0($)...3 ˙ ˝˝˝˛ ! ˛ # & 92 ˚/ 8 8 93 ˚ ( ˙ ˆ 8 94 ˚˚= ˆ 8 96
TRANSCRIPT
���������� ���
�������������� ����������������� ��
���������������������������������������
��������������� ������������������������������������������ �������� �����������������
�� !"#$%&'#%&($)���*#+%,�-"#*.(/!0($)��������1 �2������������3��������4
2
Содержание
���������� ��������� ������������������������������������. . . . . . . . . . . . 10��� ������������� �!�����"������ �����������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13� ����������� �������������������� �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14� ������� ����������������������������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16� ����������������!������������������������"� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19� ��#������"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����"� . . . . . . . . . . . 22� ��'��(���������������� �������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25� ��)��*�������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29� ��+��,�%��������������� �������� ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30� ��-��/������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36� ��7�����������"��������8 �. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37����;�������������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38�������/����������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39�������=�������8� �����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40�������>����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42����#��?������������������"������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
��� ����#���������������� �������������$����%������������������ . . . . . . . . . 49� �����(�!���������� �����!���$�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50� ���������$���������!���%������������������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53� �����@��A������!���%������������������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55� ��#��=�$���������!�������!���. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57� ��'��=�$��������!���$�����������!���. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59� ��)��@���� ������8���������%���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61� ��+��=�$������������8��B���"�C����!��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63� ��-��=������������!���&������� �����!���$�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65� ��7��D���� ��!���8��!�������8����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67����;��D���� �� ����8��!�������8�����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74�������E��8��F��������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75������������%�!��$�������8��F��������8� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76�������=���%�!��$�������8��F��������8� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79����#��(��%��������"������������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82����'��������������8� ������!���G��������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84����)��?���%�!��$�������8��F��������8� ������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89������������� ��������� �������������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3
��� ���������!����#������� &������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92� �����/��8�� ������8���������%���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93� �����( ����������8�� ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94� �����=�����������8�� ���� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96� ��#��H�������������� ����������8�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98� ��'��H������������8�� ����������8�� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99� ��)����$ ����������8�� ������������� � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102� ��+�����!������ �������� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104� ��-��,� ��������$���!�!� �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105� ��7��(��������%�!��!������ ������$�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 ���;��I���� ������������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108�������?��������?�����������!���"��$������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110�������J���%�������������������%�!��������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111�������>"� &����!�8��A��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114����#��@���� �����!�8��A��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120��� ��'�(����� �����)*��������+�����,���������������������� � � � � � � � � � � �121� #����E���������������$�����������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122� #������$ ���������������� ����!� �$��������K���� ������������������������� ���$�����������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125� #������$��������������������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127� #�#��E�"����������"���$�����������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130� #�'����$ ���������������� ���������"����������������%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132� #�)����$ ���������������� ����$������"����������������%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134� #�+������"��$���������������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140� #�-��H8 �L��"��$�&M����!���!���������������!����������% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141� #�7�����$�����!��� � �����!����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142�#��;��>������!��� � ������(��%���!��� � �����!����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144�#�����H8 �������������!��� � ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146�#�����H8 �������������!��!������ �������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150��� �'�#��������� ����&�#����� ��� ������������#���������� ����������� � � 151� '����(!��"��$�������K������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152� '����J���%����K����������G�8��K��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153� '����N��K���!�����!��!������� ���%�$������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156� '�#��=$���������!� �������8��K����� ���%����K�����% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158� '�'���������L������L������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159� '�)��O$����������!������. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161� '�+��J���%���������������������!��������������8��8��K�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163� '�-��(����� ���%������������%��������!������������ ����G���A�����8��K�������!��"�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165� '�7����A���������� ���%������������%��������!�����������!��"���!�������� . . 169�'��;����A���������� ���%������������%��������!�����������!��"��� ������ . . . 172�'�������A�����$�����!�������������� ���%������������%��������!����������. . . . 176
���������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4
'�����(����������������8 ������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180�'�����������8� ���%����8� ����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182�'��#��=��A��%��8� ����8� ���������8����%�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184�'��'��(����A����������������������8 �������8� ����� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188�'��)��*������������8� �����. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190�'��+��/�����"������K������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193�'��-�����$���������K���������,��8�����L�8��8�����L�8��K�� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195�'��7�����8��$�������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198�'��;���� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��% . . . . . . . . . . . . . . . . 200�'�����=���������"��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202�'�����(�������������%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204���������� ��������� ������������ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206������������� ��������� ������������� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207@"��$�����"����� ��� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209(��� ������ -���������� � ������� ����������������������. . . . . . . . . . . .220
5
Уважаемые учителя!
H��"��%����! ���� ��+P8��� ��L����M�%��$�H��"�������/��������8��!��"��L����������'� ������� ����� ���%L�������G�������������� ����!������������ ���"M��"��$���� �����A�� �>$��"�%������%���!�" �����H��"P��%����! �����!��������������"��$���� ���%�!��8������B������� ���C�!��!������� /�������L� ��"�����%L� !���Q�� ������ �� ��� ���&� ���"������ �����"����!��"�%L���!���� L���� ��������K�����������&M����������%�!�� ! ���������&� ���"���� ������ ��L� �!���� ���&� ������� �"������� �� ��PM�� ���&�!��8���������� �%�
!"����#�����$���8 ���?���L���A��A�����$ ����%�!���M����������� ������� �������%���������
������(&���������!������������������������"������%��������������=�F�%�8 �������&������ �����!������8�������L�!�����������������������@"Q�P����� !�������� "������� �8 �L� !������ "������L� �������� �� ���������8� ������ �� ���A����� ������ ������ , �� ������ ���8�� !��������� F���������M���L���!� ����$������L������������$�� ��R,��� ����S������%����L����"������!� ����������$� ���L���8��!��%����������P �"���������
?���L���A��A������$$ ����%�!���M�����!����������� �����!���$�� �������%���������������T� ����!���� ����������������8��F�����K�8����L���P�������$��� ���!�������������)�� ��L���+�� ����$���&�����8��F�������P�8� ����������!��$�����������8��F������=�F��8 ����"� ���� &�����K������ ��!���8���� ����8��!�������8������
?���L� ��A��A��� �� $$$ ����L� !���M���� ���8�� ����� �� ��%����� ���� ��P���������������������8��!��!������ �������$�������$�� ��������$���!��!�P ��L������ �������������U����L�����M������������� ���%� �����8��P��������VVV�8 �����=�F�%�8 �������M�����"���&���!���� ���&��"� &��%��������� ���%�!�8��A������$� ������$���������
?���L���A��A�����$& ����L��������&�K���� ������MG���8�����������������!�����������=�F�%�8 ����� ���&����%����8 ��L��"��$��������!���!����P�������������!��� � �����!���������M�%L��������!��� � ����L���%�����8� ��������������!��� � ��������!��!������ ����������������
E������& ���'������� ���%����K������L��G�8��K��L� ���%����������P�����������!����������L������ ���%������������%��������!����������L����A������$����������� ������������������%��=�F�%�8 ���������������MP����$��������������� ���%�!��%�����8��!�������������L�$�������������!������������ F�8�� !��L� !��� !���� ���%���� ������������ ���������� =� ������W�8 �������G�����A����������������������8 �������8� �����L�!��$��������P8��F������!�����8� ���8�����8� �����L� "�����K�������L��� $�������M����$�������������������������������X����!����� ����!��"��!��$�������
6
�"������%���K������������$�������F����!����������O ���&����$������P������!���� ���������" �8�!��������������� ����M�� ������"����
=������������%�8 ����� �����M���������$�������!���$�8� ������R����������"�S��Y��$��������������&��������8 ����
( ���)�"��#� *������ ���� �"��$��� 8�����8�� ! ����������� !�� !�������/��������� ��+P8��� ����Y���"��$���! ��������������#����"��������� ���=����� �������%�8 �������$����������L��������"�������� ��$���������!����$���������L��� &�G�������F��8 �����=� &�G�������8 �����������! ���������������������F�!�������������8���������=��������������!�����$���L��������������������������L�K�������"�����������L����������"���L��������=��������������������$�����������!�������L����������!������������8��P�����=������������!��������!��" ����������������������$��� ���«+������-�����,������%����������"������=��������������"� �!��� ���������&M�%�� ������ ���%���!��L���� �&�!����������� ���������������������$�����P��������������������!��"�������A������=������������8���������!����� �����"��$��L�������&M�������G����������������������=��������! ��������������8�������������� ���!����� ����������L�������������������)������������������L�������!���� G������������������!�����$����������.+�//���������-������"����,L� ���&�M�������"��L���������� ����!������������� �"������� ������!����$� �������"����������M������E������L�!������ �������"��$P��������������"�$�� ���L�F��U��!���� G�����K�����!����������E����%����� �������� ��� �� ��"���� �� ���"��$��%� K����� ������ !��� �� ������ ��� �$�����������&M�8�� �������� =� ����������� !��"��� ����� �"��$��� �� �8�� ��"� �A�8�� ��������8�� ������������ H��� �� !��� 8�������� ! ����������� ��8��!�����������!� �$�����F���"��$���
0��#�������"����#�1
Деятельность X���������� �&�!�������������M����������� ���%����� ����
Образец @"��$��������/������� ������� ����� ��� � �"�$P
�������"����%�Z��/������������� ��������� ��� ����!������������� ������ L��� �������� �� ��� ��� � !������������������� �������� [�2��3��Q.�/�������������� ��������� L������������������P�� �������� ������������� ������ L��� �����"�������������������
* %
1, 2, 3, ...
... , –3, –2, –1, 0
N
Z
Q
a
n@"Q����������L�!���� �L��!���� ����
Упражнения H!���������!�����
i �����8� ���������8��F���L������������������������� �8 �� "����� �� !� ������ ����L� ����P�����%������$���������F������8� ��������
`a�b�kl^�aj�b�lm^�̀ j�b�km� �̀b��k�^��a�b��l^��j�b��m`a�b�lm^�aj�b�km^�̀ j�b�kl� �̀b��l�^��a�b��m^��j�b��k
<�����5
<�������5����������L����������!���M�����M���
Ответы @�������������$�����%�
7
В конце 7 класса учащийся:
n ����L� $�!�����L� ��������� �� ��������� ������� ����� �� �L� !�������� ����A�����$�������%����"Q�����������!����������������^
n �!��M����������������!���&������� �����!���$�� ��L�!��������K���� ������MG���8�����������^
n !������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��!�������8�������� ��P��8�� !�������8�� ���L� �� �������� � "����%� ������%� ���� ���%���������������� ������������ ���%������������%��������!����������L�!�A�������������������������������������������L�!���$��G��������^
n ��!� ������%���� ������L�����������������������������8�� �����^ n ��A��� ���%�������������������%�!��������%L������������!��������%������� ��
������������ ���%������������%��������!����������L�!��"���!����������!����� �����A�����!���������������!��������%������� �L���������������� ����%��%�K�������$���������������� �������^
n $������������F ���������8� �����������A���������������L�8������������$�"�����L�!���������������������������������8 ������8� ����������%������A��8���8 �^
n �� �� ���$��� !�!� ��L� ���� ��������%� !��!������ ��� ���$��L� "��������8� �������8� �����!���8��������L�����K�8���L����������&�$������%�K�P8���L������ ���������%�����L�����8��K���!����%�!��$�����������������&� y = kx + bL��!���� ��������!����������F�%�!����%�������������������^
n ��������"� &��&�������� ���&�!�8��A������$� �����$�������^ n !����� ��������������������8�����L�8��8������� ��8��K���L��!���� ���8��P
������$�������L�!�����������������!��8��$��������������������������^ n ��������� ��F �����������"��%���!�����������!�����!��������K���� ��
���������������%�
Основные стандарты и подстандарты по содержательным линиям
�5=�����)�>�����!"�?�>��1
������������� ����������� ����������������� ������������������������������������$�!������������� ������� ���������(��������������������������� ������� �������������$������������������%��������L�������&M�&�������� �������� ������#���������������A�����$�������%����"Q�����������!�����������������
������������������� �������������������� �����������!����"�����#���������
1.2.1���*������$���������� ���8�����������L�!������������!� ������ ��������P!� ��������%��%�B������� ����$�����������!���������� �����!���$�� ��C�
������������������%����!���������� �����!���$�� ���
8
�������H!��M������������L��� &��&M����!���������� �����!���$�� �������#������������K���� ������MG���8������������!��������������$����������P
�������������%�����'������������ �� ��A����� !����� $����� K���� �� !���8�� !�������8�� ���� ��
����8��!�������8��������$��������������� %�!��������������������&����� !"�����&������
����������������!��" �$�� ��������G������A�����!����������$�������!������������������!� ����������$� �����
�5@� �����/��#���!"�?�>��1
2.1.��'!������ �� ��()��� ����� ����� �� �������� ���)��!�� �������*�� �������!"���������"�
��������(��� ��������������"����%�������%� ���%��������������� ���P��������� ���%������������%��������!�����������
2.1.2. X�!����������������������������������������������L�!���$��G�����������������@!���� ��� �� ����o������ ���%��%� $�������� ������!������ ������P
��L�������������������������� �������� ������'!��������()��� �����������!�
2.2����=�!� ������%���� ������L�����������������������������8�� ����������������A��� ���%�������������������%�!��������%L������������!��������%�!���
$���������� �������������� ���%������������%��������!�����������2.2.3. @!���� ���!��"���!�����������A�����!���8�������������!��������%���
���� ����$���'!������ �� ���� ������� ����������&� ����� ��� ������ ���� ��*������ ��
����������������������=�������������� ���%��%�K�������$��������������� ���%�!��%�����8��!����
�����������!���!���� ���%���������������������������$�����������������P!������%�!��I� ��&�����!������%�!��D����8�%��
�5A�������!"�?�>��1
$�����,����������������������������(���������*&��(����� ���(�����)���#�������������������(� ���"��������
��������X������������F ���������8� �����������A���������������L�8��������P�������$�"������
��������,� �����$���!�!� ��L�������������%�!��!������ ������$��L�"���������8 �������8� �����!���8���������
����������������� ��%��� �8 ��L� !� �������� !��� !���������� ����� !��� � �����!����������%�!����%�
9
����#�������������������������������������8 ������8� ����������%������AP��8���8 ��
����'����������!������������L�������L�!����%�����������"����%��������$�����������(����� �������)���������������������������)������#
���������������������(���� K�8���L� ���������&� $������%� K�8���L� ����� ���� �����%� �����
BI���� ������������C���������X������!��������!��$��������8��F��������8� ��������������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + bL��!���� ��������!���P
�������F�%�!����%��������������������
�5B�������!"�?�>��1
-�������������� ��������������������&���������������*�������#��!������������
#������������������������$������������������%��� �������$�����%������8�&�-��������������! ������������&����������������������! ������
#������*�������"� &��&�������� ���&�!�8��A������$� ������$��������
�5C�������#�������������!"�?�>��1
/����0�)���������������������������� ������!�������������������������&����
'������(�"�����������L��!� �$�����$����������'������������ ��������������������8�����L�8��8������� ��8��K����'������@!���� ���8��������$���������"��������� ������������'���#��������������������!��8��$���������������������������
/������������������������!������������������������'�������*�������� ��F �����������"��%���!����������F�!��������������8���P
��������� �������������"��%�'������@!���� ����� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��%�'���������������K���� ���������������%�
10
Образец годового планирования по предмету Математика для 7-го класса
� D�� =��' C���)���'A����$5E���������'�"����5
F�����'���� �����#� �G
1.1. ������ �������������������� �������� � 1.1.1.1.2. �� ����������������������������������� � 1.1.3.1.3. �����������!������������������������"�� � 1.1.1.
1.4. ����"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����"� � 1.1.1.
1.5. (���������������� �������� � 1.1.2.1.6. *�������� � ������L�������1.7. ,�%��������������� �������� ��� � 1.2.1.1.8. /������ � 1.1.4.
@"��$����� �8����������8�������������p�� �1.9. ���������"��������8 � � 3.1.2.
1.10. �����������8� ����� � 3.1.1.1.11. /����������8� ����� � 3.1.1.1.12. =�������8� ����� � 3.1.1.1.13. >����� � 3.1.5.1.14. ?������������������"������������ � 3.1.5.
����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�� �
A����$$5C��*�������������'*�#�������5H�� ��;����������� �����#�� �GI�
2.1. (�!���������� �����!���$�� �� � 1.2.2.2.2. ����$���������!���%������������������������� � 1.2.2.2.3. @��A������!���%������������������������ � 1.2.2.2.4. =�$���������!�������!��� � 1.2.2.2.5. =�$��������!���$�����������!���� � 1.2.2.2.6. @���� ������8���������%���� � 1.2.2.2.7. =�$������������8��B���"�C����!��� � 1.2.2.2.8. =������������!���&������� �����!���$�� �� � ������L�������2.9. D���� ��!���8��!�������8����� � 1.2.5.
2.10. D���� �� ����8��!�������8����� � 1.2.5.@"��$����� �8����������8�������������p�� �
2.11. E��8��F��������8� ����� � 3.2.2.2.12. �����%�!��$�������8��F��������8� ������ � 3.2.2.2.13. =���%�!��$�������8��F��������8� ������ � ������L�#�����
11
2.14. (��%��������"������������8� ����� � 3.1.1.2.15. ������������8� ������!���G�������� � 3.1.2.2.16. ?���%�!��$�������8��F��������8� ������ � 3.2.2.
����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�# �@"��$���"� �A�8����������8�������������p�� �A����$$$5J�� �"���5C���)���'>*��*��)�#���� ��
3.1. /��8�� ������8���������%���� � 2.2.1.3.2. ( ����������8�� ���� � 2.2.1.3.3. =�����������8�� ���� � 2.2.1.3.4. H�������������� ����������8�� �� � 2.2.1.3.5. H������������8�� ����������8�� �� � 2.2.1.3.6. ��$ ����������8�� ������������� � � 2.2.1.3.7. ���!������ �������� ����� � 3.1.2.3.8. ,� ��������$���!�!� �� � 3.1.2.3.9. (��������%�!��!������ ������$�� � 3.1.2.
3.10. I���� ������������ � 3.2.1.3.11. ?��������?�����������!���"��$������ � 2.2.1.3.12. J���%�������������������%�!��������% � 2.2.2.3.13. >"� &����!�8��A��� � #�����L�������3.14. @���� �����!�8��A��� � #�����L�������
����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�' �
A����$&5K����'��#��?L��� ����M����5N�����#�*������������� �G
4.1. E���������������$�����������������% � 1.2.4.
4.2. ��$ ���������������� ����!� �$��������K���� ��������������������������$�����������������% � 1.2.4.
4.3. ��$��������������������������% � 1.2.4.4.4. E�"����������"���$�����������������% � 1.2.4.
4.5. ��$ ���������������� ���������"����������������% � 1.2.4.
4.6. ��$ ���������������� ����$������"����������������% � 1.2.4.
4.7. ����"��$���������������% � 1.2.4.@"��$����� �8����������8�������������p�) �
4.8. H8 �L��"��$�&M����!���!���������������!����������% � 3.1.3.
4.9. ���$�����!��� � �����!����� � 3.1.3.
4.10. >������!��� � ������(��%���!��� � �����!����� � 3.1.3.
12
4.11. H8 �������������!��� � ������������� � 3.1.3.
4.12. H8 �������������!��!������ �������������� � 3.1.3.
����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�+ �
A����&5C�������������>5C�����'�� �'���� �����#�5C�������#������������� ��
5.1. (!��"��$�������K������ � ������L�'�����5.2. J���%����K����������G�8��K�� � ������L�������5.3. N��K���!�����!��!������� ���%�$������� � ������L�������5.4. =$���������!� �������8��K����� ���%����K�����% � ������L�������5.5. �������L������L������ � 2.3.1.5.6. O$����������!������ � ������L�#�����
5.7. J���%���������������������!��������������8��8��K�� � ������L�������
5.8. (����� ���%������������%��������!��������������G���A�����8��K�������!��"�� � 2.1.1.
5.9. ��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"���!�������� � 2.1.1.
5.10. ��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"��� ������ � 2.1.1.
5.11. ��A�����$�����!�������������� ���%������������%��������!���������� � 2.1.1.
@"��$����� �8����������8�������������p�- �5.12. (����������������8 ������8� ����� � 3.1.4.5.13. ������8� ���%����8� ���� � ������L�������5.14. =��A��%��8� ����8� ���������8����%�� � 3.1.4.5.15. (����A����������������������8 ��������8� ������ � 3.1.1.5.16. *������������8� ����� � 3.1.1.5.17. /�����"������K������� � 5.1.1.
5.18. ���$���������K���������,��8�����L�8��8�����L�8��K�� � '�����L�'�����
5.19. ���8��$�������� � 5.1.4.
5.20. �� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��% � 5.2.2.
5.21. =���������"��� � 5.2.1.5.22. (�������������% � 5.2.3.
����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�7 �
N����� ��������������� ��������� ������������� �
13
ГЛ А В А I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
C���)��� !"������)����� D�� =��'
1.1.1.
A���
�$5
E��
����
���'
�"�
���5
F��
���'
���
� ��
���#
�
!��#�5�5������� �������������������� �������� �
1.1.3. !��#�5�5��� ����������������������������������� �
1.1.1. !��#�5�5������������!������������������������"� �
1.1.1. !��#�5�5����"��$�������!����������%������P��%����"�����"���������&����"� �
1.1.2. !��#�5�5(���������������� �������� �
������L�2.2.3. !��#�5�5*�������� �
1.2.1. !��#�5�5,�%��������������� �������� ��� �
1.1.4. !��#�5�5�/������ �
@"��$����� �8����������8�������������p�� �
3.1.5. !��#�5 5����������"��������8 � �
3.1.5. !��#�5�G5������������8� ����� �
3.1.2. !��#�5��5�/����������8� ����� �
3.1.1. !��#�5��5�=�������8� ����� �
3.1.1. !��#�5��5>����� �
3.1.1. !��#�5��5�?������������������"������������ �
����������"� �
@"��$����� �8����������8�������������p�� �
14
Глава I
Урок 1.1. Представление и чтение рациональных чисел
C���)���1��������������$�!������������� ������� ��E�������� ���"����1 ����� �� $�!������ �����P�� ������� ��K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1���"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� ,��� ����L� ������� �����"����L���!� ��������M������� �������� �������� �����=�F��������� ��������� ���������� "��� !������������ ��� F����� !�����������!�&������ *���� ����L� �� ��L� ���"���� �� �����M����$��&��$���������������$��'U)�� ����=�!� �������� ����L������!�P����&��������������� ����L��� ������ L�!���$���&�F���� ������������"�L����&��������������!���� ������������ �������� �
H��� ��!����� ������M��������L������&M�&�������������� ����L���P ������������ �������� L��L�$���������!���L��"Q��������F��������E�������&����M�������������"�$����������������������� �������� �$������Z��
B����)��������#�>��*���1�E���$�!����&�������&��������� ������� �\
, ��!����������� ������������M������ ������8��!!���X�������p��U+���!� P��&�����������!����8�������L�$�������p�-U���U��������������8���������H��M���P���"Q�����L��������������������������$� ���L�!� ��������!�����!� ��P�����������$�����%L����������L������������!� ������$�����%���M�� ������ ��������L������������� ������ ���%���!����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5=����������A�����$������������������ �������� ������!� ��&P����%���� ������L���������L��������������� ������(�F������%���������M��P��$��������$���������������$��)�� ���(��������"����!��"���!������� ������� ��������������"M�8�������� ��$����"���
�C 0 15 0 15 6 4
3
80 175
0 15 1 6 4
0 375 0 175
0 15 5 4, , ,
,
, ,
, ,
, ,− ⋅
− +=
⋅ −( )− +
=⋅ −( ))−
=−−
= = ∈0 2
0 81
0 2
8 1
24 05 4 05
,
,
,
,, ; , ; Q
"C 0 45 0 45 3 4
11
21 1
0 45 1 3 4
1 5 11
0 45 2 4
0 4
1 08, , ,
,
, ,
,
, ,
,
,− ⋅
−=
−( )−
=−( )
=−
00 4
10 8
42 7 2 7
,
,, ; , ;=
−= − − ∈ Q
6
ГЛ А В А I . РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
1.1. Представление и чтение рациональных чисел
Множество рациональных чисел – QДеятельность
�5��������������� ��������������������������������������������������
���������������������������������������
�5�!����������������"�������������������#����"������$%&'
�5��(��������������� �)�������������� ��������$%&'�(���������������
�)������������������������$%&'
�5��*��������������%+����������� �����)�����������$'������������� ���
����������)��������������%+��������� ��������-���� �����)��������-
���$'
�5������������������ ���)����������������������������113
��
�
����������������� ���)����������)��������������������/�36
��
�
��������������%���������������������������������������� �-��( ����-���
���-������'
9���%����������������������������������an
���)�����"�����������%�
#���a������������%�n����������������'�a���:%�n��N.
Образец
�=�������������������������������� ��������������)����������>�?%+@��%�@�
��?%$+'
3��4�0 5
1
2, ;�
� � �1 3
13
10, ;�
� � � �− =
−=−
0 2525
100
1
4, .
�
N���"����1��*������������������������ ��������)������������������
����-���� �D%�������������)����������>�−
= − =−
1
4
1
4
1
4.
ED �������������"�"���"�����������������������%���������D ���
�������������������������������������� ��������������)������������>�
77
1� ;
�− =
−5
15
3;�
00
1� .
15
Рациональные числа. Элементы треугольника
�C
0 47 3 5 3 5
1
81 125
3 5 0 47 1
0 125 1 125
3 5 0 53
11
, , ,
,
, ,
, ,
, ,⋅ −
−=
−( )−
=−( )−
= ,,855∈Q
H��M������ �����"Q����L������������ ��������������������!� �������������� @"Q�����L� ��� F�� �� �� �� �&�� ������� �����L� �L� $�!���� ��� �� ���������"�L����M���������&L��������������&��!���� ���&�������� �������� �
1 855 1855
10001
171
200
371
200, .� � �
�����1]C�#L;'^�"C�U_�L+^��C��L-''�!*��M����� � 5� "C� � �� x� b� 'L�^� y� b� ;L+L� �� � �� ���� ����� $�������� ������������
xy
21 37
3 1 0 17
+−
,
, ,������!����������������������$�!��������������$�������:
xy
2 21 37
3 1 0 17
5 3 1 37
3 1 0 7 0 17
28 09 1 37
2 17 0 17
+−
=+
⋅ −=
+−
,
, ,
, ,
, , ,
, ,
, ,== =
29 46
214 73
,, .
�����1"C�#L�+��!*��M�������G5������!� ������F�8��$����������M������8����"������8��!P!����@��������� �������������������!��������%������� �&�$����������P�����������$�����$����������!��������%��@�����������"���8��!!����������&�!����� �&�����"� ���!� ��������������!*��M��������5�������!� ������$�������!�����������%�������������!�����������%��$�8��!!�������� ������8��!!������$� �����"����&���!*��M��������5Y���!���������������$������������������A��8��$��������������!� ������$������������ ����� �����" �����,�������� ��!� ������ ����$�P!����&����V���������V�� "���F�%��" �����
x �7
12;L�' 2 3
5
11;L+
11
7 �
11
12 11
28 3
1
7 5
3
7 �L�
�31
2 2
1
24 �
7
8 U_+ �12
1
11 �2
9
20
;L� �7
60 �;L;' ;L#
38
55 ;L�#
U_� �L+' U_;L+' U_) �104
11 U_�L�
�5
9 35
108 �
5
36 �1
1
9 �1
91
99 �
7
18
=� �A����������������M��������L�������������������������� �L�!�P ����������������=�$������������������ ������� �������!�!��������M��P�����������&�����" ����� ��������������� ������
16
Глава I
+�//���������������"����1�( �"���!����$� ������"����������M�������A�P������������$������!���������� �B��������������%����"�L��"���������%����"�C���!������&�����������F�������� ����� �&���!� ������"� �A�8���� ������$�����%����!���"��$������������������� ����������M������!� ��� �������P"����� ����J����'%��#����'����)������������������1H��� ���� ���������L���P"�����M�%������$"��������A�"���!���!���"��$�����������8����!������������� �P��8���� �������8����� � �!���"��$������������%���$�����?��������������1@"�"M�&��$��������$�!������������������ �������� L����� ���MG���$��"��M�������������������������������(�����!��������!���"P��$���������$����$�!��%���� ������"������������n�X�!������������������ �������� !����� ������'#������������������
H�������V
X�������������!�$��������������� �������� ^*����$��G�!������������� ���8���� �^,� ����A�"�����$�!���������� �������� ^*�� ��$��GL� ��� �� ��� �� ����� ����� �� �� ����� �� �&�� �����P�� ��������� ���L������
H�������VV
X�!������������� ������� �L����������������L�� ������L������������$�!���^*���������!���M������ ��!���!���"��$�����������8����!������������� �������� ������8���� ��!������������
H�������VVV X�!�������������������� ������� ������$����������
H�������VW ����"��$���������� ������� ���$�����%�$�!��������8�&����"�����!��"���L�!����������� ���������������� �������� ����
Урок 1.2. Числовая ось. Расстояние между двумя точками
C���)���1 1.1.3. ����$����� ��� ����������%� ��� ����L� ������&M�&� �����P�� �������� ��E�����������"����1����$���������� ���%��������L�������&M�&�������� �P������� �L��������������������������������L�����������������������������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1���"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1, ���"Q����������������"�����!����� ������������ �P�����=�!����%����� �������"��������������� ���%����������� ������� �L������������$����$�!�����H��M�%�L���M�� �&M�%�F������ ����L��!�������
17
Рациональные числа. Элементы треугольника
�GL����$��������!� ���������� ������ ���%�����@!���� �������L��������&M�&��� �� �2
1
2L���P
$������� ����� �L���������������F���� ����P!�� �8���.
����F������� �������!���������M���L�����$�������!���� G�������!��� ������X�������� ���"Q���P�����M����$������� B� ��!������������8��$������CL�����������"��$���
=������%����� ����������������������P��� ������L� �$�"���G������ ��� �� ���%� ��� ��P�� �L��������� ��������B� �����������C�� ������$�����X�������������������L���!� ������%�!�����L������&����������������L���!� �����P��%� ���� B� �� �������� ��$����� ������ "� �A�%�������A�%������������C��=� �A�����������������M������!� ����������$� ������
B����)��������#�>��*���1E��������&��������� ������� ������� ���%���\�E����������!���� �����������������������������L�����$�"�������������� �P��%���\
���������� ����������,�����������"�����$���������!� ��&���������������������������X���������8����!� �������8��!!���� ��!������X������L�$�!�����������"����� ���L��� ����"������� ������[
]C��"�$������������� ���%����������$������%����������%^�"C��!���� �������������������L�$������%������ ���%���^��C���������������������������������������!���������� ���%��������P
���������F��������"�$�����$�"������������� ���%����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5
x1 3 6
O CAKMN B D
0–2–6
���" �$�� �����!���� �&����������������L��������������������[lBU_'CL�kBU_�L'CL�mBU_�L�CL�̀ BU_;L'CL�jB�L7CL�aB#CL�rB'L+C��H��M������!� ��� ���������&����� ������������!���� �&��������������!*��M�������5=�F���$�����������8�����8�����������L��������!��"�������P��� ��%�� �������� ������ ������ �������� ��� F�%� !������� ���M���L� �!���� �������������������������������L�!�������� ���������&�F������������ ���%���L�$�����$�"� �A�%����������������&�����A�&��E����������������������������&������� ���%����
�C�A BO
0 10,5 22,7
9
Рациональные числа. Элементы треугольника
1.2. Числовая ось. Расстояние между двумя точками
Числовая осьДеятельность
�5 G�����-�������������������D����'
�5 (�����������������-���������������������������'
�5 H������� ������������ ����� $� ��� ������-� ���'� I��� �����������
�������$��( ����-������-������'
�5 =����������� ��1
2 �����������-����'�(�������������������������"�
���������-�������� ���1
2.�
=�"��"%����������-����)��������������������J�������L�������5%������������
�� �������� �������%� ��)�����"� "������> ���P'� �������� �������������
�����r���Q �������������������������"�������M����������-����'�O��������
r������������%��������������DP�"������������������������%����������r�
������������%���������������5%����������"����RrR%�r�SA%�OAT�RrR%�?�SO.
Образец
(�����������������-����������%������������DP��������>���%/@��23
4@���?%+
3��4�( �)������)��������������������M%�U���V>
x0 1–1–2–3–3,6 –0,5
–4
A B C
–5–
���� �����%� ����� ���%/� ������#����"� ������ ������� ��W� �� ���@� ����� �23
4�
��������������$%����������?%+�������������?'
(��������������"����������D ���)����������������M���U�������X���-����'
РасстояниеДеятельность
G�-�����������"������������������YJ��L���ZJ 21
5L'
�5 G���������������D������������-���������('
�5 ( �)�������������YJ���L���ZJ 21
5L�������-�������-����'
�5 U������������������������"�����'�G�-�����������"����(M���(U'�
�5 (���������������"����MU'�U����������������'
�5�G�-�������)������ 21
5���J��L'�������������������������
����"���")��������������"�����MU�����)�����D� 21
5���J��L��
18
Глава I
(�8 ����������[�̀ a�b�sa�U�s �̀b���L+�U��;L'�b���L��*���$�"����������� ���%���L��!���� ����������"� �A�%����������%���L+�t��;L'��( ������ ���L�̀ a�b���L+�U��;L'�b���L��� � � � � �����[���L��!*��M�������5�]C����� ���&��$����L����kl�b��L'#���kBU_�L7C��*������8�����8�����������!� ������������/���l������ ���%����B�������$�������������!������ �� ����!�����A���&������8�%C����F���L���!� ����$������L���������&������ ����[$���"�>1�*���� ���%���������/���!� �8����!������������l��=�F��� ��������������� ���%�����$�"����&������ ���&M����"��$��[
x
O
0–2,9a
N M
E��������� l� �"�$����&�� "����%� �[� lB�C�� ���� ��������� �� ���������� !����%������B/C������ ���%�������������� ���%������BlC�!� ����[�U_�L7�U�a�b��L'#��@&���a�b�U_�L7�U��L'#�b�U_)L##�$$���"�>1�*���� ���%���������l���!� �8����!������������/������ ������F��� ������L'#�t��L7L��������l��������!� �8����!����������� ����G��@[
x
O
0–2,9 a
NM
�������������������������!����%������BlC������ ���%�������������� ���%������B/C�!� ������L'#[�a�U�BU_�L7C�b��L'#�� ��a�f��L7�b��L'#��@&���a�b��L'#�U��L7�b�;L)#�
�����[�lBU_)L##C�� ��lB;L)#C�
!*��M��������5 ������!� ������F�8��$����������M���������&������ ���%���������>BU'CL�=BuC����-�������������������!� ������������������������������!�!��������8������8���?������"��$����������������>���=������ ���%�������������;�������=�� ���8�L������������������ &"�������������������������#������������������>���=���!� �������7����$���������%�� ���L�������$�!���[�`a�b�29 ��#�b���)�B�C��?�8���x�b�U�'�f���)�b����
�����1�aB���C�!*��M��������5]C����� ����>=�b�@>�U�@=L��������>���=���!� �8�&�������%�������������� ����G��@��X������$���������� ����[
x x
O O
0 0
A AB B
"C��i ��/l�b�@/�f�@lL��������/���l��� ������!� �8����!����$���������������� ����G��@��X�����������$���������� ����[
x x
O O
0 0
N MM N
19
Рациональные числа. Элементы треугольника
!*��M��������5�@>�b��#��L��������sa�b��L'�����s �̀b�#�g�sa������ ������������������ ����G����������=���� ����L'��L��������������������=�"�����L'�� ��U��L'��$���"�>[�a�B�L'C���̀ B�#C��?�����̀ ���a���!� �8�&��!������������������� ����G�[`a�b��#�U��L'�b��;L'���$$���"�>[�aB�L'C���`BU�#C��?����� �̀��a���!� �8�&��!����$���������������� ����G�[�̀ a�b��L'�U�BU_�#C�b��+L'���$$$���"�>[�aBU_�L'C���`B�#C��?����� �̀��a���!� �8�&��!����$���������������� ����G�[�̀ a�b��#�U�BU_�L'C�b��+L'���$&���"�>[�aBU_�L'C���`BU_�#C��?����� �̀��a���!� �8�&��!������������������� ����G�[�̀ a�b�U_�L'�U�BU_�#C�b��;L'���
�����[�̀ B�#C�� ��̀ BU_�#C^�aBU_�L'C�� ��aB�L'C^��;L'���� ���+L'��� +�//���������������"����[�H��M���L�!���$��A��� �"������$� ������!�������"������L� �!����&� ������� �� �$��"��������� ������� ����� ��� � ��� �� ���%����� ���� ���� �A�"��� ��!���&�� "�� ��� ��8�� !��� �"�$�������� ��� �� ���%���� ������ ����� ��� L� �� ���M���L� !�����$���A��� �"��� ��$� ���� �� !�������"������L��� ����$��������"� �A��$�����%�����8���!��J����'%��#����'����)������������������1�,��������������M���������P����L�����������������������$����8�$���������� �!����� �&������� ���%�����������������?��������������1�H��� �L��MG���$L��"��M���������������M�������!��"���"��$������������� ���%����������� �������� �����������������������������������������L��"�"M���!��%�����������������n�O$�"�������
!����� ������'#������������������H�������V X��������������$������������ �������� ������ ���%���^
�����"�$��������������� �������� ������ ���%�������!��� ����P�������!� ������ ����^�����"�$��������������� �������� ������ ���%����!����������!� ���� ������������� ������� ��
H�������VV @!���� ����������������������� ���%���L��������$��������������$���������� ���%�������������������%L����������%�������P�� ������� ��L������������!���� G��������$������!������������P��������������������������������
H�������VVV @����������� ���%����������$������������������������!��P�� �������������������*���������������������������������
H�������VW (������ ���� ������� ��� �� ���%� ��� ����L� ������&M���������� ������� ��L������� ��������"Q�����������!� ����$������������������������������������������
Урок 1.3. Бесконечная перио ди ческая десятичная дробьC���)���1���������������$�!������������� ������� ��E�����������"����1��������!�A��!������������������������"��K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1XuHL���$8���������L��"�������
20
Глава I
E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�N��8��K���������L�>$��"�%������%��$���������
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�H��� ��!����� �������PM������" ����XuH�����!��&�R,���"�S�B� ��!���P�������G����F����C����"��M������������������!P����[�=�����%�K������$�!����&�����"������ �\�
0��P O�"������ !����
H��M������!������� "����" ����$�!����&��GL� ��� $��&� �� $�!��� ��$���� ������� ���"�%[��"����������� ���"�L� !���� ���%� ���"�L� ��!���� ���%� ���"�L� ��A������ ��� �L��������%����"��������X�������������� "������M����$�!����&��L����������� ��"�� �$���� �� ���"���� i������L� ��� $���� ���M����� ��8�� "��� $�!����� ��$�����!��� ��������H��� ���� ����!������L���"��������������M����"� �����!��� �������!� �������!������������ �� ��8��!!����� ���������!����� �������� �� �����$������� �����������!���"��$��������"��������������"�����������&����"��B����)��������#�>��*���[�E���$�!����&�������&�����"�L����������!�����P �������� �� �����$������� ��������"���������!���� ����\
, ��!����������� ������������� ����$��G����M������"����� ����=���"����� ���$�!����&��$������L�������������"����L�� ��!������L�!����� ���������P�� ����X���������!� ��&����!������ �&���8��!!������R������� �"�����[� H��� �� ��"M��� ���PM�������!������������������������"���������������=������&����M������������$��!�����������!�������������������������"�%��=��������!����8��������8����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M������ 5,������������������������ �&�
2
15
17
600
1
60
4
375
1
250, , , ,
�����;;;���.]C�=���L���������&������!���������$��A��%�A��: 30;;����g 1
6050� ���
"C�=������!� �������$�G$�[��;;;����g� 17
60085�
���
=���L���������%�!�������������� �8��������� ����: 300;���� ⋅ =4
37532
���
12
Глава I
1.3. Бесконечная периодическая десятичная дробь��������������� �������������� ����������� ������������ ������
������������� ��������� ������������������������ ��� � �����������
����������������
0,(6); 5,2(7)Деятельность
!������"�����2
3� ����������������.
�5 #�"�����������$����%��!����������&������������������"�������
�5 '���������&(��)�������*���������&��������������� ���"������������
�5 +���������������&(��)�������*���������&��������������� ���"�����������
�5 !���������������)��������&(��)�������*���������&���������������
���"��������������-�������� � ���� ������/�
�5 9���������������������������������/�����"���� �:�������
;��� �"��������������������������<������&(���������������� �
��������)� ��� ������ ������ ��"� ���� *����)�"��#�> )�����"��> )����P5!� �����*�����<������&(����"� �������������������
9�����������"�������������������������������� �����*�����
&(�����<������&(��"���� ���� ���������2
3�=�>)???����=�>)@?A��=����1�
��&���!"����&����������
Образец
!��� ����BA�7
9;
�
$A�5
12; �%A� 6
2
99� ����������������
3��4
17
90 777 0 7) , ... , = = ( )
25
120 41666 0 41 6) , ... , = = ( )
3 62
996 0202 6 02) , ... , = = ( )
�
0,416... 0,0202...
8... 2...
198200
99
020
198200
020023)71) 2) 5
70 50
70 20
80
80
7...
0 0
63 48
63 12
72
72
9 12
0,777...
целая часть периодповторяющаяся
группа цифр
!��������������������������� ����� �� �� Z�BA�"���'�*����)�S"��#��)�����"�'������[�$A�������'�*����)�"��#��)�����"�'�������
=����> *����)�"��#�> )�����"��> )����P� ��"� ������ ����������
�����)� �������������������"��������"�����������������������������Z�
$)@\A[� >)@%]A[� B$)@\$^A������
C������>*����)�"��#�>)�����"��>)����P���"� �����������������
�����)� � ������� �������� ������ "������� ����"� ����� �� ���������� &(��
�������������������������Z�_)]@\A[� >)>$@?%A[� ^)>@B]$A������
%)$\@]A�`�"����1�������!"��������&����&����!"���&���������;��� ��� ��"������ "����������� �������*��*����� ����� ��� ��������
��������)� ������ $� � \)� ��� ������� ���<�� �������� �������)� ��� �����
���������������"� ��� ���������������������� ����������������
�������������������
H���"�'�)�����"�'�)����1� 5
160 3125� , ;�
72
252 88� , ;�
19
500 38� , ; �
13
200 65� , .
N����)�"��#��)�����"�'�)����1 1
60 1 6= ( ), ;�
5
120 41 6= ( ), ;�
9
260 3 461538= ( ), .
21
Рациональные числа. Элементы треугольника
=������!� �������$�G$��"� �A������L���������%�!�������������� �8��������� ��������-'�U����b�+��B��C��C��������+'����������������������%���!� �������$�G$��������%�!��� �����
������8��������
=����1000
7014
2
714 285714= = ( ), �B��C�����L���������%�!��������������� �P
8����������� �����
=���� 502
955
7
955 7= = ( ),
B��C�������������������%L���������&������!��P
�������$��A��%�A��L�������%L���������&�!���������!�������%���� G.8C��=���� !� G�� !�������8�� ��� G�[� �;;;� ��� ⋅ =
4
37532 � B��CL� ����� !� G��
��$��A��8��A���[��;0;���� ⋅ =1
6050 B��C. ( ������ ���L������!� G��!�������P
��8����� G������������!� G����$��A��8��A�������';�U����b��-�B��C�+�//���������������"����1�H��M���L�!���$��A��� �"�%���$� �����!�������"������L�$������&�������$�����!����������%�������$�!���!����������%���P������%����"����!���"��$��������"��������������"����!����������&��������&����"������F�%�!���������������M�������� ����!� ��� ���������$��������!� P�������$������%�!���!���!�������%�p��U#��H��M���L�!���$��A�������A�%���$� �����!��������"������L�����������$����������!���"��$�������"� ��� ���������"�%���!��������������������������"������?��������������1�H��� ��!����������M���L�$�!� �����" ����XuHL�$�!������������� "����" ������$�����L������������!� ��� ������������@"�"M����$�P���������$�!�����������!������������������������"�%�����������n���������$�!��!����� ������'#������������������H�������V �������$�!������!������������������������"�L�$�����������!��P
�"��$��������"��������������"����!����������&��������&����"�^X��������������$���������� �L������M���� ����������M�����!���P��L���!������������������������"��^X����!���� ��!���"��$��������"��������������"����!����������&��������&����"�L����!����������������
H�������VV ����"��$����"���������&����"�����������&���!����������&����P����&����"��!� �����$������!���� G���8����!��� ����^����"��$����"���������&����"�����������&����"�L����$������P������!����� ������G������ B���������������������"�L������� ����A������!������������������������"�C�
H�������VVV (������ ����!���"��$���!���&����"�����������&���!��������P��&��������&����"��
H�������VW ����� ����!���!� �8���!���"��$��������"���������%����"���������P��&�� ��!����������&��������&����"���������� ����!���"P��$����G^����� ����������%�!������!���!���"��$��������"���������%����P"�����������&�� ��!����������&��������&����"��
22
Глава I
Урок 1.4. Преобразование периоди ческой десятичной дроби в обыкновенную дробьC���)���1� ������� ����� �� $�!������ ������� �P������ ��E�������� ���"����1 ����"��$��� !����������&���������&����"�����"���������&����"��K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1�XuHL���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�H��� ���!���!������� ������M�����" ����XuHL������&��!� �$��� ����!��P����M���$������B� ��!������������F�����CL���������$���G������!�������L����"����������� ��$���������P"����H��M���L��� �&M����$����!������ ��!���"��$���P����!����������%����������%�����"�����"���������% ���"�L�$�!����&�F���������%�� �"���B����)��������#�>��*���[�E���������!���"����$������!����������&��������&����"�����"���������&����"�\
, ��!����������� ������������M������8��!�!���!������&�!��"L������%�������� �������=�!�����%����� �����������!� ��&�� 8�����!���"��$���������P�%� !����������%� �������%� ���"�� ��LB#'C� �� !���&L� ��� ����%� ���� ����� U����A����%�!��������������%��������%����"��;L��B�C���!���&����$� ����!������P �&��������������"Q����&���=� �A����������������M���������!� �������F�8��� �8��������X�������� ��!�����������"Q�����&�����%�������R��������"�����[�H��� ���"Q�����!���� ��!���"��$�����������������A��P����!�������������������������"�%����"���������&����"���
=��������!���� ������� ������������M������!� ��&��!��������L�������������"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�������!� �������!����������������!� �$�����!��"L�������%������� ����L�� ��!��������!���� ��B�����%�!��"C�!���"��$�������!����������P��%��������%����"�����"���������%����"���]C�O!� �$��������!����� ����%�!��"L�!���"��$������ ��;LB�C���!���&����"�[
v�b�;LB�C��;v�b��;�g�;LB�C�b��LB�C�b���f�;LB�C�;v�U�v�b��9X = 2 X �
2
9 0 2
2
9,( )=
E����%�!��": 1 3 13
91
1
3, ;( )= = 3 54 3
54
993
6
11, ;( )= = 21 23 21
23
99, ;( )= 0 673
673
999, ;( )=
15
Рациональные числа. Элементы треугольника
1.4. Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь
Деятельность
'�����������������������������������������$%)@^\A� ������� ������������
3��4��9�������*������������������������������������� ������
�� �����������������"�����������*����<����Z
�5 '��"�����������������������"�hZ�h�=�$%)^\^\i�
�5 �'���������������� ��&(�� ����������������������������������Z�
$%)^\^\i�=�$%)@^\A�������� ��&(�� �������������=�$�
�5 j�����������������������������������������"����������&��������
���� ��������)����� ���� ��*��������� ��&(�� ��������@ �������������
��������&(��� �)���b�����������������B>>AZ�$%)^\^\����k�B>>�=�$%^\)^\���
�5 ���������"���������������<�������������<������Z
B>>l�`�l�=�$%^\)^\����`�$%)^\^\���=�$%$$�
�5 ��������� ��eeh�=�$%$$��������hZ�h�=�2322
99�
m��������"��)� 23 452322
9923
45
9923
5
11, .( ) = = =
(������1
0 99
91,( ) � �
9��<����� ��)��������*����������������������������������-
�� ������� ������&���������������:������"������)� �������������� �"���
��������� ������� �������� �� ����)� �������� &(�� � ������)� �� � ��������
`�����)�"��������� ��������
Деятельность!��� �������������������������������������������>)B$@%A� ���������������
3��4��g�����"�����������*����<������������� ���������������������
���������������������� ������� �������������
�5 '��"�����h�=�>)B$@%A��-������ ������� ��������`�B�
�5 �j���������������������������������������"����������&��������
���� ��� �����)� ���� ���� ��*�� ������� �� &(�� � ������� @ � ��������
�������������&(�������)���b�����������������B>A��>)B$%%%����k�B>�=�B)$%%%���
�5 ����:��h� �������� ��B>l�`�l�=�B)$%%%����`�>)B$%%%�
el�=�B)BB[� � l��111
1009: ;
�� � l��
111
900�
m��������"��)�>)B$@%A�� �111
900
37
300.
23
Рациональные числа. Элементы треугольника
7 256 7256
999, ;( )=
16 002 16
2
999, ;( )=
0 0001
1
9999, ;( )=
5 01 5
1
99, .( )=
"C��8 ����!���� �L�!���"��$������ ��;L�B�C����"���������&����"�[
v�b�;L�B�C��;v�b��;�g�;L�B�C�b��LB�C��;v�y�v�b��LB�C�U�;L�B�C�b��L�������U�;L�������7v�b��L�
X = 1 2
9
12
90
2
15
,� � �� �� 0 1 3
13 1
90
12
90
2
15, .( )= −
= =
E�����%�!��"[�1 2 5 125 2
901
23
90, ;( )= −
= 7 0 4 74
907
2
45, ;( )= =
2 23 7 2237 23
9002
214
9002
107
450, .( )= −
= =
*��������� 8������!���"��$������ ���;L�B#'C����"���������&����"�:v�b��;L�B#'C�b��;L�#'#'#'����;;v�U�v�b��;;�g��;L�#'#'#'����U��;L�#'#'#'���77v�b��;�#L'#'#'����U��;L�#'#'#'���77v�b��;;#L#
X � � � �1004 4
99
10044
99010
144
99010
8
55
,. ���F���L�10 1 45 10
144
99010
8
55, .( )= =
(�8 ����!���� �: 0 25 832583 25
9900
2558
9900
1279
4950, ;( )= −
= =
16 5 02 6502 5
99016
497
9901, ;( )= −
= 0 000 11
9000, .( )=
!*��M�������5�=�!� �������� ����L� �����!���"��$�����!����������&����P�����&����"�����"���������&�
"C� 2 34 0 21 234
99
21
992
55
992
5
9, , ;( )+ ( )= + = =
�C�19 27 3 73 1927
993
27
9918
126
993
73
99153
53
99, , ;( )− ( )= − = − =
�C�8 1 6 211
198
16 1
90
49
198
15
90
49
198
1
6
49
19
49
6
19
49
19
6, : : : :( ) =
−= = = ⋅ = == 3
1
6.
!*��M�������5�=�!�������L�8��������&�!������������������������"�L�!��P������&� ����� !���� �� ����������� !������� �� �L� �8�� ���L� �� ����� ��������������� ��!��$���������!�������������
]C� 0 12 1012
99
10
100
2
33
1
5
2
165, % .( )⋅ = ⋅ = ⋅ =
"C� 25 1 5 25 15
925
14
925
9
14
225
1416
1
14: , : : .( )= = = ⋅ = =
8C�10 2 7 75 1025
90
75
10010
5
18
4
3
185
18
4
3
370
2713
19
27, : % : .( ) = = ⋅ = ⋅ = =
24
Глава I
!*��M�������5��� �L�;LB'C����������8���������� ��';[�
50 0 5 505
950
9
590: , : .( )= = ⋅ =
�� �L��'z������8���������L�B�C[��L�B�C�[��'z�b� 211
90
15
100
191
90
20
3
382
2714
4
27: .= ⋅ = =
144
2790 104
4
27+ = .
�����: 1044
27.
!*��M�������G5�]C�X������� ��!����%���������������8 810
, m m( )= ��� ����"���
������7[�8 89
, .m m( )=
"C�=�������� 0999
,n mk nmk m( )= −���$������� ���� ����"����� ��77;L������� ���P
�� nmk n� . 0990
, .n mk nmk n( )= −
!*��M����� ���5� , �� ��!������ ��� � ;LB�C� �� +bBaC� �� ����� �"���������%� ���"��!������&��� !���� �� !���"��$������� ���%� �� ��A����%� !������������ ���"�%� ���"���������%����"��
09
, ;a a( )= 7 7
907
9
90, .b a ba b b a( )= −
=+
X���
ba b a= +10 ���$��������� ��
!*��M��������5�]C
0 3331
64
0 2555 1 5 3
1
3
1
64
2
, ...
, ... : ,
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⋅
( )=
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⋅
33
901
48
90
1
24
23
90
90
138
2
1
6
12
:
;=⋅
⋅= =
"C
0 777 0 090909
7 4 82
5
7 3 21 9
7
9
9
99
7 4 8
, ... , ...
,
, : ,,
+
−+ =
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
− ,,;
4
1
3
53
99+ =−
�C
0 41111
9
9
47
0 3 5 0 555 32
37
90
10
90, ...
, : , ... :
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⋅
( )=
+⎛⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⋅
=⋅ ⋅
=
9
47
32
90
5
932
1
1032
90
9
5
1
32
5
: :
;
8C
0 6661
30 25
0 12333 0 092512 5 0 64
2
3
1, ... : ,
, ... : ,, ,
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
+ ⋅ =+
330 25
111
900
925
10000
125
10
64
100
4
37
300
10000
9
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
+ ⋅ =⋅
: ,
:225
1
2
64
4+ ⋅ =
4
37
3
100
37 25
8 3 8 11=⋅⋅
+ = + = .
�����[�]C���^�"C �
53
99; ��C�'^�8C�����
!*��M��������5�(�8 ����!���� ���!���� ���[�3 9 39
94, ;( )= =
− ( )=− =−2 99 299
993, ; 6 56 9 6
569 56
9006
513
9006
57
1006 57, ,( )= −
= = = .
25
Рациональные числа. Элементы треугольника
E��������L� ��!����������%��������%����"��+LB7777C� 8��!!����� ���!�������������$�"��������8���� ��7���� ��;L7777{�������" �$�����������������8����$�������� ��� ����8 � �� "�� F�� �� �� !� ����� ;L7777{� |� ��� ��F���� ������ $�!����+LB7777C�b�-^�;L��B77C�b�;L��^�U_�L-B777C�b�U_�L7�J����'%��#����'����)������������������1�O��8������M�%��$�"�����!�����P ��!���"��$���������A����%�!����������%��������%����"�����"���������&����"���H���M�%�L���!� �������� ����L������&������"����L�!�F�!�����������!���� ��!��P�"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&��H��"����!��"���!��P�"���$����������"���������&����"���� ���������������������A����%�!����������%���������%����"�������������� �8������!����$������B�!���������p���C�����?��������������1�=���8�����M���������%�� "����" ����XuH��!����&�!���� �� !���"��$������� !����������%� �������%� ���"�� �� �"���������&� ���"���H��� ���"�"M���!��%�����������������n�����"��$������
!����� ������'#������������������
H�������V
X���������!���"��$�������!����������&��������&����"�����"���������&����"�^����!���"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����"���A�"�������$������� ��$�!����������������$�������;L��;;L��;;;����!�^����!���"��$�������!����������%��������%����"�����"���������&����������!���� ����� ������7���;���$������� ��
H�������VV
����"��$������&�!����������&��������&����"����!���&����"�L�$�����������!���"��$���������A����%�!����������%���P������%����"�����"���������&^*������������$�������!��� ��������� ���B� �������M���C�!���!���"��$����������%�����A����%�!������������������������P"�%����"���������&����"�^����"��$������&�����A����&�!������������������������"�L������!������A�"�����!��������������������
H�������VVV (������ ����!���"��$������������A������!������������������������"�����"���������&����"��
H�������VW
(������ ����!���"��$������&�����A����&�!������������������������"��!�G��!����������� 8���������������!��"������"���������&����"����!�������������������^����� ����������%�!������!���!���"��$���������!��������!������P����%��������%����"�����"���������&����"��
Урок 1.5. Сравнение рациональных чиселC���)���1�������(���������������������������� �������� ��E�������� ���"����1 (��������� ������� ����� �� �L� ��������� ��� �� !���������$����������"�������K��������'1��� �������L���8��!!��L����������� �����
26
Глава I
J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� =� ���� ����� �� ���"���P��� �������� !� ������� ������� ����� ��� ��� �� b ����� ���� ���� �� ��G�� @�� =� ������� ����������M���� ����� �!���� ��� $���� ��� � �� �� b� ���������� ���� @��� $��&L� ���� ��������� ��� �� �$������� ��������� $�� )� � ��� H��� �� �� ���� �P����L� ��"�� ���M���� !��� ���!� �������� ���� �P���� ������ ���� ����$��� �� ���� �� ��� =� ������$�����������������M�8������� ���������� �����b������$�!��������������"��$������������ �P��������"�L�!������������������������"��
B����)��������#�>��*���[�E�����!���� ��� �����!������������!������������������� �������� \
���� !���������� � ��������� �����������L� ��"�� ���M���� ��"�� �� �� 8��!!���� ����������� ����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=��" ���L������%������"����L�$�!������"��������!������!�� ��P������ ���*���������$�����$�!����������L��������������H��M���� ���������P���A�"��������� �$�!�����������B���� ���������" ��������������������� ���� �&���A�"������C�
� "���� �������� *������*�-��M��� � "���� �������� *������*�-
��M���
a) U_;L-�4
5�1
1
4 V +LB�'C� �7
35
99
99
728
�V #L� �41
5
5
21
)V �111
13
24
13 �13
24
�V9
11
�9
11 1
2
9 e) ��L;B�C �
631
30 30
631
!*��M�������5�, ��$�!���$����������� ���!���������$�������!���"��$���������������������"�[−
= −2
50 4,
−
= −15
72 142857, ( );
−
= −4
150 2 6, ( );
− = −3
1
323 03125, ;
;L�^� �
2
250 08� , ;
20
72 857142= ( ), ;
U�LB'C�
����������$������[�� �� � �
3 5 31
32
15
7
2
5
4
15
2
250 3
20
7, ( ); ; ; ; ; ; , ; .
18
Глава I
1.5. Сравнение рациональных чисел�� ������ ������� �� �������� ��� � ���� &����� � �������������
�������������
Деятельность
!������������������������&�������������a��b�������� �����Z
�5�#�&��������������a��b����������������� ����������������������
0 a b x
���������� �:������������ ������� �������&����������������b�
�b�����������
�5�#�&�����������������b���������������� ����������������������
0ab x
���������� �:������������ ������� �������&����������������b�
�b�����������
�5�#�&�����������������b�����������������"�������������������������������
0a b x
��������� � �:� ������ ��� �� ���� ��� ����� ��&�������� ����� �� � b�
�b�����������
Образец
r�� ���������−2
15 ���
5
21
.
3��4��-��� ��"������"����������������st�������)�"�� �����&��������
��������������������������������������������������������
−= =
2
15
2
15
14
105� �
−= =
5
21
5
21
25
105.
m�������
14
10525
105� ,
������
2
15
5
21
� )����− > −2
15
5
21
�� �����1− > −2
15
5
21
.
Образец
r�� ���������$)@%^A��$)%^�
3��4��$)@%^A� `� ������������ ������� #�������� �:Z� $)@%^A� =� $)%^%^%^�����
$)%^�`�b�����������������������������-����������������������
������������������� �������Z�$)%^�=�$)%^>>>����
-������ ��)� �"������������������������� ���&(��� �&���������)�
���"��������������������'������ ���� �������� ���"������������������%)�
�� ���������`�>��r���� �������)�$)@%^A�u�$)%^�� �����1�$)@%^A�u$)%^�
27
Рациональные числа. Элементы треугольника
!*��M�������5��������������������� �������� �!������&��!���� ��������P���L��$����������)�� ����
]C� �1225
�� �3471
; �������$����!���$��������U_���g�+����U_�#�g��'�
���� ����U_852 < U_-';L��� − <−12
25
34
71.
"C�U_�LB#�C�~�U_�L#�^� �C�− <7
900; � 8C�;L;B')C�t�;L;B�C^�
�C� 1799
1
2>−
; � � �C�;�t�U�7LB7---C�
!*��M�������5 0n m x
aC����"���������� ��U_m^�U_n^��m^��n^�;L'm^�112
n ������ ���%���L����������$��������*��
����������������L����m�t�;���n�~�;��?�8���U_m�~�;���"������!� �8���� ������@�
0n –n3n m–m 2m x
0,5 mn
?�����!��� ����n�~�;� ��U_n�t�;���� ��U_n� "������!� �8����!�������;���� ��2m� ��!� �8���� !�������m� B�� ����$��� ������mC���� ���n� �� ����$��� ������n� ����!� �8���� ������n���� ��;L'm���������!� ������m�B��������������;���mC��
�� � 1
1
2
n ���!� �8���� �������� ��n.
"C�!��� ������ ��n������� ����L��� 13
3n n� .
�C�m�U�!� ���� ������� ���?�8����;L'm��~��m��!*��M������ 5*������������������L����a < bL�a�~�;L�b�t�;����a��t��b���?�8����� ��b + a�"������!� �8���� ������;�
0a b x
b a+
�� �� b� U� a� ��!� �8���� !����� �� bL� ��� ���� a� U� ������ ����� �� �L� �� $��P���b�U�a = b�f�BU_aC��( ������ ���L��� ��b���� ���������U_aL�U_a����!� ���� ������� ��
0a bx
b a+ b a–
"C�(�8 ����������L�b U a�t�b + a.�C����� ����!��������&��� ��b + a�"� ���" �$�����;L����b + a��~��b�U�a��!*��M�������G5]C�i ������ ������8�P �"���� ��"� �A������ �����8�8���� �L��� �$�� � !� ��%� ���������&� ��������L� ��� !������ �� �� "� �A�� ����8��� i �� �a��t��b�L���a�t�b � ����!���a�t�;��"C��i ������ �� &"�8�������� ���8���� ��"� �A������ �����8�8�������� ���8��
�� ��a�~�;L�b�~�;����a��t��b�L���a < b.!*��M����� ���5� I� ���"��$��L� ��"�� F�� $������� ��!� �� ��� ���M����� ��8��!��!����=�!� ����F��$������L����M������ ���������������� �����"����P���������� �����!� �$�����!�������
28
Глава I
]C��(������������� ������"���"� �A������8���$� �8�����L�������A�����8�8���$� �8������a + b�t�a���a + b < b���$����������� ����L�� ����U������� ������� ��*�!�����[�a�b�U_'L�b�b�+��?�8��L�U_'�f�+�t�U_'���U_'�f�+�~�+��
�C��(����� ����� ��� � ����� "��� "� �A�� ��� !���$��������� *�!�����L� ����� �������� � ����� "��� "� �A�� ��� !���$�������L� � �� ����� �$� ��� � ������ ;� � �� �L� �����8����� ��"����!� ���� ������� ��[��f�7�t��g�7^�;�f����t�;�g���������
!*��M��������5�C�]C���"����� ������� ���-�����;zL� �������%���;�z����� ���-���!��"��������� ���-�� ����%����;z����� ���-[
18 20 1820
1003 6⋅ = ⋅ =% , ; � �-�f��L)b���L)�� ��18 120 18
120
10021 6⋅ = ⋅ =% , .
�����[���L)��C����"�� �� �� �;LB-C� �����A��� ��� �;zL� ����� ��%�� �;z� �� $������8�� �� �� ��
�������F�8���� ��!� ���������� ��B� ����%��7;z����� ���;LB-CC[
30 8 10 308
9
1
10
278
9
1
10
139
4534
45, ( ) % .⋅ = ⋅ = ⋅ = =
308
934
4530
40
4534
4527
36
4527
4
527 8− = − = = = ,
� ��30 8 90 308
9
9
10
278
9
9
10
139
527 8, ( ) % , .⋅ = ⋅ = ⋅ = = �����[��+L-�
+�//���������������"����1��������������������� �������� ����"� ��� ��P��������������� �����M�������������������������� �������� ��, ���8�L���"������8���"������� �"������M������8 �� ��A������������������ ������� �L����� &� ����L��!���� ���F�� �"��������L�$����������!� ��� �����$������������?��������������1������ �L��!� �$������!������������������� �������� L��MG���$�!�����&�����"�"M�&������ �������������n�(��������!����� ������'#������������������H�������V X���������������������������������������� �������� ^
(��������� !� ���� ����� �� �L� $��������� ��������� �����P� ������� ��
H�������VV �� ���!���� G��������$���%���������������������������� ������� �^(�������������������� ������� �L�����������!���M��!�����!�P �������"� ��������������� �������� ��!���������$����������"�P������
H�������VVV (������ ������������������������������� ������� ��H�������VW J�8������ �������� !��� ��������� �� ����������� ������� �����
��� �
29
Рациональные числа. Элементы треугольника
Урок 1.6. Неравенство
C���)���'1� ������� X�!������ �� ����� ����������������������������������L�!���$��G���������������� @!���� ��� !��"��� !��������� ��A�����!���8�������������!��������%������� ��E�����������"����1�C�X�!����������!���$��G��������������������P
��������������C����A��� !��"��� !��������� !����� ���������P
����!��������%������� ��K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�����%��$��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�,��� ����L�������������"����L��������!� ���������M�P�������8��!!���� ��!������H��M������8��$�����������$�!������������L������8����!����������� ����L������������������� ����8��$�!��������������������� x�t�U_-���x�~�����=�F��� ��������� ������������!���� G�������!��� ������ ����P��������������@!��!���$����L������A������������L����M�%�L��!� �$����� ���&���L�!����P�����8�� ��A��
B����)��������#�>��*���[�E����!���� ��������������A���%����������\
������!� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=�!� ����$������L����M�%���� ����������������������������P����Y��!�����������MG� ��A��!���������������GC��x U��L7������������[�/��� ����$������ ��"���� ����L7���������� ������A�����H��M�%���!���� ��� &"�����A���������������!��"���!����������*�!�����[�!���"�b������� ��!� ������8���� ��;L������A����������!*��M�������5���A���!��"���!��������������������!��������%������� �L����M�%�������!��������%��� ����!�������������� �L���"��!� ����������P ��"� ���������!�����A���&��������������]C��=������������x�f�#L���~��L#������"��� ����"���$�!������������ �L���"��!���
�������F�8���� ���#L������ ����������"� �����A���L#��=�F��� ������� ��" �� ����"�������A���� ���L#�U�#L��b�U�L-��(����8�%������L��� ��"��� ����"���"� �A���� ��U�L#�U�#L��b�U'L)L���!�������� ����L���!�����L�!���"�b�U)L��������P����U_)�f�#L���b��L-�~��L#�"�������������������"Q�������F���������%����� ���������!���������M������ ������"��$���
21
Рациональные числа. Элементы треугольника
1.6. Неравенство
>, <, ≥, ≤Деятельность�5 ����������� ����� ����� �������x<�W�5��������������
���� ���� ����� � �������� �������� �� ���� �101
4 � 10
1
4
������������ ���������5 ���!�� ���"���� ��� ���� �� ������� ���� � �������
xI�WG#����������� ����������������� �����5 ���������� ����� ����$"�����&'*������--$���!� ��������
���!�� ����� ���"������ � ��������� ���� ���$ ��� ��/�������� �������#
� �������$��!�������!a:x:b$a<x :b$a:x<b���a<x <b����=�����)��>�'�����������>�!����b�������� ������������ ������a$b�?@#A����� ������������������� ��B �����$B � �/��/!����� ���������������#C� �����������"����!�� ���$�������� ����$"���� �� ���� ������������"��� ��������#� ���-����DxD:�� ����������!�������� �������6���<�"�<�����##�������������� ����$�� �������DxD7�� ����������!�������� �������6���7�"�7���Образец
1V��B���������������� ������ ����� �������&E:x<F$G#3��4� H���� " ��������� � �������� ���$ "������ &E � ������ ��� �����F$G#I"���� ��������=
����� ����� ������� ��=
��������#J�����" ����$-$G$
E$K$F&������� ����� ����$�����/��� ����� �������#
�����1xL-$G$E$K$F#�V��B���������������� ���$�����/���� ����� �������DxD<K#3��4H����$��!������� ��������� ���K$&��� ������������
���� K$ � ���� "����� ���
����&'K#M��" ������� �����
��! �� ���� �� ������� ���#
J�����" ����$ &'K$&'E$&'G$&'-$N$-$G$E$K& ������ ����$ �����/���
����� �������# �����1xL&'K$&'E$&'G$&'-$N$-$G$E$K#N���"�����5O ����" ������������� ���� !������� � �������&'E : x� K �� ������� ���$ �B ���!������� ���� &'E�������� ����B����������������P����� �����$�B ���!������� ����K�������� �����"���� ����������Q#N���"�����5� �������DxDR�� ����������� ��������"�8����"�<�6�������������$� �������DxDS��� ����������� ��������"S����"�<&������������#�VM��" ���� ����$�����/��� ����� �������DxDRK$�� ����������#
3��4 H���� � ��!��� "���� K ��B��������� �� ������� ��� ��"��B ����� ����K$��"������� ����&'K.
1 2 3 4 50-2-3 -1
5,2
x
1 2 3 40-2-3-4 -1x
4-3x
40-4x
30
Глава I
�C����������������;�U�x��t�+��� ��"��� ����"�������A���;�U�+�b����(����8�%������L���"������������"� ����������� ��"��� ����"���"� �A���� ���;�f�+�b��+��*�!�����L���;�U��-��t�+����-��t�+�� ����;�U��L#��b�+L)�t�+��
�C���������������x��f���x����#���x�� ����x�� U�!���"���� �8�������i ��������!������M�������!������ ��!���"���� �8�����L� $�!������� !��� $������ ���� �L� � ����� ���M���� ���8�� �� ��� F�� � G8���&��?�8�����x����#�����x�����#��=�F������������������� �8����!���� ��L�����������!����� �����"������"����� ���"� �A���#�� ����������#��?�L����"������"�������A��U�#�� ��������U�#L����M�%��������!������ ���!�G�������������+�//���������������"����1�i �� �"������M���� $������&�����!���� �������$���������A���%�����������!��������%������� �L����� ����������$�����"�P ��� G8����$��������*�!�����L��x��t�#L��x��~�+�������J����'%��#����'����)������������������1��"�����"� �� �����%�!�����A����� ��������� � !��������%� �� ���� �� !��"��� !��������L� ���� �� �����!��� ��������M����$�!����F������������"�$����� ���u�����������F�����!�P�����!� ������������&���A����L����$������M�%��!� �����!���� G���&�������A��������$���������� ����A��������8���!�������������"���M�������?��������������1�H��� �L�!��������GL��"�"M���!��%�����������A�������P�������!��"���!�������������������n�=��������n���A�����!��"���!��������
!����� ������'#������������������
H�������V*�������$�!�������������������������!���$��G��������^*�������!���� ������A��������������!��������%������� ��!�P��"���!���������
H�������VV
,�!������!���� G������A�"���!�����!������������$����8����P�������������������������^*���������!���M������ ��!�����A���������������!��������%������� ��
H�������VVVX�!�����������������������!���$��G������������������^(������ ������A��������������!��������%������� ��!��"���!����������
H�������VW
X�!�����������������������!���$��G�����������������������P�������������������^��A�����"Q��������������������!��������%������� ��!��"���!����������
Урок 1.7. Действия над рациональными числамиC���)���1��������*������$���������� ���8�������������L�!������������!�� ��������� �P�������!� ���������%��%�B������� ����$������������!���������� �����!���$�� ��C�
31
Рациональные числа. Элементы треугольника
E�����������"����1 *������$���������� ���8����P�������L�!��������������!� ������� ��������!� �P��������%��%������������ �������� ����K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'[����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K��������#�����
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�(������ 8������ �����P���������$��������$������8��������� ����������P
�����[
3
11
2
4
22
3+
−+
. ������������ �������������$��P
������!����%�����"�L�$��������%L����� �������������$���� $������%� !����%� �� ����%� ���"�%�� Y��!� ������ ����� �� ���� �!���� ��� ���M����� H��M���� � ��L� ��$�� ��A���������� ����8��!!L�!� ���"Q�����%����� ����!� ��&�F��$��������=�F��������P
��������� ���"�� $������� ��%����� �� ����[� 3 11
24 2
2
3: : .+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
*����������
$��������F�8���������������� ��!����������8���8��!!������ ����������$� ������������&���
X������L�������������"����L���!� ��&�����������������������������$�������PM�������"����� ��L����� �������$�����F��$�������� ����!� �����������8��!!���� �������� ������R��������"�����[�H��� ����G���$Q����������� �������"�������������������L�$��������L����������8��!� �����"������������������L�����������L�������&M����� ��E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5��������� �����$������%���������%������������ �������� ��������A�&����%����]C�U_)L7)'�f��L��b��)L��'^� "C�)L��g�BU_�L��C�b�U_-L�#)^� �C�'�L#�[�BU_�'C�b�U_��L')^8C�);L7�U�--L-7�b�U_�+L77^� �C�;L+-�g�BU_�L'C�b�U_�L7'^� �C�U_�)L7#�[��L-�b�U_)L;'^GC�77�U�7L7;#�b�-7L;7)^� �C�U_;L;�)�g�;L�'�b�U_;L;;#^� $C�+'�[��L�'�b�);�!*��M�������5
]C� 61
39 6
1
383
322
3− = − = − ;
� � � � "C�
3
8
6
322: ;−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
"C�9
144 2
9
1442
9
9
14
38
9
19
725
7⋅ − = ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = − = −( , ( )) ;
$C�513
7 0 3 51
371
301 7− = − = −, ( ) , .
23
Рациональные числа. Элементы треугольника
1.7. Действия над рациональными числами������������� ���� ��������� ������������������ ����� � �
������������������������������ � ������� ������ ������������ �
������ ������ � ��� � � ��� ���� ���� ������ ������� ���������!�
������ ����� � � ������ ���������� ��� ����� �����!��� ��������
���� ������"���� ����������������������������������������!�
�#���������!�����#����'��$���������� ���� ���� ����� ����
�������%���� ����� ��� � �&� ����� ����
Последовательность действий, калькуляторДеятельность
'����� ���� �� ���� ��� 3
11
2
4
22
3+
−+
.
�5 *��� � ���� �� �� � �� �+��� � ��! �� � ��� ���#� ����� ����
� �� /��=����� ���>*������+���/����� + ��!>
�5 *��� � �������� ���������� �+���>
�5 "/������� ������#��!� ������ ��� ������� � ����'����� ���� �
�� ����� ���=����� ������ ���������� ��� ����?��� ����������
�5 @����� �� ���
Образец
"������� ���� �� ���� ���1
2
3
7
2
22
33
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
.
3��4�@���������� ����� �� ���� ��������� � ���#�A
12
3
7
2
3
3
2
3
7
2
1
3
7
2
7−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
66.
B�� ������ ����� �� ���� ������� ��� � ���#�A
22
33 1
3
3
2
33 1
1
33 4
1
3
13
3−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ + = −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ + = + = = .
$��� ��� ���� �� � ����� ��� ������ � �� ���� �� � ����� ���
���� ��� � A− = − ⋅ = −7
6
13
3
7
6
3
13
7
26: .
B�� ��� ������! ���#��! � ��� �� ���� � � ���� �� ��� � �������� /������ �� �� ��!? ��� A
12
3
7
2
22
33
12
3
7
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
= −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟⎟ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −: 2
2
33
7
26
�����1�
7
26.
