สรุปเนื้อหาฟิสิกส์ 1 [ครูแดง physics plus astronomy]

ฟสกส สรปเนอหา (เลม 1) .….ครแดง

อภรก อภวงคงาม ; ศษ.บ.(วทยาศาสตร-ฟสกส) มช. , วท.ม.(ฟสกสประยกต) มช. , ก าลงศกษา Ph.D.(Applied Physics) มช.

1

อภรก อภวงคงาม (ครแดง) DinDaeng Apiwong-ngarm 086-1913004 ,

ศษ.บ.(วทยาศาสตร-ฟสกส) มหาวทยาลยเชยงใหม 088-4443879

วท.ม.(ฟสกสประยกต) มหาวทยาลยเชยงใหม คร คศ.2 ช านาญการ

ก าลงศกษาปรญญาเอก สาขา ฟสกสประยกต มหาวทยาลยเชยงใหม ;2557

ฟสกส สรปเนอหา (เลม 1)

ครแดง

Facebook Page : ครแดง Physics Plus Astronomy



2

บทน า

1. หนวยฐาน ซงนบเปนหนวยฐาน / หลก ของหนวยทงหลาย มอย 7 หนวย ดงน.....

ปรมาณฐาน ชอหนวย สญลกษณ

1. ความยาว 2. มวล 3. เวลา 4. กระแสไฟฟา 5. อณหภมทางเทอรโมไดนามกส (อณหพลศาสตร) 6. ปรมาณของสาร 7. ความเขมของการสองสวาง

เมตร กโลกรม วนาท แอมแปร เคลวน โมล

แคนเดลา

m kg s A K

mol cd

2. หนวยอนพนธ เปนหนวยทสรางจากหนวยฐาน ซงมหนวยฐานหลายหนวยเกยวของสมพนธกน อาจมชอ และสญลกษณทก าหนดขนโดยเฉพาะ ตวอยางเชน.....

ปรมาณอนพนธ หนวยทสรางขน ชอหนวยเฉพาะ สญลกษณเฉพาะ

1. อตราเรว (speed) 2. แรง (force) 3. ความดน (pressure)

4. พลงงาน , งาน (energy , work)

m/s kg.m/s2

kg/m.s2 = N/m2

kg.m2/s2 = N.m

-- นวตน พาสคล จล

-- N Pa J

ฟสกส (Physics) เปนแขนงหนงของวทยาศาสตรกายภาพ ซงศกษาเกยวกบปรากฏการณธรรมชาตทงหลาย และมงเนนทจะหากฎเกณฑพนฐานตาง ๆ เพอมาอธบายปรากฏการณทางธรรมชาตเหลานน

( ไมไดเนนการน าความรไปประยกตใช )

ความรทจดวาเปนพนฐานของวชาฟสกส ไดแก กลศาสตร ความรอน แสง เสยง ไฟฟา แมเหลก ฟสกสอะตอม และฟสกสนวเคลยร

ฟสกส ถอเปนพนฐานของวทยาศาสตรทงปวงและเปน หวใจ ของการพฒนาเทคโนโลย

องคกรระหวางชาตเพอการมาตรฐาน I S O ไดก าหนดระบบหนวยมาตรฐาน ทเรยกวา ระบบหนวยระหวางชาต (International System of Units) ทเรยกวา หนวยเอสไอ เพอใหทกประเทศใชเปนมาตรฐาน (หนวยฐาน + หนวยอนพนธ + หนวยเสรม)



3

นอกจากน ระบบหนวย SI ยงไดก าหนด ค าน าหนาหนวย หรอ ค าอปสรรค ไวดงน....เชน ค าอปสรรค สญลกษณ คาพหคณ

1. พโก (pico-) 2. นาโน (nano-) 3. ไมโคร (micro-) 4. มลล (milli-) 5. เซนต (centi-) 6. เดซ (deci-) 7. กโล (kilo-) 8. เมกะ (mega-) 9. จกะ (giga-)

p n µ m c d k M G

10-12 10-9 10-6 10-3 10-2 10-1 103 106 109

นอกจากนยงม องสตรอม ใชสญลกษณ o

A คาพหคณ เทากบ 10-10 เมตร

หลกการเปลยนหนวย

เชน.....ความยาว 4.9 นาโนเมตร มคาเทาไรในหนวย กโลเมตร

….มาจากนาโน ไปเปน กโล 3

9

10

109.4 = 39109.4 = 12109.4 km

และ

และ เปลยน ตารางเซนตเมตร (cm2 ) ไปเปน ตารางเมตร ( m2 ) เชน 5 cm2 = 5 x c2 . m2 = 5 x (10- 2)2 m2 เมอ c = 10- 2 = 5 x 10- 4 m2

และ เปลยน ลกบาศกเซนตเมตร (cm3 ) ไปเปน ลกบาศกเมตร ( m3 ) เชน 5 cm3 = 5 x c3 . m3 = 5 x (10- 2)3 m3 เมอ c = 10- 2 = 5 x 10- 6 m3

ใหใชหลกการทวา “ มาจากไหนเอาไปคณ จะไปไหนเอาไปหาร ”

ท าหนวย km/h ไปเปน m/s ใหเอา 18

5 ไปคณ**

ท า m/s ไปเปน km/h ใหเอา 18

5 ไปหาร ............(คณดวย5

18 )



4

1. (มช.40) จดมงหมายหลกของวชาฟสกสอยท ก. ศกษาหาความรเกยวกบ กลศาสตร ความรอน คลน แสง เสยง แมเหลก ไฟฟา และ

ปรากฏการณธรรมชาตอน ๆ เพอใหรและเขาใจธรรมชาตใหมากทสด ข. ศกษาเกยวกบปรากฏการณตาง ๆของธรรมชาต เพอเปนพนฐานของการศกษาในสาขาวชาอน

ๆ เชน เคม คณตศาสตร และวศวกรรมศาสตร ค. การศกษาวชาพนฐานเพอใหเกดความเขาใจในปรากฏการณธรรมชาต และเปนพนฐานน าไปส

การพฒนาทางดานเทคโนโลย ง. การสงเกต บนทกผล และการสรางแบบจ าลองทางความคด เพอศกษาเละอธบาย

ปรากฏการณ ทกรปแบบ

2. (มช.42) ขอใด ไมใช หนวยฐานของระบบหนวยระหวางชาต (เอสไอ) ทงหมด ก. วนาท โวลต แอมแปร ค. นวตน คลอมบ จล ข. แคนเดลา ลเมน เฮนร ง. โอหม โมล ซเมนส

3. แสงเลเซอรชนด ฮเลยม – นออนใหแสงสแดงความยาวคลน 632.8 นาโนเมตร หรอเทากบ

ก. 6.328 x 10-3 มลลเมตร ค. 6.328 x 10- 8 เมตร ข. 6.328 x 10-5 เซนตเมตร ง. 6.328 x 10- 12 กโลเมตร



5

ความละเอยดของเครองมอ / การวด

ความละเอยดของเครองมอ / สเกล = 1

0 1 2 ความละเอยดของการวด / อานคา = 0.1

ความละเอยดของเครองมอ / สเกล = 0.1

0 1 2 ความละเอยดของการวด / อานคา = 0.01

** เวลาอานจะมการประมาณดวยสายตา เพมอก 1 ต าแหนง (ถงแมจะเปนศนย กตาม)

เลขนยส าคญ (Significant Figure) คอ ตวเลขทมความหมาย มความส าคญในปรมาณทแสดงออกมา ซงกคอ ตวเลขทไดจากการ วดดวยเครองมอทงหมด (คาทอานจากสเกลโดยตรง + คาทตองประมาณดวยตาอก 1 ต าแหนง

หลกในการพจารณาเลขนยส าคญ 1. จ านวนเตม (ไมมทศนยม) ทกตว ไมสามารถบอกเลขนยส าคญได (กเลยนบทกตวซะเลย) 2. เลขศนย ทอยหนาจ านวนทงหมด ไมเปนเลขนยส าคญ เชน 005 , 0.005 3. เลขศนย ทอยหลงจ านวน เปนเลขนยส าคญ เชน 5.00 , 55.50 4. เลขศนย ทอยกลางจ านวน เปนเลขนยส าคญ เชน 50.05 , 501.005 5. ถาเขยนจ านวนในรป A x 10B , A A , A % ใหนบเฉพาะ A เทานน

หลกในการค านวณเลขนยส าคญ

1. (กรณ บวก , ลบ ) ใหตอบถง จ านวนทศนยม ของจ านวนทมทศนยมนอยทสด เชน.

12.074 + 7.1 = 19.174 (ตอบ 19.2 ------ ทศนยม 1 ต าแหนง) 12.345 + 1.23 = 13.575 (ตอบ 13.58 ----- ทศนยม 2 ต าแหนง)

2. (กรณ คณ , หาร กน) ใหตอบถง จ านวนเลขนยส าคญ ของจ านวนทมเลขนยส าคญนอยทสด

เชน1.2345 x 22.0 = 27.15900 (ตอบ 27.2 ------เลขนยส าคญ 3 ตว)

47.0 6.0 = 7.83๐ (ตอบ 7.8 ------- เลขนยส าคญ 2 ตว)

...ใหปดเลขดวย

...ใหปดเลขดวย



6

4. (มช.53) นกเรยนคนหนงวดความยาวของซองจดหมายซองหนง ดวยไมบรรทดทมคาเตมสเกลเทากบ 30 เซนตเมตร และมสเกลละเอยดทสดเทากบ 0.1 เซนตเมตร ขอใดแสดงการบนทกคาทถกตองในหนวยเซนตเมตร

ก. 12.3 ข. 12.35 ค. 12.352 ง. 12.4 5. (PAT.53) นางสาวแพนเคกใชไมบรรทดวดขนาดของกลองใบหนง แสดงดงรป นางสาวแพนเคกควร

บนทกความยาวทเหนเปนเทาใด ในหนวย มลลเมตร ก. 2.5 ค. 25 ข. 2.50 ง. 25.0

6. นายแดงวดเสนผาศนยกลางของเหรยญอนหนงไดเทากบ 2.542 cm นกเรยนคดวานายแดงใช

เครองมอชนดไหนวดเหรยญอนน ก. ไมบนทด ข. ตลบเมตร ค. เวอรเนยร ง. ไมโครมเตอร

7. ผลรวมของ 1.234 + 12.34 + 123.4 มคาเทาใด

ก. 136.0 ข. 137.0 ค. 136.974 ง. 136.97 8. ชายคนหนงขบเรอไดระยะทาง 88.00 กโลเมตร ในเวลา 3.50 ชวโมง เขาขบเรอดวยอตราเรวเทาใด

ก. 25.1 กโลเมตรตอชวโมง ค. 25.143 กโลเมตรตอชวโมง ข. 25.14 กโลเมตรตอชวโมง ง. 25.1429 กโลเมตรตอชวโมง



7

ตวเลขทมความคลาดเคลอน

เพอใหการวดปรมาณตาง ๆ ใหมความถกตองและแมนย ามากขน ตองท าการวดหลาย ๆครง โดยท คาเฉลยของขอมล ( X ) จะมคาใกลเคยงคาจรงมากทสด

และเขยนอยในรป XX เชน มวล 25.5 0.4 กโลกรม นนคอ มวลมคาอยในชวง 25.1 ถง 25.9 กโลกรม

ความคลาดเคลอน คดเปน % ดงน % คลาดเคลอน = 100

X

X

โดยท

** ซงเปนไปตามหลกทาง สถต ผลทถกตองเกอบ 68 % จะอยในชวง XX ** การค านวณปรมาณทมความคลาดเคลอน

1. กรณทผลลพธเกดจากการ (บวก , ลบ) ใหน าความคลาดเคลอนของแตละขอมลมา บวก กนเลย เชน…… R = 2A + B R = 2A + B

R = 0.5B - 3D R = 0.5B + 3D

2. กรณทผลลพธมาจากการ (คณ , หาร)

ใหหาเปน %คลาดเคลอนกอน (แลวคอยท าเปนความคลาดเคลอนทหลง) เชน…..

2.3 BAR 1002100100

B

B

A

A

R

R

BAR %2%%

(จะไมคดคาคงท แตจะคดเลขยกก าลง โดยดงเลขยกก าลงมาเปนตวคณขางหนา)

หมายเหต การคดความคลาดเคลอนแบบนอาจไมถกตองตามหลกทางสถต แตกใชได

1

.

22

nn

XXnDS

ii = 1

2

n

XX i

n

DSX

..

เปนบวก เสมอไมมลบ



8

9. สามเหลยมรปหนงมความยาวแตละดานเปน 12.5 0.1 , 16.2 0.1 , 22.3 0.1 เซนตเมตรความยาวรอบรปสามเหลยมนจะมคาเทาไร

ก. 51.0 0.3 cm ข. 51.0 0.1 cm ค. 51 0.3 cm ง. 51 0.1 cm

10. รปสเหลยมจตรสรปหนงมดานแตละดานยาว 31.2 % เซนตเมตร พนทสเหลยมจตรสนมคากตาราง

เซนตเมตร ก. 341.4 % ข. 641.4 % ค. 34.4 % ง. 64.4 %

กราฟสมการเสนตรง cmxy

โดยท m คอ ความชนของกราฟ (slope) ……….ดงตวอยาง c คอ จดตดบนแกน y

โดยท

3

1

15

5

1025

510

slope

1. ถา slope มคาเปน บวก แสดงวา กราฟชนขน 2. ถา slope มคาเปน ลบ แสดงวา กราฟชนลง

11. (PAT.53) นกเรยนคนหนงเขยนกราฟระหวาง คาบยกก าลงสองกบความยาว ความชนของกราฟ

สอดคลองกบขอใด

ก. s2m ข. cm/ms ค. (m/s)2m-1 ง. (ms)2(mm)-1

x

y

xx

yyslope

12

12



9

A = 4 หนวย

B

= 3 หนวย

C

= 5 หนวย D

= 3 หนวย

A

B

C

R

R

ปรมาณเวกเตอร (Vector Quantity)

เปนปรมาณทบอกทง ขนาด(magnitude) และทศทาง(direction) เชน แรง น าหนก การกระจด ความเรว ความเรง โมเมนตม เปนตน

ปรมาณเวกเตอรจะเขยนแทนดวย ลกศร และนยมเขยนสญลกษณแทนดวยอกษรภาษาองกฤษ เชน

ความยาวของลกศรแทนขนาดของเวกเตอร ทศทหวลกศรชไปแทนทศทางของเวกเตอร เวกเตอรทมขนาดเทากบเวกเตอรเดม แตมทศตรงกนขาม จะเขยนเครองหมายลบ (- ) ขางหนา

การหาเวกเตอรลพธ

โดยการสรางรป โดยมหลกการดงน

1. น าหางของเวกเตอรทสองมาตอกบหวเวกเตอรแรก (Trail to Head) ตอกนไปเรอย ๆ จนหมด 2. เวกเตอรลพธ คอ เวกเตอรทลากจากหางของเวกเตอรแรกไปยงหวของเวกเตอรสดทาย

ขนาดและทศทางของเวกเตอรลพธ.....ใหวดเอาเองเดอ!!

เชน CBAR

เวกเตอรลพธ คอ

หางตอแลว กลบมากนหางตวเอง เวกเตอรลพธ เทากบ ศนย



10

C

A

B

D

E

F

12. ถาเวกเตอรทง 4 เวกเตอร กระท าตอกนในระนาบเดยวกนดงแสดงในภาพ ถามวาเวกเตอรท 5 จะตองมขนาดและทศทางดงขอใด จงจะท าใหเวกเตอรลพธของทง 5 เวกเตอรเปนศนย ก. ค. ข. ง.

13. ก าหนดเวกเตอรดงรป ขอใดถกตอง

ก. DFBE

ข. CFEA

ค. EBFD

ง. DCAB

โดยการค านวณ

- หากเวกเตอรทงสองตงฉากกน พจารณา R

= A

+ B

จะเหนวา ขนาด และ ทศทาง ของเวกเตอรลพธ ( R) กคอ แนวของเสนทแยงมม ทเกดจาก

เวกเตอรองคประกอบทงสอง ในแนวแกน x-y มาประกอบกนขนเปนรปสเหลยมนนเอง

หาขนาดของ R จาก ทบ.ของพธากอรส จะไดวา

222 BAR จะได

22 BAR

หาทศทางของ R จากวธ ตรโกณมต จะไดวา

A

Btan



11

R

2R

x

y

xR

yR

P

Q

60๐

5

10

- หากเวกเตอรทงสองไมตงฉากกน พจารณา R = P

+ Q

(P

ท ามม กบ Q

)

ใชสตร

การแยกเวกเตอร หรอ แตกเวกเตอร

** ใชเทคนค ( ปด cos , เปด sin )

14. เมอแรงสองแรงท ามมกนคาตาง ๆ ผลรวมของแรงมคาต าสด 2 นวตน และมคาสงสด 14 นวตน

ผลรวมของแรงทงสองเมอกระท าตงฉากกนจะมคาเทาใด ก. 12 N ข. 10 N ค. 5 2 N ง. 8 N

15. จงหาเวกเตอรลพธ ของ 2 เวกเตอร ทกระท ากนดงรป

cos2222 PQQPR

cosRRx sinRRy



12

Homework 1. โซลารเซลลตวหนงมพนทรบแสงเปนรปสเหลยมผนผากวาง 2.5 มลลเมตร ยาว 3.0 มลลเมตร

อยากทราบวาพนทรบแสงนมคากตารางเมตร (7.5 x 10- 6 m2)

2. (มช.43) วดความยาวของดนสอแทงหนงได 16.35 0.04 เซนตเมตร เครองมอทใชวด มความ ละเอยดของสเกลเปน กเซนตเมตร ( 0.1 cm)

3. (มช.45) จากรป ความยาวของแทงดนสอมคาเทากบกเซนตเมตร

ก. 9.4 ข. 9.375 ค. 9.36 ง. 9.3

4. จากความสมพนธ 2

2

1mvEk เมอ 02.000.2 m kg 05.050.2 v m/s จงหาคา

ผดพลาด และเปอรเซนตผดพลาดของ Ek ( 0.19 , 3%) 5. รปสเหลยมจตรสรปหนงมดานแตละดานยาว 25.2 % เซนตเมตร พนทสเหลยมจตรสนมคาก

ตารางเซนตเมตร ( 42.6 % )

6. (มช.51) ในการทดลองโมเมนตของความเฉอย รอบแกนหมนทตงฉาก และผานศนยกลางมวลของจาน

กลม จาก 2

2

1MRI ท าการทดลองในเชงสถต โดยการวดหลายๆครง ได 20400 M กรม

รศม 6.00.12 R ซม. ใหหาคา II ในหนวย กโลกรม.เมตร2 จากการทดลองน ก. 31015.088.2 ข. 31026.088.2 ค. 3101.09.2 ง. 3102.09.2

7. เวกเตอรยอย 2 เวกเตอร ถากระท าตอกนเปนมมฉาก เวกเตอรลพธจะมขนาด 10 หนวย ถากระท า

ในทศทางตรงกนขามเวกเตอรลพธจะมขนาด 2 หนวย จงหาขนาดของเวกเตอรทงสอง 8. จงหาเวกเตอรลพธ ของ 2 เวกเตอร ทกระท ากนดงรป (10)



13

s s

t t

2

การเคลอนทใน 1-2 มต

- การเคลอนทใน 1 มต นน เปนการเคลอนททอยบนเสนตรง

- สวนการเคลอนทใน 2 มต นน เปนการเคลอนททอยบนระนาบเดยวเทานน

ปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ

ระยะทาง (distance) ; s คอ เสนทางการเคลอนทของวตถ วดตามทางเดนจรงของวตถ จาก ต าแหนงเรมตนจนถงต าแหนงสดทาย มหนวยเปน m (ปรมาณสเกลาร)

การกระจด หรอ การขจด (displacement) ; s คอ ระยะทวดตรงจากต าแหนงเรมตนจนถง

ต าแหนงสดทายของวตถ ส าหรบการเคลอนทหนง ๆ มหนวยเปน m (ปรมาณเวกเตอร)

อตราเรว (speed) ; v คอ อตราสวนของระยะทางทเคลอนทได กบ เวลาทใชในการเคลอนท

หรอ ระยะทางทวตถเคลอนทไปไดในหนงหนวยเวลา (ปรมาณสเกลาร)

ความเรว (velocity) ; v อตราสวนของการกระจดทเคลอนทได กบ เวลาทใชในการเคลอนท

หรอ การกระจดทวตถเคลอนทไปไดในหนงหนวยเวลา (ปรมาณเวกเตอร)

อตราเรว = ระยะทาง (m) ความเรว = การกระจด (m) เวลา (s) เวลา (s)

** เขยนสมการทวไปเปน .........* หรอ vts

อตราเรว และ ความเรว มหนวยเปน เมตร / วนาท (m/s)

และ ความเรว สามารถหาไดจาก ความชน(slope) ของกราฟระหวาง s กบ t

v = slope 1

นนคอ เสน 1 มความเรวมากกวา เสนท 2

t

sv



14

**ในภาษาทวไปค าวา อตราเรว และ ความเรว อาจจะไมแตกตางกน อาจใชสลบกนไปมาได แตส าหรบ ในวชาฟสกส ควรใชใหถกตามความหมายดงกลาว ตวอยางเชน การเดนทางจาก A B C ไดทาง ดงรป ถาการเดนทางครงนใชเวลาทงหมด 5 วนาท

ระยะทางทงหมด คอ 8 + 6 = 14 m แต การกระจด คอ 10 m ( พธากอรส)

ดงนน อตราเรว(เฉลย) = 8.25

14 m/s

แต ความเรวลพธ = 0.25

10 m/s

1. เรอแลนไปทางทศเหนอเปนระยะทาง 30 กโลเมตร ในเวลา 40 นาท หลงจากนนกแลนไปทางทศ

ตะวนออกอก 30 กโลเมตร ในเวลา 20 นาท อตราเรวเฉลยของเรอล าน คอ ก. 230 กม./ชม. ค. 60.0 กม./ชม. ข. 545 กม./ชม. ง. 67.5 กม./ชม.

การกระจด เทากบ ………………………………… ความเรวเฉลย เทากบ ………………………………

2. วตถหนงเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรว 5 เมตร/วนาท ไดทาง 100 เมตร จากนนเพมความเรว

เปน 10 เมตร/วนาท ไดทาง 50 เมตร จงหาความเรวเฉลยของวตถกอนน ( 6 m/s)



15

3. ระยะทางระหวางสถานขนสงเชยงรายถงสถานขนสงเชยงใหมประมาณ 180 กโลเมตร Mr. David โดยสารดวยรถประจ าทางออกจากสถานขนสงเชยงรายเวลา 9 : 45 นาฬกา ถาคนขบขบดวยอตราเรวเฉลย 80 กโลเมตร/ชวโมง Mr. David ตองนดเพอนใหมารบทสถานขนสงเชยงใหมประมาณกโมง

ก. 12 : 00 น. ข. 12 : 10 น. ค. 14 : 00 น. ง. 14 : 25 น.

4. (มช.40) เครองบนล าหนงบนจากสนามบนเชยงรายมาทสนามบนเชยงใหมใชเวลา 40 นาท แลวบนจากสนามบนเชยงใหมไปสนามบนแมฮองสอนใชเวลา 35 นาท ถาสนามบนเชยงรายอยทางทศตะวนออกเฉยงเหนอของสนามบนเชยงใหมเปนระยะทางตรง 150 กโลเมตร และสนามบนแมฮองสอนอยทางทศตะวนตกเฉยงเหนอของสนามบนเชยงใหมเปนระยะทางตรง 120 กโลเมตร จงหาวา ถาเครองบนนบนตรงจากสนามบนเชยงรายไปยงสนามบนแมฮองสอน โดยใชเวลาบนเทาเดม จะตองบนดวยอตราเรวก กโลเมตร/ชวโมง

ก. 153.60 ข. 215.35 ค. 216.00 ง. 430.70



16

5. จากกราฟระยะทางกบเวลา ดงรป จงหาต าแหนงของกราฟเมอความเรวมคาสงสด ก. ตรงจด B ค. อยระหวางจด A กบจด B ข. ตรงจด C ง. อยระหวางจด B กบจด C

การหาระยะทางจากพนทใตกราฟระหวาง v กบ t

เนองจาก vts = พนทใตกราฟ (ผลคณระหวาง แกน x และแกน y)

และ: ความชน ของกราฟ v กบ t คอ ความเรว

หา ระยะทาง คดพนททงหมด (น ามาบวกกนหมด) หา การกระจด คดพนทดานบน – พนทดานลาง

6. ในการวงมาราธอน 5000 เมตร ถานาย ก วงดวยความเรวดงแสดงในกราฟขางลาง เขาจะถงเสนชย ในเวลาก นาท

ก. 2.5 ค. 3.3 ข. 2.8 ง. 3.8



17

v

t

3

ระยะทาง ความเรง

เวลา เวลา

1

4

2 A

D

C

B

ความเรง (acceleration) ; a คอ อตราการเปลยนแปลงความเรวของวตถ หรอ ความเรวของวตถทเปลยนไปในหนงหนวยเวลา

t

v

tt

vva

12

12

มหนวยเปน m/s2 ** อาจหาไดจาก slope ของกราฟ v กบ t

ถาเราใหวตถม ความเรวเรมตน ทเวลา t1 = 0 เปน u และเมอเวลาผานไป t วนาท วตถมความเรวสดทายหรอความเรวปลาย เปน v

จะได 0

t

uva

หรอ …….(1)

และวตถจะม ความเรวเฉลย เทากบ 2

uvvav

จาก S = v t

จะได tuv

S .2

……..(2)

ความเรงของวตถ สามารถหาไดจาก ความชน ของกราฟ ระหวาง v กบ t

ความเรงทตดลบ (-a) เรยกวา ความหนวง 7. กราฟความสมพนธระหวางระยะทางทเคลอนทกบเวลา และกราฟระหวางความเรงกบเวลา

ค าตอบขอใดทแสดงความสอดคลองทถกตองของการเคลอนทของวตถหนง ก. 1 และ C ข. 2 และ B ค. 3 และ A ง. 4 และ D

atuv



18

สตรการเคลอนทใน 1 – 2 มต (กรณทมความเรงคงท)

จาก …....(1) จะไดวา a

uvt

จากนนแทน t ในสมการ (2) S = tuv

.2

……(2) คอ

a

uvuvs

2

a

uv

2

22

ดงนนกจะไดสมการ asuv 222 …….(3)

และแทนสมการ (1) ในสมการท (3) คอ t

uatus

2

tatu

2

2

ดงนนกจะไดสมการ 2

2

1atuts ……(4)

8. ถาเครองบนตองใชเวลาในการเรงเครอง 20 วนาท จากหยดนง และเคลอนทไดระยะทาง 400 เมตร

กอนทจะขนจากรนเวยได จงหาอตราเรวของเครองบนขณะขนจากรนเวยวาเทากบกเมตร/วนาท (40 เมตร/วนาท)

9. รถยนตคนหนงวงดวยความเรวคงท 10 m/s ขณะทอยหางจากสงกดขวางเปนระยะทาง 35 m

คนขบตดสนใจหามลอรถ โดยเสยเวลา 1.0 วนาท กอนทหามลอจะท างาน เมอหามลอท างานแลว รถจะตองมความหนวงเทาใด จงจะท าใหรถหยดพอดเมอถงสงกดขวางนน

ก. 1.0 m/s2 ข. 1.5 m/s2 ค. 2.0 m/s2 ง. 3.0 m/s2

atuv



19

เวลา (s)

10. วตถกอนหนง ไถลลงมาจากพนเอยงจากหยดนง ดวยความเรงคงท และเคลอนทได 9 m ในเวลา 3 วนาท เมอมาถงพนลาง วตถมความเรวเปน 24 m/s จงหาวาส าหรบการเคลอนทลงพนเอยงน วตถใชเวลาทงหมดกวนาท (12 วนาท)

การเคลอนทในแนวดง (ภายใตแรงโนมถวงของโลก)

วตถทตกอยางอสระ จากทสง จะมความเรวเพมขนเรอย ๆ ดงกราฟ แสดงวา วตถมความเรง และคา ความเรง สามารถหาไดจาก slope ของกราฟ

ซงมคาเทากบ 9.8 m/s2 หรอประมาณ 10 m/s2 เรยกความเรงนวา ความเรงเนองจากแรงดงดดของโลก (g)

ดงนน สตรตาง ๆ ทใชในการค านวณ จะเปลยน a เปน g ดงน

gtuv gsuv 222 2

2

1gtuts

( ในกรณทวตถเคลอนทขน คา g จะมคาเปน ลบ (-g ) เนองจากเปนความหนวง)

ตามหากาลเลโอ

v

t



20

11. (PAT.53) ถาเราปลอยกอนหน A ใหตกแบบเสร สวนกอนหน B ถกโยนขนในแนวดง ดวยความเรวตนคาหนง หลงจากทกอนหนทงสองเคลอนทออกจากมอไปแลว จงเปรยบเทยบความเรงของกอนหนทงสองน (โดยไมคดผลของแรงตานอากาศ)

ก. กอนหนทงสองมความเรงเทากน ข. กอนหน A มขนาดความเรงมากกวากอนหน B ค. กอนหน B มขนาดความเรงมากกวากอนหน A ง. กอนหนทงสองมขนาดความเรงเทากน แตมทศทางตรงกนขาม

12. ชายคนหนงโยนเหรยญขนไปในแนวดงดวยความเรวตน 10 m/s เปนเวลานานเทาใดเหรยญจงจะตกลงมาถงต าแหนงเรมตน ก. 1 s ข. 2 s ค. 3 s ง. 4 s

13. (En.42) ลกบอลตกจากจด A ซงสง h จากพน เมอผานจด B ซงสง

4h จากพน จะมอตราเรว

เทาใด ก. (gh/2)1/2 m/s ข. (gh)1/2 m/s ค. (3gh/2)1/2 m/s ง. (2gh)1/2 m/s

14. จกคอรกกระเดนหลดจากปากขวดขนในแนวดง กระทบหลอดไฟซงอยสงขนไป 4 เมตร จากปากขวดใน

เวลา 0.4 วนาท จงหาอตราเรวของจกคอรกขณะกระทบหลอดไฟในหนวยเมตร/วนาท ก. 7 ข. 8 ค. 12 ง. 16



21

ในกรณ ทโยนวตถขนไป แลววตถตกลงมาต ากวาต าแหนงเดม

15. (มช.41) เดกคนหนงโยนกอนหนขนไปในแนวดง ดวยอตราเรวตน 10 เมตร/วนาท กอนหนตกถงพน

ซงอยต ากวาต าแหนงมอทก าลงโยนเปนระยะทาง 15 เมตร จงหาวากอนหนเคลอนทอยในอากาศเปนเวลานาน กวนาท (3 วนาท)

16. บอลลนลกหนงก าลงลอยขนดวยความเรวคงท 5 เมตร/วนาท เมอลอยไปถงระยะหนงกทงกอนหนลง

มา พบวากอนหนตกถงพนดนในเวลา 10 วนาท ขณะททงกอนหนนนบอลลนอยสงจากพนดนเทาไร

ใชสตร S ตดลบ เนองจาก มทศทางลงสพน

2

2

1gtuts



22

3 6 9 12

30

20

10 เวลา (s)

อตราเรว (m/s)

17. สมมตวากราฟนแสดงความสมพนธของอตราเรวและเวลาในการเคลอนทของจรวดเครองหนง ซงตกกลบมายงโลกหลงจากเชอเพลงหมด ระยะเวลานบจากจรวดขนจากพนดนจนตกกลบถงผวโลกเปนเวลาทงหมดกวนาท

ก. 9.0 s ค. 14.0 s ข. 11.2 s ง. 14.2 s

เชอเพลงหมดทเวลา……………… ขนไปถงจดสงสดทเวลา…………….

จรวดขนไปสงไดกเมตร………………….. หลงจากเชอเพลง ขนไปไดอกกเมตร…………..

