��L���!������������������������"��^X����!���� ��!���"��$��������"��������������"����!����������&��������&����"�L����!����������������

H�������VV ����"��$����"���������&����"�����������&���!����������&����P����&����"��!� �����$������!���� G���8����!��� ����^����"��$����"���������&����"�����������&����"�L����$������P������!����� ������G������ B���������������������"�L������� ����A������!������������������������"�C�

H�������VVV (������ ����!���"��$���!���&����"�����������&���!��������P��&��������&����"��

H�������VW ����� ����!���!� �8���!���"��$��������"���������%����"���������P��&�� ��!����������&��������&����"���������� ����!���"P��$����G^����� ����������%�!������!���!���"��$��������"���������%����P"�����������&�� ��!����������&��������&����"��

Page 24: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

22

Глава I

Урок 1.4. Преобразование периоди ческой десятичной дроби в обыкновенную дробьC���)���1� ������� ����� �� $�!������ ������� �P������ ��E�������� ���"����1 ����"��$��� !����������&���������&����"�����"���������&����"��K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1�XuHL���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�H��� ���!���!������� ������M�����" ����XuHL������&��!� �$��� ����!��P����M���$������B� ��!������������F�����CL���������$���G������!�������L����"����������� ��$���������P"����H��M���L��� �&M����$����!������ ��!���"��$���P����!����������%����������%�����"�����"���������% ���"�L�$�!����&�F���������%�� �"���B����)��������#�>��*���[�E���������!���"����$������!����������&��������&����"�����"���������&����"�\

, ��!����������� ������������M������8��!�!���!������&�!��"L������%�������� �������=�!�����%����� �����������!� ��&�� 8�����!���"��$���������P�%� !����������%� �������%� ���"�� ��LB#'C� �� !���&L� ��� ����%� ���� ����� U����A����%�!��������������%��������%����"��;L��B�C���!���&����$� ����!������P �&��������������"Q����&���=� �A����������������M���������!� �������F�8��� �8��������X�������� ��!�����������"Q�����&�����%�������R��������"�����[�H��� ���"Q�����!���� ��!���"��$�����������������A��P����!�������������������������"�%����"���������&����"���

=��������!���� ������� ������������M������!� ��&��!��������L�������������"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�������!� �������!����������������!� �$�����!��"L�������%������� ����L�� ��!��������!���� ��B�����%�!��"C�!���"��$�������!����������P��%��������%����"�����"���������%����"���]C�O!� �$��������!����� ����%�!��"L�!���"��$������ ��;LB�C���!���&����"�[

v�b�;LB�C��;v�b��;�g�;LB�C�b��LB�C�b���f�;LB�C�;v�U�v�b��9X = 2 X �

2

9 0 2

2

9,( )=

E����%�!��": 1 3 13

91

1

3, ;( )= = 3 54 3

54

993

6

11, ;( )= = 21 23 21

23

99, ;( )= 0 673

673

999, ;( )=

15

Рациональные числа. Элементы треугольника

1.4. Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь

Деятельность

'�����������������������������������������$%)@^\A� ������� ������������

3��4��9�������*������������������������������������� ������

�� �����������������"�����������*����<����Z

�5 '��"�����������������������"�hZ�h�=�$%)^\^\i�

�5 �'���������������� ��&(�� ����������������������������������Z�

$%)^\^\i�=�$%)@^\A�������� ��&(�� �������������=�$�

�5 j�����������������������������������������"����������&��������

���� ��������)����� ���� ��*��������� ��&(�� ��������@ �������������

��������&(��� �)���b�����������������B>>AZ�$%)^\^\����k�B>>�=�$%^\)^\���

�5 ���������"���������������<�������������<������Z

B>>l�`�l�=�$%^\)^\����`�$%)^\^\���=�$%$$�

�5 ��������� ��eeh�=�$%$$��������hZ�h�=�2322

99�

m��������"��)� 23 452322

9923

45

9923

5

11, .( ) = = =

(������1

0 99

91,( ) � �

9��<����� ��)��������*����������������������������������-

�� ������� ������&���������������:������"������)� �������������� �"���

��������� ������� �������� �� ����)� �������� &(�� � ������)� �� � ��������

`�����)�"��������� ��������

Деятельность!��� �������������������������������������������>)B$@%A� ���������������

3��4��g�����"�����������*����<������������� ���������������������

���������������������� ������� �������������

�5 '��"�����h�=�>)B$@%A��-������ ������� ��������`�B�

�5 �j���������������������������������������"����������&��������

���� ��� �����)� ���� ���� ��*�� ������� �� &(�� � ������� @ � ��������

�������������&(�������)���b�����������������B>A��>)B$%%%����k�B>�=�B)$%%%���

�5 ����:��h� �������� ��B>l�`�l�=�B)$%%%����`�>)B$%%%�

el�=�B)BB[� � l��111

1009: ;

�� � l��

111

900�

m��������"��)�>)B$@%A�� �111

900

37

300.

Page 25: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

23

Рациональные числа. Элементы треугольника

7 256 7256

999, ;( )=

16 002 16

2

999, ;( )=

0 0001

1

9999, ;( )=

5 01 5

1

99, .( )=

"C��8 ����!���� �L�!���"��$������ ��;L�B�C����"���������&����"�[

v�b�;L�B�C��;v�b��;�g�;L�B�C�b��LB�C��;v�y�v�b��LB�C�U�;L�B�C�b��L�������U�;L�������7v�b��L�

X = 1 2

9

12

90

2

15

,� � �� �� 0 1 3

13 1

90

12

90

2

15, .( )= −

= =

E�����%�!��"[�1 2 5 125 2

901

23

90, ;( )= −

= 7 0 4 74

907

2

45, ;( )= =

2 23 7 2237 23

9002

214

9002

107

450, .( )= −

= =

*��������� 8������!���"��$������ ���;L�B#'C����"���������&����"�:v�b��;L�B#'C�b��;L�#'#'#'����;;v�U�v�b��;;�g��;L�#'#'#'����U��;L�#'#'#'���77v�b��;�#L'#'#'����U��;L�#'#'#'���77v�b��;;#L#

X � � � �1004 4

99

10044

99010

144

99010

8

55

,. ���F���L�10 1 45 10

144

99010

8

55, .( )= =

(�8 ����!���� �: 0 25 832583 25

9900

2558

9900

1279

4950, ;( )= −

= =

16 5 02 6502 5

99016

497

9901, ;( )= −

= 0 000 11

9000, .( )=

!*��M�������5�=�!� �������� ����L� �����!���"��$�����!����������&����P�����&����"�����"���������&�

"C� 2 34 0 21 234

99

21

992

55

992

5

9, , ;( )+ ( )= + = =

�C�19 27 3 73 1927

993

27

9918

126

993

73

99153

53

99, , ;( )− ( )= − = − =

�C�8 1 6 211

198

16 1

90

49

198

15

90

49

198

1

6

49

19

49

6

19

49

19

6, : : : :( ) =

−= = = ⋅ = == 3

1

6.

!*��M�������5�=�!�������L�8��������&�!������������������������"�L�!��P������&� ����� !���� �� ����������� !������� �� �L� �8�� ���L� �� ����� ��������������� ��!��$���������!�������������

]C� 0 12 1012

99

10

100

2

33

1

5

2

165, % .( )⋅ = ⋅ = ⋅ =

"C� 25 1 5 25 15

925

14

925

9

14

225

1416

1

14: , : : .( )= = = ⋅ = =

8C�10 2 7 75 1025

90

75

10010

5

18

4

3

185

18

4

3

370

2713

19

27, : % : .( ) = = ⋅ = ⋅ = =

Page 26: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

24

Глава I

!*��M�������5��� �L�;LB'C����������8���������� ��';[�

50 0 5 505

950

9

590: , : .( )= = ⋅ =

�� �L��'z������8���������L�B�C[��L�B�C�[��'z�b� 211

90

15

100

191

90

20

3

382

2714

4

27: .= ⋅ = =

144

2790 104

4

27+ = .

�����: 1044

27.

!*��M�������G5�]C�X������� ��!����%���������������8 810

, m m( )= ��� ����"���

������7[�8 89

, .m m( )=

"C�=�������� 0999

,n mk nmk m( )= −���$������� ���� ����"����� ��77;L������� ���P

�� nmk n� . 0990

, .n mk nmk n( )= −

!*��M����� ���5� , �� ��!������ ��� � ;LB�C� �� +bBaC� �� ����� �"���������%� ���"��!������&��� !���� �� !���"��$������� ���%� �� ��A����%� !������������ ���"�%� ���"���������%����"��

09

, ;a a( )= 7 7

907

9

90, .b a ba b b a( )= −

=+

X���

ba b a= +10 ���$��������� ��

!*��M��������5�]C

0 3331

64

0 2555 1 5 3

1

3

1

64

2

, ...

, ... : ,

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⋅

( )=

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⋅

33

901

48

90

1

24

23

90

90

138

2

1

6

12

:

;=⋅

⋅= =

"C

0 777 0 090909

7 4 82

5

7 3 21 9

7

9

9

99

7 4 8

, ... , ...

,

, : ,,

+

−+ =

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

− ,,;

4

1

3

53

99+ =−

�C

0 41111

9

9

47

0 3 5 0 555 32

37

90

10

90, ...

, : , ... :

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⋅

( )=

+⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⋅

=⋅ ⋅

=

9

47

32

90

5

932

1

1032

90

9

5

1

32

5

: :

;

8C

0 6661

30 25

0 12333 0 092512 5 0 64

2

3

1, ... : ,

, ... : ,, ,

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

+ ⋅ =+

330 25

111

900

925

10000

125

10

64

100

4

37

300

10000

9

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

+ ⋅ =⋅

: ,

:225

1

2

64

4+ ⋅ =

4

37

3

100

37 25

8 3 8 11=⋅⋅

+ = + = .

�����[�]C���^�"C �

53

99; ��C�'^�8C�����

!*��M��������5�(�8 ����!���� ���!���� ���[�3 9 39

94, ;( )= =

− ( )=− =−2 99 299

993, ; 6 56 9 6

569 56

9006

513

9006

57

1006 57, ,( )= −

= = = .

Page 27: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

25

Рациональные числа. Элементы треугольника

E��������L� ��!����������%��������%����"��+LB7777C� 8��!!����� ���!�������������$�"��������8���� ��7���� ��;L7777{�������" �$�����������������8����$�������� ��� ����8 � �� "�� F�� �� �� !� ����� ;L7777{� |� ��� ��F���� ������ $�!����+LB7777C�b�-^�;L��B77C�b�;L��^�U_�L-B777C�b�U_�L7�J����'%��#����'����)������������������1�O��8������M�%��$�"�����!�����P ��!���"��$���������A����%�!����������%��������%����"�����"���������&����"���H���M�%�L���!� �������� ����L������&������"����L�!�F�!�����������!���� ��!��P�"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&��H��"����!��"���!��P�"���$����������"���������&����"���� ���������������������A����%�!����������%���������%����"�������������� �8������!����$������B�!���������p���C�����?��������������1�=���8�����M���������%�� "����" ����XuH��!����&�!���� �� !���"��$������� !����������%� �������%� ���"�� �� �"���������&� ���"���H��� ���"�"M���!��%�����������������n�����"��$������

!����� ������'#������������������

H�������V

X���������!���"��$�������!����������&��������&����"�����"���������&����"�^����!���"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����"���A�"�������$������� ��$�!����������������$�������;L��;;L��;;;����!�^����!���"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����������!���� ����� ������7���;���$������� ��

H�������VV

����"��$������&�!����������&��������&����"����!���&����"�L�$�����������!���"��$���������A����%�!����������%���P������%����"�����"���������&^*������������$�������!��� ��������� ���B� �������M���C�!���!���"��$����������%�����A����%�!������������������������P"�%����"���������&����"�^����"��$������&�����A����&�!������������������������"�L������!������A�"�����!��������������������

H�������VVV (������ ����!���"��$������������A������!������������������������"�����"���������&����"��

H�������VW

(������ ����!���"��$������&�����A����&�!������������������������"��!�G��!����������� 8���������������!��"������"���������&����"����!�������������������^����� ����������%�!������!���!���"��$���������!��������!������P����%��������%����"�����"���������&����"��

Урок 1.5. Сравнение рациональных чиселC���)���1�������(���������������������������� �������� ��E�������� ���"����1 (��������� ������� ����� �� �L� ��������� ��� �� !���������$����������"�������K��������'1��� �������L���8��!!��L����������� �����

Page 28: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

26

Глава I

J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� =� ���� ����� �� ���"���P��� �������� !� ������� ������� ����� ��� ��� �� b ����� ���� ���� �� ��G�� @�� =� ������� ����������M���� ����� �!���� ��� $���� ��� � �� �� b� ���������� ���� @��� $��&L� ���� ��������� ��� �� �$������� ��������� $�� )� � ��� H��� �� �� ���� �P����L� ��"�� ���M���� !��� ���!� �������� ���� �P���� ������ ���� ����$��� �� ���� �� ��� =� ������$�����������������M�8������� ���������� �����b������$�!��������������"��$������������ �P��������"�L�!������������������������"��

B����)��������#�>��*���[�E�����!���� ��� �����!������������!������������������� �������� \

���� !���������� � ��������� �����������L� ��"�� ���M���� ��"�� �� �� 8��!!���� ����������� ����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=��" ���L������%������"����L�$�!������"��������!������!�� ��P������ ���*���������$�����$�!����������L��������������H��M���� ���������P���A�"��������� �$�!�����������B���� ���������" ��������������������� ���� �&���A�"������C�

� "���� �������� *������*�-��M��� � "���� �������� *������*�-

��M���

a) U_;L-�4

5�1

1

4 V +LB�'C� �7

35

99

99

728

�V #L� �41

5

5

21

)V �111

13

24

13 �13

24

�V9

11

�9

11 1

2

9 e) ��L;B�C �

631

30 30

631

!*��M�������5�, ��$�!���$����������� ���!���������$�������!���"��$���������������������"�[−

= −2

50 4,

= −15

72 142857, ( );

= −4

150 2 6, ( );

− = −3

1

323 03125, ;

;L�^� �

2

250 08� , ;

20

72 857142= ( ), ;

U�LB'C�

����������$������[�� �� � �

3 5 31

32

15

7

2

5

4

15

2

250 3

20

7, ( ); ; ; ; ; ; , ; .

18

Глава I

1.5. Сравнение рациональных чисел�� ������ ������� �� �������� ��� � ���� &����� � �������������

�������������

Деятельность

!������������������������&�������������a��b�������� �����Z

�5�#�&��������������a��b����������������� ����������������������

0 a b x

���������� �:������������ ������� �������&����������������b�

�b�����������

�5�#�&�����������������b���������������� ����������������������

0ab x

���������� �:������������ ������� �������&����������������b�

�b�����������

�5�#�&�����������������b�����������������"�������������������������������

0a b x

��������� � �:� ������ ��� �� ���� ��� ����� ��&�������� ����� �� � b�

�b�����������

Образец

r�� ���������−2

15 ���

5

21

.

3��4��-��� ��"������"����������������st�������)�"�� �����&��������

��������������������������������������������������������

−= =

2

15

2

15

14

105� �

−= =

5

21

5

21

25

105.

m�������

14

10525

105� ,

������

2

15

5

21

� )����− > −2

15

5

21

�� �����1− > −2

15

5

21

.

Образец

r�� ���������$)@%^A��$)%^�

3��4��$)@%^A� `� ������������ ������� #�������� �:Z� $)@%^A� =� $)%^%^%^�����

$)%^�`�b�����������������������������-����������������������

������������������� �������Z�$)%^�=�$)%^>>>����

-������ ��)� �"������������������������� ���&(��� �&���������)�

���"��������������������'������ ���� �������� ���"������������������%)�

�� ���������`�>��r���� �������)�$)@%^A�u�$)%^�� �����1�$)@%^A�u$)%^�

Page 29: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

27

Рациональные числа. Элементы треугольника

!*��M�������5��������������������� �������� �!������&��!���� ��������P���L��$����������)�� ����

]C� �1225

�� �3471

; �������$����!���$��������U_���g�+����U_�#�g��'�

���� ����U_852 < U_-';L��� − <−12

25

34

71.

"C�U_�LB#�C�~�U_�L#�^� �C�− <7

900; � 8C�;L;B')C�t�;L;B�C^�

�C� 1799

1

2>−

; � � �C�;�t�U�7LB7---C�

!*��M�������5 0n m x

aC����"���������� ��U_m^�U_n^��m^��n^�;L'm^�112

n ������ ���%���L����������$��������*��

����������������L����m�t�;���n�~�;��?�8���U_m�~�;���"������!� �8���� ������@�

0n –n3n m–m 2m x

0,5 mn

?�����!��� ����n�~�;� ��U_n�t�;���� ��U_n� "������!� �8����!�������;���� ��2m� ��!� �8���� !�������m� B�� ����$��� ������mC���� ���n� �� ����$��� ������n� ����!� �8���� ������n���� ��;L'm���������!� ������m�B��������������;���mC��

�� � 1

1

2

n ���!� �8���� �������� ��n.

"C�!��� ������ ��n������� ����L��� 13

3n n� .

�C�m�U�!� ���� ������� ���?�8����;L'm��~��m��!*��M������ 5*������������������L����a < bL�a�~�;L�b�t�;����a��t��b���?�8����� ��b + a�"������!� �8���� ������;�

0a b x

b a+

�� �� b� U� a� ��!� �8���� !����� �� bL� ��� ���� a� U� ������ ����� �� �L� �� $��P���b�U�a = b�f�BU_aC��( ������ ���L��� ��b���� ���������U_aL�U_a����!� ���� ������� ��

0a bx

b a+ b a–

"C�(�8 ����������L�b U a�t�b + a.�C����� ����!��������&��� ��b + a�"� ���" �$�����;L����b + a��~��b�U�a��!*��M�������G5]C�i ������ ������8�P �"���� ��"� �A������ �����8�8���� �L��� �$�� � !� ��%� ���������&� ��������L� ��� !������ �� �� "� �A�� ����8��� i �� �a��t��b�L���a�t�b � ����!���a�t�;��"C��i ������ �� &"�8�������� ���8���� ��"� �A������ �����8�8�������� ���8��

�� ��a�~�;L�b�~�;����a��t��b�L���a < b.!*��M����� ���5� I� ���"��$��L� ��"�� F�� $������� ��!� �� ��� ���M����� ��8��!��!����=�!� ����F��$������L����M������ ���������������� �����"����P���������� �����!� �$�����!�������

Page 30: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

28

Глава I

]C��(������������� ������"���"� �A������8���$� �8�����L�������A�����8�8���$� �8������a + b�t�a���a + b < b���$����������� ����L�� ����U������� ������� ��*�!�����[�a�b�U_'L�b�b�+��?�8��L�U_'�f�+�t�U_'���U_'�f�+�~�+��

�C��(����� ����� ��� � ����� "��� "� �A�� ��� !���$��������� *�!�����L� ����� �������� � ����� "��� "� �A�� ��� !���$�������L� � �� ����� �$� ��� � ������ ;� � �� �L� �����8����� ��"����!� ���� ������� ��[��f�7�t��g�7^�;�f����t�;�g���������

!*��M��������5�C�]C���"����� ������� ���-�����;zL� �������%���;�z����� ���-���!��"��������� ���-�� ����%����;z����� ���-[

18 20 1820

1003 6⋅ = ⋅ =% , ; � �-�f��L)b���L)�� ��18 120 18

120

10021 6⋅ = ⋅ =% , .

�����[���L)��C����"�� �� �� �;LB-C� �����A��� ��� �;zL� ����� ��%�� �;z� �� $������8�� �� �� ��

�������F�8���� ��!� ���������� ��B� ����%��7;z����� ���;LB-CC[

30 8 10 308

9

1

10

278

9

1

10

139

4534

45, ( ) % .⋅ = ⋅ = ⋅ = =

308

934

4530

40

4534

4527

36

4527

4

527 8− = − = = = ,

� ��30 8 90 308

9

9

10

278

9

9

10

139

527 8, ( ) % , .⋅ = ⋅ = ⋅ = = �����[��+L-�

+�//���������������"����1��������������������� �������� ����"� ��� ��P��������������� �����M�������������������������� �������� ��, ���8�L���"������8���"������� �"������M������8 �� ��A������������������ ������� �L����� &� ����L��!���� ���F�� �"��������L�$����������!� ��� �����$������������?��������������1������ �L��!� �$������!������������������� �������� L��MG���$�!�����&�����"�"M�&������ �������������n�(��������!����� ������'#������������������H�������V X���������������������������������������� �������� ^

(��������� !� ���� ����� �� �L� $��������� ��������� �����P� ������� ��

H�������VV �� ���!���� G��������$���%���������������������������� ������� �^(�������������������� ������� �L�����������!���M��!�����!�P �������"� ��������������� �������� ��!���������$����������"�P������

H�������VVV (������ ������������������������������� ������� ��H�������VW J�8������ �������� !��� ��������� �� ����������� ������� �����

��� �

Page 31: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

29

Рациональные числа. Элементы треугольника

Урок 1.6. Неравенство

C���)���'1� ������� X�!������ �� ����� ����������������������������������L�!���$��G���������������� @!���� ��� !��"��� !��������� ��A�����!���8�������������!��������%������� ��E�����������"����1�C�X�!����������!���$��G��������������������P

��������������C����A��� !��"��� !��������� !����� ���������P

����!��������%������� ��K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�����%��$��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�,��� ����L�������������"����L��������!� ���������M�P�������8��!!���� ��!������H��M������8��$�����������$�!������������L������8����!����������� ����L������������������� ����8��$�!��������������������� x�t�U_-���x�~�����=�F��� ��������� ������������!���� G�������!��� ������ ����P��������������@!��!���$����L������A������������L����M�%�L��!� �$����� ���&���L�!����P�����8�� ��A��

B����)��������#�>��*���[�E����!���� ��������������A���%����������\

������!� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=�!� ����$������L����M�%���� ����������������������������P����Y��!�����������MG� ��A��!���������������GC��x U��L7������������[�/��� ����$������ ��"���� ����L7���������� ������A�����H��M�%���!���� ��� &"�����A���������������!��"���!����������*�!�����[�!���"�b������� ��!� ������8���� ��;L������A����������!*��M�������5���A���!��"���!��������������������!��������%������� �L����M�%�������!��������%��� ����!�������������� �L���"��!� ����������P ��"� ���������!�����A���&��������������]C��=������������x�f�#L���~��L#������"��� ����"���$�!������������ �L���"��!���

�������F�8���� ���#L������ ����������"� �����A���L#��=�F��� ������� ��" �� ����"�������A���� ���L#�U�#L��b�U�L-��(����8�%������L��� ��"��� ����"���"� �A���� ��U�L#�U�#L��b�U'L)L���!�������� ����L���!�����L�!���"�b�U)L��������P����U_)�f�#L���b��L-�~��L#�"�������������������"Q�������F���������%����� ���������!���������M������ ������"��$���

21

Рациональные числа. Элементы треугольника

1.6. Неравенство

>, <, ≥, ≤Деятельность�5 ����������� ����� ����� �������x<�W�5��������������

���� ���� ����� � �������� �������� �� ���� �101

4 � 10

1

4

������������ ���������5 ���!�� ���"���� ��� ���� �� ������� ���� � �������

xI�WG#����������� ����������������� �����5 ���������� ����� ����$"�����&'*������--$���!� ��������

���!�� ����� ���"������ � ��������� ���� ���$ ��� ��/�������� �������#

� �������$��!�������!a:x:b$a<x :b$a:x<b���a<x <b����=�����)��>�'�����������>�!����b�������� ������������ ������a$b�?@#A����� ������������������� ��B �����$B � �/��/!����� ���������������#C� �����������"����!�� ���$�������� ����$"���� �� ���� ������������"��� ��������#� ���-����DxD:�� ����������!�������� �������6���<�"�<�����##�������������� ����$�� �������DxD7�� ����������!�������� �������6���7�"�7���Образец

1V��B���������������� ������ ����� �������&E:x<F$G#3��4� H���� " ��������� � �������� ���$ "������ &E � ������ ��� �����F$G#I"���� ��������=

����� ����� ������� ��=

��������#J�����" ����$-$G$

E$K$F&������� ����� ����$�����/��� ����� �������#

�����1xL-$G$E$K$F#�V��B���������������� ���$�����/���� ����� �������DxD<K#3��4H����$��!������� ��������� ���K$&��� ������������

���� K$ � ���� "����� ���

����&'K#M��" ������� �����

��! �� ���� �� ������� ���#

J�����" ����$ &'K$&'E$&'G$&'-$N$-$G$E$K& ������ ����$ �����/���

����� �������# �����1xL&'K$&'E$&'G$&'-$N$-$G$E$K#N���"�����5O ����" ������������� ���� !������� � �������&'E : x� K �� ������� ���$ �B ���!������� ���� &'E�������� ����B����������������P����� �����$�B ���!������� ����K�������� �����"���� ����������Q#N���"�����5� �������DxDR�� ����������� ��������"�8����"�<�6�������������$� �������DxDS��� ����������� ��������"S����"�<&������������#�VM��" ���� ����$�����/��� ����� �������DxDRK$�� ����������#

3��4 H���� � ��!��� "���� K ��B��������� �� ������� ��� ��"��B ����� ����K$��"������� ����&'K.

1 2 3 4 50-2-3 -1

5,2

x

1 2 3 40-2-3-4 -1x

4-3x

40-4x

Page 32: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

30

Глава I

�C����������������;�U�x��t�+��� ��"��� ����"�������A���;�U�+�b����(����8�%������L���"������������"� ����������� ��"��� ����"���"� �A���� ���;�f�+�b��+��*�!�����L���;�U��-��t�+����-��t�+�� ����;�U��L#��b�+L)�t�+��

�C���������������x��f���x����#���x�� ����x�� U�!���"���� �8�������i ��������!������M�������!������ ��!���"���� �8�����L� $�!������� !��� $������ ���� �L� � ����� ���M���� ���8�� �� ��� F�� � G8���&��?�8�����x����#�����x�����#��=�F������������������� �8����!���� ��L�����������!����� �����"������"����� ���"� �A���#�� ����������#��?�L����"������"�������A��U�#�� ��������U�#L����M�%��������!������ ���!�G�������������+�//���������������"����1�i �� �"������M���� $������&�����!���� �������$���������A���%�����������!��������%������� �L����� ����������$�����"�P ��� G8����$��������*�!�����L��x��t�#L��x��~�+�������J����'%��#����'����)������������������1��"�����"� �� �����%�!�����A����� ��������� � !��������%� �� ���� �� !��"��� !��������L� ���� �� �����!��� ��������M����$�!����F������������"�$����� ���u�����������F�����!�P�����!� ������������&���A����L����$������M�%��!� �����!���� G���&�������A��������$���������� ����A��������8���!�������������"���M�������?��������������1�H��� �L�!��������GL��"�"M���!��%�����������A�������P�������!��"���!�������������������n�=��������n���A�����!��"���!��������

!����� ������'#������������������

H�������V*�������$�!�������������������������!���$��G��������^*�������!���� ������A��������������!��������%������� ��!�P��"���!���������

H�������VV

,�!������!���� G������A�"���!�����!������������$����8����P�������������������������^*���������!���M������ ��!�����A���������������!��������%������� ��

H�������VVVX�!�����������������������!���$��G������������������^(������ ������A��������������!��������%������� ��!��"���!����������

H�������VW

X�!�����������������������!���$��G�����������������������P�������������������^��A�����"Q��������������������!��������%������� ��!��"���!����������

Урок 1.7. Действия над рациональными числамиC���)���1��������*������$���������� ���8�������������L�!������������!�� ��������� �P�������!� ���������%��%�B������� ����$������������!���������� �����!���$�� ��C�

Page 33: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

31

Рациональные числа. Элементы треугольника

E�����������"����1 *������$���������� ���8����P�������L�!��������������!� ������� ��������!� �P��������%��%������������ �������� ����K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'[����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K��������#�����

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�(������ 8������ �����P���������$��������$������8��������� ����������P

�����[

3

11

2

4

22

3+

−+

. ������������ �������������$��P

������!����%�����"�L�$��������%L����� �������������$���� $������%� !����%� �� ����%� ���"�%�� Y��!� ������ ����� �� ���� �!���� ��� ���M����� H��M���� � ��L� ��$�� ��A���������� ����8��!!L�!� ���"Q�����%����� ����!� ��&�F��$��������=�F��������P

��������� ���"�� $������� ��%����� �� ����[� 3 11

24 2

2

3: : .+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟ − +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟

*����������

$��������F�8���������������� ��!����������8���8��!!������ ����������$� ������������&���

X������L�������������"����L���!� ��&�����������������������������$�������PM�������"����� ��L����� �������$�����F��$�������� ����!� �����������8��!!���� �������� ������R��������"�����[�H��� ����G���$Q����������� �������"�������������������L�$��������L����������8��!� �����"������������������L�����������L�������&M����� ��E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5��������� �����$������%���������%������������ �������� ��������A�&����%����]C�U_)L7)'�f��L��b��)L��'^� "C�)L��g�BU_�L��C�b�U_-L�#)^� �C�'�L#�[�BU_�'C�b�U_��L')^8C�);L7�U�--L-7�b�U_�+L77^� �C�;L+-�g�BU_�L'C�b�U_�L7'^� �C�U_�)L7#�[��L-�b�U_)L;'^GC�77�U�7L7;#�b�-7L;7)^� �C�U_;L;�)�g�;L�'�b�U_;L;;#^� $C�+'�[��L�'�b�);�!*��M�������5

]C� 61

39 6

1

383

322

3− = − = − ;

� � � � "C�

3

8

6

322: ;−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

"C�9

144 2

9

1442

9

9

14

38

9

19

725

7⋅ − = ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = − = −( , ( )) ;

$C�513

7 0 3 51

371

301 7− = − = −, ( ) , .

23

Рациональные числа. Элементы треугольника

1.7. Действия над рациональными числами������������� ���� ��������� ������������������ ����� � �

������������������������������ � ������� ������ ������������ �

������ ������ � ��� � � ��� ���� ���� ������ ������� ���������!�

������ ����� � � ������ ���������� ��� ����� �����!��� ��������

���� ������"���� ����������������������������������������!�

�#���������!�����#����'��$���������� ���� ���� ����� ����

�������%���� ����� ��� � �&� ����� ����

Последовательность действий, калькуляторДеятельность

'����� ���� �� ���� ��� 3

11

2

4

22

3+

−+

.

�5 *��� � ���� �� �� � �� �+��� � ��! �� � ��� ���#� ����� ����

� �� /��=����� ���>*������+���/����� + ��!>

�5 *��� � �������� ���������� �+���>

�5 "/������� ������#��!� ������ ��� ������� � ����'����� ���� �

�� ����� ���=����� ������ ���������� ��� ����?��� ����������

�5 @����� �� ���

Образец

"������� ���� �� ���� ���1

2

3

7

2

22

33

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

.

3��4�@���������� ����� �� ���� ��������� � ���#�A

12

3

7

2

3

3

2

3

7

2

1

3

7

2

7−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

66.

B�� ������ ����� �� ���� ������� ��� � ���#�A

22

33 1

3

3

2

33 1

1

33 4

1

3

13

3−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ + = −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ + = + = = .

$��� ��� ���� �� � ����� ��� ������ � �� ���� �� � ����� ���

���� ��� � A− = − ⋅ = −7

6

13

3

7

6

3

13

7

26: .

B�� ��� ������! ���#��! � ��� �� ���� � � ���� �� ��� � �������� /������ �� �� ��!? ��� A

12

3

7

2

22

33

12

3

7

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜

⎠⎟⎟ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎝⎜

⎠⎟ = −: 2

2

33

7

26

�����1�

7

26.

Образец

"������� ���� �� ���� ���− + ( ) − ( )57

93 5 2 0 23, , �

Page 34: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

32

Глава I

!*��M�������5�=�!� ����F��$������L����M������ ����������!���� ��L������P����������$������� ���;�������&��� ���

8C� 0 57

0 08 0 02 4

0 57

0

,

, ,

,

− ⋅=

U���F�8����������������� ��

�C� − + ⋅− ⋅

= =12 3 4 1 3

7 26 2 3 13

0

10

, ,

, ,�U���F�8�������������� �����

=������������8����������%��������������� �������� ���L�����!���� �L�!���$���P������!���M�&��� ��� �����!*��M������ 5�������� �����$������%���������%�������!� �$�������� ��� ������

"C

12

53 5 1

1

422

53 4 2

1

80 35 1

2

5

7

2

4

5

5

12

17+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ + − = + ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ +, : : , : ,

55

8

170 35

7

5

14

5

5

12

8

5

35

100

21

5

5

12

8

5

7

20

7

4

8

⋅ − =

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + − = ⋅ + − = +

,

55

7

20

35

20

32

20

7

203− = + − = .

C

3 75 21

2

21

21 875

23

41 5

2 75 11

2

10

11

3 75 2,

,

,

,

, ,+

−−

+

⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⋅ =

+ 55

2 5 1 875

2 75 1 5

2 75 1 5

10

11

6 25

0 625

4 25

1 2

, ,

, ,

, ,

,

,

,

,

−−

+−

⎝⎜

⎠⎟ ⋅ =

= −55

10

1110 3 4

10

116 6

10

116

⎝⎜

⎠⎟ ⋅ = −( ) ⋅ = ⋅ =, , .

!*��M�������G5�, ��K���������������������!��"���%�F��$�������������!�P���������M�������������!���$�� �����"�������

a )

, ... : ,

, ... : ,, ,

0 6661

30 25

0 12333 0 092512 5 0 64

2

3

1

3−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ =−⎛⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = +

+ = ⋅

:

, ( ) : ,:

:

1

4

0 12 3 0 09258

4

3

111

900

925

10000

84

3

111

900

110000

9258 1 8 9+ = + = .

+�//������������ ���"����1� H��M���L� !���$��A��� �"�%� ��$� ��� !��� �"����P���L�$���&��"� ���!�����$������������!� ��������%��%������������ ��������P ������������ ���"��$���!������!� ������$�����%��!� �$�����������������"������� ��� �������, �����M���L�!���$��A��������%���$� ���!����"������L����������!� �$�����������������"���������!�&���L������������8��"���$������$��������������� �������%��%������������ �������� ������!��8������k�������������������?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M�����������������������" &������!� ������ �������%��%������������ �������� ���L��"�"M���!��%�����������������n�=�!� �����!����� ������'#������������������

H�������V*�� $���� !� ������ ����� ����A����� ��%��%� � �� �����������$�������������������^*������$������������������"�$���"��L�$����������������������$�����������������%�����"�����

H�������VV X����!� ������ �������%��%L���������!���� ������%��$����P���������������

H�������VVV (������ ����!�� �������!� ������ �������%��%�������P���$����������������%�

H�������VW ������!� ��������%��%�����������"����!��"����A�����

Page 35: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

33

Рациональные числа. Элементы треугольника

Урок 1.8. МножестваC���)���1�����#���������������A�����$�������%P����"Q�����������!������������������E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%����"Q������������!���������������������K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?L�����������������B��� �����1�����%��$��

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� H��M����� ��!� �����$�������L�������������� ������H��� ��������� �P���������"����H ��������� �������8�����!� P����������������=�!� �������� ����L�����M�����!�����&��"Q��������L�!���P��������������L����8��Y% ���L��!���� ������� ��F ����������"Q����������

B����)��������#�>��*���[�E�������%����������%��%��������������\

*�������$�!����&����������̀ �b�c9��:��;��<��>e^�a�b�c:��?��@��<��Be^�j�b�c9��?��;��<}. H��� ���� �����M����� ������#�8��!!���N��!!��!������&�!����� ����� �P��&�M���������V�8��!!�[�̀ �a�b�a�`��VV�8��!!�[�B`�aC�j�b�̀ �Ba�jC�VVV�8��!!�[�̀ �a�b�a�`��VW�8��!!�[�B`�aC�j�b�̀ �Ba�jC��N��!!��!����� �&�������"��L���!���������"����������R��������"�����[�=������&����M������������K���� ��� ��������������� ��F ��������"Q�����������������������������[�n(A�[V\]^_VI]^[V<]^_�[V����G����K������������%������%��%���������������=�!���� ������� ��������L���!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� @"�$������ �"������� 8�$��� $������ >L� �� �"������� ����� �� U�$������=��(�8 ����� ���&L��B`C�b�+'^��BaC�b��)^��B`�aC�b��-���� ���������%L�!������&M�����$�����L��������� ���"Q����������������>���=��B`�aC�b��B`C�f��BaC�U��B`�aC�b�+'�f��)�U��-�b�-�� �����[�-�������!*��M�������5�H��M���L���!� ���A�����������!��"�8�L�����������������>L����M���L���!� ���A�����������!��!������L�����������������=��]C� (�8 ���� � ���&L� +� �� ����� ��!� �� �� �������� !�� �"���� ������ !���L� ����� �����U�� ����!��"�8���( ������ ���L��"M����� ����!� ���A�����������!��"�8�����f�+�b��-��� ������

26

Глава I

1.8. МножестваПереместительное и сочетательное свойстваДеятельность

D�������������=�����E�� ���" ���F����GHA

�5 "���+�� /� � ������� ��AI�J�J�IKI�J�

J�I�L������ � ��������#/������� ����>

�5 '���+�� M������ ������ ��� ����� /� � ���

�#N ��� ��� ��� ��� ���� ���� ��� D�� � ��� A

OFIH�OFJH�OFI�JH�OFI�JH�

�5 "���+�� /� � ������� ��AI�FJ�PH�FI�JH�PK

I�FJ�PH � FI�JH�P� "������� �� �� �� �#

/������� �����

�5 "���+�� /� � ������� ��AIQJ�IQFJ�PH�JQFI�PH����#����� /��

���� ��������=������E�� ���" ����

a

–3

k

t

b

c

p

n

11

h

r

e

7

–5,2

0m

AB

C

������

C��>����)�>����>��)��M������R������ ��I�J�P���� ������ ��!?� ������A�5 I�JSJ�I�I�JSJ�IF� � � ���� ���� ������HK�5 I�FJ�PHSFI�JH�P�I�FJ�PHSFI�JH�PF��� ��� ���� ������HK�5 T���J��IF�� ����� ���"��� ���������� �������� ���UH���

I�JSI�I�JSJK�5 T���J�I������� ���JVSIQJ����� �����������!���� ���U�"

���� ��������� �� ����� ���"������ ���UK�5 IQUS���$����������� ���U��������#����� ������������� ����K�5 I��� SI� D#N ��� �� ���� ��� U � ������ ���� ���� ��� ���

���� ���U�I����S��� � � � �� ���� ���U����������� ������� ������������� �����

Упражнения

�5'����� �����/� � ��������=������� ��ISWm� n� l� k� pX�JSWn�p�g�jX�

D�� � ��� ����� /� � ��� �#N ��� ��� � � � � � ��� /��� ���� ���

���� ����������� ����� �� � � � ���� ����=��������

�5L������ � ������������ /� � ������� ��������������� ����

��������������� �>*��� ��������!���������� ��������=������

� ��>���#����� �������?�!���=����E�� ���" ����

�5R������ ��U�@�Y���� �Z������������ [��������������� ��� �

�� ��!? A

\HI�PK �HI�YK

#HP�YK ]HI�P�YK

HOFIH�OFPH�OFYHK �HI�PK

=HI�YK �HI�P�YK

�H/� � ��������?� ���������� ���UK

�H/� � ��������?� ���������� ���@K

�H/� � ������� ��IQY�IQP�YQP�

AC

D

10

uf

82

g7

a

5

bx

������

Page 36: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

34

Глава I

"C�@"M����� ������!� ���A�����������!��!���������������'�U����b��#��� ������C���"����%���� ����!� ���A������������ ����!��!�������������L� ��������"M�8���� ��������� ����!� ���A�����������!���"����������!���[��#�U�+�b�+�B�� ����C�� � � � � � �����[�]C��-��� ����^�"C��#��� ����^��C�+��� �����

!*��M�������5�(�8 ����� ���&L��B`C�b��+^��BaC�b��'����B`�aC�b�)�?�8�����B`�aC�b��+�f��'�U�)�b�')��( ������ ���L��$����M����)��U�')�b�'��� ���������� ������������������ �L����������� � � � � �����[�'��� �����

!*��M��������5�(�8 ����� ���&L���8��!!���;����M���������$�������� &"�����!��L�������������( ������ ���L��"M����� �� &"�M�������������!����;�U���b��-��� �������B`�aC�b��-L��B`C�b��#L��BaC�b��;��O$�K���� ���B`�aC�b��B`C�f��BaC�U��B`�aC�!� �������B`�aC�b��B`C�f��BaC�U��B`�aC��( ������ ���L��� �����M���L� &"�M������������L���!����B`�aC�b��#�f��;�U��-�b�)��� ������ � � �����[�)��� �����!*��M��������5�@"�$����������$�x��� ����������+P8��� ����?�8������ ����;�f�x �������������� ���&���������������&��;��� ���������;L#x� �����������;�f�;L#"= b�B�;f�C�5�;L)����A���F�����������L�!� ������b�;�B�������C��?������"��$��L���� �����8��#;����M������ � � � � � � � �����1�#;����M����+�//������������ ���"����1� =�� ������ ��A����� $����� � �� �� ��� ��� 8��!!�� ��"��� �� � ����� ���M����� (� ��G��� ������� �����%� 8��!!�� ��� ��"����� ������&����8��!!����������$��������=�!� ������G�$������L�� ��������M���������!�������&� ��"��� ���M���� ���8�%� 8��!!�L� ��&� ��� ���"�������� ��������������H���� ������� ����������"����,��8������Y% ���P=�������������8 �������"���P$����������������%����������?��������������1�����������%�����%��%��������������L�K���� ����P����������F ��������"Q���������������L����� ���"�"M���!��%�����������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V *��$������%����"Q�����������!����������������^

X���������!������������A�����$�������%����"Q�����������!�P�����������������

H�������VV *����������!���� G���%�!���M��!���!������������%���"Q�������P������!���������������������A�����$����^��������� ��%��� !�����M����� �"Q��������� �� !���������� ���P���L�$�����������!������������%���8��!!�������

H�������VVV (������ ���� !�������� �� ��A����� $����� ��%��� �"Q��������� ��!������������������

H�������VW ��������� ��%��� �"Q��������� �� !���������� ������� ��$�����!��"����

Page 37: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

35

Рациональные числа. Элементы треугольника

Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания № 1

� H�������

1 �������!�A��������� ������� ��

2 *���� ���%���������������L�������&M�&�������� �������� ��

3 =��������������� ������� ����!��������"�����������$�������

4 (���������������� ������� ��

5 ����"��$��� !����������&� �������&� ���"�� �� �"���������&� ���"�� � ���"���������&����"����!����������&��������&����"��

6 ��A�������������

7 ��A��������������!��������%������� ��!��"���!���������

Page 38: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

36

Глава I

Образец малого суммативного

оценивания № 1

����E������� �� �������!���������� ������!�����G����L���"��!� ��� �����������������[

]C�− =84a ; �"C�1 3

100, ;�

a ��C�− =−3

415a;

8C�− =4 85

, ;a ��C�77 7=−a; ��C�− =

a23

46.

]C����"C�����C����8C�����C�����C����

����*�!�A��� ����� �� �L� ��"�� ��������$�����"� �[]C���� ������� ����L� �� ����� �����

�� ��[��������������������"C��������� ������� ��L��������� ���

�� ��[����������������=��� ���$�����������������[

313

435

1 7− + =,

����=��� ��� $�������� �����������m m

m

2 21 5�,

�!�� m�b�U_�.�������������������������������������������������������������������

����@���������� ���%��������L���P����&M������������ ���

U_�L'^�U_�L-^ 115; ;^�U_�^�3

12; ��L��

����*�%���� �������� ������ ������ $�P��������������[]C�̀ BU_#L7C���aB�L�C����������������"C�kBU_-C���lBU_�#C�����������������C�mBU_+)'-C����B7C����������������

����*�%����"L�� ������������������P�����>B��C���=B"C��������'����������������������������������������������������������������������

����,������ �� �� ������� �� !���������$������[

U_-^��L'B+C^��L-^�U_)L#^� 213; �^�U_�LB�C^�;L'B#C

����������$������[�����������������������������������������������

���*���� ���%����$�����������m���n:

xnm 0

(��������� ��Um���n.���������������������������������

�G���*�!�A��� �� ��� ������ ����� ��PA����������������U��~�x���#�

���������������������������������

�����*�!�A��� ���� ���� ��� L� ���� �P����&M��������������_x�U�'L�_��~���

���������������������������������

�����X��������!������������������������"��!���"��$�%�����"���������&����"�[�

]C��LB#C�b��������������������������"C�;LB��C�b��������������������������C��L�B-C�b�������������������������

�����,���������"��!��������������!����P������%��������%����"�[

]C�512� � � � "C�

89� � � � �C�

1645�

�����=��� ���$����������������%[

]C�

13

0 1 4

562 3

− ( )

( )=

,

: ,� � "C�

2 5 1 3 2 52 3 5

, , ,,+ ⋅− ⋅

=

�����i ���B`C�b���L��BaC�b��#����B �̀��aC�b�����L��B �̀��aC�b�\

������������������������������������������������������������������

D��� ��[��������������������O��[�������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

Page 39: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

37

Рациональные числа. Элементы треугольника

Урок 1.9. Построение биссектрисы углаC���)���1��������,� �����$���!�!� ��L��������������%�!��!������ ������$��L�"��������8� �������8� �����!���8���������E�����������"����1�����"������������8 ���!���M�&� ���%���������� ��K��������'1���������� �������"��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?L�����������������B��� �����1�O�K��������������

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� E����%� ���M�%�� ��P��������� ���� ��!� ���� ���� ����L� �����&� �����"��������(�!���M�&����!������������8� �+;������ ��� �����@(�!�!� ����������!� ������F�%��!����������� ���� �����!����������������������M����L�!������������"��������8���H��� �����������!� ������������"������������ �����$���������!��8��� ��P��%�!��8������������!�&�����=���8�L���!� �������� ����L�����M����!�����"��������8 ���!����M�&�����!��������R��������"�����[�H��� ����G���K������&���"���������!���$����������$P�����������8 ������"��������B����)��������#�>��*���[�E���������!������"��������8 ���!���M�&� �P��%����������� �\

��"��!������� ������������M������ ������!� ��������&����� ������H��� ��� �� &"�%����M�%�L�!�����$���&����� �L���8����!� ����F������ �������������� ��������!�&����

�� ��!����������!��������!�����������"��������8�����M�8��������� �������������������!���������H��M������ �����������$���� 8�����!��������P����!��������

=�!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������H��� ����$������������ ���M����� ��"����� ��� � $��������L� ������&M���� �������� �����8������M��8���� O!� �$��� ����������&� ����L� ������ ��8 ����� !���$��� !��������"���������8 ��+�//������������ ���"����1 ( �"��� ���M���� ��8�� $��������� �� !��������"���������8 ���(���������M������������"���L�!�������8���� ��������M������!����B �"�%�f�� ���%C��=��������!�������� ������"�������������������������!� �$����������M���������� ������?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M���������������M�������!���������!���M�&������ �L�!��������"�"M������

28

Глава I

1.9. Построение биссектрисы угла

Деятельность

�5 �������������� ����������������������������������������������� �

�5 �������������!�� �����"#������� ����!��$��5 �����%�����!�$��5 &���'������(����������!���&)����)��$� �$��5 *���&��'��������� ���!��$+

OO

OOB

BB

AAA C

C

3535°70

°

70°

35°

������

�����������!���!��������-�������/%��<������������/���&-

�����<�����#�����>����=����>?�

OO OB BB B

A

A

A A

D

D

DD

45°

Прямой угол Развёрнутый уголОстрый угол Тупой угол

OD – биссектриса: AOD = BOD� ��

45°

������@����������������'��������� ����� ������� ������������/��

A������!������� �B�����<���������*��A&������� A������������������� �B�����<��������/���%������������� ���%�����%�<��� ���� �

ЦиркульДеятельность N��������������#����'� ���*��?�P���#��������>#�1�5 ��!������ ������� �&� ������ � BA

O

�5 ��!����������� �B�����<����'-

���� �B���������!����

BA

O

Page 40: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

38

Глава I

����������n���������!����� ������'#������������������H�������V X���������!������"��������8 ���!���M�&������ �^

*������� ������������ ��� �"��^(����"������L�������� �����!�������������8��L������������������!��������"����������������

H�������VV *������������!������"��������8 �^i �������!�����"��������������L�8�������"�F����������������������8 ���

H�������VVV ?���������"��������8 ���!���M�&������ ��H�������VW ?���������"��������8 �����"��������������� ��

Урок 1.10. Биссектрисы треугольникаC���)���1 ������� X���� �������� F ������ ���P8� ������������A���������������L�8���������������$��"������E�����������"����1�X�������A�����������"�P������������8� ��������8������������������$�"P�������K��������'1���������� �������"��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�E����%����M�%����������P��� ������!� �������� ����L������&������"�������H��M��������$��&L����������"��������8� ���(�8� ���� � ���&� ���� ����� "������� �G���8� ��� ���8� ������ �� ���� ������ � !�����M�&������� ��� �����!�������@!���� ����������!����P��������"������B!������8� �����C��,����������������M�������������!���� �����"�������

B����)��������#�>��*���[�E�����!� �8�&��"�����������8� �����\

, ��!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� =� F��� $������� �����%� ���M�%�� ����� !���$�� ���%� ���P�8� ���%� ���8� ������ (� !����M�&� ����� �� ���� "������� �8 ���� O$������8������&�������8 ��L���$���A���!���!��������"������L���!��������������!���������@!���� ������������!����������"�����L������G��� �������!��P�� ���� ��$��!����� �������8� ������!*��M����� ��5� *�� ������ �������L� ������� �� $������L� �� �����8�� ���8� ������>=EL�=(/L�l>(��$����&���8 ���!���M�&����!�������@!���� �&����������8� ���X�!����&����$������"�����[�̀ lL�amL�jk�+�//���������������"����1�I� ���"��$��L���"�� �"������ ��������M������P

30

Глава I

1.10. Биссектрисы треугольника

БиссектрисаДеятельность

�5 ������������� ���������������������

�5 ������������������������������������ !�����������"#�$��%�

�5 &!����������������� ������������������� !�������������� �-

���'������������������!�� ���(#)�*�

�5 �����'���� �+�������!�������,�(#�)��.�&!��������������,

��������� !�� ��&�

�5 �����'���� �+�������!����,#��������, ��/���,�������������

`����#�����> ������������ ���� ���� ������� !���������� ��!���

����������������#���0�� ���� ��/���1��-

������������������� ����'�����������

2 ������������ ������ ��� !��������-

��3�(#�)#�.4#�������������� �0���

����� & 3���� 54� 6��!� �������# ��� 0�����

������� � ��� !������������# 0����������������#����$"78�%"7#�"$)8�%$)#�$%*8�"%*�

A

B

C

MK

N

O

������

Упражнения

�5������������� ����������������!�������������� ������������#

���������������� ����������������������� �&��0�����������'����

�������������� !����������

�5��������� !���������� �. ������������ ��� � ���� ����� 59:;�

�$859:<���0������0������������� ��.���.�

�5=������������(&)����!����������&>�&��0��������0���������

���� (&)�)&>#�����7?@8DE<�

�5���������D���0�����������������������������.#��(#��)�

2��'����� ����������F��/���!�����������

������A

B

C

N

M

K

O

AA

B B

C

C

N

N

MM

K K

O O

Page 41: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

39

Рациональные числа. Элементы треугольника

"��� ����!������=�F��� ����� �"������M������8��� ��A���������$� ���L�������������M����K������&���������������%���"���J����'%��#����'����)������������������[��=�$��������!�������L�������%������"����������8� ������!��������!�����!� ����&��������X��������������������� �����L�������M���� ������"Q�������������8�L����8 �������������L��������!��� ����!���!����������"��������!�����!� ����%������%L����L����"��������� ���8� �!�!� ��������?��������������1�@"�"M���!��%������L����� ���MG���$�����������������������M������ ����������8� �������G��"�����L���������!��������������$��M������GL���$�����������������8� �����L����������8� ����������������n�O$�"�������!����� ������'#������������������

H�������V*��$���L�������!� �8�&��"����������8� �����L�$������������$�"��������^*�!���� �����$�"������"����������8� ������

H�������VV X���L� ���� ��!� �8�&�� "������� ���8� �����L� �$�"�����L���!�������!���� G������A�"���

H�������VVV X���L�������!� �8�&��"����������8� �����L������� �����$�"�����������

H�������VW (������ ���� �$�"������ "������� ���8� ������ �� �"Q�����!���� ������

Урок 1.11. Медианы треугольникаC���)���1��������X������������F ���������P8� ������������A���������������L�8�������������������$�"������E�������� ���"����1 X���� ��%��� ������� ���P8� ���������8���������������$�"������K��� �����'1� ��������� ����� ��"��L� ��"��� ��8��!�!��J���)�����'1���$8���������L��"��������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� ����������������L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'[�E����%����M�%���������P� ������!� �������� ����L������&������"��������,���"Q����������M����!�����������������8� �P����L���!� �����!�����!������������������(�P����� &"�8�����8� �������� ��� ���%��%�!�!� ����������������������$�������P������!�����!� ����%����A���%��?������"��$�������������������8� ������

B����)��������#�>��*���[�E����������A������������������������������L�������������������\

(��� �&�!����������� ��������L��!���������p����$����"�������!� �����8��!�!�P���� E������ 8��!!�� ���� �������� ����8�� �$� ������ ���8� ������ �� �"Q����L� ���

31

Рациональные числа. Элементы треугольника

1.11. Медианы треугольника

МедианаДеятельность

�5 ������������������������

�5 G������� � ������ ������� ������� ��� &�-

�������+ ����0����������&!�������� 1�� �����

!�� ��.�

�5 ���0������������� ��/�����������.�

�5 G�������0�����������������������+����0�-

���������H��������!��������!�� ��(����0������������(�����-

���3����54�

�5 G������� 0���� ���������� �������� �+ ����0��� �������H�� �����

�!��������!�� ��)����0������������)���������

�5 �����'���� �+�������!�������,�)#�(��.�

A

C

B

M ������

&������#���0�� ���� ��/��������������������0�������� ���'�-

����������#���� ���� �)����>������������3����54�2����������������

�����0����3�I#�>��J4�������������� �0��������3�����&43����D4�

A

C

B

T

F

P

O

������

������!��'������ ����������#

��������� �� ������� ������������#

��������� �0����� ��� � ������-

�� ����� ��3����D4�

6��!� 0�������# ��� ������� �I#

�>��J � ��� ��0��������������L

����#0����������������#����I8I�#

�>8>���J8�J�

Упражнения

�5�������� ���� ������ �������������# ����������� � � ���������� ����-���������G������ �������#�� �0�����0������'0����������������

�5�����������������.#�(#�)P��0��������0������������������L

�������#����Q�)8R��#�.8D#E��#�(8R#D���

�5������������������ �0�����0�����.#�(#�)����0����������

���������������#�����(S�.S)�8R9#E���

�5���������� ��!�0�������������������().�� ��ET0��U���0��������-

��� ()!�0���� ��5V#90�#����������������0����!�0���0�����!�-

�� ����������� �0+�����������0������3�� ��0���� ����������,4�

Page 42: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

40

Глава I

���������������� ��!�����!� ����&��������*�8 �����!�����������������P8� �������������!���M�&�����������%����������?��������������1�@"�"M���!��%������L����� ���MG���$�����������������������M������ ����������8� �������G��������L���������!��������������$��M������G���$�����������������8� ���������������8� ����������������n�O$�"�������

!����� ������'#������������������

H�������V *��$��������A������������������������8� �����L�$������������$�"����������

H�������VV X��������A������������������������8� �����L���!������!��P�� G������A�"���!����$�"��������

H�������VVV X���� ����A����� ������ ���������� ���8� �����L� ������ �����$�"�������

H�������VW X���� ����A����� ������ ���������� ���8� �����L� ������ �����$�"����������"Q�����

Урок 1.12. Высоты треугольника

C���)���1��������X������������F ����������8� �P����� �� ���A����� ������ ����L� 8����������� ����$�"�������E�������� ���"����1 X���� ��%��� ���� ���P8� ���������8���������������$�"������K��������'1���������� �������"��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� H��M���� ������ ������!� ��&����� ����L������&������"��������"��!��������������8� �����L� ������$����A������!�����!� ����%�������!������!��!������ ���������������!��!������ �����!���M�&��8� ���������M����$��&��$��������WV�� ������F����!�����!� ������F�8��$������������� �����"�����!� �$������8� ������H��� ���� ����!�� �����$����"��%������8���������L�!������"�����������$���!���M���������!� ��������P�� ����� ������!� �$���������8� ���%����8� ������

B����)��������#�> ��*���[� N��� �� $�������� �� ����� ���8� ������ �������������!��������������� ��!�����L�������������!� �8�&��F������\

, ��!����������� ������������M����� ����� ��������8��!!��

32

Глава I

1.12. Высоты треугольника

ВысотаДеятельность

�5 ������������� ��������� ����������5 ��������� �������������������-

�������������������������������

��������

�5 !��� �����������������������-

��" �� � �� �������������

�5 ����� �� ����#$���� ������������- $�� �$�����$������$�� ������%

�5 ����$�� ��$�#��#"��#�&'(��&')%

A

CB K

*����� ����#������ +����������������� ���������������-

�����������+�� �����"����������#�'����>���� ������,����./�

0���� �������$�"��#�������������������"��#� ������

,����./�1�������������#�������� ����������2�� ������$���

3������������������������4� ���� �����������������$$���-

� ������� Деятельность

A)�*�����#�P����'���'������ ����� ����� �����#�b�5 ������������� ��������� ��������,����5/��5 ������������� ���$� ������������ ���-

�#��������������������

�5 ������������� ���$� ������������ ���-�#��������������������

�5 ������������� ���$� ������������ ���-�#��������������������

�5 !��� �����������������������"��#������

A C

B

N

O

K

M

������

A C

B

F P

O

H������

*�� ��3������� ����� ���� ��-

����� �������# ���� ��#$� ������ ��

$���� ����������# ����� � �����

���� ������,����5/�6�3� ���������

�������������7#��#"��#�����$�

���� ������� ����������������

(8��&)�&9��()�)7��&(�

Page 43: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

41

Рациональные числа. Элементы треугольника

V�8��!!����!� ��������&����� �����B!����������������8� ���8������8� �P����CL�VV�8��!!��U����&����� �����B!������������!�����8� ���8�����8� ���P��CL�VVV�8��!!��U����G��&����� �����B!�������������!��8� ���8�����8� ���P��C���� ����!� ������$�������8��!!���L��� �A���������������L��"��������������!� ������������!����������� �������8�� �����H��� ���� ���������L���"����"�������%�8��!!���"���� ����� �A����"� ����������������������������M����=�!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� O$� ���A���� !����8�� �8 �� !������8� �P��8�����8� ���������������L�����������"����������Y��F �����L�!�����G������$������%�����A��������8� �P����L���������!���� G���%�!�� �������� ���������!�P�����&����M�����!���� �&L���������"� ����������L�"������� �����8�� � ������ ������L� �� �������� � �������"����!*��M����� ��5� =� ���8� ������ >=(� !������� "������� >?L� ����� =*� ����������(/������ ���������������!� ��������!�����G����[]C�� ��>?�"������L��L��a �̀�b��j �̀�"C�� ��(/��������L���=/�b�>/��C� � �� =*� ����L� �� ���$��� =*� �� >(�!��!������ ����[�a����̀ j����������������� ��������������������!��� �������L�$�!�A��[]C�� ���a �̀�b��j �̀L���̀ ��U�"�������"C�� ��ak�b�̀ kL���jk�U����������C�� ��a����̀ jL���a��U�������E�������$�F���!��� �����%�������!*��M�������5�=����8� ����������������>/�U�����L�>��U�"������L�>E�U�����������=�!� ���� !������M��� $������L� ���M���� ���� F���!���� � ��� *����������������!���� ������"���������$�������L����M������8���"�������������������������%�+�//���������������"����1�(�8 �������� ��������"�����������������$P�������������8� ���������������!���$����L�������M����$������&���������P�����������!���������������!��8� ���8�����8� ����������F�%�!�������� ��!����$� ������"���������������$�� ��������8��!!�����8��!!��U� �"������M����U����������!�����8� ���8�����8� �����L�������8��!!��U�����������M����U�����8� ���8�����8� �����L������8��!!��U�� ��������M����U��!��8� ���8����P�8� �������E������8��!!��!����� �����&���"������ ����H��� ���������������������������M�����"������$�� �����!���!������������?��������������1�@"�"M���!��%������L����� ���MG���$���!����������M��������� ����������8� �������G�����L���������!��������������$��M������G���$�������

A

M

B

T

CH

Page 44: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

42

Глава I

����������8� ������������� ��$��!���� �������8� �������iMG���$�!���G������L�������!��8� ��������8� ������������!�M�������$����A���������8 ��������������!���� ������!��������!� ���������������������n�O$�"�������

!����� ������'#������������������H�������V *��$������%����������8� �����L�$������������$�"��������H�������VV X������%����������8� �����L���!������!���� G������A�"���

!����$�"��������H�������VVV X������%����������8� �����L������� �����$�"������H�������VW X���� ��%��� ���� ���8� �����L� ������ ���� �$�"������ ��

�"Q������

Урок 1.13. Аксиомы

C���)���1� ����'�� �������� !������ ������L� ��P�����L�!����%�����������"����%��������E�������� ���"����1� @�$��G� !������ ������L��$� �8����������! ���������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1�� ���L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�>$��"�%������%��$����������

O�)���#�1H��M����$��������F ��������8���������� ��PA��� � ����� X��&� !������ ����L� !����%L� ! �P���������!� �� ����$����$�������*���$������������������������N�������#�*�����'[�=�!��8��� ����%���������� ��!��8������k���������������������!��$�������$�!����&�� ����R����SL�R!�����S���R! ����S��

Прямая Точка Плоскость

?? ?

??

? ?

? ?? ?

?

H��� ��!��� �8������M��������$�����G�����������������!�������=�� �PA���������������M�����"��$�"��������F���!����%L������$������L���%�����H��P� ��!�����������M������"������������$��������!���� �����F���!����%��=�P ��A���&����������M�������R��������"�����[�H��� ������������������������M���L����F��!������!��P�����&�� "�$� �!���� ����� �� �� �&�� !�������� ������ !�������� ����������

35

Рациональные числа. Элементы треугольника

1.13. Аксиомы

АксиомаДеятельность

�5 ��������������� ������������ ���������������������������-���������

�5 �� ������������������������ ��!������"��� �#$����%�����������������������������������

�5 ����������� ������������ ����&�����!����� ��'����(�!� ���-�������)���� �����%������*��������+�,���������������$

����������&����������� ������

.�� ����������������������/����� 0�����������"�!� ������ �-

������� ����"���������1������!�����"���������*��%�����)!������

�������������� ��� �����% 2� ����� 345678 �� ��) 395:;5678�� ����<�

.�� �������������� ���������������)����,�������'���� �,!��"

*�� ���� �� ��%����*��"�������������,�$������� �����!�����%)

����� ������ �

�*��)������ ��=������ �������� ������>���� ������ ������� � �� �-#$��������"�� ������%�?��������� ������� ����!��������!�-

$����������������)����������$����������� ��D�"#�)*����)*��S�#���� ����$��� �������� � ������� � ��� ������ ��%���� ��������"������%����,�$�������� � ��

@#����8 ��� ��������������,!����)������������ ��������!������������� ����3����� �7��������������������3@DEG6E7���������3�����,!����7�

&����������� �����������0����!�����%�����3������7)�������-

��%��IJJ���!���'�%*���

.�� ������ �������!���L*����������������������?���� ���������������������������"���%����)������� �����8����������������

��������"���%�����

Q��� ���� �������������� ������ ������

R �� ��,!�% ��� �% ��#�����$� �����) �����!��,�#�� *��% ��� �%) �

�����)�������!��,�#���%^�#����*����)��M�����V.R S����!�������������������"�!���!���������!����� ��^�#����

*���>V.

Образец

aC

A MB

D M N

m

A�a%[�a%c�aD�a%f�a5

=������"#�J�2*��g�)��*����m5

Page 45: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

43

Рациональные числа. Элементы треугольника

,�G�����K���������"��!���� ����L�������L���$�� ���������� ���%� �����8�����P���L�F �������! ���������������������

B����)��������#�>��*���[�E�������������� �&�����������! �������������������!������&�\

, ��!����������� ������������M����� ����� ������#�8��!!����8��!!������&����"����� ��������!�����G���������������

���E������"�����"� ��!�����L��M���&�����L�!����� ���M���F�%�!����%L�������L����!����� ���M����%�^�#����*����)��M�����V.

�������$� &"������������������!�������������� ���������!����&�̂ �#����*���>V5

VV�8��!!������&����"����� ��������!�����G���%�������%�

hO$��G������L���!� ���������������%�!����%L��������� ��������� �������������������8����^�#�������*���M������"�#��*���>V5

�VVV�8��!!������&����"����� ��������!�����G���������������

•��E����%����$��������� ���L�� ����&����� �L����$��������!���� G����������������� ����^�#�����������������#�V.

•��, �������$��������������� ������$���L����������������$"������ &"�%���������%�����%�^�#�������M���������#��V5

VW�8��!!������&����"����� ��������!�����G���������������

���E����%��8� ������8������&�����L�"� �A�&��� �����$�G����%��8� �������180° ^�#������������� ���V.