Образец
"������� ���� �� ���� ���− + ( ) − ( )57
93 5 2 0 23, , �
32
Глава I
!*��M�������5�=�!� ����F��$������L����M������ ����������!���� ��L������P����������$������� ���;�������&��� ���
8C� 0 57
0 08 0 02 4
0 57
0
,
, ,
,
− ⋅=
U���F�8����������������� ��
�C� − + ⋅− ⋅
= =12 3 4 1 3
7 26 2 3 13
0
10
, ,
, ,�U���F�8�������������� �����
=������������8����������%��������������� �������� ���L�����!���� �L�!���$���P������!���M�&��� ��� �����!*��M������ 5�������� �����$������%���������%�������!� �$�������� ��� ������
"C
12
53 5 1
1
422
53 4 2
1
80 35 1
2
5
7
2
4
5
5
12
17+⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ + − = + ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ +, : : , : ,
55
8
170 35
7
5
14
5
5
12
8
5
35
100
21
5
5
12
8
5
7
20
7
4
8
⋅ − =
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ + − = ⋅ + − = +
,
55
7
20
35
20
32
20
7
203− = + − = .
C
3 75 21
2
21
21 875
23
41 5
2 75 11
2
10
11
3 75 2,
,
,
,
, ,+
−−
+
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⋅ =
+ 55
2 5 1 875
2 75 1 5
2 75 1 5
10
11
6 25
0 625
4 25
1 2
, ,
, ,
, ,
,
,
,
,
−−
+−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ =
= −55
10
1110 3 4
10
116 6
10
116
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅ = −( ) ⋅ = ⋅ =, , .
!*��M�������G5�, ��K���������������������!��"���%�F��$�������������!�P���������M�������������!���$�� �����"�������
a )
, ... : ,
, ... : ,, ,
0 6661
30 25
0 12333 0 092512 5 0 64
2
3
1
3−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⋅ =−⎛⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
+ = +
+ = ⋅
:
, ( ) : ,:
:
1
4
0 12 3 0 09258
4
3
111
900
925
10000
84
3
111
900
110000
9258 1 8 9+ = + = .
+�//������������ ���"����1� H��M���L� !���$��A��� �"�%� ��$� ��� !��� �"����P���L�$���&��"� ���!�����$������������!� ��������%��%������������ ��������P ������������ ���"��$���!������!� ������$�����%��!� �$�����������������"������� ��� �������, �����M���L�!���$��A��������%���$� ���!����"������L����������!� �$�����������������"���������!�&���L������������8��"���$������$��������������� �������%��%������������ �������� ������!��8������k�������������������?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M�����������������������" &������!� ������ �������%��%������������ �������� ���L��"�"M���!��%�����������������n�=�!� �����!����� ������'#������������������
H�������V*�� $���� !� ������ ����� ����A����� ��%��%� � �� �����������$�������������������^*������$������������������"�$���"��L�$����������������������$�����������������%�����"�����
H�������VV X����!� ������ �������%��%L���������!���� ������%��$����P���������������
H�������VVV (������ ����!�� �������!� ������ �������%��%�������P���$����������������%�
H�������VW ������!� ��������%��%�����������"����!��"����A�����
33
Рациональные числа. Элементы треугольника
Урок 1.8. МножестваC���)���1�����#���������������A�����$�������%P����"Q�����������!������������������E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%����"Q������������!���������������������K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?L�����������������B��� �����1�����%��$��
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� H��M����� ��!� �����$�������L�������������� ������H��� ��������� �P���������"����H ��������� �������8�����!� P����������������=�!� �������� ����L�����M�����!�����&��"Q��������L�!���P��������������L����8��Y% ���L��!���� ������� ��F ����������"Q����������
B����)��������#�>��*���[�E�������%����������%��%��������������\
*�������$�!����&����������̀ �b�c9��:��;��<��>e^�a�b�c:��?��@��<��Be^�j�b�c9��?��;��<}. H��� ���� �����M����� ������#�8��!!���N��!!��!������&�!����� ����� �P��&�M���������V�8��!!�[�̀ �a�b�a�`��VV�8��!!�[�B`�aC�j�b�̀ �Ba�jC�VVV�8��!!�[�̀ �a�b�a�`��VW�8��!!�[�B`�aC�j�b�̀ �Ba�jC��N��!!��!����� �&�������"��L���!���������"����������R��������"�����[�=������&����M������������K���� ��� ��������������� ��F ��������"Q�����������������������������[�n(A�[V\]^_VI]^[V<]^_�[V����G����K������������%������%��%���������������=�!���� ������� ��������L���!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� @"�$������ �"������� 8�$��� $������ >L� �� �"������� ����� �� U�$������=��(�8 ����� ���&L��B`C�b�+'^��BaC�b��)^��B`�aC�b��-���� ���������%L�!������&M�����$�����L��������� ���"Q����������������>���=��B`�aC�b��B`C�f��BaC�U��B`�aC�b�+'�f��)�U��-�b�-�� �����[�-�������!*��M�������5�H��M���L���!� ���A�����������!��"�8�L�����������������>L����M���L���!� ���A�����������!��!������L�����������������=��]C� (�8 ���� � ���&L� +� �� ����� ��!� �� �� �������� !�� �"���� ������ !���L� ����� �����U�� ����!��"�8���( ������ ���L��"M����� ����!� ���A�����������!��"�8�����f�+�b��-��� ������
26
Глава I
1.8. МножестваПереместительное и сочетательное свойстваДеятельность
D�������������=�����E�� ���" ���F����GHA
�5 "���+�� /� � ������� ��AI�J�J�IKI�J�
J�I�L������ � ��������#/������� ����>
�5 '���+�� M������ ������ ��� ����� /� � ���
�#N ��� ��� ��� ��� ���� ���� ��� D�� � ��� A
OFIH�OFJH�OFI�JH�OFI�JH�
�5 "���+�� /� � ������� ��AI�FJ�PH�FI�JH�PK
I�FJ�PH � FI�JH�P� "������� �� �� �� �#
/������� �����
�5 "���+�� /� � ������� ��AIQJ�IQFJ�PH�JQFI�PH����#����� /��
���� ��������=������E�� ���" ����
a
–3
k
t
b
c
p
n
11
h
r
e
7
–5,2
0m
AB
C
������
C��>����)�>����>��)��M������R������ ��I�J�P���� ������ ��!?� ������A�5 I�JSJ�I�I�JSJ�IF� � � ���� ���� ������HK�5 I�FJ�PHSFI�JH�P�I�FJ�PHSFI�JH�PF��� ��� ���� ������HK�5 T���J��IF�� ����� ���"��� ���������� �������� ���UH���
I�JSI�I�JSJK�5 T���J�I������� ���JVSIQJ����� �����������!���� ���U�"
���� ��������� �� ����� ���"������ ���UK�5 IQUS���$����������� ���U��������#����� ������������� ����K�5 I��� SI� D#N ��� �� ���� ��� U � ������ ���� ���� ��� ���
���� ���U�I����S��� � � � �� ���� ���U����������� ������� ������������� �����
Упражнения
�5'����� �����/� � ��������=������� ��ISWm� n� l� k� pX�JSWn�p�g�jX�
D�� � ��� ����� /� � ��� �#N ��� ��� � � � � � ��� /��� ���� ���
���� ����������� ����� �� � � � ���� ����=��������
�5L������ � ������������ /� � ������� ��������������� ����
��������������� �>*��� ��������!���������� ��������=������
� ��>���#����� �������?�!���=����E�� ���" ����
�5R������ ��U�@�Y���� �Z������������ [��������������� ��� �
�� ��!? A
\HI�PK �HI�YK
#HP�YK ]HI�P�YK
HOFIH�OFPH�OFYHK �HI�PK
=HI�YK �HI�P�YK
�H/� � ��������?� ���������� ���UK
�H/� � ��������?� ���������� ���@K
�H/� � ������� ��IQY�IQP�YQP�
AC
D
10
uf
82
g7
a
5
bx
������
34
Глава I
"C�@"M����� ������!� ���A�����������!��!���������������'�U����b��#��� ������C���"����%���� ����!� ���A������������ ����!��!�������������L� ��������"M�8���� ��������� ����!� ���A�����������!���"����������!���[��#�U�+�b�+�B�� ����C�� � � � � � �����[�]C��-��� ����^�"C��#��� ����^��C�+��� �����
!*��M�������5�(�8 ����� ���&L��B`C�b��+^��BaC�b��'����B`�aC�b�)�?�8�����B`�aC�b��+�f��'�U�)�b�')��( ������ ���L��$����M����)��U�')�b�'��� ���������� ������������������ �L����������� � � � � �����[�'��� �����
!*��M��������5�(�8 ����� ���&L���8��!!���;����M���������$�������� &"�����!��L�������������( ������ ���L��"M����� �� &"�M�������������!����;�U���b��-��� �������B`�aC�b��-L��B`C�b��#L��BaC�b��;��O$�K���� ���B`�aC�b��B`C�f��BaC�U��B`�aC�!� �������B`�aC�b��B`C�f��BaC�U��B`�aC��( ������ ���L��� �����M���L� &"�M������������L���!����B`�aC�b��#�f��;�U��-�b�)��� ������ � � �����[�)��� �����!*��M��������5�@"�$����������$�x��� ����������+P8��� ����?�8������ ����;�f�x �������������� ���&���������������&��;��� ���������;L#x� �����������;�f�;L#"= b�B�;f�C�5�;L)����A���F�����������L�!� ������b�;�B�������C��?������"��$��L���� �����8��#;����M������ � � � � � � � �����1�#;����M����+�//������������ ���"����1� =�� ������ ��A����� $����� � �� �� ��� ��� 8��!!�� ��"��� �� � ����� ���M����� (� ��G��� ������� �����%� 8��!!�� ��� ��"����� ������&����8��!!����������$��������=�!� ������G�$������L�� ��������M���������!�������&� ��"��� ���M���� ���8�%� 8��!!�L� ��&� ��� ���"�������� ��������������H���� ������� ����������"����,��8������Y% ���P=�������������8 �������"���P$����������������%����������?��������������1�����������%�����%��%��������������L�K���� ����P����������F ��������"Q���������������L����� ���"�"M���!��%�����������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V *��$������%����"Q�����������!����������������^
X���������!������������A�����$�������%����"Q�����������!�P�����������������
H�������VV *����������!���� G���%�!���M��!���!������������%���"Q�������P������!���������������������A�����$����^��������� ��%��� !�����M����� �"Q��������� �� !���������� ���P���L�$�����������!������������%���8��!!�������
H�������VVV (������ ���� !�������� �� ��A����� $����� ��%��� �"Q��������� ��!������������������
H�������VW ��������� ��%��� �"Q��������� �� !���������� ������� ��$�����!��"����
35
Рациональные числа. Элементы треугольника
Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания № 1
� H�������
1 �������!�A��������� ������� ��
2 *���� ���%���������������L�������&M�&�������� �������� ��
3 =��������������� ������� ����!��������"�����������$�������
4 (���������������� ������� ��
5 ����"��$��� !����������&� �������&� ���"�� �� �"���������&� ���"�� � ���"���������&����"����!����������&��������&����"��
6 ��A�������������
7 ��A��������������!��������%������� ��!��"���!���������
36
Глава I
Образец малого суммативного
оценивания № 1
����E������� �� �������!���������� ������!�����G����L���"��!� ��� �����������������[
]C�− =84a ; �"C�1 3
100, ;�
a ��C�− =−3
415a;
8C�− =4 85
, ;a ��C�77 7=−a; ��C�− =
a23
46.
]C����"C�����C����8C�����C�����C����
����*�!�A��� ����� �� �L� ��"�� ��������$�����"� �[]C���� ������� ����L� �� ����� �����
�� ��[��������������������"C��������� ������� ��L��������� ���
�� ��[����������������=��� ���$�����������������[
313
435
1 7− + =,
����=��� ��� $�������� �����������m m
m
2 21 5�,
�!�� m�b�U_�.�������������������������������������������������������������������
����@���������� ���%��������L���P����&M������������ ���
U_�L'^�U_�L-^ 115; ;^�U_�^�3
12; ��L��
����*�%���� �������� ������ ������ $�P��������������[]C�̀ BU_#L7C���aB�L�C����������������"C�kBU_-C���lBU_�#C�����������������C�mBU_+)'-C����B7C����������������
����*�%����"L�� ������������������P�����>B��C���=B"C��������'����������������������������������������������������������������������
����,������ �� �� ������� �� !���������$������[
U_-^��L'B+C^��L-^�U_)L#^� 213; �^�U_�LB�C^�;L'B#C
����������$������[�����������������������������������������������
���*���� ���%����$�����������m���n:
xnm 0
(��������� ��Um���n.���������������������������������
�G���*�!�A��� �� ��� ������ ����� ��PA����������������U��~�x���#�
���������������������������������
�����*�!�A��� ���� ���� ��� L� ���� �P����&M��������������_x�U�'L�_��~���
���������������������������������
�����X��������!������������������������"��!���"��$�%�����"���������&����"�[�
]C��LB#C�b��������������������������"C�;LB��C�b��������������������������C��L�B-C�b�������������������������
�����,���������"��!��������������!����P������%��������%����"�[
]C�512� � � � "C�
89� � � � �C�
1645�
�����=��� ���$����������������%[
]C�
13
0 1 4
562 3
− ( )
( )=
,
: ,� � "C�
2 5 1 3 2 52 3 5
, , ,,+ ⋅− ⋅
=
�����i ���B`C�b���L��BaC�b��#����B �̀��aC�b�����L��B �̀��aC�b�\
������������������������������������������������������������������
D��� ��[��������������������O��[�������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
37
Рациональные числа. Элементы треугольника
Урок 1.9. Построение биссектрисы углаC���)���1��������,� �����$���!�!� ��L��������������%�!��!������ ������$��L�"��������8� �������8� �����!���8���������E�����������"����1�����"������������8 ���!���M�&� ���%���������� ��K��������'1���������� �������"��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?L�����������������B��� �����1�O�K��������������
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� E����%� ���M�%�� ��P��������� ���� ��!� ���� ���� ����L� �����&� �����"��������(�!���M�&����!������������8� �+;������ ��� �����@(�!�!� ����������!� ������F�%��!����������� ���� �����!����������������������M����L�!������������"��������8���H��� �����������!� ������������"������������ �����$���������!��8��� ��P��%�!��8������������!�&�����=���8�L���!� �������� ����L�����M����!�����"��������8 ���!����M�&�����!��������R��������"�����[�H��� ����G���K������&���"���������!���$����������$P�����������8 ������"��������B����)��������#�>��*���[�E���������!������"��������8 ���!���M�&� �P��%����������� �\
��"��!������� ������������M������ ������!� ��������&����� ������H��� ��� �� &"�%����M�%�L�!�����$���&����� �L���8����!� ����F������ �������������� ��������!�&����
�� ��!����������!��������!�����������"��������8�����M�8��������� �������������������!���������H��M������ �����������$���� 8�����!��������P����!��������
=�!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������H��� ����$������������ ���M����� ��"����� ��� � $��������L� ������&M���� �������� �����8������M��8���� O!� �$��� ����������&� ����L� ������ ��8 ����� !���$��� !��������"���������8 ��+�//������������ ���"����1 ( �"��� ���M���� ��8�� $��������� �� !��������"���������8 ���(���������M������������"���L�!�������8���� ��������M������!����B �"�%�f�� ���%C��=��������!�������� ������"�������������������������!� �$����������M���������� ������?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M���������������M�������!���������!���M�&������ �L�!��������"�"M������
28
Глава I
1.9. Построение биссектрисы угла
Деятельность
�5 �������������� ����������������������������������������������� �
�5 �������������!�� �����"#������� ����!��$��5 �����%�����!�$��5 &���'������(����������!���&)����)��$� �$��5 *���&��'��������� ���!��$+
OO
OOB
BB
AAA C
C
3535°70
°
70°
35°
������
�����������!���!��������-�������/%��<������������/���&-
�����<�����#�����>����=����>?�
OO OB BB B
A
A
A A
D
D
DD
45°
Прямой угол Развёрнутый уголОстрый угол Тупой угол
OD – биссектриса: AOD = BOD� ��
45°
������@����������������'��������� ����� ������� ������������/��
A������!������� �B�����<���������*��A&������� A������������������� �B�����<��������/���%������������� ���%�����%�<��� ���� �
ЦиркульДеятельность N��������������#����'� ���*��?�P���#��������>#�1�5 ��!������ ������� �&� ������ � BA
O
�5 ��!����������� �B�����<����'-
���� �B���������!����
BA
O
38
Глава I
����������n���������!����� ������'#������������������H�������V X���������!������"��������8 ���!���M�&������ �^
*������� ������������ ��� �"��^(����"������L�������� �����!�������������8��L������������������!��������"����������������
H�������VV *������������!������"��������8 �^i �������!�����"��������������L�8�������"�F����������������������8 ���
H�������VVV ?���������"��������8 ���!���M�&������ ��H�������VW ?���������"��������8 �����"��������������� ��
Урок 1.10. Биссектрисы треугольникаC���)���1 ������� X���� �������� F ������ ���P8� ������������A���������������L�8���������������$��"������E�����������"����1�X�������A�����������"�P������������8� ��������8������������������$�"P�������K��������'1���������� �������"��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�E����%����M�%����������P��� ������!� �������� ����L������&������"�������H��M��������$��&L����������"��������8� ���(�8� ���� � ���&� ���� ����� "������� �G���8� ��� ���8� ������ �� ���� ������ � !�����M�&������� ��� �����!�������@!���� ����������!����P��������"������B!������8� �����C��,����������������M�������������!���� �����"�������
B����)��������#�>��*���[�E�����!� �8�&��"�����������8� �����\
, ��!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� =� F��� $������� �����%� ���M�%�� ����� !���$�� ���%� ���P�8� ���%� ���8� ������ (� !����M�&� ����� �� ���� "������� �8 ���� O$������8������&�������8 ��L���$���A���!���!��������"������L���!��������������!���������@!���� ������������!����������"�����L������G��� �������!��P�� ���� ��$��!����� �������8� ������!*��M����� ��5� *�� ������ �������L� ������� �� $������L� �� �����8�� ���8� ������>=EL�=(/L�l>(��$����&���8 ���!���M�&����!�������@!���� �&����������8� ���X�!����&����$������"�����[�̀ lL�amL�jk�+�//���������������"����1�I� ���"��$��L���"�� �"������ ��������M������P
30
Глава I
1.10. Биссектрисы треугольника
БиссектрисаДеятельность
�5 ������������� ���������������������
�5 ������������������������������������ !�����������"#�$��%�
�5 &!����������������� ������������������� !�������������� �-
���'������������������!�� ���(#)�*�
�5 �����'���� �+�������!�������,�(#�)��.�&!��������������,
��������� !�� ��&�
�5 �����'���� �+�������!����,#��������, ��/���,�������������
`����#�����> ������������ ���� ���� ������� !���������� ��!���
����������������#���0�� ���� ��/���1��-
������������������� ����'�����������
2 ������������ ������ ��� !��������-
��3�(#�)#�.4#�������������� �0���
����� & 3���� 54� 6��!� �������# ��� 0�����
������� � ��� !������������# 0����������������#����$"78�%"7#�"$)8�%$)#�$%*8�"%*�
A
B
C
MK
N
O
������
Упражнения
�5������������� ����������������!�������������� ������������#
���������������� ����������������������� �&��0�����������'����
�������������� !����������
�5��������� !���������� �. ������������ ��� � ���� ����� 59:;�
�$859:<���0������0������������� ��.���.�
�5=������������(&)����!����������&>�&��0��������0���������
���� (&)�)&>#�����7?@8DE<�
�5���������D���0�����������������������������.#��(#��)�
2��'����� ����������F��/���!�����������
������A
B
C
N
M
K
O
AA
B B
C
C
N
N
MM
K K
O O
39
Рациональные числа. Элементы треугольника
"��� ����!������=�F��� ����� �"������M������8��� ��A���������$� ���L�������������M����K������&���������������%���"���J����'%��#����'����)������������������[��=�$��������!�������L�������%������"����������8� ������!��������!�����!� ����&��������X��������������������� �����L�������M���� ������"Q�������������8�L����8 �������������L��������!��� ����!���!����������"��������!�����!� ����%������%L����L����"��������� ���8� �!�!� ��������?��������������1�@"�"M���!��%������L����� ���MG���$�����������������������M������ ����������8� �������G��"�����L���������!��������������$��M������GL���$�����������������8� �����L����������8� ����������������n�O$�"�������!����� ������'#������������������
H�������V*��$���L�������!� �8�&��"����������8� �����L�$������������$�"��������^*�!���� �����$�"������"����������8� ������
H�������VV X���L� ���� ��!� �8�&�� "������� ���8� �����L� �$�"�����L���!�������!���� G������A�"���
H�������VVV X���L�������!� �8�&��"����������8� �����L������� �����$�"�����������
H�������VW (������ ���� �$�"������ "������� ���8� ������ �� �"Q�����!���� ������
Урок 1.11. Медианы треугольникаC���)���1��������X������������F ���������P8� ������������A���������������L�8�������������������$�"������E�������� ���"����1 X���� ��%��� ������� ���P8� ���������8���������������$�"������K��� �����'1� ��������� ����� ��"��L� ��"��� ��8��!�!��J���)�����'1���$8���������L��"��������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� ����������������L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'[�E����%����M�%���������P� ������!� �������� ����L������&������"��������,���"Q����������M����!�����������������8� �P����L���!� �����!�����!������������������(�P����� &"�8�����8� �������� ��� ���%��%�!�!� ����������������������$�������P������!�����!� ����%����A���%��?������"��$�������������������8� ������
B����)��������#�>��*���[�E����������A������������������������������L�������������������\
(��� �&�!����������� ��������L��!���������p����$����"�������!� �����8��!�!�P���� E������ 8��!!�� ���� �������� ����8�� �$� ������ ���8� ������ �� �"Q����L� ���
31
Рациональные числа. Элементы треугольника
1.11. Медианы треугольника
МедианаДеятельность
�5 ������������������������
�5 G������� � ������ ������� ������� ��� &�-
�������+ ����0����������&!�������� 1�� �����
!�� ��.�
�5 ���0������������� ��/�����������.�
�5 G�������0�����������������������+����0�-
���������H��������!��������!�� ��(����0������������(�����-
���3����54�
�5 G������� 0���� ���������� �������� �+ ����0��� �������H�� �����
�!��������!�� ��)����0������������)���������
�5 �����'���� �+�������!�������,�)#�(��.�
A
C
B
M ������
&������#���0�� ���� ��/��������������������0�������� ���'�-
����������#���� ���� �)����>������������3����54�2����������������
�����0����3�I#�>��J4�������������� �0��������3�����&43����D4�
A
C
B
T
F
P
O
������
������!��'������ ����������#
��������� �� ������� ������������#
��������� �0����� ��� � ������-
�� ����� ��3����D4�
6��!� 0�������# ��� ������� �I#
�>��J � ��� ��0��������������L
����#0����������������#����I8I�#
�>8>���J8�J�
Упражнения
�5�������� ���� ������ �������������# ����������� � � ���������� ����-���������G������ �������#�� �0�����0������'0����������������
�5�����������������.#�(#�)P��0��������0������������������L
�������#����Q�)8R��#�.8D#E��#�(8R#D���
�5������������������ �0�����0�����.#�(#�)����0����������
���������������#�����(S�.S)�8R9#E���
�5���������� ��!�0�������������������().�� ��ET0��U���0��������-
��� ()!�0���� ��5V#90�#����������������0����!�0���0�����!�-
�� ����������� �0+�����������0������3�� ��0���� ����������,4�
40
Глава I
���������������� ��!�����!� ����&��������*�8 �����!�����������������P8� �������������!���M�&�����������%����������?��������������1�@"�"M���!��%������L����� ���MG���$�����������������������M������ ����������8� �������G��������L���������!��������������$��M������G���$�����������������8� ���������������8� ����������������n�O$�"�������
!����� ������'#������������������
H�������V *��$��������A������������������������8� �����L�$������������$�"����������
H�������VV X��������A������������������������8� �����L���!������!��P�� G������A�"���!����$�"��������
H�������VVV X���� ����A����� ������ ���������� ���8� �����L� ������ �����$�"�������
H�������VW X���� ����A����� ������ ���������� ���8� �����L� ������ �����$�"����������"Q�����
Урок 1.12. Высоты треугольника
C���)���1��������X������������F ����������8� �P����� �� ���A����� ������ ����L� 8����������� ����$�"�������E�������� ���"����1 X���� ��%��� ���� ���P8� ���������8���������������$�"������K��������'1���������� �������"��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� H��M���� ������ ������!� ��&����� ����L������&������"��������"��!��������������8� �����L� ������$����A������!�����!� ����%�������!������!��!������ ���������������!��!������ �����!���M�&��8� ���������M����$��&��$��������WV�� ������F����!�����!� ������F�8��$������������� �����"�����!� �$������8� ������H��� ���� ����!�� �����$����"��%������8���������L�!������"�����������$���!���M���������!� ��������P�� ����� ������!� �$���������8� ���%����8� ������
B����)��������#�> ��*���[� N��� �� $�������� �� ����� ���8� ������ �������������!��������������� ��!�����L�������������!� �8�&��F������\
, ��!����������� ������������M����� ����� ��������8��!!��
32
Глава I
1.12. Высоты треугольника
ВысотаДеятельность
�5 ������������� ��������� ����������5 ��������� �������������������-
�������������������������������
��������
�5 !��� �����������������������-
��" �� � �� �������������
�5 ����� �� ����#$���� ������������- $�� �$�����$������$�� ������%
�5 ����$�� ��$�#��#"��#�&'(��&')%
A
CB K
*����� ����#������ +����������������� ���������������-
�����������+�� �����"����������#�'����>���� ������,����./�
0���� �������$�"��#�������������������"��#� ������
,����./�1�������������#�������� ����������2�� ������$���
3������������������������4� ���� �����������������$$���-
� ������� Деятельность
A)�*�����#�P����'���'������ ����� ����� �����#�b�5 ������������� ��������� ��������,����5/��5 ������������� ���$� ������������ ���-
�#��������������������
�5 ������������� ���$� ������������ ���-�#��������������������
�5 ������������� ���$� ������������ ���-�#��������������������
�5 !��� �����������������������"��#������
A C
B
N
O
K
M
������
A C
B
F P
O
H������
*�� ��3������� ����� ���� ��-
����� �������# ���� ��#$� ������ ��
$���� ����������# ����� � �����
���� ������,����5/�6�3� ���������
�������������7#��#"��#�����$�
���� ������� ����������������
(8��&)�&9��()�)7��&(�
41
Рациональные числа. Элементы треугольника
V�8��!!����!� ��������&����� �����B!����������������8� ���8������8� �P����CL�VV�8��!!��U����&����� �����B!������������!�����8� ���8�����8� ���P��CL�VVV�8��!!��U����G��&����� �����B!�������������!��8� ���8�����8� ���P��C���� ����!� ������$�������8��!!���L��� �A���������������L��"��������������!� ������������!����������� �������8�� �����H��� ���� ���������L���"����"�������%�8��!!���"���� ����� �A����"� ����������������������������M����=�!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� O$� ���A���� !����8�� �8 �� !������8� �P��8�����8� ���������������L�����������"����������Y��F �����L�!�����G������$������%�����A��������8� �P����L���������!���� G���%�!�� �������� ���������!�P�����&����M�����!���� �&L���������"� ����������L�"������� �����8�� � ������ ������L� �� �������� � �������"����!*��M����� ��5� =� ���8� ������ >=(� !������� "������� >?L� ����� =*� ����������(/������ ���������������!� ��������!�����G����[]C�� ��>?�"������L��L��a �̀�b��j �̀�"C�� ��(/��������L���=/�b�>/��C� � �� =*� ����L� �� ���$��� =*� �� >(�!��!������ ����[�a����̀ j����������������� ��������������������!��� �������L�$�!�A��[]C�� ���a �̀�b��j �̀L���̀ ��U�"�������"C�� ��ak�b�̀ kL���jk�U����������C�� ��a����̀ jL���a��U�������E�������$�F���!��� �����%�������!*��M�������5�=����8� ����������������>/�U�����L�>��U�"������L�>E�U�����������=�!� ���� !������M��� $������L� ���M���� ���� F���!���� � ��� *����������������!���� ������"���������$�������L����M������8���"�������������������������%�+�//���������������"����1�(�8 �������� ��������"�����������������$P�������������8� ���������������!���$����L�������M����$������&���������P�����������!���������������!��8� ���8�����8� ����������F�%�!�������� ��!����$� ������"���������������$�� ��������8��!!�����8��!!��U� �"������M����U����������!�����8� ���8�����8� �����L�������8��!!��U�����������M����U�����8� ���8�����8� �����L������8��!!��U�� ��������M����U��!��8� ���8����P�8� �������E������8��!!��!����� �����&���"������ ����H��� ���������������������������M�����"������$�� �����!���!������������?��������������1�@"�"M���!��%������L����� ���MG���$���!����������M��������� ����������8� �������G�����L���������!��������������$��M������G���$�������
A
M
B
T
CH
42
Глава I
����������8� ������������� ��$��!���� �������8� �������iMG���$�!���G������L�������!��8� ��������8� ������������!�M�������$����A���������8 ��������������!���� ������!��������!� ���������������������n�O$�"�������
!����� ������'#������������������H�������V *��$������%����������8� �����L�$������������$�"��������H�������VV X������%����������8� �����L���!������!���� G������A�"���
!����$�"��������H�������VVV X������%����������8� �����L������� �����$�"������H�������VW X���� ��%��� ���� ���8� �����L� ������ ���� �$�"������ ��
�"Q������
Урок 1.13. Аксиомы
C���)���1� ����'�� �������� !������ ������L� ��P�����L�!����%�����������"����%��������E�������� ���"����1� @�$��G� !������ ������L��$� �8����������! ���������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1�� ���L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�>$��"�%������%��$����������
O�)���#�1H��M����$��������F ��������8���������� ��PA��� � ����� X��&� !������ ����L� !����%L� ! �P���������!� �� ����$����$�������*���$������������������������N�������#�*�����'[�=�!��8��� ����%���������� ��!��8������k���������������������!��$�������$�!����&�� ����R����SL�R!�����S���R! ����S��
Прямая Точка Плоскость
?? ?
??
? ?
? ?? ?
?
H��� ��!��� �8������M��������$�����G�����������������!�������=�� �PA���������������M�����"��$�"��������F���!����%L������$������L���%�����H��P� ��!�����������M������"������������$��������!���� �����F���!����%��=�P ��A���&����������M�������R��������"�����[�H��� ������������������������M���L����F��!������!��P�����&�� "�$� �!���� ����� �� �� �&�� !�������� ������ !�������� ����������
35
Рациональные числа. Элементы треугольника
1.13. Аксиомы
АксиомаДеятельность
�5 ��������������� ������������ ���������������������������-���������
�5 �� ������������������������ ��!������"��� �#$����%�����������������������������������
�5 ����������� ������������ ����&�����!����� ��'����(�!� ���-�������)���� �����%������*��������+�,���������������$
����������&����������� ������
.�� ����������������������/����� 0�����������"�!� ������ �-
������� ����"���������1������!�����"���������*��%�����)!������
�������������� ��� �����% 2� ����� 345678 �� ��) 395:;5678�� ����<�
.�� �������������� ���������������)����,�������'���� �,!��"
*�� ���� �� ��%����*��"�������������,�$������� �����!�����%)
����� ������ �
�*��)������ ��=������ �������� ������>���� ������ ������� � �� �-#$��������"�� ������%�?��������� ������� ����!��������!�-
$����������������)����������$����������� ��D�"#�)*����)*��S�#���� ����$��� �������� � ������� � ��� ������ ��%���� ��������"������%����,�$�������� � ��
@#����8 ��� ��������������,!����)������������ ��������!������������� ����3����� �7��������������������3@DEG6E7���������3�����,!����7�
&����������� �����������0����!�����%�����3������7)�������-
��%��IJJ���!���'�%*���
.�� ������ �������!���L*����������������������?���� ���������������������������"���%����)������� �����8����������������
��������"���%�����
Q��� ���� �������������� ������ ������
R �� ��,!�% ��� �% ��#�����$� �����) �����!��,�#�� *��% ��� �%) �
�����)�������!��,�#���%^�#����*����)��M�����V.R S����!�������������������"�!���!���������!����� ��^�#����
*���>V.
Образец
aC
A MB
D M N
m
A�a%[�a%c�aD�a%f�a5
=������"#�J�2*��g�)��*����m5
43
Рациональные числа. Элементы треугольника
,�G�����K���������"��!���� ����L�������L���$�� ���������� ���%� �����8�����P���L�F �������! ���������������������
B����)��������#�>��*���[�E�������������� �&�����������! �������������������!������&�\
, ��!����������� ������������M����� ����� ������#�8��!!����8��!!������&����"����� ��������!�����G���������������
���E������"�����"� ��!�����L��M���&�����L�!����� ���M���F�%�!����%L�������L����!����� ���M����%�^�#����*����)��M�����V.
�������$� &"������������������!�������������� ���������!����&�̂ �#����*���>V5
VV�8��!!������&����"����� ��������!�����G���%�������%�
hO$��G������L���!� ���������������%�!����%L��������� ��������� �������������������8����^�#�������*���M������"�#��*���>V5
�VVV�8��!!������&����"����� ��������!�����G���������������
•��E����%����$��������� ���L�� ����&����� �L����$��������!���� G����������������� ����^�#�����������������#�V.
•��, �������$��������������� ������$���L����������������$"������ &"�%���������%�����%�^�#�������M���������#��V5
VW�8��!!������&����"����� ��������!�����G���������������
���E����%��8� ������8������&�����L�"� �A�&��� �����$�G����%��8� �������180° ^�#������������� ���V.
���N��������������8 �������������8�������������8 ��L����������������$�"�P��������������� �����^�#�������M����� ���C�
@"Q�����F��������L����M���������%�8��!!���� �����������"�������������!���������=���"����� �����������"�������$��������$����"������E������8��!!��!����� �������������$������L���!���������"��������
*���������������"Q���&����������� �����!����%L���������� ��������$��L���������� �����! ����L���������� ������8 ��!*��M����� ��5� =�!� ���� F�� $������L� ���M���� �"����&�L� ��� ��� ���� @>� ����� ����������@����������� ������$���@=L�@/L�@E���@�L���������L'��L�#L���L��L-� �� �� 'L�� ��� ?����� =L� /L� E� �� �� ��� ���� @>� "���� ��!� ������ �� ���&M�%�!� ������ ����[
5 1,
5 1,
O O
K
K
M
M
P
PA A4 2,
4 2,
B B
2 5, 2 5,3 8,
3 8,
44
Глава I
i ��!������$�����������������@�;�B�� �CL������������%������=�"�����L'^������ E� U� �L-^� ����� /� U� #L�^� ����� �� U� 'L��� ?�8��� ��� ������ !���� �� �������������������������������������[
ak�b�#L��U��L'�b��L+��^��k�b�'L��U�#L��b�;L7��^�a��b�'L��U��L'�b��L)��������[��L+��^�;L7��^��L)���
J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1� ���M�%�� �� ���� ������!���� �����$�������������������������������������������������������%��� ��������$����H��� ���� ���������L���"�����M�������$�"�� ��������L�����$���� ������� ��!������������?��������������1H��� ��������!��������������! ��������L�����������������������M������������!� �$�����������������������n�@�$�����
!����� ������'#������������������H�������V X�������������$������!������������^
*���������������������^��������������!�����������
H�������VV @�$��G� !������ ������L� �������� ��������� ������� ! �����P���L����$�������������$������������^=�������������L����$���������!�����������!���������
H�������VVV =����������"Q������������! ���������H�������VW @"������������!��������!����"Q��������������! ���������
Урок 1.14. Теорема. Прямая и обратная теоремыC���)���1�����'����������!������������L�������L�!����%�����������"����%��������E�����������"����1@�$��G�!������������L�!����%����"����%��������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�>$��"�%������%��$�����������
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� ,��� ����L� ������� �����"�����L���!� ��������M������=�F�����������P� �� �� ���� �����L� ��"�� ���M���� �$ ��� ���!������ �����������������8 ��L�!��%������������ )�� ����X�������� ���"��M�������!�����RE������ ������ �"������� !���� �� �� ��L� ��� �������������8 ����������-;_�\S��=�� ��A���������������M�����
38
Глава I
1.14. Теорема. Прямая и обратная теоремы
Теорема, условие, утверждение, доказательствоДеятельность
�5 ����������� �����������������5 �������� ��������������������������� ����������������������-
���� ������������� ������
�5 !�� �����������"��������#������������ ��$%&'���������� ���
� ��(��)�
D������ *� ���� ���������� � ��(��#� ��� ��"���"� ���+������ � �()� ����� �������� � ������(���� ��� ���� � ������ �� �-
�� � ���� �� ��(�����,��������(��)����� �/�)�)�#�������������01�����2�*�(� ����������� �#��������0(������"� �#� ���)(#������
����)2��1���������������( � �����#����� �/3� �)�.�������,���.��S#�P"����,��!��"�����#� �����/3�)�(����#����� ��)����� ��#���
���"#����/3�)�(������"� �#����� ��)�� ��(����
!�����������'
!����M)���������'
+�#����������������'
Свойство смежных угловТеорема
������������� ��������������!�����������'1�456����657�
�����������
!����M)���������'1�456�8��657�9�:;<&�
+�#�����������1� =�� ���� �/� ����� (���������������:�������457����657��������=��
���(���/������ ����� >��(������������3�)#�
��(������������������/���)��/�����/��?����#�
���*���)��)�����(�������*���� �������������1��(��
������� ����������������������� �����9:;<@�
=�� ���� �� �������� ���� � ���(����)� ���� �����
���� �� ��� ����� ���(���� ���� ���� � �������� �
����(��������������� ����������������>
�457�9��456�8��65E�9�:;<@��1������������#�������
���(���� ��������� ����� ��� ���:;<@�
0�)�����"����
=����%�����P?��)�#�����������
+�#����������� ��'"�� *��S��)����)����*������1�5!����M)���� �����' �'S
��)�������L������>*��L�� �"��#� ������M)����5
�5+�#��'������*��L�����S�� �*��)*���M����5(;�����"��*��)*��� �����%"�������M)���������'���S��"��% � ���� *���"��������������%*��������"�?�>������P ��� ������"�S�#�� /�#��% �� �������#��'������)�#������>5
�������OA C
B
45
Рациональные числа. Элементы треугольника
��R��������"�����[�H��� ����G���K������&���!�������������L�� ����L�����P�������� @"Q����L� ������� !��"���� !�������� ����$�� ����� ����� �� ������P�������������������8 ���������������������������@"��������������M��������������L����� ���"Q����L������!���� ���� ������������������F�%����������,���$�� ���� ������� !�������� ���M����� ,����� �!���� G����� ���!���� �����L����� ���� �����������8�L���"�����M����B�������8��!!C���� ��������$�������P��������X���������������������������M�����!� �$���������%������$��G�����8���8 ������������� ������8 ���/������8��!!��� �A���������������������
*�� ���&M��� F�!�� ��!� ����� ������ ���� ����� �� �� ������� !��� �������B����� ����������������8���!��� ������CL�!�������������� �����������������L������M��������$�������"����������!��� ��������X���L�!�������������� ��������P���������������������������������8 ��L���$�������"������������[�RH8 �L��������������������-;�L��� �&���������SL��� �A����������������M�������������o�����������F�8��!��� ��������,��� ����������"�����M�� ������8��!�!���
, ���������8��!�����������������������!���M�&����!�&����!�������������$�����"����������������"������8��"���!����� �����������!��� �����%�B� �� ������ ��&� ��$��L� F�� �� ����&^� � �� ��"��� �� ���������� "�!���%���! ���&L���$������$�� �������������C�
H��� ����G���K������&��"��"����%��������?����� ���� ����L� ������� �� ���"����L� ��!� ����� 8��!!���L� �!��������
!��%�����������M�������WV�� ����� ��%��������� ������8 ����X������%����������� ������8 ���������������������������,���$�� �����������!������������M���L� !��� G����� ��� 8��!!��� H��� �� ������� ��� ��������� ���M���L� ��"��!��������$�� ���������!� �$��� ������������������������8 ���=������������8����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5����� ������L����������F���$������L���$������������%�?��P��A���H��M������8 �������8���"������L����!�����L�!������&M��� &"�&����������8� �����L������!�������� ����������$����A������������8� �������
=� ����L���8���!������!��� � ��������%��$���������8� �����L��"Q���������P���������[���!��� � �����!����������"M�%�������i ��!������!�����G����8����������������8� �����L���F�����!�����L����������
=���������"Q�������F�%�$��������������������������*���������?������P���!���������!���M�&����!�&���[�!*��M��������5�@������������A����[���*���5��� ��%�������������������"� ��
@��[�;L'���� ��';��L
1
2 B$�!������������$�������������"���C
70140 70 140 0 5
PP P≈ ⇔ ≈ ⇔ = , L
+;o�#;�
46
Глава I
i�*���'>����������������������5�*�!� �����������8��"��� ���&M��[X��������!����������!���� ������K���� ��!���� ���L�������������%��������"� �
!� ������ ������������"M��������$����*�!�����[
70
P�|�#;
��B�����������!���� ���L�����������CL
70140 70 140 2
PP P≈ ⇔ ≈ ⇔ =
��B@�����������C=� ���&M��� �������������!����������*�!�����[��@��[�+����B� ������%P��"�����������%����C����A��������������"M�����������*���1��� ��%�������������������"� ����� ��%����������"��� ���&M��[���@"�� ����� ��!����� �����[� -7L)� �o����L� 'L�-� ��o�� � �� -7L)^� 'L�-� B$�!��� �������
�$�����������"�$�� ���C�����" ��G�������������&��!���� �����[�7;��o����L�'L#���o��� ��'���o�������
j����������*��)��L����"������)�"�%�����������������������5*�!� ��%����������"��� ���&M��[��X��������A���L����������������������o������ ����o�����i��������$������������8���$����������$���L������L������8�8��U��������L�� �����"M��
������$���[��C�-7L)��o����L�-7);���o��� "C�-7L)^�'�+)� �C�-7L)^�'�L+)� 8C�-7L)L�;L;-+���o�� �C�-7L)^��L#7���o��������
��������A�����$������!���� ���L����������$������������������������������������ ��������!���$���L�������$�������!���� ���%L����8�%�����
�A�"����%�j�����#������"������)�"�������%������������������������5=�F��� ��������������"��� ���&M��[
*��� ����A�����$������$�!�����!���� ���L����!���� �����������A����� �����A�P����������L�!���� ���8����������
,��8����������!� ������������A�����������������;�"� ���+�//���������������"����1�H��� ���������������"����� �������P
��������������������8�����M�8����=�F�����"����� ������&����$����!���� �P�����������G��$�������������� ��F���!��� �����%��"���������!��� ��������(� ���������M������8��������"����!��� �����������?��������������1����������$����������!�������������L�!����%����"����%��������L����� ���"�"M���!��%������������������n�@�$�����!����� ������'#������������������H�������V X�����������$����!������������L��"����%�������^
*����$��G�!������������L��G�� �����������������L�����$�� ���^*���������$ ������ ������������������������^*���������$�����"����&���������������
H�������VV *�$����� �"����&� ������� ������L� ��� ����� �!���� ��� �G� ������o���������^X���������������$�� �����������
H�������VVV (��� ��� �� ����$����� �"����&� ������� B!��� ������C� ������� B� �� &"�8��!��� ������C�
H�������VW (������ ���� ��!� ���� ����$�� ���� ������� B!��� ������C� �� �"P����%��������B!��� ������C�
47
Рациональные числа. Элементы треугольника
Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания №2
� H�������
1 ����������������! ���������
2 X����!����������������"����%�������L���$�����!��� ������L��"������$���������!��� �����&�
3 (����"��������8 ��
4 (����"����������8� ������
5 (���������������8� ������
6 (������������8� ������
48
Глава I
Образец малого суммативного
оценивания № 2
����*������� !���$�� ���&� !����&� �� �������� ��� !����� ���M��� �%� �����>���=�������"��$��L���"��F������������ ������"� �[�]C�������%����%����!� �! ����^�"C�����$����!� �! ������
aa
a) б)
����*�����������������!���� ���8����P��&�������8 ��ksl��
M MO O P
N K
44� N
�ksl�b� � � �ksl�b
����=�����8� ������>=(�!�������������P����>EL�=/���(l��*�%����!����������8� ������ >=(L� � �� >/� b� '� �L�=l�b��L)��L�(E�b��L����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����*�����������������!���� ���8����P��&�������8 ��>@=[
D DO OB C
C BA A
45°62
°
a) б)
14°
������������������������������������������������������������������������������������������������
������������ ���8� ������ �� �� �8���8 ����������������'�L�#'�����;���*�%�����8 �����8� ������������������������������������������������������������������������
����O!� �$����8� ����L�!���%������������8�����8� ������/lE�
M K
N
����O$����A����=����8� ������>=(�!��P�������������������>(�
A C
B
�������%���8� ���-;����!���%���8��"�������
D��� ��[���������������������O��[������������E� ������!���� ����������[������E� ��������!���� ����������[�����@�����[���
49
ГЛ А В А I I
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
C���)��� !"������)����� D�� =��'
1.2.2.
A���
�$$
5C��
*���
��
����
����
'
*�#
����
���
5C
��>�
���
#��
��;�
����
���
���
����
�#��
!��#�5�5 (�!���������� �����!���$�� �� �
1.2.2. !��#�5�5 ����$���������!���%������������������������ �
1.2.2. !��#�5�5 @��A������!���%������������������������ �
1.2.2. !��#�5�5 =�$���������!�������!��� �
1.2.2. !��#�5�5 =�$��������!���$�����������!��� �
1.2.2. !��#�5�5 @���� ������8���������%���� �
1.2.2. !��#�5�5 =�$������������8��B���"�C����!��� �
������L�1.2.3.
!��#�5�5 =������������!���&������� �����!���$�� �� �
1.2.5. !��#�5 5 D���� ��!���8��!�������8����� �
1.2.5. !��#�5�G5 D���� �� ����8��!�������8����� �
@"��$����� �8����������8�������������p�� �
3.2.2. !��#�5��5 E��8��F��������8� ����� �
3.2.2. !��#�5��5 �����%�!��$�������8��F��������8� ������ �
������L4.1.1.
!��#�5��5 =���%�!��$�������8��F��������8� ������ �
3.1.1. !��#�5��5 (��%��������"������������8� ����� �
3.1.2. !��#�5��5 ������������8� ������!���G�������� �
3.2.2. !��#�5��5 ?���%�!��$�������8��F��������8� ������ �
����������"� �
@"��$����� �8����������8�������������p�# �
@"��$���"� �A�8����������8�������������p�� �
50
Глава II
Урок 2.1. Степень с натуральным показателем
C���)���1�������������������%����!���������� �����!���$�� ���E�������� ���"����1 ,���������� $������ !����P����!���������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K��������#����
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� H��� �� ��� ����� � ����� F������� ���!�&���� !����� ��� $�!��� a2 �� a3. (!���A����������������M�����"�F���$�!������$�P!������� ��� ����� ������ � ������� ������������X������!� �����!����������� �����L�������������"������*������������ �����!������������������"���� ���!������ �&�����K�8�����������������"���� �M�����������L�� ���������������8����� ��������������$���������������������������L�!��� ������ �����������������)L�! ��M����"� �A�8�����������������)��������P�����������������!���� �L��"Q�����"���� ���%���"������� ���������$���������P��������"������������� ���������"���)#��( ������ ���L��"QG��"� �A�8����"����� ���)#���"���������������
,��������������%����� ������� ���!���M�&��!��"����$ ����������!����������� ��!����� �����������!���$������������������������� �%��
X������!� �������������� ������,�������� ��!����� ������������������$������� �8�������=� �A����������������M������$�!���a�g��;nL�!� ������%�����$� ����!����� �������������!������$����������������R��������"�����[�H��� ����G���K������&����M������!�������!�������P���� �����!���$�� ��L��G�$�!�����!���������@"Q��������M�����������&�$�P!����� ��
B����)��������#�> ��*���1 ��� ����� �!���� � ����� ����� !���$�� ��L� �����!���� �����G�������������!���\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5
8C� 3
4
81
256
4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ; �� � � �C� −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
4
5
64
125
3
;
42
ГЛ А В А I I . СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
2.1. Степень с натуральным показателем
Степень, основание – anДеятельность
�5 ��������������� � ����������������������
�5 ���������������������������� � �����������������������
�5 ��������������� ������������������������-
�������������������� ��������
�5 ����������! ��!������������������
�5 �����!������������!� �"!�������������������
�5 ���������� ����� ��� ���������� ���������
�!�����������!#"��!��
�5 $� ����� ��"������������ �����
Деятельность%����� ��&'�('(�')�'*�*�
�5 %������� ���������������� ������������+&,*.*/�
�5 0� �������������������������7������9�������������+&,*2/�
�5 $� ����� ��"���������������������������������������:�
<����� =�� ��a ������� �������������n+n >�/�������� ?���-
���������n�������������������'������������������94�9n�@�� ����������� ?� ��������' n ���������� ����������� ����� =�a a a a an
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅... sayda
� �� ��n ���
0�������������?anC«���������B�����B#������&� ������C�
$��� ������������? �������������� ?�����)��������*���.
<����� �� ��a ����������������a�a1,9�
Образец
$��� ������������ ������C*5D2
5
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ; +E�/7DG4D+EH/4.
3��4 *5,*.*.*.*.*,I�*D
2
5
2
5
2
5
2
5
8
125
3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ ⋅ = ;
+E�/7,E�.+E�/.+E�/.+E�/.+E�/.+E�/.+E�/,E�D
G4,G.G.G.G,GD
+EH/4,EH.+EH/.+EH/.+EH/,I�G��
51
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
�C� 11
3
4
3
1024
243
5 5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ; �� � GC� ( , ( )) .1 5 1
5
9
14
9
196
81
2
2 2
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =
!*��M�������5=�F���$���������$Q������!���� ����$�����������!�����!�P��M�&��� ��� ������I� ���"��$����!� �$������� ��� ����!�����$�����������P!�������8�$���������� �]C�#L��3 ��#L����b�b�)7L7�#'�-���)7L7^� � � #L��3 ��)7L7��"C�BU_;L+-C5 ��;L+-��b�b�b�b�;L�--+�+#�)-���;L�^� � BU_;L+-C5 ��U_;L���8C��L;-3�[��L')�b�-L77-7���[��L')�b�'L+)-'B�C���'L-���C��L)+3�g�#L+�b�#L)'+#)��g�#L+�b���L-7;;+)������L7��C��L+�5�g��+L#���#�'#L7��$C�B�L�7�f�-L;'�C3�b�7L�#�3�b�-�'L�;#;����-�'L��!*��M�������5�X�!� �����" ���L����M������ �����"��M���������������!����P��&M������K����!���%�������������������>�� �$�����F����%��L��!������ ��P�L����!� ��������K���$������%��!���%��������������L��L�+L�-L�!������������$���������#�!� ������ ���������� ������!���[�C��1�b��L�� �2�b�#L�� �3�b�-L�� �4�b��)L�� �5 = 32.�C��1�b��L�� �2�b�7L�� �3�b��+L�� �4�b�-�L�� �5 = 243.�C�-1�b�-L�� -2�b�)#L�� -3�b�'��L�� -4�b�#;7)L�� -5 = 32768.(�8 ����F������%��L��!���� ���!� ���&&���K���$���������!���[�!� ����%���K���%� $�������� �!���� �18� "���� #L� ��� ���L� ��� �)P%� �!���� �� &� ���L� !������!� ����&�!�������L��� ���&M���!�������!� ����%���K��%�$������������%��P!������� ����#������������!�����!�L�!� ����%���K��%�$���������25�"�����^�!�� ��P��%���K��%�$��������#89�U�#^�!� ����%���K��%�$��������'100�U�'^�!� ����%���K��%�$����������;99�U�;^�!� ����%���K��%�$��������-54�U�#�
!*��M�������G��"C�� �� a = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
4L�����%�G��$������������������a4�U�a2:
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ − −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = − = − = −
3
4
3
4
81
256
9
16
81
256
144
256
63
256
4 2
.
!*��M���������� ]C� � ��n� U��G������ �L� ������������������ ����!���������$�������!�� ������� ����[�;n^�;L)n^�BU_�L+Cn^�BU_'Cn^�+n."C�� ��n�U����G������ �L������������������� ����!���������$������[�BU_'Cn^�BU_�L+Cn^�;n^�;L)n^�+n.!*��M����������]C�������������BU_+Cn ��BU_'Cn n�U��G������ �L��������� ����!����G����n��$�U_+���U_'L� �����BU_+Cn ��BU_'Cn."C�������������BU_+Cn ��BU_'Cn n�U����G������ ���C�������������BU_+Cn � 5n n�U��G������ ���C�������������+n � 5n�����$������������������G����� �����G����n.�C�������������+n ��BU_'Cn�����$������������������G���������G����nL�!��� &P"���$��������n�����������"�����������!*��M��������5�]C�H��M�%�L������������� ���&������!����&��������L��� P�����"������������������L�������������������%�x2���������!����������� ��
52
Глава II
��G�L� �����������������%�x3�U� ���������� ����G���?�����x2 ��;���x3 ��;L� ������ ���L�x ��;��(����8�%������L������aBx3C������ ���������jBx2C�" ������;��( ������ ���L������̀ BxC������ ���%������!� �������������� ����U����;�
"C�=�������� ������"���������!� �8�&��!�������;��( ������ ���L�x ��;��*������� jBx2C� ��!� ������ !������ ����� � aBx3C�� ?�8��� �����`BxC� ��!� �8���� �������� ����;������C�=������� ������"���������!� ������!�������;��( ������ ���L�x ��;��?�����jBx2C���!� �8���� ����������aBx3C��?�8����� ��x������"� �A���[�x �����?�����`BxC������ ���%����"������!� �8����!���������
!*��M����� ���5 , �� ����������� ��� � �� !������� ��$������� "�$� !�������������� ���%L� ����� !�����L� ��� ������ ����� �� �� ����A�� !�� ������ ������ (����8�%������L������������������!���%���!� �8�&������������ �����;������ ��U����;��(���� ��������!��������!�������!��������������L����!�� �������������P���;����L������!���������A�����(���� ��������!��������!�����������������L���!� ��������������U����;L�$����������� ��������]C���$���&M�%����[�BU_;L+C9^�BU_;L+C6^�BU_;L+C2. "C���$���&M�%����[�BU_;L�C6^�BU_;L�C4^�BU_;L�C2.
�C���$���&M�%����[� −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
1
5
1
5
1
5
5 4 2
; ; .
8C���$���&M�%����[�BU_;LB�CC5^�BU_;LB�CC7^�BU_;LB�CC2. ����?��������������1�H��� ��!��������"�"M�����!��������GL����"� ��!��%P�������!����� ����������� �����!���$�� ��L��"������������!���$�� �L�����P�������������� �������������n�@�$�����
!����� ������'#������������������H�������V X�������������$������!�������!���������� �����!���$��P
��^*����������� ����!���������� �����!���$�� ���
H�������VV ,����&��!����!����� ����������!���$�������L���!������!����P G������A�"���!���������������!���������� �����!���$�� ��^������ ����!���������� �����!���$�� ����������!���$����P����� ��!���$��������!����� �����������!���������� �����!�P��$�� ��L���!�������$����� ������A�"���
H�������VVV (������ ������������!������ �������� �����!���$�� ��L��!������ ���������������!����
H�������VW @!���������!�������!���������������!���������� �����!�P���$��� ���
53
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Урок 2.2. Произведение степеней с одинаковыми основаниямиC���)���1� ������� ��������� ��%��� �!���� ������ �����!���$�� ���E�����������"����1*������!���$���������!�P��%������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� ,��� ����L� ������� �����"�����L� ����� ��!� ����� !������� H��� �� $�P��G���%��!���$��������a3�g�a2L���������!����!�P����$�������������!���$�������������������������P�� �%[�Ba�g�a�g�aC�g�Ba�g aC����������������"���!� �������!����a�g�a�g�a�g�a�g a = a5��?������"��$��L����M����
�����!���� �&L����a3�g�a2 = a5��@"�F������������� �A����������������M�����=� ���&M�����!��������������� �������$��!���� &"����� ��B����F����������"���$����$����"����C��@���������������� ��������"��$��L����� ��!��A���������������M��������P����������!���$���������!���%��=� �A����������������M��������%�����G���������K���� ��� ���������"� ��������� �%�
B����)��������#�> ��*���1 E��� !��������� !���� �� ����������� !���$����������!���%������� �����!���$�� ��\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������8��"�����$����������"����� �������M���L�!��� G��������8��!!���
E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=�!� �������������$��������$��" ����BF��$���������������P!� ����L���$����!��8��!!��C[
BU_�L�xC2�g�BU_�L�xC4�b�B�L�xC6 BU_;L)C4 k�BU_;L)C�b�BU_;L)C5
Ba�U�bC5�g�Ba�U�bC8�b�Ba�U�bC13 162�g��)�g��)�g��)5 = 169
Bx + 2yC9 g�Bx + 2yC10�b�Bx + 2yC19 �L��g��L�8�g��L�6�g��L��b��L�16
4
3
4
3
4
3
4
3
11 8 9 28
x x x x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ( , ( ))1 5
14
9
14
9
3
8 11
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
!*��M����� ��5� X������� ��� ��L� ���� �� !������M��L� ����� "��� ��!� ����� ��8��!�!��[
Глава II
46
2.2. Произведение степеней с одинаковыми основаниями
am ∙ anДеятельность�5 ������������������� �������a3�a2.
�5 O����=�� ����������� ��� ��� ���������������?������������-
��������
�5 ������������ ��� ������������������� ��������
�5 P���� �������7������������� �������
�5 $� ����� ��"���������������������� �����
Образец
������������������� �������H3�H6.
3��4H3.H6,+H.H.H/.+H.H.H.H.H.H/,H.H.H.H.H.H.H.H.H,H*Q(,H9.
73.H6,H*Q(,H9.
C��>���� �5 %�? �=!�:� �� �� a � ������� ��� �� �� m � n ����� ���
amkan\am+n?��?�� ?�������0��!������������������ ������� �����-
���� � ��������' ������ � ����� � ������� ������� !�� ���������' �
��������� ������� ����� ��� �������� �� ���� ���������
Образец������������������� �������C
R/I8.I5D !/3
7
3
7
4 7
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ D �/+EI/10.+EI/3D :/IS.S4.
3��4R/I8.I5,I)QS,I13D !/3
7
3
7
3
7
3
7
4 7 4 7 11
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
+
;
�/+EI/10.+EI/3,+EI/�GQ*,+EI/13D :/IS.S4,S2.S4,SIQ�,S6.
� ������ ��� ��� ������ ����� ���� ��? �����������? ��"� � !����
�������amkankak\am+n+k.
T����?��� ���������=�����= ������������ ���amkan\am+n'��������
am+n\am kan.
Образец
T��� ��� �� ����������������������?C
R/)�IQHD !/+E��/IQ&D �/9
17
4 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+
D :/+G'+S(//HQI.
3��4 R/)�IQH,)12.)7D !/+E��/IQ&,+E��/2.+E��/9D
�/9
17
9
17
9
17
4 3 4 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
+
; :/+G'+S(//HQI,+G'+S(//7.+G'+S(//2.
54
Глава II
!*��M�������5=�!� ����$������L����M������ ���������!���$����� ����������!������]C�-�g����b��3�g��5 = 28�b��')^�� �C��)�g�)#�b��4�g��6 = 210�b��;�#^��C��')�g�)#�b��8�g��6 = 214�b��)�-#^�� 8C�-�g��;�#�b��3�g��10 = 213 = 8192. !*��M�������5=�!� ����$������L����M������ ���������!���$���!����&��� �P��&�����������������������!���%��������������������������=�F��� ������!������ ����$���������������������]C��n�b��+^��3�b��+L�n = 3."C��n�b�)#^��6�b�)#L�n = 6. �C�+n�b��#�^�+3�b��#�L�n = 3.!*��M����� � .� ��"�� �!����� ���������L� !��������� ��%��� �����������!���$���������!���%��=��������!���M�����M����!���������"��$��������"�����]C�'nU��g�'n = 5nU�fn = 52nU�^�� � � "C��+m+1�g��+mU� = 17m+1+mU� = 172m^��C�)�U�k�g�)k+3 = 6�U�k +k +3 = 64. J����'%��#����'����)������������������1H��M��������"������!� �P$������!���������� ������!���$�� �����������������L��L�#L�'L�{L��;��(�������"� ���� $������%� F��� �!���%L� ������8�� �&�!� �$�������O�8�� F�8���"�������!�%������!� �$�� �"�������M��������?��������������1H��� �L��MG���$��"��M�����������������%���������������!���%������� �����!���$�� ��L��"�"M���!��%�������
����������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X������������� ���!���$���������!���%�����������������P
�������^*������!���$���������!���%������������������������L�������P������������ ��!���$�� ��
H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!���!����������!���� ��������P����!���$���������!���%�������������������������
H�������VVV ���������!���� �������������!���$���������!���%�����������P��������������
H�������VW (������ ����!��������!���� ��������������!���%���������P����������������
55
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Урок 2.3. Отношение степеней с одинаковыми основаниями
C���)���1�������������������%����!�������P��� �����!���$�� ���E�����������"����1*�������������!���%�������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1
*���$������������������������N�������#� *�����'[� =�!� ����� ���� �P���L� ������� �� ���"������� H��� �� ��G� $���������%���������a3 : a2��������$�!����������M�P����������������"�L����!����!���"��$�����&���!���$���������������������������� �%[
aa
a a aa a
a3
2=
⋅ ⋅⋅
=
=� �A����������������M������!� ����������$� ���������������"�������L�������������%��������a3 : a2����8���!��"����(��%������������������8���P!����%�����������������������������������������K���� ��� ��!���� ���=��!� ���� ���&M�&����� ����L����M������� �$���&���%����!�����!�P���$�� ����� ���H��M���L��!���� ��A��L����$����a3 : a3�b���B��������������������� ��������C��L�����8�%������L�a3 : a3 = a�U� = a0��� ����!��%����������L����a0 =1.J����'%��#����'����)������������������[�/������$���������!�������L�$������$�������F�%������!����a0�� ���� ������� ��������� ������� ����=�$���P����$�!���an : an = a0�!������� ���������8���!���%���������������������������!���$�� �����=�F��� ������� ���"��$����"�����������������M���������%������������F�%��!������B����)��������#�>��*���1 E���!�����������%������������������8����!�P��%������� �����!���$�� ��\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������$��&�������"����� �������M���L�!��� G��������8��!!���E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5
8C� 3 27
3 813 3 3 3 3 3 3 27
9
5
9 3 5 4 12 9 3⋅⋅
= ⋅ ⋅ = = =( ) : ( ) : ;
�C�16 2
22 2 2 2 2 2 2
19
22
4 19 22 23 22 1⋅= ⋅ = = =( ) : : ;
GC� 5 125
5 6255 5 5 5 5 5 5
17
7
17 3 7 4 20 11 9⋅⋅
= ⋅ ⋅ = =( ) : ( ) : ;
Глава II
48
2.3. Отношение степеней с одинаковымиоснованиями
am : anДеятельность
�5 @���7�����������!�����7���� �������a3�a2.
�5 �!����������= ����� ������������� ������������������?���
�5 <���������������������������� ���������������������!��
�5 $� ����� ��"���������������������� �����
�5 O������:�� �� �!����������������7���� �������a3�a2V
Образец�����������7���� ���������9���6.
3��4 11 1111
11
11 11 11 11 11 11 11 11 11
11 11 11 11 11 11
9 69
6: = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
==⋅ ⋅
=11 11 11
1113.
��9C��6,��9-6,��3.
C��>�����1%�?�=!�:��� ��a +a � G/�������� ����� ��m�n�����
����� ��� am 1 an \ am–n� 0��!� ����� ����7���� ������� ����������
� ������?��' ������� ������� �������� ����� !�����������'�����-
������? ������������:����� � �������� �������������?����� ��
����� � ���� ���������
Образец�����������7���� �������C
R/I8CI5D !/7
15
7
15
15 8
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟: D �/+EWH/10C+EWH/3D :/*ICI4.
3��4� R/I8CI5,I8-5,I3D !/7
15
7
15
7
15
7
15
15 8 15 8 7
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
−
: ;
�/+EWH/10C+EWH/3,+EWH/�GWXW*,+EWH/7D :/*ICI4,I5CI4,I5-4,I1,I�
T������ ������������������ ���������� ���am1an\am-n
�������� ?am-n\am1an.
Образец
T��� ��� �� ���������������7���? �������C
R/�*�GEHD !/+E�G/&ESD �/9
7
4 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
D :/+G'+(//HWEWI.
3��4� R/�*�GEH,�*10C�*7D !/+E�G/&ES,+E�G/9C+E�G/5D
�/9
7
9
7
9
7
4 3 4 3
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
: ;
:/+G'+(//7WEW2,+G'+(//7C+G'+(//2.
56
Глава II
$C�( , ( ))
( , ( )):
0 21
0 21
45
7
45
7
21
99
21
9
15
14
8
7
15
⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
99
33
7
33
7
7
33
14 8 7
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟:
11 133
7
7
33
33
71⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ = ;
�C ( , )
( , )
( , , ) : ( , , ) , ;
0 77
10
0 77
10
0 7 0 7 0 7 0 7 0 7
9
7
2
9 1 7 2
⋅
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅ ⋅ = .
!*��M�������5]C�?2�g�� = ?8^�� = ?6L� � �C�??7 · � = ?18�^�?8 · � = ?18�^�� = ?10L"C�???�D�� = ?10�^�?3 · � = ?10�^�� = ?7L� � � �C���g�?15�g�?3 = ?43^�� = ?25.!*��M�������G5�O ����������&��" ���L����� ���$��������v[
� A B C X
1 4 U_� U_�L� B`3�f�a2C�g�j2 b�B#3�fBU_�C2C�g�BP�L�C2 b�+��g��L##�b��;'L��
2 5 7 U_��7 2`�U�a2�fj0= 25�U�+2 f�BU_��7C0�b����U�#7�f��b�U_�)
3 4
5�1
1
40 A C3 2
3 2
01004
51
1
4100
164
125B .+( ) = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
!*��M��������5 =�����������an+1 : am������m���n� �����$�!����������� �L����"�� !���$�� �� �!���� "� � ������ ]C� -�� ?�� ��[� an+1 : am = a8�� @&��� ������[� n�f���U�m�b�-���n�U�m�b�+��E��������L������������������!�����������H��M�%������� ������"������ �L��������$�!�A�������n���m��*�!�����[�n�b��-L)���m�b���L)�+�//������������ ���"����[� =��� ��� ������ �!���%� � ������������ ���P��������L� ���M���� ��8�� �!������ �!���� G����� ������� ��!� ���� $��������!����������p�)��H��M���L�$������&M������A������8�������$������L��������������!� ���� �����!��������
]C�B#7�g��#�C�[�B+2�g��#;�C^� � "C�36 216
6 12962
��
; � � �C� 81 3 9
3 3
7
4 5
� ��
; � � 8C�125 625
5 256
��
.
����?��������������1�H��� �L��MG���$�!������������%������������������8���!���%������� �����!���$�� ��L��"�"M���!��%��������@"�"M���!��%����������P!������� �����!���$�� ��L����� ���"Q�����!������L�!��������������������L������ ������� ��������� ������� ��L���������&���!�����!���$�� ����� ������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X�����������!��������������A������!���������!���� ���������P
��������8���!���%������������������������^�������������������8���!���%��������������������������� ������������ ��!���$�� ��
H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� !���������� !���� �� �������P��������8���!���%�������������������������
57
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
H�������VVV (������ ����!��������!���� �����������������8�� �!���%�������������������������
H�������VW ?��������!��������!���� �����������������8���!���%�������P������������������
Урок 2.4. Возведение степени в степеньC���)���1�������������������%����!�������P��� �����!���$�� ���E�������� ���"����1 H���� ��$������ �!���� ���!����K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�(�����!��" �����!��P��� �!���� Ba3C2�� H��� �� $���G� ���M���� �!����P�� ��� ��������� �� !���$�� �� �!����� =�� ��PA���&�� ����� ���M����� X�!������L� ����Ba3C2 = a3� g�a3��@!���� ���L�������������a3�������� ����� �!���&�� ( ���&M��� A�8��� ��� ���P��$�!����!����a3��������!���$��������a� g�a� g a. ?������ �"��$��L� ��$� ��� ��� �$�� $�!������� ���
����L�����Ba3C2 = a3�g�a3�b�Ba�g�a�g aC�g�Ba�g�a�g aC�b�a�g�a�g a�g�a�g�a�g a = a6.=� �A����������������M�����"�F�%�$�!����=���$� ���L����M�����!���� �&L����!�����$���������!�������!���� �������������!���$�� ���!�����( ���&M���A�8��� ���������$�����������(am)n = amn, �����������������"��$��������"����L���"��$�!�����8���������K���� ����$���������!�������!����
B����)��������#�>��*���[�E���!�����������%�����$���������!��������!���\�
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� �P��L���$����������M���L�!��� G��������8��!!��E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�����������$�����!��"������������!������������!��������P8������������[
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
51
2.4. Возведение степени в степень
(am)nДеятельность�5 �������� � ������� � �������� ������ +a3/2 � ���� ��� �� �" � ����
�����������?�������������������+a3/�
�5 ����������' �� ����� ��� ���� ?�������� a3�9�������������
�5 O������������� a3����7�������������������?�
�5 ��������������� �������������a.
�5 T����������� ������7�������� ������ � ��������a.
�5 $� ����� ��"���������������������� �����
Образец
@���7�������� ���������������^amVn.
3��4 a a a a am n m m m m
n sayda( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =...
� ���� ����B����
a a a am sayda
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅...
� ��� �� � �� ��⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅a a a a a a a a
m sayda m
... ... ssayda m sayda
n s
a a a a� �� �� � �� ��⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟... ...
aayda� ������������� �������������
B����
;���� ;���� ;���� ;����
,amn
C��)���������%^amVn\amn�Проанализируйте: ^anVm\amn
%�?���������? ������� ����� ������� �������� ����� �������-
���'���������� ������������� ���:�����:�� ���� �� ���������-
����� � ���������� <��������� ��' ���������� ������ � ����� ��������
��������� ������� ���������� ���������
Образец
��������������� ������+I4/3.
3��4+I4/3,I4.I4.I4,+I.I.I.I/.+I.I.I.I/.+I.I.I.I/,
,I.I.I.I.I.I.I.I.I.I.I.I,I12� +I4/3,I*.�,I12.
Образец
$�������� ����� � ����� �
R/+*7/2D !/++E�G/9/5D �/7
9
22
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ D :/++G'+(//7/2D �/++ES/5/3D \/+X+XW�/3/7.
3��4R/+*7/2,*14D !/++E�G/9/5,+E�G/45D �/7
9
7
9
22
4
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ;
:/++G'+(//7/2,+G'+(//14D �/++ES/5/3,ES15D \/+X+XW�/3/7,�21.
58
Глава II
!*��M���������������!� ������F�8��$������L������M����K������&��������P������������X���������������!� ������8��!!���� ��!������E������8��!!����!� ������&���"������"Q������G�]C�Ba2C2�g�BaC3 = a7^�� "C�BkC4�g�Bk2C3 = k10^�� � �C�B?5C2�g�B?C3�b��13^�8C�Ba3C5�g�Ba2C4 = a23^�� �C�Bk2C2�g�BkC3 = k7^�� � �C�B?C2�g�B?3C3�b��11. !*��M���������, ������������!���%�#10 ��-7����������!���"��$��������!���������������������������[�#10 b�B�2C10 = 220���-7�b�B�3C7 = 221L�������"��$��L�#10 � 87����������������!�����!����A�&����8���!������[]C��8����+3�b�B�3C3 = 39L�!�F���L��8� 273�� � � "C�-9�b�B�3C9 = 227 � 228. �C��'3�b�B'2C3 = 56�����'2�b�B'3C2 = 56L�!�F���L��'3 = 1252.8C��)4�b�B)2C4 = 68�����)2�b�B)3C2 = 66L�!�F���L��)4 � 2162.
!*��M������ 5�"C�x�g�B+2�g�7C�b�#7�g��6^� x =⋅⋅
=7 3
7 33
2 6
2 2
4 ^�x = 81.
�C��4�g��x = 217L��x = 217 : 24L��x = 213L�x = 13. +�//������������ ���"����1 H��M���� $������&�� �� !���"��$������� �!���%����$�������������������!�������������������������������F������� �����$��������"� �A��!��������B� ��F����$�����C����!���"��$��������!���%����$��������������������!��������������������������������?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M�����������������%�����$����������!�������!���L��"�"M���!��%������������������n�����������
!����� ������'#������������������
H�������VX�����������!������������%�����$���������!�������!���^=�$������!�������!���L�� �������!���$�� ��� ����$�����!�P��$�� �����!����
H�������VV *������� �� �!���� G����� ���������� !��� ��$�������� �!���� ���!����
H�������VVV (������ ����!����������%�����$���������!�������!����H�������VW ?��������!����������%�����$���������!�������!����
59
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Урок 2.5. Возведение произведения в степень
C���)���1�������������������%����!���������� �����!���$�� ���E�����������"����1�����������%�����$��������!���$�����������!����K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'[�H��� ��$���G����M����� ��������!����Ba · bC3��=�F���������������!���� ���������������!���$�� ��?�����$��$�!�������!���$�������������� ��BabC� Ba · bC3�b�BabC�g�BabC�g�BabC�b�Ba · a · aC�g�Bb · b · bC�b�a3b3.
=� �A����������������M�����"�F�������P��������� ���8�L��������M������$������%�����$��������!���$�����������!���L����� ����$Q�P����F��!���� ���,��������������M������������K���� ��(a kb)n\ankbn.
>�� �$� �������� an k bn \ ^a k b)n �$� ���"�����!�����������M������H��M����� ����� ������8��!!���������8�F�8����!����!��������� ���P�������=��������� ����������� ��n������"���$�������� &"�������� ������� ��[�n = 3.a3�g�b3 = a�g�a�g�a�gb�g�b · b =�BabC�BabC�BabC�b�BabC3.
B����)��������#�>��*���[�E���!�����������$P���������!���$�����������!���\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5@"���������� ���&M���!��� ������[]C��E�������!�����!� ��������� ������L�!��� ������������������� ���8����P
���� ����!� ���� ������� �[�BU'C2 = 52�b��'^"C��E�"�� !�����!� ������ ��� � U� !�����!� ������ �� �L� !��� ���� ��"� �����P
� ���8���� ���� ���������� ������� ��L�����"�!� ���� ���8���� ��U�!�P ���� ������� �^
�C��=��"M�� �!���� !�����!� ������ ��� � � �G����� !���$�� ���� ��8��� ���������8����8��B� ��!���$�� ���������������G������ �C�BU+C6 = 76.
(�!����!�����!� ��������� �����G�����!���$�� ������8���!�����!� ��������������8����8��B� ��!���$�� �����������������G������ �C�BU+C5 = 75.!*��M�������5�=�F���$����������M���L���� ����������� ������$�� �����������������L���������&������ ������$���� ��������! �M�����������L��������L����P ����������� ������$�� ������"�����"�L���������&������ ������$����� �����������"QG����"��
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
53
2.5. Возведение произведения в степень
(a ∙ b)nДеятельность
�5 <����� +a . b/3�����������������������?�
�5 ����������' �� �����9������������� ��� ������������������+a.b/�
�5 <:������������������������������������������
�5 @���7�������� ��������������������������������������
�5 $� ����� ��"���������������������� �����
Образец
$��������+a.b/4����7�������������������? ��������
3��4+a.b/4,+a.b/.+a.b/.+a.b/.+a.b/+ �:�� �� �������� ���������/
+a.a.a.a/.+b.b.b.b/,a4.b4� +ab/4,a4.b4.