18. (มช.44) ชายคนหนงโยนกอนหนขนไปในแนวดงดวยอตราเรวตน 12.0 เมตร/วนาท ขณะทกอนหน

กอนแรกขนไปจนถงจดสงสด กโยนกอนหนกอนทสองขนไปในแนวดงดวยอตราเรวตนเทากบกอนแรก จงหาวากอนหนทงสองจะชนกน ณ ต าแหนงซงสงจากต าแหนงทโยนกเมตร (5.4 เมตร)



23

Homework 1. นาย ก เดนทางจาก A ไป B ใชเวลา 18 วนาท จากนนเดนตอไปยง C ดงรป ใชเวลาอก 12

วนาท จงหาขนาดของความเรวเฉลยของนาย ก ตลอดการเดนทางน ( 0.75 m/s )

2. วตถหนงเคลอนทเปนดงกราฟ จงหาอตราเรวเฉลย และ ความเรวเฉลย ของการเคลอนท 100 วนาท

( 60 m/s , 20 m/s)

3. (PAT.53) วตถเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรงตามกราฟ โดยเรมตนเคลอนทจาก ความเรวตน 20

เมตร/วนาท ระยะทางทวตถเคลอนไดในชวงเวลา 4 วนาท เปน กเมตร ก. 47 ข. 69 ค. 92 ง. 94

4. รถยนตแลนดวยความเรว 72 km/h หากหามลอใหเกดความหนวง 2 m/s2 ใชเวลานานเทาใดรถ

จงจะหยด (10 วนาท)



24

5. รถยนตคนหนง วงตามหลงรถมอเตอรไซคดวยอตราเรวคงตว 36 กโลเมตรตอชวโมง ตอมารถยนตคนนไดแซงรถมอเตอรไซคดวยอตราเรง 2 เมตร/วนาท 2 โดยใชเวลาในการแซงทงหมด 10 วนาท จงหาวารถยนตเคลอนทเปนระยะทางกเมตรในการแซงมอเตอรไซคครงน (200 m)

6. ชายผหนงขบรถเขาหาสญญาณไฟจราจรทสแยกแหงหนง ขณะทรถยนตมความเรว 30 เมตร/วนาท

สญญาณไฟเปลยนจากสเขยวเปนสเหลอง หากชายผ นใชเวลา 1.0 วนาท กอนจะเหยยบเบรก และหากอตราหนวงสงสดของเบรกเปน 5.0 เมตร/วนาท 2 จงหาระยะนอยทสดทรถยนตอยหางจากสญญาณไฟ ซงรถจะหยดไดทนพอด (120 m)

7. เทดศกดขบรถจากเชยงใหมไปล าปาง ซงอยหางกน 100 กโลเมตร ถาแบงการขบรถดงน ตอนแรกออก

รถดวยอตราเรงคาหนงจนไดความเรวสงสด 50 เมตร/วนาท จงขบตอไป ดวยความเรวคงทระดบน กอนถงล าปางลดความเรวดวยอตราเดยวกบเมอเรมตน เมอรถหยดสนทกถงล าปางพอด ถาเวลาทใชทงหมดเทากบ 1 ชวโมง อยากทราบวาในชวงทขบรถดวยความเรวคงทนนเปนระยะเวลากวนาท ( 600 วนาท )

8. จด A กบจด B อยหางกน 75 เมตร ถาใหรถยนตแลนจากจด A ไปจด B จะตองใชเวลาเทาใด

โดยทเรมตนแลนจาก A ดวยความเรงคงท 1 เมตร/วนาท 2 ไดระยะหนงกเบรกรถยนตดวยความหนวงคงท 2 เมตร/วนาท 2 ใหรถยนตหยดนงทจด B พอด

ก. 12.5 s ข. 15.0 s ค. 17.5 s ง. 20.0 s 9. รถไฟ 2 ขบวน วงเขาหากนในรางเดยวกน ขบวนท 1 วงดวยความเรว 10 m/s ขบวนท 2 วงดวย

ความเรว 20 m/s เมออยหางกน 325 m รถไฟทงสองขบวนตางกเบรกและหยดพรอมกน โดยอยหางกน 25 m จงหาเวลาทรถไฟทงสองใชในชวงการเบรกน (20 วนาท)

10. โยนกอนหนขนไปตามแนวดงดวยความเรวตน 19.6 m/s กนเวลานานเทาใดกอนหนจงจะตกถงพน

(ใช g = 9.8 m/s2 ) ( 4 วนาท ) 11. (มช.46) เดกคนหนงโยนกอนหนขนไปในแนวดง กอนหนตกลงมาถงพนซงอยต ากวาต าแหนงทมอก าลง

โยนเปนระยะทาง 100 เซนตเมตร กอนหนอยในอากาศเปนเวลา 2 วนาท จงหาวาเดกคนนจะตองโยนกอนหนขนไปดวยอตราเรวกเมตร/วนาท (9.5 m/s)



25

12. โยนกอนหนกอนหนงจากหนาผาสง 16 เมตร ดวยความเรวตน 16 เมตร/วนาท เปนเวลานานเทาใดนบตงแตเรมโยน จนหนตกกระทบตนผา... และหนกระทบตนผาดวยความเรวเทาใด (4 วนาท และ 24 m/s)

13. ลฟตเรมเคลอนทขนจากกนบอถานหนดวยอตราเรงคงท เมอขนมาได 5 วนาท คนในลฟตกปลอยกอนถานหนออกจากลฟตไปกอนหนง ปรากฏวาตกถงกนบอภายในเวลา 4 วนาท จงหาวาขณะปลอยกอน ถานหนจากลฟตนน เขาอยสงจากกนบอกเมตร (30.77 เมตร)

14. ปลอยกอนหนกอนหนงใหตกดงลงมา พบวากอนหนผานยอดมะมวงจนตกสพนใชเวลา 1 วนาท ถา ตนมะมวงสง 25 เมตร จดทปลอยกอนหนอยสงจากพนดนกเมตร (45 m)

15. จดบงไฟขนไปในอากาศดวยความเรงคงตว 8 เมตร/วนาท2 ในแนวดง ขนไปได 10 วนาท เชอเพลง หมด บงไฟจะขนไดสงจากพนกเมตร (720 m)

16. กอนหน A มวล 5 กโลกรม ถกขวางขนไปในแนวดงดวยความเรว 20 m.s-1 ขณะทกอนหน A อยต าแหนงสงสดกโยนกอนหน B มวล 7 กโลกรม ตามขนไปดวยความเรวตนเทากน กอนหน A และ B จะชนกนทต าแหนงสงจากพนดนเทาใด (15 เมตร)

17. หนกอนหนงตกจากทสง 100 เมตร ในขณะเดยวกนชายคนหนงกโยนกอนหนจากพนขนไปในแนวดงดวยความเรวตน 40 m/s ใชเวลานานกวนาทนบจากขวาง กอนหนทงสองจงจะเรมสวนทางกน (2.5 วนาท)

18. กอนหน 2 กอน กอน A ตกจากหนาผากอนกอนหน B เปนเวลานาน 2 วนาท ถากอนหน B ถกขวางลงมาในแนวดงดวยความเรวตน 30 m/s ปรากฏวาทงสองกอนตกกระทบพนพรอมกน จงหาความสงของหนาผา (80 m)

19. น าหยดลงอยางสม าเสมอจากกอกน าซงสงจากพน 20 เมตร ในขณะทน าหยดแรกกระทบพน น า

หยดท 4 ก าลงเรมตกลงมา จงหาระยะหางระหวางหยดท 2 และ หยดท 3 (7 m)



26

นง (ไมขยบ)

มความเรวคงท (ความเรง a = 0 )

แรง F มหนวย (kg.m/s2) ซงเรยกอกอยางวา นวตน (N)

แรง มวลและกฎการเคลอนท (ของนวตน)

แรง (Force) ; F เปนปรมาณทมทง ขนาด (Magnitude) และ ทศทาง (Direction)

(ปรมาณเวกเตอร) การรวมแรงหลาย ๆ แรงใหเปนแรงเดยว (แรงลพธ) จงตองรวมแบบ เวกเตอร (เวกเตอรลพธ) เชนกน

กฎการเคลอนทของนวตน (Newton ’s Law of Motion)

กฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน (Newton’s First Law)

‚ วตถจะคงสภาพอยนง หรอสภาพเคลอนทดวยความเรวคงทในแนวตรง นอกจากจะมแรงลพธ ซง มคาไมเปนศนยมากระท าตอวตถนน ‛

ซงสามารถเรยกอกชอวา “ กฎความเฉอย ” (Law of Inertia)

จะได

กฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน (Newton’s Second Law)

‚ เมอมแรงลพธทมขนาดไมเปนศนย มากระท าตอวตถ จะท าใหวตถเกดความเรงในทศเดยวกบแรงลพธทมากระท า และขนาดของความเรง จะแปรผนตรงกบแรงลพธ และ จะแปรผกผน กบมวลของวตถ ”

เมอรวมจะไดวา m

Fa

หรอ amF

จากคณตศาสตร akmF

โดยท k เปนคาคงทของการแปรผน ในระบบ SI มคาเทากบ 1

(โดยแรง 1 นวตน เปนแรงทท าใหวตถมวล 1 กโลกรม เกดความเรง 1 เมตร/วนาท 2) จะได

นนคอ แรง ท าใหความเรวของวตถเปลยนไป (เกดความเรง)

ซงในบทน จ าเปนตองรจกแรง 5 แรง ตอไปน คอ F , f , mg , N , T

0F

amF



27

เรยกรวมวา แรงคกรยา-ปฏกรยา (Action-Reaction Force)

มวล (Mass) ; m ของวตถ เปนเนอสารของวตถ และ เปนสมบตทางความเฉอย ทตานการเปลยน สภาพการเคลอนท โดยจะพยายามรกษาสภาพเดมของมนไว ( มวลมาก ความเฉอยมาก )

มวล (m) เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน กโลกรม (kg) *

กฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน (Newton’s Third Law)

‚ ทกแรงกรยา (Action Force) จะตองมแรงปฏกรยา (Reaction Force) ทมขนาดเทากน และทศตรงกนขามเสมอ”

จะได

เปนแรงทเกดขนพรอมกน กระท าบนวตถคนละชนด (these forces act on different bodies) เพราะฉะนนจะ ไมหกลางกน เกดขนเสมอไมวาวตถจะสมผสกน หรอไมสมผสกนกได เชน แรงดงดดระหวางมวลของวตถ

แรงระหวางประจ เปนตน… ถาเปนแรงปฏกรยาทผวสมผสกระท าตอวตถ (normal force) ; N

จะมทศ ตงฉาก กบพนผว

สมผสเสมอ ดงรป

แรงคกรยา – ปฏกรยา เชน.......

เราออกแรงผลกก าแพง – ก าแพงผลกมอเรา

BAAB FF



28

Nf

แรงเสยดทาน

แรงเสยดทาน (frictional force) ; เปนแรงตานการเคลอนทของวตถ เกดเมอผวของวตถเสยดส ไปกบผววตถอกอนหนง มทศตรงขามกบทศของการเคลอนท ในแนวขนานกบผวสมผสของวตถ

ซงแรงเสยดทานอาจเกดขนไดถงแมจะไมมการเคลอนทกตาม

จากการศกษาพบวา แรงเสยดทาน f มคาขนกบ 1. แรงปฏกรยาทพนผวกระท ากบวตถ (N) 2. ลกษณะ + ชนด ของผวสมผสของวตถคหนง ๆ

นนคอ Nf จะได

เมอ = constant เรยกวา สมประสทธความเสยดทาน (Coefficient of Friction) (ขนกบลกษณะ + ชนดของผวสมผส... ; อานวา มว )

แรงเสยดทานม 2 ชนด คอ

1.แรงเสยดทานสถต คอ แรงเสยดทานทเกดขน (ชวงทวตถยงไมขยบ)

จะไดวา Nf ss s คอ ส.ป.ส ความเสยดทานสถต

2. แรงเสยดทานจลน คอ แรงเสยดทานทเกดขน (ชวงทวตถเคลอนท)

จะไดวา Nf kk k คอ ส.ป.ส ความเสยดทานจลน

คา มคาตงแต 0 ถง 1 นนคอ 10 ; 0 คอ ไรแรงเสยดทาน ส าหรบผวสมผสคหนง ๆ ks เสมอ การลดแรงเสยดทาน เชน ใชสารหลอลน การใชตลบลกปนในงานตาง ๆ การเพมแรงเสยดทาน เชน พนรองเทา หลอดอกยางรถ แผนเบรก แผนครช



29

มหนวยเปน นวตน (N) เปนปรมาณเวกเตอร มทศพง เขาสศนยกลางของโลก

น าหนก (Weight) ; W

ของวตถ วตถจะตกลงมาดวยความเรงทคงตว ( g

) จากกฎขอท 2 ของนวตน วตถทมความเรง จะตอง มแรงมากระท ากบวตถในทศของความเรงนน(ซงกคอ แรงดงดดของโลกกบวตถ; GF

นนเอง)

เราเรยกแรงนวา น าหนกของวตถ…..จากกฎขอท 2 amF

gmFG

จะได

1. ปรมาณใดในทางฟสกส ทบอกใหเราทราบวา วตถใดมความเฉอยมากนอยเพยงใด

ก. แรง ข. น าหนก ค. ความเรง ง. มวล 2. (มช.46) กลองไมมวล 4 กโลกรม วางอยนง ๆ บนโตะผวเกลยง ถาตองการใหกลองไมนเคลอนทไป

บนโตะ จนกระทงมความเรว 10 เมตร/วนาท ภายในเวลา 2 วนาท จงหาวาแรงลพธทกระท าตอกลองไมนจะมขนาดกนวตน (20 นวตน)

3. (Pat.53) แรงขนาดหนง เมอกระท าตอวตถซงมมวล m1 ท าใหวตถมความเรง 8 m/s2 เมอแรงขนาดเดยวกนนกระท าตอวตถมวล m2 ท าให m2 เคลอนทจากหยดนง ได 48 m ในเวลา 2 วนาท อตราสวนระหวาง m2 ตอ m1 คอ

ก. 1 : 1 ข. 1 : 2 ค. 1 : 3 ง. 1 : 4

gmW



30

4. แทงไม 2 อน A และ B มน าหนก 2 กโลกรม และ 4 กโลกรม ผกตดกบดวยเสนเชอกเบา ถกลากดวยแรง F ไปบนพนไมทอยในแนวระดบซงมสมประสทธความเสยดทานสถตเปน 0.7 และสมประสทธความเสยดทานจลนเปน 0.4 จงหาขนาดของแรง F ทท าใหแทงไมทงสองเคลอนทไปบนพนดวยความเรวคงท ก าหนดให g มคา 10 เมตร/วนาท 2

ก. 24 นวตน ค. 2.4 นวตน ข. 42 นวตน ง. 4.2 นวตน

5. (PAT.53) ชาย 2 คน ตองการขนยายวตถขนาดใหญ จากทหนงไปอกทหนง โดยชายคนแรกออกแรงดง

32 นวตน ท ามม 60o กบแนวระดบ สวนชายคนทสองออกแรงผลก 20 นวตน อกดานหนงของวตถในแนวระดบ โดยพนมแรงเสยดทานกระท าตอวตถขนาด 5 นวตน และวตถมความเรง 0.5 เมตรตอวนาท2 มวลของวตถกอนนมคากกโลกรม

6. (มช.52) กลองมวล m วางนงอยบนพนเอยงทท ามม กบแนวระนาบ คาสมประสทธแรงเสยดทาน

สถตระหวางกลองกบพน มคาเทาใด ก. sinmgs ข. tans ค. sinmgs ง. tans



31

7. จากรปวตถมวล 2 และ 3 kg แขวนไวดวยเชอกแลวคลองผานรอกลน ถามวลเชอกและรอกมคานอยมาก จงหาความเรงของระบบ และแรงดงในเสนเชอกทงสอง ( 2 m/s2 , 24 N)

8. จากรป วตถมวล M ถกผกตดกบวตถมวล 2 กโลกรม ดวยเชอกเสนลาง ขณะทวตถทงสองถกดงขน

จากเชอกเสนบนดวยความเรง a เมตร/วนาท2 ขนาดแรงตงของเชอกเสนลาง (T) มคา 28 นวตน ถา

ในขณะนนขนาดของแรงตงของเชอกเสนบน (P) มคา 98 นวตน M มคาเทาใด (5 kg)

9. (PAT.53) กลอง ก และ ข มน าหนก 40 นตน และ 20 นวตน ตามล าดบ กลอง ค ตองมน าหนกอยาง

นอยทสดกนวตน จงจะไมท าใหกลอง ก ไถล ถาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางพนโตะกบกลอง ก เปน 0.2

ก. 20 ค. 60 ข. 40 ง. 80



32

mg

N

การเคลอนทของลฟต (เมอลฟตมความเรง a m/s2)

เคลอนทขน mamgN

เคลอนทลง maNmg

( เมอ N คอ แรงปฏกรยาทพนกระท ากบเทา )

หนกปกต ตวหนก ตวเบา ไรน าหนก

10. หญงคนหนงหนก 490 นวตน ยนบนเครองชงในลฟตทเคลอนทลงดวยอตราเรง 12 เมตร/วนาท 2 ตวเลขทปรากฏบนเครองชงจะมคากนวตน

ก. 1090 ข. 600 ค. 380 ง. 0 11. ชายคนหนงมมวล 50 กโลกรม ยนอยในลฟตทก าลงเคลอนทขนดวยความเรง 1.2 m/s2 ดงนนแรงท

พนลฟตกระท าตอชายผ น คอ ก. 60 N ข. 440 N ค. 500 N ง. 560 N



33

m2

R

GF

GF

(วดจากจดศนยกลางมวล)

m1

กฎแรงดงดดระหวางมวลของนวตน( Law of Gravitational Force )

อาจจะเรยกอกอยางวา แรงโนมถวง ; GF และเรยกบรเวณท

แรงโนมถวงสามารถสงแรงกระท าไป ถงวา สนามโนมถวง

กฎแรงโนมถวงของนวตน กลาววา

นนคอ GF

2

21

R

mm

จากคณตศาสตรจะไดวา.....

มวล m1 และมวล m2 ตางกดงดด ซงกนและกนดวยแรงขนาด GF

ซงเปน เมอ G คอคาคงทของการแปรผน

แรงคกรยา-ปฏกรยา (Action-Reaction) เรยกวา คาคงทความโนมถวงสากล ซงกนและกน แตมทศทางตรงกนขาม (มคา 6.67259 x 10-11 N.m2/kg2

12. (มช.32) โลกและดาวเคราะหดวงหนง ถกดงดดเขาหากน ดวยแรงดงดดระหวางมวลของนวตน ถาดาว

เคราะหหนกกวาโลก 100 เทา ดาวเคราะหดวงนจะออกแรงดงดดโลกเปนกเทาของแรงทโลกดงดดดาวเคราะห

ก. 980 เทา ข. 100 เทา ค. 10 เทา ง. 1 เทา

วตถทงหลายในเอกภพจะออกแรงดงดดซงกนและกน โดยขนาดของแรงดงดดระหวางวตถคหนง ๆ จะแปรผนตรงกบผลคณระหวางมวลวตถทงสอง และจะแปรผกผนกบก าลงสองของระยะทางระหวางวตถทงสองนน

2

21

R

mmGFG



34

2R

GMg

m

ก. 5.3 ค. 16 ข. 10 ง. 20

คา g ของโลก และดาวเคราะหตางๆ เราทราบวา น าหนกของวตถทอยบนผวโลก กคอ แรงดงดดของโลกกบวตถนนเอง

จาก GFmg

นนคอ 2R

GMmmg

จะไดวา *****( 1 )

คา g บางทเรยกวา ความโนมถวง (Gravity).......มหนวยเปน N / kg

ถาคดใหละเอยดจรง ๆ คา g ในแตละทองทบนโลกแตกตางกนเพยงเลกนอย ขนอยกบต าแหนง latitude,สภาพสงต าของภมประเทศ,การหมนของโลกกมสวน

คา g มาตรฐาน มคา 9.8065 m/s2 10 m/s2 (ทผวโลก และ ใกล ๆผวโลก)

ถาเปนคา g ของดาวเคราะหดวงอน ๆ หรอ การหามวลของดาวเคราะหตาง ๆ กสามารถประยกตใชได จากสตรขางตน เชนกน

น าหนกของวตถ บนดาวดวงอนๆ กคอแรงดงดดของดาวดวงนนกบวตถนนแหละ ซงน าหนกจะมากหรอนอย กขนอยกบคา g ของดาวนน ๆ

13. (PAT.53) โยนลกบอลขนไปในแนวดงบนดาวเคราะหดวงหนง พบวาความสมพนธระหวางความสงลกบอลในแนวดงจากพน กบเวลา เปนดงรป ความเรงเนองจากแรงโนมถวงของดาวดวงนมคาก m/s2

R M



35

2hR

GMgh

m

14. (มช.53) วตถมวล 50 มแรงดงดดของโลกกระท า 500 นวตน ถาน าวตถนไปไวบนดาวเคราะหทมรศม

เปนครงหนงของโลก และมมวลเปน 10

1 ของมวลโลก วตถดงกลาวจะมมวล และน าหนกเทาใด

ก. มวล 50 kg น าหนก 50 N ค. มวล 50 kg น าหนก 200 N ข. มวล 50 kg น าหนก 100 N ง. มวล 10 kg น าหนก 500 N

คา g ทระดบความสงเปนระยะ h จากผวโลก

h จาก 2hR

GMmFG

ในท านองเดยวกนกบขางตน

จะไดวา ***** ( 2 )

12

2

hR

R

g

gh หรอ

คา g ทระดบความสงตาง ๆ จากผวโลกจะลดลงเรอย ๆ (น าหนกลดลงดวย)

สภาพทคา g 0 เรยกวา สภาพไรน าหนก (Weightlessness)

15. (มช.52) เมออกกาบาตอยหางจากจากผวโลกเปน 3 เทา ของรศมโลก คาความเรงของอกกาบาต เนองมาจากแรงโนมถวงของโลกเปนกเทาของคา g

ก. 3

g ข. 2

g ค. 9

g ง. 16

g

R M

ghR

Rgh

2



36

Homework 1. แรง 20 นวตน กระท าตอวตถกอนหนง ใหเคลอนทจากหยดนงเปนระยะทาง 40 เมตร ในเวลา 10 วนาท จงหามวลของวตถกอนน (25 กโลกรม)

2. วตถกอนหนงมมวล 4 กโลกรม วางบนพนทมสมประสทธความเสยดทานสถต 0.3 และสมประสทธ

ความเสยดทานจลน 0.2 ถกกระท าดวยแรงในแนวราบ จงหาวาจะตองออกแรงกระท ากนวตน วตถจงจะเคลอนทดวยความเรง 2 m/s2 ( 16 N )

3. จากรป มวลขนาด 10 , 8 และ 6 กโลกรม วางบนพนทไมมความฝด ออกแรงขนาด 120 นวตน ลาก

มวลทงสามไป จงหาวาขนาดของแรงดงในเสนเชอก T1 และ T2 มคากนวตน ( 50 , 90 N)

4. วตถมวล 5.0 และ 10.0 kg ผกตดกนดวยเชอกเบา ดงรป วตถทงสองวางอยบนพนราบทไมมความฝด ใหแรง F ซงมคาคงท กระท าตอวตถทงสอง หลงจากดงได 15 วนาท วตถทงสองกมความเรว 45.0 m/s แรงดงมวล 5 กโลกรมเปนกนวตน (15 นวตน)

5. ดงวตถมวล 40 กโลกรม ดวยแรง 500 นวตน ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางวตถกบพน

เทากบ 5

2 จงหาความเรงของวตถน (9 เมตร/วนาท 2)

6. (En.42) จากรป m1 และ m2 ผกตดกนดวยเชอกผานรอกลนทยอดพนเอยงทมความฝด m1 มคา 1.0

กโลกรม และ m2 มคา 0.4 กโลกรม ถามวลทงสองก าลงเคลอนทดวยความเรวคงท จงค านวณคาสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางพนเอยงกบมวล m1 (0.25)



37

7. วตถ 3 กอนมมวลขนาดเทากนกอนละ 3 กโลกรม ถาน ามาผกตดกนดวยเชอกเบาและพาดผานรอกเบาทหมนไดคลอง โดยทมวลกอนทหนง วางอยบนพนขรขระ ดงรป เมอปลอยใหเคลอนท วตถทงสามมความเรง 2 เมตร/(วนาท)2 ถาเอาวตถกอนท 2 ออก จงหาความเรงของระบบจะมคากเมตร/(วนาท)2

8. เชอกแขวนไวกบเพดาน มลงมวล 20 กโลกรม โหนเชอกอยสงจากพน 10 เมตร ไดรดตวลงมากบ

เชอกดวยความเรงคงท ถงพนใชเวลา 2 วนาท ความตงของเชอกเปนเทาใด ไมคดมวลของเชอก ( 100 N )

9. มวล 2 กอนมมวลกอนละ 1 กโลกรม ผกตดเชอกน าหนกเบา และแขวนตดกบเพดานของลฟต ดงรป ถาลฟตเคลอนทลงดวยความเรง 2 เมตรตอ(วนาท)2 จงหาแรงดงในเสนเชอก T1 และ T2 (16 N , 8 N)

10. เชอกเสนหนงทนแรงดงได 50 นวตน ผกไวกบมวล 4 กโลกรม จะดงมวลขนในแนวดงดวยความเรง

ไดมากทสดก เมตร/วนาท 2 เชอกจงจะไมขาด ( 2.5 ) 11. มวล 1 กโลกรม และ 2 กโลกรม ผกตดกนดวยเชอกเบา แลวน าไปคลองลกรอกตามรป จงหาขนาดของ

แรง F ทท าใหความตงของเชอกเทากบ 5 นวตน สมประสทธของแรงเสยดจลนระหวางมวล 1 กโลกรม กบมวล 2 กโลกรม และระหวางมวล 2 กโลกรม กบพนเปน 0.25 (20.0 N)

12. นาย ก. มวล 70 กโลกรม ยนอยบนเครองชงทวางในลฟตทก าลงเคลอนทลง ถาตราชงอานคาน าหนกนาย ก. เทากบ 644 นวตน จงหาอตราเรงของลฟต (0.8 เมตร/วนาท 2)

( 4 )



38

13. (PAT.53) ขณะทลฟตก าลงเคลอนทขนดวยความเรง 2 เมตร/วนาท2 นกเรยนคนหนง ชงน าหนกตวเองได 700 นวตน นกเรยนคนนมมวลกกโลกรม (58.33 kg)

14. มวล 220 กโลกรม วางตดกบก าแพงฝดดงรป ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางวตถกบก าแพง

เทากบ 0.2 จงหาแรง F ทจะท าใหวตถเรมขยบขน (500 นวตน) แรง F ทจะท าใหวตถเรมขยบลง (333.3 นวตน)

15. (มช 48) กลอง 3กลองดงรปผกตอกนดวยเชอกผานรอก เมอปลอยจากจดหยดนงพบวากลอง 10M

เคลอนทลงตามพนเอยง โดยเมอไดระยะทาง 4 เมตรจากจดปลอย ความเรวเปลยนเปน 4 เมตรตอวนาท ถาบนพนราบไมมความเสยดทานและรอกไมมความฝด แตพนเอยงมความเสยดทาน สมประสทธความเสยดทานจลนระหวางกลอง 10M กบพนเอยงมคาเทาไร

16. ดาวดวงหนงมวลเปน 12 เทาของโลก แตมรศมเปน 2 เทาของรศมโลกจะมคาความเรงทผวเปนกเทา

ของทผวโลก (3 เทา) 17. ดาวเคราะหดวงหนงมเสนผาศนยกลางเปนครงหนงของเสนผาศนยกลางโลก และมมวลเปน 0.1 เทา

ของมวลของโลก ชายคนหนงหนก 600 นวตน ทผวโลก จะหนกเทาใดทผวดาวเคราะหน ( 240 N )

18. ดาวเคราะหดวงหนงมวล 9 เทาของมวลโลก แตมความหนาแนนเปน3

1 เทาของความหนาแนนของ

โลก คาสนามโนมถวงทผวดาวเคราะหมคาเปนกเทาของทผวโลก ( 1 เทา ) 19. ทความสงจากผวโลกเทากบระยะรศมโลกพอด วตถทหนก 180 นวตนทผวโลก จะหนกกนวตนท

ระดบนน ( 45 นวตน ) 20. (มช 48) นกเรยนอวกาศมมวล 90 กโลกรมขณะทอยผวโลก เมอเขาโคจรรอบโลกทระยะหางจากผวโลก

เปน 2 เทาของรศมของโลก เขาจะมน าหนกกนวตน (100 นวตน)



39

การเคลอนทแบบโพรเจกไทล

ค าวา Projectile มความหมายวา วตถทขวางหรอยงออกไป (โดยไมคดผลของแรงตานอากาศ) การเคลอนทแบบโพรเจกไทล (Projectile Motion) เปนการเคลอนทในแนวโคง 2 มต

คอ มการเคลอนททงแนวดง + แนวระดบ(แนวราบ) พรอมกน

จากการทดลอง แนวการเคลอนทแบบโพรเจกไทล

นนคอ 2

xy SS หรอ 2

xy kSS เมอ k คอ คาคงทของการแปรผน

(k = slope = tan )

เนองจากรปแบบสมการ 2

xy kSS เปนสมการของ พาราโบลา (Parabola)

1. เมอทมลกน าหนกออกไปดวยมม 45 องศา ลกน าหนกเคลอนทแบบโพรเจกไทล ขณะทลกน าหนกถง

จดสงสดนน มแรงใดบางกระท าตอลกน าหนก

ก. ไมมแรงกระท า ค. มเฉพาะแรงแนวราบจากการทม ข. มเฉพาะแรงแนวดงจากแรงโนมถวง ง. มทง 2 และ 3

จะเหนวา ความเรวของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล ม 2 แนว คอ... ความเรวในแนวระดบ และ ความเรวในแนวดง (ท าใหวตถเคลอนทไปตามความเรวลพธ)



40

( มความเรง g )

การเคลอนทใน แนวระดบ ของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล จะม ความเรวคงท ( a = 0) เพราะไมมแรงลพธในแนวระดบมากระท า

การเคลอนทใน แนวดง ของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล จะม ความเรง เนองจาก แรงโนมถวงของโลก ; g (จากแรงดงดดของโลก)

เวลาของการเคลอนทในแนวดง เทากบ เวลาในการเคลอนทในแนวระดบ (Concept)

ปรมาณตาง ๆ ทเกยวของกบการเคลอนทแบบโพรเจกไทล จะแยกคดเปน 2 แนว

1. แนวระดบ (x) tuS xx

2. แนวดง (y) gtuv yy

tvu

Syy

y

2

สตรทวไป yyy gSuv 222

2

2

1gttuS yy

โปรเจกไทล แบบท 1 (พาราโบลา ครงรป) วตถถกขวางออกไปตามแนวระดบ ดวยความเรว xv จากทระดบความสง ys

* คดเสมอน วตถตกอยางอสระ 0yu (ทความสง ys )

2

2

1gttuS yy

2

2

1gtS y ……..(1)

tuS xx ……..(2)

22

yx vvv …....(3)

x

y

v

vtan ……..(4)

ความเรวแยกเปน 2 แนว

(V คงท )



41

x

y

x

y

v

v

u

utan

โปรเจกไทล แบบท 2 (พาราโบลาเตมรป) ขวางวตออกไปจากพน ดวยความเรวตน u ท ามม กบแนวระดบ และตกบนพนราบเดยวกนพจารณา โพรเจกไทล ในรปขางลาง * คดเสมอน โยนวตถขนตรงๆ ความเรวตน yu

และวตถตกกลบมาทเดม

โพรเจกไทลในรปขางบนมความสมบรณในตวเอง นนคอ พงไปดวยความเรวตน u ความเรวทกระทบพนกเทากบ u เชนกน และกกจะตกระทบพนดวยมม เชนกน

โดยท... cosuux

และ sinuuy

สตรส าเรจ (โปรเจกไทล แบบท 2)

(หาเวลาทงหมด) จาก... gtuv yy

gtu sin.0

เวลาขาขน g

ut

sin. (เวลาขน = เวลาตก)

จะได เวลาทงหมด ด ***** (1)

(หาระยะทางสงสด) จาก... yyy gSuv 222

ygSu 2sin0 22

จะได ***** (2)

g

ut

sin2

g

uS y

2

sin 22



42

(หาระยะทางในแนวราบ) จาก… tuS xx

(ระยะพสย) tuSx .cos

แทน t จาก (2) จะได

g

uuSx

sin2cos

cos.sin2.2

g

u

เนองจากตรโกณมต ( sincos22sin ) จะได ***** (3)

พจารณาสมการ 2sin.2

g

uSx และคา 12sin0 เสมอ

นนคอ xS จะไกลทสด maxxS เมอ 12sin ( 190sin 0 ) 045

ถาตองการใหวตถไปไกลสดในแนวราบ ตองยง วตถใหท ามม 45๐ กบแนวราบ

เพราะฉะนนสมการจะลดรปเหลอเพยง ………**

พจารณาสมการ g

uSx

2sin2

อกครง ในเทอม 2sin

ถา 0

21 90 จะไดวา 21 2sin2sin นนหมายความวา xS เทากน **ถาขวางวตถ 2 ครงดวยความเรวตนเทากน แตท ามม 1 และ 2

จะไดระยะทางเทากน กตอเมอ 0

21 90 ** เชน...