���N��������������8 �������������8�������������8 ��L����������������$�"�P��������������� �����^�#�������M����� ���C�

@"Q�����F��������L����M���������%�8��!!���� �����������"�������������!���������=���"����� �����������"�������$��������$����"������E������8��!!��!����� �������������$������L���!���������"��������

*���������������"Q���&����������� �����!����%L���������� ��������$��L���������� �����! ����L���������� ������8 ��!*��M����� ��5� =�!� ���� F�� $������L� ���M���� �"����&�L� ��� ��� ���� @>� ����� ����������@����������� ������$���@=L�@/L�@E���@�L���������L'��L�#L���L��L-� �� �� 'L�� ��� ?����� =L� /L� E� �� �� ��� ���� @>� "���� ��!� ������ �� ���&M�%�!� ������ ����[

5 1,

5 1,

O O

K

K

M

M

P

PA A4 2,

4 2,

B B

2 5, 2 5,3 8,

3 8,

Page 46: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

44

Глава I

i ��!������$�����������������@�;�B�� �CL������������%������=�"�����L'^������ E� U� �L-^� ����� /� U� #L�^� ����� �� U� 'L��� ?�8��� ��� ������ !���� �� �������������������������������������[

ak�b�#L��U��L'�b��L+��^��k�b�'L��U�#L��b�;L7��^�a��b�'L��U��L'�b��L)��������[��L+��^�;L7��^��L)���

J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1� ���M�%�� �� ���� ������!���� �����$�������������������������������������������������������%��� ��������$����H��� ���� ���������L���"�����M�������$�"�� ��������L�����$���� ������� ��!������������?��������������1H��� ��������!��������������! ��������L�����������������������M������������!� �$�����������������������n�@�$�����

!����� ������'#������������������H�������V X�������������$������!������������^

*���������������������^��������������!�����������

H�������VV @�$��G� !������ ������L� �������� ��������� ������� ! �����P���L����$�������������$������������^=�������������L����$���������!�����������!���������

H�������VVV =����������"Q������������! ���������H�������VW @"������������!��������!����"Q��������������! ���������

Урок 1.14. Теорема. Прямая и обратная теоремыC���)���1�����'����������!������������L�������L�!����%�����������"����%��������E�����������"����1@�$��G�!������������L�!����%����"����%��������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�>$��"�%������%��$�����������

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� ,��� ����L� ������� �����"�����L���!� ��������M������=�F�����������P� �� �� ���� �����L� ��"�� ���M���� �$ ��� ���!������ �����������������8 ��L�!��%������������ )�� ����X�������� ���"��M�������!�����RE������ ������ �"������� !���� �� �� ��L� ��� �������������8 ����������-;_�\S��=�� ��A���������������M�����

38

Глава I

1.14. Теорема. Прямая и обратная теоремы

Теорема, условие, утверждение, доказательствоДеятельность

�5 ����������� �����������������5 �������� ��������������������������� ����������������������-

���� ������������� ������

�5 !�� �����������"��������#������������ ��$%&'���������� ���

� ��(��)�

D������ *� ���� ���������� � ��(��#� ��� ��"���"� ���+������ � �()� ����� �������� � ������(���� ��� ���� � ������ �� �-

�� � ���� �� ��(�����,��������(��)����� �/�)�)�#�������������01�����2�*�(� ����������� �#��������0(������"� �#� ���)(#������

����)2��1���������������( � �����#����� �/3� �)�.�������,���.��S#�P"����,��!��"�����#� �����/3�)�(����#����� ��)����� ��#���

���"#����/3�)�(������"� �#����� ��)�� ��(����

!�����������'

!����M)���������'

+�#����������������'

Свойство смежных угловТеорема

������������� ��������������!�����������'1�456����657�

�����������

!����M)���������'1�456�8��657�9�:;<&�

+�#�����������1� =�� ���� �/� ����� (���������������:�������457����657��������=��

���(���/������ ����� >��(������������3�)#�

��(������������������/���)��/�����/��?����#�

���*���)��)�����(�������*���� �������������1��(��

������� ����������������������� �����9:;<@�

=�� ���� �� �������� ���� � ���(����)� ���� �����

���� �� ��� ����� ���(���� ���� ���� � �������� �

����(��������������� ����������������>

�457�9��456�8��65E�9�:;<@��1������������#�������

���(���� ��������� ����� ��� ���:;<@�

0�)�����"����

=����%�����P?��)�#�����������

+�#����������� ��'"�� *��S��)����)����*������1�5!����M)���� �����' �'S

��)�������L������>*��L�� �"��#� ������M)����5

�5+�#��'������*��L�����S�� �*��)*���M����5(;�����"��*��)*��� �����%"�������M)���������'���S��"��% � ���� *���"��������������%*��������"�?�>������P ��� ������"�S�#�� /�#��% �� �������#��'������)�#������>5

�������OA C

B

Page 47: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

45

Рациональные числа. Элементы треугольника

��R��������"�����[�H��� ����G���K������&���!�������������L�� ����L�����P�������� @"Q����L� ������� !��"���� !�������� ����$�� ����� ����� �� ������P�������������������8 ���������������������������@"��������������M��������������L����� ���"Q����L������!���� ���� ������������������F�%����������,���$�� ���� ������� !�������� ���M����� ,����� �!���� G����� ���!���� �����L����� ���� �����������8�L���"�����M����B�������8��!!C���� ��������$�������P��������X���������������������������M�����!� �$���������%������$��G�����8���8 ������������� ������8 ���/������8��!!��� �A���������������������

*�� ���&M��� F�!�� ��!� ����� ������ ���� ����� �� �� ������� !��� �������B����� ����������������8���!��� ������CL�!�������������� �����������������L������M��������$�������"����������!��� ��������X���L�!�������������� ��������P���������������������������������8 ��L���$�������"������������[�RH8 �L��������������������-;�L��� �&���������SL��� �A����������������M�������������o�����������F�8��!��� ��������,��� ����������"�����M�� ������8��!�!���

, ���������8��!�����������������������!���M�&����!�&����!�������������$�����"����������������"������8��"���!����� �����������!��� �����%�B� �� ������ ��&� ��$��L� F�� �� ����&^� � �� ��"��� �� ���������� "�!���%���! ���&L���$������$�� �������������C�

H��� ����G���K������&��"��"����%��������?����� ���� ����L� ������� �� ���"����L� ��!� ����� 8��!!���L� �!��������

!��%�����������M�������WV�� ����� ��%��������� ������8 ����X������%����������� ������8 ���������������������������,���$�� �����������!������������M���L� !��� G����� ��� 8��!!��� H��� �� ������� ��� ��������� ���M���L� ��"��!��������$�� ���������!� �$��� ������������������������8 ���=������������8����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5����� ������L����������F���$������L���$������������%�?��P��A���H��M������8 �������8���"������L����!�����L�!������&M��� &"�&����������8� �����L������!�������� ����������$����A������������8� �������

=� ����L���8���!������!��� � ��������%��$���������8� �����L��"Q���������P���������[���!��� � �����!����������"M�%�������i ��!������!�����G����8����������������8� �����L���F�����!�����L����������

=���������"Q�������F�%�$��������������������������*���������?������P���!���������!���M�&����!�&���[�!*��M��������5�@������������A����[���*���5��� ��%�������������������"� ��

@��[�;L'���� ��';��L

1

2 B$�!������������$�������������"���C

70140 70 140 0 5

PP P≈ ⇔ ≈ ⇔ = , L

+;o�#;�

Page 48: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

46

Глава I

i�*���'>����������������������5�*�!� �����������8��"��� ���&M��[X��������!����������!���� ������K���� ��!���� ���L�������������%��������"� �

!� ������ ������������"M��������$����*�!�����[

70

P�|�#;

��B�����������!���� ���L�����������CL

70140 70 140 2

PP P≈ ⇔ ≈ ⇔ =

��B@�����������C=� ���&M��� �������������!����������*�!�����[��@��[�+����B� ������%P��"�����������%����C����A��������������"M�����������*���1��� ��%�������������������"� ����� ��%����������"��� ���&M��[���@"�� ����� ��!����� �����[� -7L)� �o����L� 'L�-� ��o�� � �� -7L)^� 'L�-� B$�!��� �������

�$�����������"�$�� ���C�����" ��G�������������&��!���� �����[�7;��o����L�'L#���o��� ��'���o�������

j����������*��)��L����"������)�"�%�����������������������5*�!� ��%����������"��� ���&M��[��X��������A���L����������������������o������ ����o�����i��������$������������8���$����������$���L������L������8�8��U��������L�� �����"M��

������$���[��C�-7L)��o����L�-7);���o��� "C�-7L)^�'�+)� �C�-7L)^�'�L+)� 8C�-7L)L�;L;-+���o�� �C�-7L)^��L#7���o��������

��������A�����$������!���� ���L����������$������������������������������������ ��������!���$���L�������$�������!���� ���%L����8�%�����

�A�"����%�j�����#������"������)�"�������%������������������������5=�F��� ��������������"��� ���&M��[

*��� ����A�����$������$�!�����!���� ���L����!���� �����������A����� �����A�P����������L�!���� ���8����������

,��8����������!� ������������A�����������������;�"� ���+�//���������������"����1�H��� ���������������"����� �������P

��������������������8�����M�8����=�F�����"����� ������&����$����!���� �P�����������G��$�������������� ��F���!��� �����%��"���������!��� ��������(� ���������M������8��������"����!��� �����������?��������������1����������$����������!�������������L�!����%����"����%��������L����� ���"�"M���!��%������������������n�@�$�����!����� ������'#������������������H�������V X�����������$����!������������L��"����%�������^

*����$��G�!������������L��G�� �����������������L�����$�� ���^*���������$ ������ ������������������������^*���������$�����"����&���������������

H�������VV *�$����� �"����&� ������� ������L� ��� ����� �!���� ��� �G� ������o���������^X���������������$�� �����������

H�������VVV (��� ��� �� ����$����� �"����&� ������� B!��� ������C� ������� B� �� &"�8��!��� ������C�

H�������VW (������ ���� ��!� ���� ����$�� ���� ������� B!��� ������C� �� �"P����%��������B!��� ������C�

Page 49: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

47

Рациональные числа. Элементы треугольника

Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания №2

� H�������

1 ����������������! ���������

2 X����!����������������"����%�������L���$�����!��� ������L��"������$���������!��� �����&�

3 (����"��������8 ��

4 (����"����������8� ������

5 (���������������8� ������

6 (������������8� ������

Page 50: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

48

Глава I

Образец малого суммативного

оценивания № 2

����*������� !���$�� ���&� !����&� �� �������� ��� !����� ���M��� �%� �����>���=�������"��$��L���"��F������������ ������"� �[�]C�������%����%����!� �! ����^�"C�����$����!� �! ������

aa

a) б)

����*�����������������!���� ���8����P��&�������8 ��ksl��

M MO O P

N K

44� N

�ksl�b� � � �ksl�b

����=�����8� ������>=(�!�������������P����>EL�=/���(l��*�%����!����������8� ������ >=(L� � �� >/� b� '� �L�=l�b��L)��L�(E�b��L����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����*�����������������!���� ���8����P��&�������8 ��>@=[

D DO OB C

C BA A

45°62

°

a) б)

14°

������������������������������������������������������������������������������������������������

������������ ���8� ������ �� �� �8���8 ����������������'�L�#'�����;���*�%�����8 �����8� ������������������������������������������������������������������������

����O!� �$����8� ����L�!���%������������8�����8� ������/lE�

M K

N

����O$����A����=����8� ������>=(�!��P�������������������>(�

A C

B

�������%���8� ���-;����!���%���8��"�������

D��� ��[���������������������O��[������������E� ������!���� ����������[������E� ��������!���� ����������[�����@�����[���

Page 51: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

49

ГЛ А В А I I

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

C���)��� !"������)����� D�� =��'

1.2.2.

A���

�$$

5C��

*���

��

����

����

'

*�#

����

���

5C

��>�

���

#��

��;�

����

���

���

����

�#��

!��#�5�5 (�!���������� �����!���$�� �� �

1.2.2. !��#�5�5 ����$���������!���%������������������������ �

1.2.2. !��#�5�5 @��A������!���%������������������������ �

1.2.2. !��#�5�5 =�$���������!�������!��� �

1.2.2. !��#�5�5 =�$��������!���$�����������!��� �

1.2.2. !��#�5�5 @���� ������8���������%���� �

1.2.2. !��#�5�5 =�$������������8��B���"�C����!��� �

������L�1.2.3.

!��#�5�5 =������������!���&������� �����!���$�� �� �

1.2.5. !��#�5 5 D���� ��!���8��!�������8����� �

1.2.5. !��#�5�G5 D���� �� ����8��!�������8����� �

@"��$����� �8����������8�������������p�� �

3.2.2. !��#�5��5 E��8��F��������8� ����� �

3.2.2. !��#�5��5 �����%�!��$�������8��F��������8� ������ �

������L4.1.1.

!��#�5��5 =���%�!��$�������8��F��������8� ������ �

3.1.1. !��#�5��5 (��%��������"������������8� ����� �

3.1.2. !��#�5��5 ������������8� ������!���G�������� �

3.2.2. !��#�5��5 ?���%�!��$�������8��F��������8� ������ �

����������"� �

@"��$����� �8����������8�������������p�# �

@"��$���"� �A�8����������8�������������p�� �

Page 52: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

50

Глава II

Урок 2.1. Степень с натуральным показателем

C���)���1�������������������%����!���������� �����!���$�� ���E�������� ���"����1 ,���������� $������ !����P����!���������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K��������#����

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� H��� �� ��� ����� � ����� F������� ���!�&���� !����� ��� $�!��� a2 �� a3. (!���A����������������M�����"�F���$�!������$�P!������� ��� ����� ������ � ������� ������������X������!� �����!����������� �����L�������������"������*������������ �����!������������������"���� ���!������ �&�����K�8�����������������"���� �M�����������L�� ���������������8����� ��������������$���������������������������L�!��� ������ �����������������)L�! ��M����"� �A�8�����������������)��������P�����������������!���� �L��"Q�����"���� ���%���"������� ���������$���������P��������"������������� ���������"���)#��( ������ ���L��"QG��"� �A�8����"����� ���)#���"���������������

,��������������%����� ������� ���!���M�&��!��"����$ ����������!����������� ��!����� �����������!���$������������������������� �%��

X������!� �������������� ������,�������� ��!����� ������������������$������� �8�������=� �A����������������M������$�!���a�g��;nL�!� ������%�����$� ����!����� �������������!������$����������������R��������"�����[�H��� ����G���K������&����M������!�������!�������P���� �����!���$�� ��L��G�$�!�����!���������@"Q��������M�����������&�$�P!����� ��

B����)��������#�> ��*���1 ��� ����� �!���� � ����� ����� !���$�� ��L� �����!���� �����G�������������!���\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5

8C� 3

4

81

256

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ; �� � � �C� −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

4

5

64

125

3

;

42

ГЛ А В А I I . СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2.1. Степень с натуральным показателем

Степень, основание – anДеятельность

�5 ��������������� � ����������������������

�5 ���������������������������� � �����������������������

�5 ��������������� ������������������������-

�������������������� ��������

�5 ����������! ��!������������������

�5 �����!������������!� �"!�������������������

�5 ���������� ����� ��� ���������� ���������

�!�����������!#"��!��

�5 $� ����� ��"������������ �����

Деятельность%����� ��&'�('(�')�'*�*�

�5 %������� ���������������� ������������+&,*.*/�

�5 0� �������������������������7������9�������������+&,*2/�

�5 $� ����� ��"���������������������������������������:�

<����� =�� ��a ������� �������������n+n >�/�������� ?���-

���������n�������������������'������������������94�9n�@�� ����������� ?� ��������' n ���������� ����������� ����� =�a a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... sayda

� �� ��n ���

0�������������?anC«���������B�����B#������&� ������C�

$��� ������������? �������������� ?�����)��������*���.

<����� �� ��a ����������������a�a1,9�

Образец

$��� ������������ ������C*5D2

5

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ; +E�/7DG4D+EH/4.

3��4 *5,*.*.*.*.*,I�*D

2

5

2

5

2

5

2

5

8

125

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ⋅ = ;

+E�/7,E�.+E�/.+E�/.+E�/.+E�/.+E�/.+E�/,E�D

G4,G.G.G.G,GD

+EH/4,EH.+EH/.+EH/.+EH/,I�G��

Page 53: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

51

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

�C� 11

3

4

3

1024

243

5 5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ; �� � GC� ( , ( )) .1 5 1

5

9

14

9

196

81

2

2 2

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =

!*��M�������5=�F���$���������$Q������!���� ����$�����������!�����!�P��M�&��� ��� ������I� ���"��$����!� �$������� ��� ����!�����$�����������P!�������8�$���������� �]C�#L��3 ��#L����b�b�)7L7�#'�-���)7L7^� � � #L��3 ��)7L7��"C�BU_;L+-C5 ��;L+-��b�b�b�b�;L�--+�+#�)-���;L�^� � BU_;L+-C5 ��U_;L���8C��L;-3�[��L')�b�-L77-7���[��L')�b�'L+)-'B�C���'L-���C��L)+3�g�#L+�b�#L)'+#)��g�#L+�b���L-7;;+)������L7��C��L+�5�g��+L#���#�'#L7��$C�B�L�7�f�-L;'�C3�b�7L�#�3�b�-�'L�;#;����-�'L��!*��M�������5�X�!� �����" ���L����M������ �����"��M���������������!����P��&M������K����!���%�������������������>�� �$�����F����%��L��!������ ��P�L����!� ��������K���$������%��!���%��������������L��L�+L�-L�!������������$���������#�!� ������ ���������� ������!���[�C��1�b��L�� �2�b�#L�� �3�b�-L�� �4�b��)L�� �5 = 32.�C��1�b��L�� �2�b�7L�� �3�b��+L�� �4�b�-�L�� �5 = 243.�C�-1�b�-L�� -2�b�)#L�� -3�b�'��L�� -4�b�#;7)L�� -5 = 32768.(�8 ����F������%��L��!���� ���!� ���&&���K���$���������!���[�!� ����%���K���%� $�������� �!���� �18� "���� #L� ��� ���L� ��� �)P%� �!���� �� &� ���L� !������!� ����&�!�������L��� ���&M���!�������!� ����%���K��%�$������������%��P!������� ����#������������!�����!�L�!� ����%���K��%�$���������25�"�����^�!�� ��P��%���K��%�$��������#89�U�#^�!� ����%���K��%�$��������'100�U�'^�!� ����%���K��%�$����������;99�U�;^�!� ����%���K��%�$��������-54�U�#�

!*��M�������G��"C�� �� a = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

4L�����%�G��$������������������a4�U�a2:

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = − = − = −

3

4

3

4

81

256

9

16

81

256

144

256

63

256

4 2

.

!*��M���������� ]C� � ��n� U��G������ �L� ������������������ ����!���������$�������!�� ������� ����[�;n^�;L)n^�BU_�L+Cn^�BU_'Cn^�+n."C�� ��n�U����G������ �L������������������� ����!���������$������[�BU_'Cn^�BU_�L+Cn^�;n^�;L)n^�+n.!*��M����������]C�������������BU_+Cn ��BU_'Cn n�U��G������ �L��������� ����!����G����n��$�U_+���U_'L� �����BU_+Cn ��BU_'Cn."C�������������BU_+Cn ��BU_'Cn n�U����G������ ���C�������������BU_+Cn � 5n n�U��G������ ���C�������������+n � 5n�����$������������������G����� �����G����n.�C�������������+n ��BU_'Cn�����$������������������G���������G����nL�!��� &P"���$��������n�����������"�����������!*��M��������5�]C�H��M�%�L������������� ���&������!����&��������L��� P�����"������������������L�������������������%�x2���������!����������� ��

Page 54: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

52

Глава II

��G�L� �����������������%�x3�U� ���������� ����G���?�����x2 ��;���x3 ��;L� ������ ���L�x ��;��(����8�%������L������aBx3C������ ���������jBx2C�" ������;��( ������ ���L������̀ BxC������ ���%������!� �������������� ����U����;�

"C�=�������� ������"���������!� �8�&��!�������;��( ������ ���L�x ��;��*������� jBx2C� ��!� ������ !������ ����� � aBx3C�� ?�8��� �����`BxC� ��!� �8���� �������� ����;������C�=������� ������"���������!� ������!�������;��( ������ ���L�x ��;��?�����jBx2C���!� �8���� ����������aBx3C��?�8����� ��x������"� �A���[�x �����?�����`BxC������ ���%����"������!� �8����!���������

!*��M����� ���5 , �� ����������� ��� � �� !������� ��$������� "�$� !�������������� ���%L� ����� !�����L� ��� ������ ����� �� �� ����A�� !�� ������ ������ (����8�%������L������������������!���%���!� �8�&������������ �����;������ ��U����;��(���� ��������!��������!�������!��������������L����!�� �������������P���;����L������!���������A�����(���� ��������!��������!�����������������L���!� ��������������U����;L�$����������� ��������]C���$���&M�%����[�BU_;L+C9^�BU_;L+C6^�BU_;L+C2. "C���$���&M�%����[�BU_;L�C6^�BU_;L�C4^�BU_;L�C2.

�C���$���&M�%����[� −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

1

5

1

5

1

5

5 4 2

; ; .

8C���$���&M�%����[�BU_;LB�CC5^�BU_;LB�CC7^�BU_;LB�CC2. ����?��������������1�H��� ��!��������"�"M�����!��������GL����"� ��!��%P�������!����� ����������� �����!���$�� ��L��"������������!���$�� �L�����P�������������� �������������n�@�$�����

!����� ������'#������������������H�������V X�������������$������!�������!���������� �����!���$��P

��^*����������� ����!���������� �����!���$�� ���

H�������VV ,����&��!����!����� ����������!���$�������L���!������!����P G������A�"���!���������������!���������� �����!���$�� ��^������ ����!���������� �����!���$�� ����������!���$����P����� ��!���$��������!����� �����������!���������� �����!�P��$�� ��L���!�������$����� ������A�"���

H�������VVV (������ ������������!������ �������� �����!���$�� ��L��!������ ���������������!����

H�������VW @!���������!�������!���������������!���������� �����!�P���$��� ���

Page 55: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

53

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Урок 2.2. Произведение степеней с одинаковыми основаниямиC���)���1� ������� ��������� ��%��� �!���� ������ �����!���$�� ���E�����������"����1*������!���$���������!�P��%������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� ,��� ����L� ������� �����"�����L� ����� ��!� ����� !������� H��� �� $�P��G���%��!���$��������a3�g�a2L���������!����!�P����$�������������!���$�������������������������P�� �%[�Ba�g�a�g�aC�g�Ba�g aC����������������"���!� �������!����a�g�a�g�a�g�a�g a = a5��?������"��$��L����M����

�����!���� �&L����a3�g�a2 = a5��@"�F������������� �A����������������M�����=� ���&M�����!��������������� �������$��!���� &"����� ��B����F����������"���$����$����"����C��@���������������� ��������"��$��L����� ��!��A���������������M��������P����������!���$���������!���%��=� �A����������������M��������%�����G���������K���� ��� ���������"� ��������� �%�

B����)��������#�> ��*���1 E��� !��������� !���� �� ����������� !���$����������!���%������� �����!���$�� ��\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������8��"�����$����������"����� �������M���L�!��� G��������8��!!���

E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=�!� �������������$��������$��" ����BF��$���������������P!� ����L���$����!��8��!!��C[

BU_�L�xC2�g�BU_�L�xC4�b�B�L�xC6 BU_;L)C4 k�BU_;L)C�b�BU_;L)C5

Ba�U�bC5�g�Ba�U�bC8�b�Ba�U�bC13 162�g��)�g��)�g��)5 = 169

Bx + 2yC9 g�Bx + 2yC10�b�Bx + 2yC19 �L��g��L�8�g��L�6�g��L��b��L�16

4

3

4

3

4

3

4

3

11 8 9 28

x x x x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ( , ( ))1 5

14

9

14

9

3

8 11

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

!*��M����� ��5� X������� ��� ��L� ���� �� !������M��L� ����� "��� ��!� ����� ��8��!�!��[

Глава II

46

2.2. Произведение степеней с одинаковыми основаниями

am ∙ anДеятельность�5 ������������������� �������a3�a2.

�5 O����=�� ����������� ��� ��� ���������������?������������-

��������

�5 ������������ ��� ������������������� ��������

�5 P���� �������7������������� �������

�5 $� ����� ��"���������������������� �����

Образец

������������������� �������H3�H6.

3��4H3.H6,+H.H.H/.+H.H.H.H.H.H/,H.H.H.H.H.H.H.H.H,H*Q(,H9.

73.H6,H*Q(,H9.

C��>���� �5 %�? �=!�:� �� �� a � ������� ��� �� �� m � n ����� ���

amkan\am+n?��?�� ?�������0��!������������������ ������� �����-

���� � ��������' ������ � ����� � ������� ������� !�� ���������' �

��������� ������� ����� ��� �������� �� ���� ���������

Образец������������������� �������C

R/I8.I5D !/3

7

3

7

4 7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ D �/+EI/10.+EI/3D :/IS.S4.

3��4R/I8.I5,I)QS,I13D !/3

7

3

7

3

7

3

7

4 7 4 7 11

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+

;

�/+EI/10.+EI/3,+EI/�GQ*,+EI/13D :/IS.S4,S2.S4,SIQ�,S6.

� ������ ��� ��� ������ ����� ���� ��? �����������? ��"� � !����

�������amkankak\am+n+k.

T����?��� ���������=�����= ������������ ���amkan\am+n'��������

am+n\am kan.

Образец

T��� ��� �� ����������������������?C

R/)�IQHD !/+E��/IQ&D �/9

17

4 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

D :/+G'+S(//HQI.

3��4 R/)�IQH,)12.)7D !/+E��/IQ&,+E��/2.+E��/9D

�/9

17

9

17

9

17

4 3 4 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+

; :/+G'+S(//HQI,+G'+S(//7.+G'+S(//2.

Page 56: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

54

Глава II

!*��M�������5=�!� ����$������L����M������ ���������!���$����� ����������!������]C�-�g����b��3�g��5 = 28�b��')^�� �C��)�g�)#�b��4�g��6 = 210�b��;�#^��C��')�g�)#�b��8�g��6 = 214�b��)�-#^�� 8C�-�g��;�#�b��3�g��10 = 213 = 8192. !*��M�������5=�!� ����$������L����M������ ���������!���$���!����&��� �P��&�����������������������!���%��������������������������=�F��� ������!������ ����$���������������������]C��n�b��+^��3�b��+L�n = 3."C��n�b�)#^��6�b�)#L�n = 6. �C�+n�b��#�^�+3�b��#�L�n = 3.!*��M����� � .� ��"�� �!����� ���������L� !��������� ��%��� �����������!���$���������!���%��=��������!���M�����M����!���������"��$��������"�����]C�'nU��g�'n = 5nU�fn = 52nU�^�� � � "C��+m+1�g��+mU� = 17m+1+mU� = 172m^��C�)�U�k�g�)k+3 = 6�U�k +k +3 = 64. J����'%��#����'����)������������������1H��M��������"������!� �P$������!���������� ������!���$�� �����������������L��L�#L�'L�{L��;��(�������"� ���� $������%� F��� �!���%L� ������8�� �&�!� �$�������O�8�� F�8���"�������!�%������!� �$�� �"�������M��������?��������������1H��� �L��MG���$��"��M�����������������%���������������!���%������� �����!���$�� ��L��"�"M���!��%�������

����������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X������������� ���!���$���������!���%�����������������P

�������^*������!���$���������!���%������������������������L�������P������������ ��!���$�� ��

H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!���!����������!���� ��������P����!���$���������!���%�������������������������

H�������VVV ���������!���� �������������!���$���������!���%�����������P��������������

H�������VW (������ ����!��������!���� ��������������!���%���������P����������������

Page 57: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

55

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Урок 2.3. Отношение степеней с одинаковыми основаниями

C���)���1�������������������%����!�������P��� �����!���$�� ���E�����������"����1*�������������!���%�������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1

*���$������������������������N�������#� *�����'[� =�!� ����� ���� �P���L� ������� �� ���"������� H��� �� ��G� $���������%���������a3 : a2��������$�!����������M�P����������������"�L����!����!���"��$�����&���!���$���������������������������� �%[

aa

a a aa a

a3

2=

⋅ ⋅⋅

=

=� �A����������������M������!� ����������$� ���������������"�������L�������������%��������a3 : a2����8���!��"����(��%������������������8���P!����%�����������������������������������������K���� ��� ��!���� ���=��!� ���� ���&M�&����� ����L����M������� �$���&���%����!�����!�P���$�� ����� ���H��M���L��!���� ��A��L����$����a3 : a3�b���B��������������������� ��������C��L�����8�%������L�a3 : a3 = a�U� = a0��� ����!��%����������L����a0 =1.J����'%��#����'����)������������������[�/������$���������!�������L�$������$�������F�%������!����a0�� ���� ������� ��������� ������� ����=�$���P����$�!���an : an = a0�!������� ���������8���!���%���������������������������!���$�� �����=�F��� ������� ���"��$����"�����������������M���������%������������F�%��!������B����)��������#�>��*���1 E���!�����������%������������������8����!�P��%������� �����!���$�� ��\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������$��&�������"����� �������M���L�!��� G��������8��!!���E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5

8C� 3 27

3 813 3 3 3 3 3 3 27

9

5

9 3 5 4 12 9 3⋅⋅

= ⋅ ⋅ = = =( ) : ( ) : ;

�C�16 2

22 2 2 2 2 2 2

19

22

4 19 22 23 22 1⋅= ⋅ = = =( ) : : ;

GC� 5 125

5 6255 5 5 5 5 5 5

17

7

17 3 7 4 20 11 9⋅⋅

= ⋅ ⋅ = =( ) : ( ) : ;

Глава II

48

2.3. Отношение степеней с одинаковымиоснованиями

am : anДеятельность

�5 @���7�����������!�����7���� �������a3�a2.

�5 �!����������= ����� ������������� ������������������?���

�5 <���������������������������� ���������������������!��

�5 $� ����� ��"���������������������� �����

�5 O������:�� �� �!����������������7���� �������a3�a2V

Образец�����������7���� ���������9���6.

3��4 11 1111

11

11 11 11 11 11 11 11 11 11

11 11 11 11 11 11

9 69

6: = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

==⋅ ⋅

=11 11 11

1113.

��9C��6,��9-6,��3.

C��>�����1%�?�=!�:��� ��a +a � G/�������� ����� ��m�n�����

����� ��� am 1 an \ am–n� 0��!� ����� ����7���� ������� ����������

� ������?��' ������� ������� �������� ����� !�����������'�����-

������? ������������:����� � �������� �������������?����� ��

����� � ���� ���������

Образец�����������7���� �������C

R/I8CI5D !/7

15

7

15

15 8

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟: D �/+EWH/10C+EWH/3D :/*ICI4.

3��4� R/I8CI5,I8-5,I3D !/7

15

7

15

7

15

7

15

15 8 15 8 7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

: ;

�/+EWH/10C+EWH/3,+EWH/�GWXW*,+EWH/7D :/*ICI4,I5CI4,I5-4,I1,I�

T������ ������������������ ���������� ���am1an\am-n

�������� ?am-n\am1an.

Образец

T��� ��� �� ���������������7���? �������C

R/�*�GEHD !/+E�G/&ESD �/9

7

4 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

D :/+G'+(//HWEWI.

3��4� R/�*�GEH,�*10C�*7D !/+E�G/&ES,+E�G/9C+E�G/5D

�/9

7

9

7

9

7

4 3 4 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

: ;

:/+G'+(//7WEW2,+G'+(//7C+G'+(//2.

Page 58: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

56

Глава II

$C�( , ( ))

( , ( )):

0 21

0 21

45

7

45

7

21

99

21

9

15

14

8

7

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

99

33

7

33

7

7

33

14 8 7

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:

11 133

7

7

33

33

71⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ = ;

�C ( , )

( , )

( , , ) : ( , , ) , ;

0 77

10

0 77

10

0 7 0 7 0 7 0 7 0 7

9

7

2

9 1 7 2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ ⋅ = .

!*��M�������5]C�?2�g�� = ?8^�� = ?6L� � �C�??7 · � = ?18�^�?8 · � = ?18�^�� = ?10L"C�???�D�� = ?10�^�?3 · � = ?10�^�� = ?7L� � � �C���g�?15�g�?3 = ?43^�� = ?25.!*��M�������G5�O ����������&��" ���L����� ���$��������v[

� A B C X

1 4 U_� U_�L� B`3�f�a2C�g�j2 b�B#3�fBU_�C2C�g�BP�L�C2 b�+��g��L##�b��;'L��

2 5 7 U_��7 2`�U�a2�fj0= 25�U�+2 f�BU_��7C0�b����U�#7�f��b�U_�)

3 4

5�1

1

40 A C3 2

3 2

01004

51

1

4100

164

125B .+( ) = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ =

!*��M��������5 =�����������an+1 : am������m���n� �����$�!����������� �L����"�� !���$�� �� �!���� "� � ������ ]C� -�� ?�� ��[� an+1 : am = a8�� @&��� ������[� n�f���U�m�b�-���n�U�m�b�+��E��������L������������������!�����������H��M�%������� ������"������ �L��������$�!�A�������n���m��*�!�����[�n�b��-L)���m�b���L)�+�//������������ ���"����[� =��� ��� ������ �!���%� � ������������ ���P��������L� ���M���� ��8�� �!������ �!���� G����� ������� ��!� ���� $��������!����������p�)��H��M���L�$������&M������A������8�������$������L��������������!� ���� �����!��������

]C�B#7�g��#�C�[�B+2�g��#;�C^� � "C�36 216

6 12962

��

; � � �C� 81 3 9

3 3

7

4 5

� ��

; � � 8C�125 625

5 256

��

.

����?��������������1�H��� �L��MG���$�!������������%������������������8���!���%������� �����!���$�� ��L��"�"M���!��%��������@"�"M���!��%����������P!������� �����!���$�� ��L����� ���"Q�����!������L�!��������������������L������ ������� ��������� ������� ��L���������&���!�����!���$�� ����� ������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X�����������!��������������A������!���������!���� ���������P

��������8���!���%������������������������^�������������������8���!���%��������������������������� ������������ ��!���$�� ��

H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� !���������� !���� �� �������P��������8���!���%�������������������������

Page 59: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

57

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

H�������VVV (������ ����!��������!���� �����������������8�� �!���%�������������������������

H�������VW ?��������!��������!���� �����������������8���!���%�������P������������������

Урок 2.4. Возведение степени в степеньC���)���1�������������������%����!�������P��� �����!���$�� ���E�������� ���"����1 H���� ��$������ �!���� ���!����K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�(�����!��" �����!��P��� �!���� Ba3C2�� H��� �� $���G� ���M���� �!����P�� ��� ��������� �� !���$�� �� �!����� =�� ��PA���&�� ����� ���M����� X�!������L� ����Ba3C2 = a3� g�a3��@!���� ���L�������������a3�������� ����� �!���&�� ( ���&M��� A�8��� ��� ���P��$�!����!����a3��������!���$��������a� g�a� g a. ?������ �"��$��L� ��$� ��� ��� �$�� $�!������� ���

����L�����Ba3C2 = a3�g�a3�b�Ba�g�a�g aC�g�Ba�g�a�g aC�b�a�g�a�g a�g�a�g�a�g a = a6.=� �A����������������M�����"�F�%�$�!����=���$� ���L����M�����!���� �&L����!�����$���������!�������!���� �������������!���$�� ���!�����( ���&M���A�8��� ���������$�����������(am)n = amn, �����������������"��$��������"����L���"��$�!�����8���������K���� ����$���������!�������!����

B����)��������#�>��*���[�E���!�����������%�����$���������!��������!���\�

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� �P��L���$����������M���L�!��� G��������8��!!��E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�����������$�����!��"������������!������������!��������P8������������[

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

51

2.4. Возведение степени в степень

(am)nДеятельность�5 �������� � ������� � �������� ������ +a3/2 � ���� ��� �� �" � ����

�����������?�������������������+a3/�

�5 ����������' �� ����� ��� ���� ?�������� a3�9�������������

�5 O������������� a3����7�������������������?�

�5 ��������������� �������������a.

�5 T����������� ������7�������� ������ � ��������a.

�5 $� ����� ��"���������������������� �����

Образец

@���7�������� ���������������^amVn.

3��4 a a a a am n m m m m

n sayda( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...

� ���� ����B����

a a a am sayda

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...

� ��� �� � �� ��⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅a a a a a a a a

m sayda m

... ... ssayda m sayda

n s

a a a a� �� �� � �� ��⎛

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟... ...

aayda� ������������� �������������

B����

;���� ;���� ;���� ;����

,amn

C��)���������%^amVn\amn�Проанализируйте: ^anVm\amn

%�?���������? ������� ����� ������� �������� ����� �������-

���'���������� ������������� ���:�����:�� ���� �� ���������-

����� � ���������� <��������� ��' ���������� ������ � ����� ��������

��������� ������� ���������� ���������

Образец

��������������� ������+I4/3.

3��4+I4/3,I4.I4.I4,+I.I.I.I/.+I.I.I.I/.+I.I.I.I/,

,I.I.I.I.I.I.I.I.I.I.I.I,I12� +I4/3,I*.�,I12.

Образец

$�������� ����� � ����� �

R/+*7/2D !/++E�G/9/5D �/7

9

22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ D :/++G'+(//7/2D �/++ES/5/3D \/+X+XW�/3/7.

3��4R/+*7/2,*14D !/++E�G/9/5,+E�G/45D �/7

9

7

9

22

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ;

:/++G'+(//7/2,+G'+(//14D �/++ES/5/3,ES15D \/+X+XW�/3/7,�21.

Page 60: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

58

Глава II

!*��M���������������!� ������F�8��$������L������M����K������&��������P������������X���������������!� ������8��!!���� ��!������E������8��!!����!� ������&���"������"Q������G�]C�Ba2C2�g�BaC3 = a7^�� "C�BkC4�g�Bk2C3 = k10^�� � �C�B?5C2�g�B?C3�b��13^�8C�Ba3C5�g�Ba2C4 = a23^�� �C�Bk2C2�g�BkC3 = k7^�� � �C�B?C2�g�B?3C3�b��11. !*��M���������, ������������!���%�#10 ��-7����������!���"��$��������!���������������������������[�#10 b�B�2C10 = 220���-7�b�B�3C7 = 221L�������"��$��L�#10 � 87����������������!�����!����A�&����8���!������[]C��8����+3�b�B�3C3 = 39L�!�F���L��8� 273�� � � "C�-9�b�B�3C9 = 227 � 228. �C��'3�b�B'2C3 = 56�����'2�b�B'3C2 = 56L�!�F���L��'3 = 1252.8C��)4�b�B)2C4 = 68�����)2�b�B)3C2 = 66L�!�F���L��)4 � 2162.

!*��M������ 5�"C�x�g�B+2�g�7C�b�#7�g��6^� x =⋅⋅

=7 3

7 33

2 6

2 2

4 ^�x = 81.

�C��4�g��x = 217L��x = 217 : 24L��x = 213L�x = 13. +�//������������ ���"����1 H��M���� $������&�� �� !���"��$������� �!���%����$�������������������!�������������������������������F������� �����$��������"� �A��!��������B� ��F����$�����C����!���"��$��������!���%����$��������������������!��������������������������������?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M�����������������%�����$����������!�������!���L��"�"M���!��%������������������n�����������

!����� ������'#������������������

H�������VX�����������!������������%�����$���������!�������!���^=�$������!�������!���L�� �������!���$�� ��� ����$�����!�P��$�� �����!����

H�������VV *������� �� �!���� G����� ���������� !��� ��$�������� �!���� ���!����

H�������VVV (������ ����!����������%�����$���������!�������!����H�������VW ?��������!����������%�����$���������!�������!����

Page 61: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

59

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Урок 2.5. Возведение произведения в степень

C���)���1�������������������%����!���������� �����!���$�� ���E�����������"����1�����������%�����$��������!���$�����������!����K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'[�H��� ��$���G����M����� ��������!����Ba · bC3��=�F���������������!���� ���������������!���$�� ��?�����$��$�!�������!���$�������������� ��BabC� Ba · bC3�b�BabC�g�BabC�g�BabC�b�Ba · a · aC�g�Bb · b · bC�b�a3b3.

=� �A����������������M�����"�F�������P��������� ���8�L��������M������$������%�����$��������!���$�����������!���L����� ����$Q�P����F��!���� ���,��������������M������������K���� ��(a kb)n\ankbn.

>�� �$� �������� an k bn \ ^a k b)n �$� ���"�����!�����������M������H��M����� ����� ������8��!!���������8�F�8����!����!��������� ���P�������=��������� ����������� ��n������"���$�������� &"�������� ������� ��[�n = 3.a3�g�b3 = a�g�a�g�a�gb�g�b · b =�BabC�BabC�BabC�b�BabC3.

B����)��������#�>��*���[�E���!�����������$P���������!���$�����������!���\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5@"���������� ���&M���!��� ������[]C��E�������!�����!� ��������� ������L�!��� ������������������� ���8����P

���� ����!� ���� ������� �[�BU'C2 = 52�b��'^"C��E�"�� !�����!� ������ ��� � U� !�����!� ������ �� �L� !��� ���� ��"� �����P

� ���8���� ���� ���������� ������� ��L�����"�!� ���� ���8���� ��U�!�P ���� ������� �^

�C��=��"M�� �!���� !�����!� ������ ��� � � �G����� !���$�� ���� ��8��� ���������8����8��B� ��!���$�� ���������������G������ �C�BU+C6 = 76.

(�!����!�����!� ��������� �����G�����!���$�� ������8���!�����!� ��������������8����8��B� ��!���$�� �����������������G������ �C�BU+C5 = 75.!*��M�������5�=�F���$����������M���L���� ����������� ������$�� �����������������L���������&������ ������$���� ��������! �M�����������L��������L����P ����������� ������$�� ������"�����"�L���������&������ ������$����� �����������"QG����"��

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

53

2.5. Возведение произведения в степень

(a ∙ b)nДеятельность

�5 <����� +a . b/3�����������������������?�

�5 ����������' �� �����9������������� ��� ������������������+a.b/�

�5 <:������������������������������������������

�5 @���7�������� ��������������������������������������

�5 $� ����� ��"���������������������� �����

Образец

$��������+a.b/4����7�������������������? ��������

3��4+a.b/4,+a.b/.+a.b/.+a.b/.+a.b/+ �:�� �� �������� ���������/

+a.a.a.a/.+b.b.b.b/,a4.b4� +ab/4,a4.b4.

Проанализируйте: ^abcV2\a2 kb2 kc2

%�?���������?� ����� �����������? �������������������� ���

���� ����� ���������������������^akbVn\ankbn

Образец

<����� �����������?����7�������������������? �������C

R/+abcd/5D !/+�.(/2D �/5

7

7

5

2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ D :/+EI.S/3.

3��4�R/+abcd/5,a5.b5.c5.@E5D !/+�.(/2,�2.(2,�(.*(,SH(D

�/5

7

7

5

5

7

7

5

25

49

49

251

2 2 2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ = ; :/+EI.S/3,+EI/3.S3,E�GGG�

Проанализируйте: ankbn = ^akbVn

T����������� ������� ������������������?��'������������-

������������ �������'��������� � ����� �����������

Образец

T����������� �����������7�������� �����������������?�

R/a5.b5.c5D !/5

7

7

5

2 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ D �/+E�'I/4.S4D :/)5.I3.

3��4�R/a5.b5.c5,+abc/5D �/+E�'I/4.S4,+E�'I.S/4,+EW(/4,(4D

!/5

7

7

5

5

7

7

51 1

2 2 2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = = ; :/)5.I3,+I5/3.I3,+I5.I/3,+I6/3,I18.

Page 62: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

60

Глава II

+����������'#��)����

N��?�)�#��)���� H�#���������*��?�)�b

+���������#���

��RL#��� H�#����������RLb

a a2 i ����������� ���P ���������$��B����$�CL�! ��M�������� ������P����#���$��B��7���$CL�����! �M���������������� �P��������������� ������8��������

a a3 i ����"������ ���P ���������$��B����$�CL��"QG����� ����������-���$�B���+���$CL������"QG����"����� ���P�������"�� �����8����"���

2a 4a2 2a 8a3

3a 9a2 3a 27a3

'�� �'��2 �C��;�b�2 g�' 100 = 4�g��'�C��;�b�4�g�' 400 = 16�g��'�

��� -��3 �C�-�b�4 g�� 512 = 64�g�-�C����b�6�g�� 1728 = 216�g�-

�;�� �;;��2 -�� '����3

�;�� #;;��2 ���� �+�-��3

( ������ ���L�� ������������������� �����B�����A��C���k���$L��8��! �M������� ����� B�����A��C���k2� ��$L� ��"�����"����� ����� B�����A��C���k� ��$L� �8���"QG����� �����B�����A��C���k3���$�!*��M�������5�C��'x2y4�b�B'xy2C2^� � �C� 64

169

8

13

8 4

2

r r= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ; � �C�-�a4b8�b�B�ab2C4^�

�C�B�;�f ##Ca3 = 64a3�b�B#aC3^� $C� − =−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

125

216

5

6

18 6

3

x x .

����?��������������1�H��� �L��MG���$����������%�����$��������!���$�����������!���L��"�"M���!��%�����������������n�����������

!����� ������'#������������������

H�������VX�����������!������������%�����$��������!���$���������� �P!���^=�$�����!���$�����������!���L�!���$�� ����������� ��� �������

H�������VV*����������!���� G���������������!���!������������%�����$P��������!���$�����������!����

H�������VVV (������ ����!����������%�����$��������!���$�����������!����H�������VW �����������"Q�����������%�����$��������!���$�����������!����

Page 63: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

61

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Урок 2.6. Одночлен и его стандартный вид

C���)���1������������������%����!�������P���� �����!���$�� ���E�����������"����1���������������� ������%P����!���%������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�H��� ��!�����������P!�&���� ��� F������ ����������� ������� ! �M�P��&����������������������%������������$��������B�����$��CL�!�����8� �����! �M���&�"���������������������� �� �� "� ���� �$��L� ������� ! �M���&� "2� ����������� �� �����%� "� ���� �$��L� ��"� �"QG���� "3� ��������������"����"������$���

=1 ед. изм. = =x ед. изм. x2 ед. изм. = x3 ед. изм.

*�� ���&M���F�!�����M�����!���� �&�! �M�������"QG��8������������K�8��L�������������"����[

b b

a aaaaa

= ab

x

4x

5x

V = 20 x�

= 5ab

=� �A����������������M�������� �������"��������������� ���!� ������������������%����R��������"�����[��� ���8�L������� �A����������������M���L����� ����G����K������&��"������ ���L��8���������������L��!��������FKK�������B����)��������#�>��*���[�E���������� �����!������&����%����!���%����P���� �����!���$�� ��\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5 ���� ��!� ������ $������L� �!� �$�&�� ��%��� �����������!���$����������!���%������� �����!���$�� ��L���$�����������!����

8C�14 57

14 57

102 2 4 3yx yx xy x x x y y y x y⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ; ��FKK������U�;L��!����+�

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

55

2.6. Одночлен и его стандартный вид

Одночлен, степень, коэффициентДеятельность�5 0�������������� �������'����� �����������:��������������

�����'������ ��?���:�� ���'����� ����������:��������"���-

����������'������ �������'����� �����������:�������'�!#"��!�'�������!�������:������"V

1 1x

x x1

x x

x

�5 ��� ������ ��������7�����������?��?��������-

��?���������?���:�� ������!#"����?���:�� ��:����������������C

b b

a aaaaaS = ? S = ?

�5 �������� � ���������� ��������?� �� ����� � !������� ����������<�� � ��� � ����� ��������� ��� ������� �� ����� � !����������������V

x

4x

5x

V = ?

$��������' � ��?��� �� �����������? �� �� � ������� ���������� ������� ���� ��������?��' �������� ? ����������� ��������C *D XIabDG'Sx2y3Dm2.

]��������� �� ���������' ?��?=��� ? ������������� �� �� � ����-

��� ��� ������� ��������� ����������' �������� ? ���������� ���������������^�������������� ���������:���������?������ ���� ���-

_����������?��C����������������������!�����"�#�$0� ������������� ���������� ���������:������������� ?#�;//�S

����������������<����������� ������������� ������������������������� ? ����� =����������

Образец

�������������������CE*a.Iab.3��4T����������� � ��������������������$���������������+E*a/

�� ���������������?��?�� ?E*'!�����������������Xa�$����������������+Iab/�� ���������������?��?�� ?I'!����-

������������X��b�T�����������������������?���������� ������ ���=� ? �����������?�9__��������' !���������������� �� ���� ���=� ?�?��� �9__���������C

E*a.Iab,EW(a2b.

Примерыодночленов

8

4x 9 (-2)a ab∙ 5 zy2 3

– –12

0

Page 64: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

62

Глава II

�C�B'abC3�g�BU_;L�a2bC2�b���'�g�;L;#�a3�g�a4�g�b3�g�b2 = 5a7b5^���FKK������'L��!��� 12.�C���L'BU_nCb�g�B;L�bn2C3�b���L'�g�;L;;-b g�b3�g�BU_nC�g�n6�b�U_;L�b4n7^���FKK������U_;L�L��!�������!*��M�������5������!� ������$��������"��M�����������������!������������P��������"�����!����%���������������������� ���$�!���������������!��������������!���$�� ���]C�)#n12@E20�b�B-n6@E10C2^� � "C� 6

1

4

5

2

18 6 9 3

2

a b a b= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ;

�C�− = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

125

1

5

3 3 6 2

3

m n k mnk ; � 8C�U_��x10y15�b�BU_�x2y3C5^�

�C�;L;;-�a4b8�12�b�B;L�ab2?3C4^� �C�;L;;-p9k21�b�B;L�p3k7C3.

!*��M�������G5� �M�������"QG��K�8��� $�!����&���� �������������%�����P�������!���$��������!� ������������� ����[

a

aa

k

nm

k

nm

a

a

1a

1m

2m

a) б)

a a a a3 2 6

∙ ∙ = mnk mnk m m m n k∙ ∙ ∙ 2 = 24 2 2

!*��M��������5 , ���!���� ���������� ���L������%�"����$�!���������"�����FL��!� �$������%������������������8���!���%�

]C�M�g�'a3b = 20a7b4?2^� � M a b ca b

a b c� �20

54

7 4 2

3

4 3 2

"C�U_)?4k5�g�M = 3:?9k10^� � M bc kc k

bc k=−

= −3

60 5

9 10

4 5

5 5,

�C�M�g�B�nx8C2 = 6n2x20y^� � M n x yn x

x y� �6

41 5

2 20

2 16

4,

�C�M�g�M�g�M = 27 x12y15^� � GE3�b�B�x4y5C3L� M = 3x4y5

!*��M��������5"C�(�K���� �%����� ������"QG����� ������W�b����������M����$��������$���������������$��)�� ���*�������������������������������������

d = 14x2L�����������r = 7x2L������ h x�13

7 � � ���L�#�����K���� ����� = �r2���%�G��

! �M������������[���� = �r2 � �L�#�g�B+x2C2�b��'�L-)�x4��?������"��$��L��"QG���� �����[

V = ⋅ = ⋅ ⋅ =153 86 13

7153 86

10

7219 8

4 4 5, , ,x x x x x

�����[�W�b���7L-�x5���"���������������

J����'%��#����'����)������������������1����$�!�������� ��������P�������������!������$�!������!������������� K�������!��������*��� ��� �K�P�����%�!����������!�� �������L�F�����������$������������8�� ����������P����������������?��������������1H��� ���"�"M���!����������������� ������%���!�P��������� �����!���$�� ��L��MG���$���!������L����������FKK����������� ���L�!����� ��������������!���L�!�����������8�����������%�����

Page 65: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

63

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

����������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X�����������!����������������� �������%���!���������� �P

����!���$�� ��^���� ����������� !���$�������� ����� ����� �!���� ��� ��FKK�����L������������$�!������!���$��������!������������������!����

H�������VV ,�!������������������A�"�����!����������������� �������%���!���������� �����!���$�� ���

H�������VVV ���������������� �������%����!���������� �����!���$�� ���H�������VW (������ ���� !�������� �� ����� ����� ��%��� �!���%� � ���P

�� �����!���$�� ���

Урок 2.7. Возведение частного (дроби) в степень

C���)���1�������������������%����!���������� �����!���$�� ���E�����������"����1�����������%�����$������������8�����!����K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� ����������� �!����

xy

⎝⎜

⎠⎟

2

L� ������� �� ���� ����� ���"������ =�!� ����

���� ����L� ���M���� ��"���&�� ���&M�8��

��$� ���[ xy

xy

xy

x xy y

xy

⎝⎜

⎠⎟ = ⋅ =

⋅⋅

=2 2

2 . =� �A����P

������������M������!� �����������������. ��R������� �"�����[� �� �� �8�L� ���� �� �A��������������M���L����� ��������������������������%�����$������������8�����!�����

B����)��������#�>��*���1�E���!�����������$P�������������8�����!���\�

(��� �&�!����������� ������������M������� ���������8��!!���N��!!�����&��$��������$����"�����!���$�8� ������RO ���%S�

=�!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5]C�i �� X �

2

7�����b�;L�L��!���� ���$������������������

Z = X2�g�;L#7�f��3�g�#�;� Z = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + ⋅

2

70 49 01 430

2

3,

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

59

2.7. Возведение частного (дроби) в степень

(a : b)n, Деятельность

�5 �������� ������ xy

⎝⎜

⎠⎟

2

� ���� ������������ ��������� ����������

�5 ���������� ������� �� � ��� �������� ����������� �������� xy

.

�5 !��"�� ������������ ��������� #������� � ���� �������

�5 !��"�� ������������ ��������� �������� � ���� �������

�5 $������ ���% ������ � ����#����� ��������

Образец

�������� �������� xy

⎝⎜

⎠⎟

5

� ���� #���&� ��������

3��4� xy

xy

xy

xy

xy

xy

x x x x xy y y y y

xy

xy

⎝⎜

⎠⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⎛

55

5; ⎜⎜

⎠⎟ =

55

5

xy

.

Проанализируйте: $������� mna

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

���"�� � ���� #���&� ��������

'�(� ������� #���� *���(�+ � ������� ������ ������� � �� ������

������� *#�������+ � � �� �� ������ ������� *��������+� � ��� ��

#����� ab

ab

n n

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ��� *a- b+n/an-bn�

Образец!��"�� ������ #���&� � ���� #���&� ������� � ���������� ����:

������ <+ 2

3

2abcm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ > (+ *?3pk - @ab+5.

3��4 <+2

3

2

3

4

9

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2

abcm

a b cm

a b cm

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = ; (+ *?3pk - @ ab+5 / * ?35p5k5 + - *@5a5b5+�

Проанализируйте: an1bn = ^a1bVn��� ������� ������� � ���������� ��������� ������ �������

�������� ������&� � �������� ������� � ����� �� ����#����� #�-

��� ������� �������

Образец

!��"�� #���� � ���� ������� <+ A5 - m5> (+ 27

64

3 12

15

a bm

.

3��4

б)a) 8 : = (8 : ) ;5 5 5

m m.

(a b)n

Page 66: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

64

Глава II

��"����%��$���������L�$�!�A���� 8����:

���=�$���������"�� 2

7 ������!���^

�������"��$�%�� 0 4949

100, � ����$� ���!����8��A�8������������� 49

100^

�����$� �������8��A�8��$�!�A�����������������%����"�^#��=�$�������� ��;L�������!���^'����$� ������G��8��A�8�������������#�;^)��( �������$� ��������8����!��8��A�8���

Z = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

2

70 49 01 430

4

49

49

1000 001 430 0 04 0 43 0 4

2

3, , , , , 77

�����[���b�;L#+�8C�i ��v�b�������b��#L���%�G��$��������������������b�v4�g��3�[��-�f��2:

Z = 24�g��3 : 18 + 242.> 8����[� ���=�$�������� ���������G��&��!���^� ���=�$�������� ���������&��!���^� ���H���������$� ����!����8��������8��A�8��^� #����$� �������8��A�8����$�� �������-^� '��*�%������������� ���#^� )��( �������$� �������G��8����!��8��A�8��� Z = 24�g��3 : 18 + 242�b��)�g��+�[��-�f�'+)�b�);;�� � � � � �����: 600.!*��M�������5, ����A�������������%�!����������%����!���:

"C�y y

y y y

y yy y y

513

163

261

419

292

153 48

122 76 58

1993( ) ( )

( ) ( ) ⋅ ( )=

:

:

:

:==

=

=

1993

1993

1993

105

104

yyy

� � 8C�m m

m m m

m mm m mm

922

323

453

353

198 96

135 159

1995

1995

( ) ⋅ ( )( ) ⋅ ( )

=

⋅⋅

=

:

:2294

2931995

1995

mm

=

=

�����: 1993. �����: 1995.+�//���������������"����1( �"������M����!�����$������������8�����!�������8������$������� �� �����!���L� $�"���&�$������� ��� �����"�����(��� �&��������������8��������A�"��� �"������M�������� �������$��������!�"� �A��$������%����8���!������?��������������1�H��� ���"�"M�����"������!������������%����$���P�����������8�����!��������������n�����������

Page 67: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

65

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

!����� ������'#������������������H�������V X�����������!������������%����$������������8�����!����H�������VV *����������!���� G��������$������!���!������������%����$��P

����������8�����!����H�������VVV (������ ����!����������%�����$������������8�����!����H�������VW ?��������!����������%�����$������������8�����!����

Урок 2.8. Выражения со степенью с натуральным показателемC���)���'1�������*������$���������� ���8�������P�����L� !������������ !� ������ ����� ��!� P���������%��%�B������� ����$�����������!����������� �����!���$�� ��C��������H!��M������������L��� &��&M����!���������� �����!���$�� ���E�����������"����1H!��M����� �������"������P�����������������!���&������� �����!����$�P�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$������������������������H��M�����$��� ����$������%����!���������� �����!���$�� ����=��������

F�8�� ������ "���� $�������� !����������� �� ������ ���������� ��$���� ��%���!���������� �����!���$�� ����X����������$��������!���� �������������"M���$���������M��������� ������%���!���%������� �����!���$�� �����!� ������ �������!� ��������%��%�

X������� �$� ���"����� ��8�� ��!� ����� !������ � �� �� 8��!!���� =� $������������������ ������� ������"����� ����������"�������!� ��� �����$������L�!���8�&M����������� ���

B����)��������#�>��*���1E����!��M�&���������������!���&������� �����!���$�� ��\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5��"����%��$�����������������L������%����M�%���� �����������!����� 8����������F������M�%�����������������$��������!�� ��������� �P������!� ��������%��%L������������8��K������&�����������$��%�����L�������������!��� ��������]C�@� ����:���(�!�����3���$�������!�����^���*�%����!���$����������$� ����!����8��A�8�����!���&��12^

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

61

2.8. Выражения со степенью с натуральным показателем

�5��������� ���������������������������������������������� ������������

��������������������������

���1 110

11

5

5

, ;⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ � � ��� 2 3 2

3

10

5

5

, : ;⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ � � ��� c c4

712( ) ⋅ ; � � !�� a a12

8010

118

( ) ( )( ): .

�5"���#������!��������$����������$��������$���������$�������������%�������������

���3 3

3

12 32

11

⋅ ( ); � ���

6 36

6

2 25

211

⋅ ( )( )

;

���5 125

25

76

20

( ) ⋅; � !�� 4

64 8

37

3 4

( )⋅

.

�5�&���������

���12 12 12 12 12 12

6 6 6 6 6

n n n n n n

n n n n n

� � � � �� � � �

;�

���49 49 49 49 49

7 7 7 7 7 72 2 2 2 2 2

m m m m m

m m m m m m

� � � �� � � � �

;

��

64 64 64 64

8 8 8 8

50

3

2 2 2 2

n n n n

n n n n

sayda

� � � �� � � �

...

...

� ����� �����

00 sayda� ����� �����

;

30����

50����

� �

!�� 5 5 5 5

25 25 25 25

2 2 2 2n n n n

n n n n

k sayda

m

� � � �� � � �

...

...

� ����� �����

ssayda� ����� �����

.

<����

;����

�5��"���#�����������'�������$ ������������������������$����������$������-��$������!����������$��

��− ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =4

1

241 5

2

3

2

2

,

*�������� **�������� ***�������� *+�������� +��������

��−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ + −( ) =1

1

33 27

2

3:

*�������� **�������� ***�������� *+�������� +��������

�5�"���#�������������������$�������������������������������

���an���a2/� ���a a

a

n � 2

3; � ���

a aa

n

n

2 3�; � !��

a aa

n n

n

3 1 2

2

+ −⋅; � ���am<>���am/� ?��

a a

a

n n

n

32

5 2

2

( ) ⋅

( )

. �

�5�@�����������������������$�

���a b

a b

46

43

213

67

( )( ) ( )

;

���� �a�A�BCD E���b�A�D F/

���7

9

3

7

8

7

612 43

5 232

cd

d

c

⎝⎜

⎠⎟ ⋅

( ).

���� �c�A��1

3���G�A��

4

7.

�5��H����'�I���������������������$������������������� ��������J��$��!��

�������� �� ����������� ������������ �������������� ��� �� ��� '�I�K� ���-

�����������������������L�

�5�&���������MN3�����������������J�OP6�3�����P18/�5�&���������Q4�����������������J�OP3�4�����P12/�5��@������ ������������� ����������� ������ ��

������������/�5"��������ON3�7��������J�P/�5��R������������S���������������������������T

���������������������L

Page 68: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

66

Глава II

�����$� �������8��A�8����$�� �������!�����11.

('"�������: 3 3

3

3 3

3

3

33

12 32

11

12 6

11

18

11

7⋅ ( )

=⋅

= =

"C�6 36

6

6 36

6

6 6

61

2 25

211

2 10

22

2 20

22

⋅ ( )( )

=⋅

=⋅

= .

�C� 5 125

25

5 5

5

5

55

76

20

42 3

40

45

40

5( ) ⋅

=⋅

= = �����[�]C��7^�"C��^��C�'5.

!*��M�������5=�!� ����$������L����M���L��!� �$���!���"��$���������������P��������� �8��������!���$�������L��!��M�&��������������� �� ����$������� ���

]C 12 12 12 12 12 12 6

5

12

61 2 2

n n n n n n

n n n n n

nn

b b b b b+ + + + +

+ + + += ⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅, ;;

"C 49 49 49 49 49

7 7 7 7 7 7

5 49

6 7

5 492 2 2 2 2 2 2

m m m m m

m m m m m m

m

m

+ + + ++ + + + +

=⋅⋅

=⋅ mm

m6 49

5

6⋅= ;

�C�64 64 64 64

8 8 8 8

50

3

2 2 2 2

n n n n

n n n n

раз

+ + + ++ + + +

...

...

00

50 64

30 641

2

3 раз

n

n=⋅⋅

= .

�����1]C��L��g��n^ "C� 5

6; ��C�12

3.

!*��M�������5=�!� ����$������L����M�������������&��������!������������%���!���������� �����!���$�� ������!��M�����"�����������������%�

8C� a aa

a an n

nn n n

3 1 2

2

3 1 2 2 3

+ −+ + − −⋅

= = ; eC�a a

a

a aa

a an n

n

n n

nn n n n

32

5 2

2

6 5 2

2

6 5 2 2 2 5( ) ⋅

( )=

⋅= =

− −+ − − +

.

�����[�8C�a3^��C�a2n +5.!*��M����� ��5 =�!� ���� F�� $������L� ���M���� ������� $�������� "�������8������������!���$��������$��������!��������%��@����������8�L�������%��$�����������������L������� �����!������8��]C�i ��a�b�U_;L�+���b�b�;L'L��[

a b

a b

a ba b

ba

46

43

213

67

24 43

26 42 2 2

0 5

0 7

0 5

0 49

50( )( ) ( )

= = =−( )

= =,

,

,

, 4491

1

49= .

"C�i �� ? = −1

3 �� @ = −

4

7L��[�

7

9

3

7

7

9

3

7

7 38

7

612 43

5 232

6 48

6 42

12 43

5 46

6 12cd

d

c

cd

dc

⎝⎜

⎠⎟ ⋅

( )= ⋅ =

⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

c dc d

c d48 43

5 12 46 42

2

2

7 37 7

1

3

4

7

4

9.

�����[�]C�1 1

49^�"C�� 4

9.

+�//���������������"����1=��������F�8����������� �&�� ��A������"������������ ����������%���$������ �����������!����L���$���&M���$���������������PM���L������ �����"����� ������������F���$�����%�

Page 69: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

67

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

����?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M���������������!��"�����������!���M������� �������"�����������������%����!���&������� �����!���$�� ��L�!���������"�"M���������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X������������!��M������� �������"�����������������%����P

!���&������� �����!���$�� ��^*������ $�������� �� ����� ��������%� �� �!���&� � ����� �����!���$�� ��L�������������!��M���"�������������������

H�������VV ,�!������������������A�"���!����!��M������� �������"�����P������������%����!���&������� �����!���$�� ���

H�������VVV (������ �����!��M����� �������"����������������������!�P��&������� �����!���$�� ���

H�������VW (������ ���� �!��M��� ���"����� !��"���� �� ����� �� "�����P�����������������!���&������� �����!���$�� ���

Урок 2.9. Формула простого процентного роста

C���)���[�����'���������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��!�������8�������� ����8��!�������8������E�����������"����1�������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��!���������8�������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������5N�������#�*�����'1��A������$��������������P������!����������M����$����� ���!���������P������� $�� )� � ��� ,��� ����L� ������� �� ���"P�����L������������������&�!��������(�8 ������������� �����L����M�����������&�����L�!�P �������&��$�"�����>���������/�������

*�� ���&M���F�!��$�����L�����������"��$��������"����L������������F��������!�&�������� �P������ !�G�� ��A������ (��� ���� ���������L��������&M��� � ���&� $�����L� �� !�������� �� ����� �� b� 50000 1

12 3

100( )+

⋅ �� i �� ��

F����������������� ����������"�����0�b�';;;L�8�����%�!��������b���zL�n�b���U�������L�����������!� ����������8�������������L� ��!� ����� ���&M���K���� ��!������8��!�������8�����[

S S rn= +

01

100( )

Глава II

62

2.9. Формула простого процентного роста

ДеятельностьU���� � ������� �� ����� ��� ���������� ����� >D� DDD� ������� � ������� ��� ���

PDVT���������������$�!��L������������������������!��������U�����

�5 @������PDV����������>D�DDDL

�5 W�������������������������>D�DDDL

�5 &������������S�����������������������������L

X���� ���������������>D�DDD�������� ���������������$�P�!������>FVT����

����������������!��L�&�������� �������������!�����������������X�����

�5 @������>FV����������>D�DDDL

�5 Y��������%������������PL

�5 W�������������������������>D�DDDL

�5 &������������S�����������������������������L���Z$����� ������������

����!�����#�L

Образец

"������������������������������������������!���������FD�DDD��������L����

�����������!�������������>PV�!�����!������������������J���������������

[�!���L����������� �������������!��������������������J�������������������$L�

3��4�\�$���#���$��������������>PV����FD�DDD���������

5000012

1006000⋅ = �O��������L

Y��������%�����������[�������MDDD�]�[�A�>Q�DDD�O��������L�W������J�����

�������������������������������FD�DDD�<�>Q�DDD�A�MQ�DDD�O��������L

�����1MQ�DDD��������L

Деятельность

"���#�����������������'����!���������������������$�

�50000 50000

12

1003+ ⋅ ⋅ .

&�������� FD� DDD� ��� ������� �� %���� ����������� 50000 112 3

100⋅ +

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟. � ^��� �

������������ ������J� ���� ����� _ � ������� ��������J`J� I������

S = +⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟50000 1

12 3

100. �

Page 70: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

68

Глава II

=���������F�%�K���� ������������$� ����� ������������������M������=�F��� ��������M���� ��A��!�����&����K���� ���J����'%��#����'����)������������������[�O��8������� ���������������P������������A�����=�F��� �������A��!�����G�����K���� ��$�!�������������

S S rn= −

01

100( ) .*�!�����[�(����L�!� ������������G�� ���" ���������� �����L���

��������������A�������"����������$������� �8���=�F��� ��������� ����������"�����"� �A��!� ���&M�%.

B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� ��!���8��!�������8�����\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!����E�#���)����#��#����'��)����:

!*��M������5���"����K���� ���S S rn= +

01

100( ) ���S S rn

= −0

1100

( ) �!���� ���nL������0L

�����F��$���������$�� ���������8��!!����$ ��**�[�=������%�K���� ���!���� ���n.

]C� S S rn= +

01

100( ) ^� S S S rn

= +0 0

100; S S S rn

− =0

0

100; n S S

S r=

−1000

0

( );

"C S S ( );= −0

1100

rn S S ;= −0 0

100S rn S S .

0

0

100− =

S rn n S SS r

=−100

0

0

( ).

$$ ��**�[�=������%�K���� ���!���� ���r.

]C� S S rn= +

01

100( ) ^� S S S rn

= +0 0

100; S S S rn

− =0

0

100; r S S

S n=

−1000

0

( ).

"C S S ( );= −0

1100

rn S S ;= −0 0

100S rn S S .

0

0

100− =

S rn r S SS n

=−100

0

0

( ).

$$$ ��**�1�=������%�K���� ���!���� ����0.

]C� S S rn= +

01

100( ) ^� S S : ( );

01

100= +

rn S S : ;0

100

100=

+ rn S S ;0

100

100= ⋅

+ rn S .

0

100

100=

+Srn

"C�S S ( );= −0

1100

rn S : ( );0

1100

= −S rn S : ;0

100

100=

−S rn S ;0

100

100= ⋅

−S

rn S ;

0

100

100=

−Srn

����"��$���K���� �L����� �����������8��!!����!���� G�������!��� ����.!*��M�������5(�8 ����� ���&L����� �����������0�b��;;�������L�r�b��;zL�n = 5.

(�8 ����K���� ��!���8��!�������8�����L�S ( ) ( ) .0 0

1100

300 130 5

100750= + = +

⋅=S rn

( ������ ���L���������>%���������� �����[�+';������

!*��M����� ��5 aV ��� � ���&� �$����L� ��� n� b� -� 8����L� �� b� �;;;� ������L��0�b��;;;��������r�b�\

@!���� ����$�K���� ��r S S rn= +

01

100( ) : S S S rn

= +0 0

100; S S S rn

− =0

0

100; r S S

S n=

−1000

0

( ).

@!���� ����$�K���� ��r: r = −⋅

=100 2000 1000

1000 812 5

( ), % �����[���L'z�

Page 71: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

69

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

"C���� ���&��$����L����r�b��-zL���b�+��)�������L�n b���8����O$�K���� ��!�����8��

!�������8�������0��!���� ��[� S Srn0

100

100

100 7316

100 18 1

731600

1186200=

+=

⋅+ ⋅

= = .

i �� )�;;� ������� � ����� �� "���� ��� 8��� � �;z� 8������L� ����$� �� 8���� !� ����� ���&M�������[

S (ман.)0

6200 120 2

1008680= +

⋅=( ) �����[�)�;;�������L�-)-;��������

!*��M�������5�, ��$�!� �������" �����!� �$����K���� ��!���8��!�����P���8�������C�$���#[��0�b��;;;�B����CL�n�b���B8���CL���b��-#;�B����CL�r�b�\

r S SS n

=−⋅

=−⋅

=100 100 3840 3000

3000 2140

0

( ) ( )%

�C�$$���#: r�b��'zL�n�b�#�B8���CL���b�#;;;�B����CL��0�b�\

S Srn

(ман.)0

100

100

100 4000

100 25 42000=

+=

⋅+ ⋅

=

�C�$$$���#: r�b��'L�zL��0�b�';;;�B����CL���b�+�7'�B����CL�n�b�\

n S SS n

года=−

=−⋅

= =100 100 7295 5000

5000 15 3

229500

7650030

0

( ) ( )

,

#C�$&���#: r =��L'zL��0�b�+;;;�B����CL�n�b��;�B �CL���b�\

S S rn(ман.)= + = +

⋅=

01

1007000 1

11 5 10

10015050( ) (

,)

@�������������" ���L��������� ���&M�����!���[]C�(��������;;;�������L�� ����������V�"���������8��L���� ���������#�;��������

S S rn(ман.)= + = +

⋅=

01

1003000 1

1 14

1003420( ) ( )

"C��@!���� ��L��� ����!������������������+;;;���������� ����������VVV�"����$��)�������[(�8 ����� ���&[��0�b�+;;;�B����CL�n�b�)�B������C�b�;L'�B8���CL�r�b��'L�z�

S S rn(ман.)= + = +

⋅=

01

1007000 1

15 3 0 5

1007535 5( ) (

, ,) ,

�C��@!���� ��L�����&�������� ����"������! ����VV�"����$������ ���&�����L����P$�����&����" ���L�����$�������8������;z�����������%�8��[

S S rn(ман.)= +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =0

1100

2000 120 4

1003600

�����[�]C��#�;�������^�"C�+'�'L'�������^��C��);;��������N���"����1�H��M����������$�����!��8������!��$�����&���K����������&M�����>$���"�%������"������!*��M�������5(�8 ����� ���&L��0�b�#';;�B������CL�n�b�)�B������C�b�;L'�B8���C��O$����L� ��� �����%� ����� ��! �������� -;;� ������L� ������ ���L� �� �������)���������(������� ����"������! ������"����)���-;;�b�#-;;��������������������A�����������(�����!���! �����"����#-;;�U�#';;�b��;;�B������C����b�#-;;�B������C. @!����������K���� �L����� ���!�����[

r S SS

=−

=−⋅

≈100 100 4800 4500

4500 0 5130

0

( ) ( )

,%

Page 72: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

70

Глава II

� +��� i�"����'>������

C���'*���'

�����������

E����-��

H���"�'>������

� 10.06.2013 4800 800 750 50 4000� 10.07.2013 4000 800 750 50 3200� 10.08.2013 3200 800 750 50 2400� 10.09.2013 2400 800 750 50 1600� 10.10.2013 1600 800 750 50 800� 10.11.2013 800 800 750 50 U

B�� � 4800 4500 300 U�����1��L�z�

!*��M�������5O��8���K���� �� S S rn= +

01

100( ) ��&�������� S S r n= + ⋅

01( % ) .

,��"�� r100

��!����%�K���� ���������%�K���� ������L�����r z��

����������!�����!������ S S ( )= −0

1100

rn $�!�������K���� ����b��0B��U�KEz�g�nC�

@&��: n S SS r

=−⋅

0

0

� �� n S SS r

=−⋅

0

0

]C����b�';;L��0�b��';;L�KEzb��;z�b�;L������� ������F��� ��������� ����������"� �A���������%�����L��!� �$����K���� ����b��0B��U�KEz�g�nC�

n S SS r

(лет)=−⋅

=−⋅

=0

0

2500 500

2500 0 18

,.

