特殊平行四边形的复习（ 1）

特殊平行四边形的复习（ 1）

有一个直角或

对角线相等

一组

邻边

相等

或对

角线

垂直

一组邻边相等或

对角线垂直

有一个直角或

对角线相等

一个角是直角且一组邻边相等或 对角线垂直且相等 正方形平行四边形

矩形

菱形

回顾旧知

矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质

角：四个角都是直角

边：对边平行且相等

对角线：互相平分、相等

对称性：轴对称图形（ 2 条对称轴）、中心对称图形

矩形的判定

（ 1 ）定义法

（ 2 ）对角线相等的平行四边形是矩形

（ 3 ）三个角是直角的四边形是矩形

菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

菱形的性质

角：对角相等，邻角互补

边：对边平行，四条边都相等

对角线：互相垂直平分

对称性：轴对称图形（ 2 条对称轴）、中心对称图形

菱形的判定

（ 1 ）定义法

（ 2 ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

（ 3 ）四条边相等的四边形是菱形

正方形的定义有一个角是直角，并且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

正方形的性质

角：四个角都是直角

边：对边平行，四条边都相等

对角线：相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

对称性：轴对称图形（ 4 条对称轴）、中心对称图形

正方形的判定

（ 1 ）对于平行四边形：一个矩形条件 + 一个菱形条件

（ 2 ）对于四边形： 一个平行四边形条件 +一个矩形条件 +一个菱形条件

选择：

1、正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）

A 、四边都相等 B 、对角线互相垂直且平分C、对角线相等 D 、对角线平分一组对角

2、下列命题中假命题是（ ） .

A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形 . B 、两条对角线相等的四边形是矩形 .C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形 .D、两条对角线相等的菱形是正方形 .3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A、对角线相等 B 、对角线互相平分C、对角线互相垂直 D 、四条边都相等

C

B

学以致用

B

填空：1、菱形的对角线长分别是 6和 8，则该菱形的周长是 ,面积是 .

2 、矩形的对角线长为 8，两对角线的夹角为 60º ，则矩形的两邻边分别为 和 . ３、如图在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CA ，则∠ CAE= 。

4 4 3

学以致用

20

24

22.5°

ٻ

E

ٻ

B

ٻ

C

ٻ

A

ٻ

D

４ .如图，在四边形 ABCD 中， E、 F、 G、H分别是边 AB、 BC 、 CD 、 DA 的中点，请添加一个关于四边形 ABCD 的条件，使四边形 EFGH 为 菱形，并说明理由。

解：添加的条件

AC ＝BD

H

G

F

E

A

D

CB

４ .如图，在四边形 ABCD 中， E、 F、 G、H分别是边 AB、 BC 、 CD 、 DA 的中点，请添加一个关于四边形 ABCD 的条件，使四边形 EFGH 为 矩形，并说明理由。

解：添加的条件

AC BD⊥

H

G

F

E

A

D

CB

４ .如图，在四边形 ABCD 中， E、 F、 G、H分别是边 AB、 BC 、 CD 、 DA 的中点，请添加一个关于四边形 ABCD 的条件，使四边形 EFGH 为 正方形，并说明理由。

解：添加的条件

AC ＝BD

H

G

F

E

A

D

CB

且　 AC BD⊥

如果题目中的矩形变为正方形 (图二 )，结论又应变为什么？如果题目中的矩形变为菱形 (图一 )，结论应变为什么？

BB

图一

AA

OO

DDPP

CCPP

CCDD

OO

BBAA

图二

５、如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、 BD交于点 O，过点 D作 DP∥OC ，且 DP=OC,连结 CP ，试判断四边形 CODP 的形状，并说明理由 .

A B

D CO

P

学以致用

　 6 、已知：四边形 ABCD 是直角梯形 , AD//BC ， ∠ B=90° ， AB=8 ， AD=24 ， BC =28 ，点 P 从 A

出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 D 运动，点 Q 从C 出发，以每秒 3 个单位长度的速度向 B 运动， P 、Q 同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为 t 秒。

A

B C

DP

Q

（ 1 ）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？

学以致用

　 6 、已知：四边形 ABCD 是直角梯形 , AD//BC ， ∠ B=90° ， AB=8 ， AD=24 ， BC =28 ，点 P 从A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 D 运动，点 Q

从 C 出发，以每秒 3 个单位长度的速度向 B 运动，P 、 Q 同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为 t 秒。

A

B C

DP

Q

（ 2 ）当 t 为何值时，四边形 ABQP 为矩形？

学以致用

小结

菱形： （ 1）菱形的面积等于对角线乘积的一半；（ 2）菱形的一条对角线将其分成两个全等的等腰三角形，特别当内角为 60° （ 120° ）时，有等边三角形；（ 3）菱形的两条对角线将其分成四个全等的直角三角形，一半对角线作为直角边，边长作为斜边。

解有关特殊平行四边形的题目时，在熟练掌握它们定义、性质、判定的基础上，从特殊的条件入手，这样更有利于解决问题。比如：

矩形： （ 1）矩形的一条对角线将其分成两个全等的直角三角形，两边长与对角线满足勾股定理；（ 2）菱形的两条对角线将其分成四个等腰三角形，特别当对角线交角为 60° （ 120° ）时，有等边三角形。

正方形：正方形的问题往往转化成等腰直角三角形来解决。

作业