国際連合論（第国際連合論（第 11回）回）計量分析入門計量分析入門久保田徳仁久保田徳仁

政治学の雑誌でよく見かける表政治学の雑誌でよく見かける表

数字が出てくる数字が出てくる 22つのパターンつのパターン•モデル化（ゲーム理論、意思決定論など）モデル化（ゲーム理論、意思決定論など）→→複雑な世界を単純化して示すための手段複雑な世界を単純化して示すための手段　→理屈に矛盾がないことを示す（内部整合　→理屈に矛盾がないことを示す（内部整合性）＝性）＝数理分析数理分析•実証（統計分析）実証（統計分析）　→理論が現実とあっているかを証明する手　→理論が現実とあっているかを証明する手段段　（外部整合性）＝　（外部整合性）＝計量分析計量分析ここで扱うのは後者の計量分析ここで扱うのは後者の計量分析

実証研究実証研究•目的：ある理論が空想の産物ではなく、実目的：ある理論が空想の産物ではなく、実態をきちんと表現していることを証明する。態をきちんと表現していることを証明する。•理論理論の例：民主的平和（民主主義国同士はの例：民主的平和（民主主義国同士は戦争をしない）戦争をしない）•さまざまな方法：さまざまな方法：事例分析、計量分析、比事例分析、計量分析、比較事例分析較事例分析（（ Structured Focused Structured Focused

Comparison: SFCComparison: SFC法）法）

なぜ計量分析？なぜ計量分析？•事例研究、比較事例研究には大きな欠点事例研究、比較事例研究には大きな欠点があるがある

– 事例選択事例選択が恣意的になりやすい（理論に合致が恣意的になりやすい（理論に合致するものばかりを選ぶ傾向がある）するものばかりを選ぶ傾向がある）– 現実はさまざまな要素が作用しているので、現実はさまざまな要素が作用しているので、どの要素が重要なのかは１，２の事例を見たどの要素が重要なのかは１，２の事例を見ただけでは判別できない。だけでは判別できない。例）戦後日本とアメリカの間に戦争が起きてい例）戦後日本とアメリカの間に戦争が起きていないことを例に挙げて民主的平和論が証明さないことを例に挙げて民主的平和論が証明されたといえるか？れたといえるか？

計量研究の利点計量研究の利点•数量化することでできるだけ多くの事例数量化することでできるだけ多くの事例を扱えるようにする（事例選択の恣意性を扱えるようにする（事例選択の恣意性を排除する）を排除する）•各事例に作用していると思われる要素す各事例に作用していると思われる要素すべてをモデルに入れて効果のあるものをべてをモデルに入れて効果のあるものを判定することができる（変数の判定することができる（変数のコントロコントロールール））

変数変数•考慮されるものは、数ではないものも含め考慮されるものは、数ではないものも含めてすべて「てすべて「変数変数（（ variablevariable）」と呼ばれる）」と呼ばれる•従属変数従属変数（被説明変数：（被説明変数： dependent dependent

variablevariable）：理論において「結果」と考え）：理論において「結果」と考えられる現象　例）戦争の発生られる現象　例）戦争の発生•独立変数独立変数（説明変数：（説明変数： independent independent

variablevariable）：理論において「原因」と考え）：理論において「原因」と考えられる現象　例）民主主義の成熟られる現象　例）民主主義の成熟度、度、 GDPGDP、対立の歴史・・・、対立の歴史・・・•通常従属変数はひとつ、独立変数は複数通常従属変数はひとつ、独立変数は複数

基本の発想（例）基本の発想（例）•世界各国のすべて世界各国のすべてのの 22 国間関係を調国間関係を調べたときそれぞれべたときそれぞれの国が経験した戦の国が経験した戦争の頻度は民主主争の頻度は民主主義の進展と義の進展と負の比負の比例例の関係にあるか？の関係にあるか？

民主主義の成熟度

戦争の頻度

データ化データ化• どういうデータがあればよいか？どういうデータがあればよいか？• 戦争の頻度（回）戦争の頻度（回）• 民主主義の成熟度（恣意的ではない方法で民主主義の成熟度（恣意的ではない方法で

数値化）数値化）– PolityIVPolityIV というデータバンクではー１０～＋１というデータバンクではー１０～＋１

０という指標で各国の民主主義を評価している０という指標で各国の民主主義を評価している– 22 国間なので小さいほう（民主主義が未熟なほ国間なので小さいほう（民主主義が未熟なほ