ในการท าโจทยโพรเจกไทล แทบทกรปแบบ จ าเปนตองหาเวลา t ในแนวดงมาชวย

(การเคลอนทในแนวราบ และ แนวดง ตองเชอมกนดวย ‚Concept‛ ของเวลาทเทากน)

2sin.2

g

uSx

g

uS x

2

max



43

จาก g

uS y

2

sin 22

และ 2sin.2

g

uSx

ดงนน

tan.4

1

cos

sin.

4

1

cos.sin2..

2

sin

2sin.

2sin.

2

22

2

22

u

g

g

u

gu

gu

S

S

x

y

จะได **** (4)

โปรเจกไทล แบบท 3 * คดเสมอน กรณ โยนวตถขนไป แลววตถตกมาต ากวาเดม

2

2

1gttuS yy ….(1)

tuS xx …..(2)

22

yx vvv .....(3)

x

y

v

vtan .….(4)

เคลดลบ โปรเจกไทล แบบอนๆ ควรเปรยบเทยบกบการเคลอนทในแนวดงเสมอ เชน...

ฯลฯ...

tan.4

1

x

y

S

S



44

2. (มช.51) เมอยงปนลกซองออกไปจากหนาผาในแนวขนานกบพน โดยมความเรวตนเปน 20 m/s หนาผามความสง 80 เมตร จงหาวาลกปนจะตกกระทบพนทระยะหางจากตนเชงผากเมตร

ก. 20 ค. 60 ข. 40 ง. 80

3. (มช.46) ลกบอลลกหนงถกปาออกไปในแนวนอน ปรากฏวาไปชนกบก าแพงซงอยหางออกไป 5 เมตร ณ ทต าแหนงต ากวาแนวปา 1 เมตร ลกบอลชนก าแพงเปนมมเทาใดเมอเทยบกบแนวดง

ก. 4.0tan 1 ข. 5tan 1 ค. 0.1tan 1 ง. 5.2tan 1

4. (มช.45) กบตวหนงกระโดด 40 ครง จงสามารถขามสนามฟตบอลซงกวาง 32 เมตรได เมอกระโดด ท ามม 45 องศากบแนวราบ จงหาวากบตวนจะใชเวลากวนาทในการขามสนามฟตบอลน (16 วนาท)



45

5. เมอขวางกอนหนดวยความเรวตน 20 เมตร/วนาท พบวากอนหนนตกถงพนราบดวยความเรวทท ามม 60 องศากบแนวดง กอนหนนจะขนไปไดสงสดเทาใด

ก. 5 m ข. 10 m ค. 15 m ง. 20 m

6. ถาโพรเจกไทลหนงมการกระจดสงสดในแนวดงเทากบ 10 เมตร และการกระจดทไปไดไกลสดในแนว

ระดบเทากบ 30 เมตร โพรเจกไทลนถกยงออกไปในแนวทท ามมกองศา กบแนวระดบ (53 องศา)

7. (มช.39) ยงปนใหญดวยความเรวตน 100 เมตร/วนาท ท ามม 45 องศากบแนวราบ ไปยงรถถงขาศกท ก าลงแลนตรงเขามาดวยความเรวคงท และขณะนนอยหางออกไปเปนระยะ 1200 เมตร ถากระสนปน กระทบเปาหมายพอด จงหาวารถถงขาศกก าลงแลนดวยความเรวเทาไร กอนทจะถกท าลาย (ตอบในหนวยเมตร/วนาท)



46

8. นกขจกรยานผาดโผน ตองการจะขขามคลองซงกวาง 5 เมตร ไปยงฝงตรงขาม ถาเขาขบรถดวย

อตราเรว 10 เมตร/วนาท กอนพนฝงแรก เขาจะขามไดโดยไมชนฝงตรงขาม h จะมคามากทสดกเมตร ก. 1.8 ค. 2.5

ค. 2.5 ง. 2.8



47

Homework 1. เหรยญบาทอยบนโตะ ซงอยสงจากพน 1.25 เมตร ใชไมบรรทดปดเหรยญนใหกระเดนไปในแนว

ระดบ ปรากฏวาเหรยญตกกระทบพนหางจากขาโตะเปนระยะ 3.3 เมตร ความเรวของเหรยญขณะ พนขอบโตะเปนเทาใด (6.6 เมตร/วนาท)

2. (มช.49) เครองบนขบไลบนดวยความเรว 360 km/h ทระดบ 2,000 m จากพน ทงระเบดไปยงเปาทอยบนพนดน เปาควรอยหางจากจดทเครองบนทงลกระเบดเปนระยะทางกกโลเมตร (2 km)

3. วตถเคลอนทดวยวถโคงลง ดวยมม 300 กบแนวระดบ จากยอดตกสง 160 เมตร ดวยความเรวตน 40

m/s จงหาระยะกระจดของวตถ (211.66 m)

4. (มช.52) ลกบาสเกตบอล ถกชทออกไปดวยความเรว 10 m/s ในทศ 60 องศากบพนดน ทจดสงสดของการเคลอนทแบบโพรเจกไทล ลกบาสมขนาดความเรวกเมตรตอวนาท (5 m/s)

5. ขปนาวธถกยงออกจากพนดนดวยความเรว 60 m/s ในทศ 60 องศากบพน ขปนาวธนนลอยอยใน

อากาศเปนเวลานานเทาไร จงจะตกถงพน...และขณะอยตรงจดสงสดอยสงจากพนดนกเมตร

( 36 วนาท , 135 เมตร) 6. ขวางกอนหนกอนหนงดวยความเรวตน 20 m/s พบวากอนหนกอนน ตกถงพนราบดวยความเรวทท า

มม 30 องศา กบพน จงหาระยะทางทวตถไปไดในแนวราบ ( 320 เมตร) 7. ชายคนหนงกระโดดไกลสองครงดวยความเรวตนทเทากน แตท ามมกบแนวระดบ 30 และ 60 องศา

ตามล าดบ อยากทราบวา ความสงทกระโดดไดในครงหลงเปนกเทาของครงแรก (3 เทา) 8. นายแดงเตะลกบอลท ามม 37๐ กบพนดนดวยความเรว 20 m/s ลกบอลเคลอนทไปหานายด าซงอย

หางออกไป 62.4 m นายด าตองวงดวยความเรวกเมตร/วนาท จงจะสามารถรบลกบอลไดทน (10)



48

37๐ 960 m

140 m

d

9. ชายคนหนงโยนลกบอลจากยอดพนเอยงดวยความเรว 20 เมตร/วนาท เอยงท ามม 30 0 กบแนวระดบ ถาพนเอยงนนเอยงลง 30 0 จากแนวระดบเชนกน จะตองใชเวลาเทาใด ลกบอลจงจะตกกระทบพนเอยงนบจากเรมโยน ( 4 )

10. ขวางลกบอลท ามม 45๐ กบแนวระดบ ปรากฏวาลกบอลลอยขามก าแพงสง 10 เมตร ซงอย หางจากจด ขวาง ในแนวระดบเทากบ 60 เมตร ไดพอด อยากทราบวา ณ จดสงสดของแนวทางการ เคลอนทนนลกบอลอยสงจากแนวระดบกเมตร (18 เมตร) 11. ยงกระสนปนมวล 50 กรม ดวยความเรวตน 100 เมตร/วนาท ท ามม 60๐ กบแนวระดบ หลงจาก

นน 5 วนาท กระสนตกกระทบเปาบนหนาผา เปานนอยสงจากพนระดบทยงเทาไร ( 308 m)

12. ขวางลกบอล A ออกจากจด O ดวยความเรวตน 7 เมตร/วนาท ในทศท ามม 37๐ กบแนวระดบ พรอม ๆกบปลอยลกบอล B ใหตกลงมาจากจดทสงจากพน 18 เมตร จงหาวาลกบอล A จะกระทบกบลกบอล B หลงจากทลกบอล B ตกลงมาไดระยะทางเทาใด (9.2 เมตร)

13. ถาปาวตถท ามม 370 กบแนวราบ ดงรป ปรากฏวาวตถผานขอบของพนบนไดพอด และตกถงพนดน ซงอยต ากวาระดบบน 140 เมตร จงหา.....

a) ความเรวตนทใชปาวตถ (100 เมตร/วนาท) b) ระยะ d (160 เมตร)



49

การเคลอนทแบบวงกลม (Circular Motion)

การเคลอนททมแรงจากภายนอกมากระท าตอวตถ ในทศทตงฉากกบทศการเคลอนทของวตถ ตลอดเวลา ท าใหแนวการเคลอนท และ ทศของความเรวมการเปลยนแปลง (เคลอนทเปนวงกลม)

แรงภายนอกนนกคอ แรงสศนยกลาง นนเอง

1. ในการทดลองการเคลอนทแบบวงกลมในแนวระดบ ขณะทก าลงแกวงใหจกยางหมนอยนน เชอกทผก

กบจกยางขาดออกจากกน นกเรยนคดวาขณะทเชอกขาด ภาพการเคลอนททสงเกตจากดานบนจะ

เปนตามรปใด ถา a เปนต าแหนงของจกยางขณะทเชอกขาด

ปรมาณตาง ๆ ทเกยวของ (เนองจากเปนการเคลอนทแบบเปนคาบ Periodic Motion คอ กลบไปกลบมาซ าต าแหนงเดม ) 1. คาบ (Period) ; T คอ ชวงเวลาทวตถใชในการเคลอนทครบ 1 รอบ (มหนวยเปน วนาท / รอบ หรอ เขยนสนๆ แค วนาท กได )

2. ความถ (Frequency) ; f คอ จ านวนรอบทวตถเคลอนทไดใน 1 หนวยเวลา (หนวยเปน รอบ/ วนาท หรอ เรยกวา เฮรตซ Hz กได )

นนคอ คาบ และ ความถ เปนสวนกลบของกนและกน จะไดวา f

T1

, T

f1

ทศทางของความเรว v ทจดใดๆ จะเปน ทศในแนวเสนสมผสวงกลมทจดนน

(ตงฉากกบแนวรศม)



50

3. การกระจดเชงมม (Angular displacement)…..ปรมาณเวกเตอร คอ มม ในหนวย เรเดยน ซงรองรบสวนโคงใด ๆ

R

S

เทยบ

4. ความเรวเชงมม (Angular velocity) ปรมาณเวกเตอร คอ การกระจดเชงมมทกวาดไปได ในหนงหนวยเวลา ; มหนวย Rad / s

ถากวาดไปได 1 รอบ 2 ใชเวลา 1 คาบ Tt

ซงจะไดความสมพนธ คอ t

5. ความเรงเชงมม (Angular acceleration)ปรมาณเวกเตอร คอ ความเรวเชงมมทเปลยนไป ในหนงหนวยเวลา ; มหนวย Rad /s2

t

ทศของ

,, จะอยตรงแกนหมน มทศตามกฎมอขวา

ความสมพนธของปรมาณ เชงเสน และ เชงมม

มม 360 องศา เทากบ 2 เรเดยน (1 รอบ)

ดงนน มม 0 = 180

Rad

fT

22

Rs Rv Ra

พจารณา แผนเสยงทหมนไป 90 องศา

ต าแหนงท 1 2 3 4 หมนไปพรอมกน ดงนนจงม ความเรวเชงมม เทากน

แต ต าแหนงท 4 เคลอนทไดระยะทางมากกวา ดงนน จงมความเรวเชงเสน v มากกวา



51

v

การเคลอนทแบบวงกลมนน จะมแรงภายนอกมากระท ากบวตถ ท าใหวตถเกดความเรง ซงมทศ

ตามทศของแรง นนคอ พงเขาสศนยกลางวงกลม เรยกความเรงนวา ความเรงสศนยกลาง ac โดยท

จาก กฎขอท 2 ของนวตน maF

(เรยกแรงนวา แรงสศนยกลาง FC)

และ R

mv2

เปนแรงหนศนยกลาง

แรงสศนยกลาง = แรงหนศนยกลาง

เทคนค คอ ตองหาใหเจอวา แรงอะไรทท าหนาทเปนแรงสศนยกลาง

Rac

2 จาก Rv จะไดเปน

RmFc

2 2. (มช. 40) นกบนแสดงการบนผาดโผนโดยบงคบใหเครองบนบนเปนวงกลมรศม 1 กโลเมตร ดงแสดงในรป

ขณะเครองบนอยทต าแหนง c อตราเรวของเครองบน (vc) เทากบ 100 เมตร/วนาท ทต าแหนงนนกบน

ก าลงมความเรงขนาดเทาไร (ตอบหนวยของ เมตร/วนาท 2)

ก. 0 ข. 20 ค. 10 ง. 14

R

mv2 R

vac

2

R

R

vmFc

2

Fc



52

Vmin ทจด สงสด Vmaw ทจด ต าสด

3. (มช.50) มวล 2.1 kg หมนเปนวงกลมรศม 70 cm ดวยอตราเรว 2 รอบตอวนาท ใหหาอตราเรวเชงเสน ในหนวยเมตรตอวนาท และแรงเขาสศนยกลางในหนวยนวตนทเกดขนกบมวลน

(ก าหนดให 7

22 )

ก. 4.4 และ 58.0 ค. 8.8 และ 232.3 ข. 4.4 และ 232 ง. 8.8 และ 929.3

4. (En 42) วตถมวล m วางบนจานกลมทก าลงหมน ดวยอตราเรวเชงมม 2 เรเดยน/วนาทถาวตถวาง

อยหางจากศนยกลางของจานเปนระยะ r และขณะทหมนวตถไมมการไถล แรงเสยดทานทกระท าตอวตถเทากบเทาไร

ก. mr24 ข. 224 mr ค. mr22 ง. mr2

การเคลอนทแบบวงกลมในแนวราบ

(ความเรวคงท) R

mvFC

2

การเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง

(ความเรวไมคงท) .........2

R

mvFC



53

5. วตถมวล 0.5 กโลกรม ผกตดกบเชอกยาว 1.0 เมตร แกวงเปนวงกลมในแนวดงเมอเชอกท ามม 60o กบแนวดงจากต าแหนงต าสดของวถทางโคจรของวตถ จงหาความตงในเสนเชอก ถาขณะนนอตราเรวในการเคลอนททต าแหนงเปน 3.0 เมตร/วนาท

1. 2.0 นวตน 2. 6.5 นวตน 3. 7.0 นวตน 4. 8.8 นวตน

6. ผกลกกอลฟมวล 100 กรม เขากบปลายเชอก แลวแกวงเชอกใหลกกอลฟเคลอนทเปนวงกลมใน

แนวดงรศม 40 เซนตเมตร ถาต าแหนงทผานจดสงสดนน เชอกมแรงดงเปนศนย จงหาวาขณะทลกกอลฟผานจดต าสดนน เชอกมแรงดงเทากบกนวตน

ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6

7. (En 43) รถยนตมวล 1200 กโลกรม ก าลงวงดวยอตราความเรว v เมตรตอวนาท ขามสะพานท

จดสงสดของสะพานซงมรศมความโคงในระนาบดง 12 เมตร จงหาอตราเรว v ทพอดท าใหรถยนตเรมหลดจากความโคงของสะพาน

ก. 11 m/s ข. 12 m/s ค. 13 m/s ง. 14 m/s



54

ประยกต

การเขาโคงบนทางโคง (ราบ)

จะตองมการเอยงตว เพอใหเกดแรงเสยดทานทพน โดยทแรงเสยดทาน จะท าหนาทเปน

แรงสศนยกลาง

cos

sin

R

R

N

f tan

tanN

N หรอ

รวมสมการ ………**

มมของการเอยงตวรถ ตองสมพนธกบ ความเรวรถ และรศมความโคงของถนน

ทางรศมโคงแคบ ควรขบขใหชาลงตามความเรวทก าหนด เพอลดแรงสศนยกลาง เนองจากแรงเสยดทาน ซงเปนแรงสศนยกลางนน มคาจ ากด

จากรป แรง R คอ แรงลพธของแรง N + f

CFRf sin R

mvFC

2

mgRN cos R

mvf

2

R

mvmg

2

ดงนน …..*

Rg

v2

Rg

v2

tan

tan



55

การยกขอบของถนนโคง

เพอใหการเลยวโคงปลอดภยยงขน ดงนนวศวกรจงออกแบบถนนโดย การยกขอบถนน ใหเอยงเขาหาความโคง เพอใหรถแลนดวยความปลอดภย

8. (En.34) รถจกรยานยนตวงดวยความเรว 108 กโลเมตรตอชวโมง วงตามทางโคงซงมรศมความโคง

100 เมตร ผวถนนอยในแนวระดบ รถจกรยานยนตจะเอยงท ามมกบแนวดงเทาใดจงจะไมลม ก. 90.0tan 1 ข. 75.0tan 1 ค. 50.0tan 1 ง. 45.0tan 1

9. (En.37) รถยนตคนหนงวงบนถนนโคงดวยอตราเรว 90 กโลเมตร/ชวโมง รศมความโคงของถนน

500.0 เมตร ความกวางของถนนวดตามแนวราบเทยบกบจดต าสดของดานในได 8.0 เมตร จะตองยกขอบถนนดานนอกใหสงกวาดานในเทาใด เมอรถวงบนทางโคงแลวไมไถลออกนอกเสนทาง

ก. 1.25 m ข. 1.0 m ค. 0.75 m ง. 0.8 m

จากรป sinN ท าหนาทเปนแรงสศนยกลาง

CFN sin R

mvFC

2

mgN cos R

mvN

2

sin

mgR

mv

N

N 2

cos

sin

ดงนน ……..** Rg

v2

tan



56

การโคจรของดวงดาวตาง ๆ (ดาวเทยมดวย)

ความจรงแลวการโคจรของดาวตางๆ จะมวงโคจรเปนรปวงร (ellipse) อธบายไดโดยใชกฎของ เคปเลอร แตในระดบนเราจะอนโลมใหเปนวงกลม รศม R

โดยทแรงดงดดระหวางมวล ของดาวทงสอง FG จะท าหนาทเปนแรงสศนยกลาง

จะเหนวา ความเรว v ของดาวเคราะหรอบดวงอาทตย เกยวของกบมวลของดวงอาทตย M และรศมวงโคจร R (โดยไมขนกบมวล ดาวเคราะห)

รศมวงโคจร R วดจากจดศนยกลาง

จาก Rv จะได R

GMR 22

3

2

R

GM

และ T

2 จะได 32

24

R

GM

T

ดงนน ……**

1. จะเหนวา คาบ T การโคจรยกก าลงสอง จะแปลผนตรงกบ รศมวงโคจร R ยกก าลงสาม ซงเปนสาระส าคญของกฎขอทสามของ เคปเลอร

10. (En.37) ถาวงโคจรรอบดวงอาทตยเปนวงกลม และรศมของวงโคจรเพมขนเปน 2 เทา ของรศมเดม คาบการโคจรจะเพมเปนกเทาของคาบเดม

ก. 2 เทา ข. 2 เทา ค. 22 เทา ง. 4 เทา

จาก R

mvFC

2

R

mv

R

GMm 2

2

จะได R

GMv

32

2 4R

GMT



57

11. (มช.51) ดาวเทยมโคจรเปนวงกลมรอบโลก ปรมาณใดทมผลตออตราเรวของดาวเทยม ก. รศมโลก ข. มวลของโลก ค. มวลของดาวเทยม ง. ถกทงขอ 1 และ 2

12. (PAT.53) ก าหนดใหดาวเคราะห A มรศม R มวล M และมดาวเทยมโคจรรอบดาวเคราะหทระดบความสง h จากผวดาวเคราะห ดาวเทยมนจะโคจรดวยความเรวเทาใด ก าหนดให G = คาคงทโนมถวงสากล

ก. hR

GM

ข.

hR

GM

2 ค. GM

hR ง. GM

hR

2

13. (PAT.53) ดาวเทยมดวงหนงโคจรรอบดาวเคราะหทความสง h จากพนผว ถาดาวเคราะหมรศม R และ

มมวล M คาบการหมนของดาวเทยมรอบดาวเคราะหนเทากบเทาใด เมอ G คอคาคงทโนมถวงสากล

ก. GM

hR 2 ข.

GM

hR 2 ค.

GM

hR3

2

ง. GM

hR2

14. จงหาความเรวเชงมม ทนอยทสดของถงหมน ขนาดเสนผานศนยกลาง D ของเครองเลนคนไตถงดงรป

ทท าใหคนเลนสามารถตดกบผนงดานในของถงหมนไดโดยไมตก ก าหนด ส.ป.ส.ความเสยดทานสถตระหวางคนกบถง เทากบ

ก. D

g

ค.

D

g

ข. D

g

2 ง. D

g2



58

Homework 1. เหรยญวางอยทระยะ 20 cm จากศนยกลางแผนเสยง ถาสมประสทธความเสยดทานสถตยระหวาง

เหรยญและแผนเสยงเปน 0.125 จงหาจ านวนรอบทมากทสดใน 1 วนาท ทแผนเสยงแลวเหรยญยงคงอยนงเทยบกบแผนเสยง (0.4)

2. จากรป นกเรยนคนหนงท าการทดลองเรองแรงสศนยกลาง ปรากฏวาขณะทวตถอยหางออกมาจาก

แกนหมน 0.8 เมตร และอยต าลงมาจากแนวระดบ 0.1 เมตร อยากทราบวาขณะนนวตถมอตราเรวเทาใด (8 m/s)

3. ผกเชอกเบาตดกบลกบอลมวล 1 กโลกรม แกวงเชอกใหเปนวงกลมในแนวดงรศม 0.2 เมตร ดวย

ความเรวเชงเสน 4 เมตร/วนาท จงหาแรงดงของเชอกขณะทลกบอลอยทต าแหนงสงสด (70 N) 4. นกกายกรรมละครสตวโหนเชอกเรมตน ขณะเชอกท ามม 90o กบแนวดงดงรป เมอเชอกแกวงท าใหนก

กายกรรมอยทต าแหนงต าสด!นกกายกรรมตองออกแรงยดเปนกเทาของน าหนกตวตามปกต 5. (มช.41) ผขบขรถจกรยานยนตเลยวโคงบนถนนราบ ทมรศมความโคง 40 เมตร คนขบรถตองเอยงรถ

ท ามม 37 0 กบแนวดง ขณะนนผขบขขบรถในอตราเรวกเมตร/วนาท ก. 17.32 ข. 40.51 ค. 30.67 ง. 23.29

6. รถยนตคนหนงแลนดวยความเรว 72 กโลเมตร/ชวโมง เมอรถคนนเลยวโคงบนถนนมรศมความโคง 150 เมตร พนถนนควรเอยงท ามมกบแนวระดบเทาใด รถจงจะเลยงโคงอยางปลอดภย

7. ดาวเทยมดวงหนงเคลอนทรอบโลกดวยวถเปนวงกลมรศม r ถา R เปนรศมโลก g เปนความเรง

เนองจากแรงโนมถวงของโลกทผวโลก M เปนมวลของโลก และ G เปนคานจโนมถวงสากล อตราเรวเชงมมของดาวเทยมเปนเทาใด

ก. )/( 2RrGM ข. 3/ rgR ค. GMrr

1 ง. rg /



59

ym เปนการกระจดสงสด (max.) เรยกวา แอมพลจด (Amplitude)

เปน ความถเชงมม

การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (SHM)

สมการของ SHM โดยทวไปจะเขยนในรป Sinusoidal Function

tyy m sin หรอ tyy m cos ----

โดยท f

T

2

2 เมอ

fT 1 และ

Tf 1

T คอ คาบ (Period) , f คอ ความถ (Frequency)

เปนคาคงตวทางเฟส (Phase Constant) หมายถงคามมเรมตน ณ เวลา t = 0

ในทนผ เขยนจะใช tyy m sin และก าหนดให 0 , ym = A

จะไดสมการการกระจดเปน (แกน y) --- ดงรปกราฟขางตน

(เนองจากกราฟของฟงชนไซน และ โคไซน แตกตางกนแคเฟส เทานนเอง)

การเปรยบเทยบเงาวตถทเคลอนทแบบวงกลมกบการเคลอนทแบบ SHM พจารณาการเคลอนทของวตถในแนววงกลมรศม R ดวย ความเรวเชงมม คงตว

tAy sin

เงาของมน(ในแกน x) เคลอนทแบบ SHM ซง แอมพลจด มคาเทากบรศม R

จากรปจะไดวา R

xcos

cosRx tRx cos เมอ

t

จะได ……(1) tAx cos



60

สมการการกระจด

tAx cos …………..แกน x tAy sin ……………แกน y

สมการความเรว v และ ความเรง a ณ เวลา t ใดๆ ณ ต าแหนง x ใดๆ maximum

tAv sin 22 xAv Av

tAa cos2 xa 2 Aa 2

1. (มช.51) สมการการเคลอนทของวตถแบบซมเปลฮารมอนกเปน ty 56.12sin5 จงหาความถของการเคลอนทของวตถนในหนวย รอบ/วนาท

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

2. (มช.48) วตถหนงเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนกดวยแอมพลจด 15 cm และมความเรงสงสดเปน 95

m/s2 วตถนก าลงสนดวยความถกรอบตอวนาท ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5

3. ความเรวสงสดของวตถ ทก าลงแกวงแบบซมเปลฮารมอนก ดวยคาบการแกวง 0.2 วนาท และ อมปล

จด 2 เซนตเมตร จะมคาเทากบ ก. 5 cm/s ค. 15 cm/s ข. 20 cm/s ง. ไมสามารถหาไดจากขอมลทใหมา



61

o การเคลอนทแบบ SHM ของวตถทตดปลายสปรง

พจารณาการสน ของวตถมวล m ทตดปลายสปรงใน แนวดง

เมอออกแรง F ดงมวล m ลง เปนระยะ x จะพบวาม แรงดงกลบ ซงมคาเทากบ

kxF ซงขนาดของแรงดงกลบแปรผนตรงกบระยะยด หรอ ระยะหด x แตมทศ

ทางตรงขามกบการกระจด x (สมพนธตามกฎของฮคส) --- Hooke’s Law

โดยท k เปนคาคงตวของสปรง (คานจของสปรง)

ในทน ระยะ x กคอ ระยะการกระจดสงสด หรอ แอมพลจด A นนเอง

จาก kxmaF

จะได xm

ka

และจาก xa 2

จะไดวา xm

kx 2

แตเนองจาก fT

22

**** (mk)

m

k

k

mT 2

เทากน



62

4. รถทดลองมวล 500 กรม ตดอยกบปลายสปรงดงรป เมอดงดวยแรง 5 N ในทศขนานกบพนจะท าใหสปรงยดออก 10 เซนตเมตร เมอปลอยรถ จะใชเวลากวนาทเคลอนทกลบไปสสมดล

5. (En.42) แขวนมวลอนหนงตดกบสปรงแลวปลอยใหสนขนลงโดยมคาบการเคลอนท1 วนาท ถาวตถอย

นงแลวปลดมวลออกสปรงจะหดสนกวาตอนทแขวนมวลเทาใด

ก. g4

2 ข. g

24 ค. 2

4

g ง. 24

g

6. (มช.41) ชายคนหนงมมวล 64 กโลกรม สงเกตวาเมอเขานงบนเกาอสปรงซงมมวล 20 กโลกรม เกาอยบตวลงไป 0.5 เมตร คาดวาความถตามธรรมชาตเฉพาะของเกาอสปรงมคาเปนกรอบ/วนาท

ก. 1.27 ข. 2.58 ค. 3.76 ง. 4.93



63

o การเคลอนทแบบ SHM แบบลกตมนาฬกา

พจารณาลกตมอยางงาย ซงมมวลแขวนไวในแนวดงดวยเชอกยาว l และแกวง ดวยมมนอย ๆ

จะไดวา xl

gx 2

และในท านองเดยวกน **** (lg)

จะเหนวา คาบ T การแกวงไมขนกบมวล m ของลกตม ขนกบความยาวเชอก l เทานน

ณ ต าแหนงทมการกระจดสดสด ความเรวเปนศนย แต ความเรงมคามากทสด

ณ ต าแหนงสมดล ( x = 0) ความเรวมากทสด Av max แต ความเรงเปนศนย

เฟสของ a น า v อย 2

เรเดยน และเฟสของ v น า x อย 2

เรเดยน

l

g

g

lT 2

จะเหนวาแรง mgsin เปนแรงทดงลกตม กลบสต าแหนงสมดล

นนคอ sinmgF

sinmgma

จะได singa

แตเนองจาก เปนมมนอยๆ l

xsin

จะได xl

ga

และจาก xa 2 เทากน



64

7. (PAT.53) ลกตมอยางงายมวล mA , mB , mC และ mD ถา mA = 2mB , mB = 0.5mC , mC = 3mD โดยความยาวของเชอกทผกกบมวลแตละกอนเทากน คาบการแกวงของมวลแตละกอนเปน TA , TB , TC และ TD ตามล าดบ ขอใดถกตอง

ก. TA = TB = TC = TD ค. TA < TB , TB > TC , TC < TD ข. TA > TB , TB < TC , TC < TD ง. TA < TB , TB < TC , TC < TD

8. ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 2 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 2.5 วนาท ถาแขวนลกตมดวยเชอกยาว 8

เมตร จะแกวงดวยคาบเทาไร (5 วนาท) 9. (มช.45) ดาวเคราะหดวงหนงมมวลเปน 16 เทาของมวลโลก และมเสนผาศนยกลางใหญกวาโลก 2

เทา ถาน าลกตมทมคาบการแกวง 1 วนาท บนพนโลก ไปแกวงบนดาวเคราะหดวงน จงหาวาลกตมจะมคาบการแกวงเปนกวนาท ( 0.5 วนาท )



65

Homework

1. ลกตมนาฬกาอนหนง แกวง 100 รอบ ในเวลา 200 วนาท ความเรงสงสดในการเคลอนทของ ลกตมเปน

20

2 เมตรตอวนาท การขจดสงสด ในการแกวงนเปนก เซนตเมตร (5 cm)

2. แขวนมวล 100 กรม ทปลายหนงของสปรงทมมวลนอยมาก ดงมวลจากต าแหนงสมดล 10 cm แลว ปลอย อตราเรวเชงเสนขณะเคลอนทผานสมดลมคาเทาใด ถาคาบของการแกวงมคา 2 วนาท

3. สปรงอนหนงแขวนอยในแนวดงโดยมมวล 1.0 กโลกรม ผกตดทปลายอกดานหนง เมอสปรงนเกดการ

สน จะปรากฏวามวลทผกตดนน มการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนกดวยคาบการเคลอนท 5

วนาท

อยากทราบวามวล 1.0 กโลกรมน จะยดสปรงออกไดกเมตร (0.1 เมตร) 4. เมอผขบมวล 60 กโลกรม ขนขจกรยานคนหนง มวล 120 กโลกรม สปรงของรถจะยบลง 2

เซนตเมตร รถเมอตกหลมจะสนดวยความถเทาไร (2.5) 5. (En.43) หากผกมวล m ตดกบสปรงในแนวดง ดงมวลลงเลกนอยแลวปลอยใหสน พบวา สปรงมคาบ

การสน 2 วนาท ถาเพมมวลเขาไปอก 2 กโลกรม สปรงจะมคาบการสน 3 วนาท จงหาขนาดมวล m ในหนวยกโลกรม (1.6 kg)

6. (มช.42) ลวดสปรงอนหนงวางบนพนเกลยง ปลายดานหนงยดแนนกบผนง ปลายทเหลอมมวล 1.0

กโลกรมตดไว ถาท าใหเกดการสนแบบซมเปลฮารมอนก วดคาบการสนได 5/2 วนาท แรงในหนวยของนวตนทกระท าตอมวลน เมออยหางจากต าแหนงสมดล 0.2 เมตร เปนเทาใด (5 นวตน)

7. ปลอยลกตม ซงมสายยาว 90 เซนตเมตร จากมมหนงใหแกวง แตสายลกตมตดตะปทระยะ 50

เซนตเมตร ใตจดทแขวนในแนวดง ลกตมจะแกวงกลบมาในเวลาเทาใด ก. 1.57 s ค. 3.14 s ข. 1.88 s ง. 6.28 s



66

งาน และ พลงงาน (Work and Energy)

งาน ทเขาใจกนทวไป หมายถง การท างาน หรอ อาชพตาง ๆ เชน กวาดบาน ท ากบขาว หรอ สอนหนงสอ เปนตน แตงานในทางฟสกสนน มความหมายทชดเจน และ นยามไดดงน

งาน ; W งานคอผลของแรงทกระท าบนวตถ และท าใหวตถเคลอนทไปตามแนวแรง

ในกรณทม แรง F ซงเปนแรงคงตว มากระท ากบวตถ แลวท าใหวตถเกดการกระจด s ในแนว เดยวกบแรง ดงรป สามารถหางานไดจาก

งาน มหนวยเปน N.m หรอ J

ถงแมจะออกแรงมากแคไหน แต วตถไมเกดการกระจด งาน มคาเปนศนย หากทศของ แรง และการกระจด ตงฉากกน งาน มคา เปนศนย แรงอยในทศเดยวกบการเคลอนท งานเปนบวก แรงอยในทศสวนกบการเคลอนท งานเปนลบ

หากดงวตถขนดวยความเรวคงท F = mg

หากแรงไมอยในแนวเดยวกบการเคลอนท ตองแตกแรง

ดงนน

งาน สามารถ หาไดจาก พนทใตกราฟ ระหวาง แรง (F) กบ การกระจด (s)

(ในกรณทแรง F อาจมคาไมคงท)

sFW .

cos..sFW



67

1. ชายคนหนงแบกขาวสารหนก 100 kg บนบา เดนไปตามพนราบเปนระยะทาง 10 m แลวจงขนบนไดดวยความเรวคงทไปชนบนซงสงจากพนลาง 3 m จงหางานทชายผ นท า (ใช g = 9.8 m/s2)

ก. 9800 จล ข. 2940 จล ค. 12740 จล ง. 1300 จล

2. จากรปเปนกราฟระหวางแรงกบระยะทางทวตถเคลอนท งานทงหมดทแรงกระท าในชวงระยะทางการ

เคลอนทจาก 0 ถง 6 cm ก. 0.075 จล ค. 0.150 จล ข. 0.135 จล ง. 0.270 จล

ก าลง (Power) ; P

คอ งานทท าได ในหนงหนวยเวลา (มเวลามาเกยวของ) ซงกคอ อตราการท างานนนเอง

ก าลง หมายถง อตราการท างาน หรอ งานทท าไดในหนงหนวยเวลา หาไดจาก

หรอ tPW . มหนวยเปน J/s หรอ วตต W

กรณออกแรงแลวท าใหวตถ เคลอนทดวยความเรวคงท

พจารณา W = F.s แทนคาในสมการจะได vFt

sF

t

sFP ..