Проанализируйте: ^abcV2\a2 kb2 kc2
%�?���������?� ����� �����������? �������������������� ���
���� ����� ���������������������^akbVn\ankbn
Образец
<����� �����������?����7�������������������? �������C
R/+abcd/5D !/+�.(/2D �/5
7
7
5
2
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ D :/+EI.S/3.
3��4�R/+abcd/5,a5.b5.c5.@E5D !/+�.(/2,�2.(2,�(.*(,SH(D
�/5
7
7
5
5
7
7
5
25
49
49
251
2 2 2
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ = ; :/+EI.S/3,+EI/3.S3,E�GGG�
Проанализируйте: ankbn = ^akbVn
T����������� ������� ������������������?��'������������-
������������ �������'��������� � ����� �����������
Образец
T����������� �����������7�������� �����������������?�
R/a5.b5.c5D !/5
7
7
5
2 2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ D �/+E�'I/4.S4D :/)5.I3.
3��4�R/a5.b5.c5,+abc/5D �/+E�'I/4.S4,+E�'I.S/4,+EW(/4,(4D
!/5
7
7
5
5
7
7
51 1
2 2 2
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = = ; :/)5.I3,+I5/3.I3,+I5.I/3,+I6/3,I18.
60
Глава II
+����������'#��)����
N��?�)�#��)���� H�#���������*��?�)�b
+���������#���
��RL#��� H�#����������RLb
a a2 i ����������� ���P ���������$��B����$�CL�! ��M�������� ������P����#���$��B��7���$CL�����! �M���������������� �P��������������� ������8��������
a a3 i ����"������ ���P ���������$��B����$�CL��"QG����� ����������-���$�B���+���$CL������"QG����"����� ���P�������"�� �����8����"���
2a 4a2 2a 8a3
3a 9a2 3a 27a3
'�� �'��2 �C��;�b�2 g�' 100 = 4�g��'�C��;�b�4�g�' 400 = 16�g��'�
��� -��3 �C�-�b�4 g�� 512 = 64�g�-�C����b�6�g�� 1728 = 216�g�-
�;�� �;;��2 -�� '����3
�;�� #;;��2 ���� �+�-��3
( ������ ���L�� ������������������� �����B�����A��C���k���$L��8��! �M������� ����� B�����A��C���k2� ��$L� ��"�����"����� ����� B�����A��C���k� ��$L� �8���"QG����� �����B�����A��C���k3���$�!*��M�������5�C��'x2y4�b�B'xy2C2^� � �C� 64
169
8
13
8 4
2
r r= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ; � �C�-�a4b8�b�B�ab2C4^�
�C�B�;�f ##Ca3 = 64a3�b�B#aC3^� $C� − =−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
125
216
5
6
18 6
3
x x .
����?��������������1�H��� �L��MG���$����������%�����$��������!���$�����������!���L��"�"M���!��%�����������������n�����������
!����� ������'#������������������
H�������VX�����������!������������%�����$��������!���$���������� �P!���^=�$�����!���$�����������!���L�!���$�� ����������� ��� �������
H�������VV*����������!���� G���������������!���!������������%�����$P��������!���$�����������!����
H�������VVV (������ ����!����������%�����$��������!���$�����������!����H�������VW �����������"Q�����������%�����$��������!���$�����������!����
61
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Урок 2.6. Одночлен и его стандартный вид
C���)���1������������������%����!�������P���� �����!���$�� ���E�����������"����1���������������� ������%P����!���%������� �����!���$�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'[�H��� ��!�����������P!�&���� ��� F������ ����������� ������� ! �M�P��&����������������������%������������$��������B�����$��CL�!�����8� �����! �M���&�"���������������������� �� �� "� ���� �$��L� ������� ! �M���&� "2� ����������� �� �����%� "� ���� �$��L� ��"� �"QG���� "3� ��������������"����"������$���
=1 ед. изм. = =x ед. изм. x2 ед. изм. = x3 ед. изм.
*�� ���&M���F�!�����M�����!���� �&�! �M�������"QG��8������������K�8��L�������������"����[
b b
a aaaaa
= ab
x
4x
5x
V = 20 x�
= 5ab
=� �A����������������M�������� �������"��������������� ���!� ������������������%����R��������"�����[��� ���8�L������� �A����������������M���L����� ����G����K������&��"������ ���L��8���������������L��!��������FKK�������B����)��������#�>��*���[�E���������� �����!������&����%����!���%����P���� �����!���$�� ��\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5 ���� ��!� ������ $������L� �!� �$�&�� ��%��� �����������!���$����������!���%������� �����!���$�� ��L���$�����������!����
8C�14 57
14 57
102 2 4 3yx yx xy x x x y y y x y⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ; ��FKK������U�;L��!����+�
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
55
2.6. Одночлен и его стандартный вид
Одночлен, степень, коэффициентДеятельность�5 0�������������� �������'����� �����������:��������������
�����'������ ��?���:�� ���'����� ����������:��������"���-
����������'������ �������'����� �����������:�������'�!#"��!�'�������!�������:������"V
1 1x
x x1
x x
x
�5 ��� ������ ��������7�����������?��?��������-
��?���������?���:�� ������!#"����?���:�� ��:����������������C
b b
a aaaaaS = ? S = ?
�5 �������� � ���������� ��������?� �� ����� � !������� ����������<�� � ��� � ����� ��������� ��� ������� �� ����� � !����������������V
x
4x
5x
V = ?
$��������' � ��?��� �� �����������? �� �� � ������� ���������� ������� ���� ��������?��' �������� ? ����������� ��������C *D XIabDG'Sx2y3Dm2.
]��������� �� ���������' ?��?=��� ? ������������� �� �� � ����-
��� ��� ������� ��������� ����������' �������� ? ���������� ���������������^�������������� ���������:���������?������ ���� ���-
_����������?��C����������������������!�����"�#�$0� ������������� ���������� ���������:������������� ?#�;//�S
����������������<����������� ������������� ������������������������� ? ����� =����������
Образец
�������������������CE*a.Iab.3��4T����������� � ��������������������$���������������+E*a/
�� ���������������?��?�� ?E*'!�����������������Xa�$����������������+Iab/�� ���������������?��?�� ?I'!����-
������������X��b�T�����������������������?���������� ������ ���=� ? �����������?�9__��������' !���������������� �� ���� ���=� ?�?��� �9__���������C
E*a.Iab,EW(a2b.
Примерыодночленов
8
4x 9 (-2)a ab∙ 5 zy2 3
– –12
0
62
Глава II
�C�B'abC3�g�BU_;L�a2bC2�b���'�g�;L;#�a3�g�a4�g�b3�g�b2 = 5a7b5^���FKK������'L��!��� 12.�C���L'BU_nCb�g�B;L�bn2C3�b���L'�g�;L;;-b g�b3�g�BU_nC�g�n6�b�U_;L�b4n7^���FKK������U_;L�L��!�������!*��M�������5������!� ������$��������"��M�����������������!������������P��������"�����!����%���������������������� ���$�!���������������!��������������!���$�� ���]C�)#n12@E20�b�B-n6@E10C2^� � "C� 6
1
4
5
2
18 6 9 3
2
a b a b= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ;
�C�− = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1
125
1
5
3 3 6 2
3
m n k mnk ; � 8C�U_��x10y15�b�BU_�x2y3C5^�
�C�;L;;-�a4b8�12�b�B;L�ab2?3C4^� �C�;L;;-p9k21�b�B;L�p3k7C3.
!*��M�������G5� �M�������"QG��K�8��� $�!����&���� �������������%�����P�������!���$��������!� ������������� ����[
a
aa
k
nm
k
nm
a
a
1a
1m
2m
a) б)
a a a a3 2 6
∙ ∙ = mnk mnk m m m n k∙ ∙ ∙ 2 = 24 2 2
!*��M��������5 , ���!���� ���������� ���L������%�"����$�!���������"�����FL��!� �$������%������������������8���!���%�
]C�M�g�'a3b = 20a7b4?2^� � M a b ca b
a b c� �20
54
7 4 2
3
4 3 2
"C�U_)?4k5�g�M = 3:?9k10^� � M bc kc k
bc k=−
= −3
60 5
9 10
4 5
5 5,
�C�M�g�B�nx8C2 = 6n2x20y^� � M n x yn x
x y� �6
41 5
2 20
2 16
4,
�C�M�g�M�g�M = 27 x12y15^� � GE3�b�B�x4y5C3L� M = 3x4y5
!*��M��������5"C�(�K���� �%����� ������"QG����� ������W�b����������M����$��������$���������������$��)�� ���*�������������������������������������
d = 14x2L�����������r = 7x2L������ h x�13
7 � � ���L�#�����K���� ����� = �r2���%�G��
! �M������������[���� = �r2 � �L�#�g�B+x2C2�b��'�L-)�x4��?������"��$��L��"QG���� �����[
V = ⋅ = ⋅ ⋅ =153 86 13
7153 86
10
7219 8
4 4 5, , ,x x x x x
�����[�W�b���7L-�x5���"���������������
J����'%��#����'����)������������������1����$�!�������� ��������P�������������!������$�!������!������������� K�������!��������*��� ��� �K�P�����%�!����������!�� �������L�F�����������$������������8�� ����������P����������������?��������������1H��� ���"�"M���!����������������� ������%���!�P��������� �����!���$�� ��L��MG���$���!������L����������FKK����������� ���L�!����� ��������������!���L�!�����������8�����������%�����
63
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
����������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X�����������!����������������� �������%���!���������� �P
����!���$�� ��^���� ����������� !���$�������� ����� ����� �!���� ��� ��FKK�����L������������$�!������!���$��������!������������������!����
H�������VV ,�!������������������A�"�����!����������������� �������%���!���������� �����!���$�� ���
H�������VVV ���������������� �������%����!���������� �����!���$�� ���H�������VW (������ ���� !�������� �� ����� ����� ��%��� �!���%� � ���P
�� �����!���$�� ���
Урок 2.7. Возведение частного (дроби) в степень
C���)���1�������������������%����!���������� �����!���$�� ���E�����������"����1�����������%�����$������������8�����!����K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'[� ����������� �!����
xy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
L� ������� �� ���� ����� ���"������ =�!� ����
���� ����L� ���M���� ��"���&�� ���&M�8��
��$� ���[ xy
xy
xy
x xy y
xy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ =
⋅⋅
=2 2
2 . =� �A����P
������������M������!� �����������������. ��R������� �"�����[� �� �� �8�L� ���� �� �A��������������M���L����� ��������������������������%�����$������������8�����!�����
B����)��������#�>��*���1�E���!�����������$P�������������8�����!���\�
(��� �&�!����������� ������������M������� ���������8��!!���N��!!�����&��$��������$����"�����!���$�8� ������RO ���%S�
=�!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5]C�i �� X �
2
7�����b�;L�L��!���� ���$������������������
Z = X2�g�;L#7�f��3�g�#�;� Z = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ + ⋅
2
70 49 01 430
2
3,
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
59
2.7. Возведение частного (дроби) в степень
(a : b)n, Деятельность
�5 �������� ������ xy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
� ���� ������������ ��������� ����������
�5 ���������� ������� �� � ��� �������� ����������� �������� xy
.
�5 !��"�� ������������ ��������� #������� � ���� �������
�5 !��"�� ������������ ��������� �������� � ���� �������
�5 $������ ���% ������ � ����#����� ��������
Образец
�������� �������� xy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
� ���� #���&� ��������
3��4� xy
xy
xy
xy
xy
xy
x x x x xy y y y y
xy
xy
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=⎛
⎝
55
5; ⎜⎜
⎞
⎠⎟ =
55
5
xy
.
Проанализируйте: $������� mna
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3
���"�� � ���� #���&� ��������
'�(� ������� #���� *���(�+ � ������� ������ ������� � �� ������
������� *#�������+ � � �� �� ������ ������� *��������+� � ��� ��
#����� ab
ab
n n
n⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ��� *a- b+n/an-bn�
Образец!��"�� ������ #���&� � ���� #���&� ������� � ���������� ����:
������ <+ 2
3
2abcm
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ > (+ *?3pk - @ab+5.
3��4 <+2
3
2
3
4
9
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
abcm
a b cm
a b cm
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = = ; (+ *?3pk - @ ab+5 / * ?35p5k5 + - *@5a5b5+�
Проанализируйте: an1bn = ^a1bVn��� ������� ������� � ���������� ��������� ������ �������
�������� ������&� � �������� ������� � ����� �� ����#����� #�-
��� ������� �������
Образец
!��"�� #���� � ���� ������� <+ A5 - m5> (+ 27
64
3 12
15
a bm
.
3��4
б)a) 8 : = (8 : ) ;5 5 5
m m.
(a b)n
64
Глава II
��"����%��$���������L�$�!�A���� 8����:
���=�$���������"�� 2
7 ������!���^
�������"��$�%�� 0 4949
100, � ����$� ���!����8��A�8������������� 49
100^
�����$� �������8��A�8��$�!�A�����������������%����"�^#��=�$�������� ��;L�������!���^'����$� ������G��8��A�8�������������#�;^)��( �������$� ��������8����!��8��A�8���
Z = ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =
2
70 49 01 430
4
49
49
1000 001 430 0 04 0 43 0 4
2
3, , , , , 77
�����[���b�;L#+�8C�i ��v�b�������b��#L���%�G��$��������������������b�v4�g��3�[��-�f��2:
Z = 24�g��3 : 18 + 242.> 8����[� ���=�$�������� ���������G��&��!���^� ���=�$�������� ���������&��!���^� ���H���������$� ����!����8��������8��A�8��^� #����$� �������8��A�8����$�� �������-^� '��*�%������������� ���#^� )��( �������$� �������G��8����!��8��A�8��� Z = 24�g��3 : 18 + 242�b��)�g��+�[��-�f�'+)�b�);;�� � � � � �����: 600.!*��M�������5, ����A�������������%�!����������%����!���:
"C�y y
y y y
y yy y y
513
163
261
419
292
153 48
122 76 58
1993( ) ( )
( ) ( ) ⋅ ( )=
⋅
:
:
:
:==
=
=
1993
1993
1993
105
104
yyy
� � 8C�m m
m m m
m mm m mm
922
323
453
353
198 96
135 159
1995
1995
( ) ⋅ ( )( ) ⋅ ( )
=
⋅⋅
=
:
:2294
2931995
1995
mm
=
=
�����: 1993. �����: 1995.+�//���������������"����1( �"������M����!�����$������������8�����!�������8������$������� �� �����!���L� $�"���&�$������� ��� �����"�����(��� �&��������������8��������A�"��� �"������M�������� �������$��������!�"� �A��$������%����8���!������?��������������1�H��� ���"�"M�����"������!������������%����$���P�����������8�����!��������������n�����������
65
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
!����� ������'#������������������H�������V X�����������!������������%����$������������8�����!����H�������VV *����������!���� G��������$������!���!������������%����$��P
����������8�����!����H�������VVV (������ ����!����������%�����$������������8�����!����H�������VW ?��������!����������%�����$������������8�����!����
Урок 2.8. Выражения со степенью с натуральным показателемC���)���'1�������*������$���������� ���8�������P�����L� !������������ !� ������ ����� ��!� P���������%��%�B������� ����$�����������!����������� �����!���$�� ��C��������H!��M������������L��� &��&M����!���������� �����!���$�� ���E�����������"����1H!��M����� �������"������P�����������������!���&������� �����!����$�P�� ���K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$������������������������H��M�����$��� ����$������%����!���������� �����!���$�� ����=��������
F�8�� ������ "���� $�������� !����������� �� ������ ���������� ��$���� ��%���!���������� �����!���$�� ����X����������$��������!���� �������������"M���$���������M��������� ������%���!���%������� �����!���$�� �����!� ������ �������!� ��������%��%�
X������� �$� ���"����� ��8�� ��!� ����� !������ � �� �� 8��!!���� =� $������������������ ������� ������"����� ����������"�������!� ��� �����$������L�!���8�&M����������� ���
B����)��������#�>��*���1E����!��M�&���������������!���&������� �����!���$�� ��\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5��"����%��$�����������������L������%����M�%���� �����������!����� 8����������F������M�%�����������������$��������!�� ��������� �P������!� ��������%��%L������������8��K������&�����������$��%�����L�������������!��� ��������]C�@� ����:���(�!�����3���$�������!�����^���*�%����!���$����������$� ����!����8��A�8�����!���&��12^
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
61
2.8. Выражения со степенью с натуральным показателем
�5��������� ���������������������������������������������� ������������
��������������������������
���1 110
11
5
5
, ;⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ � � ��� 2 3 2
3
10
5
5
, : ;⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ � � ��� c c4
712( ) ⋅ ; � � !�� a a12
8010
118
( ) ( )( ): .
�5"���#������!��������$����������$��������$���������$�������������%�������������
���3 3
3
12 32
11
⋅ ( ); � ���
6 36
6
2 25
211
⋅ ( )( )
;
���5 125
25
76
20
( ) ⋅; � !�� 4
64 8
37
3 4
( )⋅
.
�5�&���������
���12 12 12 12 12 12
6 6 6 6 6
n n n n n n
n n n n n
� � � � �� � � �
;�
���49 49 49 49 49
7 7 7 7 7 72 2 2 2 2 2
m m m m m
m m m m m m
� � � �� � � � �
;
��
�
64 64 64 64
8 8 8 8
50
3
2 2 2 2
n n n n
n n n n
sayda
� � � �� � � �
...
...
� ����� �����
00 sayda� ����� �����
;
30����
50����
� �
!�� 5 5 5 5
25 25 25 25
2 2 2 2n n n n
n n n n
k sayda
m
� � � �� � � �
...
...
� ����� �����
ssayda� ����� �����
.
<����
;����
�5��"���#�����������'�������$ ������������������������$����������$������-��$������!����������$��
��− ⋅ + ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =4
1
241 5
2
3
2
2
,
*�������� **�������� ***�������� *+�������� +��������
��−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ + −( ) =1
1
33 27
2
3:
*�������� **�������� ***�������� *+�������� +��������
�5�"���#�������������������$�������������������������������
���an���a2/� ���a a
a
n � 2
3; � ���
a aa
n
n
2 3�; � !��
a aa
n n
n
3 1 2
2
+ −⋅; � ���am<>���am/� ?��
a a
a
n n
n
32
5 2
2
( ) ⋅
( )
−
. �
�5�@�����������������������$�
���a b
a b
46
43
213
67
( )( ) ( )
;
�
���� �a�A�BCD E���b�A�D F/
���7
9
3
7
8
7
612 43
5 232
cd
d
c
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
( ).
�
���� �c�A��1
3���G�A��
4
7.
�5��H����'�I���������������������$������������������� ��������J��$��!��
�������� �� ����������� ������������ �������������� ��� �� ��� '�I�K� ���-
�����������������������L�
�5�&���������MN3�����������������J�OP6�3�����P18/�5�&���������Q4�����������������J�OP3�4�����P12/�5��@������ ������������� ����������� ������ ��
������������/�5"��������ON3�7��������J�P/�5��R������������S���������������������������T
���������������������L
66
Глава II
�����$� �������8��A�8����$�� �������!�����11.
('"�������: 3 3
3
3 3
3
3
33
12 32
11
12 6
11
18
11
7⋅ ( )
=⋅
= =
"C�6 36
6
6 36
6
6 6
61
2 25
211
2 10
22
2 20
22
⋅ ( )( )
=⋅
=⋅
= .
�C� 5 125
25
5 5
5
5
55
76
20
42 3
40
45
40
5( ) ⋅
=⋅
= = �����[�]C��7^�"C��^��C�'5.
!*��M�������5=�!� ����$������L����M���L��!� �$���!���"��$���������������P��������� �8��������!���$�������L��!��M�&��������������� �� ����$������� ���
]C 12 12 12 12 12 12 6
5
12
61 2 2
n n n n n n
n n n n n
nn
b b b b b+ + + + +
+ + + += ⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅, ;;
"C 49 49 49 49 49
7 7 7 7 7 7
5 49
6 7
5 492 2 2 2 2 2 2
m m m m m
m m m m m m
m
m
+ + + ++ + + + +
=⋅⋅
=⋅ mm
m6 49
5
6⋅= ;
�C�64 64 64 64
8 8 8 8
50
3
2 2 2 2
n n n n
n n n n
раз
+ + + ++ + + +
...
...
00
50 64
30 641
2
3 раз
n
n=⋅⋅
= .
�����1]C��L��g��n^ "C� 5
6; ��C�12
3.
!*��M�������5=�!� ����$������L����M�������������&��������!������������%���!���������� �����!���$�� ������!��M�����"�����������������%�
8C� a aa
a an n
nn n n
3 1 2
2
3 1 2 2 3
+ −+ + − −⋅
= = ; eC�a a
a
a aa
a an n
n
n n
nn n n n
32
5 2
2
6 5 2
2
6 5 2 2 2 5( ) ⋅
( )=
⋅= =
− −+ − − +
.
�����[�8C�a3^��C�a2n +5.!*��M����� ��5 =�!� ���� F�� $������L� ���M���� ������� $�������� "�������8������������!���$��������$��������!��������%��@����������8�L�������%��$�����������������L������� �����!������8��]C�i ��a�b�U_;L�+���b�b�;L'L��[
a b
a b
a ba b
ba
46
43
213
67
24 43
26 42 2 2
0 5
0 7
0 5
0 49
50( )( ) ( )
= = =−( )
= =,
,
,
, 4491
1
49= .
"C�i �� ? = −1
3 �� @ = −
4
7L��[�
7
9
3
7
7
9
3
7
7 38
7
612 43
5 232
6 48
6 42
12 43
5 46
6 12cd
d
c
cd
dc
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ⋅
( )= ⋅ =
⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅−⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = −
c dc d
c d48 43
5 12 46 42
2
2
7 37 7
1
3
4
7
4
9.
�����[�]C�1 1
49^�"C�� 4
9.
+�//���������������"����1=��������F�8����������� �&�� ��A������"������������ ����������%���$������ �����������!����L���$���&M���$���������������PM���L������ �����"����� ������������F���$�����%�
67
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
����?��������������1�H��� �L��MG���$��"��M���������������!��"�����������!���M������� �������"�����������������%����!���&������� �����!���$�� ��L�!���������"�"M���������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X������������!��M������� �������"�����������������%����P
!���&������� �����!���$�� ��^*������ $�������� �� ����� ��������%� �� �!���&� � ����� �����!���$�� ��L�������������!��M���"�������������������
H�������VV ,�!������������������A�"���!����!��M������� �������"�����P������������%����!���&������� �����!���$�� ���
H�������VVV (������ �����!��M����� �������"����������������������!�P��&������� �����!���$�� ���
H�������VW (������ ���� �!��M��� ���"����� !��"���� �� ����� �� "�����P�����������������!���&������� �����!���$�� ���
Урок 2.9. Формула простого процентного роста
C���)���[�����'���������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��!�������8�������� ����8��!�������8������E�����������"����1�������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��!���������8�������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������5N�������#�*�����'1��A������$��������������P������!����������M����$����� ���!���������P������� $�� )� � ��� ,��� ����L� ������� �� ���"P�����L������������������&�!��������(�8 ������������� �����L����M�����������&�����L�!�P �������&��$�"�����>���������/�������
*�� ���&M���F�!��$�����L�����������"��$��������"����L������������F��������!�&�������� �P������ !�G�� ��A������ (��� ���� ���������L��������&M��� � ���&� $�����L� �� !�������� �� ����� �� b� 50000 1
12 3
100( )+
⋅ �� i �� ��
F����������������� ����������"�����0�b�';;;L�8�����%�!��������b���zL�n�b���U�������L�����������!� ����������8�������������L� ��!� ����� ���&M���K���� ��!������8��!�������8�����[
S S rn= +
01
100( )
Глава II
62
2.9. Формула простого процентного роста
ДеятельностьU���� � ������� �� ����� ��� ���������� ����� >D� DDD� ������� � ������� ��� ���
PDVT���������������$�!��L������������������������!��������U�����
�5 @������PDV����������>D�DDDL
�5 W�������������������������>D�DDDL
�5 &������������S�����������������������������L
X���� ���������������>D�DDD�������� ���������������$�P�!������>FVT����
����������������!��L�&�������� �������������!�����������������X�����
�5 @������>FV����������>D�DDDL
�5 Y��������%������������PL
�5 W�������������������������>D�DDDL
�5 &������������S�����������������������������L���Z$����� ������������
����!�����#�L
Образец
"������������������������������������������!���������FD�DDD��������L����
�����������!�������������>PV�!�����!������������������J���������������
[�!���L����������� �������������!��������������������J�������������������$L�
3��4�\�$���#���$��������������>PV����FD�DDD���������
5000012
1006000⋅ = �O��������L
Y��������%�����������[�������MDDD�]�[�A�>Q�DDD�O��������L�W������J�����
�������������������������������FD�DDD�<�>Q�DDD�A�MQ�DDD�O��������L
�����1MQ�DDD��������L
Деятельность
"���#�����������������'����!���������������������$�
�50000 50000
12
1003+ ⋅ ⋅ .
&�������� FD� DDD� ��� ������� �� %���� ����������� 50000 112 3
100⋅ +
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟. � ^��� �
������������ ������J� ���� ����� _ � ������� ��������J`J� I������
S = +⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟50000 1
12 3
100. �
68
Глава II
=���������F�%�K���� ������������$� ����� ������������������M������=�F��� ��������M���� ��A��!�����&����K���� ���J����'%��#����'����)������������������[�O��8������� ���������������P������������A�����=�F��� �������A��!�����G�����K���� ��$�!�������������
S S rn= −
01
100( ) .*�!�����[�(����L�!� ������������G�� ���" ���������� �����L���
��������������A�������"����������$������� �8���=�F��� ��������� ����������"�����"� �A��!� ���&M�%.
B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� ��!���8��!�������8�����\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!����E�#���)����#��#����'��)����:
!*��M������5���"����K���� ���S S rn= +
01
100( ) ���S S rn
= −0
1100
( ) �!���� ���nL������0L
�����F��$���������$�� ���������8��!!����$ ��**�[�=������%�K���� ���!���� ���n.
]C� S S rn= +
01
100( ) ^� S S S rn
= +0 0
100; S S S rn
− =0
0
100; n S S
S r=
−1000
0
( );
"C S S ( );= −0
1100
rn S S ;= −0 0
100S rn S S .
0
0
100− =
S rn n S SS r
=−100
0
0
( ).
$$ ��**�[�=������%�K���� ���!���� ���r.
]C� S S rn= +
01
100( ) ^� S S S rn
= +0 0
100; S S S rn
− =0
0
100; r S S
S n=
−1000
0
( ).
"C S S ( );= −0
1100
rn S S ;= −0 0
100S rn S S .
0
0
100− =
S rn r S SS n
=−100
0
0
( ).
$$$ ��**�1�=������%�K���� ���!���� ����0.
]C� S S rn= +
01
100( ) ^� S S : ( );
01
100= +
rn S S : ;0
100
100=
+ rn S S ;0
100
100= ⋅
+ rn S .
0
100
100=
+Srn
"C�S S ( );= −0
1100
rn S : ( );0
1100
= −S rn S : ;0
100
100=
−S rn S ;0
100
100= ⋅
−S
rn S ;
0
100
100=
−Srn
����"��$���K���� �L����� �����������8��!!����!���� G�������!��� ����.!*��M�������5(�8 ����� ���&L����� �����������0�b��;;�������L�r�b��;zL�n = 5.
(�8 ����K���� ��!���8��!�������8�����L�S ( ) ( ) .0 0
1100
300 130 5
100750= + = +
⋅=S rn
( ������ ���L���������>%���������� �����[�+';������
!*��M����� ��5 aV ��� � ���&� �$����L� ��� n� b� -� 8����L� �� b� �;;;� ������L��0�b��;;;��������r�b�\
@!���� ����$�K���� ��r S S rn= +
01
100( ) : S S S rn
= +0 0
100; S S S rn
− =0
0
100; r S S
S n=
−1000
0
( ).
@!���� ����$�K���� ��r: r = −⋅
=100 2000 1000
1000 812 5
( ), % �����[���L'z�
69
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
"C���� ���&��$����L����r�b��-zL���b�+��)�������L�n b���8����O$�K���� ��!�����8��
!�������8�������0��!���� ��[� S Srn0
100
100
100 7316
100 18 1
731600
1186200=
+=
⋅+ ⋅
= = .
i �� )�;;� ������� � ����� �� "���� ��� 8��� � �;z� 8������L� ����$� �� 8���� !� ����� ���&M�������[
S (ман.)0
6200 120 2
1008680= +
⋅=( ) �����[�)�;;�������L�-)-;��������
!*��M�������5�, ��$�!� �������" �����!� �$����K���� ��!���8��!�����P���8�������C�$���#[��0�b��;;;�B����CL�n�b���B8���CL���b��-#;�B����CL�r�b�\
r S SS n
=−⋅
=−⋅
=100 100 3840 3000
3000 2140
0
( ) ( )%
�C�$$���#: r�b��'zL�n�b�#�B8���CL���b�#;;;�B����CL��0�b�\
S Srn
(ман.)0
100
100
100 4000
100 25 42000=
+=
⋅+ ⋅
=
�C�$$$���#: r�b��'L�zL��0�b�';;;�B����CL���b�+�7'�B����CL�n�b�\
n S SS n
года=−
=−⋅
= =100 100 7295 5000
5000 15 3
229500
7650030
0
( ) ( )
,
#C�$&���#: r =��L'zL��0�b�+;;;�B����CL�n�b��;�B �CL���b�\
S S rn(ман.)= + = +
⋅=
01
1007000 1
11 5 10
10015050( ) (
,)
@�������������" ���L��������� ���&M�����!���[]C�(��������;;;�������L�� ����������V�"���������8��L���� ���������#�;��������
S S rn(ман.)= + = +
⋅=
01
1003000 1
1 14
1003420( ) ( )
"C��@!���� ��L��� ����!������������������+;;;���������� ����������VVV�"����$��)�������[(�8 ����� ���&[��0�b�+;;;�B����CL�n�b�)�B������C�b�;L'�B8���CL�r�b��'L�z�
S S rn(ман.)= + = +
⋅=
01
1007000 1
15 3 0 5
1007535 5( ) (
, ,) ,
�C��@!���� ��L�����&�������� ����"������! ����VV�"����$������ ���&�����L����P$�����&����" ���L�����$�������8������;z�����������%�8��[
S S rn(ман.)= +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = +
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =0
1100
2000 120 4
1003600
�����[�]C��#�;�������^�"C�+'�'L'�������^��C��);;��������N���"����1�H��M����������$�����!��8������!��$�����&���K����������&M�����>$���"�%������"������!*��M�������5(�8 ����� ���&L��0�b�#';;�B������CL�n�b�)�B������C�b�;L'�B8���C��O$����L� ��� �����%� ����� ��! �������� -;;� ������L� ������ ���L� �� �������)���������(������� ����"������! ������"����)���-;;�b�#-;;��������������������A�����������(�����!���! �����"����#-;;�U�#';;�b��;;�B������C����b�#-;;�B������C. @!����������K���� �L����� ���!�����[
r S SS
=−
=−⋅
≈100 100 4800 4500
4500 0 5130
0
( ) ( )
,%
70
Глава II
� +��� i�"����'>������
C���'*���'
�����������
E����-��
H���"�'>������
� 10.06.2013 4800 800 750 50 4000� 10.07.2013 4000 800 750 50 3200� 10.08.2013 3200 800 750 50 2400� 10.09.2013 2400 800 750 50 1600� 10.10.2013 1600 800 750 50 800� 10.11.2013 800 800 750 50 U
B�� � 4800 4500 300 U�����1��L�z�
!*��M�������5O��8���K���� �� S S rn= +
01
100( ) ��&�������� S S r n= + ⋅
01( % ) .
,��"�� r100
��!����%�K���� ���������%�K���� ������L�����r z��
����������!�����!������ S S ( )= −0
1100
rn $�!�������K���� ����b��0B��U�KEz�g�nC�
@&��: n S SS r
=−⋅
0
0
� �� n S SS r
=−⋅
0
0
]C����b�';;L��0�b��';;L�KEzb��;z�b�;L������� ������F��� ��������� ����������"� �A���������%�����L��!� �$����K���� ����b��0B��U�KEz�g�nC�
n S SS r
(лет)=−⋅
=−⋅
=0
0
2500 500
2500 0 18
,.
"C���b��';;L��0�b�';;L�KEz�b��'z�b�;L�'�n S S
S r(лет)=
−⋅
=−⋅
=0
0
2500 500
500 0 2516
, �����[�]C�-� �L�"C��)� ��!*��M����� � 5 ]C� (�8 ���� � ���&L� �0� b� �;;;� B������CL� KEz� b� 'z� b� ;L;'L���b�-;;�B������CL�n�b�\� O!� �$����K���� ����b��0B��U�KEz�g�nC[�
n S SS r
=−⋅
=−⋅
=0
0
1000 800
1000 0 054
,(месяца)
8C��0�b��;;;�B������CL� KEz�b�'z�b�;L;'L� ��b��;;�B������CL�n�b�\
n S SS r
=−⋅
=−⋅
=0
0
1000 100
1000 0 0518
, (месяцев)
�����[�]C�#������L�8C��-������������?��������������1H��� �L��MG���$�!�������K���� ��!���8��!�������8��������!��"���G�!���������L��"�"M���!��%�����������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X���������!������������A�����!�����$�����K���� ��!���8��
!�������8������H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� !���������� �� ��A����� $�����
K���� ��!���8��!�������8������
71
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
H�������VVV (������ ����!������������A�����!�����$�����K���� ��!���P8��!�������8������
H�������VW ��������� ���"����� !��"���� �� ��A����� !����� $����� K���� ��!���8��!�������8������
Урок 2.10. Формула сложного процентного роста
C���)���1� ����'�� ��������� �� ��A����� !�����$�����K���� ��!���8��!�������8�������� ��P��8��!�������8������E�����������"����1�������������A�����!�����$�����K���� �� ����8��!���������8������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 =�!� ���� ���� ����L�������&������"����L����M�����!���� �&��������&������L�������L���� �������K���� ��!���8��!��P������8�����L��!���� G���%�!�����L���������%����� �������� ����� �����%� 8��� !�� �������&� �!�������M���8������H��M��������$���&������������L������ ������F������ �������K���� ��!����8��!�������8������*�� ���&M���F�!��� �����$�����L������%����"���$����$����"����L�!�������������F����� ���!�&����� �� � ������� (����� ���������L� ��������&M��� � ���&�
$��������!������������� S = ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟7770 1
11
100.
����"��$��� 7770 70 111 7000111
1007000 1
11
100= ⋅ = ⋅ = ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ L�����������!�����������
��b�7770 7000 111
100
2
= ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ��i ����F����������������� �����������0�b�+;;;L�8�����%�
!�������%������b���zL�� ��n�b���U����L���������%�!� ����������8����"���L���K���� �� ����8��!�������8������!� ����:
S S= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟0
1100
r n
Y��K���� �������������������� ��������������������M����. B����)��������#�> ��*���[� =� ������ ������ !��������� K���� �� ����8��!�������8�����\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&��8��!!�����E�#���)����#��#����'��)����:
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
65
2.10. Формула сложного процентного роста
Деятельность
H�������������������S����������[F�DDD�������������������P�!���L�q����-
�������!��������������������������������������P�!��� �����������������
!������������������������`�!��!�������[VK
�5 @������[V���������[F�DDD��������L
�5 q�������������������������[F�DDDL
�5 @������[V�����������������L
�5 q�������%���������������������������������'��L
�5 &������������S�������������������L
Образец
@��������������������E�DDD��������L�r���������'�����������������������-
�$��� >>V� ��� ����� ������`�!�� !���L� H��J� ���� ������� @����� �������
P�!���K
3��4� &� ������ !��� E� DDD� �������� ����������� ��� >>VL� q����������-
�� � �� ���'�� �����!�� !���� ����� ����� �������$��� 7000 700011
1007770+ ⋅ = �
O��������L� &�� ������ !��� E� EED� �������� ����������� ��� >>VL� q����������-
�� ������'�������!��!�����������������������>>V��������������!��!�����
7770 777011
1008624 7+ ⋅ = , �O��������L
�����1�Q�MPN E��������L
Деятельность "���#�����#����������� ��������������'� ����������������$�
7770 777011
100+ ⋅ . �&��������������������������EEED�%��!����������$�
7770 111
100⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ∗( )
&�������������������������#���������EEED�����J`������������
7770 70 111 7000111
1007000 1
11
100= ⋅ = ⋅ = ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
W���������������������#���������������Os���������������EEED�
7770 111
1007000 1
11
1001
11
1007000 1⋅ +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ⋅ ++⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
11
100
2
t������������ ������������J����������������������_ ���������������-
J`��������������S = ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟7000 1
11
100
2
72
Глава II
!*��M�������5�(�8 ����K���� ��!���8��!�������8�����L��0�b�';;;;�B����CL�
r�b�+�zL�n�b��L�S (ман.)= +⋅⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =50000 1
7 3
10060500 .
(�8 ����K���� �� ����8��!�������8�����[��0 = 50;;;�B����CL�r�b��;�zL�n =��L�
S S r(ман.)
n
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = +⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ =
0
2
1100
50000 110
10060500 .
E��� �����L� ����� ���$� ��� ���������%�� ���� ���� ����������%� "���� ����G� F����������"� ���������%����L�F��"����!������� ������"� �A����8����!*��M����� ��5� ]C� E����� ����� !� ����� �$� ����L� � ������%� �� V� �� VV� "���� ���� ������!���8��!�������8������������������\
$���#: KEz�b��'z�b�;L�'L��0�b��;;;�B����CL�n =11
12(месяц) (года)=
S S r n (ман.)= + ⋅ = + ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =0
1 3000 1 0 151
123037 5( % ) , ,
$$���#: KEz�b���L'z�b�;L��'L��0�b��;;;�B����CL�n�b����B������C�b���B8��C��b��0�B��f�KEznC�b��;;;�B��f�;L��'�g��C�b���#'�B����C�"C��E����������!� ������$�����L�� ������%���VVV���VW�"�������� ������ ����8��
!�������8������������������\�$$$���#: KEz�b���L�zL��0�b�';;;�B������CL�n�b���B8���C
S S r(ман.)
n
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = + =
0
21
1005000 1 0 123 6305 645( , ) ,
$&���#: KEz�b��#zL��0�b��;;;;�B������CL�n�b���B8���C
S S r(ман.)
n
= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = + =
0
31
1001000 1 0 14 14815 44( , ) ,
�C�(�8 ����� ���&L��0�b�#;;;�B������CL�KEz�b��'zL�n�b���B8���CL���b�\���K���� ��!���8��!�������8�����[���b�#;;;�B��f�;L�'�g��C�b�'�;;�B����C����K���� �� ����8��!�������8�����[���b�#;;;�B��f�;L�'C2�b�'�7;�B����CE��������L�K���� �� ����8��!�������8������"� �����8����L�����'�7;�� 5200.
!*��M�������5�(�8 ����� ���&L�KEz�b���L'zL��0�b�';;;�B����C�]C�i ��n�b�)�B������C�b�;L'�B8���CL��8�����b�';;;�B��f�;L��'�g�;L'C�b�'���L'�B����C�"C�i ��n�b��'�B������C�b��L�'�B8���CL��8�����b�';;;�B��f�;L��'�g��L�'C�b�'+-�L�'�B����C�J����'%��#����'����)������������������[�D���� ��!���8���� ����8��!��������8��������M����8��!������&����"����������!���������H��M������ �P���������!���� ���!��� ���&�$�����L�����&�K���� ����� �����!���������H��P� ���� �����������������������L����"�����!���!���������!�$�����!� �$�&L�����������L�K���� ��!���8��!�������8�����L���!�����������������U�K���� �� �����8��!�������8�������( �"������M�������������!� ��&����� �����!��K������ ��� !���8�� �� ����8�� !�������8�� ����� H��� �L� �������� ��� �������L����� ���� ������"� ��� G8����$�����������?��������������1H��� �L��MG���$�!�������K���� �� ����8��!�������8��������$�����L��������������!��������L��"�"M���!��%�������
73
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
����������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X���������!������������A�����!�����$�����K���� �� ����8��
!�������8������H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!���!��������������A�����!�����
$�����K���� �� ����8��!�������8������H�������VVV (������ ����!������������A�����!�����$�����K���� �� ��P
��8��!�������8������H�������VW ��������� ���"���� !��"��� �� ��A����� !����� $����� K���� ��
����8��!�������8������
Образец критериев для составления заданийдля малого суммативного оценивания №3
� H�������
1 �����������%����!���������� �����!���$�� ���
2 H!��M����������������!���&������� �����!���$�� ���
3 �������������A�����$�����K���� ��!���8��!�������8������
4 �������������A�����$�����K���� �� ����8��!�������8������
74
Глава II
Образец малого суммативного
оценивания № 3
�5�*�!�A���!���$����������������!�P��������� �����!���$�� ��[
]C�x � x � x � x � x � x = "C�-�� 8 � 8 � 8 =�C�BU_;L'C���BU_;L'C���BU_;L'C�b
8C�− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅− =5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
�5��X�!�A����� �����������������������������8�����[��#L'�b������������ (���[��������'L-7+�b����������� (���[�������;L;7�b������������� (���[�������
�5�=��� ��[]C�)#�� 23�[��)�b������������������"C�-��[��3 � 35 b�������������������
�5��@!���� ��� !� ���&&� ��K��� $����P�����!����799:���������������������������������
�5��X�!�A���������������������!����������������.an + 5 � a-�U�n : a9 =
�5�X�!�A���������������������!���[
]C�1
5
1
5
1
5
10 6 12
x x x⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =:
�������������������������������
"C�BU_mC14 ��BU_mC16�[�BU_mC16 = ��������������������������������������������������������������
�5��=� ������� ����������� ����� "� $�!�PA���� ����� �� �L� ��"�� !� ��� �������������������]C�B�6Cx = 318L� � x�b����������"C�BaxC14 = 370L� � x�b�����������C�B+4Cx � 79 = 721L� x�b����������
�5�,������������������$���������!���[BU_'a2:?4C2�b�����������������������
5�X�!�A���!���$����������������!���[25m8n6 b��������������������������
�G5��*�%���� !���$�������� ����� ����L�$��!��A����8����FKK���������!���[
0 51
816
2, b c b⋅ −⋅( )=
E�FKK�����[����� (�!���[�������5�X�!�A������"����������!���[
]C� ab
9
9 �
"C� 9
25
4a�
�C�− =1
27 8C�−( )( )
=5
7
10
6
ab
��5�=��� ��[�]C�U_�3�f�BU_#C2�b������������������"C�#3�U�+�g�BU_�3C�b����������������
�C� 62
35
1
4
3
2
−⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟=
��5��*�%���� $�������� ���������� !��� a�b�U_;L�����b�b��L)�
a b
a b
35
7
27
23
( ) ⋅( ) ⋅( )
=
��5��(������ ��� ��';;����������"�����8��������!�����������������'z���� �������%�������(�� ��������8��� P����"�����������"����(����������$�'� �\�������������������������������������������������������������������������������������������������
��5��=�����&������!��������#;;;���P���������$���8���L�� ������ �������"������;z������������������8��!������M�8��8���\������������������������������������������������������������������������������������������������
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
75
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Урок 2.11. Конгруэнтные треугольники
C���)���1��������X������!��������!��$���������8P��F���������8� �������E�������� ���"����1 @!���� ��� ��%��� ���8P��F���������8� �������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��������L�"� �%� �
O�)���#�1
*���$�����������������������N�������#�*�����'1O$������� ��A���� ��������M���� ���&� !����� ����� �� ���8��F�����B�������C�K�8�������� ��!�����������!�����"�F���K��8�����������%����M�%����!� �������� ����L�
������&� �� ���"������ *��������� ����$���� ���8� ����L� ����������%� ��� "� ��� ��L� �������������� B� ��"� �A�C��O �����L��������K�8�������� �&��!�P ��������������������8����� ������8� �������H��M���L��� ��������8�������8��F�����8� �����L�����$���&���G���������"����������&M�������������8 ����?�������"��$��L���������!�������������B���8��F����C����8� ���������R��������"�����[�,��������������M�������������!���� ����L���$�����L��"�P$������������8��F��������8� ��������=����������$����������8��F��������8� ����P�������� ����"�����������������������M������!� ������ �����"����J����'%��#����'����)������������������1=����������!������������
���� ����������������$������!����������8���� ���*�!�����L�$�!���;L'�b1
2�����P
��������K�8�������!����%��$8 ����������"� &����������������E��L���!�����L�!������G��������������������K�8���[�����$� �������������B!�����M����L�!������L��"��M����C�F��K�8���������������!� ��������8�������8�L���"��������������&M�����������!��� �L��8���F��K�8�����������*��F��K�8����������������L���������$�����U��P�� ������K�8�������F����!������8��F����&�K��8��������!�������������������Y��������������������������M����B� ��������"����P" �$�����������!���������8�������8�L��������U���$���� &��C�
B����)��������#�> ��*���1 E������ ��"�������� �" ���&� ���8��F�����K�8���\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����
Глава II
68
2.11. Конгруэнтные треугольники
∆ABC � ∆A1B1C1Деятельность
�5 q�!�����������������������������!�L
�5 @������������������������������������������!������L
�5 R��������������'������S�������������!��������������!�������L
A
B
C
A1
B1
C1
�5 q�������I�!�����������K�&������������S���������������������!����
����������I�!�L�u����������S� �����������������������I�!����!�
�����!�K�X��������������� ��������������K
����������������������������J��$�����!�%���������������� �!�����
������!������������������J��$����!�%�������!����L
v������������!�������������������J`�������������!������!�%��-
�� �������������!��������������J��$�#�� ��;���'�L�
H��!�%�����������!��������������������$��������wC�CxL�
�yz{�����y1z1C1^��� � ���� � yzC�Cy1z1/� y{C�Cy1C1/� z{C�Cz1C1� �� �yC�C�y1/� �zC�C�z1/�
�{C�C�C1�������!��������yz{���y1z1C1����!�%����L�
&����!�%���������!����������������������������������!�%���������T
�������������!�%������!������������������������������!�%������!����
���������!�%�������������L
A
N
C
M
B
K
v���� ���!���������yz{����� |}~ � ��� ���!�%������
�������������!�%������!��������$������������������-
��� ��������������������������$����%�������!��������L�
yzC�C|}/�z{C�C}~/�y{C�C|~
�yC�C�|/��zC�C�}/��CC�C�~
yzC�C}~/�z{C�C|~/�y{C�C|}
�yC�C�}/��zC�C�~/��CC�C�|
<�����5
<�������5
76
Глава II
E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=���$����������8��F��������8� �������!�� ���������!������P G�����!� ������ ������=���������������������8� ���������������8 ���������P������������ ���������8��*�$��������8� �����L����M������ ����������!������P �������������� ����8L����$���&M���������������8 ��L�!� ������ �����"����]C�`aj��¡¢�rL��������� �̀b��¢L��a�b���L��jb��r�"C�ja �̀�¡r�¢L���������j�b��rL��a�b���L��`b��¢��C�a`j��¡jraL���������`aj�b��ajrL��a`j�b��arjL��`jab��jar�8C�a�r� aj`L���������ra��b��`ajL�� �̀b��rL��jb����!*��M�������5������$�"�����������8� ������>=(L����8��F���8�����8� ������kslL���$��M������� ��� ��������������A����� ����"�������L�����!���$��������������!*��M�������5O$����L��������G��8� ������`ajr���kl�m����8��F����B�����C���� ��������$�������8��F��������8� �������[¡`aj��¡kl�L�¡`rj��¡km��+�//���������������"����1( �"������M����$�P�����&����������$���������8��F��������8� �������� �����$����������������P������8 ���(��� �&����������F���$��������%����� ������������������"����� ������ ��F������M������!� ��� �����$��������(� ��������M������$��������������8��F��������8� ���������8���$�"�����������"� ��� ����%�������.����?��������������1����� ���"�"M���!��%������������8��F��������8� �����������������n�@!���� ����!����� ������'#������������������H�������V X������������!���� �����!��$���������8��F��������8� ������^�
����$��������8��F��������8� �����L������������!���� �����!��P�� ��������������������8 �^*��������!���� ���������&M������������8 ��
H�������VV ,�!���������������A�"���!����!���� �����!��$���������8��F�P�������8� ������^@!���� ������8��F��������8� �����L��!���� ����!���M�&�����P �������������������8 ��
H�������VVV (������ ���� �!���� ��� ������� ������ �� �8 �� ���8��F��������8� ��������
H�������VW @!���� ���!��$��������8��F��������8� ���������"� ��� ���������������
Урок 2.12. Первый признак конгруэнтности треугольников
C���)���'1��������X������!��������!��$��������8��F��������8� ��������#������������������������$������������������%��� �������$�����%������8�&�
77
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
E�����������"����1�C��X���� �� !�������� !����%� !��$���� ���8��F�P
�������8� ��������C������������������� �����$�����%������8�&�K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������5N�������#� *�����'1 *�� !������M��� ������ �$�"����8��"� ������$�������8��F��������8� �������H���M��L� ��!� ��&M��� ���� ����L� �����&� �����"�����L� ��� F��� ���8� ������L� �!���� �&L� �������A����=���(�����8�����8� �������������������� �����&�� ��� ���A���� =1� �� (1� ���8�8�� ���P8� ������� ?�� ��� �� ��$� ���� !�����M����� ����������������� ����!� ��8����!����������8� ������L�����������������������8� ����������������8�����8� ��������� �����&������������������8� ����������������8�8�����8� �������*���$�"���G�������!��$������L�!��8��� ����%�������!�&����� ���������L���P�8� ����������������&�����������8� ���������8� �������������H��� ���"P���M���������M���L���"����"�����������"Q�����������$� ������ ����������/����������M������ �A������������ ���"Q�����!����%�!��$�������8��F��������8� ������. B����)��������#�> ��*���1 E��� !��������� !����%� !��$���� ���8��F��������8� ������\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"������� ���"��$�����$��&��!��8��!!���E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�O$����L����`aj��m£k� r�¢��=�F��� �����`a�b�m£�b�r�L�̀ j�b�mk�b�r¢L�aj�b�£k�b��¢L�� �̀b��mb�rL��a�b��£�b���L��j�b��k�b��¢��( ������ ���L��" ������ ����"���$�!� ��������� ���&M����"��$���
ABC _[\��p[f\���p�[\�G�°
_[\�%�p_f\�%�p�_\��°
qrc m£�b�)��^�£k�b�����^��£�b��;'°
m£�b�+L'���^�mk�b��L#���^�m�b�'�°
DEF r��b�)��^��¢�b�����^����b��;'°
r��b�+L'���^�r¢�b��L#���^�r�b�'�°
!*��M�������5(�8 ����������L�������$�!����`aj� km£��
Глава II
70
2.12. Первый признак конгруэнтности треугольников
Деятельность�5 ���������� ��������������������-��� �������������� �������������������
�5 ������� ���������� ����� ���
����������������������� ����!"��5 ������� ���������� 1#1C1�� ���
1#1��������� 1C1���������� 1����!"�
�5 ���������������������� ���$�-%&� ��� ���� �� �� ������������ 1#1C1��
��� ���������������� � ������ ���'�
�5 (���&������� ) ���� ��������� *������� 1#1C1'�
A
A1
C
B
C1
B1
сторона
сторонауг
олмежду
сторонами
противопо-
ложная
сторона
>����������� ������?������ ������������ ��-���� ��%�) ����� �������� ������?���������*�@D���*�������&*�?������E��������&��������� F��>���?������� �$�����������������-?������������&*��G*�?����������)� ������-���?��������������������� )&� H�?���
���������(��L�������������������������(��&�������(������������NR�������T4
I������������&���������������������������������� �������?��&���-�����HJ������������� ������������������������������������ ����?�������������������?��&�����&�����)� �� ���� )&� H����)� �����K��E����� ������������� F�
Образец
L � ����� *� ��� �MNO�������&�������?��&� �-�)���N����N���P�$� ����� �������� ��� �%��-������NQ���N��������� ����$� ���������E�����RF��>�� ����$��� ST����#ST��
3��4��U ��������� ��&�� ��������R�������-������N�����N������� ����������H�N����N���N��V��%J ������� ��%��*���������-
������� ST����#ST�E������$��N��V�%��-����� F��P��� ����� ����W����)� ���������?�������������������
� ST����#ST�
O
A
B
C
M
D
N������
78
Глава II
��"��`aj� m£kL� ��������A����/�$�������EL����A����E�$�������/��!*��M�������5��"��!���� �����$�������L�����!� ���8�L������$���� ����P������ >(� �� =(L� �� ���� � ����� �� ����� (� �� !�����!� ����&� ������ B!��!�����%C����$��L������%�>(���=(.�jr�b�`j����j�b�aj���� ����������F��� ���������8� ������ >=j� �� �rj� "���� ���8��F������ ���8� ��������� ���� ���� �� ���P8��F���������8� ����������������8 �������L���� ����>=�b�ir���"���������%�A�������%��$�����!*��M�������5�E���!���� ������!������M�8���!��������L� F�� $���������!� P�������������������� �����������������$������������������� ���L����M�%����!� ����$�������!*��M����� ���5� ��"�� �!���� ��� A���������� �����M������ ��������������!���������8��F��������8� �����L�������8���$������������� ������ ��� >=�� =� �A������ ����������M��������$��������!���� ������ ����>=�!�� !������� !��$����� ���8��F����� ���8� �P������!*��M��������5������!� ������F�8����P�������8�� $������� !�������� ���&M��� ���P�����������M���[���!� ���A���� ����!�����C�U���"� L���!� ���A���!������C���"C�U���"� �L���!� ���A��������!�����!� ���&���"� ���H��M������ ������!� P������A�������"Q��������L�$�!��������������������L�!�����������!���� ����K���� ������?��������������1�H��� �L��MG���$�!�������!����%�!��$�������8��F��������8� ������L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X���� V� !��$���� ���8��F����� ���8� ������L� $��������� �� �8��
!�����������^*�������!����������������������� ���������8�&�
H�������VV X���� V� !��$���� ���8��F����� ���8� ������L� ��!����� ��$����P� ������A�"���!���!���������^����������������������� ���������8�&L��� �����$����� ������A�"���
H�������VVV X����V�!��$�������8��F��������8� ��������������� ����!�������^(������ ����!���������������������� ���������8�&�
H�������VW X����V�!��$�������8��F��������8� �����������������!�������^@"���������!�����������%���������� ���������8�&�
79
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Урок 2.13. Второй признак конгруэнтности треугольниковC���)���'1��������X������!��������!��$��������P8��F���������8� ��������#������ ��������� �������� �$�������� ����������%���� �������$�����%������8�&�E�����������"����1�C��X������!������������%�!��$�������8��F���P
�����8� ��������C������������������� �����$�����%������8�&�K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1(��� �&��$��������������PM������!� ��&����� ����L������&������"�������(������������8� ������!������%��������������
�8 ����@�����$�!� �����������8� �����������$��������� ��������������8�%����P8� ������H��M��������$���&���G���������"�F����J����'%��#����'����)������������������[�H��M�����"����&��������P�o�����������$���������!������������(�����EL��������%�¢�B!���$����%�������� �����C��=�F��� �������!���M�����M����!�����������$���/¢��H����M����!���A���&���������"��8 ���E/l���¢kl�B�8 ����� ���&L��"��F����8 �������8��"����������8 ��>���);�C��=� �A����������������M���������� ���"Q�������P��%�!��$��������8��F��������8� ��������(�!���M�&����!�&����� ��������8� �P���������������&��!�����!� �����L�!�� �8�&M������������8 ��
B����)��������#�>��*���[�E���!�������������%�!��$�������8��F��������P8� ������\�
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5���"������$���¡jsa��¡`srL�������"������L� ��� ����� ������ �� !�� ���M��� �� ��%� �����8 ��F������8� ��������������O$����L����`s�b�sjL��sja�b��s`r.
@�������������������������� ������8 ��L��asj�b��`srL� ������ ���L������� @(� �� !�� ���M��� �� ��%� �8 �� @(=� �� =@(� ¡jsa� ���������� ������������@���!�� ���M�%�����%��8 ���j`r���̀ sr�¡`sr��(�8 �����������!��$��������8��F��������8� ������L�¡jsa��¡`sr�
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
73
2.13. Второй признак конгруэнтности треугольников
Деятельность
�5 L $���� ������������)�������������\����� �� ��������m���)���]O����������&�E�����RF�
B Na mA M �������5 ����������&���@!"�����^�� ������$� *�����M�E�����\F�
�
A MB N
�������5 ��������� ���� ���_�"�����^�� ������$� *�����O�����������������D���������� �������M�E������F��
A MB Na m
�����$�5 N%�)� $���$������$����������������������%��������� ��$����-��$����������������]���O�V�%������`�
�5 �&�) �������a ������������������ ��������� �����������]Ob�E���)��� ���� �����F� -
�����%� )����$�%&���^�� ������� � �����^�����
M����^�� ���V�����^�����O����?������$ ���� ����
��^��������� �G���^�� ��'�N%������������-
��E�����_F�
�5 ����������� $�� �$� ��� ���� � � �� �H%��� �$����c����)���������?�'���$��'�L $�����)���Mc����%��������������
�����-
A
M
B
N
C
KF
?
���������(��L���������(��&�����������������������������#���*��������(����NRR�������T4
I���� ����� � �� ����� J�� �� ��� �� � ��� � ������� ��������� � ���-
���?��&������������������������ J���������������� ����������
��������� ����?���� ���������� �������?��&�
���������)� ��� )&� H�J�K�K�E����������� ������F�
A
CB
D
O
80
Глава II
!*��M�������5�i �����$���`r��� ����"������%��j`aL����r`a�b��r`j��( ������ ���L�������̀ r���!�� ���M�������%������8 �����8� ������̀ ar������������������������̀ r��B�"PM��������C���!�� ���M�������%��8 ������8� ������̀ jr��?������"���$��L�¡`ra��¡`rj�!*��M�������5�=�������������������L�������&M�%�� ���&�$�������O$����L�����������!��� �������$���>=���jr�!������&���������@���>@�b�@(��]C������ ���� �8 �� `sr� �� jsa� �� �&�� ������ �����L�
�� ���� ������� ���� ���� `a� b� jr� �� `s� b� sjL� ��sr�b�sa��( ������ ���L��������������8� �������������� ����8� ������� `sr� �� jsa� ������ B!��$���� (H(CL� ����¡asj��¡rs`.
"C����� ����¡asj��¡rs`L���������������8 �������L������`aj�b���̀ rj�!*��M�������5�]C�(�8 ����� ���&L�s �̀b�sj���sa�b�sr��( ������ ���L�¡`sr��¡jsa��?�8���������&M����P�����F������8� ������������L�����"��� �����̀ r�b�aj��C����� ����¡`sr��¡jsaL����s`r�b��sja�
?�8�����������8 ��F����8 ���"�����r`a�b��ajr�!*��M������ 5�@!����������������� ����L����&��������� ������L�!���������!����8 ���
A
B
CK
D
A
B
C A
B
C
D
K
�C������ ���&�`a�b�`j����`rj�b��`ma��H8� �>��� �����"M����8 ���� ���"�������8� ������L��8����`am�b��`jr��?������"��$��L��������8 �����8� �������`am� ��`jr� �����L� ���� F�� ���8� ������ ���8��F����� ?�8��� ������ am� ¡`am�����������������������jr�¡`jr��
�C�������a`jb�7;°�F��!��!������ ������!���&�����$�����>=���>(��?�L�������������L��������� �����
�C��=��!����8 �����!��!������ ���L�!�����G������$������=���(L�!�����������!������>(���>=��=�F��� ������8 ��=>E���j`r�U������� ������8 �[��a`m�b��j`r��?�8�����F��� ��������8� ������>=E���̀ jr����8��F�����?���L�=E�b�jr�
A
B C
D
A C
BD
O
A
B
C DO
K
81
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
��R������� �"�����[� H��� �� ��K�������L� ��� �� ������ �8 �� ������ �"�$������8������L� �����%L� ������%L� �"Q����� ���A����� ������ F���� ����������� *��!��������!���$�����!���"��$��������=������&����M�������������° = 60oL��o = 60ooL�1 1
60/ ,=
° 1 13600
// =° . , ����!� ������
F���!���"��$�����%�������!��8������$������: 45° = ... oL���;o = ...°L���°10o 5)oo + 40°25o45ooL�';°�U��)°43o�������,�� ��������� ���M���� �������� !���� �� ���������� 8������L� $�!������� �� �������������%����"�L�������������������[��L'° = 12°�f�;L'° = 12° + 30o = 12°30oL
156 25 156 25 156 2560
156 42° ° °°
= + = + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ≈ °/ / , ,
42 34 55 42 3460
553600
42 0 6 0 02 42° °° °
= + ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + ⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟ ≈ °+ °+ ° =/ / / , , ,, .62°
~ 45 км
1//
1//�)�%�������������������!���(������)��&�(���� ����������������-/����
!*��M��������5�]C�+�L#¤ = 73¤�f�;L#¤ = 73¤�f�;L#�� 60o = 73¤ + 24o = 73¤24o^�))L�¤ = 66¤�f�;L�¤ = 66¤�f�;L��� 60o = 66¤ + 12o = 66¤12o^���'L�¤ = 125¤�f�;L�¤ = 125¤ + 6o = 125¤6o^�#�L7�¤ = 41¤�f�;L7¤�f�;L;�¤ = 41¤�f�;L7�� 60o�f�;L;��� 3600oo = 41¤ + 54o + 108oo = = 41¤54o + 1o48oo = 41¤55o48oo^� ��L'¤ = 12¤�f�;L'¤ = 12¤ + 30o = 12¤30o.
"C���¤36o = 12¤ + 36o = 12¤ + 36 160� = 12¤�f�;L)¤�b���L)¤^�
44 16 25 44 16 25 44 16 160
25 13600
44 0 26 0° ° °° °
° °= + + = + ⋅ + ⋅ ≈ + +/ / / / / / , , 0007 44 267 44 3° ° °= ≈, , .
54 30 54 30 13600
54 1120
54 0 09 54 09 54 1° °° °
° ° °= + ⋅ = ° + = °+ = ≈/ / , , ,
135 56 10 135 56 10 135 56 160
10 13600
135 0 93° ° °° °
°= + + = + ⋅ + ⋅ ≈ +/ / / / / / , °° ° ° °+ = ≈0 003 135 933 136, ,
!*��M����������=�!� �������� ����[]C�+¤15o + 16¤30o = 23¤45o^�¥C�#)¤25o � 17¤59oo = 46¤24o60oo � 17¤59oo = 29¤24o1oo^��C��';¤21o12oo + 51¤16o51oo = 201¤37o63oo = 201¤38o3oo^8C�#�¤18o � 25¤10oo = 41¤59o60oo � 25¤10oo = 16¤59o50oo^��C��+'¤13o � 101¤43oo = 175¤12o60oo � 101¤43oo = 74¤12o17oo^��C�7-¤15oo � 53¤45o = 97¤60o15oo � 53¤45o = 44¤15o15oo^GC����¤36o � 2 = 46¤72o = 47¤12o^�C��#L'¤�U�)¤7o�f���L�¤�b��#L'¤�f���L�¤�U�)¤7o�b�')L)¤�U�)¤7o = 56¤�f�;L)¤�U�)¤7o =
= 56¤ + 36o�U�)¤7o = 56¤36o�U�)¤7o = 50¤29o^�$C��++¤19o ��')L#¤ = 77¤19o ��B')¤�f�;L#¤C�b�++¤19o��B')¤ + 24oC�b�++¤19o � 56¤24o =
= 76¤79o � 56¤24o = 20¤55o.
82
Глава II
!*��M��������5�H8 �����8� ������>=(��������'L-¤���##¤53o����"���!���� ������%��8� ����8� �����L����-;¤� ���������������������F����8 ��[�
180¤�U�B�'L-¤ + 44¤53oC�b�-;¤ ��B�'¤�f�;L-¤ + 44¤53oC�b��+7¤60o ��B�'¤48o + 44¤53oC�b= 179¤60o � 59¤101o = 179¤60o � 60¤41o = 119¤19o.
�����: 119¤19o.����?��������������1�H��� �L��MG���$�!�����������%�!��$�������8��F��������8� ������L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X����VV�!��$�������8��F��������8� ������L�$�����������!����P
�����L���������!�����������������������$���������8 �������8�&�H�������VV X����VV�!��$�������8��F��������8� ������L�!���!������������ ���
�������������A�"��L���!������!���� G������A�"���!���!����������P��%����������$���������8 �������8�&�
H�������VVV X����VV�!��$�������8��F��������8� ��������������� ����!��P�����L������!������A�"��L�!����������������������$���������8 �������8�&�
H�������VW X����VV�!��$�������8��F��������8� �����������������!������P�L������� ����!����������������������$���������8 �������8�&�
Урок 2.14. Свойства равнобедренных треугольника
C���)���1 3.1.1. X���� �������� F ������ ��P�8� ������������A���������������L�8������������$��"�������E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%��������"������������8� �������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1,������ ���$����������L���!��$������L�!��8��� ����%�������!�&����B� ����� ����CL� ������������ �����"�������%� ��P�8� ����L� �8�� "������� ������ �� ��������L� ���PA����� �� �8 �L� !�� �8�&M��� �� �������&�� X�������!� ���������� ����L� ������� �� ���"������ @P���������� ��� ���� ����L� ���M���� ���� "������� �8 �� !��� ���A���� �� ��P
Глава II
76
2.14. Свойства равнобедренного треугольника
������� ������������������������������������������������)����'���� �����#������������������������� ���������������������������-���������� ������� ������������������������ ���������� ���!� ���"#��
$�������� %�������� ����&�����%�� ���������������������� ����
������
Деятельность
'�%������������������������� ��(�5��)�&��� ���������������%�������� ��*�'��
*��+��'�!� ���-#��8��: ���������;� ����< -��� ������;� �:�= ��������� ��
�5��)�&��� ���� ������ -��� �>� ���� ;� � ���?< ����)��� ���;�?&�����������@������:���������������� A����AB�!� ���C#
�5��D:�� ������:������&��������� � �*�>� �'�>������B�E��%��;?��<�����;� ����������-������������ �����;������������ A�����-��� ��B������: ����� ���� ������A�*� �'�!� ���C#��
A C
B
������
A C
B
D�����$
Свойство углов, прилежащих к основанию равнобедренного треугольникаТеорема
% ��&�'�(���)(��*������(.�����/�0��� ��1��� ��3(*�&�*� ��41��!�����������'1�FGHI�������������%��GH�+�HI�!� ���C#�!����M)���������'1�G����C.
Докажите самостоятельно.)�&��� ��� � ������ ��� H>�FGHI�� J�;���%��� ;� �����'8'������������������ ���
83
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
���$����&���G����������!� �����������8� �������>=r���jar��(�8 ����!�������!��$������ ���8��F����� ���8� ������L� �"�������&� ���8��F����� F��� ��P�8� ��������� H��� �� �������� ����� � ���M����� �� ��L� ��� �$� ���8��F�����F������8� �����������������������MG����������F �������F������8� �������H���M�����$������&��� ������������������8 ��L�!�� �8�&M������������&��?�P�����"��$��L�!� ��������%������������8 ��L�!�� �8�&M������������&�������P"��������8�����8� ���������R��������"�����[�H��� ������������%������������8 ��L�!�� �8�&M������������&� �����"�������8�� ���8� �����L� �� ����� �������� H����&�� � ����� ��������������������,���$�� ���� ������� !�������� ���M����� =� ��%��� ����L� ��!� ���� ���P� ����L�������������$���&�F���������*�� ���&M���F�!����!� ��������������� ������X�����!���� ���L������P������L�!�����G������$����A���������������8�����8� �����L��� ���8������������P8��F���������8� ������B!��!��$�����(H(C��O$����8��F�����F������8� �����������M�����!���� �&L�����8 ��`ar���jar����������L�������������ar� ��� ���������� "������%�� X���� �!��� �$� ���8��F����� ���8� ������� ���M���� �!���P�� �&L� ��� �8 �� `ra� �� jra� �� �&�� �������� �� �������� �8 ���L� ���� �`ra�b��jra�b�7;°��( ������ ���L���������ar�������� ��������%��?������"P���$��L��!���� ������%����8�L�����������������"�������8�����8� ��������� ��P��������8��"������%�������%����R��������"�����[�H��� ����%��������������P��"�������8�����8� �����������������������������H����&��� ��������������������������,���$�� �����������!�����������M����B������P�����!� ���������� ���������$�� ������M�P� ���C�B����)��������#�>��*���1�E���!������&����%��������"�������8������8� �P����\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M��������5@������������������L����M����� ���!���� ������8 ��������8�����8� �������!�����&���%���������L������� ������8 ��L�!����������%����8 ��L�!�� �8�&M������������&������"�������8�����8� �����L��!���� �&��8 ���
A
B
C
125°
44°
C
K
D
32°
M
T
P
a) б) в)
]C�(�8 ������%�����������8 ��L�`aj��`ja�b��-;°�U���'° = 55°L�
14.�������������� ��� ���� ��������������������������������������
������ � �� � ���� !�!��!� � ����������"� #�$ ������ ��� %� &� '��$
�������������(���"�))*"
S P
C
60
°
SC = SP = CP
�������
��5N��#��"��#��������5+� ,���!��� �� ����!�!�� �������%%�"
$ ��**�1��#�������/��������0�� �������������
01� ( )2* �
A
84
Глава II
�`ja�b��a`j�b�''°�B�����8 ��!�� �8�&M������������&CL���a�b��-;°�U�B''° + 55°C�b+;° B!������������������8 �����P�8� �����C.
"C�(�8 ������%��������� ������8 ��L�rmj��jrm�b�##°L��jmr�b��jrm�b�##°�B�8 �L�!�� �8�&M������������&CL���a�b��-;°�U�B##° + 44°C�b�7�°.
�C�(�8 ������%��������� ������8 ��L��k����k��b���°L��k���b��k���b�B�-;°�U���°C�[���b�+#°.
�����[�]C�''°L�''°L�+;°��"C�##°L�##°L�7�°���C���°L�+#°L�+#°.!*��M��������5(�8 ����� ���&L��̀ aj�b�#-��L��̀ am�b��)��L�`a�b�`j��i ���$P����L����>E�U��������L���=E�b�E(�( ������ ���L���b�̀ a�f�aj�f�̀ j�b��`a�f�am�f�mj�b��`a�f��amL� ��B`a�f�amC�b�#-��@&���̀ a�f�am�b��#���?�8���`am�̀ m�b��̀ am�U�B`a�f�amC�b��)�U��#�b������� � � � �����[������!*��M��������5������!� ������$������������%��8� �!�������� ���� �����!��P����$�����A����%��8� L�����%���$�U�����!�� �8�&M�%����������&��8� �]C��i �����A����%��8� �"����������'-�L��������%��$��8 ��L�!�� �8�&M����������P
��&�"����B�-;��U�'-�C�[���b�)��.i ���8� L�!�� �8�&M�%����������&L�"����������'-�L�������%��8� L�!�� �8�&M�%����������&L�"����'-�L������A����%��8� �������-;��U���� 58° = 64°.
�����: 58°L�)�°L�)�°�� ��)#°L�'-°L�'-°.+�//���������������"����1( �"������M���L�� ������������8������$�����%P��������"������������8� ������L��� ���������!���������8����!���������P������Y����%��������"�������8�����8� ������U������!�������������%��������A�����$���������F�%�!������������L���"�������%����M�%��$�� ��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%�����������%���������"�������8�����8� �����������!��������������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X���L������������!����������%��������"�������8�����8� ������H�������VV X���� ��%��� �����"�������8�� ���8� �����L� ��� ��!����� �!����P
G������A�"���!������!����������H�������VVV X������������ ����!����������%��������"�������8�����8� ������H�������VW X���L� !�������� �� �"��������� ���� �� �� �� ��%���� �����"�P
������8�����8� ������
Урок 2.15. Построение треугольника по трём сторонам
C���)���1��������,� �����$���!�!� ��L�������������%�!��!������ ������$��L�"��������8 �������8� �����!���8���������
A
CB
K
85
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
E�������� ���"����1 (���� ���8� ����� !�� �G���������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 ,��� ����L� ������� �����"�����L� ��!� ����� ������� ���M���� ��������P��� ���������!� �����!�����������8� ������!���G�� �������� ���� ���"�������� ���� �L� ���P��� ��������"������M���L�����������!���� G��������!��� ������ , �� ����8�� ��!� ������ !�������������%� ���M�%�� �� ���� $���L� ���� !���� ����!� ��$����������� ���I� �&��������� ����!�����������8� ������!���G����������, �����������F�%��� ������ ���� ����"��������� �������"��������8�����M�8����� ������ �������!� ��&��$��������$����"�����B����)��������#�>��*���1�E�����������8� �����!���G��������\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�O$�����������L����!�������� �������!����%�m�����������P���E��E���������� ���������&�������������� ���%����$����L������%�E�������������� ���������������������������������������������������l�U������!��������������������!����%�m��X��������$�������������������������P�������� �L�����������������������������������������������l��?�����!����P������F�����������%���������/��?�����EL�l���/�!� ������ ����������&����� ������%�¡E/l�U������"�������%����8� �����B�"�������������M����C�����?���� � ���������1 H��� �L� !������� !���� �� !�������� ���8� ������ !���G��������L��"�"M���!��%�����������������n���������
!����� ������'#������������������H�������V X�����������������8� �����!���G��������.H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!�����������8� ������!��
�G��������.H�������VVV (������ �����������8� �����!���G��������.H�������VW (�������8� �����!���G������������"Q�����!�������.
