ნონა ოზბეთელაშვილი

თერმოელექტრო დრეკადობის თეორიის სასაზღვრო

ამოცანების გამოკვლევა პრიზმატული

სხეულებისათვის

წარმოდგენელია დოქტორის აკადემიური ხარისხის

მოსაპოვებლად

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი

თბილისი, 0175, საქართველო

თებერვალი, 2015

© ნონა ოზბეთელაშვილი, 2015

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი

სამშენებლო ფაკულტეტი

ჩვენ, ქვემორე ხელისმომწერნი ვადასტურებთ, რომ გავეცანით

ნონა ოზბეთელაშვილის მიერ შესრულებულ სადოქტორო ნაშრომს

დასახელებით «თერმოელექტროდრეკადობის თეორიის სასაზღვრო

ამოცანების გამოკვლევა პრიზმატული სხეულებისათვის» და ვაძლევთ

რეკომენდაციას საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის

სამშენებლო ფაკულტეტის სადისერტაციო საბჭოში მის განხილვას

სადოქტორო ხარისხის მოსაპოვებლად.

2015წლის 16 Tebervali

ხელმძღვანელები: ______________ ტ. მ.დ., პროფესორი

დავით გორგიძე

_______________ ფ.მ .მ. კ., აკადემიური დოქტორი,

პროფესორი ზურაბ ციცქიშვილი

რეცენზენტები: _______________ ფ.მ .მ. დ., პროფესორი

მურმან კუბლაშვილი

________________ ტ. მ.დ., პროფესორი

თამაზ ობგაძე

ხარისხის უზრუნველყოფის სამსახურის უფროსი,

პროფესორი: _________________/მარინა ჯავახიშვილი/

2

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტი

2015

ავტორი: ნონა ოზბეთელაშვილი

დასახელება: თერმოელექტროდრეკადობის თეორიის ზოგიერთი

სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანების გამოკვლევა

პრიზმატული სხეულებისათვის

ფაკულტეტი: „სამშენებლო “

ხარისხი: დოქტორი

სხდომა ჩატარდა: 2015 წლის 16 თბერვალს

ინდივიდუალური პიროვნებების ან ინსტიტუტების მიერ

ზემოთმოყვანილი დასახელების ნაშრომის გაცნობის მიზნით მოთხოვნის

შემთხვევაში მისი არაკომერციული მიზნებით კოპირებისა და

გავრცელების უფლება მინიჭებული აქვს საქართველოს ტექნიკურ

უნივერსიტეტს.

________________________________/ნონა ოზბეთელაშვილი/

Aავტორის ხელმოწერა

ავტორი ინარჩუნებს დანარჩენ საგამომცემლო უფლებებს და არც

მთლიანი ნაშრომის და არც მისი ცალკეული კომპონენტების გადაბეჭდვა

ან სხვა რაიმე მეთოდით რეპროდუქცია დაუშვებელია ავტორის

წერილობითი ნებართვის გარეშე.

Aავტორი ირწმუნება, რომ ნაშრომში გამოყენებულ საავტორო

უფლებით დაცულ მასალებზე მიღებულია შესაბამისი ნებართვა (გარდა

იმ მცირე ზომის ციტატებისა, რომლებიც მოითხოვენ მხოლოდ

სპეციფიურ მიმართებას ლიტერატურის ციტირებაში, როგორც ეს

მიღებულია სამეცნიერო ნაშრომების შესრულებისას) და Yყველა მათგანზე

იღებს პასუხისმგებლობას.

3

მიძღვნა

ნაშრომს ვუძღვნი ჩემს საყვარელ ოჯახს. მათი თანადგომა და სრული

გაგება მუდამ მამხნევებდა დისერტაციის მისაყვანად ლოგიკურ

დასასრულამდე.

4

რეზიუმე

მყარი დეფორმადი ტანის მექანიკის განვითარების თანამედროვე

ეტაპისათვის დამახასიათებელია ზოგადი თეორიული პრობლემების

კვლევისა და შესწავლის პროცესის მჭიდრო კავშირი გამოყენებითი

ინჟინრული ამოცანების ამოხსნასთან. ნახსენები გამოყენებითი

ინჟინრული ამოცანები წარმოიშვებიან ამა თუ იმ ნაგებობის ან

კონსტრუქციის პროექტირებისას. წარმოდგენილი დისერტაციისათვისაც

არის დამახასიათებელი კავშირი თეორიულ კვლევასა და გამოყენებითი

ამოცანების ამოხსნებს შორის.

დრეკადობის თეორიის ძირითადი დებულებები, ამოცანები და

მეთოდები უმნიშვნელოვანეს როლს თამაშობდნენ და თამაშობენ

სხვადასხვა კონსტრუქციების სიმტკიცეზე გაანგარიშების მეთოდების

ჩამოყალიბებასა და განვითარების საქმეში. ამ განვითარების ისტორიულ

გზაზე შეიძლება თვალი გავადევნოთ ორ პერიოდს. პირველი პერიოდი

დაიწყო XVIII საუკუნის ბოლოს და XIX საუკუნის Dდასაწყისში, ჟ.ლ.

ლაგრანჟისა და ჟ. ფურიეს ფუნდამენტალური ნაშრომებიდან. ცვლადთა

განცალების მეთოდით, მათ შესძლეს უმარტივესი არეებისათვის, ე.წ.

კანონიკური არეებისათვის _ წრისთვის, კვადრატისთვის,

ცილინდრისთვის, სფეროსთვის სასაზღვრო ამოცანების მთელი რიგი

ამოხსნების მიღება. ამ მეთოდის შემდგომი განვითარება უკავშირდება

მის გამოყენებას უფრო რთული დიფერენციალური განტოლებების

ამოხსნას და ამონახსნების წარმოდეგენას ჰარმონიული და

ბიჰარმონიული ფუნქციების მეშვეობით. ასეთი წარმოდგენები

შემოთავაზებული იყო ვ. კელვინის და პ. ტაიტის, მ.ჯ. ბუსინესკის, ბ.

გალერკინის, პ. პაპკოვიჩის გ. ნოიბერის და სხვათა მიერ.

ფურიეს მეთოდის განვითარების მეორე მიმართულებას წარმოადგენს მისი

გამოყენება უფრო რთული კონფიგურაციის სხეულებისათვის მრუდწი-

რულ კოორდინატთა სისტემაში. აქ უნდა აღინიშნოს პ. შიფის, პ. პაპკო-

5

ვიჩის, ა. ლურიეს, ვ. გრინჩენკოს, ი. პოდელჩუკის და სხვათა ნაშ-

რომები.

დრეკადობის თეორიის ერთ ერთი ნაწილია სივრცითი სასა-

ზღვრო-საკონტაქტო ამოცანები. როგორც ზემოთ იყო თქმული და ამას

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავთ, სივრცით ამოცანებს პრაქტიკულად

გამოიყენებენ სამშენებლო კონსტრუქციების და მანქანების დეტალების

სიმტკიცეზე გაანგარიშებისას, ფუძე-საძირკვლების პროექტირებისას და

ა.შ.

ახალი კომპოზიციური მასალების შექმნამ და მშენებლობაში,

ზუსტ და Uუზუსტეს მანქანათმშენებლობაში მათმა ფართოდ გამოყე-

ნებამ, მკვლევარების წინაშე დასვა ამოცანა ანიზოტროპული, კერძოდ

ტრანსტროპული (ტრანსვერსალურად-იზოტროპული) სხეულებისათვის

დამუშავებულიყო თერმოელექტროდრეკადობის თეორიის სივრცითი ამო-

ცანების ცვლადთა განცალების მეთოდით ანალიზური ანუ ზუსტი ამო-

ხსნის ეფექტური მეთოდები. მართალია, რომ როგორც ზემოთ იყო

თქმული, ცვლადთა განცალების მეთოდის გამოყენება შეზღუდულია

იმით, რომ იგი გამოიყენება მხოლოდ კანონიკური სახის არეებისათვის,

მაგრამ მას მაინც დიდი ღირებულება აქვს. მისი გამოყენებისას უფრო

ღრმად და სრულად იჩენს თავს თერმოელექტროდრეკადი ველის

დამახასიათებელი თვისებები, ხოლო ამონახსნის აგებისას მათემატიკურ

პროცედურებს შეიძლება მიეცეს ზუსტი ფიზიკური ინტერპრეტაცია.

გარდა ამისა, ზუსტი ამოხსნა ერთადერთი მსაჯულია სხვადასხვა

მიახლოებითი მეთოდების შედარებებისას და მათი ეფექტურობის

განსაზღვრისას. ამიტომ თერმოელექტროდრეკადობის სხვადასხვა

სასაზღვრო და სასაზღვრო_საკონტაქტო ამოცანების ცვლადთა

განცალების მეთოდით ამოხსნას (იგულისხმება მრავალფენიანი მართკუ-

თხა პარალელეპიპედის, წრიული ცილინდრული სხეულების თერმოელე-

ქტროდრეკადი წონასწორობა), რომელიც მოყვანილია სადისერტაციო ნა-

შრომში აქვს პრაქტიკული მნიშვნელობა. აგრეთვე უნდა აღინიშნოს ისიც,

6

რომ მნიშვნელოვანია როგორც ახალი მეთოდების დამუშავება, ასევე უკვე

არსებული მეთოდების სრულყოფა და ამიტომაც ეს საკითხი ყოველთვის

იყო და დარჩება აქტუალურ ამოცანად.

წარმოდგენილი ნაშრომის მიზანს წარმოადგენს განზოგადებულ

ცილინდრულ კოორდინატებში პრიზმატული სხეულებისათვის დაძაბულ-

დეფორმირებული მდგომარეობის მათემატიკური მოდელის შექმნა.

მათემატიკურ მოდელს წარმოადგენს დიფერენციალურ განტოლებათა

სისტემა, რომელიც სათანადო სასაზღვრო და სასაზღვრო-საკონტაქტო

პირობებთან ერთად აღწერს სამგანზომილებიანი პრიზმატული

სხეულების დრეკად წონასწორობას.

ამ მიზნის მისაღწევად ნაშრომში დასმულია და ამოხსნილია

შემდეგი ამოცანები:

ა) ტრანსვერსალურად-იზოტროპული მართკუთხა ფილის

ღუნვის ამოცანა თერმული ველის გათვალისწინებით;

ბ) ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში საკოორდინატო

პარალელეპიპედის თემოელექტროდრეკადი წონასწორობა;

ამ ამოცანების საფუძველზე დამუშავებულია შემდეგი ალგორითმები:

ოპტიმალური წონის ანუ ოპტიმალური სისქის ფილის

გაანგარიშებისათვის ;

მიღებული ამოხსნები შეიძლება გამოყენებული იყოს

შებრუნებული ამოცანის გადასაწყვეტად. ამისათვის დამუშავებულია

შესაბამისი ალგორითმი.

7

ABSTRAKT

For development of modern stages of stable, deformable , mechanical

body is characteristic common theoritical problem researches and tight conatct

between studying process and usable engineering task solving. Mentioned applied

engineering tasks are originated during designing this or that building or

construction. Also for represented thesis is typical contact between theoritical

researches and applied problem solutions.

The main statutes of elasticity theory, tasks and methods play the most

important roles in method formation of strenght calculation for some various

constuctions and in work development. During the historical evolution we can point

out two main periods. First period began at the end of the XVIII century and at the

beginning of XIX century , from the fundamental labours of J.L Lagrange and

J.Furie. By separation of variables methods they achieved the simplest areas, known

as Canonical areas- circle’s, square’s,cylinder’s,sphere’s border tasks’ whole row of

solutions.The afterward development of this method is attached to its usage for

solving more difficult diferential equations and represention of solutions by

harmonic and biharmonic functions. Such kind of representions were offered by

V.Kelvin , P. Tahiti , M.J. Businesk , B. Galerkin , P. Papkovich , G. Noeber and

others.

The second direction of Furie’s developing method is based on usage of

curve coordination system for more difficult configuration bodies. Here must be

mentioned P. Siff, P. Papkovich, A. Lurie, V. Grinchenko, I. Podelchuk and labours

of others . One of the consisting parts of elasticity theory is spatial boundary contact

problems. As it was said before and we mention it once again, spatial problems

practically are used in building constructions and during calculations of mechanical

detail strength, base-foundation designing and etc.

Creation of new compositional materials and usage of them in exact

machinery building , made an anisotropic(transtropic,transversal-isotropic) task for

investigators. The task was about bodies which needed to be treated by the thermo

8

electric resilience theory and by the method of spatial tasks’ separation of variables

and analythical (exact) solution effective methods. It’s true that the usage of

separation of variables methods is limited because it can be used only in canonical

types of areas, but it still has a big value. During it’s usage we can notice thermo

electric resilience field’s characteristic features. During solution designing The

physical interpretation can be given a precise mathematical procedures. Besides exact

solution is one and only judge while comparing various approximate methods by

their efficiency. So thermo electro resilience’s various boundary-contact problem

solution by separation of variables methods (understood as multilayered rectangular

parallelpipedon’s, circular cylinder bodies’ thermo electro resilience balance ), which

is shown in dissertation has practical meaning. Also it has to be mentioned that the

treatment of the new methods is as important as improving known ones, because of

that, this topic was and will always be urgent problem.

The purpose of this represented labour is to create matematical model of

tense-stained prismic bodies in generalized cylindrical coordinations. Differential

equation system represnets mathematical model, which describes appropriate

boundary and boundary-contact conditions and three-dimensional prismic body’s

resilience balance.

In this labour, the problems are given and solved to reach the goal.

The problems are:

a)Transversally-isotropic rectangular tile’s bending task considering

thermal field;

b)In cylindrical coordination system coordinate parallelpipedon thermo

elctro recilience balance;

The following algorithms are cultivated and based on these problems:

• For tile’s optimum weight (optimum thickness) calculation;

• Given calculations may be used for solving inversed problems.

According to this, there is deveoped appropriate algorithm.

9

შინაარსი

ნახაზების ნუსხა ………………………………………………… …… … 12

მადლობის გზავნილი……………………………………… ………… 13

შესავალი…………………………………………………… ………….. 14

თავი I.

თერმოელექტროდრეკადი წონასწორობა განზოგადებულ

ცილინდრულ კოორდინატებში

$ 1.1. ზოგადი მიმოხილვა …………………………………….. . . 23

$ 1.2. ძირითადი განტოლებები, სასაზღვრო პირობები

განზოგადებულ ცილინდრულ კოორდინატებში …… .. . . 31

$ 1.3. კლასიკური და მოდიფიცირებული სასაზღვრო

პირობების ექვივალენტობა. რეგულარული

ამოხსნა……………….…………………………………. .... .. 40

$ 1.4. განმსაზღვრელ განტოლებათა სისტემა ……………….. . 43

თავი 2.

თერმოდრეკადობის ზოგიერთი ამოცანა მართკუთხა კორდინატთა

სისტემა

$ 2.1. წონასწორობის განტოლებები. სასაზღვრო ამოცანების

დასმა ……… ……………………………………………… 46

$ 2.2. თერმოდრეკადი წონასწორობის განტოლებები

და სასაზღვრო პირობები…………………………............ 53

§ 2.3 სქელი ფილის და სპეციალური სახის ამოცანები

თერმული ველის გათვალისწინებით………………....... 60

§ 2.4 თავისუფლად დაყრდნობილი სქელი ფილის ღუნვის

ამოცანები თერმული ველის გათვალისწინებით…….. 80

$ 2.5. მრავალფენიანი სქელი ფილის ღუნვის ამოცანები

თერმული ველის გათვალისწინებით …………............. 84

თავი 3.

სუსტად ტრასტროპული ცილინდრული სხეულების

10

თერმოდრეკადი წონასწორობა

$ 3.1 ძირითადი განტოლებები, სასაზღვრო პირობები

ცილინდრულ კოორდინატებში……………………..................... 90

$ 3.2. კლასიკური და მოდიფიცირებული სასაზღვრო

პირობების ექვივალენტობა. რეგულარული ამოხსნა 98

$ 3.3. განმსაზღვრელ განტოლებათა სისტემა................................... 101

$ 3.4. სქელი ტრანსვერსალურად- იზოტროპული ფილის

თერმოდრეკადი წონასწორობა……… ……… ……….... 103

დასკვნები …………………………………………................ 108

დამოწმებული ლიტერატურა…………………………….. 110

11

ნახაზების ნუსხა ნახაზი 1. ცილინდრული ზედაპირი (პარაბოლური ცილინდრი). ნახაზი 2. ცილინდრული ზედაპირი (ელიფსური ცილინდრი). ნახაზი 2ა. ჰიპერბოლური ცილინდრული ზედაპირი. ნახაზი 2ბ. პარაბოლური ცილინდრული ზედაპირი. ნახაზი 3. ღრუიანი ელიფსური ცილინდრი. ნახაზი 4. ჰიპერბოლური ცილინდრი. ნახაზი 5. განზოგადებული ცილინდრული კოორდინატთა სისტემა. მრუდწირული საკოორდინატო პარალე ლეპიპედი. ნახაზი 6. მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის სქელი ფილა. ნახაზი 7. ხუთფენიანი სქელი ფილა.

ნახაზი 8. ნახაზი 9. წრიული ცილინდრული კოორდინატთა სისტემა. ნახაზი 10. სქელი ფილა (ცილინდრული პანელი). ნახაზი 11. მატრიცის სახე.

12

მადლობის გზავნილი

ამ ნაშრომის მომზადებაში მრავალ პირს აქვს მიღებული მონაწილეობა

ინტელექტუალური, მეცნიერული, მორალური თუ ტექნიკური

თვალსაზრისით. მათი მეგობრული განწყობა და უანგარო დახმარება

უდიდესი პატივია ჩემთვის.

განსაკუთრებულ მადლიერებას გამოვხატავ ჩემი სამეცნიერო

ხელმძღვანელების პროფესორების დავით გორგიძის და ზურაბ

ციცქიშვილის მიმართ, რომელთა ყოველდღიური ყურადღების,

მზრუნველობისა და ფასდაუდებელი შენიშვნების, ასევე ხანგრძლივი

საუბრების საფუძველზე შესაძლებელი გახდა ნაშრომის საბოლოო

სტრუქტურისა და შინაარსის ჩამოყალიბება.

სასიამოვნო მოვალეობად მიმაჩნია გულწრფელი მადლობა გადავუხადო

საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სამშენებლო ფაკულტეტის

პროფესორ-მასწავლებლებს გულწრფელი ყურადღებისა და მუდმივი

ინტერესის გამო.

13

შესავალი

ნაშრომის ზოგადი დახასიათება

კვლევის ობიექტი და საგანი. კვლევის ობიექტია პრიზმატული

სხეულები, ხოლო საგანი – პრიზმატული სხეულების დაძაბულ-

დეფორმირებული მდგომარეობის მათემატიკური მოდელირება.

თემის აქტუალობა. დრეკადობის თეორიის ძირითადი

დებულებები, ამოცანები და მეთოდები უმნიშვნელოვანეს როლს

თამაშობდნენ და თამაშობენ სხვადასხვა კონსტრუქციების სიმტკიცეზე

გაანგარიშების მეთოდების ჩამოყალიბებასა და განვითარების საქმეში. ამ

განვითარების ისტორიულ გზაზე შეიძლება თვალი გავადევნოთ ორ

პერიოდს. პირველი პერიოდი დაიწყო XVIII საუკუნის ბოლოს და XIX

საუკუნისDდასაწყისში, ჟ.ლ. ლაგრანჟისა და ჟ. ფურიეს ფუნდამენტალური

ნაშრომებიდან. ცვლადთა განცალების მეთოდით, მათ შესძლეს

უმარტივესი არეებისათვის, ე.წ. კანონიკური არეებისათვის _ წრისთვის,

კვადრატისთვის, ცილინდრისთვის, სფეროსთვის სასაზღვრო ამოცანების

მთელი რიგი ამოხსნების მიღება. ამ მეთოდის შემდგომი განვითარება

უკავშირდება მის გამოყენებას უფრო რთული დიფერენციალური

განტოლებების ამოსახსნას და ამონახსნების წარმოდეგენას ჰარმონიული

და ბიჰარმონიული ფუნქციების მეშვეობით. ასეთი წარმოდგენები

შემოთავაზებული იყო ვ. კელვინის და პ. ტაიტის, მ.ჯ. ბუსინესკის, ბ.

გალერკინის, პ. პაპკოვიჩის გ. ნოიბერის და სხვათა მიერ.

ფურიეს მეთოდის განვითარების მეორე მიმართულებას

წარმოადგენს მის გამოყენებას უფრო რთული კონფიგურაციის

სხეულებისათვის მრუდწირულ კოორდინატთა სისტემში. აქ უნდა

აღინიშნოს პ. შიფის, პ. პაპკოვიჩის, ა. ლურიეს, ვ. გრინჩენკოს, ი.

პოდელჩუკის და სხვათა ნაშრომები.

დრეკადობის თეორიის ერთ ერთი ნაწილია სივრცითი სასა-

ზღვრო-საკონტაქტო ამოცანები. დრეკადობის თეორიის განვითარების

თანამედროვე ეტაპისათვის დამახასიათებელია ზოგადი თეორიული პრო-

14

ბლემების კვლევისა და შესწავლის პროცესის მჭიდრო კავშირი გამოყე-

ნებითი ინჟინერული ამოცანების გადაწყვეტასთან. კიდევ ერთხელ აღვნი-

შნავთ, რომ სივრცით ამოცანებს პრაქტიკულად გამოიყენებენ სამშენებლო

კონსტრუქციების და მანქანების დეტალების სიმტკიცეზე გაანგარიშე-

ბისას, ფუძე-საძირკვლების პროექტირებისას და ა.შ.

ახალი კომპოზიციური მასალების შექმნამ და მშენებლობაში,

ზუსტ და Uუზუსტეს მანქანათმშენებლობაში მათმა ფართოდ გამოყენე-

ბამ, მკვლევარების წინაშე დასვა ამოცანა ანიზოტროპული, კერძოდ

ტრანსტროპული (ტრანსვერსალურად-იზოტროპული) სხეულებისათვის

დამუშავებულიყო თერმოელექტროდრეკადობის თეორიის სივრცითი ამო-

ცანების ცვლადთა განცალების მეთოდით ანალიზური ანუ ზუსტი ამო-

ხსნის ეფექტური მეთოდები. მართალია, რომ როგორც ზემოთ იყო

თქმული, ცვლადთა განცალების მეთოდიდს გამოყენება შეზღუდულია

იმით, რომ იგი გამოიყენება მხოლოდ კანონიკური სახის არეებისათვის,

ე.ი. არეებისათვის, რომლებიც შემოსაზღვრული არიან ამა თუ იმ ორთო-

გონალურ კოორდინატთა სისტემის საკოორდინატო ზედაპირებით, მას

მაინც დიდი ღირებულება აქვს. მისი გამოყენებისას უფრო ღრმად და

სრულად იჩენს თავს თერმოელექტროდრეკადი ველის დამახასიათებელი

თვისებები, ხოლო ამონახსნის აგებისას მათემატიკურ პროცედურებს

შეიძლება მიეცეს ზუსტი ფიზიკური ინტერპრეტაცია. გარდა ამისა,

ზუსტი ამოხსნა ერთადერთი მსაჯულია სხვადასხვა მიახლოებითი

მეთოდების შედარებებისას და მათი ეფექტურობის განსაზღვრისას.

ამიტომ თერმოელექტროდრეკადობის სხვადასხვა სასაზღვრო და სასაზღვ-

რო_საკონტაქტო ამოცანების ცვლადთა განცალების მეთოდით ამოხსნას

(იგულისხმება მრავალფენიანი მართკუთხა პარალელეპიპედის, წრიული

ცილინდრული სხეულების თერმოელექტროდრეკადი წონასწორობა),

რომელიც მოყვანილია სადისერტაციო ნაშრომში აქვს პრაქტიკული მნი-

შვნელობა. აგრეთვე უნდა აღინიშნოს ისიც, რომ მნიშვნელოვანია

როგორც ახალი მეთოდების დამუშავება, ასევე უკვე არსებული

15

მეთოდების სრულყოფა და ამიტომაც ეს საკითხი ყოველთვის იყო და

დარჩება აქტუალურ ამოცანად.

ნაშრომის მიზანი. სადისერტაციო ნაშრომის მიზანს წარმოადგენს

განზოგადებულ ცილინდრულ კოორდინატებში პრიზმატული სხეულე-

ბისათვის დაძაბულ-დეფორმირებული მდგომარეობის მათემატიკური

მოდელის შექმნა. მათემატიკურ მოდელი წარმოადგენს დიფერენციალურ

განტოლებათა სისტემას, რომელიც სათანადო სასაზღვრო და სასაზღვრო-

საკონტაქტო პირობებთან ერთად აღწერს სამგანზომილებიანი

პრიზმატული სხეულების დრეკად წონასწორობას.

ამ მიზნის მისაღწევად ნაშრომში დასმულია და ამოხსნილია

შემდეგი ამოცანები:

ა) ტრანსვერსალურად-იზოტროპული მართკუთხა ფილის ღუნვის

ამოცანა თერმული ველის გათვალისწინებით ;

ბ) ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში საკოორდინატო

პარალელეპიპედის თემოელექტროდრეკადი წონასწორობა;

ამ ამოცანების საფუძველზე დამუშავებულია შემდეგი

ალგორითმები:

ოპტიმალური წონის ანუ ოპტიმალური სისქის ფილის

გაანგარიშებისათვის;

მიღებული ამოხსნები შეიძლება გამოყენებული იყოს შებრუ-

ნებული ამოცანის გადასაწყვეტად. ამისათვის დამუშავებულია შესაბა-

მისი ალგორითმი.

კვლევის მეთოდები. სადისერტაციო ნაშრომის თეორიულ და

მეთოდოლოგიურ საფუძვლად გამოყენებულია მათემატიკური ფიზიკის

განტოლებები, ცვლადთა განცალების მეთოდი, სპეციალური ფუნქციების

თეორია, მწკრივების თეორია.

სამეცნიერო სიახლე. სადისერტაციო ნაშრომის შედეგების მეცნიე-

რული სიახლე მდგომარეობს მოდელების, მეთოდების დამუშავებაში.

განზოგადებულ კოორდინატთა სისტემაში აგებულია დრეკადობის

16

თეორიის ამოცანათა კლასისათვის ზოგადი ამონახსნი ( )Ω3C კლასში (

( )Ω3C წარმოადგენს Ω არეში სამჯერ უწყვეტად წარმოებად ფუნქციათა

კლასს), რომელიც ამ ტიპის სხეულებისათვის, სათანადო სასაზღვრო

პირობების დროს, სასაზღვრო ამოცანების ამონახსნების ეფექტურად

აგების საშუალებას იძლევა. გადაადგილებები და ძაბვები გამოისახებიან

მწკრივების სახით. მწკრივებში შემავალი კოეფიციენტები ცხადი სახით

წარმოიდგინებიან სათანადო ფურიეს კოეფიციენტების საშუალებით.

მიღებული შედეგები გამოიყენება პრაქტიკული ამოცანების

გადასაწყვეტად, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვთ სხვადასხვა

სამშენებლო კონსტრუქციების გაანგარიშებისას, მანქანათამშენებლობაში

და ა.შ.

ნაშრომის პრაქტიკული მნიშვნელობა. მიღებული შედეგების პრაქ-

ტიკული მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ ნაშრომში განხილული

ნაწილობრივი ჩამაგრებები I. არაბრტყელ წახნაგზე დაკრულია უჭიმადი

და უკუმშვადი გარსი (თუ წახნაგი ბრტყელია, მაშინ მასზე დაკრულია

ფირფიტა). II. არაბრტყელი წახნაგი ებჯინება აბსოლუტურად გლუვ და

ხისტ სხეულს. ცხადია, რომ სხეულის ზედაპირის ფორმა სავსებით

იდენტურია არაბრტყელი წახნაგის, რადგანაც არაბრტყელი წახნაგის

ყველა წერტილი უნდა ეხებოდეს სხეულის გლუვი ზედაპირის შესაბამის

წერტილებს. სხვანაირად პირველ შემთხვევაში წახნაგის წერტილებს არ

შეუძლიათ გადაადგილება ზედაპირის მხების გასწვრივ, მაგრამ

თავისუფლად გადაადგილდებიან ზედაპირის ნორმალის გასწვრივ. მეორე

შემთხვევაში წერტილებს არ შეუძლიათ ზედაპირის ნორმალის გასწვრივ

გადაადგილება, მაგრამ თავისუფლად გადადაადგილდებიან ზედაპირის

მხების გასწვრივ. ასეთი მიდგომა გვხვდება სამშენებლო კონსტრუქციებში,

ჰიდროტექნიკურ ნაგებობებში, მანქანათამშენებლობაში და ა.შ. კერძოდ,

პირველი ტიპის ჩამაგრებით შეიძლება სამშენებლო კონსტრუქციების

სახსრული (თავისუფალი) დაყრდნობის, მსუბუქი შემავსებლით სქელი

ფილის დაძაბულ-დეფორმირებული მდგომარეობის და ა.შ მოდელირება.

17

არანაკლებ მნიშვნელოვანია მეორე ტიპის ჩამაგრება. კერძოდ, ამ

შემთხვევაში შესაძლებელია გლუვი შტამპისა და დრეკადი სხეულის

კონტაქტის მოდელირება ან კიდევ ეგრეთ წოდებული სამშენებლო

კონსტრუქციების სრიალა ჩამაგრების მოდელირება. ერთი სიტყვით,

პირველი და მეორე ჩამაგრების პრაქტიკული მნიშვნელობა არა ნაკლებია

ვიდრე, მაგალითად კონსტრუქციის ხისტი ჩამაგრება და ისინი უფრო

ხშირად გამოიყენება.

დისერტაციის სტრუქტურული ერთეულების შინაარსი

ასეთია:

შესავალში წარმოდგენილია ნაშრომის მიზანი, დასაბუთებუ-

ლია განსახილველი ამოცანების აქტუალობა, მოცემულია ნაშრომის

სტრუქტურა და ძირითადი ნაწილების მოკლე შინაარსი.

განვიხილოთ საკვალიფიკაციო ნაშრომი შინაარსი თავების

მიხედვით.