"C���b��';;L��0�b�';;L�KEz�b��'z�b�;L�'�n S S

S r(лет)=

−⋅

=−⋅

=0

0

2500 500

500 0 2516

, �����[�]C�-� �L�"C��)� ��!*��M����� � 5 ]C� (�8 ���� � ���&L� �0� b� �;;;� B������CL� KEz� b� 'z� b� ;L;'L���b�-;;�B������CL�n�b�\� O!� �$����K���� ����b��0B��U�KEz�g�nC[�

n S SS r

=−⋅

=−⋅

=0

0

1000 800

1000 0 054

,(месяца)

8C��0�b��;;;�B������CL� KEz�b�'z�b�;L;'L� ��b��;;�B������CL�n�b�\

n S SS r

=−⋅

=−⋅

=0

0

1000 100

1000 0 0518

, (месяцев)

�����[�]C�#������L�8C��-������������?��������������1H��� �L��MG���$�!�������K���� ��!���8��!�������8��������!��"���G�!���������L��"�"M���!��%�����������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X���������!������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��

!�������8������H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� !���������� �� ��A����� $�����

K���� ��!���8��!�������8������

Page 73: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

71

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

H�������VVV (������ ����!������������A�����!�����$�����K���� ��!���P8��!�������8������

H�������VW ��������� ���"����� !��"���� �� ��A����� !����� $����� K���� ��!���8��!�������8������

Урок 2.10. Формула сложного процентного роста

C���)���1� ����'�� ��������� �� ��A����� !�����$�����K���� ��!���8��!�������8�������� ��P��8��!�������8������E�����������"����1�������������A�����!�����$�����K���� �� ����8��!���������8������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 =�!� ���� ���� ����L�������&������"����L����M�����!���� �&��������&������L�������L���� �������K���� ��!���8��!��P������8�����L��!���� G���%�!�����L���������%����� �������� ����� �����%� 8��� !�� �������&� �!�������M���8������H��M��������$���&������������L������ ������F������ �������K���� ��!����8��!�������8������*�� ���&M���F�!��� �����$�����L������%����"���$����$����"����L�!�������������F����� ���!�&����� �� � ������� (����� ���������L� ��������&M��� � ���&�

$��������!������������� S = ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟7770 1

11

100.

����"��$��� 7770 70 111 7000111

1007000 1

11

100= ⋅ = ⋅ = ⋅ +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ L�����������!�����������

��b�7770 7000 111

100

2

= ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ��i ����F����������������� �����������0�b�+;;;L�8�����%�

!�������%������b���zL�� ��n�b���U����L���������%�!� ����������8����"���L���K���� �� ����8��!�������8������!� ����:

S S= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

1100

r n

Y��K���� �������������������� ��������������������M����. B����)��������#�> ��*���[� =� ������ ������ !��������� K���� �� ����8��!�������8�����\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&��8��!!�����E�#���)����#��#����'��)����:

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

65

2.10. Формула сложного процентного роста

Деятельность

H�������������������S����������[F�DDD�������������������P�!���L�q����-

�������!��������������������������������������P�!��� �����������������

!������������������������`�!��!�������[VK

�5 @������[V���������[F�DDD��������L

�5 q�������������������������[F�DDDL

�5 @������[V�����������������L

�5 q�������%���������������������������������'��L

�5 &������������S�������������������L

Образец

@��������������������E�DDD��������L�r���������'�����������������������-

�$��� >>V� ��� ����� ������`�!�� !���L� H��J� ���� ������� @����� �������

P�!���K

3��4� &� ������ !��� E� DDD� �������� ����������� ��� >>VL� q����������-

�� � �� ���'�� �����!�� !���� ����� ����� �������$��� 7000 700011

1007770+ ⋅ = �

O��������L� &�� ������ !��� E� EED� �������� ����������� ��� >>VL� q����������-

�� ������'�������!��!�����������������������>>V��������������!��!�����

7770 777011

1008624 7+ ⋅ = , �O��������L

�����1�Q�MPN E��������L

Деятельность "���#�����#����������� ��������������'� ����������������$�

7770 777011

100+ ⋅ . �&��������������������������EEED�%��!����������$�

7770 111

100⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ∗( )

&�������������������������#���������EEED�����J`������������

7770 70 111 7000111

1007000 1

11

100= ⋅ = ⋅ = ⋅ +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

W���������������������#���������������Os���������������EEED�

7770 111

1007000 1

11

1001

11

1007000 1⋅ +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ ++⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

11

100

2

t������������ ������������J����������������������_ ���������������-

J`��������������S = ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟7000 1

11

100

2

Page 74: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

72

Глава II

!*��M�������5�(�8 ����K���� ��!���8��!�������8�����L��0�b�';;;;�B����CL�

r�b�+�zL�n�b��L�S (ман.)= +⋅⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =50000 1

7 3

10060500 .

(�8 ����K���� �� ����8��!�������8�����[��0 = 50;;;�B����CL�r�b��;�zL�n =��L�

S S r(ман.)

n

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ =

0

2

1100

50000 110

10060500 .

E��� �����L� ����� ���$� ��� ���������%�� ���� ���� ����������%� "���� ����G� F����������"� ���������%����L�F��"����!������� ������"� �A����8����!*��M����� ��5� ]C� E����� ����� !� ����� �$� ����L� � ������%� �� V� �� VV� "���� ���� ������!���8��!�������8������������������\

$���#: KEz�b��'z�b�;L�'L��0�b��;;;�B����CL�n =11

12(месяц) (года)=

S S r n (ман.)= + ⋅ = + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =0

1 3000 1 0 151

123037 5( % ) , ,

$$���#: KEz�b���L'z�b�;L��'L��0�b��;;;�B����CL�n�b����B������C�b���B8��C��b��0�B��f�KEznC�b��;;;�B��f�;L��'�g��C�b���#'�B����C�"C��E����������!� ������$�����L�� ������%���VVV���VW�"�������� ������ ����8��

!�������8������������������\�$$$���#: KEz�b���L�zL��0�b�';;;�B������CL�n�b���B8���C

S S r(ман.)

n

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + =

0

21

1005000 1 0 123 6305 645( , ) ,

$&���#: KEz�b��#zL��0�b��;;;;�B������CL�n�b���B8���C

S S r(ман.)

n

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + =

0

31

1001000 1 0 14 14815 44( , ) ,

�C�(�8 ����� ���&L��0�b�#;;;�B������CL�KEz�b��'zL�n�b���B8���CL���b�\���K���� ��!���8��!�������8�����[���b�#;;;�B��f�;L�'�g��C�b�'�;;�B����C����K���� �� ����8��!�������8�����[���b�#;;;�B��f�;L�'C2�b�'�7;�B����CE��������L�K���� �� ����8��!�������8������"� �����8����L�����'�7;�� 5200.

!*��M�������5�(�8 ����� ���&L�KEz�b���L'zL��0�b�';;;�B����C�]C�i ��n�b�)�B������C�b�;L'�B8���CL��8�����b�';;;�B��f�;L��'�g�;L'C�b�'���L'�B����C�"C�i ��n�b��'�B������C�b��L�'�B8���CL��8�����b�';;;�B��f�;L��'�g��L�'C�b�'+-�L�'�B����C�J����'%��#����'����)������������������[�D���� ��!���8���� ����8��!��������8��������M����8��!������&����"����������!���������H��M������ �P���������!���� ���!��� ���&�$�����L�����&�K���� ����� �����!���������H��P� ���� �����������������������L����"�����!���!���������!�$�����!� �$�&L�����������L�K���� ��!���8��!�������8�����L���!�����������������U�K���� �� �����8��!�������8�������( �"������M�������������!� ��&����� �����!��K������ ��� !���8�� �� ����8�� !�������8�� ����� H��� �L� �������� ��� �������L����� ���� ������"� ��� G8����$�����������?��������������1H��� �L��MG���$�!�������K���� �� ����8��!�������8��������$�����L��������������!��������L��"�"M���!��%�������

Page 75: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

73

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

����������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X���������!������������A�����!�����$�����K���� �� ����8��

!�������8������H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!���!��������������A�����!�����

$�����K���� �� ����8��!�������8������H�������VVV (������ ����!������������A�����!�����$�����K���� �� ��P

��8��!�������8������H�������VW ��������� ���"���� !��"��� �� ��A����� !����� $����� K���� ��

����8��!�������8������

Образец критериев для составления заданийдля малого суммативного оценивания №3

� H�������

1 �����������%����!���������� �����!���$�� ���

2 H!��M����������������!���&������� �����!���$�� ���

3 �������������A�����$�����K���� ��!���8��!�������8������

4 �������������A�����$�����K���� �� ����8��!�������8������

Page 76: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

74

Глава II

Образец малого суммативного

оценивания № 3

�5�*�!�A���!���$����������������!�P��������� �����!���$�� ��[

]C�x � x � x � x � x � x = "C�-�� 8 � 8 � 8 =�C�BU_;L'C���BU_;L'C���BU_;L'C�b

8C�− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅− =5

8

5

8

5

8

5

8

5

8

5

8

�5��X�!�A����� �����������������������������8�����[��#L'�b������������ (���[��������'L-7+�b����������� (���[�������;L;7�b������������� (���[�������

�5�=��� ��[]C�)#�� 23�[��)�b������������������"C�-��[��3 � 35 b�������������������

�5��@!���� ��� !� ���&&� ��K��� $����P�����!����799:���������������������������������

�5��X�!�A���������������������!����������������.an + 5 � a-�U�n : a9 =

�5�X�!�A���������������������!���[

]C�1

5

1

5

1

5

10 6 12

x x x⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =:

�������������������������������

"C�BU_mC14 ��BU_mC16�[�BU_mC16 = ��������������������������������������������������������������

�5��=� ������� ����������� ����� "� $�!�PA���� ����� �� �L� ��"�� !� ��� �������������������]C�B�6Cx = 318L� � x�b����������"C�BaxC14 = 370L� � x�b�����������C�B+4Cx � 79 = 721L� x�b����������

�5�,������������������$���������!���[BU_'a2:?4C2�b�����������������������

5�X�!�A���!���$����������������!���[25m8n6 b��������������������������

�G5��*�%���� !���$�������� ����� ����L�$��!��A����8����FKK���������!���[

0 51

816

2, b c b⋅ −⋅( )=

E�FKK�����[����� (�!���[�������5�X�!�A������"����������!���[

]C� ab

9

9 �

"C� 9

25

4a�

�C�− =1

27 8C�−( )( )

=5

7

10

6

ab

��5�=��� ��[�]C�U_�3�f�BU_#C2�b������������������"C�#3�U�+�g�BU_�3C�b����������������

�C� 62

35

1

4

3

2

−⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟=

��5��*�%���� $�������� ���������� !��� a�b�U_;L�����b�b��L)�

a b

a b

35

7

27

23

( ) ⋅( ) ⋅( )

=

��5��(������ ��� ��';;����������"�����8��������!�����������������'z���� �������%�������(�� ��������8��� P����"�����������"����(����������$�'� �\�������������������������������������������������������������������������������������������������

��5��=�����&������!��������#;;;���P���������$���8���L�� ������ �������"������;z������������������8��!������M�8��8���\������������������������������������������������������������������������������������������������

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

Page 77: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

75

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Урок 2.11. Конгруэнтные треугольники

C���)���1��������X������!��������!��$���������8P��F���������8� �������E�������� ���"����1 @!���� ��� ��%��� ���8P��F���������8� �������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��������L�"� �%� �

O�)���#�1

*���$�����������������������N�������#�*�����'1O$������� ��A���� ��������M���� ���&� !����� ����� �� ���8��F�����B�������C�K�8�������� ��!�����������!�����"�F���K��8�����������%����M�%����!� �������� ����L�

������&� �� ���"������ *��������� ����$���� ���8� ����L� ����������%� ��� "� ��� ��L� �������������� B� ��"� �A�C��O �����L��������K�8�������� �&��!�P ��������������������8����� ������8� �������H��M���L��� ��������8�������8��F�����8� �����L�����$���&���G���������"����������&M�������������8 ����?�������"��$��L���������!�������������B���8��F����C����8� ���������R��������"�����[�,��������������M�������������!���� ����L���$�����L��"�P$������������8��F��������8� ��������=����������$����������8��F��������8� ����P�������� ����"�����������������������M������!� ������ �����"����J����'%��#����'����)������������������1=����������!������������

���� ����������������$������!����������8���� ���*�!�����L�$�!���;L'�b1

2�����P

��������K�8�������!����%��$8 ����������"� &����������������E��L���!�����L�!������G��������������������K�8���[�����$� �������������B!�����M����L�!������L��"��M����C�F��K�8���������������!� ��������8�������8�L���"��������������&M�����������!��� �L��8���F��K�8�����������*��F��K�8����������������L���������$�����U��P�� ������K�8�������F����!������8��F����&�K��8��������!�������������������Y��������������������������M����B� ��������"����P" �$�����������!���������8�������8�L��������U���$���� &��C�

B����)��������#�> ��*���1 E������ ��"�������� �" ���&� ���8��F�����K�8���\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����

Глава II

68

2.11. Конгруэнтные треугольники

∆ABC � ∆A1B1C1Деятельность

�5 q�!�����������������������������!�L

�5 @������������������������������������������!������L

�5 R��������������'������S�������������!��������������!�������L

A

B

C

A1

B1

C1

�5 q�������I�!�����������K�&������������S���������������������!����

����������I�!�L�u����������S� �����������������������I�!����!�

�����!�K�X��������������� ��������������K

����������������������������J��$�����!�%���������������� �!�����

������!������������������J��$����!�%�������!����L

v������������!�������������������J`�������������!������!�%��-

�� �������������!��������������J��$�#�� ��;���'�L�

H��!�%�����������!��������������������$��������wC�CxL�

�yz{�����y1z1C1^��� � ���� � yzC�Cy1z1/� y{C�Cy1C1/� z{C�Cz1C1� �� �yC�C�y1/� �zC�C�z1/�

�{C�C�C1�������!��������yz{���y1z1C1����!�%����L�

&����!�%���������!����������������������������������!�%���������T

�������������!�%������!������������������������������!�%������!����

���������!�%�������������L

A

N

C

M

B

K

v���� ���!���������yz{����� |}~ � ��� ���!�%������

�������������!�%������!��������$������������������-

��� ��������������������������$����%�������!��������L�

yzC�C|}/�z{C�C}~/�y{C�C|~

�yC�C�|/��zC�C�}/��CC�C�~

yzC�C}~/�z{C�C|~/�y{C�C|}

�yC�C�}/��zC�C�~/��CC�C�|

<�����5

<�������5

Page 78: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

76

Глава II

E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=���$����������8��F��������8� �������!�� ���������!������P G�����!� ������ ������=���������������������8� ���������������8 ���������P������������ ���������8��*�$��������8� �����L����M������ ����������!������P �������������� ����8L����$���&M���������������8 ��L�!� ������ �����"����]C�`aj��¡¢�rL��������� �̀b��¢L��a�b���L��jb��r�"C�ja �̀�¡r�¢L���������j�b��rL��a�b���L��`b��¢��C�a`j��¡jraL���������`aj�b��ajrL��a`j�b��arjL��`jab��jar�8C�a�r� aj`L���������ra��b��`ajL�� �̀b��rL��jb����!*��M�������5������$�"�����������8� ������>=(L����8��F���8�����8� ������kslL���$��M������� ��� ��������������A����� ����"�������L�����!���$��������������!*��M�������5O$����L��������G��8� ������`ajr���kl�m����8��F����B�����C���� ��������$�������8��F��������8� �������[¡`aj��¡kl�L�¡`rj��¡km��+�//���������������"����1( �"������M����$�P�����&����������$���������8��F��������8� �������� �����$����������������P������8 ���(��� �&����������F���$��������%����� ������������������"����� ������ ��F������M������!� ��� �����$��������(� ��������M������$��������������8��F��������8� ���������8���$�"�����������"� ��� ����%�������.����?��������������1����� ���"�"M���!��%������������8��F��������8� �����������������n�@!���� ����!����� ������'#������������������H�������V X������������!���� �����!��$���������8��F��������8� ������^�

����$��������8��F��������8� �����L������������!���� �����!��P�� ��������������������8 �^*��������!���� ���������&M������������8 ��

H�������VV ,�!���������������A�"���!����!���� �����!��$���������8��F�P�������8� ������^@!���� ������8��F��������8� �����L��!���� ����!���M�&�����P �������������������8 ��

H�������VVV (������ ���� �!���� ��� ������� ������ �� �8 �� ���8��F��������8� ��������

H�������VW @!���� ���!��$��������8��F��������8� ���������"� ��� ���������������

Урок 2.12. Первый признак конгруэнтности треугольников

C���)���'1��������X������!��������!��$��������8��F��������8� ��������#������������������������$������������������%��� �������$�����%������8�&�

Page 79: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

77

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

E�����������"����1�C��X���� �� !�������� !����%� !��$���� ���8��F�P

�������8� ��������C������������������� �����$�����%������8�&�K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������5N�������#� *�����'1 *�� !������M��� ������ �$�"����8��"� ������$�������8��F��������8� �������H���M��L� ��!� ��&M��� ���� ����L� �����&� �����"�����L� ��� F��� ���8� ������L� �!���� �&L� �������A����=���(�����8�����8� �������������������� �����&�� ��� ���A���� =1� �� (1� ���8�8�� ���P8� ������� ?�� ��� �� ��$� ���� !�����M����� ����������������� ����!� ��8����!����������8� ������L�����������������������8� ����������������8�����8� ��������� �����&������������������8� ����������������8�8�����8� �������*���$�"���G�������!��$������L�!��8��� ����%�������!�&����� ���������L���P�8� ����������������&�����������8� ���������8� �������������H��� ���"P���M���������M���L���"����"�����������"Q�����������$� ������ ����������/����������M������ �A������������ ���"Q�����!����%�!��$�������8��F��������8� ������. B����)��������#�> ��*���1 E��� !��������� !����%� !��$���� ���8��F��������8� ������\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"������� ���"��$�����$��&��!��8��!!���E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�O$����L����`aj��m£k� r�¢��=�F��� �����`a�b�m£�b�r�L�̀ j�b�mk�b�r¢L�aj�b�£k�b��¢L�� �̀b��mb�rL��a�b��£�b���L��j�b��k�b��¢��( ������ ���L��" ������ ����"���$�!� ��������� ���&M����"��$���

ABC _[\��p[f\���p�[\�G�°

_[\�%�p_f\�%�p�_\��°

qrc m£�b�)��^�£k�b�����^��£�b��;'°

m£�b�+L'���^�mk�b��L#���^�m�b�'�°

DEF r��b�)��^��¢�b�����^����b��;'°

r��b�+L'���^�r¢�b��L#���^�r�b�'�°

!*��M�������5(�8 ����������L�������$�!����`aj� km£��

Глава II

70

2.12. Первый признак конгруэнтности треугольников

Деятельность�5 ���������� ��������������������-��� �������������� �������������������

�5 ������� ���������� ����� ���

����������������������� ����!"��5 ������� ���������� 1#1C1�� ���

1#1��������� 1C1���������� 1����!"�

�5 ���������������������� ���$�-%&� ��� ���� �� �� ������������ 1#1C1��

��� ���������������� � ������ ���'�

�5 (���&������� ) ���� ��������� *������� 1#1C1'�

A

A1

C

B

C1

B1

сторона

сторонауг

олмежду

сторонами

противопо-

ложная

сторона

>����������� ������?������ ������������ ��-���� ��%�) ����� �������� ������?���������*�@D���*�������&*�?������E��������&��������� F��>���?������� �$�����������������-?������������&*��G*�?����������)� ������-���?��������������������� )&� H�?���

���������(��L�������������������������(��&�������(������������NR�������T4

I������������&���������������������������������� �������?��&���-�����HJ������������� ������������������������������������ ����?�������������������?��&�����&�����)� �� ���� )&� H����)� �����K��E����� ������������� F�

Образец

L � ����� *� ��� �MNO�������&�������?��&� �-�)���N����N���P�$� ����� �������� ��� �%��-������NQ���N��������� ����$� ���������E�����RF��>�� ����$��� ST����#ST��

3��4��U ��������� ��&�� ��������R�������-������N�����N������� ����������H�N����N���N��V��%J ������� ��%��*���������-

������� ST����#ST�E������$��N��V�%��-����� F��P��� ����� ����W����)� ���������?�������������������

� ST����#ST�

O

A

B

C

M

D

N������

Page 80: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

78

Глава II

��"��`aj� m£kL� ��������A����/�$�������EL����A����E�$�������/��!*��M�������5��"��!���� �����$�������L�����!� ���8�L������$���� ����P������ >(� �� =(L� �� ���� � ����� �� ����� (� �� !�����!� ����&� ������ B!��!�����%C����$��L������%�>(���=(.�jr�b�`j����j�b�aj���� ����������F��� ���������8� ������ >=j� �� �rj� "���� ���8��F������ ���8� ��������� ���� ���� �� ���P8��F���������8� ����������������8 �������L���� ����>=�b�ir���"���������%�A�������%��$�����!*��M�������5�E���!���� ������!������M�8���!��������L� F�� $���������!� P�������������������� �����������������$������������������� ���L����M�%����!� ����$�������!*��M����� ���5� ��"�� �!���� ��� A���������� �����M������ ��������������!���������8��F��������8� �����L�������8���$������������� ������ ��� >=�� =� �A������ ����������M��������$��������!���� ������ ����>=�!�� !������� !��$����� ���8��F����� ���8� �P������!*��M��������5������!� ������F�8����P�������8�� $������� !�������� ���&M��� ���P�����������M���[���!� ���A���� ����!�����C�U���"� L���!� ���A���!������C���"C�U���"� �L���!� ���A��������!�����!� ���&���"� ���H��M������ ������!� P������A�������"Q��������L�$�!��������������������L�!�����������!���� ����K���� ������?��������������1�H��� �L��MG���$�!�������!����%�!��$�������8��F��������8� ������L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X���� V� !��$���� ���8��F����� ���8� ������L� $��������� �� �8��

!�����������^*�������!����������������������� ���������8�&�

H�������VV X���� V� !��$���� ���8��F����� ���8� ������L� ��!����� ��$����P� ������A�"���!���!���������^����������������������� ���������8�&L��� �����$����� ������A�"���

H�������VVV X����V�!��$�������8��F��������8� ��������������� ����!�������^(������ ����!���������������������� ���������8�&�

H�������VW X����V�!��$�������8��F��������8� �����������������!�������^@"���������!�����������%���������� ���������8�&�

Page 81: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

79

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Урок 2.13. Второй признак конгруэнтности треугольниковC���)���'1��������X������!��������!��$��������P8��F���������8� ��������#������ ��������� �������� �$�������� ����������%���� �������$�����%������8�&�E�����������"����1�C��X������!������������%�!��$�������8��F���P

�����8� ��������C������������������� �����$�����%������8�&�K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1(��� �&��$��������������PM������!� ��&����� ����L������&������"�������(������������8� ������!������%��������������

�8 ����@�����$�!� �����������8� �����������$��������� ��������������8�%����P8� ������H��M��������$���&���G���������"�F����J����'%��#����'����)������������������[�H��M�����"����&��������P�o�����������$���������!������������(�����EL��������%�¢�B!���$����%�������� �����C��=�F��� �������!���M�����M����!�����������$���/¢��H����M����!���A���&���������"��8 ���E/l���¢kl�B�8 ����� ���&L��"��F����8 �������8��"����������8 ��>���);�C��=� �A����������������M���������� ���"Q�������P��%�!��$��������8��F��������8� ��������(�!���M�&����!�&����� ��������8� �P���������������&��!�����!� �����L�!�� �8�&M������������8 ��

B����)��������#�>��*���[�E���!�������������%�!��$�������8��F��������P8� ������\�

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5���"������$���¡jsa��¡`srL�������"������L� ��� ����� ������ �� !�� ���M��� �� ��%� �����8 ��F������8� ��������������O$����L����`s�b�sjL��sja�b��s`r.

@�������������������������� ������8 ��L��asj�b��`srL� ������ ���L������� @(� �� !�� ���M��� �� ��%� �8 �� @(=� �� =@(� ¡jsa� ���������� ������������@���!�� ���M�%�����%��8 ���j`r���̀ sr�¡`sr��(�8 �����������!��$��������8��F��������8� ������L�¡jsa��¡`sr�

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

73

2.13. Второй признак конгруэнтности треугольников

Деятельность

�5 L $���� ������������)�������������\����� �� ��������m���)���]O����������&�E�����RF�

B Na mA M �������5 ����������&���@!"�����^�� ������$� *�����M�E�����\F�

A MB N

�������5 ��������� ���� ���_�"�����^�� ������$� *�����O�����������������D���������� �������M�E������F��

A MB Na m

�����$�5 N%�)� $���$������$����������������������%��������� ��$����-��$����������������]���O�V�%������`�

�5 �&�) �������a ������������������ ��������� �����������]Ob�E���)��� ���� �����F� -

�����%� )����$�%&���^�� ������� � �����^�����

M����^�� ���V�����^�����O����?������$ ���� ����

��^��������� �G���^�� ��'�N%������������-

��E�����_F�

�5 ����������� $�� �$� ��� ���� � � �� �H%��� �$����c����)���������?�'���$��'�L $�����)���Mc����%��������������

�����-

A

M

B

N

C

KF

?

���������(��L���������(��&�����������������������������#���*��������(����NRR�������T4

I���� ����� � �� ����� J�� �� ��� �� � ��� � ������� ��������� � ���-

���?��&������������������������ J���������������� ����������

��������� ����?���� ���������� �������?��&�

���������)� ��� )&� H�J�K�K�E����������� ������F�

A

CB

D

O

Page 82: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

80

Глава II

!*��M�������5�i �����$���`r��� ����"������%��j`aL����r`a�b��r`j��( ������ ���L�������̀ r���!�� ���M�������%������8 �����8� ������̀ ar������������������������̀ r��B�"PM��������C���!�� ���M�������%��8 ������8� ������̀ jr��?������"���$��L�¡`ra��¡`rj�!*��M�������5�=�������������������L�������&M�%�� ���&�$�������O$����L�����������!��� �������$���>=���jr�!������&���������@���>@�b�@(��]C������ ���� �8 �� `sr� �� jsa� �� �&�� ������ �����L�

�� ���� ������� ���� ���� `a� b� jr� �� `s� b� sjL� ��sr�b�sa��( ������ ���L��������������8� �������������� ����8� ������� `sr� �� jsa� ������ B!��$���� (H(CL� ����¡asj��¡rs`.

"C����� ����¡asj��¡rs`L���������������8 �������L������`aj�b���̀ rj�!*��M�������5�]C�(�8 ����� ���&L�s �̀b�sj���sa�b�sr��( ������ ���L�¡`sr��¡jsa��?�8���������&M����P�����F������8� ������������L�����"��� �����̀ r�b�aj��C����� ����¡`sr��¡jsaL����s`r�b��sja�

?�8�����������8 ��F����8 ���"�����r`a�b��ajr�!*��M������ 5�@!����������������� ����L����&��������� ������L�!���������!����8 ���

A

B

CK

D

A

B

C A

B

C

D

K

�C������ ���&�`a�b�`j����`rj�b��`ma��H8� �>��� �����"M����8 ���� ���"�������8� ������L��8����`am�b��`jr��?������"��$��L��������8 �����8� �������`am� ��`jr� �����L� ���� F�� ���8� ������ ���8��F����� ?�8��� ������ am� ¡`am�����������������������jr�¡`jr��

�C�������a`jb�7;°�F��!��!������ ������!���&�����$�����>=���>(��?�L�������������L��������� �����

�C��=��!����8 �����!��!������ ���L�!�����G������$������=���(L�!�����������!������>(���>=��=�F��� ������8 ��=>E���j`r�U������� ������8 �[��a`m�b��j`r��?�8�����F��� ��������8� ������>=E���̀ jr����8��F�����?���L�=E�b�jr�

A

B C

D

A C

BD

O

A

B

C DO

K

Page 83: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

81

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

��R������� �"�����[� H��� �� ��K�������L� ��� �� ������ �8 �� ������ �"�$������8������L� �����%L� ������%L� �"Q����� ���A����� ������ F���� ����������� *��!��������!���$�����!���"��$��������=������&����M�������������° = 60oL��o = 60ooL�1 1

60/ ,=

° 1 13600

// =° . , ����!� ������

F���!���"��$�����%�������!��8������$������: 45° = ... oL���;o = ...°L���°10o 5)oo + 40°25o45ooL�';°�U��)°43o�������,�� ��������� ���M���� �������� !���� �� ���������� 8������L� $�!������� �� �������������%����"�L�������������������[��L'° = 12°�f�;L'° = 12° + 30o = 12°30oL

156 25 156 25 156 2560

156 42° ° °°

= + = + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈ °/ / , ,

42 34 55 42 3460

553600

42 0 6 0 02 42° °° °

= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈ °+ °+ ° =/ / / , , ,, .62°

~ 45 км

1//

1//�)�%�������������������!���(������)��&�(���� ����������������-/����

!*��M��������5�]C�+�L#¤ = 73¤�f�;L#¤ = 73¤�f�;L#�� 60o = 73¤ + 24o = 73¤24o^�))L�¤ = 66¤�f�;L�¤ = 66¤�f�;L��� 60o = 66¤ + 12o = 66¤12o^���'L�¤ = 125¤�f�;L�¤ = 125¤ + 6o = 125¤6o^�#�L7�¤ = 41¤�f�;L7¤�f�;L;�¤ = 41¤�f�;L7�� 60o�f�;L;��� 3600oo = 41¤ + 54o + 108oo = = 41¤54o + 1o48oo = 41¤55o48oo^� ��L'¤ = 12¤�f�;L'¤ = 12¤ + 30o = 12¤30o.

"C���¤36o = 12¤ + 36o = 12¤ + 36 160� = 12¤�f�;L)¤�b���L)¤^�

44 16 25 44 16 25 44 16 160

25 13600

44 0 26 0° ° °° °

° °= + + = + ⋅ + ⋅ ≈ + +/ / / / / / , , 0007 44 267 44 3° ° °= ≈, , .

54 30 54 30 13600

54 1120

54 0 09 54 09 54 1° °° °

° ° °= + ⋅ = ° + = °+ = ≈/ / , , ,

135 56 10 135 56 10 135 56 160

10 13600

135 0 93° ° °° °

°= + + = + ⋅ + ⋅ ≈ +/ / / / / / , °° ° ° °+ = ≈0 003 135 933 136, ,

!*��M����������=�!� �������� ����[]C�+¤15o + 16¤30o = 23¤45o^�¥C�#)¤25o � 17¤59oo = 46¤24o60oo � 17¤59oo = 29¤24o1oo^��C��';¤21o12oo + 51¤16o51oo = 201¤37o63oo = 201¤38o3oo^8C�#�¤18o � 25¤10oo = 41¤59o60oo � 25¤10oo = 16¤59o50oo^��C��+'¤13o � 101¤43oo = 175¤12o60oo � 101¤43oo = 74¤12o17oo^��C�7-¤15oo � 53¤45o = 97¤60o15oo � 53¤45o = 44¤15o15oo^GC����¤36o � 2 = 46¤72o = 47¤12o^�C��#L'¤�U�)¤7o�f���L�¤�b��#L'¤�f���L�¤�U�)¤7o�b�')L)¤�U�)¤7o = 56¤�f�;L)¤�U�)¤7o =

= 56¤ + 36o�U�)¤7o = 56¤36o�U�)¤7o = 50¤29o^�$C��++¤19o ��')L#¤ = 77¤19o ��B')¤�f�;L#¤C�b�++¤19o��B')¤ + 24oC�b�++¤19o � 56¤24o =

= 76¤79o � 56¤24o = 20¤55o.

Page 84: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

82

Глава II

!*��M��������5�H8 �����8� ������>=(��������'L-¤���##¤53o����"���!���� ������%��8� ����8� �����L����-;¤� ���������������������F����8 ��[�

180¤�U�B�'L-¤ + 44¤53oC�b�-;¤ ��B�'¤�f�;L-¤ + 44¤53oC�b��+7¤60o ��B�'¤48o + 44¤53oC�b= 179¤60o � 59¤101o = 179¤60o � 60¤41o = 119¤19o.

�����: 119¤19o.����?��������������1�H��� �L��MG���$�!�����������%�!��$�������8��F��������8� ������L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X����VV�!��$�������8��F��������8� ������L�$�����������!����P

�����L���������!�����������������������$���������8 �������8�&�H�������VV X����VV�!��$�������8��F��������8� ������L�!���!������������ ���

�������������A�"��L���!������!���� G������A�"���!���!����������P��%����������$���������8 �������8�&�

H�������VVV X����VV�!��$�������8��F��������8� ��������������� ����!��P�����L������!������A�"��L�!����������������������$���������8 �������8�&�

H�������VW X����VV�!��$�������8��F��������8� �����������������!������P�L������� ����!����������������������$���������8 �������8�&�

Урок 2.14. Свойства равнобедренных треугольника

C���)���1 3.1.1. X���� �������� F ������ ��P�8� ������������A���������������L�8������������$��"�������E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%��������"������������8� �������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1,������ ���$����������L���!��$������L�!��8��� ����%�������!�&����B� ����� ����CL� ������������ �����"�������%� ��P�8� ����L� �8�� "������� ������ �� ��������L� ���PA����� �� �8 �L� !�� �8�&M��� �� �������&�� X�������!� ���������� ����L� ������� �� ���"������ @P���������� ��� ���� ����L� ���M���� ���� "������� �8 �� !��� ���A���� �� ��P

Глава II

76

2.14. Свойства равнобедренного треугольника

������� ������������������������������������������������)����'���� �����#������������������������� ���������������������������-���������� ������� ������������������������ ���������� ���!� ���"#��

$�������� %�������� ����&�����%�� ���������������������� ����

������

Деятельность

'�%������������������������� ��(�5��)�&��� ���������������%�������� ��*�'��

*��+��'�!� ���-#��8��: ���������;� ����< -��� ������;� �:�= ��������� ��

�5��)�&��� ���� ������ -��� �>� ���� ;� � ���?< ����)��� ���;�?&�����������@������:���������������� A����AB�!� ���C#

�5��D:�� ������:������&��������� � �*�>� �'�>������B�E��%��;?��<�����;� ����������-������������ �����;������������ A�����-��� ��B������: ����� ���� ������A�*� �'�!� ���C#��

A C

B

������

A C

B

D�����$

Свойство углов, прилежащих к основанию равнобедренного треугольникаТеорема

% ��&�'�(���)(��*������(.�����/�0��� ��1��� ��3(*�&�*� ��41��!�����������'1�FGHI�������������%��GH�+�HI�!� ���C#�!����M)���������'1�G����C.

Докажите самостоятельно.)�&��� ��� � ������ ��� H>�FGHI�� J�;���%��� ;� �����'8'������������������ ���

Page 85: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

83

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

���$����&���G����������!� �����������8� �������>=r���jar��(�8 ����!�������!��$������ ���8��F����� ���8� ������L� �"�������&� ���8��F����� F��� ��P�8� ��������� H��� �� �������� ����� � ���M����� �� ��L� ��� �$� ���8��F�����F������8� �����������������������MG����������F �������F������8� �������H���M�����$������&��� ������������������8 ��L�!�� �8�&M������������&��?�P�����"��$��L�!� ��������%������������8 ��L�!�� �8�&M������������&�������P"��������8�����8� ���������R��������"�����[�H��� ������������%������������8 ��L�!�� �8�&M������������&� �����"�������8�� ���8� �����L� �� ����� �������� H����&�� � ����� ��������������������,���$�� ���� ������� !�������� ���M����� =� ��%��� ����L� ��!� ���� ���P� ����L�������������$���&�F���������*�� ���&M���F�!����!� ��������������� ������X�����!���� ���L������P������L�!�����G������$����A���������������8�����8� �����L��� ���8������������P8��F���������8� ������B!��!��$�����(H(C��O$����8��F�����F������8� �����������M�����!���� �&L�����8 ��`ar���jar����������L�������������ar� ��� ���������� "������%�� X���� �!��� �$� ���8��F����� ���8� ������� ���M���� �!���P�� �&L� ��� �8 �� `ra� �� jra� �� �&�� �������� �� �������� �8 ���L� ���� �`ra�b��jra�b�7;°��( ������ ���L���������ar�������� ��������%��?������"P���$��L��!���� ������%����8�L�����������������"�������8�����8� ��������� ��P��������8��"������%�������%����R��������"�����[�H��� ����%��������������P��"�������8�����8� �����������������������������H����&��� ��������������������������,���$�� �����������!�����������M����B������P�����!� ���������� ���������$�� ������M�P� ���C�B����)��������#�>��*���1�E���!������&����%��������"�������8������8� �P����\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M��������5@������������������L����M����� ���!���� ������8 ��������8�����8� �������!�����&���%���������L������� ������8 ��L�!����������%����8 ��L�!�� �8�&M������������&������"�������8�����8� �����L��!���� �&��8 ���

A

B

C

125°

44°

C

K

D

32°

M

T

P

a) б) в)

]C�(�8 ������%�����������8 ��L�`aj��`ja�b��-;°�U���'° = 55°L�

14.�������������� ��� ���� ��������������������������������������

������ � �� � ���� !�!��!� � ����������"� #�$ ������ ��� %� &� '��$

�������������(���"�))*"

S P

C

60

°

SC = SP = CP

�������

��5N��#��"��#��������5+� ,���!��� �� ����!�!�� �������%%�"

$ ��**�1��#�������/��������0�� �������������

01� ( )2* �

A

Page 86: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

84

Глава II

�`ja�b��a`j�b�''°�B�����8 ��!�� �8�&M������������&CL���a�b��-;°�U�B''° + 55°C�b+;° B!������������������8 �����P�8� �����C.

"C�(�8 ������%��������� ������8 ��L�rmj��jrm�b�##°L��jmr�b��jrm�b�##°�B�8 �L�!�� �8�&M������������&CL���a�b��-;°�U�B##° + 44°C�b�7�°.

�C�(�8 ������%��������� ������8 ��L��k����k��b���°L��k���b��k���b�B�-;°�U���°C�[���b�+#°.

�����[�]C�''°L�''°L�+;°��"C�##°L�##°L�7�°���C���°L�+#°L�+#°.!*��M��������5(�8 ����� ���&L��̀ aj�b�#-��L��̀ am�b��)��L�`a�b�`j��i ���$P����L����>E�U��������L���=E�b�E(�( ������ ���L���b�̀ a�f�aj�f�̀ j�b��`a�f�am�f�mj�b��`a�f��amL� ��B`a�f�amC�b�#-��@&���̀ a�f�am�b��#���?�8���`am�̀ m�b��̀ am�U�B`a�f�amC�b��)�U��#�b������� � � � �����[������!*��M��������5������!� ������$������������%��8� �!�������� ���� �����!��P����$�����A����%��8� L�����%���$�U�����!�� �8�&M�%����������&��8� �]C��i �����A����%��8� �"����������'-�L��������%��$��8 ��L�!�� �8�&M����������P

��&�"����B�-;��U�'-�C�[���b�)��.i ���8� L�!�� �8�&M�%����������&L�"����������'-�L�������%��8� L�!�� �8�&M�%����������&L�"����'-�L������A����%��8� �������-;��U���� 58° = 64°.

�����: 58°L�)�°L�)�°�� ��)#°L�'-°L�'-°.+�//���������������"����1( �"������M���L�� ������������8������$�����%P��������"������������8� ������L��� ���������!���������8����!���������P������Y����%��������"�������8�����8� ������U������!�������������%��������A�����$���������F�%�!������������L���"�������%����M�%��$�� ��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%�����������%���������"�������8�����8� �����������!��������������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X���L������������!����������%��������"�������8�����8� ������H�������VV X���� ��%��� �����"�������8�� ���8� �����L� ��� ��!����� �!����P

G������A�"���!������!����������H�������VVV X������������ ����!����������%��������"�������8�����8� ������H�������VW X���L� !�������� �� �"��������� ���� �� �� �� ��%���� �����"�P

������8�����8� ������

Урок 2.15. Построение треугольника по трём сторонам

C���)���1��������,� �����$���!�!� ��L�������������%�!��!������ ������$��L�"��������8 �������8� �����!���8���������

A

CB

K

Page 87: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

85

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

E�������� ���"����1 (���� ���8� ����� !�� �G���������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 ,��� ����L� ������� �����"�����L� ��!� ����� ������� ���M���� ��������P��� ���������!� �����!�����������8� ������!���G�� �������� ���� ���"�������� ���� �L� ���P��� ��������"������M���L�����������!���� G��������!��� ������ , �� ����8�� ��!� ������ !�������������%� ���M�%�� �� ���� $���L� ���� !���� ����!� ��$����������� ���I� �&��������� ����!�����������8� ������!���G����������, �����������F�%��� ������ ���� ����"��������� �������"��������8�����M�8����� ������ �������!� ��&��$��������$����"�����B����)��������#�>��*���1�E�����������8� �����!���G��������\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�O$�����������L����!�������� �������!����%�m�����������P���E��E���������� ���������&�������������� ���%����$����L������%�E�������������� ���������������������������������������������������l�U������!��������������������!����%�m��X��������$�������������������������P�������� �L�����������������������������������������������l��?�����!����P������F�����������%���������/��?�����EL�l���/�!� ������ ����������&����� ������%�¡E/l�U������"�������%����8� �����B�"�������������M����C�����?���� � ���������1 H��� �L� !������� !���� �� !�������� ���8� ������ !���G��������L��"�"M���!��%�����������������n���������

!����� ������'#������������������H�������V X�����������������8� �����!���G��������.H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!�����������8� ������!��

�G��������.H�������VVV (������ �����������8� �����!���G��������.H�������VW (�������8� �����!���G������������"Q�����!�������.

Глава II

80

2.15. Построение треугольника по трём сторонам

Циркуль, линейкаДеятельность

��������������� ����������������b��.�5����������������� ������� �������������������������������������������������������������������� ����������� ����

�5��������� �������� � ��!� m" #�$��� �������� % ����&"m

�5'��������(���� ���� ���%�������!������� ���(��� �������� ���$�!��� �"����������������� ���������(������������&������ ����������������!������������!���m��%����� ��)�����%����*"

a a Bm

A

�5'��������(���� �������%�������!����������(��������������$�!��� b;����������������� �������b�(������������&"

Bm

Ab a

�5'��������(���� �������%�������!����������(��������������$�!��� �W����������������� ���������(������������*"

a Bm

Ac

b

a

c

Page 88: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

86

Глава II

Урок 2.16. Третий признак конгруэнтности треугольников

C���)���1� �������X������!��������!��$��������P8��F��������8� �������E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ���%�!��$��������8��F��������8� �������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �������L� �L�8��$��L��� ���L����������������L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������.N�������#�*�����'1=�!� ��������� ����L��������������"����������F������������������������� � ���� ����������� ���8� ������ ��!� �8�&����L�����!���$�����������������@���������������P� �����L� ��� ������ !������M��� !��$������ ���P8��F������� ���8� ��������!���� ���L� ��� ���P8� ������������������������������� �&�����8��F������

��R������� �"�����[� H��� �� �������� !��$���� ���P8��F����� ���8� ������� !�� �G�� ������� �� ����� ��P�������,���$�� �����������!�����������M�����H��P� �� ����� �!���� G����� �"��$��� ��!������ ���M���L���!� �$�&M���� ������$�� ����!����������������������*�� ���&M��� F�!�� ���� ����� ��!� ����� !�����P������� ,��� ����L� �����G����� � ����8�� ������ 8��$�G�L�!������! �&����������,��8����������������&����P"��������=�F��� �������������������8����*���������$P���������8��L�� ��$����!�����F�������������&�������=� �A����������������M��������%�����%��������

���8� ���������!� �$��������8�����!������L�!��������!��������*������!�&�������������&��!�������!���!� �$�����&����8� ������

B����)��������#�>��*���[�E���!������������%�!��$�������8��F�������P�8� ������\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�O$����L����`aj� m�k� r�¢��?�8��L����̀ a�b�m��b�r�L�̀ j�b�mk�b�r¢L�aj�b��k�b��¢�O����F��������L���������!� �����" ����

`aj`a�b��;��`j�b�)��aj�b�����

`a�b�'���`j�b�7���aj�b�-���

aj�b��+���`j�b��+���`a�b��;���

Глава II

82

2.16. Третий признак конгруэнтности треугольников

Деятельность�5 ��������� ������ ��� &*+ �� ���������&*,-���*+,/���&+,0��"

�5 ��������� ������ ��� 112

1C

1 �� ���������

112

1,-���2

1C

1,/���1

1C

1,0��"

�5 '���������� ��������� ������ ���� &*+ �1

12

1C

1����������������"3"+�������������

*�21"#��������������������������� ��-

���1221�422

1"����������������� ������-

���&*�112

1�&���������*+�2

1C

1�

�5 5����� !��! ��! ����1221 ��12

12� 5��$

��)����������4221��22

14�

�5 ����� �� ������� � ��������� ����&*+�1

12

1C

1�������

�5 5����)���� �� ������ ���� &*+ �1

12

1C

1�6��������)��������������

��������

�5 6�������!� ���������������)������ ������&+�1

12

1� ���������������

�����)������ ������ �����&*+�112

1C

1�

B

B1

CA

A1 C1

�������

B

B1

C(C )1A A( )1

������

Конгруэнтность треугольников по трём сторонам (ССС)Теорема

5��(�1�(��1�����1��� ��3(*��*� ��41�����1��1�1��.)(���1������0�� � ��1��� ��3(*�&�1��41(�1��� ��3(*(�*� ��41��7�������������������!+++8�����������������������9"

!�����������'1:12;�:<=4�12�<4�1;�=4�2;�<=!����M)���������'1:12;�:4<=8���"-9+�#����������� �����'1 �� ����� �������12�<4� 1;�=4" +������� ������ ���� &2; �<=4�����������������!�������2;��������<="*�������������

�������! �����%��������:124� ������&�������>���� �� ����������������)������������� �����:12;�:�=4"8?��������������������!������ �����12;��=4������������������!��� ��"9D�����)�#�����58?���������������@@������������)������������� �����"9

�����$

Доска, гвоздь, молотокДеятельность

�5 5��(����������������������������������������C�"?�������$(����������������������������!������������������!D

�5 #%E!������ ����� ���(� )��� ����� ��������" ��� ����� ������ ����%������������� ���������������������������������������

��������������� �����5��)��������������� ����!�%���

Page 89: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

87

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

m�km��b��;��mk�b�)���k�b�����

km�b�'���m��b�7����k�b�-���

�k�b��+���mk�b��+���m��b��;���

r�¢r��b��;��r¢�b�)���¢�b�����

r��b�'���r¢�b�7����¢�b�-���

�¢�b��+���r¢�b��+���r��b��;���

!*��M�������5�O������L������%��� $������L����M������8��������������������=������������8������������!���M�&�F�8�����������������!������"�P������� &"�8���8 ���, ��F�8�����A����>�������������� �P��������������A�����8 �L�"������������8��"���������L�����������8� ������������&��������!��L�!�������!����&���������8 ��B� ��F�8�� �����!������8��������rC��=�F��� �P����!� �����>r�"������!������"������%��8 ��!*��M����� ��G5� O$����L� ��� al� b� jk� �� ak� b� jl�� ?�8���¡akj���¡jla�U����8��F��������8� ������B!���������!��$P���������8��F��������8� ������C��?�8����`aj�b��`jaL� ������ ���L�¡`aj�U�������"�������%��?�����>=�b�>(�!*��M��������5����� ����`r�b�ajL�`a�b�jr���ar�U��"M��������L���¡`ar��¡jra��?�8���������������8 ���r`a�b��rjaL �raj�b��ar`L��`ar�b��arj�( ������ ���L� �arj� b� �'°�� @��$��� `k� �� j�� U� "�P���������>/�b�(�L��r`k�b��k`a����rj��b��aj������� ���� �r`a� b� �rjaL� �r`k� b� �aj��� ( �����P� ���L�¡`rk��¡ja�L�����rk�b�a��b����� �����: �arj�b��'°L�rk�b�����J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1 O$����� ���%� !��$���� ���P8��F���������8� ������L����M�����!���� �&��8����%�����%��������A�P��������!� �$�������F�8����%�����"����H��� �������!����������M����!��P8������� !��$�����&� �"� ���������L� �"����������� �� �!�L� 8��� �!� �$���� F����%������8� ����������?���� � ���������1 H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ������ !��$����� ���8P��F��������8� ����������8��!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����VVV�!��$�������8��F��������8� ������L�$�����������!��P

��������H�������VV X����VVV�!��$�������8��F��������8� ������L������!�������$��P

��� ������A�"�����!����������H�������VVV X���� �� ������ ���� !�������� VVV� !��$���� ���8��F����� ���P

8� �������H�������VW X�����L��"��������L�!��������VVV�!��$�������8��F��������8� �P

������

B C

A

M N

A B

D C

M

P

Page 90: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

88

Глава II

Образцы критериев для составления заданий для малого суммативного оценивания №4

� H�������

1 @!���� ������8��F��������8� ������

2 X������!������������A�����$�����!��$��������8��F��������8� �������

3 X������!����������%��������"�������8�����8� ������

4 (�������8� �����!���G���������

Page 91: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

89

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

Образец малого суммативного

оценивания № 4

����i ��arm� `k�L���$�!�A������P��������������������8 ��������������������������������������������������������������������

�5��=���$��� !����%� !��$���� ���8��F�P�������8� ������[����������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��O$����L� ��� `aj� r�m�� � i ��`a�b�#����L��̀ j�b�)��L��m�b�;L;-��L����!������ ���!������������8�����8� �P������������������������������������������������������������������������

�5��,���� km�� �� `ar�� ��� ��������$��� �"� F��� ���8� ������L� � �� `a�b��#���L�km�b��L#��L��k�b�#'���� � �̀b�#'�L�k��b��7;���L�̀ r�b��7���\������������������������������������������������������������������

�5��>=(� U� �����"�������%� ���8� ���������� � ����L� ��� �8� L� !�� �8�&M�%��� �������&� ���8� �����L� ������ #��L��!������ ��L� ����� ������ ���A���������8 �����������������������������������������������������������������������������������������������������

�5, ���������>rL�!�����G���%��$����PA���� >� �����"�������8�� ���8� ���P���>=(L��������L���L�� �������������=(� U� 'L)� ��� ���� � ����L� ��� !���P���� ���8� ������ >=r� ������ -L�� �L���%����!����������8� ������>=(�

���������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��O$����L����`ar� kl��������P ����L����`a�b��#'���L�k��b���L���L�ar�b��L-� �L���%���������!�����P����F������8� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����(� !���M�&� ����� �� �� ���%��� !�P��%�����8� ����������������L#��L��L+������L'���

5��=������"������������8� ����������P����������������(�� ������ �������"������� ����������"�������F�8�����8� �����\���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

Page 92: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

90

Глава II

Образец большого суммативного оценивания № 1

�5�*�%�������������������������>���=[�̀ BU_��#L)C���aB�;�L�C�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�@�������������������� ����L���������!����an���� G�[a > 0 a < 0

n чётное число n чётное числоn нечётное число n нечётное число

an

0 an

0an

0 an

0

�5�,���������"��$�!�A����������������������"�%��*�!�A�������!����������%���������%����"�[

7

15� 2

5

24� 11

18� 1

7

16� 9

21�

�5�����"��$�%��!������������������������"�����"��������������"�[

�LB'C�b ;L�7B�C�b �L;�B�C�b ;L+B'�C�b

�5�=�!� �������� ����[�#LB-C�f���L;B#C�U�7LB���C�b�

�5�����%��"������������8���8 ��B��������C[

A

B

O

AB

CM K

N

O

��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������

�5��@��$���E>L�lj���/=�U�"����������8� ������/lE�B��������C��*�%�����8 ��l/=L�/=lL�l(E�!���� ����L������klm�b�))�L��km �̀b����[����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��������������������������$����A����>����8� ������>=(�B��������C�

A

B C�������$

Page 93: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

91

Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников

5��i ��� ������������8� ������"������L#��L��)#�������L'����L����������� ����!��� ���F�������L�� ��������!�������������\

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�G5�H!��������������[B�6C2 : 210 + 38�[�B�2C4�U���'�� 253 : 55 = ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5��?��� �� ��� ��';;����������"�����8�����������������'z���!�������� ���%���P���������$���8�����$� �';z�������! ����%�������(�� ��������8�"�������������?����� ������$�'� �\

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5��*�!�A��������� �������8� �������>=(���/lE�!���� ����L����� `a�b�-�������L�kl�b�#����L�lm�b�-L���L�̀ j�b�)'���L�km�b�;L)'����

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5������ ����L����������$��8 ��������"�������8�����8� ������������';�L���%�������8����8 ��

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 94: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

92

ГЛ А В А I I I

МНОГОЧЛЕН. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

C���)��� !"������)����� D�� =��'

2.2.1.

A���

�$$

$5J

�� �

"���

5C

���)

���'

>*�

�*��

)�#�

���

!��#�5�5 /��8�� ������8���������%���� �

2.2.1. !��#�5�5( ����������8�� ���� �

2.2.1. !��#�5�5=�����������8�� ���� �

2.2.1. !��#�5�5H�������������� ����������8�� �� �

2.2.1. !��#�5�5H������������8�� ����������8�� �� �

2.2.1. !��#�5�5��$ ����������8�� ������������� � �

3.1.2. !��#�5�5���!������ �������� ����� �

3.1.2. !��#�5�5,� ��������$���!�!� �� �

3.1.2. !��#�5 5(��������%�!��!������ ������$�� �

3.2.1. !��#�5�G5I���� ������������ �

2.2.1. !��#�5��5?��������?�����������!���"��$������ �

2.2.2. !��#�5��5J���%�������������������%�!��������% �

#�����L�1.3.1. !��#�5��5>"� &����!�8��A��� �

#�����L�1.3.1. !��#�5��5@���� �����!�8��A��� �

����������"� �

@"��$����� �8����������8�������������p�' �

Page 95: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

93

Многочлен. Серединный перпендикуляр

Урок 3.1. Многочлен и его стандартный вид

C���)���1� ������� =�!� ���� ��%���� ������L�����������������������������8�� ������E�����������"����1X�������8�� �����!�����������������������.K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 N������������ K�8���L�������������� ��������"����L� ����������� F�P�������!�&����B� ���!� �$����������������"P�����C��H��M����$��������F����K�8�������$�������R@���� ���S��*������������ ��������M����$�P!�����&�����������x3 + 2x2 + x�f���������$���&���������� �8������B����� ����C���� ����!� ���������� ��������F������������������%������"��������8�� �����

����G���� ���������8�� ��L��8��� ���L���P������%� ���L� �������� !���"���� ����� ����L���!�������8�� �����H��� ����G����"���������"Q��������� =�!� ��&�� �"��$��� �� ���������� �����

B����)��������#�> ��*���[� E��� !���"��$���� �� �������%� ���� ���8�� ��� ��P��������8������\

, ��!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5 8C�'a�g�#b2�U�;L-b�g�#b2�U��ab�g��b + b�g��b2�U���b�20ab2�U��L�b3�U�6ab2 + 3b3�U���b��#ab2�U�;L�b3�U����(�!�������8�� ����U��L���"����%�� ���U��.!*��M�������5 H��M����� 8����L������%���" ��P����L�!�������� ����$��!���P��&� � !���M�&� !����������� X���� ����� !���������� �� !� �������� ���8�� ��������$�!����&��� ����!���"��$�&����8�� ������� ��������������L������� �&�$��������������������E����%�� 8�������������M����L�!��������8����!� ���������� ���%�8��!!�.�C a2�U�a�f�#L����E����%����M�%�������!��������%���������!���� &"����� ���

�� ���*�!�����: a�b�U_�'L�BU_�'C2�U_��gBU_�'C�f�#L���b��+#L����X������!� ����� ���%��%�� 8�����

�C��*������������%��������!� ������ 8���������� ��������,�"�� ���������"������� "��� $�!����� �� ����� ���"�� B!���� ����� � �� ��!���� ����� �"�����������

87

ГЛ А В А I I I . МНОГОЧЛЕН. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР

3.1. Многочлен и его стандартный вид

Многочлен, стандартный вид, алгебраическая суммаДеятельность

�5 ����������� ������������������������������������� ���������������������������������

xx

x

x 1,51x 1x

2 21,5

�5 ������� ��������� � ���������� ���� ����! "�� ��������� �� ������������!#�������������� ����������

�5 "��������������������������������������!

Образец

$������ ����� ���������� %&'ab( )a2( *+,,b3c( -9E.+/b� ��������� ����������������������0�� ��&����3�����������������������������

3��4�%&'ab:)a2:;*+,,b3c<:-9E.+/b.=���������3������������/����������>����������������&-9E.+/b&�����������������

?��������������������������������������� �"�����@���� �S����"��#�>���>��������������&�����������������3������A����������������&������������� ���������������������A��&����-

B�������������*�����A���#�������Ca:'b :;*)c<���������&�������AD�����������&������A��"�����;�� ���S

�"�������������*E����������&�����D�3��������������F������������������������������)��"����&������������*��Lg"����.

Деятельность>������3��� ��3��������������Gb5*':E.+Hb4:Hb2*,,b:I&'H:E.+;*+,'<b:,H��5���������������������E������������!@�������������5�����������&���������������������������&���������3�����5@������������������������;�����3��������������������<�

9 + 5 – 11 + ( ) + 15b b b b b5 2 2

+ (–10 ) 35

+ ( ) – – 2b b b5

+ – 11 + 152

Многочленстандартного вида

Многочлен

Подобные одночлены Подобные одночлены

9 – 2 5 + 5 – 11 + 0,25 ( 12) + 15b b b b b b b5 4 2

–∙ ∙

9 + 5 – 11 + ( ) + 15b b b b b5 2 2

+ (–10 ) 35

+ ( ) – – 2b b b5+ – 11 + 15

2

Многочлен

Многочлен

стандартного вида

Одночлен

Подобные одночлены Подобные одночлены

Page 96: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

94

Глава III

���"�C�� ���������%����"���*��������� ����8��� 8������ �������!� ����� 8������ ���%�������" ��P������������R��SL��!����%�������U��������R��S.

w�����������1 x3 + 2x�U�����E����%����M�%�������!��������%�"������$�!����

!���&����"���*�!�����[�!���� ����� x� 34

L

3

423

412

27

64

3

212

123

6412 10

5

64

3⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ + ⋅ − = + − = − =− .

N������������1 100b�U�b2��E����%����M�%�������!��������%�b������$�!�����"���������&����"���*�!�����[�!���� �����b�b�;L��L��;;�g�;L���U�;L��2�b���L7#+��=��� �������8��!������������� ��� ������J����'%��#����'����)������������������1=����������$������������� ��������� �� ����� ���� �%� 8������������ K�8���� =�!� ���� F�� $������L� ���M���� �MG���$��!�����&�!������! �M�������"QG����H��� ������������������������M����!������� 8�"�������%����������� ������!���M�&�8������������K�8�������?��������������1H��� ���"�"M���!��%������������8�� ���L��8���������������L��!���L���FKK�������L���"������� ���.����������n�=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V ����$����� �!���L� � ���� ���8�� ���L� $��������� !������ �8�� ��

���������%�����H�������VV �����������8�� ������������%�����!� ���!���� G���8����!���P

����L������� ����!���$������!���L�� ����H�������VVV (������ ���� !������� ���8�� ��� �� �������%� ���L� !���$�����

��!���L�� ����H�������VW @"Q����L�!����������8�� ������������%����L���G�A�����&���P

K��������&����!���L�� �����

Урок 3.2. Сложение многочленов

C���)���1��������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�������� ���"����1� H��M�%�� ������� ���������8�� ����.K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?L�8������������K�8���L�����$�������$�������

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1/��� �L��������������� �P�������"����L�!��$���&���!���M�&����!�&P

Глава III

90

3.2. Сложение многочленов

Сумма многочленовДеятельность �5 ������������ ������ ������� ��������

x� 1

(3 + 3 + 2) + (2 + 2 +4)x x x x� �

x x� 1x+ ++ + +

�5 ���������������������������� ����� ������������� ������� ���� ������ ��

�5��������� ������ ����������� ����!�

(5 + 5 + 6)x x�

x� x 13 + 3 + 2x x�2 + 2 + 4x x�

5 + 5 + 6x x�

+

"�� �!� �� ������� ������ ���������#������� $�����%&�

�������������� �����������"���� � ��� ������ �����������-

��� �����������������#����������������

Упражнения

�5'&������������� ������ ��(x3)*x),�x3)/Y����������������� 8 ��� ������ ��� ���� ������

�&������������� ������ ��x3)/x�(x3)*x),����������������� - ��� ������ ��� ���� ������

9��� �����:� � ��������� �!�����%����!�;������������ �-

�����%����� ����<

�5=������������ ������������ �!� ������ ��>'&$?x@A&@$Ax)B&C �&$?x2@Dx@?&@$x2@x)A&C�&$?x3@Dx)?&@$x3)E&C �&$a3@*a2)EF&@$a3)E,&�

�5���������� ��� ������ ��������� �������!����>'&$(a@*b)c&@$/a)Db@c&C �&$Aa2@/a)(&@$A@/a)*a2&C�&$b3)Ab2@(b&@$b@?b2@b3&C �&$F�Ex2@F�F?y2&@$F�E,x2)F�F/y2&�

�5'&G����������@H����IJ*a2@bCHJ)K(a2)b.�&G������������� %� ������ �L@9@=�

���MJa2)b2@abCNJ?a2@Aab)*b2COJ)K(a2@?ab)Ab2.�5=�����������������������������������% �! ������% �!������������������� �*�"�����%������ ���� �������<9�� ������%����

���������:!�����������% �! ������% �!���������� �(<����-

�����������������%����������:!�����������% �! ��:� �!����<

=�������P:����!���������������������� �<

Page 97: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

95

Многочлен. Серединный перпендикуляр

���� �� ���M����� !���$������ ��%���� ������� ���8�� ������ ����"��$�������!����"���� �8��������8 �������!� ��������8������������K�8������Y��K�8��������� �����������$����$���������� �� ������� ���8�� ����� !�� ���� �L� ���� �� �"��M��� ��������� ��� �����������8�� �������� "���

B����)��������#�>��*���[�E�������������������8�� ����\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������$��&�������"����� �������M���L���$�� G��������8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5 ��"�� �$�"��$��� ����� ���8�� ����� �� ����� ���� �L� �������!� �$�����8������������K�8�����Y��K�8��������������$����$��������B���� ����"�������"���������������������C�� ���!� �$�&����$����������!�&���. �C�B�x3 + 6x�U��C�f�Bx3�U��C������$�"����������$����F������8�� ��������8������������K�8�����!���������$��x3�U��"QG����"�����"����x������$��L�$��x2�U�! �M����"� �A�8�����������������%�x �����$��L�$������������U�! �M������ �8�����������������%��������$���

+ – – =+ + –x�

1x�

1

x�1x�

x�

(�!���M�&��$�"���������!���� ������$������$����!����� ������������������!������*������������ �L�B�x3 + 6x�U��C�f�Bx3�U��C�b��x3 + 6x�U����!*��M����� ��5 ���� ������� ���8�� ����� �� � "��� ������ ������� �� ������� "��������������� �8�����L�������!������������8�!������8����!*��M�������5�X���������!� �����8��!!�����H��M������ ���������$�!����!� ������ ���������� ������� ��������������������, ��F�8��!����������� ������� ���"�$������ n���!� ���&M����� ���������&�����������"�� ���������%��������[�nL�n�f��L�n�f��L�n�f��L�n�f�#��X�!���������F������ L�����������!�����������������%����[� n + n + 1+ n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n�f��;�b�'Bn�f��C�?����� �"��$��L� �� !� ������ !���$�������� ������� ������ �� 'L� ������ ���L�������!���!� ������ ���������� �������� �!� ���&��� ������'�����������!�����!��������!���$����������!���!� ������L�������������G��!�� ������� ���������� �������� ��� ������#[�n + n + 1+ n + 2 + n + 3 = 4n�f�)�b�b��B�n�f��C�i ��!������������!� ������ ��������G������ ����������n�U��^��n�f��^��n�f��^�2n�f�'L����������[��n�U��f��n + 1+ 2n + 3+ 2n + 5 = 8n�f�-b�-Bn�f�C��Y�������������� ������-��,��8��� !��� ������L� ������&M��� ���%� $�����������L� !��� �8�&�� 8��!P!����

Page 98: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

96

Глава III

����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������� ����������8�� ���������������y=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V X�����������%����������8�� �����

@!���� �����������8�� ��������8������������K�8����L���������P������� �������!��"���� 8�"�������8�� �������

H�������VV ���� ����������8�� �������!�������$����� ������A�"���H�������VVV (������ �������������������8�� �����H�������VW *���������"����!��"�����������8�� �����

Урок 3.3. Вычитание многочленов

C���)���1�������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�����������"����1*��������$�������8�� ������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 /��� �L� ������� �� ���P� ������ ���"����L� !����� �&�� !�����������!�&���� � �� ��!� ��&�� � !���M�&� K�8��L���� ������ �$� �������� =�!� ������ ��������� ������� ����"Q���������M����������"��$��������P �� �� ���8�� ��L� �!���� �&� !� ������&� ��$����x2 + x� U� ��� @"Q������ ��$�� ������ ��������������$������������ �����������������������*�� ���&M���F�!������ ���"Q��������M����!��"��������������$�������P8��� �������� "����

B����)��������#�>��*���[�E����!���� ������$�������8�� ������������������P��������� ����!� ������%���$� ��\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� �����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5*������������ ��$�!����&����$���������!�����G��������P8��� ����[]C�B)x2 + 4x�f�'C�U�B�x2 + 2x�f#C�b�#x2 + 2x + 1."C�B�x3 + 3x2 + x�U��C�U�Bx3 + 2x2C�b�x3 + x2 + x�U���J����'%��#����'����)������������������1*��� ���������8�� ��������"�������� ����������������$�������8�� ���������F�%�!���������$���������$����"P

Многочлен. Серединный перпендикуляр

91

3.3. Вычитание многочленов

Деятельность �5 ����������� � ������� ����� � �����

+ ++ və +x�1

xx� x� x x1

x� x� x x1 1

1 1

�5 �������� ������������� ���� � ���� ��

��x2 � �x � �� ��x2 � �x � !�

�5 "��#� $��# %#��&�#�' ���(��������)�)���#� �� *

���� ��� )+�,��# %#�,������# ����� ����#��-

�(��./ ������#���)�# % #��������� � %���������

�5 0 %���$����� ����x2��x��� ��x2��x�!������(��� ���)����-

#����� �������� � ���� �� � � 3����� #������ � ����������

�(������$����(��(���������� � ������� �%�#4

3 + 3 + 2x x�(– 2 + (– 2 ) + (– 4)x x�)

x x� + – 2

+

+ –

x x�+ – 2

0 %���$����� ����(,�� � ���� �����(�#(�������� �(���%�-

���������� ���� �� � � 3������# ��

Упражнения�55������������ ���� � ���� �6a3 8�a����a3 6a���������� �(*

�����$�� � �������������$����

%������������ ���� � ���� ��a3 6a�6a3 8�a������������ �(*

�����$�� � �������������$����

�5�������� ����� � ����(���������$���������$�� � �������$-

������� ��4

+ +

a) b)+ + –x� 1

xx� x�

x� x� x� x

xx11

1 1

x: x:x� x�

x�

111

x

�5;����� ��������� �(+������� �� ��� ����� ������ ��� ����-

���#�,<��(�4

5��=m��� ��m�8�> %��?x2�8@� �?x2�6�> ����a3��a�!� �a3����

�5A�������4

6 + 4 – 8x x� 6 + 4 – 8x x x: �2 – 2 + 4x x� –2 + 4x�– –

a) б)

Page 99: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

97

Многочлен. Серединный перпендикуляр

�������"�������� ����������������$��������� ����!���������8��� �������(!��"� ���� ��������� �" �8���� ���M���� !��������� ��!� ������ ��%��%� �������8�� �������I� ���"��$���!������� ����������!� �$����������L������&�"�P���8��!*��M����� ��5� �C� ���������L� ��� �"QG�� ��"�� � ��"���� �� �� ���� �$��� ������ �3L�! �M����!�����8� ���������������������������$���U����������L�! �M�������������������%��������$���U����������.

+ ++ +

(3 + 2 + 4) – ( +2) = 2 + 2 + 2a a a a a3 3 3

1

a3

a3

a3 a a 1

1 1 a3

a3 a a 1

1

!*��M�������5�������L�����!���!�������!� ����&�$������L������M����!��PA����&�!���� ����������������$����8�� �8����8�L������A����8������������8���]C� �̀f�B��y2 + 6y�U��C�b�U_�;y + 9� �̀b�BU_�;y�f�7C�U�B��y2 + 6y�U�C� �̀b�U_��y2�U��)y + 10."C�BU_)x2 + 7x�U���C�U�̀ �b��x2 + 2x�U�� �̀b�BU_)x2 + 7x�U���C�U�B�x2 + 2x�U�C� �̀b�U_-x2 + 5x�U��;�!*��M�������G5�X������������"�����!� ���������������� ���%�K������C�B7ax3�U�'ax2 + 6axC�U�BU_�ax3�U�)ax2�U�+axC�U�B'ax3 + axC�b�

= 9ax3�U�5ax2 + 6ax + 3ax3 + 6ax2 + 7ax�U�5ax3�U�ax = 7ax3 + ax2 + 12ax.8C�Ba3�U�;L��b3C�f�B;L�7a3�U�b3�U�7C�f�B;L;�a3�U��L--b3�f���C�b

= a3�U�;L��b3�f�;L�7a3�U�b3�U�7�f�;L;�a3�U��L--b3�f����b��L#a3�U��b3 + 2.+�//���������������"����[�����������������8�� ������������"��M���������P�������$����!�������"������( �"������M���L�!������������������$���L���8�����!�P����A�"����H��� ���� �����"��M���������������F�L���"��������M����.����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!���� ���������������P8��� ���������������n�=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V *����������$����!�������"�����!���������������8�� �����

*��������$�������8�� ����L���������!���"��$�����!���"���������P ����

H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!����������������$�������8�� �P���L�!� �������$� ���!� ���!���� G��������$���%�

H�������VVV (������ �������������$�������8�� �����H�������VW *��������$�������8�� ��������"����!��"���

Page 100: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

98

Глава III

Урок 3.4. Умножение одночлена на многочлен

C���)���1�������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�������� ���"����1 *������ !���$�������� ����P� ���������8�� ������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 , �� ��!� ������ ���� �P

�����$����"�����������!��8����������� �� �$� ������� B$���� ������ !��P���� "� b� �� �C�� H ����� ���� �����

!������ ����!�����������!�&�����H��M����! ��M���� !�����8� ������ � A�����%� "� B���� �$��CL�� �����%�B"�f��C�B�����$��C��!���� �&�!������ ����������������K���� ������ �����! �M����!������8� ������L����$�!����������������P��������=���$���&���G����������!� ������������������@�����������!���������P �L����M�����!�����&�����!���� �� �������%��������������������������F��8����%����"Q������!������������������ ����������8�� ���

B����)��������#�>��*���[�E�����!� �������������������� ����������8�� ��\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� �����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�(�8 �������� �L��!���� �&������� ��������� ��L�!������&M������������������������A���F��$������L����M������8���!� �$�����K�8�����$��������"C���8 �������� �L�A������!�����8� ��������x�B�����$��CL�� ����U�Bx +

�C�B�����$��C��(�����! �M���%�!� ��������!�����8� �������B�8 ����������C�"����x2 + x2 + x + x + x + x + x + x = 2x2 + 6x.