.

ดงนน จะได เมอ v คอ อตราเรวของวตถ

หากท างานไดเทากน ใครใชเวลานอยกวา แสดงวา มก าลงมากกวา ก าลง เปนตวบอกประสทธภาพของการท างาน

t

WP

vFP .



68

1 ก าลงมา คอ งาน 33,000 ฟต-ปอนดตอหนงนาท (ft-lb/min)

บางทอาจใชหนวยก าลงเปน ก าลงมา

ก าลงมา (horsepower, hp) คอ ก าลงของมา 1 ตวหรออตราการท างานของมา 1 ตว เชน เครองยนต 10 hp สามารถท างานเทากบมา 10 ตว

คดจากมาเดนได 165 ft ในเวลา 1 นาท และยกน าหนก 200 lb ปรมาณงานทท าภายในเวลา 1 นาท คอ 33,000 ft-lb (165 ft x 200 lb)

เทยบหนวยดงน

3. (มช.40) ชายคนหนงขจกรยานดวยอตราเรวคงตว 10 เมตร/วนาท ไปบนพนถนนทมสมประสทธ

ความเสยดทาน 0.1 ถาน าหนกตวของเขาและจกรยานรวมกนเปน 600 นวตน จงหาวาเขาจะตองใช ก าลงกวตต

ก. 6 ข. 60 ค. 600 ง. 6000

4. (มช.53) นายสมชายออกแรงดนวตถมวล 50 kg ซงอยยงบนพนราบตามแนวระดบ ปรากฏวาขณะ

วตถเคลอนทได 20 เมตร วตถมความเรว 10 m/s ถาแรงเสยดทานระหวางพนและวตถเฉลยเทากบ 50 นวตน จงหาวาเขาออกก าลงในการดนวตถดงกลาวกวตต (875 วตต)

1 hp = 746 W หรอ 1.34 hp = 1 kW



69

พลงงาน (กล) Mechanical Energy

ในชวตประจ าวน มพลงงานหลากหลายรปแบบ พลงงานกลเปนตวอยางทงายสดใน การศกษาการเปลยนรปพลงงาน

พลงงานกล สามารถแบงออกเปน 2 รปแบบ คอ 1. พลงงานจลน (Kinetic Energy) เปนพลงงานทขนกบความเรวของวตถ หาไดจาก

งานของแรงลพธทกระท าตอวตถ คอ พลงงานจลนของวตถทเปลยนไป

2. พลงงานศกย (Potential Energy) เปนพลงงานทขนกบต าแหนงของวตถ มหลายรปแบบตวอยางพลงงานศกย เชน … o พลงงานศกยโนมถวง ขนกบความสงของวตถ หาไดจาก

เมอ h คอ ความสงจากจดอางอง (ปรกตคอ พนดน) o พลงงานศกยยดหยน เปนพลงงานทมในวสดยดหยน เชน สปรง เมอเรายด หรออดมน

เมอ k คอ คาคงทของสปรง (คานจของสปรง) พลงงานศกยยดหยนของสปรง กคอ งาน ของแรง F ในการยดสปรงนนเอง

แตแรงทกระท าตอสปรงมคาไมคงท คอ เพมตามระยะยด ดงนนพจารณา แรงเฉลย FF2

1

2

2

1mvEk

mghEp

2

2

1ksEp

smasFW .. sav .22 ; u = 0

2

2

1mvWEk

22

2

1

2

1mumvWEk

sFsFW .2

1. ssk ..

2

1

2.2

1skE p



70

Note คานจของสปรง (k) เปนคาทบอกถงความยดหยนของสปรง

k มาก - ยดหยนนอย (สปรงแขง) และ k นอย – ยดหยนมาก (สปรงออน)

กฎของฮค (Hook’s Law) เมอออกแรงดงหรอกดวสดยดหยน ระยะยดหรอหด จะเปนสดสวน โดยตรงกบ แรงนน sF หรอเขยนเปนสมการดงน

เครองหมาย ลบ แสดงถงแรงทศตรงขาม พยายามดนกลบ

5. (มช.46) ลฟตมวล 4000 กโลกรม เคลอนทขนจากจดหยดนงดวยอตราเรงคงตว 3 เมตร/วนาท 2 พลงงานจลนของลฟตหลงจากทเคลอนทจากจดเรมตน 4 วนาท มคากจล

ก. 2.88 x 102 ข. 2.88 x 103 ค. 2.88 x 104 ง. 2.88 x 105

6. ตาชงสปรง ยดออก 0.20 เมตร ขณะอานได 50 นวตน ถาน ามวลขนาด 3 กโลกรม แขวนไวท

ปลายตาชง ขณะนนสปรงมพลงงานศกยยดหยนเทาใด ก. 1.8 J ข. 3.2 J ค. 4.6 J ง. 6.4 J

skF .



71

h = ………

H = ………

กฎการอนรกษพลงงาน (Law of Energy Conservation)

กลาววา ‚ พลงงานเปนปรมาณทไมสญหายไปไหน แตอาจเปลยนรปได โดยพลงงาน

รวมทงหมดตองมคาคงท ‛ ดงสมการ

พจารณา กรณท โยนวตถมวล 2 kg ขนไปในแนวดงดวยความเรว 10 m/s

3. 2

2

1mvEk = 0 J

mghE p …….… J

2. 252

1 2 mvEk J

mghE p ………. J

1. 2

2

1mvEk = ……….. J

0 mghE p J

เมอเขยนกราฟ แสดง pE , kE และ E กรณทวตถถกโยนขน และตกกลบลงมาทเดม

จะเหนวา (ขาขน) pE จะเพมขน ในขณะท kE จะลดลง แต E จะมคาเทาเดมไมเปลยน

JE ...........2

JE ...........3

JE ...........1

21 EE



72

พลงงานทจ าเปนทงหมด ในการค านวณกฎการอนรกษพลงงาน

1. 2

2

1mvEk ……พลงงานจลน

2. mghE p ……พลงงานศกยโนมถวง

3. 2

2

1ksEp ……พลงงานศกยยดหยน

4. sFW . …… งานของแรง F 5. NsfW . ….งานของแรงเสยดทาน

6. tPW . …………พลงงานทเกยวของกบ ก าลง

7. tVIW .. tRI .2 tR

V.

2

…….พลงงานไฟฟา

8. W (อนๆ) ทยงไมไดเรยน เชน พลงงานความรอน พลงงานของกาซ …..

7. (En.42) กอนหนมวล 20 กโลกรม ตกจากทสง 490 เมตร เหนอพนดน อยากทราบวาหลงจาก

ปลอยกอนหนแลวเปนเวลานานเทาใด กอนหนจะมพลงงานจลนเทากบพลงงานศกย (7)

8. (มช.44) กลองมวล 30 กโลกรม เคลอนทลงมาตามทางโคง ดงรป ถากลองมอตราเรว 1 m/s ณ

ต าแหนง A และ 6 m/s ณ ต าแหนง B จงหางานของแรงเสยดทานทพนทางโคงกระท าตอกลอง ในชวงการเคลอนทจาก A ไปยง B จะมคากจล

ก. 375 ค. 825 ข. 475 ง. 1455

สงเกตวา งาน W กบ พลงงาน E มนคอปรมาณทเหมอนกน (J )

งาน …..ตองมแรงท าใหเกด พลงงาน…..มอยแลวในตวเอง



73

9. (มช.42) ปลอยวตถมวล 5 กโลกรม ใหไถลไปตามพนเอยงซงยาว 5 เมตร และอยสงจากพนราบ 3 เมตร ปรากฏวาวตถนยงสามารถไถลไปตามพนราบไดอกเปนระยะทาง 11 เมตร จงหยด ถาพนเอยงและพนราบมสมประสทธของความเสยดทานจลนเทากน จงค านวณหาคาสมประสทธความเสยดทานจลนน (0.2)

10. (มช.53) ปลอยวตถมวล m = 1 กโลกรม ลงมาตามพนเอยงทไมมความเสยดทาน ซงพนเอยงท ามมกบ

แนวระดบ 30 องศา จากต าแหนงเรมตนซงหางจากปลายสปรง 2 เมตร ดงแสดงในรป เขาชนกบสปรงทตดอยทปลายลางพนเอยง ท าใหสปรงหดเขาไป 20 เซนตเมตร จงหาคา k ของสปรงในหนวย นวตน/เมตร



74

เครองกล (Machine)

คอ อปกรณทท าใหการท างานสะดวกขน ซงสวนมากกจะผอนแรง เชน รอก พนเอยง คาน ลอและเพลา ลม สกร เปนตน

การไดเปรยบเชงกล (Mechanical Advantage) ; M.A.

คอ อตราสวนของ แรงทไดจากเครองกล W สวนแรงทใหกบเครองกล F

มหนวยเปน จ านวนเทา ประสทธภาพของเครองกล (Efficiency) ; Eff.

คอ อตราสวนของงานทไดจากเครองกล สวนงานทใหกบเครองกล (มกบอกเปน %)

เครองกลในอดมคต จะม Eff. = 100 % นนคอ ไมมการสญเสยงานเนองจากความฝด

เครองกลในทางปฏบต จะม Eff. < 100 % นนคอ ตองมการสญเสยพลงงานเกดขน

11. ถาใชพนเอยงผวเกลยง ดงรป เปนเครองกลอนหนง การไดเปรยบเชงกล และ ประสทธภาพของ

เครองกลอนนมคาเทาใด (1.5 , 75 % )

M.A. = F

W

งานทให = งานทได

งานทให = งานทได + งานทเสยไป(แรงเสยดทาน)



75

Homework 1. (PAT.53) ออกแรง F ขนาด 40 นวตน กระท าตอวตถมวล 2 กโลกรม ดงรป ท าใหวตถเคลอนทขน

ตามพนเอยงเปนระยะทาง 0.5 เมตร งานของแรง F ทกระท าตอวตถนเปนกจล i. 12.4 ค. 24.8 ii. 17.3 ง. 34.6

2. เดกคนหนงออกแรง 50 นวตน ลากกลองไมในแนวท ามม 60 องศากบแนวการเคลอนท ถาเขา

สามารถลากกลองไมไปไดไกล 20 เมตร ดวยอตราเรวคงท จงหางานทเขาท า (500 J) 3. ชายคนหนง ดงวตถมล 50 kg ขนจากพน ดวยความเรง 2 m/s2 งานของชายคนนเปนเทาไร ถามวล

ขนไปสงจากพน 5 เมตร ( 3 kJ) 4. โซเหลกยาว 10 เมตร มมวลเมตรละ 2 กโลกรม หอยอยทปากบอซงลก 10 เมตร ถาตองการดงโซ

ทงเสนขนจากบอ จะตองท างานเทากบ (1000 จล) 5. (มช.45) งาน 80 จล ถกใชไปเพอยกวตถมวล 2 กโลกรม ขนในแนวดง เปนระยะสง 1 เมตร เปนการ

ออกแรงคงท อยากทราบวาวตถนถกยกขนดวยความเรงกเมตร/วนาท2 (30) 6. เขนลงทมมวล 80 kg ขนไปตามพนเอยงเปนระยะทาง 10 m ดงรป ดวยความเรวคงท ถาก าหนด

สมประสทธความเสยดทานจลนเปน 0.2 จะตองท างานทงหมดเทาไร (6080 J)

7. รถไฟขบวนหนงมมวล 2 x 105 กโลกรม เคลอนทดวยความเรวสม าเสมอ 25 เมตร/วนาท ถารถไฟม

ก าลง 95000 วตต แรงตานเฉลยของรางรถไฟเปนกนวตน (3.8 x 103 ) 8. หญงคนหนงมวล 40 กโลกรม รบประทานอาหารทใหพลงงานความรอน 400 จล ถาพลงงาน

จ านวนน จะใชส าหรบยกตวเองขนจากพน เธอจะถกยกสงจากพนเทาใด ( 1 m)



76

9. งานของแรง F ซงกระท ากบวตถหนง มความสมพนธกบระยะทางทวตถเคลอนท s ดงรป วตถใชเวลา

เคลอนททงหมด 20 วนาท ในการท างานของแรง F น ก าลงเฉลยของแรง F เปนเทาใด(3.5 W )

10. โยนวตถมวล 500 กรม ขนไปดวยความเรว 20 m/s ทต าแหนงสงสดวตถมพลงงานศกยโนมถวงกจล

(100 J) 11. จากการทดลองหาความสมพนธระหวางขนาดของแรงกบระยะทางทสปรงยดออก ไดกราฟ

ความสมพนธดงรป ในการทดลองนถายดสปรงออกจากสมดล 12 เซนตเมตร พลงงานศกยยดหยนของสปรงขณะนนมคาเทาไร (6 J )

12. ( มช. 47 ) จงหาความเรว ( ตอบในหนวย เมตร/ วนาท ) ของมวล 20 กโลกรม ทเคลอนทเขาชนสปรงในแนวระดบ แลวท าใหสปรงถกกดเขาไปเปนระยะมากทสด 10 เซนตเมตร แตถาใชมวล 2 กโลกรมแขวน ทปลายสปรงในแนวดง ท าใหสปรงยดออก 0.01 เมตร

13. วตถมวล 2 กโลกรม ผกทปลายของเชอกเบายาว 1.6 เมตร ซงปลายอกดานหนงยดตดกบเพดาน

ถาดงวตถใหเชอกท ามม 60๐ กบแนวดง แลวปลอย จงหาความเรวของวตถทจดต าสด ( 4 m/s) 14. มวล 4.4 กโลกรม อยหางจากปลายสปรง 25 เซนตเมตร เคลอนทในแนวราบดวยความเรว 1

เมตร/วนาท ชนสปรงซงมคานจ 800 นวตน/เมตร ถาแรงเสยดทานระหวางพนกบมวลเปน 4 นวตน สปรงจะหดสนสดกเซนตเมตร (5)

15. (มช 48) วตถมวล 4 กโลกรม ตกจากทสง h ลงบนฟกทมความยดหยนและมคาตวสปรงเปน 4 x 103

นวตน /เมตร ฟกถกกดลงไปเปนระยะมากทสด 20 เซนตเมตร จงหาคา h ในหนวยเมตร เมอ h เปนระยะจากจดทวตถตกถงฟกกอนถกกด



77

16. แทงวตถหนก 2 kg ไถลลงมาตามรางสวนโคงของวงกลมรศมความโคง 2.5 m ดงรป เมอถงสวนลางสด แทงวตถมความเรว 6 m/s จงหางานในการไถลลงมาตามลางของแทงวตถเนองจากความฝด (14 จล )

17. (มช.40) ชานคนหนงเลนสกโดยเลอนสกลงดวยอตราเรว 9 เมตร/วนาท ลงจากเนนสกทลาดตรงและ

ไมมความเสยดทาน เปนระยะทาง 9 เมตร พบวามอตราเรวเปน 15 เมตร/วนาท จงหาคาความชนของเนนสก ( 1.33)

18. (มช.50) ในการเลนเลอนบนหมะ ด.ช.ทมหนก 30 กโลกรม ขอใหพอลากเลอนทตวเขานงอย จากบาน

ขนไปบนเนนเขาสง 10 เมตร แลวปลอยใหเลอนไถลลงเนนเขาอกดานหนงทชนกวา ลงสพนทต ากวาระดบของบานเปนระยะ 2 เมตร ถาเลอนนนท าใหหมะละลายคดเปนความรอนได 153 จล ด.ช.ทมจะมความเรวกเมตร/วนาท เมอเลอนเคลอนทมาถงพน (ก าหนดให g = 9.8 m/s2)

ก. 13.6 ข. 14.2 ค. 15.0 ง. 17.5

19. (มช.43) ใชเครองสบน าทมก าลง 400 วตต สบน าขนจากบอลก 10 เมตร ในเวลา 1 ชวโมง แลวฉดออกไปดวยอตราเรว 20 เมตร/วนาท จงหาวาเครองสบน าน สบน าไดมวลกกโลกรม (4800)

20. (มช. 45) ถารถอแตนคนหนงวงดวยอตราเรวเฉลย 36 กโลเมตร/ชวโมง ดวยก าลงเฉลยของเครองยนต

20 ก าลงมา สมมตเครองยนตมประสทธภาพ 20% อยากทราบวาในระยะทาง 100 กโลเมตร รถอแตนคนนผลาญน ามนไปกกโลกรม ถาน ามนทใชชนดทจะใชพลงงาน 5 x 107 จลตอ 1 กโลกรม (ก าหนด 1 ก าลงมา = 743 วตต) (14.86 kg)

21. (มช.41) โดยการใชลอและเพลาดงรป เราสามารถยกวตถมวล 40 กโลกรม โดยใชแรง 50 นวตน

กระท าทขอบของลอ รศมของลอ และเพลามคาเทากบ 96 และ 6 เซนตเมตร ตามล าดบ จงหาประสทธภาพของเครองกลน (50 %)



78

โมเมนตมและการดล

โมเมนตม (Momentum) ; P

มความหมายวา ความพยายามทจะมงไปขางหนา นยาม (Definition) ในทางฟสกส คอ

โมเมนตม ; P (ของวตถ) คอ ผลคณระหวาง มวล(m) ของวตถ กบ ความเรว( v ) ของวตถนน

โมเมนตมเปนปรมาณเวกเตอร มทศทางในทศของความเรว มหนวยเปน กโลกรม.เมตร/วนาท (kg.m/s) หรอ นวตน.วนาท (N.s)

ความสมพนธ ระหวาง P และ Ek

เมอวตถม พลงงานจลน กตองมโมเมนตมดวย

แรงและการเปลยนโมเมนตม (แรงดล – การดล)

จากกฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน (Newton’s Second Law)

นนคอ amF

จาก 12 tt

uva

จะได

12 tt

uvmF

(แรงท าใหโมเมนตมของวตถเปลยนไป)

t

PP

12

t

PF

= แรงดล ( เกดในชวงเวลาสนๆ)

PtF = การดล

การดล (Impulse) คอ การเปลยนแปลงของโมเมนตม หรอ โมเมนตมทเปลยนไป

แรงดล (Impulsive Force) คอ แรงทท าใหเกดการดล ซงท าใหโมเมนตมของวตถเปลยนไป เกดในชวงเวลาสนๆ หรอ อาจเรยกวา อตราการเปลยนโมเมนตม กได

vmP

t

mumvF

อยาลมคดเครองหมาย ของความเรวดวย !!

เขาเปนบวก ออกเปน ลบ

m

PEk

2

2

วสดนมๆชวยลดแรงดลได



79

1. (มช.44) รถยนต 2 คน A และ B มพลงงานจลนเทากน มโมเมนตมเปน PA และ PB ถารถยนต A มมวลเปน 2 เทาของรถยนต B ความสมพนธระหวางโมเมนตมของรถยนตทงสองคนจะเปนเทาใด

ก. PB = 2 PA ข. PA = 2 PB ค. PB = 2 PA ง. PA = 2 PB

2. ลกฟตบอลมวล 0.5 กโลกรม เคลอนทดวยความเรว 20 เมตร/วนาท ถาผ รกษาประตใชมอรบลกบอลใหหยดนง ภายในเวลา 0.04 วนาท แรงเฉลยทมอกระท าตอลกบอลมขนาดเทาใด

ก. 100 N ข. 250 N ค. 500 N ง. 750 N

3. (มช.52) หากปลอยลกบอลมวล 100 กรม จากทสง 1.25 เมตร พบวาลกบอลกระทบพน แลวกระดอนขนสง 0.8 เมตร ในการกระทบพนโมเมนตมของลกบอลเปลยนไปกกโลกรม.เมตร/วนาท2

ก. -0.1 ข. 0.45 ค. 0.9 ง. 0.1



80

กรณทลกบอลกระทบพนแลวกระดอนขน จะเหนวาชวงเวลาทลกบอลกระทบพนนน สนมากๆ แรงทพนกระท าตอลกบอลนน มการเปลยนแปลงดงกราฟ

จะเหนวาแรงดลกระท ามขนาดไมคงท เพมขน และ ลดลงอยางรวดเรว ในชวงเวลาสนๆ

ดงนน อาจคดเปน แรงเฉลย กได

พนทใตกราฟ F กบ t คอ การดล P นนเอง ( PtF = พนทใตกราฟ) 4. ลกบอลมวล 40 กรม ถกตดวยแรงในเวลาสน ๆ ซงขนาดของแรงและเวลาประมาณไดดงกราฟ

อตราเรวหลงถกตของลกบอลจะเปนเทาใด ก. 10 m/s ค. 36 m/s ข. 24 m/s ง. 50 m/s

แรงเฉลย (ของแรงดล) คอ ต าแหนงเสนประทท าให พนทใตกราฟ(โคง) = พนทของรป



81

การชน (Collision) ใน 1 มต

เมอวตถเขาชนกน ดดตว หรอระเบดออกจากกน ซงจะท าใหโมเมนตมของวตถ เปลยนไป แตโมเมนตมรวมของระบบตองคงท ซงเปนไปตาม กฎอนรกษโมเมนตม ทกลาววา… ‚ ผลรวมโมเมนตมของระบบกอนชน เทากบ ผลรวมโมเมนตมของระบบหลงชน ‛

นนคอ * อยาลมคดทศทางโมเมนตมดวย

22112211 vmvmumum

การชนกนของวตถ โดยทวไปจะม 2 แบบ คอ 1. การชนกนแบบยดหยน เปนการชนซงพลงงานจลนจะมคาคงเดม นนคอ

2. การชนกนแบบไมยดหยน พลงงานจลนจะมคาไมคงเดม

ทกลกษณะการชน โมเมนตมจะตองอนรกษ หากหลงจากชนแลววตถเคลอนทตดกนไป จะเปน แบบไมยดหยน ชนแลวตดกนไป ใหอามวลมารวมกน 21 mm vmmumum 212211 การชนสวนใหญ มกเปนแบบไมยดหยน เพราะวามการสญเสยพลงงาน

5. (มช.41) ชดสาธตการคงตวของโมเมนตม ประกอบดวยวตถทรงกลม x , y และ z ท าดวยวสดอยางเดยวกน มขนาดเทากน แขวนไวในแนวดง เมอดงวตถ x ออกไปขาง ๆ ดงรป แลวปลอย ขอใดทอธบายการเคลอนทของวตถทรงกลม x , y และ z หลงจากถกชนทนททนใด

ก. x หยดนง ข. y หยดนง ค. x และ y หยดนง ง. y และ z เคลอนทไปดวยกน

P กอนชน = P หลงชน

kE กอนชน = kE หลงชน

kE กอนชน kE หลงชน



82

6. ลกบลเลยดสขาวมอตราเรว 5 เมตร/วนาท วงชนลกบลเลยดสด าทอยนง หลงจากชนแลว ลกบลเลยดทงสองวงไปในทศทางเดยวกน ถาลกสขาวมอตราเรวหลงชนเปน 1 เมตร/วนาท จงหาวาลกสด าจะมอตราเรวก เมตร/วนาท และชนแบบยดหยนหรอไมยดหยน (4 )

7. (PAT.53) ชาย 2 คน มวล 50 กโลกรม และ 100 กโลกรม ยนอยบนลานน าแขงราบและลน จบปลาย

เชอกเบายาว 9 เมตร คนละดาน เมอชายมวล 100 กโลกรม ดงเชอกเขาหาตวเองเขาจะเลอนไปชนกน ณ ต าแหนงทหางจากต าแหนงเดมของเขาเปนระยะกเมตร

ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6

8. ลกปนมวล 8 กรม ยงตรงไปยงทอนไมมวล 2.0 กโลกรม ซงวางอยบนขอบโตะพนลนทความสง 0.8 เมตร เมอลกปนกระทบทอนไม และฝงในเนอไมทอนไมเคลอนทหลนจากโตะและตกถงพนหางจากโตะ 2 เมตร จงหาอตราเรวของลกปนในหนวยเมตร/วนาท (1,255 m/s)



83

9. ปลอยมวล 2 กโลกรม จาก A สง 5 เมตร ลงมาตามทางเกลยง AB ชนมวล 3 กโลกรม ซงอยนงทจด B แลวไถลไปดวยกนตามพนราบ ไปหยดทจด C ถาสมประสทธความเสยดทานจลนระหวางพนราบกบมวลทงสองเทากบ 0.1 ระยะ BC มคากเมตร (8 เมตร)

10. กระสนปนมวล 4 กรม มความเรว 1000 เมตรตอวนาท ยงทะลแผนไมหนก 800 กรม ทหอยแขวน

ไวดวยเชอกยาว หลงจากทะลแผนไมลกปนมความเรว 400 เมตรตอวนาท จงหาวาแทงไมจะแกวงขนไปสงจากจดนงเทาใด

ก. 0.15 m ข. 0.20 m ค. 0.45 m ง. 0.60 m



84

การชนใน 2 มต

เชน การระเบด แยกท ามมซงกนและกน การชนแบบชง เชน ลกบลเลยด

การชนกยงคงเปนไปตามกฎอนรกษโมเมนตม

ตองใชเรองของเวกเตอรลพธมาชวย

cos.222

yxyx PPPPP กรณท ตงฉากกน 22

yx PPP

1. การชนแบบยดหยน (สมบรณ)

กรณท มวลทง 2 กอนเทากน โดยทกอนท 1 เขาชนแบบชง กบกอนท 2 ซงอยนง หลงชน แลวทง 2 กอนจะแยกออกจากกนเปนมมฉาก (90 o) ดงรป

ซงหลกการน เปนททราบดส าหรบนกกฬาสนกเกอร บลเลยด

กรณท มวลไมเทากน อาจแยกจากกนท ามม > 90 o หรอ < 90 o กได แลวแตกรณ

2. การชนแบบไมยดหยน เชน….

P กอนชน = P หลงชน



85

11. (มช.50) มวล M1 ขนาด 5 กโลกรม ความเรว 8 เมตร/ วนาท วงเขาชนกบมวล M2 ขนาด 10 กโลกรม ความเรว 4 เมตร/วนาท แลววงตดไปดวยกน ดงรป ใหหาความเรวหลงการชน V ของมวลทงสองในหนวยเมตร/วนาท และเปนการชนแบบ……………………..



86

Homework 1. วตถมวล 2 กโลกรม เคลอนทไปบนพนราบ ถาโมเมนตมขณะหนงของวตถเทากบ 10 kg.m/s จงหา

วาขณะนนวตถมพลงงานจลนเทาไร (25 จล)

2. ขวางวตถมวล กโลกรม ขนไปในแนวดงดวยความเรวตน 36 km/h โมเมนตมของวตถทระดบ ความสง 2.55 เมตรจากพนดนเปนเทาไร (22 kg.m/s)

3. (มช.45) ลกเทนนสมวล 250 กรม เคลอนทตรงเขาหาภราดรดวยความเรว 20 เมตร/วนาท ถกภราดรตกลบดวยอตราเรว 30 เมตร/วนาท ในทศทางตรงกนขาม ถาเวลาทลกเทนนสถกตเทากบ 0.05 วนาท ภราดรตลกเทนนสกลบดวยแรงขนาดกนวตน (250 นวตน)

4. (En.42) กระสนปนมวล 20 กรม เคลอนทดวยความเรว 500 เมตร/วนาท เขาไปในกระสอบทราย

ใชเวลา 1.0 มลลวนาท กระสนจงหยด ถาแรงตานทานของทรายทกระท าตอกระสนมคาคงตว แรงตานทานนมคาเทาใดในหนวย กโลนวตน (10 kN)

5. ปลอยลกบอลมวล 100 กรม สงจากพน 20.0 เมตร หลงจากกระทบพนลกบอลสะทอนกลบใน

แนวดงดงเดมขนไปสง 11.25 เมตร ถาชวงเวลาทลกบอลสมผสพนเปนเวลา 10- 2 วนาท แรงเฉลยท พนกระท าตอลกบอลมคากนวตน (351 นวตน)

6. ใชคอนมวล 0.5 kg ตอกตะป ในขณะทคอนใกลกระทบตะปนน มขนาดความเรว 8 m/s และหลงจากกระทบหวตะปแลว คอนสะทอนกลบดวยความเรวเทาเดม ถาชวงเวลาทคอนกระทบหวตะป เปน 1 มลลวนาท การดลเปนเทาใด และ แรงเฉลยทคอนกระท าตอตะปเปนเทาใด

(8 kg.m/s , 8000 N)

7. (มช.50) ลกกอลฟมวล 0.1 kg ถกตออกจากแทนวาง ดวยแรงขนาด 600 N ถาไมกอลฟ ส าผสลก

กอลฟ เปนเวลา 5 มลลวนาท จงหาขนาดของการดล ในหนวย N.s และอตราเรวทเปลยนแปลงไปของลกกอลฟในหนวย m/s ( 3 , 30)



87

8. ลกบอลมวล 0.4 kg เคลอนทดวยอตราเรว 10 m/s ในแนวระดบ ถกตสวนดวยไม กราฟระหวางแรงกบเวลา ในขณะกระทบกนแสดงดงรป อตราเรวหลงถกตของลกบอลเปนก m/s (27.5 m/s)

9. รถสนคามวล 104 กโลกรม เคลอนทไปตามรางดวยความเรว 2 เมตร/วนาท วงเขาชนรถสนคาอกคน

หนงมวล 2 x 104 กโลกรม ซงจอดอยนง ภายหลงชนรถทงสองเคลอนทตดกนไป จงหาความเรวของ รถทงสองคนหลงชน (0.67 m/s)

10. ยงลกปนมวล 4 กรม ดวยความเรว 1000 เมตร/วนาท วงทะลผานแผนไมมวล 800 กรม ซงแขวนไวดวยเชอกยาว ทนททลกปนทะลผานแผนไม แผนไมมความเรว 3 เมตร/วนาท คาการเปลยนโมเมนตมของลกปนเปนเทาใด (2.4 N.s)

11. มวล m เคลอนทดวยความเรว 16 m/s เขาชนกบมวล 3m ทอยนง หลงชนพบวามวล m กระเดน

กลบดวยความเรว 5 m/s ความเรวหลงชนของมวล 3m มขนาดก m/s (7 m/s)

12. (มช.45) วตถ A และวตถ B ถกจบใหอยนงบนพนลน โดยบบสปรงอยตรงกลาง วตถ A มมวล

52 เทาของวตถ B เมอปลอยใหวตถทงสองเปนอสระ อตราสวนของคาพลงงานจลนของวตถ A ตอ

วตถ B เปนเทาใด (2

5 )

13. (En.42) รถยนตคนหนงมวล 2000 กโลกรม แลนดวยความเรว 10 เมตร/วนาท แลวชนกบรถยนต

อกคนหนง มวล 3000 กโลกรม ซงจอดอยนง ภายหลงการชนรถทงสองตดกนและไถลไปไดไกล 5 เมตร แลวหยด จงหาขนาดของแรงเสยดทานทพนถนน กระท าตอรถทงสองในหนวยนวตน (8000 นวตน)