პირველი თავის პირველი პარაგრაფი მიმოხილვითი

ხასიათისაა. მოცემულია იმ ნაშრომთა კრიტკული ანალიზი, რომლებიც

უშუალოდაა დაკავშირებული დისერტაცაში განხილულ საკითხებთან.

მოცემულია ამოცანის დასმა.

პირველი თავის მეორე პარაგრაფი ეძღვნება განზოგადებული

ცილინდრული კოორდინატთა სისტემით შემოსაზღვრული საკოორდინატო

ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულების დრეკად წონასწორობას( ნახ.–

18

ები 1;2;3,4) . ამავე პარაგრაგში განსაზღვრულია სასაზღვრო ამოცანების ის

კლასი, რომელიც შემდგომ შეისწავლება მთელ ნაშრომში, განზოგადებულ

ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში განიხილება მრუდწირული

საკოორდინატო პარალელეპიპედის თერმო-ელექტრო დრეკადი

წონასწორობა.

დრეკადი სხეული ტრანსვერსალურად იზოტროპულია ( ტრანსტრო-

პული სიმეტრიის სიბრტყედ მიღებულია z const= სიბრტყეები). პარალელე-

პიპედის ზედა და

ქვედა ფუძეებზე ( z=0

და z=z1 სიბრტყეებზე )

ტემპერატურული და

ელექტრულ შეშფოთე-

ბასთან ერთად შეი-

ძლება მოცემული იყოს

როგორც ძაბვები, ასევე

გადაადგილებები ან

მათი კომბინაცია.

გვერდით ზედაპირებ-

ზე კი მოცემულია სპეციალური სახის ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობები.

19

მიღებულია ლამეს განტოლებების ანალოგიური სისტემა,

რომელიც ჰუკის კანონთან ერთად ქმნის დრეკადი წონასწორობის გან-

მსაზღვრელ განტოლებათა სისტემას. მოცემულია გვერდით წახნაგებზე

სასაზღვრო პირობების ტექნიკური ინტერპრეტაცია. მეორე პარაგრაფში

ჩამოყალიბებულია რეგულარული ამოხსნის განსაზღვრება. u , v და w

ფუნქციებით განსაზღვრულ ამოხსნას ვუწოდოთ რეგულარული, თუ B u ,

v და w არიან სამჯერ უწყვეტად წარმოებადია Π არეში, სადაც Π არის

მრუდწირული პარალელეპიპედის შიგა არე jρρ = და jαα =

(გვერდითი) საზღვრების ჩათვლით. პარალელეპიპედის ზედა და

ქვედა ფუძეზე, ე.ი. როცა jzz = ისინი წარმოიდგინებიან თავიანთი

პირველი და მეორე რიგის წარმოებულებთან ერთად აბსოლუტურად და

თანაბრად კრებადი ფურიეს მწკრივების სახით (ფურიეს მწკრივი შტურმ-

ლიუვილის გარკვეული ამოცანების საკუთრივი ფუნქციების სახით.).

გარდა ამისა, პარალელეპიპედის გვერდით წახნაგებზე ( jρρ = , jαα = )

კმაყოფილდება წონასწორობის განტოლებები. ამავე პარაგრაფში

მტკიცდება კლასიკური და მოდიფიცირებული სასაზღვრო პირობების

ექვივალენტობა. მესამე პარაგრაფში მიღებულია დრეკადი ველის ყველა

20

კომპონენტის ფუნქციონალური წარმოდგენა ფუნქციების საშუალებით,

რომლებიც აკმაყოფილებენ განტოლებათა შემდეგ სისტემას

020

2

5

402 =

∂Ψ∂

+Ψ∆zc

c ,

−

−

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂∂−

−∂Ψ∂

−Ψ∆ ϕ4

31

4

22321

21

2

1

312 2

1ce

zczzcccc

zcc

−∂∂−

zcecec ϕ

1

2113

,01

103201 =−

− Tc

cc ββ,

.02

121

1

10

41

332

12

41

32

22

1

3

2

12

112

422 =−

∂∂

+∂∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+Ψ∆+Ψ∆ Tczc

ezcc

eczcc

czc

czcc

βϕϕ

სადისერტაციო ნაშრომის მეორე თავში, რომელიც ხუთი

პარაგრაფისაგან შედგება, ეძღვნება სქელი ტრანსვერსალურად–იზოტრო-

პული ფილის თერმოდრეკადი წონასწორობის პოვნას. პირველ პარაგრაფში

მოყვანილია ტრანსტროპული (ტრანსვერსალურად–იზოტროპული) ფილისა-

თვის თერმოელექტრო დრეკადობის წონასწორობის განტოლებები სხვადა-

სხვა სახით და განსახილავ სასაზღვრო ამოცანათა კლასის განმსაზღვრელი

სასაზღვრო პირობები. მეორე პარაგრაფში სქელი ფილისათვის მიღებულია

თერმოდრეკადობის წონასწორობის განტოლებები, მოყვანილია ზუსტი

ამონახსნები, მოცემულია სასაზღვრო ამოცანების დასმა. შემდეგ, მესამე

პარაგრფში, რომელიც ყველაზე ვრცელია და მნიშვნელოვაია ნაშრომში,

სქელი ფილისათვის განხილულია სპეციალური სახის ამოცანები თერმული

ველის გათვალისწინებით. მეოთხე პარაგრაფში განხილულია თავისუფლად

დაყრდნობილი სქელი ფილისათვის ღუნვის ანალოგიური ამოცანები თერ-

მული ველის გათვალისწინებით. მეხუთე პარაგრაფში განხილულია

მრავალფენიანი სქელი ფილა. კერძოდ, ხუთფენიანი ფილისათვის

მიღებული მეთოდით ამოხსნილია სასაზღვრო–საკონტაქტო ამოცანა.

მესამე თავი, რომელიც ორი პარაგრაფისაგან შედგება, ეხება

სასაზღვრო ამოცანებს ცილინდრული სხეულებისათვის თერმოდრეკადი

წონასწორობის პოვნას. იგულისხმება, რომ სხეული შემოსაზღვრულია

ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემის საკოორდინატო ზედაპირებით.

21

ნაშრომში განხილული ამოცანები ზოგიერთი საინჟინრო ამოცანების

ამოხსნის საშუალებას იძლევა. მაგალითად, ნავთობის შესანახი

რეზერვუარების, ფუძე–საძირკველში ჩადებული სქელი ფილების დაძაბულ–

დეფორმირებულ მდგომარეობას. დასკვნაში მოყვანილია ნაშრომის

ძირითადი შედეგები.

ნაშრომის აპრობაცია. ნაშრომის ძირითადი შედეგები განხილული

იყო საქართველოს ტექნიკური უნივერსიტეტის სემინარებზე და საერთა-

შორისო სიმპოზიუმზე.

გამოქვეყნებული შრომები. დისერტაციის თემაზე გამოქვეყნებულია

6 ნაშრომი.

სამუშაოს სტრუქტურა და მოცულობა. ნაშრომი შედგება

შესავლისა და 3 თავისაგან, შეიცავს 118 ნაბეჭდ გვერდს, 13 ნახაზს.

ლიტერატურის ჩამონათვალი შეიცავს 97 დასახელებას 10 გვერდზე.

დასაცვად გასატნი შედეგები. დასაცავად გაიტანება შემდეგი

ამოცანები:

ა) ტრანსვერსალურად-იზოტროპული მართკუთხა ფილის

ღუნვის ამოცანა თერმული ველის გათვალისწინებით;

ბ) ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში საკოორდინატო

პარალელეპიპედის თემოელექტროდრეკადი წონასწორობა;

ამ ამოცანების საფუძველზე დამუშავებულია შემდეგი ალგორით-

მები:

ოპტიმალური წონის ანუ ოპტიმალური სისქის ფილის გაანგარი-

შებისათვის;

მიღებული ამოხსნები შეიძლება გამოყენებული იყოს შებრუ-

ნებული ამოცანის გადასაწყვეტად. ამისათვის დამუშავებულია შესა-

ბამისი ალგორითმი.

22

თავი I.

თერმოელექტრო დრეკადი წონასწორობა განზოგადებულ

ცილინდრულ კოორდინატებში

$1.1. ზოგადი მიმოხილვა

დრეკადობის თეორიის ძირითადი მიზანია სხეულზე გარე

დატვირთვის შედეგად მასში აღძრული შიგა ძალების და დეფორმაციის

განსაზღვრა, ანუ სხვანაირად იგი ამყარებს კავშირს მყარი ტანის

დაძაბულ-დეფორმირებულ მდგომარეობასა და გარე ძალებს

(დატვირთვებს) შორის. მექანიკური მოწყობილობებით შეიძლება გაიზო-

მოს ის ძალები, რომლებსაც შეუძლიათ სხეულში გამოიწვიონ კინემა-

ტიკური მახასიათებლების ცვლილებები, ანუ სხვა სიტყვებით გადა-

ადგილებები და გარკვეული სიგრძეების ცვლილებებს.

დრეკადობის თეორიას საფუძვლად დაედო ცდისეული ფაქტები,

თანაც ისეთი ფაქტები, რომელთა დროსაც მხოლოდ ფიზიკური მახასი-

ათებლები გაიზომებოდა. ეს მახასიათებლები მონაწილეობენ მოდელის

აღმწერ განტოლებებში და ხშირად ამ განტოლებებს მდგომარეობის გან-

ტოლებებსაც უწოდებენ. განტოლებათა სისტემა წარმოადეგენს მექანი-

კური მოვლენის მათემატიკურ მოდელს. ამგვარად დრეკადობის თეორია

შესაძლებელია მივაკუთვნოთ ფენომენოლოგიურ მეცნიერებათა რიცხვს.

დრეკადობის თეორიას, ისევე როგორც ნებისმიერ მექანიკურ

დისციპლინას საფუძვლად უდევს რამდენიმე ძირითადი სამუშაო ჰიპო-

თეზა ანუ სხვანაირად რამდენიმე ძირითადი პრინციპები და

შეთანხმებები.

დრეკადობის თეორიაN ხშირად ჰყოფენ ორ ძირითად ნაწილად:

1. დრეკადობის მათემატიკურ თეორიად ;

2. გამოყენებითი დრეკადობის თეორიად.

დრეკადობის მათემატიკურ თეორია არ იყენებს არავითარ

დეფორმაციულ ჰიპოთეზებს. მიღებულ განტოლებებს ხსნის ზუსტი ან

ისეთი მიახლოებითი მეთოდებით, რომლებიც საშუალებას იძლევა

23

ნებისმიერი სიზუსტით მივუახლოვდეთ ზუსტ ამოხსნას. დრეკადობის

გამოყენებით თეორიას გარდა იმ Hჰიპოთეზებისა, რომლებიც საფუ-

ძვლად უდევს მათემატიკურ თეორიას დამატებით გამოიყენებს სხვა

ჰიპოთეზებსაც, როგორიცაა მაგალითად, ბრტყელი ველის ჰიპოთეზა ან

ნორმალების ჰიპოთეზა ფირფიტებისა და გარსების თეორიაში და ა.შ.

დრეკადობის თეორიის ამოცანას ორი ძირითადი დასმა აქვს:

პირდაპირი, როდესაც იგულისხმება, რომ მოცემულია გარე

დატვირთვები, ან საზღვრის წერტილების გადაადგილებები, ან მათი

კომბინაციები. სხეულის ყველა შიგა წერტილში უნდა განისაზღვროს

ძაბვები, დეფორმაციები და გადაადგილებები, ანუ სხეულის დაძა-

ბული_დეფორმირებული მდგომარეობა.

შებრუნებული დასმისას მოცემულად ითვლება ძაბვები, ან

გადაადგილებები, ან დეფორმაციები და უნდა განისაზღვროს დანარჩენი

სიდიდეები, Mმათ შორის ის ძალებიც რომლებიც იწვევენ მოცემულ დაძა-

ბულ-დეფორმირებულ მდგომარეობას. ეს ამოცანა განსაკუთრებით

ადვილად გადაწყდება, თუ მოცემულია გადაადგილებები. თუკი

მოცემულია ძაბვები ანDდეფორმაციები, მაშინ უნდა ვაინტეგროთ კოშის

დამოკიდებულებები, რაც აგრეთვე არ წარმოადგენს სირთულეს და ამის

შემდეგ განისაზღვრება სხეულის დაძაბულ–დეფორმირებული

მდგომარეობა.

შევნიშნოთ, შესაძლებელი რომ ყოფილიყო გადაადგილების

ვექტორის კომპონენტების მოცემის ყველა შესაძლო ვარიანტის ამოწურვა,

მაშინ ჩვენ შევძლებდით ყოველი ვარიანტისთვის შესაბამის გარე

დატვირთვის დადგენას და იმ ვარიანტის განსაზაღვრსაც, რომელიც

შესაბამება მოცემულ დატვირთვას. ცხადია, მაშინ დრეკადობის თეორიის

პირდაპირი ამოცანის ამოხსნის აუცილებლობაც მოიხსნებოდა. მაგრამ

ნებისმიერი სამი ფუნქციის ყველა ვარიანტის მოცემის ამოწურვა, იმ

შემთხვევაშიც კი, როცა არე საკმაოდ შემოსაზღვრულია, სამწუხაროდ,

შეუძლებელია. ამიტომ ძირითადად გვიწევს პირდაპირი ამოცანის ამო-

24

ხსნა. ამ ამოცანის ამოხსნის ზოგადი მეთოდი კი ჯერჯერობით არ არის

შემუშავებული.

მიუხედავად იმისა, რომ დრეკადობის თეორიის

სამგანზომილებიანი ამოცანების კვლევა ჯერ კიდევ XIX საუკუნეში დაი-

წყო, საკმაოდ დიდი ხნის განმავლობაში კლასიკური დრეკადობის

თეორიის მეთოდები საკმარის არ იყო მკაცრი და საკმარისად სრული

სივრცითი სასაზღვრო ამოცანების გადასაწყვეტად. ამჟამად მდგომარეობა

არსებითად შეიცვალა და ცნობილია ამ ამოცანების კვლევის სხვადასხვა

მეთოდები. მიღებულია მრავალი მნიშვნელოვანი შედეგები. ეს შედეგები

ასახულია სხვადასხვა მონოგრაფიებში. მაგალითისათვის, შეიძლება

დავასახელოთ ფიკერას[1], ს. დეფორმოშის[2], ს. მიხლინის[3] ცნობილ

მონოგრაფიები, სადაც თეორიის აგება ხდება დიფერენციალურ

განტოლებათა განზოგადებულ ამოხსნათა თანამედროვე თეორიის (ჰილ-

ბერტის სივრცის მეთოდები, ვარიაციული მეთოდები) დახმარებით.

კლასიკური მექანიკის მეთოდების ბუნებრივ განვითარებას წარმოადგენს

მრავალგანზომილებიანი სინგულარული პოტენციალებისა და სინგულა-

რულ განტოლებათა თეორია. ეს მეთოდები საშუალებას იძლევა გამო-

კვლეული იქნეს თეორიისა და გამოყენებისათვის მნიშვნელოვანი შემ-

თხვევები. ისინი თავმოყრილია ვ. კუპრაძის, თ. გეგელიას, მ.

ბაშელეიშვილის და თ. ბურჭულაძის მონოგრაფიაში[4]. სივრცით ამოცა-

ნებს ეძღვნება აგრეთვე ა. ალექსანდროვის და ი. სოლოვევის[5], ა.

გუზის[6] და ი. ნემიშის[7], მ. კოლტუნოვის, ი. ვასილევის და ვ. ჩერ-

ნიხის[8], ი. პოდილჩუკის[9], ა. ულიტკოს[10] მონოგრაფიები.

სამგანზომილებიანი დრეკადობის თეორიის ცალკეული

მიმართულებით განვითარების შესახებ დაწერილია ვრცელი მიმოხილვი-

თი ნაშრომები : ბ. აბრამიანისა და ა. ალექსანდროვის[11], გ. ნოიბერის

[12] და გ.ჰანის [13], ა. ლურიეს[14] და სხვების მიერ. განსაკუთრებულ

Yყურადღებას იმსახურებს ა. კალანდიას[15], გ. მანჯავიძის[16], ბ. პროკო-

პოვის[17] და ი. უფლიანდის [18] მიმოხილვითი სტატიები. ამ სტატიებში

25

ჩატარებულია ღრმა ანალიზი წრფივი დრეკადობის თეორიის ძირითადი

მეთოდებისა და მნიშვნელოვანი შედეგების შესახებ. ზემოთ მოხსენე-

ბულ მიმართულებებს ეყრდნობა მძლავრი თანამედროვე მიახლოებითი

მეთოდები _ სასრული ელემენტების მეთოდი (ზენკევიჩის [19], პოსტ-

ნოვის და ხარხურიმის [20]), სასზღვრო ელემენტების მეთოდი საფუ-

ძვლიანად არის განხილული კრუზის და რიცოს [21] ნაშრომში, ბენჯე-

რისა და ბატერფიდის მონოგრაფიაში[22]. რაც შეეხება სასრულ სხვაობიან

მეთოდებს, ამ მეთოდის გარშემო აუარებალი ლიტერატურის დასახელება

შეიძლება. თანამედროვე მძლავრმა გამოთვლითმა ტექნიკამ შესაძლო

გახადა ამ მეთოდების გამოყენება დრეკადობის მათემატიკური თეორიასა

და გამოყენებითი დრეკადობის თეორიის მრავალი საინტერესო

პრობლემის გადასაჭრელად.

დრეკადობის თეორიაში. როგორც იზოტროპული, ასევე ანიზო-

ტროპული, კერძოდ კი, ტრანსვერსალურად-იზოტროპული სხეულე-

ბისათვის მნიშვნელოვან როლს თამაშობს წონასწორობის განტოლებების

ამონახსნების ზოგადი წარმოდგენები. ამასთან ხშირად ამტკიცებენ, თითქოს

ასეთი წარმოდგენები უნყოფოა, რადგან გამოყენებული ფუნქციებით გამო-

სახული სასაზღვრო პირობების დაკმაყოფილება რთულდება. მაგრამ საკო-

ორდინატო სისტემის სათანადო შერჩევისას ზოგადი წარმოდგენები

წარმოადგენს ეფექტურ და მიზანშეწონილ ხერხს. უფრო მეტიც, დრეკადო-

ბის თეორიის ეფექტური და ანალიზური ამოხსნების უმეტესი რაოდენობა

მიღებულია სწორედ ამ ზოგადი ამონახსნების დახმარებით. ამჟამად „ზოგა-

დი წარმოდგენებით“ საკმაოდ ხშირად სარგებლობენ, განსაკუთრებით კი

დრეკადობის თეორიის სივრცითი ამოცანების ამოხსნისას. მართლაც, ამ საკი-

თხისადმი მრავალი ნაშრომი არის მიძღვნილი. ევროპელი მეცნიერების [23]-

[25], [26]-[32],[12], [34], [35], რუს მეცნიერთა ნაშრომები [36], [37], [38],

[39],[40],[41], [42]-[46], უკრაინული მექანიკისთა ნაშრომები [47], [48],[ 49].

რაც შეეხება ქართველი მათემატიკოსებისა და მექანიკოსების ნაშრომებს, მათ

შესახებ ინფორმაცია მოყვანილია მონოგრაფიებში [50] და [4].

26

1948 წელს ელიოტმა ამოხსნა დრეკადობის თეორიის ღერძსიმე-

ტრიული ამოცანა ტრანსვერსალურად- იზოტროპული (ტრანსტროპული)

სხეულისათვის ორი ფუნქციის დახმარებით, რომლებიც მეორე რიგის

დიფერენციალურ განტოლებებს აკმაყოფილებდნენ[76]. ეს ამოხსნები შემდეგ

სხვა ავტორებმაც გამოიყენეს კონკრეტული ამოცანების ამოსახსნელად. ასე

მაგალითად ბაბლოიანმა [77],[78]. [79]-[80] ამოხსნილია სასაზღვრო

ამოცანები უსასრულო ტრანსტროპული ცილინდრისათვის, როდესაც მის

ცილინდრულ ზედაპირზე მოცემულია სპეციალური სახის დატვირთვები.

ამასთან გეომეტრიული და დრეკადი სიმეტრიის ღერძები ერთმანეთს

ემთხვევა. ს. ლეხნიცკიმ თავის წიგნში შემოგვთავაზა ტრანსტროპული

ბრუნვითი სხეულის ღერძსიმეტრიული დეფორმაციის თეორია[43]. ამ

თეორიით ისარგებლა C. V. Yoaganand -მ და ამოხსნა ამოცანა უსასრულო

ცილინდრისათვის, რომლის გვერდითი ზედაპირი თავისუფალია

დატვირთვისაგან, გარდა 2l სიგანის ზოლისა, სადაც მოცემულია მუდმივი

რადიალური გადაადგილება[81].

Byrnes-მა და Arcer-მა[82] იზოტროპიული მასალებისათვის

ამოხსნის ხერხი [83] განაზოგადეს ტრანსტროპული მასალებისათვის. ამ

მეთოდით ამოხსნეს კონკრეტული სასაზღვრო ამოცანა ტრანსტროპული

ცილინდრისათვის.

ჩენი ნაშრომში[84] რამდენადმე შეცვალა ელიოტის მიერ მიღე-

ბული ზოგად ამონახსნები[76], შემოყვანა რა ახალი ცვლადები და პოტენცი-

ალური ფუნქციები, ელიოტის მიერ მიღებული ფუნქციების მაგივრად. რაც

შეეხება სასაზღვრო ამოცანებს ცილინდრისათვის, ნახევარსივრცისათვის და

ფენისათვის, ისინი ამოხსნილია სხვადასხვა ავტორის მიერ[85]-[87].

ცხადია, რომ ზემოთ მოყვანილი ჩამონათვალი არ არის სრული, ის

მხოლოდ ასახავს თუ რამდენადაა აქტუალური ის საკითხები, რომლებსაც

განიხილავს ავტორი. უნდა აღინიშნოს ისიც, რომ ამ ნაშრომებიდან უმეტე-

სობა ეძღვნება უსასრულო სხეულებს.

27

სივრცითი ამოცანების ამოხსნისას, როგორც უკვე არაერთხელ

აღვნიშნეთ, ერთ–ერთი მთავარ მეთოდია ფურიეს ანუ ცვლადთა განცალე-

ბის მეთოდი. იგი დაფუძნებულია თეორემებზე მათემატიკური ფიზიკის

განტოლებების ამოხსნების გაშლისა ორთოგონალური ფუნქციების

სხვადასხვა სისტემებში. აქ პრაქტიკულად არ გვხვდება ისეთი სისტემები,

რომლებიც არ იყვნენ შესაბამისი შტურმ-ლიუვილის ამოცანის საკუთრივი

ფუნქციები.

ფურიეს მეთოდს, როგორც წესი, გამოიყენებენ საკოორდინატო

ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულების დრეკად _ დეფორმირებული

მდგომარეობის კვლევისას. ცხადია, რომ ამ საკორდინატო სისტემებში შე-

საძლებელი უნდა იყოს შესაბამის განტოლებებში ცვლადების განცალება.

ეს მეთოდი განსაკუთრებულად ეფექტურად გამოიყენება იმ შემთხვევაში,

როდესაც საკორდინატო ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულის

საზღვრის ნაწილზე მოცემულია ერთგვაროვანი პირობები. ფურიეს

მეთოდის გამოყენებისას ხშირად სარგებლობენ წონასწორობის განტოლე-

ბების ზოგადი ამონახსნებით პაპკოვიჩ - ნოიბერის ფორმით. ეს ფორმა

ემყარება გადაადგილების ვექტორის დაშლას სოლენოიდალურ და

პოტენციალურ ველებად(იხ. ვ. ნოვაცკი [50]). ამ ამონახსნში მონაწილეობენ

ჰარმონიული ფუნქციები. თავად ამონახსნი მოცემულია სპეციალური ფუნ-

ქციების, მწკრივებისა და ინტეგრალების (ანუ ფაქტიურად კვლავ

მწკრივების) სახით. თუ ამ მწკრივების კოეფიციენტები გამოითვლება ცხადი

სახით, მაშინ ასეთ ამონახსნებს ეწოდება ზუსტი ამონახსნები. იმ ამოცანების

კლასის დასადგენად, სადაც ვღებულობთ ზუსტ ამონახსნებს დიდი მნიშვნე-

ლობა აქვს ამონახსნთა სტრუქტურას, რომელიც თავის მხრივ

დამოკიდებულია განმსაზღვრელ განტოლებათა სახეზე, სხეულის ფორმაზე,

სასაზღვრო ამოცანის ტიპზე, დატვირთვებისა და ფორმების სიმეტრიაზე და

დრეკადი ველის დაშლას ხელსაყრელ ინგრედიენტებად.

ასე მაგალითად, პაპკოვიჩ -ნეიბერის ზოგადი ამონახსნები,

რომელსაც ხშირად იყენებენ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა

28

სისტემაში იზოტროპიულ შემთხვევაში, მიიღება წონასწორობის

განტოლებების ე.წ. დივერგენციულ-როტორულ ფორმიდან[33]. დივერგენ-

ციისა და გადაადგილების ვექტორის კომპონენტებში ჩაწერილი

წონასწორობის განტოლებების სისტემა წარმოადგენს კოში-რიმანის

განზოგადებულ სისტემას, რომელიც, კერძო წარმოებულიანი განტოლებათა

აზრით, შესწავლილია ა. ბიწაძის[56] მიერ. მიუხედავად ამისა ამ სისტემით

მყარი დეფორმირებადი სხეულების მექანიკაში მომუშავე მკვლევარები

საკმაოდ დიდი ხნის განმავლობაში უშუალოდ არ სარგებლობდბნენ. ამ

სისტემას იყენებენ ა. ულიტკო[9], ი. პოდილჩუკი[8] ბ. ნულერი[52]. კერძოდ

ა. ულიტკომ ამოხსნა ამოცანები ნახევარსივრცისათვისა და უსასრულო

ფენისათვის. ი. პოდილჩუკი აგებს რა ზოგად ამონახსნებს, მათი დახმარებით

ხსნის სასაზღვრო ამოცანებს სამგანზომილებინი სხეულებისათვის (ელიფსო-

იდი, პარაბალოიდისათვის და ა.შ.). ბ. ნულერი უწოდებს რა თავის მეთოდს

უბნობრივ-ერთგვაროვან ამოხსნათა მეთოდს, მას გამოიყენებს მაშინ,

როდესაც სხეულის გვერდით ზედაპირებზე გვაქვს სხვადასხვა სახის

შერეული პირობები, ხოლო ტორსებზე. - ნებისმიერი პირობები.

დრეკადობის თეორიის ამოცანების კვლევისას და ამონახსნების

აგებისას დიდი მნიშვნელობა ენიჭება გარკვეულ სიმეტრიებს. ვგულისხმო-

ბთ, როგორც სხეულის ფორმის, ასევე გარე შეშფოთებების სიმეტრიას. გ.

ბირკჰოფი თავის წიგნში[97] უწყვეტი გარემოს მექანიკის ძირითად ჰიპოტე-

ზებს მიაკუთვნებს შემდეგ პრინციპს: ზემოქმედების სიმეტრია განაპირო-

ბებს ეფექტის სიმეტრიას. ამ პრიციპს მრავალი მკვლევარი იყენებს, ასე მაგა-

ლითად, იხ. [50], ე. ნიკოშინი[53], გ. შაპირო [54]. გ. ბეიკერი და მ.

პავლოვიჩი[55] გარე დატვირთვის სიმეტრია-ანტისიმეტრიის თვისებების

გამოყენებით ამოხსნა ამოცანა ბრტყელი დეფორმირებული მდგომარე-

ობისათვის. ამვე დროს ისინი გაკვირვებით აღნიშნავდნენ, რომ გამოიყენეს

ხერხი, რომელიც მატიემ გამოიყენა და მიღებულიშედეგები გამოაქვეყნა

1890 წელს[56]. მას შემდეგ კი თითქმის ასმა წელმა გაიარა და ეს ხერხი არავის

არ გამოუყენებიაო.

29

ამ საკითხებს ბუნებრივად უკავშირდება ამონახსნების სიმეტრი-

ული და ანტისიმეტრიული გაგრძელების საკითხები გარკვეული არიდან.

1964 წელს ე. ობოლაშვილი გამოაქვეყნა შრომა [57], რომლშიც მის მიერ

დამტკიცებულია თეორემა იზოტროპიულ შემთხვევაში ლამეს სისტემის

რეგულარული ამონახსნის სიმეტრიული და ანტისიმეტრიული გაგრძელების

შესახებ და ამ თეორემის გამოყენების შედეგად ამოხსნა სასაზღვრო

ამოცანები ნახევარსივრცისა და მეოთხედი სივრცისათვის. ამ თეორემაში

სასაზღვრო ზედაპირი, რომელზედაც დასმული უნდა იყოს სიმეტრიული ან

ანტისიმერიული გაგრძელების პირობები, წარმოადგენს სიბრტყის ნაწილს.

თავად პირობები კი ერთგვაროვანია. პირველ შემთხვევისთვის მოცემულია,

რომ გადაადგილების ნორმალური მდგენელი და ძაბვის ტენზორის მხები

კომპონენტებია ნულის ტოლი. მეორე შემთხვევაში კი ნულის ტოლია ძაბვის

ტენზორის ნორმალური კომპონენტი და გადაადგილების ვექტორის მხები

მდგენელები. ოთხი ავტორის მონოგრაფიაში[4], მას უწოდებენ დრეკადობის

თეორიის მესამე და მეოთხე ძირითადი ამოცანები. ანიზოტროპული

სხეულებისათვის ისინი შეისწავლა მ. ბაშელეიშვილმა[58]. ბრტყელი

იზოტროპული სხეულებისათვის ანალიზურ ფუნქციათა მეთოდით ამოხსნა

დ. შერმანმა[59]. ერთი კერძო სახის ამოცანა არაერთგვაროვნი

სხეულისათვის ამავე მეთოდით ამოხსნა ზ. სირაძემ[60].