(����8�%������L��8 ����K���� ��! �M���L��� ����"������� �����xBx�f��C�( ������ ���L��xBx�f��C�b��x2 + 6x.����������!�����!�������8������� ����!���� �&�������� ����!���$��������!*��M����� ��5 ��"�� �!���� ��� ������� !���$�������� !�� ��P��� �L��������!� �$������� �������$��������K�8���L������P��&M��������� ����X���������&��8��!!�����C��xBx�f�C�b��x2 + 6x. !*��M����� ��5� ��"�� ��%�� !���$�������L� ����� ��8 ����� �� ����� !���$�����!��� ����� ���������L� ��� !������ ���M���� "����� !����� !���� �� �����������!���$������������� ��������8�� ������C

2 (4 + 5 – 2,1 ) = 8 + 10 – 4,2 .ab a b ab ab a b a b a b

2 3 3 3 4 2 4 2 2

H�F�8�����8�� ���������"����8��� ����B� ���� �C��

Многочлен. Серединный перпендикуляр

93

3.4. Умножение одночлена на многочлен

Деятельность �5 ���������� �������������������"��������"���������� ������������

��������������������������������������������!���

x+2

x

1 x+2

x

x 11

x xxx" x" "+ + = + 2x x x x

�5 #�������������$�����!���%������� �����������$���� ��� �&��������

'�*�x-x����/������� ����������$��%�������$�6�� ��7������������

�$���������9

�5 ����������� ��: ����� �6�������;��� ��������� 7���� ���������

����������������9�7����������������6�� ��������9x + x( "x + 2) = 2 =x x + x x 2∙ ∙

>���$����6��������������������������������6������������

�6�$�����������������������������$������������ �����������-

��������������$��

Образец

@�������������������������ABCa2�����;D����-Ea3�A�a���F/�

3��4�ABCa2-Ea3�A�a���F/�*�ABCa2�G�Ea3�A�-ABCa2�G�a/���-ABCa2�G�F/�*�ABF�a5���Ca3�A�Ca2.

Упражнения�5������ ��� � �������� �$�������� �H� � ��������� ���!��� �$D� �� ��H

�����������>����$���6������������������$D��$�6�� D9�

x

x

xx

x

xx

x

x xxx"

x"

x"x"x

x

x

x xx1 11 11 1

x xx xx"x

x 1111 11a) б) в)

�5�@����������������������������������K

L/��x-x���E/M� � �/�x-Cx���F/M� � �/�Cx-x����/��

�5��@D�� � ���������� �� ������������ ��������� ���$�N!��� ��������

����6�� ��������������������������$�������������������������

L/�O-�x���P/M �/�Cm-m���Q/M �/�-b�A�FF/�G�RbM�

�/�x-ABCx���S/M �/��x-Ox2�A�Cx/M T/�-FUc5���c3/�G�-AB�c2/M6/�S-a2�A��a���S/M �/�ABFUx5-ABEx3�A�Cx2���O/M �/�n2-Pn3���FFn2�A�F/M

�/��ab-Ea2b3���Oab3�A���Fab/M �/�ABCx2y3-ABF�F�A��xy2���U�Ox�A���Cy3/�@�������������������������6�� ��$��������������������

xx"x

x 1

x

x

x

x

x

x

x"

x"

x

x

x 1 1 1

xx" x" x"

x x xx x x

x x x

11

Page 101: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

99

Многочлен. Серединный перпендикуляр

!*��M����� ��5� ��"�� ��%�� ! �M���� ����L� ����� �� ! �M���� "� �A�8�� !��P���8� �����������! �M������ �����8��!�����8� ��������! �� = 4?Ba + 2bC�U��?�g��b = 49? + 8:?�U�#:? = 49?�[ 4:?�\�4?Ba + bC. i ��a= -��L�b�b�'��L�?�b���������A�"���[��;;L�������M����� �����: a�b�-�g��;;�b��);;���b��)��Lb�b�'�g��;;�b��;;;���b��;��L?�b���g��;;�b�);;���b�)����?�8����! ���= 4?Ba + bC�b�#g���g�B-�f�'C�b��')��2

����� = 4?Ba + bC�b�#g�)�g�B�)�f��;C�b�)�#��2. �����[��')��2L�)�#��2.

!*��M����� ��5�Y�� $������������ "��� $���������M������ ������� ����A��8��$�������!*��M�������5�=���A���������������!������&��!���� ����������������� ����������8�� ��L� ���������������������8�� ������C�)�f�B��U�#xC�f�'�b��B��U��xC

)�f���U�#x f�'�b���U�7x9x�U�#x�b���U���x�b�U_�������[�U_���

�C�;L�'Bx�U�#C�b�7L7�U�;L�Bx�U��C�;L�'x�U�;L)�b�7L7�U�;L�x�f�;L�;L�'x�f�;L�x�b�7L7�f�;L��f�;L)x = 24.�����: 24.

����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������"���������������� �����������8�� �������������n�=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V X����������������������!���$������������� ��������8�� �����H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� ����������� !���$�������� ��P

��� ��������8�� �����H�������VVV (������ �����������!���$������������� ��������8�� �����H�������VW O!� �$������"����!��"��� �������������!���$������������� ����

����8�� �����

Урок 3.5. Умножение многочлена на многочленC���)���1��������=�!� ������%���� ������L������������������������������8�P� ������E�����������"����1*������!���$�����������8�� ����������8�� ��. K��������'1��� �������L���"�����8��!!�������!����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L�K�8�����$�������

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1, ����!� ����������� �������$����"������������!� �$�P���������� �L��� �������$�����������!������M�����������H��M�����!���� �&�!��

a b+ 2

дача

2b

2c

4c

Page 102: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

100

Глава III

���� ��! �M����!��������8� �����������������B�x+�C��� Bxf�C������������K����� ������ �����! �M����!�����8� ������$��!�����&��8����������������[�Bx�f��CB�x�f��C�b��x2+ 7x+ 3.=� �A����������������M������!� ����������P����������������� �������������L�����!�� ������!����&��������$� ���%�������������������L����PM������ �&�!�!������$����!������ �������������� !���$�����������8�� ��������������"�������������P� �L���!��� ��L�!���8�������M�����

B����)��������#�> ��*���: E��� ��������!���$�����������8�� ����\

H��M���� � ��� ��!� ��&� $������� �$� ���"�����8��!!����� ��!��������"����!� ����$�������p��L������L����"��������P$����#�8��!!��!���P#����������������%��X��������� ���������8��!!�����E������8��!!����������������%� ���� �� �!����� ��� !���$�������� �� �����P� �L����������$�������!���$�����������8�� ������!����� �&L�!���������� ��E�#���)����#��#����'��)����1

!*��M�������5� 8C�=������%����� ��A������!�����8� �����������P��������8�� �����Bx + �CL���� ����U����8�� �����B�x f��C��(�����! �PM����%� ��$����&M��� ������ �������� �� !�����8� ������� ������������8�� ���x2 + x2 + x + x + x + x + x + x + x + 1 + 1 + 1 = 2x2 + 7x + 3.

( ������ ���L�Bx�f��CB�x f��C�b��x2 + 7x + 3. !*��M�������5�8C���"��!���������� ��!���$��������B�x + �CBx�f�C��$�"��$���!�������8� ������A�����%�Bx�f��C�B����$��CL�� �P��%��B�xf�C�B����$��C��(�8 �������� �L�B�x�f��CBx�f��C�b��x2 + 7x + 2. ?������ $�������� 8��!!�� �� ���� !�������� ���� �� !���$�������� ����� &"������� �������!� �$�������������%�"���8���!*��M�������5,��������� �������K������������������"���8�������������$��P�������� �L�!�������$��������8��� ���$�� �8���� ���P��L�������8���������������� ���������;��L������P8�&�U����#;����@���������������� �L�! �M�������� ��� ���$��P �8�� �� ������ �!���� ���� ������ ���&M��� ���P8�� ����[�Bx�f��;CBx�f�#;C�b�x2 + 70x + 1200.

�����: x2 + 70x + 1200. *�� ���&M��� ������ !���$�������� ���8�� ������!���� ������� "���B� ������$��������!��� ������� ����C� � �!� �$�������� !���� �� �����������!���$���������������� ����������8�� �������� ������

Многочлен. Серединный перпендикуляр

95

3.5. Умножение многочлена на многочлен

Деятельность �5 ������������ ���� �� �������� ������������� ����������������

������������������������x��������x����

x x1 1

1 1 1

1 11 1

x

1

x + 3 x

x x

x x

1 1

21

x + x x x( 1) 3( 1)2 + 2+ +

x x

x x

x x

x x

x x

x x

= +

�5 !�������������"#�������������������������������$"%���� �������&��-�� '�*�,�.x����/.�x����/ �0���$"���� � ����������$"��� �����.x����/.�x����/���x.�x����/����.�x����/4

�5 5"%����� �����$ � �� ��$%� ��$�x��������x����#�����$�������� �� �$������$� ���#���"$� ������� �����

( + 3)(2x x x x x x x x+ 1) = 2 + 1 + 3 ∙ 2 + 3 ∙ 1 = 2 + 7 + 3∙ ∙2

�5 5"%����� �����$ � �� ��$%� ��$�x��������x����#������$����$�����9�� �!� �$��"#��� ���������� ��������"��%� ���$%� ���.�x ���/#����% ��" �����$ � ����������

x + 3

2 +x x2

2 + 1x

6 + 3x

2 + 7 + 3x x2

x

+

0��9"��������������%� ����������%� �#��� � ������"��%� ��������������%� ������������������"��%� ��$������������%� ���������������� -9���% �����������% ��"������$ � ��� �

Упражнения

�5��:���;�� � $"��� ���� ������ �� ����"�� �������������$� ���"��� �����-9���'

x

11

11

x

xx

x<x

1 1x

x

x

x<x< x

111

xxx

xxx

x<x<x

1 1xx

x

x

x<x<x<a) б) в) г)

�5�������� ���� ������������� ��������$ � ��������"���$%� ��$ A/�.x����/.x����/B� 9/�.x����/.x���C/B� $/�.�x����/.x����/B� �/�.�x����/.x����/B��/�.x���C/.�x����/B� D/�.�x����/.x����/B� �/�.x����/.�x����/B� �.x����/.x���E/ �

�5��N��#��"��#��������5������)������1�������)���(�������!�������������������5"� ��� �� �������� �F�"���$������$�����������������B�� -�������������"���������������$�;�����������#���������������� ���������������$������$����������������� ��������� G��� &���"#� �������� ���� ��� ����$ � ���� ��9"�� �$���$%� ��$

x< x<

x xxx

xx

x x

11

x

11

11

1

x

x< x<x<

x xxx xx

x xx

11

x

11

1

x

x

x

1200

40

см 40x

30x

30 см

Page 103: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

101

Многочлен. Серединный перпендикуляр

���"�����!����������"��$��L������� �A��������������������������F���$���������H��M���L��!����������"��$��L���8���������� ������!� ����$��������H��� ��!������"����������!��� �������!*��M�������5�������L�����!���!��������� ���&�$�����������������L���� �P��"��$����8���!������B'x�U��CBx�f��C�U�Bx�U��CB'x�U�#Cb�'x2 +15x�U�x�U���U�'x2 + 4x + 10x�U�-b

= 28x�U����b��-�g� 217

U����b�#7�

�����[�#7����$� ��L�!� ������%�(������L��������!*��M������ 5�H!��������������[]C�Bx�f��CBx�U��C�f�B#�U�xCx�U��x = x2�U��x + 3x�U�7�f�#x�U�x2�U��x = x U�7��(�8 ����� ���&��!�����������"�����!���� ��L�!���������$��������"�$�������������������� ����"����������: x�U�7�b�a��*�%�G��"��$�F�8�����������?������"��P$��L�� ���x = a�f�7L�$������������������"�����������."C�xB��U��xC�U�Bx�U��CBx�f��C�f��x2 = x�U��x2�U�x2�U��x + 3x + 9 + 3x2 = x�f�7^

x + 9 = aL� � x = a�U�7��C�x2B��U�xC�U�B��U�x2CBx�f��C�U�#x2 = 3x2�U�x3�U��x�U�� + x3 + x2�U�#x2�b�U_�x�U��^

U_�x�U���b�aL� � x a=−

+22

.

8C�Bx�f��CBx�f��C�U�xB'�U�xC�U��x2 = x2 + 2x + 2x f�#�U�'x + x2�U��x2�b�#�U�x.i ��#�U�x = aL�$������������������"����������a.

�����[�]C�x = a�f�7^� "C�x = a�U�7^� �C� x a=−

+22

; � 8C�x�b�#�U�a.

+�//���������������"����[��� ���� �������$��%������� �"������M������P������$���!������������ ��!���$������������ �����!��������8������������K��8��L��� �������$���������*��������������� ��!���$�������������� �����������PM�������&�8����������%����������%�!���$������&����� �������� ��F�8��������������&�� 8�"�������%�!��"������������!���$�����������8�� ���������?���� � ���������1 H��� �� �"�"M��� !��%������� �� !��"��� �����������!���$������������8�� ���������������n�=�!� �����

!����� ������'#������������������H�������V X����������������������!���$�����������8�� �����

����$�������� ���8�� ����� �!���� ��� !�� ���� �L� $��������� ��%��!���$������������8�� ������ 8�"���������!��"���

H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!��������������!���$�����������8��� ������,�!������A�"������"�$���������� ��!���"��$�������!���"���� �8��P����!��������������!���$�����������8�� �����

H�������VVV (������ �����������!���$�����������8�� �����H�������VW O!� �$������"����!��"��� �������������!���$�����������8�� �����

Page 104: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

102

Глава III

Урок 3.6. Разложение многочлена на множители

C���)���1��������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�����������"����1��$ �8������8�� ���������P��� �. K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1=����� ����L������%������"����L�!�F�!����"Q���������M����!���� ����$ ������� ���8�� ���� ��� ������ �� !��"���8��!�!�������� =���� � ���M����� ��� �$���&�������� ���L����������� �&����8�� ����=�� �PA����&�� ��� ������� �"� F��� ������������ =� ���P� ������ �MG� ��$� �"���&� ��� �"��$��� ��%��&���$� ����������� �������������� ��

B����)��������#�>��*���[�E���!����������$ ����������8�� ������������� ��!��"���8��!!������\

X��������$����"����L���!� �������8��!!���L�!����� �&���$���� �������$ ����������8�� ������������� ���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� ]C� (����� ! �M���%� �������!�����8� ��������������������������������������!�����G���8�����8�� ���[�a2 + ab + :? + 9?. (��������!�����8� �������! �M���&�ab��� �&P��a���bL���������!�����8� �������! �M���&�:?��� �&��b ��?L���������!�����8� �������! �M�P��&�9?��� �&��a���?L� �����%����������! �M���&�a2 �� ��������� a��?�8�����������!�����8� ������>=(r��� �&��Ba + ?C���Bb + aC��( ������ ���L�Ba + ?CBb + aC�b�a2 + ab + :? + 9?."C�����������!�����!��$�!�A���� ������8��!�����8� �����[

Ba + @CBb + 2aC�b�ab + 2a2 + :@ + 29@�!*��M�������5� X���������!� ����� 8��!!�����E�������8��!!���������� ��� ��$������8��������8�� �����, ��!�P����������� ��� ��$������8�����8�� ���� �����������$P�����!�����8� ������B� ���������CL���������&�M�������� ����L���� �&M���F�����8�� ��L����"��K�8���L��"��$�&M�����L�"� ��!�����8� �������

Многочлен. Серединный перпендикуляр

97

3.6. Разложение многочлена на множители

Деятельность

N���� �� ������%� ������������ ��'�5 O����������� ����������$"��$�����%� ����ab���2b#��$�������������� -

�"���$������%� � �ab<�bI�a<�4�P��������9���������� ���$�����%� -����6����64�!�������$�$#����;�� �G�������%� �"�$����9���

�5 :�����$�����"�������%� ��$�$�� �^ab<�bVI^�a<�V#��9Q����� #����� �� ���$� �$"�����$ �� �5�����������9� ��������$"�������� ���$"� ��-� ������9� �5�G������%� #�������$������� ������� �$"��� �� 4

�5 R������������� � ��������������� �" �$�$"��� ����b^a<�VI�^a<�V4�O����������� ����������$"�4�

�5 P���������� ���^a<�V�$"� ���������9��#����� �$"��� �� �$"����;�� �$��������9��4

�5 R�����$ � �����������$%� ��$������������% ��� �$"��� �� 4�O���$"����$F� �G���� ��S��4�T9����� ��$�����$ �

�� ����$� �� ������%� ���$�$�� �����$ � ����� ��������������%� ��$�

��"$� ��������� �� �������%� ������������ ��

ОбразецN������ ���������� ��������%� ��acIbd<bc<ad.3��4��5�������������%� � �������� ������%� �"����������$"���.�9-

����/������� ����'�ac+ bd– bc– ad\ac– bc+bd<ad�T9���������� ���$"� � �������9�'��9���������� � ��$"��� ����ac– bc��$�� ���������� ���c#���$�$"��� ����bd<ad�U�G��������� ���d�N�������� ��������)���!������(a – b) ������)����!�������������&�]#�@]T �c(a – b)�U��:��;��<��5�G����$"��� �����9���������� � ���$�� �����$%� ��^a<bV �P���� ���$"� ���������9�#�������%���(a – b)(c – d).R���#������9����������$����"���������������%� ����������� ��'ac�+ bd�– bc�– ad�,�ac – bc�+ bd – ad ,�c(a– b)�– d(a – b) >�:��;��<:��;��<�

!����9#��������"��$��9��S �U�G�������� �� ������%� ������������ -��������9����������$��

Упражнения

�5��O������� �������������%� ��$�������������#���������������� �5"�����$�

����$ � �� ��$%� ��$#���� � ��� �$ ��������� $ ��������$ � �������� -�� ������%� ��$���������� �� �

J�� �"��� E����M��������M����� (���� i������x^bIcVI�bI�c .x���C/.b���c/

2c<�dIp^c<dV .��U�c/.p�U�d/

mxI�#I�xI�# .m���V/.x ��y/

A

D C

B

aba a

bcc c

b

b

a�

ac

a

a

x�

x

xy

y

xy y�

x

y

Page 105: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

103

Многочлен. Серединный перпендикуляр

"C��, ��!������������ ��� �����8�� ����x2 + 2xy + y2�������������������������L�����������8���$��������"� ��"��������xL�������8��U�yL�������!�����8� ����������������x���y.

E��������L��"��$���������������������x + y�� Bx + yCBx + yC�b�x2 + 2xy + y2.!*��M����� ��5� , �� ��$ ������� ���8�� ���� a2 +7a� f� ��L� �����8�� ��� ������L� ����������� ���M�������"���!���� ���?��L������ ���+�����"�������!���������������������������� �����������"��$��L���"��!� ������������� ������� ���"M�%������� �� � ������ ����� a2� �� ���� ���� ��!������ �� ����� +a = 3a + 4a� !� �������"M�%������� ���*��� ��$�!�����������+a = 2a + 5a��"M�%������� �������L������8�� ��������$�������"������$ �������������� ���J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1 =�������� ���M���� �� ����"����"��M�����������������f�#�b�+�����g�#�b�����H��� ���� ������������������������� M���L�����!�����$ ����������8�� �������������� �� ������!� �$�����F����%������FKK���������Y����%���!������������!����������p�+���-.!*��M��������5Y��$���������!� ��������M�������� �&��������8��!�����P�������H��M������ ����!����� �$������������� ���!����%����������8�� �����X����������!� �����8��!!����aC�)a3�U��'a2b�U��#ab�f�{�b�B�a�U�'bCB... U����C�E����������$�F�8��$������L�������������)a3�U��'a2b �"M�%������� ���a2.3a2B�a�U�'bC��X�����������������U_�#ab�f����������������$���������� ��B�a�U�'bC��X��!��A����������U_�#ab = 2a�g�BU_+bC��E��������L������������L�U_�#ab�f��������������� ������$�!�������%������ ��L���"��!������������$����"�������8�������� ��BU_+bC���������"����� �������� ��'b��( ������ ���L������������� ����"���$��!��������� ���BU_+b�g�'bC�b�U_��'b2��,�%��� ���L6a3�U��'a2b�U��#ab�f�BU_35b2C�b�3a2B�a�U�'bC�U�+b�B2a�U�'bCb�B�a�U�'bCB�a2�U�+bC�������������!�����!����$ �8�&����������� �����8�� �����$����8���!������"C���x3 + 42x2y�U��;xy2�U��'y3 = 6x2B�x + 7yC�U�'y2B�x + 7yCb�B�x +7yCB)x2�U�'y2C^�C��#m4�U��-m3�U�#mn3 + 3n3 = 6m3B#m�U��C�U�n3B#m�U��C�b�B)m�U�n3CB#m�U��C^8C��)y5�U�'#y4 + 10y�U��'�b��-y4B�y�U��C�f�'B�y�U��C�b�B�y U��CB�-y4�f�'C�����?��������������1H��� ���"�"M���!��%�����������$ ����������8�� ��������������� ������������n�=�!� �����

!����� ������'#������������������H�������V X�����������$ �8������8�� ������������ ��H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!�����$ ����������8�� �������������� ��H�������VVV (������ ������$ �8������8�� ������������ ��H�������VW O!� �$������"����!��"��!�����$ ����������8�� ������������� ��

Page 106: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

104

Глава III

Урок 3.7. Перпендикуляр и наклоннаяC���)���1��������,� �����$���!�!� ��L�������������%�!��!������ ������$��L�"���������8 �������8� �����!���������E�����������"����1@!���� ���!��!������ �������� ������K��������'1�� �������L���������� ����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 *�� ����� ������ !���$P�� �����!���������������� &"�������L����!��P��� ���M����%��H��� ��!����������M����!����P������$�F��������!����&L�!������&M�&������&�!����&L���!�����&����!��������&M�&������&�!��P��&�� H���M����� ���!� ����&� $�������� �� � ���&�!�����G�����!��������@!������� �&L��������$�������P ����!���!��������� ����L������������� ����%����R��������"�����[�H��� ����G���K������&������ ����%L�!��!������ ���L�������������������!����%��,�����M�����������L����!�������%�!��P!������� �������!��!������ ����%�!����%��� ����������B����)��������#�> ��*���[� E������ ��"�����P������" ���&���� ��������!��!������ ��L�!�����P�G��������!����%\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$����������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5 ������!� ������$������� ��������������������L�������P��&M�%�� ���&��(�8 ����� ���&L��$������>�!����������������������� �������Y�� ��� ������ �� ���� ��!� �8���� ��L� ���� !���$���� ��� �������� ���� ����

>=� b� >(L� ���8� ����� >=(� U� �����"�������%�� O$����L� ���� �̀b�);°.�?�8����a�b��j�b�B�-;°�U��`C�[��b�);°��( ������ ���L�¡`aj������������������%L������=(�b�-���

�����[�-���J����'%��#����'����)������������������1H��M�%���� ����!����L����!��!������ ��L�!�����G���%��$��������!��P

��%L��� �������������������������F�%���������!����%������������$������%��������$������%�!����%�!���������L� ������ ���L����������!����%�������!��P�������������%�!���!������ �������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!��!������ ���������� ��P���L�!�����G���������������!����%��

Глава III

100

3.7. Перпендикуляр и наклонная

����������� �� �������� ��� ����������������-����������������� ����������������������������� �����������������!���"�#$%������"�� �������-�����������"������������������&���������������' ��� ����� ����"�� �� ��������� *��*��)�#�������������������� (� � ������� �� ���"��������)� ��� -"� � "�������������*��+����,��� ������ � ��������������"����������������/ �����+0�����"�� ��������S������ � ����������������.

1 ����������������� ����������� ��� ������)������������� �������� � �����+������"�� ����#�����>����"����������� �����������������&�����)���-��"�� �����������������������)��

1 ���������������������"���������������������"������������������������"�� ��*���#���>����������������������������#(i��������*���#���>��#�����>@(��*���>���

2� ��������������"���������� ���������������� ��(3�����������������"������!�����' ������ ���������' ������������4��)565�+

a

A

HB

������

Упражнения

�5��+��� � �������m���� �� ( �� �����7���������������������1 � �����7���������m���"��� ��������������������������8�������� ' ���� ����"�"�� ����� ������� � �����7���������m9

�5��1���"�"��(�����������:�������� ���������-������4�0����������; 0�����"�������������;"0�����������;!0�����"����������������;��0�����<������������;�0����� ������ � ����������������.

�5��+��� � ���0��� ��!��(����� 0�����!��(�����"0� ����!��(���� ��!��(-������=���� ����� ������ �"�3���������!���!���' �!�� ��!��(���������� �"����������� �����

�5��>���������!��(�����?����@�����������A�"�?����� ��(3���+���� ����� �-����� �"�3�������!��(���������� �"����������� ����

�5B�����������!��(��!�����������������A�*:�����*C������*D�:�����1��-���� ����� ������ ��!��"�3������E ��

�5��1 � ������������������������������������"������:����!�'� ������-���������� ����������������!���"�D$%��1������ ����� ���������������"��������������������������������������A�F����

a

A

BC K E

������

a

A

B C

60�

Page 107: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

105

Многочлен. Серединный перпендикуляр

����������n�@!���� ����

!����� ������'#������������������H�������V �����!��!������ �������� �����L�����������$ �����H�������VV @!���� ��� !��!������ ��� �� ��� �����L� ��!����� ��$����� �����

�A�"�������"Q���������"�����%�H�������VVV (������ ���� �!���� ��� !��!������ ��� �� ��� �����L� �"Q�����

��"�������H�������VW @"��������L� !�������� �� $�������� ��"������ !��!������ ���� ��

���� �������

Урок 3.8. Деление отрезка пополамC���)���1��������,� �����$���!�!� ��L������P��������%�!��!������ ������$��L�"��������8 �������8� �����!���8��������.E�����������"����1,� �����$���!�!� ����!�P��M�&������ ��K��������'1�� �������L���������� ����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 ,��� ����L� ������� �����"�����L���!� ���������������M�����H��� �������� ������L��������M�����!���M�&������ ��"�����!���� ����������������$���L���!��� ��������8�����M�8����H��� ����������������������������������$���!���� ���������!�&������!���������������!�����������M����������!� ���������� ��������"��������"������������������$����@>���@=��H��� ��!��A���������������M�����"�@>�b�@=��=��������!����������������������������8� �������̀ rj���ajrL��!���� ���L�������8� �����>=(�U��������"��P������%��?�L����(@��� �����������%L��"�������������M������=�F��� �����!������"������������ ������������!���� G�������!��� �����

B����)��������#�>��*���[�E�����������$�� ���!�!� ��������$��L���$��MG���%�����$����!�$�����L��!���M�&������ �\

(��� �&�!����������� ��������������%����M�%����������� ������!� ����$����P�����$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�!� ����F��$������L����M���� ����������������$������8�P���$��� ���L��������� ���L�����$�� ����8��!�!� ����!���M�&������ ����L�����F���� ����!���8���$��� �������!� �������

Многочлен. Серединный перпендикуляр

101

3.8. Деление отрезка пополам

Циркуль, линейкаДеятельностьi�g�M)��������)����>��"#������#�1�5�������������� �����������

�5��������������������������-

�� ��������������������-

������� ������ ������ �� �

����������� � ���!"�����#

��������������������$

�5�����##�����#�������������-

��������#�����������������

��������������

�5%&���'�(�������&�������&�#��(���������&���������#��������)

�� ����%�*$�+����&���������#,��&�#����������� ������

�����/�+����/0���������#���������� �������1�&�&�����

�52�����!���������������������

/ �/�3�����������4�������

�55����������������������-

1�������� *%��*%32��1��,�-

����,����1�������36��#��#

��������%/!�������������-

1������� �%37���� ���� ������ ������%/�������� ���1���-

���� �%3������38���%/0��������#��#��#������/���������

������ �3

A B

A B

A B

C

D

O

A B

C

D

O

A B

A O B

Page 108: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

106

Глава III

!*��M�������5�������������"�����!� �������8��!!����E������8��!!���� ��������$������%��%�K�8����!�!� ����!���M�&������ ����� ������ ������������!� ������������L������A���&�!� ������&�����&�K�8�����E������8��!!�����������$�����G����������!� ������%�K�8�����!*��M�������5�H��M������ ����������� ������$��������������������H��� ��F����"���!���������!� ���������� �����=� �A������������������%�8��!P!��� �������8�����M�8�������L���������"������!��������F���� ����. N���������1�*����������$���kl�� ���%�����������%P��!���$�� ���%��8� �����A���%�/��*��������/E��mklL����������������/L�� ���������������$���/(L�jr���rm��*��������� ���$��� El�� X���� ����$� ����� r� �� (� !��������!�����L� !��� � ����� ���$��� El�� ?����� !���������� �P��$���/l��F����!��������"�$������>���=��O$������ ���%��%��"�����L����!�P �����������$��L������[�k �̀b�̀ a�b�al�b�#����H��M����������!���������$�� ��������!��"���!���$�� ���%����$���� ����������������������J����'%��#����'����)������������������1�*��!�����������8��F�8�����P������M�������$���������!� ��&���������� �����H��� ���� �����"��M������P�������������������M����!� �$����������� ����H��M�%���� ������$���������P����������!��������� ������8���������������������%���������$��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%�����������L����� �����!��������!��������� ���� ��������$���!�!� ����!���M�&������ �������������n���������

!����� ������'#������������������H�������V X����������� ������$���!�!� ����!���M�&������ ��H�������VV ,� �����$���!�!� ����!���M�&������ �L����$����������"Q�����

!��������H�������VVV (������ ������ �����$���!�!� ����!���M�&������ ��H�������VW ,� �����$�����!���$�� �����!� �������!�!� ����!���M�&������ ��

���"Q����L�����!���G ��� �����

Урок 3.9. Серединный перпендикуляр отрезка

C���)���1��������,� �����$���!�!� ��L���������������%�!��!������ ������$��L�"��������8 �������8� �����!���������E�����������"����1(�!���M�&������ ���������������%�!��!������ ������$���K��������'1�� �������L���������� ����J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?

A B

K

N

DC

M

Page 109: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

107

Многочлен. Серединный перпендикуляр

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1*��!������M�������������M��������� ����� ������$���!�!� ��������������!�����!�������!�����L��� �M������$���!�!� ����?�L����F��!�������� ����������������!��!������ ��������$��L��"�������������M������, �� F�8�� ���� �!������ �&� ���� ���8� ������ >=(L������ ���&L����(@��� ����"������%L���P������%�������%��?������"��$��L��"���������L���� jr���̀ a.

B����)��������#�> ��*���[� E��� ����� �!���M�&� ����� �� ��������%� !���!�������� ������$��L���!� ������8������$����!�$�����\

(� �� �&� !���������� � ��������� ��!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�F���$�������� �� &"�%�!����%������ !��!������ ������ !������� , �� F�8��!�������� �������F�%�!����%��� �������� &"�%����$����X�����������������%�!��!������ ���F�8�����$����!*��M����� ��5� =� F��� $������� �� ����L� ���!����� ���M�%� !����%L� ����� !���!������� ��� �� F�%� !����%�� , �� F�8�� !���������� ���8� � ������� �� F�%� ����� B������ >CL� �����%� !�������� F�� !����&� ��������������X�����������������%�!���!������� ������$��L��"��$������8��F������������Y��!��!������ ���"����!��������������$������>��+�//���������������"����[�( �"������M����!���!����������!��������$��"�P��&�!� ������ ������8��!�����������H��� �L�!��8������� �����M������"������"����� ��L���8��������"��$������!�������=��������!���M��������!��F������"������ �����������M���������������������?��������������1�H��� ���"�"M��L������������������%�!��!������ ������$��������������n���������

!����� ������'#������������������H�������V X��������� ����� ��������%� !��!������ ��� ����$��� � !���M�&�

����� ��H�������VV (������������%�!��!������ ������$����!���M�&������ �L���������P

����"Q�����!��������H�������VVV (������ ����������������%�!��!������ ����!���M�&������ ��H�������VW (������"Q����������������%�!��!������ ���!���$��� ���8�����$���

�!���M�&������ ��

Многочлен. Серединный перпендикуляр

103

3.9. Серединный перпендикуляр отрезка

Деятельность

�5 �������������� �����������������5 ���������������������������������������������������-�������������������������� ��

�5 �� � � ������� ����!����-��"#$% � &$%' (��)���) �� �-

���� *+ ,���������� ����!��-

���� �*'. ��� �� �� ��������

�� ����� *+ )��)���) �����

����!������ �*' �����' /���

*+0���������� ��������

��)��*$������� �'����

�����%$�#&'

A B

A B

C

D

O

Упражнения

�51������ ��!���� �������) ��)��� �����������)��� ��)��m� ���"�)2�����������3������������4����)������2��������!�

I. 5!��6�����)���������������3������3������"������7 �������������������)��m 8����9:�

;;�3����������������,�������,������<�=�

;;;�...

�5����� ���� ���*�� ��)��a �������� ��)���� �����������)������)��a�?������������)���������!������������ �����@���-�����������������������"��)��"�

�5�����������)���b����������-�� ����� �2����������������

����� 4�� ������)������������-

���)������)��b.N���"����5 * ��2�� 6�����)������������!�6����������

� ���������2�� ��)��� b � ���"����"�

������K NMm

b

A

Page 110: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

108

Глава III

Урок 3.10. Центральная симметрия

C���)���1��������(����K�8���L����������&�$�P������%�K�8���L������ ���������%������ BI��P�� �������������C�E�����������"����1(����K�8���L����������&������%�K�8��������� ���������K��������'1��� �������L���������� ����J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 (� !���M�&� !��$������L�!��8��� ����%� ��� ���!�&���L� ���������&��K�8������$����K�����H��M������"���&��$�F���K��8�����������������"Q���&L�!������F��K�P8����� �� �&�� ������������� H��� �L� ��A��� ��L� �������� ������� �� ������������������@!������� �&�����%��������������K�8��.

,��� ����L� ������� �� ���"����L� ��!� ����� ���M������ ���� F��� ���� �"�P��&��!������&�����L����������%�$������%����������� ����������X��������� ������������������������M��������&����� ����L������&������"����L����!���� �����%������������%�K�8�����H��� ��!��A����������M����!��"�!����������K�8���L������������%�$������%�K�8��������� ����������H��M�%�L�����!�����A�%������ �������������L�

����������&�$������%�����L��� ������P��$�����G����������!��������K�8���L����������%� $��������%� K�8���� ����P� ���� ������ H��M�%�L� ���� !�� ����P���� B���A����C�������K�8���������!�P

�����K�8���L����������&�$������%�K�8���L������ ����������X�������������������M���������������������������������������������������������������. `s�b�̀ 1sL� as�b�a1sL� js�b�j1sL� rs�b�r1sL� �s�b��1s�

B����)��������#�>��*���[�E��������K�8���L������������$������%�K�8��������� ��������\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5 E �� �� ��� ��� �� 8��!!��� E������ 8��!!�� ��!� ���� !���L�$������%��%������$��������������������������!������������������� �����

AA

a) �� ��

A

Глава III

104

3.10. Центральная симметрия

Деятельность

�5 ������������������� �+�*�������4��������)���A O

�5 A�������6�������������������+ ������+�� �������)�������B#

1DB#�

A O A�

A O�5 ��� ��������,������"+ �B#

1'����� �����@����������

+�3������� ������� �#1�������������+'

?��� 1��� �2�)����)�����"�)2�����������+� ��������-

��)�2�)������+ 1D+ ����������) ����� ����������� ����

�������������+�?��� + ���������)������ ������� � ��������) ����� �����-

������������,��

Деятельность

�5 �������@���"���������E�!���"��������������������������-�� ���������6�����+8����9:�

A

OO

O

A

A

OA

�5 ����� ����������������������������������� ��������-�����+���� ��E�!���'�����E�!�������������������)����

�������������+���������)�E�!���'

/�������������������)��,�����E�!����������������+�

�������� �� 4�� � E�!���� � E�!��� ���������) �������������S���"��>�������������+�

*�������)��������������)�������������"�����������"�����,����

F�������� ���� �� ����"� ,)"� ������)" 0 4� 6�������������-

�������E�!����

������

O

A

A�

E

D

D�

C

C�B

E�B�

Page 111: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

109

Многочлен. Серединный перпендикуляр

E����%�����L������ ���������>L������������������������!� ��������������!� ������ ����������&���=� �A���&���$����8��!!���!� ��������K�8������!*��M�������5��"��!������K�8���L������������$��������K�8����L� �P��������� ����������@�!����������L��������������������������K��8�P����Y��$���������!� �����8��!!����

OOO

A

A�

A

A�

A

A�O

!*��M������ 5�, ���8�L���"���!���� �����������L����������%�����������8���P��$���L� ����� !������ ���$��� >>1� �� ==1� ���!������ �����������!���������L������!�����P �����������������s �̀b�s`1L�sa�b�sa1.

X�������������� ���������@�������1L��������������������, ��F�8��!��������� !������ @�� �� � !���M�&� ����� �� ��� !����%� @�� �� �������� ���$��� @��b�@�1��Y�������"������!� �8����������$���>1=1L������������ ���%���������@������������$���>=�!��������������$���>1=1.+�//������������ ���"����[� =�� ������ !�������� ����������� K�8��� ������P� ����������� ���"��$��� �"������M����$�������"� ���!�����$��������H��PM�%��WVV�� ����� ������������������L����������&������%�������X���������� ��� ��������M������ ����"�������� ����� ��������*�!�����[��������P���������������$�������������L��������8������������K�8���B����8� �������L�!������8� �����L����8�������C�������� ����F�%������!������K�8���L������P������&�F�%�K�8��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%�������������� ���%��������L������������K�8����������!�������������������"���������������&M���������A�%���$��������������K�8��������"����$���������*�����!�&�������������P��&��������������K�8���.����������n���������!����� ������'#������������������H�������V (���� ���������&� ����� ����� ���� ����L� ��� $���������

����������������K�8����H�������VV ,�!����� �A�"��� �� !�������� ����� ���� ����� ���������%�

K�8����H�������VVV (������ ������������� ������������������&�K�8����H�������VW (���������������K�8�������"������������������&�

A

B

P

B�

A�

P�O

Page 112: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

110

Глава III

Урок 3.11. Тождество. Тождественные преобразования

C���)���1�������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�������� ���"����1 (����A��� �����������!����"���$������������������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 H��M���� � ��� �� ������ �� 8��!!��� H��M���� !����%� 8��!!�� ����������� ����%��������������L������8�������� ��������"�����L�!���"��$�&��������������!����%�����P��L����8���U�!���������������� �������� ������P������� � ��������� ��$� ���� $�!����&�� ��������L����� �A����������������M����

B����)��������#�>��*���[�E�����M�� �&�������������!���"��$������\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5(��� �&��!���� ������8�L�����%������ ��� �������"�������!��P��&�� �� ���&���������������� ��!� �����������������������8����������P���L��"����������������!����� �&������������8�� ����.]C�=���������Ba�f�'CBa�U���C�b�a2�U�);� ���&�������!���"��$���������8�� ���

Ba�f�'CBa�U���C�b�a2�U���a + 5a�U�);�b�a2�U�+a�U�);��E��������L���!����&������������������������� �����$�!��������� ���U_+a. 8C�x2�U���x�f��;����b�Bx U+CBx�U�'C������"��$���������8�� ���!����&�������

���� ����Bx U+CBx�U�'C�b�x2�U���x�f��'��� ���%�������������������������$�!�P�������'�

!*��M�������5�������������������!����������� ��U�F��$����L����$��������F�8���������������$�������!��������%��H��M�%�L����!���$�����!���"��$�����%L��� ���� ����� �!���� ��L� ���� �"��$���� !�������� �� ��� , �� F�8�� � ���������"����%�� ��L������%�������"��$��������������������������]C�����������"����%�� ��������������[�BaU��CBa2�U�-a�f'C�U�Ba�U�-CBa2�U��a�f'C[

=�!���$��������BaU��CBa2�U�-a�f'C���"����%�� ���U_��g�'�b�U_�'L�=�!���$��������Ba�U�-CBa2�U��a�f'C���"����%�� ���U-�g�'�b�U_#;�

?�8�����"����%�� ������������[�U_�'�U�BU_#;C�b��'��,�%��� ���L�BaU��CBa2�U�-a�f'C�U�Ba�U�-CBa2�U��a�f'C�b�a3�U�-a2 + 5a�U��a2 + 24a –

�U��'�Ua3 + 3a2�U�'a + 8a2�U��#a�f�#;�b�U_�'�f�#;�b��'�������[�]C��'�

Многочлен. Серединный перпендикуляр

107

3.11. Тождество. Тождественные преобразования

Деятельность1�� �������������������8a0G:H8bIJ:09Dab0GbIJa0KL��5 ������� ����������� �������� � ���� ����� ���������� �����������!�����������������������������3�����!�������������'

�5 ������������,��,2���� ��������� ���)ab0Gb���������������������3������,����������,"����������������� ����Ja0KL��)���� ���)�!���� �����'. ���������������0HKL��������0HKM09'

�5 /�����,2���� ��������������"��������"8ab0Gb:�8Ja0KM:'1�)��!��,"����,������4������ ���)����09'

�5 N������������������������������'����� �����@����������������

A������������ �2�����������������������,�"��������"���-����)"�������������������)��M)�����.

1�)�!���,��������� ����������������� �����������������,������������ ���������������������� �������������-�����,������������ �������������������������������� ���)�,��"����� ���������������������� ����� �����

���,����������!���� ���)�� �������������������� �������������)� �������������,���������������,�"��������"�����-��)"������������� ���)��������������������������)��������-���)� ������������������� ���)���

Образец

1�� ���� �����8xIL:8x0M:I9KD8x09:8xIK:0O�3��4���,��������� �����������������������,�����������-

����� ����������������� ����� ����P

6

Q���)����� �����)�����

w�����������18xIL:8x0M:I9KDx20MxILx0KRI9KDx2Ix0GN������������18x09:8xIK:0ODx2IKx0x 0K0ODx2 + x – G+ x2 + 2x – x – K– ODx2 + x – 8�������,������������������� ����� ������������������)��)���)� �������

Упражнения153��������� ���������������K9c 8a0b:D0HK9c 8b 0a:)��)���)� ��-�����3���7��������������'�����'3����� ���4�,S)����������������)��,�'

�5�:*������������������!������������!����"�������������,��-�����"���� �����1�� ����"� ������������

,:*������������������!����������� �������������������,��-�����"���� �����? �������������'

Page 113: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

111

Многочлен. Серединный перпендикуляр

J����'%��#����'����)������������������[�H��M��������!���"��$����� ����������������������8�%��*�!�����L������!���"��$�����������!������� ��!�����A�P������������%��*�L���$�����L�����"��M� ��������������$����������F�8��!���"��$�P�������=���������������� ���� ����������������������L����$�!���������P��%������8���������� ������$� ��������������8��!���"��$�����������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������������������!����"����$�P��������������%�����������n�=�!� �����

!����� ������'#������������������

H�������VX����������������������!���"��$���������������%�( �"��!����� ��L�������!� ��&�������������!���"��$������������������%�

H�������VV

,�!�������$����� ������A�"���!��������������!���"��$����������������%�=�!� ���� ����������� !���"��$������L� ��� ��� ����� �"���������������������.

H�������VVV (������ ���� !������� �� �"��������� !���"��$������� ���� ����P����������

H�������VW ����"��$������"����������������������"�����!��"����

Урок 3.12. Линейное уравнение с одной переменной

C���)���1����������A��� ���%�����������������P��%�!��������%L������������!�����������%�!���$��P�������� �������������� ���%������������%��������!�������������E�����������"����1��A��� ���%��������������� �����%� !��������%L� ���%���� ����������� � !���P������%�!���$���������� ��K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1� ���L���$8���������L��"����P���E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 (� !���M�&� � ���������� �!�������� �GL� ��� ���M���� �$��� ���"� �������������� H��M���� ��!�����&� $������ �$������������������$��)�� ������A�������������%��!�������������L�����������������"�������������.

Многочлен. Серединный перпендикуляр

109

3.12. Линейное уравнение с одной переменной

Деятельность�5 ����������x��� ���� �����x�������� ��������������������5 ������������������� �! "���!�������������������������������-

��! ���"���5 #��� ��"�$��� �!���%������������5 ����&������'���(������������)���%�&�"�*� �����! ������������

���������������������+�����$&���,�$��������! ��"�#������������������

/�����+�&01����ax���b+���$�����,�����������&� ����&�����-��&�����������&������3����a���4��������(��%��������,�x���b 5�a��

�5�����&�!���,&�������,�&������������� ����,����������������������

�5������0���������������,�&������&������ ���$� ������ 0���!� �+��� !�������� ,�

/�����+��������&���������������&�������$����,&��������� ����������&�� ����&�� ������0+� ��$�����,� ����&� ������&��7���&�5��"�[�:�\�?Y�[�@��� ������������

/� ��,���1�������,��'�������������%�� ����%��������,5 9������: 4���1����������������'��x���b 5�a���9������\�4;�b : 0���'�����5�x�� ��=9������\�4;�b � 4+���1�����������!���&���������'����

Упражнения

�5�>'��������,5

?9� =��� 44x���4;� �9�@x�������x��� �;� � �9� =���Ax��������x;%9��y��� A����y��� @;� �9�Ax���B=x���@9���C;�� D9�=y���BA���y9��� ;�9� =���BAx��� 9����x;� $9�B@x��� 9���B�x���=9���A;� 9�BA"����9���B�"���@9�����

�5�E��,�������&���$��������������&+��'��������,5

?9�B ="��� A9���BC����"9����F=";� �9� ����B�"��� �9���B=�����"9���B �����"9;�9� +����B"����+�9���B4+�x�� +A9���4+@;� %9�ABAx��� 9����+@x���4+�x����+A���4+Ax;�9�B4+A"��� +�9���B�=+�x����+A9���B�+�x���4+=9���B 4+A"���4+�9�

�5>'��������,5

?9�ABx���=9����Bx���@9���@B�x����9���@;�9� By����9��� 4BA���=y9���=B����=y9����F�;�9�AB�z��� 9���@B�z��� 9����B@����z9���C;%9� 4B=x����9���=BAx����9���AB ����x9����A�

�5#��� �+�!������������������,� ,0��,� ����&�������,&�����-������&����+��������������������,5�

?9�11

7

2

5=

− x; � � �9�

3

5

63

x x=

+; � � �9�

x x3 5

8+ = ;�� � %9�

y y3 4

14+ = .�

Page 114: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

112

Глава III

Неизвестное

уменьшаемоеНеизвестный

множитель

...

Неизвестное

вычитаемое

Неизвестное

слагаемое

УравнениеКорень

Определение

B����)��������#�>��*���[�E�����A�&�� ���%�������������������%�!��������%L� ���%���������������!��������%������� �\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��% � � �5� j�� !��"���� ��A����� ���%���� ��������%� � ����%� !��P�������%L� ������� �� F��� �!���������L� ���M���� $������� �$� ����� ��������� $�� )�� ���@������K������&�����!� ���������%�����!���!�����M������ �����!����%��� ����%����������������=!�����&��!���� ���"�����������$����L���M�8��!�������"�������!*��M�������5=���A�����F�����������%� �������!����%��� ���%����������P�������$"�����������"�%��, ��F�8�����"��������%�����������������������&P������"M�%�$������� ��B� ��!�������������������%���!��!�����C����������P����$�!����&����!���%�K�����

]C�117

2

5=− x

''�b��#�U�+x7x�b�U_#�

x=−567

"C� 35

6

3

x x=+

9x = 30 + 5x4x = 30x�b�+L'

�C� x x3 5

8+ =

5x + 3x = 1208x = 120x = 15

8C� y y3 4

14+ =

4y + 3y = 1687y = 168y = 24

�����[�]C��567; � � "C�+L'^� � �C��'^� � 8C��#�

!*��M�������5������A����������������$�"��� �&��������"�%���!����%��� ���%����������������

]C� x x−= +

+4

59

2 4

9 N�����������������������-/T

7Bx�U�#C�b�#;'�f�'B�f#xC�9x�U��)�b�#;'�f��;�f��;xU_��x = 451 x�b�U_#�

"C� 2 3 7

4

17

50−

−++

=x x

B����������^C

#;�U�'B�x�U+C�f�#Bx�f�+C�b�;#;�U��'x + 35 + 4x + 68 = 0U_��x�b�U_�#�x = 13

�C� 86

5 4

3

6

2

−+−

=+y y y

B���������_C

-�U�y�f��;�U�-y = 3y + 18U_��y = 0 y = 0

8C�4 7

5

3 2

2

5 2

232

x x x++

−−

−=

N����������^T

8x + 14 + 15x�U��;�U��'x + 10

= 320U_�x = 306x�b�U_�'�

�����[�]C�#�^� � "C���^� � �C�;^� � 8C�U�'�.

Page 115: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

113

Многочлен. Серединный перпендикуляр

!*��M�������5,����������������$�!�A������������������������A���!� ������������������]C�� ���� ���������A�������)zL���!� ������� ��+L#�� a�U�;L�)a�b�+L#�� � a = 10."C�� ���� ��m���� ���������;zL�!� ������� ��7L)�� m�f�;L�m�b�7L)�� � m = 8.�C�!���$����������� ��L�'���"�"� �A���������� �����"�������$��

�L�'x�b�B��f�xC�g���� � x�b��L)�

8C��������� � 7

12 ���y�����A�����G��%������� ���'��������$�.

i �������7

122+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟y ����A��!���$�������� 1

425� y ������$�L���������F����������

�L���������!����$������������������F���������������: 7

122 3

1

425+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⋅ = ⋅y y,

y = 7.

�����[�]C��;^� "C�-^� �C��L)^� 8C�+�

!*��M�������5������A����� ���%������������%��!��������%������� �L��!�P�����&���!���� ����L� ��%������� ���(�F�%��� �&����� ��!�����L���������������A������������L������$��������M����!������������������������� �.�C�;L�'_�_x U�-_��b�'

�_x U�-_��b��;�x�U�-�b��;�¦§�x�U�-�b�U_�;x�b��-�¦§�x�b�U_��

GC��)�f��_x_��b����_x_��b�U_'x = �

�C��_x_��U� 1

4 b��L+'

�_x_��b��x�b�����x�b�U_�

�����[��C��-���U_��^�GC��^��C�����U_��!*��M����� ��5 ��A��� �!��������L� ���M���� !�������� ���� �� ����!��" �$�� ������$��L��� ������A���%�����������������Y������� ���������������������M��������!���!� �������A����������������]C����;x U�7��b��#��H��M�%�L��������&M�%L������F�8���������������������������L�

�� �����!����������L�����M���&����� ������� �����������#�,�%��� ���L��$�F�8������������!� ���&�������������;x�U�7�b��#�� ���;x�U�7�b�U_�#�x�b��L����x�b�U_;L'��"C�H������������_U_�x f���_��f�#�b�#������������L��������L�����_U_�x f���_��b�;��x = 7.

�C�H�����������x+

=−11

52 ��A���������X������������ �����"�����������������P

� ��������� �.�����[�]C��L����;L'^"C�+^��C��

J����'%��#����'����)������������������1H��M����������!������ ���� ���������������������%����$����%L����&M����������������B����������� ������������&M���������%�� �����&M����"������������ �������%C��H��M�%�L��!���� ��PA�%L����������������������������%�!��������%������� �����&����������L��� ����������"Q�����F��K����@!���� ��������� �������$��������"�����F������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!��"�����A����� ���%P������������%������%�!��������%L���������%������%�!��������%������� ������������n�=�!� �����

Page 116: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

114

Глава III

!����� ������'#������������������H�������V X���������!�����A����� ���%������������%������%�!��������%L�

����������%��!��������%������� ��H�������VV (������ ������A������������������%�!��������%L���!�������P

$������� ������A�"���!�����A�������������%��!��������%������� ��H�������VVV (������ ���� ��A��� ���%���� ���������� � ����%� !��������%L�

�������������!��������%������� ��H�������VW ������������"��%�!��"L���A��� ���%�������������������%�!����P

������%L������������!��������%������� ��

Урок 3.13. Абсолютная погрешностьC���)���'1����������������!��" �$�� ��������GP������A�����!����������$�������!����������P���������!� ����������$� �����#������*�������"� &��&�������� ���&�!�8���AP������$� �����$��������E�����������"����1������������ !��" �$�� ����� ���G�� �� ��A�����

!���������� $����� �� !�������� ����������!�� �����������$� �����

����*�������"� &��&�!�8��A������$� �����$P���������

K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� ���%��L� A��P8�������� �L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1*������������ ����L������%������"����L�� �������8���$P�������� ���%����L��� ��������$���$���������� ������ ����������$� ����$�P!����&�����������E���������L��������$���������L��� ���������$����� ����%P����L�"�����M���������$����� �������$����������������"������������� ����$�����!� ����������$� ����L���$��������$������������$��������������"����P���� !������ R�"� &���� !�8��A���SL� ���� �� ����� �!� �$����� ����� ������!���8�� ����� ���

@"��$��L� �����%� �� ���"����L� ���!� P����� ���� ��L� �� ��$� ���� ��8������������ !������ R�"� &���� !�8P��A����S�� H��� ��� �"Q������ �"P��� &�����!��8��A���L��!���� ������$P

����������� ��������������%������&.

Многочлен. Серединный перпендикуляр

111

3.13. Абсолютная погрешность

���� �������� ���� ������ �� � ������ ������������ ������������

�� ����� ���� ���� �� ���������� � �� ���� � ����� ��� ����� ������ ���

������������ ����!������ ����������� �������� ���"��������������� �

���������������#�� ��������������� ���������� ��� ���� ����� ����

Деятельность

1. $��� ������������������������������%����&� ���-

���������������'(�� ����)*����� ������%� ���

+������ ��� ������ ����� �������� �����������

���� ����������������������������������������-

�������.

2. ����������� ����������/0�� !��%����� ��������-

������ ��������������� ����� �� ���������� ��

��6��� �!���� �������������� ����%���������. ������

Образец1. 8����������9l:!����������������!���������� �����

;!<�� ���;!)�� ��������������!� �����������

l���;<!=�>�?!=�@�;)�9 :�����l���;<!=�A�?!=�@�;<�9 :!������

������������������ ����������?!=� ��

2.��+����� ����������!� ���B����� ��� ��� �� �� ��������

C;)�A�;<!=C�@�?!=�9 :�����C;<�A�;<!=C�@�?!=�9 :�

(�������������� ������������ ��� ���� ����� ������������������� �

�� ���� ���������������P���>*� ��������P*�����M��� ����"������

@����P����*� ��������\{��"������"����<*�����ML�������"����{D���������������������������!������������� ��������������������-

��������������������� ��������� �������������������� ��������� �����

E����a���b!� ��������� ������� ��������� ���������������������B���

���%���������������Ca�A�bC�F�9�`�9���:�N���&�9�8�^T�

Образец

G��������� �����=!?HI���������������������������$����� ���������������-

����������B���������������������������

3��4��=!?HI���=!?/�9�������������������:��$�J�� ���� �� ���������� ������

��?!??H!�����������������������������K� C=!?HI�A�=!?/C�@�?!??H��

=!?HI���=�9���������������������:��$�J�� ���� �� ������ ����������

��?!?HI!������������������������������C=!?HI�A�=C�@�?!?HI�

�����l���;<!=>?!=�

������

Образец�58���� ������ 9l:!� �������� �������!� ��������� �����

;!<�� ���;!)�� ��������������!� �����������

l���;<!=�>�?!=� �@�;)� �����l���;<!=�A�?!=� �@�;<� !�

����������������������� ����������?!=� ��

2.��+����� ����������!� ���B����� ��� ��� �� �� ��������

C;)�A�;<!=C�@�?!=� �����C;<�A�;<!=C�@�?!=� �

�����l���;<!=>?!=�

Page 117: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

115

Многочлен. Серединный перпендикуляр

B����)��������#�> ��*���[� E��� �������� �"� &���� !�8��A���� !��"� �����P��8��$�������\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�/������� ���� 6

1

2 �� 7

1

2���"������ &"����� ���L�����8 ���

�8������� �8���� �L�!���$�������8����������+. *�!�����L�)L'�|�+L�)L-�|�+^�+L��|�+^�+L#)#�|�+�L�+L'�|�+��������������8 �����F������ ������"� �A�����!������!�8��A����;L'��+�U�)L'��b��+�U�+L'��b�;L'^"C��i ���� �L��$����������+���7L�"��G���������-L����"� &����!�8��A����"����

����������-�U�+��b��-�U�7��b���� � � � � �����[�]C�;L'^�"C���!*��M�������5���� ����� ����$�"���������������&����;L���L�$������������%�� ����$�"����"������!� �8������������ ������L'�¨�;L���?��������L#�~�� ����$�"����~���L)����� �����[���L#�������L)���J����'%��#����'����)������������������[�=��!���������p����!� �$��� ��$�!���¨�;L���H��� �L���������K������&���$�����R¨SL�����������������������M�����������%�$�!����!���M�&�F�8��$��������������$������������ �!*��M�������5�©������!�����8� ������������������&��������);;�¨����L�����599 < a <�);;��L�� �������-;;�¨����L�����+77�~�b�~�-;;���?�8���! �M����!�����8� ������"���[�'77�g�+77�~���~�);;�g�-;;��#+-);��~���~�#-�#;�� � � � � �����[�#+-);��B�2C�~���~�#-�#;��B�2C��!*��M�������5�©������!�����8� ���8��!��� � �!�!�����������L�� ����U�bL����P��U�?��?�8���a�b����¨����L� b�b��#�¨����L� ?�b��+�¨�����21 < a�~��'L� ���~�b <��)L� �'�~�? < 29.?�8����"QG��!�����8� ���8��!��� � �!�!����"�������g����g��'�~�W�~��'�g��)�g��7�11550 < V < 18850 �����[���'';�B�3C�~�W�~��--';�B�3C��!*��M�������5����� ������ ��������������������;L��L���!�������!���$���P���������&����;L���?��������!���������$������-L)�¨�;L�L����������"���������8���������-L'°j���-L+°j�� � � � � �����[��-L'°j����-L+°j�

!*��M�������5�O$����L����2

30 666� , ... . @���8 ���F���� �������$����������L�

���L�������[�;L6))����|�;L+^� � ;L)6)����|�;L)+^� � ;L))6... |�;L))+��

=�!������ ������"� &����!�8��A���[�2

30 6

2

3

7

10

1

30− = − =,

=�������� ������"� &����!�8��A���[�2

30 67

2

3

67

100

1

300− = − =,

=������� ������"� &����!�8��A���[�2

30 667

2

3

667

1000

1

3000− = − =, .

?������"��$��L�"�����������A�%�!�������8 ������� �������$��������������"�P

&����!�8��A���. �����: 1

30

1

300

1

3000; ; .

Page 118: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

116

Глава III

!*��M������ 5�=�!� �����!��������L����M�%���� ����������"������L�����"P� &����!�8��A���L���!������!����$��������� �L����"� �A����?��L�����������������8���������������" �$���� ����������b��;;;����,�!���������F������������!�8��A��������������L���!�����L������������ ��������A�L��������!�������!�8��A����!����$��������� ��� ���%�����b��;;��L�����������: 1

1000

1

200� .

�����[�O$����������������������8��������"� ���������!*��M�������G5=�!� ����$������L����M�%�����"���� ���������� ����"�� &P��&�!�8��A�����

1C�;L''5'����|�;L'''^�5

90 555

1

1800− =, .

�C�;L''5'����|�;L'')^ 5

90 556

1

2250− =, .

O$P$���� �����"� �A�%�!�8��A������!������ ����� 1

1800

1

2250 �"� ���!���� ����

�$���;L''5'����|�;L'')�*����������������!� ��&��$��������$����"�������8��!!����O!� �$���A��P

8�������� �L�!����������$�����$�������L��"����&����$� �����*�����!�&��������������&�����8�����������L��!���M�&��������������!���������������$��������J����'%��#����'����)������������������1��������8 ����L������$�!��L����!�����L�����;L7'�|�;L-������%���$���$����������������M�����H��M�%�L�!����P�������8� �����;L+'����;L-L���������;L+L���$��G�!������� ������"� &��%�!�8��AP�����H���� ���� ����������F�����������������M��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%���������!��"���������������"�P &��%�!�8��A���L��MG���$��������!���!����������$� �����!��" �$�� ��������G�������������n�=��� ����n�=�!� �����

!����� ������'#������������������H�������V X�������������!��" �$�� ��������G��

X�����������������������"� &��%�!�8��A����H�������VV �������� !��" �$�� ����� ���G�L� ��� ��!����� �A�"��� !���

!�����������$� ����@�$��G�!�������"� &��%�!�8��A���L���!�������$����� ������A�"����!������� �����

H�������VVV (������ ���� !������� !��" �$�� ����� ���G�� �� !����������$� ���(������ �������� ����"� &��&�!�8��A����

H�������VW =��� ��� �"� &��&� !�8��A���L� �8������ �"��������� ��G��������

Page 119: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

117

Многочлен. Серединный перпендикуляр

Урок 3.14. Относительная погрешностьC���)���'1����������������!��" �$�� �������P�G��� �� ��A����� !���������� $����� �� !��������������������!� ����������$� �����#������ *������ �"� &��&� �� ����� ���&� !�8P��A ������$� ������$��������E�����������"����1������������ !��" �$�� ����� ���G�� �� ��A�����

!����������� $����� �� !�������� ����������!�� �����������$� �����

����*������ �"� &��&� �� ����� ���&� !�8���AP������$� �����$��������

K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L� ���%��L��"���P��������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1��"�������!�����L�������������A������ �L���"����P��%������������8����!�����R@���� �����!�8��A���SL����$������&�� ������ �� ����������L����������L�����M����������� ���%�!�8��A���L�����P �������������, ��F�8�������"�����!� ��������� ������$����"�������� ��!� ������� �����������R����� �����!�8��A���SL����M������$Q������F��!��������@���� �����!�8��A���L�!� ��������!������� ������ M������� ����P����8���� �������������������X�� G%���J���%L�����������"��$������"����L����P�����&���*��������F�8��!�������B� �����8���!�������CL����M������ ������ ������8��"���!���������!��$��������!���M�&�!��8��������!�&���.

B����)��������#�>��*���[�E����!���� ��������� �����!�8��A����!���" �P$��� ���8��$�������\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�@!���� ����$���������L#'�|��L#����L#'�|��L'��"� &��&������P�� ���&�!�8��A���[��C�>"� &����!�8��A���[����L#'�U��L#���b�;L;'

@���� �����!�8��A���[� 0 05

2 45100 2

,

,% %⋅ ≈

�C�>"� &����!�8��A���[����L#'�U��L'���b�;L;'

@���� �����!�8��A���[� 0 05

2 45100 2

,

,% %⋅ ≈

i ���������$� ������!���L���!������ ���������� ���&�!�8��A���������PA ������ �����������;L;'L���������� �����U�������A���������;L;'�

�����[�����������!*��M����� ��5� O$����L� ��� �"� &���� !�8��A���� !������ ����� ��� ���'�8L�������U���8��

Глава III

114

3.14. Относительная погрешность Деятельность

@��������*��������P���>*� ��������1�5 G��������� �����<!?T)����� �������������������G�������������������

�����������

�5 U%����� �� � �B��� ����������� ���������� �� ����� ��������%� �-

�������������� �� ���� ����� ����

�5 V���������������� ������ ���������#����!�� �������������H??W�

�5 ����������#���������������������������� �������������%��������-

���� �� �� �� �� �� ����.� X�� �6��� �!� J��� ����� ���� ��.� G�����%���

���%�������

Образец

&� ����������� ����������?!?H� ����B��� ����� �����������������������

?!H=� �� &� �������� �� �� ������� ��� =??� � � ���������� ��� +� ��� ��� Y����

����������;T0�???�� ��X������ ��������������� ���.

3��4��$���� �����#�����������������������%����������������B����

����� ������������������B���� ����� ������������K�

0 01

0 15

1

150 0666 0 067 6 7

,

,, ... , , %.= = ≈ =

�$���� � �� ��#����� ���������� ��������%� ����������� ���������� ���

+� ������Y�������������������+� ������Y���K�

500

348000

1

7680 0013 0 0013 0 13= ≈ ≈ =, ... , , %.

����������?!H;W�F�<!)W!��������������+� ������Y����������� �������������� ���

G�����������������%�������������� �������� ������� ��������� �-

������������������������>*� ��������P*�����M����.

U���������������������%������������� ����������������������-

��������������!������� ������#��������������� �������� ��������G���-

����������������������������� ��������������#�����

= =

Абсолютная

погрешность

Абсолютная

погрешность

| |Точное значение | |Точное значение

.100 %Относительная

погрешность

Относительная погреш-

ность (в процентах)

Упражнения

�5��G��������� �����T!;0=���������#��G�����������������������������������

�����������

�5��X���� ��� �������%� /!0=�/!0� �� /!0=�/!=!� ��� ������ ��� �����������

����/!0=�����������!������������ ������� .�$� ���������������������

����������������������������������%������%�������

Page 120: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

118

Глава III

@���� �����!�8��A������!������ ����[

5

2600

1

520= ≈ �;L�;;�7��g��;;z�|�;L�7�z

@���� �����!�8��A������������� ����:

3

800

3

80 375� �% , %

E��������L�!����$�����������������L���!�M����"� �A���!�8��A���L��� ���$��PA����"� ��������� � � � � � �����[��� ���$��A����"� ��������!*��M�������5�������!� ������F�8��$����������M����� ����� ��������8��!P!���E������8��!!����A���!�������������%��$��������" ����

1C� 43

84 375 4 38= ≈, , . � >"� &����!�8��A���[��#L�+'�U�#L-��b�;L;;'��

@���� �����!�8��A���[�0 005

4 3750 001 0 1

,

,, , %.≈ =

�C� 71

9� +L�1�����|�+L��. >"� &����!�8��A���: 7

1

97

11

100

1

900− = .

@���� �����!�8��A���[� 1

9007

1

9

1

900

9

64

1

64000 0002 0 02: , , %.= ⋅ = ≈ =

�C�103

1610 1875 10 19= ≈, , . >"� &����!�8��A���: 10

3

1610

19

100

1

400− = .

@���� �����!�8��A���[� 1

40010

3

16

1

40760 0002 0 02: , , %.= ≈ =

!*��M�������5�?������$���������� ���"�$���������?�8������������K���� ����P

��������������� ���%�!�8��A���[�a−

⋅ =4 89

4 89100 1

,

,% %,

a−=

4 89

4 890 01

,

,, .

>"� &����!�8��A���[��a�U�#L-7��b�;L;#-7�� �����[�;L;#-7�

����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!��"���������������P����� ���%�!�8��A���L��MG���$��������!��"��!����������$� �����!���" ��$�P� ���������G�������������n�=��� ����n�=�!� �����

!����� ������'#������������������

H�������V X���������!��������!��" �$�� ��������G��X�����������%������� ���&�!�8��A����

H�������VV��������!��" �$�� ��������G�L������!������A�"���!���!�����P�����$� ����@�$��G� !������ ����� ���%� !�8��A���L� ��!����� ��$����P� ������A�"���!������� �����

H�������VVV (������ ����!�������!��" �$�� ��������G����!����������$� ���(������ �������� �������� ���&�!�8��A����

H�������VW =��� ��� ����� ���&� !�8��A���L� ��� �G� ������ ����$������������������������ �����

Page 121: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

119

Многочлен. Серединный перпендикуляр

Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания № 5

� H�������1 �����������8�� ������������%�����2 =�!� ������%�����������8�� ������3 ,� �����$���!�!� ����!���M�&������ ��4 (�!���M�&������ ��������������%�!��!������ ������$���5 j����K�8���L����������&������%�K�8��������� ���������%������6 =�!� ���������������!���"��$�������7 ��A��� ���%�������������������%�!��������%�8 ��A��������������!��������%������� ��9 *�������"� &��&�������� ���&�!�8��A����

Page 122: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

120

Глава III

Образец малого суммативного

оценивания № 5

����*�!�A������8�� ����x4�U�y3 U�'y3 + 11x4 ����������������������������������������������������������������������������������

����=�!� ���� ��%���� ���� ���8�� ���P��� �� ��!�A��� �!���� !� ������������8�� ����[Ba3�U��a�f��'C�f�Ba�U��a3 U�C�U�B#a�U�a2C�b����������������������������������������������������������������

(�!���[��������

����=�!� ���� �� � "��� ������������8�� �����

4 + 9 – 13x x�

2 – 7 + 1x x�–

�������� �̀ b� �)b� f;L'b3^� a� b� U_+b3� U�L#� b^� j� b� b3 + 6bL� $�!�A��� ����������

�̀f�a�U�j�����������8�� ���[��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

����@!���� �����������L��� �M�%����P��%����$���!�!� ��L�!���%�����P�����%�!��!������ ������$���

a

���,�������������[B'x�U��CB��U�xC�U�'�b�U_B���U���x + 5x2C������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��,������!���$��������!���"��$�%�������P8�� �����$�!�A������������������[]C�U_�Ba2�U�-a�f��C�b������������������"C�Bx2�U�)x�f��CB��– 5xC�b��������������������������������������������������������������������������������

�����A������������[3x�U�+Bx�f�C�b�U_7x�U��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����$ ����� �����%� ���8�� ��� ��� ���P��� �[]C�x2�U���x�f����b��������������������

������������������������������"C��a�U�)ab + 7a2�U��#a2b�b�����������

�������������������������������G����� �� �L)�'#� ����8 ��� ��� ��$�����

������L� ���� ��� �"� &��&� ��������� ���&�!�8��A���[

���������������������������������������������������������������������������������������������������

������A������������[��#x�U��L���b�7������������������������������������������������������������������

���������%�� K�8���L� ���������&������%� K�8���� ����� ���� �����%������@�

O

P K

M D

N E

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

Page 123: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

121

ГЛ А В А I V

ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

C���)��� !"������)����� D�� =��'

1.2.4.