14. ( มช.47) ลกปนมวล 20 กรม เคลอนทดวยอตราเรว 100 เมตร/วนาท เขาชนกลองไมทมมวล 780 กรม ทวางอยบนพน ภายหลงการชน ลกปนฝงอยในกลองไมและกลองไมเคลอนทไปไดระยะทาง 50 เซนตเมตร แลวหยดนง จงหาวาแรงเสยดทานระหวางพนกบกลองไมมคากนวตน



88

15. (มช.41) จากรป สปรงอยในแนวราบ มวล M ขนาด 480 กรม วางอยบนพนลน ยงลกปนมวล 20 กรม ในแนวราบเขาฝงในมวล M ท าใหสปรงหดเขาจากเดม 5 เซนตเมตร ถาลกปนวงชนมวล M ดวยอตราเรว 50 m/s จงหาวาคาคงตวของสปรงอนนมคากนวตน/เมตร (800 N/m)

16. ในการฝกของ รด. ลกปนมวล 10 กรม ถกยงออกจากปากกระบอกปนดวยความเรว 1500 เมตร/วนาท ตามกฎทรงโมเมนตมตวปนจะเคลอนทตรงขามกบลกปน ถามวาจะตองออกแรงเฉลยเทาไร จงจะบงคบใหปนหยดในเวลา 0.1 วนาท (150 นวตน)

17. ปนใหญมมวล 800 กโลกรม ยงลกปนมวล 20 กโลกรม ในแนวขนานกบพนราบ ซงมสมประสทธความ

เสยดทาน 0.5 ปรากฏวาเมอยงออกไปแลวปนใหญเลอนไถลไป 0.4 เมตรจงหยด จงหาอตราเรวของลกปน (80 m/s)

18. (มช 48) ลกปนมวล 15 กรม ถกยงเขาไปฝงในทอนไมมวล 3 กโลกรม ทแขนอยดวยเชอกทยาวมาก ท า

ใหทอนไมนนกระดอนขนไปเปนระยะ 10 เซนตเมตรจากแนวระดบเดม ความเรวของลกปนกอนชนทอนไมเปนกเมตรตอวนาท (ก าหนดใหส าหรบขอน g = 9.8 m/s2)

19. (มช.43) วตถ A มมวล 2 กโลกรม เคลอนทไปทางขวาดวยความเรว 10 เมตร/วนาท เขาชนสปรง

เบา ทผกตดกบวตถ B ซงมมวล 5 กโลกรม ทก าลงเคลอนทไปทางขวาดวยความเรว 3 m/s ท าใหสปรงยบเขาไป 50 cm แลวเคลอนทตดกนไป จงหาวาสปรงอนนมคาคงทสปรงกนวตน/เมตร (280)

20. มวลขนาด 8 กโลกรม เคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 20 เมตร/วนาท ไปชนกบมวลขนาด

2 กโลกรม ทก าลงเคลอนทไปทางทศตะวนตกดวยความเรว 10 เมตร/วนาท แลวมวลแรกยงคงเคลอนทไปทางทศตะวนออกดวยความเรว 10 เมตร/วนาท พลงงานจลนรวมเปลยนไปกจล (400 จล)

21. (En. 42) บงไฟบงหนงก าลงเคลอนทขนตามแนวดงดวยความเรว 16 เมตรตอวนาท เกดระเบดแตก

ออกเปนสองสวน โดยสวนแรกมมวล 12 กโลกรม เคลอนทตงฉากกบทศทางเดมดวยอตราเรว 16 เมตรตอวนาท และสวนทสองมวล 4 กโลกรม จะเคลอนทดวยอตราเรวเทาใด



89

22. (En 43) ลกบลเลยด A วงดวยอตราเรว 10 เมตร/วนาท เขาชนกบลกบลเลยด B ทอยนงและมมวลเทากบ A หลงจากชนกนแลวลกบลเลยดทงสองเคลอนทแยกออกจากกน โดย A ท ามม 37o กบแนวเดมดงรป ถาการชนเปนแบบยดหยนและไมคดผลจากการหมนและความฝดของพนกบลกบลเลยดอตราเรวของลกบลเลยดทงสองจะเปนเทาใด (VA = 8 m/s , VB = 6 m/s)



90

การเคลอนทแบบหมน (Rotational Motion)

การเคลอนททเราไดเรยนผานมา เปนการเคลอนทแบบเลอนต าแหนงเพยงอยางเดยว ซงเปนผลมาจาก ออกแรงกระท าผานศนยกลางมวลวตถ (จด CM)

ถาออกแรงกระท ากบวตถ โดยไมผานศนยกลางมวล จะท าใหวตถเกดการหมน และอาจ มการเลอนต าแหนงดวย เชน ลกฟตบอล และ ลอรถ ทหมนและเคลอนทไปดวย

ปรมาณตาง ๆ ทเกยวของกบการเคลอนทแบบหมน

1. การกระจดเชงมม (Angular displacement)…..ปรมาณเวกเตอร คอ มม ในหนวย เรเดยน ซงรองรบสวนโคงใด ๆ

นยาม ของมมเรเดยน คอ อตราสวนของ ความยาวสวนโคง S ตอ รศม R

เทยบ

มม 360 องศา เทากบ 2 เรเดยน (1 รอบ)

ดงนน มม 0 = 180

Rad

R

S



91

2. ความเรวเชงมม (Angular velocity) …..ปรมาณเวกเตอร

คอ การกระจดเชงมมทกวาดไปได ในหนงหนวยเวลา มหนวย rad / s

ถากวาดไปได 1 รอบ 2 ใชเวลา 1 คาบ Tt

ซงจะไดความสมพนธ คอ

3. ความเรงเชงมม (Angular acceleration)……ปรมาณเวกเตอร

คอ ความเรวเชงมมทเปลยนไป ในหนงหนวยเวลา มหนวย rad /s2

ทศของ

,, จะอยตรงแกนหมน ตาม กฎมอขวา (ท าทานางกวก)

ความสมพนธของปรมาณตาง ๆ แบบเชงมม หาไดในท านองเดยวกนกบเชงเสน เชน….

ทเวลา t = 0 วตถมความเรวเชงมม 0 และ เมอเวลาผานไป t มความเรวเชงมมเปลยนเปน

จะได ot

0

หรอ t 0 และกจะได……พสจนเอง

เปรยบเทยบกบการเคลอนท เชงเสน (linear)และ เชงมม (angular)

เชงเสน เชงมม เทยบ

atuv t 0 u , 0

tuv

s

2 t

2

0 v ,

asuv 222 22

0

2 a ,

2

2

1atuts 2

02

1tt s ,

fT

22

t

t



92

ความสมพนธของปรมาณเชงเสน และ เชงมม

จาก นยาม R

S ดงนนจะได

จากนยาม R

v

tR

S

t

.

ดงนนจะได

จากนยาม R

a

tR

v

t

.

ดงนนจะได

เชงเสน เชงมม

จ าวาเชงเสน และ เชงมม เปนพกบนองกน……ยงไงกอหากนเจอ

1. ดาวเทยมใชในการสอสารนน จะเคลอนทดวยอตราเรวเชงมมเทาไร ในหนวยของเรเดยน/วนาท

ก. 3 x 10–3 ข. 360 ค. 4 x 10–4 ง. 7 x 10–5

Rv

Ra

Rs

Note : ส าหรบดาวเทยมสอสารนน



93

2. (มช 42) ส าหรบการเคลอนทแบบหมน ขอใดถก ก. เมอมแรงกระท าตอวตถโดยไมผานศนยกลางมวล จะท าใหวตถเคลอนทแบบหมนเพยงอยาง

เดยว โดยไมมการเลอน ข. เมอมแรงกระท าตอวตถโดยผานศนยกลางมวล จะท าใหวตถเคลอนทแบบเลอนเพยงอยาง

เดยว โดยไมมการหมน ค. การกระจดเชงมมเปนปรมาณสเกลาร ง. ความเรงเชงมมของวตถหมนจะมคามากหรอนอยขนอยกบโมเมนตของแรง(ทอรก)เพยงอยางเดยว

3. วงลอ 2 วง มเสนผานศนยกลาง 24 และ 18 เซนตเมตร ตามล าดบ วงลอทงสองมสายพานพนอยรอบ

ดงรป โดยวงลอเรมหมนจากสภาพหยดนงเมอลอ A หมนอยนาน 30 วนาท จะมอตราเรวเชงมมเปน

25 เรเดยน/วนาท จงหาความเรงเชงมมของลอ B ณ เวลานน (9

10 )

Note : ขอนใช Concept วา ลอ A และ B เคลอนทไดระยะทางเทากน



94

ทอรก (Torque) กบการเคลอนทแบบหมน : แรงเชงมม

เมอออกแรงกระท ากบวตถ โดยไมผานศนยกลางมวล จะท าใหวตถเกดการหมน ซงจะเกด โมเมนตรอบจดหมน ซงเรยกวา ทอรก โดย นยาม ทอรกทกระท ากบวตถ ดงน

ทอรก คอ ผลคณระหวางแรง F กบระยะ R จากจดหมน ( ซง F ตงฉากกบ R ) หนวย N.m

ซง ทอรก ท าใหวตถหมนดวย ความเรงเชงมม หากวตถหมนดวยความเรวเชงมม คงตว ( = 0 ) ทอรกจะมคาเปนศนย (ซงอาจเปรยบเทยบ ทอรก วาเปน แรงเชงมม กนาจะได) มทศตามกฎมอขวา (นางกวก)

โมเมนตความเฉอยของวตถ ( Moment of Inertia ) : I มวลเชงมม

คอ สมบตของวตถทตานสภาพการหมน (คลายกบ มวล m ทตานสภาพการเคลอนท)

ซง โมเมนตความเฉอย ของวตถ แตละชนดกมคาแตกตางกน ขนอยกบมวลของวตถ และ ลกษณะการหมนรอบแกนหมน เชน

โมเมนตความเฉอย หนวย kg.m2

RF.

2mRI

2

2

1mRI

2

4

1mRI

ตน กลวง ตน

2

2

1mRI 2

5

2mRI

2

3

2mRI



95

4. (มช.52) ทรงกลมตนและทรงกลมกลวง มมวลรศมเทากน ถาปลอยวตถทงสองใหกลงโดยไมไถล จากดานบนของพนเอยงพรอมกน วตถใดจะถงดานลางของพนอยงกอนกน

( ก าหนด Iกลวง = 2

3

2MR , Iตน = 2

5

2MR )

ก. ทรงกลมกลวง ค. วตถทงสองถงดานลางพรอมกน ข. ทรงกลมตน ง. ขอมลไมเพยงพอ

5. (มช.50) ลอและเพลา เปนเครองทนแรงทใชยกวตถ ประกอบดวยลอทมรศม 20 เซนตเมตร มวล (M1)

30 กโลกรม และเพลา รศม 4 เซนตเมตร มวล (M2) 5 กโลกรม ใหหาคาโมเมนตของความเฉอยของลอและเพลาน รอบแกนหมนดงรป ในหนวย กโลกรม.เมตร2

ก. 0.504 ค. 0.728 ข. 0.604 ง. 1.208

จากกฎขอท 2 ของ นวตน

เมอมทอรกลพธ ( ) ทมคาไมเทากบศนย มากระท ากบวตถทมคาโมเมนตความเฉอย I จะท าใหวตถหมนดวย ความเรงเชงมม ซงสามารถเขยนความสมพนธไดดงน

คลายกบแบบเชงเสน คอ maF

โดย ทอรก มทศเดยวกบทศของ ความเรงเชงมม

โมเมนตความเฉอย I มบทบาทตานการหมน คลายมวล m ทตานการเคลอนท

6. ทรงกระบอกเสนผาศนยกลาง 0.12 เมตร เมอดงเชอกทพนรอบทรงกระบอกดวยแรง 9.0 นวตน

พบวาเชอกมความเรง 0.36 เมตรตอวนาท2 จงหาโมเมนตความเฉอยของทรงกระบอก

ก. 0.05 kg.m2 ค. 0.12 kg.m2 ข. 0.09 kg.m2 ง. 1.20 kg.m2

I



96

7. ตามรปเปนวงลอรศม 40 เซนตเมตร มแกนหมนลนและมโมเมนตความเฉอยรอบแกนหมนเทากบ 0.2

กโลกรม.เมตร2 วงลอถกพนไวดวยเสนเชอกขนาดเลก และเบาจ านวนหลายรอบถาออกแรง F ขนาด

คงทเทากบ 2 นวตน ดงปลายเชอก จงหาความยาวของเชอกทถกดงออกมาไดในเวลา 2 วนาท ทงน ก าหนดวงลอเรมหมนจากหยดนง (ใหตอบในหนวยเมตร) ( 3.2)

8. (มช.51) ก าหนดใหทรงกลมตนมวล 0.96 กโลกรม รศม 12.0 ซม. ถกโมเมนตของแรงคควบทม

ขนาด 0.12 นวตน.เมตร กระท าเปนเวลา 8.0 วนาท จงหาอตราเรวเชงมม(rad/s) ในการเคลอนท

หลงจากทไดรบแรงกระท าน (ก าหนด 2

5

2MRI ) (173.6)



97

พลงงานจลนของการหมน และ พลงงานจลนของการกลง

วตถทก าลงหมน จะมพลงงานจลน เรยกวาพลงงานจลนของการหมน

หาไดจาก คลายกบเชงเสน คอ 2

2

1mvEk

(เฉพาะ หมนอยางเดยว) (เคลอนทอยางเดยว)

ถา โดยไมไถล จะมพลงงานจลนของการเลอนทดวย

ดงนน พลงงานจลนของการกลง

; ความเรว v คอ ความเรวทศนยกลางมวล 9. วงลอรศม 0.5 m กลงลงมาจากยอดพนเอยงทสง 2.5 m จงหาความเรวเชงมม เพอลอกลงลงมาถง

พนลางพอด ในหนวย rad/s ก าหนด ใหวงลอม 2mRI ( 10 )…….(ใชกฎทรงพลงงาน)

2

2

1IEk

22

2

1

2

1mvIEk

หมน + เคลอนทไปดวย = (กลง)



98

โมเมนตมเชงมม ; L

เมอวตถหมนดวยความเรวเชงมม คงตว วตถจะมโมเมนตมเชงมม

โมเมนตมเชงมม (L) คอ ผลคณระหวางโมเมนตแหงความเฉอย (I) กบความเรวเชงมม ( )

หนวย (kg.m2. rad/s) คลายกบเชงเสน คอ vmp .

กฎอนรกษโมเมนตมเชงมม กลาววา “ หากทอรกมคาเปนศนย โมเมนตมเชงมมจะมคาคงตว”

นนคอ 21LL หรอ

นนคอ เมอ โมเมนตความเฉอย I ลดลง ความเรวเชงมม จะเพมขน

และเมอ ทอรก มคาไมเปนศนย จะท าใหโมเมนตมเชงมม ของวตถเปลยน

โมเมนตมเชงมมทเปลยนไปในหนงหนวยเวลา หรอ อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมเชงมม คอ ทอรก ทกระท ากบวตถ นนเอง

t

L

คลายกบ

t

pF

หรอ tL . คลายกบ tFp . 10. ถาดาวเทยมมวล m โคจรรอบโลกมวล M เปนวงกลม โดยรศมวงโคจรเทากบ R ขนาดของโมเมนตม

เชงมมของดาวเทยม รอบจดศนยกลางโลกเปนเทาใด เมอ G เปนคาคงตวความโนมถวงสากล

ก. GMRm ข. GmRM ค. R

GMm ง. GMmR

IL

2211 II



99

11. (มช.50) นกสเกตน าแขงหมนรอบตวเองในทาทกางแขนออกจากตวทงสองขาง เมอหบแขนเขาหาตว จะมการเปลยนแปลงอตราเรวเชงมมอยางไร เพราะเหตใด

ก. ลดลง เพราะโมเมนตความเฉอยลดลง ข. ลดลง เพราะ โมเมนตความเฉอยเพมขน ค. เพมขน เพราะโมเมนตความเฉอยลดลง ง. เพมขน เพราะ โมเมนตความเฉอยเพมขน

12. ชายคนหนง ถอ ดมเบลไวสองมอ ยนบนเกาอทหมนไดอยางอสระ โดยแกนหมนแนวดง โมเมนตความ

เฉอยของชายคนน ดมเบลและเกาอ เทากบ 2.25 kg.m2 ถาเรมหมนดวยความเรวเชงมม 5 rad/s เมอเขาหบแขนทงสองขางเขาหาตว โมเมนตความเฉอยรวมเทากบ 1.8 kg.m2 จงหาอตราเรวเชงมมในการหมนขณะหบแขนมคาก rad/s (6.25)



100

Homework 1. วงลอวงหนงมเสนผานศนยกลาง 1 เมตร เรมหมนรอบแกนจากหยดนงดวยแรงคควบคหนงปรากฏวา

วงลอนน มความเรวปลายเปน 40 เรเดยน / วนาท ในเวลา 10 วนาท จงหาความเรงเชงมมและการกระจดเชงมมทรศมของวงลอกวาดไปไดเทาใด ( 4 , 200)

2. ลอรถจกรยานยนตหมนดวยความเรวเชงมมคงตว 80 เรเดยนตอวนาท ถกหามลอใหหยดในเวลา 16

วนาท ดวยความเรงเชงมมกเรเดยนตอ(วนาท)2 และ ลอรถหมนไปไดคดเปนกเรเดยน (- 5 , 640 ) 3. ชายคนหนงขจกรยานไปตามถนนตรงจากหยดนง ถาลอรถจกรยานของเขามเสนผานศนยกลาง 0.8

เมตรและเคลอนทไปดวยความเรงเชงมม 1 เรเดยนตอ(วนาท)2 เขาจะขจกรยานไดระยะทางกเมตรในเวลา 10 วนาท (20 m )

4. ตามรป นกปนจกรยานถบจกรยาน ท าใหจานหมน 1 รอบในเวลา 2 วนาท ถาจาน A , จาน B และลอ

หลง C มรศม 10 cm , 2.5 cm และ 35 cm ตามล าดบ จกรยานจะวงดวยอตราเรวเทาใด (4.4 m/s)

5. จงหาความโมเมนตความเฉอยของ แทงเหลกขนาดเลก ยาว 6 m มวล 4 กโลกรม ทนกกายกรรมไต

ลวดใชถอ ขณะเดนไตเชอก (12) ก าหนด 2

12

1mRI

6. จงหาคาโมเมนตความเฉอยของ ลอและเพลา เปนเครองทนแรงทใชยกวตถซงลอมวล 2.5 kg รศม 0.15 m และ เพลามวล 1 kg รศม 0.05 m ( 0.0325)

7. (มช.41) แผนกลมรศม 0.2 เมตร ยดตดกบแกนหมนทจดศนยกลางของแผนกลม และมแทงวตถมวล 0.5 กโลกรม ผกตดกบเสนเชอกเบาคลองผานแผนกลมท าใหแผนกลมหมนดวยอตราเรงคงทโมเมนตความเฉอยของแผนกลม 0.05 กโลกรม เมตร2 จงหาอตราเรงเชงมมของแผนกลมน (ไมคดแรงเสยดทาน) ( 14.28 rad /s2)



101

ก. I

mgr ค. I

mgr

2

ข. 22 mrI

mgr

ง.

2mrI

mgr

8. (มช.40) วตถทรงกลมตน และ ทรงกระบอกตน มวล M และรศม R เทากน ตางเรมกลงพรอมกน ลงจากจดยอดของพนเอยง ทมความสง h โดยไมมการลนไถล ถาโมเมนตความเฉอยของทรงกลมตน

รอบแกนหมนทผานศนยกลางทรงกลม = 2

5

2MR และ โมเมนตความเฉอยของทรงกระบอก

ตนรอบแกนหมนทผานแกนกลางทรงกระบอก = 2

2

1MR ขอความใดตอไปนเปนจรง

ก. ความเรวเชงเสน ของศนยกลางมวลทรงกลมขณะกลงลงถงจดปลายพนเอยงเทากบ h3

40

ข. ทรงกระบอกกลงถงจดปลายพนเอยงกอนทรงกลม ค. ความเรวเชงมมของทรงกลมรอบแกนหมนทผานจดศนยกลางมวลขณะกลงถงจดปลายพน

เอยงเทากบ hR 7

1001

ง. ทรงกลม และทรงกระบอกถงจดปลายพนเอยงพรอมๆกน 9. รอกมวล 1 กโลกรม มรศม 10 เซนตเมตร ยดตดกบเพดานไว มเชอกเบาคลองผาน แลวน าวตถทมมวล

1 และ 2 กโลกรม แขวนไวทปลายเชอกคนละขาง เมอปลอยใหเคลอนท จงหาความเรงของวตถท

เคลอนท เมอโมเมนตความเฉอยของรอกมคาเปนตามสมการ 2

2

1mRI ( 2.8 เมตร/วนาท 2)

10. ถาลอมโมเมนตความเฉอย I ถกยดไวใหหมนรอบแกนไดสะดวก โดยไมมแรงเสยดทาน มวล m ผกไว

ดวยเชอกทพนรอบเพลา รศม r จะไดความเรงเชงมมของลอเปนเทาใด

11. ทรงกลมตนมวล 5 kg รศม 15 cm กลงลงมาตามพนเอยง โดยไมมการไถล โดยทศนยมวลม

อตราเรว 3 m/s จงหาพลงงานจลนในการกลงมคากจล (31.5 J ) 12. (En.41) วงแหวน 4 กโลกรม เสนผาศนยกลาง 1 เมตร กลงขนพนเอยงโดยไมไกลศนยกลางมวลม

ความเรวตน 10 เมตรตอวนาท จะขนไปไดสงสดในแนวดงเปนระยะทางกเมตร ( 10 m ) ก าหนด ส าหรบวงแหวน 2mRI



102

13. แผนกลมแบนมวล 30 kg รศม 50 cm มโมเมนตความเฉอยเทากบ 6.5 kg.m2 เมอปลอยใหกลงลงมาตามพนเอยงซงท ามม 300 เทยบกบแนวระดบ จงหาอตราเรวเชงมมของแผนกลม ขณะกลงลงมาไดระยะ 2 เมตรตามพนเอยง

ก. 7

110 rad/s ข.

7

210 rad/s ค.

7

310 rad/s ง.

4

710 rad/s

14. ลกขางเดกเลน ดงรป มมวล 400 g รศม 7 cm ก าลงหมนดวยอตราเรวเชงมม 1000 rad / s จง

หาโมเมนตมเชงมม ใช 2

2

1mRI (0.98)

15. (En.40) วตถมวล 50 กรม ผกตดกบปลายเชอกซงลอดผานรหลอดเลก ๆ ปลายเชอกขางหนงดงยดไวดวยแรงคาหนงแลวเหวยงใหเปนวงกลมรศม 1 เมตร ถาดงเชอกใหรศมวงกลมเปน 50 เซนตเมตร ทนท วตถจะเคลอนทดวยอตราเรวเชงมมเทาไรในหนวย เรเดยน/วนาท ถาเดมมอตราเรวเชงมม 3 เรเดยนตอวนาท (12)

16. (มช 46) ชายคนหนงมวล 60 กโลกรม ยนอยบนแปนหมนวงกลม รศม 10 เมตร ทหยดนง คาโมเมนต

ความเฉอยของแปนวงกลมนเทากบ 5,000 กโลกรม-เมตร2 ถาชายคนนเดนเปนวงกลมหางแกนหมน 5 เมตร ดวยอตราเรว 6 กโลเมตร/ชวโมง เมอเทยบกบแปนวงกลม แปนวงกลมจะหมนดวยอตราเรวก

รอบตอนาท (ใหประมาณวาชายคนนเปนจดมวลยอยและก าหนดคา = 3) 17. นกสเกตน าแขงก าลงหมนตวอยบนลานสเกต ดวยความเรวเชงมม 6 rad / s หากนกสเกตเหยยด

ขาขางหนงออกไป เพอท าใหความเรวลดลง ซงท าใหโมเมนตความเฉอย เพมขน 20 % ของตอนแรก ความเรวเชงมม จะลดลงจากเดม ก rad / s ( )



103

สภาพสมดล (Mechanical Equilibrium)

เงอนไขทสมบรณ ของวตถทอยในสภาพสมดล (สมดลกล) กตอเมอ

1. แรงลพธทกระท าตอวตถมคาเปนศนย 0F

(กฎขอ 1) และ 2. ผลรวมของโมเมนตรอบจดหมนหนง มคาเปนศนย 0M

วตถอยนง เรยกวา สมดลสถต (Static Equilibrium)

กรณ 0F

(สมดลตอการเลอนท) วตถทมความเรว V คงท เรยกวา สมดลจลน (Kinetic Equilibrium)

วตถไมหมน กรณ 0M ………………………………………….… M ตาม = M ทวน (สมดลตอการหมน) วตถหมนดวยความเรว คงท

สมดลของ 2 แรง เชน…

สมดลของแรง 3 แรง เชน…

ถา 0F

แลวเมอเขยนเวกเตอรแทนแรง แลว จะไดรปสามเหลยมปด



104

ใชวธ การแตกแรง ใหอยในแนวแกน X – Y (แรงทอยในแนวเดยวกน จะมคาเทากน)

นนคอ

เชน…

เทคนคการเดาคราวๆ T1 > T2 เพราะน าหนกถกแขวนคอนมาทางดาน T1

หรอใช ทฤษฎของลาม (Lami ’s Theorem)

อาจจ าเปนตองใช มาชวย

เชน… 60sin3090sin3090sin120sin

1. ในทางฟสกสสภาพสมดลทสมบรณของวตถใด ๆ คอ ก. แรงลพธของแรงคควบ มคาเปนศนย แตผลรวมของโมเมนตของแรงคควบเทากบผลคณของ

ขนาดของแรงใดแรงหนงกบระยะตงฉากระหวางแนวแรงทงสอง ข. ผลรวมของแรงตาง ๆ ทกระท าตอวตถเปนศนย และผลรวมทางคณตศาสตรของโมเมนตเปน

ศนย ค. เมอต าแหนงทออกแรงกระท าผานแนวของจดศนยกลางมวลของวตถนน ง. วตถนนจะตองอยในสภาพทไมถกแรงใด ๆ มากระท าเลย

F ขน = F ลง F ซาย = F ขวา

sinsinsin

CBA

90sin90sin

จาก F ซาย = F ขวา

1.......30cos60cos 21 TT

จาก F ขน = F ลง

2...................30sin60sin 21 WTT

จากนน แกสมการ (1) และ (2)



105

1T

W

2T

W

1T

2T

W

1T

2T

W

1T

2T

2. (มช.41) น าหนก W แขวนไวดวยเชอกเบา 2 เสน ซงเอยงท ามม 30๐ และ 60๐ กบแนวดง เมอ

วตถอยในสภาวะสมดล โดยท 1T และ 2T

เปนแรงดงในเสนเชอกทงสองดงรป เมอเขยนเสนตรง

แทนขนาดและทศทางของแรงทงสาม รปในขอใดถก ก. ค.

ข. ง.

3. (มช.52) ถาตองการแขวนปายมวล 4 กโลกรม ดงรปดานลางน จะตองซอเชอกชนดใด จงจะสามารถ

ทนรบน าหนกของปายไดใกลเคยงทสด ก. ชนด A ทนแรงได 17 นวตน ข. ชนด B ทนแรงได 25 นวตน ค. ชนด C ทนแรงได 34 นวตน ง. ชนด D ทนแรงได 50 นวตน

4. ชายคนหนงมวล 80 กโลกรม โหนเชอกเบาดงรป โดยปลายของเชอกทงสอง ผกตดแนนกบเสาทจด A

และ B แรงดงในเสนเชอก X และ Y เปนเทาไร ก. 400 และ 3400 นวตน ข. 3400 และ 400 นวตน ค. 300 และ 3300 นวตน ง. 3300 และ 300 นวตน



106

5. ลกกลมตนหนก 5 N วางอยบนพนระนาบเอยง ทไมมแรงเสยดทาน 2 อน ซงท ามม 30 องศา และ 60 องศา กบพนราบ ดงแสดงในรป ขอสรปตอไปนขอใดถกตอง

(ให tan60๐ = 1.732 , tan30๐ = 0.577)

ก. N1 - N2 = 1.83 N

ข. N2 - N1 = 1.83 N

ค. N1 - N2 = 2.83 N

ง. N2 - N1 = 2.83 N

6. (มช.49) ออกแรง (F) 3 นวตน ดงวงลอมวล (W) 400 กรม เพอใหเคลอนทขนบนได ดงรป ปรากฏวา

วงลอเกอบจะเคลอนท ตองออกแรงเพมอกเลกนอยจงเคลอนทขนไปได จงหาแรงในหนวยนวตนทขอบบนไดกระท าตอวงลอ กอนจะเคลอนทขน

ก. 6 ค. 4 ข. 5 ง. 3



107

M ตาม = M ทวน

lFM .