სიმეტრიული ან ანტისიმეტრიული გაგრძელების სისტემური

გამოყენება პირველად ნ. ხომასურძემ დაიწყო. ჯერ კიდევ მის ადრეულ შრო-

მებში (გასული საუკუნის 60-70 -ან წლებში) უკვე ჩანს, რომ ის სისტემატუ-

რად იყენებს ამ პირობებს სასაზღვრო ამოცანების ამოსახსნელად

ფირფიტებისა და გარსებისათვის[62]-[65]. 1983 წელს ნ. ხომასურიძემ

გამოაქვეყნა შრომა[66]. ამ ნაშრომში მან, დეკარტის, ცილინდრულ და

სფერულ კოორდინატთა სისტემაში ტრანსტროპული სხეულების წონასწო-

რობის განტოლებებისათვის მიიღო ზოგადი ამონახსნების წარმოდგენები.

მანამდე ნ. ხომასურიძემ იზოტროპული სხეულებისათვის სხვადასხვა

ორთოგონალურ კოორდინატთა სისტემებში მიიღო დივერგენციული-

30

როტორული ფორმა წონასწორობის განტოლებების. ააგო მათი ზოგადი

ამონახსნები და გამოიყენა სასაზღვრო-საკონტაქტო ამოცანების

ამოსახსნელად [67]-[70]. დრეკადი ველის კომპონენტების ფუნქციონალური

წარმოდგენები აიგება სამი ჰარმონიული ფუნქციის საშუალებით ისეთი

სახით, რომ ზემოთ ხსენებულ საკოორდინატო სისტემების ზედაპირებით

შემოსაზღვრული სხეულებისათვის დასმული სასაზღვრო-საკონტაქტო

ამოცანების ერთი კლასისათვის მიიღო სრული ამოხსნა. ამ კლასის

ამოცანებისათვის არსებითია, რომ საკოორდინატო პარალელეპიპედიას ექვსი

ზედაპირიდან ოთხზე მოცემული იყოს სიმეტრიულად ან

ანატისიმეტრიულად გაგრძელების პირობები, ხოლო მრუდწირული

ზედაპირის შემთხვევაში დივერგენციული-როტორული სახის სასაზღვრო

პირობები. [71] ნაშრომში ნ. ხომასურიძის მეთოდი განზოგადებულია

ელექტროდრეკადობის თეორიის წონასწორობის განტოლებებისათვის.

$ 1.2. ძირითადი განტოლებები, სასაზღვრო პირობები განზოგადებულ

ცილინდრულ კოორდინატებში

შესავალი. იზოტროპული ერთგვაროვანი ფენის დრეკადი

წონასწორობა ჯერ კიდევ ლამემ და კლაპეირონმა განიხილა. შემდგომ

კვლევებში ხდებოდა ერთი მხრივ ამ ავტორების მიერ მიღებული

ამოხსნების გამარტივება, მეორე მხრივ კი მათი განზოგადოება. ამ საკი-

თხისადსმი მიძღვნილ ამოცანათა საკმაოდ დიდი ჩამონათვალი მოყვანი-

ლია მონოგრაფიებში [10], [18].

ყველა მითითებულ შრომებში უმეტეს შემთხვევაში ამოცანის

ამოხსნები აიგებოდა ორმაგი ინტეგრლური გარდაქმნის ფორმულების

დახმარებით იზოტროპული ფენისთვის ტემპერატურული შეშფოთების

გაუთვალისწინებლად. ამ თავის პირველ ორ თავში ფურიეს მეთოდის

და ორმაგი მწკრივების, დახმარებით აგებულია თერმოელექტრო

დრეკადობის [48], [90],[91] სტატიკური სასაზღვრო და სასაზღვრო-

საკონტაქტო ამოცანების ამოხსნები ( ) 1 0, , : ;oz Rρ α ρ ρ ρ α αΠ = ∈ < < < <

31

1 1, 0 z zα< < < მრუდწირული საკოორდინატო პარალელეპიპედისათვის

(ფაქტობრივად, მრუდწირულ საკოორდინატო პარალელეპიპედში, იგუ-

ლისხმება საკოორდინატო ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეული), სა-

დაც z,, αρ _ განზოგადებული ცილინდრული კოორდინატებია

( αρ , _ ორთოგონალური კოორდინატებია სიბრტყეზე, ხოლო z _

წრფივი კოორდინატია). შემდგომ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ z = 0 და

z = z 1 ზედაპირებზე ტემპერტულ და ელექტრულ შეშფოთებასთან ერთად

შეიძლება მოცემული იყოს როგორც ძაბვები, ასევე გადადგილებები ან

მათი კომბინაცია. გვერდით ( 1010 ,,, ααααρρρρ ==== ) ზედაპირებზე

კი მოცემულია სპეციალური სახის ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობები.

აქვე შევნიშნოთ, რომ ქვემოთ განხილულ სასაზღვრო ამოცანებში, როდე-

32

საც ზედაპირი არის სიბრტყე სპეციალური სახის პირობა გარდაიქმნება

მესამე სასაზღვრო ამოცანის შესაბამის სასაზღვრო პირობად. თუ სხეული

მრავალფენოვანია, მაშინ constz = საკონტაქტო ზედაპირებია. შემდგომ

ვიგულისხმებთ, რომ დრეკადი სხეული ან მრავალფენიანი სხეულის

ფენები ტრანსტოპულია (ტრანსვერსალურად-იზოტროპული). აქვე აღვნი-

შნოთ, რომ ტრანსტროპული ეწოდება სხეულს, რომლის დრეკადი

თვისებები მოცემული ღერძისა და მისი ნებისმიერი პერპენდიკულა-

რული მიმართულებით განსხვავეებულია, ხოლო აღნიშნული ღერძის

ნებისმიერ მართობულ სიბრტყეში არ არის დამოკიდებული მიმართულე-

ბის არჩევაზე. ამ უკანასკნელს სიბრტყეს იზოტროპიის სიბრტყე ეწოდე-

ბა და ჩვენს შემთხვევაში constz = _ იზოტროპიის სიბრტყე.

ამგვარად, ამ თავში განხილული იქნება (მიუხედავად იმისა,

რომ სხეულის გვერდით ზედაპირებზე სპეციალური სახის ერთგვაროვანი

პირობებია) უსასრულო ფენის დრეკადი წონასწორობის ამოცანის განზო-

გადება მისი ამოხსნის მეთოდის გამარტივების გზით [72]. გამარტივება

მიიღწევა იმის გამო, რომ 1) სასაზღვრო და საკონტაქტო ზედაპირებზე

მოცემული კლასიკური პირობების Eექვივალენტური პირობების

შეცვლით ; 2) ორმაგი ინტერალური გარდაქმნების მაგივრად ორმაგი

მწკრივების გამოყენება.

ამოხსნათა ეფექტურობის შესახებ შეიძლება შემდეგი აზრი

გამოვთქვათ: თუ მოცემულ არეში ცვლადთა განცალების მეთოდით

(ფურიეს მეთოდით) შეიძლება ეფექტურად აიგოს ლაპლასის განტოლე-

ბის ამოხსნა, მაშინ ასეთივე ეფექტურობით, ამავე არეში და ამავე Mმეთო-

დით შეიძლება განისაზღვროს აღნიშნული სხეულების თერმოელექტრო

დრეკადი წონასწორობა.

z,,αρ საკორდინატო სისტემის ლამეს კოეფიციენტებია [92]:

22

∂∂

+

∂∂

===ρραρyxhhh , 1=zh

და

33

0=∂∂

−∂∂

αρyx

, 0=∂∂

+∂∂

ραyx

011=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

ααρρh

hh

h,

სადაც x, y _ დეკარტის კოორდინატებია.

თერმოელექტროდრეკადობის დიფერენციალური განტოლებათა

სისტემას აქვს შემდეგი სახე [29], [30]:

( ) ( ),01) 2

2

=∂∂

−∂

∂+

∂

∂+

∂

∂α

ραρρ σρ

τατ

ρσ h

zh

hh

ha z

( ) ( ),01)

22 =

∂∂

−∂

∂+

∂

∂+

∂∂

ρρααα σ

αρττ

ασ hh

hzh

hb z (2.1)

( ) ( ),0) 2 =

∂∂

+∂

∂+

∂∂

ατ

ρ

τσ αρ zzz hhz

hc

( ) ( ),011

22 =∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zD

zDh

hDh

hzαρ

ρ (2.2)

(2.1) განტოლებები _ განზოგადებულ ცილინდრულ

კოორდინატთა სისტემაში ჩაწერილი ჩვეულებრივი დრეკადი წონასწორო-

ბის განტოლებებია. (2.2) განტოლებები კი ელექტროსტატიკის

განტოლებებია. ამ განტოლებებში zσσσ αρ ,, _ძაბვის ნორმალური

მდგენალებია, , ,zρ α ρτ τ zατ _ძაბვის მხები მდგენელებია. zDDD ,, αρ _

ელექტრული D

ინდუქციის ვექტორის მდგენელები z,, αρ საკოორ-

დინატო წირების მხებების გასწვრივ.

გადაადგილებებსა და ძაბვებს შორის კავშირს ანუ ჰუკის კანონს

(მას ზოგი ავტორი ფიზიკურ კანონსაც უწოდებს) განზოგადებულ ცილ-

ინდრულ კოორდინატთა სისტემაში აქვს სახე [91]

( ) ,2 1013511 TEecccc zzz βεεεσ ααρρρ −−+−+=

( ) ,2 1013151 TEecccc zzz βεεεσ ααρρα −−++−=

( ) ,20223 TEecc zzzz βεεεσ ααρρ −−++= (2.3)

,34 ααα ετ Eec zz −= ,34 ρρρ ετ Eec zz −= ,5 αραρ ετ c=

34

,13 ρρρ ε EeD z ∋+= ,13 ααα ε EeD z ∋+=

( ) .221 zzzz EeeD ∋+++= εεε ααρρ

,,, zzεεε ααρρ ,αρρα εε = ,ρρ εε zz = zz αα εε = _დეფორმაციიის

ტენზორის კომპონენტებია; ρE , zE αE _ ელექტრული E

ველის ვექტორის

კომპონენტებია და ϕ ელექტრული პოტენციალით ასე გამოისახება

ϕgradE −=

[90]. ( 1,2,3,4,5)ic i = _მუდმივი ელექტრული ველისას გაზომი-

ლი დრეკადობის მუდმივებია; ,je (j = 1, 2, 3) _ პიეზოელექტრული მუდ-

მივებია; 21 , ∋∋ _ მუდმივი დეფორმაციების დროს დიელექტრული გამტარობის

მუდმივებია; ( ) ]2[ 3315110 βββ ccc +−= , ]2[ 221302 βββ cc += 21 , ββ _

იზოტროპიის სიბრტყეში და z ღერძის გასწვრივ წრფივი სითბური

გაფართოების კოეფიციენტებია[28]. სხეულში T ტემპერატურა

აკმაყოფილებს შემდეგ განტოლებას

02

2

2

12 =

∂∂

+∆zTT

λλ

(2.4)

და შესაბამის სასაზღვრო პირობებს. 1λ და 2λ _სითბოგამტარებლობის

კოეფიციენტებია იზოტროპიის სიბრტყეში და z – გასწვრივ;

∂∂

+∂∂

=∆ 2

2

2

2

221

αρh; გავითვალისწინოთ, რომ დეკარტის მართკუთხა

x,y,z კოორდინატთა სისტემაში h = 1, ხოლო ρ∂∂

შეიცვლება x∂∂,α∂∂

კი

y∂∂

; წრიულ r, ά , z ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში ოპერაცია

ρ∂∂

შეიცვლება r

r∂∂[72].

გადაადგილებებსა და დეფორმაციებს შორი კავშირს აქვს

შემდეგი სახე:

( )ρ

ε ρρ ∂∂

=hu

, ( )α

εα ∂∂

=vh

, ( )

zh

zz ∂∂

=wε , (2.5)

αεα ∂

∂+

∂∂

=w1v

hzz , ρ

ε ρ ∂∂

+∂∂

=w1

hzu

z ,

∂∂

+

∂∂

=hu

αρε ρα h

v,

35

სადაც u, v, w _ გადაადგილების ვექტორის კომპონენტებია z,, αρ

საკოორდინატო წირების მხებების გასწვრივ.

თუ გავითვალისწინებთ (2.3) და (2.5) ტოლობებს, მაშინ (2.1)

სისტემა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი სახით [72], [36]:

( ) ( )

,

hhh1w)

1

103203

1

3113zz2

1

2321

1

3

−∂∂

+

+

∂∂−

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂−

+∂∂

Tc

ccz

zcecec

zzcccc

Kcc

za

ββ

ϕατ

ρτ αρ

( )zh) 0 ,K Bb

zρτ

ρ α

∂∂ ∂− + =

∂ ∂ ∂ (2.7)

( ),0

h) z =

∂∂

+∂∂

+∂∂

zKBc αταρ

( ) ( ),01hh

h1)

54

zz2 =

∂∂

−

∂

∂−

∂∂

Bcz

cdατ

ρτ ρα

სადაც

( ) ( ) ,wv) 10131 Tz

ez

chhucKa βϕαρ

−∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

=

( ) ( ) ,v1) 25

∂∂

−∂∂

=αρhuh

hcBb (2.8)

.1w1v) 34 α

ϕα

τ α ∂∂

+

∂∂

+∂∂

=h

ehz

cd z

აღსანიშნავია, რომ (1.7d) წარმოადგენს იგივეობას [72].

შემოვიღოთ აღნიშვნები:

( ) ,.vw1) 4

∂∂

−∂∂

=z

hh

cBaαρ

( ) ( )41 w) , 2.9

hub B c

h zα ρ∂ ∂

= = ∂ ∂

( ) ( ) ,v1) 25

∂∂

−∂∂

=αρhuh

hcBc z

36

( ) ( ) ( )1 3 4 10 12

v1 w2 (2.10)z

hu hK c c c T e

h zφβ

ρ α∂ ∂ ∂ ∂

= + + + − + ∂ ∂ ∂ ∂

და გავითვალისწინებთ, რომ

,1w11v2) 334 α

ϕαα

ϕτ ρρα ∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

+=h

eh

Bh

ez

cBa z

( ) ( ) ,121w12) 3434 ρ

ϕρϕ

ρτ ααρ ∂

∂+

∂∂

+−=∂∂

+∂

∂+=

he

zucB

heh

hcBb z

,v12u1212v12) 525525 ρραρ

τ ρα ∂∂

+∂∂

−−=∂∂

+∂∂

−=h

chh

cBuh

chh

cBc zz

მაშინ (1.1) წონასწორობის განტოლებები ასე ჩავწეროთ:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 21 2 3 43 4

2 21 1

20 1 3 4 3 4 1 1 22

1 1

2 2 2

32 2 2 2

2 hB2 w 1)z h

2 21

1 ,

c c c cc c Kac z c

hB c c c c c e c eTh c z c

ez h

α

ρ

ρ

βα

φ φ φρ α

− + ∂+ ∂ ∂+ − +

∂ ∂ ∂

∂ − + + −∂+ = + ×

∂ ∂

∂ ∂ ∂× − + ∂ ∂ ∂

( )

,0B~)

2

3 =∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

−∂∂

ze

zhBKb z

ρϕ

αρα (2.11)

( ),0

~B)2

3 =∂∂

∂+

∂∂

−∂∂

+∂∂

ze

zhBKc zz

αϕ

αρ

( ) ( ) ( ).0) 2

22

5

4 =∂

∂+

∂∂

+∂

∂

zBh

cchBhB

d z

αραρ

(2.11d) ტოლობაც აგრეთვე წარმოადგენს იგივეობას.

Q ქვემოთ მოგვყავს ის სასაზღვრო პირობები, რომლებიც შემდგომ

განსაზღვრავენ განსახილავი სასაზღვრო ამოცანების კლასს. მათ შემდეგი

სახე აქვთ. ამისათვის განვიხილოთ თერმოელექტროდრეკადი წონასწორო-

ბა მრუდწირული საკოორდინატო პარალელეპიპედი. მას, როგორც ზემოთ

აღვნიშნეთ, უკავია არე:

( ) 1 0 1 1, , : ; ;0oz R z zρ α ρ ρ ρ α α αΠ = ∈ < < < < < <

სასაზღვრო პირობებს შემდეგი სახე აქვთ:

37

როცა : ) 0, 0, 0, 0, 0,

) 0, 0, v 0, w 0, 0

j zTa u B D

b T K

ρ ρρ ρ τρ

ϕ

∂= = = = = =

∂= = = = =

an

.

(2.12)

როცა an,0,0,0,0v,0): =====∂∂

= αατα

αα DBTa zj (2.13)

0 0,w0,u,0,0) ===== ϕKTb

( ) ( )

( )

1 2

3

: ) , , ) , ,

) , ,

j j j

j j

Tz z a F b T F

Tc T F

ρ α ρ αα

ρ αα

∂= = =

∂∂

+ Θ =∂

roca an an

(2.14)

roca ( ) ( )4 5: ) , , , ;j j z jz z a F b D Fj r a r a= = =an ) D (2.15)

( ) ( ) ( ) an roca ,,,,,,): 876 αρταρταρσ αρ jzjzjZj FhFhFazz ====

an),,(fv),,(),,(f wb) j32j1 αραραρ === hfhu j (2.16)

an),,(fv),,(),,() j326 αραραρσ === hfhuFc jjz

).,(F),,(),,(w) j876 αρταρταρ αρ === zjzj hFhFd

აქ j = 0, 1. ამასთან 0 0 0.ox y z= = = ),(),,( αραρ jljl fF ფუნქციებზე

დადებულ პირობებზე ქვემოთ გვექნნება ლაპარაკი; აქ აღვნიშნავთ მხო-

ლოდ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ პარალელეპიპედის წიბოებზე შეთანხმე-

ბულობის პირობებს. ასე მაგალითად,

რამდენიმე სიტყვა ზემოთ მოყვანილ მრუდწირული საკოორ-

დინატო პარალელეპიპედის (შემდგომ გამოვიყენოთ აბრევიატურა „მსპ“)

ექვს საერთოდ, რომ ვთქვათ არაბრტყელ წახნაგებზე სასაზღვრო

პირობების და ფიზიკური მოდელის შესახებ. სხვა სიტყვებით, რომ

ვთქვათ, როგორია მრუდწირული საკორდინატო პარალელეპიპედის

დაძაბული– დეფორმირებული მდგომარეობის მათემატიკური მოდელი.

38

ნაშრომში განხილული ამოცანების ფიზიკური მოდელი შეიძლე-

ბა ასე ჩამოვაყალიბოთ:

ვიპოვოთ ორთოგონალური მრუდწირული საკორდინატო პარა-

ლელეპიპედის დაძაბულ-დეფორმირებული მდგომარეობა, როდესაც მის

ორ პარალელურ წახნაგზე გარდა თერმული და ელექტრული ველისა,

აგრეთვე მოცემულია ზედაპირული შეშფოთება ძაბვების, გადა-

ადგილებების ან მათი კომბინაციის სახით, ხოლო დანარჩენი წახნაგები

ნაწილობრივ ჩამაგრებულია და თერმო-ელექტროიზოლირებულია ან

ტემპერატურა ნულის ტოლია.

ნაწილობრივ ჩამაგრებაში იგულისხმება, რომ ამ წახნაგებზე

სრულდება ზემოთმოყვანილი (2.12) და (2.13) სასაზღვრო პირობები. ამ

სასაზღვრო პირობების ტექნიკური ინტერპრეტაცია კი შემდეგნაირია: 1)ან

არაბრტყელ წახნაგზე დაკრულია უჭიმადი და უკუმშვადი გარსი ( თუ

წახნაგი ბრტყელია, მაშინ მასზე დაკრულია ფირფიტა) 2) ან არაბრტყელი

წახნაგი ებჯინება აბსოლუტურად გლუვ და ხისტ სხეულს. ცხადია, რომ

სხეულის ზედაპირის ფორმა სავსებით იდენტურია არაბრტყელი წახნა-

გის, რადგანაც არაბრტყელი წახნაგის ყველა წერტილი უნდა ეხებოდნენ

სხეულის გლუვი ზედაპირის შესაბამის წერტილებს. სხვანაირად პირველ

შემთხვევაში წახნაგის წერტილებს არ შეუძლიათ გადაადგილება ზედა-

პირის მხების გასწვრივ, მაგრამ თავისუფლად გადაადგილდებიან ზედა-

პირის ნორმალის გასწვრივ. მეორე შემთხვევაში წერტილებს არ შე-

უძლიათ ზედაპირის ნორმალის გასწვრივ გადაადგილება, მაგრამ თავი-

სუფლად გადადაადგილდებიან ზედაპირის მხების გასწვრი.

მართლაც, რადგან არა ბრტყელ წახნაგზე დაკრულია უჭიმადი

და უკუმშვადი გარსი (თუ წახნაგი ბრტყელია, მაშინ მასზე დაკრულია

ფირფიტა), ამიტომ შეგვიძლია მივიღოთ, v = 0, w = 0, ან u = 0, w = 0, ან u =

0, v= 0. აქედან K =0.

მეორე შემთხვევაში, რადგან სხეული აბსოლუტურად გლუვ და

ხისტ სხეულს, ამიტომ გადაადგილების ვექტორის ნორმალური მდგენე-

39

ლი ნულის ტოლია, ხოლო აბსოლუტური სიგლუვის გამო 0, 0zB ρτ= = ,

ან 0B = , 0, 0zB ατ= = ან 0, 0z zρ ατ τ= = .

პირველი და მეორე ტიპის ნაწილობრივი ჩამაგრებები გვხვდება

სამშენებლო კონსტრუქციებში, ჰიდრიტექნიკურ ნაგებობებში, მანქანათა-

მშენებლობაში და ა.შ. კერძოდ, პირველი ტიპის ჩამაგრებით შეიძლება

სამშენებლო კონსტრუქციების სახსრული (თავისუფალი) დაყრდნობის,

მსუბუქი შემავსებლით სქელი ფილის დაძაბულ-დეფორმირებული მდგო-

მარეობის და ა.შ მოდელირება. არანაკლებ მნიშვნელოვანია მეორე ტიპის

ჩამაგრება. კერძოდ, ამ შემთხვევაში შესაძლებელია გლუვი შტამპისა და

დრეკადი სხეულის კონტაქტის მოდელირება ან კიდევ ეგრეთ წოდებული

სამშენებლო კონსტრუქციების სრიალა ჩამაგრების მოდელირება. ერთი

სიტყვით პირველი და მეორე ჩამაგრების პრაქტიკული მნიშვნელობა არა

ნაკლებია ვიდრე, მაგალითად კონსტრუქციის ხისტი ჩამაგრება და ისინი

უფრო ხშირად გამოიყენება.

დაბოლოს შევნიშნოთ, რომ რაც უფრო მცირეა ცილინდრული

სასაზღვრო jρρ = ზედაპირის სიმრუდე, მით უფრო მცირედია განსხვა-

ვება (2. 12a). (2.13b) პირობების შესაბამისი,

0 0, T 0, w0,v,0)

0,0,0,0,0)

=====

==∂∂

===

ϕσρ

ττ

ρ

ρραρ

b

DTua z da (2.17)

პირობებისაგან, როცა jρρ = . (2.12a). (2.12b) პირობები

ექვივალენტურია (2.17a) და (2.17b) პირობებისა იმ შემთხვევაში, როდესაც

jρρ = - სიბრტყეა.

$ 1.3. კლასიკური და მოდიფიცირებული სასაზღვრო პირობების

ეკვივალენტობა. რეგულარული ამოხსნა

წონასწორობის განტოლებები ზემოთ მიღებული ფორმა და

სასაზღვრო პირობების სპეციალური კლასი საშუალებას იძლევა მივიღოთ

(2.6)-(2.7) სისტემის სრული ამოხსნა. უფრო მეტიც, რომ შევძლოთ ამ

ნაშრომში დასმული სასაზღვრო ამოცანების ამოსახსნელად ფურიეს

40

მეთოდი ხელსაყრელია მივიღოთ (2.16) სასაზღვრო პირობების ეკვივალე-

ნტური პირობები, რომელიც წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით.

როცა

1

2

1

2

1

2

1

: ) ( , ), ( , ) ( , ),

( , ) ( , );

) w ( , ), ( , v) ( , ),

( v, u) ( , );

) w ( , ), ( , ) ( , ),

( , ) ( , );

) ( , ), ( , v)

j z j z z j

z z j

j j

j

j z z j

z z j

z j j

z z a F h h F

h h F

b f h u h f

h h f

c f h h F

h h F

d F h u h f

ρ α

α ρ

ρ α

α ρ

σ ρ α τ τ ρ α

τ τ ρ α

ρ α ρ α

ρ α

ρ α τ τ ρ α

τ τ ρ α

σ ρ α

= = Γ =

Γ =

= Γ =

Γ =

= Γ =

Γ =

= Γ =

2

( , ),

( v, u) ( , ),jh h f

ρ α

ρ αΓ =

(3.1)

სადაც ( ) ( ) ,1,,1, 122122

212211

∂∂

−∂∂

=Γ

∂∂

+∂∂

=Γαραρgg

hgggg

hgg ამასთან

ρτ zhg =1 ან hug =1 ,

ατ zhg =2 ან v2 hg = . მივიღოთ, რომ Fფუნქციები

( ),jF ρ α და ( ),jF ρ α თვითონ, ხოლო ( )αρ ,jF , ( ),jf ρ α და ( ),jf ρ α

წარმოიდგინებიან თავიანთი პირველი და მეორე რიგის წარმოებულებთან

ერთად აბსოლუტურად და თანაბრად კრებადი ფურიეს მწკრივების

სახით (ფურიეს მწკრივი შტურმ- ლიუვილის გარკვეული ამოცანების

საკუთრივი ფუნქციების სახით.). ეს Fფაქტი აღვნიშნოთ ასე

( ) ( )30, v, wu C∈ Π . ჩვენი მიზანია მივიღოთ სასაზღვრო ამოცანების რეგუ-

ლარული ამოხსნა. ამიტომ, ჩამოვაყალიბოთ, თუ რა გვესმის რეგულარუ-

ლი ამოხსნის ცნებაში.

(2.7)-(2.8) სისტემის u,v და w ფუნქციებით განსაზღვრულ

ამოხსნას ვუწოდოთ რეგულარული, თუ u,v და w არიან სამჯერ

უწყვეტად წარმოებადი Π არეში,სადაც Π არის Π მრუდწირული

პარალელეპიპედის შიგა არე jρρ = და jαα = საზღვრების ჩათვლით.

პარალელეპიპედის ზედა და ქვედა ფუძეზე, ე.ი., როცა jzz = ისინი

წარმოიდგინებიან თავიანთი პირველი და მეორე რიგის წარმოებულებთან

ერთად აბსოლუტურად და თანაბრად კრებადი ფურიეს მწკრივების

სახით (ფურიეს მწკრივი შტურმ– ლიუვილის გარკვეული ამოცანების

41

საკუთრივი ფუნქციების სახით.). გარდა ამისა, პარალელეპიპედის

გვერდით წახნაგებზე ( jρρ = , jαα = ) კმაყოფილდება წონასწორობის

განტოლებები.

ჩვენ ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ (2.15) და (3.1) სასაზღვრო პირობები

ეკვივალენტურია. ამისათვის უნდა ვაჩვენოთ, რომ ( ) <<∈=Π ρραρ oR :,

101, αααρ <<< არეში შემდეგ სასაზღვრო ამოცანას

;0,0 1221 =∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

αραρgggg

(3.2)

როცა 1 2

2 1: ) 0, 0 ) 0, 0;jg ga g b gρ ρρ ρ

∂ ∂= = = = =

∂ ∂an

(3.3)

როცა 2 11 2: ) 0, 0 ) 0, 0.j

g ga g b gα αα ρ

∂ ∂= = = = =

∂ ∂an (3.4)

კელდიშ-სედოვის თეორემის[39] თანახმად, (3.2), (3.3),(3.4)

სასაზღვრო ამოცანას, გარდა სასაზღვრო ამოცანებისა (3.2), (3.3 a),(3.4b) და

(3.2), (3.3b), (3.4 a), აქვს შემდეგი ამოხსნა

1 20, 0.g g= =

რაც შეეხება (3.2), (3.3 a), (3.4 b) სასაზღვრო ამოცანას, მას აქვს

შემდეგი სახი ამოხსნა

1 10 2, 0.g g const g= = = (3.5)

ხოლო (3.2), (3.3 b), (3.4 a) სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნა კი ასე წარმო-

იდგინება:

1 2 200, .g g g const= = = (3.6)

ამ შემთხვევაში (2.6), (2.7), (2.4), (2.14), (2.12 a), (2.13 b), (3.1)

სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნას უნდა დაემატოს ამოხსნა

zb bw 0,w,04

21 c

hhu +=== , (3.7)

ხოლო (2.6), (2.7), (2.4), (2.14), (2.12 b), (2.13 a), (3.1) სასაზღვრო ამოცანის

ამოხსნას კი უნდა დაემატოს ამოხსნა

42

43

4

bv 0, w 0, hu bc

h z= = = + . (3.8)

ამრიგად ეკვივალენტობა დამტკიცდა.

$ 1.4. განმსაზღვრელ განტოლებათა სისტემა.

განმსაზღვრელ განტოლებათა მისაღებად (2.7) სისტემის მეორე,

მესამე და მეოთხე განტოლებები გავაწარმოოთ შესაბამისად ρ–თი, α–თი

და z –თი და შევკრიბოთ, მივიღებთ

02

2

5

42 =

∂∂

+∆zB

ccB

(4.1)

სადაც

∂∂

+∂∂

=∆ 2

2

2

2

221

αρh.

წარმოვადგინოთ BB შემდეგი სახით:

20

2

5

4

zccB

∂Ψ∂

= (4.2)

სადაც 0Ψ აკმაყოფილებს განტოლებას

020

2

5

402 =

∂Ψ∂

+Ψ∆zc

c (4.3)

შემდგომში ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ასეთი წარმოდგენა შეიძლება

მივიღოთ ზოგადობის შეუზღუდავად.

შევიტანოთ B გამოსახულება (2.7) _ს მეორე, მესამე და მეოთხე

განტოლებებში, მივიღებთ:

.0

,0

,0

02

5

402

5

4

02

5

4

02

5

4

=

∂∂Ψ∂

−∂∂

=

∂∂Ψ∂

+∂∂

=

∂∂Ψ∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂Ψ∂

−∂∂

+∂∂

zcch

zcch

zcch

zK

zcch

zK

zz

z

z

ατ

αρτ

ρ

ρτ

α

ατ

ρ

ρα

α

ρ

(4.4)

სრული დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით

არსებობს ისეთი z∂Ψ∂ 1 ფუნქცია, რომ

43

.