Глава II
80
2.15. Построение треугольника по трём сторонам
Циркуль, линейкаДеятельность
��������������� ����������������b��.�5����������������� ������� �������������������������������������������������������������������� ����������� ����
�5��������� �������� � ��!� m" #�$��� �������� % ����&"m
�5'��������(���� ���� ���%�������!������� ���(��� �������� ���$�!��� �"����������������� ���������(������������&������ ����������������!������������!���m��%����� ��)�����%����*"
a a Bm
A
�5'��������(���� �������%�������!����������(��������������$�!��� b;����������������� �������b�(������������&"
Bm
Ab a
�5'��������(���� �������%�������!����������(��������������$�!��� �W����������������� ���������(������������*"
a Bm
Ac
b
a
c
86
Глава II
Урок 2.16. Третий признак конгруэнтности треугольников
C���)���1� �������X������!��������!��$��������P8��F��������8� �������E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ���%�!��$��������8��F��������8� �������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �������L� �L�8��$��L��� ���L����������������L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������.N�������#�*�����'1=�!� ��������� ����L��������������"����������F������������������������� � ���� ����������� ���8� ������ ��!� �8�&����L�����!���$�����������������@���������������P� �����L� ��� ������ !������M��� !��$������ ���P8��F������� ���8� ��������!���� ���L� ��� ���P8� ������������������������������� �&�����8��F������
��R������� �"�����[� H��� �� �������� !��$���� ���P8��F����� ���8� ������� !�� �G�� ������� �� ����� ��P�������,���$�� �����������!�����������M�����H��P� �� ����� �!���� G����� �"��$��� ��!������ ���M���L���!� �$�&M���� ������$�� ����!����������������������*�� ���&M��� F�!�� ���� ����� ��!� ����� !�����P������� ,��� ����L� �����G����� � ����8�� ������ 8��$�G�L�!������! �&����������,��8����������������&����P"��������=�F��� �������������������8����*���������$P���������8��L�� ��$����!�����F�������������&�������=� �A����������������M��������%�����%��������
���8� ���������!� �$��������8�����!������L�!��������!��������*������!�&�������������&��!�������!���!� �$�����&����8� ������
B����)��������#�>��*���[�E���!������������%�!��$�������8��F�������P�8� ������\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�O$����L����`aj� m�k� r�¢��?�8��L����̀ a�b�m��b�r�L�̀ j�b�mk�b�r¢L�aj�b��k�b��¢�O����F��������L���������!� �����" ����
`aj`a�b��;��`j�b�)��aj�b�����
`a�b�'���`j�b�7���aj�b�-���
aj�b��+���`j�b��+���`a�b��;���
Глава II
82
2.16. Третий признак конгруэнтности треугольников
Деятельность�5 ��������� ������ ��� &*+ �� ���������&*,-���*+,/���&+,0��"
�5 ��������� ������ ��� 112
1C
1 �� ���������
112
1,-���2
1C
1,/���1
1C
1,0��"
�5 '���������� ��������� ������ ���� &*+ �1
12
1C
1����������������"3"+�������������
*�21"#��������������������������� ��-
���1221�422
1"����������������� ������-
���&*�112
1�&���������*+�2
1C
1�
�5 5����� !��! ��! ����1221 ��12
12� 5��$
��)����������4221��22
14�
�5 ����� �� ������� � ��������� ����&*+�1
12
1C
1�������
�5 5����)���� �� ������ ���� &*+ �1
12
1C
1�6��������)��������������
��������
�5 6�������!� ���������������)������ ������&+�1
12
1� ���������������
�����)������ ������ �����&*+�112
1C
1�
B
B1
CA
A1 C1
�������
B
B1
C(C )1A A( )1
������
Конгруэнтность треугольников по трём сторонам (ССС)Теорема
5��(�1�(��1�����1��� ��3(*��*� ��41�����1��1�1��.)(���1������0�� � ��1��� ��3(*�&�1��41(�1��� ��3(*(�*� ��41��7�������������������!+++8�����������������������9"
!�����������'1:12;�:<=4�12�<4�1;�=4�2;�<=!����M)���������'1:12;�:4<=8���"-9+�#����������� �����'1 �� ����� �������12�<4� 1;�=4" +������� ������ ���� &2; �<=4�����������������!�������2;��������<="*�������������
�������! �����%��������:124� ������&�������>���� �� ����������������)������������� �����:12;�:�=4"8?��������������������!������ �����12;��=4������������������!��� ��"9D�����)�#�����58?���������������@@������������)������������� �����"9
�����$
Доска, гвоздь, молотокДеятельность
�5 5��(����������������������������������������C�"?�������$(����������������������������!������������������!D
�5 #%E!������ ����� ���(� )��� ����� ��������" ��� ����� ������ ����%������������� ���������������������������������������
��������������� �����5��)��������������� ����!�%���
87
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
m�km��b��;��mk�b�)���k�b�����
km�b�'���m��b�7����k�b�-���
�k�b��+���mk�b��+���m��b��;���
r�¢r��b��;��r¢�b�)���¢�b�����
r��b�'���r¢�b�7����¢�b�-���
�¢�b��+���r¢�b��+���r��b��;���
!*��M�������5�O������L������%��� $������L����M������8��������������������=������������8������������!���M�&�F�8�����������������!������"�P������� &"�8���8 ���, ��F�8�����A����>�������������� �P��������������A�����8 �L�"������������8��"���������L�����������8� ������������&��������!��L�!�������!����&���������8 ��B� ��F�8�� �����!������8��������rC��=�F��� �P����!� �����>r�"������!������"������%��8 ��!*��M����� ��G5� O$����L� ��� al� b� jk� �� ak� b� jl�� ?�8���¡akj���¡jla�U����8��F��������8� ������B!���������!��$P���������8��F��������8� ������C��?�8����`aj�b��`jaL� ������ ���L�¡`aj�U�������"�������%��?�����>=�b�>(�!*��M��������5����� ����`r�b�ajL�`a�b�jr���ar�U��"M��������L���¡`ar��¡jra��?�8���������������8 ���r`a�b��rjaL �raj�b��ar`L��`ar�b��arj�( ������ ���L� �arj� b� �'°�� @��$��� `k� �� j�� U� "�P���������>/�b�(�L��r`k�b��k`a����rj��b��aj������� ���� �r`a� b� �rjaL� �r`k� b� �aj��� ( �����P� ���L�¡`rk��¡ja�L�����rk�b�a��b����� �����: �arj�b��'°L�rk�b�����J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1 O$����� ���%� !��$���� ���P8��F���������8� ������L����M�����!���� �&��8����%�����%��������A�P��������!� �$�������F�8����%�����"����H��� �������!����������M����!��P8������� !��$�����&� �"� ���������L� �"����������� �� �!�L� 8��� �!� �$���� F����%������8� ����������?���� � ���������1 H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ������ !��$����� ���8P��F��������8� ����������8��!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����VVV�!��$�������8��F��������8� ������L�$�����������!��P
��������H�������VV X����VVV�!��$�������8��F��������8� ������L������!�������$��P
��� ������A�"�����!����������H�������VVV X���� �� ������ ���� !�������� VVV� !��$���� ���8��F����� ���P
8� �������H�������VW X�����L��"��������L�!��������VVV�!��$�������8��F��������8� �P
������
B C
A
M N
A B
D C
M
P
88
Глава II
Образцы критериев для составления заданий для малого суммативного оценивания №4
� H�������
1 @!���� ������8��F��������8� ������
2 X������!������������A�����$�����!��$��������8��F��������8� �������
3 X������!����������%��������"�������8�����8� ������
4 (�������8� �����!���G���������
89
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
Образец малого суммативного
оценивания № 4
����i ��arm� `k�L���$�!�A������P��������������������8 ��������������������������������������������������������������������
�5��=���$��� !����%� !��$���� ���8��F�P�������8� ������[����������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��O$����L� ��� `aj� r�m�� � i ��`a�b�#����L��̀ j�b�)��L��m�b�;L;-��L����!������ ���!������������8�����8� �P������������������������������������������������������������������������
�5��,���� km�� �� `ar�� ��� ��������$��� �"� F��� ���8� ������L� � �� `a�b��#���L�km�b��L#��L��k�b�#'���� � �̀b�#'�L�k��b��7;���L�̀ r�b��7���\������������������������������������������������������������������
�5��>=(� U� �����"�������%� ���8� ���������� � ����L� ��� �8� L� !�� �8�&M�%��� �������&� ���8� �����L� ������ #��L��!������ ��L� ����� ������ ���A���������8 �����������������������������������������������������������������������������������������������������
�5, ���������>rL�!�����G���%��$����PA���� >� �����"�������8�� ���8� ���P���>=(L��������L���L�� �������������=(� U� 'L)� ��� ���� � ����L� ��� !���P���� ���8� ������ >=r� ������ -L�� �L���%����!����������8� ������>=(�
���������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��O$����L����`ar� kl��������P ����L����`a�b��#'���L�k��b���L���L�ar�b��L-� �L���%���������!�����P����F������8� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����(� !���M�&� ����� �� �� ���%��� !�P��%�����8� ����������������L#��L��L+������L'���
5��=������"������������8� ����������P����������������(�� ������ �������"������� ����������"�������F�8�����8� �����\���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
90
Глава II
Образец большого суммативного оценивания № 1
�5�*�%�������������������������>���=[�̀ BU_��#L)C���aB�;�L�C�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�@�������������������� ����L���������!����an���� G�[a > 0 a < 0
n чётное число n чётное числоn нечётное число n нечётное число
an
0 an
0an
0 an
0
�5�,���������"��$�!�A����������������������"�%��*�!�A�������!����������%���������%����"�[
7
15� 2
5
24� 11
18� 1
7
16� 9
21�
�5�����"��$�%��!������������������������"�����"��������������"�[
�LB'C�b ;L�7B�C�b �L;�B�C�b ;L+B'�C�b
�5�=�!� �������� ����[�#LB-C�f���L;B#C�U�7LB���C�b�
�5�����%��"������������8���8 ��B��������C[
A
B
O
AB
CM K
N
O
��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��������
�5��@��$���E>L�lj���/=�U�"����������8� ������/lE�B��������C��*�%�����8 ��l/=L�/=lL�l(E�!���� ����L������klm�b�))�L��km �̀b����[����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��������������������������$����A����>����8� ������>=(�B��������C�
A
B C�������$
91
Степень с натуральным показателем. Конгруэнтность треугольников
5��i ��� ������������8� ������"������L#��L��)#�������L'����L����������� ����!��� ���F�������L�� ��������!�������������\
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�G5�H!��������������[B�6C2 : 210 + 38�[�B�2C4�U���'�� 253 : 55 = ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5��?��� �� ��� ��';;����������"�����8�����������������'z���!�������� ���%���P���������$���8�����$� �';z�������! ����%�������(�� ��������8�"�������������?����� ������$�'� �\
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5��*�!�A��������� �������8� �������>=(���/lE�!���� ����L����� `a�b�-�������L�kl�b�#����L�lm�b�-L���L�̀ j�b�)'���L�km�b�;L)'����
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5������ ����L����������$��8 ��������"�������8�����8� ������������';�L���%�������8����8 ��
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
92
ГЛ А В А I I I
МНОГОЧЛЕН. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
C���)��� !"������)����� D�� =��'
2.2.1.
A���
�$$
$5J
�� �
"���
5C
���)
���'
>*�
�*��
)�#�
���
!��#�5�5 /��8�� ������8���������%���� �
2.2.1. !��#�5�5( ����������8�� ���� �
2.2.1. !��#�5�5=�����������8�� ���� �
2.2.1. !��#�5�5H�������������� ����������8�� �� �
2.2.1. !��#�5�5H������������8�� ����������8�� �� �
2.2.1. !��#�5�5��$ ����������8�� ������������� � �
3.1.2. !��#�5�5���!������ �������� ����� �
3.1.2. !��#�5�5,� ��������$���!�!� �� �
3.1.2. !��#�5 5(��������%�!��!������ ������$�� �
3.2.1. !��#�5�G5I���� ������������ �
2.2.1. !��#�5��5?��������?�����������!���"��$������ �
2.2.2. !��#�5��5J���%�������������������%�!��������% �
#�����L�1.3.1. !��#�5��5>"� &����!�8��A��� �
#�����L�1.3.1. !��#�5��5@���� �����!�8��A��� �
����������"� �
@"��$����� �8����������8�������������p�' �
93
Многочлен. Серединный перпендикуляр
Урок 3.1. Многочлен и его стандартный вид
C���)���1� ������� =�!� ���� ��%���� ������L�����������������������������8�� ������E�����������"����1X�������8�� �����!�����������������������.K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 N������������ K�8���L�������������� ��������"����L� ����������� F�P�������!�&����B� ���!� �$����������������"P�����C��H��M����$��������F����K�8�������$�������R@���� ���S��*������������ ��������M����$�P!�����&�����������x3 + 2x2 + x�f���������$���&���������� �8������B����� ����C���� ����!� ���������� ��������F������������������%������"��������8�� �����
����G���� ���������8�� ��L��8��� ���L���P������%� ���L� �������� !���"���� ����� ����L���!�������8�� �����H��� ����G����"���������"Q��������� =�!� ��&�� �"��$��� �� ���������� �����
B����)��������#�> ��*���[� E��� !���"��$���� �� �������%� ���� ���8�� ��� ��P��������8������\
, ��!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5 8C�'a�g�#b2�U�;L-b�g�#b2�U��ab�g��b + b�g��b2�U���b�20ab2�U��L�b3�U�6ab2 + 3b3�U���b��#ab2�U�;L�b3�U����(�!�������8�� ����U��L���"����%�� ���U��.!*��M�������5 H��M����� 8����L������%���" ��P����L�!�������� ����$��!���P��&� � !���M�&� !����������� X���� ����� !���������� �� !� �������� ���8�� ��������$�!����&��� ����!���"��$�&����8�� ������� ��������������L������� �&�$��������������������E����%�� 8�������������M����L�!��������8����!� ���������� ���%�8��!!�.�C a2�U�a�f�#L����E����%����M�%�������!��������%���������!���� &"����� ���
�� ���*�!�����: a�b�U_�'L�BU_�'C2�U_��gBU_�'C�f�#L���b��+#L����X������!� ����� ���%��%�� 8�����
�C��*������������%��������!� ������ 8���������� ��������,�"�� ���������"������� "��� $�!����� �� ����� ���"�� B!���� ����� � �� ��!���� ����� �"�����������
87
ГЛ А В А I I I . МНОГОЧЛЕН. СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР
3.1. Многочлен и его стандартный вид
Многочлен, стандартный вид, алгебраическая суммаДеятельность
�5 ����������� ������������������������������������� ���������������������������������
xx
x
x 1,51x 1x
2 21,5
�5 ������� ��������� � ���������� ���� ����! "�� ��������� �� ������������!#�������������� ����������
�5 "��������������������������������������!
Образец
$������ ����� ���������� %&'ab( )a2( *+,,b3c( -9E.+/b� ��������� ����������������������0�� ��&����3�����������������������������
3��4�%&'ab:)a2:;*+,,b3c<:-9E.+/b.=���������3������������/����������>����������������&-9E.+/b&�����������������
?��������������������������������������� �"�����@���� �S����"��#�>���>��������������&�����������������3������A����������������&������������� ���������������������A��&����-
B�������������*�����A���#�������Ca:'b :;*)c<���������&�������AD�����������&������A��"�����;�� ���S
�"�������������*E����������&�����D�3��������������F������������������������������)��"����&������������*��Lg"����.
Деятельность>������3��� ��3��������������Gb5*':E.+Hb4:Hb2*,,b:I&'H:E.+;*+,'<b:,H��5���������������������E������������!@�������������5�����������&���������������������������&���������3�����5@������������������������;�����3��������������������<�
9 + 5 – 11 + ( ) + 15b b b b b5 2 2
+ (–10 ) 35
+ ( ) – – 2b b b5
+ – 11 + 152
Многочленстандартного вида
Многочлен
Подобные одночлены Подобные одночлены
9 – 2 5 + 5 – 11 + 0,25 ( 12) + 15b b b b b b b5 4 2
–∙ ∙
9 + 5 – 11 + ( ) + 15b b b b b5 2 2
+ (–10 ) 35
+ ( ) – – 2b b b5+ – 11 + 15
2
Многочлен
Многочлен
стандартного вида
Одночлен
Подобные одночлены Подобные одночлены
94
Глава III
���"�C�� ���������%����"���*��������� ����8��� 8������ �������!� ����� 8������ ���%�������" ��P������������R��SL��!����%�������U��������R��S.
w�����������1 x3 + 2x�U�����E����%����M�%�������!��������%�"������$�!����
!���&����"���*�!�����[�!���� ����� x� 34
L
3
423
412
27
64
3
212
123
6412 10
5
64
3⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ + ⋅ − = + − = − =− .
N������������1 100b�U�b2��E����%����M�%�������!��������%�b������$�!�����"���������&����"���*�!�����[�!���� �����b�b�;L��L��;;�g�;L���U�;L��2�b���L7#+��=��� �������8��!������������� ��� ������J����'%��#����'����)������������������1=����������$������������� ��������� �� ����� ���� �%� 8������������ K�8���� =�!� ���� F�� $������L� ���M���� �MG���$��!�����&�!������! �M�������"QG����H��� ������������������������M����!������� 8�"�������%����������� ������!���M�&�8������������K�8�������?��������������1H��� ���"�"M���!��%������������8�� ���L��8���������������L��!���L���FKK�������L���"������� ���.����������n�=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V ����$����� �!���L� � ���� ���8�� ���L� $��������� !������ �8�� ��
���������%�����H�������VV �����������8�� ������������%�����!� ���!���� G���8����!���P
����L������� ����!���$������!���L�� ����H�������VVV (������ ���� !������� ���8�� ��� �� �������%� ���L� !���$�����
��!���L�� ����H�������VW @"Q����L�!����������8�� ������������%����L���G�A�����&���P
K��������&����!���L�� �����
Урок 3.2. Сложение многочленов
C���)���1��������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�������� ���"����1� H��M�%�� ������� ���������8�� ����.K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?L�8������������K�8���L�����$�������$�������
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1/��� �L��������������� �P�������"����L�!��$���&���!���M�&����!�&P
Глава III
90
3.2. Сложение многочленов
Сумма многочленовДеятельность �5 ������������ ������ ������� ��������
x� 1
(3 + 3 + 2) + (2 + 2 +4)x x x x� �
x x� 1x+ ++ + +
�5 ���������������������������� ����� ������������� ������� ���� ������ ��
�5��������� ������ ����������� ����!�
(5 + 5 + 6)x x�
x� x 13 + 3 + 2x x�2 + 2 + 4x x�
5 + 5 + 6x x�
+
"�� �!� �� ������� ������ ���������#������� $�����%&�
�������������� �����������"���� � ��� ������ �����������-
��� �����������������#����������������
Упражнения
�5'&������������� ������ ��(x3)*x),�x3)/Y����������������� 8 ��� ������ ��� ���� ������
�&������������� ������ ��x3)/x�(x3)*x),����������������� - ��� ������ ��� ���� ������
9��� �����:� � ��������� �!�����%����!�;������������ �-
�����%����� ����<
�5=������������ ������������ �!� ������ ��>'&$?x@A&@$Ax)B&C �&$?x2@Dx@?&@$x2@x)A&C�&$?x3@Dx)?&@$x3)E&C �&$a3@*a2)EF&@$a3)E,&�
�5���������� ��� ������ ��������� �������!����>'&$(a@*b)c&@$/a)Db@c&C �&$Aa2@/a)(&@$A@/a)*a2&C�&$b3)Ab2@(b&@$b@?b2@b3&C �&$F�Ex2@F�F?y2&@$F�E,x2)F�F/y2&�
�5'&G����������@H����IJ*a2@bCHJ)K(a2)b.�&G������������� %� ������ �L@9@=�
���MJa2)b2@abCNJ?a2@Aab)*b2COJ)K(a2@?ab)Ab2.�5=�����������������������������������% �! ������% �!������������������� �*�"�����%������ ���� �������<9�� ������%����
���������:!�����������% �! ������% �!���������� �(<����-
�����������������%����������:!�����������% �! ��:� �!����<
=�������P:����!���������������������� �<
95
Многочлен. Серединный перпендикуляр
���� �� ���M����� !���$������ ��%���� ������� ���8�� ������ ����"��$�������!����"���� �8��������8 �������!� ��������8������������K�8������Y��K�8��������� �����������$����$���������� �� ������� ���8�� ����� !�� ���� �L� ���� �� �"��M��� ��������� ��� �����������8�� �������� "���
B����)��������#�>��*���[�E�������������������8�� ����\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������$��&�������"����� �������M���L���$�� G��������8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5 ��"�� �$�"��$��� ����� ���8�� ����� �� ����� ���� �L� �������!� �$�����8������������K�8�����Y��K�8��������������$����$��������B���� ����"�������"���������������������C�� ���!� �$�&����$����������!�&���. �C�B�x3 + 6x�U��C�f�Bx3�U��C������$�"����������$����F������8�� ��������8������������K�8�����!���������$��x3�U��"QG����"�����"����x������$��L�$��x2�U�! �M����"� �A�8�����������������%�x �����$��L�$������������U�! �M������ �8�����������������%��������$���
+ – – =+ + –x�
1x�
1
x�1x�
x�
(�!���M�&��$�"���������!���� ������$������$����!����� ������������������!������*������������ �L�B�x3 + 6x�U��C�f�Bx3�U��C�b��x3 + 6x�U����!*��M����� ��5 ���� ������� ���8�� ����� �� � "��� ������ ������� �� ������� "��������������� �8�����L�������!������������8�!������8����!*��M�������5�X���������!� �����8��!!�����H��M������ ���������$�!����!� ������ ���������� ������� ��������������������, ��F�8��!����������� ������� ���"�$������ n���!� ���&M����� ���������&�����������"�� ���������%��������[�nL�n�f��L�n�f��L�n�f��L�n�f�#��X�!���������F������ L�����������!�����������������%����[� n + n + 1+ n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n�f��;�b�'Bn�f��C�?����� �"��$��L� �� !� ������ !���$�������� ������� ������ �� 'L� ������ ���L�������!���!� ������ ���������� �������� �!� ���&��� ������'�����������!�����!��������!���$����������!���!� ������L�������������G��!�� ������� ���������� �������� ��� ������#[�n + n + 1+ n + 2 + n + 3 = 4n�f�)�b�b��B�n�f��C�i ��!������������!� ������ ��������G������ ����������n�U��^��n�f��^��n�f��^�2n�f�'L����������[��n�U��f��n + 1+ 2n + 3+ 2n + 5 = 8n�f�-b�-Bn�f�C��Y�������������� ������-��,��8��� !��� ������L� ������&M��� ���%� $�����������L� !��� �8�&�� 8��!P!����
96
Глава III
����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������� ����������8�� ���������������y=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V X�����������%����������8�� �����
@!���� �����������8�� ��������8������������K�8����L���������P������� �������!��"���� 8�"�������8�� �������
H�������VV ���� ����������8�� �������!�������$����� ������A�"���H�������VVV (������ �������������������8�� �����H�������VW *���������"����!��"�����������8�� �����
Урок 3.3. Вычитание многочленов
C���)���1�������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�����������"����1*��������$�������8�� ������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 /��� �L� ������� �� ���P� ������ ���"����L� !����� �&�� !�����������!�&���� � �� ��!� ��&�� � !���M�&� K�8��L���� ������ �$� �������� =�!� ������ ��������� ������� ����"Q���������M����������"��$��������P �� �� ���8�� ��L� �!���� �&� !� ������&� ��$����x2 + x� U� ��� @"Q������ ��$�� ������ ��������������$������������ �����������������������*�� ���&M���F�!������ ���"Q��������M����!��"��������������$�������P8��� �������� "����
B����)��������#�>��*���[�E����!���� ������$�������8�� ������������������P��������� ����!� ������%���$� ��\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� �����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5*������������ ��$�!����&����$���������!�����G��������P8��� ����[]C�B)x2 + 4x�f�'C�U�B�x2 + 2x�f#C�b�#x2 + 2x + 1."C�B�x3 + 3x2 + x�U��C�U�Bx3 + 2x2C�b�x3 + x2 + x�U���J����'%��#����'����)������������������1*��� ���������8�� ��������"�������� ����������������$�������8�� ���������F�%�!���������$���������$����"P
Многочлен. Серединный перпендикуляр
91
3.3. Вычитание многочленов
Деятельность �5 ����������� � ������� ����� � �����
+ ++ və +x�1
xx� x� x x1
x� x� x x1 1
1 1
�5 �������� ������������� ���� � ���� ��
��x2 � �x � �� ��x2 � �x � !�
�5 "��#� $��# %#��&�#�' ���(��������)�)���#� �� *
���� ��� )+�,��# %#�,������# ����� ����#��-
�(��./ ������#���)�# % #��������� � %���������
�5 0 %���$����� ����x2��x��� ��x2��x�!������(��� ���)����-
#����� �������� � ���� �� � � 3����� #������ � ����������
�(������$����(��(���������� � ������� �%�#4
3 + 3 + 2x x�(– 2 + (– 2 ) + (– 4)x x�)
x x� + – 2
+
+ –
x x�+ – 2
0 %���$����� ����(,�� � ���� �����(�#(�������� �(���%�-
���������� ���� �� � � 3������# ��
Упражнения�55������������ ���� � ���� �6a3 8�a����a3 6a���������� �(*
�����$�� � �������������$����
%������������ ���� � ���� ��a3 6a�6a3 8�a������������ �(*
�����$�� � �������������$����
�5�������� ����� � ����(���������$���������$�� � �������$-
������� ��4
+ +
a) b)+ + –x� 1
xx� x�
x� x� x� x
xx11
1 1
x: x:x� x�
x�
111
x
�5;����� ��������� �(+������� �� ��� ����� ������ ��� ����-
���#�,<��(�4
5��=m��� ��m�8�> %��?x2�8@� �?x2�6�> ����a3��a�!� �a3����
�5A�������4
6 + 4 – 8x x� 6 + 4 – 8x x x: �2 – 2 + 4x x� –2 + 4x�– –
a) б)
97
Многочлен. Серединный перпендикуляр
�������"�������� ����������������$��������� ����!���������8��� �������(!��"� ���� ��������� �" �8���� ���M���� !��������� ��!� ������ ��%��%� �������8�� �������I� ���"��$���!������� ����������!� �$����������L������&�"�P���8��!*��M����� ��5� �C� ���������L� ��� �"QG�� ��"�� � ��"���� �� �� ���� �$��� ������ �3L�! �M����!�����8� ���������������������������$���U����������L�! �M�������������������%��������$���U����������.
+ ++ +
(3 + 2 + 4) – ( +2) = 2 + 2 + 2a a a a a3 3 3
1
a3
a3
a3 a a 1
1 1 a3
a3 a a 1
1
!*��M�������5�������L�����!���!�������!� ����&�$������L������M����!��PA����&�!���� ����������������$����8�� �8����8�L������A����8������������8���]C� �̀f�B��y2 + 6y�U��C�b�U_�;y + 9� �̀b�BU_�;y�f�7C�U�B��y2 + 6y�U�C� �̀b�U_��y2�U��)y + 10."C�BU_)x2 + 7x�U���C�U�̀ �b��x2 + 2x�U�� �̀b�BU_)x2 + 7x�U���C�U�B�x2 + 2x�U�C� �̀b�U_-x2 + 5x�U��;�!*��M�������G5�X������������"�����!� ���������������� ���%�K������C�B7ax3�U�'ax2 + 6axC�U�BU_�ax3�U�)ax2�U�+axC�U�B'ax3 + axC�b�
= 9ax3�U�5ax2 + 6ax + 3ax3 + 6ax2 + 7ax�U�5ax3�U�ax = 7ax3 + ax2 + 12ax.8C�Ba3�U�;L��b3C�f�B;L�7a3�U�b3�U�7C�f�B;L;�a3�U��L--b3�f���C�b
= a3�U�;L��b3�f�;L�7a3�U�b3�U�7�f�;L;�a3�U��L--b3�f����b��L#a3�U��b3 + 2.+�//���������������"����[�����������������8�� ������������"��M���������P�������$����!�������"������( �"������M���L�!������������������$���L���8�����!�P����A�"����H��� ���� �����"��M���������������F�L���"��������M����.����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!���� ���������������P8��� ���������������n�=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V *����������$����!�������"�����!���������������8�� �����
*��������$�������8�� ����L���������!���"��$�����!���"���������P ����
H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!����������������$�������8�� �P���L�!� �������$� ���!� ���!���� G��������$���%�
H�������VVV (������ �������������$�������8�� �����H�������VW *��������$�������8�� ��������"����!��"���
98
Глава III
Урок 3.4. Умножение одночлена на многочлен
C���)���1�������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�������� ���"����1 *������ !���$�������� ����P� ���������8�� ������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 , �� ��!� ������ ���� �P
�����$����"�����������!��8����������� �� �$� ������� B$���� ������ !��P���� "� b� �� �C�� H ����� ���� �����
!������ ����!�����������!�&�����H��M����! ��M���� !�����8� ������ � A�����%� "� B���� �$��CL�� �����%�B"�f��C�B�����$��C��!���� �&�!������ ����������������K���� ������ �����! �M����!������8� ������L����$�!����������������P��������=���$���&���G����������!� ������������������@�����������!���������P �L����M�����!�����&�����!���� �� �������%��������������������������F��8����%����"Q������!������������������ ����������8�� ���
B����)��������#�>��*���[�E�����!� �������������������� ����������8�� ��\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� �����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�(�8 �������� �L��!���� �&������� ��������� ��L�!������&M������������������������A���F��$������L����M������8���!� �$�����K�8�����$��������"C���8 �������� �L�A������!�����8� ��������x�B�����$��CL�� ����U�Bx +
�C�B�����$��C��(�����! �M���%�!� ��������!�����8� �������B�8 ����������C�"����x2 + x2 + x + x + x + x + x + x = 2x2 + 6x.
(����8�%������L��8 ����K���� ��! �M���L��� ����"������� �����xBx�f��C�( ������ ���L��xBx�f��C�b��x2 + 6x.����������!�����!�������8������� ����!���� �&�������� ����!���$��������!*��M����� ��5 ��"�� �!���� ��� ������� !���$�������� !�� ��P��� �L��������!� �$������� �������$��������K�8���L������P��&M��������� ����X���������&��8��!!�����C��xBx�f�C�b��x2 + 6x. !*��M����� ��5� ��"�� ��%�� !���$�������L� ����� ��8 ����� �� ����� !���$�����!��� ����� ���������L� ��� !������ ���M���� "����� !����� !���� �� �����������!���$������������� ��������8�� ������C
2 (4 + 5 – 2,1 ) = 8 + 10 – 4,2 .ab a b ab ab a b a b a b
2 3 3 3 4 2 4 2 2
H�F�8�����8�� ���������"����8��� ����B� ���� �C��
Многочлен. Серединный перпендикуляр
93
3.4. Умножение одночлена на многочлен
Деятельность �5 ���������� �������������������"��������"���������� ������������
��������������������������������������������!���
x+2
x
1 x+2
x
x 11
x xxx" x" "+ + = + 2x x x x
�5 #�������������$�����!���%������� �����������$���� ��� �&��������
'�*�x-x����/������� ����������$��%�������$�6�� ��7������������
�$���������9
�5 ����������� ��: ����� �6�������;��� ��������� 7���� ���������
����������������9�7����������������6�� ��������9x + x( "x + 2) = 2 =x x + x x 2∙ ∙
>���$����6��������������������������������6������������
�6�$�����������������������������$������������ �����������-
��������������$��
Образец
@�������������������������ABCa2�����;D����-Ea3�A�a���F/�
3��4�ABCa2-Ea3�A�a���F/�*�ABCa2�G�Ea3�A�-ABCa2�G�a/���-ABCa2�G�F/�*�ABF�a5���Ca3�A�Ca2.
Упражнения�5������ ��� � �������� �$�������� �H� � ��������� ���!��� �$D� �� ��H
�����������>����$���6������������������$D��$�6�� D9�
x
x
xx
x
xx
x
x xxx"
x"
x"x"x
x
x
x xx1 11 11 1
x xx xx"x
x 1111 11a) б) в)
�5�@����������������������������������K
L/��x-x���E/M� � �/�x-Cx���F/M� � �/�Cx-x����/��
�5��@D�� � ���������� �� ������������ ��������� ���$�N!��� ��������
����6�� ��������������������������$�������������������������
L/�O-�x���P/M �/�Cm-m���Q/M �/�-b�A�FF/�G�RbM�
�/�x-ABCx���S/M �/��x-Ox2�A�Cx/M T/�-FUc5���c3/�G�-AB�c2/M6/�S-a2�A��a���S/M �/�ABFUx5-ABEx3�A�Cx2���O/M �/�n2-Pn3���FFn2�A�F/M
�/��ab-Ea2b3���Oab3�A���Fab/M �/�ABCx2y3-ABF�F�A��xy2���U�Ox�A���Cy3/�@�������������������������6�� ��$��������������������
xx"x
x 1
x
x
x
x
x
x
x"
x"
x
x
x 1 1 1
xx" x" x"
x x xx x x
x x x
11
99
Многочлен. Серединный перпендикуляр
!*��M����� ��5� ��"�� ��%�� ! �M���� ����L� ����� �� ! �M���� "� �A�8�� !��P���8� �����������! �M������ �����8��!�����8� ��������! �� = 4?Ba + 2bC�U��?�g��b = 49? + 8:?�U�#:? = 49?�[ 4:?�\�4?Ba + bC. i ��a= -��L�b�b�'��L�?�b���������A�"���[��;;L�������M����� �����: a�b�-�g��;;�b��);;���b��)��Lb�b�'�g��;;�b��;;;���b��;��L?�b���g��;;�b�);;���b�)����?�8����! ���= 4?Ba + bC�b�#g���g�B-�f�'C�b��')��2
����� = 4?Ba + bC�b�#g�)�g�B�)�f��;C�b�)�#��2. �����[��')��2L�)�#��2.
!*��M����� ��5�Y�� $������������ "��� $���������M������ ������� ����A��8��$�������!*��M�������5�=���A���������������!������&��!���� ����������������� ����������8�� ��L� ���������������������8�� ������C�)�f�B��U�#xC�f�'�b��B��U��xC
)�f���U�#x f�'�b���U�7x9x�U�#x�b���U���x�b�U_�������[�U_���
�C�;L�'Bx�U�#C�b�7L7�U�;L�Bx�U��C�;L�'x�U�;L)�b�7L7�U�;L�x�f�;L�;L�'x�f�;L�x�b�7L7�f�;L��f�;L)x = 24.�����: 24.
����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������"���������������� �����������8�� �������������n�=�!� �����!����� ������'#������������������H�������V X����������������������!���$������������� ��������8�� �����H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� ����������� !���$�������� ��P
��� ��������8�� �����H�������VVV (������ �����������!���$������������� ��������8�� �����H�������VW O!� �$������"����!��"��� �������������!���$������������� ����
����8�� �����
Урок 3.5. Умножение многочлена на многочленC���)���1��������=�!� ������%���� ������L������������������������������8�P� ������E�����������"����1*������!���$�����������8�� ����������8�� ��. K��������'1��� �������L���"�����8��!!�������!����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L�K�8�����$�������
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1, ����!� ����������� �������$����"������������!� �$�P���������� �L��� �������$�����������!������M�����������H��M�����!���� �&�!��
a b+ 2
дача
2b
2c
4c
100
Глава III
���� ��! �M����!��������8� �����������������B�x+�C��� Bxf�C������������K����� ������ �����! �M����!�����8� ������$��!�����&��8����������������[�Bx�f��CB�x�f��C�b��x2+ 7x+ 3.=� �A����������������M������!� ����������P����������������� �������������L�����!�� ������!����&��������$� ���%�������������������L����PM������ �&�!�!������$����!������ �������������� !���$�����������8�� ��������������"�������������P� �L���!��� ��L�!���8�������M�����
B����)��������#�> ��*���: E��� ��������!���$�����������8�� ����\
H��M���� � ��� ��!� ��&� $������� �$� ���"�����8��!!����� ��!��������"����!� ����$�������p��L������L����"��������P$����#�8��!!��!���P#����������������%��X��������� ���������8��!!�����E������8��!!����������������%� ���� �� �!����� ��� !���$�������� �� �����P� �L����������$�������!���$�����������8�� ������!����� �&L�!���������� ��E�#���)����#��#����'��)����1
!*��M�������5� 8C�=������%����� ��A������!�����8� �����������P��������8�� �����Bx + �CL���� ����U����8�� �����B�x f��C��(�����! �PM����%� ��$����&M��� ������ �������� �� !�����8� ������� ������������8�� ���x2 + x2 + x + x + x + x + x + x + x + 1 + 1 + 1 = 2x2 + 7x + 3.
( ������ ���L�Bx�f��CB�x f��C�b��x2 + 7x + 3. !*��M�������5�8C���"��!���������� ��!���$��������B�x + �CBx�f�C��$�"��$���!�������8� ������A�����%�Bx�f��C�B����$��CL�� �P��%��B�xf�C�B����$��C��(�8 �������� �L�B�x�f��CBx�f��C�b��x2 + 7x + 2. ?������ $�������� 8��!!�� �� ���� !�������� ���� �� !���$�������� ����� &"������� �������!� �$�������������%�"���8���!*��M�������5,��������� �������K������������������"���8�������������$��P�������� �L�!�������$��������8��� ���$�� �8���� ���P��L�������8���������������� ���������;��L������P8�&�U����#;����@���������������� �L�! �M�������� ��� ���$��P �8�� �� ������ �!���� ���� ������ ���&M��� ���P8�� ����[�Bx�f��;CBx�f�#;C�b�x2 + 70x + 1200.
�����: x2 + 70x + 1200. *�� ���&M��� ������ !���$�������� ���8�� ������!���� ������� "���B� ������$��������!��� ������� ����C� � �!� �$�������� !���� �� �����������!���$���������������� ����������8�� �������� ������
Многочлен. Серединный перпендикуляр
95
3.5. Умножение многочлена на многочлен
Деятельность �5 ������������ ���� �� �������� ������������� ����������������
������������������������x��������x����
�
x x1 1
1 1 1
1 11 1
x
1
x + 3 x
x x
x x
1 1
21
x + x x x( 1) 3( 1)2 + 2+ +
x x
x x
x x
x x
x x
x x
= +
�5 !�������������"#�������������������������������$"%���� �������&��-�� '�*�,�.x����/.�x����/ �0���$"���� � ����������$"��� �����.x����/.�x����/���x.�x����/����.�x����/4
�5 5"%����� �����$ � �� ��$%� ��$�x��������x����#�����$�������� �� �$������$� ���#���"$� ������� �����
( + 3)(2x x x x x x x x+ 1) = 2 + 1 + 3 ∙ 2 + 3 ∙ 1 = 2 + 7 + 3∙ ∙2
�5 5"%����� �����$ � �� ��$%� ��$�x��������x����#������$����$�����9�� �!� �$��"#��� ���������� ��������"��%� ���$%� ���.�x ���/#����% ��" �����$ � ����������
x + 3
2 +x x2
2 + 1x
6 + 3x
2 + 7 + 3x x2
x
+
0��9"��������������%� ����������%� �#��� � ������"��%� ��������������%� ������������������"��%� ��$������������%� ���������������� -9���% �����������% ��"������$ � ��� �
Упражнения
�5��:���;�� � $"��� ���� ������ �� ����"�� �������������$� ���"��� �����-9���'
x
11
11
x
xx
x<x
1 1x
x
x
x<x< x
111
xxx
xxx
x<x<x
1 1xx
x
x
x<x<x<a) б) в) г)
�5�������� ���� ������������� ��������$ � ��������"���$%� ��$ A/�.x����/.x����/B� 9/�.x����/.x���C/B� $/�.�x����/.x����/B� �/�.�x����/.x����/B��/�.x���C/.�x����/B� D/�.�x����/.x����/B� �/�.x����/.�x����/B� �.x����/.x���E/ �
�5��N��#��"��#��������5������)������1�������)���(�������!�������������������5"� ��� �� �������� �F�"���$������$�����������������B�� -�������������"���������������$�;�����������#���������������� ���������������$������$����������������� ��������� G��� &���"#� �������� ���� ��� ����$ � ���� ��9"�� �$���$%� ��$
x< x<
x xxx
xx
x x
11
x
11
11
1
x
x< x<x<
x xxx xx
x xx
11
x
11
1
x
x
x
1200
40
см 40x
30x
30 см
101
Многочлен. Серединный перпендикуляр
���"�����!����������"��$��L������� �A��������������������������F���$���������H��M���L��!����������"��$��L���8���������� ������!� ����$��������H��� ��!������"����������!��� �������!*��M�������5�������L�����!���!��������� ���&�$�����������������L���� �P��"��$����8���!������B'x�U��CBx�f��C�U�Bx�U��CB'x�U�#Cb�'x2 +15x�U�x�U���U�'x2 + 4x + 10x�U�-b
= 28x�U����b��-�g� 217
U����b�#7�
�����[�#7����$� ��L�!� ������%�(������L��������!*��M������ 5�H!��������������[]C�Bx�f��CBx�U��C�f�B#�U�xCx�U��x = x2�U��x + 3x�U�7�f�#x�U�x2�U��x = x U�7��(�8 ����� ���&��!�����������"�����!���� ��L�!���������$��������"�$�������������������� ����"����������: x�U�7�b�a��*�%�G��"��$�F�8�����������?������"��P$��L�� ���x = a�f�7L�$������������������"�����������."C�xB��U��xC�U�Bx�U��CBx�f��C�f��x2 = x�U��x2�U�x2�U��x + 3x + 9 + 3x2 = x�f�7^
x + 9 = aL� � x = a�U�7��C�x2B��U�xC�U�B��U�x2CBx�f��C�U�#x2 = 3x2�U�x3�U��x�U�� + x3 + x2�U�#x2�b�U_�x�U��^
U_�x�U���b�aL� � x a=−
+22
.
8C�Bx�f��CBx�f��C�U�xB'�U�xC�U��x2 = x2 + 2x + 2x f�#�U�'x + x2�U��x2�b�#�U�x.i ��#�U�x = aL�$������������������"����������a.
�����[�]C�x = a�f�7^� "C�x = a�U�7^� �C� x a=−
+22
; � 8C�x�b�#�U�a.
+�//���������������"����[��� ���� �������$��%������� �"������M������P������$���!������������ ��!���$������������ �����!��������8������������K��8��L��� �������$���������*��������������� ��!���$�������������� �����������PM�������&�8����������%����������%�!���$������&����� �������� ��F�8��������������&�� 8�"�������%�!��"������������!���$�����������8�� ���������?���� � ���������1 H��� �� �"�"M��� !��%������� �� !��"��� �����������!���$������������8�� ���������������n�=�!� �����
!����� ������'#������������������H�������V X����������������������!���$�����������8�� �����
����$�������� ���8�� ����� �!���� ��� !�� ���� �L� $��������� ��%��!���$������������8�� ������ 8�"���������!��"���
H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!��������������!���$�����������8��� ������,�!������A�"������"�$���������� ��!���"��$�������!���"���� �8��P����!��������������!���$�����������8�� �����
H�������VVV (������ �����������!���$�����������8�� �����H�������VW O!� �$������"����!��"��� �������������!���$�����������8�� �����
102
Глава III
Урок 3.6. Разложение многочлена на множители
C���)���1��������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�����������"����1��$ �8������8�� ���������P��� �. K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1=����� ����L������%������"����L�!�F�!����"Q���������M����!���� ����$ ������� ���8�� ���� ��� ������ �� !��"���8��!�!�������� =���� � ���M����� ��� �$���&�������� ���L����������� �&����8�� ����=�� �PA����&�� ��� ������� �"� F��� ������������ =� ���P� ������ �MG� ��$� �"���&� ��� �"��$��� ��%��&���$� ����������� �������������� ��
B����)��������#�>��*���[�E���!����������$ ����������8�� ������������� ��!��"���8��!!������\
X��������$����"����L���!� �������8��!!���L�!����� �&���$���� �������$ ����������8�� ������������� ���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� ]C� (����� ! �M���%� �������!�����8� ��������������������������������������!�����G���8�����8�� ���[�a2 + ab + :? + 9?. (��������!�����8� �������! �M���&�ab��� �&P��a���bL���������!�����8� �������! �M���&�:?��� �&��b ��?L���������!�����8� �������! �M�P��&�9?��� �&��a���?L� �����%����������! �M���&�a2 �� ��������� a��?�8�����������!�����8� ������>=(r��� �&��Ba + ?C���Bb + aC��( ������ ���L�Ba + ?CBb + aC�b�a2 + ab + :? + 9?."C�����������!�����!��$�!�A���� ������8��!�����8� �����[
Ba + @CBb + 2aC�b�ab + 2a2 + :@ + 29@�!*��M�������5� X���������!� ����� 8��!!�����E�������8��!!���������� ��� ��$������8��������8�� �����, ��!�P����������� ��� ��$������8�����8�� ���� �����������$P�����!�����8� ������B� ���������CL���������&�M�������� ����L���� �&M���F�����8�� ��L����"��K�8���L��"��$�&M�����L�"� ��!�����8� �������
Многочлен. Серединный перпендикуляр
97
3.6. Разложение многочлена на множители
Деятельность
N���� �� ������%� ������������ ��'�5 O����������� ����������$"��$�����%� ����ab���2b#��$�������������� -
�"���$������%� � �ab<�bI�a<�4�P��������9���������� ���$�����%� -����6����64�!�������$�$#����;�� �G�������%� �"�$����9���
�5 :�����$�����"�������%� ��$�$�� �^ab<�bVI^�a<�V#��9Q����� #����� �� ���$� �$"�����$ �� �5�����������9� ��������$"�������� ���$"� ��-� ������9� �5�G������%� #�������$������� ������� �$"��� �� 4
�5 R������������� � ��������������� �" �$�$"��� ����b^a<�VI�^a<�V4�O����������� ����������$"�4�
�5 P���������� ���^a<�V�$"� ���������9��#����� �$"��� �� �$"����;�� �$��������9��4
�5 R�����$ � �����������$%� ��$������������% ��� �$"��� �� 4�O���$"����$F� �G���� ��S��4�T9����� ��$�����$ �
�� ����$� �� ������%� ���$�$�� �����$ � ����� ��������������%� ��$�
��"$� ��������� �� �������%� ������������ ��
ОбразецN������ ���������� ��������%� ��acIbd<bc<ad.3��4��5�������������%� � �������� ������%� �"����������$"���.�9-
����/������� ����'�ac+ bd– bc– ad\ac– bc+bd<ad�T9���������� ���$"� � �������9�'��9���������� � ��$"��� ����ac– bc��$�� ���������� ���c#���$�$"��� ����bd<ad�U�G��������� ���d�N�������� ��������)���!������(a – b) ������)����!�������������&�]#�@]T �c(a – b)�U��:��;��<��5�G����$"��� �����9���������� � ���$�� �����$%� ��^a<bV �P���� ���$"� ���������9�#�������%���(a – b)(c – d).R���#������9����������$����"���������������%� ����������� ��'ac�+ bd�– bc�– ad�,�ac – bc�+ bd – ad ,�c(a– b)�– d(a – b) >�:��;��<:��;��<�
!����9#��������"��$��9��S �U�G�������� �� ������%� ������������ -��������9����������$��
Упражнения
�5��O������� �������������%� ��$�������������#���������������� �5"�����$�
����$ � �� ��$%� ��$#���� � ��� �$ ��������� $ ��������$ � �������� -�� ������%� ��$���������� �� �
J�� �"��� E����M��������M����� (���� i������x^bIcVI�bI�c .x���C/.b���c/
2c<�dIp^c<dV .��U�c/.p�U�d/
mxI�#I�xI�# .m���V/.x ��y/
A
D C
B
aba a
bcc c
b
b
a�
ac
a
a
x�
x
xy
y
xy y�
x
y
103
Многочлен. Серединный перпендикуляр
"C��, ��!������������ ��� �����8�� ����x2 + 2xy + y2�������������������������L�����������8���$��������"� ��"��������xL�������8��U�yL�������!�����8� ����������������x���y.
E��������L��"��$���������������������x + y�� Bx + yCBx + yC�b�x2 + 2xy + y2.!*��M����� ��5� , �� ��$ ������� ���8�� ���� a2 +7a� f� ��L� �����8�� ��� ������L� ����������� ���M�������"���!���� ���?��L������ ���+�����"�������!���������������������������� �����������"��$��L���"��!� ������������� ������� ���"M�%������� �� � ������ ����� a2� �� ���� ���� ��!������ �� ����� +a = 3a + 4a� !� �������"M�%������� ���*��� ��$�!�����������+a = 2a + 5a��"M�%������� �������L������8�� ��������$�������"������$ �������������� ���J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1 =�������� ���M���� �� ����"����"��M�����������������f�#�b�+�����g�#�b�����H��� ���� ������������������������� M���L�����!�����$ ����������8�� �������������� �� ������!� �$�����F����%������FKK���������Y����%���!������������!����������p�+���-.!*��M��������5Y��$���������!� ��������M�������� �&��������8��!�����P�������H��M������ ����!����� �$������������� ���!����%����������8�� �����X����������!� �����8��!!����aC�)a3�U��'a2b�U��#ab�f�{�b�B�a�U�'bCB... U����C�E����������$�F�8��$������L�������������)a3�U��'a2b �"M�%������� ���a2.3a2B�a�U�'bC��X�����������������U_�#ab�f����������������$���������� ��B�a�U�'bC��X��!��A����������U_�#ab = 2a�g�BU_+bC��E��������L������������L�U_�#ab�f��������������� ������$�!�������%������ ��L���"��!������������$����"�������8�������� ��BU_+bC���������"����� �������� ��'b��( ������ ���L������������� ����"���$��!��������� ���BU_+b�g�'bC�b�U_��'b2��,�%��� ���L6a3�U��'a2b�U��#ab�f�BU_35b2C�b�3a2B�a�U�'bC�U�+b�B2a�U�'bCb�B�a�U�'bCB�a2�U�+bC�������������!�����!����$ �8�&����������� �����8�� �����$����8���!������"C���x3 + 42x2y�U��;xy2�U��'y3 = 6x2B�x + 7yC�U�'y2B�x + 7yCb�B�x +7yCB)x2�U�'y2C^�C��#m4�U��-m3�U�#mn3 + 3n3 = 6m3B#m�U��C�U�n3B#m�U��C�b�B)m�U�n3CB#m�U��C^8C��)y5�U�'#y4 + 10y�U��'�b��-y4B�y�U��C�f�'B�y�U��C�b�B�y U��CB�-y4�f�'C�����?��������������1H��� ���"�"M���!��%�����������$ ����������8�� ��������������� ������������n�=�!� �����
!����� ������'#������������������H�������V X�����������$ �8������8�� ������������ ��H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!�����$ ����������8�� �������������� ��H�������VVV (������ ������$ �8������8�� ������������ ��H�������VW O!� �$������"����!��"��!�����$ ����������8�� ������������� ��
104
Глава III
Урок 3.7. Перпендикуляр и наклоннаяC���)���1��������,� �����$���!�!� ��L�������������%�!��!������ ������$��L�"���������8 �������8� �����!���������E�����������"����1@!���� ���!��!������ �������� ������K��������'1�� �������L���������� ����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 *�� ����� ������ !���$P�� �����!���������������� &"�������L����!��P��� ���M����%��H��� ��!����������M����!����P������$�F��������!����&L�!������&M�&������&�!����&L���!�����&����!��������&M�&������&�!��P��&�� H���M����� ���!� ����&� $�������� �� � ���&�!�����G�����!��������@!������� �&L��������$�������P ����!���!��������� ����L������������� ����%����R��������"�����[�H��� ����G���K������&������ ����%L�!��!������ ���L�������������������!����%��,�����M�����������L����!�������%�!��P!������� �������!��!������ ����%�!����%��� ����������B����)��������#�> ��*���[� E������ ��"�����P������" ���&���� ��������!��!������ ��L�!�����P�G��������!����%\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$����������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5 ������!� ������$������� ��������������������L�������P��&M�%�� ���&��(�8 ����� ���&L��$������>�!����������������������� �������Y�� ��� ������ �� ���� ��!� �8���� ��L� ���� !���$���� ��� �������� ���� ����
>=� b� >(L� ���8� ����� >=(� U� �����"�������%�� O$����L� ���� �̀b�);°.�?�8����a�b��j�b�B�-;°�U��`C�[��b�);°��( ������ ���L�¡`aj������������������%L������=(�b�-���
�����[�-���J����'%��#����'����)������������������1H��M�%���� ����!����L����!��!������ ��L�!�����G���%��$��������!��P
��%L��� �������������������������F�%���������!����%������������$������%��������$������%�!����%�!���������L� ������ ���L����������!����%�������!��P�������������%�!���!������ �������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!��!������ ���������� ��P���L�!�����G���������������!����%��
Глава III
100
3.7. Перпендикуляр и наклонная
����������� �� �������� ��� ����������������-����������������� ����������������������������� �����������������!���"�#$%������"�� �������-�����������"������������������&���������������' ��� ����� ����"�� �� ��������� *��*��)�#�������������������� (� � ������� �� ���"��������)� ��� -"� � "�������������*��+����,��� ������ � ��������������"����������������/ �����+0�����"�� ��������S������ � ����������������.
1 ����������������� ����������� ��� ������)������������� �������� � �����+������"�� ����#�����>����"����������� �����������������&�����)���-��"�� �����������������������)��
1 ���������������������"���������������������"������������������������"�� ��*���#���>����������������������������#(i��������*���#���>��#�����>@(��*���>���
2� ��������������"���������� ���������������� ��(3�����������������"������!�����' ������ ���������' ������������4��)565�+
a
A
HB
������
Упражнения
�5��+��� � �������m���� �� ( �� �����7���������������������1 � �����7���������m���"��� ��������������������������8�������� ' ���� ����"�"�� ����� ������� � �����7���������m9
�5��1���"�"��(�����������:�������� ���������-������4�0����������; 0�����"�������������;"0�����������;!0�����"����������������;��0�����<������������;�0����� ������ � ����������������.
�5��+��� � ���0��� ��!��(����� 0�����!��(�����"0� ����!��(���� ��!��(-������=���� ����� ������ �"�3���������!���!���' �!�� ��!��(���������� �"����������� �����
�5��>���������!��(�����?����@�����������A�"�?����� ��(3���+���� ����� �-����� �"�3�������!��(���������� �"����������� ����
�5B�����������!��(��!�����������������A�*:�����*C������*D�:�����1��-���� ����� ������ ��!��"�3������E ��
�5��1 � ������������������������������������"������:����!�'� ������-���������� ����������������!���"�D$%��1������ ����� ���������������"��������������������������������������A�F����
a
A
BC K E
������
a
A
B C
60�
105
Многочлен. Серединный перпендикуляр
����������n�@!���� ����
!����� ������'#������������������H�������V �����!��!������ �������� �����L�����������$ �����H�������VV @!���� ��� !��!������ ��� �� ��� �����L� ��!����� ��$����� �����
�A�"�������"Q���������"�����%�H�������VVV (������ ���� �!���� ��� !��!������ ��� �� ��� �����L� �"Q�����
��"�������H�������VW @"��������L� !�������� �� $�������� ��"������ !��!������ ���� ��
���� �������
Урок 3.8. Деление отрезка пополамC���)���1��������,� �����$���!�!� ��L������P��������%�!��!������ ������$��L�"��������8 �������8� �����!���8��������.E�����������"����1,� �����$���!�!� ����!�P��M�&������ ��K��������'1�� �������L���������� ����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 ,��� ����L� ������� �����"�����L���!� ���������������M�����H��� �������� ������L��������M�����!���M�&������ ��"�����!���� ����������������$���L���!��� ��������8�����M�8����H��� ����������������������������������$���!���� ���������!�&������!���������������!�����������M����������!� ���������� ��������"��������"������������������$����@>���@=��H��� ��!��A���������������M�����"�@>�b�@=��=��������!����������������������������8� �������̀ rj���ajrL��!���� ���L�������8� �����>=(�U��������"��P������%��?�L����(@��� �����������%L��"�������������M������=�F��� �����!������"������������ ������������!���� G�������!��� �����
B����)��������#�>��*���[�E�����������$�� ���!�!� ��������$��L���$��MG���%�����$����!�$�����L��!���M�&������ �\
(��� �&�!����������� ��������������%����M�%����������� ������!� ����$����P�����$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�!� ����F��$������L����M���� ����������������$������8�P���$��� ���L��������� ���L�����$�� ����8��!�!� ����!���M�&������ ����L�����F���� ����!���8���$��� �������!� �������
Многочлен. Серединный перпендикуляр
101
3.8. Деление отрезка пополам
Циркуль, линейкаДеятельностьi�g�M)��������)����>��"#������#�1�5�������������� �����������
�5��������������������������-
�� ��������������������-
������� ������ ������ �� �
����������� � ���!"�����#
��������������������$
�5�����##�����#�������������-
��������#�����������������
��������������
�5%&���'�(�������&�������&�#��(���������&���������#��������)
�� ����%�*$�+����&���������#,��&�#����������� ������
�����/�+����/0���������#���������� �������1�&�&�����
�52�����!���������������������
/ �/�3�����������4�������
�55����������������������-
1�������� *%��*%32��1��,�-
����,����1�������36��#��#
��������%/!�������������-
1������� �%37���� ���� ������ ������%/�������� ���1���-
���� �%3������38���%/0��������#��#��#������/���������
������ �3
A B
A B
A B
C
D
O
A B
C
D
O
A B
A O B
106
Глава III
!*��M�������5�������������"�����!� �������8��!!����E������8��!!���� ��������$������%��%�K�8����!�!� ����!���M�&������ ����� ������ ������������!� ������������L������A���&�!� ������&�����&�K�8�����E������8��!!�����������$�����G����������!� ������%�K�8�����!*��M�������5�H��M������ ����������� ������$��������������������H��� ��F����"���!���������!� ���������� �����=� �A������������������%�8��!P!��� �������8�����M�8�������L���������"������!��������F���� ����. N���������1�*����������$���kl�� ���%�����������%P��!���$�� ���%��8� �����A���%�/��*��������/E��mklL����������������/L�� ���������������$���/(L�jr���rm��*��������� ���$��� El�� X���� ����$� ����� r� �� (� !��������!�����L� !��� � ����� ���$��� El�� ?����� !���������� �P��$���/l��F����!��������"�$������>���=��O$������ ���%��%��"�����L����!�P �����������$��L������[�k �̀b�̀ a�b�al�b�#����H��M����������!���������$�� ��������!��"���!���$�� ���%����$���� ����������������������J����'%��#����'����)������������������1�*��!�����������8��F�8�����P������M�������$���������!� ��&���������� �����H��� ���� �����"��M������P�������������������M����!� �$����������� ����H��M�%���� ������$���������P����������!��������� ������8���������������������%���������$��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%�����������L����� �����!��������!��������� ���� ��������$���!�!� ����!���M�&������ �������������n���������
!����� ������'#������������������H�������V X����������� ������$���!�!� ����!���M�&������ ��H�������VV ,� �����$���!�!� ����!���M�&������ �L����$����������"Q�����
!��������H�������VVV (������ ������ �����$���!�!� ����!���M�&������ ��H�������VW ,� �����$�����!���$�� �����!� �������!�!� ����!���M�&������ ��
���"Q����L�����!���G ��� �����
Урок 3.9. Серединный перпендикуляр отрезка
C���)���1��������,� �����$���!�!� ��L���������������%�!��!������ ������$��L�"��������8 �������8� �����!���������E�����������"����1(�!���M�&������ ���������������%�!��!������ ������$���K��������'1�� �������L���������� ����J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?
A B
K
N
DC
M
107
Многочлен. Серединный перпендикуляр
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1*��!������M�������������M��������� ����� ������$���!�!� ��������������!�����!�������!�����L��� �M������$���!�!� ����?�L����F��!�������� ����������������!��!������ ��������$��L��"�������������M������, �� F�8�� ���� �!������ �&� ���� ���8� ������ >=(L������ ���&L����(@��� ����"������%L���P������%�������%��?������"��$��L��"���������L���� jr���̀ a.
B����)��������#�> ��*���[� E��� ����� �!���M�&� ����� �� ��������%� !���!�������� ������$��L���!� ������8������$����!�$�����\
(� �� �&� !���������� � ��������� ��!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�F���$�������� �� &"�%�!����%������ !��!������ ������ !������� , �� F�8��!�������� �������F�%�!����%��� �������� &"�%����$����X�����������������%�!��!������ ���F�8�����$����!*��M����� ��5� =� F��� $������� �� ����L� ���!����� ���M�%� !����%L� ����� !���!������� ��� �� F�%� !����%�� , �� F�8�� !���������� ���8� � ������� �� F�%� ����� B������ >CL� �����%� !�������� F�� !����&� ��������������X�����������������%�!���!������� ������$��L��"��$������8��F������������Y��!��!������ ���"����!��������������$������>��+�//���������������"����[�( �"������M����!���!����������!��������$��"�P��&�!� ������ ������8��!�����������H��� �L�!��8������� �����M������"������"����� ��L���8��������"��$������!�������=��������!���M��������!��F������"������ �����������M���������������������?��������������1�H��� ���"�"M��L������������������%�!��!������ ������$��������������n���������
!����� ������'#������������������H�������V X��������� ����� ��������%� !��!������ ��� ����$��� � !���M�&�
����� ��H�������VV (������������%�!��!������ ������$����!���M�&������ �L���������P
����"Q�����!��������H�������VVV (������ ����������������%�!��!������ ����!���M�&������ ��H�������VW (������"Q����������������%�!��!������ ���!���$��� ���8�����$���
�!���M�&������ ��
Многочлен. Серединный перпендикуляр
103
3.9. Серединный перпендикуляр отрезка
Деятельность
�5 �������������� �����������������5 ���������������������������������������������������-�������������������������� ��
�5 �� � � ������� ����!����-��"#$% � &$%' (��)���) �� �-
���� *+ ,���������� ����!��-
���� �*'. ��� �� �� ��������
�� ����� *+ )��)���) �����
����!������ �*' �����' /���
*+0���������� ��������
��)��*$������� �'����
�����%$�#&'
A B
A B
C
D
O
Упражнения
�51������ ��!���� �������) ��)��� �����������)��� ��)��m� ���"�)2�����������3������������4����)������2��������!�
I. 5!��6�����)���������������3������3������"������7 �������������������)��m 8����9:�
;;�3����������������,�������,������<�=�
;;;�...
�5����� ���� ���*�� ��)��a �������� ��)���� �����������)������)��a�?������������)���������!������������ �����@���-�����������������������"��)��"�
�5�����������)���b����������-�� ����� �2����������������
����� 4�� ������)������������-
���)������)��b.N���"����5 * ��2�� 6�����)������������!�6����������
� ���������2�� ��)��� b � ���"����"�
������K NMm
b
A
108
Глава III
Урок 3.10. Центральная симметрия
C���)���1��������(����K�8���L����������&�$�P������%�K�8���L������ ���������%������ BI��P�� �������������C�E�����������"����1(����K�8���L����������&������%�K�8��������� ���������K��������'1��� �������L���������� ����J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L������ �L� ���%��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 (� !���M�&� !��$������L�!��8��� ����%� ��� ���!�&���L� ���������&��K�8������$����K�����H��M������"���&��$�F���K��8�����������������"Q���&L�!������F��K�P8����� �� �&�� ������������� H��� �L� ��A��� ��L� �������� ������� �� ������������������@!������� �&�����%��������������K�8��.
,��� ����L� ������� �� ���"����L� ��!� ����� ���M������ ���� F��� ���� �"�P��&��!������&�����L����������%�$������%����������� ����������X��������� ������������������������M��������&����� ����L������&������"����L����!���� �����%������������%�K�8�����H��� ��!��A����������M����!��"�!����������K�8���L������������%�$������%�K�8��������� ����������H��M�%�L�����!�����A�%������ �������������L�
����������&�$������%�����L��� ������P��$�����G����������!��������K�8���L����������%� $��������%� K�8���� ����P� ���� ������ H��M�%�L� ���� !�� ����P���� B���A����C�������K�8���������!�P
�����K�8���L����������&�$������%�K�8���L������ ����������X�������������������M���������������������������������������������������������������. `s�b�̀ 1sL� as�b�a1sL� js�b�j1sL� rs�b�r1sL� �s�b��1s�
B����)��������#�>��*���[�E��������K�8���L������������$������%�K�8��������� ��������\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5 E �� �� ��� ��� �� 8��!!��� E������ 8��!!�� ��!� ���� !���L�$������%��%������$��������������������������!������������������� �����
AA
a) �� ��
A
Глава III
104
3.10. Центральная симметрия
Деятельность
�5 ������������������� �+�*�������4��������)���A O
�5 A�������6�������������������+ ������+�� �������)�������B#
1DB#�
A O A�
A O�5 ��� ��������,������"+ �B#
1'����� �����@����������
+�3������� ������� �#1�������������+'
?��� 1��� �2�)����)�����"�)2�����������+� ��������-
��)�2�)������+ 1D+ ����������) ����� ����������� ����
�������������+�?��� + ���������)������ ������� � ��������) ����� �����-
������������,��
Деятельность
�5 �������@���"���������E�!���"��������������������������-�� ���������6�����+8����9:�
A
OO
O
A
A
OA
�5 ����� ����������������������������������� ��������-�����+���� ��E�!���'�����E�!�������������������)����
�������������+���������)�E�!���'
/�������������������)��,�����E�!����������������+�
�������� �� 4�� � E�!���� � E�!��� ���������) �������������S���"��>�������������+�
*�������)��������������)�������������"�����������"�����,����
F�������� ���� �� ����"� ,)"� ������)" 0 4� 6�������������-
�������E�!����
������
O
A
A�
E
D
D�
C
C�B
E�B�
109
Многочлен. Серединный перпендикуляр
E����%�����L������ ���������>L������������������������!� ��������������!� ������ ����������&���=� �A���&���$����8��!!���!� ��������K�8������!*��M�������5��"��!������K�8���L������������$��������K�8����L� �P��������� ����������@�!����������L��������������������������K��8�P����Y��$���������!� �����8��!!����
OOO
A
A�
A
A�
A
A�O
!*��M������ 5�, ���8�L���"���!���� �����������L����������%�����������8���P��$���L� ����� !������ ���$��� >>1� �� ==1� ���!������ �����������!���������L������!�����P �����������������s �̀b�s`1L�sa�b�sa1.
X�������������� ���������@�������1L��������������������, ��F�8��!��������� !������ @�� �� � !���M�&� ����� �� ��� !����%� @�� �� �������� ���$��� @��b�@�1��Y�������"������!� �8����������$���>1=1L������������ ���%���������@������������$���>=�!��������������$���>1=1.+�//������������ ���"����[� =�� ������ !�������� ����������� K�8��� ������P� ����������� ���"��$��� �"������M����$�������"� ���!�����$��������H��PM�%��WVV�� ����� ������������������L����������&������%�������X���������� ��� ��������M������ ����"�������� ����� ��������*�!�����[��������P���������������$�������������L��������8������������K�8���B����8� �������L�!������8� �����L����8�������C�������� ����F�%������!������K�8���L������P������&�F�%�K�8��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%�������������� ���%��������L������������K�8����������!�������������������"���������������&M���������A�%���$��������������K�8��������"����$���������*�����!�&�������������P��&��������������K�8���.����������n���������!����� ������'#������������������H�������V (���� ���������&� ����� ����� ���� ����L� ��� $���������
����������������K�8����H�������VV ,�!����� �A�"��� �� !�������� ����� ���� ����� ���������%�
K�8����H�������VVV (������ ������������� ������������������&�K�8����H�������VW (���������������K�8�������"������������������&�
A
B
P
B�
A�
P�O
110
Глава III
Урок 3.11. Тождество. Тождественные преобразования
C���)���1�������=�!� ������%���� ������L���P���������������������������8�� ������E�������� ���"����1 (����A��� �����������!����"���$������������������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1 H��M���� � ��� �� ������ �� 8��!!��� H��M���� !����%� 8��!!�� ����������� ����%��������������L������8�������� ��������"�����L�!���"��$�&��������������!����%�����P��L����8���U�!���������������� �������� ������P������� � ��������� ��$� ���� $�!����&�� ��������L����� �A����������������M����
B����)��������#�>��*���[�E�����M�� �&�������������!���"��$������\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5(��� �&��!���� ������8�L�����%������ ��� �������"�������!��P��&�� �� ���&���������������� ��!� �����������������������8����������P���L��"����������������!����� �&������������8�� ����.]C�=���������Ba�f�'CBa�U���C�b�a2�U�);� ���&�������!���"��$���������8�� ���
Ba�f�'CBa�U���C�b�a2�U���a + 5a�U�);�b�a2�U�+a�U�);��E��������L���!����&������������������������� �����$�!��������� ���U_+a. 8C�x2�U���x�f��;����b�Bx U+CBx�U�'C������"��$���������8�� ���!����&�������
���� ����Bx U+CBx�U�'C�b�x2�U���x�f��'��� ���%�������������������������$�!�P�������'�
!*��M�������5�������������������!����������� ��U�F��$����L����$��������F�8���������������$�������!��������%��H��M�%�L����!���$�����!���"��$�����%L��� ���� ����� �!���� ��L� ���� �"��$���� !�������� �� ��� , �� F�8�� � ���������"����%�� ��L������%�������"��$��������������������������]C�����������"����%�� ��������������[�BaU��CBa2�U�-a�f'C�U�Ba�U�-CBa2�U��a�f'C[
=�!���$��������BaU��CBa2�U�-a�f'C���"����%�� ���U_��g�'�b�U_�'L�=�!���$��������Ba�U�-CBa2�U��a�f'C���"����%�� ���U-�g�'�b�U_#;�
?�8�����"����%�� ������������[�U_�'�U�BU_#;C�b��'��,�%��� ���L�BaU��CBa2�U�-a�f'C�U�Ba�U�-CBa2�U��a�f'C�b�a3�U�-a2 + 5a�U��a2 + 24a –
�U��'�Ua3 + 3a2�U�'a + 8a2�U��#a�f�#;�b�U_�'�f�#;�b��'�������[�]C��'�
Многочлен. Серединный перпендикуляр
107
3.11. Тождество. Тождественные преобразования
Деятельность1�� �������������������8a0G:H8bIJ:09Dab0GbIJa0KL��5 ������� ����������� �������� � ���� ����� ���������� �����������!�����������������������������3�����!�������������'
�5 ������������,��,2���� ��������� ���)ab0Gb���������������������3������,����������,"����������������� ����Ja0KL��)���� ���)�!���� �����'. ���������������0HKL��������0HKM09'
�5 /�����,2���� ��������������"��������"8ab0Gb:�8Ja0KM:'1�)��!��,"����,������4������ ���)����09'
�5 N������������������������������'����� �����@����������������
A������������ �2�����������������������,�"��������"���-����)"�������������������)��M)�����.
1�)�!���,��������� ����������������� �����������������,������������ ���������������������� �������������-�����,������������ �������������������������������� ���)�,��"����� ���������������������� ����� �����
���,����������!���� ���)�� �������������������� �������������)� �������������,���������������,�"��������"�����-��)"������������� ���)��������������������������)��������-���)� ������������������� ���)���
Образец
1�� ���� �����8xIL:8x0M:I9KD8x09:8xIK:0O�3��4���,��������� �����������������������,�����������-
����� ����������������� ����� ����P
6
Q���)����� �����)�����
w�����������18xIL:8x0M:I9KDx20MxILx0KRI9KDx2Ix0GN������������18x09:8xIK:0ODx2IKx0x 0K0ODx2 + x – G+ x2 + 2x – x – K– ODx2 + x – 8�������,������������������� ����� ������������������)��)���)� �������
Упражнения153��������� ���������������K9c 8a0b:D0HK9c 8b 0a:)��)���)� ��-�����3���7��������������'�����'3����� ���4�,S)����������������)��,�'
�5�:*������������������!������������!����"�������������,��-�����"���� �����1�� ����"� ������������
,:*������������������!����������� �������������������,��-�����"���� �����? �������������'
111
Многочлен. Серединный перпендикуляр
J����'%��#����'����)������������������[�H��M��������!���"��$����� ����������������������8�%��*�!�����L������!���"��$�����������!������� ��!�����A�P������������%��*�L���$�����L�����"��M� ��������������$����������F�8��!���"��$�P�������=���������������� ���� ����������������������L����$�!���������P��%������8���������� ������$� ��������������8��!���"��$�����������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������������������!����"����$�P��������������%�����������n�=�!� �����
!����� ������'#������������������
H�������VX����������������������!���"��$���������������%�( �"��!����� ��L�������!� ��&�������������!���"��$������������������%�
H�������VV
,�!�������$����� ������A�"���!��������������!���"��$����������������%�=�!� ���� ����������� !���"��$������L� ��� ��� ����� �"���������������������.
H�������VVV (������ ���� !������� �� �"��������� !���"��$������� ���� ����P����������
H�������VW ����"��$������"����������������������"�����!��"����
Урок 3.12. Линейное уравнение с одной переменной
C���)���1����������A��� ���%�����������������P��%�!��������%L������������!�����������%�!���$��P�������� �������������� ���%������������%��������!�������������E�����������"����1��A��� ���%��������������� �����%� !��������%L� ���%���� ����������� � !���P������%�!���$���������� ��K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1� ���L���$8���������L��"����P���E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 (� !���M�&� � ���������� �!�������� �GL� ��� ���M���� �$��� ���"� �������������� H��M���� ��!�����&� $������ �$������������������$��)�� ������A�������������%��!�������������L�����������������"�������������.
Многочлен. Серединный перпендикуляр
109
3.12. Линейное уравнение с одной переменной
Деятельность�5 ����������x��� ���� �����x�������� ��������������������5 ������������������� �! "���!�������������������������������-
��! ���"���5 #��� ��"�$��� �!���%������������5 ����&������'���(������������)���%�&�"�*� �����! ������������
���������������������+�����$&���,�$��������! ��"�#������������������
/�����+�&01����ax���b+���$�����,�����������&� ����&�����-��&�����������&������3����a���4��������(��%��������,�x���b 5�a��
�5�����&�!���,&�������,�&������������� ����,����������������������
�5������0���������������,�&������&������ ���$� ������ 0���!� �+��� !�������� ,�
/�����+��������&���������������&�������$����,&��������� ����������&�� ����&�� ������0+� ��$�����,� ����&� ������&��7���&�5��"�[�:�\�?Y�[�@��� ������������
/� ��,���1�������,��'�������������%�� ����%��������,5 9������: 4���1����������������'��x���b 5�a���9������\�4;�b : 0���'�����5�x�� ��=9������\�4;�b � 4+���1�����������!���&���������'����
Упражнения
�5�>'��������,5
?9� =��� 44x���4;� �9�@x�������x��� �;� � �9� =���Ax��������x;%9��y��� A����y��� @;� �9�Ax���B=x���@9���C;�� D9�=y���BA���y9��� ;�9� =���BAx��� 9����x;� $9�B@x��� 9���B�x���=9���A;� 9�BA"����9���B�"���@9�����
�5�E��,�������&���$��������������&+��'��������,5
?9�B ="��� A9���BC����"9����F=";� �9� ����B�"��� �9���B=�����"9���B �����"9;�9� +����B"����+�9���B4+�x�� +A9���4+@;� %9�ABAx��� 9����+@x���4+�x����+A���4+Ax;�9�B4+A"��� +�9���B�=+�x����+A9���B�+�x���4+=9���B 4+A"���4+�9�
�5>'��������,5
?9�ABx���=9����Bx���@9���@B�x����9���@;�9� By����9��� 4BA���=y9���=B����=y9����F�;�9�AB�z��� 9���@B�z��� 9����B@����z9���C;%9� 4B=x����9���=BAx����9���AB ����x9����A�
�5#��� �+�!������������������,� ,0��,� ����&�������,&�����-������&����+��������������������,5�
?9�11
7
2
5=
− x; � � �9�
3
5
63
x x=
+; � � �9�
x x3 5
8+ = ;�� � %9�
y y3 4
14+ = .�
112
Глава III
Неизвестное
уменьшаемоеНеизвестный
множитель
...
Неизвестное
вычитаемое
Неизвестное
слагаемое
УравнениеКорень
Определение
B����)��������#�>��*���[�E�����A�&�� ���%�������������������%�!��������%L� ���%���������������!��������%������� �\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��% � � �5� j�� !��"���� ��A����� ���%���� ��������%� � ����%� !��P�������%L� ������� �� F��� �!���������L� ���M���� $������� �$� ����� ��������� $�� )�� ���@������K������&�����!� ���������%�����!���!�����M������ �����!����%��� ����%����������������=!�����&��!���� ���"�����������$����L���M�8��!�������"�������!*��M�������5=���A�����F�����������%� �������!����%��� ���%����������P�������$"�����������"�%��, ��F�8�����"��������%�����������������������&P������"M�%�$������� ��B� ��!�������������������%���!��!�����C����������P����$�!����&����!���%�K�����
]C�117
2
5=− x
''�b��#�U�+x7x�b�U_#�
x=−567
"C� 35
6
3
x x=+
9x = 30 + 5x4x = 30x�b�+L'
�C� x x3 5
8+ =
5x + 3x = 1208x = 120x = 15
8C� y y3 4
14+ =
4y + 3y = 1687y = 168y = 24
�����[�]C��567; � � "C�+L'^� � �C��'^� � 8C��#�
!*��M�������5������A����������������$�"��� �&��������"�%���!����%��� ���%����������������
]C� x x−= +
+4
59
2 4
9 N�����������������������-/T
7Bx�U�#C�b�#;'�f�'B�f#xC�9x�U��)�b�#;'�f��;�f��;xU_��x = 451 x�b�U_#�
"C� 2 3 7
4
17
50−
−++
=x x
B����������^C
#;�U�'B�x�U+C�f�#Bx�f�+C�b�;#;�U��'x + 35 + 4x + 68 = 0U_��x�b�U_�#�x = 13
�C� 86
5 4
3
6
2
−+−
=+y y y
B���������_C
-�U�y�f��;�U�-y = 3y + 18U_��y = 0 y = 0
8C�4 7
5
3 2
2
5 2
232
x x x++
−−
−=
N����������^T
8x + 14 + 15x�U��;�U��'x + 10
= 320U_�x = 306x�b�U_�'�
�����[�]C�#�^� � "C���^� � �C�;^� � 8C�U�'�.