う）のデータを使う（これは恣意的に）う）のデータを使う（これは恣意的に）

データの例（仮想の事例）データの例（仮想の事例）事例事例 国国 民主主義の成熟度民主主義の成熟度 戦争の頻度戦争の頻度１１ AA 国ー国ー BB

国国１０１０ ２２

２２ BB 国ー国ー CC国国

００ ５５３３ CC 国ー国ー AA

国国００ ３３

４４ DD 国ー国ー AA国国

５５ ２２５５ DD 国ー国ー BB

国国５５ ４４

６６ DD 国ー国ー CC国国

００ ５５

図にしてみると・・・図にしてみると・・・民主主義の成熟度と戦争の頻度（例）

0123456

0 5 10 15民主主義の成熟度

戦争

の頻

度

どうやらどうやら 22つの変数の間には相関つの変数の間には相関関係がありそう関係がありそう民主主義の成熟度と戦争の頻度（例）

y = -0.24x + 4.3

0123456

0 5 10 15民主主義の成熟度

戦争

の頻

度

数式化（単回帰）数式化（単回帰）• 数式化すると・・・数式化すると・・・　戦争の頻度＝　戦争の頻度＝　　　ー０．２４　　　ー０．２４ ×× （民主主義の成熟度）＋４．（民主主義の成熟度）＋４．

３３• ではこの「－ではこの「－ 0.240.24 」や「」や「 4.34.3 」はどうやっ」はどうやっ

て出たのか？て出たのか？• →→ 最小二乗法（コンピュータが計算してく最小二乗法（コンピュータが計算してく

れるので心配しなくてよい）れるので心配しなくてよい）

最小二乗法（念のため）最小二乗法（念のため）• 基本の数式が基本の数式が　　　　 Y=βX+αY=βX+α• しかしすべての現象には誤差があるしかしすべての現象には誤差がある　　　　 Y=βX+α+εY=βX+α+ε• 誤差が一番少なくなるように誤差が一番少なくなるように ββ とと αα を決めるを決める• 誤差誤差 ε=Y-βX-αε=Y-βX-α• 誤差は正負の両方に生じるので誤差は正負の両方に生じるので 22 乗して符号をそろえ乗して符号をそろえ

る　る　 εε22=(Y-βX-α)=(Y-βX-α)22

• YY とと XX の値を事例１から６まですべて当てはめて合計の値を事例１から６まですべて当てはめて合計　　 ΣεΣε22 ＝＝ Σ(Y-βX-α)Σ(Y-βX-α)22 　＝　＝ (2-β10-α)(2-β10-α)22+(5-β0-α)+(5-β0-α)22+…+… これをこれを αα とと ββ でそれぞれ偏微分して０とおいた答えがでそれぞれ偏微分して０とおいた答えが --

0.240.24 とと 4.34.3

民主主義の成熟度と戦争の頻度（例）

y = -0.24x + 4.3

0123456

0 5 10 15民主主義の成熟度

戦争

の頻

度

「影響がある」とはどういうこ「影響がある」とはどういうことか？とか？

• 民主主義の指標を民主主義の指標を 22倍してみたら係数が半分になった倍してみたら係数が半分になった（（ -0.12-0.12）。でも）。でも関係の強さは同じ関係の強さは同じ。単位の問題。。単位の問題。

民主主義と戦争の頻度

y = -0.12x + 4.3

0123456

0 5 10 15 20 25民主主義の成熟度

戦争

の頻

度

影響があるとはどういうことか？影響があるとはどういうことか？（ｔ値）（ｔ値）• 指標の単位に影響されないようにするために開発された指標の単位に影響されないようにするために開発された数値が「数値が「標準誤差（標準誤差（ S.E.S.E.））」。」。• ばらつきが大きければばらつきが大きければ S.E.S.E. もも 22倍になる倍になる• 例１の民主主義の標準誤差は例１の民主主義の標準誤差は 0.110.11• 例２の民主主義の標準誤差は例２の民主主義の標準誤差は 0.060.06• これらの値に対して係数の絶対値が大きければその変数これらの値に対して係数の絶対値が大きければその変数は従属変数と強い相関関係があるということになる。は従属変数と強い相関関係があるということになる。• -0.24-0.24／／ 0.11=-0.120.11=-0.12／／ 0.060.06 　つまり　つまり関係の強さは同関係の強さは同じじで負の効果があるで負の効果がある• 係数を標準誤差で割った値係数を標準誤差で割った値（（ tt値値）は単位に依存しない）は単位に依存しないため影響力の強さを比較することができるため影響力の強さを比較することができる