,

,

02

5

412

02

5

412

21

2

zcc

zh

zcc

zh

zK

z

z

∂∂Ψ∂

−∂∂Ψ∂

=

∂∂Ψ∂

+∂∂Ψ∂

=

∂Ψ∂

−=

ρατ

αρτ

α

ρ (4.5)

შევიტანოთ წინა გამოსახულება (2.8) _ში, მივიღებთ

.011v

,01v1w

,01w1

1

5

1

5

1

5

1

4

1

4

1

5

=

∂Ψ∂

−∂∂

−

∂Ψ∂

+∂∂

=

∂Ψ∂

+∂∂

+

∂Ψ∂

−∂∂

=

∂Ψ∂

−∂∂

+

∂Ψ∂

−∂∂

ααρρ

ρα

ρα

chu

ch

ch

zzc

zcchu

z

(4.6)

აქაც სრული დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით,

არსებობს ისეთი 2Ψ ფუნქცია, რომ

.121

,121 v

,121 w

01

42

0

51

42

4

31

41

42

αρ

ρα

ϕ

∂Ψ∂

+

Ψ+Ψ

∂∂

=

∂Ψ∂

−

Ψ+Ψ

∂∂

=

−∂Ψ∂

+

Ψ+Ψ

∂∂

−=

cchu

cch

ce

zccz

(4.7)

თუ (4.5) და (4.7)_ს შევიტანთ (2.7), (2.8)_ში, მივიღებთ 2Ψ _ს

და 3Ψ _ს ფუნქციების განსასაზღვრავად სისტემას

,

21

1

103201

2

2

1

2113

4

31

4

22321

21

2

1

312

zT

ccc

zcecec

ce

zczzcccc

zcc

z

∂∂−

+

+∂∂−

=

−

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂∂−

−∂Ψ∂

−Ψ∆∂∂

ββ

ϕϕ

(4.8)

.02

121

1

10

41

332

12

41

32

22

1

3

2

12

112

422 =−

∂∂

+∂∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+Ψ∆+Ψ∆ Tczc

ezcc

eczcc

czc

czcc

βϕϕ

ვაინტეგროთ (4.8) განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება

z _ით. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ

44

−

−

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂∂−

−∂Ψ∂

−Ψ∆ ϕ4

31

4

22321

21

2

1

312 2

1ce

zczzcccc

zcc

−∂∂−

zcecec ϕ

1

2113

),(1

103201 αρββ

fTc

cc=

−− ,

(4.9)

,02

121

1

10

41

332

12

41

32

22

1

3

2

12

112

422 =−

∂∂

+∂∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+Ψ∆+Ψ∆ Tczc

ezcc

eczcc

czc

czcc

βϕϕ

სადაც ( ),f ρ α არის ინტეგრების შედეგად გაჩენილი ნებისმიერი

ფუნქცია.

ადვილი საჩვენებელია, რომ ზოგადობის შეუზღუდავად

( ),f ρ α შეიძლება ნულის ტოლად ჩავთვალოთ. მართლაც (4.3) და (4.9)

შეადგენენ სისტემას, რომლის ზოგადი ამოხსნა წარმოიდგინება, როგორც

შესაბამის ერთგვაროვანი სისტემის ზოგად ამოხსნას დამატებული რაიმე

კერძო ამოხსნა. ვეძებოთ ეს კერძო ამოხსნა ასეთი სახით:

*

4

*3

**2

*1 2

1,,0 χϕχϕϕc

−=== ,სადაც ),(*2 αρχ f=∆ . მარტივად მოწმდება,

რომ იგი მართლაც (4.9) _ის ამოხსნაა, ხოლო თუ გავითვალისწინებთ

(4.7)_ს, მივიღებთ, რომ ამ ამოხსნის შესაბამისი გადაადგილების

ვექტორის მდგენელები .0 w v === ∗∗∗u მაშასადამე, ( ),f ρ α შეიძლება

ნულის ტოლად ჩავთვალოთ და საბოლოოდ დრეკადი ველის განმსაზ-

ღვრელი სისტემაა:

020

2

5

402 =

∂Ψ∂

+Ψ∆zc

c ,

−

−

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂∂−

−∂Ψ∂

−Ψ∆ ϕ4

31

4

22321

21

2

1

312 2

1ce

zczzcccc

zcc

−∂∂−

zcecec ϕ

1

2113

1 20 3 10

1

0,c c Tc

β β−− =

(4.10)

.02

121

1

10

41

332

12

41

32

22

1

3

2

12

112

422 =−

∂∂

+∂∂

−∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+Ψ∆+Ψ∆ Tczc

ezcc

eczcc

czc

czcc

βϕϕ

45

თავი 2.

თერმოელექტროდრეკადობის ზოგიერთი ამოცანა

მართკუთხა კორდინატთა სისტემაში

$ 2.1. წონასწორობის განტოლებები. სასაზღვრო ამოცანების დასმა

დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განვიხილოთ

საკოორორდინატო პარალელეპიპედის თერმოელექტროდრეკადი წონასწორობა.

განსახილავ სხეულს უკავია შემდეგი არე

( ) .0;0;0:,, 111 zzyyxxRzyx ≤≤≤≤≤≤∈=Π

თერმოელეტრო დრეკადი სხეული არის ტრანსვერსალურად

იზოტროპული (ტრანსტროპული სიმეტრიის სიბრტყედ მივიღოთ

z const= სიბრტყე) უწინარეს ყოვლისა გამოვყოთ სასაზღვრო ამოცანების ის

სპეციალური კლასი, რომელსაც შემდგომში განვიხილავთ. პარალელეპიპე–

ნახ. 6. მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის სქელი ფილა

დის ზედა და ქვედა ფუძეზე (z = 0 და z =z1 სიბრტყეებზე) მოცემულია ან

ძაბვები, ან გადაადგილებები, ან მათი კომბინაცია. გვერდით ზედაპირზე

46

(x=0, x=x1, y=0, y=y1) მოცემულია სპეციალური ტიპის ერთგვაროვანი

სასაზღვრო პირობები, ე.წ. ამონახსნის სიმეტრიული ან ანტისიმეტრიული

გაგრძელების პირობები.

თუ უგულებელვყოფთ მოცულობით ძალებს, ტრანსტროპული

სხეულის, თერმოელექტრო დრეკადი წონასწორობა აღიწერება შემდეგი

განტოლებებით [89], [90]:

,0) =

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

zyxa zxxyx ττσ

,0) =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

xzyb yxzyy ττσ

(1.1)

,0) =∂

∂+

∂∂

+∂∂

yxzc zyzxz ττσ

,0=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

zD

yD

xD zyx (1.2)

(1.1) განტოლებები _ დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა

სისტემაში ჩაწერილი ჩვეულებრივი დრეკადი წონასწორობის განტოლებე-

ბია. (1.2) განტოლებები კი ელექტროსტატიკის განტოლებებია. ამ განტო-

ლებებში zyx σσσ ,, _ძაბვის ნორმალური მდგენელებია, yzxzxy τττ ,, _ ძაბ-

ვის მხები მდგენელებია. zyx DDD ,, _ ელექტრული D ინდუქციის ვექ-

ტორის მდგენელები zyx ,, საკორდინატო ღერძების გასწვრივ.

დეფორმაციებსა და ძაბვებს შორის კავშირს დეკარტის მართკუ-

თხა კოორდინატთა სისტემაში აქვს შემდეგი სახე [89]

( ) ,2 1013511 TEecccc zzzyyxxx βεεεσ −−+−+=

( ) ,2 1013151 TEecccc zzzyyxxy βεεεσ −−++−=

( ) ,20223 TEecc zzzyyxxz βεεεσ −−++= (1.3)

,34 yyzyz Eec −= ετ ,34 xxzxz Eec −= ετ ,5 xyxy c ετ =

,13 xxzx EeD ∋+= ε ,13 yyzy EeD ∋+= ε

( ) ,221 zzzyyxxz EeeD ∋+++= εεε

47

სადაც ,,, zzyyxx εεε ,yxxy εε = ,zxxz εε = yzzy εε = _ დეფორმაციიის ტენზო-

რის კომპონენტებია ; xE , yE , zE _ ელექტრული E

ველის ვექტორის კომ-

პონენტებია და ϕ ელექტრული პოტენციალით ასე გამოისახება

ϕgradE −=

[90]. ( ), 1,2,3,4,5ic i = _ მუდმივი ელექტრული ველისას გაზო-

მილი დრეკადობის მუდმივებია; ,je (j = 1, 2, 3) _ პიეზოელექტრული მუდ-

მივებია; 21 , ∋∋ _ მუდმივი დეფორმაციების დროს დიელექტრული გამტარო-

ბის მუდმივებია; ( ) ]2[ 3315110 βββ ccc +−= , ]2[ 221302 βββ cc += , 21 , ββ

იზოტროპიის სიბრტყეში და z ღერძის გასწვრივ წრფივი სითბური

გაფართოების კოეფიციენტებია[28]. სხეულში T ტემპერატურა

აკმაყოფილებს შემდეგ განტოლებას

02

2

2

12 =

∂∂

+∆zTT

λλ

(1.4)

შესაბამისი სასაზღვრო პირობებით. 1λ და 2λ _სითბოგამტარებლობის

კოეფიციენტებია იზოტროპიის სიბრტყეში და z – გასწვრივ;

2

2

2

2

2 yx ∂∂

+∂∂

=∆ ;

გადაადგილებებსა და დეფორმაციებს შორი კავშირს აქვს შემ-

დეგი სახე:

xu

xx ∂∂

=ε , yyy ∂

∂=

vε , zzz ∂

∂=

wε ,

yzyz ∂

∂+

∂∂

=wv

ε , xz

uxz ∂

∂+

∂∂

=wε ,

yu

xxy ∂∂

+∂∂

=vε , (1.5)

სადაც ( ) w v,u,U

_ გადაადგილების ვექტორია.

თუ გავითვალისწინებთ (1.3) და (1.5) ტოლობებს, მაშინ (1.1)

სისტემა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი სახით [72]:

48

2 2 2z3 1 2 3 z 3 1 1 3 3 20 3 10

2 21 1 1 1

z

z

zy zx 4

5

w) ,

) 0 ,

) 0,

) 0,

yx

x

y

c K c c c c e c e c c Tac z c z x y c z c zK Bbx y zB Kcx y z

c Bdc z

ττ φ β β

τ

τ

τ τρ α

∂∂ − ∂ ∂ − ∂ − ∂+ + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− + =∂ ∂ ∂

∂∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− − =∂ ∂ ∂

(1.6)

სადაც

1 3 1 10

5

4 3

4 3

v w) ,

v) ,

w) ,

v w) .

zx

zy

ua K c c e Tx y z z

ub B cx yuc c ez x x

d c ez y y

φ β

φτ

φτ

∂ ∂ ∂ ∂= + + + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂= − ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + ∂ ∂ ∂

(1.7)

აღსანიშნავია, რომ (1.6d) წარმოადგენს იგივეობას.

შემოვიღოთ აღნიშვნები:

4

4

5

w v) ,

w) ,

v) ,

x

y

z

a B cy zub B cz x

uc B cx y

∂ ∂= − ∂ ∂

∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂

= − ∂ ∂

(1.8)

( )1 3 4 10 1v w2 .

zuK c c c T ex y z

φβ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ (1.9)

და გავითვალისწინებთ, რომ

,wv2) 334 y

ey

By

ez

cBa xxzy ∂∂

+∂∂

+−=∂∂

+∂∂

+=ϕϕτ

,2w2) 3434 x

ezucB

xe

xcBb yyzx ∂

∂+

∂∂

+−=∂∂

+∂∂

+=ϕϕτ

(1.10)

5 5

v) 2 2 ,xy z zuc B c B cy y

τ ∂ ∂= + = − +

∂ ∂

მაშინ (1.1) წონასწორობის განტოლებები ასე ჩავწეროთ:

49

( )

( )

( )

2 21 2 3 43 4

21 1

20 1 3 4

1

2 2 23 4 1 1 2

32 2 21

22 w)z

B 2

2,

y x

c c c cc c Kac z c

c c cB Ty c z

c c e c ee

c z x y

βρ

φ φ φ

− ++ ∂ ∂+ −

∂ ∂

∂ − +∂ ∂− + = +∂ ∂ ∂

+ − ∂ ∂ ∂+ − + ∂ ∂ ∂

,0B~

)2

3 =∂∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−∂∂

zye

zB

yxKb yz ϕ

(1.11)

,0

~B)

2

3 =∂∂

∂+

∂∂

−∂∂

+∂∂

zye

zB

yK

xc zz ϕ

.0) 2

2

5

4 =∂∂

+∂

∂+

∂∂

zB

cc

yB

xB

d zyx

(111d) აქაც აგრეთვე წარმოადგენს იგივეობას.

ქვემოთ მოგვყავს ის სასაზღვრო პირობები, რომლებიც შემდგომ

განსაზღვრავენ განსახილავი სასაზღვრო ამოცანების კლასს. მათ შემდეგი

სახე აქვთ ამისათვის განვიხილოთ თერმოელექტროდრეკადი

წონასწორობა საკოორდინატო პარალელეპიპედი. მას, როგორც ზემოთ

აღვნიშნეთ, უკავია არე:

( ) .0;0;0:,, 111 zzyyxxRzyx <<≤≤≤≤∈=Π

განვიხილოთ Π საკოორდინატო პარალელეპიპედის

თერმოელექტრო დრეკად წონასწორობას შემდეგი სასაზღვრო

პირობებით:

როცა an,0,0,0,0,0): =====∂∂

= xzxj DBuxTaxx τ

(1.12)

.0 0,w,0v,0,0) ===== ϕKTb

როცა an,0,0,0,0v,0): =====∂∂

= yzyj DByTayy τ

(1.13)

50

0 0,w0,u,0,0) ===== ϕKTb

( ) ( )

( ) ,,)

,,),,):

3

21

yxFTyTc

yxFTbyxFyTazz

jj

jjj

=Θ+∂∂

==∂∂

= ananroca

(1.14)

( ) ( )4 5: ) , , ) , .j j z jz z a F x y b D F x yφ= = =roca an

(1.15)

( ) ( ) ( )6 7 8

j1 2 j3

6 7 j8

6 2 j3

: ) , , , , , ,

b) w ( , ), ( , ), v ( , ),

) w ( , ), ( , ), F ( , ),

) ( , ), ( , ), v ( , ) .

j Z j zx j zy j

j

j zx j zy

z j j

z z a F x y F x y F x yf x y u f x y f x y

c F x y F x y x yd F x y u f x y f x y

σ τ τ

τ τ

σ

= = = =

= = =

= = =

= = =

roca an

an

an (1.16)

აქ j = 0, 1. ამასთან 00 =z , - მოცემული მუდმივებია.

),(),,( yxfyxF jljl ფუნქციებზე დადებულ პირობებზე ქვემოთ გვექნნება

ლაპარაკი; აქ აღვნიშნავთ მხოლოდ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ პარალე-

ლეპიპედის წიბოებზე შეთანხმებულობის პირობებს.

რამდენიმე სიტყვა ზემოთ მოყვანილ საკორდინატო

პარალელეპიპედის ექვს წახნაგებზე სასაზღვრო პირობების და ფიზიკური

მოდელის შესახებ სხვა სიტყვებით, რომ ვთქვათ, როგორია

საკორდინატო პარალელეპიპედის დაძაბული-დეფორმირებული მდგომა-

რეობის მათემატიკური მოდელი. ნაშრომში განხილული ამოცანების

ფიზიკური მოდელი შეიძლება ასე ჩამოვაყალიბოთ:

ვიპოვოთ ორთოგონალური საკოორდინატო პარალელეპიპედის

დაძაბულ-დეფორმირებული მდგომარეობა, როდესაც მის ორ პარალეურ

წახნაგზე გარდა თერმული და ელექტრული ველის, აგრეთვე მოცემუ-

ლია ზედაპირული შეშფოთება ძაბვების, გადაადგილებების ან მათი კომ-

ბინაციის სახით, ხოლო დანარჩენი წახნაგები ნაწილობრივ ჩამაგრებულია

და თერმო-ელექტროიზოლირებულია ან ტემპერატურა ნულის ტოლია.

ახლა ვაჩვენოთ, რომ (1.12), (1.13) პირობები ეკვივალენტურია ე.წ.

III და IV სასაზღვრო ამოცანების ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობების

[4]. ჯერ განვიხილოთ (1.12a) და (1.13a) პირობები.

51

როცა jx x= ,მაშინ ( , , ) 0ju x y z = , ამიტომ 0jj x xx x

u uy z ==

∂ ∂= =

∂ ∂;ასევე

0K = ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ v 0jx x

uz y

=

∂ ∂− = ∂ ∂

, აქედან

v 0jx xx =

∂=

∂, ამიტომ 0

jxy x x

τ=

= , მაშასადამე, jx x= წახნაგებზე, გვაქვს 0u = ,

0xyτ = და 0xzτ = , ე.ი გადაადგილების ნორმალური მდგენელი და ძაბვის

მხები კომპონენტები ნულის ტოლია. ეს კი არის სწორედ ერთგვაროვანი

სასაზღვრო პირობები, რომლებიც, ე. ობოლაშვილის თეორემის ძალით

[57 ] წარმოადგენენ jx x= წახნაგზე სიმეტრიით გაგრძელების პირობებს.

პირუკუ, თუ 0u = , 0xyτ = და 0xzτ = , მაშინ 0u = , 0xyτ = და 0K = . ამით

ეკვივალენტურობა დამტკიცებულია. სიტყვა-სიტყვით დამტკიცდება ამ

პირობებისა და III ერთგვაროვანი პირობის ეკვივალენტურობა jy y=

წახნაგებზე.

ახლა განვიხილოთ (1.12b) და (1.13b) პირობები. როცა jx x= ,

და v( , , ) 0jx y z = , w( , , ) 0jx y z = , მაშინ v v 0jj x xx xy z ==

∂ ∂= =

∂ ∂,

w w 0jj x xx xy z ==

∂ ∂= =

∂ ∂

. აქედან 5v2 0

x

jx x

K cy

σ=

∂= − =

∂. ე.ი. გვაქვს 0, v 0, w = 0xσ = = . ეს კი IV

ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობაა. ე. ობოლაშვილის თეორემის

ძალით ეს ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობაა. ადვილი საჩვე-

ნებელია, რომ თუ 0, v 0, w = 0xσ = = , მაშინ v 0jx xy =

∂=

∂, ე.ი. 0K = . აქაც

ისევე როგორც წინა შემთხვევეშიB დამტკიცდება ამ პირობის და IV

ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობის ეკვივალენტობა N jy y=

წახნაგებზე.

52

ამგვარად, დამტკიცდა, რომ მოცემული სასაზღვრო

პირობები პარალელეპიპედის გვერდით წახნაგებზე ეკვივალენტურია,

შესაბამისად, III და IV ერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობებისა. თუ

როგორია ამ სასაზღვრო პირობების ტექნიკური ინტერპრეტაცია, ამის

შესახებ ზემოთ უკვე იყო თქმული.

$ 2.2. თერმოდრეკადი წონასწორობის განტოლებები და

სასაზღვრო პირობები

ამ და შემდეგ პარაგრაფებში განვიხილავთ სქელი ფილის

თერმოდრეკად წონასწორობას. პირველ რიგში აღვნიშნოთ, რომ ფილა

ტრანსტროპულია (ტრანსვერსალურ-იზოტროპული). თერმული ველი

სტაციონალურია. მასზე არ მოქმედებს ელექტრული ველი. (1.7) _(1.8)

გამოსახულებები გადავწეროთ შემდეგი სახით:

,w)1

103203zz2

2

1

2321

1

3

zT

ccc

yxzcccc

zK

cc

a yx

∂∂−

=∂

∂+

∂∂

+∂∂−

+∂∂ ββττ

,0) z =

∂∂

+∂∂

−∂∂

zyB

xKb xτ

(2.1)

,0) z =

∂

∂+

∂∂

+∂∂

zyK

xBc yτ

,0)

5

4zxzy =∂∂

−∂∂

−∂

∂

zB

ccd

ατ

ρτ

სადაც

,wv) 1031 T

zc

yxucKa β−

∂∂

+

∂∂

+∂∂

=

,v) 5

∂∂

−∂∂

=yu

xcBb (2.2)

,w) 4

∂∂

+∂∂

=xz

ucc zxτ

53

.wv) 4

∂∂

+∂∂

=yz

cd zyτ

წონასწორობის განტოლებების მიღებული ფორმა და

სასაზღვრო ამოცანების გამოყოფილი სპეციალური კლასი საშუალებას

იძლევა მივიღოთ ზემოთ მოყვანილი სისტემის სრული ამოხსნა.

ამოხსნებისათვის მიღებული წარმოდგენები აიგებიან ისეთი ფუნქციების

საშუალებით, რომლებიც წარმოადგენენ რაც შეიძლება მარტივი და ცნო-

ბილი განტოლებების ამოხსნებს.

განვმარტოთ, თუ რას ვგულისხმობთ (2.1)-(2.2) სისტემის

რეგულარულ ამოხსნაში. სისტემის u,v და w ფუნქციებით განსაზღვრულ

ამოხსნას ეწოდება რეგულარული, თუ u,v და w არიან სამჯერ უწყვეტად

წარმოებადი Π არეში, სადაც Π არის მართკუთხა პარალელეპიპედის

შიგა არე jx x= და jy y= საზღვრების ჩათვლით. პარალელეპიპედის

ზედა და ქვედა ფუძეებზე ( jz z= წახნაგებზე) ისინი წარმოიდგინებიან

თავიანთი პირველი და მეორე რიგის წარმოებულებთან ერთად

აბსოლუტურად და თანაბრად კრებადი ფურიეს მწკრივების სახით.

გარდა ამისა, ვინაიდან გვერდით წახნაგებზე გვაქვს სიმეტრიული და

ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობები, მათზე სრულდება

წონასწორბის განტოლებები. ამ ფაქტს ასე აღვნიშნავთ : 30( , v, w) ( )u C∈ Π .

გავაწარმოოთ (2.1) _ის მეორე, მესამე და მეოთხე განტოლებები

შესაბამისად x _ით, y _ით, z _ით და მიღებული გამოსახულებები შევკ-

რიბოთ. გვექნება

24

2 25

0c BBc z∂

∆ + =∂ , (2.3)

სადაც 2 2

2 2 2x y∂ ∂

∆ ≡ +∂ ∂

.

წარმოვადგინოთ B შემდეგი სახით

54

2

4 12

5

cBc z

ϕ∂=

∂ (2.4)

სადაც 1ϕ აკმაყოფილებს განტოლებას

2

142 1 2

5

0cc z

ϕϕ

∂∆ + =

∂. (2.5)

შევნიშნოთ, რომ შესაძლებელია ასეთი წარმოდგენა მივიღოთ

ზოგადობის შეუზღუდავად.

შევიტანოთ K(2.4) გამოსახულება (2.1) _ის მეორე, მესამე

და მეოთხე განტოლებებში, მივიღებთ

( ) 2

4 1

5

0xz

K cx z c y z

ϕτ∂ − ∂∂

− + − = ∂ ∂ ∂ ∂

( ) 2

14

5

0yz

K cy z c x z

ϕτ ∂∂ − ∂

− + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (2.6)

2 21 14 4

5 5

0yz xzc c

x c x z y c y zϕ ϕ

τ τ ∂ ∂∂ ∂

+ − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

სრული დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით

არსებობს ისეთი 2

zϕ∂∂

ფუნქცია, რომ

22

2Kzϕ∂

= −∂

22 14

5xz

cx z c y zϕ ϕ

τ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂ ∂

(2.7)

2 22 4 1

5yz

cy z c x zϕ ϕτ ∂ ∂

= −∂ ∂ ∂ ∂

(2.7) შევიტანოთ (2.2)_ში, მივიღებთ

2 1

4 5

1 1w 0ux c z z c y

ϕ ϕ ∂ ∂∂ ∂− + − = ∂ ∂ ∂ ∂

55

2 1

4 5

1 1w 0ux c z z c y

ϕ ϕ ∂ ∂∂ ∂− + − = ∂ ∂ ∂ ∂

(2.8)

1 1

5 5

1 1v+ 0ux c z y c y

ϕ ϕ ∂ ∂∂ ∂+ − = ∂ ∂ ∂ ∂

აქაც სრული დიფერნციალის არსებობის ძალით, არსებობს

ისეთი 3ϕ ფუნქცია, რომ

3 1

5

1ux c yϕ ϕ∂ ∂

= +∂ ∂

3 1

5

1vx c xϕ ϕ∂ ∂

= −∂ ∂

(2.9)

3 2

4

1wz c yϕ ϕ∂ ∂

= − +∂ ∂

შემოვიღოთ Aაღნიშვნა 3 3 24

12c

ϕ ϕ ϕ= − , მაშინ გვექნება

13 2

4 5

1 12

ux c c y

ϕϕ ϕ ∂∂

= + + ∂ ∂

1

3 24 5

1 1v2y c c x

ϕϕ ϕ ∂∂

= + − ∂ ∂ (2.10)

2

3 24 4

1 1w2z c c z

ϕϕ ϕ ∂∂

= − + + ∂ ∂

თუ შევიტანთ (2.7)_ს და (2.8)_ს (2.1a)_ში და (2.2a)_ში,

მაშინ 2ϕ და 3ϕ ფუნქციების განსასაზღვრავად მივიღებთ სისტემას

22 2 221 2 3 3 1 2 3 3 4 1 20 3 10

2 2 2 21 1 4 1

2 222 23 3 3 10

2 3 2 2 2 2 24 1 1 1 4 1

2 02

1 1 02 2

c c c c c c c c c c Tz c z c c z c

c c Tc c z c z c c z c

ϕϕ β βϕ

ϕ ϕϕ βϕ ϕ

∂∂ − ∂ − − −∆ + − − = ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂∆ + ∆ + − + − =

∂ ∂ ∂

(2.11)

56

ვაინტეგროთ ამ სისტემის პირველი განტოლება z_ით.

მარტივი გარდაქმნების შემდეგ, რომელიც არ მოგვყავს, მივიღებთ

( )

( )

( )

2 2 22 1 2 3 3 4 1 2 3 1 20 3 10

2 2 2 321 4 1 1

3

222 2

1 2 3 43 1 2 3 3 4 102 3 2 22

1 4 1 4 1

3 4

1 4

22

,

222 2

2 ,2

c c c c c c c c c c Tz c c c cc f x yc

c c c cc c c c c Tz c c c c c

c c f x yc c

ϕ β βϕ ϕ

ϕ βϕ ϕ

∂ − − − −+ ∆ + ∆ − =

∂

=

− +∂ − −+ ∆ + ∆ +

∂+

= −

(2.12)

( ),f x y არის ინტეგრების შედეგად მიღებული ნებისმიერი

ფუნქცია. ვაჩვენოთ, რომ ზოგადობის შეუზღუდავად ( ),f x y

შეიძლება ნულის ტოლად მივიღოთ. (2.5) და (2.12) განტოლებები

შეადგენენ სისტემას, რომლის ზოგადი ამოხსნა წარმოიდგინება,

როგორც შესაბამისი ერთგვაროვანი სისტემის ზოგად ამოხსნას

დამატებული რაიმე კერძო ამოხსნა. ვეძებოთ ეს კერძო ამოხსნა

შემდეგი სახით: 1 0ϕ∗ = , 2ϕ χ∗ ∗= , 34

12c

ϕ χ∗ ∗= − , 0T ∗ = , სადაც

( ) ( )2 , ,x y f x yχ∗∆ = .ადვილი საჩვენებელია, რომ იგი (2.12)_ის

ამოხსნაა, ხოლო თუ გავითვალისწინებთ (2.9)_ს, ვნახავთ, რომ ამ

ამოხსნის შესაბამისი გადაადგილების ვექტორის მდგენელები

v = w 0u∗ ∗ ∗= = . მაშასადამე ( ),f x y შეიძლება ნულის ტოლად

ჩავთვალოთ და საბოლოოდ თერმოდრეკადი ველის განმსაზღვრელი

სისტემაა:

B

214

2 1 25

0cc z

ϕϕ

∂∆ + =

∂

2 2 22 1 2 3 3 4 1 2 3

2 2 2 322 4 2

1 20 3 10

2

22

0,

c c c c c c c cz c c cc c T

c

ϕϕ ϕ

β β

∂ − − −+ ∆ + ∆ −

∂−

− = (2.13)

57

( )22 21 2 3 43 1 2 3 3 4

2 3 2 222 4 2 4

10

2

222 2

0.

c c c cc c c c cz c c c c

Tc

ϕ ϕ ϕ

β

− +∂ − −+ ∆ + ∆ +

∂

+ =

თუ მივიღებთ შემდეგ აღნიშვნებს

21 2 3 3 4

12 4

22

c c c c cc c

γ − −= ,

( )21 2 3 4

22 4

22

c c c cc c

γ− +

= ,

21 2 3

32

c c cc

γ −= ,

1 20 3 104

2

c cc

β βγ −= , 10

52c

βγ = . (2.14)

მაშინ წინა სისტემა ასეც შეგვიძლია ჩავწეროთ:

2

142 1 2

5

0cc z

ϕϕ

∂∆ + =

∂ (2.15)

22

1 2 2 3 2 3 42 0,Tzϕ

γ ϕ γ ϕ γ∂

+ ∆ + ∆ − =∂

23

1 2 3 2 2 2 52 0.Tzϕ γ ϕ γ ϕ γ∂

+ ∆ + ∆ + =∂

შემოვიღოთ ფუნქციები[72]

2 3 2 3 3 3 2, aϕ γ ϕ γ= Φ = Φ + Φ (2.16)

სადაც

1 2 1

1 2 2

/ , 0,

/ , 0, 1.a

i i

γ γ γ

γ γ γ

− >= − > = −

Tu

Tu

შევიტანოთ (2.16) გამოსახულება (2.15)_ში და

გავითვალისწინებთ რომ 2

2

TTz

∂=∂

, მარტივი გარდაქმნების შემდეგ

Mმივიღებთ, რომ:

58

( )

214

2 1 25

2

2 0 2

2 23 4 5

2 32 21 3 1 3

2 2 22 3 1 5 3 4

2 22 2 2 221 3 1 2 3 3 1 2 3

0,

0,

1 ,

1 1 .

cc z

TTz

a Ta z a z

Ta z z z

ϕϕ

λ

γ γγ γ γ γ

γ γ γ γγ γ γ γ γ γ γ γ γ

∂∆ + =

∂

∂∆ + =

∂∂ Φ − ∂

+ ∆ Φ =− ∂ − ∂

∂ Φ ∂ Φ − ∂+ ∆ Φ − =

+ ∂ − ∂ ∂−

(2.17)

ნ. ხომასურიძეს [72] 1 2 5, , ,γ γ γ მუდმივების სხვადასხვა

მნიშვნელობებისათვის აგებული აქვს (2.17) სისტემის ზოგადი

ამონახსნები. მიღებულია, რომ 2Φ და 3Φ -ით აღნიშნული აქვს

ფუნქციები, რომლებიც წარმოადგენენ შემდეგ განტოლებებს

ამონახსნებს:

22

2 221 3

1 0,a zγ γ

∂ Φ+ ∆ Φ =

+ ∂

(2.18)

23

2 321 3

1 0,a zγ γ

∂ Φ+ ∆ Φ =

− ∂

ამასთან 1 2 5, , ,γ γ γ

მუდმივების ნებისმიერი

მნიშვნელობებისათვის 1ϕ ფუნქციას აქვს შემდეგი სახით

( )( ) ( )111 1 1

0 0, ,p z zp z

mn mn mnn m

A e B e x yϕ ϕ∞ ∞

−−

= =

= +∑∑ (2.19)

სადაც ( )1 5 4 1/ ,p c c p m n= ⋅ , ხოლო 1mnA და 1mnB მუდმივებია.