สมดลตอการหมน 0M

นนคอ ผลรวมของโมเมนตรอบจดหมน มคาเปนศนย ( 0M )

หรอ ผลรวมของโมเมนตตามเขมนาฬกา = ผลรวมของโมเมนตทวนเขมนาฬกา โมเมนตของแรง(M ) คอ ผลคณของแรง(F) กบ ระยะทาง(l)

(วดจากจดหมนมาตงฉากกบแนวแรง) หนวยเปน นวตน.เมตร (N.m)

ทศทางของโมเมนต เทยบกบการหมนของเขมนาฬกา กรณท แนวแรงไมตงฉากกบ ระยะทาง ตองใชการแตกแรง เชน…

อปกรณทเกยวของกบเรอง โมเมนต



108

7. (มช.44) แผนไมสม าเสมอแผนหนงยาว 4.0 เมตร มมวล 60 กโลกรม พาดอยบนหมอนหนนตรงจด C และปลาย A ตงอยบนคมมด ชายคนหนงหนก 600 นวตน เดนบนแผนไมจาก A ไปยง B ดงรป จงหาวาเขาจะเดนไปไดไกลจาก A เปนระยะทางมากทสดกเมตร กระดานจงจะยงคงสภาพสมดลครงสดทายอยได

ก. 2.0 ค. 3.0 ข. 2.5 ง. 3.5

8. (En.43) ชายคนหนงถอแผนไมขนาดสม าเสมอยาว 2 เมตร น าหนก 100 นวตน ใหสมดลตามแนว

ระดบ โดยมอขางหนงยกแผนไมขนทต าแหนง 40 cm จากปลายใกลตว และมออกขางหนงกดแผนไมลงทปลายเดยวกนนนดงรป จงค านวณหาแรงยก ( 250 N)

9. (PAT.53) คานสม าเสมอยาว 2L น าหนก 2W ดงรป 1 เมอวางจดกงกลางานไวทคมมด พบวาคาน

ดงกลาวอยในสภาพสมดล ถาตดคานดานขวาออกไป 2 ทอนเลก ยาวทอนละ (1/3)L แลววางลงบนสวนทเหลอ ดงรป 2 จะไดผลตามขอใด

ก. คานในรป 2 สมดลเหมอนเดม ข. ตองออกแรงดงในทศลงทจด A ดวยขนาด (4/3)W จงจะท าใหคานในรป 2 สมดล ค. ตองออกแรงดงในทศลงทจด B ดวยขนาด (4/3)W จงจะท าใหคานในรป 2 สมดล ง. ตองออกแรงดงในทศขนทจด B ดวยขนาด (4/3)W จงจะท าใหคานในรป 2 สมดล



109

10. (มช.47) เสนลวดดงคาน AB ซงมมวล 5 กโลกรมแขวนไวทปลาย B ถาคานสม าเสมอมน าหนก 20 นวตนยาว 5 เมตร มปลาย A ตรงตดก าแพง คานสมดลอยไดดงรป จงหาวาวาแรงดงของเสนลวดมคากนวตน

11. บนได AB หนก 100 นวตน วางพาดกบก าแพงผวเกลยง โดยปลาย A อยบนพนหยาบทม

สมประสทธความเสยดทานเทากบ 0.25 สวนปลาย B แตะผวก าแพงเกลยง ถาบนไดนยาว 52 เมตร และก าลงจะเลอนไถลลงมา อยากทราบวาปลาย B อยสงจากพนหยาบ กเมตร ( 4 เมตร )



110

W1 W2

A

1 m 2 m

12. W1 และ W2 แขวนไวทปลายไมทเบามาก รปตว L (มมฉาก) ดงรป ถาตดบานพบไวทจด A จงหาคามม ซงท าใหระบบสมดล

ก. 12

1 /2tan WW ค. 21

1 /2tan WW ข. 12

1 2/tan WW ง. 21

1 2/tan WW

13. แผนโลหะกลมแบนสม าเสมอ มเสนผาศนยกลาง 2 เซนตเมตร หนา 1.2 มลลเมตรวางซอนกนอยาง

มระเบยบ บนพนเอยงทท ามม 45 องศา กบแนวระดบ ดงรป ถาแรงเสยดทานระหวางแผนโลหะและพนเอยงมคามาก จงหาวาจะซอนแผนโลหะเหลานไดมากทสดเทาไรโดยไมมการลมเกดขน

ก. 7 แผน ค. 16 แผน ข. 8 แผน ง. 18 แผน

14. (มช.52) กลองมวล 2 กโลกรม กวาง 2 เมตร ยาว 2 เมตร และ สง 4 เมตร อยบนรถบรรทก จงหา

ความเรงสงสดของรถบรรทกทสามารถวงได โดยทกลองไมลม ในหนวย เมตร/วนาท2 (ใหคดวากลองลม กอนทจะไถล)



111

Homework 1. (มช.50) ออกแรงสองแรงขนาด 5 นวตน ดงสตถชนหนง โดยทมมระหวางแรงทงสองเปน 120 องศา

ถาตองการใหวตถนไมมการเคลอนท จะตองออกแรงทสามกระท าตอวตถน โดยทแรงทสามจะตองมขนาดกนวตน และท ามมกองศากบแนวแรงของ A (5 N , 120 องศา)

2. ตรงไม 2 แทง ยาวแทงละ 3 ฟต และ 4 ฟต ตามล าดบ ทปลายบนดงแสดงในรปแขวนวตถหนก

200 ปอนด จากจดตรง แรงทไม 3 ฟต กระท าตามแนวความยาว คอ (160 ปอนด)

3. วตถ m และ M อยในภาวะสมดล ดงรป อตราสวน M/m คอ (5/3)

4. แขวนลวดวงกลมหนก 8 นวตน เสนผาศนยกลาง 60 เซนตเมตร ไวกบเพดานอยางสมมาตร และ

วางตวสมดลอยในแนวระดบดวยเชอกเบา 4 เสน ดงรป ถาเชอกแตละเสนยาว 50 เซนตเมตร แรงดงในเชอกแตละเสนมคาเทาใด

ก. 2.0 N ค. 3.3 N ข. 2.5 N ง. 5 N

5. ABC เปนกรอบรปสามเหลยมดานเทาอยในระนาบระดบ มเชอก AD , BD , CD ยาวเทากนหมด และ

ยาวเทากบดานของสามเหลยม แขวนมวล m ทจด D จงหาความตงในเสนเชอกเสนใดเสนหนง ก. mg6/1 ค. mg6/1

ข. mg3/1 ง. mg3/1



112

6. ลกกลมมวล 3 กโลกรม วางนงอยบนพนเอยง 2 อน ซงวางใหปลายชดกน ท ามม 60๐ และ 30๐

กบแนวระดบตามรป ถา R1 และ R2 เปนขนาดของแรงกระท าจากพนเอยงตอทรงกลมทางดานมม

60๐ และ 30๐ ตามล าดบ ขนาดของ R1 จะประมาณกนวตน

ก. 15 ค. 22 ข. 20 ค. 22

7. ตามรปทรงกระบอกหนก 100 นวตน วางอยบนระนาบเอยงท ามม 300 กบแนวระดบและมไมฉากทตดแนนอยบนระนาบเอยงรองรบอย ผวทกสวนเปนผวเกลยง จงค านวณหาแรงปฏกรยาท A และ B

8. ตามรป ทรงกลมทงสองมวล 10 กโลกรม เทากน ถาผวทรงกลมเกลยง แรงปฏกรยาททรงกลมทงสองกระท าตอกนเปนเทาไร

ก. 3100 นวตน ค. 3200 นวตน ข. 3/100 นวตน ง. 3/200 นวตน

9. ทรงกลมหนก 20 นวตน รศม 10 เซนตเมตร ผกดวยเชอกยาว 20 เซนตเมตรตดกบก าแพง ถาผวสมผสระหวางก าแพงกบทรงกลมไมมความเสยดทาน จงหาแรงดงในเสนเชอก ( 215 N)

10. ทรงกลมมวล 310 กโลกรม สองลกเทากน วางบนแทงไมสามเหลยมลน ดงรป ทรงกลมทงสองผก

ตดกนดวยเชอกเบา จงหาแรงดงในเสนเชอก เมอ 030 (100 นวตน)



113

11. ทรงกลม 2 ลก มเสนผานศนยกลาง 12 และ 18 เซนตเมตร หนก 3 และ 12 นวตน ตามล าดบ วางในทรงกระทอกเสนผาศนยกลาง 27 เซนตเมตร ดงรป ถาผวทกผวไมมความฝด แรงปฏกรยาทผวของทรงกระบอกทจด B มคาเทากบกนวตน

ก. 12 ค. 14 ข. 13 ง. 15

12. (มช.44) ลกกลมเหลกมวล 0.3 กโลกรม ผกตดปลายเชอกเบา A และ B แขวนตดกบกลองดงรป จงหาวากลองจะตองเคลอนทดวยอตราเรงกเมตร/วนาท2 จงจะพอดท าใหขนาดของแรงตงในเสนเชอก A เปน 2 เทาของแรงตงในเสนเชอก B (ไมคดแรงเสยดทานระหวางพนกบลอของกลอง)

ก. 3

3g ค. 3

3g

ข. g33 ง. 33

g

13. (มช.44) วตถมวล 200 กรม โยงตดกบคานทตงในแนวดงดวยเชอก 2 เสนดงรป คานหมนรอบตวเองท าใหวตถเคลอนทในแนววงกลมในระนาบระดบ โดยมอตราเรวเชงมมคงตว ปรากฏวาเชอกเสนลางมแรงดง 18.75 นวตน จงหาอตราเรวเชงมม (20 Rad/s)

14. (En.41) รถยกคนหนงมมวล 2400 กโลกรม มศนยกลางมวลของรถอยทต าแหนงกงกลางระหวางลอ

หลงกบลอหนาซงหางกน 2.0 เมตร ถารถพยายามยกวตถทอยหางจากตวรถ ไปทางดานหนา 10 เมตร มวลมากทสดทรถสามารถยกไดเปนกกโลกรม ( 240 kg )



114

15. กระดานสปรงส าหรบกระโดดน า หนก 400 N ดงรป ระยะ AB หางกนเปน 4

1 ของความยาวสปรง

ขณะทนกกระโดดน า หนก 600 N ยนนง ๆ ทปลาย C จงหาขนาดของแรงทกระท าตอจด A และ B ( 2200 , 3200 )

16. AB เปนทอนไมขนาดสม าเสมอยาว 4 เมตร หนก 4 กโลกรม ปลาย A ถกยดไวกบผนงอาคารดวย

บานพบ ปลาย B ผกดวยเสนลวดโลหะ BC ยาว 5 เมตร ท าให AB อยในแนวระดบ และ ทปลาย B นมวตถหนก 28 กโลกรมแขวนอย จงหาแรงดงในลวด BC (500 N)

17. (มช.43) ลวดดงแผนปายซงแขวนไวดงรป ถาแผนปายมขนาดสม าเสมอ มศนยถวงอยทจดตดกนของเสนทแยงมม คาน AB ถกตรงไวทจด A ดวยบานพบทตดก าแพงผวหยาบ มแรงทบานพบกระท ากบคานในแนวระดบ 250 นวตน ถาไมคดน าหนกของคาน แผนปานจะตองมมวลขนาดกกโลกรม จงจะท าใหคานสมดลไดตามแนวระดบ (50 kg)

18. แทงเหลกหนก 120 นวตน ม W1 และ W2 แขวนทปลาย พยงไวดวยเชอก A และ B ดงรป โดย

เชอกแตละเสนสามารถทนแรงดงไดเพยง 500 นวตน ถา W2 จะตองหนกเปน 2 เทาของ W1 คามากทสดของ W1 ในหนวยนวตน ทจะแขวนไดโดยทเชอกไมขาด (176 นวตน)



115

19. ชายสองคนชวยกนหามวตถมวล 90 กโลกรม ซงแขวนอยทจดกงกลางคานสม าเสมอมวล 10 กโลกรม ชายคนทหนงแบกคานตรงต าแหนงทหางจากจดทแขวนวตถ 0.5 เมตร และรบน าหนก 600 นวตน ชายคนทสองจะแบกคานทต าแหนงหางจากจดแขวนวตถเทาไร (0.75 m)

20. จากรป วตถกอนหนงหนก 2.0 x 103 นวตน วางอยบนพนราบทมคาสมประสทธความเสยดทานสถต

ระหวางผวสมผส 0.4 เมอเคลอนวตถดวยแรง F โดยทวตถไมลม h จะเปนระยะทางเทาไร ก. 10 cm ค. 50 cm ข. 37.5 cm ง. 62.5 cm

21. ตใบหนงมฐานกวาง b และมของภายในตวางกระจายไวอยางสม าเสมอ ตวางอยบนพนราบซงมสมประสทธความเสยดทานกบพนต เปน ถาออกแรงผลกต ทตรงจดทสงจากพน x ใหต เลอนโดยไมลม x จะตองมคาอยางมากทสดไมเกนเทาใด

ก. 2

b ค.

b2

ข.

b ง.

b4

22. ทรงกระบอกตนมวล 40 กโลกรม เสนผาศนยกลางยาว 1.00 เมตร วางอยบนพน และมแรง F

ขนาด 500 นวตน พยายามหมนทรงกระบอก ดงรป ถาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางก าแพง และทรงกระบอกเปน 0.2 สวนพนไมมความฝด จงหาคา h ทนอยทสดในหนวยเซนตเมตร ททรงกระบอกพรอมทจะหมนได (10 cm)

23. ถามไมกระดาน 3 แผน ทมขนาดเทากน ยาวแผนละ 60 cm วางเรยงซอนกนดงในรป จงหาวาไมกระดานแผนบน จะยนออกไปไกลสดสมพทธกบไมกระดานแผนลางสดเทาไร (45 cm)

24. บนไดสม าเสมอมมวล 10 กโลกรม ยาว 2 เมตร วางพงก าแพงเกลยง โดยฐานบนไดกบพนม

สมประสทธความเสยดทานเทากบ 0.5 จะตองพาดบนไดบนก าแพง ใหท ามมนอยทสดกบพนเทาใด บนไดจงจะไมไถล



116

25. บนไดขนาดสม าเสมอ มน าหนก W วางพาดก าแพงเกลยงซงไมคดแรงเสยดทาน ถาสมประสทธความเสยดทานสถตระหวางพนลางกบบนได เทากบ จงหามม นอยทสดทท าใหบนไดวางอยนงได

ก. tan- 1 (1/ ) ค. tan- 1 (1/ 2 )

ค. tan- 1 ( ) ง. tan- 1 ( 2 )

26. (En.42) ชายคนหนงหนก 500 นวตน ก าลงขนบนไดขนาดสม าเสมอยาว 5.0 เมตร และหนก 100 นวตน ถาบนไดพาดอยกบผนงลน โดยปลายบนไดบนพนอยหางจากผนง 3.0 เมตร ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางพนกบบนไดเปน 0.5 ชายคนนจะขนบนไดไปไดระยะกเมตรกอนทบนไดจะไถล (3.5 เมตร)

27. (มช.53) มวล m1 มขนาดเปน 22

3m เคลอนทเขาหามวล m2 ซงอยนงดวยอตราเรว u ดงรป จงหาวา

จดศนยกลางมวลของมวลทงสอง จะเคลอนทดวยอตราเรวเทาใด

ก. u ข. u2

1

ค. u2

3 ง. u5

3



117

สภาพยดหยน (Elasticity) กบสมบตของวสด

วสดบางชนด เมอเราออกแรงดงทปลาย จะพบวา ความยาวทยดออก l จะแปรผนตรงกบ แรง F ทใชยด ภายในขอบเขตหนง ซงเรยกวา กฎของฮก (Hook ’s Law)

และเมอออกแรงตอ วสดนนกจะขาดในทสด ดงกราฟ

จด A ขดจ ากดการแปรผนตรง

จด B จดคราก (yield Point) จด C จดแตกหก

วสดทมความเหนยว ลกษณะของกราฟปลายจะพลว ดงรป

วสดทมความเปราะ ลกษณะของกราฟปลายจะไมพลว

ปรมาณตางๆ ทเกยวของกบคณสมบตของวสด

ความเคน (Stress) คอ อตราสวนของแรงทใชดงวสด F กบขนาดพนทหนาตดของวสด A

จะได ความเคน มหนวยเปน N/m2

ความเครยด (Strain) คอ อตราสวนของความยาวของวสดทยดออก l กบ

ความยาวเดมของวสด 0l

จะได ความเครยดไมมหนวย (ตดกนไปแลว)

A

F

0l

l



118

มอดลสของยง (Young's modulus)

มอดลสของยง ; (Young's modulus) หรอ มอดลสของสภาพยดหยน เปนคาบอกระดบ

ความแขงแกรงของวสด ซงเปนคาคงทส าหรบวสดแตละชนด

หาไดจาก อตราสวนระหวาง ความเคนกบความเครยด

จะได

การหาคา สามารถอาจหาไดจาก slope ของกราฟ

จากกราฟจะเหนวา 1 > 2 นนคอ มความแขงแรงกวา แต 2 จะมความยดหยนและเหนยวกวา

1. ลวดเหลกกลาส าหรบดงลฟตตวหนง มพนทหนาดด 5 ตารางเซนตเมตร ตวลฟตและสมภาระในลฟต

มน าหนกรวม 2,000 กโลกรม จงหาความเคน (stress) ในสายเคเบล ในขณะทลฟตก าลงเคลอนทขนดวยความเรงสงสด 2.0 m/s2

ก. 64 x 106 N/m2 ข. 48 x 106 N/m2 ค. 40 x 106 N/m2 ง. 32 x 106 N/m2

2. (มช.52) นกปนเขาน าหนกตว 770 นวตน ใชเชอกไนลอนทมความยาว 80 เมตร และม

เสนผาศนยกลาง 14.0 มลลเมตร ถาเชอกยดออก 2.0 เมตร จงหาคามอดลสของเชอกเสนน ในหนวย นวตน/เมตร2

ก. 0.5 x 108 ข. 1.0 x 108 ค. 2.0 x 108 ง. 7.0 x 108

0ll

AF



119

3. (มช.49) ก าหนดใหวตถ A มคามอดลสของยงเทากบ EA และ วตถ B มคามอดลสของยงเทากบ EB โดยท EA > EB ถาตองการใหวตถทงสองรบแรงไดเทากน โดยออกแรงดงใหมความยาวเพมขน 0.1% เทากน วตถทงสองควรจะมลกษณะเรมตนกอนทจะถกดงเปนอยางไร

ก. วตถ A มความยาวเทากบวตถ B ข. วตถ A มพนทหนาตดเทากบวตถ B ค. วตถ A มพนทหนาตดมากกวาวตถ B ง. วตถ A มพนทหนาตดนอยกวาวตถ B



120

Homework 1. สายไฟเสนหนงยาว 120 เมตร เสนผาศนยกลาง 2.2 มลลเมตร ถกท าใหยดออกดวยแรงขนาด 380

นวตน ท าใหสายไฟมความยาวเปน 120.10 เมตร จงหา ความเคน และความเครยด ทเกดขน

(108 N/m2 , 8.33 x 10- 4 )

2. น าลวดโลหะ ซงมความเคนทขดจ ากดสภาพยดหยนเทากบ 2.0 x 1010 N/m2 ขนาดพนทหนาตด 0.1 ตารางมลลเมตร มาผกตดกบมวลดงรป ถาพนมสมประสทธความเสยดทานเทากบ 0.8 จงหาอตราเรงสงสดของวตถทลวดจะยงไมขาด ( 12 m/s2)

3. ลวดทองแดงเสนหนงยาว 4 เมตร มพนทภาคตดขวาง 1 x 10- 8 ตารางเมตร มคามอดลสของยง

เปน 1.1 x 1011 นวตนตอตารางเมตร จะตองออกแรงดงเทาใด จงจะท าใหเสนลวดนยดออกอก 1 มลลเมตร (0.275 N)

4. (มช.43) แขวนวตถมวล m กโลกรม ทปลายเสนลวดเหลกกลา ซงมคามอดลสของยง เทากบ

2.0 x 1011 นวตนตอตารางเมตร ท าใหเสนลวดยดออก 0.005 เทาของความยาวเดม ถาพนทหนาตดของเสนลวดเทากบ 0.4 ตารางเซนตเมตร จงหาคาของมวล m น (4000 kg)

5. (มช.45) หมบานแหงหนงใชทอเหลกแทงหนงทมความยาว 20 เมตร เปนฐานรองรบถงเกบน าขนาด

ความจ 50 ลกบาศกเมตร ถาพนทหนาตดของทอในสวนทเปนเหลกมขนาด 5 x 10- 2 ตารางเมตร คายงมอดลสของเหลกมคาเปน 2 x 1011 N/m2 เมอมน าเตมถง ทอเหลกนจะหดลงไปกเมตร

ก. 1 x 10- 2 ข. 1 x 10- 3 ค. 1 x 10- 4 ง. 1 x 10- 5 6. (มช.50) ลวดเปยโนเสนหนง มความทนแรงดงเปน 100,000 นวตนตอตารางเซนตเมตร ถาลวดเสนน

มความยาว 2 เมตร และมพนทหนาตด 0.01 ตารางเซนตเมตร เมอถกขงดวยแรงทท าใหเกดความเคนเทากบความทนแรงดง ลวดจะยดออกเปนระยะกเมตร (ก าหนดให มอดลสของยง ของลวดเปน 2 x 1011 N/m2 )

ก. 1.0 x 10- 6 ข. 1.0 x 10- 5 ค. 1.0 x 10- 4 ง. 1.0 x 10- 2



121

7. (มช.53) เสนลวดหนงยาวเทากบ 2 เมตร มพนทเทากบ 0.20 ตารางมลลเมตร และมคามอดลสของยงเทากบ 1.0 x 1011 นวตน/ตารางเมตร ถาตองการใหลวดเสนนยาวออก 2% จะตองใชแรงดงกนวตน

ก. 200 ข. 400 ค. 5 x 105 ง. 5 x 107 8. แขวนมวล 400 กโลกรม กบเสนลวดโลหะชนดหนงยาว 10 เมตร มพนทหนาตด 2 x 10– 4 m2 เสนลวด

นจะยดออกเปนเทาใด ถาก าหนดใหคายงมอดลสของเสนนเปน 2 x 1011 N/m2 (0.1 cm)

9. เมอแขวนมวล M ไวทปลายเสนลวดดงรป จะท าใหเสนลวดยดออก 0.12 เปอรเซนตของความความ

เดม ถาพนทหนาตดของลวดเทากบ 0.20 ตารางมลลเมตร และมคามอดลสของยงเทากบ 2.0 x 1011 นวตนตอตารางเมตร มวล M จะมคาเทาใด (4.8 kg)

10. (PAT.53) อตราสวนระหวางแรงดงทกระท าตอเสนลวด กบระยะยดของเสนลวด A และ B ซงยาว

เทากน เปนอตราสวน 2 : 1 ถาคามอดลสของยงของเสนลวด B เปน 2 เทาของเสนลวด A เสนผาศนยกลางของเสนลวด A เปนกเทาของเสนลวด B

ก. 0.5 ข. 1 ค. 2 ง. 4



122

ของไหล (Fluid)

โดยทวไป จะแบงสสารออกเปน 3 สถานะ คอ ของแขง (solid) ของเหลว (liquid) และแกส (gas) อาจเรยกรวม ของเหลว + กาซ = ของไหล

การศกษาเกยวกบของไหลทอยนง เรยกวา อทกสถตศาสตร (hydrostatics) การศกษาเกยวกบของไหลทเคลอนท เรยกวา อทกพลศาสตร (hydrodynamics)

ความหนาแนน (density) ; เปนสมบตเฉพาะตวของสารแตละชนด ซง

หมายถง อตราสวนระหวางมวลกบปรมาตรของวตถ นนคอ เปนปรมาณสเกลาร มหนวยเปน kg/m3

ความหนาแนนของสารสมพทธกบน า อาจเรยกอกอยางวา ความถวงจ าเพาะ ; ถ.พ. (specific gravity) ; S.G.

น า = 1 g/cm3 หรอ 1,000 kg/m3

วตถทม นอยกวาน าจะลอยน าได และในท านองเดยวกน.....

วตถทม มากกวาน าจะจมน าได และ วตถทม เทากบน าจะลอยอยในน า

โจทยความหนาแนน มกจะเกยวของกบเรอง แรงลอยตว ซงจะไดศกษาตอไป

ความหนาแนน ความดน แรงดน แรงลอยตว ความตงผว ความหนด ฯลฯ

v

m

เมอเอาสาร สอง ชนดมารวมกน สามารถหาความหนาแนนรวมไดดงน

ผสม =

...

...

21

21

VV

mm หรอ =

...

...

21

2211

VV

VV

(สวนทเปน Hydrostatics)

ความหนาแนนสมพทธ (ถ.พ.) =



123

1. (มช.40) เมอผสมสาร A (ถ.พ. 0.80) เขากบ สาร B (ถ.พ. 1.68) เพอใชหาความหนาแนนของเลอด พบวาตองผสมดวยสดสวนของ A : B เปน 75% โดยปรมาตร หยดเลอดทหยดลงไปในสารละลายน จงจะยงคงแขวนลอยอย จงค านวณหาความหนาแนนของเลอด (ตอบในหนวย กรม/ลบ.ซม.)

( 1.02 )

ความดนในของเหลว

ความดน (Pressure) ; P ในของเหลว คอ อตราสวนของขนาดของแรงดน F ทกระท าตงฉากกบ พนททของเหลวสมผส A

ซงความดน P มหนวยเปน N/m2 หรอเรยกอกอยางวา ปาสคล ; Pa และความดนในของเหลวจะมคาขนอยกบ ระดบความลก ; h นนคอ เมอลกลงไปปรมาณของเหลวทกดทบลงบนพนทกจะมคามากขน นนคอมแรงกดมาก

จาก A

FP และ F = mg (น าหนกของเหลว : ในแนวตงฉากกบพนท)

แทนคาจะได A

mgP และ vm (ความหนาแนน)

จะได A

vgP

และ v = Ah (ปรมาตร)

แทนคาจะได ....(ความดนเกจ....Gauge Pressure) ความดนเกจ คอ ความดนทขนอยกบความลกของของเหลว เนองมาจากน าหนกของของเหลว

ความดนของของเหลวชนดเดยวกน ทระดบความลกเดยวกน มคาเทากนเสมอ โดยไมขนกบรปทรงของภาชนะทบรรจ

จดใด ๆ ในของเหลว แรงดนของของเหลว มไดทกทศทกทาง และ จะกระท าตงฉากกบ ผนงของภาชนะและผวของวตถเสมอ

A

FP F = P.A

ghPG



124

2. จงพจารณาภาชนะบรรจน า 3 ใบ ปรมาตรไมเทากน ดงรป ถาความสงของระดบน าในภาชนะทงสามใบมคาเทากน

จงเลอกค าตอบทถกทสดตอไปน

ก. ความดนทกนภาชนะทงสามใบมคาเทากน แตน าหนกของน าในภาชนะแตละใบมคาไมเทากน ข. ความดนทกนภาชนะทงสามใบมคาไมเทากน แตน าหนกของน าในภาชนะแตละใบมคาเทากน ค. ความดนทกนภาชนะและน าหนกของน าในภาชนะแตละใบมคามคาไมเทากน ง. ความดนทกนภาชนะและน าหนกของน าในภาชนะแตละใบมคามคาเทากน

ความดนสมบรณ (Absolute pressure)

ความดนตามสมการ ( ghPG ) เปนความดนเนองมาจากของเหลว แตเพยงอยางเดยว ซงความเปนจรง จะตองมความดนจากบรรยากาศ P0 กดทบอกทหนง

** ผลรวมของความดนเกจ กบ ความดนบรรยากาศ เรยกวา ความดนสมบรณ **

Absolute Pressure (P) = P0 + gh

(ความดนบรรยากาศทระดบน าทะเล คอ ความดน 1 บรรยากาศ (atmosphere) ; atm มคา 1.013 x 105 N/m2 = 1 atm )

ความดนอากาศจะ ลดลง เมอความสงจากระดบน าทะเล เพมขน

(เนองจากมวลอากาศ ลดลง....การขนดอยสงๆ จะท าใหเกดอาการหออ) ความดนอากาศจากเครองวด เชน ความดนโลหต ความดนอากาศ

มกวดในหนวย mm.Hg



125

3. นกส ารวจทองทะเลลงไปวดความดนน าทะเลได 5.2 x 105 N/m2 น าทะเลมความหนาแนน 1.4 x 103 kg/m3 ถาขณะนนทระดบน าทะเลอากาศมความดน 105 N/m2 จงหาความลกของทะเล

ก. 300 m ข. 42 m ค. 37 m ง. 30 m

หนวยความดน 1 atm = 760 mm.Hg (มลลเมตรของปรอท) = 76 cm.Hg (เซนตเมตรของปรอท)

= 1.01325 x 105 N/m2

1 bar = 105 N/m2 ( เพราะฉะนน 1 atm 1 bar ) 1 torr = 1 mm.Hg ( mm.Hg เรยกอกอยางวา torr )

อปกรณวดความดน

บารอมเตอร (Barometer)

ทก ๆ ความสงทเพมขน 11 m ความดนอากาศจะลดลงประมาณ 1 mm-Hg *

เครองมอวดความดนอยางงาย ๆ ซงใชปรอทวดความดนบรรยากาศ (Atmospheric pressure) เรยกวา บารอมเตอร (barometer) ดงแสดงในรปอปกรณดงกลาวจะมหลอดปลายปดขางหนง เตมปรอทใหเตมแลวกลบหลอดใหดานปลายเปดจมลงในอางทมปรอท ปรอทจะไหลลงไปจากหลอดสวนหนง แตจะมอกสวนหนงทยงคงคางอย โดยความดน ทดานบนของหลอดจะมคาประมาณ 0 และเราจะไดวาความดนทจด A เนองจากความสงของปรอท จะเทากบความดนบรรยากาศ ซงเทากบ 760 mm-Hg



126

Pขวา Pซาย

ก. 3

11 ค. 5

ข. 3 ง. 7

การค านวณหลอดแกวรปตวย

* ความดน ไมเกยวกบขนาดของขาทงสองขาง *

4. (มช.53) พจารณาของเหลว 3 ชนด ทมความหนาแนนเปน 1 , 2 และ 3 บรรจในภาชนะดงรป

ถา 31 3 จงหาวา 2 มคาเปนกเทาของ 3

เครองมอวดความดนอกชนดหนงเรยกวา แมนอมเตอร (manometer) ซงเปนหลอดรปตว U ทมของเหลวบรรจอย (โดยมากจะเปนปรอท) ปลายดานหนงตอเขากบภาชนะซงมความดน P2 สวนปลายอกขางหนงเปดใหอากาศเขา ซงจะมความดน

เปน P1 = Patm ถา P2 > P1 จะท าใหของเหลวใน

ดานปลายเปดสงกวาดานปลายปด ถาจด B เปนจดบนผวของของเหลวทอยในดานปลายปด และ จด A เปนจดทอยในแนวระดบเดยวกบจด B ( ดงนน PA = PB )

ใชหลกการทวา “ ทระดบเดยวกน ความดนมคาเทากน”

นนคอ Pซาย = Pขวา



127

แรงดนของของเหลวทกระท าตอผวดานขางภาชนะ

พจารณา ทผวดานหนงของภาชนะ ซงบรรจน าทระดบความสง h ดงรป จะมแรงดนของน ากระท าตอผวดานขาง ทก ๆ จดในทศตงฉาก ซงมคาไมเทากน ขนอยกบ ระดบความลกของของเหลว ( ghP ) ดนนน แรงดนของน าทกระท าจงเปน แรงดนเฉลย (ความดนกเฉลย)

จาก APF . = APP

.2

10

= lhgh

.2

0

………….**

แรงดนน เปนแรงดนเนองจากของเหลวอยางเดยว โดยไมคดแรงดนบรรยากาศ

แรงดนของน าจะเพมขนแบบก าลงสอง ตามความสงของระดบน า

แรงดนเฉลย จะเสมอนกระท าทต าแหนง 3

h ดงนน

การออกแบบสรางเขอน วศวกรจะตองออกแบบบรเวณฐาน ของประตเขอนใหมความแขงแรง และหนาเปนพเศษ

5. ประตกนน าแหงหนงกวาง 10 เมตร มระดบน าในประตสง 8 เมตร และนอกประตสง 4 เมตร จงหาแรงดนน าลพธทกระท าตอประตกนน าน (2.4 x 106 N)

F = 2

2

1glh

ทผวน า P = 0 , ทดานลางสด P = gh พนทรบแรงดน A = l.h = ความกวางผวดานขาง คณกบ ความสงของน า



128

กรณ พนทผวขางเอยงท ามม (เพมเตม)

พจารณา รป ขางตนจะมแรงดนของน า กระท าตอผวขาง ทก ๆ จดในทศตงฉากเหมอนกน และความดน ghP (โดยไมขนกบรปรางของผนงขาง)

จาก APF . = APP

.2

20

= lXgh

.2

0

=

sin.

2

hl

gh

ส าหรบ Factor ( eccos ) เมอ 900 จะไดคาทมากวา 1 ท าใหผลลพธจากการคณ ไดคามากขน **สรปเกดแรงดนมากขน

6. ถงน าใบหนงมดานกวาง ยาว สง เปน 4 , 4 และ 3 เมตร ตามล าดบ มน าบรรจอย ขณะทเอยงถงดง

รป แรงดนน าทกระท าตอดานขาง AB เปนก kN (ความหนาแนนน าเทากบ 103 kg/m3 ) ก. 128 ค. 115.2

ข. 144 ง. 212

ทผวน า P = 0 , ทดานลางสด P = gh พนทรบแรงดน A = l.X

ความกวางผวขาง l คณกบ สงเอยงของน า X

จาก X

hsin

ดงนน sin

hX

ech cos.

F = ecglh cos.2

1 2



129

กฎของปาสคล (เครองอดไฮดรอลก) …กลาววา

“ เมอ เพมความดน ณ ต าแหนงใด ๆ ในของเหลวทอยนงในภาชนะปด ความดนทเพมขน จะถายทอดไปยงทก ๆ จดทกต าแหนงในของเหลวนน รวมถงผนงของภาชนะดวย ท าใหทกจดมความดนเพมขน ”

ซงกฎของปาสคล สามารถน าไปอธบายการท างานของ เครองกล ผอนแรงชนดหนง นนคอ เครองอดไฮดรอลก (Hydraulic Press) ซงประกอบไปดวย กระบอกสบ และ ลกสบ ทมขนาดตางกน กระบอกสบทงสองเชอมตอถงกน และภายในกระบอกสบทงสอง จะมของเหลว บรรจอยภายใน (น ามนหลอลน) ดงรป.....