113
Многочлен. Серединный перпендикуляр
!*��M�������5,����������������$�!�A������������������������A���!� ������������������]C�� ���� ���������A�������)zL���!� ������� ��+L#�� a�U�;L�)a�b�+L#�� � a = 10."C�� ���� ��m���� ���������;zL�!� ������� ��7L)�� m�f�;L�m�b�7L)�� � m = 8.�C�!���$����������� ��L�'���"�"� �A���������� �����"�������$��
�L�'x�b�B��f�xC�g���� � x�b��L)�
8C��������� � 7
12 ���y�����A�����G��%������� ���'��������$�.
i �������7
122+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟y ����A��!���$�������� 1
425� y ������$�L���������F����������
�L���������!����$������������������F���������������: 7
122 3
1
425+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⋅ = ⋅y y,
y = 7.
�����[�]C��;^� "C�-^� �C��L)^� 8C�+�
!*��M�������5������A����� ���%������������%��!��������%������� �L��!�P�����&���!���� ����L� ��%������� ���(�F�%��� �&����� ��!�����L���������������A������������L������$��������M����!������������������������� �.�C�;L�'_�_x U�-_��b�'
�_x U�-_��b��;�x�U�-�b��;�¦§�x�U�-�b�U_�;x�b��-�¦§�x�b�U_��
GC��)�f��_x_��b����_x_��b�U_'x = �
�C��_x_��U� 1
4 b��L+'
�_x_��b��x�b�����x�b�U_�
�����[��C��-���U_��^�GC��^��C�����U_��!*��M����� ��5 ��A��� �!��������L� ���M���� !�������� ���� �� ����!��" �$�� ������$��L��� ������A���%�����������������Y������� ���������������������M��������!���!� �������A����������������]C����;x U�7��b��#��H��M�%�L��������&M�%L������F�8���������������������������L�
�� �����!����������L�����M���&����� ������� �����������#�,�%��� ���L��$�F�8������������!� ���&�������������;x�U�7�b��#�� ���;x�U�7�b�U_�#�x�b��L����x�b�U_;L'��"C�H������������_U_�x f���_��f�#�b�#������������L��������L�����_U_�x f���_��b�;��x = 7.
�C�H�����������x+
=−11
52 ��A���������X������������ �����"�����������������P
� ��������� �.�����[�]C��L����;L'^"C�+^��C��
J����'%��#����'����)������������������1H��M����������!������ ���� ���������������������%����$����%L����&M����������������B����������� ������������&M���������%�� �����&M����"������������ �������%C��H��M�%�L��!���� ��PA�%L����������������������������%�!��������%������� �����&����������L��� ����������"Q�����F��K����@!���� ��������� �������$��������"�����F������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!��"�����A����� ���%P������������%������%�!��������%L���������%������%�!��������%������� ������������n�=�!� �����
114
Глава III
!����� ������'#������������������H�������V X���������!�����A����� ���%������������%������%�!��������%L�
����������%��!��������%������� ��H�������VV (������ ������A������������������%�!��������%L���!�������P
$������� ������A�"���!�����A�������������%��!��������%������� ��H�������VVV (������ ���� ��A��� ���%���� ���������� � ����%� !��������%L�
�������������!��������%������� ��H�������VW ������������"��%�!��"L���A��� ���%�������������������%�!����P
������%L������������!��������%������� ��
Урок 3.13. Абсолютная погрешностьC���)���'1����������������!��" �$�� ��������GP������A�����!����������$�������!����������P���������!� ����������$� �����#������*�������"� &��&�������� ���&�!�8���AP������$� �����$��������E�����������"����1������������ !��" �$�� ����� ���G�� �� ��A�����
!���������� $����� �� !�������� ����������!�� �����������$� �����
����*�������"� &��&�!�8��A������$� �����$P���������
K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� ���%��L� A��P8�������� �L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1*������������ ����L������%������"����L�� �������8���$P�������� ���%����L��� ��������$���$���������� ������ ����������$� ����$�P!����&�����������E���������L��������$���������L��� ���������$����� ����%P����L�"�����M���������$����� �������$����������������"������������� ����$�����!� ����������$� ����L���$��������$������������$��������������"����P���� !������ R�"� &���� !�8��A���SL� ���� �� ����� �!� �$����� ����� ������!���8�� ����� ���
@"��$��L� �����%� �� ���"����L� ���!� P����� ���� ��L� �� ��$� ���� ��8������������ !������ R�"� &���� !�8P��A����S�� H��� ��� �"Q������ �"P��� &�����!��8��A���L��!���� ������$P
����������� ��������������%������&.
Многочлен. Серединный перпендикуляр
111
3.13. Абсолютная погрешность
���� �������� ���� ������ �� � ������ ������������ ������������
�� ����� ���� ���� �� ���������� � �� ���� � ����� ��� ����� ������ ���
������������ ����!������ ����������� �������� ���"��������������� �
���������������#�� ��������������� ���������� ��� ���� ����� ����
Деятельность
1. $��� ������������������������������%����&� ���-
���������������'(�� ����)*����� ������%� ���
+������ ��� ������ ����� �������� �����������
���� ����������������������������������������-
�������.
2. ����������� ����������/0�� !��%����� ��������-
������ ��������������� ����� �� ���������� ��
��6��� �!���� �������������� ����%���������. ������
Образец1. 8����������9l:!����������������!���������� �����
;!<�� ���;!)�� ��������������!� �����������
l���;<!=�>�?!=�@�;)�9 :�����l���;<!=�A�?!=�@�;<�9 :!������
������������������ ����������?!=� ��
2.��+����� ����������!� ���B����� ��� ��� �� �� ��������
C;)�A�;<!=C�@�?!=�9 :�����C;<�A�;<!=C�@�?!=�9 :�
(�������������� ������������ ��� ���� ����� ������������������� �
�� ���� ���������������P���>*� ��������P*�����M��� ����"������
@����P����*� ��������\{��"������"����<*�����ML�������"����{D���������������������������!������������� ��������������������-
��������������������� ��������� �������������������� ��������� �����
E����a���b!� ��������� ������� ��������� ���������������������B���
���%���������������Ca�A�bC�F�9�`�9���:�N���&�9�8�^T�
Образец
G��������� �����=!?HI���������������������������$����� ���������������-
����������B���������������������������
3��4��=!?HI���=!?/�9�������������������:��$�J�� ���� �� ���������� ������
��?!??H!�����������������������������K� C=!?HI�A�=!?/C�@�?!??H��
=!?HI���=�9���������������������:��$�J�� ���� �� ������ ����������
��?!?HI!������������������������������C=!?HI�A�=C�@�?!?HI�
�����l���;<!=>?!=�
������
Образец�58���� ������ 9l:!� �������� �������!� ��������� �����
;!<�� ���;!)�� ��������������!� �����������
l���;<!=�>�?!=� �@�;)� �����l���;<!=�A�?!=� �@�;<� !�
����������������������� ����������?!=� ��
2.��+����� ����������!� ���B����� ��� ��� �� �� ��������
C;)�A�;<!=C�@�?!=� �����C;<�A�;<!=C�@�?!=� �
�����l���;<!=>?!=�
115
Многочлен. Серединный перпендикуляр
B����)��������#�> ��*���[� E��� �������� �"� &���� !�8��A���� !��"� �����P��8��$�������\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�/������� ���� 6
1
2 �� 7
1
2���"������ &"����� ���L�����8 ���
�8������� �8���� �L�!���$�������8����������+. *�!�����L�)L'�|�+L�)L-�|�+^�+L��|�+^�+L#)#�|�+�L�+L'�|�+��������������8 �����F������ ������"� �A�����!������!�8��A����;L'��+�U�)L'��b��+�U�+L'��b�;L'^"C��i ���� �L��$����������+���7L�"��G���������-L����"� &����!�8��A����"����
����������-�U�+��b��-�U�7��b���� � � � � �����[�]C�;L'^�"C���!*��M�������5���� ����� ����$�"���������������&����;L���L�$������������%�� ����$�"����"������!� �8������������ ������L'�¨�;L���?��������L#�~�� ����$�"����~���L)����� �����[���L#�������L)���J����'%��#����'����)������������������[�=��!���������p����!� �$��� ��$�!���¨�;L���H��� �L���������K������&���$�����R¨SL�����������������������M�����������%�$�!����!���M�&�F�8��$��������������$������������ �!*��M�������5�©������!�����8� ������������������&��������);;�¨����L�����599 < a <�);;��L�� �������-;;�¨����L�����+77�~�b�~�-;;���?�8���! �M����!�����8� ������"���[�'77�g�+77�~���~�);;�g�-;;��#+-);��~���~�#-�#;�� � � � � �����[�#+-);��B�2C�~���~�#-�#;��B�2C��!*��M�������5�©������!�����8� ���8��!��� � �!�!�����������L�� ����U�bL����P��U�?��?�8���a�b����¨����L� b�b��#�¨����L� ?�b��+�¨�����21 < a�~��'L� ���~�b <��)L� �'�~�? < 29.?�8����"QG��!�����8� ���8��!��� � �!�!����"�������g����g��'�~�W�~��'�g��)�g��7�11550 < V < 18850 �����[���'';�B�3C�~�W�~��--';�B�3C��!*��M�������5����� ������ ��������������������;L��L���!�������!���$���P���������&����;L���?��������!���������$������-L)�¨�;L�L����������"���������8���������-L'°j���-L+°j�� � � � � �����[��-L'°j����-L+°j�
!*��M�������5�O$����L����2
30 666� , ... . @���8 ���F���� �������$����������L�
���L�������[�;L6))����|�;L+^� � ;L)6)����|�;L)+^� � ;L))6... |�;L))+��
=�!������ ������"� &����!�8��A���[�2
30 6
2
3
7
10
1
30− = − =,
=�������� ������"� &����!�8��A���[�2
30 67
2
3
67
100
1
300− = − =,
=������� ������"� &����!�8��A���[�2
30 667
2
3
667
1000
1
3000− = − =, .
?������"��$��L�"�����������A�%�!�������8 ������� �������$��������������"�P
&����!�8��A���. �����: 1
30
1
300
1
3000; ; .
116
Глава III
!*��M������ 5�=�!� �����!��������L����M�%���� ����������"������L�����"P� &����!�8��A���L���!������!����$��������� �L����"� �A����?��L�����������������8���������������" �$���� ����������b��;;;����,�!���������F������������!�8��A��������������L���!�����L������������ ��������A�L��������!�������!�8��A����!����$��������� ��� ���%�����b��;;��L�����������: 1
1000
1
200� .
�����[�O$����������������������8��������"� ���������!*��M�������G5=�!� ����$������L����M�%�����"���� ���������� ����"�� &P��&�!�8��A�����
1C�;L''5'����|�;L'''^�5
90 555
1
1800− =, .
�C�;L''5'����|�;L'')^ 5
90 556
1
2250− =, .
O$P$���� �����"� �A�%�!�8��A������!������ ����� 1
1800
1
2250 �"� ���!���� ����
�$���;L''5'����|�;L'')�*����������������!� ��&��$��������$����"�������8��!!����O!� �$���A��P
8�������� �L�!����������$�����$�������L��"����&����$� �����*�����!�&��������������&�����8�����������L��!���M�&��������������!���������������$��������J����'%��#����'����)������������������1��������8 ����L������$�!��L����!�����L�����;L7'�|�;L-������%���$���$����������������M�����H��M�%�L�!����P�������8� �����;L+'����;L-L���������;L+L���$��G�!������� ������"� &��%�!�8��AP�����H���� ���� ����������F�����������������M��������?��������������1H��� ���"�"M���!��%���������!��"���������������"�P &��%�!�8��A���L��MG���$��������!���!����������$� �����!��" �$�� ��������G�������������n�=��� ����n�=�!� �����
!����� ������'#������������������H�������V X�������������!��" �$�� ��������G��
X�����������������������"� &��%�!�8��A����H�������VV �������� !��" �$�� ����� ���G�L� ��� ��!����� �A�"��� !���
!�����������$� ����@�$��G�!�������"� &��%�!�8��A���L���!�������$����� ������A�"����!������� �����
H�������VVV (������ ���� !������� !��" �$�� ����� ���G�� �� !����������$� ���(������ �������� ����"� &��&�!�8��A����
H�������VW =��� ��� �"� &��&� !�8��A���L� �8������ �"��������� ��G��������
117
Многочлен. Серединный перпендикуляр
Урок 3.14. Относительная погрешностьC���)���'1����������������!��" �$�� �������P�G��� �� ��A����� !���������� $����� �� !��������������������!� ����������$� �����#������ *������ �"� &��&� �� ����� ���&� !�8P��A ������$� ������$��������E�����������"����1������������ !��" �$�� ����� ���G�� �� ��A�����
!����������� $����� �� !�������� ����������!�� �����������$� �����
����*������ �"� &��&� �� ����� ���&� !�8���AP������$� �����$��������
K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L� ���%��L��"���P��������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1��"�������!�����L�������������A������ �L���"����P��%������������8����!�����R@���� �����!�8��A���SL����$������&�� ������ �� ����������L����������L�����M����������� ���%�!�8��A���L�����P �������������, ��F�8�������"�����!� ��������� ������$����"�������� ��!� ������� �����������R����� �����!�8��A���SL����M������$Q������F��!��������@���� �����!�8��A���L�!� ��������!������� ������ M������� ����P����8���� �������������������X�� G%���J���%L�����������"��$������"����L����P�����&���*��������F�8��!�������B� �����8���!�������CL����M������ ������ ������8��"���!���������!��$��������!���M�&�!��8��������!�&���.
B����)��������#�>��*���[�E����!���� ��������� �����!�8��A����!���" �P$��� ���8��$�������\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�@!���� ����$���������L#'�|��L#����L#'�|��L'��"� &��&������P�� ���&�!�8��A���[��C�>"� &����!�8��A���[����L#'�U��L#���b�;L;'
@���� �����!�8��A���[� 0 05
2 45100 2
,
,% %⋅ ≈
�C�>"� &����!�8��A���[����L#'�U��L'���b�;L;'
@���� �����!�8��A���[� 0 05
2 45100 2
,
,% %⋅ ≈
i ���������$� ������!���L���!������ ���������� ���&�!�8��A���������PA ������ �����������;L;'L���������� �����U�������A���������;L;'�
�����[�����������!*��M����� ��5� O$����L� ��� �"� &���� !�8��A���� !������ ����� ��� ���'�8L�������U���8��
Глава III
114
3.14. Относительная погрешность Деятельность
@��������*��������P���>*� ��������1�5 G��������� �����<!?T)����� �������������������G�������������������
�����������
�5 U%����� �� � �B��� ����������� ���������� �� ����� ��������%� �-
�������������� �� ���� ����� ����
�5 V���������������� ������ ���������#����!�� �������������H??W�
�5 ����������#���������������������������� �������������%��������-
���� �� �� �� �� �� ����.� X�� �6��� �!� J��� ����� ���� ��.� G�����%���
���%�������
Образец
&� ����������� ����������?!?H� ����B��� ����� �����������������������
?!H=� �� &� �������� �� �� ������� ��� =??� � � ���������� ��� +� ��� ��� Y����
����������;T0�???�� ��X������ ��������������� ���.
3��4��$���� �����#�����������������������%����������������B����
����� ������������������B���� ����� ������������K�
0 01
0 15
1
150 0666 0 067 6 7
,
,, ... , , %.= = ≈ =
�$���� � �� ��#����� ���������� ��������%� ����������� ���������� ���
+� ������Y�������������������+� ������Y���K�
500
348000
1
7680 0013 0 0013 0 13= ≈ ≈ =, ... , , %.
�
����������?!H;W�F�<!)W!��������������+� ������Y����������� �������������� ���
G�����������������%�������������� �������� ������� ��������� �-
������������������������>*� ��������P*�����M����.
U���������������������%������������� ����������������������-
��������������!������� ������#��������������� �������� ��������G���-
����������������������������� ��������������#�����
= =
Абсолютная
погрешность
Абсолютная
погрешность
| |Точное значение | |Точное значение
.100 %Относительная
погрешность
Относительная погреш-
ность (в процентах)
Упражнения
�5��G��������� �����T!;0=���������#��G�����������������������������������
�����������
�5��X���� ��� �������%� /!0=�/!0� �� /!0=�/!=!� ��� ������ ��� �����������
����/!0=�����������!������������ ������� .�$� ���������������������
����������������������������������%������%�������
118
Глава III
@���� �����!�8��A������!������ ����[
5
2600
1
520= ≈ �;L�;;�7��g��;;z�|�;L�7�z
@���� �����!�8��A������������� ����:
3
800
3
80 375� �% , %
E��������L�!����$�����������������L���!�M����"� �A���!�8��A���L��� ���$��PA����"� ��������� � � � � � �����[��� ���$��A����"� ��������!*��M�������5�������!� ������F�8��$����������M����� ����� ��������8��!P!���E������8��!!����A���!�������������%��$��������" ����
1C� 43
84 375 4 38= ≈, , . � >"� &����!�8��A���[��#L�+'�U�#L-��b�;L;;'��
@���� �����!�8��A���[�0 005
4 3750 001 0 1
,
,, , %.≈ =
�C� 71
9� +L�1�����|�+L��. >"� &����!�8��A���: 7
1
97
11
100
1
900− = .
@���� �����!�8��A���[� 1
9007
1
9
1
900
9
64
1
64000 0002 0 02: , , %.= ⋅ = ≈ =
�C�103
1610 1875 10 19= ≈, , . >"� &����!�8��A���: 10
3
1610
19
100
1
400− = .
@���� �����!�8��A���[� 1
40010
3
16
1
40760 0002 0 02: , , %.= ≈ =
!*��M�������5�?������$���������� ���"�$���������?�8������������K���� ����P
��������������� ���%�!�8��A���[�a−
⋅ =4 89
4 89100 1
,
,% %,
a−=
4 89
4 890 01
,
,, .
>"� &����!�8��A���[��a�U�#L-7��b�;L;#-7�� �����[�;L;#-7�
����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������!��"���������������P����� ���%�!�8��A���L��MG���$��������!��"��!����������$� �����!���" ��$�P� ���������G�������������n�=��� ����n�=�!� �����
!����� ������'#������������������
H�������V X���������!��������!��" �$�� ��������G��X�����������%������� ���&�!�8��A����
H�������VV��������!��" �$�� ��������G�L������!������A�"���!���!�����P�����$� ����@�$��G� !������ ����� ���%� !�8��A���L� ��!����� ��$����P� ������A�"���!������� �����
H�������VVV (������ ����!�������!��" �$�� ��������G����!����������$� ���(������ �������� �������� ���&�!�8��A����
H�������VW =��� ��� ����� ���&� !�8��A���L� ��� �G� ������ ����$������������������������ �����
119
Многочлен. Серединный перпендикуляр
Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания № 5
� H�������1 �����������8�� ������������%�����2 =�!� ������%�����������8�� ������3 ,� �����$���!�!� ����!���M�&������ ��4 (�!���M�&������ ��������������%�!��!������ ������$���5 j����K�8���L����������&������%�K�8��������� ���������%������6 =�!� ���������������!���"��$�������7 ��A��� ���%�������������������%�!��������%�8 ��A��������������!��������%������� ��9 *�������"� &��&�������� ���&�!�8��A����
120
Глава III
Образец малого суммативного
оценивания № 5
����*�!�A������8�� ����x4�U�y3 U�'y3 + 11x4 ����������������������������������������������������������������������������������
����=�!� ���� ��%���� ���� ���8�� ���P��� �� ��!�A��� �!���� !� ������������8�� ����[Ba3�U��a�f��'C�f�Ba�U��a3 U�C�U�B#a�U�a2C�b����������������������������������������������������������������
(�!���[��������
����=�!� ���� �� � "��� ������������8�� �����
4 + 9 – 13x x�
2 – 7 + 1x x�–
�������� �̀ b� �)b� f;L'b3^� a� b� U_+b3� U�L#� b^� j� b� b3 + 6bL� $�!�A��� ����������
�̀f�a�U�j�����������8�� ���[��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����@!���� �����������L��� �M�%����P��%����$���!�!� ��L�!���%�����P�����%�!��!������ ������$���
a
���,�������������[B'x�U��CB��U�xC�U�'�b�U_B���U���x + 5x2C������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��,������!���$��������!���"��$�%�������P8�� �����$�!�A������������������[]C�U_�Ba2�U�-a�f��C�b������������������"C�Bx2�U�)x�f��CB��– 5xC�b��������������������������������������������������������������������������������
�����A������������[3x�U�+Bx�f�C�b�U_7x�U��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����$ ����� �����%� ���8�� ��� ��� ���P��� �[]C�x2�U���x�f����b��������������������
������������������������������"C��a�U�)ab + 7a2�U��#a2b�b�����������
�������������������������������G����� �� �L)�'#� ����8 ��� ��� ��$�����
������L� ���� ��� �"� &��&� ��������� ���&�!�8��A���[
���������������������������������������������������������������������������������������������������
������A������������[��#x�U��L���b�7������������������������������������������������������������������
���������%�� K�8���L� ���������&������%� K�8���� ����� ���� �����%������@�
O
P K
M D
N E
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
121
ГЛ А В А I V
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
C���)��� !"������)����� D�� =��'
1.2.4.
A���
�$&
5K��
��
'�
�#��
?L�
�� �
�
��M
����
5N
����
�#�
*���
����
����
��
!��#�5�5E���������������$�����������������% �
1.2.4.!��#�5�5��$ ���������������� ����!� �$�P��������K���� ��������������������������$�����������������%�
�
1.2.4. !��#�5�5��$��������������������������% �
1.2.4. !��#�5�5E�"����������"���$�������������P�����% �
1.2.4. !��#�5�5��$ ���������������� ���������"����������������% �
1.2.4. !��#�5�5��$ ���������������� ����$������"����������������% �
1.2.4. !��#�5�5����"��$���������������% �
@"��$����� �8����������8�������������p�) �
3.1.3. !��#�5�5H8 �L��"��$�&M����!���!���������������!����������%� �
3.1.3. !��#�5 5���$�����!��� � �����!����� �
3.1.3. !��#�5�G5>������!��� � ������(��%���!��� � �����!����� �
3.1.3. !��#�5��5H8 �������������!��� � ����P���������� �
3.1.3. !��#�5��5H8 �������������!��!������P ���������������� �
����������"�� �
@"��$����� �8����������8�������������p�+ �
122
Глава IV
Урок 4.1. Квадрат суммы и разности двух выражений
C���)���1�����#�����������K���� ������MG���P8�� ���������� !��� ����������� $�������� �� ��������������%�E�����������"����1���������K���� ��������������������$�����������������%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 ��� ���� ���8�� ����� $��! �M���� !�����8� ������ �� ���������� �� �� "� B�����$��C�"� ��!������"��������L�$��! �M���������������������%���B�����$��C�"� ��!���������������������������� ����������L���� 1x .�O!� �$���F������ �L��!������� ����!���$������������ �����
=����� ����L������%������"����L�!����%��$������� �%�Bx�f��CBx�f��C��$�"���G�����8���$��� ���%� ����L�����%������� ��U���������� ���%� ����L����� 1x . ��P�� ����������%�� ������� ����������!� ���� ���%�$���L������!���������������P��� ���%���8���$��� ���%� ���%��������������%����!�� ��8�����!��������������B����
���!� ���� �������!��� ���������������������%�!�����8� �P��%��������������C�����"����%���!���$��������F������� �P���L����� ������������������ ������!���� ������L���������������������� �M����������������������%�"�B�����$��CL�!�����8� �P�������������������"�B�����$��C������������������%���B�����$��C�$�!����&�������������[�x2 + 2x + 1. ?������"��$��L�!� ��������������Bx�f��CBx�f��C�b�x2 + 2x + 1.
������������!�����!������ ����������������!���$��P������Bx�U��CBx�U��C��=�F��� ����������� ����"�U�����$���M���������!�����8� ����L������%���������������� �����"�����P!� �8������������ ���%���8���$��� ���%� ����%���!����%���������%� ����L� �� !��� ���� ����%� � ��� BU�C� �� ���� �����P� ������� ��L��� ���%��������%���������!� �8�&��!���������������/��� ��$����A���L�����!�����$��������������.
?������"��$��L�Bx�U��CBx�U��C�b�x2�U�#x + 4. =�!� ���� ����&� ���� ����L� !���$�������� ���� ����L� ������� �� ���� �L� ��P
����������!���$�����������8�� ������?������"��$��L�!� ���&��K���� ��������������������$�����������������%[
(aIb)�\a�Ib�I�ab ^a <b)�\a�Ib�<�abH��� ��!��A����������M���������������"�F���K���� ����H��M������ ����
���������$���F��K���� �� �������=�$������������������ ������� ��������������"�����������$�����
117
ГЛ А В А I V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
4.1. Квадрат суммы и разности двух выражений
Деятельность �� � �B��� ��� ���� ������ [����� �����%��� ������ ������������
9x�>�H:9x�>�H:��&��������������������B�������������!����������������������������!����J�������������������!�����%� �����������������������%���-
���!������%� ���������������������%������������� �����������%���H������#������������ ���������� ���������� ��H���x� �����# ���������\��������� ������������������ ����� �������������� ����������9��������������������� ����:!� � ����� �� ����#������ � ���� � �� ����#������ � ���������9������������������ ����:��+����9>!�A:!�������������������� �����!������-
���������� ������ ���� ���!���� ����������� ���������$������ �������-
����%����� ����������������������������� ��H���x��U��������B������-
������[������������������ ����%��� ��
1x
1
1
S = .x кв ед.
S = 1 .кв ед.
x�
x
x S = .x�кв ед.
(�������!��������� ]� ���-
��!�������������
9x >�H:9x�>�H:�@�
@�9x�>�H:2�@�x2�>�/x�>�H.
$���� ��!� �������� ]]� ���-
��!������
9x�A�/:9x�A�/:�@
@�9x�A�/:2�@�x2�A�0x�>�0.
1 1
1
1 1
1 1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx�
–
–
–
–
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
11 11
Деятельность �5 8�������!� �������������������������9x�>�H:2���9x�A�/:2��� ���� ���!�
�������������������������������� ���������%����������������K
9x�>�H:2�@�9x�>�H:9x�>�H:�@�x2�>�x�>�x�>�H�@�x2�>�/x�>�H
9x�A�/:2�@�9x A�/:9x A�/:�@�x2�A�/x�A�/x�>�0�@�x2�A�0x�>�0
�5 G��������!� ����� ����� �������� ����� ����������� ���� ��� �����
���� ������
H��)�����')��g�'��M���>5�X������� ��������������%������
�� ����������J�����������%������������������������������������-
�����������������^aIbV2\a2Ib2I�abH��)�����������)��g�'��M���>5�X�������������������������%��-
������ ����������J�����������%� ������������������������������������-
����������������^a<bV2\a2Ib2<�ab
1
1
x
x
– +
–+
1
1
x
x
–2x
– +
–+
11
–2x
+4
x�
123
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� �������������������$�����������������%\
(��� �&�!����������� ���������$����������"�������!� ��&����8��!!��L�!������ ����������� �����J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������[� ��������� K���� �� ������������������$�����������������%L����M������ �����"��M�����������������$�����"��$��������!�����������=� &"��� ��������� ���� �����"�����������������������$��������!����������K���� ���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5E ���� ��������8��!!���E������8��!!����!� ��������$���������%�!������
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
1 111
1
1
x
m
x
a
x
c
c
x
x
m
x
a
x
c
x
a)
г)
б)
д)
в)
e)
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
11
1
1
1
( – 3) = – 6 + 9x x x2 2
(2 – 1) = 4 – 4 + 1x x x2 2
( + 3) = + 6 + 9x x x2 2
( – 2)(2 – 3) = 2 – 7 + 6c c c c2
a�m�
(3 – ) = 9 – 6 +m m m2 2
(– – 3)(– – 2) = + 5 +6a a a a2
!*��M�������5�"C���"������ ����������������� B#�U��aC2L� !��������8���$��P� ���%� ����� �$�"������� #� �������L� �� �����%� �� ���� �$��L� ���� ��� ���
!�����8� ���������������������������$�������������!�����!����������� ���%� ������������$�"�������#����������������%��������$��L����$�������!�����8� ���������������������������$���@���������������� �L��!���� ���L����B#�U��aC2�b��)�U��#a + 9a2������ �������� ��$����������8�����L���������������"����������%���� ���K�������>#�!*��M����� ��5� ��"�� ��!� ���� �!��������L� !������&�� K���� �� �����������������$�����������������%�8C��772�b�B�;;�U��C2 = 2002 + 12�U��g��;;�g��b��7);�^�GC�7L72�b�B�;�U�;L�C2�b��;;�f�;L;��U���b�7-L;�^��C�7L7-2b�B�;�U�;L;�C2�b��;;�f�;L;;;#�U�;L#�b�77L);;#�!*��M������ 5��C�@"�������������������!���"��$�%�������8�� ��[B�a + b4C2 = 4a2 + b8 + 4ab4
B�a�U�b4C2 = 4a2 + b8�U�#ab4
124
Глава IV
E��������L�� ����!����������������"������"�� �������� ���U_-ab4L�!� ���������������������:B�a + b4C2�f�BU_-ab4C�b�#a2 + b8 + 4ab4�f�BU_-ab4C�b�#a2 + b8�U�#ab4�b�B�a�U�b4C2.O ��B�a�U�b4C2�U�B�a + b4C2 = 4a2 + b8�U�#ab4 U�#a2�U�b8�U�#ab4�b�U-ab4
�����[��C�U_-ab4.!*��M��������5��C���"������ �����������������Bx�U��yC2�{L���������������� ������%� "� B���� �$��C�� *�� �����%� �8�� ������ �$�"������� !�����8� �����B���������8�������C��A�����%���B�����$��C���������������8������������������$��! �M��������������������%�"�B�����$��C������ ����! �M���������������������%���B�����$��C�"� ���������������L�����"�� ����#y2�B����#�$� G�����������C.
x x
y yy y
x x
y y
y y
Bx�U��yC2 = x2�U�#xy + 4y2
�C�(���� ����������������B�x�U�yC2��� �M�������������������%��"�B�����$��C�������4x2�B�������C��� �M�������������8��!�����8� �������A�����%���B�����$��CL�� ���%��"�B�����$��C�����������������$ 4x2��=�F��� ������$P$���8�L����! �M���������������P����%���B�����$��C�������������������L�����"�� �����2�B���������$� G��%�������C.
2x 2x
y y
2x 2x
y y
B�x�U�yC2= 4x2�y�#xy + y2
+�//���������������"����1, �����M�8��������"��� �����!���������� ����P�����������������$�����������������%��Y��$�������$���G�L����������L�� ���������M���.J����'%��#����'����)������������������[�O��8��������RK���� �����������$����������'��M���>S�!�A��RK���� �����������$���������"�����S��
=��"��$�����!��BB�a�U?C�f�bC2�����������B�a�U�?C�������$�������������� �������$����!��������K���� ���*�!�����[�� ���a�U�?�= mL�����������BB�a�U?C�f�bC2�$�P!�������L� ���� Bm + bC2� �� !��������� K���� �� �������� ����� ����� ��������%[� Bm + bC2 = m2 + b2 + 2bm . X����!�������������������������������m = 2a�U�?.B�a y�?C2 + b2 + 2bB�a f�?C�b�#a2 + ?2�U�#9? + b2 + 49:�f�2:?�= 4a2 + b2 +?2 + 49:�f�49?�U��:?�
125
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
����?��������������1H��� ���"�"M���!��%���������K���� ��������������������$�����������������%������!���������.����������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X���� K���� �� �������� ����� �� ��$���� ����� ��������%L� ��� ���
�����!�������.H�������VV ,�!����� ��$����� ����� �A�"��� �� !���������� K���� � ��������
���������$�����������������%.H�������VVV (������ ����!��������K���� �������������������$���������
����������%.H�������VW ������������"�����!��"����K���� �������������������$����
�������������%�
Урок 4.2. Разложение на множители с использованиемформул квадрата суммы и квадрата разности двухвыраженийC���)���1�����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�������� ���"����1 ��������� K���� �� �������������� �� ��$���� ����� ��������%L� ��� ��������G��� ������������ �.K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=����� ����L������%������"�����L� ���� �������� ���8�� ����� *�� ������������ �%����M�����!���� �&L�����%��$�F�������8�P� �������� �����������������8������ ����
X���������8�� ����x2 + 4x�f�#L�$�!��������%�� ��L�����4x = 2x + 2xL�� ��������$ ���������������� ��!��"���8��!!�������
x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 2x+ 4 = xBxf�C�f��Bx f��C�b�Bx�f��CBx�f��C�b�Bx�f��C2.����������!�����!��x2�U�)x + 9 = x2�U���g���gx + 32�b�Bx�U��C2. ?������"��$��L�!� ���&��K���� ��a2 + b2 + 2ab�b�Ba + bC2���a2 + b2�U��ab�b�Ba�U�bC2.
B����)��������#�>��*���: E�����������$ �����$������%��G�� ������������ �L��!� �$���K���� �������������������$�����������������%\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�$���������������� ������������8�� ����������!������������ ���"��M����������������$�����!���������� ������
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
121
4.2. Разложение на множители с использованием формул квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
Деятельность
�5 ������������ ��������������������� ������������������ �����
– – –+ + +
– – –+ + +
1 11 1
x x
x
x
x�
1
x
x
x� 1 11 1
x x
x
x
x�
�5 ������� ������� � �����!�� ������� �"������ �������������� �����
�5 #�������������� ��x2�$�%x�$�%������ �x2�$�&x�$&x�$�%��������� � ������
������ ������������������������
�5 ��� � ��� �� �����"�� �� ��������� ������� ���� ��� ���� ���� ���� �
x2�$�%x�$�%�'�x2�$�&�(�&�(�x�$�&2��)���������������� ����������������� ����
������ ���������� ��x2�*�,x�$�-.�������� ��������� ��
)������� ���"� �� �������� �������� ���� �"��� ���� ����� ���� � �
��� ���������� � ������������������ �����/�����0 3�4����5�����������
������� ���������� ��������� �6�
a2 + b2 + 2ab = ^a + bV2 a2 + b2 –2ab = ^a – bV27���� ������� � ������������� ��a2�$�b2�$�&ab��������� ������� ���
��� ������ � ����8a�$�b98a�$�b9�������� ��a2�$�b2�*�&ab�*������ ������ � -����8a�*�b98a�*�b9�
Образец
;������ ���������� ��������� ��a2�*�&<ab2�$�=<<b4.
3��4��� ��� ������ �� �*���������a���� � �� ������ �� �*���������=<b2��
@������ ������ �� ��� �� ��� ����� ����� � ��3�a� �� =<b2�� A�����
���������5���� �����������������������"��� ���6
a2�*�&<ab2�$=<<b4�'�a2�*&�(�a�(=<b2�$�8=<b292�'�8a�*�=<b292�'�8a�*�=<b298a�*�=<b29
126
Глава IV
]C��/��8�� ���x2 + 8x + 16���!� �8��������������������������!�����8� ���%������ ���������� X���� �$�"�������&�L� ���� �� ���������L��������������! �M���&�x2�B����������C����)� ��������� ! �M���&� �� B���� �������CL� -� !��P���8� �������! �M���&�"�B����������C��X���������P���������� ���!���� �&�������� �:
Bx�f�#CBx�f�#C�b�Bx�f�#C2. ����������!�����!������ ���&�����8������8�� ���:
– – –+ + +
– – –+ + +
x – 4
x–
4
2 – 3x
2–
3x
2+
3x
2 + 3x
б) в)
!*��M����� ��5� ��"�� ����� ����� $�!���� ���"������%� ����� ��L� ���M������ ����� ������������������� ����]C��=���������������f�#7�f�')a��!���� ����#7�b�+2���')a�b��_g_+_g_#a.�=�F��� �������"��
!� �����K���� ����������������������������%L� ���������������$�!��������� ���B#aC2 = 16a2: 16a2 + 49 + 56a�b�B#a�f�+C2.
������������!�����!����������&�����8������8�� �����X��������������!� P��������8��!!��[�"C��)�U���x + x2�b�B)�U�xC2^�� � � �C�;L;�b2 + 2:? + 100?2�b�B;L�b + 10?C2^
8C� 25 1
45
1
25
2 2 2a ab b a b+ =+ +( ) ; �� �C�81 61
99
1
3
2 2 2a ab b a b− =+ −( ) ;
�C� 116
2 16 41
4
2 2 2y xy x y x− =+ −( ) .
!*��M�������5���"��!���"��$���������������Ba + b + ?C2������8�� ��L���!� ����!�������&����� ���=�F��� �����!� ������%����8�� ���"���[�
Ba + b + ?C2 = a2 + b2 + ?2 + 2ab + 29? + 2:?�X�!������ ���������� Ba + b + ?C2� �� ����� !���$������������� �G��� ����L� ������ !�������� !��"� �������������8�� ����������8�� ���Ba + b + ?CBa + b + ?C�
– +
–+x + 4
x+
4
a�
ab
ac
ab
bc
bcb�
c�
ac
127
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
!*��M����� � 5 =�!� ���� $������L� ������ ��� !���"��$����� �����%� �G�� ��L���"��������"� ��$�!���������������8�P �"������ ����]C��a2�U��)a + 69= a2�U��)a�f�)#�f�'�b�Ba2�U�-C2�f�'��=�!� �������������������������A���
$��������L� ������� ����� !� ����� ���������� Ba2� U� -C2� "���� ;�� ( ������ ���L���������A���$�������L�������������!� ���������������Ba2�U�-C2�f�'L�"����'��
�C��U_';�U��#b�U�b2�b�U_B';�f��#b + b2C�b�U_B��f�#7�f��#b + b2C�b�U_��U�B+�f�bC2��X�����������A���$��������L�������������!� ���������������B+�f�bC2L�;��?�8������"� �A���$�����P�������$��������������U_��U�B+�f�bC2�"����U_��B��$���������A�������� �����������������8�C��
�C��7x2�f�#�U�)xy + 4y2 = 9x2�U�)xy + 4y2�f�#�b�B�x�U��yC2�f�#��X�����������A���$�������������������� B�x� U� �yC2� "���� ;�� ( ������ ���L� �������A��� $��������� ���������� 9x2�f�#�U�)xy + 4y2�"����#�� � � � � � �����[�]C�'^��C�U_�^��C�#�
!*��M��������5=�!� ����$������L����M������ ����������!���� ����A�"���>��������*���������������������������� ��� �$�������������������������������� .����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ��������������������$�����������������%�����"����������!��������������������n�����������
!����� ������'#������������������
H�������V X�����������$ ��������8�� ������������ ���!�����������K��P�� ������������������$�����������������%�
H�������VV*������� �� �!���� G���%� !���M�� !��� ��$ ������� ���8�� ���� ����������� ���!�����������K���� ������������������$�����������P������%�
H�������VVV (������ ���� ��$ �8��� ���8�� ��� ��� ������ �� � !�����������K���� ������������������$�����������������%�
H�������VW (������ ���� ��$ �8��� ���8�� ��� ��� ������ �� � !�����������K���� ������������������$�����������������%����"���������
Урок 4.3. Разность квадратов двух выраженийC���)���1�����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$��P��������� �������������%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� K���� ����$���������������������������%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��������L� �
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ����� ���� ����L� ������� �� ���"������ *�� �������������������������%���B������!��������b����C������������8���8 ���������
128
Глава IV
�� �����%� b� B������ !������ b� b� �� �C�� =���%�������� �������� �� ��� ��L� �� !� ������&� K�P8���� ��$������ !�� ���8��� �L� ���� F�� !���$���� �������������� ����������������������L����"��!�P ����� ���� K�8���� "� �� !�����8� �������� H���M��P������$���&���G�����������������F�8��!��P���8� ���������8��! �M�����?������"��$��L�!� ������K���� ��a2�U�b2�b�Ba�U�bCBa + bC��H��� ����G���K������&���K���� ����$��������P������ =�!� ��&�� !������� ��� !����������� K��P�� ���
B����)��������#�> ��*���[� E��� !���������K���� ����$����������������������������%\
(� �� �&� !���������� � ��������� 8��!!���� ��P!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�,����&�K�8���� �����������"��$��������$�����L���"��!�� �P��������K�8������"���� ��K���� ����$�������������
a
a
a
a
b
a – b
b
b
a–
b
b
!*��M�������5]C�B�a + «CB�¬�U�)bC�b�7a2�U�^� «=6b^� ¬ =3a^� = 36b2."C�B¬�U��xCB¬ + 3xC�b��'m2�U�^� ¬ = 5m^� ¬ = 5m^� = 9x2.�C�B�L�a + ¬CB�U�«C�b�n�U��L##n4^� ¬�b��L�n2^� �b��L�a^� «�b��L�n2^� n�b��L��a2.8C�m4�U���#n8�b�B«�U�CB« + «C�� «= m2^� = 18n4^� «= m2^�«= 18n4. !*��M�������5
"C� 11
911
211
911
211
9
5 7 5 7 5a n a n a+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
22
7
2
10 1411
2
100
81
9
4−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ = −n n n .
!*��M������ 58C�Bx�U�yCBy – xCb�6EBx�U�yCBx�U�yCb�6EBx�U�yC2�^�C�B6E:�6�?CBb�U�?Cb�6EBb + ?CBb�U�?C�b�B? + bCB?�U�bC�b�?2�U�b2^��C�B6E9�U�bCB6E9�U�bCb�Ba + bCBa + bCb�Ba + bC2.
�����1�8C�U_Bx�U�yC2^�� �C�?2�U�b2^� �C�Ba+bC2
Глава IV
124
4.3. Разность квадратов двух выражений
Деятельность�5 ����������������� ��� ���������b���� ��-
����������������� ���������� ������������ -��� � � ����� �������������� � � �� � ���������������� ����� ����� ����b�� ��� ������� � ���������������!��
�5 "��� ������ #�����$��������� ���%����a2�&�b2��'�-���������������������� ���(������ ��������
�5 ) �%����%*�+��%%���������� ����� ����-� ��������
a
b
b
a
a–
b
a – b
�5 '���������+��%��� ��������������� �-��� �������,����������� #����� �%���� � ��/� %� ������
�5 3� ����%���������� �%����6
a
b
a
b
b
a
a–
b
a – b
a b
b a
a–
b
a–
b
K����� �������� #��)����� )��g �'��M���>5 "��� ���� ����� ��
��%����������������� ��������*��%����$���������������������� ������
a2<b2\^aIbV^a <bV.) ���/������������:����%*������%*��� ��;�^aIbV^a <bV\a2<b2.
) �����������%������%�������������������� ������������ ��������� ��
$�������������
Образец
�V"��� ���������� ���������%����<=�&�a2��
3��4�� � ��%�<=�>�=2�������������������%��������������� ��������-
� ����%���������������� ��������� ������;�
<=�&�a2�>�=2�&�a2�>� =?�a! =�&�a!�
�V) ���������� <a�?�@b! <a�&�@b!��� ���%�������� � ������
3��4�3������ �����������/�����%���/�� �����������%������%�����-
��������������� ������ ��� ��������� � ������� ����� �+ �%������ ����
����� �;�� <a�?�@b! <a�&�@b!�>� <a!2�&� @b!2�>�Aa2�&�Bb2.
129
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
!*��M����� ���5� , �� ���� ����� $�������� ���"�%� !�������� K���� �� ��$������������[
�C�53 27
79 51
53 27 53 27
79 51 79 51
26 80
28 130
4
7
2 2
2 2
−−
=−( ) +( )−( ) +( )
=⋅⋅
= ;;
8C�67 17
83 77
67 17 67 17
83 77 83 77
50 84
6 16043
8
2 2
2 2
−−
=−( ) +( )−( ) +( )
=⋅⋅
= ..
�����[��C� 4
7; � 8C 43
8.
!*��M����� ���5� H��M���� !������&� � 8����� � �� !���$�� ����� �G�� !�� �P����� �������� ���!� ����������$� ����$�!����&���������������$� �����!��PA����������������M���L���������������&������ ����X����8��!!�L�$�!������F��� 8������ ����������%�a�U��L�aL�a�f��L��!���� �&�Ba�U��C�g�a ·�Ba�f��C�f�a = a3. ,�%��� ���L�Ba�U��C�g�a ·�Ba�f��C�f�a = Ba2�U��C�g�a + a = a3�U�a + a = a3
( ������ ���L���8�����!���$������&��G��!� ������ ������� ������ �!��"�� �&��������� ��!� ��������"�����8���� ��!*��M����� ���5� ���� !���������� K���� �� ��$���� ��������� ����� �����������%��� ������� �� ��"���� ���� ����� ����� ������L� ���� �� ������� � ����� i �� !�����!� ������F�8��$����������M����"�����!������������L�������8��!�����P����K���� �L�$����������� ���L�$�!�����������"���L� &"����"�������]C�Bx�f��C2�U�#2^��"�$������$����x + 3 = a:a2�U�#2�b�Ba y�#CBa�f�#C�*�� ���&M���A�8��!�����������������&���������a = x + 3: Ba y�#CBa�f�#C�b�Bx�f���y�#CB x�f���f�#C�b�Bx�y��CBx�f�+C�
�����[�]C�Bx�y��CBx�f�+C�N���"����[� i �� ���M�%�� ����� !�������� "�$� �$������%� K���� �� ��$��������������������������%L�������������%�!��������%����"�$�� ������C�B#?�U�xC2�U�B�? + 3xC2 b�BB#?�U�xC�U�B�? + 3xCC�BB#?�U�xC�f�B�? + 3xCC�b�
b�B#?�U�x�U��?�U��xC�B#?�U�x + 2? + 3xC�b�B�?�U�#xCB)?�+ 2xC�����[��C�B�?�U�#xCB)?�+ 2xC�
����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ����$��������������������������%����G�!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ����$��������������������������%L������������!��������H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!����������K���� ����$����
����������������������%�H�������VVV (������ ����!��������K���� ����$��������������������������%�H�������VW H��"����!��"���!��������K���� ����$����������������������P
����%�
130
Глава IV
Урок 4.4. Куб суммы и куб разности двух выражений
C���)���1�����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� K���� ����"�����������$���������� �����K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L��������������"������*������������ ������� ��P������ �"QG�� ��"�� � ��"���� a + b�� X���� �$��"��P������� �������"����������, ��!����������F��8��� ���������"� �����8 ��������� ����������!� �P$��������$����������!�&������!���8������H��PM��L���!� ��&M������� ����L��!���� �&�K���� ����"������������� �����
Ba + bC3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
( ���&M�%����� ����&�����������Ba + bC3�!����� �&��������!���$�����������P� ���������������Ba + bCBa + bC2���!��"������������!���$�����������8�� ����L��!���� ����K����� ���*�%��!���$���������������!� �$�������������%������"�����!��"�����P��������� "��������������!�����!���!���� ����K���� ����"����$���������� ������
Ba�U�bC3 = a3�U��a2b + 3ab2�U�b3
B����)��������#�>��*���[�E���!������&��K���� ����"�����������"����$���������� ����\
(� �� �&� !���������� � ��������� $������� �$� ���"����� ��&�� ��� ��"����� ����8��!�!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� *�� ������ K���� �� � B�� ¨� aC3� |� �� ¨� �a� B;� ~� a ~� �C� !���$���G��!��" ������������ ����]C�B��f�;L;�C3�|���f���g�;L;��b��L;�^�
?������$���������L;�3�b��L;�;�;���>"� &����!�8��A���[��L;�;�;��U��L;��b�;L;;;�;�"C��L;#3�b��L��#-)#�����K���� �[��L;#3�b�B��f�;L;#C3�|���f���g�;L;#�b��L��
>"� &����!�8��A���[��L��#-)#�U��L���b�;L;;#-)#��C�;L773�b�;L7+;�77�����K���� �[�;L773�b�B�U�;L;�C3�|���U���g�;L;��b�;L7+
>"� &����!�8��A���[�;L7+;�77�y�;L7+�b�;L;;;�77�8C��L�3�b��L��������K���� �[��L�3�b�B��f�;L�C3�|���f�;L��b��L�
>"� &����!�8��A���[��L����U��L��b�;L;����C�;L77)3 b�;L7--;#+7�)�����K���� �[�;L77)3b�B��U�;L;;#C3�|���U�;L;���b�;L7--
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
129
4.4. Куб суммы и куб разности двух выражений
Деятельность�5����%�������� ������a�?�b��
�5,�F:��%��;�G�>� a�?�b!3.
�53%�������������%��������� ������������b������
�/� %� ������ ��������������� ���� �� � ���� �
��� ��%���� H�� ������
� ��+��% ��/��/���/�
����/�������
�5�H���/� �F:�� ��� ��+��%��� ��������� ���
�%��%��3� ��������������� �%����6
�5)����/���� �F:������ �%������%��%� �F-
:� ���� ���������I��������� �%���� ����-
�������� �����������
ab�a� b�a�b a�b ab�a�b ab�= + + + + ++ + +( + )�a b
ba
+
a+
b
a + b
ab�
a�
b�a�b
a�b
ab�
a�b
ab�
J �%���#�����')��g�'��M���>��
3%���%������%���������������;�%����� � ��������/���*��%� ��� ��
� �������������������� � ��������/������ �����*��%� ��� ��� ��-
����������� � ��������/������������ � ����*��%���� � ��������/;
^aIbV3\a3I�a2bI�ab2Ib35
Деятельность
�5'�������� a ?�b!3������������������ ��������/��:�� ���� ������%���� ��
�5)� ���%����� ������������� � ����� � ���%���������� � �����
�5) �%������� �� � ����� ��������� �� ����K
���� �� ����� �� %�� ����� �� � ��� ������
��%�����
�5I����������%�������������+ �%���
�5'�������� a�&�b!3������������������ ��-
������/��:�� ���� ������%���� ��
�5) ������������� � ����� � ���%���� ��
������������������ � ������
�5) �%��������� � �����������������������-
� ���������%�� ������� ������������%�����
�5"��%����������������������+ �%���
a b+a b+
a ab2+
ab + b2
x
?
a b–
a ab + b2 2
– 2x
?
a b+a ab + b
2 2+ 2
x
?
a b–a b–
a ab2–– ab + b
2
x
?
131
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
>"� &����!�8��A���[�;L7--;#+7�)�U�;L7--�b�;L;;;;#+7�)E�����$� ����!���� ���L������!������!�8��A������$����� ����
�����1]C��L;�^�;L;;;�;�^�"C��L��^�;L;;#-)#^�C�;L7+^�;L;;;�77^�8C��L�^�;L;��^��C�;L7--^�;L;;;;#+7�)�
!*��M�������5�Y��$���������!� �������� �&��������8��!�����������I�� �P��"��$��L���"��F��$���������!� �� ��� ��������M�����@������������K���� ����"������L�!���"��$���[
aa
a aa
aa a
a aa a
aa
a+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ = + ⋅ + + = + + + = + +
13
13
1 13
3 1 13
3
3 2
2 3
3
3
3
3++ =
3
a
= + + +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
13
13
3a
aa
a.
O$� �������� aa
aa
aa
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ = + + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
1 13
13
3
3 !� ����� a
aa
aa
a3
3
31 1
31
+ = +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ �� =�
!� ����������������!��������������&�$�������� aa+ =
15 :
aa
aa
aa
3
3
3
31 13
15 3 5 110+ = +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟= − ⋅ =
�����: 110.!*��M��������5�]C�������!� ������$�������$��������a���b��!���� �&��!��"���!��������[�i ��a + b�b�7L�ab�b�-L���a�b�-L�b�b���� ��a�b��L�b = 8.
a3�U�b3 = 83�U��3�b'�������� ������� �L����a3�U�b3 = 13�U�-3�b�U_'���U��� ����� ���C�,����a�U�b�b�'�L�ab�b���);L��$����L������� b������ ������� ���
O$��������Ba�U�bC3 = a3U��abBa�U�bC�y�b3 a3�y�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC�b�'�3�f���g���);�g�'��b���+�)-�Ba3�y�b3C�b���g���+�)-�b�)+#��)� �����[��C�)+#��)�
!*��M��������5
�C�2
5
1
2
2
53
2
5
4 3 7
3
4 3
3
4 3x y xy x y x y+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +
2
7 4 3 7
2
71
23
2
5
1
2
1
2xy x y xy xy
⎛⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ =3
= + + +12 9 9 13 6 17 3 218
125
6
25
3
10
1
8x y x y x y x y ;
�C�B;L�x6y2?10�U�;L�C3�b�;L;;�x18y6?30�U�;L;;)x12y4?20�f�;L;��x6 y2?10�U�;L;;-�����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� �����"�� ���������"����$���������� ����������!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ����"�����������"����$���������� ����L������������
!����������H�������VV ,�!����� ��$����� ����� �A�"��� !��� !���������� K���� � ��"��
����������"����$���������� �����H�������VVV (������ ����!��������K���� ����"�����������"����$���������
� �����H�������VW ��������� ���"���� !��"��� K���� �� ��"�� ����� �� ��"�� ��$����
������ ������
132
Глава IV
Урок 4.5. Разложение на множители суммы кубов двух выражений
C���)���[�����#�����������K���� ������MG���P8�� ���������� !��� ����������� $�������� ��� �������������%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� K���� ����������"����������������%�K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ��&�� !���"���$�P���������K���� �L��$�����������!������M��������[�
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = Ba + bC3 a3 + b3 = Ba + bC3 – 3abBa + bC
=�!����%��������������������� ���Ba + bC���P�����$����"��[a3 + b3�b�Ba + bCBBa + bC2�U��abC=�������������������"�����!����[�Ba + bC2�U��ab = a2�U_ab + b2
( ������ ���L�a3 + b3�b�Ba + bCB�a2�U�ab + b2C��R��������"�����1�H��� ����"Q������K���� ���������"����������������%���!��������!� ��8�����������
B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� ���������"�����������������%\
E�#���)����#��#����'��)����1
!*��M�������5]C� 31 19
5031 19
3 3+− ⋅ =
31 19 31 31 19 19
5031 19
2 2+( ) − ⋅ +( )− ⋅ =
=312�U���g����g��7�f��72�b�B���U��7C2 = 144
�C 39 41
8039 41
39 41 39 39 41 41
8039 41 39 4
3 32 2
2 2
2 2+− +( )=
+( ) − ⋅ +( )− − =− ⋅ 11 1599=−
�����[�]C��##L��C�U_�'77�!*��M����� ��5� ���� ��A����� ��������%L� !������&�� K���� �� ����MG���8�������������C�Ba�f��C3�U�aB�a�f��C2�f�B�a�f��CB#a2�U��a�f��C�b�'�
a3 + 6a2 + 12a�f�-�U�7a3�U�)a2�U�a + 8a3 + 1 = 5311a = 44a = 4
Глава IV
132
4.5. Разложение на множители суммы кубовдвух выражений
Деятельность
�5 '�� ��������a3�?�3a2b�?�3ab2�?�b3�>� a ?�b!3�������������� ��� �#����� -
������� ����������� �� ���� ����� �%���� �� ������������������� ��
���%*��� �%�����������3� ��� ������ ����� �%����6
a3�?�b3�>� a�?�b!3�&�@ab a�?�b!
�5 '���� ���� ���� ���������� ������� a�?�b!��������������������� -
� ��3� ��������������� �%����6
a3�?�b3�>� a�?�b!� a�?�b!2�&�@ab!
�5 L� �������� %*�� �%��3� ��������������� �%����6�H�������� -
������� ��� ��� ��� ��������� a3� ?� b36� ) ���������� ��������� �� :�
������� ����������� ��� ���� ��������� ���� ���� ��������
M:������a2�&�<ab�?�b2����������/�� ���������� ����%������ a�&�b!��
�:������a2�?�<ab�?�b2�&�� ���������� ����%������ a ?�b!��M:������a2�&�ab�?�b2�
���������/���*���'#��)������%������ a�&�b!��M������:������a2�?�ab�
?�b2�&���*���'>#��)���� a�?�b!�
J �%����'#����)��g�'��M���>��
�%����%� ����%����������������� ��������*��%����$�������������
����� ���������� �������� ���;
a3�?�b3�>� a�?�b! a2�&�ab�?�b2!
Образец
�V'��������Na3�?�<Ob3���� ���������� �������
3��4�8a3�?�<Ob3�>� <a!3�?� @b!3�>� <a�?�@b! <a!2�&�<a�P�@b�?� @b!2!�>
>� <a�?�@b! Aa<�&�Qab ?�Bb2!�
�V�)� ���%����� ���������� x�?�Ay! x2�&�Axy�?�RQy2!����� � �����
3��4�3������ �����������/���������� �������&� x�?�Ay!���� ��
�� ������������� �������������%������ x�&�Ay!��M ����� �+ �%����%����
%� ���������;�� x�?�Ay! x2�&�Axy�?�RQy2!�>�x3�?� Ay!3�>�x3�?�QAy3.
Упражнения
�5�� � �����������(%��,�F/��������������/*��/����������� $++�(�����
�)��"��� 3ab6 &S<m4n2 R�Rx7yz43
5
9abc�13
5
4xp��
4
7
8 11m n�11m5n
H���)��"���� 27a3b18
C��*��� O���<R
H�;//������' @���<O
133
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
N�����#�[� B#�f��C3�U�#B�g�#�f��C2�f�B�g�#�f��CB#�g�#2�U���g�#�f��C�b�'� 53 = 53
8C�'xBx�f��C2�U�'Bx�f��CBx2�U��x�f�7C�U��;Bx�f��CBx�U��C�b�+'5x3 + 30x2 + 45x�U�'x3�U���'�U��;x2 + 120 = 7545x = 90x = 2
N�����#�[� 'g���gB��f��C2�U�'B��f��CB�2�U��g���f�7C�U��;B��f��CB��U��C�b�+' 75 = 75 �����[��C�#^� 8C���!*��M��������5�, ���!���� ������� ��� ������������������������ ��!��������� ����������%�K���� ���������"����������������%��X��������������$������������8 ����!� �����������!��������"������ ���]C�B��U�qC3 + q3�b�B���U�q + qCBB��U�qC2�U�B��U�qCgq + q2C��
���� ������F�������������!����%������� ��B���U�q + qC�b���L���!���$��������������� �����������
"C�B#�U��qC3 + 8q3�b�B#�U��q + 2qCBB#�U��qC2�U�B#�U��qCg��q + 4q2C����� ����!����%������� ���� ������#L���!���$���������� ������#�
8C��q3�f��B#�U�qC3�b��Bq3�f�B#�U�qC3C�b��Bq�f�#�U�qCBq2�U�qB#�U�qC�f�B#�U�qC2Cbb���Bq2�U�qB#�U�qC�f�B#�U�qC2. O$��8�L������!���$����������������� ����L��������������� ���� ���������
!*��M����� ���5� , �� �!���� ����� ��������%L� ������� �� ���� "��� $�!�����������"����>L�=L�(���rL�� ���&�����������������]C��B�x�f�̀ CBa�f�7y2C�b�j3�f�r3��E����������$�F�8���������L�!������� ����!� ������
��������"����( ������ ���L� ������!��������"������ ����"���������������P�������%L������������"����U���!� ��%����������$����F�����������%��?�8����� �����"���>�b���L�!�������������������"����7y2�b�B�yC2��( ������ ���L���!��P������"����B�x + 3yC��?�8���"�����a�b�#x2�U�)xy��?������"��$��LB�x + 3yCB#x2�U�)xy + 9y2C�b�B�xC3�f�B�yC3.����������!�����!�������"���j�b��y���r�b��x.
�����[�̀ �b��yL� a�b�#x2�U�)xyL� j�b��xL� r�b��y."C������ ��������������B�m�f�`CBa�f�jC�b�n6�f�rL�n6�b�Bn2C3�������$�!����>�b�n2.
?�8���!��������"���"����B�m + n2C��=����������"����������$�!���[a�b�7m2�U��mn2���j�b�n4�B� ��a�b�7m2L�j�b�U_�mn2 + n4C�?������"��$��L�B�m + n2CB�7m2�U��mn + n4C�b�n6 + 27m3.
�����[�̀ �b�n2L� a�b�7m2�U��mn2L� j�b�n4L� r�b��+m3.!*��M��������5�, ��!���"��$����������������������%���!���$��������!��������K���� ���������"����������������%��X�������� ���By�U��C�!���������$�������� ����C�By�U��C3�f��+�b�By�U���f��CBBy U��C2�U��g�By�U��C�f��2C�b�By�f��CBy2�U�+y�f��7C���C��+m3�f�Bm + nC3�b�B�m + m + nCB7m2�U��mBm + nC�f�Bm + nC2C�b�B#m + nCB+m2�U�mn + n2C�!*��M��������5�,�����������������!��M�&��!�����������K���� ����"����P����������������%�
�C� 21
43 2
1
473
473
43 7
3
4
3 2 3⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ + ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ + ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ = +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ =
2 3
21
421
473
41000.
134
Глава IV
8C�BU_;L+-C3�f��L��g�BU_;L+-C2�f�BU_�L�#Cg�;L+#2�f�;L+#3 = b�BU_;L+-C3�f���g�;L+#g�BU_;L+-C2�f���g�BU_;L+-Cg�;L+#2�f�;L+#3 = b�;L+#3�U���g�;L+-�g�;L+#2�f���g�;L+#g�;L+-2U�B;L+-C3�b�B;L+#�U�;L+-C3 = b�U_;L;#3�b�U_;L;;;;)#��� � � � � � �����[��C��;;;L� 8C�U_;L;;;;)#�
!*��M��������5�Y��$������L���!��� ������������������!���������L������"���$������� ��������M����i ��!����� ��������#����������G���L���F���� ��$�!��������������#x + 1.i ��!����� ��������#����������G���L���F���� ��$�!��������������#y + 3.B#x�f��C3�f�B#y�f��C3�b�B#x + 1 + 4y�f�CBB#x�f��C2�U�B#x�f��CB#y�f��C�f�B#y�f��C2C�H!�������F�������������!��������"��[4x + 1 + 4y + 3 = 4x + 4y�f�#�b�#Bx + y�f��C��?������"��$��L��������"���F������ �����������#�����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ���������"����������������%����G�!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ���������"����������������%L������������!�������.H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!����������K���� �������
��"����������������%.H�������VVV (������ ����!��������K���� ���������"����������������%.H�������VW ������������"����!��"���K���� ���������"����������������%.
Урок 4.6. Разложение на множители разности кубов двух выраженийC���)���1����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�����������"����1���������K���� ����$�������"����������������%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� ��������� !���"��$���P������K���� ����"����$�����������������%[�a3�U��a2b + 3ab2�U�b3�b�Ba�U�bC3 a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
135
4.6. Разложение на множители разности кубовдвух выражений
Деятельность�5 '������������ ��� �#����� ������� �� ���� ��� �������
a3�&�3a2b�?�3ab2�&�b3�>� a�&�b!3
�����������������%*��� �%����������� �%���� ������������3� ��� ������ ����� �%����6�a3�&�b3�>� a�&�b!3�?�@ab a�&�b!
�5 '������������ ����� ������� a�&�b!������ ���� ���� ���������3� ��������������� �%����6�a3�&�b3�>� a�&�b!� a�&�b!2�?�@ab!
�5 L� �������� %*�� �%��H�������� ���������� ��� ������������a@�&�b36
K�������������#����)��g�'��M���>5"��� ����%� ����%����������������� ��������*���� ����$�������-
����������� ���������� ������%���;
a3<b3\^a<bV^a2IabIb2V5
Образец
�V"��� ���������� ����������������T�R<=a3�&�QAb3.
3��4�T�R<=a3�&�QAb3�>� T�=a!3& Ab!3�>� T�=a�&�Ab! T�=a!2?T�=a�P�Ab?� Ab!2!�>
>� T�=a�&�Ab! T�<=a2�?�<ab�?�RQb2!�
�V�) ���������� <x�&�@y! Ax2�?�Qxy�?�By2!��� ���%�������� � �����
3��4�3������ �����������/���������� �������&� <x�&�@y!���� ���� -
������������� �������������%������ <x�?�@y!��M ����� �+ �%����%����%-
� ���������;�� <x�&@y! Ax2�?�Qxy�?By2!�>� <x!3�&� @y!3�>�Nx3�&�<Oy3.
Упражнения
�5,��������� ���������������������������:������ ��������;
U!� a�?�<b!2�>�a2�?�<ab�?�b2V�
�!� <x�&�@y!2�>�<x2�?�R<xy�?@y2V
�!� m�?�n3!3�>�m3�?�<mn3�?�@mn6�& n9V�
�!�<Oa6�?�Nb9�>� @a�?�<b! Ba2�&�Qab�?�Ab2!�
�5�'�� ������%�� �����;
U!� b�&�R! b2�?b�?�R!V� � �!� Am�&�@n2!� RQm2�?�R<mn2�?�Bn4!V�
�!� @�&�d! B�?�@d�?�d2!V� � �!� T�QAx12�?T�ANx6y7�?T�@Qy14!� T�Nx6�&T�Qy7!V
�!� &SOp�?�=k! <=k2�?�@=pk�?�ABp2!V� W!�1
4
1
6
1
3
1
2
1
3
6 3 4 8 3 4x x y y x y+ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟.
135
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
=�!����%����������������������$����"����������� ��Ba�U�bC[�a3�U�b3�b�Ba�U�bCBBa�U�bC2 + 3abC=��������������������"�����!����[Ba�U�bC2 + 3ab = a2 + ab + b2
( ������ ���L�a3�U�b3�b�Ba�U�bCBa2 + ab + b2C��R��������"�����1�H��� ���"Q�����K���� ����$������"����������������%���!��������!� ��8���������������B����)��������#�>��*���[�E���!���������K���� ����$������"������������P����%\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� @��������� ��� K���� �� ��"�� ��$���� ����� ��������%L� ������$�!������������a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC��]C�i ��a�U�b�b�#^�ab�b�U_�L+'�
a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC�b�#3�f���g�BU_�L+'C�g�#�b�)#�U����b�#�"C�i ��a�U�b�b�U_'^�ab�b�U_)�
a3�U�b3�b�Ba�U�bC3 + 3abBa�U�bC�b�BU_'C3�f���g�BU_)C�g�BU_'C�b�U_��'�f�7;�b�U_�'�����[�]C�#�L� "C�U�'�
!*��M�������5����������K���� ����$������"����������������%[��C�?6B?�U�)C3�U���'?9�b�B?2B?�U�)CC3�U�B'?3C3�b�B?2B?�U�)C�U�'?3C�BB?2B?�U�)CC2 +
+ ?2B?�U�)C�g�'?3�f�B'?3C2�b�B?3�U�)?2�U�'?3CB?4B?2�U��?�f��)C�f�'?6�U��;?5 + 25?6C�bb�BU_)?2�U�#?3CB?6�U���?5 +36?4 + 30?6�U��;?5C�b�BU_#?3�U�)?2CB��?6�U�#�?5 + 36?4C�bb�U_�?6B��?�f��CB��?2�U�#�?�f��)C�
8C�B�x + yC3�U�B�x�U�yC3�b�BB�x + yC�U�B�x�U�yCCBB�x + yC2�f�B�x�U�yCB�x + yC�fB�x�U�yC2Cbb�B�x + y�U��x + yCB#x2 + 4xy + y2 + 4x2�U�y2 + 4x2�U�#xy + y2C�b��yB��x2 + y2C��
�C�x6y9�U�)#x3�b�Bx2y3C3�U�B#xC3�b�Bx2y3�U�#xCBx4y6 + 4x3y3 + 16x2C�!*��M������ 5���A���F��$������L����M������ ����������������������������P����������"���$�����������������%�
�C�3 175
681
381
33 8
1
317
5
6
2 3 2
⋅⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ − ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ −−
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ − ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ +17
5
681
33 8
1
317
5
6
3 3 2
+ ⋅3 1775
681
317
5
681
317
5
69
2 3 3⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ = −
11
2
19
2
6859
8857
3
8
3 3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ =− =− .
8C�-L73�U�)L'�g�-L72�f��)L+�g��;L�'�U�'L'3�b�-L73�U�g�'L'�g�-L72�f��g�-L7g�'L'2�U'L'3 =b�B-L7�U�'L'C3�b��L#3�b��7L�;#�
!*��M�������G5�����"��$��������������������������8�� ��[Bx2�U��;x�f�)CB�x + bC�b��x3 + bx2�U��;x2�U��;bx + 12x + 6b = 2x3�f�Bb y��;Cx2 + f�B���y��;bCx + 6b.]C����"�������8�� ����������!� ������� ��x2L���FKK������x2��� ����"���������
�� &[�b f��;�b�;L� b = 20"C����"����FKK�������x2���x�"� �������L��!���� ���b��$��������[�
b�y��;�b����y��;b: b� 210
11. �����[�]C�b�b��;L� "C�b� 2
10
11.
136
Глава IV
!*��M��������5�,���������������� �����!���"��$�����������"��$��L���"�� �8���"�� ���!����� ������������ ���, ��F�8���������$����"����$������A����8����������������8������������"M�8�������� �����[
�������U�����b����g�B�;;��U��C�b�����g�777�b�����g�����g�7�b�B����g��C2 = 3332
�����: 333.����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� ����$������"����������������%����G�!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X����K���� ����$������"����������������%L������������!�������.H�������VV ,�!����� ��$����� ����� �A�"��� !��� !���������� K���� �� ��$����
��"����������������%.H�������VVV (������ ����!��������K���� ����$������"����������������%�H�������VW ������������"����!��"���K���� ����$������"����������������%�
Урок 4.7. Преобразование выражений
C���)���1����#�����������K���� ������MG���8������������!��������������$����������� �������P������%�E�����������"����1�����"��$������������L�!��P�������K���� ������MG���8������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'[����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1��� ��!�����������K����� �����MG���8�� ���������L� ����� ��!��� �� !�P�"�� ����������� $�������� �� ����� ��������%� ���!� �$��������F���K���� ��=��������F�8������������M����� ���&L�����%�!��"�����8��� �����!����������=����� ��������"������������"��$�����$�����!��"��L�!������&M����!���!����"����$����P������������%��H��� �����������M��������!� P���L� � ����L� ���8�&� ��A����� F��� !���������J���A�L�� ��F��!�������"��������������������� ���!�&���L� �8��� �� ���M���� ��A�� "���� �P�������������� L������� ��F���������������R��������"�����[�H��� ����������������P���������M����!���� ��!����"����$�����������������%L�������������"������
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
137
4.7. Преобразование выражений
H�������%#���% ������� ��� ������������ �������� � �������-
� ����/��� � ����������� ������;����������� �#�� ��� �����/����� ����
�� � ���%��� ����+ �%���� �#:�� � �%�� ����/���� ������/���� -
����/��� � ����������� ���������� ���%*������� �� ������� � ����"�����
��� �� ����� �������� �������� � ����������� ��������������������
�������� � � ��
Деятельность
"��� ���������� ��������� � �����a4�?�ax2�&�a2x�&�x4.
3��4�N�) ����#������� ���������1) � ��%�a4�>� a2!2���x4�>� x2!2��� ���%��� ������� ��������:� ��������� ���
���� ������� ���������� ���������a4�&�x4�>� a2!2�&� x2!2�>� a2�&�x2! a2�?�x2!��
,���������� �������a2�&�x2�>� a�&�x!� a�?�x!��� �%��������%*#���������� ;�
a4�&�x4�>� a�&�x! a�?�x! a2�?�x2!�
��%��� ���� �� �� �� ������ ������� ��� �������� �#��� �� �������� ���
� ��;�ax2�&�a2x�>�ax� x�&�a!�>�&Sax a�&�x!����������%�������� ���:������� ��� ����������� �������%���%������
� �%������� ������� a &�x!�E��������������� ���������1a4�?�ax2�&�a2x�&�x4�>�a4�&�x4�?�ax2�&�a2x�>� a2!<�&� x2!2�?�ax� x�&�a!�>�
>� a�&�x! a�?�x! a2�?�x2!�&�ax a�&�x!�>�
>� a�&�x! a�?�x! a2�?�x2!�&�ax!'��������� ��� ���� ���������������������� � �������������� � �����;
a�?�x! a2�?�x2!�&�ax�>�a3�?�ax2�?a2x�?�x3�&�ax.'���%�������� �%��������%*#�����������;�
a4�?�ax2�&�a2x�&�x4�>� a�&�x! �a3�?�ax2�?a2x�?�x3�&�ax!�
Деятельность
N����1�"��� ������� � �����x4�?�x2y�?�xy3�?�<xy2�?�y3������ �������
3��4�N�) ����#������� ���������1I�������� �� � %�����%*#��� �� �� � ������ ������� �� <xy2� ����� %�� ��� ��
� ���������� �� ���� ��x���y2��X������������������������������������
x2���y4��� ������ ����������������+ �%�%���������%�����H �������$���
�������������%�����%*��
]� ��� ��� ����� �� � ����� ��� �� �������� ��� ���� �� � � �� � ������+ �%���� �#:�� � �%�� ����/����������� �%�����%������� �#����� ��K�������%����� �� � ������%��� �%��' ����/�� ������/�������� �K�� �������+ ��%*��/� � ������ � �� ������������ �����/���Y�����Z��������/����� ��������+ �%������/���� ����/��� � ����������� ����K�������%��������������/�����%*#���� �����(��;�5 X���������������� � ���������*�� �#����� ��������� �$� ���� �������
������������� ��V�5 '������:������� � ��������#�����������+ �%��� �#:�� � �%�� ��K
��/;��������������%���������%�� ��� ������%� ��� ��� ���������������V�5 ^%���%/������������� �#����� ������������������$� ���� ����������
� ��V�5 X������/K��� ��%��� �����%����� ������������ ������������%���K
����������������%������ � � �V�5 )�������� �� �������� ��� ���*#��� ������� �� ��/� �*� �� + �%��� ��
�%��� ��������� �� ��� �����*� ��������� ����� ����������� ��K ����������V
�5 X���� ��� ������ ��� �� ������� ��� � �%��� ��� ���K��� � ����� �� K� � ��� � ���� ���%�����%� �� �� � ���'���%�������� �������� ���������� � %*����� ��������� � �%��������������������� �������%���� �%� ����� ���/��
137
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
B����)��������#�>��*���[�E���!������&��K������ ������MG���8�����������������8���!��"��!���!���"��$���������������%\�
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� ����8��!!����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�C�a4U�a3�U�a2 + a = 0
a3Ba U�C�U�aBa�U��C�b�;Ba�U��CBa3�U�aC�b�;Ba�U��C2a�Ba�f��C�b�;a�b��L�a = 0. �����[�;������
�C�p3�U�'p2�U�7p + 45 = 0p2Bp�U�'C�U�7Bp�U�'C�b�;Bp U�'CBp2�U�7C�b�;Bp�U�'CBp�U��CBp�f��C�b�;p b�'L�p�b��L�p�b�U_�������[�¨����'�
�C�n3�U����f��n2�U�#n = 0n2Bn +��C�U�#B��f�nC�b;Bn�f��CBn2�U�#C�b�;Bn�f��CBn�U��CBn�f��C�b�;n�b�U_�L�n�b�U_�L�n = 2.�����[�U_�L�¨��
!*��M�������5�=��������L����������������� "����" ���L�!���"��$�����&�������"��$��L���"���!� �$�����������$�!����8��������8��� "���L�������"� ����%���8��$��������
C��������-�����*������'g
N������)����*������'g ('��M���� 0��"����
�'��M����a + b = 2 ab = 5 a2 + b2�b�Ba + bC2�U��ab 22�U���g�'�b�U_)?�U�@ = 7 ?@�b�U_� ?@E2�U�?2@ = ?@B@�U�?C U_��g�BP+C�b���
m + n�b�U_7 mn = 10 m3n + 2m2n2 + mn3 == mn�Bm + nC2 �;�g�BU_7C2 = 810
p + q =�U_) pq�b�U_�� pq3 + p3q = pqBq2 + p2C�bpqBBp+qC2�U��pqC
U_��g�B�)f��C�b�U_��g�'-�b�U_)�-
r + s�b�U_+ rs = 20 r3s2 + r2s3 = r2s2Br + sC 202�g�BU_+C�b�U_�-;;
x– y = 21 xy = 4 x3�U�y3 = b�Bx�U�yC3 + 3xyBx�U�yC
213�f���g�#�g����b�= 9513
!*��M����� ��5� "C� m� 2
9;
n� 3
5. ��"�� �!����� !�������� ����� ���������L�
!��������K���� ����$��������������������������%[B'm�U��nC2�U�B#m – 2nC2�b�B'm�U��n�U�#m + 2nCB'm�U��n + 4m�U��nC�b�
b�Bm�U�nCB7m�U�'nC�= −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ ⋅ − ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟=−⋅ −( )=2
9
3
59
2
95
3
5
17
451
17
45.