2Φ და 3Φ ფუნქციებისთვის გვექნება

2 2 1 3 3 ;G G TΦ = Φ + Φ + 3 3 1 ,G TΦ = Φ +

სადაც

59

( )4 5

10 1 3

,1

aGa

γ γλ γ γ

−=

− − 23

1 ,2

Gaγ

= −

( ) ( )3 1 1 5 3 4

33 1 3 0 1 3

.1

GGa a

γ γ γ γ γγ γ γ λ γ γ

+ −=

− − +

2

142 1 2

5

0cc z

ϕϕ

∂∆ + =

∂

2 23 4

2 3 2 21 1

1 ,Tz z

γγ γ

∂ Φ ∂∆ Φ + =

∂ ∂

(2.20)

22 23 1 5 3 42

2 2 2 2 2 2 21 1 3 1

1 1 .Tz z z

γ γ γ γγ γ γ γ

∂ Φ −∂ Φ ∂∆ Φ + = +

∂ ∂ ∂

ხოლო ამოხსნას ექნება შემდეგი სახე:

43 3

0 1

,1

Tγλ γ

Φ = Φ +−

3 1 5 3 42 2 2

1 3 1

1 .2

Tz zz z

γ γ γ γγ γ γ

∂Φ − ∂Φ = Φ + +

∂ ∂

1 2 3, ,ϕ Φ Φ ფუნქციებით შეგვიძლია განვსაზღვროთ

დრეკადი ველის ყველა კომპონენტი. (2.17) და (2.18) განტოლებათა

სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ ზემოთ დასახელებული

ფუნქციების განსაზღვრა ვთქვათ ფურიეს მეთოდით, არ

განსხვავდება ჰარმონიული ფუნქციების განსაზღვრიდან. და ამიტომ

შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ჩვენი შემთხვევის შესაბამისი

სასაზღვრო ამოცანების კლასისათვის თერმოდრეკადობის ამოცანების

ამოხსნა იგივე სიძნელისაა, რაც დირიხლეს ან ნეიმანის ამოცანების

ამოხსნა ლაპლასის განტოლებებისათვის.

§ 2.3 სქელი ფილის და სპეციალური სახის ამოცანები

თერმული ველის გათვალისწინებით

60

წინა თავში და ამ თავის პირველ ორ პარაგრაფში ვნახეთ, რომ

1ϕ ფუნქცია განისაზღვრება დამოუკიდებლად. ეს კი იმის შედეგია, რომ B

- თვის ცალკე მიიღება განმსაზღვრელი განტოლება და შესაბამისი

სასაზღვრო პირობებიც.

ამ შემთხვევაში გვექნება ისეთი დაძებული_დეფორმირებული

მდგომარეობა, რომელიც მთლიანად აღიწერება ერთი 1ϕ Fფუნქციით.

მას შეესაბამება ნულის ტოლი სოლენოიდალური ველი, ე.ი. vU=0di

და.

ამასთან ყველგან სხეულში w = 0 . აქედან ვღებულობთ, რომ K=0. თუ

ამ ველს გამოვყოფთ ძირითადი ველიდან, მაშინ დაგვრჩება ველი,

რომლისთვისაც vU 0di ≠

, w 0≠ , მაგრამ 4B=c 0zω = , ე.ი. rotU_ს

მდგენელი z _ ს გასწვრივ ნულია. ასეთ ველს, ე.ი. როცა ვექტორი

მიმართულია იმ ზედაპირის მხებ სიბრტყეში, რომელიც მართობულია z

ღერძის უწოდებენ განზოგადებულ_პარალელურს. ამ შემთხვევაში

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ველი დაშლილია ორი ველის ჯამად: პირველი

ეთანადება სოლეინოდალურ განზოგადებულ პარალელურ ველს, ხოლო

მეორე _ ხასიათდება განზოგადებულ პარელელური ბრუნვის ვექტორით.

შემდგომ, ჩვენ სწორედ დაწვრილებით განვიხილავთ მეორე შემთხვევას

და ამჯერად მას გამოვიყენებთ ზემოთ აღნიშნული მეთოდით

ტრანსტროპული მართკუთხედი ფორმის სქელი ფილის ღუნვის ამოცანის

ამოსახსნელად.

ამისათვის კი (2.1) სისტემაში B=0 ფუნქცია მივიღოთ

ნულად, ეს კი იმას ნიშნავს, რომ განვიხილავთ ისეთ ველს, როცა

გადაადგილების ვექტორის z ღერძის პარალელური კომპონენტი ნულის

ტოლია, ანუ v u- =0y x∂ ∂∂ ∂

. ამ ველისთვის გადაადგილების ვექტორის

როტორის z მდგენელი იგივურად ნულის ტოლია მთელ არეში და მას

უწოდებენ განზოგადებული პარალელური გადაადგილების ვექტორის

როტორის მქონე ველს.

წონასწორობის განტოლებები ასე ჩაიწერება:

61

,w)

1

103203zz2

2

1

2321

1

3

zT

ccc

yxzcccc

zK

cc

a yx

∂∂−

=∂

∂+

∂∂

+∂∂−

+∂∂ ββττ

,0) z =

∂∂

+∂∂

zxKb xτ

(3.1)

,0) z =

∂

∂+

∂∂

zyKc yτ

zy zx) 0.dx yτ τ∂ ∂

− =∂ ∂

სრული დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით

არსებობს ისეთი 2

zϕ∂∂

ფუნქცია, რომ

22

2 ,Kzϕ∂

= −∂

22 ,xz z x

ϕτ ∂=∂ ∂ (3.2)

22 .yz z y

ϕτ ∂=∂ ∂

შევიტანოთ (3.2)-ში, მივიღებთ:

22

4

w 1 ,ux z c x z

ϕ∂∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂

22

4

w v 1 ,y z c y z

ϕ∂∂ ∂+ =

∂ ∂ ∂ ∂ (3.3)

v 0.uy z∂ ∂

− =∂ ∂

აქედან მარტივი გარდაქმნებისა და ისევ სრული

დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით, არსებობს, ისეთი

ფუნქცია, რომ

3 2

4

1 ,2

ux cϕ ϕ ∂

= + ∂

3 2

4

1v ,2y c

ϕ ϕ ∂

= + ∂ (3.4)

62

2

3 24 4

1 1w ,2z c c z

ϕϕ ϕ ∂∂

= − + + ∂ ∂

სადაც 2ϕ და 3ϕ ფუნქციები შემდეგი სისტემის ამონახსნებია

22

1 2 2 3 2 3 42

23

1 2 3 2 2 2 52

0,

0.

Tz

Tz

ϕγ ϕ γ ϕ γ

ϕ γ ϕ γ ϕ γ

∂+ ∆ + ∆ − =

∂∂

+ ∆ + ∆ + =∂

(3.5)

ზუსტად იგივე მსჯელობით, როგორიც გქვონდა წინა პარა-

გრაფში, თუ მივიღებთ შემდეგ აღვნიშვნებს 2 3 2 3 3,ϕ γ ϕ= Φ = Φ , მაშინ

მარტივი გარდაქმნების შედეგად მივიღებთ შემდეგ განტოლებათა

სისტემას

2

2 0 2

2 23 4

2 3 2 21 1

2 2 22 3 1 5 3 4

2 2 2 2 2 2 21 1 3 1

0,

1 ,

1 1 .

TTz

Tz z

Tz z z

λ

γγ γ

γ γ γ γγ γ γ γ

∂∆ + =

∂∂ Φ ∂

∆ Φ + =∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ − ∂∆ Φ + = +

∂ ∂ ∂

(3.6)

ახლა ავაგოთ (2.6) სისტემის ამოხსნა და გავითვალისწი-

ნოთ, რომ T _ს აქვს შემდეგი სახე

( ) (( ) ) ( )1

82 2 3 20 1 0

0 1 00 0

32 6 2

, .

T

T

p zTmn

m n

p z zTmn mn

t tT T T z x z zx A e

B e x y

λλ

ψ

∞−

= =

− −

= + = − + − + +

+

∑∑

(3.7)

აღვნიშნოთ 2 3Φ Φ da –ით ფუნქციები, რომლებიც

აკმაყოფილებენ შემდეგ განტოლებებს

23

2 3 21

22

2 2 21

1 0,

1 0,

z

z

γ

γ

∂ Φ∆ Φ + =

∂

∂ Φ∆ Φ + =

∂

(3.8)

2 3Φ Φda _თვის გვექნება

63

43 3

0 4

,1

Tγλ γ

Φ = Φ +−

,

22 2

1

12

zzγ

∂ΦΦ = Φ +

∂

საბოლოოდ 2 3ϕ ϕda _ თვის გვექნება

3 32 3 2 3 2

1

43 3 3

0 1

,2

1

zz

T

γϕ γ γγ

γϕλ γ

∂Φ= Φ = Φ +

∂

= Φ = Φ +−

(3.9)

ქვემოთ მოვიყვანოთ ფილისათვის დრეკად _ დეფორმირე-

ბული ველის კომპონენტების წარმოდგენები 2 3Φ Φ da

ფუნქციების

საშუალებით

3 3 343 22

0 1 4 4 1

23 33 3 3322 4

4 4 1 0 1

3 3 343 22

0 1 4 4 1

23 33 3 3322 4

4 4 1

1 2 2

,2 4 1

v=1 2 2

2 4 1

u T zx c c z

Tzc x x c x z x

T zy c c z

zc y y c y z

γ γγλ γ γ

γ γ γγ λ γ

γ γγλ γ γ

γ γ γγ

∂Φ∂= Φ + + Φ + ∂ − ∂

∂Φ ∂ Φ∂Φ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂ − ∂

∂Φ∂Φ + + Φ + = ∂ − ∂

∂Φ ∂ Φ∂Φ= + + +

∂ ∂ ∂ ∂

( )

0 1

3 3 343 22

0 1 4 4 1

3 3 33 3 33222 4

4 4 1 4 1 0 1

, 3.10

w1 2 2

1 ,2 2 2 1

Ty

T zz c c z

Tzc z c z c z z

λ γ

γ γγλ γ γ

γ γ γ γγ γ λ γ

∂− ∂

∂Φ∂= − Φ + + Φ + = ∂ − ∂

∂Φ ∂Φ∂Φ ∂= − − − − + ∂ ∂ ∂ − ∂

2 23 3 3 3 4 0 10 32

3 2 21 1 0 1

(3.11)2 1

TK zz z z z

γ γ γ λ β γγγ γ λ γ

∂Φ ∂Φ +∂ Φ ∂= − + + +

∂ ∂ ∂ − ∂

3 2 2

3 2 4 0 10 33 2 3 2 2

1 1 0 1

2 23 4 0 10 3

3 21 0 1

2 23 4 0 10 3

3 21 0 1

1 1 ,2 1

1 ,2 1

1 ,2 1

z

xz

yz

Tzz z z

Tzx z z z x

Tzy z z z y

γ λ β γσ γγ γ λ γ

γ λ β γτ γγ λ γ

γ λ β γτ γγ λ γ

∂ Φ ∂ Φ + ∂= + + ∂ ∂ − ∂

∂ ∂Φ + ∂= +Φ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂

∂ ∂Φ + ∂= +Φ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂

(3.12)

64

2 32 23 3 4 0 10 32

3 2 2 3 21 1 0 1

2 23 3 3 3 4 0 10 32

54 4 1 0 1

1 12 1

22 2 1

xTz

z z z z

Tc zy c y y c y z y z

γ λ β γσ γγ γ λ γ

γ γ γ λ β γγ λ γ

∂ Φ ∂ Φ +∂ Φ ∂= − + + + − ∂ ∂ ∂ − ∂

∂Φ ∂ Φ +∂Φ∂ ∂− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂

2 32 23 3 4 0 10 32

3 2 2 3 21 1 0 1

2 22 3 33 3 4 0 10 3

54 4 1 0 1

1 12 1

2 ,2 2 1

yTz

z z z z

Tc zx c x x c x z x z

γ λ β γσ γγ γ λ γ

γ γ γ λ β γγ λ γ

∂ Φ ∂ Φ +∂ Φ ∂= − + + + ∂ ∂ ∂ − ∂

+∂ ∂Φ ∂Φ ∂ Φ ∂− + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂

(3.13)

2 22 3 33 3 4 0 10 3

54 4 1 0 1

233 3 4 0 10 3

2 3

4 4 1 0 1

22 2 1

,2 2 1

xyTc z z

x c y y c y z y z

Tzx y c c z z

γ γ γ λ β γτγ λ γ

γ γ γ λ β γγ λ γ

+∂ ∂Φ ∂Φ ∂ Φ ∂= + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂

+∂ ∂Φ ∂= Φ +Φ + + ∂ ∂ ∂ − ∂

სადაც 1 3,γ γ ცნობილი მუდმივებია და მოცემული (2.14)

ფორმულებით; შევადგინოთ შესაბამისი კომპონენტები ძაბვებისათვის:

3 2 23 4 0 10 32

3 2 3 2 21 1 0 1

0,

1 12 1

x zyz

x zyz

x y

Tzx y z z z z

ττ

ττ γ λ β γγγ γ λ γ

∂∂− =

∂ ∂

∂∂ ∂ Φ +∂ Φ∂ ∂+ = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂

(3.14)

და გადაადგილებებისათვის

3 2 2 23 3 4 0 10 34 2

43 2 2 21 1 0 1

v u 0,

u v 11

x y

Tzx y z z z z

γ λ β γγ γγ γ λ γ

∂ ∂− =

∂ ∂

∂ Φ ∂ Φ +∂ Φ∂ ∂ ∂+ = − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂

(3.15)

მსგავსად იმ მსჯელობისა, რომელიც გვქონდა პირველ თავში

მოდიფიცირებული სასაზღვრო პირობების მისაღებად, აქაც შეგვიძლია

მივიღოთ შემდეგი სახის სასაზღვრო პირობებს:

65

: ) 0, 0, 0, 0,

) 0, 0, 0, w 0

j zxTx x a u Bx

b T K u

τ∂= = = = =

∂= = = =

roca an

.

(3.16)

: ) 0, v 0, 0, 0,

) 0, 0, 0, w 0

j zyTy y a By

b T K u

τ∂= = = = =

∂= = = =

roca an

. (3.17)

( ) ( )

( ) ,,)

,,),,):

3

21

yxFTyTc

yxFTbyxFyTazz

jj

jjj

=Θ+∂∂

==∂∂

= ananroca

(3.18)

1 2

1 2

1 2

1 2

: ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , );

) w ( , ), ( , v) ( , ), ( v, u) ( , );

) w ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , );

) ( , ), ( , v) ( , ), (

j z j zx zy j zy zx j

j j j

j zx zy j zy zx j

z j j

z z a F x y F x y F x y

b f x y u f x y f x y

c f x y F x y F x y

d F x y u f x y

σ τ τ τ τ

τ τ τ τ

σ

= = Γ = Γ =

= Γ = Γ =

= Γ = Γ =

= Γ = Γ

roca

v, u) ( , ),jf x y=

(3.19)

თუ გავითვალისწინებთ ამ სასაზღვრო პირობების და სრულად

ჩავატარებთ ცვლადთა განცალებას, მაშინ 2 3,Φ Φ და T –სთვის მივი-

ღებთ :

( )

1 1

21 12

2 21 22 23 20 0

1 1

1 1

cos cos

sin sin

2sin cos

cos sin

mn

m nx yx y

m nx yx yrb b z b z z

m nx yx y

m nx yx y

π π

π π

π π

π π

∞ ∞

Φ = + + − + Φ

∑∑

66

( )

1 1

21 12

3 31 32 33 30 0

1 1

1 1

cos cos

sin sin

2sin cos

cos sin

mn

m nx yx y

m nx yx yrb b z b z z

m nx yx y

m nx yx y

π π

π π

π π

π π

∞ ∞

Φ = + + − + Φ

∑∑ (3.20)

( ) ( )

1 1

81 12 2 3 20 01

00 0

1 1

1 1

cos cos

sin sin3 .

2 6 2sin cos

cos sin

mnm n

m nx yx y

m nx yx yt tT z x z zx T z

m nx yx y

m nx yx y

π π

π πλλ

π π

π π

∞

= =

= − + − +

∑∑

სადაც ( ) 2 2 2,p z p zjmn jmn jmnz e e r x y−Φ = Φ +Φ = + :

( ) ( )1TT p z zp zTmn TmnTmn z A e B e− −−= +

ზემოთ მოყვანილ ფორმულებში ტრიგონომეტრიული ნაწილის

პირველი სტრიქონი შეესაბამება გვერდით წახნაგებზე (3.17a), (3.18a)

სასაზღვრო პირობებს, მეორე სტრიქონი _ (3.17b), (3.18b), ხოლო მესამე და

მეოთხე სტრიქონები კი შერეულ სასაზღვრო პირობებს.

მიღებულ ამოხსნას ვუწოდოთ რეგულარული ამოხსნა, თუ

( )3u, v, w C П∈ _ს, ფილის გვერდით წახნაგებზე მოცემულია ამონახსნის

სიმეტრიული, ან ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობები, ანუ (3.16b),

ან (3.17b), წყვილ-წყვილად პარალელურ გვერდებზე_სიმეტრიული ან

ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობები., ხოლო ზედა და ქვედა

ფუძეებზე ზემოთ მოყვანილი მოდიფიცირებული სასაზღვრო პირობები.

ვთქვათ, რომ ფილის გვერდით წახნაგებზე მოცემულია (3.16b),

(3.17b), სასაზღვრო პირობები, მაშინ (3.20)

პოლინომიური წევრების

67

კოეფიციენტები ნულის ტოლია, ხოლო ტრიგონომეტრიულ წევრებთან

მდგომი ( )2,3jmn jΦ =

კოეფიციენტები განისაზღვრება ალგებრულ

განტოლებათა სისტემიდან, რომლის მატრიცის განზომილება 44. ამ

სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეები წარმოადგენენ jz z= წახნა-

გებზე მოცემული სასაზღვრო ფუნქციების ფურიეს კოეფიციენტებს.

იმ შემთხვევაში თუ ფილის გვერდით წახნაგზე მოცემულია

სიმეტრიის ანუE (3.16 b), (3.17a) პირობები, მაშინ პოლინომიური წევრე-

ბისათვის მივიღებთ 21 31 33 1 2 230, 2 ,b b b bγ γ= = = − და საბოლოოდ 2Φ და

3Φ ფუნქციების წარმოდგენის პოლინომურ ნაწილს ექნება სახე

22

20 22 23

22

30 22 1 2 23

2

22

rb z b z

rb z b zγ γ

Φ = + −

Φ = − −

(3.21)

იმ შემთხვევაში, როდესაც ზედა ან ქვედა ფუძეზე მოცემულია

გადაადგილებები, მაშინ bij კოეფიციენტები ცალსახად განისაზღვრება

სასაზღვრო პირობებიდან. როდესაც მოცემულია ძაბვები, მაშინ b23

განისაზღვრება დატვირთვის ნაკრები ვექტორის ნულთან ტოლობის

პირობიდან, ხოლო b22 _ განუსაზღვრელი დარჩება, რაც შეესაბამება

ხისტ გადაადგილებას z ღერძის გასწვრივ.

შევნიშნოთ, რომ შესაძლებელია მიღებულ მწკრივეში წევრების

კოეფიციენტების განმსაზღვრელი ალგებრული განტოლებების უფრო

გამარტივება. ამისათვის საჭიროა, რომ ფილის ზედა და ქვედა ფუძეებზე

მოცემული იყოს ერთნაირი სახის სასაზღვრო პირობები, ე.ი. მოცემული

იყოს ან მარტო ძაბვები, ან მარტო გადაადგილებები, ან გადაადგილების

ნორმალური მდგენელი და ძაბვის მხები მდგენელები, ან ძაბვის ნორმა-

ლური მდგენელი და გადაადგილების მხები მდგენელები (სხვა

სიტყვებით, რომ ვთქვათ, ამ შემთვევაში მოცემულია 0III და 0IV

სასაზღვრო ამოცანის შესაბამისი სასაზღვრო პირობები). ამის

საილუსტრაციოდ განვიხილოთ შემდეგი სასაზღვრო პირობები: ფილის

68

ზედა და ქვედა ფუძეზე მოცემულია ძაბვები, ხოლო გვერდით

წახნაგებზე_სიმეტრიის პირობები. ე.ი. მოცემულია:

( ) ( )

( )

( )

21, 2 : ( , ), ( , ), ( , ), , ;

1, 2 : 0, 0, 0, 0

1,2 : v 0, 0, 0, 0.

j z j zx j zy j j

j zx

j zy

z z j F x y F x y F x y T F x yTx x j u BxTy y j By

σ τ τ

τ

τ

= = = = = =

∂= = = = = =

∂∂

= = = = = =∂

roca

roca

roca

აქ მივიღოთ, რომ 2 1z z= − და 1 1z z= .

მოცემული სასაზღვრო ამოცანა წარმოვადგინოთ როგორც ორი

სასაზღვრო ამოცანის სუპერპოზიცია:

პირველ სასაზღვრო ამოცანაში ზედა ფუძეზე, ე.ი., როცა 1 1z z=

მოცემულია პირობები:

( )

( )

( )

111 011

112 022

113 033

,2

,2

,2

z

zx

zy

F F F

F F F

F F F

σ

τ

τ

+= =

−= =

−= =

(3.22)

ხოლო 2 1z z= − _ზე

( )

( )

( )

111 011

112 022

113 033

,2

,2

.2

z

zx

zy

F F F

F F F

F F F

σ

τ

τ

+= =

−= − = −

−= − = −

(3.23)

მეორე სასაზღვრო ამოცანაში, როცა 1 1z z= _ ს

( )

( )

( )

211 011

212 022

213 033

,2

,2

,2

z

zx

zy

F F F

F F F

F F F

σ

τ

τ

−= − =

+= =

+= =

(3.24)

ხოლო 2 1z z= − _ზე

69

( )

( )

( )

211 011

212 022

213 033

,2

,2

.2

z

zx

zy

F F F

F F F

F F F

σ

τ

τ

−= − = −

+= =

+= =

(3.25)

(2.19c) და (2.19d) პირობები წარმოადგენს ამოხსნის უწყვეტად

გაგრძელების (სიმეტრიულად და ანტისიმეტრიულად) პირობებს, ამიტომ

პირველი ამოცანა ტოლფასია შემდეგი ამოცანისა: რადგან ფილის 0z =

წახნაგზე მოცემელია სიმეტრიულად გაგრძელების (2.19c) პირობა, ხოლო

გვერდებზე ერთგვაროვანი სიმეტრის ან ანტისიმეტრიის პირობები,

ფილის პირით სიბრტყეებზე კი ძაბვები, ამიტომ ამოცანის ამონახსნი

უწყვეტად გაგრძელდება 0z = სიბრტყის მიმართ სიმეტრიულად.

ამასთან 1z z= − _ზე გვექნება (3.23) ტიპის პირობები. მეორე ამოცანის

ეკვივალენტურ ამოცანაში 0z = მოცემული უნდა იყოს ანტისიმეტრიის

გაგრძელების (3.19d) ერთგვაროვანი პირობები. ამ შემთხვევაში ამონახსნი

გრძელდება ანტისიმეტრიულად და 1z z= − _ზე გვაქვს (3.25) ტიპის

პირობები.

საბოლოოდ, შეგვიძლია განვიხილოთ ასეთი სასაზღვრო

ამოცანა:

როცა : u=0, B=0, 0,i zxx x τ= =

როცა : v=0, B=0, 0,i zyy y τ= = (3.26)

როცა 0 : w=0, =0, 0,zx zyz τ τ= =

როცა 1 11 13 12: =F (x,y), =F (x,y), =F (x,y).zy zyzx zxzz z

x y x yτ ττ τσ∂ ∂∂ ∂

= − +∂ ∂ ∂ ∂

რადგან ყველა გვერდით წახნაგზე სრულდება

სიმეტრიულად გაგრძელების პირობა, ამიტომ 2 3,Φ Φ და T ფუნქციებს

ექნებათ შემდეგი სახე:

70

( )

( ) ( )1 1 1 1

2 22

2 22 23 1 21 1

1 2 12 21 1

2 22

3 22 1 4 23 1

cos cos2

cos cos ,

22

pz pzmn mn

m n

p z p z p z p zm m n

m n

pzmn

x y m nb z b z A e A e x ya b

m nA e A e x A e A e ya b

x yb z b z B e

π π

π π

γ γ

∞ ∞−

= =

∞ ∞− −

= =

+ Φ = + − + + +

+ + + +

+Φ = − − + +

∑∑

∑ ∑

( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1

21 1

1 2 12 21 1

2 2 3 20 1 00 1 2

0 0

cos cos

cos cos ,

3 cos cos2 6 2

pzmn

m n

p z p z p z p zm m n

m n

pz pzmn mn

n m

m nB e x ya b

m nB e B e x B e B e ya b

t t m nT z x z zx T e T e xa

π π

π π

λ π πλ

∞ ∞−

= =

∞ ∞− −

= =

∞ ∞−

= =

+

+ + + +

= − + − + +

∑∑

∑ ∑

∑∑

( ) ( )1 1 1 11 2 1 2

1 1cos cos ,p z p z p z p z

m m n nm n

yb

m nT e T e x T e T e ya bπ π∞ ∞

− −

= =

+

+ + + +

∑ ∑

(3.27)

სადაც

2 2

1 ,m npa bπ πγ

= +

2

1 1 ,mpaπγ =

2

2 1 .npbπγ =

ახლა განვიხილოთ ის შემთხვევა, როდესაც ფილის გვერდით

წახნაგებზე გვაქვს ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობები ანუ

სრულდება (3.17b) პირობა, ე.ი. მოცემულია

0, : 0, v=0, w=0;

y = 0, b : 0, u=0, w=0.

x a K

K

= =

=

(3.28)

რაც შეეხება ფილის პირით ზედაპირებს, მასზე მოქმედებს გარე

დატვირთვები. კერძოდ, როცა

( ) ( ) ( )1 2 3: , , , , , ,zx zy zz h f x y f x y f x yτ τ σ+ + += = = = (3.29)

ხოლო

( ) ( ) ( )1 2 3: , , , , , .zx zy zz h f x y f x y f x yτ τ σ− − −= − = = = (3.30)

გავითვალისწინოთ, რომ ზემოთ მოყვანილი სასაზღვრო

ამოცანა შეგვიძლია დავყოთ ორ უფრო მარტივ სასაზღვრო ამოცანად.

ამისათვის შემოვიღოთ შემდეგი აღნიშვნები

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 1 1 4 1 11 1 1 1, , ,2 2 2 2

q f f q f f q f f q t t+ − + − − − − −= − = − = + = + (3.31)

71

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1, , ,2 2 2 2

s f f s f f s f f s t t+ − + − − − − −= + = + = − = − (3.32)

და ცალ-ცალკე უნდა ამოვხსნათ შემდეგი სასაზღვრო ამოცანა:

1 2 3 4: , , ,zx zy zz h q q q T qτ τ σ= ± = ± =± = = ± (3.33)

1 2 3 4: , , , .zx zy zz h s s s T sτ τ σ= ± = = =± = ± (3.34)

(3.33) სასაზღვრო ამოცანაში 0z = სიბრტყის მიმართ გვაქვს

სიმეტრიული დატვირთვა, ხოლო (3.34)- ში კი ამავე სიბრტყის მიმართ

ანტისიმეტრიული დატვირთვა. პირველი ამოცანის შემთხვევაში u და v

გადაადგილებები 0z = სიბრტყის მიმართ ლუწი ფუნქციებია, ხოლო w

კი კენტი ფუნქციაა, ამიტომ ეს სიბრტყე წარმოადგენს სიმეტრიული

გაგრძელების სიბრტყეს და მასზე u vw=0, 0, 0.z z∂ ∂

= =∂ ∂

მაშასადამე, ეს

სიბრტყე იჭიმება ან იკუმშება.

