הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 1-5: הסתברות דוגמאות

Igor Kleiner (M.Sc.) [email protected]

2016

mailto:[email protected]

הסתברות של מאורעP(A)

תכונות של פונקצית הסתברות

מרחב הסתברות סימטרי 𝑷 𝑨 =|𝑨|

|Ω|

קומבינטוריקה

כלל סכום

כלל כפל

סיכום

תאים 10-כדורים שונים מפזרים ל 6: שאלה

?מה היא הסתברות שכל הכדורים יהיו בתאים שונים1.

כדורים וכדים



:פתרון

נעזר בכלל כפל


?||

||)(

AAP



פתרון


?||

1010*10*10*10*10*10||

?||

||)(

6

A

AAP



פתרון


||

||)(

!4

!105*6*7*8*9*10||

1010*10*10*10*10*10||

?||

||)(

6

AAP

A

AAP



פתרון


6

6

10

5*6*7*8*9*10

||

||)(

!4

!105*6*7*8*9*10||

1010*10*10*10*10*10||

?||

||)(

AAP

A

AAP


?מה היא הסתברות שכל הכדורים יהיו בתא ראשון. 2

פתרון


?||

?||

?||

||)(

B

BBP


?מה היא הסתברות שכל הכדורים יהיו בתא ראשון. 2

פתרון


6

6

6

10

1

||

||)(

111*...*1*1||

10||

?||

||)(

BBP

B

BBP


?מה היא הסתברות שכל הכדורים יהיו באותו תא. 3

פתרון


?||

?||

?||

||)(

С

ССP



פתרון

: דרך א

? -נבחר תא שבו יהי כדור ראשון

? -כדור שני יהי בתא של כדור ראשון

? -כדור שלילשי יהי בתא של כדור ראשון


?||

10||

?||

||)(

6

С

ССP



פתרון

: דרך א

? -נבחר תא שבו יהי כדור ראשון

? -כדור שני יהי בתא של כדור ראשון

? -כדור שלילשי יהי בתא של כדור ראשון


?)(

?||

10||

?||

||)(

6

СP

С

ССP



פתרון

: דרך א

10 -נבחר תא שבו יהי כדור ראשון

1 -כדור שני יהי בתא של כדור ראשון

1-כדור שלילשי יהי בתא של כדור ראשון

…


56

6

10

1

10

10

||

||)(

101*...*1*10||

10||

?||

||)(

ССP

С

ССP



פתרון

: דרך א

10נחבר תא שבו יהיו כל הכדורים 1


56

6

10

1

10

10

||

||)(

1

10||

10||

?||

||)(

ССP

С

ССP


3,4,5,6מה היא הסתברות שלא יהי אף כדור בתאים . 4

פתרון


?||

||)(

?||

10||

?||

||)(

6

DDP

D

DDP


3,4,5,6מה היא הסתברות שלא יהי אף כדור בתאים . 4

פתרון


6

6

6

6

10

2

||

||)(

22*...2*2*2||

10||

?||

||)(

DDP

D

DDP


תאים ריקים 4מה היא הסתברות שיהיו רק . 5

פתרון

דיםכו כדורים

?||

||)(

?||

10||

?||

||)(

6

EEP

E

EEP



פתרון

תאים שבהם יהיו כל הכדורים 2נבחר

תאים מתאימים 2-לכל כדור נבחר אחד מ

אופציות כאשר כל הכדורים באותו תא לא 2

מתאימות


6

6

6

6

10

222

6

||

||)(

222

6||

10||

?||

||)(

EEP

E

EEP



פתרון

דרך ב


6

6

10

5

5

1

6

4

4

2

6

3

3

3

6

2

2

4

6

1

1

5

6

2

6

||

||)(

5

5

1

6

4

4

2

6

3

3

3

6

2

2

4

6

1

1

5

6

2

6||

10||

?||

||)(

EEP

E

EEP

מה היא הסתברות , תאים 10-כדורים שונים מפזרים ל 6: שאלה

כדורים 3יהיו 3בתא , כדורים 2יהיו 2בתא , 1יהי כדור 1בתא ש. 6

פתרון


?||

||)(

?||

10||

?||

||)(

6

FFP

F

FFP

מה היא הסתברות , תאים 10-כדורים שונים מפזרים ל 6: שאלה

כדורים 3יהיו 3בתא , כדורים 2יהיו 2בתא , 1יהי כדור 1בתא . 6

פתרון

נבחר כדור שיהי בתא ראשון

2כדורים לתא 2משאר הכדורים נבחר

3כדורים לתא 3משאר הכדורים נבחר


6