�C�p�b��L�^�q�b�;L-��p3 + p2q�U�pq2�U�q3 = p2Bp + qC�U�q2Bp + qC�b�Bp + qC2Bp�U�qC�b�B�L��f�;L-C2B�L��U�;L-C�bb��L�2�g�;L'�b��L�;'�
�����[�"C� 17
45, ��C��L�;'�
!*��M�������5]C��'L#2�U�+L)2�f����g��L��b�B�'L#�U�+L)CB�'L#�f�+L)C�f����g��L��b����g�+L-�f����g��L��b
b����B+L-�f��L�C�b���;��"C�#)L-2�U����g�'�L)�U��#L-2�b�B#)L-�U��#L-CB#)L-�f��#L-C�U����g�'�L)�b�
b���g�-�L)�U����g�'�L)�b���gB-�L)�U�'�L)C�b���g��;�b��);��
138
Глава IV
�C
3 3
3 3 3
3 1 3
3 1 3 3
10
37
12 14
12 14 15
12 2
12 2 3
++ +
=+( )+ +( )
= .
�C
2 2 2
16 16
2 1 2 2
16 1 16
5
255
1
51
16 18 19
4 6
16 2 3
4 2
− +−
=− +( )−( )
=−
=− .
$C
36 36
6 6 6 6
36 1 36
6 1 6 6 6
37
187
1
5
2 3
4 5 6 7
2
4 2 3
+− + −
=+( )
− + −( )=−
=− .
�����[�]C���;L�"C��);L��C� 10
37, ��C�� 1
51, �$C��1
5.
!*��M����� � 5� ]C� ,��� !� ������ ����� �� �� �"�$������ x� �� x� f� ��� ?�8��� !��� ���&[� xBx�f��C�f�x + 1 = x2 + x + x + 1= x2 + 2x�f���b�Bx�f��C2.,�%��� ���L�� ����!���$������&������!� ������ ������� ������ �!��"�����"� �A����$����L���!� ������������"� �A�8���� ��"C���$������"��������!� ������ ������� ������ [�
Bx�f��C3�U�x3 = x3 + 3x2 + 3x�f���U�x3 = 3x2 + 3x + 1.=�F������������������$� �8������!� ����&��� �������L�������� �8���������������� ��L� ������ ���L���������������� ���
�C�,������L����!����� ����������������G��8���� �����-����������G���[*��G������ ��!������$���x�f����?�8���B�x�f��C2 = 4x2 + 4x + 1 = 4xBx f��C�f���
=�F�����������������������#xBx f��C��� ������#L�!���$��������xBx f��C�U�!���$���P������������!� ������ �������� ���F��!���$���������� ���������( ������ ���L�������������#xBx f��C�!� ���&��� ������-�?�8�������L�!� ������%�!����� ���������������#xBx f��C�f������-L�"������H��M������8��!����������������������!��� �����%����!��������!*��M��������5�]C�a2 + 4a�U�'�b�a2 + 4a�f�#�U�7�b�Ba�f��C2�U��2�b�Ba�f���U��CBa�f���f��C�b
b�Ba�U��CBa+'C�,�%��� ���L�Ba�U��CBa+'C�b�a2 + 5a�U�a�U�'�b�a2 + 4a�U�'��"C�b2�U��;b +9 = b2�U��;b�f��'�U��)�b�Bb�U�'C2�U�#2�b�Bb�U�'�U�#CBb�U�'�f�#C�bBb�U�7CBb�U�C��
,�%��� ���L�Bb�U��7CBb�U�C�b�b2�U��;b�U��7���C��x2 + 16x�U�#;�b��Bx2 + 8x�U��;C�b��Bx2 + 8x�f��)�U��)C�b�
b��BBx�f�#C2�U�)2C�b��Bx�f�#�U�)CBx�f�#�f�)C�b��Bx�U��CBx�f��;C�,�%��� ���L��Bx�U��CBx�f��;Cb��x2 + 16x�U�#;��
8C x x x x x2 2
2 2
1 5 1 23
4
9
161
9
16
3
4
5
4+ − = + ⋅ + − = +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟ =,
= xx x x x+ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ + +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟= −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +( )3
4
5
4
3
4
5
4
1
22 .
,�%��� ���L� x x x x−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +( )= + −
1
22 1 5 12 , .
�C y y y y y2 2
2
2 5 6 25
4
25
16
121
16
5
4
11
4− − = − ⋅ + − = −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟, ⎟⎟ = − −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ − +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟=
25
4
11
4
5
4
11
4y y
b�By�U�#CBy�f��L'C�
139
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
,�%��� ���L�By�U�#CBy�f��L'C�b�y2�U��L'y�U�)�
�C� a a a a a2 2
2
3 5 1 5 27
4
49
16
49
16
3
2
7
4
25
16− + = − ⋅ + − + = −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜, , ⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟= − −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ − +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟=a a7
4
5
4
7
4
5
4
b�Ba�U��CBa�y�;L'�C,�%��� ���L�Ba�U��CBa�y�;L'�Cb�a2�U��L'a�f��L'�
����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������K���� �������MG���8������������!���!���"��$���������������%���!�������������8���!��"�������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V (�������!���"��$����������������.H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!���!���"��$���������������%.H�������VVV (������ ����!���"��$����������������.H�������VW ,� ���!���"��$���������������%����"����!��"��.
Образец критериев оценивания для составления задания для малого суммативного оценивания № 6
� H�������1 ���������K���� �������������������$�����������������%�2 ���������K���� ����$��������������������������%�3 ���������K���� ����"�����������"����$�����������������%�4 ���������K���� ���������"�������$������"����������������%�5 ����"��$������������L��!� �$���K���� ������MG���8������������
140
Глава IV
Образец малого суммативного
оценивания № 6
�5���*�!�A���K���� �������������������$����� �����k���p.������������������������������������������������������������������
�5��X�!�A�����������������������8�� ����[�B�x�U��C2�b�������������������������B;L)�U�mC2�b������������������������
11
46
2
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ =x �����������������������
Ba + 2bC3b�������������������������B��U�mC3b��������������������������
�5����$ ������G�� ������������ �[y2�U���y�f�����b��������������������9bBb�U��C�U�Bb�U��C�b��������������������������������������������������
�5������ ������ $�������� "� $�������� ����P������ Bx� U� )�C� "���� ��� �� �������������A������������BU_'�f�+xC\�����������������������������������������������������������������������������������������������������
�5���$ �������������� �[25a2�U�)#x4�b������������������������������������������������������
�5��=��� ���$���������������������"����!��"��[���L;#2�f���g�'L;)�g���L;#�f�'L;)2 = ���������������������������������������������������������������������������������������������������
�5���$ ������������������������ �[]C�m3 + b3�b������������������������"C�-x3�U��+�b���������������������������������������������������������
�5��=��� ���$�����������������[
69 75
44 38
2 2
2 2
−−
= ����������������������
���������������������������������
81 75
44 38
2
2 2
−−
= ����������������������
���������������������������������
5��=���� ����� $�!�A��� ���%� ����P� ��L� ��"�� !� ������%� �G�� ����������"� ��$�!������������������������ ���[�;L;#b2 + ... + 169a2 ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�G5���A������������[Bx f��CBx2 U�x�f��C�U�xBx�U��CBx�f��Cb�)�
����������������������������������������������������������������������������������������������������
��5���$ ������������������������ �[]C�;L;)#�f��+a3�b������������������
����������������������������������������������������������
"C���'�U�x6�b�������������������������������������������������������������������������������
��5��=��� ���$������������������a3 + b3 !���a + b�b��)L�ab�b�U_�-�
���������������������������������������������������������������������������������������������������
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
141
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
Урок 4.8. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей
C���)���1�������������������%����8 ��L�!� �����P���� !��� !���������� ����� !��� � ����� !����������%�!����%�E�������� ���"����1 @!���� ��� �8 �L� �"���$�����P����!���!���������������!����������%�!����%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=��������F�8���������P ���&�� �8 �L� �"��$�������� !����������� �����!������ ����%� !����%�� (!����� ��!� ����� ���P� ������ �$� ���"������ H��M����� �!���������$��������������������������� ������8 ������!��P�����M��� �������� X���� !�������� ���!�&����
����� �L����������������L������8�������"����L���G���K������&��������!������������M�%L���������$����"��$��������������������8 ���H��� ���"�����������M�P���L�!���������������������A���������� ���M����8 �L������������L������P��������8 �����&��������$�������=� �A����������������M�����,��������������M��������������������������8 �������� �������M�%�
B����)��������#�> ��*���[� E����� ��"������ ��� �� �8 ��L� �"��$�������� !���!���������������!����������%�!����%\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M����� ��5 ]C� O$����L� ��� �$� !�����G����� �8 ��� �4 = �)�� Y�� �8 �� U����������������� ���M����8 ����4 + ���b��-;�����5 + �)�b��-;��U���������8 ������ �������b��-;��U��#����'�b��-;��U��)L����3 = �5."C��,�����4 = �)������ �����4 = ������8 = �)�B������ �����
�8 �CL�"�����2 = �)����4 = �8. ���������!�����!���3 = �5: �1 = �'����3 = �7. �C� O$����L� ��� �4 = �)�� ���� ���� �)� b� �-;�� U� �'L� ��!� ������#�b��-;��U��'����4 + �5 = 180°. ( ������ ���L���F��� �����������������������������P�����8 ����������-;��!*��M����� ��5� ]C� O$����L� ��� ����� ���������� ������������ �8 ��� ������ �3 + �6 = 180°.
Глава IV
142
4.8. Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей
Накрест лежащие, односторонние и соответственные углыДеятельностьL����� ��� �����������%����������������/���%���/����������.
�5 H��������� ��� �������/����a���b���������*#%*�����/�%*�c.�5 L���������������������������%������ �%-
�����������%����������������/��/�����������H�� ���������� �������
�R�?��<�>�6� �@�?��<�>�6� �R�>�6
�5 L���������������������������%������ �%-
�����������%����������������/��/����b���c.�N�?��O�>�6� �Q�?��O�>�6�� �O�>�6
a
b
c
14
23
58
67 ������
L����� � ���������/�����%�� ��� ��������/���������b���������-
*#�������/� ���������%*��/�����%*#��� ��� �� ����R!;
(�����������#������M�?��� �'1�A����QV��@����5.
(��������#������M�?��� �'1�R����OV��<����8.
(����������)������������ �'1�A����=V��@����6.
(�������)������������ �'1�<����OV��R����8.
C������������'�� �'1�R����=V��<����QV��A����NV��@����7.
I������/��/������������/���#�?�>��/��������b.
Упражнения
�5����%�� ���������������%���<��%�����;�
�!���%�����������������#���%���V
�!�������������������#���%���V
�!���%������� �� �� �����%���V
�!��������� �� �� �����%���V
�!�� �������������%����
,� ��%������ ���%�$���%���������������
�5��'���%� ������`ab������ ���`a������� ���c������� ���d3�&�� ���'��
H���������/�%*�c'��'����������%�����������������#������%���-
���� �� �� ������� ���������������������������������#�������������
�� �� �����%�����
��� ������� �� �-
�%����������������/�
�/����̀ a���d3���-
%#���c'� ����@!�
a
b
c
m
k
np
te
sf
�������
A
B
N
M K
F
P �����$
a
b
c
14
23
586
7
142
Глава IV
i ��!�����������������������������b��-;��U�������)�b��-;��U��+L���!� ����[��-;��U����f��-;��U��+�b��-;��¦§��2 + �7 = 180°."C��O$����L�����3 + �)�b��-;���@"������������������������������b��-;��U��#���
���������������[��-;��U��4 + �)�b��-;��¦§��4 = �)L��3 = �5.!*��M������ 5�(�8 ����� ���&L��2 + �3 = 88°. �)�b��-;��U�B�2 + ��Cb��-;��U�--��b�7���4 + �)�b��-;�L����#�b��-;��U�7���b�--���7 = �)�b�7��L����1 + �5 = 88°.?������"��$��L��1 + �2 + �3 + �4 + �'�b�B�1 + �'C�f�f�B�2 + ��C�f��4 = 88° + 88° + 88° = 264°. �����: 264°.����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������"��8 ��L��"��$��������!���!���������������!����������%�!����%.����������n�@!���� ����!����� ������'#������������������
H�������V X��������� �� �!���� ����� �8 ��L� �"��$�������� !��� !���������������!�����������%�!����%�
H�������VV ,�!�������$����� ������A�"���!����!���� ������8 ��L��"��$����P����!���!���������������!����������%�!����%�
H�������VVV (������ �����!���� ����8 �L��"��$��������!���!���������������!�����������%�!����%�
H�������VW @"��������L� �!���� ��� �8 �L� �"��$�������� !��� !���������� �����!����������%�!����%�
Урок 4.9. Признаки параллельности прямыхC���)���1� ������� ��������� ��%��� �8 ��L� !� �P��������!���!���������������!��� � �����!����������%�!����%�E�������� ���"����1 ��������� !��$���� !��� P � ������!������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =� ������� !����8�� ���������!� ��������� ����L� ������� �� ���"������ @P����������������� ����L��!���M�&�����!����P����$����&���8 �L��"��$��������!���!���������������!�������� ���M�%��=��!� ���&M����$������������M���� ��8 ����� �!���� �&� �"�� �������L�
1
4
23
57
6
Глава IV
144
4.9. Признаки параллельности прямых
Деятельность
�5 ������������������ ������������b��������������������������5 ����������������������������� �������
��������� ������� �� �������� ��� ��-
�������b�����������!����"#�
�5 $����������� ���������"���%��&�����
���������� ��� �����'� &��� ����������
(������'
�5 $����������� ���������)���*��&�����
������������������'�&��� ����������(������'
�5 $����������� ���������+���,���������������������&��� ����������
(������'�/��������0�����������������������1�� ������� ��+���,'
�5 ���1��������1�� ���������"���,��&�����������������������'
�5 2����0������3�� � �������������������� ����������������������� ��
���������b������������
a
b
14
23
586
7 ������
Признак параллельности прямыхТеорема
5��(�'�(�'�����?�((�0����'�@������*�)�A���-1��(���*���1����)(��� �������&�1��41(�0���'�@����'�������3��!�����������'1�4������������b�������������
��������������9:�����������;���� ���������-
0����� ���� ���������� �<��"�=��)��
!����M)���������'1���������b��������� �<�a >>�b�!��� ���+#�
+�#����������������'1�&�������� ��� ����������1����������������-
���������������������� ��1����1������?��1���0����������������b����-
�����������������������@�!����C#��@D:�E��������� ���G�������D:�1����
��������� ��1���������������H������� ��@D:�������0� ����1 ������-
����������������1�������������������������������� ��2D:����� ���
�������� ���@D:��G����� �����������I9:�=��J:9���I:9�=��J9:��
H��1������� ��2D�������0� �� ���������������� ��2:�E� ��������b��G��-
1������� ���������2�E��������������������� �����������b��?���������1���
������ �� ������ ������������ ��
1������������ �;����1���0� ��
���� ��� G��1������� ��� ������
���b�E��������� ��<�a >>�b.
D�����)�#�����5
a
b
1
4
2
3
M
N ������
a
b
1
4
2
3
M
N
AB
�����$
143
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
��"������L�������&��-;�L��8 ��L��"����$���������!���!���������������!��� � �����!��������������M�%����$� ������$Q����&������M�������R��������"�����[�=��������������������L�����$�����!��$����!��� � �����!�������B!������������������ ���M����8 ��C��
B����)��������#�>��*���[�E���!���������!��$����!��� � �����!�����\
�� ������$�� ����������L���$���&��!��$�����!��� � �����!������!������������ ������������ �� ����������� �8 ��� �� F�� ������� ����$���&������M����L�!��� G���������8��!!���=������������$�� �����!� �$����!��$����!���� � � �����!������
*�� ���&M���F�!����!� ��������������� ����L�������������"������@!���P��� ����!��� � ����������!������!���� ���&������8��!��!������ ����
=��������!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�]C�,�����1 = �8.(� ���8�%� �����L� �$����L� ����1 = ��� ���8 = �5. ?�8����3 = �'L� ���� ���������� ������ ���M��� �8 ����������( ������ ���L�a����b."C�,�������b�#�;L�� 8 = 1370. ������-�U����A��������P����������8 ����2 + �-�b�#���f���+��b��-;������� ������������A�����������������8 �����������-;�L���a����b.�C�,�����#�b�''�L����b��-;��U��#�b�-;��U�''��b���'���?�8����)�b���'��U+;��b�''���( ������ ���L��4 = �)���a����b.!*��M�������5�=����8� ������>=(������%��8� ��8 ��>=(��-;��U��-��b��#������� ����jm�U�"������L����ajm�b��#�� : 2 = 71°.?�8����j`a�f��`jm�b�+���f��-��f�+���b��-;���j`a� �� �`jm� U� ���������� ������������ �8 ���( ������ ���L�̀ a����jm������?��������������1����� ���"�"M���!��%���������!��$������!��� � �����!�����������!��������������������n�����������
!����� ������'#������������������
H�������V X���� !��$����� !��� � ����� !�����L� ��� $��������� ��� !����P����
H�������VV *���������!���M������ ��!���!����������!��$������!��� � �P����!������
H�������VVV (������ ����!��������!��$�����!��� � �����!������H�������VW @"��������L�!��������!��$�����!��� � �����!������
a
b
c
14
23
586
7
A B
KC
71�
71�
71�
38�
144
Глава IV
Урок 4.10. Аксиома параллельности. Свойства параллельных прямых
C���)���1�������������������%����8 ��L�!� �����P����!���!���������������!��� � �����!��������P��%�!����%�E�������� ���"����1 ��������� !��$���� !��� P � ������!������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8� ����L� ����%���
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ����� ���� �P���L�������������"����������$�����L���� �����M�&����!����%L��!���M�&��8� �������� ����%����!�����P����� !�����L� !��� � ����� !����%� !�����%�� H��PM����� �"�������&� !��� � ����� !�� ����������!������������������"������������L��� ����!�P�� � � ������!������������!����������$������������@$����������������!���� P � ��������R��������"�����[�H��� ����$���������������������%����8 ���B������ ����PM��CL��"��$��������!���!����������!��� � �����!���������M�%L�������$������G��
B����)��������#�>��*���[�E���!������&����%���!��� � �����!�����\
(��� �&�!����������� ��������������"����� ����8��!!�����$��&��$������L�!�����!� ����������������M������ ��������$������8�����%����8 ��L��"��$��������!���!����������!��� � �����!���������M�%L���%��������!�����L�!��� � �P��������%����%����!����%�*�� ���&M������������������!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�O$����L����a����b���?�U����M�����C�,�����'�U����b�##���(����8�%������L��5 + �#�b��-;�����4 = ����( ������ ���L��5 + ���b��-;���i ����$���������������������8 ���##�L�������$�F����8 ���"� �A�����8�8�����##���?�8����2 + ���f�##��b��-;�������b�)-�L��'�b��-;��U�)-��b������������%�����������8 ���8 = �5 = 112°. �����[��C������
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
147
4.10. Аксиома параллельности. Свойства параллельных прямых
Деятельность
�5���������������@2�����������������������������������������D��
����0����� ��(���������
�5�L�����0�������� ���� ���������������-
���� �� ����� ���
�5�?���1� ��������� �������������������-
������� ������ ������D�������������� �� �-
����� ��� �������������� �� ����� ����
��������� ������ ��� ����1����� ������
������D�
�5&�����0 ������ �������������� �������-
����@2���'�&��� ���������� ����� "� � +��
����� ��� ����� ��'�L�� ����� '
A B
Mc
A B
Mc
A B
Mc
1
2
a
B*�(����'�������3��1(C�=������"#�%����M�?�P��*���>%�M��*��������)�������#��)��*���P*����������P;��>*���>5
Свойство углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущейТеоремаD�1��(���*���1����)(��� ��&��/��E������0���@�'�������3��(�'�@���(�(���*�)�A&������!�����������'1�JI�>>�OQ��@G���������
!����M)���������'1�IJO�=��JOQ�
+�#�����������1 ?��1���0�� ����� ����
4������������IJO����JOQ�!����"#��2���-
�3��������������D���������9JO�=��JOQ�
!������ ��������������1��� �������#��
H��1�� �� ��������� �������� ���� ������
J9� >>� OQ�� ��� ������ �� ������� JI� >>� OQ��
G��1������� ����������@���������OQ�����1� ��1������ ����������� ���
�������@�(��� ������0 ������������������� �����$���������� �����1-
���0� �� ���� ���?��������JI�>>�OQ�� ���� �� ���������0���������
��� ���D�����)�#�����5
C D
B
M
A
������
a
b
c
14
23
586
7
145
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
8C�O$����L�������b�'g�+������ �����6 = �+L���"�������b�'g�6.�3 + �)�b��-;�L�'�g��6 + �)�b��-;�L��6 = 180° : 6 = 30°. ?�8������b��-;��U��;��b��';�����7 = �6 = 30°. �����: 150°����;°.!*��M��������5����� ���&��$����L����a����b��?�8������������������%���!�P�� � � �����!�����L���!�A������������[�C�+x = 2x + 75
5x = 75x = 15H8 �[+�g��'�b��;'��-;��U��;'��b�+'�
�C�)x�U����f�#x + 72 = 18010x = 140x =14H8 �[)�g��#�U����b�'��#�g��#�f�+��b���-�
�C���'�U�x + 5x�U��'�b��-;4x = 80x = 20H8 �[��'�U��;�b��;'�'�g��;�U��'b�+'�
�����[��C��;'°���+'°L� � �C�'�°�����-°L� � �C��;'°���+'°.
!*��M��������5�Y��$���������!� �������� �&��������8��!������������$���PG��� ��������M����(�8 ����� ���&L�a����b.�C��*��!������������������8� �����L��"���$�P
����������M�%L����b��;���H8� �x��������P��� �� ���� ������� �8 ��� ����8�� �8 ������8� ������L��8���x = 50°.
�C��*��F������������������8 ������������������8 ������8� �����L��"��$������P8��!����%�bL���������;�����#;���?�8��������������8 �����8� �����������������"��"����������+;����#;���( ������ ���L�x�b��-;��U�B+;��f�#;�C�b�+;��
�����[��C�x = 50°L��C�x = 70°.
J����'%��#����'����)������������������[�I� ���"��$��������������P������� ���M���L� ��� �� �!��������� p� �'� �� ������� !�������� �� !������ �����x�b��;��f��;��b�';������������� ������x�b���;��f��#;��U��-;�b�+;��=��"M��� ����[��C�x = �1 + �2�C�x = �1 + ���U��-;�����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%�����������%����!��� � �����!�����������!��������������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X������%���!��� � �����!�����L����$������������!��������
H�������VV *���������!���M������ ��!���!������������%���!��� � �����!�������
H�������VVV �����������%���!��� � �����!������H�������VW (������ ����!����������%���!��� � �����!������
a
ab
b
xx
30�110�
20�140�
1) 2)
1
110�
a
ab
b
xx
1) 2)
1
2
12
146
Глава IV
Урок 4.11. Углы с соответственно параллельными сторонами
C���)���1� ������� ��������� ��%��� �8 ��L� !� �P�������� !��� !���������� ����� !��� � ����� !��P��������%�!����%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%����8 ��������������!��� � ��������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8� ����L� ���%��
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� =�!� ����� ���� �P���L� ������� �� ���"������ ������ !���$�� ���%��8� ���$���8��!������ �����������������������(�!�P��M�&� �8� �������� �� ���%��� �$� F�%� ����� !����P����!������L�!���� � � ��������������8 ���O �P
��&�� �8 �� � ����A���%� �� ����� /�� =� �A����������������M�������$�������!�� ��������!� ������8���8 �� ���������8 ����, ��������$��� ���������������PM����!������������"�����������$�������������!���P�����?������"��$��L��8� ���������������!��� � �P��������������������������!������
��R��������"�����[�H��� ����%����8 ������P��������!��� � ����������������G����������������=��������������$��� �������!� �$�������������M�����@��L�����F����!� ����������� ����L����8������$���������L� �!� �$����� ��%���� �8 ��L��"��$�������� ������� !��� � ������!������� �� �����M�%�� ���� ���"����P�������� ����G��!���� G�������P������������X�����"Q����������%P��������������G��������������$����G������8 ��������������!���� � � ��������������B����)��������#�>��*���[�E���!������&����%����8 ��������������!�P�� � � �������������\
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$��������$����"����L�������������"�P���� ����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�=�������������"� ������$���L�����8 �������������!��� P � ��������������� �"�������L� �"�����������������-;���@"�������������F�%�
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
151
4.11. Углы с соответственно параллельными сторонами
Деятельность
�5 ��������� �� ���� �� �����
���������������������� ���
�������������� � �!�"��-
�� �
O B
A
M
�5 ��������� ��#��� �� � ��� ��
������$ � ��%������������
OB
A
M
�5 & ����!�� �� ����� � ������
���������������������#���a�
b����� � ����%�������������
�5 ���������� '1()
1%���*����
��������%�%��������� � �-
!�������#��$a�b�
OB
A
Mb
a
A+
B+
�5 ,������ ���%��������� �$����'1()
1.
/����������%#"��� �.0�����������%���-
������ �����'1()
1�/������� ������
�� �� �.2��%�34
�5 /�����#� #��%#� �����'1(5�%�� ���
%� ��'1()
1. 2��%�34�,���� ���%�������
%���"��$� ��.
O B
A
C
A+
B+M������
Углы с соответственно параллельными сторонамиТеорема
% ��������1��1�1����'�������3��(��1�����(��(/������&��(/��(������������������!�����������'1�'6)��'
1O
1)
1�6' 776
1'
186) 776
1)
1
!����M)���������'1�'6)��'1O
1)
12��%�9:4
� ��'6);�'1O
1)
1<3=>?2��%�9�4
Докажите самостоятельно.
O B
A
O+ B+
A+
O B
A
B+
A+
O+
�������9
�������)
O B
A
B+
A+
M
MC
A+
@% � � � % %������%������ ���� � ����� %�������� #� #��%# ���
�%������ ��������������� �������
@% �������� ��%%������%���������� � �����%��������#� #��%#
�%�������������������%���"��$� �������3=>?�
@% �� �%%������%���������� � �����%��������#� #��%#�����#D
�������%���"��$� �������3=>?�
147
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
���������������������������������8 �����8 �L��������������������-;�L���8������������!��� � ���������������������8 �������!���� ����$�������!�� ������������������!*��M����� ��5� ]C� *�� ������ ������� ������ �!���� ��L� ��� �8 �� >=(� �� rkm����&��������������$�������?�8��L���A��������������x = 2x�f��'L��������!���� ����8 ���x�b��'���( ������ ���L��`aj�b���g��'��b�#'�L��`aj�b��g��'��f��'��b�#'��"C��`aj�f��rk��b���)�����8 ����������������$��������( ������ ���L�
�`aj�b��rk��b���)��[���b���-���C����� �����8 ��!����$����&���$���L����������������-;��
3x�U�';��f�+x�U��;��b��-;����x�b��)���?������"��$��[�`aj�b���g��)��U�';��b��-���`aj�b�+�g��)��U��;��b��'���
�����[�]C�#'�L�"C���-�L��C��-�����'���
!*��M�������5]C�?�������������$�������8 ��������������!��� � �������P������������ ����;z����8�8���8 ���L�F���8 ���������������!����$����&��@�����$��8 ����"��$����������$��L�����%��8� �"����;L�x.�@������������������L�x�f�;L�x = 180°.x�b��-;�[��L��b��';���=���%��8� ���� ����;z����';���( ������ ���L��';��g��;�[��;;�b��;��"C��?����������A������8 ��������������!��� � ����������������[�)L��������
�$�F����8 ���"��������L����8�%�U��!����@��%��8� �"�����xL��!�%��8� �U�)x. (��8 ����������[3x + 6x�b��-;�L� x = 20°. ( ������ ���L����%��8� [��;��g���b�);�L��!�%��8� [��;��g�)�b���;��
�����[�]C��';�����;�L�"C�);������;���
����?���� � ���������1� ���� �� �"�"M��� !��%������� �� ��%���� �8 ��� � ��P����������!��� � �������������������!����������
����������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X���� ��%��� �8 ��� � ���������� !��� � ������ �������L�
���$��������������!��������H�������VV *���������!���M������ ��!���!������������%���8 ������P
����������!��� � ��������������H�������VVV �����������%����8 ��������������!��� � ���������P
�����H�������VW (������ ����!����������%����8 ��������������!��� P
� ��������������
148
Глава IV
Урок 4.12. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами
C���)���1� ������� ��������� ��%��� �8 ��L� !� �P��������!���!���������������!��� � �����!����������%�!����%�E�������� ���"����1 X���� �� !�������� ��%����8 ��������������!��!������ ����������P�����K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L����!����
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������������"������������!���$�� ���%��8� ���������������L����!����� ���PM��� �8�� �������� (� !���M�&� ������ �� �� F�%� ����� �� ������� �8 �� !��������!��!������ ������� ���������8 ������ �$���&���=� �A����������������M������ �$������� !� ������� !� ������8�� �� �����8�� �8 ��� H��M���� �$����&� �8 �� �!���M�&����!������������$���&���G����������!� ����������$� �����?������"��$��L��������!�������"��8 ���������������!��!������ �����������������R��������"�����[�H��� ����%����8 ��������������!��!������ ���������P���������G����������������,���$�� �������G�����������M������@��L���!� ��$�����%����8 ��L��"��$��������!���!���������������!��� � �����!�����������M�%L���P���$���&���������H��� ����$������������������ �����������$���!���M��
B����)��������#�>��*���[�E���!������&����%����8 ��������������!��P!������� ��������������\
(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&�������"����� ����$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1 !*��M�������5�O$����L�����8 �������������!��!������ ��������������� �"�������L� �"�����������������-;��]C�i ���`sa�b�')�L����j�r�b�')��� ���j�r�b�-;��U�')��b���#��"C�i ���`sa�[��j�r�b��[+L����`sa�b��xL��j�r�b�+x.
2x + 7x�b��-;�L�x�b��;���( ������ ���L��`sa�b��;��g����b�#;�L��j�r�b��;��g�+�b��#;����C�i ���`sa�b��g�j�rL��"�$�������j�r�b�xL����`sa�b��x.
(�8 ����������[�x + 3x�b��-;�L�x = 45°. ( ������ ���L��j�r�b�#'�� �`sa�b�#'��g���b���'��
8C��i ���`sa�b��;x f�##�L��j�r�b��;x�f�#)�L����8 ����������L���$���������� ����[�$���"�>: 20x + 44° + 10x�f�#)��b��-;�L� x = 3. ( ������ ���L��`sa�b��;��g���f�##��b��;#�L� �j�r�b��;��g���f�#)��b�+)��
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
153
4.12. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами
Деятельность
�5��������� �� ���� ����%��#���� �������� ����*� 3=>?� ��-������������� �����������
� �!���%������$"����� ��
O B
A
M
�50�����������������%�������
�������������� #������#-
����
O B
A
M
C
D
�5&����!������%������������� �������%������'6)��5(G.,�������%����$����%��$���.
�5g� �& ����� ��� �� ��#���� &������� ����%�� ��� �� �����$� ������G�/�/������ �� ���� ����.
�5����!��� %��� ��% � �� � �$ ���� &�G � �����G�/�/����%�� ���������%�� � ����%�-�����%������$%�����"��$� ��./���������-� � ����%��� ���� � �� �� ���* � � �� ���% ���.
O B
A
M
C
D
K
Углы с соответственно перпендикулярными сторонамиТеорема
% ��� �� ���1��1�1����(� '��'�0(*��@���(� �1�����(� �(/�� *� ��-41�&��(/��(�����������1���@�1�������!�����������'1�'6)��'
1O
1)
1�6'�6
1'
186)�6
1)
1.
!����M)���������'1�'6)��'1O
1)
1� ��'6);�'
1O
1)
1<3=>?�
+�#����������������'1]��%������������ �h�����'
1O
1)
1�@% �������-
�E������ ������� ������ '1O
1)
1��������E��-
���� ������ ���i����"���% ����_|[��A1O1B1�]��%��������_|[W��G~2�� �������j>k4��"���% �������� ��9% ��#�$���"�>1�_|[W G~ 2��%�34��������� ��&���� ���-�� 6'� 65� � ����� � � & ��%�� ��� �%� �� ������ %��-���� �� ��#��� ��� l���� �������� � �G ���� �����6G�6)�������&�G��%�� ��� �%�%�����%����������#������F�%�� ���'6)<j>?m�'6G��56G<j>?m�'6G����'6)��56G�F�%�� ��� �56G��'
1O
1)
1%%������%���������� � �����%��������2��n#%����������
������� � ����4�"��� � ��������"����� ����$%���%�%��� #��3=>k�
O
B�
A
D
O�
A�
C
B
������
149
Формулы сокращённого умножения. Признаки параллельности
$$���"�>: 20x + 44 =10x�f�#)L�x�b�;L���( ������ ���L��`sa�b��;��g�;L��f�##��b�#-�L� �j�r�b��;��g�;L��f�#)��b�#-��
�����[�]C�')��� ����#�L�"C�#;�����#;�L��C�#'������'�L�8C��;#�L�+)����#-��!*��M����� ��5� ��������� ��%��� �8 ��� � ���������� !��!������ ��������������[]C�H8 �L�����������!������������L�������������
( ������ ���L��x = 3x�U���L�x = 33°.�rkm�b���������b�))�L� �`aj�b���������U�����b�))��
"C����� �����`aj�f��rkm�b��-#�����8 �������������L��[�`aj�b��rkm�b��-#��[���b�7����
�C�H8 ��̀ aj���mkr���$�����������( ������ ���L�#x�U��;�f�)x�U��;�b��-;Lx = 22°. �`aj�b�������#�y��;��b�+-�L� �rkm�b�������)�U��;��b��;���
�����[�]C�))�L� "C�7��L� �C��;�����+-������?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ��%���� �8 ��� � ��P���������!��!������ ��������������������!��������������������n�����������!����� ������'#������������������H�������V X������%����8 ��������������!��!������ ������������P
��L���������������!��������H�������VV *������� �� !���M�� ���� �� !��� !���������� ��%�� �8 ��� �
�������������!��!������ ���������������H�������VVV (������ ����!����������%����8 ��������������!��!��P
���� �����������������H�������VW ?��������!����������%����8 ��������������!��!������P
���������������
Образец критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания № 7
� H�������
1 @!���� ����8 �L��"��$��������!����������������!���������M�%�
2 X������!��������!��$�����!��� � �����!������
3 �����������%����8 ��������������!��� � ��������������
4 �����������%����8 ��������������!��!������ ���������������
150
Глава IV
Образец малого суммативного
оценивания № 7
�5��H��8 ����`aj����rkm��������P���� ������ !��� � ����� *�%����F���8 ���������������������������������������������������������������������������������������
�5��i ����$����8������%�������8 �������������� !��� � ������ ����P������ ����� �)�L� ��%���� ��$��������������F����8 ������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��*�%����8������&�������8 ����`aj����rkm�!���̀ a���rk���aj���km���������������������������������������������������������������������������
�5��N�����������������8���$��8 ������P��������� !��� � ������ ��������"� �A�� ���8�8�� ��� �'z�� *�%���� ��$P������"���8������������F����8� ���
������������������������������������������������������������������������������������������������
�5a��bL� ?� U� ���M��� !������� @!���� ���8������&� ����� �8 ��L� �"��$��������F����!������[�
a
b
c153�
�5��i �� ����� ����� ����������� �8P ��L� �"��$�������� !��� !��������������� !��� � ����� !������ ���M�%L�"����� ������ ��#�L� �!���� ��� 8����P��&���������8����8 ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5 a��bL�?�U����M���!�������i ���#�b�#+�L����� �����$�������������8����P��%������������3.���������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��O$����L�������b�����L��#�b�)+�����5 b�'+�L��������$��������!������!��� P � ���\������������������������������������������������������������
5�i ��a ���bL���%����".
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
B
A
3x
C7
0x +1 �
M
KD
B
A
2 + 3x 0�
C5 + 1x 0�
M
K
D a
b
c
4
1
5
m
a
a
b
b
x
10°
48°
110°24°
x
а)
б)
151
ГЛ А В А V
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ. СТОРОНЫ И УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА. СТАТИСТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ
C���-)���
!"������)����� D�� =��'
5.1.2.
A���
�&5
C��
��
���
����
��>5
C��
���'
��
�'
���
� ��
���#
�5
C��
����
�#�
���
����
����
�
!��#�5�5(!��"��$�������K������ �3.2.3. !��#�5�5J���%����K����������G�8��K�� �3.2.3. !��#�5�5N��K���!�����!��!������� ���%�$������� �
3.2.3. !��#�5�5=$���������!� �������8��K����� ���%����K�����% �
2.3.1. !��#�5�5�������L������L������ �������L�4.1.1. !��#�5�5O$����������!������ �
������L�3.2.3.
!��#�5�5J���%���������������������!��������������8��8��K�� �
������L�2.1.3.
!��#�5�5(����� ���%������������%��������!������P��������G���A�����8��K�������!��"�� �
2.1.1. !��#�5 5��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"���!��������� �
2.1.1. !��#�5�G5��A���������� ���%������������%��������!�����������!��"��� ������ �
2.1.1. !��#�5��5��A�����$�����!�������������� ���%������������%��������!���������� �
@"��$����� �8����������8�������������p�- �3.1.4. !��#�5��5(����������������8 ������8� ����� �������L3.1.1. !��#�5��5������8� ���%����8� ���� �
������L3.1.1. !��#�5��5=��A��%��8� ����8� ���������8����%�� �
3.1.1. !��#�5��5(����A����������������������8 �������8� ����� �
3.1.1. !��#�5��5*������������8� ����� �5.1.1. !��#�5��5 /�����"������K������� �'�����L�5.1.3.
!��#�5��5 ���$���������K���������,��8�����L�8��8�����L�8��K�� �
5.1.4. !��#�5� 5���8��$�������� �
5.2.2. !��#�5�G5��� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��% �
5.2.1. !��#�5��5=���������"��� �5.2.3. !��#�5��5(�������������% �
����������"� �@"��$����� �8����������8�������������p�7 �@"��$���"� �A�8����������8�������������p�� �
152
Глава V
Урок 5.1. Способы задания функции
C���)���'1��������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$��������������!��������������L�������������������������� �������� �'������������ ��������������������8�����L�8��8������� ��8��K����E�����������"����1X������!����� ���!��"��$�������K�������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K���������������
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������������"������=�����������������M������!�����������!������������ ��������O ������$�������K��������������K������ �L�$���������$����������!�����������������������L�!����� ������8��K������@!����� �&��$������������$��������!�������������R������� �"�����1� H��� �� ��G� ��������� ��K������&� �� K������� �� !��"����G� $�������� *�� !�������� �"Q����� �" ��� �!���� ����� K������� �� �������� �G�$������%��=���������"Q��������� ���"��$����!� �$�������$�������OE?�
B����)��������#�>��*���: E���%��$�!��"���$�������K�������"� ������"��%\
(��� �&�!����������� ���������$������L�������������"����L���!� ��&����������P��� ������ ����8��!!����=�!� �����������$������L����M��������$���&���G����������K������!����� �����K����������������$�������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M������ 5�, ���!���� �����$������8�L��8 ����8��K���L�$��������K������� ������ �������8��K���]C�yB;C�b��L�B����� ��x�b;L���y�b��C yB�C�b��L�yB#C�b��L�yBP�C�b�;��"C�!���y = 1 x1�b�;���x2�b�#L� !���y = 2 x1�b�����x2�b�;L�L� !���y = 0 x1�b�'���x2�b�U_���C����$����������$��������Y��!����������y������!� �P
���� ���%�$����8C���*�!�����[� !��� $��������� x� b� U_�^� #^� �L'^� �L#� �� !���
y������������ �����$�������[�y ~�;L�C�*�!�����[�!���$���������x�b�U_�L�x = 5: y = 0.�C�?����L�����M������8��K���[�B#^�C^�B;^�C^�BU_�^;C��?�������F���������!� ���������8���K���L����������&������M�������8��K�����?����L��������M������8��K���[�B�^;C^�B;^U_�C�
156
ГЛ А В А V. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ. СТОРОНЫ И УГЛЫТРЕУГОЛЬНИКА. СТАТИСТИКА И ВЕРОЯТНОСТЬ
5.1. Способы задания функции
Формула, таблица, графикДеятельность
�5����������� �������������������������������������������������������-
������������������������������������ ����� �����������������������
�������������������������� ����������������� ������������������-
�����������������!��� ���������������
�5"�������������������������������������������y�#�$x�%�&'�(��������
��������� ����x�#�&'�)���� �! ����������������������x�#�*+,��.�����������-
�������/����� ������������������������������������������'�.�����������
�������0 ��1��� ������������������y�#�$x�%�&��2��������������������'
�53���������������� ����� ������������������������������������!��1�'
F(��0��( N���S)�����#
(���S��# C��)� =��S
��� N��S����
C����S��
(��#��S�����
���0@@�1��-'���1��� $456 $$56 $,56 $756 $856 $&56 &956
�������!����������������� ����� ��������������������(�����������
��!��1�����::�������� ���� ����������1 '
�5;���������<�������� ����� �������������� ����!�������������������
�����������=��'�&>'
(���������������� �
?>�������� ������� �� !���� ��
@��������
!>���������������<�������� ��
��������������
�>��(�������� ��� :� ����� :�
����� :����� :�������� '
A����� ��� /� � ����������<�
�������� �� �� ������� ��-
����<�0 ��1����
�5�������� �����!���� ������
0 ��1��� �� ����������-
���� �������� B�C����� ��
������ ��� ���������� ���-
��!��� �!����� B���� ��
(!���� ��������������'
0 2222 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 T( )часы
1
–1
–2
–3–3
–4
–5
–6
2
3
4
5
6
t ( C)°
������
0
y
x
2
1 2 3 4 5
1
3
4
153
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
����?��������������1�H��� ���"�"M���!� ������������������!��"���$�������K������L����!���������L������������L��������� ����������%��$�!��"����� ����"� ������"��������������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X����!��"��$�������K������L�$��������������!����������H�������VV X����!��"��$�������K������L���!������!���� G������A�"��������
!����������H�������VVV X����!��"��$�������K������L������� �������!��������H�������VW ���������!��"��$�������K������L��"������������
Урок 5.2. Линейная функция и её график
C���)���'1��������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + :���!���� ��������!����������F�%�!����%���������������������������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$�P��������������!��������������L��������������P������������� �������� �E�����������"����1�C��(���� 8��K��� ���%��%� K������L� �!���� ���
�8�������!��������������������������C��@!���� ��� �� ����o������ ���%��%� $���P
������������!���������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �� ���������"���8�
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�, ���$������!����� ������� ���%��%�K�����������M�������!� ��&��$������L�������������� ������(��� �����" ����$������%� ����%P��%�K������L�$������%�K���� �%L�����!�����8� ���%���������������������G�8���K����=� �A���&������������M�����"�F���8��K������R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&��"��!���� ����L�K���� ����8��K���� ���%��%�K��������O �������" ����!���� ���������������$������%� ����%��%�K��������H��� ���"Q�����$���������8 ���8����FKK�������k.
Глава V
160
5.2. Линейная функция и её график
#�\ kx I b Деятельность
�5 ��������������������������<�"���0 ��1������������0�� ����y�#�*+,x�%�$������������������<�����������������������������
�5 (����������������������������������������"����������������!��1 '�5 B������������ ���<� :������� ��������'�(����<���������������������
����������������� :D������������������������!��1�'�B�� ������������������������<������������������'���� :�0�� ������� ������E�����������������<�������������<���� ������������!���������<�/������0����B���-� ��(!��� ��������������'�
Образец
�5�B���������0���0 ��1���y�#�$x�%�&'�5��(����������������������<������������"'�F��������������!��1������������� ������=">���0 ��1���=�>'
(������� �� ���� ���<���� �������� ������������������������� :D�������������������-���'�B�� ������������������������<�������-���'�B�� ���������0���*������'�G����������!�� ��� �� ���������<���� ������������ ����5Y������� ����=��'�&>'N���"����5B�����<� ���������������������
�����������<����� ���� :�������������������!��1���-�������������<�������������x.
I ��1������������0�� ����y #�kx %�b�����k���b�*�������������������������������>��>/��#���>'�B��b #�^����#�<Y��/���*�0�� ������������1�����<���������������'�B��k #�^����#�:��������0 ��1�������������������������0 ��1���'
J�0����� ��������� 0 ��1��� ��������� ������ �����'� ;��<� k� ������������� ���'#�;//�������'�
B�� k K� ^� ������� ����� �� ��������&!�� ��������� ���� 5X� �)�������������(��������<�L�^�����!���(���
J�0���0 ��1���y #�kx %�:��������(������4&> M��MM���MMM����������������k L�^��:�L�^W$> M��MMM���MN����������������k L�^��:�K�^W,>�M��MM���MN����������������k K�^��:�L�^W7>�MM��MMM���MN����������������k K�^��:�K�^�J�0���0 ��1���y #�kx %�b ���������������� �=̂ W�:>'�B�������#�b �����D���
��������� �=̂ W�:>�������������������������<��������5X; ������"\��������D������������ =�W�^>�������������������������<��������5i�
O�����������"�����<��:!���������� ������<����������������������k���������<����� ���������� �<���������������������:����� ���������������������'�P���C�����<�����!����<:��������������������0 ��1�������������������������������'
B�����<� � ��� �������<����� ������ "� ��������� ��������� kx� %b� ! ����������<���� �������� ��� ����������� ��������� 0 ��1��� y� #� kx� %� b� ! ��� �������������������'�
x #*+$ *+,
*+& *+&
0 1
1 3
2 5
0
y
x
1
1
3
������
154
Глава V
B����)��������#�>��*���1�E���%�K�8���%��� ����8��K��� ���%��%�K��������������!���� �&�������!����������F�%�!����%�������������������\
(��� �&�!����������� ���������$������L�������������"����L���!� ��&����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�E����������$��" ���L�!����� ����%���F���$������L������&����!�����8� ���%�����������������!� �������������!� ������ ����������&���=�������� ������!� ������!������ ������(�8 �����P%��" ���L�!�� �P�����8��K���!����%�y�b�'L��8 �����P%��" ����U�y�b�;�B����������CL��8 �����P%��" ����x�b�;�B����"��CL��8 ����#P%��" ����U�"�b�U_���J����'%��#����'����)������������������1�H��� ��!��������"����������K���� �������"��������������L��� ���%����K�������L����&M������$�����&��"����� ���������L���G�����������K���� ���y = aL�x = b������8��K������Y����"���!���� ��������!���������p����!*��M���������, ��!��������8���K�����K�������y = x�f������ �����"P �����G�$������%��������8��K���K���������!������8� ���%��������������L� �$�"���G���%� ��� �� P ��������%� "���8��� *�� �� � ����P����%�"���8���!���� �����!�������� ������
�����kB;^�CL�lB�^�CL�`BU�^�CL�aBU_#L+^�U_�L+CL�
j −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
1
2
1
2; 8��K����K���������y = x + 2.
������ ������F��������8��K������������!���� ��� ��� ������ K���� �L� ��� �� ��� !�������� 8��K���[� �� K���� �� y = x + 2
$�!��������x =�21
2���y =
1
2��i ��!� �����������L��������!����� ����8��K���L�
��!�������� ����������������!����� ����
?�������1
2=�2
1
2�f�����
1
2®�1
1
2L������j −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟2
1
2
1
2; ����!����� ����8��K����K�������
y = x�f��L��������kB;^��CL�lB�^��CL�̀ BU�^��CL�aBU#L+^�U_�L+C�U�!����� ����=�� ������ ��!� ������ F�8�� $������� ���M���� �!���� �&� �� ����� ���%��%�$��������������������������������!*��M����������8C���"���!���� ���!������&�� ��8��K����K�����%� y x
=+7 12
10
�� y x=
−6 4
5 ���&�@H�������%����%��������L��������%�K���� ���!���� ����$��������
y�!���x = 0:
y =⋅ +
=7 0 12
101 2, ��� y =
− ⋅=
6 4 0
51 2, ��,�%��� ���L�8��K����"����K�����%�!��������
���@H��������B;^��L�C.
0
y
x
1
y=5
x=
-2
y=0
x=
0
1
y
y=x+2
0
0,5
1 2-2
-2,5
1
2
3
x
x y-2 02 4
155
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
!*��M��������5�]C�O$����L����8��K���K�������y = kx�f���!�����������$������kBU�^�#C��X�!�A��������&M�%��K���� ��x�b�U_����y�b�#L�!� �����#�b_2k�f�����k b�U_���X����L�y = 6EY + 2. �����1 k�b�U_��!*��M��������5�]C�O$����L����8��K���K�������y b�U_�x + b�!�����������$������`BU_+^�U_��C��X�!�A��������&M�%��K���� ��x�b�U_+���y�b�U_��L�!� �����U_���b�U_��g�BU_+C�f�b���b�b�U_����( ������ ���L�y�b�U_�x�U����� � � �����1 b�b�U_���!*��M��������5�=�������G�� �����L� �$�"��������� ��� ��P�����L� ��� ������������ ���������� !�����8� ����� �� ��P�������� �8�� ! �M����� � �M��������8� ������� ������ !� ������! ��M�����������&M�8��!��P����8� �������]C��b�B#�g��C�[���b�#�������"C���b�B��g��C�[���b���������C��� ����������F��� �����K�8����U�����������b�B��g��C�[���b�#L'�������
�����1�]C�#�������^�"C���������^��C�#L'�����������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������8��K���� ���%��%�K��������� �!���� ����� ����� !���������� 8��K���� � ����� ���������� iMG� ��$� ������� ��������������M�����!���� ����� ���%��%�$�����������������������������������������n���������n�@!���� ����
!����� ������'#������������������H�������V O!������$����������!���!��������8��K���� ���%��%�K��������
X���������!����!���� ������� ����� ���%��%�$�������������������������������
H�������VV (����8��K��� ���%��%�K������L���������!���� ��������!����P����������������������,�!����� ��$����� ����� �A�"��� !��� �!���� ����� �� ����� ���%P��%�$�������������������������������
H�������VVV (���� 8��K��� ���%��%� K������L� ������ ���� �!���� ��� �����!��������������������������(������ �����!���� ����� ����� ���%��%�$����������������P���������������
H�������VW (���� 8��K��� ���%��%� K������L� �!���� ��� ����� !���������� ��������������L��"�������������������(������ �����!���� ������"����������� ����� ���%��%�$����P���������������������������
0
y
x2
1
4
-2 x
y
1-3
x
y
0
0
a) б) в)
156
Глава V
Урок 5.3. График прямо пропорциональной зависимости
C���)���'1��������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + :���!���� ��������!������P����F�%�!����%���������������������������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$�P��������������!��������������L��������������P������������ �������� �E�����������"����1(����8��K���!������!��!��P����� ���%�$��������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �� ���������"���8�
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�H����M����������������� !����� !��!������� ���%� $�������� �$� �������������� $�� )� � ��� =�!� ���� ����� ����L� !�����������&� �� ���"����L� ���PM�����!���� �&L����!�����!���!�������� �����$���������� ������"��������� ���%��%�K��������*�����������FKK�������!��!������� ������!���� ���L�!��P��� ���� ��������$������������������������8��K����K������L����������$��������$������k���������&��������������L��������%���!� �����8��K������R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&���!��������8��K����!��P���!��!������� ���%�$�����������!���� �����������%L����������������!�� ������
B����)��������#�> ��*���1� E��� ��!� ����� 8��K��� !����� !��!������� ���%�$����������!�����8� ���%��������������\
(��� �&�!����������� ���������$������L�������������"����L���!� ��&����������P��� ������ ����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�i ��8��K���K�������y = kx�!�����������$������kB'^���CL��L���!������K���� ��$��������x b�'���y�b���L��$�!� ������8�����������������!����P
���k: 12 = 5k��� k � �12
52 4, ��( ������ ���L�8��K���!�����!��!������� ���%�$���P
����L�$������%�K���� �%�y�b��L#Y���"��$������%��8� ��!� ���� �������!���P
���������@u�Bk�t�;C�
"C�i ������� N −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟4
1
2; ���������8��K����K�������y = <Y����������!�������
$��������x�b�U_#��� y �1
2���K���� �[� 1
24= − k ��� k = −
1
8.
Глава V
164
5.3. График прямо пропорциональной зависимости
#\kxДеятельность�5 ������������� � ��� ��� �����������������������������������
������� ��� ����������������� ��������������5 ������������� ������������y = kx + b �������������� ���:�\�^��������
����������������������!�����������5 "��������� �� �� ���������� �������� ���������� ������� �������� y� #� $x%�
&����������������������"�#�'�������������������������� � ��� ������(')�
'*��&���������������������yx� 3 �
�5 "������������������������y�#�+-$x%�.�������������������yx= −3 ���/���������
�����������������/���������������������0(+-6)�7* �9(:6)�+-$7* �<(+-:'')�$''*���5 .������� � �� ����=� ������ =� ����������� � �������� �������� y� #� $x� ��
y�#�+-$x%����� ���>���������� �����/��������� �� ���������=���������-��� �������� ������������!�����������k��@���������������� �������-����������/����������=��� ��=������/������������������������@A%�B����/�������������%
C���������� ������ ���������y�#�kx�(k���'* ���������� ��� ���������-����������������������%�D���������� ������������������������������� � ��� � �� �� � ���=�� >� � ����� ����� �������� ���������� @(')'*%� "���k�E�'���������� ������������������������������������������ ��� F��� FFF������� = �����k�G�'�+����FF���FH������� =%�
Упражнения�5��(I����*%����������������� ��������=���/���������������������� � � J
��� � �� ��� ���������������� �������������� "������ .�������� ����� k����� ������������������������������%
K*�y�#�+-x)� � �*�y #�x3)� � �*� y x�
12; � � �*�y #�:'�L�x)� � �*� y
x�
1; � � �*� y x
= −7
.
�5��@��������� ������� ��!��������� k� �� �����=� ������=O� �*� y� #� +-6x�
�*� y x�2
5; � �*� y� #� Px%� B������ "� �� �� ����Q���� ������ ��� � ����� �=�
����Q���������������k%�
�5������ � ���� � ����������� ��� ������ � k � ������� ����������� � ��� ���������������� y� #� kx�� ����������� ������=� ����� ���������� ����� � ��������������� ������� �� ��� ���������������� ������������� "�J��Q��� �������������=�������Q�����������
�5��"��������� �������� �������� y� #� Rx� �� y x�1
4� �� �� ���������� ��������
���������%�S���������� ����������������������������������/�����������"������B�!����/���������������������������������������������y�#�+-Rx%�B�����=������� =������������������ ���������
157
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
?����� �"��$��L� !����� !��!������� ����� $�������� "���� $������ K���� �%�
y x= −1
8��N��K���F�%�!�����!��!������� ���%�$���������"��$����!�%��8� ��
!�� ����� �������!��� ���������@u�B¯�~�;C�!*��M�������5�E����$����L� $������FKK�������!��!������� �����k� �!�����P �������������������8 �L��"��$����8��8��K�����K��������!� ���� ��������!���P ����������@u��]C�*��!�������������8��K���K��������"��$����!�%��8� ��!� ���� �������!���P ���������@u��X����L�k�~�;��N��K���K�������y = kx�!�����������$������BU�^��C���B;^�;C��, ���!���� �����k�$�!�A�����K���� ��x b�U_����y�b��^���b�U_��g�k���k�b�U_���( ���P��� ���L�!��������������U�8��K���K�������y = U_�x."C�=�������� �����8��K���K��������"��$������%��8� ��!� ���� �������!���P ���������@u��X����L�k�t�;��(�8 ����8��K���L�!���x�b��L�y = 1. X����L�k�b����( ������ ���L���F��� �����8��K����� ����8��K�����K�������y = x.�C�k t�;��(�8 ����8��K���L�� ��x�b��L���y�b��L�k�b�;L'��X����L���F��� �����!����������������U�8��K���K�������y�b�;L'x.!*��M����� ���5� ���� ��!� ������ F�8�� $������� �!���� �&�� !��"���� ���PM�����������������!��������&��H��M����������8���!���� ���$����k��������!P����� �����$�����b����M������ �����!���������������" &�������$�!������M���$�������%��?��L��!���� ���$����bL������� �����������������$���������������������!������������8��K���� ���%��%�K����������&�@H�]C�=�!������ �����k�~�;���b�t�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!��� �P��������@u��!�%��8� ���!������������&�@H���A������ �����������"C�=�������� �����k�~�;���b�~�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!��� �P��������@u��!�%��8� ���!������������&�@H���������� ������������C�=������� ������k�t�;���b�t�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!��� �P��������@u����%��8� ���!������������&�@H���A������ �����������8C�=����G���� �����k�t�;���b�~�;��?�������!�������"��$����!� ���� �������!���P ���������@u����%��8� ���!������������&�@H���������� ���������������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������8��K����!�����!��!������P�� ����%�$�����������!���� �����������%��8����!� ����������������������������������n���������!����� ������'#������������������H�������V O!������$������������!��������8��K����!�����!��!������� �P
��%�$��������H�������VV (����8��K���!�����!��!������� ���%�$�������L�$�����������
�!���� �����������%��8����!� �����������������������H�������VVV (���� 8��K��� !����� !��!������� ���%� $�������L� �!���� ��L� ��
���������������������������������!� �����H�������VW (���� 8��K���!�����!��!������� ���%� $�������L� ������ �P
��� �!������ ��L� �� ������ �������� ����� ��������� ��� ��!� ����L��"��������������������
158
Глава V
Урок 5.4. Взаимное расположение графиков линейных функцийC���)���'1� �������(���� 8��K���!����%L� $������%�������������y = kx + :���!���� ��������!����������F�%�!����%���������������������������@!���� ����� ����o������ ���%��%�$����P�����������!��������������L�����������������P���������� �������� �E�������� ���"����1 @!���� ��� �$�������!�� ����P����8��K����� ���%����K�����%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��� ���������"���8�
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1� ���� ��!� ������ ����� �P���L������%������"����L�� ���� ��������8��!�!���E������8��!!����!� ������������%�$����������N��!�!��!����� �&�����$���������!���������"�������������8�� ������O� ����&���!��� � ����L�!������&M��������!���&M���!���������R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&��"��!���� ������$�����P���!� �������8��K����� ���%����K�����%������������� �k���b��=������&����M��P��!��������������$��������� ������i ���"Q�������"����!����������!���M�&����!�&������!��8����L����������"��� ��A������������M�����B����)��������#�> ��*���1� E��� �!���� ���� �$������!� ������� 8��K����� �P��%�����K�����%\
, ��!����������� ���������$������L�������������"����L���8��"���!����� �������M���������"����� ����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�, ���8�L���"��8��K����������� ���%����K�����%�"� ��!��� P � ����L�����8 �������FKK��������� ����"���������
]C� y x= +15
36 ���y = 5x�f�)���X����� k k1 2
15
35� � � . b1 = b2�b�)��X����L���!������ �����
8��K������!���&�
"C� y x= −10
251��� y x= +
12
30
3
4��X����� k k1 2
10
25
2
5
12
30� � � � ��X����L���������� �����8��P
K����!��� � ����
�C� y x= +7
96 ��� y x= +
9
76 ��X����� k k1 2
7
9
9
7= ≠ = ��X����L���F��� �����8��K����!���P
���&�������1�]C���!���&^�"C�!��� � ���^��C�!������&��
!*��M�������5�]C�, ���8�L���"��!������y�b��x���y�b��x�f�'�"� �[�C����� � ���L���������!����y = 3x���y = 3x�f�'^�
Глава V
166
5.4. Взаимное расположение графиков линейных функций
Деятельность
�5 B�������� � ��� ��� ������ �� ��������� ������/����� �� ��=� ��� ��-
������%�������������� ��� ��� ��������>��������J������>������� �
����>����������>����������������������������>�=�����%
�5 "�����������������������/���� ������������������������������������
��������y�#�6x �y�#�6x�L�:���y #�6x +�:%�@����������=����������������-
/����� �� ��W ����� � ������ ���� ����������� � ������� ���%� B���������
���������������������� ��=%
�5 "�����������������������/���� ������������������������������������
��������y�#�+-x�L�6���y�#�$x�L�6%�@����������=����������������/�������
��W ����� ���������������������� �����������%�.�����������������!�-
���������k.
�5 "�����������������������/���� ������������������������������������
��������y�#�' Px�+�6 � y x=
− 4
2%�@����������=����������������/�������
��W ����� ���������������������� �����������%
B����/���$����/��� ��� ��= ��������=����������y�#�k1x�L�b
1���y�#�k
2x�L�b
2O
�5�"���k1���k
2��� ����y�#�k
1x�L�b
1���y�#�k
2x�L�b
2������������ �������������%
�5�"���k1�#�k
2 �b
1�#�b
2��� ����y�#�k
1x�L�b
1���y�#�k
2x�L�b
2����������%
�5�"���k1�#�k
2 �b
1���b
2��� ����y�#�k
1x�L�b
1���y�#�k
2x�L�b
2� � ��� �����������%
������
159
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
�C�������� ����y�b�U_�x���y = 9x + 5.�C�(��!�������F���8��K���������$�����L�������!����%�K���� ��b�b�;L� ���������%�K���� ��b = 5. �C�, ���8�L���"��!������y�b��x�f�;L����y�b�U_�x�f�;L��"� �[�C����� � �����F���!����������$�����L�!�������������������������$��������b. �C�, �����!���������������L���!�����L���!����y = 8x�f�;L����y�b�U_7x�f�;L���C�, �������!������������L���!�����L���!����y�b�U_�x�f�;L����y�b�U_�x�f�;L�������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������"��!���� ������$�����8����!� �������8��K����� ���%����K�����%������������n�@!���� ����
!����� ������'#������������������H�������V O!������ $���������� !��� �!���� ����� �$������!� ������� 8��P
K����� ����%�����K�����%�H�������VV ���� �!���� ����� �$������!� ������� 8��K����� ���%���� K�����%�
���!�������!���� G������A�"���H�������VVV (������ ���� �!���� ��� �$������!� ������� 8��K����� ���%����
K������%�H�������VW (������ ���� �!���� ��� �$������!� ������� 8��K����� ���%����
K������%����"�����������%�����
Урок 5.5. Расстояние, время, скорость
C���)���1��������=�������������� ���%��%�K���P����$��������������� ���%�!��%�����8��!��������������!���!���� ���%����������������������P������$����������������!������%�!��I� ��&�����!������%�!��D����8�%��E�������� ���"����1 =������� �� ����� ���%��%�K�������� $�������� ������ � ���%� !��%�����8��!���������������!���!���� ���%���������������������������K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1���"���L���"����� ��L��"�����������OE?�
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1� (� !���M�&� ���!�&���� ����M���� ������������ ��������� ��������P��8��!������ ���%��8�����������!��$���������������
!����������=� �A���&������������M������!��L�!��%�������!��$���L��������L�$���������������F��!��L���������!��$����*�������$�!�������!�������� �����"���������������M�����K���� ��$������������������������v�����������t.
Глава V
168
5.5. Расстояние, время, скорость
s = υ t Деятельность
�5 "��������/��� ��������������u���X����Y������Z��� ����%�[���������-
�����������������������������t��������
�5 S����� ���� ��� Y���� ��� Z��� ������ ���������� s� (��*%� ������ ��������
��/���������������������� ����������������������.���Q����������%
Баку Мингячевирυ км час( / )
t час( )
s ( )км
�5 B������� �� ����>��� !���� �������
������ ���� s� ���� t� #� ' P� ���)� t� #� 6� ���)�
t�#�6 P����%
�5 ������� ��� ������� �s���t�������� ����-
/��� ������ ����!��=������ ���J��Q��� �
� ��� ���������� ������� �������������
C������������������\���=����� ����� �������������������������������
��������������������=�t���u%�
C����������������������s���������������t�(���u*�������� �/��#���������>����������P������������� �����s(t*�(�����O�!���!*%� s(t*�#�uE�Ew
Упражнения
�5.����������:�������/�������������/��� �������������������� %�]������ �
������� ��������������������%�
0
1
2
3
4
5
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 s ( )км
6
t ( )час
�����
K*��[��������������������=��������������������$������^�����������J
�����������=������������
�*�[�������������������������=���������Q�����������������
�*�[����������������������������Q�����������������
160
Глава V
(�8� ����F�%�K���� �L��!���� ������������s�!���$��������$����������������t. @"��������$����������������������L������&�����������.B����)��������#�>��*���1 ����$������������������!���� ���%������������������� !��� F��� ����� ��������� ����$��� $�������� �������� �� �������� �� ����� ���%��%�K������\
(��� �&�!����������� ��������L�$�����L�������������"����L���!� ��&����8��!!����,��������$�����������������8��"���!����� �����!���M�&����!�&����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5 *����������$�"���G��8��K���������������"����������"� ���O!� �$���������L������������!���.
]C�X��!���������������"��!����� ���;L��������"� ��U��7;����"C�,�������������"���������"� ��!����� ���);�����C�,�������������"����� �#����L��������"� ��U�������8C��,�������������"��!����� ��);����$��#������( ������ ���L��������������
���"���u1 b��);�[�#�b�#;���o��,���������������"� ��!����� ��);����$���������( ������ ���L�������������������"� ��u2�b��);�[���b�-;���o��
�C�>��"��!���� ����������������L��������"� ��U�;L'������C���� �� �������� ������ ���"��� ��� � �� ';� ��o�� B��� ������ 8��K����
B��;�U��);C�[���b�';���o�C�>������������"� ��U�);���o��B���������8��K���[�B��;�U��);�C�[���b�);���o�C��
!*��M�������5]C��,���8�L����������"� ������ ��L�
�����%�"� �������8��'������"C��>����"� ��>����������!����� ��';�
��L��������"� ��=�U��';�����C��=����� �������������������������
�����"� ����"� ��';;����8C��, ������������������������"� ��>���$�� ����������L�!��%����������$��'�
����L����'[�u`�b��';�[�'�b�+;���o��
0
1
2
3
4
5
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 s ( )км
6
t ( )час
0 1 2 3 4 5 6
s ( )км
t ( )час100
200
300
400
500
600
A
B
161
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
�C��, ������������������������"� ��=���$�� ����������L�!��%����������$��'�����L����'[�ua�b��';�[�'�b��;���o��
����?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������� ���%��%�$����������P���������������������������8�������������������K���� �������������n�=��������
!����� ������'#������������������H�������V O!������$����������������������������� ���%��%�K�������$���P
�������!��%�����8��!�������������H�������VV ,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� ���������� �� ����� ���%��%�
K�������$���������!��%�����8��!�������������H�������VVV (������ ���� �������� �� ����� ���%��%� K������� $��������
!��%�������8��!�������������H�������VW (������ ���� �������� �� ����� ���%��%� K������� $��������
!��%�������8��!����������������"�����������%�����
Урок 5.6. Измерение температуры C���)���'1��������=�������������� ���%��%�K����P���� $��������������� ���%�!��%�����8��!��������������� !��� !���� ���%���� ������������ ������P������$����������������!������%�!��I� ��&�����!������%�!��D����8�%�.#������������������������$������������������%���P �������$�����%������8�&�E�����������"����1�C��=������� �� ����� ���%��%� K������� $��������
������� ��!������%� !�� I� ��&� �� ��!������%�!��D����8�%��
�C�������������!��������$�8�������I� ������8��P����D����8�%�����"�����
K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L��������L��"�������������OE?B��� �����1�O�K���������������
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#� *�����'1� H��M���� ��!� ��&� ���� ����L� ���P��&������"������?���!������������������������� �����L� � ����P �����L� ��$����� �� !���M����� �$��������� !��� !���M�� ��$ �������������������$� ����$�!����&�����������(�!���M�&����!�&������8��"���!����� ���� ��$���� ��������� �������L� ��$������ � �$������������ ��!�������� (�!������M�8�����������M���������"��������$��������"����������� �!�������$����������
Глава V
170
5.6. Измерение температуры
Цельсий ( _ C ), Фаренгейт ( _ F )Деятельность
�5 ������� ���������� ����� ��� � ������������� S�����-/��� ������������������������������!��=���������%
�5 ���������������������������� ��������� ��������5 ���� ������������������������������� �������-
�����`����������������������������������� ����-������� ����������� $a_-[ � ��������� !��� ��Q�� ���-��������������������
�5 ��������� ��� ������������������=��
b���������� ����������� ������ ��� ����������=�c���� �(_-[* ��������d�-
��������� (_-e*%� [� ��� ��/��� �������������� ��� c������ �� d���������� ���-
���/���������������:%�Z�/������� �!���������������������� �������� ��O�
�����������������������c���� �����������d�������������������� ����-
����F C= ⋅ +9
532 ������������������������d��������������������c���� �+�
������� C F= ⋅ −( )5
932 .
'�{(������0|{��������������������!���#���&������������}��(������������'_�-<�#�$6_-e��:''_�<�#�6:6_-e��~��������������!�}��(����)�%�������1_-e�
1
180�����&�180_-e�#�6:6_-e�+�$6_-e
N������� ����� ����������� ������ �� ���#�������� ��������� ���!T�� |����� }��(����)!��� �������� �� ���-� (���� ������ ����������������)�����}��(������
Образец�V�"����������6P_-[�����������d���������%
3��4��]����������������F C= ⋅ +9
532 �� ����������c���� ���d��������O�
������ �[�#�6P � F = ⋅ + =9
525 32 77. � � � � � � � � � �����1�77_-e%
�V�"����������7hie���c�����%
3��4��]��������� ������� C F= ⋅ −( )5
932 � � � ��������� d���������� ��
c�����O������� �e�#�68 � C = ⋅ −( ) =5
968 32 20.
� � �� �����1�20_-C%�
Упражнения�5��]������ ������������������������������������'_�<�#�$6_-e)� $j_-<�#�ah 7_-e�
��:''_-<�#�6:6_-e.
0° 32 F°
37 C
C
° 98,6°
100 C° 212 F
F
°Температуракипения воды
Температуратела человекаТемпература
замерзания воды
������
162
Глава V
��R��������"�����1�H��� ����G�����������8�������I� ������D����8�%���(��P�������!��������8��"���!����� �����!���M�&����!�&����%�!��$��������*�����������$�"���G���������%���������� ���$����������!�������!��I� ��&���!��D����8�%��B����)��������#�>��*���1�E�������������$���������� ���%��%�K�������$����P������������ �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%�\
X��������$����"�������8��"�����!� �������!������ ��8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�, ���8�L���"���!���� ����� �������������8�������!��D�����P8�%���!� �$����K���� �� F= C+32
9
5� .
]C�j�b�);�L� F= C+32= F9
5
9
560 32 140⋅ ⋅ + = °
�C�j�b�'��L� F= C+32= F9
5
9
553 32 127 4⋅ ⋅ + = °,
�C�j�b��-�L� F= C+32= F9
5
9
518 32 64 4⋅ ⋅ + = °,
!*��M�������5�, ���8�L���"���!���� ����� �������������8�������!��I� ��&�
�!� �$����K���� �� C = ⋅ −5
932(F ) .
]C�¢�b�#��¢L� C= F 32)= C5
9
5
941 32 5⋅ − ⋅ − = °( ( ) .
8C�¢�b��#7�¢L� C= F 32)= C5
9
5
9149 32 65⋅ − ⋅ − = °( ( )
�C�¢�b���7�¢L� C= F 32)= C5
9
5
9239 32 115⋅ − ⋅ − = °( ( ) .
!*��M�������5�, ����!� ������!��������%���"������������!�������������������M����$��������"������K������&�����L�!�������%���!�������$�����&����$P����� ������� !����� @!���� ���� ��!������L� !��� �����%� $�����&�� �������L�! �������L� ������!����L�8��" �%L��� �%"� ����������������!�����������������8�������I� ������D����8�%�������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%��������� ���%��%�$�����������P����� �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��������������F�%�$������������������K���� ���(�!���M�&�������P�%�����±[oo�����]��������P�����²������������� �� �%��!�������8������I� ������8������D����8�%�������"�����O!� ��$����%����±[oo����¯�²³��¦����²o���o�]²¯]��������¯]o´µ�¯]o¢̀ ¶�l·���r`lV�£�·`a¶V�£���¸�L� �������"������K������&���N�"��F ��D����8�%�. ����������n�=��������!����� ������'#������������������H�������V O!������$����������������������������� ���%��%�K�������$����P
������������� �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��*�� ����� !��������� ��!������� �$� 8������� I� ���� �� 8������D�����8�%��������"����
163
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
H�������VV ,�!������!���� G������A�"���!�������������������� ���%��%�K�������$����������������� �����%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��,�!����� �!���� G����� �A�"��� !��� !�������� ��!������� �$� 8�������I� �������8������D����8�%�L������"����
H�������VVV (������ ������������������� ���%��%�K�������$�����������P������ ������%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��(������ ����!����������!��������$�8�������I� ������8������D�����8�%�L������"����
H�������VW @"��������L���������������� ���%��%�K�������$����������������� ������%���!�������!��I� ��&���!��D����8�%��@"Q����L�!�������� ��!��������$� 8�������I� ������ 8������D�P����8�%�L������"����
Урок 5.7. Линейные уравнения с двумя переменными и его график
C���)���'1��������(��� ��������������"�P����%� ������%� ���%���� ���������� � �� ���������� ���%������������%��������!������������������(����8��K���!����%L�$������%������������y = kx + bL��!���� ��������!����������F�%�!����%��������������������E�����������"����1�C��(��� ��� ���%���������������������!��������P
��������!���� ���!�����8����A���%��C��(����8��K��� ���%��8�������������������!�P
�����������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1�����������!�����L���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������
N�������#�*�����'1�H��� ��!����� ������������ ���!���M�&����!�&�������F�������!���������$ ��������������%L�����������$������ ���������!������PM����� B����M���� �� ���������&� ���$����8�� �8�����8�L�������A����8�L�������������8�L������� �L��� ���8�L��� �� �L�����������$����8��!���$���������� �C��=�� ���A���&������������M����������������������L� !��������� �"�������� !��%� ���A�����F��� ����������%L� �� ����� �� ������ ����$�������� �������=������ ����L�!�����G���%������"�����L� ���%����K���������G���������K����P ���=����$� �������!� ����������� ��������M����!�� ����&��$�K������ �� ���%��%�K������� ���%����������������@!������� ������ ������!������������F���������P�����,�G���!���� ����� ���%��8���������������������!�����������
Глава V
172
5.7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
�"�G��#�>��Деятельность
�5 "�������������/��������������������� �������������������y�#�+-$x�L�6 �������� $x%� ������ ���������� ��� ������� [������ ���������=� ��-
���������!���������������5 ��������������������������$x�L�y�#�6��`�����!��������������x�#�' ������-
���������������������^�����y�#�+-R ����������������������������� �"��
I��������������ax�L�by�#�c �����������a �b�����+� � ��� �����������������K��x���y – ��������������������� �����>�'���������������� ������������%�.������� �������������6x�+�$y�#�P)�a�#�6 �b�#�+-$ �c�#�P%�H�������������������� ���������������������� ����� �������=�������� ������� � ����>���� !��� ���������� �� ������� ���������%� I������� � ����>�����������������/��������Q���� ���������� ���������������������� ��%���A�1�������̀ �������������������/�������������������������������������-
���������������/����� ������� ����������������������%����A�1���H���̀ ��� �� ���������� ��/���� �������� ���������� ����/���� ���
����������������������/����� ������������� ������� ���������������������������%
Образец
�V�B�����������Px�+�6y�#�h����������������������������x.