მეორე ამოცანაში u და v გადაადგილებები 0z = სიბრტყის

მიმართ კენტი ფუნქციებია, ხოლო w კი ლუწი ფუნქციაა, ამიტომ ეს

სიბრტყე წარმოადგენს ანტისიმეტრიული გაგრძელების სიბრტყეს და

მასზე wu 0, v=0 , 0.z

∂= =

∂ მაშასადამე, ამ შემთხვევაში სიბრტყე განიცდის

ღუნვას. თუ მოცემული პირობებიდან გადავალთ მოდიფიცირებულ

სასაზღვრო პირობებზე, ამით არაფერი შეცვლება, რადგან

1 2 ,

0.

zyzx

zy zx

f fx y x y

x y

ττ

τ τ

± ±∂∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

− =∂ ∂

პირობებიც შეიძლება დავშალოთ 0z = სიბრტყის მიმართ სიმეტრიულ

და ანტისიმეტრიულ პირობებად.

განვიხილოთ შემდეგი სასაზღვრო ამოცანა: ფილის გვერდით

წახნაგებზე მოცემულია ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობები, ხოლო

72

D ( )3: 0, , , ( , ).zx zy zz h f x y T t x yτ τ σ∗ ∗= ± = = =± = ამ ამოცანის ამოსახსნელად

მოვიქცეთ შემდეგნაირად. ვთქვათ ფილა „გაჭრილია“ 0z = სიბრტყის

მიმართ და განვიხილოთ მისი დრეკადი წონასწორობა(ზემოთ მოყვანილი

მსჯელობის გამო ამის გაკეთება შეგვიძლია). ფილის გვერდით

წახნაგებზე და ფუძეზე იგივე სასაზღვრო პირობები გვაქვს, ხოლო E 0z =

სიბრტყეზე მოვითხოვოთ ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობების

შესრულება:

w0 : u 0, v 0, 0, 0. u 0, v 0, 0, 0.zz T Tz

σ ∂= = = = = ⇔ = = = =

∂

ამონახსნის ანტისიმეტრიით გაგრძელების თეორემის

თანხმად კი აქედან მივიღებთ ამოხსნას მთელი ფილისათვის.

2 3,Φ Φ და T ფუნქციებს შესაბამისად ექნებათ შემდეგი სახე:

( )

( )

( )

2 21 1

3 31 1

1 1

, , sin sin ,

, , sin sin ,

, , sin sin ,

phmn

m n

phmn

m n

phTmn

m n

m mx y z A e shpz x ya b

m mx y z A e shpz x ya b

m mT x y z A e shpz x ya b

π π

π π

π π

∞ ∞−

= =

∞ ∞−

= =

∞ ∞−

= =

Φ = •

Φ = •

= •

∑∑

∑∑

∑∑

(3.35)

ამ გამოსახულებიდან ჩანს, რომ სასაზღვრო პირობები კმაყოფილ-

დება როგორც ფილის გვერდით წახნაგებზე, ასევე E 0z = სიბრტყეზე.

2 3, ,mn mn TmnA A A კოეფიციენტების განსაზღვრისათვის დავშალოთ

3 ( , ), ( , )f x y T x y ფუნქცია ორმაგ ტრიგონომეტრიულ მწკრივად და გავუ-

ტოლოთ შესაბამის კოეფიციენტები ერთმანეთს. ამისათვის შევადგინოთ

შესაბამისი გამოსახულებები როგორც zs –თვის, ასევე zyzx

x yττ ∂∂

+∂ ∂

_ თვის.

73

2 33 3 32 32 2

1 1 1 1 1

24 0 10 3

0 1

3 33 32

1 1 1 1

2 2 2

sin sin1

2 2

t

ph phz mn mn

m n

p ht Tmn

zy phzx zmn

m n

p e shpzA p e chpz zA

m mp e A x ya a

p e chpzA p chpzx y z

γ γ γσγ γ γ

γ λ β γ π πλ γ

ττ γ γ γσγ γ

∞ ∞− −

= =

−

∞ ∞−

= =

= + +

+ + −

∂ ∂ ∂+ = − = + +∂ ∂ ∂

∑∑

∑∑

433

1

34 0 10 3

0 1

2

sin sin1

t

phmn

p ht Tmn

p zshpz e A

m mp e A x ya a

γ

γ λ β γ π πλ γ

−

−

+

+ + −

( )3 31 1

, sin sin ,mnm n

m mf x y f x ya aπ π∞ ∞

+

= =

= •

∑∑

და

( )3 30 0

4 , sin sin ;a b

mnm mf f x y x y dxdy

ab a bπ π+ =

∫ ∫

( )1 1

, sin sin ,mnm n

m mT x y T x ya bπ π∞ ∞

= =

= •

∑∑

და

( )0 0

4 , sin sin ;a b

mnm mT T x y x y dxdy

ab a bπ π =

∫ ∫

0,50

1 , ( , )tTmn mn tp h

t

A T p p m ne shp h

λ−= =

z h= მნიშვნელობების ჩასმის შემდეგ, მივიღებთ

74

2 33 32 32

1 1 1 1

24 0 10 3

0 1

3 33 3 32

1 1 1 1 1

2 2

sin sin1

2 2 2

t

ph phz mn mn

m n

p ht Tmn

zy phzx zmn

m n

p e shphA p e hchphA

m mp e A x ya a

p e chphA p chph px y z

γ γσγ γ

γ λ β γ π πλ γ

ττ γ γ γσγ γ γ

∞ ∞− −

= =

−

∞ ∞−

= =

= + +

+ + −

∂ ∂ ∂+ = − = + +∂ ∂ ∂

∑∑

∑∑

43

34 0 10 3

0 1

sin sin1

t

phmn

p ht Tmn

hshph e A

m mp e A x ya a

γ λ β γ π πλ γ

−

−

+

+ + −

კოეფიციენტების გატოლების შემდეგ, ვღებულობთ ალგებრულ

განტოლებათა სისტემას p _ს ყოველი მნიშვნელობისათვის:

( )

2 33 32 3 32

1 1

3 33 32 32

1 1

,2 2

2 2

ph phmn mn mn mn

ph phmn mn mn

p e shphA p e hchphA f

p e chphA p chph hpshph e A

γ γ ηγ γ

γ γ ηγ γ

− −

− −

+ = +

+ + =

(3.36)

სადაც 24 0 10 3

0 11tp h

mn t Tmnp e Aγ λ β γηλ γ

−+=

−. წინა სისტემა ასეთი სახით

გადავწეროთ

( )

( )

1 2 3 323

1 2 3 33

12 ,

12

ph phmn mn mn mn

ph phmn mn mn

e shphA hpe chphA fp

e chphA chph hpshph e Ap

γ ηγ

γ ηγ

− −

− −

+ = +

+ + =

(3.37)

ამ სისტემიდან მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ

( )( )

( )

2 3 333

1 2 3 33

1 10 2 ,2

12

phmn mn mn mn

ph phmn mn mn

A pe ph sh ph A f pchph pchph shphp

e chphA chph hpshph e Ap

ηγ

γ ηγ

−

− −

⋅ + − = + −

+ + =

და კოეფიციენტების მასშტაბირების შემდეგ სისტემა მიიღებს შემდეგ

სახეს:

75

( ) ( )( )

( )

22 3 3

3

1 2 3 33

1 10 2 ,2

12

ph

mn mn mn mn

ph phmn mn mn

eA ph phsh ph A f pchph pchph shphph p

e chphA chph hpshph e Ap

ηγ

γ ηγ

−

− −

⋅ + − = + −

+ + =

(3.38)

ამ სისტემის დეტერმინანტი ( )2 1 22

phe ph phsh phph

− ∆ = −

და

არ უდრის ნულს p _ს არცერთი სასარული მნიშვნელობისათვის. თუ

გადავალთ ზღვარზე, რისი უფლებაც გვაქვს რადგან სისტემის

დეტერმინანტი არის შესაბამისი მატრიცის ელემენტების უწყვეტი ფუნქცია

და (3.38) სისტემის ყველა კოეფიციენტი შემოსაზღვრული სიდიდეებია, მაშინ

სისტემის დეტერმინანტის ზღვარი უდრის -1/4.

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

23

2 31 3

33

3

2 2 2,

2 2 2

22 2

phmn mn mn

mn ph

mn mnmn ph

e ph sh ph p chph phshph f pchph pchph shphA

p ph sh ph e chph

f pchph pchph shphA

h ph sh ph e

η ηγ γ

ηγ

−

−

−

− − − + − =−

+ − =−

თუ კოეფიციენტების ამ მნიშვნელობებს ჩავსვამთ 2Φ და 3Φ

გამოსახულებებში, მაშინ Gგვექნება

( )( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( )

2

23

31 1 1 3

33

3

, ,

2 2 22 2 2

sin sin

2, ,

2

phmn mn mn

phm n

mn mn

x y z

e ph sh ph p chph phshph f pchph pchph shphp ph sh ph e chph

m nshpz x ya b

f pchph pchph shphx y z

p

η ηγ γ

π π

ηγ

−∞ ∞

−= =

Φ =

− − − + − =−

+ − Φ =

∑∑

( )1 1sin sin ,

2 phm n

m nshpz x yph sh ph e a b

π π∞ ∞

−= =

• − ∑∑

ადვილი საჩვენებელია, რომ მიღებული მწკრივები აბსოლუტურად

და თანაბრად კრებადია არეში. მართლაც, 2mnA და 3mnA _ს კოეფიციენტე-

ბისათვის აბსოლუტური მნიშვნელობებისათვის გვექნება შემდეგი

შეფასებები

76

( )21

2 333

231

3 33

14 ,

8

mn mn

mnmn

phA f

pf

Ap

γγ

γγ

+≤

=

ამასთან რეგულარობის პირობების მოთხოვნიდან

გამომდინარეობს, რომ 43 3 ,mn

cfp

<

ამიტომ მოძებნება ისეთი დადებითი

მუდმივები, რომ

2

0 0 12 35 6

8,mn mnA BA Ap p

γ≤ ≤

მიღებული შეფასებების გათვალისწინებით ადვილი

საჩვენებელია, რომ მიღებული მწკრივები ექსპონენციალურად კრებადია

Π _ში, ხოლო ზედა და ქვედა ფუძეებზე აბსოლუტურად და თანაბრად

კრებადი. მეტიც ყველაზე ცუდ შემთხვევაშიც კი zyzx

x yττ ∂∂

+∂ ∂

ჯამისთვის,

იმავე შეფასებების Gგათვალისწინებით დავასკვნით, რომ მოინახება

ისეთი დადებითი მუდმივი 0c , რომ თანაბრად კრებადი რიცხვითი

მწკრივი ( )02

1c pp+

∑∑

არის განსახილველი მწკრივის მაჟორანტი, ამიტომაც

ეს მწკრივიც ზედა და ქვედა ფუძეზე აბსოლუტურად და თანბრად

კრებადია ყველა სხვა შემთხვევაშიც.

ჩვენGზემოთ აღვნიშნეთ, რომ გვერდით წახნაგებზე

შეიძლება მოცემული იყოს სიმეტრიული ან ანტისიმეტრიული

გაგრძელების პირობები. Dგანვიხილეთ ის შემთხვევა, როცა სრულდებოდა

სიმეტრიული გაგრძელების პირობა. ახლა განვიხილოთ მეორე შემთხვევა,

ე.ი., როცა მოცემულია ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობები.

კერძოდ, მოცემულია

77

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

1 2

1 2

: 0, , , 0, , ;2

: 0, , , 0, , ;2

1,2 : v 0, w 0, 0, 0

1,2 : u 0, w 0, 0, 0.

zy zyzx zxz j

zy zyzx zxz j

j z

j z

hz f x y T F x yx y x y

hz f x y T F x yx y x y

x x j T

y y j T

τ ττ τσ

τ ττ τσ

σ

σ

∂ ∂∂ ∂= = + = − = =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= = + = − = =∂ ∂ ∂ ∂

= = = = = =

= = = = = =

roca

roca

roca

როგორც წინა შემთხვევაში, ამ შემთხვევაშიც 0z = სრულდება

ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობა. ამიტომ შეგვიძლია განვიხილოთ

0z = _ზე გაჭრილი ფილა და მისთვის განვიხილოთ შესაბამისი

სასაზღვრო ამოცანა შემდეგი სასაზღვრო პირობებით:

( ) ( )

( )

( )

1 2: 0, , , 0, , ;2

0 : 0, u 0, v 0, 0;

1,2 : 0, v 0, w 0, 0

1,2 : 0, u 0, w 0, 0.

zy zyzx zxz j

z

j x

j y

hz f x y T F x yx y x y

z T

x x j T

y y j T

τ ττ τσ

σ

σ

σ

∂ ∂∂ ∂= = + = − = =

∂ ∂ ∂ ∂

= = = = =

= = = = = =

= = = = = =

roca

roca

roca

2Φ და 3Φ ფუნქციებს ექნებათ ისეთივე სახე როგორიც

ჰქონდათ წინა შემთხვევაში, კერძოდ

( )

( )

2 21 1

3 31 1

, , sin sin ,

, , sin sin ,

phmn

m n

phmn

m n

m mx y z A e shpz x xa a

m mx y z A e shpz x xa a

π π

π π

∞ ∞−

= =

∞ ∞−

= =

Φ = •

Φ = •

∑∑

∑∑

და 2 3,mn mnA A კოეფიციენტების განსასაზღვრელად გვექნება

შემდეგი ალგებრულ განტოლებათა სისტემა

( )21

1 2 3 333

1 2 3

22

2 0

ph phmn mn mn

ph phmn mn

e chphA chph phshph e A fp

e shphA phe chphA

γγγ

γ

− −

− −

+ + =

+ =

საიდანაც მივიღებთ, რომ

78

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )

23

2 31 3

33 3

3

2 2 2,

2 2 2

2.

2 2

phmn mn mn

mn ph

mn mnmn mnph

e ph sh ph p chph phshph f pchph pchph shphA

p ph sh ph e chph

f pchph pchph shphA f

h ph sh ph e

η ηγ γ

ηγ

−

−

−

− − − + − =−

+ − =−

ცხადია, რომ ზუსტად ისეთივე მსჯელობით, რომლითაც დავასაბუთეთ

წინა შემთხვევაში მწკრივების კრებადობა, აქაც შეგვიძლია იგივე

გავიმეოროთ.

დასკვნა

როგორც ვხედავთ, განხილული სასაზღვრო ამოცანები

მათემატიკურად სავსებით ანალოგიური არიან. მაგრამ მექანიკური

თვალსაზრისით კი მეტად ყურადსაღებია. პირველ შემთხვევაში

განხილული ამოცანა წარმოადგენს სახსრულად დაყრდნობილი სქელი

ფილის ნორმალური დატვირთვით გამოწვეულ ღუნვის ამოცანას ,

როდესაც ფილაზე მოქმედებს თერმული ველი. მართლაც, ჩვენს

შემთხვევაში, ფილის 0z = შუა ზედაპირის ყოველი წერტილი განიცდის

მხოლოდ ჩაღუნვას. ეს არის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც 2hz = ±

სიბრტყეებზე მოქმედებს ანტისიმეტრიული ნორმალური დატვირთვა.

სულ სხვა სურათი გვაქვს მაშინ, როდესაც 2hz =

მოცემულია

ნორმალური დატვირთვა, ხოლო 2hz = − კი თავისუფალია

დატვირთვისაგან. როგორც ზემოთ ვნახეთ სასაზღვრო ამოცანა

შესაძლებალია დაიყოს ორ ამოცანად : სიმეტრიული და

ანტისიმეტრიული დატვირთვებით. ამ ამოცანებიდან, მეორე გვაძლევს

ღუნვის ანალოგიურ ამოცანას, ხოლო პირველი, რადგან შუა ზედაპირზე

გადადგილების ვექტორის არანულოვანი u და v მდგენელების გამო,

წარმოადგენს კუმშვა _ გაჭიმვის ანალოგიას. სქელი ფილის ჩაღუნვის

ეფექტი შეუძლია მოგვცეს გარკვეული სახის მხებ დატვირთვასაც, როცა

ნორმალური დატვირთვა არა გვაქვს.

79

§2.4 თავისუფლად დაყრდნობილი სქელი ფილის ღუნვის

ამოცანები თერმული ველის გათვალისწინებით

განვიხილოთ სქელი ფილა, რომლის ოთხივე გვერდით

წახნაგზე მოცემულია შემდეგი პირობები

0, : 0, v = 0, w = 0, T = 0;

y = 0,b : 0, u = 0, w = 0, T = 0.x

y

x a σσ

= =

= (4.1)

აქ 1x და 1y _ის ნაცვლად გამოვიყენებთ აღნიშვნებს a და b _ს.

როგორც ვხედავთ ფილის გვერდებზე მოცემულია ანტისიმეტრიული

გაგრძელების პირობები. ძაბვის ნორმალური მდგენელების ნულთან

ტოლობა ნიშნავს, რომ ამ გვერდებზე მღუნავი მომენტები და ნორ-

მალური ძალები ნულია. ტექნიკურად ეს პირობები შემდეგნაირად

შეიძლება განხორციელდეს: ფილა უნდა ეყრდნობოდეს მის კიდეებზე

განლაგებულ საგორავებს. საგორავებს არ შეუძლიათ ღერძის გასწვრივ

გასრიალება.

ფილის ზედა ფუძეზე მოქმედებს განივი Dდატვირთვა, რომ-

ელიც ორივე კოორდინატის მიმართ იცვლება სინუსოიდალური კანონით

11 sin sin .x yp p

a bπ π

= (4.2)

მის ქვედა ფუძეზე მოცემულია ანტისიმეტრიული გაგრძელების

პირობა

0, u = 0, w = 0.zσ = (4.3)

2Φ და 3Φ ფუნქციებისათვის გამოვიყენოთ წინა პარაგრაფში

მიიღებული მწკრივების მხოლოდ პირველი წევრები

( )

( )

( )

1

2 1

2 2

, , sin sin ,

, , sin sin ,

, , sin sin ,

x yT x y z t shpza bx yx y z A shpz

a bx yx y z A shpz

a b

π π

π π

π π

=

Φ =

Φ =

(4.4)

80

სადაც 2 2

1 ,pa bπ πγ

= +

1 1 2, ,t A A _ უცნობი კოეფიციენტებია.

სასაზღვრო პირობების გათვალისწინებით, მიღებული

ალგებრულ განტოლებათა სისტემიდან განვსაზღვრავთ 1 1 2, ,t A A

კოეფიციენტებს.

( )( )

( )( )

( )( )

( )1

1

2 3 2 2 211

1 11 12 33 3

2 2 31

2 11 12 33 3

2

2 1 2.

mn

T

t

t

Ttshp h

p phch ph pshphchph p hsh phchph phshphA p t

p shph chph ph chph p shph chph ph

chph p p sh phA p t

p shph chph ph p shph chph ph

γ ηγγ γ

γ γ ηγ γ

=

− −+= − −

− −

−= − −

− −

(4.5)

სადაც

4 0 10 3

0 1

.1

γ λ β γηλ γ+

=−

(4.6)

თუ მიღებულ გამოსახულებებს ჩავსვამთ (4.4) _ ში, მივიღებთ:

( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )1

12 112

3

2 3 2 2 21

133

2

3 1123

21

, , sin sin ,

2, ,

sin sin

2, ,

mn

T

t

T x yT x y z shpzshp h a b

chph phshphx y z p

p shph chph ph chph

p phch ph pshphchph p hsh ph x yt shpzp shph chph ph a b

chphx y z p

p shph chph ph

π π

γγ

γ η π πγ

γγ

γ

=

+Φ = − − −

− −−−

Φ = − − −

−

( )( )3

133

1 2sin sin .tp p sh ph x yt shpz

p shph chph ph a bη π π

γ−−

(4.7)

მივიღოთ შემდეგი აღნიშვნები:

81

( )( )

( )( )

( )( )

( )1

11 1 112

3

2 3 2 2 21

2 133

2 2 31

3 11 4 12 33 3

2, ,

2 1 2, .

mn

T

t

t

chph phshphTt pshp h p shph chph ph chph

p phch ph pshphchph p hsh pht

p shph chph ph

chph p p sh php t

p shph chph ph p shph chph ph

γη

γ

γ ηη

γ

γ γ ηη η

γ γ

+= = −

−

− −= −

−

−= − = −

− −

(4.8)

მაშინ (4.7) ფორმულები ასეთ სახეს მიღებს:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

2 1 2

3 3 4

, , sin sin ,

, , sin sin

, , sin sin

x yT x y z t shpza b

x yx y z shpza bx yx y z shpz

a b

π π

π πη η

π πη η

=

Φ = +

Φ = +

(4.9)

მიღებული გამოსახულებები ჩავსვათ წინა პარაგრაფის (3.9) და

(3.10) ფორმულებში, მაშინ მივიღებთ დაძაბულ _ დეფორმირებლი ველის

ყველა კომპონენტს. კერძოდ, კი w −სთვის გვექნება

( ) ( )

( )

3 31 2 3 4 1

4 4 1

23

3 44 1

w = 12

sin sin 2

t pchpzc c

p shpz x yc a b

γ γη η η ηγ

γ π πη ηγ

+ + − + + +

+ +

ახლა განვიხილოთ დაძაბულ_დეფორმირებული მდგომარეობა

ფილის 0z = შუა სიბრტყეში (8) ფორმულებიდან ჩანს, რომ

u = 0, v = 0, D = 0, 0, 0,x yσ σ= = 0,zσ =

( ) ( )3 31 2 3 4 1

4 4 1

w = 1 sin sin 2

t pchpz x yc c a bγ γ π πη η η η

γ + + − + +

მაქსიმალური ჩაღუნვა გვექნება z=0 სიბრტყეზე წერტილში

, ;2 2a bx y= =

( ) ( )3 3

1 2 3 4 14 4 1

w = 1 2

t pc cγ γη η η η

γ

+ + − + +

ამ სიბრტყეზე

82

( ) ( )

( ) ( )

3 3 4 3 1 2 1 4 0 10 3

1 0 1

3 3 4 3 1 2 1 4 0 10 3

1 0 1

sin cos ,2 1

sin cos ,2 1

xz

yz

pp pt x ya a a a b

pp pt x yb b b a b

γ η η π γ η ηπ π γ λ β γ π πτγ λ γ

γ η η π γ η ηπ π γ λ β γ π πτγ λ γ

+ + + = + + − + + + = + + −

შევნიშნოთ, რომ როგორც x yσ σda მღუნავ ძაბვების გამოსა-

ხულებებიდან ჩანს, ყოველ 1z z= კვეთაში, მათ მაქსიმუმი ექნებათ

, ;2 2a bx y= = წერტილებში, ხოლო მხები ძაბვები იმ Kკვეთებში,

რომლებიც გადიან ფილის ცენტრში ნულის ტოლია.

განვიხილოთ კიდევ ერთი შემთხვევა. ზედა ფუძეზე

მოცემულია ნორმალური დატვირთვა, ხოლო მხები დატვირთვა ისეთია,

რომ 0.zyzx

x yττ ∂∂

− =∂ ∂

ქვედა Fფუძეზე, როგორც წინა ამოცანაში მოცემულია

შემდეგი სასაზღვრო პირობა. ე.ი. ფილისათვის გვაქვს შემდეგი

სასაზღვრო პირობები:

11: 0, sin sin ,

0;

0 : 0, u=0, v=0.

zyzxz

zyzx

z

x yz h sx y a b

x yz

ττ π πσ

ττ

σ

∂∂= = + =

∂ ∂∂∂

− =∂ ∂

= =

უკვე განხილული შემთხვევის მსგავსად, აქაც მივიღებთ 2,T Φ და

3Φ ფუნქციებისათვის შესაბამის გამოსახულებებს და დაძაბულ _

დეფორმირებული ველის კომპონენტებს კი ექნებათ ანალოგიური სახე.

თუ აქაც განვიხილავთ შუა სიბრტყეს და მის დაძაბულ _

დეფორმირებულ მდგომარეობას, ადვილად შეგვიძლია დავრწმუნდეთ,

იმაში,რომ მაქსიმალური ჩაღუნვა გვექნება ,2 2a bx y= = წერტილში.

83

დასკვნა

სქელი ფილების თეორია იზოტროპული სხეულებისათვის,

რომელიც დაფუძნებულია დრეკადობის თეორიის წონასწორობის

განტოლებებზე და სენ _ ვენანის პირობებზე, პირველად აგებული იყო

მიჩელის მიერ და შემდგომ დაწვრილებით განიხილა ლიავმა თავის

მონოგრაფიაში[33]. ამ ამოცანების მათემატიკური სირთულეების გამო

საჭირო გახდა სქელი ფილების გაანგარიშების ტექნიკური თეორიების

შექმნა. ასეთია, მაგალითად, რეისნერ _ ბილეს, ვ. ვლასოვის თეორიები.

ამ თეორიებში მხედველობაში მიღებულია, რომ მხები ,zx zyτ τ

_ძაბვებისათვის წინასწარ (აპრიორი) მიღებულია პარაბოლური

განაწილების კანონი z ცვლადის მიმართ. თავად ფილა ითვლება, რომ

ბრტყელ დაძაბულ მდგომარეობაში იმყოფება და სრულდება შემდეგი

პირობები 0, 0, 0.z xz yzσ τ τ= ≠ ≠ ამასთან შუა ზედპირის გეომეტრიული

ზომები არ იცვლება და მიღებულია ფიზიკური ჰიპოთეზა ნორმალის

ელემენტის შესახებ. ზემოთ განხილული შემთხვევებში მიღებული

ზუსტი ამონახსნები საშუალებას იძლევა ამ თეორიების დაზუსტებაში,

უფრო სწორედ რომ ვთქვათ, ერთმანეთთან შედარებაში ითამაშონ

გარკვეული წილი. მხოლოდ უნდა გავითვალისწინოთ და ამას უნდა მი-

ექცეს ყურადღება, რომ აუცილებლად ზედა და ქვედა ფუძეებზე მოცე-

მულია ანტისიმეტრიული დატვირთვა, რადგან მხოლოდ ამ შემთხვევაში

სამგანზომილებიან თეორიაში გვექნება შუა ზედაპირი თავისუფალი.

$2.5. მრავალფენიანი სქელი ფილის ღუნვის ამოცანები

თერმული ველის გათვალისწინებით

ამ პარაგრაფში განვაზოგადებთ ზემოთ განხილულ ამოცანებს

მრავალფენიან სქელი ფილებისათვის. ფილას აქვს მართკუთხა პარალე-

ლეპიპედის ფორმა. შემდგომ, როდესაც ვიტყვით პარალელეპიპედს ყოვე-

ლთვის ვიგულისხმებთ ფილას.

84

ვთქვათ,ფილას უკავია ( ) 1 1 1, , :0 , 0 , 0 ,x y z x x y y z zΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

არე და მრავალფენიანია z ღერძის გასწვრივ. ისევე როგორც წინა პარა-

გრაფში, ვიგულისხმებთ, რომ ფილის ყოველი შრე ტრანსვერსალურად

იზოტროპულია, რომელთა საერთო იზოტრპიის ღერძია z _ ღერძი. მივი-

ღოთ, რომ Ω არის iΩ პარალელეპიპედების გაერთიანება, კერძოდ

( ) 1 1, , :0 , 0 , 0 ,i ix y z x x y y z zΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ,

სადაც 01, , , 0.Ni N z h z= = = შევნიშნოთ, რომ i _თი აღნიშნულია შრის ნო-

მერი და შრეები დანომრილია ქვემოდან ზევით. თითეულ ფილას აქვს

ნახ.7. ხუთფენიანი სქელი ფილა თავისი დრეკადი მახასიათებლები და სითბური კოეფიციენტები. ამას-

თან, ფილისათვის მიღებული გვაქვს, რომ განზოგადებულად პარალელუ-

რი გადაადგილების ვექტორი ნულის ტოლია, ე.ი. v u 0Bx y∂ ∂

= − =∂ ∂

. ფი-

ლის გვერდით წახნაგებზე, ყველა ფენისთვის, მივიღოთ, რომ სრულდება

შემდეგი პირობები

: ) 0, 0, 0, 0,

) 0, 0, v 0, w 0

j zxTx x a u Bx

b T K

τ∂= = = = =

∂= = = =

roca an

. (5.1)

85

: ) 0, v 0, 0, 0,

) 0, 0, 0, w 0

j zyTy y a By

b T K u

τ∂= = = = =

∂= = = =

roca an

.

(5.2)

( ) ( )

( ) ,,)

,,),,):

3

21

yxFTyTc

yxFTbyxFyTazz

jj

jjj

=Θ+∂∂

==∂∂

= ananroca

(5.3)

ფენებს შორის iz z= სიბრტყეებზე მოცემულია ხისტი კონტაქტის

პირობები: 1 1

1 1

1 1

w =w , .

u u u u ,

,

i i i iz z

i i i i

i i i ixy xy xy xy

x y x y

x y x y

σ σ

τ τ τ τ

+ +

+ +

+ +

=

∂ ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂

ფილის პირით ზედაპირებზე შეიძლება მოცემული იყოს

სასაზღვრო პირობები როგორც ძაბვებში, ასევე გადაადგილებებში

(ცხადია, რომ მოცემული პირობები შეგვიძლია შევცვალოთ

ექვივალენტური მოდიფიცირებული სასაზღვრო პირობებით). ზო-

გადობის დაურღვევლად, მხოლოდ და მხოლოდ სიმარტივისათვის

განვიხილოთ სასაზღვრო_საკონტაქტო ამოცანა ხუთფენიანი ფილისთვის.

ამ ფილისათვის სრულდება ყველა ის მოთხოვნა რომელიც ზემოთ არის

მოყვანილი, მხოლოდ ზედა და ქვედა ფუძეებზე მოცემულია სიმეტრი-

ული ან ანტისიმეტრიული დატვირთვები. თუ

( ) 1 1, , :0 , 0 ,x y z x x y y h z hΩ = ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤

მაშინ Ω არის შემდეგი ხუთი ფენის გაერთიანება:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 1 2

3 2 3

4 3 4

5 4

, , :0 , 0 , ,

, , :0 , 0 , ,

, , :0 , 0 , ,

, , :0 , 0 , ,

, , :0 , 0 , ,

x y z x a y b h z z

x y z x a y b z z z

x y z x a y b z z z

x y z x a y b z z z

x y z x a y b z z h

Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤

Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

Ω = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤

86

როგორც წინა პარაგრაფში, მოცემული ამოცანა შეიძლება

დაიყოს ორ ამოცანად; გარკვეულობისათვის ვიგულისხმოთ, რომ , როცა

ნახ.8.