เนองจากความดนทเพมขน จะไปดนผนงดานขางของกระบอกสบ ดงนนกระบอกสบตองม ความแขงแรงเปนพเศษ และทนตอแรงอดของความดนไดด

หลกการ ความดนใน ขณะทกระบอกสบทงสองขาง มระดบเทากน จะมคาเทากน

นนคอ PA = Pa

……..*

* * ในกรณท ระดบกระบอกสบไมสมดลกน จะตองบวกความดนเกจ ของขางทสงกวาดวย

A

W = a

F

A

W = gha

F



130

ก. 321 MMM ข. 321 32 MMM

ค. 321

32M

MM

ง. 231 MMM

เนองจากเครองอดไฮดรอลก เปนเครองกลผอนแรง ดงนน จงม การไดเปรยบเชงกล (M.A)

Mechanical Adventage

หากตองการให ผอนแรงไดมากขน อาจใชหลกการของคานเขามาชวยอก (โมเมนต)

7. (มช.52) จากรป ระบบประกอบดวย กระบอกสบและลกสบ 3 ชด ภายในบรรจดวยของเหลว ม

พนทหนาตดของกระบอกสบเปน 2A , 3A และ A ซงมมวล M1 , M2 และ M3 วางอยบนลกสบของแตละชดตามล าดบ ถาลกสบทกอนมน าหนกเบามาก และไมมแรงเสยดทานระหวางผวของกระบอกสบและลกสบ เมอระบบอยในสภาวะสมดล ความสมพนธระหวาง M1 , M2 และ M3 เปนไปตามขอใด

8. (En.44) เครองอดไฮดรอลกส าหรบยกรถยนตเครองหนง ใชน ามนทมความหนาแนน 800 kg/m3

พนทของลกสบใหญและลกสบเลกมคา 1000 ตารางเซนตเมตร และ 25 ตารางเซนตเมตร ตามล าดบ ถาตองการยกรถยนตหนก 1000 กโลกรม ขณะทกดลกสบเลก ระดบน ามนในลกสบเลกอยสงกวาระดบน ามนในลกสบใหญ 100 เซนตเมตร แรงทกดบนลกสบเลกมคาเทาใด ( 230 N)

M.A. = F

W = a

A = 2

2

r

R



131

9. จากแมแรงยกรถเครองหนง ลกสบใหญมพนทเปน 25 เทา ของลกสบเลก ถาตองการใชแมแรงนยกรถมวล 200 kg จะตองออกแรง F กดทคนโยกของแมแรงกนวตน

ก. 20 ข. 27 ค. 50 ง. 80

แรงลอยตว (แรงพยง) Buoyancy Force ; FB

เมอวตถลอย หรอ จมอยในของเหลว จะมแรงชนดหนงคอยพยงวตถไว ไมใหจม เรยกแรงนวา แรงลอยตว หรอ แรงพยง ซงเปนแรงดนน าลพธท กระท าตอวตถดานบน และ ดานลาง แรงลพธทไดจะมทศขน (สวนแรงดนน า ดานผวขาง จะหกลางกนไป)

พจารณาวตถทมพนทหนาตด A ซง จมอยในของเหลวดงรป

แรงทของเหลวกระท าตอผวดานบน F1

AghAPF 111 แรงทของเหลวกระท าตอผวดานลาง F2

AghAPF 222

และ แรงลพธทกระท าตอวตถ คอ แรงลอยตว ( F2 – F1) AghAghFB 12

12 hhgA gVgAh

แรงลอยตว ...........** ( V คอ ปรมาตรของวตถสวนทจม)

gVFB



132

หลกของอารคมดส (Archimedes’ Principle) กลาววา…… ‚ วตถทจมในของเหลวทงกอน หรอบางสวน จะถกแรงลอยตวกระท า ซง แรงลอยตวจะ เทากบ น าหนกของของเหลวทถกวตถแทนท ‛

แรงลอยตว FB = น าหนกของของเหลวทถกวตถแทนท

= น าหนกทหายไป (เมอชงในของเหลว)

ส าหรบในอากาศ กมแรงลอยตวเหมอนกน แตมคานอยมากครบ วตถทมรปทรงไมเปนเรขาคณตสามารถหา ปรมาตรจากการแทนทน า แลววดปรมาตรน าแทนได

10. โปะรปสเหลยมยาว 4 เมตร กวาง 2 เมตร มมวล 12 ตน ลอยอยน าทะเลทมความถวงจ าเพาะ 1.03

จงหาสวนจมน า d เมอความหนาแนนของน าเทากบ 1000 kg/m3 และคาความเรงเนองจากแรงโนมถวงโลก (g) = 10 m/s2 ดงรป

ก. 1.15 m ข. 1.25 m ค. 1.45 m ง. 1.55 m

สตรลดหาความหนาแนนของวตถ เมอวตถลอยน า

วตถ = ปรมาตรสวนจม x (1000) ปรมาตรทงหมด

แรงลอยตว



133

11. (มช.43) อารคเมดส ชงมงกฎทองของพระราชาในอากาศได 1.2 กโลกรม และเมอมงกฎจมอยในน าชงได 1.04 กโลกรม จงหาความหนาแนนของมงกฎ ในหนวยของ กโลกรม/(เมตร)3 (7500)

แรงลอยตว เทากบ………………………………………..

12. (PAT.53) น าโลหะความหนาแนน ปรมาตร V ไปชงในของเหลวชนดหนง ทมความหนาแนน l

น าหนกของโลหะในของเหลวนเปนเทาใด

ก. Vgl ข. Vgl ค. Vgl

2

ง. Vgl

2

13. (มช.52) แทงโลหะมวล 2 kg มความหนาแนนสมพทธ (หรอความถวงจ าเพาะ) เทากบ 5 ถกแขวน

ไวกบตาชงสปรง และแทงโลหะจมอยในน า ดงแสดงในรป จงหาวาเครองชงสปรงจะอานคาไดก นวตน ( ก าหนด g = 10 m/s2)

1. 0 ค. 16 2. 2 ง. 20

สตรลดหาความหนาแนนของวตถ เมอวตถจม หรอ ลอย น า

วตถ = น าหนกจรง x (1000) (น าหนกทหายไป = แรงลอยตว) น าหนกทหายไป



134

ความตงผว Surface Tension ;

ท าไม จงโจน า ถงสไลดบนผวน าได – ท าไมใบมดโกนถงวางบนผวน าได ทงทม มากกวาน า ทเปนเชนนเพราะ ทผวของเหลว จะมแรงชนดหนง ซงไมใชแรงลอยตว มาชวยพยงไว แรงนจะยดผวของของเหลวไว ไมใหแยกจากกน ซงเปนแรงระหวาง โมเลกลของของเหลว เกดเฉพาะทผวของของเหลวเทานน ท าใหผวของของเหลวราบเรยบ และตง เรยกแรงนวา แรงดงผว (Surface tension force)

แรงดงผวของของเหลว มทศขนานกบผวของของเหลว และตงฉากกบขอบทของเหลวสมผส

พจารณารป ของฟลมสบเมอดงลวดออก เมอออกแรงดงลวด ฟลมสบจะออกแรงตาน ไมใหลวดหลดจากฟลมสบ และแรงตานนนกคอ แรงดงผว นนเอง ( ฟลมสบม 2 ผว ดงนน แรงดงผวกม 2 ดานดวย )

อตราสวนระหวาง แรงดงผว (F) กบความยาวของเสนทของเหลวสมผส (l )

เรยกวา ความตงผว (Surface tension) ใชสญลกษณ มหนวยเปน นวตน/เมตร (N/m)

พจารณาใหดวาแรงดงผว สมผสกบวตถกดาน ถาม 2 ดาน ใหเปน 2l

เสนลวดตรง (2l) , เสนลวดโคง R22 , แผนวงกลมบาง R2 เปนตน..........

ความตงผว เปนสมบตเฉพาะตวของของเหลว ส าหรบของเหลวชนดหนง ๆ ความตงผวจะ ลดลงเมอ อณหภมเพมขน

สารบางชนดมสมบตลดความตงผว เชน สารท าความสะอาด ผงซกฟอก น ายาลางจาน สบ ..

l

F



135

ความตงผวของของเหลวบางชนด ทอณหภม 20 0 C ของเหลว ความตงผว (N/m)

ปรอท (Mercury น า (Water)

กลเซอรน (Glycerin) เบนซน (Benzene) เอทลแอลกอฮอล

0.4350 0.0728 0.0631 0.0289 0.0223

ความเปยก-ไมเปยกน า (Wetting , Non-wetting)

ถาหยดของเหลว กบผวสมผส มมมสมผสมาก แสดงวา พลงงานศกยผวของเหลวมคามาก

14. (มช.49) ถาใชลวดบาง (ทมเสนผาศนยกลางเลกมาก) ท าเปนหวงวงกลมรศม 7 มลลเมตร ดงรป ใน

การหาความตงผวของน าผสมผงซกฟอก โดยใชแรงดงเทากบ 3.52 มลลนวตน ท าใหหวงพนน าพอด

ความตงผวในหนวยมลลนวตน/เมตร ของน าผสมนมคาเทาใด (ก าหนดให 7

22 )

ก. 40 ค. 60 ข. 50 ง. 80



136

15. (มช.50) จากรป แผนแกวขนาด a = 1 cm , b = 2 cm หนา 2.5 mm ถกดงจากผวของเหลวดวยแรง F ขนาด 420 มลลนวตน ท าใหหลดจากผวน าพอด ใหหาความตงผวของของเหลวในหนวยมลลนวตนตอเมตร

ปรากฏการณซมตามรเลก (Capillarity)

คอ ปรากฏการณทเมอจมหลอดเลกๆ ลงในของเหลวแลว ระดบของของเหลวภายในหลอดกบ ภายนอกหลอดแตกตางกน คาปลลารตเกดเนองจากความตงผว ของของเหลวนนเอง

Ad > Co Co > Ad



137

ซงสามารถอธบายไดดวยแรง ระหวางโมเลกล 2 ชนด คอ

แรงระหวางโมเลกลของของเหลว (โมเลกลชนดเดยวกน) เรยกแรงนวา แรงเชอมแนน ( Cohesive force) แรงระหวางโมเลกลของของเหลว กบโมเลกลของภาชนะ (โมเลกลตางชนดกน)

เรยกแรงนวา แรงยดตด (Adhesive force)

เนองจากแรงตงผว F ท ามม กบแนวดง ดงนนตองแตกเวกเตอร

ของแรงตงผวนเขาแนวดงและอางวาเทากบน าหนก ของเหลวทถกดงขนมา

จากรป Fcos = น าหนกของเหลว

ghrr .cos.2 2

= ความตงผว

r = รศมของหลอดแกว

= ความหนาแนน

16. (มช.51) ขอความใดถกตองทสด โดยพจารณาจากหยดของเหลว 3 ชนด ดงรป

ก. ของเหลว (ก) มมมสมผส ทมขนาดเลก นนคอของเหลวเปยกพน เนองจากความตงผวมคามาก ข. ของเหลว (ข) มมมสมผส ปานกลาง เพราะของเหลวดงดดกนเองเทาๆกบของเหลวดงดดพน ค. ของเหลว (ค) มมมสมผส มคามาก ท าใหของเหลวซมเขาไปไนเนอผาไดด ง. เปรยบเทยบของเหลวทงสาม ของเหลว (ก) มพลงงานศกยมากทสด

grh

cos.2



138

mg mg

ความหนดของของเหลว (Viscosity)

เมอวตถเคลอนทภายในของเหลวทหยดนง จะมแรงตานการเคลอนทของวตถ ซงเปนผลมาจาก ความหนด ของของเหลวนนเอง เรยกวา แรงหนด

ส าหรบการทดลองหาคา แรงหนด สโตกส (Stokes) ไดท าการทดลองปลอยวตถทรงกลมให เคลอนทในของเหลว แลวท าการวด อตราเรว ของวตถ

พบวา ชวงเรมตน วตถเคลอนทโดยม ความเรง และความเรวจะคอย ๆ คงทคาหนง เรยกความเรวทคงทนวา ความเรวปลาย ; v ดงรป

สโตกส พบวา แรงหนด มคาขนกบ ความเรวปลาย vF

จะไดวา kvF เมอ rk 6 ดงนน …..**

เมอ r = รศมของลกทรงกลม (กฎของสโตกส) BF F คาสมประสทธความหนดของของเหลว

โดยปกต โจทย แรงหนด มกตองค านวณรวมกบ แรงลอยตว เมอ 0F จะได 0 FFmg B

สงทมผลตอ ความหนดของสาร เชน อณหภม ปรมาณความเขมขนสาร การเตมสารเจอ… 17. (PAT.53) หยอนลกเหลกขนาดเลก ลงในทอแกวสง ทบรรจสารละลายชนดหนง ปรากฏวาเมอถงจดๆ

หนง ลกเหลกเคลอนทดวยความเรวคงตว ณ จดนควรใชหลกฟสกสใดอธบายเหตการณทเกดขน

ก. แรงโนมถวงของโลก ค. การตกอสระ ข. แรงดงดดระหวางมวล ง. สมดลของแรง

ชวง A-B เปนการเคลอนททม ความเรง

ตงแต B เปนตนไปลกทรงกลม เรม ม อตราเรวคงท ( 0F )

vrF 6



139

18. (มช.50) ในการทดลองหยอยลกแกว เสนผาศนยกลาง 6 mm ลงในของเหลวชนดหนง พบวาความเรวของลกแกวทระยะลกตางๆ เปนไปดงแสดงในกราฟ ในหาความหนดของของเหลว ในหนวย นวตน.วนาท/เมตร2

ก าหนดให ความหนาแนนของลกแกว = 2.45 กรม/ลบ.ซม. ความหนาแนนของของเหลว = 1.25 กรม/ลบ.ซม. ความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก = 9.8 เมตร/วนาท2



140

(สวนทเปน Hydrodynamics)

การศกษาเกยวกบของไหลทเคลอนท เรยกวา อทกพลศาสตร (Hydrodynamics)

ของไหลในอดมคต (Ideal Fluid)

1. มการไหลสม าเสมอ (Steady flow) คอ ความเรวของทก ๆ อนภาคของของไหล ณ ต าแหนงตางๆ มคาคงท

2. มการไหลโดยไมหมน (Irrotational flow) คอ ตองไมมความเรวเชงมม 3. มการไหลโดยไมมแรงตานเนองจากความหนด (Non viscous flow) คอ ตองไมมแรงตาน ทานใด ๆ ภายในเนอของไหลมากระท าตออนภาคของของไหล 4. ไมสามารถอดได (Incompressible flow) คอ ของไหลตองมปรมาตรคงท หรอ ตองมความ หนาแนนเทาเดม

ลกษณะการไหลทวไป แบงออกเปน 2 ลกษณะ ดงน คอ .....

1. การไหลแบบลามนาร (Laminar flow) เปนลกษณะการไหลแบบตอเนอง เปนเสนกระแส ไมมการหมนเกดขน

2. การไหลแบบเทอรบเลนซ (Turbulent flow) เปนลกษณะการไหลทมการหมนดวย

การไหลของของไหลในอดมคต เปนการไหลแบบ Laminar

สวนใหญ การไหลในชวตประจ าวนจะเปนแบบ Turbulence

อตราการไหล สมการความตอเนอง สมการแบรนลล กฎของทอรรเซลล และการประยกต ฯลฯ



141

การไหลของของไหลในอดมคต อนภาคของของไหลจะเคลอนทไปตามทางเดนเสนหนง เรยกวา เสนกระแส (Stream line) แตละเสนกระแสจะไมตดกน โดยความเรวของอนภาคท ต าแหนงตาง ๆ มทศในแนวเสนสมผส ณ ต าแหนงนน

ถาใหเสนกระแสจ านวนหนงอยรวมกนเปนมด เรยกมดนวา หลอดการไหล (tube of flow)

เสนกระแส หลอดการไหล

สมการความตอเนอง

ผลคณระหวางพนทหนาตด (A) กบ อตราเรวของของไหล (v) ไมวาจะอยทต าแหนงใดใน หลอดการไหล จะมคาคงตวเสมอ

เรยก ผลคณระหวาง Av เรยกวา อตราการไหล (Volume flow rate)

อตราการไหล มหนวยเปน m3/s

หรอ เรยกวา สมการความตอเนอง

(the equation of continuity)

พนทหนาตดเลกลง จะท าใหของไหลมอตราเรวเพมขน

AvQ = คาคงท

2211 vAvA

21 VolumeVolume 2211 LALA tVAtVA 2211

2211 VAVA



142

19. (มช.46) ‚ผลคณของพนทหนาตด (A) ทของไหลไหลผาน กบอตราเรว (v) ของของไหลทผาน ไมวาจะ

เปนต าแหนงใดในหลอดการไหล มคาคงตว‛ ขอใดมความหมายตรงกบขอความน

ก. เมอ A มคาคงท v มคาลดลง ค. เมอ A มคาเพมขน v มคาเพมขน

ข. เมอ v มคาคงท A มคาเพมขน ง. เมอ A มคาเพมขน v มคาลดลง

20. เครองสบน าเครองหนงสามารถสบน าได 10 ลตร ในเวลา 10 วนาท แลวสงออกไปทางทอทมขนาด พนทหนาตด 1 ตารางเซนตเมตร น าพงออกดวยอตราเรวกเมตร/วนาท (10 m/s)

อตราการไหล เทากบ …………………………………………..

21. (มช.49) ทอน าประปาวางอยในแนวระดบ มน าไหลดวยอตราเรว 2.5 m/s สวนของปลายทอถกลด

พนทหนาตดลง 25 % ของพนทหนาตดเดม ใหหาอตราเรวของน าทปลายทอนในหนวย m/s (10 ) 22. (PAT.53) น าไหลผานทอทรงกระบอก 2 อน รศม r และ R ดวยอตราการไหลเทากน ถาอตราเรวของน า

ทไหลในทอรศม r เทากบ V อตราเรวของน าทไหลในทอรศม R เปนเทาใด

ก. R

rV ข. r

RV ค. 2

2

r

VR ง. 2

2

R

Vr



143

สมการของแบรนลล (นกคณตศาสตร-ฟสกสชาวสวส ชวง พ.ศ. 2243-2325)

หลกของแบรนลล (Bernoulli’s principle)

‚ ถาระดบคงตว เมอของไหลมอตราเรวเพมขน ความดนของของไหลจะลดลง และ เมอของไหลมอตราเรวลดลง ความดนของของไหลจะเพมขน ‛

สมการของแบรนลล (Bernuolli’s Equation)

‚ ผลรวมของความดน( P) พลงงานจลนตอหนงหนวยปรมาตร และ พลงงานศกยโนมถวงตอหนง หนวยปรมาตร ณ ต าแหนงใด ๆ ภายในทอทของไหลผานมคาคงตวเสมอ ‛ ( ซงจรงๆ กคอ กฎอนรกษพลงงาน ของของไหลนนเอง )

2

2

221

2

112

1

2

1ghvPghvP

หรอ

พลงงานจลนตอหนงหนวยปรมาตร 22

2

1

2

1v

V

mv

พลงงานศกยโนมถวงตอหนงหนวยปรมาตร ghV

mgh

อาจเขยนเปน

12

2

1

2

2212

1hhgvvPP

ในกรณท 21 hh

2

1

2

2212

1vvPP

ghvP 2

2

1 = คาคงท

V

m โดยท

Fluid

FluidP

V1



144

ก. P0 > P1 > P2 ข. P0 > P2 > P1 ค. P1 > P2 > P0 ง. P1 > P0 > P2

การประยกตสมการแบรนลล

อปกรณพนสสเปรย

หลอด แมนอมเตอร

23. (มช.52) จากรปของอปกรณพนสดานขาง ขอใดแสดงความสมพนธระหวางความดน P1 , P2 และ

P0(ความดนบรรยากาศ) ขณะทท าการพนสไดถกตอง

ความแตกตางของ ความดน P1 > P0 > P2 ท าใหเกดแรงดด

2

1

2

2212

1vvPP

ghPP 21



145

24. (มช.40) ของเหลวชนดหนงไหลอยางตอเนองโดยไมมการหมน ไปตามทอกลมซงมพนทหนาตดไมสม าเสมอกนตลอดความยาวทอดงแสดงในรป ใหหาความสง d ทแสดงในรป ในหนวยของเซนตเมตร ถา A1 / A2 เทากบ 5/3 และ V1 เทากบ 60 เซนตเมตร/วนาท

ก. 3.2 ค. 4.8 ข. 3.0 ง. 2.8

แรงยกปกของเครองบน-หลงคาบาน

เนองจากระยะทางของปก สวนบน และสวนลาง ไมเทากน(บน > ลาง) แตอากาศเคลอนทไปพรอมกน

ทงขางบนและขางลาง (ใชเวลาเทากน) จาก t

sv

ดงนน อากาศขางบนปกมอตราเรวมากกวา อากาศขางลางปก จากหลกของแบรนลล ความดนอากาศขางบนนอยกวาความดนขางลางปก vบน > vลาง ดงนน Pบน < Pลาง

สามารถหาแรงยกปก (F) ของเครองบนไดจาก

ถาเปนแรงยกของหลงคาบาน ลกษณะดงรป ความเรวลมใตหลงคาเปนศนย

2

1

2

2212

1vvPP

F = (Pลาง- Pบน).A = mg

เมอ A คอ พนทปกเครองดานลาง



146

25. เครองบนล าหนงตองมแรงยก 20 นวตนตอตารางเมตร จงจะสามารถบนขนได ถาความเรวของอากาศทพดผานสวนลางของปกเทากบ 300 เมตร/วนาท ใหหาความเรวอากาศทพดผานสวนบนของปก ก าหนดใหความหนาแนนของอากาศขณะนนเปน 1.29 x 10- 3 kg/m3 (348 m/s)

สมการของ ทอรรเชลล (Torricelli ‘s Equation)

หา ความเรว ของน าทพงออกจาก ภาชนะทเจาะร ดงรป

จาก 2211 vAvA

เนองจาก A1 >> A2 ดงนน V2 >> V1 ( V1= 0)

2

2

221

2

112

1

2

1gHvPgHvP

2

2

201

2

102

1

2

1gHvPgHvP

212 2 HHgv

ยงระดบน า h สง ความเรวกจะมาก นนคอ พงไปไดไกล สวนระยะทาง S สามารถหาไดจากการเคลอนทแบบโปรเจกไทล

ghv 22



147

26. จากรป จงหาคา V2 และ ระยะ L (102.83 m)



148

Homework 1. (มช.52) ดาวฤกษดวงหนง มมวลและเสนผานศนยกลางเปน 4 และ 2 เทา ของมวลและเสนผาน

ศนยกลางของดวงอาทตย ตามล าดบ ดาวฤกษนจะมความหนาแนนเปนกเทาของดวงอาทตย ( ½ เทา)

2. ตะกวความหนาแนน 11,300 kg/m3 ผสมกบดบกความหนาแนน 7,300 kg/m3 เพอใหไดโลหะ

ผสม (alloy) ทมความหนาแนน 9,000 kg/m3 จงหาอตราสวนของตะกวตอดบก โดย มวล และโดยปรมาตร (1.15 : 1 , 1 :1.35 )

3. หญงคนหนงมวล 50 kg สวมรองเทาสนสง โดยสนรองเทามลกษณะเปนวงกลมรศม 0.5 cm เมอ

เธอยนดวยสนทงสองขาง อยากทราบวาจะมความดนเกดขนทพนก N/m2 (3.1 x 106 N/m2 ) 4. น ามนเครองมวล 1430 กโลกรม บรรจในถงรปทรงกระบอก ซงมเสนผาศนยกลาง 0.7 เมตร จง

ค านวณหาความดนทกนถง (ใชคา g = 9.8 m/s2 ) (36400 N/m2)

5. ความดนเกจทกนแกวรปทรงกระบอกจะมคาเทาใด เมอใสน าลงไปสง 15 cm (1,500 Pa) 6. ภาชนะดงรป มพนทกนภาชนะ A = 0.05 ตารางเมตร มของเหลวบรรจอยสง h = 10 cm ถาของเหลว

มปรมาตรทงหมด 0.006 ลกบาศกเมตร และมมวล 5.4 kg ความดนทของเหลวกระท าตอกนภาชนะเปนกนวตนตอตารางเมตร (900)

7. จดทอยลกจากผวน า 6 เมตร มคาความดนสมบรณกนวตนตอตารางเมตร ใหความดนบรรยากาศ

เทากบ 105 N/m2 และความหนาแนนของน าเทากบ 1.0 x 103 kg/m3 (1.60 x 105 Pa)

8. (En.43) หลอดแกวรปตวย บรรจน าภายใน ใสน ามนชนดหนงซงไมละลายน า และมความหนาแนน

0.8 กรม/ลกบาศกเซนตเมตร ทดานขวาสง 10 เซนตเมตร ระดบผวของน าดานซายมอ จะต ากวาระดบผวบนของน ามนดานขวามอเทาใด (2 cm)



149

27. ของเหลว 3 ชนด อยในสภาวะสมดลในหลอดแกวรปตวย ดงรป ความหนาแนนของของเหลวชนดทหนง และ ชนดทสอง มคา 4.0 x 103 และ 3.0 x 103 kg/m3 ตามล าดบ ความหนาแนนของของเหลวชนดทสามมคาก kg/m3

9. (En.34) ถาระดบน าในตปลารปสเหลยมเพมขนเปน 2 เทา แรงทงหมดทน ากระท าตอดานขางของต

ปลา จะเพมขนเปนกเทา ( 4 เทา)

10. (En.43) เนองจากฝนตก ท าใหระดบน าเหนอเขอนเพมขนจาก 8 เมตร เปน 10 เมตร แรงดนทน า

กระท าตอเขอนจะเพมขนจากเดมกเปอรเซนต ถาความกวางของเขอนคงตว (56.25 %)

11. เครองอดไฮดรอลกเครองหนง ลกสบเลกมพนทหนาตด 3 cm2 ลกสบใหญมพนทหนาตด 24 cm2

ถาออกแรงกดทลกสบเลก 10 นวตน จะเกดแรงยกทลกสบใหญเทาใด และการไดเปรยบเชงกลเปนเทาใด (80 นวตน , 8 เทา)

12. คานโยกในเครองอดไฮโดรลก ดงรป มระยะ X และ Y เทากบ 10 และ 40 cm ตามล าดบ มขนาด

พนทหนาตดของลกสบเลก และลกสบใหญเปน 2.5 และ 125 cm2 ตามล าดบ เมอตองการยกของหนก 1,000 กโลกรม จะตองออกแรงทปลายคนโยกกนวตน (50 N)

13. ลกสบเลกของเครองอดไฮดรอลกมพนท 20 ตารางเซนตเมตร มมวล 200 กโลกรมวางอยบนลกสบ

ลกสบใหญมพนท 1000 ตารางเซนตเมตร น ามนในเครองอดมความหนาแนน 1000 กโลกรม/ลกบาศกเมตร ถาเครองอดอยในสมดลขณะทน ามนในลกสบใหญมระดบสงกวาในลกสบเลก 1 เมตร จะตองวางมวลบนลกสบใหญเทากบกกโลกรม



150

14. ทอนไมรปลกบาศกมปรมาตร 1 m3 ในไปลอยในน า เมอออกแรงกด 2 kN ปรากฏวาผวบนอยสงกวาระดบน า 20 cm จงหาความถวงจ าเพาะของทอนไม ( ก าหนด น า = 103 kg/m3) (0.6)

15. (PAT.53) ของเหลว A มความหนาแนนเปน 1.2 เทาของ B เมอน าวตถหนงหยอนลงในของเหลว B

ปรากฏวามปรมาตรสวนทจมลงเปน 0.6 เทาของปรมาตรทงหมด ถาน าวตถนหยอนลงในของเหลว A ปรมาตรสวนทจมลงในของเหลว A เปนสดสวนเทาใดของปรมาตรทงหมด

ก. 0.4 ข. 0.5 ค. 0.6 ง. 0.8

16. (มช.41) วตถกอนหนงชงได 10 กโลกรม ในอากาศ , 8 กโลกรม ในน า และ 8.5 กโลกรมในน ามนชนดหนง ความหนาแนนของน ามนชนดนเปนก kg/m3 (750)

17. (En 42) ขวดใสลกกวาดทรงกระบอกใบหนงมเสนผาศนยกลาง10 เซนตเมตร ลอยอยในน าดงรป จง

ค านวณวาขวดและลกกวาดมมวลรวมกนเทากบเทาไร (1570 g) ก าหนด ใช 14.3

18. วตถมวล 4 กโลกรม ความหนาแนน 8000 kg/m3 ผกดวยเชอกเบา เมอน าไปหยอนลงใน

ของเหลวทมความหนาแนน 900 kg/m3 ทบรรจในภาชนะดงรป จงหาแรงพยงทของเหลวกระท าตอวตถมคากนวตน (4.5 นวตน)

19. วงแหวนรศม 14 เซนตเมตร มมวล 15 กรม วางลอยอยบนผวของเหลวทมคาความตงผว 0.05 นวตนตอเมตร แรงดงนอยทสดทพอดดงวงแหวนใหลอยจากผวของเหลวเปนเทาใด

20. ในการทดลองวดความตงผวของของเหลวชนดหนง โดยใชเครองมอดงรป จะตองใชมวลส าหรบแขวน

น าหนกจ านวน 30 g จงจะท าใหหวงวงกลมรศม 7 cm หลดจากผวของเหลวพอด จงหาคาความตงผวของของเหลวน



151

21. จงหาความเรวปลายของลกเหลกทรงกลมรศม 2 มลลเมตร ในกลเซอรน ก าหนดให ความหนาแนนของเหลก และ กลเซอรน เทากบ 7.9 x 103 kg/m3 และ 1.3 x 103 kg/m3 ตามล าดบ และ ความหนดของกลเซอรนเทากบ 0.833 N.s/m2 (0.07 เมตร/วนาท)

22. (มช 48) เมดเลอดมอตราการไหลเปน 3 ลกบาศกเมตรตอวนาท ในเสนเลอดใหญรศม 0.3 เซนตเมตร

ไหลไปสเสนเลอดเลกลงทมรศม 0.1 เซนตเมตร อตราเรวของเมดเลอดในเสนเลอดเลกจะมคาก

เซนตเมตรตอวนาท (ส าหรบขอนเทานน ใหใช = 3)

23. ทอดบเพลงดงรป ถาตองการใหน าพงออกดวยอตราเรว 24 m/s จงหาอตราเรวของน าทไหลในทอใหญ เมอขนาดเสนผาศนยกลางของทอใหญและเลกเปน 8 และ 4 cm ตามล าดบ (6 m/s)

24. เครองบนล าหนงตองการแรงยก 900 นวตน/ตารางเมตร จงจะสามารถบนขนได ถาความเรวของ

อากาศทพดผานสวนลางของปกเทากบ 100 เมตร/วนาท ใหหาความเรวของอากาศทพดผานสวนบนของปก เพอใหไดแรงยกตามก าหนด ( ของอากาศขณะนนเปน 1.2 kg/m3) (107.24 m/s)

25. น าไหลในทอดวยอตราการไหล 12 ลกบาศกเมตรตอนาท ทอนผานจด 2 จด ซงระดบตางกน 0.5

เมตร จดทระดบสง มพนทหนาตด 4 x 10– 2 ตารางเมตร มความดนน า 105 นวตน/ตารางเมตร สวนจดทอยระดบต ามพนทหนาตด 8 x 10– 2 ตารางเมตร จงหาความดนน าในทอทจดระดบต า

( 1.14 x 105 N/m2)



152

212 373.16 100 R 0 C

0 F K 80

0 273.16 0 32

80 ชอง 100 ชอง 100 ชอง 180 ชอง

ความรอน (Thermal)

ความรอน (Thermal) เปนพลงงานรปแบบหนง ซงสามารถถายโอน และเปลยนรปพลงงานได (แตมหลกส าคญทวา ความรอนไมสามารถเปลยนเปน งานไดเตม 100 %)

หนวยของพลงงานความรอน ในระบบ SI มหนวยเปน จล (J) แตยงมอกหลายหนวย ทนยมใช เชน .........เชน แคลอร บทย

พลงงาน 1 แคลอร คอ พลงงานความรอนทท าใหน า 1 กรม มอณหภมเพมขน 1 0 C พลงงาน 1 บทย (BTU ; British Thermal Unit) คอ พลงงานความรอนทท าใหน า 1 ปอนด มอณหภมเพมขน 0 F

โดยท

การบอกระดบของพลงงานความรอนกคอ อณหภม (Temperature) สามารถอานคาไดจากแทง เทอรมอมเตอร(Thermometor) ซงมหลายหนวย เชน... องศาเซลเซยส หรอ องศาเซนตเกรด 0 C , องศาฟาเรนไฮต 0 F , โรเมอร R (ส าหรบหนวย SI เราใชเปน เคลวน (K) โดยทสเกลของแตละหนวยเปนดงน

โดยทสเกลเรมตน จะเรมทจดเยอกแขงของน า และ สเกลสดทายจะเปนจดเดอดของน า

32212

32

0100

0

080

0

FCR 180

32

10080

FCR

จะไดความสมพนธ ดงน...... และ

1 cal = 4.186 J 4.2 J 1 BTU = 252 cal 1055 J แลวแตโจทยจะก าหนดให

9

32

54

FCR 273CK



153

T

QC

1. เพอชวยลดปญหาโลกรอน ควรเปดแอรท 77 0 F หรอเทากบก 0 C และก เคลวน

ความรอนกบการเปลยนอณหภมของสาร (อณหภมเปลยน แตสถานะไมเปลยน)

เมอใหพลงงานความรอนจ านวนหนงแกสารแตละชนด จะท าใหสารมอณหภมเพมขนตางกน ซงขนอยกบคา ความจความรอน (Heat Capacity) ของสารแตละชนด (ความสามารถ ในการเกบกกความรอนไวในตวสาร)

ความจความรอน : C ของสาร คอ อตราสวนของพลงงานความรอนทใหกบสาร Q กบ อณหภมของสารทเปลยนไป T

นนคอ ( หนวย J/K ) หรอ Cal/g แตถาสารชนดเดยวกน ซงมมวลตางกน แมไดรบความรอนเทากน แตอณหภมจะเพมขน ไมเทากน (มวลนอย อณหภมจะเพมมากกวา)

ดงนน ถาตองการเทยบกบสารทมมวลเทากน คอ 1 กโลกรม ตองหารดวยมวล m ของสารดวย

นนคอ T

Q

mm

C

.

1 T

Q

mc

.

