Διαγώνισμα 1ο: Επίπεδο A΄ (μόνο θεωρία)

2ο Κεφάλαιο Άλγεβρας – Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράγραφοι: 2.1 – 2.2 – 2.3

Διάρκεια διαγωνίσματος: … ώρες

Ημερομηνία Εξέτασης: ………. Οκτωβρίου 2014

Στοιχεία μαθητή:

……………………………….……………………………

Βαθμός (100) …………

Βαθμός (20) …………..

2015

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το http://lisari.blogspot.gr 1/1/2015

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

………………….. ……. ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να δείξετε ότι: 2 2 2 2

α βi αγ βδ βγ αδi

γ δi γ δ γ δ

,όπου γ δi 0 .

Μονάδες 9

Α2. Πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί α βi και γ δi είναι ίσοι; Πότε ο μιγαδικός αριθμός α βi είναι

μηδενικός ;

Μονάδες 6

Α3.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα

που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

α) Κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοναδικό τρόπο στη μορφή α βi,α,β .

β) Οι μιγαδικοί αριθμοί διατάσσονται, όπως οι πραγματικοί αριθμοί.

γ) Ο άξονας y y λέγεται πραγματικός άξονας.

δ) Ένας μιγαδικός z α βi παριστάνεται σε κάθε περίπτωση με τη διανυσματική ακτίνα, OM , του

σημείου M(α,β) .

ε) Για την αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού α βi από τον γ δi , ισχύει:

α βi γ δi α γ β δ i .

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Β1.Αν z1,z2C, τότε να αποδείξετε ότι 1 2 1 2 z z z z

Μονάδες 9

Β2. Να δώσετε τον ορισμό, συμβολισμό και τον τύπο του μέτρου μιγαδικού αριθμού z.

Μονάδες 6

Β3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

α) Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το

άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

β) Για κάθε z ισχύει 0 1, 0 z z

γ) Για κάθε , , , z i ισχύει 22 z i

δ) Για κάθε z ισχύει Im2

z zz

ε) Για κάθε z ισχύει z z

Μονάδες 10

ΘEMA Γ

Γ1.Αν z1,z2C, τότε να αποδείξετε ότι 1 21 2z z z z .

Μονάδες 9

Γ2. Δώστε τον ορισμό (τύπος) για τον συζυγή του α + βi. Ποια είναι η σχέση του z με τον συζυγή

του στο μιγαδικό επίπεδο;

Μονάδες 6

Γ3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Για κάθε z ισχύει , z z 2 Re z

β) Για κάθε z ισχύει , z z 2 Im z

γ) Έστω M(x, y) η εικόνα του μιγαδικού z x yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε

ως μέτρο του z την απόσταση του M από την αρχή των αξόνων O (0,0).

δ) Για κάθε z ισχύει , 2 2| z | z .

ε) Για κάθε z1 ,z2C ισχύει, 1 2 1 2 1 2|z | | z | | z z | | z | | z || |

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Δ

Δ1.Να λύσετε στο σύνολο την εξίσωση 2αz βz γ 0 με α,β, γ R και α 0 .

Μονάδες 9

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Δ2. Πως λέγονται τα στοιχεία του ; Ποια είναι τα στοιχεία του;

Μονάδες 6

Δ3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο

γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η

πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους

β) Η εξίσωση 0z z ρ, ρ 0 , παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο 0Κ z και ακτίνα ρ2.

γ) η εξίσωση 1 2z z z z παριστάνει τη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα σημεία 1A z

και 2B z .

δ) Για κάθε z ισχύει, vvz z

ε) Ισχύει, 4ρ υ

1 , αν υ 0

i , αν υ 1i

-1 , αν υ 2

i , αν υ 3

, όπου ρ, υ φυσικοί αριθμοί.

Μονάδες 10

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο

μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα

χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο, μπορούν να γίνουν και με μολύβι.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων μόλις σας

παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.

Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα

φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.

4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση (1 1/2) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