1 2 2: ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),z zx zyz h T t x y f x y f x y f x yσ τ τ± ± ±= ± = = = =

მაშინ მესამე ფენის შუა სიბრტყე განიცდის ღუნვას, ე.ი. ზედაპირზე

შესრულდება ანტისიმეტრიული გაგრძელების პირობა. ამიტომ შეგვიძლია

ამოცანა განვიხილოთ სამი ფენისათვის. ე.ი. გვაქვს შემდეგი სასაზღვრო-

საკონტაქტო ამოცანა: ვიპოვოთ სამფენოვანი ფილის თერმოდრეკადი

წონასწორობა, თუ სრულდება შემდეგი სასაზღვრო პირობები:

0, : 0, 0, 0, 0,

0, : 0, v 0, 0, 0,

zx

zy

Tx a u Bx

Ty b By

τ

τ

∂= = = = =

∂∂

= = = = =∂

(5.4)

87

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 1

1 1

1 1

1

0 : 0, 0, u=0, v=0;

: , , , , ,

0;

: , w =w ,

,

u v u v ,

;

z

zyzxz

zy zx

i i i ii z z

i i iizy zy zyzx

i i i i

i i

z T

z h T t x y f x y f x yx y

x y

z z

x y x y

x y x y

T T

σττσ

τ τ

σ σ

τ τ ττ

+ +

+ +

+ +

+

= = =∂∂

= = = + =∂ ∂

∂ ∂− =

∂ ∂

= =

∂ ∂ ∂∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂ ∂

=

(5.5)

ფრჩხილებში ჩასმული ინდექსი მიუთითებს ფენის ნომერს. ცხადია,

რომ i ღებულობს 1 და 2 მნიშვნელობებს. რომ ვიპოვოთ მრავალფენიანი

სქელი ფილის დრეკადი წონასწორობა, ამისათვის i_ური ფენისათვის,

მსგავსად ზემოთ განხილული ამოცანებისა , ფილის გვერდით წახნაგებზე

მოცემული სასაზღვრო პირობების გათვალისწინებით, ვაგებთ

გამოსახულებებს 2 3,Φ Φ და T ფუნქციებსთვის. მათ შესაბამისად ექნებათ

შემდეგი სახე:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 21 1

3 31 1

1 1

, , sin sin ,

, , sin sin ,

, , sin sin ,

i phmn

m n

i phmn

m n

i phTmn

m n

m mx y z A e shpz x ya b

m mx y z A e shpz x ya b

m mT x y z A e shpz x ya b

π π

π π

π π

∞ ∞−

= =

∞ ∞−

= =

∞ ∞−

= =

Φ = •

Φ = •

= •

∑∑

∑∑

∑∑

(5.6)

სადაც

sin sinmn

m mx ya bπ πψ =

.

ამის შემდეგ ზემოთ მოყვანილი მეთოდოლოგიით შევადგენთ

დრეკადი ველის კომპონენტებს (_2.14), (2.15) სასაზღვრო და საკონტაქტო

პირობების შესასრულებლად ( 0z = სიბრტყეზე, როგორც მოცემული (2.16)

88

გამოსახულებებიდან ჩანს, ავტომატურად სრულდება). ზუსტად ისეთივე

მსჯელობით, როგორიც გვქონდა წინა პარაგრაფში უცნობი

კოეფიციენტებისათვის, ყოველი ფიქსირებული m და n -თვის მივიღებთ

ექვს უცნობიან ალგებრულ განტოლებათა სისტემას. ისევე, როგორც წინა

შემთხვევებშიც, აქაც შესაძლებელია მიღებული სისტემის ამოხსნადობისა,

შესაბამისი მწკრივების კრებადობისა საკითხების დამტკიცება.

89

თავი III.

თერმოელექტროდრეკადი წონასწორობა ცილინდრულ

კოორდინატებში

$3.1. ძირითადი განტოლებები, სასაზღვრო პირობები ცილინდრულ

კოორდინატებში

შესავალი. იზოტროპული ერთგვაროვანი ფენის დრეკადი

წონასწორობა ჯერ კიდევ ლამემ და კლაპეირონმა განიხილა. შემდგომ

კვლევებში ხდებოდა ერთი მხრივ ამ ავტორების მიერ მიღებული

ამოხსნების გამარტივება, მეორე მხრივ კი მათი განზოგადოება. ამ

საკითხისადსმი მიძღვნილ ამოცანათა საკმაოდ დიდი ჩამონათვალი

მოყვანილია მონოგრაფიებში [10], [18].

ყველა მითითებულ შრომებში უმეტეს შემთხვევაში ამოცანის

ამოხსნები აიგებოდა ორმაგი ინტეგრლური გარდაქმნის ფორმულების

დახმარებით იზოტროპული ფენისთვის ტემპერატურული შეშფოთების

გაუთვალისწინებლად. ამ თავის პირველ ორ თავში ფურიეს მეთოდის

და ორმაგი მწკრივების, დახმარებით აგებულია თერმოელექტროდრეკა-

დობის[89] სტატიკური სასაზღვრო და სასაზღვრო-საკონტაქტო

ამოცანების ამოხსნები ( ) 10101 ;;:,, zzzrrrRzr o <<<<<<∈=Π αααα

მრუდწირული საკოორდინატო პარალელეპიპედისათვის (ფაქტობრივად,

მრუდწირულ საკორდინატო პარალელეპიპედში, იგულისხმება

საკოორდინატო ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეული), სადაც zr ,, α

_ ცილინდრული კოორდინატებია. შემდგომ უნდა გავითვალისწინოთ,

რომ z=0 და z=z1 ზედაპირებზე ტემპერატურულ და ელექტრულ შეშფო-

თებასთან ერთად შეიძლება მოცემული იყოს როგორც ძაბვები, ასევე

გადადგილებები ან მათი კომბინაცია. გვერდით ( 1010 ,,, αααα ==== rrrr

) ზედაპირებზე კი მოცემულია სპეციალური სახის ერთგვაროვანი სასაზ-

ღვრო პირიბები. აქვე შევნიშნოთ, რომ ქვემოთ განხილულ სასაზღვრო

90

ამოცანებში, როდესაც ზედაპირი არის სიბრტყე სპეციალური სახის პირ-

ობა გარდაიქმნება მესამე სასაზღვრო ამოცანის შესაბამის სასაზღვრო პირ

ნახ.9. წრიული ცილინდრული კოორდინატთა სისტემა

ობად. თუ სხეული მრავალფენიანია,ნახ.9. ცილინდრულ კოორდინატთა

სისტემა მაშინ constz = საკონტაქტო ზედაპირებია. შემდგომ

ვიგულისხმებთ, რომ დრეკადი სხეული ან მრავალფენიანი სხეულის

ფენები ტრანსტროპულია (ტრანსვერსალურად-იზოტროპული). აქვე

აღვნიშნოთ, რომ ტრანსტროპული ეწოდება სხეულს,

რომლის დრეკადი თვისებები მოცემული ღერძისა და მისი ნებისმიერი

პერპენდიკულარული მიმართულებით განსხვავეებულია, ხოლო აღნიშ-

ნული ღერძის ნებისმიერ მართობულ სიბრტყეში არ არის დამოკიდე-

ბული მიმართულების არჩევაზე. ამ სიბრტყეს იზოტროპიის სიბრტყე

ეწოდება და ჩვენს შემთხვევაში constz = _ იზოტროპიის სიბრტყეა.

ამგვარად, ამ თავში განხილული იქნება (მიუხედავად იმისა, რომ

სხეულის გვერდით ზედაპირებზე სპეციალური სახის ერთგვაროვანი

პირობებია) უსასრულო ფენის დრეკადი წონასწორობის ამოცანის განზო-

91

გადება მისი ამოხსნის მეთოდის გამარტივების გზით[72]. გამარტივება

მიიღწევა იმის გამო, რომ 1) სასაზღვრო და საკონტაქტო ზედაპირებზე

მოცემული კლასიკურ პირობებს Eეკვივალენტური პირობებით შეცვლით ;

2)ორმაგი ინტეგრალური გარდაქმნების მაგივრად ორმაგი მწკრივების

გამოყენება მოხდება.

ამოხსნათა ეფექტურობის შესახებ შეიძლება შემდეგი აზრი გამოვ-

თქვათ: თუ მოცემულ არეში ცვლადთა განცალების მათოდით (ფურიეს

მეთოდით) შეიძლება ეფექტურად აიგოს ლაპლასის განტოლების ამოხსნა,

მაშინ ასეთივე ეფექტურობით, ამავე არეში და ამავე Mმეთოდით

შეიძლება განისაზღვროს აღნიშნული სხეულების თერმოელექ-

ტროდრეკადი წონასწორობა.

. 1. .განვიხილოთ წრიულ ცილინდრულ , ,r zα კოორდინატთა

სისტემის (0 , 0 2 , )r zα π≤ ≤ ∞ ≤ ≤ −∞ ≤ ≤ ∞ საკოორდინატო ზედაპირებით

შემოსაზღვრული ტრანსტროპული სხეულის თერმოდრეკადი წონასწორობა.

ჩვენს მიერ განსახილავ სქელ ფილას უკავია არე:

0 1 1 10 , 0 , 0r r r z zα αΩ = ≤ < < < < < < ,

ამიტომ ასეთ სხეულებს შეიძლება ვუწოდოთ მრუდწირული საკო-

ორდინატო პარალელეპიპედი (ნახ ). იზოტროპიის სიბრტყედ მივიღოთ

z const= სიბრტყე.

თერმოელექტროდრეკადობის დიფერენციალური განტოლებათა

სისტემას აქვს შემდეგი სახე [88], [89]:

,01) =

−+

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

rzrra rzrrr αα σστ

ατσ

,0

21) =+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

rzrrb zr ραααα ττ

αστ

(1.1)

,01) =+

∂∂

+∂∂

+∂∂

rzrrc rzzzrz τσ

αττ α

( ),011

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

zD

zD

rrDr

rzr α (1.2)

92

(1.1) განტოლებები _ ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში ჩა-

წერილი ჩვეულებრივი დრეკადი წონასწორობის განტოლებებია. (1.2)

განტოლებები კი ელექტროსტატიკის განტოლებებია. ამ განტოლებებში

zr σσσ α ,, _ ძაბვის ნორმალური მდგენალებია, , ,r r z zα ατ τ τ –ძაბვის მხები

მდგენელებია. zr DDD ,, α _ელექტრული D ინდუქციის ვექტორის მდგენე-

ლებია zr ,, α საკორდინატო ღერძების გასწვრივ.

გადაადგილებებსა და ძაბვებს შორის კავშირს ანუ ჰუკის კანონს

(მას როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ზოგი ავტორი ფიზიკურ კანონს უწოდ-

ებს) ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში აქვს სახე [90]

( ) ,2 1013511 TEecccc zzzrrr βεεεσ αα −−+−+=

( ) ,2 1013151 TEecccc zzzrr βεεεσ ααα −−++−=

( ) ,20223 TEecc zzzrrz βεεεσ αα −−++=

(1.3)

,34 ααα ετ Eec zz −= ,34 rrzrz Eec −= ετ ,5 αα ετ rr c=

,13 rzrr EeD ∋+= ε ,13 ααα ε EeD z ∋+=

( ) .211 zzzrrz EeeD ∋+++= εεε αα

,,, zzrr εεε αα ,rr αα εε = ,zrzr εε = zz αα εε = _დეფორმაციიის ტენ-

ზორის კომპონენტებია; rE , zE αE _ ელექტრული E

ველის ვექტორის

კომპონენტებია და ϕ ელექტრული პოტენციალით ასე გამოისახება

ϕgradE −=

[88]. ic (i =1, 2, 3, 4, 5) _ მუდმივი ელექტრული ველისას

გაზომილი დრეკადობის მუდმივებია; ,je (j = 1, 2, 3) _ პიეზოელექტრული

მუდმივებია; 21 , ∋∋ _მუდმივი დეფორმაციების დროს დიელექტრული

გამტარობის მუდმივებია; ( ) ]2[ 3315110 βββ ccc +−= , ]2[ 221302 βββ cc += ,

21 , ββ - იზოტროპიის სიბრტყეში და z ღერძის გასწვრივ წრფივი

სითბური გაფართოების კოეფიციენტებია[48]. სხეულში T ტემპერატურა

აკმაყოფილებს შემდეგ განტოლებას

011

2

2

022 =∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zTT

rrT

rrT λ

α

(1.4)

93

და შესაბამის სასაზღვრო პირობებს. 0λ = 2

1

λλ

; 1λ და 2λ სითბოგამტარე-

ბლობის კოეფიციენტებია იზოტროპიის სიბრტყეში და z – გასწვრივ;

გადაადგილებებსა და დეფორმაციებს შორი კავშირს აქვს

შემდეგი სახე:

ru

rr ∂∂

=ε , ru

r+

∂∂

=α

εααv1

, w

zz zε ∂

=∂

, (1.5)

αε α ∂

∂+

∂∂

=w1v

rzz , rz

urz ∂

∂+

∂∂

=wε ,

αε α ∂

∂+−

∂∂

=u

urr1

rvv

,

სადა u,v,w_გადაადგილების ვექტორის კომპონენტებია , ,r zα

Oსაკორდინატო ღერძების გასწვრივ.

თუ გავითვალისწინებთ (1.3) და (1.5) ტოლობებს, მაშინ (1.1)

სისტემა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგი სახით [91], [92]:

( )2 2 2 2z3 1 2 3 z 3 1 1 3

2 2 21 1 1

3 20 3 10

1

w 1 1)

,

rrc K c c c c e c eac z c z r r r c z

c c Tc z

ατ τ φα

β β

∂∂ − ∂ ∂ − ∂+ + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ∂

+∂

( )z) 0 ,rrK Bb r

r zτ

α∂∂ ∂

− + =∂ ∂ ∂ (1.6)

,01) z =∂∂

+∂∂

+∂∂

zK

rrBc ατ

α

( ) ( )z z 4

5

) 0,rr rBcdr c zατ τ

α∂ ∂∂

− − =∂ ∂ ∂

სადაც

,wv1) 10131 Tz

ez

cru

rrucKa βϕ

α−

∂∂

+∂∂

+

+

∂∂

+∂∂

=

,1vv) 5

∂∂

−+∂∂

=αu

rrrcBb (1.7)

,w) 34 re

rzucc zr ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=ϕτ

.1w1v) 34 αϕ

ατ α ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=r

erz

cd z

აღსანიშნავია, რომ (1.7d) წარმოადგენს იგივეობას [91].

94

Qქვემოთ მოგვყავს ის სასაზღვრო პირობები, რომლებიც შემდგომ

განსაზღვრავენ განსახილავი სასაზღვრო ამოცანების კლასს. ამისათვის

განვიხილოთ თერმოელექტროდრეკადი წონასწორობა ცილინდრული

საკოორდინატო პარალელეპიპედის. მას, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ,

უკავია არე:

( ) 1 0 1 1, , : ; ; 0 .or z R r r r z zα α α αΠ = ∈ < < < < < <

ნახ.10. სქელი ფილა (ე.წ. ცილინდრული პანელი)

სასაზღვრო პირობებს შემდეგი სახე აქვთ:

როცა an,0,0,0,0,0): =====∂∂

= rzrj DBurTarr τ

(1.8)

) 0, 0, v 0, w 0, 0b T K φ= = = = = .

როცა : ) 0, v 0, 0, 0, 0,j zTa B Dα αα α τα∂

= = = = = =∂

an (1.9)

) 0, 0, u 0, w 0, 0b T K φ= = = = =

( ) ( )

( )

1 2

3

: ) , , ) , ,

) , ,

j j j

j j

Tz z a F r b T F r

Tc T F r

α αα

αα

∂= = =

∂∂

+ Θ =∂

roca an an

(1.10)

95

( ) ( )4 5: ) , , ) , .j j z jz z a F r b D F rφ α α= = =roca an (1.11)

( ) ( ) ( )6 7 8: ) , , , , , ,j Z j zr j z jz z a F r F r F rασ α τ α τ α= = = =roca an

j1 2 j3b) w f ( , ), ( , ), v f ( , ),jr u f r rα α α= = = an (1.12)

6 2 j3) ( , ), ( , ), v f ( , ),z j jc F r u f r rσ α α α= = = an

).,(F),,(),,(w) j876 ατατα α rrFrFd zjzrj ===

აქ j= 0, 1. ამასთან 00 =z , - მოცემული მუდმივებია.

),(),,( αα rfrF jljl ფუნქციებზე დადებულ პირობებზე ქვემოთ გვექნება

ლაპარაკი; აქ აღვნიშნავთ მხოლოდ, რომ ისინი აკმაყოფილებენ

პარალელეპიპედის წიბოებზე შეთანხმებულობის პირობებს.

რამდენიმე სიტყვა ზემოთ მოყვანილ ცილინდრული

საკორდინატო პარალელეპიპედის (შემდგომ გამოვიყენოთ აბრევიატურა

„ცსპ“) ექვს საერთოდ, რომ ვთქვათ არაბრტყელ წახნაგებზე სასაზღვრო

პირობების და ფიზიკური მოდელის შესახებ. სხვა სიტყვებით, რომ

ვთქვათ, როგორია ცილინდრული საკორდინატო პარალელეპიპედის

დაძაბული-დეფორმირებული მდგომარეობის მათემატიკური მოდელი.

ნაშრომში განხილული ამოცანების ფიზიკური მოდელი შეიძლება

ასე ჩამოვაყალიბოთ:

ვიპოვოთ ცილინდრული საკორდინატო პარალელეპიპედის

დაძაბულ-დეფორმირებული მდგომარეობა, როდესაც მის ორ პარალეურ

წახნაგზე გარდა თერმული ველის აგრეთვე მოცემულია ზედაპირული

შეშფოთება ძაბვების, გადაადგილებების ან მათი კომბინაციის სახით,

ხოლო დანარჩენი წახნაგები ნაწილობრივ ჩამაგრებულია და თერმო–

ელექტრო იზოლირებულია ან ტემპერატურა ნულის ტოლია.

ნაწილობრივ ჩამაგრებაში იგულისხმება, რომ ამ წახნაგებზე

სრულდება ზემოთმოყვანილი (1.8) და (1.9) სასაზღვრო პირობები. ამ

სასაზღვრო პირობების ტექნიკური ინტერპრეტაცია შემდეგნაირია: 1) ან

არაბრტყელ წახნაგზე დაკრულია უჭიმადი და უკუმშვადი გარსი ( თუ

წახნაგი ბრტყელია, მაშინ მასზე დაკრულია ფირფიტა) 2) ან არაბრტყელი

96

წახნაგი ებჯინება აბსოლუტურად გლუვ და ხისტ სხეულს. ცხადია, რომ

სხეულის ზედაპირის ფორმა სავსებით იდენტურია არაბრტყელი

წახნაგის, რადგანაც არაბრტყელი წახნაგის ყველა წერტილი უნდა

ეხებოდეს სხეულის გლუვი ზედაპირის შესაბამის წერტილებს.

სხვანაირად პირველ შემთხვევაში წახნაგის წერტილებს არ შეუძლიათ

გადაადგილება ზედაპირის მხების გასწვრივ, მაგრამ თავისუფლად

გადაადგილდებიან ზედაპირის ნორმალის გასწვრივ. მეორე შემთხვევაში

წერტილებს არშეუძლიათ ზედაპირის ნორმალის გასწვრივ

გადაადგილება, მაგრამ თავისუფლად გადადაადგილდებიან ზედაპირის

მხების გასწვრივ.

მართლაც, რადგან არაბრტყელ წახნაგზე დაკრულია უჭიმადი

და უკუმშვადი გარსი (თუ წახნაგი ბრტყელია, მაშინ მასზე დაკრულია

ფირფიტა), ამიტომ შეგვიძლია მივიღოთ, რომ v = 0, w = 0, ან u = 0, w = 0,

ან u=0, v=0. აქედან K =0.

მეორე შემთხვევაში, რადგან სხეული ებჯინება აბსოლუტურად

გლუვ და ხისტ სხეულს, ამიტომ გადაადგილების ვექტორის ნორმალური

მდგენელი ნულის ტოლია, ხოლო აბსოლუტური სიგლუვის გამო 0B = ,

0Zρ = ან 0, 0zB ατ= = ან 0, 0zr zατ τ= = .

პირველი და მეორე ტიპის ნაწილობრივი ჩამაგრებები გვხვდება

სამშენებლო კონსტრუქციებში, ჰიდრიტექნიკურ ნაგებობებში, მანქანათა-

მშენებლობაში და ა.შ. კერძოდ, პირველი ტიპის ჩამაგრებით შეიძლება

სამშენებლო კონსტრუქციების სახსრული (თავისუფალი) დაყრდნობის,

მსუბუქი შემავსებლით სქელი ფილის დაძაბულ-დეფორმირებული

მდგომარეობის და ა.შ მოდელირება. არანაკლებ მნიშვნელოვანია მეორე

ტიპის ჩამაგრება. კერძოდ, ამ შემთხვევაში შესაძლებელია გლუვი

შტამპისა და დრეკადი სხეულის კონტაქტის მოდელირება ან კიდევ

ეგრეთ წოდებული სამშენებლო კონსტრუქციების სრიალა ჩამაგრების

მოდელირება. ერთი სიტყვით პირველი და მეორე ჩამაგრების

97

პრაქტიკული მნიშვნელობა არა ნაკლებია ვიდრე, მაგალითად

კონსტრუქციის ხისტი ჩამაგრება და ისინი უფრო ხშირად გამოიყენება.

დაბოლოს შევნიშნოთ, რომ რაც უფრო მცირეა ცილინდრული

სასაზღვრო jr r= ზედაპირის სიმრუდე, მით უფრო მცირედია

განსხვავება (1.8a). (1.8b) პირობების შესაბამისი,

0 0, T 0, w0,v,0)

0,0,0,0,0)

=====

==∂∂

===

ϕσ

ττα

r

rzrr

b

DrTua da

(1.13)

პირობებისაგან, როცა jrr = . (1.8a). (1.9b) პირობები

ექვივალენტურია (1.17a) და (1.17b) პირობებისა იმ შემთხვევაში, როდესაც

jrr = - სიბრტყეა.

$ 3..2. კლასიკური და მოდიფიცირებული სასაზღვრო პირობების

ექვივალენტობა. რეგულარული ამოხსნა

წონასწორობის განტოლებების ზემოთ მიღებული ფორმა და

სასაზღვრო პირობების სპეციალური კლასი საშუალებას იძლევა მივიღოთ

(1.6)-(1.7) სისტემის სრული ამოხსნა. უფრო მეტიც, რომ შევძლოთ ამ

ნაშრომში დასმული სასაზღვრო ამოცანების ამოსახსნელად ფურიეს

მეთოდი. ხელსაყრელია მივიღოთ (1.12) სასაზღვრო პირობების

ექვივალენტური პირობები, რომელიც წარმოვადგინოთ შემდეგი სახით.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 3

1 1 2 2 3

1 1 2 2 3

1 1 2 2 3

) , , , , , , , ,

) w = , , u, v , , u, v , ,

) w = , , , , , , , ,

) , , u, v , , u, v , ,

z i zr z i zr z i

i i i

i zr z i zr z i

z i i i

a F r F r F r

b f r f r f r

c f r F r F r

d F r f r f r

α α

α α

σ α τ τ α τ τ α

α α α

α τ τ α τ τ α

σ α α α

= Γ = Γ =

Γ = Γ =

Γ = Γ =

= Γ = Γ =

(2.1)

98

სადაც ( ) ( ) ,1,,1, 122122

212211

∂∂

−∂∂

=Γ

∂∂

+∂∂

=Γαραρgg

hgggg

hgg

ამასთან

ρτ zhg =1 ან hug =1 ,

ατ zhg =2 ან v2 hg = .

მივიღოთ, რომ

Fფუნქციები ( ),jF r α და ( ),jF r α თვითონ, ხოლო ( ),jF r α , ( ),jf r α და

( ),jf r α წარმოიდგინებიან თავიანთი პირველი და მეორე რიგის

წარმოებულებთან ერთად აბსოლუტურად და თანაბრად კრებადი

ფურიეს მწკრივების სახით (ფურიეს მწკრივი შტურმ- ლიუვილის

გარკვეული ამოცანების საკუთრივი ფუნქციების სახით. ). ეს Fფაქტი

აღვნიშნოთ ასე ( )30C Ω .

ჩვენი მიზანია მივიღოთ სასაზღვრო ამოცანების

რეგულარული ამოხსნა. ამიტომ, ჩამოვაყალიბოთ, თუ რა გვესმის

რეგულარული ამოხსნის ცნებაში.

(1.6)-(1.7) სისტემის u, v და w ფუნქციებით განსაზღვრულ ამოხსნას

ვუწოდოთ რეგულარული, თუ B u, v და w არიან სამჯერ უწყვეტად

წარმოებადი Π~ არეში,სადაც Π~ არის Π მრუდწირული

პარალელეპიპედის შიგა არე jr r= და jαα = საზღვრების ჩათვლით.

პარალელეპიპედის ზედა და ქვედა ფუძეზე, ე.ი., როცა jzz = ისინი

წარმოიდგინებიან თავიანთი პირველი და მეორე რიგის წარმოებულებთან

ერთად აბსოლუტურად და თანაბრად კრებადი ფურიეს მწკრივების

სახით (ფურიეს მწკრივი შტურმ- ლიუვილის გარკვეული ამოცანების

საკუთრივი ფუნქციების სახით.). გარდა ამისა, პარალელეპიპედის

გვერდით წახნაგებზე ( jr r= , jαα = ) კმაყოფილდება წონასწორობის

განტოლებები.

ჩვენ ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ (1.12) და (2.1) სასაზღვრო პირობები

ექვივალენტურია. ამისათვის უნდა ვაჩვენოთ, რომ

( ) 1 0 1, : , or R r r rα α α αΠ = ∈ < < < < არეში შემდეგ სასაზღვრო ამოცანას

1 2 2 10, 0;g g g gr rα α

∂ ∂ ∂ ∂+ = − =

∂ ∂ ∂ ∂ (2.2)

99

1 2

2 1: ) 0, 0 ) 0, 0;jg gr r a g b gr r

∂ ∂= = = = =

∂ ∂roca an

(2.3)

2 11 2: ) 0, 0 ) 0, 0.j

g ga g b gr

α αα

∂ ∂= = = = =

∂ ∂roca an

(2.4)

კელდიშ-სედოვის თეორემის[94] თანახმად, (2.2), (2.3),(2.4) სასაზღვრო ამოცანას,

გარდა სასაზღვრო ამოცანებისა (2.2), (2.3a),(2.4b) და (2.2), (2.3b), (2.4a), აქვს

შემდეგი ამოხსნა

g 1=0, g 2=0.

რაც შეეხება (2.2), (2.3a), (2.4b) სასაზღვრო ამოცანას, მას აქვს

შემდეგი სახი ამოხსნა

g 1= g 10 =const, g 2=0, (2.5)

ხოლო (2.2), (2.3b), (2.4a) სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნა კი ასე

წარმოიდგინება:

g 1=0, g 2=g 2 0 =const (2.6)

ამ შემთხვევაში (1.6), (1.7), (1.4), (1.14), (1.12 a), (1.13b), (2.1)

სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნას უნდა დაემატოს ამოხსნა

21

4

b0, w 0, w b z u rc

= = = + , (2.7)

ხოლო (1.6), (1.7), (1.4), (1.14), (1.12b), (1.13 a), (2.1) სასაზღვრო

ამოცანის ამოხსნას კი უნდა დაემატოს ამოხსნა

43

4

bv 0, w 0, u bc

r z= = = + . (2.8)

ამრიგად ექვივალენტობა დამტკიცდა.

$ 3.3. განმსაზღვრელ განტოლებათა სისტემა.

განმსაზღვრელ განტოლებათა მისაღებად (1.7) სისტემის მეორე,

მესამე და მეოთხე განტოლებები გავაწარმოოთ შესაბამისად ρ–თი, α–თი

და z – თი და შევკრიბოთ, მივიღებთ

100

02

2

5

42 =

∂∂

+∆zB

ccB

(3.1)

სადაც 2

2 2 2

1 1rr r r r α∂ ∂ ∂ ∆ = + ∂ ∂ ∂

.

წარმოვადგინოთ BB შემდეგი სახით:

20

2

5

4

zccB

∂Ψ∂

= (3.2)

სადაც 0Ψ აკმაყოფილებს განტოლებას

020

2

5

402 =

∂Ψ∂

+Ψ∆zc

c (3.3)

შევიტანოთ BB გამოსახულება (1.7) _ს მეორე, მესამე და

მეოთხე განტოლებებში, მივიღებთ:

24 0

5

24 0

5

2 24 0 4 0

5 5

0,

0,

0.

zr

z

z zr

K cr rr z c z

K crz c r z

c cr rr c r z c z

α

α

τα

τα

τ τα α

∂ ∂ ∂ Ψ+ − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ Ψ+ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Ψ ∂ ∂ Ψ

+ − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.4)

სრული დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით არსებობს

ისეთი z∂Ψ∂ 1 ფუნქცია, რომ

21

2

2201 4

522

01 4

5

,

,

.

zr

z

Kz

cr z c z

cz c r zα

τα

τα

∂ Ψ= −

∂∂ Ψ∂ Ψ

= +∂ ∂ ∂ ∂

∂ Ψ∂ Ψ= −∂ ∂ ∂ ∂

(3.5)

შევიტანოთ წინა გამოსახულება (1.8) _ში, მივიღებთ

101

1 1

5 4

1 1

4 5

1 1

5 5

1 1w 0,

1 1w v 0,

1 1v 0.

uz c r c z

c z z c r

ur c r c

α

α

α α

∂Ψ ∂Ψ∂ ∂− + − = ∂ ∂ ∂ ∂

∂Ψ ∂Ψ∂ ∂− + + = ∂ ∂ ∂ ∂

∂Ψ ∂Ψ∂ ∂+ − − = ∂ ∂ ∂ ∂

(3.6)

აქაც სრული დიფერენციალის არსებობის თეორემის ძალით,

არსებობს ისეთი 2Ψ ფუნქცია, რომ

12 1

4 4

02 1

4 5

02 1

4 5

1 1w ,2

1 1 1v ,2

1 1 1 .2

z c c z

r c c r

ur c c r

α

α

∂ ∂Ψ= − Ψ + Ψ + ∂ ∂

∂ ∂Ψ= Ψ + Ψ − ∂ ∂

∂ ∂Ψ= Ψ + Ψ + ∂ ∂

(3.7)

თუ (3.5) და (3.7)_ს შევიტანთ (1.7), (1.8)_ში, მივიღებთ 2Ψ _ს

და 3Ψ _ს ფუნქციების განსასაზღვრავად სისტემას

2 21 20 3 103 1 1 2 3 2 1

2 1 21 4 1

2 2 21 3 2 3 1 10

2 2 2 1 2 2 24 1 1 1 4 1

1 ,2

1 1 0.2 2

c cc c c c Tz c z c z z c z c z

c c Tc c z c z c c z c

β β

β

− ∂ ∂ Ψ − ∂ ∂ Ψ ∂ Ψ ∂ ∆ Ψ − − − + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ∆ Ψ + ∆ Ψ + − + − =

∂ ∂ ∂

(3.8)

ვაინტეგროთ (3.8) განტოლებათა სისტემის პირველი განტოლება

z_ით. მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მივიღებთ

2 2 2 21 20 3 103 1 1 2 3 2 1 2 3 1

2 1 2 21 1 1 4 1

2 2 21 3 2 3 1 10

2 2 2 1 2 2 24 1 1 1 4 1

( , ),2

1 1 0.2 2

c cc c c c c c c T f rc z c z c c z c z

c c Tc c z c z c c z c

β βα

β

−∂ Ψ − ∂ Ψ − ∂ Ψ ∂∆ Ψ − + − − =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ∆ Ψ + ∆ Ψ + − + − =

∂ ∂ ∂

(3.9)

სადაც ( ),f r α

არის ინტეგრების შედეგად გაჩენილი ნებისმიერი

ფუნქცია.