3��4�]����/����������������������������PxO�5x�+�6y�+�Px�#�h�+�Px.
��/����������������������+-6y�#�h�+�Px�����������(+-6*O�y�#�+-R�L�6 Px%�o������������������������/������������".
[�����������������:���6 ��������� �Px�+�6y�#�h���y�#�+-R�L�6 Px������������%
�V�B�����������Px�+�6y�#�h������������x���������������y.
3��4�����/��������������������������������6yO�5x�+�6y�L�6y�#�h�L�6�����/����������������������Px�#�h�L�6y������������PO�
x y=
+8 2
5���� x y
= +8
5
2
5�+�!����������������������/�����"�������.
[�����������������:���6 ��������� �Px�+�6y�#�h��� x y= +
8
5
2
5������������%�
�V����� ���������� � ��� ���������������� �Px�+�6y�#�h�3��4�`���������������Px�+�6y�#�h����� ���x�#�: ����Pp:�+�6y�#�h���y�#�+-: P%�[���������� ������(:)�+: P*�+����������������� �Px�+�6y�#�h%"����������/�������������"��������������������J������������ ������� ������(x)�y* �����������>� ����������������������������� � � ��� ���������������� %
25= -
z
12 - = 0a
5: = 7k
2+ 3 = 5
x
y - 21 = 9
22:| | = 4x
УРАВНЕНИЕ
164
Глава V
��R��������"�����1�H��� ����G����M������K������&��� ���%�����������������8����A����L�$�!�������8����������"M�%�K���� �����$Q������!�����������P� ��������������%��������%���H��� ������������������������������ �����P���� �������. *�� ���&M���F�!����!� ��������������� ����L�!�����G����������"����������F���� ���� ������#�8��!!���E������8��!!����!� ����������$�$�����%L�!����P�G����������� ������#�!�����F�%����� ������"����&������ ����!����"�����R��������"�����1�H��� ����G��"Q���������8��K���� ���%��%�K����������8��!� �����������$���� �������B����)��������#�>��*���1�E������ ���� ���%���������������������!������P�����L��������������8����A�����������������8��8��K��\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&����!������ ����8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=������������u + v�b�#�]C�����$���!��������&�u�����$�v:
3u b�#�U�vL�u v=
−4
3 i ��u�b��L��� 2
4
3=
− v L�v�b�U_��"C�����$���!��������&�v�����$�u: v�b�#�U��u. i ��u�b��L���v�b�U_��� �����1v�b�U_��!*��M�������G5�i ��!����B�^��C��� ������A�����������������ax + 2y�b�-L�$�!����$��������x�b�����y�b����������������L��������!���� �����FKK�������: a�g���f���g���b�-�� X����L� ���%����������������������[�a�b����X�!�A���$��������x�b�'������������[� ��g�'�f��y�b�-L�y�b�U_�L'�� � � � � � � �����1 a�b��L�Bx; yC�b�B'^�U_�L'C��!*��M��������5�H��M������ ������������� ��� ����L���8���������������P��%�������� �&����A���������� ����� ���%������������%��������!���������������������"�������L������� ����!��%���������������L����8��K���������������P��%�!������&����F�%����%��������������C���"C�F�8���!�����������8��"���!����������$����8��!!���� ��!������]C��X�������������������`BU�^��C�����������$�!����&�������"�����������P
��������x�U y�b�U_'^�U_x + 10y�b���^���x + 21y�b�������"������L�!����� ���� �������>�8��K�����F���!������
��g�BU�C�U���b�U_'�B!����� ���C^�U_BU�C�f��;�g���b����B!����� ���C�^���g�BU�C�f���g���b����B!����� ���C��X����L�8��K����F�����������%�!������&���������̀ BU�^��C�"C�, ���!���� ���������L�����M�%����8��K����������G����������%[
;L�x + 3y�b��'L�^�UEY + 4y�b��7^�'x�U��y�b�U_�;���������8��K�����@!���� �&��������������������!���������[�B'^�C�
����?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ��� ����� ���%��8������������� � ������ ���$������� �� ����������� �8�� ��A������ iMG� ��$� ��!�������!��%�����������8��K���� ���%��8���������������8��!������������������n�(��� ����n����������8��K���!����� ������'#������������������H�������V @!���� ��� ���%���������������������!����������L����$����������8��
��A���X�����������!��������8��K���� ���%��8�������������������!�������������
165
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
H�������VV @!���� �������� ��� ���%���������������������!����������L����$�P�������������$��������!��������&�����$����8�&�=�!����� �����������!������8��K��� ���%��8�������������������!�����������
H�������VVV (������ �����!���� ��� ���%���������������������!��������������8����A����L��������������!��������&�����$����8�&�(������ ��������8��K��� ���%��8�������������������!�����������
H�������VW (������ �����!���� ��� ���%���������������������!��������������8����A����L�����������"���������������!��������&�����$����8�&�(����8��K��� ���%��8�������������������!��������������"Q������P��A����������� ���%�����������������
Урок 5.8. Система линейных уравнений с двумя переменными и его решение графическим способом
C���)���1� ������� (��� ��� �� �������� � "�P����%� ������%� ���%���� ���������� � �� ���������� ���%������������%��������!�����������E�����������"����1(��� �������� ���%������������%� � ������ !����������� �� 8��K�������!���"�����������G���A�����K��������'1��� �������L���8��!!�������!����J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �� ���������"����8�L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1� (�8 ���� ���� ����L�������%� �� ���"����L� ����� 8��K���� ���%�������������%� � ������ !����������� �� �!���� �&��
������������������!�����������>������������������������M�������!����� ��P����F�%�������"����!��������R��������"�����5�H��� ��������!����������� ���%������������%��������!�������������(�����������M������������������A�������������$����������!� �������8��K����� ���%������������%��������!������������, �������8�� �P������$Q������!����������A�������FKK�������� ���%������������%��������!������������������"Q��������������!� �$�������$����������!�&����
B����)��������#�>��*���1�E�����A�&��8��K�������!��"�������� ����%P������������%��������!����������\
(��� �&�!����������� ���������������������"�����$���������!� ��&����!������ ��8��!!����
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
175
5.8. Система линейных уравнений с двумяпеременными и её решение графическим способом
Графический способДеятельность�5 �� ������������������������������������������!��������x�"�y�#�$%�
&������������������!����������'�������()*�$,*�($*�),*�(/*�6,*�(6*�/,8
�5 �� ������������������������������������������!��������x�;�y�#�/%�
<����>����������()*�$,*�($*�),*�(/*�6,*�(6*�/,���?������������������!��������
x�;�y�#�/8�@'��?�������A�������%
�5 B�����C���D�E���!������C�x�"�y�#�$���x�;�y�#�/%�F���G����������G���'�
������ ��� �����������%� <��� ��� ������ ��>���� ����G������ H��C�
�����8�@'��?�������A���������I�H��C����������%�
J����������'�?���'������G�
�
a x b y ca x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =+ =
⎧⎨⎩
���>'������������>����>S
�'g��������>�)���*������'�%�KG����a1��b
1��c
1��a
2��b
2��c
2�;���HEE�L����'��
�x�����;���������'�%
K���������'�������(x*�y,���I��������I�!��������������'���������������-
���������������>'�������������H��C�������'%�B�G��� ������������'������-
��������?G������A�����������G��>����������D�����!������%�B�������!�������M
������G�������'����D!�����G����������A������?������������� �����G�!D���
G�!D!��D�E����!������C�������'�����C�'��!������C���G�!�����������'���
��?����D!�����G����������A������?������������� �����G�!D���G�!D!N�����'��
��I�����������������I����������'����I������G��%
166
Глава V
E�#���)����#��#����'��)����1������!� �������*��M����>��%�%�������M������ ����!����������������$�������%�!������� ��"���������������J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1� O��8��� ���M���L� !�����������������!������A���%���������$���������%�����L��� �&�����������L����F�� �� �� �� �&�� ��A������ ����� �� �� ���� H��� �� �� ���� ����������������������������M���������L������A����������������"���� ���������!������P� L���������� ������A�����������8���$���������%L������M�����������!*��M�������5�"C��������!������� �u�b��L�v�b�U_����������&M���������
�"�������������������[�v uu v+ =+ =
⎧⎨⎩
2 5
2 1L�
− = ⋅ =+ ⋅ − =
⎧⎨⎩
⇒==
⎧⎨⎩
1 2 3 5
3 2 1 1
5 5
1 1
,
( ).
?����������"���������������� ���%���!����%������!� ������������������� �L�!����B�^�U_�C��� ������A������$������%������J����'%��#����'����)������������������1�H��� ����G����M��������P������ $������� B��! ������C��O�! �������U����$�������!��� �����!� ������8����P$� ����B������$��������� ��%����$����������$� ��C�!*��M�������5�]C�, ����� ���������� ���%������������%��������!������P
����L���A�����������%��� ����x�b�'L�y�b�U_���������a x b y ca x b y c
1 1 1
2 2 2
+ =+ =
⎧⎨⎩
� ��FKK���P
����a1L�b1���a2L�b2���"���&��!���$�� ������$��������x b�'L�y�b�U_��$�!����&������������
*�!�����[�2 4
3
2 5 4 1
5 3 1
6
2
1
2
1
2
1
2
x y cx y c
cc
cc
+ =+ =
⎧⎨⎩
⇒⋅ + ⋅ − =+ ⋅ − =
⎧⎨⎩
⇒==
⎧⎨⎩
( )
( ).
�� ���1����2�$�!��������������2 4
3
1
2
x y cx y c
+ =+ =
⎧⎨⎩
������������2 4 6
3 2
x yx y
+ =+ =
⎧⎨⎩
.
?������"��$��L�����%���������%L���A�����������%��� ����!����x�b�'L�y�b�U_�L�
"����������2 4 6
3 2
x yx y
+ =+ =
⎧⎨⎩
.!*��M������ 5�, ����A���������� ���%������������%��������!�����������8���K�������!��"����!� �$������ ���������"���8��8C�@!���� ������������������!����������8��K������"����
��������%������x y
x y+ =+ =
⎧⎨⎩
3 6
2 7�������sv���s���, ��F�8�L�
��"���!���� ������������������!�������������8��K������"������������%����&�@uL�"�����y�b�;L�����"���!����P �������������������!����������8��K������"����������P��%����&�s��"�����x = 0.=�����������x + 3y�b�)�� ��x�b�;L���y�b��L���� ��y�b�;L���x = 6.X����L�8��K�������������x + 3y�b�)�!������������&�@u��������B)^�;CL������&�@H��������B;^��C��i ����������F������L�!� �����8��K�������������x + 3y = 6.=������������x + y�b�+�� ��x�b�;L���y�b�+L���� ��y�b�;L���x�b��L'�
0 1 3
1
7
6
x
y
167
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
X����L�8��K��������������x + y�b�+�!������������&�@u��������B�L'^�;CL������&�@H��������B;^�+C��i ����������F������L�!� �����8��K��������������x + y = 7. E����������$�������L����������������!����������!������U�!������� �B�^��C��
N�����#�1 x y
x y+ =+ =
⎧⎨⎩
⇒+ ⋅ =⋅ + =
⎧⎨⎩
⇒==
⎧⎨⎩
3 6
2 7
3 3 1 6
2 3 7 7
6 6
7 7 �����18C�B�^��C�
!*��M��������5�, ���8�L���"���!���� ��L��� ���������%����������������%L����
!�������!��������8��K���L������!�������L��������$�� ���%�aa
bb
aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
≠ = ≠, L���aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
� � ��" &�����
�C�2 11 2
6 22 4
x yy x= −= −
⎧⎨⎩
,
.�
2 2 11
4 6 22
x yx y+ =+ =
⎧⎨⎩
,
.
X����a1�b��L�b1 =��L�?1�b������a2�b�#L�b2�b�)L�?2�b�����?�������� ����� 2
4
2
6≠ ��" &����L���
��F�%��������������%��M������������������A����.!*��M����� ���5� @!���� ��� ���������� ����� !���������� 8��K���� ���������� 4x + y�b�+����&�sv��E��������� &"�%�����L� ���M�%�������sv�Bx^�;C����������$��������y�b�;������������[�#x�f�;�b�+L�x�b��L+'��X����L����A����������L��������&�����������������#x + y�b�+���������� ����������������������L�U�!����B�L+'^�;C��, ����� ���������8������������������������ax + by = ?���$�����!���$�� �����a���b:U_�x + 3y = ?�����������!����B�L+'^�;C������������L��!����� ���?: ?�b�U_��g��L+'�f��g�;�b�U_�L'��X����L�����������������"����U_�x + 3y�b�U_�L'�!*��M����� ����� @!���� ��� ���������� ����� !���������� 8��K���� ���������� 5x�U�+y�b��#����&�@H��E��������� &"�%�����L� ���M�%�������@H�B;^�yC����������$��������x�b�;�������������'x�U+y�b��#[�#�g�;�U�+y�b��#L�y�b�U���X����L���A���������L��������&�����������������'x�U�+y�b��#���������� ���������������������L� U�!����B;^�U_�C�, ����� ���������8������������������������ax + by = ?���$��G��!���$�� ���� a���b:��������!����B;^�U_�C���F�����������L��!���� ���?4 4x�f�BU�Cy = ?��B;^�U_�C��?�b�#�g�;�f�BU_�Cg�BU_�C�b�)��X����L�����������������"����#x�U��y = 6.!*��M��������5�]C�, ���8�L���"��������L������&��"��$�������������Ux�U�y = 4 �����������P �"�� ���%�������������������������$������L�"� ����8�������
���A����L��� �����" &������ �����aa
bb
1
2
1
2
≠ .
a1�b�U_����b1b�U_���, ���" &������−
≠−1 1
2 2a b ��� ����"����a2�®�b2.
X����L������������������������8 ����L���!�����L� ���&M����"��$��[��x + 3y�b�U_��"C� , �� �8�L� ��"�� �� ����L� �����&� �"��$��� ���������� U_x� U� y� b� #� ����� � ��P���P �"�� ���%�������������������������$������L�"� ��"������������������
��A���%L� �� ���� �" &����� � �����aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
� � �� , �� �" &������−
=−
=1 1 4
2 2 2a b c
�� ����"���a2 = b2 = ?2�[�BU_#C��X����L������������������������8 ����L���!�����L� ���&M����"��$����x + 3y�b�U_�������F������L���%��� ���L���$�������
168
Глава V
�C�, ���8�L���"��������L������&��"��$�������������U_�x�U�y�b�#��������������P �"�� ���%�������������������������$������L����"� ����A���%L��� ������" &����P
��� �����aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
= ≠ ��, ���" &������−
=−
≠1 1 4
2 2 2a b c �� ����"�� a2 = b2�®�?2�[�BU#C��
X����L������������������������8 ����L���!�����L� ���&M����"��$���'x + 5y = 1.
,�%��� ���L�!���F��� − =−
≠1
5
1
5
4
1.
!*��M��������5�8C�, ���8�L���"�����������������%����"� �������%L��� ����
�" &������ �����aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
= ≠ ��=������9 3 0
8 10
y xax y
− =− = −
⎧⎨⎩
9
8
3 0
10−=−
≠−a
��� a � 22
3 .
�����1�8C� a � 22
3 .
!*��M��������5]C�, ���8�L���"�����������������%�"� ��"�������������P
�����������%L��� �����" &������ �����aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
� � ��, ����������%�5 3 2
10 4
x yx ky+ =− =
⎧⎨⎩
5
10
3 2
4=−
=k
. 5
10
3=−k
���k�b�U_)������������!�����!�[� 3 2
4−=
k���k�b�U_)�
�����1�]C�k�b�U_)�8C�, ���8�L���"�����������������%�"� ��"�����������������������%L��� �P
��� �" &����� � �����aa
bb
cc
1
2
1
2
1
2
� � �� =� �����9 2
0 5 7 2 1 6
y kxx y+ =+ =
⎧⎨⎩ , , ,
9
7 2 0 5
2
1 6, , ,� �
kL�
9
7 2 0 5, ,�
k
��k�b�;L)�'��
����������!�����!�: k
0 5
2
1 6, ,� ���k�b�;L)�'��
�����18C�k�b�;L)�'��!*��M����������]C�, ���8�L���"�����������������%�"� ���8�������������L�
�� ������" &������ �����aa
bb
1
2
1
2
≠ ��=������bx y
x y+ =− = −
⎧⎨⎩
8 12
18 3 1��� ����"��� b
18
8
3≠−
���
b�®�U_#-��X����L�� �����!������������b� &"����� �L�� ��������U_#-L����������������%�"������8���������A������� � � � � �����1 b�®�U_#-��"C�, ���8�L���"�����������������%�"� ���8�������������L��� �����" &�����
� �����aa
bb
1
2
1
2
≠ ��=������
7
15
4
512
3
81 2
x y
bx y
+ =
+ =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
,
, ;
��� ����"��� 7
15
4
5
3
8: :b ≠ ��� b ≠
7
32.�X��P
��L�� �����!������������b� &"����� �L�� ��������_b ≠7
32��������������P
��%�"������8���������A������� � � � � �����: b ≠7
32.
J����'%��#����'����)������������������1���A����������������%�8��PK��������!��"��L����M������ �������������������8��K��������� �����P��%�"����8�L���"��������!���� �����A������H��� ���� �����"Q�������L����8��PK�������%�!��"���A����������8������"�������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%���������8��K�������!��"����PA����� ����� ���%���� ��������%� � ������ !����������� �� !��"�� �!���� �������� �����������%�������
169
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
����������n���A����
!����� ������'#������������������H�������V X��������� �� ��A����� 8��K������� !��"��� ����� ���%����
����������%��������!����������.H�������VV ��A���8��K�������!��"�������� ���%������������%��������
!�������������L����$������������!���� ������� ��������$���������A���%������.
H�������VVV ��A���8��K�������!��"�������� ���%������������%��������!�������������L� ������ ���� �!���� ��� �� ������ ��$���������A���%������.
H�������VW ��A���8��K�������!��"�������� ���%������������%��������!������������L� � �"���������� �!���� ��� �� ������ ��$���������A���%�����.
Урок 5.9. Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки
C���)���1� ������� (��� ��� �� �������� �"����%�������%� ���%��������������� ������������ ���%������������%��������!�����������E�������� ���"����1 *������ ��A����� ����� ���%���� ��������%� � ������ !������������ !��P"���!���������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�,�����������"���������� �P���� !����� ���� � !���M�&� ���!�&����� iP �� !�������� ��� �����M�%�� �������� ������� �����"������������$������8���%��������%��$���A������B��������$������������!��8������k�����������P��������CL����M������8���MG�"� �����8 �����!����P
�����$������L�������������� �������������!� ����������� ������ ���������"�����������A������������������%�!����!��������������R������� �"�����1� H��� �� ������� ��� �������� ���M���� ��A����� ����� ���%������������%�����������$��������������!����������B����)��������#�> ��*���1� E��� ��A���� ����� ���%���� ��������%� � ���������$��������������!��������\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�@"�$������������������������������%�8��������$�"L������%�U�����$����/����G ���8���%�!���������$�����������?�8������������!�����������
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
179
5.9. Решение системы линейных уравненийс двумя переменными способом подстановки
Деятельность
�5 B�������>��G���L!����'� x �#�x�� y �#�y�� �#�/�������������������G��'�������!�������� ����!����������G�!�����������'��%�<����!���������'����!����8�
yx xy
�5 @�>������ D���� � �� �I���� � �����'�������%�<����!���������'����!�������H������!��8
yx
�5 @�����'�������>�������D���� x��
�� y
��� �D���%�<����!��������
�'� ���!����8� U������� �������-�'��!����!�����H����!�������8�
y y
�5 @�>���������I����� ������G����������D���� %�K�� �������!�������
!�������%�F���G������>G����>����������������C�y.
�5 B��!�������>����������������C���>�� ������������������������!��-
���������������%�F���G������"��>����!�����D��!�������%�F�����>�� ����
����G����'�("*��,%�
�5 FIV��������������!�������>!����%�<����?����>����H���������I8
B����� �����������'�����C�'��!������C���G�!�����������'����������-����>!����*����*�)������#�%�U����I���G����������!�����������������G!-���C������G�����������N�5 @��G�����>�!������C��G���>���������'���'�?���������>�G�!D!�%��5 @'�?�����>�������C����������C���G��������������������!�������%�5 W� �����!�����������C����!�����������G��C����������C�����G���>�-
���������������C%�5 B��!�������>����������������C���G�����������������!����������(��
!���������DG���G�������������'�?�������>�G�!D!����������!�,�������G�����>������������C����������C%
�5 F�����>���'����������G����'%
Образец
�V�W� ����������!�!������C�3 6
2 3 11
x yx y+ =+ =
⎧⎨⎩
,������I�����G�������%
3��4�@��������!���������'�>�����������!��y�����>�xN�y�#�X�;�$x%�Y����'�?�����>�� ����������������������!�������N�6x�"�$(X�;�$x,�#�//%W� ��!����������CG���xN�6x�"�/Z�;�[x�#�//���%�%�x�#�/%B�G���������!�������>����������������C�x����'�?�����y�#�X�;�$x�����G����N�y�#�X�;�$�\�/�#�$%�]�����I�>����x�#�/���y�#�$%� � � � � � � � �����1�(/*�$,%N�����#�1�@������������������?����������������G��������!�(/*�$,����I�
!�������N�$\/�"�$�#�X���6\/�"�$\$�#�//%
170
Глава V
������$�!��������������x + 3y�b�)L�����������������������U������������x + y = 7. x y
x y+ =+ =
⎧⎨⎩
3 6
2 7
, =�!����������������"�����������$�������$�����$�!�����������"����
�����������������[�x�b�)�U��y. �� g� B)�U��yC�f�y�b�+��E��������L�!� ��� ��� ���%��������������������������$���������������8����A�����!� ��������b����*�!�A���F��$���������������������&�M������������������[ x�b�)�U��y: x�b�)�U���g���b���
�����1�Bx; yC�b�B�^��C�
"C�?������!��"��L�3 2 2 4
3 3
3 2 2 4 2
2
x yy x
x yy x
xy
+ = ++ = +
⎧⎨⎩
⇒+ = +
=⎧⎨⎩
⇒==
⎧⎨⎩ �����1�Bx; yC�b�B�^��C�
!*��M�������5
8C�
2
3
5
43
5
6
7
86
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
B�������������������������C
B������������������������-C⇒
− = −+ =
⎧⎨⎩
8 15 36
20 21 144
x yx y
=� !������ ���������� "� ����$��� ����$� �: x y=
−15 36
8�� Y�� ���������� !������� ���
���������������������": 2015 36
821 144⋅
−+ =
y y L�'B�'y�U��)C�f�#�y�b��--L�y = 4.
Y�� $�������� �� !������� �� ������&M��� ���� �� �������� x y=
−15 36
8:
x y=
−15 36
8= 3. �����1�Bx; yC�b�B�^�#C�
�C
2
5 31
10
7
64
m n
m n
+ =
− =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
B������������������������/C
B�����������������������$^C⇒
+ =− =
⎧⎨⎩
6 5 15
3 35 120
m nm n
=�!����������������n�����$�������$�m: n m=
−15 6
5��Y�����"��!����������������
�����������������n: 3 3515 6
5120m m
− ⋅−
= L��m�U�+B�'�U�)mC�b���;L�m = 5.
n m=
−=
− ⋅= −
15 6
5
15 6 5
53 �����1�Bm; nC�b�B'^�U_�C�
!*��M�������5
]C
x y x y
x y x y
+−
−=
++
−=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
2 38
3 411
B�����������������������_C
B�������������������������C⇒
+ − − =+ + − =
⎧⎨⎩
⇒3 2 48
4 3 132
(x y) (x y) ,
(x y) (x y)
⇒+ − + =+ + − =
⎧⎨⎩
⇒+ =+ =
⎧⎨⎩
⇒=3 3 2 2 48
4 4 3 3 132
5 48
7 132
4x y x yx y x y
x yx y
x, , 88 5
7 48 5 132
−− + =
⎧⎨⎩
yy y
,
( )
��A������������������L���%�����: y = 6. *��������!����8�����������[�x�b�#-�U�'�g�)�b��-�� � � � �����1�Bx; yC�b�B�-^�)C�
171
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
"C�
x y x y
x y x y
+−
−=
−−
+= −
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
9 32
2
6
3 2
320
B������������������������CL
B�����������������������_C⇒
+ − + =− − − = −
⎧⎨⎩
⇒x y x y
x y x y3 3 18
2 6 4 120
,
⇒− =
− − = −⎧⎨⎩
4 2 18
4 5 120
y xx y
B�)������!������������CLB�)������!�����������C
⇒− =+ =
⎧⎨⎩
⇒= −
− + =⎧⎨⎩
2 9
4 5 120
2 9
4 2 9 5 120
y xx y
x yy y
,
( )
��A������������������L���%����y: y�b���L�x�b���g����U�7�b��'�� �����1�Bx; yC�b�B�'^���C�
8C�
1
22 1 2
1
43 7
1
52 3 1
( )
( ) ( )
a b b
a b
− − = −
− = − +
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
B������������������������C
B������������������������^C�
⇒− − = −− = − +
⎧⎨⎩
⇒− = −− =
⎧⎨⎩
⇒=
2 2 2 4
15 35 8 12 20
2 3 2
15 8 43
3
a b ba b
a ba b
a b, ,
−−
⋅−
− =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
2
2
153 2
28 43
b b
��A������������������[�#'b�U��;�U��)b�b�-)L�b = 4. a =⋅ −
=3 4 2
25 .
�����1�Ba; bC�b�B'^�#C�!*��M�������5
�C
y x x y
x y x y
−= −
+
+= +
+
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
3
21
7 3
5
5
31
3
4
B������������������������^C
B�������������������������C⇒
− = − −+ = + +
⎧⎨⎩
⇒5 15 10 14 6
4 20 12 3 9
y x x y,
x y x y
⇒− = −+ =
⎧⎨⎩
⇒= −− + =
⎧⎨⎩
⇒==
⎧⎨
x yx y
x yy y
xy
11 10
11 12
11 10
11 10 11 12
1
1
, , ,
⎩⎩ �����1�Bx; yC�b�B�^��C�
�C�
2 5
71
2 2
3
3
42
7 8
5
a b a b
a b a b
−− =
+
−+ =
−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
B�������������������������C
B������������������������^C⇒
− − = +− + = −
⎧⎨⎩
⇒6 15 21 14 14
5 15 40 28 32
a b a ba b a b
,
⇒+ = −− =
⎧⎨⎩
⇒⋅
++ = −
=+
⎧
⎨⎪8 29 21
23 17 40
817 40
2329 21
17 40
23
a ba b
b b
a b,
,⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒= −=
⎧⎨⎩
ba
1
1
,
�����1�Ba; bC�b�B�^�U_�C�!*��M������ 5�i ����A����������%��������������%����������������"��L���y = 0.
( ) ,
( )
( ) ,(
2 4 0 6 0
3 4 1 0 2 0
2 6
3 2
2− + ⋅ − =+ − ⋅ + =
⎧⎨⎩
⇒− == −
⎧⎨⎩
⇒−m x m
mx mm x
mx
mmm
xm
) ,⋅−
=
=−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒
2
36
2
3
172
Глава V
⇒− + =
=−
⎧⎨⎪
⎩⎪⇒
=−
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4 2 18
2
3
1
4
22
3
m m
xm
m
x
, ,
�����1 m�b�U_;L�'^�Bx; yC�b�B 22
3; �;C�
+�//���������������"����1�H��M�%�������������$� �������"��������� �����������A����!���������p�'U-��H!���������p�7��������� �&��������8��!��P������������!������������ ��� ��������M�����H��M������ �"������$� �������"�������� �� ���� ����� ��A��� �!��������� p� �U#�� H��� �� ����� ��!� ��� ������$����������"����� ����!�������$�������J����'%��#����'����)������������������1���������������!��������L����M�%���� ����!�������!���!���� �����$������!��������%����FKK���������� � �� U�� ���8�%� !��������%�� ?��� ���� !��� F��� $���������� ���������� ��G�� ��� ����������"�L�����"� ���!���%�K������i ����FKK��������������%L������&M���������L�� ���������� ��U�L�����F��� ����� &"�&�!��������&�����������$��������$����8�&������?���� � ���������1� H��� �� �MG� ��$� !����������� �� �"�"M��� !��%������� ����A������������!�������������� ���%������������%�����������$������������������n���A����
!����� ������'#������������������
H�������V X�������������A���������� ���%��������������%��������!���P��������!��"���!���������
H�������VV��A�������� ���%������������%��������!�������������!��"���!��������L����$�������������A������������������%�����"��P�����������������
H�������VVV (������ ���� ��A��� ����� ���%���� ����������%� � ������ !���P��������!��"���!���������
H�������VW ��A�������� ���%������������%��������!�������������!��"���!��������L��!� �$������"����!��"��
Урок 5.10. Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом сложения
C���)���1��������(��� ��������������"����%�������%� ���%��������������� ������������ ���%������������%��������!�����������E�����������"����1*��������A���������� ���%������������%��������!����P���������!��"���� 8�"�������8�� �������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��� ���������"���8�L��"�����������OE?
173
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1�,�����������"����� �����P� ������$������L�����M����������L��������P��� "��� !����� ���� � !���M�&� ���!�&�����X������ ���"��$���!����������������������%�K������ �������8���������A��������B�������$���P���������!��8������k�������������������C��������!� ������ ���� ����� ���M���� � �����&��������������� B� �8�"�������C� ���%��������P����������������$��������X������ �A���&�������������M��������L������!���� ����������P��%�8���������������R������� �"�����1� H��� �� !����� ��� ���PM����� 8�������A���������� ����%���������P����%�����������$�������!��"���� 8�"�����P
��8�� ��������> �8�������"�����������M������������ �&���"��$���
B����)��������#�>��*���1�E�����A���!��"���� 8�"�������8�� ��������P���� ���%������������%�����������$������\
, ��!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� ����8��!!����� ��!������E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�H��M������A�&�!����� ����&��������������%����� ��8��PK��������!��"�������� �������%�"���8�L���$����!��"��� ����������������������������$���&��������������!� ����������$� �����!*��M�������5�����$�����������������������������K�����ax + by = ?�!������������� ������[
]C�x yx y
x yx y
+ − =− = −
⎧⎨⎩
⇒+ =− = −
⎧⎨⎩
5 7 0
3 1
5 7
3 1
,
B�����������������������6�T⇒
+ =− + =
⎧⎨⎩
x yx y
5 7
3 1
�� ������������������ ������������������[�Bx + 5yC�f�BU_x + 3yC�b�+�f��L�y = 1.=!�A���$������������ &"����$���������%����������%����x:x + 5y�b�+L�x�f�'�g���b�+L�x = 2. �����1�Bx; yC�b�B�^��C�
"C� x yx y
x yx y
− − =+ + =
⎧⎨⎩
⇒− =+ = −
⎧⎨⎩
3 4 0
5 3 1 0
3 4
5 3 1
( ������������������[�Bx�U��yC�f�B'x + 3yC�b�#�f�BU_�CL�x�b�;L'�=!����!� ��������$��������"�������������x�U��y�b�#L���%����y[�;L'�U��y�b�#L�y = �1
1
6.
�����1�Bx; yC�b�B;L'^��11
6C�
Глава V
182
5.10. Решение системы линейных уравненийс двумя переменными способом сложения
Деятельность�5 �B������� �#�x�� �#�y� #�/����������������?������������G��'������-
�!����� >�� ���� ����C�'�� !��-
��������G�!�����������'��%�<-
����!���������'����!����8��
�5 � ����'�� ����� ������C��� ������� ���!�� �� ���!��
� �%�<����!���������'����!�������H������!��8
�5 U��?����D��������G���������� ��������̂ ���̂ ^^����G�������C�������'%�U��I�-
���� ����������������G�����'��D���%�_��!������>���-
����"8�
�5�����'�����������?����������� �D������������-
���!�����x%�<���!�����!�����
���� ���������� �8� K�� ����
������("*��,%
I II
III
II
B����� �����������'�����C�'��!������C���G�!�����������'���������>!-�����?���*�������M����%�C*�������M����������G����������G!���C������G�-����������N�5 `��������������!������C���HEE�L����'���I�C��G������C����������C�����-
����������������?�'��������������!�����������G'���������������������������G������������!�����?����%
�5 `������!��������������G�����'����������'�����HEE�L����'������'����������������������?�'��������������!��������!���?����������-�����������������!���������I�>�������I'���HEE�L����'��G��C��>�����-����'������������������?�'���������%�J������������C����!�����C�������'�!������C����G'����������������������%�
�5 W� �����!�����������C����!�����������G��C����������C�����G���>���-�������������C%
�5 CG������>����������������C���G�����������������H��C�?���������-��C����G����>�!������C�������'�!������C������G�����>������������C����������C%
�5 F�����>���'����������G����'%
Образец
�V�W� ����������!�!������C�3 2 6
2 11
x yx y+ =− =
⎧⎨⎩
,������I������?����%
3��4�@��������!����������HEE�L������������6������������!���������
?�� ;� /%� U��G���������� ����� �?G!�� ������!� �����D�� !�������� !���?����
��6����������!�������!����������HEE�L�������I!G��������;a6%�
3 2 6
2 11
x yx y+ =− =
⎧⎨⎩
,�(J���?����?G!��������!���6,
�#�3 2 6
4 2 22
x yx y+ =− =
⎧⎨⎩
,�(U��G'����������������������,�#� 7 28
4 2 22
xx y=− =
⎧⎨⎩
,
xy
=⋅ − =
⎧⎨⎩
4
4 4 2 22
,�#�
xy== −
⎧⎨⎩
4
3
,�� �����1�(b*�;a$,.
174
Глава V
�C�x yx y
x yx y
− − =+ + =
⎧⎨⎩
⇒− =+ = −
⎧⎨⎩
3 4 0
5 3 1 0
3 4
5 3 1
N������������������������$T ⇒− − =
− = −⎧⎨⎩
12 11 1
12 13 25
x yx y
�� ������������������ ������������������[�BU_��x�U���yC�f�B��x�U���yC�b���f�BU_�'CL�y = 1.=!����!� ��������$��������y����������������x�U���y�f��'�b�;L���%����x:12x�U���g��f��'�b�;L�x�b�U_��� � � � � � �����1�Bx; yC�b�BU�^��C�!*��M����� ��5� i �� 8��K��� ���%��%� K������� y = kx+b� !������� ����$� �����
jBU_�7^���C���aB�^�U_7CL���������$�!����− + =
+ = −⎧⎨⎩
19 31
1 9
k bk b
,. O$�F�%��������������%�
��%����k ��b.
− + =+ = −
⎧⎨⎩
19 31
1 9
k bk b
, N�����������������������6�T⇒
− = −+ = −
⎧⎨⎩
19 31
9
k bk b
,
( ������������������[��;k�b�U_#;L�k�b�U_���U_��f�b�b�U_7L�b�b�U_+��( ������ ���L�����P������!����%L�!������M�%�����$������(���=����������y�b�U_�x�U�+�� ���x + y�b�U_+�
�����1 2x + y�b�U_+��!*��M�������5�(�8 ����� ���&L�8��K��� ���%��%�K�������!�����������@u��������B)^�;CL������@H�U��������B;^�U_�C��?�8�������������������������y = kx + b�$�!�A�������[
6 0
0 2
6 0
2
1
3
2
k bk b
k bb
k
b
+ =⋅ + = −
⎧⎨⎩
⇒+ == −
⎧⎨⎩
⇒=
= −
⎧⎨⎪
⎩⎪
, , ,
X����L�����������!����%����������y = 1
3x U���� �� 1
3x U�y = 2. �����1 1
3x U�y = 2.
!*��M����� ��5� ��"�� ��!���� ���������� !�����L� ������� ��� ������L� �!P���� �&�����������������!����������!�������������"��������������X����$���������!� �������L��������!P�����������p�+���C�E������!������!������������"����������B�^�;CL���������������U��������B;^��C�
2 0
0 2
2 2 0
2
1
2
k bk b
kb
kb
+ =⋅ + =
⎧⎨⎩
⇒+ =
=⎧⎨⎩
⇒= −=
⎧⎨⎩
, , ,
X����L�����������!����%����������y�b�U_x�f���� ��x + y = 2.�����1x + y = 2.
(�����!������!������������"���������� BU�^�;CL� ������������U��������B;^�U_�C��− + =⋅ + = −
⎧⎨⎩
⇒− − == −
⎧⎨⎩
⇒= −= −
⎧⎨⎩
1 0
0 2
2 0
2
2
2
k bk b
kb
kb
, , ,
X����L�����������!����%����������y�b�U_�x�U���� ���x + y�b�U_��� � �����1 2x + y�b�U_���
0
y
x
1
1
в)
175
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
!*��M����� � 5� ��"�� �!����� ���������� �� �����%� ����L� ����� ���������������&�������������������� �L���"�����������"� �����"�%�
�C�2
411
33
1
x x y
y x y
+−
=
−+
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
B�����������������������$C
B�����������������������$C⇒
+ − =− − =
⎧⎨⎩
⇒8 44
9 3
x x yy x y
,
⇒− =− =
⎧⎨⎩
9 44
8 3
x yy x
,
B������������������������C ⇒− =− =
⎧⎨⎩
9 44
72 9 27
x yy x
,
( ����������������������������[�B7x�U�y�C�f�B+�y�U�7xC�b�##�f��+L�y�b����=���������� 8y�U�x�b���!�����������������L����y�b��[�-�Ux�b��L�x = 5. �����1�Bx; yC�b�B'^��C��
$C�4 5 10 0
5 3
1
30
a ba b
− − =
− + =
⎧⎨⎪
⎩⎪B������������������������/C
⇒− =
− + =⎧⎨⎩
4 5 10
3 5 5
a ba b
,
( ����������������������������[�a = 15.�� ��������$�����������!�A������������&M������������������[�#a�U�'b = 10.#�g�'�U�'b�b��;L�b = 10. �����1�Ba; bC�b�B�'^��;C�+�//���������������"����1�H��M������ �"������$� �������"��������� �P����������A����!���������p��U���H��M���������������$� �������"��������� �����������A���"� ��� �������������������%��H��� ���������"�����!�������$��������������"����� ����J����'%��#����'����)������������������1�/������$���������!��L��������� ������������!��"�����A����������������%��H��M������ ����!������L����������"��!��"��������A� ������L���$� ����� ����"���������������H��M������ �����"��M���������������!�������������"��8��!��"��!�����A������������������%������?���� � ���������1� H��� �� �MG� ��$� !���G������� �� �"�"M��� !��%������� ����A������������ ������������ ���%������������%�����������$������������������n���A����!����� ������'#������������������H�������V X�������������A���������� ����%�������������%��������!��������P
���!��"���� 8�"�������8�� �������H�������VV ��A�������� ���%������������%��������!�����������!��"���� P
8�"�������8�� ������L����$�������������A������������������%�����"�������������������
H�������VVV (������ ������A�������� ����%�������������%��������!��������P���!��"���� 8�"�������8�� �������
H�������VW ��A�������� ���%������������%���������!�����������!��"���� 8�P"�������8�� ������L��!� �$������"����!��"��
176
Глава V
Урок 5.11. Решение задач построением системы линейных уравнений с двумя переменными
C���)���1 ������� (��� ��� �� �������� � "�P����%� ������%� ���%���� ���������� � �� ���������� ���%������������%��������!�����������E�����������"����1(��� �������� ���%�������������%��������!������������8 ����� ������$������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1
*���$������������������������N�������#� *�����'1� H��� �� � !���M�&� ���P!�&���� !����� ��� ��$ ������ $�����L� �����P��&M��� ��$������� �������L� �� ����� � ���PM����� ���� ��� ��$������� !��� ��� ���������� ���%������������%��������!�����������
�8 ����� ������$�������H �����$�����������"���!����� �������M�����!�P��M�&� ���!�&���� �� ������� ���������� H��M���� � � ��A��� � ���� $������� �!�����������������%��8 ����� ������$�������X���������������������������$������� ����������!�����������, ��K������������!��"�����!���� �������$����P������� �����$�����L����� ���� ��������������M���������� ���������� �����
B����)��������#�>��*���1�E������ ��������� ���%������������%��������!������������8 ����� ������$�����\
, ��!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&�������"����� ������8��!!���E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5��C�(�8 ����� ���&L� �������%����������� �L���"�������$����"� ��������!� ������������@"�$������"� �A����� ������$�xL�������A�������$�y��?�8P���x�U�y�b�Bx + yC�[����i ��!���"��$�����F�����������L�!� ����[�x = 3y��( ������ ���L�"� �A����� ��"������������������������A���L�������A����� ��U�����%�����%�����"� �A�8���@"��$��[�� ��x�b������y�b�#�����%��� �������U�#�b�B���f�#C�[���
�����1��� �A����� ��"������������������������A���L�������A����� ��U�����%�����%�����"� �A�8��
!*��M�������5�]C��������� �������������������!� ���$��Y����� ������������
������!� ���$� y.�?�8���!��� ���&[�4 2 14
2 6 15
x yx y+ =+ =
⎧⎨⎩
,. �����1 x�b��L+�B�C�L�y�b�L)�B�C�
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
185
5.11. Решение задач построением системы линейных уравнений с двумя переменными
����������� ������������������������������������� ������������-
������������� �������� � ��������� ������� ���� � ������� �������������
�������� ����������������������������� ��������������������������-
�������! ��������������������������� ������������"������������"�
����� �� ���������������������� ���"������� ������� �����#
�5 $����� ���������������� ���������� ��%����������%��������&��'�������������� ������������"������ ���"�
�5 &� ������������������������������� "%��������%���
�5 &���������� ���������� �����%��������������� ��������� �����
Образец
�V��������� ���������������������������(�� ����������� ��*�����������+�
�� ����������� ����������������������������������� ���� ���������� �-
��������.������������������������������������� ��*��� �������/����������
��:��������� ���������� �������������� ���� ������������������* +������
������;������������� ���������������<�� ����������(�� �����%� ����
����������������;�=�
3��4� �>� �������� �������� (� � ����� �%������" ��� ����������<�? ������ ���" ������-�� ������� ����������%� ��@x�A�*B ��� �-������ @y� A� +B� �� ����� ���� �������� %� ���� .� ���� %� ������ ������ � �������� �-
������#�x�A�*�C�.�@y�A�+B����������?���� ����������%� �� @x� A�/B ��� ������� @y� A�*B����� �������%� ����* +�����%� ����������� �
��:�����%�����y�A�*�C�* +@x A�/B�D������������������������������#�
x yy x− = −( )− = −( )
⎧⎨⎩
1 2 5
1 1 5 9
,
,�
#�x yy x− = −− = −
⎧⎨⎩
2 9
1 5 12 5
,
, ,�@D�����������"����������.B
�#�x y
y x− = −− = −
⎧⎨⎩
2 9
2 3 25
,
�
#�
#�− = −− = −
⎧⎨⎩
2 34
2 9
xx y
,
��
#�x
y=− = −
⎧⎨⎩
17
17 2 9
,
��
#�xy==
⎧⎨⎩
17
13
,
E������%�������������������#�"�C�*( ���C�*F �������;�����������������-������ ��*(�����������*F��� ��������< ������� �� ����?��%� ��*(�G�*F�C�FH�
��������� �����1�FH����������
yx
C��������������1x yy x− = −( )− = −( )
⎧⎨⎩
1 2 5
1 1 5 9
,
,
177
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
!*��M�������5�@"�$��������$�����������$�xL�����$���"��������$�y����8������$�������"� ��x�U��L� �L���"����U�y�U��� ������� ���&�y�U���b��Bx�U��C�?������!��"���-� ����$�������"� ��x�U�-� �L���"����U�y�U�-� ������� ���&�y�U�-�b�'Bx�U�-C�
��A������������������%�y xy x− = −− = −
⎧⎨⎩
2 2 14
8 5 40
,: x�b��;�B �CL�y�b��-�B �C�
�����1������;� �L�"�����-� ��!*��M�������5���������� ��������A����������" &���$��xL����� ��������A������� �A����$��y������ ���&[�x�f���b��By�U�C�����U��b�y + 1.
��A������������������%�x yx y
x yy x
+ = −− = +
⎧⎨⎩
⇒− = −− = −
⎧⎨⎩
1 2 2
1 1
2 3
2
, ,: x�b�+L�y = 5.
�����1�������" &���+�B��A���CL���� �A����'�B��A���C�!*��M������ 5������������ ����$� ���$��xL������� �������"���$��y��?������������������������������L���7x = 11y.(�8 ����� ���&L�� ��!������������������ ����$� ���������� ���������"P��L� �������A�����������������8� �8���!����%L�$���������������������"���8x + y + 13 = 10y + x.��A����������������%�
9 11
8 13 10
x yx y y x=+ + = +
⎧⎨⎩
,��������!����������
x�b��'L+'�B8CL�y�b��7L�'�B8C�������1������ ����$� ��������'L+'�B8CL������ �������"��������7L�'�B8C�
!*��M�������G5�@"�$������������%�$���"����!����8����"���8������$�9��������8��U�����$�b��(�8 ����� ���&L��'a + 14b�b���#��(����8�%��������$����L����$���"����!����8�� ��"���8�� $�� #� ���� "� �A�� ��� ��� ������ $���"���� ����8�� ��"���8�� $�� �� �����X����L�#a�U��b = 22.
��A����������������%�15 14 234
4 3 22
a ba b
+ =− =
⎧⎨⎩
,L�!� �����a�b��;L�b = 6.
�����1�!����%���"���%�U��;�������L�����%���"���%�U�)��������!*��M��������5�@"�$������!��������!� ��������������$�aL� ����������!� ���������� ����$� b�� =��������� !��� "���� x�� ?�8��� !�� � ���&� ��� ������ !���� ����������������$����8���� ���8�[��;;�U�x = 5a�f������;;�U�x = 7b + 1.?������� ��������������������L�!� ����[�'a = 7b.(����8�%��������$����L����a = b�f�#��?�8����������������%L��8 ����� ���&�
$�����L�"����5 7
4
a ba b
== +
⎧⎨⎩
,.�i ����A����G��������!��������L�!� �����a�b��#L�b = 10.
�;;�U�x�b�'�g��#�f��L�x = 29.,�%��� ���L��;;�y��7�b�+��������� �����F�8���� �����'���+����������G���L���!� ����������!� ������������!������ ��������#���������"� �A�L��������������
�����1 29.
178
Глава V
����?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �� ��A����� $����� ���������� ���������� ���%������������%��������!���������������������n�(��� ���������A�����$����
!����� ������'#������������������H�������V X��������� �� ��� ����� ����� ���%���� ��������%� � ������
!������������������������� �������$������H�������VV (��� ��� ����� ���%���� ��������%� � ������ !����������� ��
������������ �������$�����L������!���������������A�"������G���A�����
H�������VVV (������ ������� �������A�������� ���%������������%��������!������������������������ �������$������
H�������VW (������ ������� �������A�����"Q������������� ���%�������������%��������!����������������������� �������$������
Образцы критериев оценивания для составления заданий для малого суммативного оценивания №8
� H�������1 X����!��"��$�������K�������2 (������� �����8��K��� ���%��%�K�������3 (������� �����8��K���!����%�!��!������� ���%�$��������
4 @!���� ����� ����� ���%��%�$��������������!������$����������������L�����M��������������������� �������� �
5 ������ ���$��������������������������������� ���%��%�K�������6 (����8��K��� ���%��%�K��������������!�����������7 ��A�������� ���%������������%��������!�����������8��K��������������8 ��A�������� ���%������������%��������!������������������!���������9 ��A�������� ���%������������%��������!������������������ �������10 ��A���$���������������� ���������� ���%������������%��������!�����������
179
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
Образец малого суммативного
оценивания № 8
�5� ,���� K������� �BxC� b� -� U� �x�� *�%����
�BU_�CL��B;L'CL�� 17
9
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .
����������������������������������������������������������������
�5��,����K�������y = 58
x�f��L���@!���� ���
$��������"L�� ��yBxC�b�'L).����������������������������������������������������������������
�5�=�������������8��K���K�������y = x�U�� !�����������@u���@H\�����������������������������������������������������������������
�5� E����� �$� ����� `B�^� ;C^� aBU_�^� 'C^�jB;L�^�;C�!����� ����8��K����K���P����y = 4x�U��L�\������������������������������������������������������������������������������������������������
�5 *�!�A��� K���� �� !�����L� �$�"���P�G������ �� !�����8� ���%� �������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5� *�!�A��� ���������� !���$�� ���%�K������L�8��K��������%�!��� � �����!��������8��K���K�������y = 9x�U�'�
���� � ���[�������������������������������[�����������������������
�5����A����������������%y xy x= −= +
⎧⎨⎩
,
2 3
!�G��!�����P����8��K���.
�5 ?��������!���$�������!����������P���� ++°� !�� D����8�%��� (�� ���� F����� ���!��I� ��&�B°jC\�����������������������������������������
5� =� >�������� �� T����� ��!��������!���������U_7;°j��(�� ����F���P��� ���!��D����8�%�\���������������������������������������������
�G5���A���!��"���!������������P��� ���%������������%��������!���P
��������[�x y
x y− = −+ =
⎧⎨⎩
⇒10
2 34
,
������������������������������������������������������������������������������������������������
��5���A��� !��"��� � 8�"�������8�� �������� ����� ���%���� �������P��%��������!����������[2 3 7
4 21
x yx y− =+ =
⎧⎨⎩
⇒,
����������������������������������������������������������������
��5���A����������������%�x y
y x8 5
11
40
7
2
5
24
35
+ =
− =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⇒,
������������������������������������������������������������������������������������������������
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
0 1
4
1
x
y
0-1
1
x
y
180
Глава V
Урок 5.12. Сумма внутренних углов треугольника
C���)���1 3.1.4. ��������������������������P��������8 ������8� ����������%������A��8���8� �.E�����������"����1X������!���������������������������������8 ������8� ������ K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��������L��"�P�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������������"������>�� �$���&�������%��8� ������8����8 �L��"��$��������!����%L�!������M�%�����$�����&P �"�����A�������8� ��������!��� � ���%��8��!�����!� ����%� ������� H��M���� ����$���&���������"��"����������8 ������������.
��R��������"�����1����� ���$���������������������������������8 ������8� �P�������,���$�� �����������!�����������M�����, ��F�8�����M������������$P��� ������8��!!�����������$�� ���L��������������!����������������"����L�!�����P����!��� � �����!�����L�����F��!���$����������� ����L����!� �$������������������ ���M����8 ����N��!!��!�������!���$������&�����$�� ������������������8��!!�L���G�����$�� �������"� ��������
B����)��������#�> ��*���1 E��� !��������� ������� �� ����� ���������� �8 ������8� ����������A�����$����\
(��� �&�!����������� ���������$��������$����"�������!� ��&��8��!!����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M����� ��5� ]C� *�� ������ ������L� �����8�� �� F��� !����L� ���$���� ������������������������ ���M����8 ���B��8���C. � �̀b��;° ���a�b�);°. "C�T��L����� �̀b���°.�(�8 �����������������������������8 ������8� �����[�
�a�b��-;°�U�B��° + 98°C�b�';°.�C�� �̀b���°L��a�b�+'°�¦§��j�b��-;°�U�B��° + 75°C�b�-#°.
D D D
BB
B
A
A
A
100�
98�75�
60�20�
32�
21�
a) б) в)
�����1�]C��;�L�);�L��;;�^� "C����L�7-�L�';�^� �C����L�+'�L�-#��
Глава V
188
5.12. Сумма внутренних углов треугольника
Деятельность
�5 I���������������� ��?������?� �����J�<����������������"�KL �
���� � ��"��������J<�@�����*B��
�5 >�������� �"�����? ��J�K����J<=�>����������������% ���"��:����? �=
�5 M��� ���������� ������� ���N�<����J<�=�
$�������� �����?������������=�&�����=
�5 >������? ��� �� �������K�N=�<������ ��'
�����? ���������������������K�N=�<�� �'
���?�������������� �����������OPQ�G��POQ�G��PQO=
������
D B
A
M
C
Сумма внутренних углов треугольникаТеорема
��������1��(��� ����1��� ��3(*������������!�����������'1���RJ�<��P ��O ��Q�A����������? ��
!����M)���������'1��P�G��O�G��Q�C�*SHT�
Докажите самостоятельно.
!���������������������������������������� �-
�������? ������� �������������?���? ��
Упражнения
�5��N����� ��%����������?� ����#��B�������������? �U�%B�������������? �U��B�����
�������? �U�?B�������������������������? �=�&�����=�$%�������������������
�5��B��V������������? �����������?� ��?������?� ������M����������������-������������������? �� ����� �"������������� ���������?� ��������-
?� ����=�>����������� ����������#�:���������*B�%� ����/HTU�.B����-
���/HTU�FB������/HT�
%B�M���������?��������������? �������������?������?� ����=
�5���� ����������� �������������� ����?� ��� � ��������-�����.��I�������?������"�������?���? �����������"�
�������������<�� ����?�������������� ����������?��-
����������:�����? ��=
�5�>��������������%���������� ��=�&�����=
�����$
N
M
K������
181
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
!*��M�������5��C�@"�$������"���������������A���K��8����������������(�8 ����������L��r`s�b��ajs�b�)-��?�8����`sr�b��-;��U�B)-��f�#'�C�b�)+��`sa�b��-;��U�)+��b������( ������ ���L�x�b��-;��U�B�7��f�����C�b�#-��
�����1�C�#-��!*��M����� � 5� �C� ,������ �8 �� ���8� �����L� ���������� ��� �" ���L� $�!�A��������� ���&M����"��$������!���� ��������%��8� L�!�������������������������P���������8 ������8� �����[� �̀b��;�L���a�b�nL��j�b�n + 20°. (�8 ��������������������8 ������8� �����[�� �̀f���a�f�j�b��-;�30° + n + n + 20° =180°n�b�+'���( ������ ���L���a�b�)'�L��j�b�)'��f��;��b�-'��
�����1��C��;�^�)'�^�-'��!*��M�������G5�]C�(�8 ����� ���&L��`a��b�#������ja��b��;���`a����ja���U�!�����8� ��������8� �������( ������ ���L� �̀b�7;��U�#���b�#-�����j�b�7;��U��;��b�);�L�a�b��;��f�#���b�+���
�����1 � �̀b�#-�^��j�b�);�^��a�b�+���!*��M��������5�*���������������8 ����� ���&[���� �����`aj�b�);�L���"�����a`j�f��`ja�b���;������ ����̀ k���jl�U�"������[�s`j�f��`js�b���;��[���b�);��( ������ ���L��`sj�b��-;��U�);�b��;���H8� �������"���������������);��
�����1 60°.!*��M��������5�(�8 ������������$��!���������p��;L��`sj�b���-���?�8����s`j�f��`jsb��-;��U���-��b�)����(�8 ������%���"������[�a`j�f��`ja�b�)���¹���b���#���( ������ ���L��`aj�b�-;��U���#��b�')��
�����1 56°.!*��M��������5�?���8� �����>=(�U��!�P�8� ����%����8� ������(�8 ����� ���&[�`aj�b���;��L��j�b�';�����r�b�7;��a`j�b��;��=�¡`ar��ra �̀b��-;��U���;��b�+;��?�8�����a`r�b��;�����j`r�b�#;��?������"��$��L�����$� �L�����j`r�b�#;��b���a`r�J����'% �� #����'� ���)��� �������� �������1� H��M���� �$� ����� � ��A���� �����$��&L��������������������8 ������8� �������������-;���*��F������������������$� ��F���,�������������M�����������L���������������8 ���!�����P�8� ����8�����8� ������������7;������?���� � ���������1� H��� �� �MG� ��$� �$�������� ������� �� �������� �����������������8 ������8� �������-;�L��"�"M���!��%��������"����!����������
19°
x
A
B
CO
в)
45°
68°
H CA
B
M
CA
B
N
O
A
B CD
182
Глава V
����������n������������
!����� ������'#������������������H�������V X���� ������� �� ����� ���������� �8 ��� ���8� �����L� ��� �����
����$�����!�������.H�������VV X�����������������������������8 ������8� �����L�$�����������
������$�� ������!���������.H�������VVV X�����������������������������8 ������8� �����L������� ����
������$�������!�������.H�������VW X�����������������������������8 ������8� �����L��"��������L�
������$��������!��������������� ���� ������$������.
Урок 5.13. Прямоугольный треугольник
C���)���'1� ������� X���� �� !�������� !��$����������8���F��������8� ��������������X������������F ���������8� �����������A�P��������������L�8���������������$�"������E�����������"����1�C��X���� �� !�������� !��$����� ���8��F�����
����8� �������C��X������!������������A������������8 ������
�������������8� �������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������� �� ���"������ @��������� ��� ���� ����L�
����M������$���&�!��$��������8��F��������8� �������� ��!�����8� �������P��8� �������� H��� �� �!���8�� ������ ��!������ ��G� �!���� G����� ��!��� ��������"����������������M�����!��$�����(H(L�H(HL�(((�� ��!�����8� �������P��8� ��������� i �� ����� ����8�� !�����8� ���8�� ���8� ������ "���� ������ ����������8�8��!�����8� ���8�����8� �����L���F�����8� ���������8��F�����Y��U�!��$P����(H(����8��F�����!�����8� ��������8� �������B���"����!�����8� �������P��8� �����������������8 ���������������7;���$������$������!�����8� �����C�
i ��������!�� �8�&M�%�����������%��8� �����8��!�����8� ���8�����8� �����������������"�����������������!�� �8�&M������������������8 �����8�8��!��P����8� ���8�� ���8� �����L� ������ 8������� �� ���8��F����� !�����8� ����� ��P�8� ��������� ,��8�%� �8� � �!������%� ������ ����� ���8� ������� U� !����%� �8� ��Y��U�!��$����H(H����8��F�����!�����8� ��������8� �������
Глава V
190
5.13. Прямоугольный треугольник
��������������� �������������� ������������������
������������������� ������*���� ����'���� ���S��#��������������������������������������������-
������������������ ������#�����������������������- ���������������������� � �*�������>�!�����"#� катет
гипотен
узакатет
A
B
C
������
Деятельность�5 $���������������%���� ��� �� ����������� ��&�������� �������
'�������������������������(������������ )
�5 *��������� ������������ ��� ������������� �����������������������-
��������������������������� ���� ����� ������������������������-
�������������������)�+�,���)
�5 $�������� ������ %�%� �� ��� �� ����������� �� +������������ ���-����'�������������������������(������������ �
�5 *��������� ������������ ��� �������������(������������ ���������-
����������������������������������������������������������������-
�������� ���� ����� �������������������������������������������
���������������������������������)�+�,���)�.��������� ����� ���
�5 /� �������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������� ���� ����� -
������������������������������������������������������������������
�����������)�0����������������� ������������������'��(������������ )�
$����� �����������������'��(������������ ������������ ����� ���
Признак конгруэнтности прямоугольных треугольниковТеорема
5��(� ('�1��E��(�*�1�1��0� ��'�@��� ��3� ��1��� ��3(*�����1��1�1��-��*� ��41�� ('�1��E��(�*�1�1��0�� � ��'�@��� ��3� ��1��� ��3(*�&�1��1�*(��'�@��� ��3���1��� ��3(*(�*� ��41��!�����������'1�1234���1�567� �����������-
���������������!�����8#��23���57���24���56�
!����M)���������'1��$%C����&'*�
A M
B KC N
������
A(M)
BKC(N)
�����$
Докажите самостоятельно.
/����������� ������������ 234� �� 567�
�����,������������9����56�����������
����� �� �������:��������� ,��� ����,����
�����������&9$��� ���������!�����;#.
183
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
i ��8�!����$����!�� �8�&M�%�����%����%��8� �����8��!�����8� ���8����P��8� ������� ���������� "���� ������ 8�!����$�� �� !�� �8�&M���� �� ��%� �������8� �� ���8�8�� !�����8� ���8�� ���8� �����L� ������ 8������� �� ���8��F����� !��P����8� ����� ���8� �������� X����L� ��� � �� ����� �$� ����� �8 ��� !�����8� ���������8� �������������L������8���������8 ��������������R��������"�����1�H��� ���$�����������8��F�����!�����8� ���8�����8� �P������!��8�!����$�������������������������������
,���$�� �����������!�����������M��������������$�� �������8� ������>=(���klmL�����F���������!���������L���!� �8�&��������"��$��L����������>(���kl���� �����&�����8�������8���,���$�����L����!� ������%����8� �����E>=��� ���������"���������B����)��������#�> ��*���1� E��� !������&�� !��$����� ���8��F����� !����P�8� ���������8� ������L�����A����������������������8 ���\
(� �� �&� !���������� � ��������� 8��!!���� ��!� ��&�� $������� �$� ���"����� �����"����� ����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5��C���$����������8 ���!�����8� ���8�����8� ��������� ����#�����"����%���8���8 �L�������!�������������������%[�������8 ���"��$��P����x���y:
x yx y
xx y
xy
+ =− =
⎧⎨⎩
⇒=
− =⎧⎨⎩
⇒==
⎧⎨⎩
90
24
2 114
24
57
33
, , ,
�����1�'+��������!*��M�������5 ��������������1�i ������!�����8� ���8�����8� ������������!� ������8�!����$�L����8� � ���M�%���!�����F�8�������"�����������;��!�����������'1`a�b
1
2aj
!����M)���������'1�`ja�b��;��+�#����������� �����'1� =� ���8� ������ >=(� ������ >=�!���� ���������A����>�������&����� ���L������������>=L���!������!� ����&�������!��!����%� �������!� ������&���P����"�$������r������ ����>=�b�>r���>(�U��"M��������L���P��8� �������>=(���>r(����8��F�����( ������ ���L�=(�b�r(�
(����8�%������L�!��� ����̀ a�b1
2ajL�ar�b�aj�b�rj��
( ������ ���L�¡arj��MG��������"�������%��?�8�������8���8 ��������);���?�������>(�U�"������L����`ja�b��;���D�����)�#�����5!*��M�������5�=���$� ������A�����F�%�$���������M�����!����� ������A������������������%���8�!����$�%�!�����P�8� ����8�����8� ������@"�$�������a`j�b��`am�b�º��¡`am������"�������%[�̀ m�b�am�
A
B
C
D
A
B C
K
184
Глава V
O$������������8 ���!�����8� ���8�����8� ���������`aj�b�7;���!���� ��L���[�maj�b�7;��U_�º����mja�b�7;��U�º��?�8����¡amj����������"�������%L�����=E�b�=(��( ������� ���L��!���� � �L����>E�b�(EL����������E���������>(��>�F������$����L����=E�U����������J����'%��#����'����)������������������1�@!���������F��$�����L�����M��P���!���� �&����A������������������%L�!�����G���%���8�!����$�L���8�!�������$�%[+�����)���'%*����)L���># �*��������*���� ��������� �����#�%�����*�������)���' �*������'5!*��M��������5�(�8 ����� ���&L��`jm�b���;���?�8����`ja�b��;������� ������$�����������8�!����$�%����� ����������������'��L�������$�!����>(�U�>=�b��'��X����L����>(�b��>=��?�8��[��`a�U�̀ a�b��'��L�̀ a�b��'�����̀ j�b��;���� � � � �����1�;�������?��������������1�H��� ���MG���$���$�����!��$��������8��F�����!�����P�8� ���������8� ������L����A����������������������8 ���L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n������������!����� ������'#������������������H�������V *�$�����!��$��������8��F�����!�����8� ��������8� ������L����
����������$�����!��������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8�����8� ������L�������������$�����!��������
H�������VV *�$�����!��$��������8��F�����!�����8� ��������8� ������L�$�P����������������$�� ������!����������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8�����8� ������L�$���������������$�� ������!����������
H�������VVV *�$����� !��$����� ���8��F����� !�����8� ����� ���8� ������L��������� ��������$�������!��������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8�����8� ������L������� ��������$�������!��������
H�������VW *�$����� !��$����� ���8��F����� !�����8� ����� ���8� ������L��"����������L�����$�������!��������������� ���� ������$�������*�$����� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� !�����8� ���8������8� ������L� �"��������L� ����$����� �� !�������� �� ����� ���� ������$�������
Урок 5.14. Внешний угол треугольника и его свойство
C���)���1�����#������������������������������������8 ������8� ����������%������A���8���8 ��E�����������"����1X������!����������%������A������8 ������8� �������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L����!����L��"�������������OE?
B C
A
K
185
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L�������� �� ���"������ >�� �$���&�� ����A�������������8 ��L��������������P �"���8 ������A���������8� �����L� �� ���8��� ���������� �8 ��� F��8������8� �����������!� ���������$� ������� ��A�P����������������M�������R������� �"�����1� �� �� �8�L� ���� ��� ��A�P���������������M���L����� ����$������!������P ���������A��8���8 �� &"�%����A�������8� �������� ����������� ���A���� �8 �� ����8� ������ BF����������!� ������!�����������!�&���C�J����'%��#����'����)������������������1 H��� �� �� ���� ������ ��� �������� ���M���� ���� ����� �� �����%� ���A���� ���8� ������ ����8�����A��8���8 ��� ��������8 ��L��������!��8������%�
������,��������������8�%����A��%��8� ���!����������M��������L���L�8�����������A�����8 �� &"�%����A�������8� �����L��������������������$����A�����8 ���F�%����A����
Внутренний угол Внешний
угол
Внутренний угол
Внутренний угол
Внешнийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
B����)��������#�> ��*���1� E��� !��������� ��%��� ���A��8�� �8 �� �� ��A�����$�����\
(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�=�F���$����������M���L�����$�������G����A��������� ���N& �������> �L��� ���������L�������A������� �&���"���8 ���*��!��� ����F���8 ���� �&�������� �����L��������������8����8���@�������������!���� ����L�!��� ����!����������L�����������%����A�������8� ������!������������A������8 �L����A�����8 ����8 ��>=(�"��G��� ���`arL�� ���ja���!*��M�������5�@!��������������%�������L�!����!���� �����8������%��������P!� �$�&����%������A��8���8 �����������������������������8 �������8� �������
56°
? ? ?
a) б) в)
? ? ?114°
140° 100°
A
B C70°
70°?
A A
B BC C?
K
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
193
5.14. Внешний угол треугольника и его свойство
Деятельность
�5 G�,������������$�H��������������9�$����� �������������������9$����5 &����� ������������243����34H)�0������ ��
������'��(����� �!�����"#)�5 ������243�I�JKL��,������������ ���34H)�&��� ��
'�������������)�5 .����������� ,���� ������ �� �� ��������� �����
�2�M��3��������� ��������������������������5 &������ ��� �� �� �����������2�M��3����34H)�
D
B
A C������
%������ ������������������ ���������������������������� ���-
��� �N�������������������������������� ��N����+���������� ��N���
������������������ �� �N�(������!�����8#�
Внутреннийугол
Внешнийугол
Внутреннийугол
Внутреннийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
Внешнийугол
������
Свойство внешнего угла треугольникаТеорема
D�I(A� � ��� 1��� ��3(*�� ����� ������ 0���� ��1��(�� �� ������ ��(��� ����1��� ��3(*��!�����������'1�$�19$���2���3���243� ���������34H� � �N��������!����M)���������'1��34H�I��2�M��3�!�����;#�+�#����������� �����'1 �������� �������� �� ������ �����(� ���� � �������������"� M��8� M��;� I� "OKL����������� ������������������������� ;����P� ������������;� M��P� I� "OKL� ���;� I� "OKL� ��P�� Q����� ���������"�M��8�M�"OKL� ��P�I�"OKL����"�M��8�I��P��
Q������R��34H�I��2�M��3�D�����)�#�����5
Образец
$�N��� ����� ������������ �34H� I� ""KL�� ���� �� �����(� ���� � �������(�������2�I�P8L�!�����;#��G��������������������������������3��4������������������34H�I��2�M��3��Q������3�I��34H� ��2�I�""KL �P8L�I�JOL����������� ���� �������(����� R��4�I�"OKL� �""KL�I�SKL������� ��������������������������� ��P8L��JOL��SKL�
�����1�3�I�JOL���4I�SKL�
D
B
A C1
2
3 4
�����$
186
Глава V
]C� �`aj�b��-;��U���#��b�))�L��aj �̀b���#��U�')��b�'-��"C� �`aj�b��-;��U��#;��b�#;�L��aj �̀b��-;��U�+;��b���;�L� �a`j�b�+;��U�#;��b��;���C� �`aj�b��-;��U��;;��b�-;�L��aj �̀b��;;��U�+;��b��;�L��`jm�b��';�
�����1]C�))�L�'-�^� "C�#;�L���;�L��;�^� �C�-;�L��;�L��';��!*��M�������5����� �������A��������A��8���8 �����8� ����������������8���������������8���8 ��'�[��[�'x�b�-;L�x�b��);��?�8��������������8 �����8� ������"����16° ���b�#-��L�-;��y�#-��b��������-;��U�-;��b��;;���
�����1���L�#-�L��;;��!*��M�������5
�` 35° 80° 10° 23°�a 45° 67° 27° 89°�j 100° 33° 143° 68°
�ajr 80° 147° 37° 112°
!*��M�������5�]C�i ���`b�-;�L��jb')�L���`aj�b��-;��U�B-;��f�')�C�b�##�����`a��b�##��[���b������(����8�%��������`a��b�7;��U�-;��b��;��( ������ ���L���a��b��`a��U��`a��b�����U��;��b������¡a�j�a�j�b��-;��U�B����f�')�C�b��;����"C�i ���`b�);�L��jb#;�L���`aj�b��-;��U�B#;��f�);�C�b�-;�����`a��b-;��[���b�#;��(����8�%������L��`a��b�7;��U�);��b��;��( ������ ���L���a��b��`a��U��`a��b�#;��U��;��b��;���¡a�j��a�j�b��-;��U�B#;��f�#;�C�b��;;����C�i ���`b�';�L��jb+;�L���`aj�b��-;��U�B';��f�+;�C�b�);�����ja��b);��[���b��;��(����8�%������L��ja��b�7;��U��j�b�7;��U�+;��b��;���( ������ ���L���a��b��ja��U��ja��b��;��U��;��b��;��¡a�j��a�j�b��-;��U�B+;��f��;�C�b�-;��
�����1]C���a�b��������a�j�b��;��^�"C���a�b��;�����a�j�b��;;�^��C���a�b��;�����a�j�b�-;���
J����'%��#����'����)������������������1�H��� ���"����������M�����8�������&�������8 �����a�����a�jL�!� ����������������G��!������F�8��$����P����� H��M���� �!���� �&� ������� 7;°� ����� � �� ��$���� !� ����������a�� ���a�j�B@"�������������������������%������A��8���8 �����8� ����������������-;�������������8� ������8� �����C�(� ���8�%� �����L� ���M���� �� ������� !����� �� ���� �!���� ��L� �����a�L� �����8� L��"��$������%�����������%���"������%L��������!����������$�����%����PA���L�������!� ������8������%��������������8 ���>���(�B���8��������������8� ��C����"��!��%����������������L����� ���!���8�� ��������!��������������!��P�������M����
B
CAHT
B
ACHT
187
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
D� �/)��� ���?��� ���� �'(��13C� N�������� ����� �8 �L� �"P��$������8������������%���"������%L��������!�����������$� ����%� ���A���� ���8� �����L� ������ !� ������ ��$�����8������%� ����� ���8��� ���������� �8 ��� F�8�� ����8� ������B��$����"� �A�8���8 ����� ��C�
��a��b�B� �̀y��jC�[���!*��M�������5�������!� ������F�8��$����������"�����������!���� ��L�������%����A������!� �8�������A��%��8� ��X������$���������� ����[]CN���'>���"�>1�i �����A��%��8� �!������A�����������"������������8� ������"����������+;�L�����������%��8� �!����%�������A����"�����-;��U�+;��b���;���?����������8��������������8 �����8� �������������������"�%L������%��$�����"�����'��(����>���"�>1�i �����A��%��8� ��8 �L�!�� �8�&M�8�����������&�"����������+;�L�����������%��8� �"�����-;��U�+;��b���;���?�8�������%��8� L�!�� �8�&M�%�������P�����&����8� �����L�����"������������;���>�F������$�������H�����8�����8� ����������������"��������!����8 ��"C�N���'>���"�>1�i �����A��%��8� �!������A���������"�������8�����8� ������"����� ������ ��)�L� �� ��������%� �8� � �� F�%� ��� ���A���� "���� �-;�� U� ��)�� b� ##���?�����������8��������������8 �����8� �����������L��������%��$�����"���������� 136° : 2 = 68°.(����>���"�>1�i �����A��%��8� ��8 �L�!�� �8�&M�8�����������&L���������)�L�����������%��8� �"�����������-;��U���)�b�##���?����������8��������������8 ����P�8� ������������L��������%��$�����"�����������-;��U�--��b�7���
�����1�]C��'�L��'�L���;�^�"C�##�L�)-�L�)-��� ��##�L�##�L�7���!*��M������ 5�i �������8� ������>=(��`b����L��jb'-�L����ab�7;��(�8 ����� ���&L���������8� �����klm�(�8 ����!��$�����!��� � �����!�����[�laj�b��j`m�b��`ja�b�'-�L��`ak�b��`jm�b��a`j�b�����L�ajl�b��a`k�b��`ajb�7;��?�8��[��kml�b��-;��U�B�j`m�f��`jmC�b�b�-;��U�B'-��f����C�b�7;�L�klm�b��-;��U�B�ajl�f��lajC�b�-;��U�B7;��f�'-�C�b����L�mkl�b��-;��U�B�a`k�f��`akC�b��-;��U�B7;��f����C�b�'-��=��A�����8 �����8� ������klm�����������������7;�L��#-�L������������1������������8 �����8� ������klm[�7;�L����L�'-�L����A�����8 ��7;�L��#-�L�������!*��M�������G5�(����������������8 ������8� �������������-;���º�f�»�f�¼�b��-;��=��A��%��8� ��8 ��º��������-;��U�ºL����A��%��8� ��8� ��»��������-;��U�»L����A��%��8� ��8 ��¼��������-;��U�¼�i ��!��������L�����������%����A����!���������A������8 �L��8���B�-;��U�ºC�����f�B�-;��U�»C�����f�B�-;��U�¼C�� 2 = b��;-;��U�����Bºf»f¼C�b��;-;��U��);��b�+�;��( ������ ���L��� ��(�"���������L��������+�;��b�#�� 180°.
