河北省邯郸市第一中 马进才 056002

人民教育出版社九年级下册第二十六章第一节一课时参赛课件

26.1 二次函数 (1)

26.1 二次函数 (1)

河北省邯郸市一中 马进才

人民教育出版社九年级下册第二十六章第一节一课时

二次函数

变量之间的关

系

函数

一次函数

反比例函数

y=kx+b (k≠0)

正比例函数 y=kx (k≠0)

y=k/x (k≠0)

［知识与技能目标］ (1) 使学生掌握二次函数的概念，理解二次函数的意义，能从实际问题中提炼出简单的二次函数关系 .

［过程与方法目标］ (2) 结合具体的情境体会二次函数的意义体会数学建模思想在解决实际问题过程中的重要作用

［情感、态度、价值观目标］

(3) 通过对实际问题中函数关系的探索与思考，体验函数思想是有效地描述现实世界中变量部关系的一种重要手段，更深切地感知数学知识与现实世界的密切联系

学习目标

节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？

运动场上飞舞的跳绳

奥运赛场腾空的篮球

生活中的现象

问题 1 ：正方体的六个面是全等的正方形 , 设正方形的棱长为 x, 表面积为 y, 显然对于 x 的每一个值 ,y 都有一个对应值 , 即 y 是 x 的函数 , 它们的具体关系可以表示为 y=6x2①

多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？

问题 2:

由图可以想出 , 如果多边形有 n 条边 , 那么它有 个顶点 ,

从一个顶点出发 , 连接与这点不相邻的各顶点 , 可以

作 条对角线 .

n

(n-3)

因为像线段 MN 与 NM 那样 , 连接相同两顶点的对角线是同一条对角线 , 所以多边形的对角线总数

M N

32

1 nnd

即 n②nd2

3

2

1 2

②式表示了多边形的对角线数 d 与边数n 之间的关系 , 对于 n的每一个值 ,d 都有唯一的对应值 , 即 d 是 n的函数。

某工厂一种产品现在的年产量是 20 件 , 计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x 倍 , 那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定 ,y 与 x 之间的关系应怎样表示？

问题 3:

这种产品的原产量是 20 件 , 一年后的产量是

件 , 再经过一年后的产量是 件 , 即两年后的产量为

20(1+x) 20(1+x)2

xy 120 2

即 ③xxy 204020 2 ③ 式表示了两年后的产量 y 与计划增产的倍数 x 之间的关系 , 对于 x 的每一个值 , y 都有唯一的对应值 ,即 y 是 x 的函数。

函数①②③有什么共同点 ? 观察：y=6x2①

n②23

n221d

③xxy 204020 2

在上面的问题中 , 函数都是用自变量的二次式表示的。

定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数 ,a≠ 0) 的函数叫做 二次函数。其中 x 是自变量， a 为二次项系数， ax2 叫做二次项， b 为一次项系数， bx叫做一次项， c 为常数项。

（ 1）等号左边是变量 y ，右边是关于自变量

x 的

（ 3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。

注意：

（ 2） a,b,c 为常数，且

（ 4） x 的取值范围是任意实数。

整式。a≠0.

2

二次函数的一般形式 :y＝ ax2＋ bx＋ c (其中 a、 b、 c是常数 ,a≠0)

二次函数的特殊形式：–当 b＝ 0时， y＝ ax2＋ c–当 c＝ 0时， y＝ ax2＋ bx–当 b＝ 0， c＝ 0时， y＝ ax2

例 1 、下列函数中，哪些是二次函数？若是 ,分别指出二次项系数 , 一次项系数 , 常数项。

(1) y=3(x－ 1)²+1 (2) y=x+

(3) s=3－ 2t² (4) y=(x+3)²－ x²

(5)y= － x (6) v=8π r²

1x__

x²1__

解 : (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即 y=3x2-6x+4

是二次函数 .二次项系数 :一次项系数 :

常数项 :

3-6

4(2) y=x+ 1

x__ 不是二次函数 .

(3) s=3-2t² 是二次函数 .

二次项系数 :

一次项系数 :

常数项 :

-20

3

(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2

即 y=6x+9

不是二次函数 .

二次项系数 :

一次项系数 :

常数项 :

8π

0

0

不是二次函数 .

(5)y= -xx²1__

(6) v=8π r²

是二次函数 .

一次函数 y=kx+b (k ≠0), 其中包括正比例函数 y=kx(k≠0),

反比例函数 y= (k≠0) ，

二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 。

现在我们学习过的函数有 :

可以发现 , 这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。

x

k

例 2 、 y=（m+3） x

（ 1）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（ 2） m取什么值时，此函数是反比例函数？

（ 3） m取什么值时，此函数是二次函数？

m2-7

解：（１）当m2－ 7=1且m+3≠0 即 m=± 　时是正比例函数。

22

（２）当m2－ 7=-1且m+3≠0 即 m=± 时是反比例函数。

6

（３）当m2－ 7=2且m+3≠0 即 m=3 时是二次函数。

1. 一个圆柱的高等于底面半径 ,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式 .

2. n支球队参加比赛 , 每两队之间进 行一场比赛 ,写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式 .

S=2πr2 +2πr2 即 S=4πr2

12

1 nnm 即 nnm

2

1

2

1 2

3 、下列函数中，（ x 是自变量 ），是二次函数的为 ( )

A y=ax2+bx+c B y2=x2-4x+1

C y=x2 D y=2+ √x2+1

4. 函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是 ( )

A m,n 是常数 ,且m≠0 B m,n 是常数 ,且 n≠0

C m,n 是常数 ,且m≠n D m,n 为任何实数

C

C

一农民用一农民用 40m40m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为形菜园，和墙垂直的一边长为 xmxm ，菜园的面积为，菜园的面积为 ymym22 ，求，求 yy 与与 xx 之间的函数关系式， 并说出自变量的 取值之间的函数关系式， 并说出自变量的 取值范围。当范围。当 x=12mx=12m 时，计算菜园的面积。时，计算菜园的面积。

xxmm

y my m22

xxmm

（（ 40-2x 40-2x ）） mm

解：解：由题意得：由题意得： y=x(40-2x)

即： y=-2x2+40x(0<x<20)(0<x<20)

当 x＝ 12m 时，菜园的面积为：y=-2x2+40x＝ -2×122+40×12

＝ 192（m2）

九马画山 • 在美丽的桂林

有一处非常有名的景观叫“九马画山”，在一处石壁上的一 些天然图案酷似各种形态的骏马。传说凡人只能找出两三匹马，谁要是找出其中的九 匹马就能当“状元郎”。

在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ——变换角度分析问题 若函数 y=x2m+n － 2xm-n+3 是以 x 为自变量的二次函数，求m 、 n 的值。

① ② ③ ④ ⑤∵ 2m+n=2

m-n=1

∴ m=1

n=0

∵

∴

2m+n=1

m-n=2

m=1

n=-1

∵

∴

2m+n=2

m-n=2

m=4/3

n=-2/3

∵

∴

2m+n=2

m-n=0

m=2/3

n=-4/3

∵

∴

2m+n=0

m-n=2

m=2/3

n=2/3

1 、本节课你学到了哪些知识有什么体会2 、在本节课中，你对自己及其他同学的学习表现满意吗3 、你对数学这门课有什么感想4 、请在数学日记中写下你的成长记录。