102

ზუსტად ისევე როგორც წინა თავებში ზოგადობის

შეუზღუდავად ( ),f r α შეიძლება ნულის ტოლად ჩავთვალოთ და

საბოლოოდ დრეკადი ველის განმსაზღვრელ სისტემას ექნება შემდეგი სახე:

24 0

2 0 25

2 2 2 21 20 3 103 1 1 2 3 2 1 2 3 1

2 1 2 21 1 1 4 1

2 2 21 3 2 3 1 10

2 2 2 1 2 2 24 1 1 1 4 1

0,

0,2

1 1 0.2 2

cc z

c cc c c c c c c Tc z c z c c z c z

c c Tc c z c z c c z c

β β

β

∂ Ψ∆ Ψ + =

∂−∂ Ψ − ∂ Ψ − ∂ Ψ ∂

∆ Ψ − + − − =∂ ∂ ∂ ∂

∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ∆ Ψ + ∆ Ψ + − + − =

∂ ∂ ∂

(3.10)

$ 3.4. სქელი ტრანსვერსალურად- იზოტროპული ფილის

თერმოდრეკადი წონასწორობა

ამ პარაგრაფში განვიხილავთ სქელ ტრანსტროპულ (ტრანსვერსალუ-

რად- იზოტროპული ) ფილას, რომელსაც უკავია

( ) 1 0 1 1, , : ; ; 0or z R r r r z zα α α αΠ = ∈ < < < < < < არე. როგორც

ვხედავთ, ფილა შემოსაზღვრულია ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემის

ზედაპირებით. ე.ი. შემდეგ, ასეთ ფილას ვუწოდებთ ცილინდრულ

პარალელეპიპედს. გვერდით ზედაპირებზე მოცემულია ანტისიმეტრიული

გაგრძელების პირობები ანუ მოცემულია შემდეგი სასაზღვრო პირობები[97]:

როცა : 0, 0, 0, 0;

: v=0, 0, 0, 0.

i zr

i z

r r u B T

B Tα

τ

α α τ

= = = = =

= = = = (4.1)

ხოლო ფილის პირით ზედაპირებზე ( iz z= )მოცემულია:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , , , ,z i zr i z iF r F r F r T T rασ α τ α τ α α= = = = ,

ამ პირობების ნაცვლად განვიხილავთ შემდეგ ეკვივალენტურ

პირობებს

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3, , , , , , , ,

z i zr z i zr z iF r F r F rα ασ α τ τ α τ τ α= Γ = Γ =

103

რაც შეეხება 1Г და 2Г დიფერენციალურ ოპერატორებს, მათ აქვთ

შემდეგი სახე :

( )

( )

1 21 1 2 2

2 12

1 1, ,

1, .

zr z

g gg gr r r

g gr rα

α

τ τα

∂ ∂ Γ = + ∂ ∂ ∂ ∂ Γ = − ∂ ∂

ვგულისხმობთ, რომ ფილაზე ელექტრული ველი არ მოქმედებს,

ამიტომ (1.3) ფორმულები მიიღებენ შემდეგ სახეს

( )1 1 5 3 102 ,r rr zzc c c c Tαασ ε ε ε β= + − + −

( )1 5 1 3 102 ,rr zzc c c c Tα αασ ε ε ε β= − + + −

( )3 2 20 ,z rr zzc c Tαασ ε ε ε β= + + − (4.2)

4 ,z zcα ατ ε= 4 ,rz rzcτ ε= ,5 αα ετ rr c=

შესაბამისად გეომეტრიულ განტოლებებს ექნებათ ასეთი სახე :

ru

rr ∂∂

=ε , ru

r+

∂∂

=α

εααv1

, w

zz zε ∂

=∂

, (4.3)

αε α ∂

∂+

∂∂

=w1v

rzz , rz

urz ∂

∂+

∂∂

=wε ,

αε α ∂

∂+−

∂∂

=u

urr1

rvv

.

განვიხილავთ ისეთ დრეკად ველს, როდესაც გადაადგილების

ვექტორის როტორის 5v v 1

zuB c

r r r α∂ ∂ = + − ∂ ∂

მდგენელი მთელ არეში

იგივურად ნულის ტოლია. მაშინ წონასწორბის განტოლებები მიიღებს

შემდეგ სახეს:

,01) =−

+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

rzrra rzrrr αα σστ

ατσ

,0

21) =+∂

∂+

∂∂

+∂

∂

rzrrb zr ραααα ττ

αστ

(4.4)

,01) =+

∂∂

+∂∂

+∂∂

rzrrc rzzzrz τσ

αττ α

ხოლო

104

( )2 2 2 2z3 1 2 3 z 3 1 1 3

2 2 21 1 1

3 20 3 10

1

w 1 1)

,

rrc K c c c c e c eac z c z r r r c z

c c Tc z

ατ τ φα

β β

∂∂ − ∂ ∂ − ∂+ + + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ∂

+∂

( )z) 0 , (4.5)rrKb rr z

τ∂∂+ =

∂ ∂

z1) 0,Kcr z

ατα

∂∂+ =

∂ ∂

( )z z) 0,rrd

rατ τ

α∂ ∂

− =∂ ∂

სადაც

1 3 10

1 v w) ,u ua K c c Tr r r z

βα

∂ ∂ ∂ = + + + − ∂ ∂ ∂

4w) ,zr

ub cz r

τ ∂ ∂ = + ∂ ∂ (4.6)

4

v 1 w) .zc cz rατ

α∂ ∂ = + ∂ ∂

გადაადგილების ვექტორის u, v და w კომპონენტები 1Ψ და

2Ψ ფუნ-

– ქციების საშუალებით ასე გამოვსახოთ:

12 1

4 4

2 14

2 14

1 1w ,2

1 1v ,2

1 .2

z c c z

r c

ur c

α

∂Ψ∂= − Ψ + Ψ + ∂ ∂

∂= Ψ + Ψ ∂

∂= Ψ + Ψ ∂

(4.7)

თუ შევიტანთ (3.7)-ს (3.5a) და (3.6a)-ში, მაშინ მივიღებთ 1Ψ და 2Ψ

ფუნქციების განსასაზღვრავად სისტემას

2

2 0 2

2 22 4

2 2 2 21 1

2 2 21 5 3 41 2

2 1 2 2 2 2 21 1 3 1

0,

1 ,

1 1 .

TTz

Tz z

Tz z z

λ

γγ γ

γ γ γ γγ γ γ γ

∂∆ + =

∂∂ Ψ ∂

∆ Ψ + =∂ ∂

−∂ Ψ ∂ Ψ ∂∆ Ψ + − =

∂ ∂ ∂

(4.8)

105

სადაც 2

2 2 2

1 1rr r r r α∂ ∂ ∂ ∆ = + ∂ ∂ ∂

.

ყოველივე ამის შემდეგ, თითქმის ყველაფერი მეორდება ისევე,

როგორც წინა პარაგრაფებში და T ,

1Ψ და

2Ψ ფუნქციებისთვის გვექნება

( ) ( )

( ) ( )

1 11 1 1

2 31 1 1

, , sin ,

, , sin

phmn mn

m n

phmn mn

m n

mx y z A e shpz r

mx y z A e shpz r

π αα

π αα

∞ ∞−

= =

∞ ∞−

= =

Ψ = • Ψ

Ψ = • Ψ

∑∑

∑∑

( ) ( )1 1 1

, , sin ,phTmn mn

m n

mT x y z A e shpz T rπ αα

∞ ∞−

= =

= •

∑∑

სადაც ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0mn m n m n m n m nr N r J r J r N rµ µ µ µΨ = − ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0mn m n m n m n m nT r N r J r J r N rµ µ µ µ= − .

( ) ( ) ( ) ( ), , ,m n m n m n m nJ r N r J r N rµ µ µ µ -ბესელის პირველი და მეორე

გვარის ფუნქციებია[95]. 1

, 0,1, 2,...., ,n nmm mπ µ µα

= = შესაბამისი

ტრანსცედენტული განტოლებების n -ნომრიანი ამონახსნი.

(4.2) და (4.3) ფორმულების დახმარებით შევადგენთ

გამოსახულებებს

( ) ( )1 2, , , ,z zr z zr zα ασ τ τ τ τΓ Γ--თვის. ამის შემდეგ სასაზღვრო

ზედაპირებზე მოცემულ ფუნქციებს დავშლით ფურიე-ბესელის მწკრივებად

და გავუტოლებთ სასაზღვრო ზედაპირზე ჩაწერილ ( ) ( )1 2, , , ,z zr z zr zα ασ τ τ τ τΓ Γ

გამოსახულებებს. ამის შედეგად უცნობი კოეფიციენტებისათვის

მივიღებთ ალგებრულ განტოლებათა სისტემას კვაზიდიაგონალური

მატრიცით, რომელიც მეექვსე რიგის mΛ დიაგონალური ბლოკებისაგან

შედგება. ამ სისტემის მატრიცას შესაბამის გარდაქმნებისა და მასშტაბირების

შემდეგ აქვს ასეთი სახე

106

× × × × × × × ×

× × × × × × × × × × × ×

ნახ.11. მატრიცის სახე

1 2 ,,mn mn mnA A T კოეფიციენტების განსაზღვრის შემდეგ მტკიცდება,

რომ

მიღებული მწკრივები თანაბრად და აბსოლუტურად კრებადია Π

არეში; ამგვარად ფილისათვის ამოხსნილია დასმული სასაზღვრო ამოცანა.

უნდა აღინიშნოს ისიც, რომ შემოთავაზებული მეთოდით შესაძლებელი

განხილული იყოს სხვა სასაზღვრო ამოცანები.

107

დასკვნები. ზოგადი თეორიული და პრაქტიკული შედეგები

სადისერტაციო ნაშრომში სხვადასხვა გეომეტრიის

სამგანზომილებიანი სასრული პრიზმატული სხეულებისათვის აგებული

მათემატიკური მოდელის საფუძველზე შემოთავაზებულია სასაზღვრო

ამოცანების შესწავლის და ანალიზის მეთოდები. ამ საკითხების

გადასაწყვეტად დისერტაციაში ამოხსნილია შემდეგი ძირითადი

ამოცანები:

1. განზოგადებულ ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში, ამა

თუ იმ სისტემის საკოორდინატო ზედაპირებით შემოსაზღვრული

სხეულებისათვის მიღებულია მათემატიკური მოდელი. მრუდწირული

პარალელეპიპედისათვის, რომელზეც გარე შეშფოთებების გარდა

მოქმედებს სტაციონალური ტემპერატურული და ელექტრული ველი

მათემატიკური მოდელის ასაგებად გამოყენებულია ნ. ხომასურიძის

მეთოდი.

2. მართკუთხა კორდინატთა სისტემაში მიღებული მათემატი-

კური მოდელი მართკუთხა პარალელეპიპედისათვის, როდესაც მის ორ

მოპირდაპირე წახნაგზე არაერთგვაროვანი სასაზღვრო პირობები, ხოლო

დანარჩენ წახნაგებზე კი სიმეტრიის ან ანტისიმეტრიის პირობები

საშუალებას იძლევა ზუსტი ამოხსნების მიღებისა.

3. დამტკიცებულია კლასიკური და მოდიფიცირებული სასა-

ზღვრო პირობების ეკვივალენტობა. მოდიფიცირებული სასაზღვრო პი-

რობები ამარტივებს შესაბამისი სასაზღვრო ამოცანების ამოხსნას.

4. მართკუთხა პარალელეპიპედის ფორმის სქელი ტრანსტრო

პული ფილისათვის მიღებულია განმსაზღვრელ განტოლებათა სისტემა.

5. სქელი ფილისათვის განხილულია სპეციალური სახის ამოცა-

ნები. კერძოდ განხილულია ფილის ღუნვის ანალოგიური ამოცანები. ნაჩ-

108

ვენებია, რომ სპეციალური სახის დატვირთვებისათვის სქელი ფილისათ-

ვის გვაქვს ღუნვის ანალოგია.

სქელი ფილისათვის განხილული სასაზღვრო ამოცანებისათვის

მექანიკური შინაარსით მიღებულია მექანიკური თვალსაზრისით

ყურადსაღები შედეგი–გარკვეული სახის მხები დატვირთვებისათვის,

ნორმალური დატვირთვის გარეშეც, ადგილი აქვს სქელი ფილის

ჩაღუნვის ეფექტს.

6. მიღებული ამოხსნები შეიძლება გამოყენებული იყოს უსასრუ-

ლო დრეკადი ფენისათვის. მხოლოდ ერთი პირობით, რომ ფენის ზედა

და ქვედა სასაზღვრო სიბრტყეებზე მოცემული გარე შეშფოთებები ხასი-

ათდებიან გარკვეული პერიოდულობით.

7. თავისუფლად დაყრდნობილი სქელი ფილისათვის განხილუ-

ლია ღუნვის ანალოგიური ამოცანები.

8. მიღებული მეთოდი განზოგადებულია მრავალფენიანი სქელი

ფილებისათვის. კერძოდ, განხილულია და მიღებულია სასაზღვრო–

საკონტაქტო ამოცანა ხუთფენიანი ფილისათვის.

9. ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემაში საკოორდინატო

ზედაპირებით შემოსაზღვრული სხეულისათვის მიღებული მათემატი-

კური მოდელი განმსაზღვრელი განტოლებებისა და მოდიფიცირებული

სასაზღვრო პირობების გამოყენების საშუალებას იძლევა.

10. სისტემური გამოყენება სიმეტრიის და ანტისიმეტრიის

პირობების, ძირითადი სასაზღვრო ამოცანების შეცვლა მოდიფიცირებუ-

ლი პირობებით, წონასწორობის განტოლებების დივერგენტულ–როტო-

რული ფორმით, სასაზღვრო ამოცანების წარმოდგენა ორი სასაზღვრო

ამოცანის სუპერპოზიციის სახით ამარტივებს მათ გადაწყვეტას.

109

დამოწმებული ლიტერატურა

1. Фикера Г. Теоремы существовния в теории упругости. „Мир“,

Москва, 1974.

2. Dafermos C. N. ON the Existence and Asymptotic Stability of

Solutions of the Equations of Linear Thermoelasticity. Asch. Rational Mech.

Anal. 1968, 19, 4, pp. 241−271.

3. Михлин С. Т. Вариационные методы в математической физике.

„Наука“, Москва, 1970.

4. Купрадзе В. Д., Геглия Т. Г., Башелеишвили М. О.,Бурчуладзе Т.В.

Трехмерные задачи математической теории упругости и

термоупругости. „Наука“, Москва, 1970.

5. Александров А. Я., Соловьев Ю. И. Одна форма решения

пространственных осесиммеричных задач теорииупругости при помощи

функций комплексного переменного и решения этих задач для сферы.

Прикл. математика и механика, 1962, 26, 6.

6. Гузь О. М. Про один метод розв’язування тривимiрних лiнiйних задач

механiки суцiльного середовища для неканонiчних областей. Доп. АН

УРСР. Сер. А. 1970. 4.

7. Немиш Ю. Н. О приближенном решении пространственных задач

теории упругости для трансверсально - изотропной среды.

Прикладная механика, 1969, 5, 8.

8. Колтунов М. А., Васильев Ю. Н., Черных В. А. Упругость и

прочность цилиндрических тел. „Высшая школа“, Москва, 1975.

9. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. „Наукова

думка“, Киев , 1979.

110

10. Улитко А. Ф. Метод собственных векторных функции в

пространственных задачах теории упругости. „Наукова думка“,

Киев , 1979.

11. Абрамян Б. Л., Александров А. Я. Осесимметричные задачи

теории упругости. В кн.: Механика твердого тела. „Наука“,

Москва, 1966.

12. Neuber H. Technishe Mechanik. Zweiter Teil: Elastostatik und

Festigkeitslehre. Berlin, Springer.1971

13. Хан Х. Теория упругости. „Мир“, Москва, 1988.

14. Лурье А.И. Теория упругости. „Мир“, Москва, 1970.

15. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости.

„Наука“, Москва, 1970.

16. Манджавидзе Г. Ф. Граничные задачи линейного сопряжения и

некоторые их приложения. ТГУ, Тбилиси, 1970.

17. Нейбер Г. Концентрация напряжений. Гос. издат. тех-теор.

литературы. Москва-Ленинград,1947.

18. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории

упругости. „Наука“, Ленинград, 1967.

19. Зенкевич О. Метод конечных элементов в механикею.„Мир“, Москва,

1975

20. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в рапсчетах

судовых конструкций. Ленинград, 1975.

21. Круз Т., Риццо Ф. Метод граничных интегральных уравнений.

„Мир“, Москва, 1974.

22. Бенерджи П., Баттерфилд Р., Метод граничных элементов в

прикладных науках. „Мир“, Москва, 1984.

111

23. Aquaro G., Sul calcollo delle deformacioni di unto strato sferico elastic.

Atti Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. fis., mat. e natur. Sez. 1, 1949, 7, 2.

24. Chree C., The Equations of an Izotropic Elastic in Polar and Cylinrical

Coordinates, Their solution and Aplplication. Trans. Cambridge Philos.

Soc., 1889, 14

25. Dougall J. An analytical Theory of the Equilibrium ofan Izotropic Elastic

Plate. Trans. Roy. Soc. Edinburg, 1904, 41.

26. Lam e G., Clapeyron E., Memoire sur l’equilibre interieur des corps

solides homogenes. J. riene und angew. Math., 1831, 7, 1/12.

27. Morgan A., Stress distributions within solids bounded by one or two cones.

Z. angew. Math. und Phis., 1957, 7, 2.

28. Strenberg E., Eubanks R.A., Sadowsky M. A., On the Axisimmetric

Problem of Elasticity Theory for a Region Bounded by Two Concentric

Spheres. New York. Proc. 1-st U.S. Nat. Congr. Appl. Mech., 1952.

29. Strenberg E., Muki R. Stedy−state Termal Stresses in an Elastic Cone. Z.

angew. Math. and Phis., 1960, 11, 6.

30. Tedone O. Saggio di una teoria generale delle equazioni elastico per un

corpo izotropo. Ann. Mat. pura ed appl., 1904, 10, ser. 3a.

31. Tedone O. Sull’ equilibrio di un corpo limitato do un cino di rotazione. Atti

Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. fis.,mat. e natur. Sez. 1, 1905, 14, 5.

32. Tedone O., Timpe A. SWpezielle Ausfuhrungen zur Statik elastisher

Korper. In: Encyklopedie Math. Wiss. Leipzig: Teubner, 1907, Bd 4.

33. Ляв А. Матматическая теория упругости. Онти, Москва-Ленинград,

1935.

34. Снедон И.Н., Берри Д. С. Класическая теория упругости. Гос.издат.ф.-

м. литературы, Москва,1961.

35. Безухов Н. И. Основы теории упругости, платичности и ползучести.

„Высшая школа“, Москва, 1968.

112

36. Белоносов С. М. Основные плоские татические задачи теории

упругости для односвязных и двухсвязных областей. Издат. сиб.

отд. АН СССР, Новосибирск,1962.

37. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по

математической физике. „Наука“, Москва, 1972.

38. Демидов С. М. Теория упругости. „Высшая школа“, Москва, 1979.

39. Кантарович Л. В., Крылов В. Н. Приближенные методы высшего

анализа. „Физматгиз“, Москва-Ленинград, 1962.

40. Кошляков Н. С.. Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных

призводных математической физики. „Высшая школа“, Москва,

1970.

41. Лебедев П. Н., Скальская И. П., Уфд\лянд Я. С. Сборник задач по

математической физике. Гос. издат.тех.-теор.литературы, Москва,

1955.

42. Леибензон Л. С. Курс теорииупругости. Гостехиздат, Москва, 1947.

43. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропных тел. „Наука“,

Москва, 1977.

44. Ломакин В. А.Теория упругости неоднородных тел. Из-тво МГУ,

Москва, 1976.

45. Лурье А. И. Пространственные задачи теорииупругости. ГТТИ,

Москва, 1955.

46. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Равновесие упругих тел канонической

формы. „Наукова думка“, Киев , 1985.

47. Подилчук Ю. Н. Граничные задачи статики упругих тел. . „Наукова

думка“, Киев , 1984.

48. Коваленко А. Д. Основы термоупругости, „Наукова думка“, Киев ,

1970.

49. Мусхелишвили Н. И. Некоторые задачи математической теории

113

упругости. „Наука“, Москва, 1966.

50. Новацкии В. Теория упругости. „Мир“, Москва, 1975.

51. Бицадзе А. В. Краевые задачи дляэллиптических уравнений второго

порядка. „Наука“, Москва, 1966.

52. Нулер Б. Н. Об однородных решениях теорииупругости и

соотношении и ортогональности М. А. Шира. (Семинар „Механика

деформируемого твердого тела“ под руководством А. И. Лурье) ,

МТТ, 2, 1968.

53. Никошин В. С. Задачи теории упругости для неоднородных сред. ВЦ

АН СССР, Москва, 1976.

54. Шапиро Г. С. Задачи теории упругости для многослойных сред.

„Наука“, Москва, 1966.

55. Беикер Г., Павлович М.

56. Mathien E/ Theorie de L’elasticite’ dts corps solides/. Seconde partie,

Paris: Gauhlier-Villars,1890.

57. Оболашвили Е. Н. Эффективное решение некоторых

пространственных задач теории упругости. Rev. Roumanie

Math.Pares Appl. , 8, 1966.

58. Башелейшвили М. О. Об одном способе решения третьей и

четвертой граничных задач смещении анизотропного упругого

тела. Сообщ. АН ГССР,34, 2, 1964

59. Шерман Д. И. Об одном задаче теории упругости со смешанными

однородными усовиями. ДАН СССР, т. 114, 4, 1957.

60. Сирадзе З.Ш. Третья граничная задача плоской теории упругости

для неоднородных тел. Сообщения АН ГССР,120, 2, 1985.

61. Хомасуридзе Н. Г. К расчету пологих сферических оболочек.

Сообщения АН ГССР, т. , 1, Тбилиси, 1968.

114

62. Хомасуридзе Н. Г. К преобразованию и решению уравнений пологой

круговой сферической оболочки. Сообщения АН ГССР, т. 52 , 2,

Тбилиси, 1968.

63. Хомасуридзе Н. Г. О некоторых граничных задачах пологих

сферических оболочек. Сообщения АН ГССР, т. 55 , 2, Тбилиси,

1969.

64. Хомасуридзе Н. Г. О граничных условиях типа линии симметрии и

антисимметри для оболочек. Сообщения АН ГССР, т. 60, 1,

Тбилиси, 1970.

65. Хомасуридзе Н. Г., Горгидзе Д. А., Жвания И. М. Решение некоторых

граничных задач изгиба пластин по технической и уточненной

теориям. Труды Института прикладной математики ТГУ

„Исследования некоторых уравнений математической физики“,

Тбилиси, 1972.

66. Хомасуридзе Н. Г. О решении трехмерных граничных задач

безмоментной и моментной теорий упругости. Труды Института

прикладной математики ТГУ „Исследования некоторых

уравнений математической физики“, Тбилиси, 1972.

67. Хомасуридзе Н. Г. Неоторые фрмы общих решений в теории

упругости. Труды Института прикладной математики ТГУ

„Исследования некоторых уравнений математической физики“,

Тбилиси, 1976.

68. Хомасуридзе Н. Г., Горгидзе Д. А. Общие решения уравнений

упругого равноесия для транстропных тел в декартовой,

цилиндриеской и сферической системах координатах. Труды

Грузинского политехнического института , 9 (279), Тбилиси, 1984.

69. Хомасуридзе Н. Г., Сирадзе З.Ш. Об общих представлениях

решений для некоторых специально неоднородных плоско-

деформированных упругих тел. Труды Института прикладной

математики ТГУ „Вопросы прикладной механики“, Выпуск 29,

Тбилиси, 1988.

115

70. Хомасуридзе Н. Г. Решение некоторых граничных задач теории

упругости суперпозицией других граничных задач. Аннотации

докладов 4- ой международной конференции по дифференциальным

уравнениям и их применениям, БНР, Руссе, 13-19 август, 1989.

71. Хомасуридзе Н. Г., Хомасуридзе И. Н. Термоупругое равновесие

слабо транстропных многослйных цилиндрических тел. Труды

международного симпозиума по проблемам механики сплошных

сред. Грузинский технический университет, Тбилиси, 1997.

72. Khomasuridze N. Thermoelastic equilibrium of bodies in generaljzed

cylindrical coordinates. Georgian Mathematjcal Journal, 1998, v.5, 6.

73. Gorgidze D., Ramishvili I., Ozbetelashvili N. Bondary and Bondary-

contact problems of Thermo-Electroelasticity in a Spherical Coordinate

Sistem. Applied Mathematics and Mechanics Transactions, Georgian

Technical University, Tbilisi,2012.

74. Горгидзе Д. А., Сирадзе З. Ш., Озбетелашвили Н. Б. Термоупругое

равновесие толстой трансверсально – изотропной плиты. Строи-

тельство, 4(31),2013.

75. Озбетелашвили Н. Б., Цицкишвили З. А. Термоупругое равновесие

толстой трансверсально – изотропной плиты в цилиндрической

системе координат.Georgian Engineering News , 1(vol. 69),2014.

76. Elliott H. A. Three-dimensional stress distributions in hexagonal aeolotro-

pies crystals. Proc. of the Cambridge philos. soc/ 44, part 4, 1948.

77. Баблоян Ф. Ф. Об одной задаче осесимметричной деформации

круглого цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного

материала. Из. АН Ар. ССР, ф.-м.рн. 14, 4, 1961.

78. Баблоян Ф. Ф. К задаче осесимметричной деформации круглого

цилиндра конечной длины из трансверсально-изотропного

материала. Из. АН Ар. ССР, ф.-м.н. 14, 4, 1961.

79. Hasano Hideaki, Tsuchiya Hiroyuki, Matsumoto Hiroyuko, Nakahara

Ichiro, тrans. Jap. Soc. “Match. Eng”. A47, 418, 1981. (Трансверсаль-

116

но-изотропный полый цилиндр под действием кольцевой

радиальной нагрузки)

80. Kasano Hideaki, Matsumoto Hiroyuki, Nakahara Ichiro. A transversally

isotropic circular cylinder under concentrated loads. ‘Bull. JSME”, 23,

176, 1980.

81. Yogananda C. V. Transversely isotropic cylinders under shrink fits. “ Z.

angew. Math. und Mech. 50, 11, 1970.

82. Byrnes F. E., Archer R. R. Orthogonality relations for the end problem

for transversally isotropic cylinders. “AIAA Journal”, 13, 3, 1975.

83. Fama M. E., Duncan. Radial eigenfunctions for the elastic circular

cylinder. “Quart. J. Match. and Appl. Math”, 25, 4, 1972.

84. Chen W.T. On some problems in transversely isotropic elastic materials.

Paper. Amer. Soc. Mech. Engrs. NWA/APM-26 9pp.cll,1965.

85. Ghosh P. R> Torsion of a large thic composite plate under shearing forces

applied on two opposite faces, having transverse isotropy. Rev. roumaine

sci. techn. Ser. mec.appl.13, 6, 1968.

86. Mehta Joginder Kumar. The distribution of Thermal stresses around a crach

in a semi-infinite elastic solid of transversely isotropic material. Arch.

mech. stosowanej, 18, 6, 1966.

87. Mehta Joginder Kumar. Stress distribution in a thich plate having

transverse isotropy. J. Sci. and Engng. Res., 12, 1, 1968.

88. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. „Наука“,

Москва, 1986.

89. Партон В. З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектри-

ческих и электропроводных тел. „Наука“, Москва, 1988.

90. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Электроупругость. „Наукова думка“,

Киев, 1989.

117

91. Горгидзе Д. А. Математические модели пьезокерамических элементов

систем управления. „Мецниереба“, Тбилиси, 1989.

92. Бермант А. Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преобразо-

вания. Формулы Грина. Физматгиз, Москва, 1958.

93. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. т.2. „Наука“,

Москва.1967

94. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. т.3. „Наука“,

Москва.1967.

95. Лаврентиев М.А., Шабат В.В. Методы теории функции комплексного

переменного. „Наука“, Москва.1987.

96. Биркгоф Г. Гидротехника. Из-тво иностранной лит., Москва. 1963.

97. ოზბეთელაშვილი ნ. თავისუფლად დაყრდნობილი სქელი ფილის

ღუნვის ამოცანები თერმული ველის გათვალისწინებით.Georgian

Enginering Newus, 4(vol.72)2014.

118