関係の強さと係数、標準誤差関係の強さと係数、標準誤差民主主義と戦争の頻度

y = 0.06x + 4.3

012345678

0 5 10 15民主主義の成熟度

戦争

の頻

度

民主主義と戦争の頻度

y = -0.12x + 4.3

0123456

0 5 10 15 20 25民主主義の成熟度

戦争

の頻

度係数＝ 0.06標準誤差＝ 0.2Ｔ値＝ 0.28

係数＝－ 0.12標準誤差＝ 0.11Ｔ値＝－ 2.02右側のほうがはっきりと関係を示している左側はランダムに点を打ってもそんな形になりそう

でたらめと言い切れるか？（検でたらめと言い切れるか？（検定）定）• Ｔ値の絶対値が小さいとき「影響がない＝でたらめにサンＴ値の絶対値が小さいとき「影響がない＝でたらめにサンプルをとってもそのような結果になる」と疑われるプルをとってもそのような結果になる」と疑われる• Ｔ値の絶対値が大きいと、さすがに「でたらめ」とはいいＴ値の絶対値が大きいと、さすがに「でたらめ」とはいいがたいがたい• でたらめに点を打ったときのＴ値が出る確率はコンピューでたらめに点を打ったときのＴ値が出る確率はコンピュータが計算してくれる：Ｐ値タが計算してくれる：Ｐ値　（サンプルの数によるが、　（サンプルの数によるが、 ±2.5±2.5を超えると奇跡に近い）を超えると奇跡に近い）• 通常確率が通常確率が 55％以下になるともはや奇跡としかいえなくな％以下になるともはや奇跡としかいえなくなるので、やはりでたらめではなく、るので、やはりでたらめではなく、独立変数は従属変数に独立変数は従属変数に影響があると認めざるを得ない影響があると認めざるを得ない。（独立変数は有意水準５。（独立変数は有意水準５％で有意）％で有意）• こうした方法を統計的検定と呼ぶ。こうした方法を統計的検定と呼ぶ。

検定検定民主主義と戦争の頻度

y = 0.06x + 4.3

012345678

0 5 10 15民主主義の成熟度

戦争

の頻

度

民主主義と戦争の頻度

y = -0.12x + 4.3

0123456

0 5 10 15 20 25民主主義の成熟度

戦争

の頻

度係数＝ 0.06標準誤差＝ 0.2Ｔ値＝ 0.28Ｐ値＝ 0.7

係数＝－ 0.12標準誤差＝ 0.11Ｔ値＝－ 2.02Ｐ値＝ 0.1右の例がランダムに起きる確率は１０％（５％以下ではないので微妙）左の例はランダムにやっても７０％の確率でおきるので有意ではない

表にすると・・・表にすると・・・

• ††　　 P<0.1P<0.1　　 *P<0.05*P<0.05　　 **P<0.01 ***P<0.001**P<0.01 ***P<0.001　（）内は標準誤差　（）内は標準誤差

例１（有意では例１（有意ではない）ない） 例例 22（微妙に有（微妙に有意）意）切片切片 4.3**4.3**

（（ 1.061.06））4.3***4.3***(0.59)(0.59)

民主主義の成熟民主主義の成熟度度 0.060.06（（ 0.210.21））

-0.24†-0.24†（（ 0.110.11））

Ｎ（事例の数）Ｎ（事例の数） ６６ ６６

要は係数の符号と星の数を見ればよい

変数のコントロール変数のコントロール•でもでも経済的な豊か経済的な豊かささも戦争の頻度とも戦争の頻度と関係しているので関係しているのでは？は？•→→ 経済的な豊かさ経済的な豊かさを「を「コントローコントロールル」する」する 民主主義の成熟度

戦争の頻度

豊かさ

例）豊かさも民主主義も重要

コントロール（続き）コントロール（続き）

民主主義の成熟度

戦争の頻度

豊かさ

例）豊かさをコントロールすると民主主義は逆効果

民主主義の成熟度

戦争の頻度

豊かさ

例）豊かさをコントロールすると民主主義は無関係

複数の変数を考慮することをモデ複数の変数を考慮することをモデルに表すと･･･（重回帰分析）ルに表すと･･･（重回帰分析）• ヒント：先の図では三次元の面のグラフを求めたヒント：先の図では三次元の面のグラフを求めた• 答え：答え：• ((戦争の頻度戦争の頻度 ))＝＝ β1×β1×（民主主義の成熟度）（民主主義の成熟度）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋＋ ββ２２ ××（豊かさ）（豊かさ）＋＋ αα• このようにこのように係数係数 ××変数変数を数式に入れるだけでよい。を数式に入れるだけでよい。