A���

�$&

5K��

��

'�

�#��

?L�

�� �

��M

����

5N

����

�#�

*���

����

����

��

!��#�5�5E���������������$�����������������% �

1.2.4.!��#�5�5��$ ���������������� ����!� �$�P��������K���� ��������������������������$�����������������%�

1.2.4. !��#�5�5��$��������������������������% �

1.2.4. !��#�5�5E�"����������"���$�������������P�����% �

1.2.4. !��#�5�5��$ ���������������� ���������"����������������% �

1.2.4. !��#�5�5��$ ���������������� ����$������"����������������% �

1.2.4. !��#�5�5����"��$���������������% �

@"��$����� �8����������8�������������p�) �

3.1.3. !��#�5�5H8 �L��"��$�&M����!���!���������������!����������%� �

3.1.3. !��#�5 5���$�����!��� � �����!����� �

3.1.3. !��#�5�G5>������!��� � ������(��%���!��� � �����!����� �

3.1.3. !��#�5��5H8 �������������!��� � ����P���������� �

3.1.3. !��#�5��5H8 �������������!��!������P ���������������� �

����������"�� �

@"��$����� �8����������8�������������p�+ �

Page 124: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

122

Глава IV

Урок 4.1. Квадрат суммы и разности двух выражений

C���)���1�����#�����������K���� ������MG���P8�� ���������� !��� ����������� $�������� �� ��������������%�E�����������"����1���������K���� ��������������������$�����������������%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 ��� ���� ���8�� ����� $��! �M���� !�����8� ������ �� ���������� �� �� "� B�����$��C�"� ��!������"��������L�$��! �M���������������������%���B�����$��C�"� ��!���������������������������� ����������L���� 1x .�O!� �$���F������ �L��!������� ����!���$������������ �����

=����� ����L������%������"����L�!����%��$������� �%�Bx�f��CBx�f��C��$�"���G�����8���$��� ���%� ����L�����%������� ��U���������� ���%� ����L����� 1x . ��P�� ����������%�� ������� ����������!� ���� ���%�$���L������!���������������P��� ���%���8���$��� ���%� ���%��������������%����!�� ��8�����!��������������B����

���!� ���� �������!��� ���������������������%�!�����8� �P��%��������������C�����"����%���!���$��������F������� �P���L����� ������������������ ������!���� ������L���������������������� �M����������������������%�"�B�����$��CL�!�����8� �P�������������������"�B�����$��C������������������%���B�����$��C�$�!����&�������������[�x2 + 2x + 1. ?������"��$��L�!� ��������������Bx�f��CBx�f��C�b�x2 + 2x + 1.

������������!�����!������ ����������������!���$��P������Bx�U��CBx�U��C��=�F��� ����������� ����"�U�����$���M���������!�����8� ����L������%���������������� �����"�����P!� �8������������ ���%���8���$��� ���%� ����%���!����%���������%� ����L� �� !��� ���� ����%� � ��� BU�C� �� ���� �����P� ������� ��L��� ���%��������%���������!� �8�&��!���������������/��� ��$����A���L�����!�����$��������������.

?������"��$��L�Bx�U��CBx�U��C�b�x2�U�#x + 4. =�!� ���� ����&� ���� ����L� !���$�������� ���� ����L� ������� �� ���� �L� ��P

����������!���$�����������8�� ������?������"��$��L�!� ���&��K���� ��������������������$�����������������%[

(aIb)�\a�Ib�I�ab ^a <b)�\a�Ib�<�abH��� ��!��A����������M���������������"�F���K���� ����H��M������ ����

���������$���F��K���� �� �������=�$������������������ ������� ��������������"�����������$�����

117

ГЛ А В А I V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

4.1. Квадрат суммы и разности двух выражений

Деятельность �� � �B��� ��� ���� ������ [����� �����%��� ������ ������������

9x�>�H:9x�>�H:��&��������������������B�������������!����������������������������!����J�������������������!�����%� �����������������������%���-

���!������%� ���������������������%������������� �����������%���H������#������������ ���������� ���������� ��H���x� �����# ���������\��������� ������������������ ����� �������������� ����������9��������������������� ����:!� � ����� �� ����#������ � ���� � �� ����#������ � ���������9������������������ ����:��+����9>!�A:!�������������������� �����!������-

���������� ������ ���� ���!���� ����������� ���������$������ �������-

����%����� ����������������������������� ��H���x��U��������B������-

������[������������������ ����%��� ��

1x

1

1

S = .x кв ед.

S = 1 .кв ед.

x�

x

x S = .x�кв ед.

(�������!��������� ]� ���-

��!�������������

9x >�H:9x�>�H:�@�

@�9x�>�H:2�@�x2�>�/x�>�H.

$���� ��!� �������� ]]� ���-

��!������

9x�A�/:9x�A�/:�@

@�9x�A�/:2�@�x2�A�0x�>�0.

1 1

1

1 1

1 1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx�

+

+

+

+

+

+

+

+

11 11

Деятельность �5 8�������!� �������������������������9x�>�H:2���9x�A�/:2��� ���� ���!�

�������������������������������� ���������%����������������K

9x�>�H:2�@�9x�>�H:9x�>�H:�@�x2�>�x�>�x�>�H�@�x2�>�/x�>�H

9x�A�/:2�@�9x A�/:9x A�/:�@�x2�A�/x�A�/x�>�0�@�x2�A�0x�>�0

�5 G��������!� ����� ����� �������� ����� ����������� ���� ��� �����

���� ������

H��)�����')��g�'��M���>5�X������� ��������������%������

�� ����������J�����������%������������������������������������-

�����������������^aIbV2\a2Ib2I�abH��)�����������)��g�'��M���>5�X�������������������������%��-

������ ����������J�����������%� ������������������������������������-

����������������^a<bV2\a2Ib2<�ab

1

1

x

x

– +

–+

1

1

x

x

–2x

– +

–+

11

–2x

+4

x�

Page 125: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

123

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� �������������������$�����������������%\

(��� �&�!����������� ���������$����������"�������!� ��&����8��!!��L�!������ ����������� �����J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������[� ��������� K���� �� ������������������$�����������������%L����M������ �����"��M�����������������$�����"��$��������!�����������=� &"��� ��������� ���� �����"�����������������������$��������!����������K���� ���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5E ���� ��������8��!!���E������8��!!����!� ��������$���������%�!������

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

1 111

1

1

x

m

x

a

x

c

c

x

x

m

x

a

x

c

x

a)

г)

б)

д)

в)

e)

1

1

1

1

1

1 1 1

1

1

1

1 1 1 1 1 1

1

1

11

1

1

1

( – 3) = – 6 + 9x x x2 2

(2 – 1) = 4 – 4 + 1x x x2 2

( + 3) = + 6 + 9x x x2 2

( – 2)(2 – 3) = 2 – 7 + 6c c c c2

a�m�

(3 – ) = 9 – 6 +m m m2 2

(– – 3)(– – 2) = + 5 +6a a a a2

!*��M�������5�"C���"������ ����������������� B#�U��aC2L� !��������8���$��P� ���%� ����� �$�"������� #� �������L� �� �����%� �� ���� �$��L� ���� ��� ���

!�����8� ���������������������������$�������������!�����!����������� ���%� ������������$�"�������#����������������%��������$��L����$�������!�����8� ���������������������������$���@���������������� �L��!���� ���L����B#�U��aC2�b��)�U��#a + 9a2������ �������� ��$����������8�����L���������������"����������%���� ���K�������>#�!*��M����� ��5� ��"�� ��!� ���� �!��������L� !������&�� K���� �� �����������������$�����������������%�8C��772�b�B�;;�U��C2 = 2002 + 12�U��g��;;�g��b��7);�^�GC�7L72�b�B�;�U�;L�C2�b��;;�f�;L;��U���b�7-L;�^��C�7L7-2b�B�;�U�;L;�C2�b��;;�f�;L;;;#�U�;L#�b�77L);;#�!*��M������ 5��C�@"�������������������!���"��$�%�������8�� ��[B�a + b4C2 = 4a2 + b8 + 4ab4

B�a�U�b4C2 = 4a2 + b8�U�#ab4

Page 126: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

124

Глава IV

E��������L�� ����!����������������"������"�� �������� ���U_-ab4L�!� ���������������������:B�a + b4C2�f�BU_-ab4C�b�#a2 + b8 + 4ab4�f�BU_-ab4C�b�#a2 + b8�U�#ab4�b�B�a�U�b4C2.O ��B�a�U�b4C2�U�B�a + b4C2 = 4a2 + b8�U�#ab4 U�#a2�U�b8�U�#ab4�b�U-ab4

�����[��C�U_-ab4.!*��M��������5��C���"������ �����������������Bx�U��yC2�{L���������������� ������%� "� B���� �$��C�� *�� �����%� �8�� ������ �$�"������� !�����8� �����B���������8�������C��A�����%���B�����$��C���������������8������������������$��! �M��������������������%�"�B�����$��C������ ����! �M���������������������%���B�����$��C�"� ���������������L�����"�� ����#y2�B����#�$� G�����������C.

x x

y yy y

x x

y y

y y

Bx�U��yC2 = x2�U�#xy + 4y2

�C�(���� ����������������B�x�U�yC2��� �M�������������������%��"�B�����$��C�������4x2�B�������C��� �M�������������8��!�����8� �������A�����%���B�����$��CL�� ���%��"�B�����$��C�����������������$ 4x2��=�F��� ������$P$���8�L����! �M���������������P����%���B�����$��C�������������������L�����"�� �����2�B���������$� G��%�������C.

2x 2x

y y

2x 2x

y y

B�x�U�yC2= 4x2�y�#xy + y2

+�//���������������"����1, �����M�8��������"��� �����!���������� ����P�����������������$�����������������%��Y��$�������$���G�L����������L�� ���������M���.J����'%��#����'����)������������������[�O��8��������RK���� �����������$����������'��M���>S�!�A��RK���� �����������$���������"�����S��

=��"��$�����!��BB�a�U?C�f�bC2�����������B�a�U�?C�������$�������������� �������$����!��������K���� ���*�!�����[�� ���a�U�?�= mL�����������BB�a�U?C�f�bC2�$�P!�������L� ���� Bm + bC2� �� !��������� K���� �� �������� ����� ����� ��������%[� Bm + bC2 = m2 + b2 + 2bm . X����!�������������������������������m = 2a�U�?.B�a y�?C2 + b2 + 2bB�a f�?C�b�#a2 + ?2�U�#9? + b2 + 49:�f�2:?�= 4a2 + b2 +?2 + 49:�f�49?�U��:?�

Page 127: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

125

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

����?��������������1H��� ���"�"M���!��%���������K���� ��������������������$�����������������%������!���������.����������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X���� K���� �� �������� ����� �� ��$���� ����� ��������%L� ��� ���

�����!�������.H�������VV ,�!����� ��$����� ����� �A�"��� �� !���������� K���� � ��������

���������$�����������������%.H�������VVV (������ ����!��������K���� �������������������$���������

����������%.H�������VW ������������"�����!��"����K���� �������������������$����

�������������%�

Урок 4.2. Разложение на множители с использованиемформул квадрата суммы и квадрата разности двухвыраженийC���)���1�����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�������� ���"����1 ��������� K���� �� �������������� �� ��$���� ����� ��������%L� ��� ��������G��� ������������ �.K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=����� ����L������%������"�����L� ���� �������� ���8�� ����� *�� ������������ �%����M�����!���� �&L�����%��$�F�������8�P� �������� �����������������8������ ����

X���������8�� ����x2 + 4x�f�#L�$�!��������%�� ��L�����4x = 2x + 2xL�� ��������$ ���������������� ��!��"���8��!!�������

x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 2x+ 4 = xBxf�C�f��Bx f��C�b�Bx�f��CBx�f��C�b�Bx�f��C2.����������!�����!��x2�U�)x + 9 = x2�U���g���gx + 32�b�Bx�U��C2. ?������"��$��L�!� ���&��K���� ��a2 + b2 + 2ab�b�Ba + bC2���a2 + b2�U��ab�b�Ba�U�bC2.

B����)��������#�>��*���: E�����������$ �����$������%��G�� ������������ �L��!� �$���K���� �������������������$�����������������%\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�$���������������� ������������8�� ����������!������������ ���"��M����������������$�����!���������� ������

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

121

4.2. Разложение на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

Деятельность

�5 ������������ ��������������������� ������������������ �����

– – –+ + +

– – –+ + +

1 11 1

x x

x

x

x�

1

x

x

x� 1 11 1

x x

x

x

x�

�5 ������� ������� � �����!�� ������� �"������ �������������� �����

�5 #�������������� ��x2�$�%x�$�%������ �x2�$�&x�$&x�$�%��������� � ������

������ ������������������������

�5 ��� � ��� �� �����"�� �� ��������� ������� ���� ��� ���� ���� ���� �

x2�$�%x�$�%�'�x2�$�&�(�&�(�x�$�&2��)���������������� ����������������� ����

������ ���������� ��x2�*�,x�$�-.�������� ��������� ��

)������� ���"� �� �������� �������� ���� �"��� ���� ����� ���� � �

��� ���������� � ������������������ �����/�����0 3�4����5�����������

������� ���������� ��������� �6�

a2 + b2 + 2ab = ^a + bV2 a2 + b2 –2ab = ^a – bV27���� ������� � ������������� ��a2�$�b2�$�&ab��������� ������� ���

��� ������ � ����8a�$�b98a�$�b9�������� ��a2�$�b2�*�&ab�*������ ������ � -����8a�*�b98a�*�b9�

Образец

;������ ���������� ��������� ��a2�*�&<ab2�$�=<<b4.

3��4��� ��� ������ �� �*���������a���� � �� ������ �� �*���������=<b2��

@������ ������ �� ��� �� ��� ����� ����� � ��3�a� �� =<b2�� A�����

���������5���� �����������������������"��� ���6

a2�*�&<ab2�$=<<b4�'�a2�*&�(�a�(=<b2�$�8=<b292�'�8a�*�=<b292�'�8a�*�=<b298a�*�=<b29

Page 128: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

126

Глава IV

]C��/��8�� ���x2 + 8x + 16���!� �8��������������������������!�����8� ���%������ ���������� X���� �$�"�������&�L� ���� �� ���������L��������������! �M���&�x2�B����������C����)� ��������� ! �M���&� �� B���� �������CL� -� !��P���8� �������! �M���&�"�B����������C��X���������P���������� ���!���� �&�������� �:

Bx�f�#CBx�f�#C�b�Bx�f�#C2. ����������!�����!������ ���&�����8������8�� ���:

– – –+ + +

– – –+ + +

x – 4

x–

4

2 – 3x

2–

3x

2+

3x

2 + 3x

б) в)

!*��M����� ��5� ��"�� ����� ����� $�!���� ���"������%� ����� ��L� ���M������ ����� ������������������� ����]C��=���������������f�#7�f�')a��!���� ����#7�b�+2���')a�b��_g_+_g_#a.�=�F��� �������"��

!� �����K���� ����������������������������%L� ���������������$�!��������� ���B#aC2 = 16a2: 16a2 + 49 + 56a�b�B#a�f�+C2.

������������!�����!����������&�����8������8�� �����X��������������!� P��������8��!!��[�"C��)�U���x + x2�b�B)�U�xC2^�� � � �C�;L;�b2 + 2:? + 100?2�b�B;L�b + 10?C2^

8C� 25 1

45

1

25

2 2 2a ab b a b+ =+ +( ) ; �� �C�81 61

99

1

3

2 2 2a ab b a b− =+ −( ) ;

�C� 116

2 16 41

4

2 2 2y xy x y x− =+ −( ) .

!*��M�������5���"��!���"��$���������������Ba + b + ?C2������8�� ��L���!� ����!�������&����� ���=�F��� �����!� ������%����8�� ���"���[�

Ba + b + ?C2 = a2 + b2 + ?2 + 2ab + 29? + 2:?�X�!������ ���������� Ba + b + ?C2� �� ����� !���$������������� �G��� ����L� ������ !�������� !��"� �������������8�� ����������8�� ���Ba + b + ?CBa + b + ?C�

– +

–+x + 4

x+

4

a�

ab

ac

ab

bc

bcb�

c�

ac

Page 129: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

127

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

!*��M����� � 5 =�!� ���� $������L� ������ ��� !���"��$����� �����%� �G�� ��L���"��������"� ��$�!���������������8�P �"������ ����]C��a2�U��)a + 69= a2�U��)a�f�)#�f�'�b�Ba2�U�-C2�f�'��=�!� �������������������������A���

$��������L� ������� ����� !� ����� ���������� Ba2� U� -C2� "���� ;�� ( ������ ���L���������A���$�������L�������������!� ���������������Ba2�U�-C2�f�'L�"����'��

�C��U_';�U��#b�U�b2�b�U_B';�f��#b + b2C�b�U_B��f�#7�f��#b + b2C�b�U_��U�B+�f�bC2��X�����������A���$��������L�������������!� ���������������B+�f�bC2L�;��?�8������"� �A���$�����P�������$��������������U_��U�B+�f�bC2�"����U_��B��$���������A�������� �����������������8�C��

�C��7x2�f�#�U�)xy + 4y2 = 9x2�U�)xy + 4y2�f�#�b�B�x�U��yC2�f�#��X�����������A���$�������������������� B�x� U� �yC2� "���� ;�� ( ������ ���L� �������A��� $��������� ���������� 9x2�f�#�U�)xy + 4y2�"����#�� � � � � � �����[�]C�'^��C�U_�^��C�#�

!*��M��������5=�!� ����$������L����M������ ����������!���� ����A�"���>��������*���������������������������� ��� �$�������������������������������� .����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ��������������������$�����������������%�����"����������!��������������������n�����������

!����� ������'#������������������

H�������V X�����������$ ��������8�� ������������ ���!�����������K��P�� ������������������$�����������������%�

H�������VV*������� �� �!���� G���%� !���M�� !��� ��$ ������� ���8�� ���� ����������� ���!�����������K���� ������������������$�����������P������%�

H�������VVV (������ ���� ��$ �8��� ���8�� ��� ��� ������ �� � !�����������K���� ������������������$�����������������%�

H�������VW (������ ���� ��$ �8��� ���8�� ��� ��� ������ �� � !�����������K���� ������������������$�����������������%����"���������

Урок 4.3. Разность квадратов двух выраженийC���)���1�����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$��P��������� �������������%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� K���� ����$���������������������������%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��������L� �

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ����� ���� ����L� ������� �� ���"������ *�� �������������������������%���B������!��������b����C������������8���8 ���������

Page 130: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

128

Глава IV

�� �����%� b� B������ !������ b� b� �� �C�� =���%�������� �������� �� ��� ��L� �� !� ������&� K�P8���� ��$������ !�� ���8��� �L� ���� F�� !���$���� �������������� ����������������������L����"��!�P ����� ���� K�8���� "� �� !�����8� �������� H���M��P������$���&���G�����������������F�8��!��P���8� ���������8��! �M�����?������"��$��L�!� ������K���� ��a2�U�b2�b�Ba�U�bCBa + bC��H��� ����G���K������&���K���� ����$��������P������ =�!� ��&�� !������� ��� !����������� K��P�� ���

B����)��������#�> ��*���[� E��� !���������K���� ����$����������������������������%\

(� �� �&� !���������� � ��������� 8��!!���� ��P!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�,����&�K�8���� �����������"��$��������$�����L���"��!�� �P��������K�8������"���� ��K���� ����$�������������

a

a

a

a

b

a – b

b

b

a–

b

b

!*��M�������5]C�B�a + «CB�¬�U�)bC�b�7a2�U�­^� «=6b^� ¬ =3a^� ­ = 36b2."C�B¬�U��xCB¬ + 3xC�b��'m2�U�­^� ¬ = 5m^� ¬ = 5m^� ­= 9x2.�C�B�L�a + ¬CB­�U�«C�b�n�U��L##n4^� ¬�b��L�n2^� ­�b��L�a^� «�b��L�n2^� n�b��L��a2.8C�m4�U���#n8�b�B«�U�­CB« + «C�� «= m2^� ­= 18n4^� «= m2^�«= 18n4. !*��M�������5

"C� 11

911

211

911

211

9

5 7 5 7 5a n a n a+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

22

7

2

10 1411

2

100

81

9

4−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = −n n n .

!*��M������ 58C�Bx�U�yCBy – xCb�6EBx�U�yCBx�U�yCb�6EBx�U�yC2�^�C�B6E:�6�?CBb�U�?Cb�6EBb + ?CBb�U�?C�b�B? + bCB?�U�bC�b�?2�U�b2^��C�B6E9�U�bCB6E9�U�bCb�Ba + bCBa + bCb�Ba + bC2.

�����1�8C�U_Bx�U�yC2^�� �C�?2�U�b2^� �C�Ba+bC2

Глава IV

124

4.3. Разность квадратов двух выражений

Деятельность�5 ����������������� ��� ���������b���� ��-

����������������� ���������� ������������ -��� � � ����� �������������� � � �� � ���������������� ����� ����� ����b�� ��� ������� � ���������������!��

�5 "��� ������ #�����$��������� ���%����a2�&�b2��'�-���������������������� ���(������ ��������

�5 ) �%����%*�+��%%���������� ����� ����-� ��������

a

b

b

a

a–

b

a – b

�5 '���������+��%��� ��������������� �-��� �������,����������� #����� �%���� � ��/� %� ������

�5 3� ����%���������� �%����6

a

b

a

b

b

a

a–

b

a – b

a b

b a

a–

b

a–

b

K����� �������� #��)����� )��g �'��M���>5 "��� ���� ����� ��

��%����������������� ��������*��%����$���������������������� ������

a2<b2\^aIbV^a <bV.) ���/������������:����%*������%*��� ��;�^aIbV^a <bV\a2<b2.

) �����������%������%�������������������� ������������ ��������� ��

$�������������

Образец

�V"��� ���������� ���������%����<=�&�a2��

3��4�� � ��%�<=�>�=2�������������������%��������������� ��������-

� ����%���������������� ��������� ������;�

<=�&�a2�>�=2�&�a2�>� =?�a! =�&�a!�

�V) ���������� <a�?�@b! <a�&�@b!��� ���%�������� � ������

3��4�3������ �����������/�����%���/�� �����������%������%�����-

��������������� ������ ��� ��������� � ������� ����� �+ �%������ ����

����� �;�� <a�?�@b! <a�&�@b!�>� <a!2�&� @b!2�>�Aa2�&�Bb2.

Page 131: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

129

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

!*��M����� ���5� , �� ���� ����� $�������� ���"�%� !�������� K���� �� ��$������������[

�C�53 27

79 51

53 27 53 27

79 51 79 51

26 80

28 130

4

7

2 2

2 2

−−

=−( ) +( )−( ) +( )

=⋅⋅

= ;;

8C�67 17

83 77

67 17 67 17

83 77 83 77

50 84

6 16043

8

2 2

2 2

−−

=−( ) +( )−( ) +( )

=⋅⋅

= ..

�����[��C� 4

7; � 8C 43

8.

!*��M����� ���5� H��M���� !������&� � 8����� � �� !���$�� ����� �G�� !�� �P����� �������� ���!� ����������$� ����$�!����&���������������$� �����!��PA����������������M���L���������������&������ ����X����8��!!�L�$�!������F��� 8������ ����������%�a�U��L�aL�a�f��L��!���� �&�Ba�U��C�g�a ·�Ba�f��C�f�a = a3. ,�%��� ���L�Ba�U��C�g�a ·�Ba�f��C�f�a = Ba2�U��C�g�a + a = a3�U�a + a = a3

( ������ ���L���8�����!���$������&��G��!� ������ ������� ������ �!��"�� �&��������� ��!� ��������"�����8���� ��!*��M����� ���5� ���� !���������� K���� �� ��$���� ��������� ����� �����������%��� ������� �� ��"���� ���� ����� ����� ������L� ���� �� ������� � ����� i �� !�����!� ������F�8��$����������M����"�����!������������L�������8��!�����P����K���� �L�$����������� ���L�$�!�����������"���L� &"����"�������]C�Bx�f��C2�U�#2^��"�$������$����x + 3 = a:a2�U�#2�b�Ba y�#CBa�f�#C�*�� ���&M���A�8��!�����������������&���������a = x + 3: Ba y�#CBa�f�#C�b�Bx�f���y�#CB x�f���f�#C�b�Bx�y��CBx�f�+C�

�����[�]C�Bx�y��CBx�f�+C�N���"����[� i �� ���M�%�� ����� !�������� "�$� �$������%� K���� �� ��$��������������������������%L�������������%�!��������%����"�$�� ������C�B#?�U�xC2�U�B�? + 3xC2 b�BB#?�U�xC�U�B�? + 3xCC�BB#?�U�xC�f�B�? + 3xCC�b�

b�B#?�U�x�U��?�U��xC�B#?�U�x + 2? + 3xC�b�B�?�U�#xCB)?�+ 2xC�����[��C�B�?�U�#xCB)?�+ 2xC�

����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ����$��������������������������%����G�!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ����$��������������������������%L������������!��������H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!����������K���� ����$����

����������������������%�H�������VVV (������ ����!��������K���� ����$��������������������������%�H�������VW H��"����!��"���!��������K���� ����$����������������������P

����%�

Page 132: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

130

Глава IV

Урок 4.4. Куб суммы и куб разности двух выражений

C���)���1�����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� K���� ����"�����������$���������� �����K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L��������������"������*������������ ������� ��P������ �"QG�� ��"�� � ��"���� a + b�� X���� �$��"��P������� �������"����������, ��!����������F��8��� ���������"� �����8 ��������� ����������!� �P$��������$����������!�&������!���8������H��PM��L���!� ��&M������� ����L��!���� �&�K���� ����"������������� �����

Ba + bC3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

( ���&M�%����� ����&�����������Ba + bC3�!����� �&��������!���$�����������P� ���������������Ba + bCBa + bC2���!��"������������!���$�����������8�� ����L��!���� ����K����� ���*�%��!���$���������������!� �$�������������%������"�����!��"�����P��������� "��������������!�����!���!���� ����K���� ����"����$���������� ������

Ba�U�bC3 = a3�U��a2b + 3ab2�U�b3

B����)��������#�>��*���[�E���!������&��K���� ����"�����������"����$���������� ����\

(� �� �&� !���������� � ��������� $������� �$� ���"����� ��&�� ��� ��"����� ����8��!�!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� *�� ������ K���� �� � B�� ¨� aC3� |� �� ¨� �a� B;� ~� a ~� �C� !���$���G��!��" ������������ ����]C�B��f�;L;�C3�|���f���g�;L;��b��L;�^�

?������$���������L;�3�b��L;�;�;���>"� &����!�8��A���[��L;�;�;��U��L;��b�;L;;;�;�"C��L;#3�b��L��#-)#�����K���� �[��L;#3�b�B��f�;L;#C3�|���f���g�;L;#�b��L��

>"� &����!�8��A���[��L��#-)#�U��L���b�;L;;#-)#��C�;L773�b�;L7+;�77�����K���� �[�;L773�b�B�U�;L;�C3�|���U���g�;L;��b�;L7+

>"� &����!�8��A���[�;L7+;�77�y�;L7+�b�;L;;;�77�8C��L�3�b��L��������K���� �[��L�3�b�B��f�;L�C3�|���f�;L��b��L�

>"� &����!�8��A���[��L����U��L��b�;L;����C�;L77)3 b�;L7--;#+7�)�����K���� �[�;L77)3b�B��U�;L;;#C3�|���U�;L;���b�;L7--

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

129

4.4. Куб суммы и куб разности двух выражений

Деятельность�5����%�������� ������a�?�b��

�5,�F:��%��;�G�>� a�?�b!3.

�53%�������������%��������� ������������b������

�/� %� ������ ��������������� ���� �� � ���� �

��� ��%���� H�� ������

� ��+��% ��/��/���/�

����/�������

�5�H���/� �F:�� ��� ��+��%��� ��������� ���

�%��%��3� ��������������� �%����6

�5)����/���� �F:������ �%������%��%� �F-

:� ���� ���������I��������� �%���� ����-

�������� �����������

ab�a� b�a�b a�b ab�a�b ab�= + + + + ++ + +( + )�a b

ba

+

a+

b

a + b

ab�

a�

b�a�b

a�b

ab�

a�b

ab�

J �%���#�����')��g�'��M���>��

3%���%������%���������������;�%����� � ��������/���*��%� ��� ��

� �������������������� � ��������/������ �����*��%� ��� ��� ��-

����������� � ��������/������������ � ����*��%���� � ��������/;

^aIbV3\a3I�a2bI�ab2Ib35

Деятельность

�5'�������� a ?�b!3������������������ ��������/��:�� ���� ������%���� ��

�5)� ���%����� ������������� � ����� � ���%���������� � �����

�5) �%������� �� � ����� ��������� �� ����K

���� �� ����� �� %�� ����� �� � ��� ������

��%�����

�5I����������%�������������+ �%���

�5'�������� a�&�b!3������������������ ��-

������/��:�� ���� ������%���� ��

�5) ������������� � ����� � ���%���� ��

������������������ � ������

�5) �%��������� � �����������������������-

� ���������%�� ������� ������������%�����

�5"��%����������������������+ �%���

a b+a b+

a ab2+

ab + b2

x

?

a b–

a ab + b2 2

– 2x

?

a b+a ab + b

2 2+ 2

x

?

a b–a b–

a ab2–– ab + b

2

x

?

Page 133: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

131

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

>"� &����!�8��A���[�;L7--;#+7�)�U�;L7--�b�;L;;;;#+7�)E�����$� ����!���� ���L������!������!�8��A������$����� ����

�����1]C��L;�^�;L;;;�;�^�"C��L��^�;L;;#-)#^�C�;L7+^�;L;;;�77^�8C��L�^�;L;��^��C�;L7--^�;L;;;;#+7�)�

!*��M�������5�Y��$���������!� �������� �&��������8��!�����������I�� �P��"��$��L���"��F��$���������!� �� ��� ��������M�����@������������K���� ����"������L�!���"��$���[

aa

a aa

aa a

a aa a

aa

a+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = + ⋅ + + = + + + = + +

13

13

1 13

3 1 13

3

3 2

2 3

3

3

3

3++ =

3

a

= + + +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

13

13

3a

aa

a.

O$� �������� aa

aa

aa

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = + + +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

1 13

13

3

3 !� ����� a

aa

aa

a3

3

31 1

31

+ = +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ − +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ �� =�

!� ����������������!��������������&�$�������� aa+ =

15 :

aa

aa

aa

3

3

3

31 13

15 3 5 110+ = +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ − +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟= − ⋅ =

�����: 110.!*��M��������5�]C�������!� ������$�������$��������a���b��!���� �&��!��"���!��������[�i ��a + b�b�7L�ab�b�-L���a�b�-L�b�b���� ��a�b��L�b = 8.

a3�U�b3 = 83�U��3�b'�������� ������� �L����a3�U�b3 = 13�U�-3�b�U_'���U��� ����� ���C�,����a�U�b�b�'�L�ab�b���);L��$����L������� b������ ������� ���

O$��������Ba�U�bC3 = a3U��abBa�U�bC�y�b3 a3�y�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC�b�'�3�f���g���);�g�'��b���+�)-�Ba3�y�b3C�b���g���+�)-�b�)+#��)� �����[��C�)+#��)�

!*��M��������5

�C�2

5

1

2

2

53

2

5

4 3 7

3

4 3

3

4 3x y xy x y x y+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +

2

7 4 3 7

2

71

23

2

5

1

2

1

2xy x y xy xy

⎛⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =3

= + + +12 9 9 13 6 17 3 218

125

6

25

3

10

1

8x y x y x y x y ;

�C�B;L�x6y2?10�U�;L�C3�b�;L;;�x18y6?30�U�;L;;)x12y4?20�f�;L;��x6 y2?10�U�;L;;-�����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� �����"�� ���������"����$���������� ����������!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ����"�����������"����$���������� ����L������������

!����������H�������VV ,�!����� ��$����� ����� �A�"��� !��� !���������� K���� � ��"��

����������"����$���������� �����H�������VVV (������ ����!��������K���� ����"�����������"����$���������

� �����H�������VW ��������� ���"���� !��"��� K���� �� ��"�� ����� �� ��"�� ��$����

������ ������

Page 134: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

132

Глава IV

Урок 4.5. Разложение на множители суммы кубов двух выражений

C���)���[�����#�����������K���� ������MG���P8�� ���������� !��� ����������� $�������� ��� �������������%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� K���� ����������"����������������%�K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ��&�� !���"���$�P���������K���� �L��$�����������!������M��������[�

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = Ba + bC3 a3 + b3 = Ba + bC3 – 3abBa + bC

=�!����%��������������������� ���Ba + bC���P�����$����"��[a3 + b3�b�Ba + bCBBa + bC2�U��abC=�������������������"�����!����[�Ba + bC2�U��ab = a2�U_ab + b2

( ������ ���L�a3 + b3�b�Ba + bCB�a2�U�ab + b2C��R��������"�����1�H��� ����"Q������K���� ���������"����������������%���!��������!� ��8�����������

B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� ���������"�����������������%\

E�#���)����#��#����'��)����1

!*��M�������5]C� 31 19

5031 19

3 3+− ⋅ =

31 19 31 31 19 19

5031 19

2 2+( ) − ⋅ +( )− ⋅ =

=312�U���g����g��7�f��72�b�B���U��7C2 = 144

�C 39 41

8039 41

39 41 39 39 41 41

8039 41 39 4

3 32 2

2 2

2 2+− +( )=

+( ) − ⋅ +( )− − =− ⋅ 11 1599=−

�����[�]C��##L��C�U_�'77�!*��M����� ��5� ���� ��A����� ��������%L� !������&�� K���� �� ����MG���8�������������C�Ba�f��C3�U�aB�a�f��C2�f�B�a�f��CB#a2�U��a�f��C�b�'�

a3 + 6a2 + 12a�f�-�U�7a3�U�)a2�U�a + 8a3 + 1 = 5311a = 44a = 4

Глава IV

132

4.5. Разложение на множители суммы кубовдвух выражений

Деятельность

�5 '�� ��������a3�?�3a2b�?�3ab2�?�b3�>� a ?�b!3�������������� ��� �#����� -

������� ����������� �� ���� ����� �%���� �� ������������������� ��

���%*��� �%�����������3� ��� ������ ����� �%����6

a3�?�b3�>� a�?�b!3�&�@ab a�?�b!

�5 '���� ���� ���� ���������� ������� a�?�b!��������������������� -

� ��3� ��������������� �%����6

a3�?�b3�>� a�?�b!� a�?�b!2�&�@ab!

�5 L� �������� %*�� �%��3� ��������������� �%����6�H�������� -

������� ��� ��� ��� ��������� a3� ?� b36� ) ���������� ��������� �� :�

������� ����������� ��� ���� ��������� ���� ���� ��������

M:������a2�&�<ab�?�b2����������/�� ���������� ����%������ a�&�b!��

�:������a2�?�<ab�?�b2�&�� ���������� ����%������ a ?�b!��M:������a2�&�ab�?�b2�

���������/���*���'#��)������%������ a�&�b!��M������:������a2�?�ab�

?�b2�&���*���'>#��)���� a�?�b!�

J �%����'#����)��g�'��M���>��

�%����%� ����%����������������� ��������*��%����$�������������

����� ���������� �������� ���;

a3�?�b3�>� a�?�b! a2�&�ab�?�b2!

Образец

�V'��������Na3�?�<Ob3���� ���������� �������

3��4�8a3�?�<Ob3�>� <a!3�?� @b!3�>� <a�?�@b! <a!2�&�<a�P�@b�?� @b!2!�>

>� <a�?�@b! Aa<�&�Qab ?�Bb2!�

�V�)� ���%����� ���������� x�?�Ay! x2�&�Axy�?�RQy2!����� � �����

3��4�3������ �����������/���������� �������&� x�?�Ay!���� ��

�� ������������� �������������%������ x�&�Ay!��M ����� �+ �%����%����

%� ���������;�� x�?�Ay! x2�&�Axy�?�RQy2!�>�x3�?� Ay!3�>�x3�?�QAy3.

Упражнения

�5�� � �����������(%��,�F/��������������/*��/����������� $++�(�����

�)��"��� 3ab6 &S<m4n2 R�Rx7yz43

5

9abc�13

5

4xp��

4

7

8 11m n�11m5n

H���)��"���� 27a3b18

C��*��� O���<R

H�;//������' @���<O

Page 135: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

133

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

N�����#�[� B#�f��C3�U�#B�g�#�f��C2�f�B�g�#�f��CB#�g�#2�U���g�#�f��C�b�'� 53 = 53

8C�'xBx�f��C2�U�'Bx�f��CBx2�U��x�f�7C�U��;Bx�f��CBx�U��C�b�+'5x3 + 30x2 + 45x�U�'x3�U���'�U��;x2 + 120 = 7545x = 90x = 2

N�����#�[� 'g���gB��f��C2�U�'B��f��CB�2�U��g���f�7C�U��;B��f��CB��U��C�b�+' 75 = 75 �����[��C�#^� 8C���!*��M��������5�, ���!���� ������� ��� ������������������������ ��!��������� ����������%�K���� ���������"����������������%��X��������������$������������8 ����!� �����������!��������"������ ���]C�B��U�qC3 + q3�b�B���U�q + qCBB��U�qC2�U�B��U�qCgq + q2C��

���� ������F�������������!����%������� ��B���U�q + qC�b���L���!���$��������������� �����������

"C�B#�U��qC3 + 8q3�b�B#�U��q + 2qCBB#�U��qC2�U�B#�U��qCg��q + 4q2C����� ����!����%������� ���� ������#L���!���$���������� ������#�

8C��q3�f��B#�U�qC3�b��Bq3�f�B#�U�qC3C�b��Bq�f�#�U�qCBq2�U�qB#�U�qC�f�B#�U�qC2Cbb���Bq2�U�qB#�U�qC�f�B#�U�qC2. O$��8�L������!���$����������������� ����L��������������� ���� ���������

!*��M����� ���5� , �� �!���� ����� ��������%L� ������� �� ���� "��� $�!�����������"����>L�=L�(���rL�� ���&�����������������]C��B�x�f�̀ CBa�f�7y2C�b�j3�f�r3��E����������$�F�8���������L�!������� ����!� ������

��������"����( ������ ���L� ������!��������"������ ����"���������������P�������%L������������"����U���!� ��%����������$����F�����������%��?�8����� �����"���>�b���L�!�������������������"����7y2�b�B�yC2��( ������ ���L���!��P������"����B�x + 3yC��?�8���"�����a�b�#x2�U�)xy��?������"��$��LB�x + 3yCB#x2�U�)xy + 9y2C�b�B�xC3�f�B�yC3.����������!�����!�������"���j�b��y���r�b��x.

�����[�̀ �b��yL� a�b�#x2�U�)xyL� j�b��xL� r�b��y."C������ ��������������B�m�f�`CBa�f�jC�b�n6�f�rL�n6�b�Bn2C3�������$�!����>�b�n2.

?�8���!��������"���"����B�m + n2C��=����������"����������$�!���[a�b�7m2�U��mn2���j�b�n4�B� ��a�b�7m2L�j�b�U_�mn2 + n4C�?������"��$��L�B�m + n2CB�7m2�U��mn + n4C�b�n6 + 27m3.

�����[�̀ �b�n2L� a�b�7m2�U��mn2L� j�b�n4L� r�b��+m3.!*��M��������5�, ��!���"��$����������������������%���!���$��������!��������K���� ���������"����������������%��X�������� ���By�U��C�!���������$�������� ����C�By�U��C3�f��+�b�By�U���f��CBBy U��C2�U��g�By�U��C�f��2C�b�By�f��CBy2�U�+y�f��7C���C��+m3�f�Bm + nC3�b�B�m + m + nCB7m2�U��mBm + nC�f�Bm + nC2C�b�B#m + nCB+m2�U�mn + n2C�!*��M��������5�,�����������������!��M�&��!�����������K���� ����"����P����������������%�

�C� 21

43 2

1

473

473

43 7

3

4

3 2 3⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ + ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ + ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ = +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =

2 3

21

421

473

41000.

Page 136: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

134

Глава IV

8C�BU_;L+-C3�f��L��g�BU_;L+-C2�f�BU_�L�#Cg�;L+#2�f�;L+#3 = b�BU_;L+-C3�f���g�;L+#g�BU_;L+-C2�f���g�BU_;L+-Cg�;L+#2�f�;L+#3 = b�;L+#3�U���g�;L+-�g�;L+#2�f���g�;L+#g�;L+-2U�B;L+-C3�b�B;L+#�U�;L+-C3 = b�U_;L;#3�b�U_;L;;;;)#��� � � � � � �����[��C��;;;L� 8C�U_;L;;;;)#�

!*��M��������5�Y��$������L���!��� ������������������!���������L������"���$������� ��������M����i ��!����� ��������#����������G���L���F���� ��$�!��������������#x + 1.i ��!����� ��������#����������G���L���F���� ��$�!��������������#y + 3.B#x�f��C3�f�B#y�f��C3�b�B#x + 1 + 4y�f�CBB#x�f��C2�U�B#x�f��CB#y�f��C�f�B#y�f��C2C�H!�������F�������������!��������"��[4x + 1 + 4y + 3 = 4x + 4y�f�#�b�#Bx + y�f��C��?������"��$��L��������"���F������ �����������#�����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ���������"����������������%����G�!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ���������"����������������%L������������!�������.H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!����������K���� �������

��"����������������%.H�������VVV (������ ����!��������K���� ���������"����������������%.H�������VW ������������"����!��"���K���� ���������"����������������%.

Урок 4.6. Разложение на множители разности кубов двух выраженийC���)���1����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�����������"����1���������K���� ����$�������"����������������%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� ��������� !���"��$���P������K���� ����"����$�����������������%[�a3�U��a2b + 3ab2�U�b3�b�Ba�U�bC3 a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

135

4.6. Разложение на множители разности кубовдвух выражений

Деятельность�5 '������������ ��� �#����� ������� �� ���� ��� �������

a3�&�3a2b�?�3ab2�&�b3�>� a�&�b!3

�����������������%*��� �%����������� �%���� ������������3� ��� ������ ����� �%����6�a3�&�b3�>� a�&�b!3�?�@ab a�&�b!

�5 '������������ ����� ������� a�&�b!������ ���� ���� ���������3� ��������������� �%����6�a3�&�b3�>� a�&�b!� a�&�b!2�?�@ab!

�5 L� �������� %*�� �%��H�������� ���������� ��� ������������a@�&�b36

K�������������#����)��g�'��M���>5"��� ����%� ����%����������������� ��������*���� ����$�������-

����������� ���������� ������%���;

a3<b3\^a<bV^a2IabIb2V5

Образец

�V"��� ���������� ����������������T�R<=a3�&�QAb3.

3��4�T�R<=a3�&�QAb3�>� T�=a!3& Ab!3�>� T�=a�&�Ab! T�=a!2?T�=a�P�Ab?� Ab!2!�>

>� T�=a�&�Ab! T�<=a2�?�<ab�?�RQb2!�

�V�) ���������� <x�&�@y! Ax2�?�Qxy�?�By2!��� ���%�������� � �����

3��4�3������ �����������/���������� �������&� <x�&�@y!���� ���� -

������������� �������������%������ <x�?�@y!��M ����� �+ �%����%����%-

� ���������;�� <x�&@y! Ax2�?�Qxy�?By2!�>� <x!3�&� @y!3�>�Nx3�&�<Oy3.

Упражнения

�5,��������� ���������������������������:������ ��������;

U!� a�?�<b!2�>�a2�?�<ab�?�b2V�

�!� <x�&�@y!2�>�<x2�?�R<xy�?@y2V

�!� m�?�n3!3�>�m3�?�<mn3�?�@mn6�& n9V�

�!�<Oa6�?�Nb9�>� @a�?�<b! Ba2�&�Qab�?�Ab2!�

�5�'�� ������%�� �����;

U!� b�&�R! b2�?b�?�R!V� � �!� Am�&�@n2!� RQm2�?�R<mn2�?�Bn4!V�

�!� @�&�d! B�?�@d�?�d2!V� � �!� T�QAx12�?T�ANx6y7�?T�@Qy14!� T�Nx6�&T�Qy7!V

�!� &SOp�?�=k! <=k2�?�@=pk�?�ABp2!V� W!�1

4

1

6

1

3

1

2

1

3

6 3 4 8 3 4x x y y x y+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

Page 137: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

135

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

=�!����%����������������������$����"����������� ��Ba�U�bC[�a3�U�b3�b�Ba�U�bCBBa�U�bC2 + 3abC=��������������������"�����!����[Ba�U�bC2 + 3ab = a2 + ab + b2

( ������ ���L�a3�U�b3�b�Ba�U�bCBa2 + ab + b2C��R��������"�����1�H��� ���"Q�����K���� ����$������"����������������%���!��������!� ��8���������������B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� ����$������"������������P����%\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� @��������� ��� K���� �� ��"�� ��$���� ����� ��������%L� ������$�!������������a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC��]C�i ��a�U�b�b�#^�ab�b�U_�L+'�

a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC�b�#3�f���g�BU_�L+'C�g�#�b�)#�U����b�#�"C�i ��a�U�b�b�U_'^�ab�b�U_)�

a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC�b�BU_'C3�f���g�BU_)C�g�BU_'C�b�U_��'�f�7;�b�U_�'�����[�]C�#�L� "C�U�'�

!*��M�������5����������K���� ����$������"����������������%[��C�?6B?�U�)C3�U���'?9�b�B?2B?�U�)CC3�U�B'?3C3�b�B?2B?�U�)C�U�'?3C�BB?2B?�U�)CC2 +

+ ?2B?�U�)C�g�'?3�f�B'?3C2�b�B?3�U�)?2�U�'?3CB?4B?2�U��?�f��)C�f�'?6�U��;?5 + 25?6C�bb�BU_)?2�U�#?3CB?6�U���?5 +36?4 + 30?6�U��;?5C�b�BU_#?3�U�)?2CB��?6�U�#�?5 + 36?4C�bb�U_�?6B��?�f��CB��?2�U�#�?�f��)C�

8C�B�x + yC3�U�B�x�U�yC3�b�BB�x + yC�U�B�x�U�yCCBB�x + yC2�f�B�x�U�yCB�x + yC�fB�x�U�yC2Cbb�B�x + y�U��x + yCB#x2 + 4xy + y2 + 4x2�U�y2 + 4x2�U�#xy + y2C�b��yB��x2 + y2C��

�C�x6y9�U�)#x3�b�Bx2y3C3�U�B#xC3�b�Bx2y3�U�#xCBx4y6 + 4x3y3 + 16x2C�!*��M������ 5���A���F��$������L����M������ ����������������������������P����������"���$�����������������%�

�C�3 175

681

381

33 8

1

317

5

6

2 3 2

⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ +

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ − ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ −−

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ − ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ +17

5

681

33 8

1

317

5

6

3 3 2

+ ⋅3 1775

681

317

5

681

317

5

69

2 3 3⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = −

11

2

19

2

6859

8857

3

8

3 3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ = −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =− =− .

8C�-L73�U�)L'�g�-L72�f��)L+�g��;L�'�U�'L'3�b�-L73�U�g�'L'�g�-L72�f��g�-L7g�'L'2�U'L'3 =b�B-L7�U�'L'C3�b��L#3�b��7L�;#�

!*��M�������G5�����"��$��������������������������8�� ��[Bx2�U��;x�f�)CB�x + bC�b��x3 + bx2�U��;x2�U��;bx + 12x + 6b = 2x3�f�Bb y��;Cx2 + f�B���y��;bCx + 6b.]C����"�������8�� ����������!� ������� ��x2L���FKK������x2��� ����"���������

�� &[�b f��;�b�;L� b = 20"C����"����FKK�������x2���x�"� �������L��!���� ���b��$��������[�

b�y��;�b����y��;b: b� 210

11. �����[�]C�b�b��;L� "C�b� 2

10

11.

Page 138: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

136

Глава IV

!*��M��������5�,���������������� �����!���"��$�����������"��$��L���"�� �8���"�� ���!����� ������������ ���, ��F�8���������$����"����$������A����8����������������8������������"M�8�������� �����[

�������U�����b����g�B�;;��U��C�b�����g�777�b�����g�����g�7�b�B����g��C2 = 3332

�����: 333.����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ����$������"����������������%����G�!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ����$������"����������������%L������������!�������.H�������VV ,�!����� ��$����� ����� �A�"��� !��� !���������� K���� �� ��$����

��"����������������%.H�������VVV (������ ����!��������K���� ����$������"����������������%�H�������VW ������������"����!��"���K���� ����$������"����������������%�

Урок 4.7. Преобразование выражений

C���)���1����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�����������"����1�����"��$������������L�!��P�������K���� ������MG���8������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'[����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1��� ��!�����������K����� �����MG���8�� ���������L� ����� ��!��� �� !�P�"�� ����������� $�������� �� ����� ��������%� ���!� �$��������F���K���� ��=��������F�8������������M����� ���&L�����%�!��"�����8��� �����!����������=����� ��������"������������"��$�����$�����!��"��L�!������&M����!���!����"����$����P������������%��H��� �����������M��������!� P���L� � ����L� ���8�&� ��A����� F��� !���������J���A�L�� ��F��!�������"��������������������� ���!�&���L� �8��� �� ���M���� ��A�� "���� �P�������������� L������� ��F���������������R��������"�����[�H��� ����������������P���������M����!���� ��!����"����$�����������������%L�������������"������

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

137

4.7. Преобразование выражений

H�������%#���% ������� ��� ������������ �������� � �������-

� ����/��� � ����������� ������;����������� �#�� ��� �����/����� ����

�� � ���%��� ����+ �%���� �#:�� � �%�� ����/���� ������/���� -

����/��� � ����������� ���������� ���%*������� �� ������� � ����"�����

��� �� ����� �������� �������� � ����������� ��������������������

�������� � � ��

Деятельность

"��� ���������� ��������� � �����a4�?�ax2�&�a2x�&�x4.

3��4�N�) ����#������� ���������1) � ��%�a4�>� a2!2���x4�>� x2!2��� ���%��� ������� ��������:� ��������� ���

���� ������� ���������� ���������a4�&�x4�>� a2!2�&� x2!2�>� a2�&�x2! a2�?�x2!��

,���������� �������a2�&�x2�>� a�&�x!� a�?�x!��� �%��������%*#���������� ;�

a4�&�x4�>� a�&�x! a�?�x! a2�?�x2!�

��%��� ���� �� �� �� ������ ������� ��� �������� �#��� �� �������� ���

� ��;�ax2�&�a2x�>�ax� x�&�a!�>�&Sax a�&�x!����������%�������� ���:������� ��� ����������� �������%���%������

� �%������� ������� a &�x!�E��������������� ���������1a4�?�ax2�&�a2x�&�x4�>�a4�&�x4�?�ax2�&�a2x�>� a2!<�&� x2!2�?�ax� x�&�a!�>�

>� a�&�x! a�?�x! a2�?�x2!�&�ax a�&�x!�>�

>� a�&�x! a�?�x! a2�?�x2!�&�ax!'��������� ��� ���� ���������������������� � �������������� � �����;

a�?�x! a2�?�x2!�&�ax�>�a3�?�ax2�?a2x�?�x3�&�ax.'���%�������� �%��������%*#�����������;�

a4�?�ax2�&�a2x�&�x4�>� a�&�x! �a3�?�ax2�?a2x�?�x3�&�ax!�

Деятельность

N����1�"��� ������� � �����x4�?�x2y�?�xy3�?�<xy2�?�y3������ �������

3��4�N�) ����#������� ���������1I�������� �� � %�����%*#��� �� �� � ������ ������� �� <xy2� ����� %�� ��� ��

� ���������� �� ���� ��x���y2��X������������������������������������

x2���y4��� ������ ����������������+ �%�%���������%�����H �������$���

�������������%�����%*��

]� ��� ��� ����� �� � ����� ��� �� �������� ��� ���� �� � � �� � ������+ �%���� �#:�� � �%�� ����/����������� �%�����%������� �#����� ��K�������%����� �� � ������%��� �%��' ����/�� ������/�������� �K�� �������+ ��%*��/� � ������ � �� ������������ �����/���Y�����Z��������/����� ��������+ �%������/���� ����/��� � ����������� ����K�������%��������������/�����%*#���� �����(��;�5 X���������������� � ���������*�� �#����� ��������� �$� ���� �������

������������� ��V�5 '������:������� � ��������#�����������+ �%��� �#:�� � �%�� ��K

��/;��������������%���������%�� ��� ������%� ��� ��� ���������������V�5 ^%���%/������������� �#����� ������������������$� ���� ����������

� ��V�5 X������/K��� ��%��� �����%����� ������������ ������������%���K

����������������%������ � � �V�5 )�������� �� �������� ��� ���*#��� ������� �� ��/� �*� �� + �%��� ��

�%��� ��������� �� ��� �����*� ��������� ����� ����������� ��K ����������V

�5 X���� ��� ������ ��� �� ������� ��� � �%��� ��� ���K��� � ����� �� K� � ��� � ���� ���%�����%� �� �� � ���'���%�������� �������� ���������� � %*����� ��������� � �%��������������������� �������%���� �%� ����� ���/��

Page 139: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

137

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

B����)��������#�>��*���[�E���!������&��K������ ������MG���8�����������������8���!��"��!���!���"��$���������������%\�

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� ����8��!!����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�C�a4U�a3�U�a2 + a = 0

a3Ba U�C�U�aBa�U��C�b�;Ba�U��CBa3�U�aC�b�;Ba�U��C2a�Ba�f��C�b�;a�b��L�a = 0. �����[�;������

�C�p3�U�'p2�U�7p + 45 = 0p2Bp�U�'C�U�7Bp�U�'C�b�;Bp U�'CBp2�U�7C�b�;Bp�U�'CBp�U��CBp�f��C�b�;p b�'L�p�b��L�p�b�U_�������[�¨����'�

�C�n3�U����f��n2�U�#n = 0n2Bn +��C�U�#B��f�nC�b;Bn�f��CBn2�U�#C�b�;Bn�f��CBn�U��CBn�f��C�b�;n�b�U_�L�n�b�U_�L�n = 2.�����[�U_�L�¨��

!*��M�������5�=��������L����������������� "����" ���L�!���"��$�����&�������"��$��L���"���!� �$�����������$�!����8��������8��� "���L�������"� ����%���8��$��������

C��������-�����*������'g

N������)����*������'g ('��M���� 0��"����

�'��M����a + b = 2 ab = 5 a2 + b2�b�Ba + bC2�U��ab 22�U���g�'�b�U_)?�U�@ = 7 ?@�b�U_� ?@E2�U�?2@ = ?@B@�U�?C U_��g�BP+C�b���

m + n�b�U_7 mn = 10 m3n + 2m2n2 + mn3 == mn�Bm + nC2 �;�g�BU_7C2 = 810

p + q =�U_) pq�b�U_�� pq3 + p3q = pqBq2 + p2C�bpqBBp+qC2�U��pqC

U_��g�B�)f��C�b�U_��g�'-�b�U_)�-

r + s�b�U_+ rs = 20 r3s2 + r2s3 = r2s2Br + sC 202�g�BU_+C�b�U_�-;;

x– y = 21 xy = 4 x3�U�y3 = b�Bx�U�yC3 + 3xyBx�U�yC

213�f���g�#�g����b�= 9513

!*��M����� ��5� "C� m� 2

9;

n� 3

5. ��"�� �!����� !�������� ����� ���������L�

!��������K���� ����$��������������������������%[B'm�U��nC2�U�B#m – 2nC2�b�B'm�U��n�U�#m + 2nCB'm�U��n + 4m�U��nC�b�

b�Bm�U�nCB7m�U�'nC�= −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ − ⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟=−⋅ −( )=2

9

3

59

2

95

3

5

17

451

17

45.

�C�p�b��L�^�q�b�;L-��p3 + p2q�U�pq2�U�q3 = p2Bp + qC�U�q2Bp + qC�b�Bp + qC2Bp�U�qC�b�B�L��f�;L-C2B�L��U�;L-C�bb��L�2�g�;L'�b��L�;'�

�����[�"C� 17

45, ��C��L�;'�

!*��M�������5]C��'L#2�U�+L)2�f����g��L��b�B�'L#�U�+L)CB�'L#�f�+L)C�f����g��L��b����g�+L-�f����g��L��b

b����B+L-�f��L�C�b���;��"C�#)L-2�U����g�'�L)�U��#L-2�b�B#)L-�U��#L-CB#)L-�f��#L-C�U����g�'�L)�b�

b���g�-�L)�U����g�'�L)�b���gB-�L)�U�'�L)C�b���g��;�b��);��

Page 140: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

138

Глава IV

�C

3 3

3 3 3

3 1 3

3 1 3 3

10

37

12 14

12 14 15

12 2

12 2 3

++ +

=+( )+ +( )

= .

�C

2 2 2

16 16

2 1 2 2

16 1 16

5

255

1

51

16 18 19

4 6

16 2 3

4 2

− +−

=− +( )−( )

=−

=− .

$C

36 36

6 6 6 6

36 1 36

6 1 6 6 6

37

187

1

5

2 3

4 5 6 7

2

4 2 3

+− + −

=+( )

− + −( )=−

=− .

�����[�]C���;L�"C��);L��C� 10

37, ��C�� 1

51, �$C��1

5.

!*��M����� � 5� ]C� ,��� !� ������ ����� �� �� �"�$������ x� �� x� f� ��� ?�8��� !��� ���&[� xBx�f��C�f�x + 1 = x2 + x + x + 1= x2 + 2x�f���b�Bx�f��C2.,�%��� ���L�� ����!���$������&������!� ������ ������� ������ �!��"�����"� �A����$����L���!� ������������"� �A�8���� ��"C���$������"��������!� ������ ������� ������ [�

Bx�f��C3�U�x3 = x3 + 3x2 + 3x�f���U�x3 = 3x2 + 3x + 1.=�F������������������$� �8������!� ����&��� �������L�������� �8���������������� ��L� ������ ���L���������������� ���

�C�,������L����!����� ����������������G��8���� �����-����������G���[*��G������ ��!������$���x�f����?�8���B�x�f��C2 = 4x2 + 4x + 1 = 4xBx f��C�f���

=�F�����������������������#xBx f��C��� ������#L�!���$��������xBx f��C�U�!���$���P������������!� ������ �������� ���F��!���$���������� ���������( ������ ���L�������������#xBx f��C�!� ���&��� ������-�?�8�������L�!� ������%�!����� ���������������#xBx f��C�f������-L�"������H��M������8��!����������������������!��� �����%����!��������!*��M��������5�]C�a2 + 4a�U�'�b�a2 + 4a�f�#�U�7�b�Ba�f��C2�U��2�b�Ba�f���U��CBa�f���f��C�b

b�Ba�U��CBa+'C�,�%��� ���L�Ba�U��CBa+'C�b�a2 + 5a�U�a�U�'�b�a2 + 4a�U�'��"C�b2�U��;b +9 = b2�U��;b�f��'�U��)�b�Bb�U�'C2�U�#2�b�Bb�U�'�U�#CBb�U�'�f�#C�bBb�U�7CBb�U�C��

,�%��� ���L�Bb�U��7CBb�U�C�b�b2�U��;b�U��7���C��x2 + 16x�U�#;�b��Bx2 + 8x�U��;C�b��Bx2 + 8x�f��)�U��)C�b�

b��BBx�f�#C2�U�)2C�b��Bx�f�#�U�)CBx�f�#�f�)C�b��Bx�U��CBx�f��;C�,�%��� ���L��Bx�U��CBx�f��;Cb��x2 + 16x�U�#;��

8C x x x x x2 2

2 2

1 5 1 23

4

9

161

9

16

3

4

5

4+ − = + ⋅ + − = +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =,

= xx x x x+ −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ + +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟= −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +( )3

4

5

4

3

4

5

4

1

22 .

,�%��� ���L� x x x x−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ +( )= + −

1

22 1 5 12 , .

�C y y y y y2 2

2

2 5 6 25

4

25

16

121

16

5

4

11

4− − = − ⋅ + − = −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟, ⎟⎟ = − −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ − +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟=

25

4

11

4

5

4

11

4y y

b�By�U�#CBy�f��L'C�

Page 141: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

139

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

,�%��� ���L�By�U�#CBy�f��L'C�b�y2�U��L'y�U�)�

�C� a a a a a2 2

2

3 5 1 5 27

4

49

16

49

16

3

2

7

4

25

16− + = − ⋅ + − + = −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ −

⎝⎜⎜, , ⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟= − −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ − +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟=a a7

4

5

4

7

4

5

4

b�Ba�U��CBa�y�;L'�C,�%��� ���L�Ba�U��CBa�y�;L'�Cb�a2�U��L'a�f��L'�

����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� �������MG���8������������!���!���"��$���������������%���!�������������8���!��"�������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V (�������!���"��$����������������.H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!���"��$���������������%.H�������VVV (������ ����!���"��$����������������.H�������VW ,� ���!���"��$���������������%����"����!��"��.

Образец критериев оценивания для составления задания для малого суммативного оценивания № 6

� H�������1 ���������K���� �������������������$�����������������%�2 ���������K���� ����$��������������������������%�3 ���������K���� ����"�����������"����$�����������������%�4 ���������K���� ���������"�������$������"����������������%�5 ����"��$������������L��!� �$���K���� ������MG���8������������

Page 142: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

140

Глава IV

Образец малого суммативного

оценивания № 6

�5���*�!�A���K���� �������������������$����� �����k���p.������������������������������������������������������������������

�5��X�!�A�����������������������8�� ����[�B�x�U��C2�b�������������������������B;L)�U�mC2�b������������������������

11

46

2

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟ =x �����������������������

Ba + 2bC3b�������������������������B��U�mC3b��������������������������

�5����$ ������G�� ������������ �[y2�U���y�f�����b��������������������9bBb�U��C�U�Bb�U��C�b��������������������������������������������������

�5������ ������ $�������� "� $�������� ����P������ Bx� U� )�C� "���� ��� �� �������������A������������BU_'�f�+xC\�����������������������������������������������������������������������������������������������������

�5���$ �������������� �[25a2�U�)#x4�b������������������������������������������������������

�5��=��� ���$���������������������"����!��"��[���L;#2�f���g�'L;)�g���L;#�f�'L;)2 = ���������������������������������������������������������������������������������������������������

�5���$ ������������������������ �[]C�m3 + b3�b������������������������"C�-x3�U��+�b���������������������������������������������������������

�5��=��� ���$�����������������[

69 75

44 38

2 2

2 2

−−

= ����������������������

���������������������������������

81 75

44 38

2

2 2

−−

= ����������������������

���������������������������������

5��=���� ����� $�!�A��� ���%� ����P� ��L� ��"�� !� ������%� �G�� ����������"� ��$�!������������������������ ���[�;L;#b2 + ... + 169a2 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�G5���A������������[Bx f��CBx2 U�x�f��C�U�xBx�U��CBx�f��Cb�)�

����������������������������������������������������������������������������������������������������

��5���$ ������������������������ �[]C�;L;)#�f��+a3�b������������������

����������������������������������������������������������

"C���'�U�x6�b�������������������������������������������������������������������������������

��5��=��� ���$������������������a3 + b3 !���a + b�b��)L�ab�b�U_�-�

���������������������������������������������������������������������������������������������������

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

Page 143: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

141

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

Урок 4.8. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей

C���)���1�������������������%����8 ��L�!� �����P���� !��� !���������� ����� !��� � ����� !����������%�!����%�E�������� ���"����1 @!���� ��� �8 �L� �"���$�����P����!���!���������������!����������%�!����%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=��������F�8���������P ���&�� �8 �L� �"��$�������� !����������� �����!������ ����%� !����%�� (!����� ��!� ����� ���P� ������ �$� ���"������ H��M����� �!���������$��������������������������� ������8 ������!��P�����M��� �������� X���� !�������� ���!�&����

����� �L����������������L������8�������"����L���G���K������&��������!������������M�%L���������$����"��$��������������������8 ���H��� ���"�����������M�P���L�!���������������������A���������� ���M����8 �L������������L������P��������8 �����&��������$�������=� �A����������������M�����,��������������M��������������������������8 �������� �������M�%�

B����)��������#�> ��*���[� E����� ��"������ ��� �� �8 ��L� �"��$�������� !���!���������������!����������%�!����%\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M����� ��5 ]C� O$����L� ��� �$� !�����G����� �8 ��� �4 = �)�� Y�� �8 �� U����������������� ���M����8 ����4 + ���b��-;�����5 + �)�b��-;��U���������8 ������ �������b��-;��U��#����'�b��-;��U��)L����3 = �5."C��,�����4 = �)������ �����4 = ������8 = �)�B������ �����

�8 �CL�"�����2 = �)����4 = �8. ���������!�����!���3 = �5: �1 = �'����3 = �7. �C� O$����L� ��� �4 = �)�� ���� ���� �)� b� �-;�� U� �'L� ��!� ������#�b��-;��U��'����4 + �5 = 180°. ( ������ ���L���F��� �����������������������������P�����8 ����������-;��!*��M����� ��5� ]C� O$����L� ��� ����� ���������� ������������ �8 ��� ������ �3 + �6 = 180°.

Глава IV

142

4.8. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей

Накрест лежащие, односторонние и соответственные углыДеятельностьL����� ��� �����������%����������������/���%���/����������.

�5 H��������� ��� �������/����a���b���������*#%*�����/�%*�c.�5 L���������������������������%������ �%-

�����������%����������������/��/�����������H�� ���������� �������

�R�?��<�>�6� �@�?��<�>�6� �R�>�6

�5 L���������������������������%������ �%-

�����������%����������������/��/����b���c.�N�?��O�>�6� �Q�?��O�>�6�� �O�>�6

a

b

c

14

23

58

67 ������

L����� � ���������/�����%�� ��� ��������/���������b���������-

*#�������/� ���������%*��/�����%*#��� ��� �� ����R!;

(�����������#������M�?��� �'1�A����QV��@����5.

(��������#������M�?��� �'1�R����OV��<����8.

(����������)������������ �'1�A����=V��@����6.

(�������)������������ �'1�<����OV��R����8.

C������������'�� �'1�R����=V��<����QV��A����NV��@����7.

I������/��/������������/���#�?�>��/��������b.

Упражнения

�5����%�� ���������������%���<��%�����;�

�!���%�����������������#���%���V

�!�������������������#���%���V

�!���%������� �� �� �����%���V

�!��������� �� �� �����%���V

�!�� �������������%����

,� ��%������ ���%�$���%���������������

�5��'���%� ������`ab������ ���`a������� ���c������� ���d3�&�� ���'��

H���������/�%*�c'��'����������%�����������������#������%���-

���� �� �� ������� ���������������������������������#�������������

�� �� �����%�����

��� ������� �� �-

�%����������������/�

�/����̀ a���d3���-

%#���c'� ����@!�

a

b

c

m

k

np

te

sf

�������

A

B

N

M K

F

P �����$

a

b

c

14

23

586

7

Page 144: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

142

Глава IV

i ��!�����������������������������b��-;��U�������)�b��-;��U��+L���!� ����[��-;��U����f��-;��U��+�b��-;��¦§��2 + �7 = 180°."C��O$����L�����3 + �)�b��-;���@"������������������������������b��-;��U��#���

���������������[��-;��U��4 + �)�b��-;��¦§��4 = �)L��3 = �5.!*��M������ 5�(�8 ����� ���&L��2 + �3 = 88°. �)�b��-;��U�B�2 + ��Cb��-;��U�--��b�7���4 + �)�b��-;�L����#�b��-;��U�7���b�--���7 = �)�b�7��L����1 + �5 = 88°.?������"��$��L��1 + �2 + �3 + �4 + �'�b�B�1 + �'C�f�f�B�2 + ��C�f��4 = 88° + 88° + 88° = 264°. �����: 264°.����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������"��8 ��L��"��$��������!���!���������������!����������%�!����%.����������n�@!���� ����!����� ������'#������������������

H�������V X��������� �� �!���� ����� �8 ��L� �"��$�������� !��� !���������������!�����������%�!����%�

H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!����!���� ������8 ��L��"��$����P����!���!���������������!����������%�!����%�

H�������VVV (������ �����!���� ����8 �L��"��$��������!���!���������������!�����������%�!����%�

H�������VW @"��������L� �!���� ��� �8 �L� �"��$�������� !��� !���������� �����!����������%�!����%�

Урок 4.9. Признаки параллельности прямыхC���)���1� ������� ��������� ��%��� �8 ��L� !� �P��������!���!���������������!��� � �����!����������%�!����%�E�������� ���"����1 ��������� !��$���� !��� P � ������!������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =� ������� !����8�� ���������!� ��������� ����L� ������� �� ���"������ @P����������������� ����L��!���M�&�����!����P����$����&���8 �L��"��$��������!���!���������������!�������� ���M�%��=��!� ���&M����$������������M���� ��8 ����� �!���� �&� �"�� �������L�

1

4

23

57

6

Глава IV

144

4.9. Признаки параллельности прямых

Деятельность

�5 ������������������ ������������b��������������������������5 ����������������������������� �������

��������� ������� �� �������� ��� ��-

�������b�����������!����"#�

�5 $����������� ���������"���%��&�����

���������� ��� �����'� &��� ����������

(������'

�5 $����������� ���������)���*��&�����

������������������'�&��� ����������(������'

�5 $����������� ���������+���,���������������������&��� ����������

(������'�/��������0�����������������������1�� ������� ��+���,'

�5 ���1��������1�� ���������"���,��&�����������������������'

�5 2����0������3�� � �������������������� ����������������������� ��

���������b������������

a

b

14

23

586

7 ������

Признак параллельности прямыхТеорема

5��(�'�(�'�����?�((�0����'�@������*�)�A���-1��(���*���1����)(��� �������&�1��41(�0���'�@����'�������3��!�����������'1�4������������b�������������

��������������9:�����������;���� ���������-

0����� ���� ���������� �<��"�=��)��

!����M)���������'1���������b��������� �<�a >>�b�!��� ���+#�

+�#����������������'1�&�������� ��� ����������1����������������-

���������������������� ��1����1������?��1���0����������������b����-

�����������������������@�!����C#��@D:�E��������� ���G�������D:�1����

��������� ��1���������������H������� ��@D:�������0� ����1 ������-

����������������1�������������������������������� ��2D:����� ���

�������� ���@D:��G����� �����������I9:�=��J:9���I:9�=��J9:��

H��1������� ��2D�������0� �� ���������������� ��2:�E� ��������b��G��-

1������� ���������2�E��������������������� �����������b��?���������1���

������ �� ������ ������������ ��

1������������ �;����1���0� ��

���� ��� G��1������� ��� ������

���b�E��������� ��<�a >>�b.