6

10

3

3

2

5

1

6

||

||)(

3

3

2

5

1

6||

10||

?||

||)(

FFP

F

FFP

מה היא הסתברות . תאים 10-כדורים שונים מפזרים ל 6: שאלה

3כדורים ותא אחד עם 2תא אחד עם , יהי תא אחד עם כדור אחדש. 7 כדורים

פתרון


?||

||)(

?||

10||

?||

||)(

6

GGP

G

GGP


כדורים 3כדורים ותא אחד עם 2תא אחד עם , יהי תא אחד עם כדור אחדש. 8

פתרון

נבחר תא שבו יהי כדור אחד

נבחר כדור לתא שנבחר

כדורים 2נבחר תא שבו יהי

כדורים לתא זה 2נבחר




6

6

10

3

3

1

8

2

5

1

9

1

6

1

10

||

||)(

3

3

1

8

2

5

1

9

1

6

1

10||

10||

?||

||)(

GGP

G

GGP


כדורים 3כדורים ותא אחד עם 2תא אחד עם , יהי תא אחד עם כדור אחדש. 8

פתרון נבחר תא שבו יהי כדור אחד

נבחר כדור לתא שנבחר






6

6

10

3

3

1

8

2

5

1

9

1

6

1

10

||

||)(

3

3

1

8

2

5

1

9

1

6

1

10||

10||

?||

||)(

GGP

G

GGP

מה היא הסתברות שלכולם יש , סטודנטים 28בקורס נרשמו : שאלה

? יום הולדת ביום שונה

פרדוקס ימי הולדת

מה היא הסתברות שלכולם יש יום , סטודנטים 28בקורס נרשמו : שאלה

?הולדת ביום שונה

0.99 ,0.9 0.8 ,0.7 ,0.6 ,0.5 0.4 ,0.3 ,0.2 ,0.1 ,0.01 ? ניחוש

פתרון:




0.99 ,0.9 0.8 ,0.7 ,0.6 ,0.5 0.4 ,0.3 ,0.2 ,0.1 ,0.01 ? ניחוש

פתרון:


?||

||)(

GGP



0.99 ,0.9 0.8 ,0.7 ,0.6 ,0.5 0.4 ,0.3 ,0.2 ,0.1 ,0.01 ? ניחוש

פתרון:


28365365*...*365*365||

?||

||)(

G

GP



0.99 ,0.9 0.8 ,0.7 ,0.6 ,0.5 0.4 ,0.3 ,0.2 ,0.1 ,0.01 ? ניחוש

פתרון:


3455.0365

)128365(...

365

362

365

363

365

364

365

365

||

||)(

)!28365(

!365)128365(*...*363*364*365||

365365*...*365*365||

?||

||)(

28

GGP

G

GGP

ואז בהגרלה , מספרים 6אנו מסמנים , מספרים 37בכרטיס : שאלה

המספרים 6מהי הסתברות שננחש כל , מספרים שונים 6מגרילים ?שהוגרלו

לוטו

||

||)(

AAP



לוטו

014750.00000043

6

37

1

6

37

0

31

6

6

||

||)(

0

31

6

6

6

37||

||

||)(

AAP

A

AAP



לוטו

7430.00008000

6

37

31*6

6

37

1

31

5

6

||

||)(

1

31

5

6

6

37||

||

||)(

BBP

B

BBP



לוטו

90.00300027

6

37

2

31

4

6

||

||)(

2

31

4

6

6

37||

||

||)(

BBP

C

CCP

שאלה :n כאשר האנשים , אנשים הגיעו למסיבה כל אחד עם מטריה שלו

מהי הסתברות , כל אחד לקח מרטיה אחד באופן אקראי, עזבו היה חושך ?שאבי לקח מטריה שלו

אנשים ומטריות




!)1)....(2)(1(||

||

||)(

nnnn

CCP




nn

nCCP

nnnC

nnnn

CCP

1

!

)!1(

||

||)(

)!1()1)...(2)(1(||

!)1)....(2)(1(||

||

||)(


מהי הסתברות , כל אחד לקח מרטיה אחד באופן אקראי, עזבו היה חושך ?שאבי לקח מטריה שלו ושרה לקחה מטריה שלה

2 אנשים ומטריות

!)1)....(2)(1(||

||

||)(

nnnn

CCP

שאלה :n כאשר האנשים , אחד עם מטריה שלולמסיבה כל אנשים הגיעו

מהי הסתברות , כל אחד לקח מרטיה אחד באופן אקראי, עזבו היה חושך ?שאבי לקח מטריה שלו ושרה לקחה מטריה שלה

2 אנשים ומטריות

)1(

1

1

)!2(

||

||)(

)!2(1)...3)(2(||

!)1)....(2)(1(||

||

||)(

nnn

nCCP

nnnC

nnnn

CCP

הסתברות ותהליכים סטוכסטיים 1-5: הסתברות דוגמאות

Education