33個以上の独立変数を入れることもできる個以上の独立変数を入れることもできる• あとは標準誤差もＴ値もＰ値もコンピュータが計算あとは標準誤差もＴ値もＰ値もコンピュータが計算してくれるしてくれる• ただし、ここでのただし、ここでの ββやＴ値はほかの変数が一定だっやＴ値はほかの変数が一定だったとき（コントロール済み）の値たとき（コントロール済み）の値• 民主主義が１上がると民主主義が１上がると ββ１だけ戦争の頻度が変化し、１だけ戦争の頻度が変化し、豊かさが１上がると豊かさが１上がると β2β2だけ戦争の頻度が変化するだけ戦争の頻度が変化する

重回帰分析に必要なデータ重回帰分析に必要なデータ事例事例 国国 民主主義民主主義の成熟度の成熟度 豊かさ豊かさ 戦争の頻戦争の頻度度１１ AA 国ー国ー BB

国国１０１０ ３３ ２２

２２ BB 国ー国ー CC国国

００ ８８ ５５３３ CC 国ー国ー AA

国国００ １０１０ ３３

４４ DD 国ー国ー AA国国

５５ ３３ ２２５５ DD 国ー国ー BB

国国５５ １１ ４４

６６ DD 国ー国ー CC国国

００ １０１０ ５５

数じゃない変数だったら？数じゃない変数だったら？•「アジアの国」や「独裁国家の国」とい「アジアの国」や「独裁国家の国」といった数字で表せない場合は・・・った数字で表せない場合は・・・•ダミー変数ダミー変数を作る（アジアの国＝１、そを作る（アジアの国＝１、それ以外の国＝０）れ以外の国＝０）•独立変数がダミー変数である場合は普通独立変数がダミー変数である場合は普通に回帰分析を行うことができる。に回帰分析を行うことができる。•係数はその条件を満たす場合とそうでな係数はその条件を満たす場合とそうでない場合の差を表している。い場合の差を表している。

ダミー変数ダミー変数事事例例 国国 民主主民主主義の成義の成熟度熟度

豊かさ豊かさ アジアアジア 戦争の頻度戦争の頻度

１１ AA 国ー国ー BB国国

１０１０ ３３ １１ ２２２２ BB 国ー国ー CC

国国００ ８８ ００ ５５

３３ CC 国ー国ー AA国国

００ １０１０ １１ ３３４４ DD 国ー国ー AA

国国５５ ３３ １１ ２２

５５ DD 国ー国ー BB国国

５５ １１ ００ ４４６６ DD 国ー国ー CC

国国００ １０１０ ００ ５５

独立変数に条件がつく場合独立変数に条件がつく場合• 例）アジアの国だけは民主主義の成熟度に比例して例）アジアの国だけは民主主義の成熟度に比例して

戦争が起きる（という仮説）戦争が起きる（という仮説）• アジアの国（１アジアの国（１ oror ０）というダミー変数がある。０）というダミー変数がある。• 民主主義の成熟度という変数もある。民主主義の成熟度という変数もある。• これをかけると・・・これをかけると・・・　　　アジアの国　　　アジアの国 ×× 民主主義の成熟度民主主義の成熟度　という変数ができる（これを　という変数ができる（これを相互作用項：相互作用項： interactiointeractio

n termn term と呼ぶ）。この係数の有意性検定をすればよと呼ぶ）。この係数の有意性検定をすればよい。い。

• このとき、「アジアの国」という変数も、「民主主このとき、「アジアの国」という変数も、「民主主義の成熟度」という変数もモデルに入れておくこと。義の成熟度」という変数もモデルに入れておくこと。

相互作用項相互作用項事事例例国国 民主主民主主義の成義の成熟度熟度

豊か豊かささ アアジジアアアジアアジア××民主民主主義主義

戦争戦争の頻の頻度度１１ AA 国ー国ー BB 国国 １０１０ ３３ １１ 1010 ２２２２ BB 国ー国ー CC

国国００ ８８ ００ 00 ５５

３３ CC 国ー国ー AA 国国 ００ １０１０ １１ 00 ３３４４ DD 国ー国ー AA 国国 ５５ ３３ １１ 55 ２２５５ DD 国ー国ー BB

国国５５ １１ ００ 00 ４４

６６ DD 国ー国ー CC国国

００ １０１０ ００ 00 ５５

重回帰分析の結果重回帰分析の結果• サンプルが少ないのサンプルが少ないのでまともな分析ではでまともな分析ではないが･･･ないが･･･• NNが小さいとが小さいと PPが十が十分小さくならない。分小さくならない。（なぜでしょう？）（なぜでしょう？）• ††P<0.1, *P<0.05, P<0.1, *P<0.05,