D�����)�#�����5

a

b

1

4

2

3

M

N ������

a

b

1

4

2

3

M

N

AB

�����$

Page 145: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

143

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

��"������L�������&��-;�L��8 ��L��"����$���������!���!���������������!��� � �����!��������������M�%����$� ������$Q����&������M�������R��������"�����[�=��������������������L�����$�����!��$����!��� � �����!�������B!������������������ ���M����8 ��C��

B����)��������#�>��*���[�E���!���������!��$����!��� � �����!�����\

�� ������$�� ����������L���$���&��!��$�����!��� � �����!������!������������ ������������ �� ����������� �8 ��� �� F�� ������� ����$���&������M����L�!��� G���������8��!!���=������������$�� �����!� �$����!��$����!���� � � �����!������

*�� ���&M���F�!����!� ��������������� ����L�������������"������@!���P��� ����!��� � ����������!������!���� ���&������8��!��!������ ����

=��������!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�]C�,�����1 = �8.(� ���8�%� �����L� �$����L� ����1 = ��� ���8 = �5. ?�8����3 = �'L� ���� ���������� ������ ���M��� �8 ����������( ������ ���L�a����b."C�,�������b�#�;L�� 8 = 1370. ������-�U����A��������P����������8 ����2 + �-�b�#���f���+��b��-;������� ������������A�����������������8 �����������-;�L���a����b.�C�,�����#�b�''�L����b��-;��U��#�b�-;��U�''��b���'���?�8����)�b���'��U+;��b�''���( ������ ���L��4 = �)���a����b.!*��M�������5�=����8� ������>=(������%��8� ��8 ��>=(��-;��U��-��b��#������� ����jm�U�"������L����ajm�b��#�� : 2 = 71°.?�8����j`a�f��`jm�b�+���f��-��f�+���b��-;���j`a� �� �`jm� U� ���������� ������������ �8 ���( ������ ���L�̀ a����jm������?��������������1����� ���"�"M���!��%���������!��$������!��� � �����!�����������!��������������������n�����������

!����� ������'#������������������

H�������V X���� !��$����� !��� � ����� !�����L� ��� $��������� ��� !����P����

H�������VV *���������!���M������ ��!���!����������!��$������!��� � �P����!������

H�������VVV (������ ����!��������!��$�����!��� � �����!������H�������VW @"��������L�!��������!��$�����!��� � �����!������

a

b

c

14

23

586

7

A B

KC

71�

71�

71�

38�

Page 146: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

144

Глава IV

Урок 4.10. Аксиома параллельности. Свойства параллельных прямых

C���)���1�������������������%����8 ��L�!� �����P����!���!���������������!��� � �����!��������P��%�!����%�E�������� ���"����1 ��������� !��$���� !��� P � ������!������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8� ����L� ����%���

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ����� ���� �P���L�������������"����������$�����L���� �����M�&����!����%L��!���M�&��8� �������� ����%����!�����P����� !�����L� !��� � ����� !����%� !�����%�� H��PM����� �"�������&� !��� � ����� !�� ����������!������������������"������������L��� ����!�P�� � � ������!������������!����������$������������@$����������������!���� P � ��������R��������"�����[�H��� ����$���������������������%����8 ���B������ ����PM��CL��"��$��������!���!����������!��� � �����!���������M�%L�������$������G��

B����)��������#�>��*���[�E���!������&����%���!��� � �����!�����\

(��� �&�!����������� ��������������"����� ����8��!!�����$��&��$������L�!�����!� ����������������M������ ��������$������8�����%����8 ��L��"��$��������!���!����������!��� � �����!���������M�%L���%��������!�����L�!��� � �P��������%����%����!����%�*�� ���&M������������������!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�O$����L����a����b���?�U����M�����C�,�����'�U����b�##���(����8�%������L��5 + �#�b��-;�����4 = ����( ������ ���L��5 + ���b��-;���i ����$���������������������8 ���##�L�������$�F����8 ���"� �A�����8�8�����##���?�8����2 + ���f�##��b��-;�������b�)-�L��'�b��-;��U�)-��b������������%�����������8 ���8 = �5 = 112°. �����[��C������

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

147

4.10. Аксиома параллельности. Свойства параллельных прямых

Деятельность

�5���������������@2�����������������������������������������D��

����0����� ��(���������

�5�L�����0�������� ���� ���������������-

���� �� ����� ���

�5�?���1� ��������� �������������������-

������� ������ ������D�������������� �� �-

����� ��� �������������� �� ����� ����

��������� ������ ��� ����1����� ������

������D�

�5&�����0 ������ �������������� �������-

����@2���'�&��� ���������� ����� "� � +��

����� ��� ����� ��'�L�� ����� '

A B

Mc

A B

Mc

A B

Mc

1

2

a

B*�(����'�������3��1(C�=������"#�%����M�?�P��*���>%�M��*��������)�������#��)��*���P*����������P;��>*���>5

Свойство углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущейТеоремаD�1��(���*���1����)(��� ��&��/��E������0���@�'�������3��(�'�@���(�(���*�)�A&������!�����������'1�JI�>>�OQ��@G���������

!����M)���������'1�IJO�=��JOQ�

+�#�����������1 ?��1���0�� ����� ����

4������������IJO����JOQ�!����"#��2���-

�3��������������D���������9JO�=��JOQ�

!������ ��������������1��� �������#��

H��1�� �� ��������� �������� ���� ������

J9� >>� OQ�� ��� ������ �� ������� JI� >>� OQ��

G��1������� ����������@���������OQ�����1� ��1������ ����������� ���

�������@�(��� ������0 ������������������� �����$���������� �����1-

���0� �� ���� ���?��������JI�>>�OQ�� ���� �� ���������0���������

��� ���D�����)�#�����5

C D

B

M

A

������

a

b

c

14

23

586

7

Page 147: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

145

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

8C�O$����L�������b�'g�+������ �����6 = �+L���"�������b�'g�6.�3 + �)�b��-;�L�'�g��6 + �)�b��-;�L��6 = 180° : 6 = 30°. ?�8������b��-;��U��;��b��';�����7 = �6 = 30°. �����: 150°����;°.!*��M��������5����� ���&��$����L����a����b��?�8������������������%���!�P�� � � �����!�����L���!�A������������[�C�+x = 2x + 75

5x = 75x = 15H8 �[+�g��'�b��;'��-;��U��;'��b�+'�

�C�)x�U����f�#x + 72 = 18010x = 140x =14H8 �[)�g��#�U����b�'��#�g��#�f�+��b���-�

�C���'�U�x + 5x�U��'�b��-;4x = 80x = 20H8 �[��'�U��;�b��;'�'�g��;�U��'b�+'�

�����[��C��;'°���+'°L� � �C�'�°�����-°L� � �C��;'°���+'°.

!*��M��������5�Y��$���������!� �������� �&��������8��!������������$���PG��� ��������M����(�8 ����� ���&L�a����b.�C��*��!������������������8� �����L��"���$�P

����������M�%L����b��;���H8� �x��������P��� �� ���� ������� �8 ��� ����8�� �8 ������8� ������L��8���x = 50°.

�C��*��F������������������8 ������������������8 ������8� �����L��"��$������P8��!����%�bL���������;�����#;���?�8��������������8 �����8� �����������������"��"����������+;����#;���( ������ ���L�x�b��-;��U�B+;��f�#;�C�b�+;��

�����[��C�x = 50°L��C�x = 70°.

J����'%��#����'����)������������������[�I� ���"��$��������������P������� ���M���L� ��� �� �!��������� p� �'� �� ������� !�������� �� !������ �����x�b��;��f��;��b�';������������� ������x�b���;��f��#;��U��-;�b�+;��=��"M��� ����[��C�x = �1 + �2�C�x = �1 + ���U��-;�����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%�����������%����!��� � �����!�����������!��������������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X������%���!��� � �����!�����L����$������������!��������

H�������VV *���������!���M������ ��!���!������������%���!��� � �����!�������

H�������VVV �����������%���!��� � �����!������H�������VW (������ ����!����������%���!��� � �����!������

a

ab

b

xx

30�110�

20�140�

1) 2)

1

110�

a

ab

b

xx

1) 2)

1

2

12

Page 148: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

146

Глава IV

Урок 4.11. Углы с соответственно параллельными сторонами

C���)���1� ������� ��������� ��%��� �8 ��L� !� �P�������� !��� !���������� ����� !��� � ����� !��P��������%�!����%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%����8 ��������������!��� � ��������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8� ����L� ���%��

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ����� ���� �P���L� ������� �� ���"������ ������ !���$�� ���%��8� ���$���8��!������ �����������������������(�!�P��M�&� �8� �������� �� ���%��� �$� F�%� ����� !����P����!������L�!���� � � ��������������8 ���O �P

��&�� �8 �� � ����A���%� �� ����� /�� =� �A����������������M�������$�������!�� ��������!� ������8���8 �� ���������8 ����, ��������$��� ���������������PM����!������������"�����������$�������������!���P�����?������"��$��L��8� ���������������!��� � �P��������������������������!������

��R��������"�����[�H��� ����%����8 ������P��������!��� � ����������������G����������������=��������������$��� �������!� �$�������������M�����@��L�����F����!� ����������� ����L����8������$���������L� �!� �$����� ��%���� �8 ��L��"��$�������� ������� !��� � ������!������� �� �����M�%�� ���� ���"����P�������� ����G��!���� G�������P������������X�����"Q����������%P��������������G��������������$����G������8 ��������������!���� � � ��������������B����)��������#�>��*���[�E���!������&����%����8 ��������������!�P�� � � �������������\

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"����L�������������"�P���� ����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�=�������������"� ������$���L�����8 �������������!��� P � ��������������� �"�������L� �"�����������������-;���@"�������������F�%�

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

151

4.11. Углы с соответственно параллельными сторонами

Деятельность

�5 ��������� �� ���� �� �����

���������������������� ���

�������������� � �!�"��-

�� �

O B

A

M

�5 ��������� ��#��� �� � ��� ��

������$ � ��%������������

OB

A

M

�5 & ����!�� �� ����� � ������

���������������������#���a�

b����� � ����%�������������

�5 ���������� '1()

1%���*����

��������%�%��������� � �-

!�������#��$a�b�

OB

A

Mb

a

A+

B+

�5 ,������ ���%��������� �$����'1()

1.

/����������%#"��� �.0�����������%���-

������ �����'1()

1�/������� ������

�� �� �.2��%�34

�5 /�����#� #��%#� �����'1(5�%�� ���

%� ��'1()

1. 2��%�34�,���� ���%�������

%���"��$� ��.

O B

A

C

A+

B+M������

Углы с соответственно параллельными сторонамиТеорема

% ��������1��1�1����'�������3��(��1�����(��(/������&��(/��(������������������!�����������'1�'6)��'

1O

1)

1�6' 776

1'

186) 776

1)

1

!����M)���������'1�'6)��'1O

1)

12��%�9:4

� ��'6);�'1O

1)

1<3=>?2��%�9�4

Докажите самостоятельно.

O B

A

O+ B+

A+

O B

A

B+

A+

O+

�������9

�������)

O B

A

B+

A+

M

MC

A+

@% � � � % %������%������ ���� � ����� %�������� #� #��%# ���

�%������ ��������������� �������

@% �������� ��%%������%���������� � �����%��������#� #��%#

�%�������������������%���"��$� �������3=>?�

@% �� �%%������%���������� � �����%��������#� #��%#�����#D

�������%���"��$� �������3=>?�

Page 149: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

147

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

���������������������������������8 �����8 �L��������������������-;�L���8������������!��� � ���������������������8 �������!���� ����$�������!�� ������������������!*��M����� ��5� ]C� *�� ������ ������� ������ �!���� ��L� ��� �8 �� >=(� �� rkm����&��������������$�������?�8��L���A��������������x = 2x�f��'L��������!���� ����8 ���x�b��'���( ������ ���L��`aj�b���g��'��b�#'�L��`aj�b��g��'��f��'��b�#'��"C��`aj�f��rk��b���)�����8 ����������������$��������( ������ ���L�

�`aj�b��rk��b���)��[���b���-���C����� �����8 ��!����$����&���$���L����������������-;��

3x�U�';��f�+x�U��;��b��-;����x�b��)���?������"��$��[�`aj�b���g��)��U�';��b��-���`aj�b�+�g��)��U��;��b��'���

�����[�]C�#'�L�"C���-�L��C��-�����'���

!*��M�������5]C�?�������������$�������8 ��������������!��� � �������P������������ ����;z����8�8���8 ���L�F���8 ���������������!����$����&��@�����$��8 ����"��$����������$��L�����%��8� �"����;L�x.�@������������������L�x�f�;L�x = 180°.x�b��-;�[��L��b��';���=���%��8� ���� ����;z����';���( ������ ���L��';��g��;�[��;;�b��;��"C��?����������A������8 ��������������!��� � ����������������[�)L��������

�$�F����8 ���"��������L����8�%�U��!����@��%��8� �"�����xL��!�%��8� �U�)x. (��8 ����������[3x + 6x�b��-;�L� x = 20°. ( ������ ���L����%��8� [��;��g���b�);�L��!�%��8� [��;��g�)�b���;��

�����[�]C��';�����;�L�"C�);������;���

����?���� � ���������1� ���� �� �"�"M��� !��%������� �� ��%���� �8 ��� � ��P����������!��� � �������������������!����������

����������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X���� ��%��� �8 ��� � ���������� !��� � ������ �������L�

���$��������������!��������H�������VV *���������!���M������ ��!���!������������%���8 ������P

����������!��� � ��������������H�������VVV �����������%����8 ��������������!��� � ���������P

�����H�������VW (������ ����!����������%����8 ��������������!��� P

� ��������������

Page 150: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

148

Глава IV

Урок 4.12. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами

C���)���1� ������� ��������� ��%��� �8 ��L� !� �P��������!���!���������������!��� � �����!����������%�!����%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%����8 ��������������!��!������ ����������P�����K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L����!����

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������������"������������!���$�� ���%��8� ���������������L����!����� ���PM��� �8�� �������� (� !���M�&� ������ �� �� F�%� ����� �� ������� �8 �� !��������!��!������ ������� ���������8 ������ �$���&���=� �A����������������M������ �$������� !� ������� !� ������8�� �� �����8�� �8 ��� H��M���� �$����&� �8 �� �!���M�&����!������������$���&���G����������!� ����������$� �����?������"��$��L��������!�������"��8 ���������������!��!������ �����������������R��������"�����[�H��� ����%����8 ��������������!��!������ ���������P���������G����������������,���$�� �������G�����������M������@��L���!� ��$�����%����8 ��L��"��$��������!���!���������������!��� � �����!�����������M�%L���P���$���&���������H��� ����$������������������ �����������$���!���M��

B����)��������#�>��*���[�E���!������&����%����8 ��������������!��P!������� ��������������\

(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&�������"����� ����$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�O$����L�����8 �������������!��!������ ��������������� �"�������L� �"�����������������-;��]C�i ���`sa�b�')�L����j�r�b�')��� ���j�r�b�-;��U�')��b���#��"C�i ���`sa�[��j�r�b��[+L����`sa�b��xL��j�r�b�+x.

2x + 7x�b��-;�L�x�b��;���( ������ ���L��`sa�b��;��g����b�#;�L��j�r�b��;��g�+�b��#;����C�i ���`sa�b��g�j�rL��"�$�������j�r�b�xL����`sa�b��x.

(�8 ����������[�x + 3x�b��-;�L�x = 45°. ( ������ ���L��j�r�b�#'�� �`sa�b�#'��g���b���'��

8C��i ���`sa�b��;x f�##�L��j�r�b��;x�f�#)�L����8 ����������L���$���������� ����[�$���"�>: 20x + 44° + 10x�f�#)��b��-;�L� x = 3. ( ������ ���L��`sa�b��;��g���f�##��b��;#�L� �j�r�b��;��g���f�#)��b�+)��

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

153

4.12. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами

Деятельность

�5��������� �� ���� ����%��#���� �������� ����*� 3=>?� ��-������������� �����������

� �!���%������$"����� ��

O B

A

M

�50�����������������%�������

�������������� #������#-

����

O B

A

M

C

D

�5&����!������%������������� �������%������'6)��5(G.,�������%����$����%��$���.

�5g� �& ����� ��� �� ��#���� &������� ����%�� ��� �� �����$� ������G�/�/������ �� ���� ����.

�5����!��� %��� ��% � �� � �$ ���� &�G � �����G�/�/����%�� ���������%�� � ����%�-�����%������$%�����"��$� ��./���������-� � ����%��� ���� � �� �� ���* � � �� ���% ���.

O B

A

M

C

D

K

Углы с соответственно перпендикулярными сторонамиТеорема

% ��� �� ���1��1�1����(� '��'�0(*��@���(� �1�����(� �(/�� *� ��-41�&��(/��(�����������1���@�1�������!�����������'1�'6)��'

1O

1)

1�6'�6

1'

186)�6

1)

1.

!����M)���������'1�'6)��'1O

1)

1� ��'6);�'

1O

1)

1<3=>?�

+�#����������������'1]��%������������ �h�����'

1O

1)

1�@% �������-

�E������ ������� ������ '1O

1)

1��������E��-

���� ������ ���i����"���% ����_|[��A1O1B1�]��%��������_|[W��G~2�� �������j>k4��"���% �������� ��9% ��#�$���"�>1�_|[W G~ 2��%�34��������� ��&���� ���-�� 6'� 65� � ����� � � & ��%�� ��� �%� �� ������ %��-���� �� ��#��� ��� l���� �������� � �G ���� �����6G�6)�������&�G��%�� ��� �%�%�����%����������#������F�%�� ���'6)<j>?m�'6G��56G<j>?m�'6G����'6)��56G�F�%�� ��� �56G��'

1O

1)

1%%������%���������� � �����%��������2��n#%����������

������� � ����4�"��� � ��������"����� ����$%���%�%��� #��3=>k�

O

B�

A

D

O�

A�

C

B

������

Page 151: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

149

Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности

$$���"�>: 20x + 44 =10x�f�#)L�x�b�;L���( ������ ���L��`sa�b��;��g�;L��f�##��b�#-�L� �j�r�b��;��g�;L��f�#)��b�#-��

�����[�]C�')��� ����#�L�"C�#;�����#;�L��C�#'������'�L�8C��;#�L�+)����#-��!*��M����� ��5� ��������� ��%��� �8 ��� � ���������� !��!������ ��������������[]C�H8 �L�����������!������������L�������������

( ������ ���L��x = 3x�U���L�x = 33°.�rkm�b���������b�))�L� �`aj�b���������U�����b�))��

"C����� �����`aj�f��rkm�b��-#�����8 �������������L��[�`aj�b��rkm�b��-#��[���b�7����

�C�H8 ��̀ aj���mkr���$�����������( ������ ���L�#x�U��;�f�)x�U��;�b��-;Lx = 22°. �`aj�b�������#�y��;��b�+-�L� �rkm�b�������)�U��;��b��;���

�����[�]C�))�L� "C�7��L� �C��;�����+-������?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ��%���� �8 ��� � ��P���������!��!������ ��������������������!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X������%����8 ��������������!��!������ ������������P

��L���������������!��������H�������VV *������� �� !���M�� ���� �� !��� !���������� ��%�� �8 ��� �

�������������!��!������ ���������������H�������VVV (������ ����!����������%����8 ��������������!��!��P

���� �����������������H�������VW ?��������!����������%����8 ��������������!��!������P

���������������

Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания № 7

� H�������

1 @!���� ����8 �L��"��$��������!����������������!���������M�%�

2 X������!��������!��$�����!��� � �����!������

3 �����������%����8 ��������������!��� � ��������������

4 �����������%����8 ��������������!��!������ ���������������

Page 152: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

150

Глава IV

Образец малого суммативного

оценивания № 7

�5��H��8 ����`aj����rkm��������P���� ������ !��� � ����� *�%����F���8 ���������������������������������������������������������������������������������������

�5��i ����$����8������%�������8 �������������� !��� � ������ ����P������ ����� �)�L� ��%���� ��$��������������F����8 ������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��*�%����8������&�������8 ����`aj����rkm�!���̀ a���rk���aj���km���������������������������������������������������������������������������

�5��N�����������������8���$��8 ������P��������� !��� � ������ ��������"� �A�� ���8�8�� ��� �'z�� *�%���� ��$P������"���8������������F����8� ���

������������������������������������������������������������������������������������������������

�5a��bL� ?� U� ���M��� !������� @!���� ���8������&� ����� �8 ��L� �"��$��������F����!������[�

a

b

c153�

�5��i �� ����� ����� ����������� �8P ��L� �"��$�������� !��� !��������������� !��� � ����� !������ ���M�%L�"����� ������ ��#�L� �!���� ��� 8����P��&���������8����8 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5 a��bL�?�U����M���!�������i ���#�b�#+�L����� �����$�������������8����P��%������������3.���������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��O$����L�������b�����L��#�b�)+�����5 b�'+�L��������$��������!������!��� P � ���\������������������������������������������������������������

5�i ��a ���bL���%����".

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

B

A

3x

C7

0x +1 �

M

KD

B

A

2 + 3x 0�

C5 + 1x 0�

M

K

D a

b

c

4

1

5

m

a

a

b

b

x

10°

48°

110°24°

x

а)

б)

Page 153: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

151

ГЛ А В А V

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ. СТОРОНЫ И УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА. СТАТИСТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

C���-)���

!"������)����� D�� =��'

5.1.2.

A���

�&5

C��

��

���

����

��>5

C��

���'

��

�'

���

� ��

���#

�5

C��

����

�#�

���

����

����

!��#�5�5(!��"��$�������K������ �3.2.3. !��#�5�5J���%����K����������G�8��K�� �3.2.3. !��#�5�5N��K���!�����!��!������� ���%�$������� �

3.2.3. !��#�5�5=$���������!� �������8��K����� ���%����K�����% �

2.3.1. !��#�5�5�������L������L������ �������L�4.1.1. !��#�5�5O$����������!������ �

������L�3.2.3.

!��#�5�5J���%���������������������!��������������8��8��K�� �

������L�2.1.3.

!��#�5�5(����� ���%������������%��������!������P��������G���A�����8��K�������!��"�� �

2.1.1. !��#�5 5��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"���!��������� �

2.1.1. !��#�5�G5��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"��� ������ �

2.1.1. !��#�5��5��A�����$�����!�������������� ���%������������%��������!���������� �

@"��$����� �8����������8�������������p�- �3.1.4. !��#�5��5(����������������8 ������8� ����� �������L3.1.1. !��#�5��5������8� ���%����8� ���� �

������L3.1.1. !��#�5��5=��A��%��8� ����8� ���������8����%�� �

3.1.1. !��#�5��5(����A����������������������8 �������8� ����� �

3.1.1. !��#�5��5*������������8� ����� �5.1.1. !��#�5��5 /�����"������K������� �'�����L�5.1.3.

!��#�5��5 ���$���������K���������,��8�����L�8��8�����L�8��K�� �

5.1.4. !��#�5� 5���8��$�������� �

5.2.2. !��#�5�G5��� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��% �

5.2.1. !��#�5��5=���������"��� �5.2.3. !��#�5��5(�������������% �

����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�7 �@"��$���"� �A�8����������8�������������p�� �

Page 154: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

152

Глава V

Урок 5.1. Способы задания функции

C���)���'1��������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$��������������!��������������L�������������������������� �������� �'������������ ��������������������8�����L�8��8������� ��8��K����E�����������"����1X������!����� ���!��"��$�������K�������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K���������������

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������������"������=�����������������M������!�����������!������������ ��������O ������$�������K��������������K������ �L�$���������$����������!�����������������������L�!����� ������8��K������@!����� �&��$������������$��������!�������������R������� �"�����1� H��� �� ��G� ��������� ��K������&� �� K������� �� !��"����G� $�������� *�� !�������� �"Q����� �" ��� �!���� ����� K������� �� �������� �G�$������%��=���������"Q��������� ���"��$����!� �$�������$�������OE?�

B����)��������#�>��*���: E���%��$�!��"���$�������K�������"� ������"��%\

(��� �&�!����������� ���������$������L�������������"����L���!� ��&����������P��� ������ ����8��!!����=�!� �����������$������L����M��������$���&���G����������K������!����� �����K����������������$�������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M������ 5�, ���!���� �����$������8�L��8 ����8��K���L�$��������K������� ������ �������8��K���]C�yB;C�b��L�B����� ��x�b;L���y�b��C yB�C�b��L�yB#C�b��L�yBP�C�b�;��"C�!���y = 1 x1�b�;���x2�b�#L� !���y = 2 x1�b�����x2�b�;L�L� !���y = 0 x1�b�'���x2�b�U_���C����$����������$��������Y��!����������y������!� �P

���� ���%�$����8C���*�!�����[� !��� $��������� x� b� U_�^� #^� �L'^� �L#� �� !���

y������������ �����$�������[�y ~�;L�C�*�!�����[�!���$���������x�b�U_�L�x = 5: y = 0.�C�?����L�����M������8��K���[�B#^�C^�B;^�C^�BU_�^;C��?�������F���������!� ���������8���K���L����������&������M�������8��K�����?����L��������M������8��K���[�B�^;C^�B;^U_�C�

156

ГЛ А В А V. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ. СТОРОНЫ И УГЛЫТРЕУГОЛЬНИКА. СТАТИСТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ

5.1. Способы задания функции

Формула, таблица, графикДеятельность

�5����������� �������������������������������������������������������-

������������������������������������ ����� �����������������������

�������������������������� ����������������� ������������������-

�����������������!��� ���������������

�5"�������������������������������������������y�#�$x�%�&'�(��������

��������� ����x�#�&'�)���� �! ����������������������x�#�*+,��.�����������-

�������/����� ������������������������������������������'�.�����������

�������0 ��1��� ������������������y�#�$x�%�&��2��������������������'

�53���������������� ����� ������������������������������������!��1�'

F(��0��( N���S)�����#

(���S��# C��)� =��S

��� N��S����

C����S��

(��#��S�����

���0@@�1��-'���1��� $456 $$56 $,56 $756 $856 $&56 &956

�������!����������������� ����� ��������������������(�����������

��!��1�����::�������� ���� ����������1 '

�5;���������<�������� ����� �������������� ����!�������������������

�����������=��'�&>'

(���������������� �

?>�������� ������� �� !���� ��

@��������

!>���������������<�������� ��

��������������

�>��(�������� ��� :� ����� :�

����� :����� :�������� '

A����� ��� /� � ����������<�

�������� �� �� ������� ��-

����<�0 ��1����

�5�������� �����!���� ������

0 ��1��� �� ����������-

���� �������� B�C����� ��

������ ��� ���������� ���-

��!��� �!����� B���� ��

(!���� ��������������'

0 2222 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T( )часы

1

–1

–2

–3–3

–4

–5

–6

2

3

4

5

6

t ( C)°

������

0

y

x

2

1 2 3 4 5

1

3

4

Page 155: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

153

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

����?��������������1�H��� ���"�"M���!� ������������������!��"���$�������K������L����!���������L������������L��������� ����������%��$�!��"����� ����"� ������"��������������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X����!��"��$�������K������L�$��������������!����������H�������VV X����!��"��$�������K������L���!������!���� G������A�"��������

!����������H�������VVV X����!��"��$�������K������L������� �������!��������H�������VW ���������!��"��$�������K������L��"������������

Урок 5.2. Линейная функция и её график

C���)���'1��������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + :���!���� ��������!����������F�%�!����%���������������������������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$�P��������������!��������������L��������������P������������� �������� �E�����������"����1�C��(���� 8��K��� ���%��%� K������L� �!���� ���

�8�������!��������������������������C��@!���� ��� �� ����o������ ���%��%� $���P

������������!���������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �� ���������"���8�

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�, ���$������!����� ������� ���%��%�K�����������M�������!� ��&��$������L�������������� ������(��� �����" ����$������%� ����%P��%�K������L�$������%�K���� �%L�����!�����8� ���%���������������������G�8���K����=� �A���&������������M�����"�F���8��K������R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&��"��!���� ����L�K���� ����8��K���� ���%��%�K��������O �������" ����!���� ���������������$������%� ����%��%�K��������H��� ���"Q�����$���������8 ���8����FKK�������k.

Глава V

160

5.2. Линейная функция и её график

#�\ kx I b Деятельность

�5 ��������������������������<�"���0 ��1������������0�� ����y�#�*+,x�%�$������������������<�����������������������������

�5 (����������������������������������������"����������������!��1 '�5 B������������ ���<� :������� ��������'�(����<���������������������

����������������� :D������������������������!��1�'�B�� ������������������������<������������������'���� :�0�� ������� ������E�����������������<�������������<���� ������������!���������<�/������0����B���-� ��(!��� ��������������'�

Образец

�5�B���������0���0 ��1���y�#�$x�%�&'�5��(����������������������<������������"'�F��������������!��1������������� ������=">���0 ��1���=�>'

(������� �� ���� ���<���� �������� ������������������������� :D�������������������-���'�B�� ������������������������<�������-���'�B�� ���������0���*������'�G����������!�� ��� �� ���������<���� ������������ ����5Y������� ����=��'�&>'N���"����5B�����<� ���������������������

�����������<����� ���� :�������������������!��1���-�������������<�������������x.

I ��1������������0�� ����y #�kx %�b�����k���b�*�������������������������������>��>/��#���>'�B��b #�^����#�<Y��/���*�0�� ������������1�����<���������������'�B��k #�^����#�:��������0 ��1�������������������������0 ��1���'

J�0����� ��������� 0 ��1��� ��������� ������ �����'� ;��<� k� ������������� ���'#�;//�������'�

B�� k K� ^� ������� ����� �� ��������&!�� ��������� ���� 5X� �)�������������(��������<�L�^�����!���(���

J�0���0 ��1���y #�kx %�:��������(������4&> M��MM���MMM����������������k L�^��:�L�^W$> M��MMM���MN����������������k L�^��:�K�^W,>�M��MM���MN����������������k K�^��:�L�^W7>�MM��MMM���MN����������������k K�^��:�K�^�J�0���0 ��1���y #�kx %�b ���������������� �=̂ W�:>'�B�������#�b �����D���

��������� �=̂ W�:>�������������������������<��������5X; ������"\��������D������������ =�W�^>�������������������������<��������5i�

O�����������"�����<��:!���������� ������<����������������������k���������<����� ���������� �<���������������������:����� ���������������������'�P���C�����<�����!����<:��������������������0 ��1�������������������������������'

B�����<� � ��� �������<����� ������ "� ��������� ��������� kx� %b� ! ����������<���� �������� ��� ����������� ��������� 0 ��1��� y� #� kx� %� b� ! ��� �������������������'�

x #*+$ *+,

*+& *+&

0 1

1 3

2 5

0

y

x

1

1

3

������

Page 156: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

154

Глава V

B����)��������#�>��*���1�E���%�K�8���%��� ����8��K��� ���%��%�K��������������!���� �&�������!����������F�%�!����%�������������������\

(��� �&�!����������� ���������$������L�������������"����L���!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�E����������$��" ���L�!����� ����%���F���$������L������&����!�����8� ���%�����������������!� �������������!� ������ ����������&���=�������� ������!� ������!������ ������(�8 �����P%��" ���L�!�� �P�����8��K���!����%�y�b�'L��8 �����P%��" ����U�y�b�;�B����������CL��8 �����P%��" ����x�b�;�B����"��CL��8 ����#P%��" ����U�"�b�U_���J����'%��#����'����)������������������1�H��� ��!��������"����������K���� �������"��������������L��� ���%����K�������L����&M������$�����&��"����� ���������L���G�����������K���� ���y = aL�x = b������8��K������Y����"���!���� ��������!���������p����!*��M���������, ��!��������8���K�����K�������y = x�f������ �����"P �����G�$������%��������8��K���K���������!������8� ���%��������������L� �$�"���G���%� ��� �� P ��������%� "���8��� *�� �� � ����P����%�"���8���!���� �����!�������� ������

�����kB;^�CL�lB�^�CL�`BU�^�CL�aBU_#L+^�U_�L+CL�

j −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

1

2

1

2; 8��K����K���������y = x + 2.

������ ������F��������8��K������������!���� ��� ��� ������ K���� �L� ��� �� ��� !�������� 8��K���[� �� K���� �� y = x + 2

$�!��������x =�21

2���y =

1

2��i ��!� �����������L��������!����� ����8��K���L�

��!�������� ����������������!����� ����

?�������1

2=�2

1

2�f�����

1

2®�1

1

2L������j −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟2

1

2

1

2; ����!����� ����8��K����K�������

y = x�f��L��������kB;^��CL�lB�^��CL�̀ BU�^��CL�aBU#L+^�U_�L+C�U�!����� ����=�� ������ ��!� ������ F�8�� $������� ���M���� �!���� �&� �� ����� ���%��%�$��������������������������������!*��M����������8C���"���!���� ���!������&�� ��8��K����K�����%� y x

=+7 12

10

�� y x=

−6 4

5 ���&�@H�������%����%��������L��������%�K���� ���!���� ����$��������

y�!���x = 0:

y =⋅ +

=7 0 12

101 2, ��� y =

− ⋅=

6 4 0

51 2, ��,�%��� ���L�8��K����"����K�����%�!��������

���@H��������B;^��L�C.

0

y

x

1

y=5

x=

-2

y=0

x=

0

1

y

y=x+2

0

0,5

1 2-2

-2,5

1

2

3

x

x y-2 02 4

Page 157: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

155

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

!*��M��������5�]C�O$����L����8��K���K�������y = kx�f���!�����������$������kBU�^�#C��X�!�A��������&M�%��K���� ��x�b�U_����y�b�#L�!� �����#�b_2k�f�����k b�U_���X����L�y = 6EY + 2. �����1 k�b�U_��!*��M��������5�]C�O$����L����8��K���K�������y b�U_�x + b�!�����������$������`BU_+^�U_��C��X�!�A��������&M�%��K���� ��x�b�U_+���y�b�U_��L�!� �����U_���b�U_��g�BU_+C�f�b���b�b�U_����( ������ ���L�y�b�U_�x�U����� � � �����1 b�b�U_���!*��M��������5�=�������G�� �����L� �$�"��������� ��� ��P�����L� ��� ������������ ���������� !�����8� ����� �� ��P�������� �8�� ! �M����� � �M��������8� ������� ������ !� ������! ��M�����������&M�8��!��P����8� �������]C��b�B#�g��C�[���b�#�������"C���b�B��g��C�[���b���������C��� ����������F��� �����K�8����U�����������b�B��g��C�[���b�#L'�������

�����1�]C�#�������^�"C���������^��C�#L'�����������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������8��K���� ���%��%�K��������� �!���� ����� ����� !���������� 8��K���� � ����� ���������� iMG� ��$� ������� ��������������M�����!���� ����� ���%��%�$�����������������������������������������n���������n�@!���� ����

!����� ������'#������������������H�������V O!������$����������!���!��������8��K���� ���%��%�K��������

X���������!����!���� ������� ����� ���%��%�$�������������������������������

H�������VV (����8��K��� ���%��%�K������L���������!���� ��������!����P����������������������,�!����� ��$����� ����� �A�"��� !��� �!���� ����� �� ����� ���%P��%�$�������������������������������

H�������VVV (���� 8��K��� ���%��%� K������L� ������ ���� �!���� ��� �����!��������������������������(������ �����!���� ����� ����� ���%��%�$����������������P���������������

H�������VW (���� 8��K��� ���%��%� K������L� �!���� ��� ����� !���������� ��������������L��"�������������������(������ �����!���� ������"����������� ����� ���%��%�$����P���������������������������

0

y

x2

1

4

-2 x

y

1-3

x

y

0

0

a) б) в)

Page 158: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

156

Глава V

Урок 5.3. График прямо пропорциональной зависимости

C���)���'1��������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + :���!���� ��������!������P����F�%�!����%���������������������������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$�P��������������!��������������L��������������P������������ �������� �E�����������"����1(����8��K���!������!��!��P����� ���%�$��������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �� ���������"���8�

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�H����M����������������� !����� !��!������� ���%� $�������� �$� �������������� $�� )� � ��� =�!� ���� ����� ����L� !�����������&� �� ���"����L� ���PM�����!���� �&L����!�����!���!�������� �����$���������� ������"��������� ���%��%�K��������*�����������FKK�������!��!������� ������!���� ���L�!��P��� ���� ��������$������������������������8��K����K������L����������$��������$������k���������&��������������L��������%���!� �����8��K������R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&���!��������8��K����!��P���!��!������� ���%�$�����������!���� �����������%L����������������!�� ������

B����)��������#�> ��*���1� E��� ��!� ����� 8��K��� !����� !��!������� ���%�$����������!�����8� ���%��������������\

(��� �&�!����������� ���������$������L�������������"����L���!� ��&����������P��� ������ ����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�i ��8��K���K�������y = kx�!�����������$������kB'^���CL��L���!������K���� ��$��������x b�'���y�b���L��$�!� ������8�����������������!����P

���k: 12 = 5k��� k � �12

52 4, ��( ������ ���L�8��K���!�����!��!������� ���%�$���P

����L�$������%�K���� �%�y�b��L#Y���"��$������%��8� ��!� ���� �������!���P

���������@u�Bk�t�;C�

"C�i ������� N −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

1

2; ���������8��K����K�������y = <Y����������!�������

$��������x�b�U_#��� y �1

2���K���� �[� 1

24= − k ��� k = −

1

8.

Глава V

164

5.3. График прямо пропорциональной зависимости

#\kxДеятельность�5 ������������� � ��� ��� �����������������������������������

������� ��� ����������������� ��������������5 ������������� ������������y = kx + b �������������� ���:�\�^��������

����������������������!�����������5 "��������� �� �� ���������� �������� ���������� ������� �������� y� #� $x%�

&����������������������"�#�'�������������������������� � ��� ������(')�

'*��&���������������������yx� 3 �

�5 "������������������������y�#�+-$x%�.�������������������yx= −3 ���/���������

�����������������/���������������������0(+-6)�7* �9(:6)�+-$7* �<(+-:'')�$''*���5 .������� � �� ����=� ������ =� ����������� � �������� �������� y� #� $x� ��

y�#�+-$x%����� ���>���������� �����/��������� �� ���������=���������-��� �������� ������������!�����������k��@���������������� �������-����������/����������=��� ��=������/������������������������@A%�B����/�������������%

C���������� ������ ���������y�#�kx�(k���'* ���������� ��� ���������-����������������������%�D���������� ������������������������������� � ��� � �� �� � ���=�� >� � ����� ����� �������� ���������� @(')'*%� "���k�E�'���������� ������������������������������������������ ��� F��� FFF������� = �����k�G�'�+����FF���FH������� =%�

Упражнения�5��(I����*%����������������� ��������=���/���������������������� � � J

��� � �� ��� ���������������� �������������� "������ .�������� ����� k����� ������������������������������%

K*�y�#�+-x)� � �*�y #�x3)� � �*� y x�

12; � � �*�y #�:'�L�x)� � �*� y

x�

1; � � �*� y x

= −7

.

�5��@��������� ������� ��!��������� k� �� �����=� ������=O� �*� y� #� +-6x�

�*� y x�2

5; � �*� y� #� Px%� B������ "� �� �� ����Q���� ������ ��� � ����� �=�

����Q���������������k%�

�5������ � ���� � ����������� ��� ������ � k � ������� ����������� � ��� ���������������� y� #� kx�� ����������� ������=� ����� ���������� ����� � ��������������� ������� �� ��� ���������������� ������������� "�J��Q��� �������������=�������Q�����������

�5��"��������� �������� �������� y� #� Rx� �� y x�1

4� �� �� ���������� ��������

���������%�S���������� ����������������������������������/�����������"������B�!����/���������������������������������������������y�#�+-Rx%�B�����=������� =������������������ ���������

Page 159: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

157

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

?����� �"��$��L� !����� !��!������� ����� $�������� "���� $������ K���� �%�

y x= −1

8��N��K���F�%�!�����!��!������� ���%�$���������"��$����!�%��8� ��

!�� ����� �������!��� ���������@u�B¯�~�;C�!*��M�������5�E����$����L� $������FKK�������!��!������� �����k� �!�����P �������������������8 �L��"��$����8��8��K�����K��������!� ���� ��������!���P ����������@u��]C�*��!�������������8��K���K��������"��$����!�%��8� ��!� ���� �������!���P ���������@u��X����L�k�~�;��N��K���K�������y = kx�!�����������$������BU�^��C���B;^�;C��, ���!���� �����k�$�!�A�����K���� ��x b�U_����y�b��^���b�U_��g�k���k�b�U_���( ���P��� ���L�!��������������U�8��K���K�������y = U_�x."C�=�������� �����8��K���K��������"��$������%��8� ��!� ���� �������!���P ���������@u��X����L�k�t�;��(�8 ����8��K���L�!���x�b��L�y = 1. X����L�k�b����( ������ ���L���F��� �����8��K����� ����8��K�����K�������y = x.�C�k t�;��(�8 ����8��K���L�� ��x�b��L���y�b��L�k�b�;L'��X����L���F��� �����!����������������U�8��K���K�������y�b�;L'x.!*��M����� ���5� ���� ��!� ������ F�8�� $������� �!���� �&�� !��"���� ���PM�����������������!��������&��H��M����������8���!���� ���$����k��������!P����� �����$�����b����M������ �����!���������������" &�������$�!������M���$�������%��?��L��!���� ���$����bL������� �����������������$���������������������!������������8��K���� ���%��%�K����������&�@H�]C�=�!������ �����k�~�;���b�t�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!��� �P��������@u��!�%��8� ���!������������&�@H���A������ �����������"C�=�������� �����k�~�;���b�~�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!��� �P��������@u��!�%��8� ���!������������&�@H���������� ������������C�=������� ������k�t�;���b�t�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!��� �P��������@u����%��8� ���!������������&�@H���A������ �����������8C�=����G���� �����k�t�;���b�~�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!���P ���������@u����%��8� ���!������������&�@H���������� ���������������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������8��K����!�����!��!������P�� ����%�$�����������!���� �����������%��8����!� ����������������������������������n���������!����� ������'#������������������H�������V O!������$������������!��������8��K����!�����!��!������� �P

��%�$��������H�������VV (����8��K���!�����!��!������� ���%�$�������L�$�����������

�!���� �����������%��8����!� �����������������������H�������VVV (���� 8��K��� !����� !��!������� ���%� $�������L� �!���� ��L� ��

���������������������������������!� �����H�������VW (���� 8��K���!�����!��!������� ���%� $�������L� ������ �P

��� �!������ ��L� �� ������ �������� ����� ��������� ��� ��!� ����L��"��������������������

Page 160: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

158

Глава V

Урок 5.4. Взаимное расположение графиков линейных функцийC���)���'1� �������(���� 8��K���!����%L� $������%�������������y = kx + :���!���� ��������!����������F�%�!����%���������������������������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$����P�����������!��������������L�����������������P���������� �������� �E�������� ���"����1 @!���� ��� �$�������!�� ����P����8��K����� ���%����K�����%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��� ���������"���8�

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1� ���� ��!� ������ ����� �P���L������%������"����L�� ���� ��������8��!�!���E������8��!!����!� ������������%�$����������N��!�!��!����� �&�����$���������!���������"�������������8�� ������O� ����&���!��� � ����L�!������&M��������!���&M���!���������R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&��"��!���� ������$�����P���!� �������8��K����� ���%����K�����%������������� �k���b��=������&����M��P��!��������������$��������� ������i ���"Q�������"����!����������!���M�&����!�&������!��8����L����������"��� ��A������������M�����B����)��������#�> ��*���1� E��� �!���� ���� �$������!� ������� 8��K����� �P��%�����K�����%\

, ��!����������� ���������$������L�������������"����L���8��"���!����� �������M���������"����� ����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�, ���8�L���"��8��K����������� ���%����K�����%�"� ��!��� P � ����L�����8 �������FKK��������� ����"���������

]C� y x= +15

36 ���y = 5x�f�)���X����� k k1 2

15

35� � � . b1 = b2�b�)��X����L���!������ �����

8��K������!���&�

"C� y x= −10

251��� y x= +

12

30

3

4��X����� k k1 2

10

25

2

5

12

30� � � � ��X����L���������� �����8��P

K����!��� � ����

�C� y x= +7

96 ��� y x= +

9

76 ��X����� k k1 2

7

9

9

7= ≠ = ��X����L���F��� �����8��K����!���P

���&�������1�]C���!���&^�"C�!��� � ���^��C�!������&��

!*��M�������5�]C�, ���8�L���"��!������y�b��x���y�b��x�f�'�"� �[�C����� � ���L���������!����y = 3x���y = 3x�f�'^�

Глава V

166

5.4. Взаимное расположение графиков линейных функций

Деятельность

�5 B�������� � ��� ��� ������ �� ��������� ������/����� �� ��=� ��� ��-

������%�������������� ��� ��� ��������>��������J������>������� �

����>����������>����������������������������>�=�����%

�5 "�����������������������/���� ������������������������������������

��������y�#�6x �y�#�6x�L�:���y #�6x +�:%�@����������=����������������-

/����� �� ��W ����� � ������ ���� ����������� � ������� ���%� B���������

���������������������� ��=%

�5 "�����������������������/���� ������������������������������������

��������y�#�+-x�L�6���y�#�$x�L�6%�@����������=����������������/�������

��W ����� ���������������������� �����������%�.�����������������!�-

���������k.

�5 "�����������������������/���� ������������������������������������

��������y�#�' Px�+�6 � y x=

− 4

2%�@����������=����������������/�������

��W ����� ���������������������� �����������%

B����/���$����/��� ��� ��= ��������=����������y�#�k1x�L�b

1���y�#�k

2x�L�b

2O

�5�"���k1���k

2��� ����y�#�k

1x�L�b

1���y�#�k

2x�L�b

2������������ �������������%

�5�"���k1�#�k

2 �b

1�#�b

2��� ����y�#�k

1x�L�b

1���y�#�k

2x�L�b

2����������%

�5�"���k1�#�k

2 �b

1���b

2��� ����y�#�k

1x�L�b

1���y�#�k

2x�L�b

2� � ��� �����������%

������

Page 161: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

159

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

�C�������� ����y�b�U_�x���y = 9x + 5.�C�(��!�������F���8��K���������$�����L�������!����%�K���� ��b�b�;L� ���������%�K���� ��b = 5. �C�, ���8�L���"��!������y�b��x�f�;L����y�b�U_�x�f�;L��"� �[�C����� � �����F���!����������$�����L�!�������������������������$��������b. �C�, �����!���������������L���!�����L���!����y = 8x�f�;L����y�b�U_7x�f�;L���C�, �������!������������L���!�����L���!����y�b�U_�x�f�;L����y�b�U_�x�f�;L�������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������"��!���� ������$�����8����!� �������8��K����� ���%����K�����%������������n�@!���� ����

!����� ������'#������������������H�������V O!������ $���������� !��� �!���� ����� �$������!� ������� 8��P

K����� ����%�����K�����%�H�������VV ���� �!���� ����� �$������!� ������� 8��K����� ���%���� K�����%�

���!�������!���� G������A�"���H�������VVV (������ ���� �!���� ��� �$������!� ������� 8��K����� ���%����

K������%�H�������VW (������ ���� �!���� ��� �$������!� ������� 8��K����� ���%����

K������%����"�����������%�����

Урок 5.5. Расстояние, время, скорость

C���)���1��������=�������������� ���%��%�K���P����$��������������� ���%�!��%�����8��!��������������!���!���� ���%����������������������P������$����������������!������%�!��I� ��&�����!������%�!��D����8�%��E�������� ���"����1 =������� �� ����� ���%��%�K�������� $�������� ������ � ���%� !��%�����8��!���������������!���!���� ���%���������������������������K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1���"���L���"����� ��L��"�����������OE?�

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1� (� !���M�&� ���!�&���� ����M���� ������������ ��������� ��������P��8��!������ ���%��8�����������!��$���������������

!����������=� �A���&������������M������!��L�!��%�������!��$���L��������L�$���������������F��!��L���������!��$����*�������$�!�������!�������� �����"���������������M�����K���� ��$������������������������v�����������t.

Глава V

168

5.5. Расстояние, время, скорость

s = υ t Деятельность

�5 "��������/��� ��������������u���X����Y������Z��� ����%�[���������-

�����������������������������t��������

�5 S����� ���� ��� Y���� ��� Z��� ������ ���������� s� (��*%� ������ ��������

��/���������������������� ����������������������.���Q����������%

Баку Мингячевирυ км час( / )

t час( )

s ( )км

�5 B������� �� ����>��� !���� �������

������ ���� s� ���� t� #� ' P� ���)� t� #� 6� ���)�

t�#�6 P����%

�5 ������� ��� ������� �s���t�������� ����-

/��� ������ ����!��=������ ���J��Q��� �

� ��� ���������� ������� �������������

C������������������\���=����� ����� �������������������������������

��������������������=�t���u%�

C����������������������s���������������t�(���u*�������� �/��#���������>����������P������������� �����s(t*�(�����O�!���!*%� s(t*�#�uE�Ew

Упражнения

�5.����������:�������/�������������/��� �������������������� %�]������ �

������� ��������������������%�

0

1

2

3

4

5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 s ( )км

6

t ( )час

�����

K*��[��������������������=��������������������$������^�����������J

�����������=������������

�*�[�������������������������=���������Q�����������������

�*�[����������������������������Q�����������������

Page 162: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

160

Глава V

(�8� ����F�%�K���� �L��!���� ������������s�!���$��������$����������������t. @"��������$����������������������L������&�����������.B����)��������#�>��*���1 ����$������������������!���� ���%������������������� !��� F��� ����� ��������� ����$��� $�������� �������� �� �������� �� ����� ���%��%�K������\

(��� �&�!����������� ��������L�$�����L�������������"����L���!� ��&����8��!!����,��������$�����������������8��"���!����� �����!���M�&����!�&����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5 *����������$�"���G��8��K���������������"����������"� ���O!� �$���������L������������!���.

]C�X��!���������������"��!����� ���;L��������"� ��U��7;����"C�,�������������"���������"� ��!����� ���);�����C�,�������������"����� �#����L��������"� ��U�������8C��,�������������"��!����� ��);����$��#������( ������ ���L��������������

���"���u1 b��);�[�#�b�#;���o��,���������������"� ��!����� ��);����$���������( ������ ���L�������������������"� ��u2�b��);�[���b�-;���o��

�C�>��"��!���� ����������������L��������"� ��U�;L'������C���� �� �������� ������ ���"��� ��� � �� ';� ��o�� B��� ������ 8��K����

B��;�U��);C�[���b�';���o�C�>������������"� ��U�);���o��B���������8��K���[�B��;�U��);�C�[���b�);���o�C��

!*��M�������5]C��,���8�L����������"� ������ ��L�

�����%�"� �������8��'������"C��>����"� ��>����������!����� ��';�

��L��������"� ��=�U��';�����C��=����� �������������������������

�����"� ����"� ��';;����8C��, ������������������������"� ��>���$�� ����������L�!��%����������$��'�

����L����'[�u`�b��';�[�'�b�+;���o��

0

1

2

3

4

5

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 s ( )км

6

t ( )час

0 1 2 3 4 5 6

s ( )км

t ( )час100

200

300

400

500

600

A

B

Page 163: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

161

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

�C��, ������������������������"� ��=���$�� ����������L�!��%����������$��'�����L����'[�ua�b��';�[�'�b��;���o��

����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������� ���%��%�$����������P���������������������������8�������������������K���� �������������n�=��������

!����� ������'#������������������H�������V O!������$����������������������������� ���%��%�K�������$���P

�������!��%�����8��!�������������H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� ���������� �� ����� ���%��%�

K�������$���������!��%�����8��!�������������H�������VVV (������ ���� �������� �� ����� ���%��%� K������� $��������

!��%�������8��!�������������H�������VW (������ ���� �������� �� ����� ���%��%� K������� $��������

!��%�������8��!����������������"�����������%�����

Урок 5.6. Измерение температуры C���)���'1��������=�������������� ���%��%�K����P���� $��������������� ���%�!��%�����8��!��������������� !��� !���� ���%���� ������������ ������P������$����������������!������%�!��I� ��&�����!������%�!��D����8�%�.#������������������������$������������������%���P �������$�����%������8�&�E�����������"����1�C��=������� �� ����� ���%��%� K������� $��������

������� ��!������%� !�� I� ��&� �� ��!������%�!��D����8�%��

�C�������������!��������$�8�������I� ������8��P����D����8�%�����"�����

K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L��������L��"�������������OE?B��� �����1�O�K���������������

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1� H��M���� ��!� ��&� ���� ����L� ���P��&������"������?���!������������������������� �����L� � ����P �����L� ��$����� �� !���M����� �$��������� !��� !���M�� ��$ �������������������$� ����$�!����&�����������(�!���M�&����!�&������8��"���!����� ���� ��$���� ��������� �������L� ��$������ � �$������������ ��!�������� (�!������M�8�����������M���������"��������$��������"����������� �!�������$����������

Глава V

170

5.6. Измерение температуры

Цельсий ( _ C ), Фаренгейт ( _ F )Деятельность

�5 ������� ���������� ����� ��� � ������������� S�����-/��� ������������������������������!��=���������%

�5 ���������������������������� ��������� ��������5 ���� ������������������������������� �������-

�����`����������������������������������� ����-������� ����������� $a_-[ � ��������� !��� ��Q�� ���-��������������������

�5 ��������� ��� ������������������=��

b���������� ����������� ������ ��� ����������=�c���� �(_-[* ��������d�-

��������� (_-e*%� [� ��� ��/��� �������������� ��� c������ �� d���������� ���-

���/���������������:%�Z�/������� �!���������������������� �������� ��O�

�����������������������c���� �����������d�������������������� ����-

����F C= ⋅ +9

532 ������������������������d��������������������c���� �+�

������� C F= ⋅ −( )5

932 .

'�{(������0|{��������������������!���#���&������������}��(������������'_�-<�#�$6_-e��:''_�<�#�6:6_-e��~��������������!�}��(����)�%�������1_-e�

1

180�����&�180_-e�#�6:6_-e�+�$6_-e

N������� ����� ����������� ������ �� ���#�������� ��������� ���!T�� |����� }��(����)!��� �������� �� ���-� (���� ������ ����������������)�����}��(������

Образец�V�"����������6P_-[�����������d���������%

3��4��]����������������F C= ⋅ +9

532 �� ����������c���� ���d��������O�

������ �[�#�6P � F = ⋅ + =9

525 32 77. � � � � � � � � � �����1�77_-e%

�V�"����������7hie���c�����%

3��4��]��������� ������� C F= ⋅ −( )5

932 � � � ��������� d���������� ��

c�����O������� �e�#�68 � C = ⋅ −( ) =5

968 32 20.

� � �� �����1�20_-C%�

Упражнения�5��]������ ������������������������������������'_�<�#�$6_-e)� $j_-<�#�ah 7_-e�

��:''_-<�#�6:6_-e.

0° 32 F°

37 C

C

° 98,6°

100 C° 212 F

F

°Температуракипения воды

Температуратела человекаТемпература

замерзания воды

������

Page 164: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

162

Глава V

��R��������"�����1�H��� ����G�����������8�������I� ������D����8�%���(��P�������!��������8��"���!����� �����!���M�&����!�&����%�!��$��������*�����������$�"���G���������%���������� ���$����������!�������!��I� ��&���!��D����8�%��B����)��������#�>��*���1�E�������������$���������� ���%��%�K�������$����P������������ �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%�\

X��������$����"�������8��"�����!� �������!������ ��8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�, ���8�L���"���!���� ����� �������������8�������!��D�����P8�%���!� �$����K���� �� F= C+32

9

5� .

]C�j�b�);�L� F= C+32= F9

5

9

560 32 140⋅ ⋅ + = °

�C�j�b�'��L� F= C+32= F9

5

9

553 32 127 4⋅ ⋅ + = °,

�C�j�b��-�L� F= C+32= F9

5

9

518 32 64 4⋅ ⋅ + = °,

!*��M�������5�, ���8�L���"���!���� ����� �������������8�������!��I� ��&�

�!� �$����K���� �� C = ⋅ −5

932(F ) .

]C�¢�b�#��¢L� C= F 32)= C5

9

5

941 32 5⋅ − ⋅ − = °( ( ) .

8C�¢�b��#7�¢L� C= F 32)= C5

9

5

9149 32 65⋅ − ⋅ − = °( ( )

�C�¢�b���7�¢L� C= F 32)= C5

9

5

9239 32 115⋅ − ⋅ − = °( ( ) .

!*��M�������5�, ����!� ������!��������%���"������������!�������������������M����$��������"������K������&�����L�!�������%���!�������$�����&����$P����� ������� !����� @!���� ���� ��!������L� !��� �����%� $�����&�� �������L�! �������L� ������!����L�8��" �%L��� �%"� ����������������!�����������������8�������I� ������D����8�%�������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������� ���%��%�$�����������P����� �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��������������F�%�$������������������K���� ���(�!���M�&�������P�%�����±[oo�����]��������P�����²������������� �� �%��!�������8������I� ������8������D����8�%�������"�����O!� ��$����%����±[oo����¯�²³��¦����²o���o�]²¯]��������¯]o´µ�¯]o¢̀ ¶�l·���r`lV�£�·`a¶V�£���¸�L� �������"������K������&���N�"��F ��D����8�%�. ����������n�=��������!����� ������'#������������������H�������V O!������$����������������������������� ���%��%�K�������$����P

������������� �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��*�� ����� !��������� ��!������� �$� 8������� I� ���� �� 8������D�����8�%��������"����

Page 165: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

163

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!�������������������� ���%��%�K�������$����������������� �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� !�������� ��!������� �$� 8�������I� �������8������D����8�%�L������"����

H�������VVV (������ ������������������� ���%��%�K�������$�����������P������ ������%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��(������ ����!����������!��������$�8�������I� ������8������D�����8�%�L������"����

H�������VW @"��������L���������������� ���%��%�K�������$����������������� ������%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��@"Q����L�!�������� ��!��������$� 8�������I� ������ 8������D�P����8�%�L������"����

Урок 5.7. Линейные уравнения с двумя переменными и его график

C���)���'1��������(��� ��������������"�P����%� ������%� ���%���� ���������� � �� ���������� ���%������������%��������!������������������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + bL��!���� ��������!����������F�%�!����%��������������������E�����������"����1�C��(��� ��� ���%���������������������!��������P

��������!���� ���!�����8����A���%��C��(����8��K��� ���%��8�������������������!�P

�����������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������

N�������#�*�����'1�H��� ��!����� ������������ ���!���M�&����!�&�������F�������!���������$ ��������������%L�����������$������ ���������!������PM����� B����M���� �� ���������&� ���$����8�� �8�����8�L�������A����8�L�������������8�L������� �L��� ���8�L��� �� �L�����������$����8��!���$���������� �C��=�� ���A���&������������M����������������������L� !��������� �"�������� !��%� ���A�����F��� ����������%L� �� ����� �� ������ ����$�������� �������=������ ����L�!�����G���%������"�����L� ���%����K���������G���������K����P ���=����$� �������!� ����������� ��������M����!�� ����&��$�K������ �� ���%��%�K������� ���%����������������@!������� ������ ������!������������F���������P�����,�G���!���� ����� ���%��8���������������������!�����������

Глава V

172

5.7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

�"�G��#�>��Деятельность

�5 "�������������/��������������������� �������������������y�#�+-$x�L�6 �������� $x%� ������ ���������� ��� ������� [������ ���������=� ��-

���������!���������������5 ��������������������������$x�L�y�#�6��`�����!��������������x�#�' ������-

���������������������^�����y�#�+-R ����������������������������� �"��

I��������������ax�L�by�#�c �����������a �b�����+� � ��� �����������������K��x���y – ��������������������� �����>�'���������������� ������������%�.������� �������������6x�+�$y�#�P)�a�#�6 �b�#�+-$ �c�#�P%�H�������������������� ���������������������� ����� �������=�������� ������� � ����>���� !��� ���������� �� ������� ���������%� I������� � ����>�����������������/��������Q���� ���������� ���������������������� ��%���A�1�������̀ �������������������/�������������������������������������-

���������������/����� ������� ����������������������%����A�1���H���̀ ��� �� ���������� ��/���� �������� ���������� ����/���� ���

����������������������/����� ������������� ������� ���������������������������%

Образец

�V�B�����������Px�+�6y�#�h����������������������������x.

3��4�]����/����������������������������PxO�5x�+�6y�+�Px�#�h�+�Px.

��/����������������������+-6y�#�h�+�Px�����������(+-6*O�y�#�+-R�L�6 Px%�o������������������������/������������".

[�����������������:���6 ��������� �Px�+�6y�#�h���y�#�+-R�L�6 Px������������%

�V�B�����������Px�+�6y�#�h������������x���������������y.

3��4�����/��������������������������������6yO�5x�+�6y�L�6y�#�h�L�6�����/����������������������Px�#�h�L�6y������������PO�

x y=

+8 2

5���� x y

= +8

5

2

5�+�!����������������������/�����"�������.

[�����������������:���6 ��������� �Px�+�6y�#�h��� x y= +

8

5

2

5������������%�

�V����� ���������� � ��� ���������������� �Px�+�6y�#�h�3��4�`���������������Px�+�6y�#�h����� ���x�#�: ����Pp:�+�6y�#�h���y�#�+-: P%�[���������� ������(:)�+: P*�+����������������� �Px�+�6y�#�h%"����������/�������������"��������������������J������������ ������� ������(x)�y* �����������>� ����������������������������� � � ��� ���������������� %

25= -

z

12 - = 0a

5: = 7k

2+ 3 = 5

x

y - 21 = 9

22:| | = 4x

УРАВНЕНИЕ

Page 166: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

164

Глава V

��R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&��� ���%�����������������8����A����L�$�!�������8����������"M�%�K���� �����$Q������!�����������P� ��������������%��������%���H��� ������������������������������ �����P���� �������. *�� ���&M���F�!����!� ��������������� ����L�!�����G����������"����������F���� ���� ������#�8��!!���E������8��!!����!� ����������$�$�����%L�!����P�G����������� ������#�!�����F�%����� ������"����&������ ����!����"�����R��������"�����1�H��� ����G��"Q���������8��K���� ���%��%�K����������8��!� �����������$���� �������B����)��������#�>��*���1�E������ ���� ���%���������������������!������P�����L��������������8����A�����������������8��8��K��\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����!������ ����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=������������u + v�b�#�]C�����$���!��������&�u�����$�v:

3u b�#�U�vL�u v=

−4

3 i ��u�b��L��� 2

4

3=

− v L�v�b�U_��"C�����$���!��������&�v�����$�u: v�b�#�U��u. i ��u�b��L���v�b�U_��� �����1v�b�U_��!*��M�������G5�i ��!����B�^��C��� ������A�����������������ax + 2y�b�-L�$�!����$��������x�b�����y�b����������������L��������!���� �����FKK�������: a�g���f���g���b�-�� X����L� ���%����������������������[�a�b����X�!�A���$��������x�b�'������������[� ��g�'�f��y�b�-L�y�b�U_�L'�� � � � � � � �����1 a�b��L�Bx; yC�b�B'^�U_�L'C��!*��M��������5�H��M������ ������������� ��� ����L���8���������������P��%�������� �&����A���������� ����� ���%������������%��������!���������������������"�������L������� ����!��%���������������L����8��K���������������P��%�!������&����F�%����%��������������C���"C�F�8���!�����������8��"���!����������$����8��!!���� ��!������]C��X�������������������`BU�^��C�����������$�!����&�������"�����������P

��������x�U y�b�U_'^�U_x + 10y�b���^���x + 21y�b�������"������L�!����� ���� �������>�8��K�����F���!������

��g�BU�C�U���b�U_'�B!����� ���C^�U_BU�C�f��;�g���b����B!����� ���C�^���g�BU�C�f���g���b����B!����� ���C��X����L�8��K����F�����������%�!������&���������̀ BU�^��C�"C�, ���!���� ���������L�����M�%����8��K����������G����������%[

;L�x + 3y�b��'L�^�UEY + 4y�b��7^�'x�U��y�b�U_�;���������8��K�����@!���� �&��������������������!���������[�B'^�C�

����?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ��� ����� ���%��8������������� � ������ ���$������� �� ����������� �8�� ��A������ iMG� ��$� ��!�������!��%�����������8��K���� ���%��8���������������8��!������������������n�(��� ����n����������8��K���!����� ������'#������������������H�������V @!���� ��� ���%���������������������!����������L����$����������8��

��A���X�����������!��������8��K���� ���%��8�������������������!�������������

Page 167: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

165

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

H�������VV @!���� �������� ��� ���%���������������������!����������L����$�P�������������$��������!��������&�����$����8�&�=�!����� �����������!������8��K��� ���%��8�������������������!�����������

H�������VVV (������ �����!���� ��� ���%���������������������!��������������8����A����L��������������!��������&�����$����8�&�(������ ��������8��K��� ���%��8�������������������!�����������

H�������VW (������ �����!���� ��� ���%���������������������!��������������8����A����L�����������"���������������!��������&�����$����8�&�(����8��K��� ���%��8�������������������!��������������"Q������P��A����������� ���%�����������������

Урок 5.8. Система линейных уравнений с двумя переменными и его решение графическим способом

C���)���1� ������� (��� ��� �� �������� � "�P����%� ������%� ���%���� ���������� � �� ���������� ���%������������%��������!�����������E�����������"����1(��� �������� ���%������������%� � ������ !����������� �� 8��K�������!���"�����������G���A�����K��������'1��� �������L���8��!!�������!����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �� ���������"����8�L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� (�8 ���� ���� ����L�������%� �� ���"����L� ����� 8��K���� ���%�������������%� � ������ !����������� �� �!���� �&��

������������������!�����������>������������������������M�������!����� ��P����F�%�������"����!��������R��������"�����5�H��� ��������!����������� ���%������������%��������!�������������(�����������M������������������A�������������$����������!� �������8��K����� ���%������������%��������!������������, �������8�� �P������$Q������!����������A�������FKK�������� ���%������������%��������!������������������"Q��������������!� �$�������$����������!�&����

B����)��������#�>��*���1�E�����A�&��8��K�������!��"�������� ����%P������������%��������!����������\

(��� �&�!����������� ���������������������"�����$���������!� ��&����!������ ��8��!!����

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

175

5.8. Система линейных уравнений с двумяпеременными и её решение графическим способом

Графический способДеятельность�5 �� ������������������������������������������!��������x�"�y�#�$%�

&������������������!����������'�������()*�$,*�($*�),*�(/*�6,*�(6*�/,8

�5 �� ������������������������������������������!��������x�;�y�#�/%�

<����>����������()*�$,*�($*�),*�(/*�6,*�(6*�/,���?������������������!��������

x�;�y�#�/8�@'��?�������A�������%

�5 B�����C���D�E���!������C�x�"�y�#�$���x�;�y�#�/%�F���G����������G���'�

������ ��� �����������%� <��� ��� ������ ��>���� ����G������ H��C�

�����8�@'��?�������A���������I�H��C����������%�

J����������'�?���'������G�

a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

+ =+ =

⎧⎨⎩

���>'������������>����>S

�'g��������>�)���*������'�%�KG����a1��b

1��c

1��a

2��b

2��c

2�;���HEE�L����'��

�x�����;���������'�%

K���������'�������(x*�y,���I��������I�!��������������'���������������-

���������������>'�������������H��C�������'%�B�G��� ������������'������-

��������?G������A�����������G��>����������D�����!������%�B�������!�������M

������G�������'����D!�����G����������A������?������������� �����G�!D���

G�!D!��D�E����!������C�������'�����C�'��!������C���G�!�����������'���

��?����D!�����G����������A������?������������� �����G�!D���G�!D!N�����'��

��I�����������������I����������'����I������G��%

Page 168: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

166

Глава V

E�#���)����#��#����'��)����1������!� �������*��M����>��%�%�������M������ ����!����������������$�������%�!������� ��"���������������J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1� O��8��� ���M���L� !�����������������!������A���%���������$���������%�����L��� �&�����������L����F�� �� �� �� �&�� ��A������ ����� �� �� ���� H��� �� �� ���� ����������������������������M���������L������A����������������"���� ���������!������P� L���������� ������A�����������8���$���������%L������M�����������!*��M�������5�"C��������!������� �u�b��L�v�b�U_����������&M���������

�"�������������������[�v uu v+ =+ =

⎧⎨⎩

2 5

2 1L�

− = ⋅ =+ ⋅ − =

⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨⎩

1 2 3 5

3 2 1 1

5 5

1 1

,

( ).

?����������"���������������� ���%���!����%������!� ������������������� �L�!����B�^�U_�C��� ������A������$������%������J����'%��#����'����)������������������1�H��� ����G����M��������P������ $������� B��! ������C��O�! �������U����$�������!��� �����!� ������8����P$� ����B������$��������� ��%����$����������$� ��C�!*��M�������5�]C�, ����� ���������� ���%������������%��������!������P

����L���A�����������%��� ����x�b�'L�y�b�U_���������a x b y ca x b y c

1 1 1

2 2 2

+ =+ =

⎧⎨⎩

� ��FKK���P

����a1L�b1���a2L�b2���"���&��!���$�� ������$��������x b�'L�y�b�U_��$�!����&������������

*�!�����[�2 4

3

2 5 4 1

5 3 1

6

2

1

2

1

2

1

2

x y cx y c

cc

cc

+ =+ =

⎧⎨⎩

⇒⋅ + ⋅ − =+ ⋅ − =

⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨⎩

( )

( ).