B NM
A
C
K
B
CAHT
188
Глава V
!*��M��������5�Y��$���������!� �������� �&��������8��!��������������P������L����������L����� ��������M��������������������8���8 �� &"�%����A�������8� ������!����������"����P����%����A��8���8 ��F�%�������A�����( ����P���� ����L� !��� � ����� �� F��� ����� ����$P�������������G�� "������� ���A��8�� �8 �� ���8�%�����A�����=�F��� ����L���"��̀ k����al��� �������" &������ ������k`a�b��lam�B�8� �����!��$�����!��� � ����C�?�8��� �j`a� b� �jam�� >� F�� !������������%�������A��8���8 ���(�8 ������%��L��� �����"����jam�b��j`a�f��`ja��( ������ ���L�"������� &"�8���8 ������8� ���������������"���!��� � ���%�"��������8�����A��8���8 ������?��������������1�H��� ���MG���$���$�������%������A��8���8 ������8� �P����L��"�"M���!��%����������8��!��������������������n������������!����� ������'#������������������H�������V X������%������A��8���8 �����8� �����L�������������$�����!��P
������H�������VV X���� ��%��� ���A��8�� �8 �� ���8� �����L� $��������� �� ����$�P
� ������!����������H�������VVV X������%������A��8���8 �����8� �����L������� ��������$�P
������!��������H�������VW X������%������A��8���8 �����8� �����L��"��������L�����$�����
��!��������������� ���� ������$�������
Урок 5.15. Соотношения между сторонами и углами треугольника C���)���1��������X������������F ���������8� �����������A���������������L�8������������$�"������E�����������"����1�X������!������������A����������������������8 ������P�8� ������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L� ���%��L�����!�����L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�=�!� ��������� ����L��������������"����������������"�����������������������������������8 ��������"�������8������8� ������L��� �PA����������������M�������������L� ���M�����!������8 ��L����8 ��L� �����M�����P
189
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
!�����������O$�"��$������������ ��������!�&P����B�����������F �������%�����C�!���$��� ����%����8� ����L� �$����&� � ���� ����� �� 8�������&������ �8 ���� �� �������� �� �� �������&�� ��!���������$�������� ���"�������B� �����������8��������������8 ���$�!������������� �����C��X�������M�����!���� �&L������!�����"� �A�%������� ���� "� ��A�%� �8� � � �� ��!����� ����PA�%������� ��������A�%��8� ���R��������"�����1�H��� ���$���������������������A����������������������8� �������8� ���P���������$������G����������$�� ����!��A�����������������M����B����)��������#�> ��*���1� E��� !������&������A����� ������ �������� �� �8� ��������8� ����������A�����$����\�
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�]C�i ��kl�~�km�~�lmL����8 �L� ���M�����!����������������L��� ����"���$�!��������%����!� ������ ����[��m�~��N < ��k�"C��i �������8� ������̀ aj�̀ a�b�7��L�̀ j�b��#��L�aj�b�-��L������A������������8��
�8 ���[�� �̀~��j�~��a��� � � � � �����1]C��m�~��N < ��k^� "C�� �̀~��j�~��a��!*��M�������5�=�!�����8� ��������8� ���������"� �A��������� ������!������8 ��7;���i ��������$�������8 ���"�����������#�L�������%����%��8� �"����������')���( ������ ���L��������A������������8� ������ ������!������8 ���#�� !*��M����� ��5� ��� � ���&� �$����L� ��� kl� ��� aj� ���a�b��j��(�8 ����!��$�����!��� � �����!�����L��N = �j����a�b��k��( ������ ���L��k�b��N.?���8� ���������������������8 ������ ���������"���������¡k`l�U������"�������%����8� �����
�����1������"�������%����8� �����!*��M�������5]C��*��!��������������������"������������8� ������̀ aj��a`j�U����%��8� ��?�8���
�����%������a`r�U��!�%��8� L�����¡`ar�U��!��8� ���%����8� �����?���������F������8� ���������"� �A�%��8� �U��!�%��8� L������"� �A�%������%��� ����������arL� ���M�����!������!�8���8 ���( ������ ���L�ar�t�̀ a�"C�����������!�����!��������������P��������8� �����̀ ra�U���!���8� ����%����8� ������ ( ������ ���L� �� ¡`ar����"� �A�%��8� �U��`raL���������>=L� ���M�����!�������8�L�U�����"� ��A����`a�t�ar�
A
B C
M N
B
A CD
B
A CD
a) б)
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
195
5.15. Соотношения между сторонами и углами треугольника
Деятельность�5 ������������ �������������� ���������������5 ��� ��� ��������� �� � � ����!���� ��� ��������� ��
� � ����!�5 "� ��# ���� ��$��� ����� � �#����%�&!�5 '�(* ���������������*���� ������� � ����� ������+������ ��-
������� �������, � � ����������������.��5 ������������� ���� ��$��# � � ��#�/$#������� � � �0� �
����� ���������� �1������ ��2#������ �3���� � ��� #1$��-4��,� �*���� $�� ���*���� ���$��������� ����!'�(* ��� � � �����
Соотношения между сторонами и углами треугольникаТеоремаD�1��� ��3(*�C��<��'��1(��/��3I�A��1�������(1�/��3I(A�� ��J� � H<��'��1(��/��3I� ��� �����(1�/��3I�@��1�����!�����������'156�78%&8%98&:� �56�!����M)���������'1�8&%9�8%&�+�#����������������'1�� � � ��������� ����� �#��#� ���;���1�� ���;���:� �<6�= ��-����������� �����;�3���� ���������1 ��� ��-����� 1�5 ��<� > ���; �� � ������ *#���� � �?��#������� ������� 1����;3��������������������> ����8&%9�5��<3���4���� �����-� �������;1 ��� ������� 1�<9�8%&�>��# ���$ #1� ���#�8&%9�5��<,�8%&�'� 2���8&%9�8%&�N�����"���������')�#�����5@ ����#�� ��2�� ���� ��#��!�����������'1<6�78%&�8&%9�8%&�!����M)���������'18%98&:� �56�+�#����������������'1=���� � �# ����� ��� �� �#1�� ������> �������� �������3���� ����������8&%��8%&��0� �� �� ��-��� � �2�� ��#������ ������� 1����# ����������� ���>���������� � �#1�� 8%A8&�� ��� � ���� #�� � �2�� ��#�1��-�� ��� ��4�� � � ������� ���������� ��4��� ��> � ��$� � 1�� ��8%A8&1 �������8&%A�8%&��0� �� �� ������ � #�� � �2�� ��#������ ������� 18%98&�(�����"���������')�#�����5B�� 1>���� ����1�� � � � ������������1*��*�� *���� ��������#:� -��#�!6�
A
B C������A
B C
D 21
������
190
Глава V
����?��������������1�H��� ���MG���$���$���������A����������������������8 �������8� �����L��"�"M���!��%��������"����!��������������������n������������
!����� ������'#������������������H�������V X��������A����������������������8 �������8� �����L���������
����$�����!�������.H�������VV X���� ����A����������������������8 �������8� �����L� $������P
�����������$�� ������!���������.H�������VVV X���� ����A����� ������ �������� �� �8 ���� ���8� �����L�
������ ��������$�������!�������.H�������VW X��������A����������������������8 �������8� �����L��"��������L�
����$�������!������������A���������� ���� ������$����.
Урок 5.16. Неравенство треугольникаC���)���1 ������� X���� �������� F ������ ��P�8� �����������A���������������L�8���������������$��"������E�����������"����1X�����������������8� �P��������!������������A�����$�����K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L�!� ����L��"����P��������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� H��M���� $���G�� ��P������� !���$�� ���%� ���8� ����� >=(� �� �$���P����� �����8��������!���M�&� ���%����X�����������%� ���M�%�� ��� ������ ����������8�� ��P�8� ������[�]C�����������$����������������%�`a�f�`j���aj^�
"C�`a�f�aj���`j^��C�`j�f�aj���`a�E���������L�!���!���� ��������� ��������������M����!� �������$� ��[�]C�̀ a�f�̀ j�t�aj^�"C�̀ a�f�aj�t�̀ j^��C�̀ j�f�aj�t�̀ a�
Y����$� ����$�!����&���������������� ��!��A���������������M�����"�F���������������=� �A����������������M�����=������G�� ������������8����������L���������� �������������"� �A������%�������
( ���&M��� F�!��� �� ���� !�������� ���8� ������ ��� � �� �$� $���������!��8��� ������!� ������ ���&�)��L�#� �L��� ���������*��!�������!�����������L�!������������8�����8� ����������$������� ����$�������
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
197
5.16. Неравенство треугольника
Линейка, палочкиДеятельность
�5 ������������� �������������������������������������������
������ � ���������
�5 ��� ������!��� ��"����#
$%&'(&)�')* +%&'(')�&)* %&)(')�&'�
�5 ,������������� ��������-�����!���� ��������
�5 ��������������������.���/���0���1������!���������������
������ . ��� 2������3 ������ � � ������� ����������� ��������
������������������������������������������3-4�����-
Неравенство треугольникаТеорема
F�(���./�A��1�����1��� ��3(*����3I��������0�(�0����0�� (���1���&���/��3I��(����E��1(�!�����������'1���5�����������6����7%�
!����M)���������'1&'8&)(')�&'9')5&)�
+�#����������������'1:���!����������;��� ������-
������������������ ����!���������6�������1%�4�-
��������������������;5�� ��+����������7=�2.
�&';9�7��&';9�1�
2����� ���� ��&';9�1��������3����
&'8&;���@����������&;=&)();=&)(')
�������&'8&)(')
B�� 1�A&')&'8&)(')���8��(�����8��(���2����������
���������9��5���
D�����)�#�����5Образец
B�!����������������������������������#�%.���71���C��*+%0�C���
C�/���D��* %0���E���C��-
3��44�� ���� � �� ��" �����3 ��+�F�����G����+�F��������� ��-
�� �������������#��H�� ������� ������������������3 ��������������
������ � ������ ������� +����+��������������������#
�%.(C871��������� �� �������������� � ������ ������� ������
���������������������H����������������+������������������@��+�
�������������
+%4��������0�C(C�/9D�H��������������+�������������������������
%4��������0(C=E�H����������������+�������������������������
N���"����5I��+��� �������+�F��������� ���� �������������������-
����� �� ����� ��� ��� ����� � � ������ ������ +�����
���+���������������������
A C
B
������
A C D
B1
2
������
191
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
B����)��������#�> ��*���[� E����� ����A����� �M���&� ������ �����������8� �����\
��R������� �"�����[� ���� !���������� � ��������� ���� �� ��G� ��K������&� �����������������8� �����L�����$������������������"Q�������� ����8 �������P!� ��$�&���$����������!�&������!��8������=��������!���� ������� �����������!� ��&��$��������$����"������E�#���)����#��#����'��)����:!*��M����� ��5� =� ������� �� ���"����� �!���� ���� ���������� ���8� ������ !��������������������!� ������F�8��$��������!���� ��������A�������������$P���&� ����� ����� ���8� ������ B�� ���� ��� ��$���C� �� � ���%� ����%� �������E ����� ���������8��!!����������8��!!�������!�����8� ���%����8� ����L���P����8��!!��U���!��8� ���%����8� ����L������8��!!��U�����8� ���%����8� ������E������8��!�!���$������ ���%��%�� �������������������8�����8� �����L����!��P�� ���������A�������������$���&������ &"��������B� ������ �����$���C���� ���%�����%�����������$�������&���"��L�8��!!������$���&���G���������¡`aj�̀ a�U�̀ j�~�aj��E��������1� *��������� ���8� �����[� � ���� ����%� ������ ���8� ������ ����A�������� ������8������������L����"� �A������ ����$���[�
�`a�y�̀ j��~�aj�~�̀ a�f�̀ j�!*��M�������5]C�N���������������$�G����8���8 ���-;���?�8��[
1
6180 30⋅ = ��^� 1
3180 60⋅ = ��^� 1
2180 90⋅ = ���
(����� ����� ����� ���8� ������ �� ���� "��� "� �A�� ����%� ������� =� F��� ������;�f�);�b�7;��( ������ ���L����%����8� �����!�������� �$��
"C� 19180 20⋅ =
�^� 1
3180 60⋅ =
�^ 5
9180 100⋅ =
�^
=�F��� ������!����� �$��!���������8� ����L������;�f�);�~��;;�
�C� 2
9180 40⋅ =
�^� 1
3180 60⋅ =
�^� 4
9180 80⋅ = ���
=�F��� �����#;�f�);�t�-;��( ������ ���L����8� ������� �����������#;��L�);��L�-;�����$�������i��"� �A�������������8�L�������8� ������� �����P����8� ������=�"���M��L�!� ���$����������������K�8���L����M������8��"�� ����������!���� ����������8� ������B#;2 + 602 < 802��!��8� ���%C��X�����������M�%���� ����������!���!� ������������8� ������B!� ���$�������!������������8� �P������!��� �����G�������������8�����������������������8� �����C�!*��M�������5� �C�, �������������������"�������8�����8� ������������������( ������ ���L�� ������������8� ������"���� �"����;���L���;���L������L� �"����;� ��L� ��� ��L� ��� ���� ,������ �� !������ ����� ���$��� ��8�� "��� �����������8� �������=����������� �����F������$�����[����f����~���;��( ������ ���L�!����������8� �����[���b���;�f���;�f����b��+�����b��+��������
�����[��+��������
192
Глава V
!*��M�������5�(�8 �����������������8� �����L�]�f�b�t�?.a + b�b��L�+�f�;L+'�b��L7����a�U�b�b��L�+�y�;L+'�b��L#���( ������ ���L��L#��~�?�~��L7���(�8 ����� ���&L�?�U��� ����� �L��8���? = 3. ?������"��$��L���b�a + b + ?�b��L�+�f�;L+'�f���b�)L7��� �����[�)L7����!*��M�������5�(�8 �����������������8� �����[`j�~�`a�f�aj���`j�~�`r�f�jr��Y������������ ������������������[��`j�~�̀ a�f�aj�f�̀ r�f�aj���̀ j�~�B`a�f�aj�f�̀ r�f�ajC�[���?������"��$��L����$���>(�����A��!� ������!����������P���G��8� ������!*��M�������5����� ���&��$����L����-�~�a�~�������;�~�b�~��'��(�8 �����������������8� �����L�-�f��;�~�a + b ~����f��'L������-�~�a + b ~��+��i ����������������8� ������"����?����? < a + b��������� ���&��( ������ ���L�?�~��-��(����8�%������L���������������8� �������� ����"���"� �A����$�������8����������������8� ������� ?�t��'�y�-�B��$�������%�������%������%������%�8�����������a���bC�L�?�t�+��( ������ ���L�� ��������%��������� ������������ ���&�+�~�? < 18.
�����: 7 < ? < 18. !*��M������ 5�O$����L�����L��~�a�~�+L#^�-L��~�b�~��^����~�?�~��+L'��(������������8��������������8� �������L��f�-L��f���b���L�L� ����������������8������+L#�f���f��+L'�b��+L7�?�8���!����������8� �������� ������������������������L��~���~��+L7��( ������ ���L���b��+�� �����: 37.!*��M�������G5�O$����L����̀ a�b����L�̀ j�b��#��L�ra�b�'�����rj�b�)����,�!���L����������>L�=L�(���r������!� �8�&���������%�!�����%��?�8�����$���������� ����[������>���r���!� �8�&��!���������������!����%� =(�� �� �����>� �� r� ��!� �8�&�� !����$������������B!� �! ����C���!����%�=(��������8� ������>=(L�aj�t�̀ j�y�̀ a�b��#�y���b���L�aj�t����������8� ������rajL�aj�~�ar�f�rj�b�'�f�)�b���L�aj� ~� ���� ( ������ ���L� �������� =(� �� ����"���������A�L���"� �A������>�F������$�������( ������ ���L� �����>L�=L�(���r���!� �8�&���������%�!����%�J����'%��#����'����)������������������1�*������������8� ��������P������������$����������%�����8� �������H��M�%���� �����"��M��������������� �������� �����8�� ���8� ������ F���� ��%���� , �� �8�L� ��"�� !�������L���������� �����8� ��������������L���������!�������L��� ���� ��"� �A��������������8� ����������A����������8�������������� ���� �������� ����$��������������"� �A��� ��������%��������Y����%���A�������!� �$������"��������?���� � ���������1� H��� �� �"�"M��� !��%������� �"� ���A������ ������� ��������������8� �������*������������8� �������$ �8������������� ��������L����������� ������$��������������
A
BC
D
A A
B BC C
D
D
193
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
����������n�����������
!����� ������'#������������������H�������V X�����������K���� ������������������� ���8� �����L���������
�8��!��������^*��������!���� ��L���8�� ��$���������� ��"��������������P8� ��������
H�������VV X���� ���������� ���8� �����L� ��!����� �!���� G����� �A�"��� ��!�����������^����!�����������������������8� �������!�������!���� G������������L�$�!�����������������������������^,�!������!���� G������A�"���!����!���� ������8�L���8�� ��$�P��������� ��"��������������8� ������
H�������VVV X������������ ����!���������������������8� ������H�������VW ?��������!���������������������8� ������!�����������$����
Урок 5.17. Методы сбора информации
C���)���'[�'������(�"�����������L��!� �$�����$P����������E�������� ���"����1 (�"����� ��K������&L� �P!� �$�����$����������K��������'1�� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1� ���"���L� ��"����� ��L� �"�����������OE?L�������B��� �����1� O�K�������� ������L� ��� �8��� ������L�������L�#�����
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'[� (�8 ���� ���� ����L�������%������"����L����M����$�!� �P��&��!������ ����B���� �������!��8�����������8����!�������� ��C�������"������ �����@!��P���� ����"������&�����R��������"�����1�H��� ���"���������"Q��������$���������L��!� �$������!���"��������K����������,�G���K������&������"� �����!� ��$����������������P����������� ��"�������K����������"�������P�%�����F �������%�!�����
B����)��������#�> ��*���[� E��� !������&�� �������L� �!� �$������ � �� "������K�������\�
(��� �&�!����������� �����������!� ��&��$���������$����"�����
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
199
5.17. Методы сбора информации
Опрос, наблюдение, экспериментДеятельность����������� ���������������� �����F ��� �������� ,����� ���� ��-V����W�F���� ����+�W���F ��+���� ���� �������� �3� H�� ������-,����!������������-���� � � �+���!� ������������3 ����������H��� ������- ,���� +��X� ����� � ��+� �-�� H�� ������- Y���3��������3� �+������ � ��� ������ ���X����
�*��������#������������������ ������ ����������������� ���
��������-_______________________________
������F����� �������������+������� ���
��3���� ������������FX�������-ZZZZZZZZZZZ
[�� ��� ��3���� ���+���!� ���� ��������-
:������\ ]�����\ ������\ 4�� �\ :������ �\
[�� ��� ��3F��� �����+�������� ���������� ���-
:������\ ]�����\ ������\ 4�� �\ :������ �\
]����� +� � ���+����� ���@��+� H��� ����@
���� ������������FX�������-
:������\ ]�����\ ������\ 4�� �\ :������ �\
�����������+������������������� ����������������������+�����+-��+��������������V����W��������������+����� ����� ��������V��-��W�� ������� ���� �FX��������� ���F��3���3��3��������4���3-�����������������3���������������������������!���V����������3��3 ���� �������3 �3���3�+�����+ ��������V����W���2�V����-W�3��+������3���������� ��������� �:���������3�����#
�5 B�/������% ���*����������� �� ��������� ��� ��)����'�������������� ��������������V����W����!���� ������V����-W�F� ������� �����F �̂������� ����� �������������� ,��������� ����-�����!������������������� ��������
�5F#�*������54�� ������H����������3 �3F��3����������� �� ��������� �+�����V����W���������������� �3����������������������������!��������������������� 3 �3���3���+����HVV���� ����
�5�*�������������P��H�����������+���F���������������3�F-���������H��������������F��3��� ��3��3 V������+��W�������� -�� �F��3��3�������������������:�����!���� ������3��� ����������� ���������V������W���F�������3������"������V����W�� ����� � ���3���������� �3F��3������+���������+��� �����H�� ���������!������� ����3�������3���+ ��������������������+�-���� ����5H��������� ���������@�@������������� ������V����
�5i���P)�����4��H�����+�F��F��������3�����+`���� ������ ��-�� ���� �3 ��W��� �F�����a��������������� �����W�����+`���� ������� ������������ ������� b���� � ������� �� �����3 ��+�F�������+���� �� ����� ������ � ����������������� ���+�F������� ����-�3������� �������� �� �� �
194
Глава V
E�#���)����#��#����'��)����:!*��M�������5�=�$�������!���������!����������%�������Y��!����������M�P�� ���������������������!����$� �����!���������"��������������L��������%�!���������!�L����������� �������$� �����" &�������� ���&M���������� ������$����� �������%��=��������������������� ����G��!���� G���&���K������&��@!����� ���L� ��� ����� �� ������ ����� � �L� �"�8�M�&M��� ������L� !��!�&� �� ���L��������K����������$����� ��B����C��� ��!*��M�������5�=����������$� �����!����!���� ��������� ��
��*'-�� i�����������
i�"����'>��RLM�)#����%
^��)
��RLM�)#����%*����*��?�������L
����%^��)
��RL����^��)
� ©����� 70 +�L' �L'� E������ 65 +�L;� )L;�
� ?� ������������B���"���C 90 130 40
J����'%��#����'����)������������������1�(��� �&�"���� &"�%����K��P����������� ��� ������8�����������M���L���$�������������������L�������$�P������$����$��������H��M����F��$���������!� ��&��L��!�������������$� ������!��F �������%�!��������������M��������� &L���K������&������!� ��������%�����K�������������?���� � ���������1� /����� "���� ��K�������� �MG� ��$� !�����&�� �� !��%P��������"�"M��������������n�("�����K�������
!����� ������'#������������������
H�������V O�������������$���������������"������K�������L�$�����������!��P��������
H�������VV X�������������"������K�������L�!�������L��"������!���� G���&���PK������&�
H�������VVV X����������"������K���������L�!�������L��"��������"������&���PK������&�
H�������VW @"��� ���� �"Q����� ������ "���� ��K�������L� �"����� �"A����&���K������&�
195
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
Урок 5.18. Презентация информации. Диаграмма, гистограмма, график
C���)���'1�'������������ ��������������������P8�����L�8��8������� ��8��K����'������ @!���� ��� 8������� �$�������� �"���������� ������������E�������� ���"����1 ������ ��� ��K������&���$������������������!���� ���8��������$����������� ���%���K��������K��������'1��� ������������"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?B��� �����1�O�K��������������
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 H��M���� �$� ����� ���������� � ��A��� � ���� $��&�!����"��!����� �������K����������������" ���L����8������������� �����������K����������������8��K����$���G����F���8�����*��!������M�������������M����!��$������� ���� ���%��%�K������%���!����������G�8��K�����*��F������������P ��$������!����� �������K�������L������������8�����%���8��8�����%L��������8���K���L������������!�����G���8��8��K�����"��������K���������B����)��������#�>��*���[�E���������!����������K������&�!�����������P8�������� ��8��K���\�E����!���� �&��8��������"�����%���K�����������������!������ ����8��8��K����� �����8�����\
(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�*�������������"��������" ��������������!���� ������ ��������������$�!����������" ����!��$�������������� ���
J����^# VH���"������������
����>���M����#����-��*���M��#�
H�#�>*��������������P�;������������?� �#���"��������g
������b
+;P+7 ��������2
200 1 10� �, %
-;P-7 '���������
5
200 25 25� �, %
7;P77 4 ������4
200 2 20� �, %
�;;P�;7 ��������3
200 15 15� �, %
��;P��7 5 ��������5
200 25 25� �, %
��;P��7 �������� 1
200 05 5� �, %
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
201
5.18. Презентация информации. Диаграмма, гистограмма, график
Упражнения
�5�����!� "� ^�+�� ���V����� ������1e3+�����:����F�������+���
��� �� ���� �� ���!����!���������������#
���������+���W�����������+��W���� ������� ������ K�/�(L���J����
^# VH���"������������
����>���M����#������*���M��#�
H�#�>*��������������P�;������������?� �#���"�����
���g������b
70579 1���� �2
200 1 10� �, %
80589
90599
1005109
1105119
1205129
7%����������� �� ����������!���%������7ee��*+%������71e��-
1%������� ��W���� ����� �3F� 3+����� ����� ���!�3 ������ ������
ge����� ������������ �3+����-
:���3������������������������V���+��W������� ���������������
�5���+��W�1���� ���3��+�����+��� �
K�/�(L��H
(���^������gV
H���"���������"�g
e5Cg 2
.e577g 3
71e57Dg 7
7Ee510g 28
1/e51gg 25
0ee50.e 11
�%���������+��� ��+����������1@ ���� -
+%���������+��� ��+�����+����C@������ -
%4�����������V�������� ���+��W��Y�3H��-������������3���������F����������������� ���F �+�W���� ����!�FX�� ���3� � ���F�������� ����!�FX�� �������� � ��+��� � ������� ������� ��������� ��������� �������� ��������������!���� �������������- �H�������V����
196
Глава V
�C�H����%[� ]C��� ���" ���L����A��������%�����A���;;��8�U���^�� � "C��7��" ������ �������%�����A����;��8��C��+��" ������ �������%�����A��7;��8���F����� ��� 7
200 35 35� �, % ������������������
!*��M�������5]C�'���"�������"�� ���������������"C������"�������"�� ��"� ���'��������"�� !������ 8��K��� ��� ������ �" ���L� !������ !�����8� ���&� �������������L��������%�����"���������������L�����������U��� ����"���������8��K����������!�������"������������M������E����$��" ����������$�8��K����������� ���L� ��� "� �A�� ��8�� ��"����� ��"�� �� �U'� ������ �� �� ��� ��"����L�!����"���A����� �A�����L�U����
!*��M����� ��5 E��� ������ �$� �" ���L� �� �L� $�!������� �� ������ � "��L����!� �8�&��������;������@�����F���� ����������������N��K���!� �����������L�����F��!��������������
197
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
]C��H��M���L�!� �$�&M�������"���L���� �&�';z����������M���L����M���L�!� ��$�&M���� �8�����������"� ��L���� �&���z����������M�����( �������P� ����L����M���L�!� �$�&M�������"������ �8�����������"� ��L���� �&�)�z����������M����
"C��H��M���L�!� �$�&M�����������!��$����B���� �����CL���� �&� 2
23100 8 7⋅ ≈% , %
���� �����M����B����� �����CL�!� �$�&M�������"����*������������������ ���"Q������ 8�����!�����������8���%����8�������H��� �������F���"Q�������!���������!���M�&��K��������!�&������!��8������X�P�������������"��$���!��������������!�����������8���%����8������!*��M������ 5
i������������#�
N��?�)������#�^��5#�)
=���� N������^�VT��������'>
� ��^� ��)���gV
i���!�� ��L' ��L'�[��';���;L;+ ;L;+�g��;;�b�+ �);�g�;L;+�� 28>$��� #�L# #�L#�[��';���;L�7 ;L�7�g��;;�b��7 �);�g�;L�7�� 104>K����� �;L� �;L��[��';���;L�;� ;L�;��g��;;�b��;L� �);�g�;L�;��� 73>������� 42 42 : 150 ��;L�- ;L�-�g��;;�b��- �);�g�;L�-�� 101>��� ��� -L+ -L+�[��';���;L;) ;L;'-�g��;;�b�'L- �);�g�;L;'-�� 21>�������� �#L� �#L��[��';���;L;� ;L;7#�g��;;�b�7L# �);�g�;L;7#�� 33=�8�� 150 �L;; 360
Европа
Азия
Африка
Америка
Австралия
Антарктида
198
Глава V
+�//������������ ���"����1 ( �"��� ���M���� $������&�� �� ��!� ������ !�P��������8��K���������8���%����8�������, ��� ��A�������$� �������������M���L������ �� !������� !�������� ��� ��"��L� !��� ���"�������� ��!��� ��� ���� =����L����"������ ������ �$�������!�������&� �"������M��������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%����������������"������K���������iMG���$���������������M������������� 8�����!�����������8���%����8�����������G���������� ��8��K�������!��$���������K�������������������n����$������!����� ������'#������������������H�������V ������ �����K������&��������� "���%����8������8��8�����L����
�������������8���&����8��������8��K���H�������VV ������ �����K������&��������� ���%����8�����L�8��8�����L���P
!������!���� G������A�"���!���!�����������8���%����8��������8��PK����
H�������VVV ������ �����K������&�!��������� "���%����8�����L�8��8���P��L����8���%����8��������8��K����L��!���� ���8��������$����������P ���%���K��������
H�������VW ������ ��� ��K������&� ��$����� !��"���L� �!���� ��� �� �"Q�����8��������$���������� ���%���K��������
Урок 5.19. Прогнозирование
C���)���: 5.1.4.������������������!��8��$���������������������������E�����������"����1,�G�!��8��$����!������������������������������������������K��������'1�� �������L���"�����8��!!��J���) �����'1� ����������!�����L� ��$8����� ����L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#� *�����'1 H��� �� ����� � !�P��M�&� ���!�&���� !�������� !��$�����&� ��!��8���$����������, ������������!������!��8��$����&���!��8��$������$��%���K�������L��"Q����������� �$���&�L�����������F����K����������� �������������� !����%� !��8��$�� �� !��8��$�������������� ����G��"�F�����K������&.
Глава V
206
5.19. Прогнозирование
N�� ���5H��������!�����+���X�������3����+`����������� ���3�
N�� �����������5H����W����+��+����������������� ������� ������ �
|�����!��� ����!���� ��!�����������������������+�������X��� ���3
��7ee}���������� ������������ �!�������� ��3������������� ������
���� ���������� ���3�����+��� �F��3��������6����%��������������
Упражнения�5���!������FX����+��W���������������� ��F�������� �� ~��W�F
���������� ��������� 1e7751e70���� �2��+��������������+��W�
�������+���������������
�)'C����' 2011 2012 2013
����3 150000 150000 200000
����+���!�� 460000 420000 490000
��� 680000 650000 640000
,�����������!�� ���������������������������������� �H�����-
�������-
�5���+��W������������!�� ����+����1@�3V������ �������0@ ��-
�3��� ����� ��� �����3!����7@������������� ���+��W������ ���
�������F����������
K���J����' �V���� ��V����
1-3 12 7
4-6 10 10
7-9 6 10
10-12 13 13
,�����������!�� ���������������������������������� �H�����-
�������-
�5��!��� ��������V����������������������6�%��� ���6+% �������
��3������� ����V��� �3����������3����������+����H�� +�����
�������!� ���3������ ����!��� ����!�����������������FX�������
0 07�� 7��11�� 11��15�� 15��19�� 19��23�� 23��3�� 3��
T C° T C
°
36°
36°
36,�°
37°
37°
37,�°
38°
38°
39°
40°
часы часы
a) б)
199
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
B����)��������#�> ��*���[� E��� ��&�� �� !������&�� !��8��$�� �� �"���� � ���"Q����L��������������������������������\�
!*��M�������5(��������8�������*���G���������8��"�������$����������� �[�C��=��;��U�;���8������$��G������!���� ��!����M������?����������P�������� ��
(©>L����!�� ����������U�T!������C��=��;��L��;��L��;���8������� �� &��%L�!���"����&P
M��� �� ?����&� �$� >$��"�%�����L� ���� �� �����PA� ��L� $���� ��� ��� ���� �� �� &��%L� !��P"����&M��� �� ?����&� �$� (©>� �����A� ��L� �� �$�T!�����U���� ��� ���
��C��i �� ���M���� �!���� �� ������� �� �� !���"�P��&M����$�F���������?����&L�����8���!���P�� ��L����" ������8����F������ ���� ��!��P"���&M����$�>$��"�%������
���� ������ ��!��"���&M����$�(©>���?�����&��$�8������8��������A� ��L���������$��L�������;�#�8��������� ��"��������A��)#;;;;� &���%���� ��!��"���&M����$�T!�����!�������"� ��������$���� ��L�$������� ��� ��L����!�$�� ���!��8��$��������L�������;�#�8������� ��!��"���&M����$�T!�������?����&����������A���!*��M�������5@�������������" ���L�!������� ���%��&����8�����[�C��=��������8������V�K�������" &�� ���!�������!��������H�VV�K��������������7�
���������" &�� ���!�������!�������!��������L�$�������������������������"� &P�� �����!�������
�C���� �� !������ �� ������� #U)� �� �;U��� �������� �� �"���� K���� ����������� =� �����%� K����� $��!� ������ ��� ������ 8���� !������� ��� ��� ����@!���� ��� ����&&� !������� �� ������ �� �� ����P�������"����K���[
, ��V�K����[� 7 10 10 13
4
40
410
+ + += =
, ��VV�K����: 12 10 6 13
4
41
410 25 10
+ + += = ≈,
=��������8������ ��!���������"����K��������������������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%������������!��8��$�������������������"�����%����K�����������!��"���!��������F�8��!��8��$������������n����8��$���������!����� ������'#������������������H�������V X���������������!��8��$��������������������������
H�������VV ,�G�!��8��$�������������������������L����$������������8��!���������
H�������VVV ,�G� �� ������ ���� !�������� !��8��$� ��� ������ ����������������
H�������VW ,�GL�!��������!��8��$�����������������������������"���P������������ ��
200
Глава V
Урок 5.20. Число благоприятных исходов для относительно сложных событий
C���)���1'������@!���� ����� ��" �8�!��������������� ������� ���� �������"��%�E�����������"����1@!���� ����� ��" �8��!���P��������������! ������"��%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L�������$�!����P�������K����L��"�����������OE?
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1�,�������������M������P��������� �������$����!��"���� ���!���� �������� ��" �8�!�����������������! ������"�����H��� ������������M�������� �$�����!��������$����"��������, ����8 ������������$�!������K���������������@"��$���������!��8����������K��������!�&������!��8���������������"Q��������8��K��� ���"��$���!�����L�!��P8������!�����������!�&������!���8�����Bk�������������������C��B����)��������#�>��*���1�E����!���� ������ ��" �8�!������������������!P ������"����\
(��� �&�!����������� ���������8��!!�����$��&����"����� ����$����������$����"����L�������������� ������!� ����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�"C�, ��$�!������$���������� L��"��$���������$���� ��L�;L�+L�)L��������" ���[�
�S�"���� �S�"����G � � �
2 �G �� �� ��6 �G �� �� ��7 �G �� �� ��
E��������L�$������$��������� ������� � � � � � �����1�"C���� ������!*��M�������5, ����A�����$�������������" ���[
B��� J�"�@���� ���'> ���'> "L��'> "L��'> *L���'> *L���'>(����� "L��'> *L���'> ���'> *L���'> ���'> "L��'>
?������"��$��L���������� �������"��������������!�����)���������������1�)����������
!*��M�������5�, ����A�����$������!�������" ���[
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
207
5.20. Число благоприятных исходов для относительно сложных исходов
������������ �����������������������������������������������
������������������� ������������������������� ���������!�����-
��"���������#�������������������$������%�����������������������
������� ���� ���� &���!� ����������� � ������#��� '(�!� ����#������*���������������������.
Образец�V�*��+������������&����&���!�������������������� ��'(���/!�:��;�
3��4��<����������#����������������&����&���!������������������#�
����'�%
N�������/�� (�������/��3 7 9
3 33 37 39
7 73 77 79
9 93 97 99
=�������������'�!�&��������"����������%�n�>�/?/�>�;�
Образец
�V��@�A�������/�������� ���B�����+����A���#�����������������"�������#��C
3��4�A��������"�� �������� ����"�������#���B�����+�����$���������
�"������D���������'�����������&���������������������&�����%
�)�M)� ������#� ������#� ������#� ������#� ������#��*�����P# E�E E�EE E�EEE E�EF E�F
�*�����P# EE�E EE�EE EE�EEE EE�EF EE�F
�*�����P# EEE�E EEE�EE EEE�EEE EEE�EF EEE�F
=�������������'�!�&��������"����������%�n�>�/?B�>�GB�
���������������������������������������������������������#�����-
'������� �������"�������#����#�H�����������"���I�
Образец�V$��+��������&�������!����������������J!�K!�L!�M��N�
3��4����������������������"������#�� ����� �������%�n >�B��O������
���������"����"������#�� ����� �������!�����������#��%�m >�B��P��������
������������"���!����!����������� �������!���"��������#�n�?�m�>�B�?�B�>�QB�
���������
R������������!�&�����������������������#!����&���� �����&������������
B�?�S�>�QT�
201
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
N��)��' C*����'/������� I I
D�$��� I I>$��"�%������%��$�� II II
J������� II II?������"��$��L�!����������� ���&L��" ������!��������������������#������������
�����1�#���������!*��M�������5�, ����A�����$������!�������" ���[
D����*��� w�)#� H���� (*����@������ _Sw _SH _S(*
(�����*�) (Sw (Sq &S(*@�������� _��Sw _��Sq _��S(*
N��#� NSw NSq NS(*?������"��$��L��$�8������>���8�����=��������!����������!��"����
�����1����!��"���!*��M�������5�, ����!� ������$������������8������"���!��"���� ������"P ����, ����!� ������F�8��$�������������������" �����$�+�� "������+����L��������� ���"��$����������!� ������F�8��$��������������!� �$�����R!���� ��!���$��������SL�������������"������E����%�K����"��G�����������8����)�K�����P����( ������ ���L� �����"����+�K����������8����)�K��������?�8���n = 7 � 6 = 42. *��$���L���!�����L��$P$���8�L���L���"����" ���P8��A��� ��8��A�P�" ���������������������L������%���"����������!����� �����F���� ������� ��!� ��������� �������!��� �����[�#��[���b����� � � �����1����!��"�!*��M�������5�=�����"���-���$����������� �����O$�����"����$� ��!����������� P�������� ������L�$����(�%���L����L�� ��������$� ��"� �%��� ��L�����"�����%�(�%P��������� ���"�������"� �8��������?�8���!��R!���� ��!���$�������SL�n = 8 � 7 = 56.
�����1')� ������!*��M�������5�(�������" �������������� ����[
11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66
]C������ �����!�����������K����$�������)����������"C������ �������!�����������K����$�������;����������
202
Глава V
�� �� ���� ���$������� ��� � 7;�� ( ������ ���L� ��������� $�!��� ���$�������
��� ��$�F�����K����!������ ���� 36
90
2
5� L������������� �����
30
90
1
3� .
�����1]C��)� �����L�2
5^�"C��;� �����L�
1
3.
!*��M����������(�8 ����� ���&L�N& �%�$�"� ������&���!���&���K���!����$���P��8���������� �K�����, ��!��������8��K���������&�����������P��L��"�$����������L�#L�)L�-��(�8 ����8��K�L�$������$������ 4 � 4 = 16 �������i �����$����L��� �&�� ����� ���G�������� �����G����L��8������������$��;���K����8��"���$�!��������=�F��� ������ �����"�� �����8���������� ������;�� 10 = 100.
�����1��)� �����L��;;� �����������?��������������1�H��� ���"�"M���!��%�����������������!���� ������� ��" �8�!���������������"��������������n�@!���� ����!����� ������'#������������������H�������V *��������!���� ����� ��" �8�!���������������"����H�������VV @!���� ���!��"������ ������" ����� ��" �8�!����������P
�����"���L�$�����������!����������!��"��8��K��H�������VVV (������ �����!���� ����� ��" �8�!���������������"����H�������VW (������ �����!���� ����� ��" �8�!���������������"������
�"Q�����
Урок 5.21. Вероятность событияC���)���1 '������ *������ �� �� F ���������� �P"���%���!����������F�!��������������8������������� �������������"��%�E�����������"����1�@!���� ����� ��F ������P�����"��%������� ������������K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1��$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8�� ���������
O�)���#�1*���$������������������������N�������#�*�����'1���!� ��������� ����L�������� �� ���"������ =�� ������ ��!� ������ ����� �P����!���������8�� ��������%���� ��A�����P������������M�����?������"��$��L�����"�������������������������������������������"�P����� �����
2468246824682468
2
4
6
8
II цифра V цифра
Глава V
210
5.21. Вероятность события
Деятельность
�5 ]���#�������#�� �����#��$����������������#!����"�����������������#!�
������ &���� �������C� ^������������� �"������D����� ��-
����%
�_��O���"����!�&�����������H`IC�
�_��<��������"���������#��������%���������HGI���HSIC�̂ ���-
�����������"����#� ���������C�
�_�b������������"����#����������HTIC
�5 A���#��� ����"���� ������� ��"��� ������� ��� ������ �������
����#��������C�A���#�������"�������������������������������HBIC
�5 ^�������������+����&��������"����������������HBI���&���������
����"������������� �������������^�&D��������� �������#C�^�c������
����������!���������������
d���#������� ���������������� ��������������������;�������������'�����$������%���������������������e� ���������!��������������-
�������������������e� ��������������������
^��&��������������������������������������!�&���H ����������������
����"��I���H ��������������������"��I���H ������������������
����"���I��$���������(����'����+�������������&������������������-
��"������� ������������� �����������������������#������#�����"-
����#����������&������������# ���������������������������
O���������������������#�������������&�������������d�f�������������
�����������������HprobabilityI_%�O���������#��������b������&������dfb_�
f������������!�����d����������������������&���
!��������%�d��"�#
_�
^���+����&���������������������������������&�������������"����
������� ��������������������������������P� �������������
g����������#��������
>&�����������������������
������&�������������"����������
^����&��&���������������������������������������������������-
�����b�&����nfJ_!�&������������������"�����������e�n%�P����P AA( ) = ( )nn
.
O���������#��������������f�������#����_��������������G%�d����&�����
�>�nn�1.
�
O���������#�������"������������������T%�d�������"���
�>�0
0n� .
Образец
$����������������#�����������'������������������������������������
����������������������������������������QT������
203
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
��R��������"�����[�H��� ������M�����!��������"���������"�F �����������"����L��� ��" �8�!�����������$������� ������������ �$������,�G�K���� �����������������������"�������"Q������G�B����)��������#�> ��*���[� E��� �������� ��������� F ��������8�� �"���� ��!����������F�!�������\
(��� �&�!����������� ���������8��!!������!� ��&��$��������$����"�����E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5�(�8 ����� ���&L� �������%�������������!���������� ��L�#� �� )� !��� "������� �8�� ���%� ���� �� ��$�� �� �� F��� �"��%� ������ ��� �� �� ���
��$��������"��%�U�)�����!�������!����������� � �3
6
1
2. �����: 1
2.
!*��M����� ��5� �� �� " �8�!������� ������� ��������� ��!������� �� !���"��������8�� ���%���������$������������� ����$��������"��%�)�f�)�f�)�b��-��
( ������ ���L ���!��������������� �
3
18
1
6. �����: 1
6.
!*��M����� ��5� ���� ���� �� !����� �������� '� f� +� f� #� b� �)� ����%L� �� ����������� ��$������%� ��"���� (������� ����%� �$� ���� ������ �)�� ���� ������ ������!�� ����+�A��L��� ��" �8�!��������������U�+��( ������ ���L
�!�� ��� �7
16, ����� �
1
4. �����: 7
16 �� 1
4.
!*��M����� ��5� ]C� E� ������ ���$������� ��� � 7;� B�� �� ��$������� �������"���C���� �L���������&M���������K����[���L���L���L�#�L�'�L�)�L�+�L�-�L�7���O���� ��
7�B�� ��" �8�!�������������C��( ������ ���L�����$��������� �L���������&M��������� �
9
900 1, .
N���"����[�(�"�����������"�$������ &"�%�"����%[�� ���������"���L�!������������� ���� ��������������������K����L�"����%�>L����B`C�b�;L�� �����[�;L���C�������"����%�=��"���L�!�����������������K���� ������[��#L���L���L�#�L�
';L��� ��U�'���BaC�� �5
90
1
18. �����:
1
18.
8C��@"�$������"����%�(��"���L�!�������������$��������� ����8 ��"���� �������)[���L��-L��#L��;L��)L�#�L�#-L�'#L�);L�))L�+�L�+-L�-#L�7;L�7)�U��� �L��� �M�������)���BjC�� �
15
90
1
6.
N���"����[���"����%���� ��������� L��� �M�������)L����"����!��"��L� �P�����!���� ���!��������!� �������� �L��� �M�������)L���%�������$��������$���P ������)[�B7)�U���C�[�)�b��#��E�F������ ��!��"�� ������B�$P$���8�L������� ����C�
�����: 1
6.
!*��M�������5�C�@"�$������"����%�E��"���L�!����������!����� ��������������������G��'��?������� ���!���� �&��K���� �%�m = 12n + 5.�� ��m =�'L��+L��7L�#�L�'�L�)'L�++L�-7������&�� ���&�
( ������ ���L��BmC�� �8
1000 08, . �����[�;L;-�
204
Глава V
!*��M������ 5��������������"�����!� �������!������X����������%��� �&��� ���� ��������� !� ������%� ���M����� ��������� �"���%� ���!��������� &"�%�
!����!���"��������8�� ��������%�����"�&�1
6.
��� �L�!� ����������������������M����B!��CL������"���" �$���� �����������"��1
6L����������������������� �������H��M������ ����!����L��������!���"��������
������8�� ��������%������������!����������������%�!����������1
6L ��F����
�$������L����������8���"���������� 1
6.
����������n�*������������������!����� ������'#������������������H�������V @!���� ����� ��F �����������"��%L�$����������������������
�����������H�������VV *������ �� �� F ���������� �"��%L� ��!����� �!���� G�����
�A�"���!�����������������������H�������VVV (������ ��������������������F �����������"��%�H�������VW *���������"Q��������������F �����������"��%�
Урок 5.22. Сумма вероятностейC���)���1�'���������������K���� ������������P���%�E�����������"����1�*�������������������%�F ������������"��%�K��������'1��� �������L���"�����8��!!��J���)�����'1���$8���������L��"�������E�����'1����"���L���"����� ��L��8�� ���������
O�)���#�1*���$�����������������������N�������#�*�����'1�������L������%������"���P��L���!� ������������F�!���������L�!���!�����P�������"������������M����L��"Q�������������������%��
B����)��������#�>��*���[�=������� ������� �����&������������"���\
E�#���)����#��#����'��)����1!*��M�������5]C�����"��������8�� ��������%��������$�"� ��A������8����!����� ��U��L�#L�'���)��E�������$�����U��������$��������"�����( ������ ���L�������P
������!������������8���$����� 1
6. 1
6
1
6
1
6
1
6
4
6
2
3+ + + = = . �����[�]C� 2
3; �"C� 2
3; ��C� 1
2.
!*��M����� ��5 ]C� @"��������� ���� �� �L� D��8� ��������L� ��� ���������
��!������� �����%�����������!����%L����������%��������������� 1
2��Y��U��������
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
213
5.22. Сумма вероятностей
A�����!�������������������������������������!������ ����������
�����������������O���������#���������������������������b��O�
������������������������������b��������������������O%
�^_I[V\�^_VI�^[V
Образец
$����������������#����������B���Q���������������#���������G����
3��4�k������!�&������������������G������"���������#�`��������-
��"�����&�����$�����������������"����#����������Q���B��^����&��
���&������������Q��������b!����&������������B��������O��P�����P A( ) = 1
6��
P B( ) = 1
6��A���������#��!� P A + B( ) = + = =
1
6
1
6
2
6
1
3. �^����%�
1
3.
Упражнения
�5��������������#������������������������������������#������ ���������%
�_����������&�������#+��Qn
�_����������&�������#+��Bn
�_������������&D������&����
�5O�&���������������#�����������������������������������f�������������
�������������"�����&���������������_������������������Q���������
����������������������������!�o��������"��������� ���������%�
H������������������������������������������������������������������#�
��������"����%��������������������������������������������!�����
���������������O���������#�����������������������������������������
������!���������������1
2��
1
2
1
21+ = . �A���������#��!��������������������
�������������������������������e�������������������I�
�_�O�&D�������+���+����o��!���������������������C�
�_��=��!������#������"��������"���#�o��C�=����������������#����������
��������������������������������������������������C�
�5��k������!�&����QTT��������������������������������� �������+�
�����������GTT��������!�B��������e�BT��������!�:��������e�QT����������
���������������p�#�����������������������%
�_�����������#������+�������������GTT��������n
�_�����������#������+�������������BT���QT��������n
�_�����������#������+�������n
�_�����������#�������+��������
205
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
�� ��� *�� � ������� ��������� F��� �"��%� �������L� !����� ��� !��� "�������������� ��$������ ��!������� �� �"���� ������� �"�����%� ������� =� F��� ������"������������"�������������"C�=���%��� ����L�$�����M�����#���$������������[
���=�!��������"�����%����������"����������^���=�!������� �����%����������"����������^���=�!���������!����%���������"�����%������L�������%�U� �����%^#��=�!���������!����%�������� �����%������L�������%�U��"�����%�
( ������ ���L���$������#��������,����$�����B����#C�" �8�!�������������
?�8������ �2
4
1
2. �����: 1
2.
!*��M�������5�]C�=���������"���P���8��A���;;�������: �100 � �2
2000 01, .
"C� =�������� �"���P���8��A�� ';� ������[� �50 � �5
2000 025, . =��������
�"�������8��A���;�������[��20 � �7
2000 035, .
=���������"�������8��A��';�� ���;����������������������������F����"��%[���b�;L;�'�f�;L;�'�b�;L;)�� �����[�;L;)��C��*� ��������8��A��8��"� ���8����������L����"� ������8��A����;;L�';�� ���;�
��������( ������ ���L������������ ��������8��A��8��"� ��[���b�;L;��f�;L;�'��f�;L;�'�b�;L;+�� � � � � � ���������[�;L;+�
8C�=���������� �����"� ���"�$����8��A�[���� �186
2000 93, . �����[�;L7���
����?��������������1H��� ���"�"M���!��%�������������������������������P���%� F �����������"��%L� �MG���$�������L� ������������%������� F �����P�������"��%���������%������������n�*�����������������������%!����� ������'#������������������H�������V *��������!���� ����������������%��"��%�H�������VV *�������������������%��"��%���!����� ������H�������VVV (������ ������������������������%��"��%�H�������VW *�������������������%��"��%����"���������
Образец критериев для составления заданий для малого суммативного оценивания № 9
� H�������1 ����������������������������������8 ������8� ������2 �����������%������A��8���8 �����8� ������3 �������������A����������������%����8 ���!�����8� ���8�����8� ������4 �������������A����������������������8 �������8� ������5 ����������������������8� ������6 @!���� ���F �����������"���L������������������"����7 ���������!���� �� ���������������%�
206
Глава V
Образец малого суммативного
оценивания № 9
�5��@!���� ���8��P�����&�������4 = 125°������P8� �������>=(L�� ���1 + �2.������������������������������������������������������������������
�5��@�����$������������8 ������8� ������������)#�L������A��%��8� L���������%������U�+'���*�%�����8 �����8� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��=� ���8� ������ >=(� �`b� 7;°L�`a�b��)������jb�;°L���%����� ����8�!����$��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��=� ���8� ������ klm� kl� b� 'L�� �L�km�b�)L+�����lm�b�#;�����E���%��8� ������8� ���������"� �A�%\���������������������������������������������������������������������������������������������������
�5 @���� �$� ����� �8 ��� !�����8� ���8�����8� ������ ������ );�L� �� � ���� ����PA�8���������� ���#������������������� ����8�!����$��F�8������8� �������\���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��(�� ���������"���F �����������P"���%� !��� �������������� "������������ �8�� ����� ���%� �� ��$\� E�������"����� �� �&�� " �8�!��������� �� ��!������� �����L� ������ ������������ ���"��'\����������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��=���A��� ����G����L� ���"� ��L� �)��G P��� A������ *�%���� ��������� ��8�L���� ���8��� �$��%� �$� ��A��� A��� "�����G ������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��(�%���� $����� � ���$������� �� ���*�%� ��������������"���L����F����� ������������������� ��'����������������������������������������������������������������������������������������������������
5��=���%��8� ����8� ������"� �A��!��P��8�� �8 �� ��� �;�L� ����A�� ����8�� ���#;���*�%����F���8 �����������������������������������������������������������������������������������������������������
�G5��i �� �� ���A���� ���8� ������ ���AP��%��8� �"������������'��;o:]C������� "���� ������ 8�������� �����
��������8������A�����8 ��\�����������������������������
"C������� "���� ������ 8�������� ���������� ���������� ��������� ������8 ��\�����������������������������
B
CA
1
2
3 4
D��� ��[���������������������O��[������������E� �������!���� ����������[������E� ���������!���� ����������[�����@�����[���
207
Система уравнений. Стороны и углы треугольника. Статистика и вероятность
Образец большого суммативного оценивания № 2
�5�����"��$�%�����������������8�� ��[2x�Bx3�U�y4C�U�B�xy4 + x3C�b���������������������������������������������������
�5�@�����$����A�����8 ������8� ������������+��L��!���� ����������8����������������8 ������8� �����[
�������������������������������������������������������������������������
�5�����"��$�%�����������������8�� ��[Bx4 + y7C2�b���������������������������������������������������������������
�5����������K���� ������MG���8�����������L��!��������������[Ba�U�#C2�U��Ba�U�#CBa�f�#C�f�Ba�f�#C2�b���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�����"��$�%�����������������8�� ��[Ba + 2bC2�U�Ba�U��bC2�b���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�=��� ���$�����������������[ 64 17
16 9
2
2
−−
=
�5 a��bL� ?� U� ���M��� !������� i �� ��� b� '��L� ������ �����$�������������8�������������#����3.����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5���$ ��������� ������������ �[27x3�U�-�b��������������������������������������������������������������
5����$���� ����� �8 ��� � ���������� !��� � ������ �������� ������ �)�L��!���� ���8������&������F����8 ��[��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�G5��������� $����� �� ���$������� �� ��� *�%���� ��������� �8�L� ��� ����� ��K��$��������8���&��� ��"����������7�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
1
2
3
4
a
b
c
208
Глава V
��5*�%������������������������%�!���������8��K����
y xy x== +
⎧⎨⎩
,3
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5� ��A��� ����� ��������%� !��"��� !��������� � ��
��������������������: y xx y+ = −− = −
⎧⎨⎩
3 46 5
,
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5� =���� k� $�!�A��� ����� �� �L� ��"�� �C� ����� ��������%�y xy kx= −= +
⎧⎨⎩
3 55,� ��� ��
�������������A����: ����������������������������������������������������������������������
¥C��������������%�y xy kx= −= −
⎧⎨⎩
5 77,������� ����A����[��������������������������
��5��=�� ����'����M������� ����������!����A����� ���� �������������� �������*�%�����z����"M�8���� �������� ���������� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5�, ����8�!����$��!�����8� ���8�����8� �������)L#��L�������$�!�� �8�&M�������%�������8 ���������);���*�%����� ��������8���$��8�����������!���� ������P"� �A�������� ������� �L�������������������������8�%�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5 *����A��� ��!������L� $�K������������ �� i���!�L� U� #-�(L� �� >$��� U� ���¢��@!���� ��L����������!���������D����8�%�����i���!�L�����I� �������>$���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��5�����" �������������8���&����8�����[
B�*�������������������¾�P¢� `r�£ r�]�P²± ��������')z �;z �)z -z
0 1
1
x
y
209
Образцы рабочих листов
E���������'�"����5E����������M)�)�����"#��
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�X�!� �����" ���[
x BfC
�7
11;L� 2
5
14U_�L-
�21
3
13
4
�L'
�3
8
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��@!���� ������������������������]C�̀ B;L-�C���aBU_)L'C^� "C�k −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
7
4���l −⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟2 35
:
]C�̀ a�b�
"C�kl�b�
�5������������%����x:
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
x–6,7
M N10,2
x
210
Образцы рабочих листов
N����)�"��#��)�����"�'�)����
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�E������$�!�����G��������"�%�!������������������������"�\�X�!�A������7
4�
5
9�
4
7�
11
8�
7
15�
21
17�
33
21�
3
23�
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�=���������$�!�A������"���������� �[]C�v�b�;LB'�C�
10X = 10 ������b�'L����b�'�f������;v�U�����b�����9X = ... X = ...
"C�v�b��L'B��C100X = 100 �����b��'�L�����b��'��f�����;;v�U�v�b����99X = ... X=
...
99 = ...
�5�,������!���������������"��$�!�A�����������"��������������"�%�;LB)C�b� � � �LB��C�b�;B�'C�b� � � �L�B'C�b�L��B�;C�b� � � ;L;;B�C�b
�5�=�!� ������%���[]C���%�����'z����LB'C[���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
"C�7LB�C�f���LB�C�f�'L)B+C�b���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
211
Образцы рабочих листов
`����#�����
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�*�$�������������8 ����!���%��"�������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5����%��"��������̀ kL�al���jm������8�����8� ������
A
B
C
�� ���������8 ���$���������!���������$�!�A�����$� ���
V �`b{^ �a`kb{^ �j`kb{
VV �ab{^ �`alb{^ �jalb{
VVV �jb{^ �`jmb{^ �ajmb{
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
212
Образцы рабочих листов
J��M�����
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�i ��̀ �b�cU_�^�'^�+^�U_7^��;^���^�U_�+^��7^��B+Cea�b�cU_�L'^�;LB)C^�U_7^���^��B+Cej�b�c'^�U_7^�U_�+^��7^�+LB�CeL�������[]C�̀ �a�b�a�`
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
"C�̀ �j�b�j�`������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�C�B`�aC�j�b�B`�jC�a������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�O$�"��$���������������8�����Y% ���P=����[]C�Bk�lC�m
MN
K
"C�Bk�lC¿m
MN
K
213
Образцы рабочих листов
H�� ��;����������� �����#��
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�O$�����������8� �������$�!�A�����$���������8��F��������8� ������[
C
M
P
AK
Q
B
N
R
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�i ��¡`aj��¡klm��¡�¶ZL�$�!� �����" ����
¡`aj aj�b���� �a�b��;� �j�b��;;� `a�b�'�� � �̀b�\¡klm¡�¶Z
�5�H8 �����8� ������>=(��������+��;o���#-��;o10ooL��!���� ������%��8� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��@��$���̀ a���kl�!������&���������mL�̀ m�b�km���̀ a�b�kl��@"���%�L����¡`ml��¡kma�
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
214
Образцы рабочих листов
N������������� �����#�*���L�������
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�����%��B�!���M�&������ �C����8� ����������������$�����������$����b ca
�5��(�!���M�&������ ���� ���%���!���%�����8� ������������������L��'���L�;L�-���
215
Образцы рабочих листов
J�� �"���'
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�*�%�������������$��������������8�� ����[3a + 4b�U�?� � � �� � � U_�L�a_U_7?_f_�;b]C�����[����������������������������������������������������������������
"C���$���[��������������������������������������������������������������
�5�*�%����!���$�����������8�� ����[
]C�− − +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ =3 2
1
24m mn k m
�������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
"C�B�x2 + 7x U�7CB;L�x U��C�b��������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
�5��A������������[]C�Bx_U_�CBx_f_'C_U_xBx_U_-C�b�7��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
"C�xBx_U_)C_U_-Bx_U_)C�b�;��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5���$ �������������� ������������������[]C�x2 + 2x f��Bx f��C�b�������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
"C�a_U_�ab_U_�a + 6ab b�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
216
Образцы рабочих листов
C���)���'>*��*��)�#���������#�5C������
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5��(�!���M�&������ ��!���%�������������$���>=L���������%�!���!������� ������$���kl�
A
B M
N
�5�����%��K�8���L����������&������%�K�8�������� ���������@�
O
O
217
Образцы рабочих листов
@����P������������������*� ��������
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5,��"�1
6 !���������������!����������%����"��������8 ��������$������������
=��� ����"� &��&�!�8��A����!� ����������� .1
6= ≈
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��@���8 ���!�������$����������� ������$����������L�������U������$��������L������U������$����� ������������� ��� �"� &��&�!�8��A���������8���$�����]C��)L��)
���������������������������������������������������������������������
"C�;L7�'+���������������������������������������������������������������������
�C��;-L��-+)���������������������������������������������������������������������
�5��,������ �� �� !���"��$�%�� �� �������&� ���"�� �� ����8 ��� ��� ��$����� �����=��� �������� ���&�!�8��A���L�$�!� �����" ����
�� � @���8 �������� � @���� �����!�8��A���
31
3
47
8
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
218
Образцы рабочих листов
K����'��#��?L��� ����M����
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5�=�!� ��������������]C�B�x f��CB�x f��C�b�������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
"C�Bx f�'CBx f�'C�b������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�C�B'y_U_#xCB'y_U_#xC�b����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�H!��������������[]C�B�m_U_�C2�f���b����������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
"C���_U_B+m_U_�C2�b�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5��,�������G�� ����$�!�A������������������������� ����$��������������������������%�]C�m2 + 16m f�)#�b��������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
"C�#a2_U_��a f�7�b�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�5�@!���� ������"� �A���� ���������A���$�����������������������%[]C�x2 + 30x f���#�b���������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
"C�U_m2_U_��m_U_�7�b������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
219
Образцы рабочих листов
C����*������������/������
D��� ��[��������������������������������� � O��[���������������������
�5��O!� �$��� � ���%� ����� L� �!���� ��L� �� ���� ���M���� � ��� �� !� ����%�����[]C����!��!�� ��������������^"C�!��!�� ����U#������^�C�!��!�� ��'U-�������^8C�!��!�� ��7U���������^�C�!��!�� ��"� �A�������������(�"�����&���K������&�!��������������[
]C��" ���^�"C�� "���%����8�����^�C����8���%����8������
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
220
Формы и методы, используемые в преподавании предмета Математика
=�!�������"�����������������K��������������"�������� ������F�!����H��P� �� �� ���� ����� ��"����� � �� �����%� ��������%� ���� ���"��&� ���8�&� �"�P��������=�$����������������� ���%����� ���� ������������"��%�!����L���������$���!�������������8��!�������"������L�� �������%L������� ������"��������%������������L���8���$�������"������� ���8��!!��L� !��"�����������P��� ���8��!������L��!� �$������������������"�����������%L���$�����������%��E����%� ���� �� �� ���� �������� �������� ������ ���%� �� �������� !���!����P������ F�%� ���� �� �����%� ��$� �������� ����� ��� ����� ��!���L� ���� R��� �� !��P!���&\SL�R����� ������$���������\SL�RE�������������\SL�R�����������$��&\S�������@!����������"�����%��!��������������������������%L����� �L������P���� !������ ����� !���"���� ���M���L� �� ���� �$���� "� ��� ������ ���������"��������L��!� �$�������� ��!� ��8��������������������8�������� ���
I� ���"��$���� �"������� �"��$���� ���%� !��8������ B������� ���C� ��� �����������������������!���� ���&���8���$���&����������������������������M�P���������F����"��������� ����"�����8���$������������"��$��L���"������������!�� ��������������$����%L����M����� ��A� ���������!���������L�$����!� ��!�� �P�����&���K������&���������"��������� ����"�����8���$�����!� ������ �����������"��$��L���"������ ������������� ��"�$�%�� ��!� ���&M�8���"������������F������������������������K��������"������L��������!� �$����������������K�������"�������U�����P���K�������L�����P������L�����P�"�������L�����P�!������P����������*��"��������!� �$�����K�������"���B�� �������L���8��!!��L���!����L����������� ����CL�!��"��&M���8�"����!�������"����������������!���$����L�����!� �$�������F���K������"���!���"��$����������������%�!����L��$��G��� ������� ��!�������������M������ ��������L�!�����
?������������ �"������� ��������� ������� ��� ��� R������������%S� ���� ���*��!������F�!������ �������������������!������� ������%�����L������M�����G�F����" &��&��*��������F�!����8���$������������� �������"������M���L�!��������%�!������ �����!� �������� �����$�����%���������$����%��H��� ����L���"� &����$������ ����&����M���L�������� �����Y������ ����"��� ��������������"������8�������� ��$��������%�!�������������� ���8��!����������
*��"� ���FKK��������!��!��������������������� ����R�G����������S��"�P�������*��!������F�!������ ����������������"Q�����������!������� �������%�����L�$���G���!�������!���� ����!�����8�����������H��M�������� ������"� &P��&�$���"Q������������ �L������������������&����F���F�!���>����������PM�������!������F�!��������U��"�$�� ������ �����FKK������8���"��������*��F���F��!�� �"������� !����� ����� ����� $����%� ���������� ���M����� ��G� 8�����&������������������ ����������M������(!��"�������� ���!��� ���� ���������"����������������!��"���"������L�!�� �������$��!� ������ ����&�!��������"���������������"���&M�8�������� ���"�!�����������8������������������������M����������������&����M�8������F���F�!���"�������!��������P���8�������� ��������A����������L��������%���G����K��������� ����������"P������L�!��"����$��������������%����8����������
=���%�F�!�U�!��������%�F�!L���$����!����������������� �����!����������!����%�� �����8����Y��A�8���M�� ����!� ��!������������ �������������P8� �����������������������8� ����������/������"������� F�8�� F�!������&����
221
$�����������������$����%����M��������"�����%�!��!��������8�������� ���Y��������!���8�&����M���L���&��!���� G�������!��� ������*��F���F�!������� ��K����������� �������� ��A�������$� ��������M��������$�������������$� �P������������8����8���$��������� ���%�� ��"� ����������%���"���%��������
*��������F�!�����M������"��&������� ���������F������ ���������P���������8�������L����%�F�!�������������"� �A�&��������������������"��������������� Y�� F�!� ���L� ���� !���� �L� ���������&� $����%� ���M���� �� ����������!� �$��������$��������!��"������������������������
i �����M���������&�����A�8����$� �������F�!��"� ����������8���"������L������ ����$���M�����"����L���8���$�������"� ���!�������������"��������i ������M���L���"���������� ���L������8��!����������������%���$� ��L��8���� ��������8���$��������"� ���"� ������������!������������"����
, ��K������������$����%����������������������������L��!���� G������"���$���� ���%�!��8�����%�B������� ����CL����"���������������L�����������P�������������������L����������&������!����� �����������������������[
��/�$8���%�A����B��$8���������C^���XuH^��@"�������^��,��8������=����^��E ���^��=���������!�����^��=�!���^���� �������!��" ���������0O!<0��P�O�"��������!����5XuH�!��������!�� ���&M���F�!��[
��� H��� ����� ����" �����$��G��� "��������������������� ���&M�����$��� �[�X��&��u����$�����H$�� �
��� ���" �����"Q�� �������� ������ H��M��������$���&��GL��������$��&���!��" ���L���������������P
��&����!������� "����" ����#�� =��������� "��������&��G��L�������������$�����"�F�%�!��" ����'�� =��������������MG���$��"��M����������������F���" ���������������G�
� "������������L���������$�� ���"�F�%�!��" ����0��P O�"������� !����
?���[���A�������������%��������$������"�����������\�@�������M��������P��&����!������� "����������������$����!������������������������ "����=���������������GL���������$�� ��!����������������������� "���
J�� ���>����Y��������MG���$���&���$8���%�����%��/�$8���%�A�����"�!�����������P
��� �������A ��������M���������F������8��!!��!��� ����������A�����!�P�� ����%�!��" ������$���������������������&���� ����!��� ��������i �����P� ���"��M���� ��!����L� �� ��!����� ��������� ��������=�� ����$��������� ��!������&�L�F���� �����������&��������������&�L�����$� ������P!� �������%� ��"��� ��� F�� �� �� ��� �$���&�� �� �!��� �&��� @�����%� �� �&�!�����$8�����A������� �����"��������������"� �A��!��� �����%��
222
D��1���A�����$����L�!������M������������������������&��������$�������K��P�� �������%���������8�����������\�X������ �&��� ����"�����K����������K�����P �������%���������8������������
H������^������������VE ������ ����������L������%�!�$�� �����%�������L��$��G�� ������ ��
������ ���8�� �"���������� ���� ���M������ ���� !���������� F�8�� ������ �$��� ������������������ �L��$�����U������������E ���������!�����������P�������� ���L���"�����!����L������������"�����8��!!����i8��!����������������!��P�����$�!�����&M����
��"����� �$�������$��� ����L� ����[���=$�������"���8�����=������� ���$�!���� ���L������L�����M�%�����������@�F�8�� ����������$��� �������$�!����&���������� ��('��)����*������Y�������!����������������8��P$�8��������$��G������&��������������P
M�����H��� ��������������A��������8 �&�����L�����G��"�����%�������$��!�P������!�����L� ��"������ �� ���%��(������ "�$� ���!��%�!���$����� ���M������!������ ���� ��$�!��������� ���� ���L�����M��������"�����������8��!�P�������*��������F�����"�����%����M�����������!�������
i �����M����$������&����%��!�����L����� ��!����� �����!� ��� �������"������
+�� ���(����,��8������ =����� ����� ��� !���������� ����� �� "� ��� ���8���� ,� ���� "���
��������� ���� � �� $�!��%� �� ���L� 8��� ���8�� !������&��� =� ���$������ ����$�!������&��� �"������ � �� �"M��� ����� �!������%� !��" ����� ,�!���L� ������M���� ��� ���������� �������&� ��!���&� � !��� � �8�������� (� !���M�&����8������ =����� ������ ���� �"M��� �� � ���� ����� ������ *�� ���%���� ��������8������B���8��C���&���� ���� ���������L����!������&M�%������U��"M����O!� �$��������8������=���������������"���&M��L���$����&M���������L������������"�"M�&M���������
(�*���'=�!������� ���&�FKK��������!��������!������� ��������L��8��&�
"� �A�&��� ������� �������!�$����� ���%����� ��������M�����I� ���"��$����� �����#U'���!�����������������!������� ����"������!���P
����������$�������A ����L�!�� ��������� �8�����%�!� ������ ����L������P���� �����%�����$����%���!��������������%�
w�#���J������U�F�������!����������K�������������� �����M������Y���������P
����"��$����!� �$������ ���"�8�M��������L��G��K��� �������?������������� �������!������������������;U�'������
I� ���"��$������ �����"��������������!��������� ��������� ���&M��[ � ?�������!���� ������� �%���$������ �����^ � (��� �����! ��������$������8�����M����B� ��$�!����8���������C^ � O!� �$���������8 �����������������������
223
H��� ���� ����"� ��������� ����&����"� ����B$���������!���C�����$�� ����B��"� &����$��������%�������� ����%����M���C�
����M)����@"��������U�F���"�������%L���K�������%L��!��� ������L���� �$�����!���� ����P
��%������8������@�����%��8��$�����%��� �����$��������$������%�� �����������P����!��%���A��������������� ���������!��" ���L�!�������!���� ���8�����A�������@"������������"�����������M����������� �A��L�!����� ��L�K������������ �P����$�����������!����L� �8���������������������A ��������M���L�����&������
���������"�������L�!��������M������!�����&��!���� �����������"�������P�����?���������$ �8�����H��� ��"� �������!������"�������L�$���������$���P��&M�����!����������������������M�����*�� �����$�������!���F���$�����������!���L���"�&M������� ����������R��S�� ��R��S�
=���������"���������!� �$�&���������!���L�����R���!���$�A �\��������!����$�A �\�/�8 �� ��F��!���$�%��!�P���8���������\����"������� � ����F�%��P�����\����"�����!�������� ��!���F�%�������\������ ���� ��F�\�������\S�
N����������������Y���������$���������������������8����A ����L���� �$�����"�"M������H��� ��!�����8�����!��" ��������!����� ���"���������H��M������ ���
���8��!!���$�#U'��� ������,������$��&����"����� ��L������&M���!��" ����&�������&��E������8��!!���"������������$�!����� ���������������$�������������$��������!��������A�������� ��������������"���8��!!���L���� ���!���������"�M����"��������
224
Использованная литератураM���E��/�A0��*���@E�*�
����À¶�Á]µ�ÁÁ]�Â��������±�²�²ok����]ò¥�¦L�Ä�¢�Z²��Á�¦L�l�£�Ä��Á�¦�¦§���o�ZrmL��;�'M��1���L*���@E�*�
����À`�³�¥�]��Â�U��Å�]�� �����±��]�������¸±]�Áo`���Æ]¦�]�L� Á̀�]��Æ]±²��²L�j�ǯ²��`���]�L��¸�]��Á̀�]�L�m]�ȸ��]�ÉÈ�¯]Á]�U�Ê��]�¥²�L��Å�¯�Á§L��777
����À¢²�������Â�o�j�¸�·��]ÁP�]¸¥]¯L��;;-#���Àk]��¸]��¯Â� +� ������ ��¯�Ë����¸� �§��� ¯��]¥Èo��±��� Æ�É�¯� Á̀³Å�L� l²��]Á�� Á̀�²�L� ���or�³]�� s����L�
Ê��]�¥²�L��;�;'���À���P`�³�¥�]�U��ÂL�À���P`�³�¥�]��Âo�̀ �·]�²���]ǯ��L�k²��]�]�mÈ�ÈÉÈL�k²�]��m��P�]¸¥]¯L��;;-)���À���P·��¸���ÁÂ�o�̀ �·]�²���]ǯ��L�k²��]�]�mÈ�ÈÉÈL�k²�]��m��P�]¸¥]¯L��;;+
M������*���@E�*�+���R> 8�"��S�+�� �L����"����� ���"M��"��$���� ��������������%�U�'P���$��o�N�E�/������L�
E�(�/������L�@�=�/���������/�[�,��K�L��;;#-���R> 8�"��S�+�� �L����"����� ���"M��"��$���� ��������������%�U�'P���$��o��*�/��������L�
*�N�/���&�L�E�O�*�A���L�(���(���������/[�������M�����L��;��7���R> 8�"��S�+�� �L����"����� ���"M��"��$���� ��������������%�U��P���$��o�>�N�/��������L�
*���*��� �����/�[�/����$���L��;���;���R?������ ��������%S� �������� �� $�����[� ���"���� !��"��� U� -P�� �$��oo>�>�N���L�
i�>������������/���[�?���(���L��;��M���*��(�*���@E�*������RN�������S�+�� �L���������� ��+�� ��$�8� �������������$�� �o/�������L�*�>�?������������
E�[�=��������%�����R@����SL��;��M��� �(A�*���@E�*������À`�³�¥�]��Â�]������³�]����]±±��]���U�±²¥�������¥Á�l]����]������¥��¯�j�¸±]�Áo������k�a�����U�
£�����������Bj���]³�C�U��77-�����À`�³�¥�]��Â�]������³�]����]±±��]���U�±²¥�������¥Á�l]����]������¥��¯�j�¸±]�Áo������k�a�����U�
£�����������Bj���]³�C�U��77-�#���Àk]���¸]����� �����������Â� o� r��¶�¥���� a�`�����¯L� r��k]�Á� k��]�´���L� r��� ���]��� £�� �]²����L�
k��Í�����������¯��³���U��77)��Î�`�'���Àk]���¸]����Â�̀ ±±���]������]��������������o¾����]¸�j������L�£���]�r����]�L��]�����]�¢��ÁPk]����{o
����k�·�]�P�����j�¸±]�������77-N1���1O�������
�ww�4�������<���>��@��9��;9w��/���w;�ww�4����Kw9>��@��9���B@�Y�����K\�K����K?��������@\-�>9B�\9��ww�4��������9��K@��B���ww�4��������9��K@�9��ww�4���@��w�@���K���ww�4���^^^�9@9?���B���;9w#����K��ww�4��;9w�-�?���>�K����@�����;9w�;9w�<���w;>�ww�4��;9w�;9w�<9��?���?�;�ww�4���Bw�KB�w�K�<�K��ww�4���K��#;9w��K��ww�4��-#�?>9��#;9w�#��K�;�K��ww�4���������#wK�B�K�K��ww�4��������w��w�K��ww�4������;9w��K��ww�4���K�:>�;��K��ww�4���K�<�;9w�;9w�<��K��ww�4�������Y>�?�;�;9w���K9@�#��ww�4������;9w��?�;��ww�4���Bw�K9?w�����w������:>��?�;�;9w���w;>�ww�4������;9w������B�?�;