**P<0.01, **P<0.01, ***P<0.001***P<0.001

独立変数独立変数 係数（標準誤係数（標準誤差）差）切片切片 3.97*3.97*

(0.52)(0.52)民主主義の成熟民主主義の成熟度度 -0.01-0.01

(0.10)(0.10)豊かさ豊かさ 0.110.11

(0.05)(0.05)アジアアジア -2.14*-2.14*

(0.21)(0.21)アジアアジア ×× 民主民主主義主義 -0.00-0.00

(0.07)(0.07)NN ６６

重回帰分析で気をつけなければな重回帰分析で気をつけなければならないことらないこと• 変数が多くなると、コンピュータが係数やＰ値変数が多くなると、コンピュータが係数やＰ値

を推定するのにたくさんのデータが必要になる。を推定するのにたくさんのデータが必要になる。• 3030 以上の独立変数を扱うためには以上の独立変数を扱うためには 10001000 やや 200200

00 のデータを集める必要がある。のデータを集める必要がある。• 独立変数同士が相関関係独立変数同士が相関関係を持ってしまうと（豊を持ってしまうと（豊

かさと民主主義の成熟度）どちらの効果かコンかさと民主主義の成熟度）どちらの効果かコンピュータも判断できなくなる（ピュータも判断できなくなる（多重共線性問多重共線性問題題：マルチコ：：マルチコ： MulticolinearityMulticolinearity ）→むやみに変）→むやみに変数を入れない数を入れない

従属変数が特殊なとき従属変数が特殊なとき•従属変数従属変数がダミー変数（戦争したがダミー変数（戦争した //しない　しない　等）等）

– 最小二乗法では扱うことができない（条件が満たさ最小二乗法では扱うことができない（条件が満たされない）れない）– 　→ロジットモデル、プロビットモデルなどが使わ　→ロジットモデル、プロビットモデルなどが使われる。直線の変わりにＳ字曲線が当てはめられるれる。直線の変わりにＳ字曲線が当てはめられる（係数は単純な読み方ができない）（係数は単純な読み方ができない）– でも表の見方は同じ。でも表の見方は同じ。係数の正負と星の数係数の正負と星の数。。

•時系列（や比較事例と時系列のミックス）を扱時系列（や比較事例と時系列のミックス）を扱う場合う場合– さまざまなモデルが用いられる（覚えなくてよい）さまざまなモデルが用いられる（覚えなくてよい）

では最初の表から何がわかるか？では最初の表から何がわかるか？

計量分析の難点・問題点計量分析の難点・問題点•データを集めるのが大変（データを集めるのが大変（ 10001000の事例をの事例をどうやって集めるか）。どうやって集めるか）。

– 時間で区切って毎年観察する。時間で区切って毎年観察する。 200200カ国カ国 ×10×10年＝年＝ 20002000– インターネット上のデータセットを利用するインターネット上のデータセットを利用する　ＣＯＷ、ＩＣＯＷ、Ｐｏｌｉｔｙ　ＣＯＷ、ＩＣＯＷ、Ｐｏｌｉｔｙ– データを生成してくれるソフトもあるデータを生成してくれるソフトもある（（ EUGENEEUGENE））– どうしてもデータがない場合「欠損値」が生じどうしてもデータがない場合「欠損値」が生じるが、（アフガニスタンのるが、（アフガニスタンの GDPGDPなど）これはなど）これはソフトで補完するソフトで補完する

計量研究の難点･問題点２計量研究の難点･問題点２•データ化する際に恣意的になりやすいデータ化する際に恣意的になりやすい（この国の民主主義の成熟度は本当に（この国の民主主義の成熟度は本当に「５」なのか？）「５」なのか？）

– データを公開し多くの人に批評してもらうデータを公開し多くの人に批評してもらう– PolityPolityやや COWCOWは、批判があるものの数十年は、批判があるものの数十年間使われ続けている。間使われ続けている。

計量研究の問題点３計量研究の問題点３•統計モデルにどの変数を入れるかで統計モデルにどの変数を入れるかで PP 値値が大きく変わってくる。が大きく変わってくる。

– さまざまな妥当なモデルを作って、それでもさまざまな妥当なモデルを作って、それでも有意であることを示す必要がある。有意であることを示す必要がある。