�� ���1����2�$�!��������������2 4

3

1

2

x y cx y c

+ =+ =

⎧⎨⎩

������������2 4 6

3 2

x yx y

+ =+ =

⎧⎨⎩

.

?������"��$��L�����%���������%L���A�����������%��� ����!����x�b�'L�y�b�U_�L�

"����������2 4 6

3 2

x yx y

+ =+ =

⎧⎨⎩

.!*��M������ 5�, ����A���������� ���%������������%��������!�����������8���K�������!��"����!� �$������ ���������"���8��8C�@!���� ������������������!����������8��K������"����

��������%������x y

x y+ =+ =

⎧⎨⎩

3 6

2 7�������sv���s���, ��F�8�L�

��"���!���� ������������������!�������������8��K������"������������%����&�@uL�"�����y�b�;L�����"���!����P �������������������!����������8��K������"����������P��%����&�s��"�����x = 0.=�����������x + 3y�b�)�� ��x�b�;L���y�b��L���� ��y�b�;L���x = 6.X����L�8��K�������������x + 3y�b�)�!������������&�@u��������B)^�;CL������&�@H��������B;^��C��i ����������F������L�!� �����8��K�������������x + 3y = 6.=������������x + y�b�+�� ��x�b�;L���y�b�+L���� ��y�b�;L���x�b��L'�

0 1 3

1

7

6

x

y

Page 169: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

167

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

X����L�8��K��������������x + y�b�+�!������������&�@u��������B�L'^�;CL������&�@H��������B;^�+C��i ����������F������L�!� �����8��K��������������x + y = 7. E����������$�������L����������������!����������!������U�!������� �B�^��C��

N�����#�1 x y

x y+ =+ =

⎧⎨⎩

⇒+ ⋅ =⋅ + =

⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨⎩

3 6

2 7

3 3 1 6

2 3 7 7

6 6

7 7 �����18C�B�^��C�

!*��M��������5�, ���8�L���"���!���� ��L��� ���������%����������������%L����

!�������!��������8��K���L������!�������L��������$�� ���%�aa

bb

aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

≠ = ≠, L���aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

� � ��" &�����

�C�2 11 2

6 22 4

x yy x= −= −

⎧⎨⎩

,

.�

2 2 11

4 6 22

x yx y+ =+ =

⎧⎨⎩

,

.

X����a1�b��L�b1 =��L�?1�b������a2�b�#L�b2�b�)L�?2�b�����?�������� ����� 2

4

2

6≠ ��" &����L���

��F�%��������������%��M������������������A����.!*��M����� ���5� @!���� ��� ���������� ����� !���������� 8��K���� ���������� 4x + y�b�+����&�sv��E��������� &"�%�����L� ���M�%�������sv�Bx^�;C����������$��������y�b�;������������[�#x�f�;�b�+L�x�b��L+'��X����L����A����������L��������&�����������������#x + y�b�+���������� ����������������������L�U�!����B�L+'^�;C��, ����� ���������8������������������������ax + by = ?���$�����!���$�� �����a���b:U_�x + 3y = ?�����������!����B�L+'^�;C������������L��!����� ���?: ?�b�U_��g��L+'�f��g�;�b�U_�L'��X����L�����������������"����U_�x + 3y�b�U_�L'�!*��M����� ����� @!���� ��� ���������� ����� !���������� 8��K���� ���������� 5x�U�+y�b��#����&�@H��E��������� &"�%�����L� ���M�%�������@H�B;^�yC����������$��������x�b�;�������������'x�U+y�b��#[�#�g�;�U�+y�b��#L�y�b�U���X����L���A���������L��������&�����������������'x�U�+y�b��#���������� ���������������������L� U�!����B;^�U_�C�, ����� ���������8������������������������ax + by = ?���$��G��!���$�� ���� a���b:��������!����B;^�U_�C���F�����������L��!���� ���?4 4x�f�BU�Cy = ?��B;^�U_�C��?�b�#�g�;�f�BU_�Cg�BU_�C�b�)��X����L�����������������"����#x�U��y = 6.!*��M��������5�]C�, ���8�L���"��������L������&��"��$�������������Ux�U�y = 4 �����������P �"�� ���%�������������������������$������L�"� ����8�������

���A����L��� �����" &������ �����aa

bb

1

2

1

2

≠ .

a1�b�U_����b1b�U_���, ���" &������−

≠−1 1

2 2a b ��� ����"����a2�®�b2.

X����L������������������������8 ����L���!�����L� ���&M����"��$��[��x + 3y�b�U_��"C� , �� �8�L� ��"�� �� ����L� �����&� �"��$��� ���������� U_x� U� y� b� #� ����� � ��P���P �"�� ���%�������������������������$������L�"� ��"������������������

��A���%L� �� ���� �" &����� � �����aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

� � �� , �� �" &������−

=−

=1 1 4

2 2 2a b c

�� ����"���a2 = b2 = ?2�[�BU_#C��X����L������������������������8 ����L���!�����L� ���&M����"��$����x + 3y�b�U_�������F������L���%��� ���L���$�������

Page 170: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

168

Глава V

�C�, ���8�L���"��������L������&��"��$�������������U_�x�U�y�b�#��������������P �"�� ���%�������������������������$������L����"� ����A���%L��� ������" &����P

��� �����aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

= ≠ ��, ���" &������−

=−

≠1 1 4

2 2 2a b c �� ����"�� a2 = b2�®�?2�[�BU#C��

X����L������������������������8 ����L���!�����L� ���&M����"��$���'x + 5y = 1.

,�%��� ���L�!���F��� − =−

≠1

5

1

5

4

1.

!*��M��������5�8C�, ���8�L���"�����������������%����"� �������%L��� ����

�" &������ �����aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

= ≠ ��=������9 3 0

8 10

y xax y

− =− = −

⎧⎨⎩

9

8

3 0

10−=−

≠−a

��� a � 22

3 .

�����1�8C� a � 22

3 .

!*��M��������5]C�, ���8�L���"�����������������%�"� ��"�������������P

�����������%L��� �����" &������ �����aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

� � ��, ����������%�5 3 2

10 4

x yx ky+ =− =

⎧⎨⎩

5

10

3 2

4=−

=k

. 5

10

3=−k

���k�b�U_)������������!�����!�[� 3 2

4−=

k���k�b�U_)�

�����1�]C�k�b�U_)�8C�, ���8�L���"�����������������%�"� ��"�����������������������%L��� �P

��� �" &����� � �����aa

bb

cc

1

2

1

2

1

2

� � �� =� �����9 2

0 5 7 2 1 6

y kxx y+ =+ =

⎧⎨⎩ , , ,

9

7 2 0 5

2

1 6, , ,� �

kL�

9

7 2 0 5, ,�

k

��k�b�;L)�'��

����������!�����!�: k

0 5

2

1 6, ,� ���k�b�;L)�'��

�����18C�k�b�;L)�'��!*��M����������]C�, ���8�L���"�����������������%�"� ���8�������������L�

�� ������" &������ �����aa

bb

1

2

1

2

≠ ��=������bx y

x y+ =− = −

⎧⎨⎩

8 12

18 3 1��� ����"��� b

18

8

3≠−

���

b�®�U_#-��X����L�� �����!������������b� &"����� �L�� ��������U_#-L����������������%�"������8���������A������� � � � � �����1 b�®�U_#-��"C�, ���8�L���"�����������������%�"� ���8�������������L��� �����" &�����

� �����aa

bb

1

2

1

2

≠ ��=������

7

15

4

512

3

81 2

x y

bx y

+ =

+ =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

,

, ;

��� ����"��� 7

15

4

5

3

8: :b ≠ ��� b ≠

7

32.�X��P

��L�� �����!������������b� &"����� �L�� ��������_b ≠7

32��������������P

��%�"������8���������A������� � � � � �����: b ≠7

32.

J����'%��#����'����)������������������1���A����������������%�8��PK��������!��"��L����M������ �������������������8��K��������� �����P��%�"����8�L���"��������!���� �����A������H��� ���� �����"Q�������L����8��PK�������%�!��"���A����������8������"�������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������8��K�������!��"����PA����� ����� ���%���� ��������%� � ������ !����������� �� !��"�� �!���� �������� �����������%�������

Page 171: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

169

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

����������n���A����

!����� ������'#������������������H�������V X��������� �� ��A����� 8��K������� !��"��� ����� ���%����

����������%��������!����������.H�������VV ��A���8��K�������!��"�������� ���%������������%��������

!�������������L����$������������!���� ������� ��������$���������A���%������.

H�������VVV ��A���8��K�������!��"�������� ���%������������%��������!�������������L� ������ ���� �!���� ��� �� ������ ��$���������A���%������.

H�������VW ��A���8��K�������!��"�������� ���%������������%��������!������������L� � �"���������� �!���� ��� �� ������ ��$���������A���%�����.

Урок 5.9. Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки

C���)���1� ������� (��� ��� �� �������� �"����%�������%� ���%��������������� ������������ ���%������������%��������!�����������E�������� ���"����1 *������ ��A����� ����� ���%���� ��������%� � ������ !������������ !��P"���!���������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�,�����������"���������� �P���� !����� ���� � !���M�&� ���!�&����� iP �� !�������� ��� �����M�%�� �������� ������� �����"������������$������8���%��������%��$���A������B��������$������������!��8������k�����������P��������CL����M������8���MG�"� �����8 �����!����P

�����$������L�������������� �������������!� ����������� ������ ���������"�����������A������������������%�!����!��������������R������� �"�����1� H��� �� ������� ��� �������� ���M���� ��A����� ����� ���%������������%�����������$��������������!����������B����)��������#�> ��*���1� E��� ��A���� ����� ���%���� ��������%� � ���������$��������������!��������\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�@"�$������������������������������%�8��������$�"L������%�U�����$����/����G ���8���%�!���������$�����������?�8������������!�����������

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

179

5.9. Решение системы линейных уравненийс двумя переменными способом подстановки

Деятельность

�5 B�������>��G���L!����'� x �#�x�� y �#�y�� �#�/�������������������G��'�������!�������� ����!����������G�!�����������'��%�<����!���������'����!����8�

yx xy

�5 @�>������ D���� � �� �I���� � �����'�������%�<����!���������'����!�������H������!��8

yx

�5 @�����'�������>�������D���� x��

�� y

��� �D���%�<����!��������

�'� ���!����8� U������� �������-�'��!����!�����H����!�������8�

y y

�5 @�>���������I����� ������G����������D���� %�K�� �������!�������

!�������%�F���G������>G����>����������������C�y.

�5 B��!�������>����������������C���>�� ������������������������!��-

���������������%�F���G������"��>����!�����D��!�������%�F�����>�� ����

����G����'�("*��,%�

�5 FIV��������������!�������>!����%�<����?����>����H���������I8

B����� �����������'�����C�'��!������C���G�!�����������'����������-����>!����*����*�)������#�%�U����I���G����������!�����������������G!-���C������G�����������N�5 @��G�����>�!������C��G���>���������'���'�?���������>�G�!D!�%��5 @'�?�����>�������C����������C���G��������������������!�������%�5 W� �����!�����������C����!�����������G��C����������C�����G���>�-

���������������C%�5 B��!�������>����������������C���G�����������������!����������(��

!���������DG���G�������������'�?�������>�G�!D!����������!�,�������G�����>������������C����������C%

�5 F�����>���'����������G����'%

Образец

�V�W� ����������!�!������C�3 6

2 3 11

x yx y+ =+ =

⎧⎨⎩

,������I�����G�������%

3��4�@��������!���������'�>�����������!��y�����>�xN�y�#�X�;�$x%�Y����'�?�����>�� ����������������������!�������N�6x�"�$(X�;�$x,�#�//%W� ��!����������CG���xN�6x�"�/Z�;�[x�#�//���%�%�x�#�/%B�G���������!�������>����������������C�x����'�?�����y�#�X�;�$x�����G����N�y�#�X�;�$�\�/�#�$%�]�����I�>����x�#�/���y�#�$%� � � � � � � � �����1�(/*�$,%N�����#�1�@������������������?����������������G��������!�(/*�$,����I�

!�������N�$\/�"�$�#�X���6\/�"�$\$�#�//%

Page 172: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

170

Глава V

������$�!��������������x + 3y�b�)L�����������������������U������������x + y = 7. x y

x y+ =+ =

⎧⎨⎩

3 6

2 7

, =�!����������������"�����������$�������$�����$�!�����������"����

�����������������[�x�b�)�U��y. �� g� B)�U��yC�f�y�b�+��E��������L�!� ��� ��� ���%��������������������������$���������������8����A�����!� ��������b����*�!�A���F��$���������������������&�M������������������[ x�b�)�U��y: x�b�)�U���g���b���

�����1�Bx; yC�b�B�^��C�

"C�?������!��"��L�3 2 2 4

3 3

3 2 2 4 2

2

x yy x

x yy x

xy

+ = ++ = +

⎧⎨⎩

⇒+ = +

=⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨⎩ �����1�Bx; yC�b�B�^��C�

!*��M�������5

8C�

2

3

5

43

5

6

7

86

x y

x y

− = −

+ =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

B�������������������������C

B������������������������-C⇒

− = −+ =

⎧⎨⎩

8 15 36

20 21 144

x yx y

=� !������ ���������� "� ����$��� ����$� �: x y=

−15 36

8�� Y�� ���������� !������� ���

���������������������": 2015 36

821 144⋅

−+ =

y y L�'B�'y�U��)C�f�#�y�b��--L�y = 4.

Y�� $�������� �� !������� �� ������&M��� ���� �� �������� x y=

−15 36

8:

x y=

−15 36

8= 3. �����1�Bx; yC�b�B�^�#C�

�C

2

5 31

10

7

64

m n

m n

+ =

− =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

B������������������������/C

B�����������������������$^C⇒

+ =− =

⎧⎨⎩

6 5 15

3 35 120

m nm n

=�!����������������n�����$�������$�m: n m=

−15 6

5��Y�����"��!����������������

�����������������n: 3 3515 6

5120m m

− ⋅−

= L��m�U�+B�'�U�)mC�b���;L�m = 5.

n m=

−=

− ⋅= −

15 6

5

15 6 5

53 �����1�Bm; nC�b�B'^�U_�C�

!*��M�������5

]C

x y x y

x y x y

+−

−=

++

−=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 38

3 411

B�����������������������_C

B�������������������������C⇒

+ − − =+ + − =

⎧⎨⎩

⇒3 2 48

4 3 132

(x y) (x y) ,

(x y) (x y)

⇒+ − + =+ + − =

⎧⎨⎩

⇒+ =+ =

⎧⎨⎩

⇒=3 3 2 2 48

4 4 3 3 132

5 48

7 132

4x y x yx y x y

x yx y

x, , 88 5

7 48 5 132

−− + =

⎧⎨⎩

yy y

,

( )

��A������������������L���%�����: y = 6. *��������!����8�����������[�x�b�#-�U�'�g�)�b��-�� � � � �����1�Bx; yC�b�B�-^�)C�

Page 173: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

171

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

"C�

x y x y

x y x y

+−

−=

−−

+= −

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

9 32

2

6

3 2

320

B������������������������CL

B�����������������������_C⇒

+ − + =− − − = −

⎧⎨⎩

⇒x y x y

x y x y3 3 18

2 6 4 120

,

⇒− =

− − = −⎧⎨⎩

4 2 18

4 5 120

y xx y

B�)������!������������CLB�)������!�����������C

⇒− =+ =

⎧⎨⎩

⇒= −

− + =⎧⎨⎩

2 9

4 5 120

2 9

4 2 9 5 120

y xx y

x yy y

,

( )

��A������������������L���%����y: y�b���L�x�b���g����U�7�b��'�� �����1�Bx; yC�b�B�'^���C�

8C�

1

22 1 2

1

43 7

1

52 3 1

( )

( ) ( )

a b b

a b

− − = −

− = − +

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

B������������������������C

B������������������������^C�

⇒− − = −− = − +

⎧⎨⎩

⇒− = −− =

⎧⎨⎩

⇒=

2 2 2 4

15 35 8 12 20

2 3 2

15 8 43

3

a b ba b

a ba b

a b, ,

−−

⋅−

− =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

2

153 2

28 43

b b

��A������������������[�#'b�U��;�U��)b�b�-)L�b = 4. a =⋅ −

=3 4 2

25 .

�����1�Ba; bC�b�B'^�#C�!*��M�������5

�C

y x x y

x y x y

−= −

+

+= +

+

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

3

21

7 3

5

5

31

3

4

B������������������������^C

B�������������������������C⇒

− = − −+ = + +

⎧⎨⎩

⇒5 15 10 14 6

4 20 12 3 9

y x x y,

x y x y

⇒− = −+ =

⎧⎨⎩

⇒= −− + =

⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨

x yx y

x yy y

xy

11 10

11 12

11 10

11 10 11 12

1

1

, , ,

⎩⎩ �����1�Bx; yC�b�B�^��C�

�C�

2 5

71

2 2

3

3

42

7 8

5

a b a b

a b a b

−− =

+

−+ =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

B�������������������������C

B������������������������^C⇒

− − = +− + = −

⎧⎨⎩

⇒6 15 21 14 14

5 15 40 28 32

a b a ba b a b

,

⇒+ = −− =

⎧⎨⎩

⇒⋅

++ = −

=+

⎨⎪8 29 21

23 17 40

817 40

2329 21

17 40

23

a ba b

b b

a b,

,⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒= −=

⎧⎨⎩

ba

1

1

,

�����1�Ba; bC�b�B�^�U_�C�!*��M������ 5�i ����A����������%��������������%����������������"��L���y = 0.

( ) ,

( )

( ) ,(

2 4 0 6 0

3 4 1 0 2 0

2 6

3 2

2− + ⋅ − =+ − ⋅ + =

⎧⎨⎩

⇒− == −

⎧⎨⎩

⇒−m x m

mx mm x

mx

mmm

xm

) ,⋅−

=

=−

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2

36

2

3

Page 174: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

172

Глава V

⇒− + =

=−

⎧⎨⎪

⎩⎪⇒

=−

=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4 2 18

2

3

1

4

22

3

m m

xm

m

x

, ,

�����1 m�b�U_;L�'^�Bx; yC�b�B 22

3; �;C�

+�//���������������"����1�H��M�%�������������$� �������"��������� �����������A����!���������p�'U-��H!���������p�7��������� �&��������8��!��P������������!������������ ��� ��������M�����H��M������ �"������$� �������"�������� �� ���� ����� ��A��� �!��������� p� �U#�� H��� �� ����� ��!� ��� ������$����������"����� ����!�������$�������J����'%��#����'����)������������������1���������������!��������L����M�%���� ����!�������!���!���� �����$������!��������%����FKK���������� � �� U�� ���8�%� !��������%�� ?��� ���� !��� F��� $���������� ���������� ��G�� ��� ����������"�L�����"� ���!���%�K������i ����FKK��������������%L������&M���������L�� ���������� ��U�L�����F��� ����� &"�&�!��������&�����������$��������$����8�&������?���� � ���������1� H��� �� �MG� ��$� !����������� �� �"�"M��� !��%������� ����A������������!�������������� ���%������������%�����������$������������������n���A����

!����� ������'#������������������

H�������V X�������������A���������� ���%��������������%��������!���P��������!��"���!���������

H�������VV��A�������� ���%������������%��������!�������������!��"���!��������L����$�������������A������������������%�����"��P�����������������

H�������VVV (������ ���� ��A��� ����� ���%���� ����������%� � ������ !���P��������!��"���!���������

H�������VW ��A�������� ���%������������%��������!�������������!��"���!��������L��!� �$������"����!��"��

Урок 5.10. Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения

C���)���1��������(��� ��������������"����%�������%� ���%��������������� ������������ ���%������������%��������!�����������E�����������"����1*��������A���������� ���%������������%��������!����P���������!��"���� 8�"�������8�� �������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��� ���������"���8�L��"�����������OE?

Page 175: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

173

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1�,�����������"����� �����P� ������$������L�����M����������L��������P��� "��� !����� ���� � !���M�&� ���!�&�����X������ ���"��$���!����������������������%�K������ �������8���������A��������B�������$���P���������!��8������k�������������������C��������!� ������ ���� ����� ���M���� � �����&��������������� B� �8�"�������C� ���%��������P����������������$��������X������ �A���&�������������M��������L������!���� ����������P��%�8���������������R������� �"�����1� H��� �� !����� ��� ���PM����� 8�������A���������� ����%���������P����%�����������$�������!��"���� 8�"�����P

��8�� ��������> �8�������"�����������M������������ �&���"��$���

B����)��������#�>��*���1�E�����A���!��"���� 8�"�������8�� ��������P���� ���%������������%�����������$������\

, ��!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� ����8��!!����� ��!������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�H��M������A�&�!����� ����&��������������%����� ��8��PK��������!��"�������� �������%�"���8�L���$����!��"��� ����������������������������$���&��������������!� ����������$� �����!*��M�������5�����$�����������������������������K�����ax + by = ?�!������������� ������[

]C�x yx y

x yx y

+ − =− = −

⎧⎨⎩

⇒+ =− = −

⎧⎨⎩

5 7 0

3 1

5 7

3 1

,

B�����������������������6�T⇒

+ =− + =

⎧⎨⎩

x yx y

5 7

3 1

�� ������������������ ������������������[�Bx + 5yC�f�BU_x + 3yC�b�+�f��L�y = 1.=!�A���$������������ &"����$���������%����������%����x:x + 5y�b�+L�x�f�'�g���b�+L�x = 2. �����1�Bx; yC�b�B�^��C�

"C� x yx y

x yx y

− − =+ + =

⎧⎨⎩

⇒− =+ = −

⎧⎨⎩

3 4 0

5 3 1 0

3 4

5 3 1

( ������������������[�Bx�U��yC�f�B'x + 3yC�b�#�f�BU_�CL�x�b�;L'�=!����!� ��������$��������"�������������x�U��y�b�#L���%����y[�;L'�U��y�b�#L�y = �1

1

6.

�����1�Bx; yC�b�B;L'^��11

6C�

Глава V

182

5.10. Решение системы линейных уравненийс двумя переменными способом сложения

Деятельность�5 �B������� �#�x�� �#�y� #�/����������������?������������G��'������-

�!����� >�� ���� ����C�'�� !��-

��������G�!�����������'��%�<-

����!���������'����!����8��

�5 � ����'�� ����� ������C��� ������� ���!�� �� ���!��

� �%�<����!���������'����!�������H������!��8

�5 U��?����D��������G���������� ��������̂ ���̂ ^^����G�������C�������'%�U��I�-

���� ����������������G�����'��D���%�_��!������>���-

����"8�

�5�����'�����������?����������� �D������������-

���!�����x%�<���!�����!�����

���� ���������� �8� K�� ����

������("*��,%

I II

III

II

B����� �����������'�����C�'��!������C���G�!�����������'���������>!-�����?���*�������M����%�C*�������M����������G����������G!���C������G�-����������N�5 `��������������!������C���HEE�L����'���I�C��G������C����������C�����-

����������������?�'��������������!�����������G'���������������������������G������������!�����?����%

�5 `������!��������������G�����'����������'�����HEE�L����'������'����������������������?�'��������������!��������!���?����������-�����������������!���������I�>�������I'���HEE�L����'��G��C��>�����-����'������������������?�'���������%�J������������C����!�����C�������'�!������C����G'����������������������%�

�5 W� �����!�����������C����!�����������G��C����������C�����G���>���-�������������C%

�5 CG������>����������������C���G�����������������H��C�?���������-��C����G����>�!������C�������'�!������C������G�����>������������C����������C%

�5 F�����>���'����������G����'%

Образец

�V�W� ����������!�!������C�3 2 6

2 11

x yx y+ =− =

⎧⎨⎩

,������I������?����%

3��4�@��������!����������HEE�L������������6������������!���������

?�� ;� /%� U��G���������� ����� �?G!�� ������!� �����D�� !�������� !���?����

��6����������!�������!����������HEE�L�������I!G��������;a6%�

3 2 6

2 11

x yx y+ =− =

⎧⎨⎩

,�(J���?����?G!��������!���6,

�#�3 2 6

4 2 22

x yx y+ =− =

⎧⎨⎩

,�(U��G'����������������������,�#� 7 28

4 2 22

xx y=− =

⎧⎨⎩

,

xy

=⋅ − =

⎧⎨⎩

4

4 4 2 22

,�#�

xy== −

⎧⎨⎩

4

3

,�� �����1�(b*�;a$,.

Page 176: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

174

Глава V

�C�x yx y

x yx y

− − =+ + =

⎧⎨⎩

⇒− =+ = −

⎧⎨⎩

3 4 0

5 3 1 0

3 4

5 3 1

N������������������������$T ⇒− − =

− = −⎧⎨⎩

12 11 1

12 13 25

x yx y

�� ������������������ ������������������[�BU_��x�U���yC�f�B��x�U���yC�b���f�BU_�'CL�y = 1.=!����!� ��������$��������y����������������x�U���y�f��'�b�;L���%����x:12x�U���g��f��'�b�;L�x�b�U_��� � � � � � �����1�Bx; yC�b�BU�^��C�!*��M����� ��5� i �� 8��K��� ���%��%� K������� y = kx+b� !������� ����$� �����

jBU_�7^���C���aB�^�U_7CL���������$�!����− + =

+ = −⎧⎨⎩

19 31

1 9

k bk b

,. O$�F�%��������������%�

��%����k ��b.

− + =+ = −

⎧⎨⎩

19 31

1 9

k bk b

, N�����������������������6�T⇒

− = −+ = −

⎧⎨⎩

19 31

9

k bk b

,

( ������������������[��;k�b�U_#;L�k�b�U_���U_��f�b�b�U_7L�b�b�U_+��( ������ ���L�����P������!����%L�!������M�%�����$������(���=����������y�b�U_�x�U�+�� ���x + y�b�U_+�

�����1 2x + y�b�U_+��!*��M�������5�(�8 ����� ���&L�8��K��� ���%��%�K�������!�����������@u��������B)^�;CL������@H�U��������B;^�U_�C��?�8�������������������������y = kx + b�$�!�A�������[

6 0

0 2

6 0

2

1

3

2

k bk b

k bb

k

b

+ =⋅ + = −

⎧⎨⎩

⇒+ == −

⎧⎨⎩

⇒=

= −

⎧⎨⎪

⎩⎪

, , ,

X����L�����������!����%����������y = 1

3x U���� �� 1

3x U�y = 2. �����1 1

3x U�y = 2.

!*��M����� ��5� ��"�� ��!���� ���������� !�����L� ������� ��� ������L� �!P���� �&�����������������!����������!�������������"��������������X����$���������!� �������L��������!P�����������p�+���C�E������!������!������������"����������B�^�;CL���������������U��������B;^��C�

2 0

0 2

2 2 0

2

1

2

k bk b

kb

kb

+ =⋅ + =

⎧⎨⎩

⇒+ =

=⎧⎨⎩

⇒= −=

⎧⎨⎩

, , ,

X����L�����������!����%����������y�b�U_x�f���� ��x + y = 2.�����1x + y = 2.

(�����!������!������������"���������� BU�^�;CL� ������������U��������B;^�U_�C��− + =⋅ + = −

⎧⎨⎩

⇒− − == −

⎧⎨⎩

⇒= −= −

⎧⎨⎩

1 0

0 2

2 0

2

2

2

k bk b

kb

kb

, , ,

X����L�����������!����%����������y�b�U_�x�U���� ���x + y�b�U_��� � �����1 2x + y�b�U_���

0

y

x

1

1

в)

Page 177: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

175

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

!*��M����� � 5� ��"�� �!����� ���������� �� �����%� ����L� ����� ���������������&�������������������� �L���"�����������"� �����"�%�

�C�2

411

33

1

x x y

y x y

+−

=

−+

=

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

B�����������������������$C

B�����������������������$C⇒

+ − =− − =

⎧⎨⎩

⇒8 44

9 3

x x yy x y

,

⇒− =− =

⎧⎨⎩

9 44

8 3

x yy x

,

B������������������������C ⇒− =− =

⎧⎨⎩

9 44

72 9 27

x yy x

,

( ����������������������������[�B7x�U�y�C�f�B+�y�U�7xC�b�##�f��+L�y�b����=���������� 8y�U�x�b���!�����������������L����y�b��[�-�Ux�b��L�x = 5. �����1�Bx; yC�b�B'^��C��

$C�4 5 10 0

5 3

1

30

a ba b

− − =

− + =

⎧⎨⎪

⎩⎪B������������������������/C

⇒− =

− + =⎧⎨⎩

4 5 10

3 5 5

a ba b

,

( ����������������������������[�a = 15.�� ��������$�����������!�A������������&M������������������[�#a�U�'b = 10.#�g�'�U�'b�b��;L�b = 10. �����1�Ba; bC�b�B�'^��;C�+�//���������������"����1�H��M������ �"������$� �������"��������� �P����������A����!���������p��U���H��M���������������$� �������"��������� �����������A���"� ��� �������������������%��H��� ���������"�����!�������$��������������"����� ����J����'%��#����'����)������������������1�/������$���������!��L��������� ������������!��"�����A����������������%��H��M������ ����!������L����������"��!��"��������A� ������L���$� ����� ����"���������������H��M������ �����"��M���������������!�������������"��8��!��"��!�����A������������������%������?���� � ���������1� H��� �� �MG� ��$� !���G������� �� �"�"M��� !��%������� ����A������������ ������������ ���%������������%�����������$������������������n���A����!����� ������'#������������������H�������V X�������������A���������� ����%�������������%��������!��������P

���!��"���� 8�"�������8�� �������H�������VV ��A�������� ���%������������%��������!�����������!��"���� P

8�"�������8�� ������L����$�������������A������������������%�����"�������������������

H�������VVV (������ ������A�������� ����%�������������%��������!��������P���!��"���� 8�"�������8�� �������

H�������VW ��A�������� ���%������������%���������!�����������!��"���� 8�P"�������8�� ������L��!� �$������"����!��"��

Page 178: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

176

Глава V

Урок 5.11. Решение задач построением системы линейных уравнений с двумя переменными

C���)���1 ������� (��� ��� �� �������� � "�P����%� ������%� ���%���� ���������� � �� ���������� ���%������������%��������!�����������E�����������"����1(��� �������� ���%�������������%��������!������������8 ����� ������$������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1

*���$������������������������N�������#� *�����'1� H��� �� � !���M�&� ���P!�&���� !����� ��� ��$ ������ $�����L� �����P��&M��� ��$������� �������L� �� ����� � ���PM����� ���� ��� ��$������� !��� ��� ���������� ���%������������%��������!�����������

�8 ����� ������$�������H �����$�����������"���!����� �������M�����!�P��M�&� ���!�&���� �� ������� ���������� H��M���� � � ��A��� � ���� $������� �!�����������������%��8 ����� ������$�������X���������������������������$������� ����������!�����������, ��K������������!��"�����!���� �������$����P������� �����$�����L����� ���� ��������������M���������� ���������� �����

B����)��������#�>��*���1�E������ ��������� ���%������������%��������!������������8 ����� ������$�����\

, ��!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� ������8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5��C�(�8 ����� ���&L� �������%����������� �L���"�������$����"� ��������!� ������������@"�$������"� �A����� ������$�xL�������A�������$�y��?�8P���x�U�y�b�Bx + yC�[����i ��!���"��$�����F�����������L�!� ����[�x = 3y��( ������ ���L�"� �A����� ��"������������������������A���L�������A����� ��U�����%�����%�����"� �A�8���@"��$��[�� ��x�b������y�b�#�����%��� �������U�#�b�B���f�#C�[���

�����1��� �A����� ��"������������������������A���L�������A����� ��U�����%�����%�����"� �A�8��

!*��M�������5�]C��������� �������������������!� ���$��Y����� ������������

������!� ���$� y.�?�8���!��� ���&[�4 2 14

2 6 15

x yx y+ =+ =

⎧⎨⎩

,. �����1 x�b��L+�B�C�L�y�b�L)�B�C�

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

185

5.11. Решение задач построением системы линейных уравнений с двумя переменными

����������� ������������������������������������� ������������-

������������� �������� � ��������� ������� ���� � ������� �������������

�������� ����������������������������� ��������������������������-

�������! ��������������������������� ������������"������������"�

����� �� ���������������������� ���"������� ������� �����#

�5 $����� ���������������� ���������� ��%����������%��������&��'�������������� ������������"������ ���"�

�5 &� ������������������������������� "%��������%���

�5 &���������� ���������� �����%��������������� ��������� �����

Образец

�V��������� ���������������������������(�� ����������� ��*�����������+�

�� ����������� ����������������������������������� ���� ���������� �-

��������.������������������������������������� ��*��� �������/����������

��:��������� ���������� �������������� ���� ������������������* +������

������;������������� ���������������<�� ����������(�� �����%� ����

����������������;�=�

3��4� �>� �������� �������� (� � ����� �%������" ��� ����������<�? ������ ���" ������-�� ������� ����������%� ��@x�A�*B ��� �-������ @y� A� +B� �� ����� ���� �������� %� ���� .� ���� %� ������ ������ � �������� �-

������#�x�A�*�C�.�@y�A�+B����������?���� ����������%� �� @x� A�/B ��� ������� @y� A�*B����� �������%� ����* +�����%� ����������� �

��:�����%�����y�A�*�C�* +@x A�/B�D������������������������������#�

x yy x− = −( )− = −( )

⎧⎨⎩

1 2 5

1 1 5 9

,

,�

#�x yy x− = −− = −

⎧⎨⎩

2 9

1 5 12 5

,

, ,�@D�����������"����������.B

�#�x y

y x− = −− = −

⎧⎨⎩

2 9

2 3 25

,

#�

#�− = −− = −

⎧⎨⎩

2 34

2 9

xx y

,

��

#�x

y=− = −

⎧⎨⎩

17

17 2 9

,

��

#�xy==

⎧⎨⎩

17

13

,

E������%�������������������#�"�C�*( ���C�*F �������;�����������������-������ ��*(�����������*F��� ��������< ������� �� ����?��%� ��*(�G�*F�C�FH�

��������� �����1�FH����������

yx

C��������������1x yy x− = −( )− = −( )

⎧⎨⎩

1 2 5

1 1 5 9

,

,

Page 179: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

177

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

!*��M�������5�@"�$��������$�����������$�xL�����$���"��������$�y����8������$�������"� ��x�U��L� �L���"����U�y�U��� ������� ���&�y�U���b��Bx�U��C�?������!��"���-� ����$�������"� ��x�U�-� �L���"����U�y�U�-� ������� ���&�y�U�-�b�'Bx�U�-C�

��A������������������%�y xy x− = −− = −

⎧⎨⎩

2 2 14

8 5 40

,: x�b��;�B �CL�y�b��-�B �C�

�����1������;� �L�"�����-� ��!*��M�������5���������� ��������A����������" &���$��xL����� ��������A������� �A����$��y������ ���&[�x�f���b��By�U�C�����U��b�y + 1.

��A������������������%�x yx y

x yy x

+ = −− = +

⎧⎨⎩

⇒− = −− = −

⎧⎨⎩

1 2 2

1 1

2 3

2

, ,: x�b�+L�y = 5.

�����1�������" &���+�B��A���CL���� �A����'�B��A���C�!*��M������ 5������������ ����$� ���$��xL������� �������"���$��y��?������������������������������L���7x = 11y.(�8 ����� ���&L�� ��!������������������ ����$� ���������� ���������"P��L� �������A�����������������8� �8���!����%L�$���������������������"���8x + y + 13 = 10y + x.��A����������������%�

9 11

8 13 10

x yx y y x=+ + = +

⎧⎨⎩

,��������!����������

x�b��'L+'�B8CL�y�b��7L�'�B8C�������1������ ����$� ��������'L+'�B8CL������ �������"��������7L�'�B8C�

!*��M�������G5�@"�$������������%�$���"����!����8����"���8������$�9��������8��U�����$�b��(�8 ����� ���&L��'a + 14b�b���#��(����8�%��������$����L����$���"����!����8�� ��"���8�� $�� #� ���� "� �A�� ��� ��� ������ $���"���� ����8�� ��"���8�� $�� �� �����X����L�#a�U��b = 22.

��A����������������%�15 14 234

4 3 22

a ba b

+ =− =

⎧⎨⎩

,L�!� �����a�b��;L�b = 6.

�����1�!����%���"���%�U��;�������L�����%���"���%�U�)��������!*��M��������5�@"�$������!��������!� ��������������$�aL� ����������!� ���������� ����$� b�� =��������� !��� "���� x�� ?�8��� !�� � ���&� ��� ������ !���� ����������������$����8���� ���8�[��;;�U�x = 5a�f������;;�U�x = 7b + 1.?������� ��������������������L�!� ����[�'a = 7b.(����8�%��������$����L����a = b�f�#��?�8����������������%L��8 ����� ���&�

$�����L�"����5 7

4

a ba b

== +

⎧⎨⎩

,.�i ����A����G��������!��������L�!� �����a�b��#L�b = 10.

�;;�U�x�b�'�g��#�f��L�x = 29.,�%��� ���L��;;�y��7�b�+��������� �����F�8���� �����'���+����������G���L���!� ����������!� ������������!������ ��������#���������"� �A�L��������������

�����1 29.

Page 180: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

178

Глава V

����?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ��A����� $����� ���������� ���������� ���%������������%��������!���������������������n�(��� ���������A�����$����

!����� ������'#������������������H�������V X��������� �� ��� ����� ����� ���%���� ��������%� � ������

!������������������������� �������$������H�������VV (��� ��� ����� ���%���� ��������%� � ������ !����������� ��

������������ �������$�����L������!���������������A�"������G���A�����

H�������VVV (������ ������� �������A�������� ���%������������%��������!������������������������ �������$������

H�������VW (������ ������� �������A�����"Q������������� ���%�������������%��������!����������������������� �������$������

Образцы критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания №8

� H�������1 X����!��"��$�������K�������2 (������� �����8��K��� ���%��%�K�������3 (������� �����8��K���!����%�!��!������� ���%�$��������

4 @!���� ����� ����� ���%��%�$��������������!������$����������������L�����M��������������������� �������� �

5 ������ ���$��������������������������������� ���%��%�K�������6 (����8��K��� ���%��%�K��������������!�����������7 ��A�������� ���%������������%��������!�����������8��K��������������8 ��A�������� ���%������������%��������!������������������!���������9 ��A�������� ���%������������%��������!������������������ �������10 ��A���$���������������� ���������� ���%������������%��������!�����������

Page 181: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

179

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

Образец малого суммативного

оценивания № 8

�5� ,���� K������� �BxC� b� -� U� �x�� *�%����

�BU_�CL��B;L'CL�� 17

9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

����������������������������������������������������������������

�5��,����K�������y = 58

x�f��L���@!���� ���

$��������"L�� ��yBxC�b�'L).����������������������������������������������������������������

�5�=�������������8��K���K�������y = x�U�� !�����������@u���@H\�����������������������������������������������������������������

�5� E����� �$� ����� `B�^� ;C^� aBU_�^� 'C^�jB;L�^�;C�!����� ����8��K����K���P����y = 4x�U��L�\������������������������������������������������������������������������������������������������

�5 *�!�A��� K���� �� !�����L� �$�"���P�G������ �� !�����8� ���%� �������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5� *�!�A��� ���������� !���$�� ���%�K������L�8��K��������%�!��� � �����!��������8��K���K�������y = 9x�U�'�

���� � ���[�������������������������������[�����������������������

�5����A����������������%y xy x= −= +

⎧⎨⎩

,

2 3

!�G��!�����P����8��K���.

�5 ?��������!���$�������!����������P���� ++°� !�� D����8�%��� (�� ���� F����� ���!��I� ��&�B°jC\�����������������������������������������

5� =� >�������� �� T����� ��!��������!���������U_7;°j��(�� ����F���P��� ���!��D����8�%�\���������������������������������������������

�G5���A���!��"���!������������P��� ���%������������%��������!���P

��������[�x y

x y− = −+ =

⎧⎨⎩

⇒10

2 34

,

������������������������������������������������������������������������������������������������

��5���A��� !��"��� � 8�"�������8�� �������� ����� ���%���� �������P��%��������!����������[2 3 7

4 21

x yx y− =+ =

⎧⎨⎩

⇒,

����������������������������������������������������������������

��5���A����������������%�x y

y x8 5

11

40

7

2

5

24

35

+ =

− =

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⇒,

������������������������������������������������������������������������������������������������

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

0 1

4

1

x

y

0-1

1

x

y

Page 182: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

180

Глава V

Урок 5.12. Сумма внутренних углов треугольника

C���)���1 3.1.4. ��������������������������P��������8 ������8� ����������%������A��8���8� �.E�����������"����1X������!���������������������������������8 ������8� ������ K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��������L��"�P�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������������"������>�� �$���&�������%��8� ������8����8 �L��"��$��������!����%L�!������M�%�����$�����&P �"�����A�������8� ��������!��� � ���%��8��!�����!� ����%� ������� H��M���� ����$���&���������"��"����������8 ������������.

��R��������"�����1����� ���$���������������������������������8 ������8� �P�������,���$�� �����������!�����������M�����, ��F�8�����M������������$P��� ������8��!!�����������$�� ���L��������������!����������������"����L�!�����P����!��� � �����!�����L�����F��!���$����������� ����L����!� �$������������������ ���M����8 ����N��!!��!�������!���$������&�����$�� ������������������8��!!�L���G�����$�� �������"� ��������

B����)��������#�> ��*���1 E��� !��������� ������� �� ����� ���������� �8 ������8� ����������A�����$����\

(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&��8��!!����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� ]C� *�� ������ ������L� �����8�� �� F��� !����L� ���$���� ������������������������ ���M����8 ���B��8���C. � �̀b��;° ���a�b�);°. "C�T��L����� �̀b���°.�(�8 �����������������������������8 ������8� �����[�

�a�b��-;°�U�B��° + 98°C�b�';°.�C�� �̀b���°L��a�b�+'°�¦§��j�b��-;°�U�B��° + 75°C�b�-#°.

D D D

BB

B

A

A

A

100�

98�75�

60�20�

32�

21�

a) б) в)

�����1�]C��;�L�);�L��;;�^� "C����L�7-�L�';�^� �C����L�+'�L�-#��

Глава V

188

5.12. Сумма внутренних углов треугольника

Деятельность

�5 I���������������� ��?������?� �����J�<����������������"�KL �

���� � ��"��������J<�@�����*B��

�5 >�������� �"�����? ��J�K����J<=�>����������������% ���"��:����? �=

�5 M��� ���������� ������� ���N�<����J<�=�

$�������� �����?������������=�&�����=

�5 >������? ��� �� �������K�N=�<������ ��'

�����? ���������������������K�N=�<�� �'

���?�������������� �����������OPQ�G��POQ�G��PQO=

������

D B

A

M

C

Сумма внутренних углов треугольникаТеорема

��������1��(��� ����1��� ��3(*������������!�����������'1���RJ�<��P ��O ��Q�A����������? ��

!����M)���������'1��P�G��O�G��Q�C�*SHT�

Докажите самостоятельно.

!���������������������������������������� �-

�������? ������� �������������?���? ��

Упражнения

�5��N����� ��%����������?� ����#��B�������������? �U�%B�������������? �U��B�����

�������? �U�?B�������������������������? �=�&�����=�$%�������������������

�5��B��V������������? �����������?� ��?������?� ������M����������������-������������������? �� ����� �"������������� ���������?� ��������-

?� ����=�>����������� ����������#�:���������*B�%� ����/HTU�.B����-

���/HTU�FB������/HT�

%B�M���������?��������������? �������������?������?� ����=

�5���� ����������� �������������� ����?� ��� � ��������-�����.��I�������?������"�������?���? �����������"�

�������������<�� ����?�������������� ����������?��-

����������:�����? ��=

�5�>��������������%���������� ��=�&�����=

�����$

N

M

K������

Page 183: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

181

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

!*��M�������5��C�@"�$������"���������������A���K��8����������������(�8 ����������L��r`s�b��ajs�b�)-��?�8����`sr�b��-;��U�B)-��f�#'�C�b�)+��`sa�b��-;��U�)+��b������( ������ ���L�x�b��-;��U�B�7��f�����C�b�#-��

�����1�C�#-��!*��M����� � 5� �C� ,������ �8 �� ���8� �����L� ���������� ��� �" ���L� $�!�A��������� ���&M����"��$������!���� ��������%��8� L�!�������������������������P���������8 ������8� �����[� �̀b��;�L���a�b�nL��j�b�n + 20°. (�8 ��������������������8 ������8� �����[�� �̀f���a�f�j�b��-;�30° + n + n + 20° =180°n�b�+'���( ������ ���L���a�b�)'�L��j�b�)'��f��;��b�-'��

�����1��C��;�^�)'�^�-'��!*��M�������G5�]C�(�8 ����� ���&L��`a��b�#������ja��b��;���`a����ja���U�!�����8� ��������8� �������( ������ ���L� �̀b�7;��U�#���b�#-�����j�b�7;��U��;��b�);�L�a�b��;��f�#���b�+���

�����1 � �̀b�#-�^��j�b�);�^��a�b�+���!*��M��������5�*���������������8 ����� ���&[���� �����`aj�b�);�L���"�����a`j�f��`ja�b���;������ ����̀ k���jl�U�"������[�s`j�f��`js�b���;��[���b�);��( ������ ���L��`sj�b��-;��U�);�b��;���H8� �������"���������������);��

�����1 60°.!*��M��������5�(�8 ������������$��!���������p��;L��`sj�b���-���?�8����s`j�f��`jsb��-;��U���-��b�)����(�8 ������%���"������[�a`j�f��`ja�b�)���¹���b���#���( ������ ���L��`aj�b�-;��U���#��b�')��

�����1 56°.!*��M��������5�?���8� �����>=(�U��!�P�8� ����%����8� ������(�8 ����� ���&[�`aj�b���;��L��j�b�';�����r�b�7;��a`j�b��;��=�¡`ar��ra �̀b��-;��U���;��b�+;��?�8�����a`r�b��;�����j`r�b�#;��?������"��$��L�����$� �L�����j`r�b�#;��b���a`r�J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1� H��M���� �$� ����� � ��A���� �����$��&L��������������������8 ������8� �������������-;���*��F������������������$� ��F���,�������������M�����������L���������������8 ���!�����P�8� ����8�����8� ������������7;������?���� � ���������1� H��� �� �MG� ��$� �$�������� ������� �� �������� �����������������8 ������8� �������-;�L��"�"M���!��%��������"����!����������

19°

x

A

B

CO

в)

45°

68°

H CA

B

M

CA

B

N

O

A

B CD

Page 184: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

182

Глава V

����������n������������

!����� ������'#������������������H�������V X���� ������� �� ����� ���������� �8 ��� ���8� �����L� ��� �����

����$�����!�������.H�������VV X�����������������������������8 ������8� �����L�$�����������

������$�� ������!���������.H�������VVV X�����������������������������8 ������8� �����L������� ����

������$�������!�������.H�������VW X�����������������������������8 ������8� �����L��"��������L�

������$��������!��������������� ���� ������$������.

Урок 5.13. Прямоугольный треугольник

C���)���'1� ������� X���� �� !�������� !��$����������8���F��������8� ��������������X������������F ���������8� �����������A�P��������������L�8���������������$�"������E�����������"����1�C��X���� �� !�������� !��$����� ���8��F�����

����8� �������C��X������!������������A������������8 ������

�������������8� �������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������� �� ���"������ @��������� ��� ���� ����L�

����M������$���&�!��$��������8��F��������8� �������� ��!�����8� �������P��8� �������� H��� �� �!���8�� ������ ��!������ ��G� �!���� G����� ��!��� ��������"����������������M�����!��$�����(H(L�H(HL�(((�� ��!�����8� �������P��8� ��������� i �� ����� ����8�� !�����8� ���8�� ���8� ������ "���� ������ ����������8�8��!�����8� ���8�����8� �����L���F�����8� ���������8��F�����Y��U�!��$P����(H(����8��F�����!�����8� ��������8� �������B���"����!�����8� �������P��8� �����������������8 ���������������7;���$������$������!�����8� �����C�

i ��������!�� �8�&M�%�����������%��8� �����8��!�����8� ���8�����8� �����������������"�����������������!�� �8�&M������������������8 �����8�8��!��P����8� ���8�� ���8� �����L� ������ 8������� �� ���8��F����� !�����8� ����� ��P�8� ��������� ,��8�%� �8� � �!������%� ������ ����� ���8� ������� U� !����%� �8� ��Y��U�!��$����H(H����8��F�����!�����8� ��������8� �������

Глава V

190

5.13. Прямоугольный треугольник

��������������� �������������� ������������������

������������������� ������*���� ����'���� ���S��#��������������������������������������������-

������������������ ������#�����������������������- ���������������������� � �*�������>�!�����"#� катет

гипотен

узакатет

A

B

C

������

Деятельность�5 $���������������%���� ��� �� ����������� ��&�������� �������

'�������������������������(������������ )

�5 *��������� ������������ ��� ������������� �����������������������-

��������������������������� ���� ����� ������������������������-

�������������������)�+�,���)

�5 $�������� ������ %�%� �� ��� �� ����������� �� +������������ ���-����'�������������������������(������������ �

�5 *��������� ������������ ��� �������������(������������ ���������-

����������������������������������������������������������������-

�������� ���� ����� �������������������������������������������

���������������������������������)�+�,���)�.��������� ����� ���

�5 /� �������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������� ���� ����� -

������������������������������������������������������������������

�����������)�0����������������� ������������������'��(������������ )�

$����� �����������������'��(������������ ������������ ����� ���

Признак конгруэнтности прямоугольных треугольниковТеорема

5��(� ('�1��E��(�*�1�1��0� ��'�@��� ��3� ��1��� ��3(*�����1��1�1��-��*� ��41�� ('�1��E��(�*�1�1��0�� � ��'�@��� ��3� ��1��� ��3(*�&�1��1�*(��'�@��� ��3���1��� ��3(*(�*� ��41��!�����������'1�1234���1�567� �����������-

���������������!�����8#��23���57���24���56�

!����M)���������'1��$%C����&'*�

A M

B KC N

������

A(M)

BKC(N)

�����$

Докажите самостоятельно.

/����������� ������������ 234� �� 567�

�����,������������9����56�����������

����� �� �������:��������� ,��� ����,����

�����������&9$��� ���������!�����;#.

Page 185: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

183

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

i ��8�!����$����!�� �8�&M�%�����%����%��8� �����8��!�����8� ���8����P��8� ������� ���������� "���� ������ 8�!����$�� �� !�� �8�&M���� �� ��%� �������8� �� ���8�8�� !�����8� ���8�� ���8� �����L� ������ 8������� �� ���8��F����� !��P����8� ����� ���8� �������� X����L� ��� � �� ����� �$� ����� �8 ��� !�����8� ���������8� �������������L������8���������8 ��������������R��������"�����1�H��� ���$�����������8��F�����!�����8� ���8�����8� �P������!��8�!����$�������������������������������

,���$�� �����������!�����������M��������������$�� �������8� ������>=(���klmL�����F���������!���������L���!� �8�&��������"��$��L����������>(���kl���� �����&�����8�������8���,���$�����L����!� ������%����8� �����E>=��� ���������"���������B����)��������#�> ��*���1� E��� !������&�� !��$����� ���8��F����� !����P�8� ���������8� ������L�����A����������������������8 ���\

(� �� �&� !���������� � ��������� 8��!!���� ��!� ��&�� $������� �$� ���"����� �����"����� ����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5��C���$����������8 ���!�����8� ���8�����8� ��������� ����#�����"����%���8���8 �L�������!�������������������%[�������8 ���"��$��P����x���y:

x yx y

xx y

xy

+ =− =

⎧⎨⎩

⇒=

− =⎧⎨⎩

⇒==

⎧⎨⎩

90

24

2 114

24

57

33

, , ,

�����1�'+��������!*��M�������5 ��������������1�i ������!�����8� ���8�����8� ������������!� ������8�!����$�L����8� � ���M�%���!�����F�8�������"�����������;��!�����������'1`a�b

1

2aj

!����M)���������'1�`ja�b��;��+�#����������� �����'1� =� ���8� ������ >=(� ������ >=�!���� ���������A����>�������&����� ���L������������>=L���!������!� ����&�������!��!����%� �������!� ������&���P����"�$������r������ ����>=�b�>r���>(�U��"M��������L���P��8� �������>=(���>r(����8��F�����( ������ ���L�=(�b�r(�

(����8�%������L�!��� ����̀ a�b1

2ajL�ar�b�aj�b�rj��

( ������ ���L�¡arj��MG��������"�������%��?�8�������8���8 ��������);���?�������>(�U�"������L����`ja�b��;���D�����)�#�����5!*��M�������5�=���$� ������A�����F�%�$���������M�����!����� ������A������������������%���8�!����$�%�!�����P�8� ����8�����8� ������@"�$�������a`j�b��`am�b�º��¡`am������"�������%[�̀ m�b�am�

A

B

C

D

A

B C

K

Page 186: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

184

Глава V

O$������������8 ���!�����8� ���8�����8� ���������`aj�b�7;���!���� ��L���[�maj�b�7;��U_�º����mja�b�7;��U�º��?�8����¡amj����������"�������%L�����=E�b�=(��( ������� ���L��!���� � �L����>E�b�(EL����������E���������>(��>�F������$����L����=E�U����������J����'%��#����'����)������������������1�@!���������F��$�����L�����M��P���!���� �&����A������������������%L�!�����G���%���8�!����$�L���8�!�������$�%[+�����)���'%*����)L���># �*��������*���� ��������� �����#�%�����*�������)���' �*������'5!*��M��������5�(�8 ����� ���&L��`jm�b���;���?�8����`ja�b��;������� ������$�����������8�!����$�%����� ����������������'��L�������$�!����>(�U�>=�b��'��X����L����>(�b��>=��?�8��[��`a�U�̀ a�b��'��L�̀ a�b��'�����̀ j�b��;���� � � � �����1�;�������?��������������1�H��� ���MG���$���$�����!��$��������8��F�����!�����P�8� ���������8� ������L����A����������������������8 ���L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n������������!����� ������'#������������������H�������V *�$�����!��$��������8��F�����!�����8� ��������8� ������L����

����������$�����!��������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8�����8� ������L�������������$�����!��������

H�������VV *�$�����!��$��������8��F�����!�����8� ��������8� ������L�$�P����������������$�� ������!����������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8�����8� ������L�$���������������$�� ������!����������

H�������VVV *�$����� !��$����� ���8��F����� !�����8� ����� ���8� ������L��������� ��������$�������!��������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8�����8� ������L������� ��������$�������!��������

H�������VW *�$����� !��$����� ���8��F����� !�����8� ����� ���8� ������L��"����������L�����$�������!��������������� ���� ������$�������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8������8� ������L� �"��������L� ����$����� �� !�������� �� ����� ���� ������$�������

Урок 5.14. Внешний угол треугольника и его свойство

C���)���1�����#������������������������������������8 ������8� ����������%������A���8���8 ��E�����������"����1X������!����������%������A������8 ������8� �������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L����!����L��"�������������OE?

B C

A

K

Page 187: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

185

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������� �� ���"������ >�� �$���&�� ����A�������������8 ��L��������������P �"���8 ������A���������8� �����L� �� ���8��� ���������� �8 ��� F��8������8� �����������!� ���������$� ������� ��A�P����������������M�������R������� �"�����1� �� �� �8�L� ���� ��� ��A�P���������������M���L����� ����$������!������P ���������A��8���8 �� &"�%����A�������8� �������� ����������� ���A���� �8 �� ����8� ������ BF����������!� ������!�����������!�&���C�J����'%��#����'����)������������������1 H��� �� �� ���� ������ ��� �������� ���M���� ���� ����� �� �����%� ���A���� ���8� ������ ����8�����A��8���8 ��� ��������8 ��L��������!��8������%�

������,��������������8�%����A��%��8� ���!����������M��������L���L�8�����������A�����8 �� &"�%����A�������8� �����L��������������������$����A�����8 ���F�%����A����

Внутренний угол Внешний

угол

Внутренний угол

Внутренний угол

Внешнийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

B����)��������#�> ��*���1� E��� !��������� ��%��� ���A��8�� �8 �� �� ��A�����$�����\

(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�F���$����������M���L�����$�������G����A��������� ���N& �������> �L��� ���������L�������A������� �&���"���8 ���*��!��� ����F���8 ���� �&�������� �����L��������������8����8���@�������������!���� ����L�!��� ����!����������L�����������%����A�������8� ������!������������A������8 �L����A�����8 ����8 ��>=(�"��G��� ���`arL�� ���ja���!*��M�������5�@!��������������%�������L�!����!���� �����8������%��������P!� �$�&����%������A��8���8 �����������������������������8 �������8� �������

56°

? ? ?

a) б) в)

? ? ?114°

140° 100°

A

B C70°

70°?

A A

B BC C?

K

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

193

5.14. Внешний угол треугольника и его свойство

Деятельность

�5 G�,������������$�H��������������9�$����� �������������������9$����5 &����� ������������243����34H)�0������ ��

������'��(����� �!�����"#)�5 ������243�I�JKL��,������������ ���34H)�&��� ��

'�������������)�5 .����������� ,���� ������ �� �� ��������� �����

�2�M��3��������� ��������������������������5 &������ ��� �� �� �����������2�M��3����34H)�

D

B

A C������

%������ ������������������ ���������������������������� ���-

��� �N�������������������������������� ��N����+���������� ��N���

������������������ �� �N�(������!�����8#�

Внутреннийугол

Внешнийугол

Внутреннийугол

Внутреннийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

Внешнийугол

������

Свойство внешнего угла треугольникаТеорема

D�I(A� � ��� 1��� ��3(*�� ����� ������ 0���� ��1��(�� �� ������ ��(��� ����1��� ��3(*��!�����������'1�$�19$���2���3���243� ���������34H� � �N��������!����M)���������'1��34H�I��2�M��3�!�����;#�+�#����������� �����'1 �������� �������� �� ������ �����(� ���� � �������������"� M��8� M��;� I� "OKL����������� ������������������������� ;����P� ������������;� M��P� I� "OKL� ���;� I� "OKL� ��P�� Q����� ���������"�M��8�M�"OKL� ��P�I�"OKL����"�M��8�I��P��

Q������R��34H�I��2�M��3�D�����)�#�����5

Образец

$�N��� ����� ������������ �34H� I� ""KL�� ���� �� �����(� ���� � �������(�������2�I�P8L�!�����;#��G��������������������������������3��4������������������34H�I��2�M��3��Q������3�I��34H� ��2�I�""KL �P8L�I�JOL����������� ���� �������(����� R��4�I�"OKL� �""KL�I�SKL������� ��������������������������� ��P8L��JOL��SKL�

�����1�3�I�JOL���4I�SKL�

D

B

A C1

2

3 4

�����$

Page 188: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

186

Глава V

]C� �`aj�b��-;��U���#��b�))�L��aj �̀b���#��U�')��b�'-��"C� �`aj�b��-;��U��#;��b�#;�L��aj �̀b��-;��U�+;��b���;�L� �a`j�b�+;��U�#;��b��;���C� �`aj�b��-;��U��;;��b�-;�L��aj �̀b��;;��U�+;��b��;�L��`jm�b��';�

�����1]C�))�L�'-�^� "C�#;�L���;�L��;�^� �C�-;�L��;�L��';��!*��M�������5����� �������A��������A��8���8 �����8� ����������������8���������������8���8 ��'�[��[�'x�b�-;L�x�b��);��?�8��������������8 �����8� ������"����16° ���b�#-��L�-;��y�#-��b��������-;��U�-;��b��;;���

�����1���L�#-�L��;;��!*��M�������5

�` 35° 80° 10° 23°�a 45° 67° 27° 89°�j 100° 33° 143° 68°

�ajr 80° 147° 37° 112°

!*��M�������5�]C�i ���`b�-;�L��jb')�L���`aj�b��-;��U�B-;��f�')�C�b�##�����`a��b�##��[���b������(����8�%��������`a��b�7;��U�-;��b��;��( ������ ���L���a��b��`a��U��`a��b�����U��;��b������¡a�j�a�j�b��-;��U�B����f�')�C�b��;����"C�i ���`b�);�L��jb#;�L���`aj�b��-;��U�B#;��f�);�C�b�-;�����`a��b-;��[���b�#;��(����8�%������L��`a��b�7;��U�);��b��;��( ������ ���L���a��b��`a��U��`a��b�#;��U��;��b��;���¡a�j��a�j�b��-;��U�B#;��f�#;�C�b��;;����C�i ���`b�';�L��jb+;�L���`aj�b��-;��U�B';��f�+;�C�b�);�����ja��b);��[���b��;��(����8�%������L��ja��b�7;��U��j�b�7;��U�+;��b��;���( ������ ���L���a��b��ja��U��ja��b��;��U��;��b��;��¡a�j��a�j�b��-;��U�B+;��f��;�C�b�-;��

�����1]C���a�b��������a�j�b��;��^�"C���a�b��;�����a�j�b��;;�^��C���a�b��;�����a�j�b�-;���

J����'%��#����'����)������������������1�H��� ���"����������M�����8�������&�������8 �����a�����a�jL�!� ����������������G��!������F�8��$����P����� H��M���� �!���� �&� ������� 7;°� ����� � �� ��$���� !� ����������a�� ���a�j�B@"�������������������������%������A��8���8 �����8� ����������������-;�������������8� ������8� �����C�(� ���8�%� �����L� ���M���� �� ������� !����� �� ���� �!���� ��L� �����a�L� �����8� L��"��$������%�����������%���"������%L��������!����������$�����%����PA���L�������!� ������8������%��������������8 ���>���(�B���8��������������8� ��C����"��!��%����������������L����� ���!���8�� ��������!��������������!��P�������M����

B

CAHT

B

ACHT

Page 189: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

187

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

D� �/)��� ���?��� ���� �'(��13C� N�������� ����� �8 �L� �"P��$������8������������%���"������%L��������!�����������$� ����%� ���A���� ���8� �����L� ������ !� ������ ��$�����8������%� ����� ���8��� ���������� �8 ��� F�8�� ����8� ������B��$����"� �A�8���8 ����� ��C�

��a��b�B� �̀y��jC�[���!*��M�������5�������!� ������F�8��$����������"�����������!���� ��L�������%����A������!� �8�������A��%��8� ��X������$���������� ����[]CN���'>���"�>1�i �����A��%��8� �!������A�����������"������������8� ������"����������+;�L�����������%��8� �!����%�������A����"�����-;��U�+;��b���;���?����������8��������������8 �����8� �������������������"�%L������%��$�����"�����'��(����>���"�>1�i �����A��%��8� ��8 �L�!�� �8�&M�8�����������&�"����������+;�L�����������%��8� �"�����-;��U�+;��b���;���?�8�������%��8� L�!�� �8�&M�%�������P�����&����8� �����L�����"������������;���>�F������$�������H�����8�����8� ����������������"��������!����8 ��"C�N���'>���"�>1�i �����A��%��8� �!������A���������"�������8�����8� ������"����� ������ ��)�L� �� ��������%� �8� � �� F�%� ��� ���A���� "���� �-;�� U� ��)�� b� ##���?�����������8��������������8 �����8� �����������L��������%��$�����"���������� 136° : 2 = 68°.(����>���"�>1�i �����A��%��8� ��8 �L�!�� �8�&M�8�����������&L���������)�L�����������%��8� �"�����������-;��U���)�b�##���?����������8��������������8 ����P�8� ������������L��������%��$�����"�����������-;��U�--��b�7���

�����1�]C��'�L��'�L���;�^�"C�##�L�)-�L�)-��� ��##�L�##�L�7���!*��M������ 5�i �������8� ������>=(��`b����L��jb'-�L����ab�7;��(�8 ����� ���&L���������8� �����klm�(�8 ����!��$�����!��� � �����!�����[�laj�b��j`m�b��`ja�b�'-�L��`ak�b��`jm�b��a`j�b�����L�ajl�b��a`k�b��`ajb�7;��?�8��[��kml�b��-;��U�B�j`m�f��`jmC�b�b�-;��U�B'-��f����C�b�7;�L�klm�b��-;��U�B�ajl�f��lajC�b�-;��U�B7;��f�'-�C�b����L�mkl�b��-;��U�B�a`k�f��`akC�b��-;��U�B7;��f����C�b�'-��=��A�����8 �����8� ������klm�����������������7;�L��#-�L������������1������������8 �����8� ������klm[�7;�L����L�'-�L����A�����8 ��7;�L��#-�L�������!*��M�������G5�(����������������8 ������8� �������������-;���º�f�»�f�¼�b��-;��=��A��%��8� ��8 ��º��������-;��U�ºL����A��%��8� ��8� ��»��������-;��U�»L����A��%��8� ��8 ��¼��������-;��U�¼�i ��!��������L�����������%����A����!���������A������8 �L��8���B�-;��U�ºC�����f�B�-;��U�»C�����f�B�-;��U�¼C�� 2 = b��;-;��U�����Bºf»f¼C�b��;-;��U��);��b�+�;��( ������ ���L��� ��(�"���������L��������+�;��b�#�� 180°.

B NM

A

C

K

B

CAHT

Page 190: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

188

Глава V

!*��M��������5�Y��$���������!� �������� �&��������8��!��������������P������L����������L����� ��������M��������������������8���8 �� &"�%����A�������8� ������!����������"����P����%����A��8���8 ��F�%�������A�����( ����P���� ����L� !��� � ����� �� F��� ����� ����$P�������������G�� "������� ���A��8�� �8 �� ���8�%�����A�����=�F��� ����L���"��̀ k����al��� �������" &������ ������k`a�b��lam�B�8� �����!��$�����!��� � ����C�?�8��� �j`a� b� �jam�� >� F�� !������������%�������A��8���8 ���(�8 ������%��L��� �����"����jam�b��j`a�f��`ja��( ������ ���L�"������� &"�8���8 ������8� ���������������"���!��� � ���%�"��������8�����A��8���8 ������?��������������1�H��� ���MG���$���$�������%������A��8���8 ������8� �P����L��"�"M���!��%����������8��!��������������������n������������!����� ������'#������������������H�������V X������%������A��8���8 �����8� �����L�������������$�����!��P

������H�������VV X���� ��%��� ���A��8�� �8 �� ���8� �����L� $��������� �� ����$�P

� ������!����������H�������VVV X������%������A��8���8 �����8� �����L������� ��������$�P

������!��������H�������VW X������%������A��8���8 �����8� �����L��"��������L�����$�����

��!��������������� ���� ������$�������

Урок 5.15. Соотношения между сторонами и углами треугольника C���)���1��������X������������F ���������8� �����������A���������������L�8������������$�"������E�����������"����1�X������!������������A����������������������8 ������P�8� ������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L� ���%��L�����!�����L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L��������������"����������������"�����������������������������������8 ��������"�������8������8� ������L��� �PA����������������M�������������L� ���M�����!������8 ��L����8 ��L� �����M�����P

Page 191: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

189

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

!�����������O$�"��$������������ ��������!�&P����B�����������F �������%�����C�!���$��� ����%����8� ����L� �$����&� � ���� ����� �� 8�������&������ �8 ���� �� �������� �� �� �������&�� ��!���������$�������� ���"�������B� �����������8��������������8 ���$�!������������� �����C��X�������M�����!���� �&L������!�����"� �A�%������� ���� "� ��A�%� �8� � � �� ��!����� ����PA�%������� ��������A�%��8� ���R��������"�����1�H��� ���$���������������������A����������������������8� �������8� ���P���������$������G����������$�� ����!��A�����������������M����B����)��������#�> ��*���1� E��� !������&������A����� ������ �������� �� �8� ��������8� ����������A�����$����\�

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�i ��kl�~�km�~�lmL����8 �L� ���M�����!����������������L��� ����"���$�!��������%����!� ������ ����[��m�~��N < ��k�"C��i �������8� ������̀ aj�̀ a�b�7��L�̀ j�b��#��L�aj�b�-��L������A������������8��

�8 ���[�� �̀~��j�~��a��� � � � � �����1]C��m�~��N < ��k^� "C�� �̀~��j�~��a��!*��M�������5�=�!�����8� ��������8� ���������"� �A��������� ������!������8 ��7;���i ��������$�������8 ���"�����������#�L�������%����%��8� �"����������')���( ������ ���L��������A������������8� ������ ������!������8 ���#�� !*��M����� ��5� ��� � ���&� �$����L� ��� kl� ��� aj� ���a�b��j��(�8 ����!��$�����!��� � �����!�����L��N = �j����a�b��k��( ������ ���L��k�b��N.?���8� ���������������������8 ������ ���������"���������¡k`l�U������"�������%����8� �����

�����1������"�������%����8� �����!*��M�������5]C��*��!��������������������"������������8� ������̀ aj��a`j�U����%��8� ��?�8���

�����%������a`r�U��!�%��8� L�����¡`ar�U��!��8� ���%����8� �����?���������F������8� ���������"� �A�%��8� �U��!�%��8� L������"� �A�%������%��� ����������arL� ���M�����!������!�8���8 ���( ������ ���L�ar�t�̀ a�"C�����������!�����!��������������P��������8� �����̀ ra�U���!���8� ����%����8� ������ ( ������ ���L� �� ¡`ar����"� �A�%��8� �U��`raL���������>=L� ���M�����!�������8�L�U�����"� ��A����`a�t�ar�

A

B C

M N

B

A CD

B

A CD

a) б)

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

195

5.15. Соотношения между сторонами и углами треугольника

Деятельность�5 ������������ �������������� ���������������5 ��� ��� ��������� �� � � ����!���� ��� ��������� ��

� � ����!�5 "� ��# ���� ��$��� ����� � �#����%�&!�5 '�(* ���������������*���� ������� � ����� ������+������ ��-

������� �������, � � ����������������.��5 ������������� ���� ��$��# � � ��#�/$#������� � � �0� �

����� ���������� �1������ ��2#������ �3���� � ��� #1$��-4��,� �*���� $�� ���*���� ���$��������� ����!'�(* ��� � � �����

Соотношения между сторонами и углами треугольникаТеоремаD�1��� ��3(*�C��<��'��1(��/��3I�A��1�������(1�/��3I(A�� ��J� � H<��'��1(��/��3I� ��� �����(1�/��3I�@��1�����!�����������'156�78%&8%98&:� �56�!����M)���������'1�8&%9�8%&�+�#����������������'1�� � � ��������� ����� �#��#� ���;���1�� ���;���:� �<6�= ��-����������� �����;�3���� ���������1 ��� ��-����� 1�5 ��<� > ���; �� � ������ *#���� � �?��#������� ������� 1����;3��������������������> ����8&%9�5��<3���4���� �����-� �������;1 ��� ������� 1�<9�8%&�>��# ���$ #1� ���#�8&%9�5��<,�8%&�'� 2���8&%9�8%&�N�����"���������')�#�����5@ ����#�� ��2�� ���� ��#��!�����������'1<6�78%&�8&%9�8%&�!����M)���������'18%98&:� �56�+�#����������������'1=���� � �# ����� ��� �� �#1�� ������> �������� �������3���� ����������8&%��8%&��0� �� �� ��-��� � �2�� ��#������ ������� 1����# ����������� ���>���������� � �#1�� 8%A8&�� ��� � ���� #�� � �2�� ��#�1��-�� ��� ��4�� � � ������� ���������� ��4��� ��> � ��$� � 1�� ��8%A8&1 �������8&%A�8%&��0� �� �� ������ � #�� � �2�� ��#������ ������� 18%98&�(�����"���������')�#�����5B�� 1>���� ����1�� � � � ������������1*��*�� *���� ��������#:� -��#�!6�

A

B C������A

B C

D 21

������

Page 192: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

190

Глава V

����?��������������1�H��� ���MG���$���$���������A����������������������8 �������8� �����L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n������������

!����� ������'#������������������H�������V X��������A����������������������8 �������8� �����L���������

����$�����!�������.H�������VV X���� ����A����������������������8 �������8� �����L� $������P

�����������$�� ������!���������.H�������VVV X���� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� ���8� �����L�

������ ��������$�������!�������.H�������VW X��������A����������������������8 �������8� �����L��"��������L�

����$�������!������������A���������� ���� ������$����.

Урок 5.16. Неравенство треугольникаC���)���1 ������� X���� �������� F ������ ��P�8� �����������A���������������L�8���������������$��"������E�����������"����1X�����������������8� �P��������!������������A�����$�����K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L�!� ����L��"����P��������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� H��M���� $���G�� ��P������� !���$�� ���%� ���8� ����� >=(� �� �$���P����� �����8��������!���M�&� ���%����X�����������%� ���M�%�� ��� ������ ����������8�� ��P�8� ������[�]C�����������$����������������%�`a�f�`j���aj^�

"C�`a�f�aj���`j^��C�`j�f�aj���`a�E���������L�!���!���� ��������� ��������������M����!� �������$� ��[�]C�̀ a�f�̀ j�t�aj^�"C�̀ a�f�aj�t�̀ j^��C�̀ j�f�aj�t�̀ a�

Y����$� ����$�!����&���������������� ��!��A���������������M�����"�F���������������=� �A����������������M�����=������G�� ������������8����������L���������� �������������"� �A������%�������

( ���&M��� F�!��� �� ���� !�������� ���8� ������ ��� � �� �$� $���������!��8��� ������!� ������ ���&�)��L�#� �L��� ���������*��!�������!�����������L�!������������8�����8� ����������$������� ����$�������

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

197

5.16. Неравенство треугольника

Линейка, палочкиДеятельность

�5 ������������� �������������������������������������������

������ � ���������

�5 ��� ������!��� ��"����#

$%&'(&)�')* +%&'(')�&)* %&)(')�&'�

�5 ,������������� ��������-�����!���� ��������

�5 ��������������������.���/���0���1������!���������������

������ . ��� 2������3 ������ � � ������� ����������� ��������

������������������������������������������3-4�����-

Неравенство треугольникаТеорема

F�(���./�A��1�����1��� ��3(*����3I��������0�(�0����0�� (���1���&���/��3I��(����E��1(�!�����������'1���5�����������6����7%�

!����M)���������'1&'8&)(')�&'9')5&)�

+�#����������������'1:���!����������;��� ������-

������������������ ����!���������6�������1%�4�-

��������������������;5�� ��+����������7=�2.

�&';9�7��&';9�1�

2����� ���� ��&';9�1��������3����

&'8&;���@����������&;=&)();=&)(')

�������&'8&)(')

B�� 1�A&')&'8&)(')���8��(�����8��(���2����������

���������9��5���

D�����)�#�����5Образец

B�!����������������������������������#�%.���71���C��*+%0�C���

C�/���D��* %0���E���C��-

3��44�� ���� � �� ��" �����3 ��+�F�����G����+�F��������� ��-

�� �������������#��H�� ������� ������������������3 ��������������

������ � ������ ������� +����+��������������������#

�%.(C871��������� �� �������������� � ������ ������� ������

���������������������H����������������+������������������@��+�

�������������

+%4��������0�C(C�/9D�H��������������+�������������������������

%4��������0(C=E�H����������������+�������������������������

N���"����5I��+��� �������+�F��������� ���� �������������������-

����� �� ����� ��� ��� ����� � � ������ ������ +�����

���+���������������������

A C

B

������

A C D

B1

2

������

Page 193: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

191

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

B����)��������#�> ��*���[� E����� ����A����� �M���&� ������ �����������8� �����\

��R������� �"�����[� ���� !���������� � ��������� ���� �� ��G� ��K������&� �����������������8� �����L�����$������������������"Q�������� ����8 �������P!� ��$�&���$����������!�&������!��8������=��������!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� =� ������� �� ���"����� �!���� ���� ���������� ���8� ������ !��������������������!� ������F�8��$��������!���� ��������A�������������$P���&� ����� ����� ���8� ������ B�� ���� ��� ��$���C� �� � ���%� ����%� �������E ����� ���������8��!!����������8��!!�������!�����8� ���%����8� ����L���P����8��!!��U���!��8� ���%����8� ����L������8��!!��U�����8� ���%����8� ������E������8��!�!���$������ ���%��%�� �������������������8�����8� �����L����!��P�� ���������A�������������$���&������ &"��������B� ������ �����$���C���� ���%�����%�����������$�������&���"��L�8��!!������$���&���G���������¡`aj�̀ a�U�̀ j�~�aj��E��������1� *��������� ���8� �����[� � ���� ����%� ������ ���8� ������ ����A�������� ������8������������L����"� �A������ ����$���[�

�`a�y�̀ j��~�aj�~�̀ a�f�̀ j�!*��M�������5]C�N���������������$�G����8���8 ���-;���?�8��[

1

6180 30⋅ = ��^� 1

3180 60⋅ = ��^� 1

2180 90⋅ = ���

(����� ����� ����� ���8� ������ �� ���� "��� "� �A�� ����%� ������� =� F��� ������;�f�);�b�7;��( ������ ���L����%����8� �����!�������� �$��

"C� 19180 20⋅ =

�^� 1

3180 60⋅ =

�^ 5

9180 100⋅ =

�^

=�F��� ������!����� �$��!���������8� ����L������;�f�);�~��;;�

�C� 2

9180 40⋅ =

�^� 1

3180 60⋅ =

�^� 4

9180 80⋅ = ���

=�F��� �����#;�f�);�t�-;��( ������ ���L����8� ������� �����������#;��L�);��L�-;�����$�������i��"� �A�������������8�L�������8� ������� �����P����8� ������=�"���M��L�!� ���$����������������K�8���L����M������8��"�� ����������!���� ����������8� ������B#;2 + 602 < 802��!��8� ���%C��X�����������M�%���� ����������!���!� ������������8� ������B!� ���$�������!������������8� �P������!��� �����G�������������8�����������������������8� �����C�!*��M�������5� �C�, �������������������"�������8�����8� ������������������( ������ ���L�� ������������8� ������"���� �"����;���L���;���L������L� �"����;� ��L� ��� ��L� ��� ���� ,������ �� !������ ����� ���$��� ��8�� "��� �����������8� �������=����������� �����F������$�����[����f����~���;��( ������ ���L�!����������8� �����[���b���;�f���;�f����b��+�����b��+��������

�����[��+��������

Page 194: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

192

Глава V

!*��M�������5�(�8 �����������������8� �����L�]�f�b�t�?.a + b�b��L�+�f�;L+'�b��L7����a�U�b�b��L�+�y�;L+'�b��L#���( ������ ���L��L#��~�?�~��L7���(�8 ����� ���&L�?�U��� ����� �L��8���? = 3. ?������"��$��L���b�a + b + ?�b��L�+�f�;L+'�f���b�)L7��� �����[�)L7����!*��M�������5�(�8 �����������������8� �����[`j�~�`a�f�aj���`j�~�`r�f�jr��Y������������ ������������������[��`j�~�̀ a�f�aj�f�̀ r�f�aj���̀ j�~�B`a�f�aj�f�̀ r�f�ajC�[���?������"��$��L����$���>(�����A��!� ������!����������P���G��8� ������!*��M�������5����� ���&��$����L����-�~�a�~�������;�~�b�~��'��(�8 �����������������8� �����L�-�f��;�~�a + b ~����f��'L������-�~�a + b ~��+��i ����������������8� ������"����?����? < a + b��������� ���&��( ������ ���L�?�~��-��(����8�%������L���������������8� �������� ����"���"� �A����$�������8����������������8� ������� ?�t��'�y�-�B��$�������%�������%������%������%�8�����������a���bC�L�?�t�+��( ������ ���L�� ��������%��������� ������������ ���&�+�~�? < 18.

�����: 7 < ? < 18. !*��M������ 5�O$����L�����L��~�a�~�+L#^�-L��~�b�~��^����~�?�~��+L'��(������������8��������������8� �������L��f�-L��f���b���L�L� ����������������8������+L#�f���f��+L'�b��+L7�?�8���!����������8� �������� ������������������������L��~���~��+L7��( ������ ���L���b��+�� �����: 37.!*��M�������G5�O$����L����̀ a�b����L�̀ j�b��#��L�ra�b�'�����rj�b�)����,�!���L����������>L�=L�(���r������!� �8�&���������%�!�����%��?�8�����$���������� ����[������>���r���!� �8�&��!���������������!����%� =(�� �� �����>� �� r� ��!� �8�&�� !����$������������B!� �! ����C���!����%�=(��������8� ������>=(L�aj�t�̀ j�y�̀ a�b��#�y���b���L�aj�t����������8� ������rajL�aj�~�ar�f�rj�b�'�f�)�b���L�aj� ~� ���� ( ������ ���L� �������� =(� �� ����"���������A�L���"� �A������>�F������$�������( ������ ���L� �����>L�=L�(���r���!� �8�&���������%�!����%�J����'%��#����'����)������������������1�*������������8� ��������P������������$����������%�����8� �������H��M�%���� �����"��M��������������� �������� �����8�� ���8� ������ F���� ��%���� , �� �8�L� ��"�� !�������L���������� �����8� ��������������L���������!�������L��� ���� ��"� �A��������������8� ����������A����������8�������������� ���� �������� ����$��������������"� �A��� ��������%��������Y����%���A�������!� �$������"��������?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �"� ���A������ ������� ��������������8� �������*������������8� �������$ �8������������� ��������L����������� ������$��������������

A

BC

D

A A

B BC C

D

D

Page 195: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

193

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

����������n�����������

!����� ������'#������������������H�������V X�����������K���� ������������������� ���8� �����L���������

�8��!��������^*��������!���� ��L���8�� ��$���������� ��"��������������P8� ��������

H�������VV X���� ���������� ���8� �����L� ��!����� �!���� G����� �A�"��� ��!�����������^����!�����������������������8� �������!�������!���� G������������L�$�!�����������������������������^,�!������!���� G������A�"���!����!���� ������8�L���8�� ��$�P��������� ��"��������������8� ������

H�������VVV X������������ ����!���������������������8� ������H�������VW ?��������!���������������������8� ������!�����������$����

Урок 5.17. Методы сбора информации

C���)���'[�'������(�"�����������L��!� �$�����$P����������E�������� ���"����1 (�"����� ��K������&L� �P!� �$�����$����������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?L�������B��� �����1� O�K�������� ������L� ��� �8��� ������L�������L�#�����

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� (�8 ���� ���� ����L�������%������"����L����M����$�!� �P��&��!������ ����B���� �������!��8�����������8����!�������� ��C�������"������ �����@!��P���� ����"������&�����R��������"�����1�H��� ���"���������"Q��������$���������L��!� �$������!���"��������K����������,�G���K������&������"� �����!� ��$����������������P����������� ��"�������K����������"�������P�%�����F �������%�!�����

B����)��������#�> ��*���[� E��� !������&�� �������L� �!� �$������ � �� "������K�������\�

(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$���������$����"�����

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

199

5.17. Методы сбора информации

Опрос, наблюдение, экспериментДеятельность����������� ���������������� �����F ��� �������� ,����� ���� ��-V����W�F���� ����+�W���F ��+���� ���� �������� �3� H�� ������-,����!������������-���� � � �+���!� ������������3 ����������H��� ������- ,���� +��X� ����� � ��+� �-�� H�� ������- Y���3��������3� �+������ � ��� ������ ���X����

�*��������#������������������ ������ ����������������� ���

��������-_______________________________

������F����� �������������+������� ���

��3���� ������������FX�������-ZZZZZZZZZZZ

[�� ��� ��3���� ���+���!� ���� ��������-

:������\ ]�����\ ������\ 4�� �\ :������ �\

[�� ��� ��3F��� �����+�������� ���������� ���-

:������\ ]�����\ ������\ 4�� �\ :������ �\

]����� +� � ���+����� ���@��+� H��� ����@

���� ������������FX�������-

:������\ ]�����\ ������\ 4�� �\ :������ �\

�����������+������������������� ����������������������+�����+-��+��������������V����W��������������+����� ����� ��������V��-��W�� ������� ���� �FX��������� ���F��3���3��3��������4���3-�����������������3���������������������������!���V����������3��3 ���� �������3 �3���3�+�����+ ��������V����W���2�V����-W�3��+������3���������� ��������� �:���������3�����#

�5 B�/������% ���*����������� �� ��������� ��� ��)����'�������������� ��������������V����W����!���� ������V����-W�F� ������� �����F �̂������� ����� �������������� ,��������� ����-�����!������������������� ��������

�5F#�*������54�� ������H����������3 �3F��3����������� �� ��������� �+�����V����W���������������� �3����������������������������!��������������������� 3 �3���3���+����HVV���� ����

�5�*�������������P��H�����������+���F���������������3�F-���������H��������������F��3��� ��3��3 V������+��W�������� -�� �F��3��3�������������������:�����!���� ������3��� ����������� ���������V������W���F�������3������"������V����W�� ����� � ���3���������� �3F��3������+���������+��� �����H�� ���������!������� ����3�������3���+ ��������������������+�-���� ����5H��������� ���������@�@������������� ������V����

�5i���P)�����4��H�����+�F��F��������3�����+`���� ������ ��-�� ���� �3 ��W��� �F�����a��������������� �����W�����+`���� ������� ������������ ������� b���� � ������� �� �����3 ��+�F�������+���� �� ����� ������ � ����������������� ���+�F������� ����-�3������� �������� �� �� �

Page 196: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

194

Глава V

E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=�$�������!���������!����������%�������Y��!����������M�P�� ���������������������!����$� �����!���������"��������������L��������%�!���������!�L����������� �������$� �����" &�������� ���&M���������� ������$����� �������%��=��������������������� ����G��!���� G���&���K������&��@!����� ���L� ��� ����� �� ������ ����� � �L� �"�8�M�&M��� ������L� !��!�&� �� ���L��������K����������$����� ��B����C��� ��!*��M�������5�=����������$� �����!����!���� ��������� ��

��*'-�� i�����������

i�"����'>��RLM�)#����%

^��)

��RLM�)#����%*����*��?�������L

����%^��)

��RL����^��)

� ©����� 70 +�L' �L'� E������ 65 +�L;� )L;�

� ?� ������������B���"���C 90 130 40

J����'%��#����'����)������������������1�(��� �&�"���� &"�%����K��P����������� ��� ������8�����������M���L���$�������������������L�������$�P������$����$��������H��M����F��$���������!� ��&��L��!�������������$� ������!��F �������%�!��������������M��������� &L���K������&������!� ��������%�����K�������������?���� � ���������1� /����� "���� ��K�������� �MG� ��$� !�����&�� �� !��%P��������"�"M��������������n�("�����K�������

!����� ������'#������������������

H�������V O�������������$���������������"������K�������L�$�����������!��P��������

H�������VV X�������������"������K�������L�!�������L��"������!���� G���&���PK������&�

H�������VVV X����������"������K���������L�!�������L��"��������"������&���PK������&�

H�������VW @"��� ���� �"Q����� ������ "���� ��K�������L� �"����� �"A����&���K������&�

Page 197: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

195

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

Урок 5.18. Презентация информации. Диаграмма, гистограмма, график

C���)���'1�'������������ ��������������������P8�����L�8��8������� ��8��K����'������ @!���� ��� 8������� �$�������� �"���������� ������������E�������� ���"����1 ������ ��� ��K������&���$������������������!���� ���8��������$����������� ���%���K��������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K��������������

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 H��M���� �$� ����� ���������� � ��A��� � ���� $��&�!����"��!����� �������K����������������" ���L����8������������� �����������K����������������8��K����$���G����F���8�����*��!������M�������������M����!��$������� ���� ���%��%�K������%���!����������G�8��K�����*��F������������P ��$������!����� �������K�������L������������8�����%���8��8�����%L��������8���K���L������������!�����G���8��8��K�����"��������K���������B����)��������#�>��*���[�E���������!����������K������&�!�����������P8�������� ��8��K���\�E����!���� �&��8��������"�����%���K�����������������!������ ����8��8��K����� �����8�����\

(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�*�������������"��������" ��������������!���� ������ ��������������$�!����������" ����!��$�������������� ���

J����^# VH���"������������

����>���M����#����-��*���M��#�

H�#�>*��������������P�;������������?� �#���"��������g

������b

+;P+7 ��������2

200 1 10� �, %

-;P-7 '���������

5

200 25 25� �, %

7;P77 4 ������4

200 2 20� �, %

�;;P�;7 ��������3

200 15 15� �, %

��;P��7 5 ��������5

200 25 25� �, %

��;P��7 �������� 1

200 05 5� �, %

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

201

5.18. Презентация информации. Диаграмма, гистограмма, график

Упражнения

�5�����!� "� ^�+�� ���V����� ������1e3+�����:����F�������+���

��� �� ���� �� ���!����!���������������#

���������+���W�����������+��W���� ������� ������ K�/�(L���J����

^# VH���"������������

����>���M����#������*���M��#�

H�#�>*��������������P�;������������?� �#���"�����

���g������b

70579 1���� �2

200 1 10� �, %

80589

90599

1005109

1105119

1205129

7%����������� �� ����������!���%������7ee��*+%������71e��-

1%������� ��W���� ����� �3F� 3+����� ����� ���!�3 ������ ������

ge����� ������������ �3+����-

:���3������������������������V���+��W������� ���������������

�5���+��W�1���� ���3��+�����+��� �

K�/�(L��H

(���^������gV

H���"���������"�g

e5Cg 2

.e577g 3

71e57Dg 7

7Ee510g 28

1/e51gg 25

0ee50.e 11

�%���������+��� ��+����������1@ ���� -

+%���������+��� ��+�����+����C@������ -

%4�����������V�������� ���+��W��Y�3H��-������������3���������F����������������� ���F �+�W���� ����!�FX�� ���3� � ���F�������� ����!�FX�� �������� � ��+��� � ������� ������� ��������� ��������� �������� ��������������!���� �������������- �H�������V����

Page 198: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

196

Глава V

�C�H����%[� ]C��� ���" ���L����A��������%�����A���;;��8�U���^�� � "C��7��" ������ �������%�����A����;��8��C��+��" ������ �������%�����A��7;��8���F����� ��� 7

200 35 35� �, % ������������������

!*��M�������5]C�'���"�������"�� ���������������"C������"�������"�� ��"� ���'��������"�� !������ 8��K��� ��� ������ �" ���L� !������ !�����8� ���&� �������������L��������%�����"���������������L�����������U��� ����"���������8��K����������!�������"������������M������E����$��" ����������$�8��K����������� ���L� ��� "� �A�� ��8�� ��"����� ��"�� �� �U'� ������ �� �� ��� ��"����L�!����"���A����� �A�����L�U����

!*��M����� ��5 E��� ������ �$� �" ���L� �� �L� $�!������� �� ������ � "��L����!� �8�&��������;������@�����F���� ����������������N��K���!� �����������L�����F��!��������������

Page 199: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

197

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

]C��H��M���L�!� �$�&M�������"���L���� �&�';z����������M���L����M���L�!� ��$�&M���� �8�����������"� ��L���� �&���z����������M�����( �������P� ����L����M���L�!� �$�&M�������"������ �8�����������"� ��L���� �&�)�z����������M����

"C��H��M���L�!� �$�&M�����������!��$����B���� �����CL���� �&� 2

23100 8 7⋅ ≈% , %

���� �����M����B����� �����CL�!� �$�&M�������"����*������������������ ���"Q������ 8�����!�����������8���%����8�������H��� �������F���"Q�������!���������!���M�&��K��������!�&������!��8������X�P�������������"��$���!��������������!�����������8���%����8������!*��M������ 5

i������������#�

N��?�)������#�^��5#�)

=���� N������^�VT��������'>

� ��^� ��)���gV

i���!�� ��L' ��L'�[��';���;L;+ ;L;+�g��;;�b�+ �);�g�;L;+�� 28>$��� #�L# #�L#�[��';���;L�7 ;L�7�g��;;�b��7 �);�g�;L�7�� 104>K����� �;L� �;L��[��';���;L�;� ;L�;��g��;;�b��;L� �);�g�;L�;��� 73>������� 42 42 : 150 ��;L�- ;L�-�g��;;�b��- �);�g�;L�-�� 101>��� ��� -L+ -L+�[��';���;L;) ;L;'-�g��;;�b�'L- �);�g�;L;'-�� 21>�������� �#L� �#L��[��';���;L;� ;L;7#�g��;;�b�7L# �);�g�;L;7#�� 33=�8�� 150 �L;; 360

Европа

Азия

Африка

Америка

Австралия

Антарктида

Page 200: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

198

Глава V

+�//������������ ���"����1 ( �"��� ���M���� $������&�� �� ��!� ������ !�P��������8��K���������8���%����8�������, ��� ��A�������$� �������������M���L������ �� !������� !�������� ��� ��"��L� !��� ���"�������� ��!��� ��� ���� =����L����"������ ������ �$�������!�������&� �"������M��������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%����������������"������K���������iMG���$���������������M������������� 8�����!�����������8���%����8�����������G���������� ��8��K�������!��$���������K�������������������n����$������!����� ������'#������������������H�������V ������ �����K������&��������� "���%����8������8��8�����L����

�������������8���&����8��������8��K���H�������VV ������ �����K������&��������� ���%����8�����L�8��8�����L���P

!������!���� G������A�"���!���!�����������8���%����8��������8��PK����

H�������VVV ������ �����K������&�!��������� "���%����8�����L�8��8���P��L����8���%����8��������8��K����L��!���� ���8��������$����������P ���%���K��������

H�������VW ������ ��� ��K������&� ��$����� !��"���L� �!���� ��� �� �"Q�����8��������$���������� ���%���K��������

Урок 5.19. Прогнозирование

C���)���: 5.1.4.������������������!��8��$���������������������������E�����������"����1,�G�!��8��$����!������������������������������������������K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���) �����'1� ����������!�����L� ��$8����� ����L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 H��� �� ����� � !�P��M�&� ���!�&���� !�������� !��$�����&� ��!��8���$����������, ������������!������!��8��$����&���!��8��$������$��%���K�������L��"Q����������� �$���&�L�����������F����K����������� �������������� !����%� !��8��$�� �� !��8��$�������������� ����G��"�F�����K������&.

Глава V

206

5.19. Прогнозирование

N�� ���5H��������!�����+���X�������3����+`����������� ���3�

N�� �����������5H����W����+��+����������������� ������� ������ �

|�����!��� ����!���� ��!�����������������������+�������X��� ���3

��7ee}���������� ������������ �!�������� ��3������������� ������

���� ���������� ���3�����+��� �F��3��������6����%��������������

Упражнения�5���!������FX����+��W���������������� ��F�������� �� ~��W�F

���������� ��������� 1e7751e70���� �2��+��������������+��W�

�������+���������������

�)'C����' 2011 2012 2013

����3 150000 150000 200000

����+���!�� 460000 420000 490000

��� 680000 650000 640000

,�����������!�� ���������������������������������� �H�����-

�������-

�5���+��W������������!�� ����+����1@�3V������ �������0@ ��-

�3��� ����� ��� �����3!����7@������������� ���+��W������ ���

�������F����������

K���J����' �V���� ��V����

1-3 12 7

4-6 10 10

7-9 6 10

10-12 13 13

,�����������!�� ���������������������������������� �H�����-

�������-

�5��!��� ��������V����������������������6�%��� ���6+% �������

��3������� ����V��� �3����������3����������+����H�� +�����

�������!� ���3������ ����!��� ����!�����������������FX�������

0 07�� 7��11�� 11��15�� 15��19�� 19��23�� 23��3�� 3��

T C° T C

°

36°

36°

36,�°

37°

37°

37,�°

38°

38°

39°

40°

часы часы

a) б)

Page 201: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

199

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

B����)��������#�> ��*���[� E��� ��&�� �� !������&�� !��8��$�� �� �"���� � ���"Q����L��������������������������������\�

!*��M�������5(��������8�������*���G���������8��"�������$����������� �[�C��=��;��U�;���8������$��G������!���� ��!����M������?����������P�������� ��

(©>L����!�� ����������U�T!������C��=��;��L��;��L��;���8������� �� &��%L�!���"����&P

M��� �� ?����&� �$� >$��"�%�����L� ���� �� �����PA� ��L� $���� ��� ��� ���� �� �� &��%L� !��P"����&M��� �� ?����&� �$� (©>� �����A� ��L� �� �$�T!�����U���� ��� ���

��C��i �� ���M���� �!���� �� ������� �� �� !���"�P��&M����$�F���������?����&L�����8���!���P�� ��L����" ������8����F������ ���� ��!��P"���&M����$�>$��"�%������

���� ������ ��!��"���&M����$�(©>���?�����&��$�8������8��������A� ��L���������$��L�������;�#�8��������� ��"��������A��)#;;;;� &���%���� ��!��"���&M����$�T!�����!�������"� ��������$���� ��L�$������� ��� ��L����!�$�� ���!��8��$��������L�������;�#�8������� ��!��"���&M����$�T!�������?����&����������A���!*��M�������5@�������������" ���L�!������� ���%��&����8�����[�C��=��������8������V�K�������" &�� ���!�������!��������H�VV�K��������������7�

���������" &�� ���!�������!�������!��������L�$�������������������������"� &P�� �����!�������

�C���� �� !������ �� ������� #U)� �� �;U��� �������� �� �"���� K���� ����������� =� �����%� K����� $��!� ������ ��� ������ 8���� !������� ��� ��� ����@!���� ��� ����&&� !������� �� ������ �� �� ����P�������"����K���[

, ��V�K����[� 7 10 10 13

4

40

410

+ + += =

, ��VV�K����: 12 10 6 13

4

41

410 25 10

+ + += = ≈,

=��������8������ ��!���������"����K��������������������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%������������!��8��$�������������������"�����%����K�����������!��"���!��������F�8��!��8��$������������n����8��$���������!����� ������'#������������������H�������V X���������������!��8��$��������������������������

H�������VV ,�G�!��8��$�������������������������L����$������������8��!���������

H�������VVV ,�G� �� ������ ���� !�������� !��8��$� ��� ������ ����������������

H�������VW ,�GL�!��������!��8��$�����������������������������"���P������������ ��

Page 202: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

200

Глава V

Урок 5.20. Число благоприятных исходов для относительно сложных событий

C���)���1'������@!���� ����� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��%�E�����������"����1@!���� ����� ��" �8��!���P��������������! ������"��%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L�������$�!����P�������K����L��"�����������OE?

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�,�������������M������P��������� �������$����!��"���� ���!���� �������� ��" �8�!�����������������! ������"�����H��� ������������M�������� �$�����!��������$����"��������, ����8 ������������$�!������K���������������@"��$���������!��8����������K��������!�&������!��8���������������"Q��������8��K��� ���"��$���!�����L�!��P8������!�����������!�&������!���8�����Bk�������������������C��B����)��������#�>��*���1�E����!���� ������ ��" �8�!������������������!P ������"����\

(��� �&�!����������� ���������8��!!�����$��&����"����� ����$����������$����"����L�������������� ������!� ����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�"C�, ��$�!������$���������� L��"��$���������$���� ��L�;L�+L�)L��������" ���[�

�S�"���� �S�"����G � � �

2 �G �� �� ��6 �G �� �� ��7 �G �� �� ��

E��������L�$������$��������� ������� � � � � � �����1�"C���� ������!*��M�������5, ����A�����$�������������" ���[

B��� J�"�@���� ���'> ���'> "L��'> "L��'> *L���'> *L���'>(����� "L��'> *L���'> ���'> *L���'> ���'> "L��'>

?������"��$��L���������� �������"��������������!�����)���������������1�)����������

!*��M�������5�, ����A�����$������!�������" ���[

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

207

5.20. Число благоприятных исходов для относительно сложных исходов

������������ �����������������������������������������������

������������������� ������������������������� ���������!�����-

��"���������#�������������������$������%�����������������������

������� ���� ���� &���!� ����������� � ������#��� '(�!� ����#������*���������������������.

Образец�V�*��+������������&����&���!�������������������� ��'(���/!�:��;�

3��4��<����������#����������������&����&���!������������������#�

����'�%

N�������/�� (�������/��3 7 9

3 33 37 39

7 73 77 79

9 93 97 99

=�������������'�!�&��������"����������%�n�>�/?/�>�;�

Образец

�V��@�A�������/�������� ���B�����+����A���#�����������������"�������#��C

3��4�A��������"�� �������� ����"�������#���B�����+�����$���������

�"������D���������'�����������&���������������������&�����%

�)�M)� ������#� ������#� ������#� ������#� ������#��*�����P# E�E E�EE E�EEE E�EF E�F

�*�����P# EE�E EE�EE EE�EEE EE�EF EE�F

�*�����P# EEE�E EEE�EE EEE�EEE EEE�EF EEE�F

=�������������'�!�&��������"����������%�n�>�/?B�>�GB�

���������������������������������������������������������#�����-

'������� �������"�������#����#�H�����������"���I�

Образец�V$��+��������&�������!����������������J!�K!�L!�M��N�

3��4����������������������"������#�� ����� �������%�n >�B��O������

���������"����"������#�� ����� �������!�����������#��%�m >�B��P��������

������������"���!����!����������� �������!���"��������#�n�?�m�>�B�?�B�>�QB�

���������

R������������!�&�����������������������#!����&���� �����&������������

B�?�S�>�QT�

Page 203: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

201

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

N��)��' C*����'/������� I I

D�$��� I I>$��"�%������%��$�� II II

J������� II II?������"��$��L�!����������� ���&L��" ������!��������������������#������������

�����1�#���������!*��M�������5�, ����A�����$������!�������" ���[

D����*��� w�)#� H���� (*����@������ _Sw _SH _S(*

(�����*�) (Sw (Sq &S(*@�������� _��Sw _��Sq _��S(*

N��#� NSw NSq NS(*?������"��$��L��$�8������>���8�����=��������!����������!��"����

�����1����!��"���!*��M�������5�, ����!� ������$������������8������"���!��"���� ������"P ����, ����!� ������F�8��$�������������������" �����$�+�� "������+����L��������� ���"��$����������!� ������F�8��$��������������!� �$�����R!���� ��!���$��������SL�������������"������E����%�K����"��G�����������8����)�K�����P����( ������ ���L� �����"����+�K����������8����)�K��������?�8���n = 7 � 6 = 42. *��$���L���!�����L��$P$���8�L���L���"����" ���P8��A��� ��8��A�P�" ���������������������L������%���"����������!����� �����F���� ������� ��!� ��������� �������!��� �����[�#��[���b����� � � �����1����!��"�!*��M�������5�=�����"���-���$����������� �����O$�����"����$� ��!����������� P�������� ������L�$����(�%���L����L�� ��������$� ��"� �%��� ��L�����"�����%�(�%P��������� ���"�������"� �8��������?�8���!��R!���� ��!���$�������SL�n = 8 � 7 = 56.

�����1')� ������!*��M�������5�(�������" �������������� ����[

11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66

]C������ �����!�����������K����$�������)����������"C������ �������!�����������K����$�������;����������

Page 204: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

202

Глава V

�� �� ���� ���$������� ��� � 7;�� ( ������ ���L� ��������� $�!��� ���$�������

��� ��$�F�����K����!������ ���� 36

90

2

5� L������������� �����

30

90

1

3� .

�����1]C��)� �����L�2

5^�"C��;� �����L�

1

3.

!*��M����������(�8 ����� ���&L�N& �%�$�"� ������&���!���&���K���!����$���P��8���������� �K�����, ��!��������8��K���������&�����������P��L��"�$����������L�#L�)L�-��(�8 ����8��K�L�$������$������ 4 � 4 = 16 �������i �����$����L��� �&�� ����� ���G�������� �����G����L��8������������$��;���K����8��"���$�!��������=�F��� ������ �����"�� �����8���������� ������;�� 10 = 100.

�����1��)� �����L��;;� �����������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%�����������������!���� ������� ��" �8�!���������������"��������������n�@!���� ����!����� ������'#������������������H�������V *��������!���� ����� ��" �8�!���������������"����H�������VV @!���� ���!��"������ ������" ����� ��" �8�!����������P

�����"���L�$�����������!����������!��"��8��K��H�������VVV (������ �����!���� ����� ��" �8�!���������������"����H�������VW (������ �����!���� ����� ��" �8�!���������������"������

�"Q�����

Урок 5.21. Вероятность событияC���)���1 '������ *������ �� �� F ���������� �P"���%���!����������F�!��������������8������������� �������������"��%�E�����������"����1�@!���� ����� ��F ������P�����"��%������� ������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8�� ���������

O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1���!� ��������� ����L�������� �� ���"������ =�� ������ ��!� ������ ����� �P����!���������8�� ��������%���� ��A�����P������������M�����?������"��$��L�����"�������������������������������������������"�P����� �����

2468246824682468

2

4

6

8

II цифра V цифра

Глава V

210

5.21. Вероятность события

Деятельность

�5 ]���#�������#�� �����#��$����������������#!����"�����������������#!�

������ &���� �������C� ^������������� �"������D����� ��-

����%

�_��O���"����!�&�����������H`IC�

�_��<��������"���������#��������%���������HGI���HSIC�̂ ���-

�����������"����#� ���������C�

�_�b������������"����#����������HTIC

�5 A���#��� ����"���� ������� ��"��� ������� ��� ������ �������

����#��������C�A���#�������"�������������������������������HBIC

�5 ^�������������+����&��������"����������������HBI���&���������

����"������������� �������������^�&D��������� �������#C�^�c������

����������!���������������

d���#������� ���������������� ��������������������;�������������'�����$������%���������������������e� ���������!��������������-

�������������������e� ��������������������

^��&��������������������������������������!�&���H ����������������

����"��I���H ��������������������"��I���H ������������������

����"���I��$���������(����'����+�������������&������������������-

��"������� ������������� �����������������������#������#�����"-

����#����������&������������# ���������������������������

O���������������������#�������������&�������������d�f�������������

�����������������HprobabilityI_%�O���������#��������b������&������dfb_�

f������������!�����d����������������������&���

!��������%�d��"�#

_�

^���+����&���������������������������������&�������������"����

������� ��������������������������������P� �������������

g����������#��������

>&�����������������������

������&�������������"����������

^����&��&���������������������������������������������������-

�����b�&����nfJ_!�&������������������"�����������e�n%�P����P AA( ) = ( )nn

.

O���������#��������������f�������#����_��������������G%�d����&�����

�>�nn�1.

O���������#�������"������������������T%�d�������"���

�>�0

0n� .

Образец

$����������������#�����������'������������������������������������

����������������������������������������QT������

Page 205: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

203

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

��R��������"�����[�H��� ������M�����!��������"���������"�F �����������"����L��� ��" �8�!�����������$������� ������������ �$������,�G�K���� �����������������������"�������"Q������G�B����)��������#�> ��*���[� E��� �������� ��������� F ��������8�� �"���� ��!����������F�!�������\

(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�(�8 ����� ���&L� �������%�������������!���������� ��L�#� �� )� !��� "������� �8�� ���%� ���� �� ��$�� �� �� F��� �"��%� ������ ��� �� �� ���

��$��������"��%�U�)�����!�������!����������� � �3

6

1

2. �����: 1

2.

!*��M����� ��5� �� �� " �8�!������� ������� ��������� ��!������� �� !���"��������8�� ���%���������$������������� ����$��������"��%�)�f�)�f�)�b��-��

( ������ ���L ���!��������������� �

3

18

1

6. �����: 1

6.

!*��M����� ��5� ���� ���� �� !����� �������� '� f� +� f� #� b� �)� ����%L� �� ����������� ��$������%� ��"���� (������� ����%� �$� ���� ������ �)�� ���� ������ ������!�� ����+�A��L��� ��" �8�!��������������U�+��( ������ ���L

�!�� ��� �7

16, ����� �

1

4. �����: 7

16 �� 1

4.

!*��M����� ��5� ]C� E� ������ ���$������� ��� � 7;� B�� �� ��$������� �������"���C���� �L���������&M���������K����[���L���L���L�#�L�'�L�)�L�+�L�-�L�7���O���� ��

7�B�� ��" �8�!�������������C��( ������ ���L�����$��������� �L���������&M��������� �

9

900 1, .

N���"����[�(�"�����������"�$������ &"�%�"����%[�� ���������"���L�!������������� ���� ��������������������K����L�"����%�>L����B`C�b�;L�� �����[�;L���C�������"����%�=��"���L�!�����������������K���� ������[��#L���L���L�#�L�

';L��� ��U�'���BaC�� �5

90

1

18. �����:

1

18.

8C��@"�$������"����%�(��"���L�!�������������$��������� ����8 ��"���� �������)[���L��-L��#L��;L��)L�#�L�#-L�'#L�);L�))L�+�L�+-L�-#L�7;L�7)�U��� �L��� �M�������)���BjC�� �

15

90

1

6.

N���"����[���"����%���� ��������� L��� �M�������)L����"����!��"��L� �P�����!���� ���!��������!� �������� �L��� �M�������)L���%�������$��������$���P ������)[�B7)�U���C�[�)�b��#��E�F������ ��!��"�� ������B�$P$���8�L������� ����C�

�����: 1

6.

!*��M�������5�C�@"�$������"����%�E��"���L�!����������!����� ��������������������G��'��?������� ���!���� �&��K���� �%�m = 12n + 5.�� ��m =�'L��+L��7L�#�L�'�L�)'L�++L�-7������&�� ���&�

( ������ ���L��BmC�� �8

1000 08, . �����[�;L;-�

Page 206: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

204

Глава V

!*��M������ 5��������������"�����!� �������!������X����������%��� �&��� ���� ��������� !� ������%� ���M����� ��������� �"���%� ���!��������� &"�%�

!����!���"��������8�� ��������%�����"�&�1

6.

��� �L�!� ����������������������M����B!��CL������"���" �$���� �����������"��1

6L����������������������� �������H��M������ ����!����L��������!���"��������

������8�� ��������%������������!����������������%�!����������1

6L ��F����

�$������L����������8���"���������� 1

6.

����������n�*������������������!����� ������'#������������������H�������V @!���� ����� ��F �����������"��%L�$����������������������

�����������H�������VV *������ �� �� F ���������� �"��%L� ��!����� �!���� G�����

�A�"���!�����������������������H�������VVV (������ ��������������������F �����������"��%�H�������VW *���������"Q��������������F �����������"��%�

Урок 5.22. Сумма вероятностейC���)���1�'���������������K���� ������������P���%�E�����������"����1�*�������������������%�F ������������"��%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8�� ���������

O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�������L������%������"���P��L���!� ������������F�!���������L�!���!�����P�������"������������M����L��"Q�������������������%��

B����)��������#�>��*���[�=������� ������� �����&������������"���\

E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5]C�����"��������8�� ��������%��������$�"� ��A������8����!����� ��U��L�#L�'���)��E�������$�����U��������$��������"�����( ������ ���L�������P

������!������������8���$����� 1

6. 1

6

1

6

1

6

1

6

4

6

2

3+ + + = = . �����[�]C� 2

3; �"C� 2

3; ��C� 1

2.

!*��M����� ��5 ]C� @"��������� ���� �� �L� D��8� ��������L� ��� ���������

��!������� �����%�����������!����%L����������%��������������� 1

2��Y��U��������

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

213

5.22. Сумма вероятностей

A�����!�������������������������������������!������ ����������

�����������������O���������#���������������������������b��O�

������������������������������b��������������������O%

�^_I[V\�^_VI�^[V

Образец

$����������������#����������B���Q���������������#���������G����

3��4�k������!�&������������������G������"���������#�`��������-

��"�����&�����$�����������������"����#����������Q���B��^����&��

���&������������Q��������b!����&������������B��������O��P�����P A( ) = 1

6��

P B( ) = 1

6��A���������#��!� P A + B( ) = + = =

1

6

1

6

2

6

1

3. �^����%�

1

3.

Упражнения

�5��������������#������������������������������������#������ ���������%

�_����������&�������#+��Qn

�_����������&�������#+��Bn

�_������������&D������&����

�5O�&���������������#�����������������������������������f�������������

�������������"�����&���������������_������������������Q���������

����������������������������!�o��������"��������� ���������%�

H������������������������������������������������������������������#�

��������"����%��������������������������������������������!�����

���������������O���������#�����������������������������������������

������!���������������1

2��

1

2

1

21+ = . �A���������#��!��������������������

�������������������������������e�������������������I�

�_�O�&D�������+���+����o��!���������������������C�

�_��=��!������#������"��������"���#�o��C�=����������������#����������

��������������������������������������������������C�

�5��k������!�&����QTT��������������������������������� �������+�

�����������GTT��������!�B��������e�BT��������!�:��������e�QT����������

���������������p�#�����������������������%

�_�����������#������+�������������GTT��������n

�_�����������#������+�������������BT���QT��������n

�_�����������#������+�������n

�_�����������#�������+��������

Page 207: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

205

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

�� ��� *�� � ������� ��������� F��� �"��%� �������L� !����� ��� !��� "�������������� ��$������ ��!������� �� �"���� ������� �"�����%� ������� =� F��� ������"������������"�������������"C�=���%��� ����L�$�����M�����#���$������������[

���=�!��������"�����%����������"����������^���=�!������� �����%����������"����������^���=�!���������!����%���������"�����%������L�������%�U� �����%^#��=�!���������!����%�������� �����%������L�������%�U��"�����%�

( ������ ���L���$������#��������,����$�����B����#C�" �8�!�������������

?�8������ �2

4

1

2. �����: 1

2.

!*��M�������5�]C�=���������"���P���8��A���;;�������: �100 � �2

2000 01, .

"C� =�������� �"���P���8��A�� ';� ������[� �50 � �5

2000 025, . =��������

�"�������8��A���;�������[��20 � �7

2000 035, .

=���������"�������8��A��';�� ���;����������������������������F����"��%[���b�;L;�'�f�;L;�'�b�;L;)�� �����[�;L;)��C��*� ��������8��A��8��"� ���8����������L����"� ������8��A����;;L�';�� ���;�

��������( ������ ���L������������ ��������8��A��8��"� ��[���b�;L;��f�;L;�'��f�;L;�'�b�;L;+�� � � � � � ���������[�;L;+�

8C�=���������� �����"� ���"�$����8��A�[���� �186

2000 93, . �����[�;L7���

����?��������������1H��� ���"�"M���!��%�������������������������������P���%� F �����������"��%L� �MG���$�������L� ������������%������� F �����P�������"��%���������%������������n�*�����������������������%!����� ������'#������������������H�������V *��������!���� ����������������%��"��%�H�������VV *�������������������%��"��%���!����� ������H�������VVV (������ ������������������������%��"��%�H�������VW *�������������������%��"��%����"���������

Образец критериев для составления заданий для малого суммативного оценивания № 9

� H�������1 ����������������������������������8 ������8� ������2 �����������%������A��8���8 �����8� ������3 �������������A����������������%����8 ���!�����8� ���8�����8� ������4 �������������A����������������������8 �������8� ������5 ����������������������8� ������6 @!���� ���F �����������"���L������������������"����7 ���������!���� �� ���������������%�

Page 208: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

206

Глава V

Образец малого суммативного

оценивания № 9

�5��@!���� ���8��P�����&�������4 = 125°������P8� �������>=(L�� ���1 + �2.������������������������������������������������������������������

�5��@�����$������������8 ������8� ������������)#�L������A��%��8� L���������%������U�+'���*�%�����8 �����8� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��=� ���8� ������ >=(� �`b� 7;°L�`a�b��)������jb�;°L���%����� ����8�!����$��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��=� ���8� ������ klm� kl� b� 'L�� �L�km�b�)L+�����lm�b�#;�����E���%��8� ������8� ���������"� �A�%\���������������������������������������������������������������������������������������������������

�5 @���� �$� ����� �8 ��� !�����8� ���8�����8� ������ ������ );�L� �� � ���� ����PA�8���������� ���#������������������� ����8�!����$��F�8������8� �������\���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��(�� ���������"���F �����������P"���%� !��� �������������� "������������ �8�� ����� ���%� �� ��$\� E�������"����� �� �&�� " �8�!��������� �� ��!������� �����L� ������ ������������ ���"��'\����������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��=���A��� ����G����L� ���"� ��L� �)��G P��� A������ *�%���� ��������� ��8�L���� ���8��� �$��%� �$� ��A��� A��� "�����G ������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��(�%���� $����� � ���$������� �� ���*�%� ��������������"���L����F����� ������������������� ��'����������������������������������������������������������������������������������������������������

5��=���%��8� ����8� ������"� �A��!��P��8�� �8 �� ��� �;�L� ����A�� ����8�� ���#;���*�%����F���8 �����������������������������������������������������������������������������������������������������

�G5��i �� �� ���A���� ���8� ������ ���AP��%��8� �"������������'��;o:]C������� "���� ������ 8�������� �����

��������8������A�����8 ��\�����������������������������

"C������� "���� ������ 8�������� ���������� ���������� ��������� ������8 ��\�����������������������������

B

CA

1

2

3 4

D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���

Page 209: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

207

Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность

Образец большого суммативного оценивания № 2

�5�����"��$�%�����������������8�� ��[2x�Bx3�U�y4C�U�B�xy4 + x3C�b���������������������������������������������������

�5�@�����$����A�����8 ������8� ������������+��L��!���� ����������8����������������8 ������8� �����[

�������������������������������������������������������������������������

�5�����"��$�%�����������������8�� ��[Bx4 + y7C2�b���������������������������������������������������������������

�5����������K���� ������MG���8�����������L��!��������������[Ba�U�#C2�U��Ba�U�#CBa�f�#C�f�Ba�f�#C2�b���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�����"��$�%�����������������8�� ��[Ba + 2bC2�U�Ba�U��bC2�b���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�=��� ���$�����������������[ 64 17

16 9

2

2

−−

=

�5 a��bL� ?� U� ���M��� !������� i �� ��� b� '��L� ������ �����$�������������8�������������#����3.����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5���$ ��������� ������������ �[27x3�U�-�b��������������������������������������������������������������

5����$���� ����� �8 ��� � ���������� !��� � ������ �������� ������ �)�L��!���� ���8������&������F����8 ��[��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�G5��������� $����� �� ���$������� �� ��� *�%���� ��������� �8�L� ��� ����� ��K��$��������8���&��� ��"����������7�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

1

2

3

4

a

b

c

Page 210: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

208

Глава V

��5*�%������������������������%�!���������8��K����

y xy x== +

⎧⎨⎩

,3

�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5� ��A��� ����� ��������%� !��"��� !��������� � ��

��������������������: y xx y+ = −− = −

⎧⎨⎩

3 46 5

,

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5� =���� k� $�!�A��� ����� �� �L� ��"�� �C� ����� ��������%�y xy kx= −= +

⎧⎨⎩

3 55,� ��� ��

�������������A����: ����������������������������������������������������������������������

¥C��������������%�y xy kx= −= −

⎧⎨⎩

5 77,������� ����A����[��������������������������

��5��=�� ����'����M������� ����������!����A����� ���� �������������� �������*�%�����z����"M�8���� �������� ���������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5�, ����8�!����$��!�����8� ���8�����8� �������)L#��L�������$�!�� �8�&M�������%�������8 ���������);���*�%����� ��������8���$��8�����������!���� ������P"� �A�������� ������� �L�������������������������8�%�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5 *����A��� ��!������L� $�K������������ �� i���!�L� U� #-�(L� �� >$��� U� ���¢��@!���� ��L����������!���������D����8�%�����i���!�L�����I� �������>$���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��5�����" �������������8���&����8�����[

B�*�������������������¾�P¢� `r�£ r�]�P²± ��������')z �;z �)z -z

0 1

1

x

y

Page 211: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

209

Образцы рабочих листов

E���������'�"����5E����������M)�)�����"#��

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�X�!� �����" ���[

x BfC

�7

11;L� 2

5

14U_�L-

�21

3

13

4

�L'

�3

8

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��@!���� ������������������������]C�̀ B;L-�C���aBU_)L'C^� "C�k −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7

4���l −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟2 35

:

]C�̀ a�b�

"C�kl�b�

�5������������%����x:

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

x–6,7

M N10,2

x

Page 212: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

210

Образцы рабочих листов

N����)�"��#��)�����"�'�)����

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�E������$�!�����G��������"�%�!������������������������"�\�X�!�A������7

4�

5

9�

4

7�

11

8�

7

15�

21

17�

33

21�

3

23�

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�=���������$�!�A������"���������� �[]C�v�b�;LB'�C�

10X = 10 ������b�'L����b�'�f������;v�U�����b�����9X = ... X = ...

"C�v�b��L'B��C100X = 100 �����b��'�L�����b��'��f�����;;v�U�v�b����99X = ... X=

...

99 = ...

�5�,������!���������������"��$�!�A�����������"��������������"�%�;LB)C�b� � � �LB��C�b�;B�'C�b� � � �L�B'C�b�L��B�;C�b� � � ;L;;B�C�b

�5�=�!� ������%���[]C���%�����'z����LB'C[���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

"C�7LB�C�f���LB�C�f�'L)B+C�b���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 213: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

211

Образцы рабочих листов

`����#�����

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�*�$�������������8 ����!���%��"�������

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5����%��"��������̀ kL�al���jm������8�����8� ������

A

B

C

�� ���������8 ���$���������!���������$�!�A�����$� ���

V �`b{^ �a`kb{^ �j`kb{

VV �ab{^ �`alb{^ �jalb{

VVV �jb{^ �`jmb{^ �ajmb{

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 214: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

212

Образцы рабочих листов

J��M�����

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�i ��̀ �b�cU_�^�'^�+^�U_7^��;^���^�U_�+^��7^��B+Cea�b�cU_�L'^�;LB)C^�U_7^���^��B+Cej�b�c'^�U_7^�U_�+^��7^�+LB�CeL�������[]C�̀ �a�b�a�`

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

"C�̀ �j�b�j�`������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�C�B`�aC�j�b�B`�jC�a������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�O$�"��$���������������8�����Y% ���P=����[]C�Bk�lC�m

MN

K

"C�Bk�lC¿m

MN

K

Page 215: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

213

Образцы рабочих листов

H�� ��;����������� �����#��

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�O$�����������8� �������$�!�A�����$���������8��F��������8� ������[

C

M

P

AK

Q

B

N

R

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�i ��¡`aj��¡klm��¡�¶ZL�$�!� �����" ����

¡`aj aj�b���� �a�b��;� �j�b��;;� `a�b�'�� � �̀b�\¡klm¡�¶Z

�5�H8 �����8� ������>=(��������+��;o���#-��;o10ooL��!���� ������%��8� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��@��$���̀ a���kl�!������&���������mL�̀ m�b�km���̀ a�b�kl��@"���%�L����¡`ml��¡kma�

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 216: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

214

Образцы рабочих листов

N������������� �����#�*���L�������

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�����%��B�!���M�&������ �C����8� ����������������$�����������$����b ca

�5��(�!���M�&������ ���� ���%���!���%�����8� ������������������L��'���L�;L�-���

Page 217: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

215

Образцы рабочих листов

J�� �"���'

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�*�%�������������$��������������8�� ����[3a + 4b�U�?� � � �� � � U_�L�a_U_7?_f_�;b]C�����[����������������������������������������������������������������

"C���$���[��������������������������������������������������������������

�5�*�%����!���$�����������8�� ����[

]C�− − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =3 2

1

24m mn k m

�������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

"C�B�x2 + 7x U�7CB;L�x U��C�b��������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

�5��A������������[]C�Bx_U_�CBx_f_'C_U_xBx_U_-C�b�7��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

"C�xBx_U_)C_U_-Bx_U_)C�b�;��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5���$ �������������� ������������������[]C�x2 + 2x f��Bx f��C�b�������������������������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

"C�a_U_�ab_U_�a + 6ab b�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 218: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

216

Образцы рабочих листов

C���)���'>*��*��)�#���������#�5C������

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5��(�!���M�&������ ��!���%�������������$���>=L���������%�!���!������� ������$���kl�

A

B M

N

�5�����%��K�8���L����������&������%�K�8�������� ���������@�

O

O

Page 219: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

217

Образцы рабочих листов

@����P������������������*� ��������

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5,��"�1

6 !���������������!����������%����"��������8 ��������$������������

=��� ����"� &��&�!�8��A����!� ����������� .1

6= ≈

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��@���8 ���!�������$����������� ������$����������L�������U������$��������L������U������$����� ������������� ��� �"� &��&�!�8��A���������8���$�����]C��)L��)

���������������������������������������������������������������������

"C�;L7�'+���������������������������������������������������������������������

�C��;-L��-+)���������������������������������������������������������������������

�5��,������ �� �� !���"��$�%�� �� �������&� ���"�� �� ����8 ��� ��� ��$����� �����=��� �������� ���&�!�8��A���L�$�!� �����" ����

�� � @���8 �������� � @���� �����!�8��A���

31

3

47

8

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 220: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

218

Образцы рабочих листов

K����'��#��?L��� ����M����

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5�=�!� ��������������]C�B�x f��CB�x f��C�b�������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������

"C�Bx f�'CBx f�'C�b������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�C�B'y_U_#xCB'y_U_#xC�b����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�H!��������������[]C�B�m_U_�C2�f���b����������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������

"C���_U_B+m_U_�C2�b�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5��,�������G�� ����$�!�A������������������������� ����$��������������������������%�]C�m2 + 16m f�)#�b��������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������

"C�#a2_U_��a f�7�b�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�5�@!���� ������"� �A���� ���������A���$�����������������������%[]C�x2 + 30x f���#�b���������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������

"C�U_m2_U_��m_U_�7�b������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 221: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

219

Образцы рабочих листов

C����*������������/������

D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������

�5��O!� �$��� � ���%� ����� L� �!���� ��L� �� ���� ���M���� � ��� �� !� ����%�����[]C����!��!�� ��������������^"C�!��!�� ����U#������^�C�!��!�� ��'U-�������^8C�!��!�� ��7U���������^�C�!��!�� ��"� �A�������������(�"�����&���K������&�!��������������[

]C��" ���^�"C�� "���%����8�����^�C����8���%����8������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 222: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

220

Формы и методы, используемые в преподавании предмета Математика

=�!�������"�����������������K��������������"�������� ������F�!����H��P� �� �� ���� ����� ��"����� � �� �����%� ��������%� ���� ���"��&� ���8�&� �"�P��������=�$����������������� ���%����� ���� ������������"��%�!����L���������$���!�������������8��!�������"������L�� �������%L������� ������"��������%������������L���8���$�������"������� ���8��!!��L� !��"�����������P��� ���8��!������L��!� �$������������������"�����������%L���$�����������%��E����%� ���� �� �� ���� �������� �������� ������ ���%� �� �������� !���!����P������ F�%� ���� �� �����%� ��$� �������� ����� ��� ����� ��!���L� ���� R��� �� !��P!���&\SL�R����� ������$���������\SL�RE�������������\SL�R�����������$��&\S�������@!����������"�����%��!��������������������������%L����� �L������P���� !������ ����� !���"���� ���M���L� �� ���� �$���� "� ��� ������ ���������"��������L��!� �$�������� ��!� ��8��������������������8�������� ���

I� ���"��$���� �"������� �"��$���� ���%� !��8������ B������� ���C� ��� �����������������������!���� ���&���8���$���&����������������������������M�P���������F����"��������� ����"�����8���$������������"��$��L���"������������!�� ��������������$����%L����M����� ��A� ���������!���������L�$����!� ��!�� �P�����&���K������&���������"��������� ����"�����8���$�����!� ������ �����������"��$��L���"������ ������������� ��"�$�%�� ��!� ���&M�8���"������������F������������������������K��������"������L��������!� �$����������������K�������"�������U�����P���K�������L�����P������L�����P�"�������L�����P�!������P����������*��"��������!� �$�����K�������"���B�� �������L���8��!!��L���!����L����������� ����CL�!��"��&M���8�"����!�������"����������������!���$����L�����!� �$�������F���K������"���!���"��$����������������%�!����L��$��G��� ������� ��!�������������M������ ��������L�!�����

?������������ �"������� ��������� ������� ��� ��� R������������%S� ���� ���*��!������F�!������ �������������������!������� ������%�����L������M�����G�F����" &��&��*��������F�!����8���$������������� �������"������M���L�!��������%�!������ �����!� �������� �����$�����%���������$����%��H��� ����L���"� &����$������ ����&����M���L�������� �����Y������ ����"��� ��������������"������8�������� ��$��������%�!�������������� ���8��!����������

*��"� ���FKK��������!��!��������������������� ����R�G����������S��"�P�������*��!������F�!������ ����������������"Q�����������!������� �������%�����L�$���G���!�������!���� ����!�����8�����������H��M�������� ������"� &P��&�$���"Q������������ �L������������������&����F���F�!���>����������PM�������!������F�!��������U��"�$�� ������ �����FKK������8���"��������*��F���F��!�� �"������� !����� ����� ����� $����%� ���������� ���M����� ��G� 8�����&������������������ ����������M������(!��"�������� ���!��� ���� ���������"����������������!��"���"������L�!�� �������$��!� ������ ����&�!��������"���������������"���&M�8�������� ���"�!�����������8������������������������M����������������&����M�8������F���F�!���"�������!��������P���8�������� ��������A����������L��������%���G����K��������� ����������"P������L�!��"����$��������������%����8����������

=���%�F�!�U�!��������%�F�!L���$����!����������������� �����!����������!����%�� �����8����Y��A�8���M�� ����!� ��!������������ �������������P8� �����������������������8� ����������/������"������� F�8�� F�!������&����

Page 223: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

221

$�����������������$����%����M��������"�����%�!��!��������8�������� ���Y��������!���8�&����M���L���&��!���� G�������!��� ������*��F���F�!������� ��K����������� �������� ��A�������$� ��������M��������$�������������$� �P������������8����8���$��������� ���%�� ��"� ����������%���"���%��������

*��������F�!�����M������"��&������� ���������F������ ���������P���������8�������L����%�F�!�������������"� �A�&��������������������"��������������� Y�� F�!� ���L� ���� !���� �L� ���������&� $����%� ���M���� �� ����������!� �$��������$��������!��"������������������������

i �����M���������&�����A�8����$� �������F�!��"� ����������8���"������L������ ����$���M�����"����L���8���$�������"� ���!�������������"��������i ������M���L���"���������� ���L������8��!����������������%���$� ��L��8���� ��������8���$��������"� ���"� ������������!������������"����

, ��K������������$����%����������������������������L��!���� G������"���$���� ���%�!��8�����%�B������� ����CL����"���������������L�����������P�������������������L����������&������!����� �����������������������[

��/�$8���%�A����B��$8���������C^���XuH^��@"�������^��,��8������=����^��E ���^��=���������!�����^��=�!���^���� �������!��" ���������0O!<0��P�O�"��������!����5XuH�!��������!�� ���&M���F�!��[

��� H��� ����� ����" �����$��G��� "��������������������� ���&M�����$��� �[�X��&��u����$�����H$�� �

��� ���" �����"Q�� �������� ������ H��M��������$���&��GL��������$��&���!��" ���L���������������P

��&����!������� "����" ����#�� =��������� "��������&��G��L�������������$�����"�F�%�!��" ����'�� =��������������MG���$��"��M����������������F���" ���������������G�

� "������������L���������$�� ���"�F�%�!��" ����0��P O�"������� !����

?���[���A�������������%��������$������"�����������\�@�������M��������P��&����!������� "����������������$����!������������������������ "����=���������������GL���������$�� ��!����������������������� "���

J�� ���>����Y��������MG���$���&���$8���%�����%��/�$8���%�A�����"�!�����������P

��� �������A ��������M���������F������8��!!��!��� ����������A�����!�P�� ����%�!��" ������$���������������������&���� ����!��� ��������i �����P� ���"��M���� ��!����L� �� ��!����� ��������� ��������=�� ����$��������� ��!������&�L�F���� �����������&��������������&�L�����$� ������P!� �������%� ��"��� ��� F�� �� �� ��� �$���&�� �� �!��� �&��� @�����%� �� �&�!�����$8�����A������� �����"��������������"� �A��!��� �����%��

Page 224: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

222

D��1���A�����$����L�!������M������������������������&��������$�������K��P�� �������%���������8�����������\�X������ �&��� ����"�����K����������K�����P �������%���������8������������

H������^������������VE ������ ����������L������%�!�$�� �����%�������L��$��G�� ������ ��

������ ���8�� �"���������� ���� ���M������ ���� !���������� F�8�� ������ �$��� ������������������ �L��$�����U������������E ���������!�����������P�������� ���L���"�����!����L������������"�����8��!!����i8��!����������������!��P�����$�!�����&M����

��"����� �$�������$��� ����L� ����[���=$�������"���8�����=������� ���$�!���� ���L������L�����M�%�����������@�F�8�� ����������$��� �������$�!����&���������� ��('��)����*������Y�������!����������������8��P$�8��������$��G������&��������������P

M�����H��� ��������������A��������8 �&�����L�����G��"�����%�������$��!�P������!�����L� ��"������ �� ���%��(������ "�$� ���!��%�!���$����� ���M������!������ ���� ��$�!��������� ���� ���L�����M��������"�����������8��!�P�������*��������F�����"�����%����M�����������!�������

i �����M����$������&����%��!�����L����� ��!����� �����!� ��� �������"������

+�� ���(����,��8������ =����� ����� ��� !���������� ����� �� "� ��� ���8���� ,� ���� "���

��������� ���� � �� $�!��%� �� ���L� 8��� ���8�� !������&��� =� ���$������ ����$�!������&��� �"������ � �� �"M��� ����� �!������%� !��" ����� ,�!���L� ������M���� ��� ���������� �������&� ��!���&� � !��� � �8�������� (� !���M�&����8������ =����� ������ ���� �"M��� �� � ���� ����� ������ *�� ���%���� ��������8������B���8��C���&���� ���� ���������L����!������&M�%������U��"M����O!� �$��������8������=���������������"���&M��L���$����&M���������L������������"�"M�&M���������

(�*���'=�!������� ���&�FKK��������!��������!������� ��������L��8��&�

"� �A�&��� ������� �������!�$����� ���%����� ��������M�����I� ���"��$����� �����#U'���!�����������������!������� ����"������!���P

����������$�������A ����L�!�� ��������� �8�����%�!� ������ ����L������P���� �����%�����$����%���!��������������%�

w�#���J������U�F�������!����������K�������������� �����M������Y���������P

����"��$����!� �$������ ���"�8�M��������L��G��K��� �������?������������� �������!������������������;U�'������

I� ���"��$������ �����"��������������!��������� ��������� ���&M��[ � ?�������!���� ������� �%���$������ �����^ � (��� �����! ��������$������8�����M����B� ��$�!����8���������C^ � O!� �$���������8 �����������������������

Page 225: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

223

H��� ���� ����"� ��������� ����&����"� ����B$���������!���C�����$�� ����B��"� &����$��������%�������� ����%����M���C�

����M)����@"��������U�F���"�������%L���K�������%L��!��� ������L���� �$�����!���� ����P

��%������8������@�����%��8��$�����%��� �����$��������$������%�� �����������P����!��%���A��������������� ���������!��" ���L�!�������!���� ���8�����A�������@"������������"�����������M����������� �A��L�!����� ��L�K������������ �P����$�����������!����L� �8���������������������A ��������M���L�����&������

���������"�������L�!��������M������!�����&��!���� �����������"�������P�����?���������$ �8�����H��� ��"� �������!������"�������L�$���������$���P��&M�����!����������������������M�����*�� �����$�������!���F���$�����������!���L���"�&M������� ����������R��S�� ��R��S�

=���������"���������!� �$�&���������!���L�����R���!���$�A �\��������!����$�A �\�/�8 �� ��F��!���$�%��!�P���8���������\����"������� � ����F�%��P�����\����"�����!�������� ��!���F�%�������\������ ���� ��F�\�������\S�

N����������������Y���������$���������������������8����A ����L���� �$�����"�"M������H��� ��!�����8�����!��" ��������!����� ���"���������H��M������ ���

���8��!!���$�#U'��� ������,������$��&����"����� ��L������&M���!��" ����&�������&��E������8��!!���"������������$�!����� ���������������$�������������$��������!��������A�������� ��������������"���8��!!���L���� ���!���������"�M����"��������

Page 226: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96

224

Использованная литератураM���E��/�A0��*���@E�*�

����À¶�Á]µ�ÁÁ]�Â��������±�²�²ok����]ò¥�¦L�Ä�¢�Z²��Á�¦L�l�£�Ä��Á�¦�¦§���o�ZrmL��;�'M��1���L*���@E�*�

����À`�³�¥�]��Â�U��Å�]�� �����±��]�������¸±]�Áo`���Æ]¦�]�L� Á̀�]��Æ]±²��²L�j�ǯ²��`���]�L��¸�]��Á̀�]�L�m]�ȸ��]�ÉÈ�¯]Á]�U�Ê��]�¥²�L��Å�¯�Á§L��777

����À¢²�������Â�o�j�¸�·��]ÁP�]¸¥]¯L��;;-#���Àk]��¸]��¯Â� +� ������ ��¯�Ë����¸� �§��� ¯��]¥Èo��±��� Æ�É�¯� Á̀³Å�L� l²��]Á�� Á̀�²�L� ���or�³]�� s����L�

Ê��]�¥²�L��;�;'���À���P`�³�¥�]�U��ÂL�À���P`�³�¥�]��Âo�̀ �·]�²���]ǯ��L�k²��]�]�mÈ�ÈÉÈL�k²�]��m��P�]¸¥]¯L��;;-)���À���P·��¸���ÁÂ�o�̀ �·]�²���]ǯ��L�k²��]�]�mÈ�ÈÉÈL�k²�]��m��P�]¸¥]¯L��;;+

M������*���@E�*�+���R> 8�"��S�+�� �L����"����� ���"M��"��$���� ��������������%�U�'P���$��o�N�E�/������L�

E�(�/������L�@�=�/���������/�[�,��K�L��;;#-���R> 8�"��S�+�� �L����"����� ���"M��"��$���� ��������������%�U�'P���$��o��*�/��������L�

*�N�/���&�L�E�O�*�A���L�(���(���������/[�������M�����L��;��7���R> 8�"��S�+�� �L����"����� ���"M��"��$���� ��������������%�U��P���$��o�>�N�/��������L�

*���*��� �����/�[�/����$���L��;���;���R?������ ��������%S� �������� �� $�����[� ���"���� !��"��� U� -P�� �$��oo>�>�N���L�

i�>������������/���[�?���(���L��;��M���*��(�*���@E�*������RN�������S�+�� �L���������� ��+�� ��$�8� �������������$�� �o/�������L�*�>�?������������

E�[�=��������%�����R@����SL��;��M��� �(A�*���@E�*������À`�³�¥�]��Â�]������³�]����]±±��]���U�±²¥�������¥Á�l]����]������¥��¯�j�¸±]�Áo������k�a�����U�

£�����������Bj���]³�C�U��77-�����À`�³�¥�]��Â�]������³�]����]±±��]���U�±²¥�������¥Á�l]����]������¥��¯�j�¸±]�Áo������k�a�����U�

£�����������Bj���]³�C�U��77-�#���Àk]���¸]����� �����������Â� o� r��¶�¥���� a�`�����¯L� r��k]�Á� k��]�´���L� r��� ���]��� £�� �]²����L�

k��Í�����������¯��³���U��77)��Î�`�'���Àk]���¸]����Â�̀ ±±���]������]��������������o¾����]¸�j������L�£���]�r����]�L��]�����]�¢��ÁPk]����{o

����k�·�]�P�����j�¸±]�������77-N1���1O�������

�ww�4�������<���>��@��9��;9w��/���w;�ww�4����Kw9>��@��9���B@�Y�����K\�K����K?��������@\-�>9B�\9��ww�4��������9��K@��B���ww�4��������9��K@�9��ww�4���@��w�@���K���ww�4���^^^�9@9?���B���;9w#����K��ww�4��;9w�-�?���>�K����@�����;9w�;9w�<���w;>�ww�4��;9w�;9w�<9��?���?�;�ww�4���Bw�KB�w�K�<�K��ww�4���K��#;9w��K��ww�4��-#�?>9��#;9w�#��K�;�K��ww�4���������#wK�B�K�K��ww�4��������w��w�K��ww�4������;9w��K��ww�4���K�:>�;��K��ww�4���K�<�;9w�;9w�<��K��ww�4�������Y>�?�;�;9w���K9@�#��ww�4������;9w��?�;��ww�4���Bw�K9?w�����w������:>��?�;�;9w���w;>�ww�4������;9w������B�?�;

Page 227: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96
Page 228: 0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96