1

ถาใหคา m

Cc ( c ; ความจความรอนจ าเพาะของสาร Specific Heat Capacity )

(หนวย จล/กโลกรม.เคลวน.....J/kg.K) หรอ Cal/g. 0 C

จะได .................* QC

ความยาก และปญหาอยทหนวย นะครบ ตองcheck ใหสมพนธกน

TmcQ



154

คา L ทควรตองร เชน …

ความรอนกบการเปลยนสถานะของสาร (ความรอนแฝง) สถานะเปลยน แตอณหภมไมเปลยน

ความรอนแฝงจ าเพาะ ของการเปลยนสถานะสาร คอ ความรอนทท าใหสาร 1 หนวย เปลยนสถานะ (โดยทอณหภมไมเปลยน) เมอ น าแขง หลอมเหลวกลายเปนน าหมด พอด อณหภมยงคงเทากบ 0 0C เมอน า เดอดกลายเปนไอน า อณหภม ของไอน ายงคงเทากบ 100 0C

ความรอนแฝงจ าเพาะ. .............** QL

L คอ ความรอนแฝงจ าเพาะของการ…..

Lm (น าแขง) = 80 cal/g = 336 J/g

Lv (น า) = 540 cal/g = 2268 J/g

ตวอยาง ไดอะแกรม แสดงการเปลยนสถานะและอณหภมของสาร เมอไดรบความรอน

สรป TmcQ ……….อณหภมเปลยน ความรอน Q mLQ ………..สถานะเปลยน

mLQ



155

2. (มช.41) วนหนงในฤดหนาว คนคนหนงจะหายใจเขาเอาอากาศทมอณหภม 22 องศาเซลเซยส และหายใจเอาอากาศออกดวยอณหภม 37 องศาเซลเซยส ถาปรมาตรเฉลยของการหายใจ 1 ครง เปน 100 ลกบาศกเซนตเมตร และใน 1 นาทเขามการหายใจ 10 ครง จงหาปรมาณความรอนในหนวยกโลจล ทอากาศรบจากรางกายในเวลา 1 วน (27 kJ)

ก าหนด ความหนาแนนของอากาศ = 1.25 กโลกรม/ลกบาศกเมตร ความจความรอนจ าเพาะของอากาศ = 1000 จล / กโลกรม.องสาเซลเซยส

3. (มช.53) เมอใชกระตกตมน าไฟฟาขนาด 240 โวลต และก าลง 1,200 วตต ตมน า 1 ลตร จากอณหภม

40 องศาเซลเซยส จนถงน าเดอดพอดทอณหภม 100 องศาเซลเซยส จะใชเวลากนาท ถากระตกน ามประสทธภาพ 100 เปอรเซนต

ก. 0.83 ข. 3.5 ค. 17.5 ง. 21.0



156

4. (En.44) จงหาปรมาณความรอนทท าใหน าแขงมวล 100 กรม อณหภม 0 องศาเซลเซยส กลายเปนน ามวล 100 กรม อณหภม 10 องศาเซลเซยส ก าหนดให ความจความรอนจ าเพาะของน าเทากบ 4,200 จล/กโลกรม.เคลวน และความรอนแฝงจ าเพาะของการหลอมเหลวของน าแขงเทากบ 333 กโลจล/กโลกรม

ก. 33.7 kJ ข. 37.5 kJ ค. 75.3 kJ ง. 423.3 kJ เขยน Diagram

5. ถาน าน ามวล 1 กโลกรม อณหภม 20 0C ใสในตแชแขง ซง สามารถดดความรอนไดวนาทละ 345

จล นานก นาท น าจ านวนนจงจะกลายเปนน าแขงหมด ก าหนด ความจความรอนจ าเพาะของน าเทากบ 4.2 kJ / kg.K ความรอนแฝงจ าเพาะของการหลอมเหลวของน าแขง = 330 kJ / kg ก. 12 นาท ข. 20 นาท ค. 24 นาท ง. 48 นาท

เขยน Diagram



157

สมดลทางความรอน (Thermal Equilibrium)

เมอน าวตถ ทมอณหภมตางกนมาแตะกน หรอ มาผสมกน จะเกดการถายโอนความรอนขน

โดยท พลงงานความรอนจากวตถทอณหภมสงกวา จะถายเทไปใหวตถทมอณหภมต ากวา เมอ อณหภมเทากน กจะหยดการถายโอนความรอน

นนคอ วตถอยในภาวะสมดลทางความรอน เรยกอณหภมทเทากนนนวา อณหภมสดทาย

ใชหลกการวา ความรอนอนหนงทลดลง จะเทากบ ความรอนของอกอนทเพมขน

............***

อณหภมสง อณหภมผสม อณหภมต า น ารอน + น าเยน = น าอน

การถายโอนความรอน (Heat transfer) เกดขนได 3 แบบ คอ

การน าความรอน (Thermal conduction) ....โมเลกลสารไมไดเคลอนทไปพรอมความรอน การพาความรอน (Thermal convection)…..โมเลกลสารเคลอนทพาความรอนไป การแผรงสความรอน (Thermal radiation)...ความรอนเคลอนทไป ในรปคลนแมเหลกไฟฟา

วธการ ใหมการถายโอนความรอนเกดขนกบระบบนอยทสด เชน..ใชวสดทม คาการน าความรอน ต า เชน ใชโฟม ไยหน ฉนวนกนความรอน หรอ การท าใหเปนสญญากาศ

Qลด = Qเพม



158

6. น า 100 กรม อณหภม 10 0C ผสมกบน า 20 กรม อณหภม 60 0C จงหาวาอณหภมผสมเปนเทาไร

ก. 18.3 0C ข. 32.4 0C ค. 43.3 0C ง. 51.2 0C

7. (มช.52) น ากอนอลมเนยมมวล 500 กรม อณหภม 327 องศาเซลเซยส จมลงในน าทมอณหภม 27

องศาเซลเซยส ปรมาตร 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร ซงบรรจอยในภาชนะทเปนฉนวน แลวปลอยทงไว จงหาวาอณหภมสดทายของน ามคาเปนเทาใด โดยใหคดวาภาชนะฉนวนใหหรอรบความรอน นอยมาก ก าหนดให ความหนาแนนของน าคงท = 1 กรมตอลกบาศกเซนตเมตร ความจความรอนจ าเพาะของอลมเนยม = 0.9 กโลจล/กโลกรม.เคลวน ความจความรอนจ าเพาะของน า = 4.2 กโลจล/กโลกรม.เคลวน



159

8. (มช.40) นาย ลโอ พฒตองการดมชาเยน เขาจงเทชา น าตามและผสมนมในน ารอนไดปรมาณชาทปรงแลว 1 แกว (250 ลกบาศกเซนตเมตร) มอณหภม 50 องศาเซลเซยส เพอทจะท าใหน าชานเยนลง เขาจงเตมน าแขงทอณหภม 0 องศาเซลเซยส ลงไปจ านวน 200 กรม ถาอณหภมผสมเปน 0 องศาเซลเซยส พอด ถามวามน าแขงเหลออยกกรม (40 กรม)

ก าหนด ความจความรอนจ าเพาะของน าชา = 4.0 กโลจล/กโลกรม เคลวน ความหนาแนนของน าชา ณ อณหภมใด ๆ = 1000 กโลกรม/ลกบาศกเมตร ความรอนแฝงจ าเพาะของการหลอมเหลวของน า = 312.5 กโลจล/กโลกรม (ไมตองคดการสญเสยพลงงานความรอนใหกบภาชนะหรอสงแวดลอม)

หามวลน าชา



160

Homework

1. อณหภมของรางกายเราปกต เทากบก 0 F 2. ยงกระสนปนทองแดงดวยความเรว 385 m/s ถา 3 ใน 4 ของพลงงานจลนเปลยนไปเปนพลงงาน

ความรอน จงหาวากระสนปนจะมอณหภมเพมขนเปนเทาใด ถาเดมกระสนมอณหภม 27 0C และคาความจความรอนจ าเพาะของทองแดงเปน 0.385 kJ/kg.K (171.38 0C)

9. ถาใชหมอตมน าไฟฟาขนาด 220 โวลต 1000 วตต ตมน า 1 ลตร อณหภม 20 องศาเซลเซยส น าจะ

เรมเดอดภายในเวลากนาท ถากาตมน ามประสทธภาพรอยละ 80 (ความจความรอนจ าเพาะของน า = 4.2 kJ / kg.K)

ก. 7 นาท ข. 9 นาท ค. 12 นาท ง. 15 นาท 3. (En 38) น าไหลผานเครองท าความเยนขนาด 5,000 วตต ดวยอตราเรวคาหนง เครองท าความเยน

สามารถท าใหน าเยนจากอณหภม 25 องศาเซลเซยส เปน 10 องศาเซลเซยส ถาประสทธภาพของการท าความเยนเปน 100 เปอรเซนต อตราการไหลของน าเปนก ลตรตอนาท ( 4.8 ) ก าหนด ความหนาแนนของน า 1 กโลกรม ตอ ลตร

ความจความรอนของน า 4.18 กโลจล ตอ กโลกรม–เคลวน 4. น าแขง 50 กรม อณหภม 0 องศา จะเปลยนสถานะกลายเปนน า อณหภม 0 องศา ตองไดรบ

พลงงานความรอนก กโลจล ก าหนด Lm (น าแขง) = 80 cal/g ; 1 cal = 4.2 จล) (16.8 k J ) 5. ถาตองการใหน าแขงมวล 1 kg อณหภม - 10 องศาเซลเซยส กลายเปนน าทอณหภม 100 องศา

เซลเซยสทงหมด จงหาวาจะตองใชพลงงานความรอนกกโลจล (772 kJ) ความจความรอนจ าเพาะของน าแขง = 2.10 กโลจลตอกโลกรมเคลวน ความจความรอนจ าเพาะของน า = 4.18 กโลจลตอกโลกรมเคลวน ความรอนแฟงจ าเพาะของการหลอมเหลวของน าแขง = 333 กโลจลตอกโลกรม

6. น าแขง 200 กรม ท - 20 0C จะกลายเปนน า 200 กรม ท 60 0C จะตองไดรบปรมาณความรอน

เทาใด ก าหนดใหความจความรอนจ าเพาะของน าแขงเทากบ 2.0 x 103 จล / กโลกรม.เคลวน

(ใช Lm (น าแขง) = 80 cal/g และ Lv (ไอน า) = 540 cal/g ) (125.6 กโลจล)



161

7. (มช.45) แทงเหลกมมวล 100 g น าไปอบใหรอนโดยใชไอน าจนมอณหภม 100 0C หยอนแทงเหลกลงในน ามวล 200 g อณหภม 24 0C ตงทงไว สดทายแทงเหลกและน ามอณหภมก องศาเซลเซยส ก าหนดให ความจความรอนจ าเพาะของน าและเหลกเทากบ 4.18 และ 0.45 กโลจลตอกโลกรมตอเคลวน ตามล าดบ และไมคดพลงงานทถายโอนใหกบภาชนะและสงแวดลอม (27.9 0C )

8. (มช.37) แทงเหลกมมวล 1 kg เผาใหรอนจนมอณหภม 200 0C หยอนลงในภาชนะทมน า 100 g

และ น าแขง 100 g อณหภม 0 0C จงหาอณหภมผสมสดทาย ก าหนดใหความจความรอนจ าเพาะของน า และ เหลกมคาเทากบ 4.18 และ 0.45 กโลจลตอกโลกรมเคลวน ตามล าดบ และคาความรอนแฝงจ าเพาะของการหลอมเหลวของน าเทากบ 333 kJ/kg ( 44.1 0C )

9. พนไอน าอณหภม 100 0 C จ านวน 10 กรม ลงในถวยซงมน าแขง อณหภม 0 0C จ านวน 200

กรม บรรจอย ใหหาอณหภมสดทาย และ หาวาน าแขงละลายไปกกรม (0 0C , 80 กรม) (ก าหนด cไอน า = 26.64 kJ/kg.K และ Lm ของน าแขง = 333 kJ/kg )



162

ทฤษฎจลนของแกส (Kinetic Theory of Gas)

แกสอดมคต (Ideal Gas) ในการศกษาเรองแกส (gas) เราจะใชทฤษฎจลนของแกสเปนส าคญ (Kinetic Theory of Gas)

ใน สวนอน ๆ ทศกษาเรองแกส กม เชน..... Thermodynamics (อณหพลศาสตร) เปนการศกษาปรมาณทเปน macroscopic (มหภาค)

เทานน เชน ความดน อณหภม และ ปรมาตร ซงจะไมพดถง อะตอม หรอ โมเลกลของแกส และก ศกษาเกยวกบการถายโอนความรอน การท างานของระบบและสงแวดลอม ซงจะไดศกษา ตอไป

เพอใหงายตอการศกษาสมบตตาง ๆ ของแกสจรงในธรรมชาต เราจะพจารณา แกสอดมคต ซงมคณสมบตดงจะไดอธบาย ในเรอง ทฤษฎจลนของแกส ตอไป...

ปรมาณ แกส 1 โมล (mole) จะมจ านวนอะตอม (หรอ โมเลกล) เทากบ เลขอโวกาโดร ; NA

(Avogadro’ number ; NA ) ซงเทากบ 6.02 x 1023 mol- 1

ถา n เปนจ านวนโมล และ N เปนจ านวนอะตอม หรอ โมเลกลของแกส

จะไดวา AN

Nn หรอ ANnN .

และ ถา g เปนมวลของแกส (กรม) และ M.W เปนมวลโมเลกลของแกส (กรม) จะไดวา

1. แกสคารบอนไดออกไซด (CO2) จ านวน 66 กรม จะมกโมล และมทงหมดกโมเลกล

2. แกสมเทน (CH4) ปรมาณ 2 โมล หนกกกรม และมกโมเลกล

AN

N

WM

gn

.



163

ในการศกษาแกส มนกวทยาศาสตรอยหลายทาน……

กฎของบอยล (Boyle’s Law)

พบวา ส าหรบแกสในภาชนะปด ถาอณหภม (T) ของแกสคงตว ปรมาตรของแกส (V)

จะแปลผกผนกบความดน (P) ของแกส นนคอ P

V1

เมอ T คงตว

จะได หรอ ..…..*

แสดงไดดงกราฟ ปรมาตรลด…ความดนเพม

กฎของชารลส (Charles’Law)

พบวา ส าหรบแกสในภาชนะปด ถาความดน (P) ของแกสคงตว ปรมาตร (V) ของแกส จะแปลผนตรงกบ อณหภม (T) ของแกส นนคอ TV เมอ P คงตว จะได หรอ ……..**

แสดงไดดงกราฟ

kPV (คาคงตว)

kT

V (คาคงตว)

2

2

1

1

T

V

T

V

2211 VPVP



164

กฎของเกย-ลสแซก (Gay- Lussack’s Law)

พบวา ส าหรบแกสในภาชนะปด (V) คงตว ความดน (P) ของแกส จะแปลผนตรงกบ อณหภม (T) ของแกส นนคอ TP เมอ V คงตว

จะได หรอ ……..***

กฎของแกส (Gas Law)

เมอรวม กฎของบอยยล ชารลส และ เกย- ลสแซก เขาดวยกน นนคอ P

TV

จะได หรอ ……..****

หมายเหต หนวยของความดน (P) หรอ ปรมาตร (V) จะใชหนวยอะไรกไดในการค านวณ แตทงสองขางของสมการตองเปนหนวยเดยวกน ส าหรบ หนวยของอณหภม (T) ตองใชเปน หนวย เคลวน (K) เทานน

3. (PAT.53) พจารณาขอความตอไปน

ก. ทอณหภมคงตว ปรมาตรแปรผนตามความดน ข. ทความดนคงตว อณหภมแปลผนตามปรมาตร ค. ในระบบปด ผลคณของความดนกบปรมาตร แปลผนตามอณหภม

ขอใดเปนสมบตของแกสอดมคต 1. ก และ ข 2. ก และ ค 3. ข และ ค 4. ก ข และ ค

kT

PV (คาคงท)

2

22

1

11

T

VP

T

VP

kT

P (คาคงท)

2

2

1

1

T

P

T

P



165

4. (มช.45) แกสชนดหนงมปรมาตร 1 x 10- 3 ลกบาศกเมตร ท 27 0C ความดน 1 บรรยากาศ ขยายตวขนมปรมาตรเปน 1.5 x 10 - 3 ลกบาศกเมตร และความดนเปน 1.1 บรรยากาศ จงหาอณหภมสดทายของแกสนวาเปนกองศาเซลเซยส

ก. 49.5 ข. 495 ค. 22.2 ง. 222

5. ลกโปงบรรจอากาศ ถกน าลงไปใตน าทความลกระดบหนง ปรากฏวา ปรมาตรของลกโปงลดลง

ครงหนง ถาถอวาอณหภมมการเปลยนแปลงนอยมาก จงหาระดบความลกต าแหนงนน (ก าหนดให ความหนาแนนของน าเทากบ 1000 kg/m3 , 1 atm = 105 N/m2) ก. 10 เมตร ข. 20 เมตร ค. 30 เมตร ง. 40 เมตร



166

จากกฎรวมแกส k

T

PV (คาคงท)

คาคงท (k) ในสมการ จะคงทเฉพาะแกสหนง ๆ เทานน และจะเปลยนไป ถาแกสตางชนดกน

จากการศกษา พบวา (k) แปลผนโดยตรงกบจ านวน โมล (mol) ; n ของแกสนน ๆ

นนคอ nT

PV หรอ Rn

T

PV

เพราะฉะนนจะได เมอ R คอ คาคงทของแกสทวไป (Gas Constant) ซงกเรยกวา กฎของแกส มคาประมาณ 8.314 J/mol.K

การหาคาคงทของแกส (คานจของแกส) ; R

ใชความรจากวชาเคม ทวา ‚ แกส ปรมาณ 1 mole จะมปรมาตร 22.4 dm3 หรอ 22.4 x 10- 3 m3 ท STP ‛ ( Standard of Temperature and Pressure ) คอท อณหภม 00 C ความดน 1 atm

จาก nRTPV 2731

104.2210013.1 35

xx

R

R = 8.31 J/mol.K

จาก n (mol) = 3

33

3

3

104.224.22104.22..

x

mVdmV

x

cmV

WM

g

N

N

A

แทนคาใหม RTN

NPV

A

TN

RN

A

เพราะฉะนนจะได เมอ kB คอ คาคงทของโบลตมนน

(Boltzmann’s constant)

231002.6

31.8

xN

Rk

A

B มคาประมาณ 1.38 x 10- 23 J/K

nRTPV

TNkPV B



167

คา kB กจะเปลยนตาม

ถาใช V (m3) ....... R = 8.31 J/mol.K V (cm3) ....... R = 8.31 x 106 J/mol.K V (dm3) ....... R = 8.31 x 103 J/mol.K

nRTPV กฎของแกส (อดมคต)

TNkPV B

(Gas Laws) ซงปกตก ใชไดกบแกสทวๆไป ยกเวนกรณทแกสก าลงเปลยนสถานะ

ควรใช P (N/m2) , V (m3) , T (K) !! เพราะถาเปนหนวยอน จะท าใหคาคงท R และ kB เปลยนแปลงไปดวย

สมการของแกสขางตน ไมสามารถน ามาใชกบแกสธรรมชาตไดทกกรณ ถาอณหภม

ของแกสต ามาก ๆ และ ความดนสงมากไป สมบตของแกสธรรมชาตจะตางจากแกสอดมคต

ปจจบนพบวา ยงไมม สมการใดสามารถอธบายคณสมบตของแกสธรรมชาตไดทก P V และ T

6. (มช.35) ถงกาซใบหนงมปรมาตร 10 ลตร ถาบรรจกาซไฮโดรเจน (มวลโมเลกลเทากบ 2) ซงมอณหภม 27 องศาเซลเซยส ลงไปในถงจนมความดน 24.93 x 105 นวตนตอตารางเมตร จงหา...

1. จ านวนโมลของกาซไฮโดรเจนในถง (10 โมล) 2. กาซไฮโดรเจนในถงจะมความหนาแนนกกโลกรมตอลกบาศกเมตร (2 kg/m3)



168

หากมการเปลยนแปลงของแกสในระบบ เชน แกสรวออก (แบบ 2 states) 2 สภาวะ

จากสมการ nRTPV หรอ RnT

PV (constant)

และจากสมการ TNkPV B หรอ BkNT

PV (constant)

สามารถเขยนไดเปน และ

และ mNn จาก V

m

7. (En.36) ภาชนะปดทมปรมาตร 4.15 ลกบาศกเมตร บรรจกาซทมความดน 6 x 104 นวตน/ตาราง

เมตร ทอณหภม 27 องศาเซลเซยส ถาปลอยใหกาซนรวออกจากภาชนะจนความดนเหลอ 4

1 ของ

ความดนเดมและอณหภมเทาเดม จงหาจ านวนโมลของกาซทรวออกไป (ก าหนดให R = 8.3 J/mol.K) (75 โมล)

22

22

11

11

TN

VP

TN

VP

22

22

11

11

Tn

VP

Tn

VP

22

2

11

1

T

P

T

P

22

22

11

11

Tm

VP

Tm

VP



169

8. ถาความหนาแนนของกาซทอณหภม 27 0C ความดน 1 บรรยากาศ มคาเทากบ 1.3 กโลกรมตอลกบาศกเมตร จงค านวณหาความหนาแนนของกาซนทอณหภม 127 0C และความดน 2 บรรยากาศ

ก. 0.55 kg/m3 ข. 0.81 kg/m3 ค. 1.95 kg/m3 ง. 2.35 kg/m3

การค านวณแกสผสมทไมท าปฏกรยาเคมกน (หาอณหภมผสม)

โดยท P V และ T เปน ความดนรวม ปรมาตรรวม และ อณหภมรวมของแกส

RTnnPV ...21 หรอ ...21 V

RTn

V

RTnP

= P1 + P2 +…

TkNNPV B...21 ความดนผสม PV = P1 V1 + P2V2 +…

เมอ P1 และ P2 เปนความดนยอยของแกสแตละชนด

หาอณหภมผสม ( T ) จาก (พสจนจากสมการขางตน)

เมอ n อาจเปน จ านวนโมล จ านวนโมเลกล หรอ ความหนาแนน กได และ ใช 0 C , K กได

9. (En.33) กาซฮเลยม 1 โมล ทอณหภม 300 เคลวน ผสมกบกาซอารกอน 3 โมล ทอณหภม 400

เคลวน กาซผสมจะมอณหภมเทาไรในหนวยเคลวน (375)

...2211 TnTnnT



170

ทฤษฎจลนของแกส (Kinetic Theory of Gas)

แบบจ าลอง (Model) ของแกสอดมคต แกสอดมคตตองมคณสมบตดงน

1. แกสประกอบไปดวยโมเลกลจ านวนมาก ทกโมเลกลมลกษณะเปนกอนกลม ทมขนาด เทากน มความยดหยนสง โมเลกลเหลานชนกน และ ชนกบผนงแบบยดหยนสมบรณ

2. ถอวาปรมาตรรวมของโมเลกลของแกสมคานอยมาก เมอเทยบกบปรมาตรของแกสทงภาชนะ เพราะฉะนนจะไมคดปรมาตรของโมเลกลของแกส

3. ไมมแรงใด ๆ กระท าตอโมเลกล ไมวาจะเปนแรงผลก หรอแรงดงดด ระหวางโมเลกล หรอ แมแตแรงโนมถวงของโลกดวย

4. การเคลอนทของโมเลกลแกสเปน การเคลอนทแบบบราวน (สะเปะสะปะ ไรระเบยบ ไมมทศทางทแนนอน)

5. พลงงานจลนเฉลยของการเคลอนทของโมเลกลของแกสจะแปลผนตรงกบอณหภมเคลวน TEk ตามสมมตฐานของแบรนลล ........ซงอธบายไดจากสมการ (*)

การเคลอนทแบบบราวน (Brownian motion)

มลกษณะการเคลอนทแบบสะเปะสะปะ ไมมทศทางแนนอน การเคลอนทและการเปลยนต าแหนงเปนไปแบบสม (Random) ซงเราสามารเหนปรากฏการณนได โดยใชกลองจลทรรศนสองด อนภาคเลก ๆ เชน อนภาคของควนบหร

อตราเรวของโมเลกลของแกส

แกสแตละตวตางมการเคลอนทดวย อตราเรว (speed)ทสงมาก และมคาไมเทากน

ดงนน จะพจารณาเปน อตราเรวรากทสองของก าลงสองเฉลย

(root-mean-square speed) ; rmsv

นนคอ หรอ N

vv

i

rms

2

2

คา rmsv จะไมเทากบ อตราเรวเฉลยทหาแบบธรรมดา v แตจะมคาใกลเคยงกน และ vvrms เสมอ แลวก rmsv กไมไดเทากบ rsmv นะคราบบบ.....

N

vvvvrms

....2

3

2

2

2

1



171

rmsv

rmsv

2

2

1rmsk mvE

จากการวเคราะห การชน ระหวางโมเลกลและผนง จ านวน N โมเลกล แตละตวมมวล m และมอตราเรวเฉลยเปน rmsv โดยใชหลกกลศาสตรของนวตน เรอง โมเมนตม

สรปได ความสมพนธของ P , V , N และ rmsv ดงน ( ไมพสจนใหดนะ….เหนอย)

2

3

1rmsmNvPV จดรปใหม

2

2

1

3

2rmsmvNPV

พลงงานจลนเฉลยของแกส แตละโมเลกล

จะไดวา kENPV3

2

เทยบกบสมการ TNkPV B จะได ......(*) ซงตรงกบสมตฐานของ แบรนลล ขางตนพอด TEk

จาก TkmvE Brmsk2

3

2

1 2 จะไดวา

จดรปใหม A

ABrms

mN

TNkv

3

จาก A

BN

Rk และ AmNM จะได

ขอควรระวง ในการใชสตร ตว M (มวลโมเลกล) ตองใชหนวย kg /mole เพราะวา m ในสมการตนแบบมหนวยเปน kg เชน O2 ม M = 32 x 10- 3 kg/mole

และอกรปหนงทเกยวของกบความหนาแนน

TkE Bk2

3

m

Tkv B

rms

3

M

RTvrms

3

Pvrms

3



172

10. (PAT.53) บอลลนบรรจแกสไฮโดรเจนจ านวน n โมล ทความดน P และปรมาตร V พลงงานจลนเฉลยของโมเลกลของแกสเปนเทาใด

ก. PV2

1 ข. PV2

3 ค. n

PV

2

3 ง. AnN

PV

2

3

11. (มช.38) สมมตวาอเลกตรอนทน าไฟฟาในโลหะประพฤตตวเหมอนกบแกส จงหาคาอตราเรวของ

อเลกตรอน (กโลเมตร/วนาท) ในขณะทโลหะมอณหภม 2727 องศาเซลเซยส (400) ก าหนดให คาคงตวของโบลตมนน (kB) = 1.6 x 10- 23 J/K

และ มวลของอเลกตรอน = 9 x 10–31 kg

12. โมเลกลกาซออกซเจนท 27oC จะมคาเฉลยก าลงสองของอตราเรวเทาใด (จล/กโลกรม) ถามวลอะตอมของออกซเจนเทากบ 15

ก. 4.2 x 10–22 ข. 250 ค. 490 ง. 2.5 x 105



173

พลงงานภายในของระบบ (U)

ระบบ (system) คอ สงตาง ๆ ทอยภายในขอบเขต (boundary) ทเราตองการจะศกษา และพลงงานภายในของระบบ คอ พลงงานทงหมดของโมเลกลของแกสในระบบนนนนเอง

ส าหรบ แกสอดมคต พลงงานภายในของระบบ จงเปนแคพลงงานจลนทงหมดของเหลา โมเลกล เทานน นนคอ.....

kENU จะได หรอ

จาก TNkPV B จะได เชนกน...

nRTPV

ส าหรบระบบปด (closed system) N จะคงท ดงนน U จะขนอยกบ T แตเพยงอยางเดยว

13. พลงงานภายใน (U) ของแกส ซงกคอ พลงงานจลนทงหมดของโมเลกลแกส มความสมพนธกบความดน (P) และ ปรมาตร (V) ของแกสอยางไร

ก. PVU2

3 ข. PVU

3

2 ค. 2

2

1PVU ง. 2

3

1PVU

14. (มช.41) ถากาซในอดมคตมจ านวนโมเลกลเพมเปน 3 เทา โดยอณหภม T คงท พลงงานภายใน

ระบบจะเพมขน ก. 1.5NkBT ข. 3NkBT ค. 4.5NkBT ง. 6NkBT

TNkU B2

3 nRTU

2

3

PVU2

3



174

ไดงาน ใหงาน

F F

อณหพลศาสตร (Thermodynamics)

เปนวชาทวาดวยเรองของ การใชพลงงานความรอนในการท างาน หรอความสมพนธของพลงงาน ความรอนกบพลงงานรปอน

ซงมรากฐานมาจากประสบการณหลก 2 ประการ คอ ... 1. หลกการอนรกษพลงงาน ในการเปลยนรปพลงงานจากพลงงานความรอน ไปเปนพลงงานรปอน 2. หลกของการทพลงงานความรอน ไมสามารถเปลยนไปเปนพลงงานกลไดทงหมด (ในทางปฏบตจะไมมเครองยนตทม ประสทธภาพเปน 100 % เตม)

พจารณา จากรป เมอใหความรอน Q กบระบบ พลงงานภายใน ของระบบกจะเพมขน (เนองจากแกสมพลงงานจลนสงขน) จาก U1 เปน U2 นนคอ เพมขน U

ท าใหปรมาตรแกสเกดการขยายตวดนใหลกสบสงขน นนคอ ระบบไดท างาน W

กฎขอทหนง กลาววา...

‚ พลงงานความรอน Q ทใหกบระบบ จะเทากบ พลงงานภายใน U ของระบบทเพมขน

บวกกบ งาน W ทท าโดยระบบ ‛

นนคอ พลงงานไมมการสญหายไปไหน - - - กฎอนรกษพลงงานนนเอง ซงเทากบวา พลงงานทให กบระบบ เทากบ พลงงานทไดจากระบบ หลกในการพจารณา ใหความรอน กบ ระบบ (ดดความรอน) (+ Q ) ความรอน ไหลออกระบบ (คายความรอน) (- Q ) พลงงานภายในเพมขน T เพม (+ U ) พลงงานภายในลดลง T ลด (- U ) ระบบท างาน (+ W ) ……ไดงาน สงแวดลอมท างานท างาน (- W )……ใหงาน

WUQ

ลกสบดนขน ระบบท างาน (+W ) ลกสบถกดนลงมา สงแวดลอมท างาน (-W )



175

ประยกต เกยวกบเครองยนต 4 จงหวะ

จงหวะ ดด อด ระเบด คาย Induction compression ignition exhaust

15. (PAT.53) กระบอกสบบรรจแกส 2 โมล เมอลดอณหภมลง 20 องศาเซลเซยส แกสจะคาย ความรอน

150 จล กระบอกสบใหงานกจล (ใช R = 8.3 ) (348 J)

16. (PAT.53) กระบอกสบบรรจแกสอดมคต จ านวน 5 โมล ถากระบอกสบไดรบความรอน 2493 จล โดยไมมงานใดๆเกดขน อณหภมในกระบอกสบจะเปลยนแปลงอยางไร

ก. ลดลง 20 เคลวน ค. เพมขน20 เคลวน ข. ลดลง 40 เคลวน ง. เพมขน20 เคลวน



176

งานในการเปลยนแปลงปรมาตรแกส

พจารณาจากรป ขางตน ถาลกสบมพนทหนาตด A และความดนของแกสเทากบ P แลว...

จาก A

FP แสดงวาเกดแรงดนลกสบ (F) ดงนคอ PAF

ถาระบบเปลยนแปลง โดยมปรมาตร V คงท งานทเกดขนจะเปนศนย

เพราะฉะนน UQ นนคอ TNkTmc B2

3

M

R

m

Nkc B

v2

3

2

3

และในท านองเดยวกน เมอความดนคงท M

R

M

Rcc vp

2

5

งานหาไดจาก พนทใตกราฟ ระหวาง P กบ V ถาแกสหดตว ปรมาตรลดลง W เปน (-W )

เขยนสมการรวมดงน

VP WUQ

TnRTNkPV B 2

3

2

3

2

3

ถาลกสบถกดนขนมาเปนระยะทางสน ๆ x ระบบท างาน (W) จาก sFW .

เพราะฉะนน จะได xPAW

ไดงาน

เมอ xA คอ ปรมาตรของแกสทเพมขน V

VPW



177

17. (มช.53) จากกราฟแสดงการเปลยนแปลงความดน และ ปรมาตรของแกสอดมคต 1 โมล ในกระบอกสบปด ตามกระบวนการจาก A B C

1. เมอใหความรอนแกแกสแลวพบวาแกสท างานจาก A B จงหาคาของงานทแกสท าในหนวยกโลจล

2. ในกระบวนการ A B ถาแกสมอณหภมสงขน 20 เคลวน ความรอนทใหแกแกสในกระบวนการนมคากจล

18. ระบบทางเทอรมอไดนามคสระบบหนง แสดงไวดวยกราฟ ดงรป การเพมความดนจาก A ไป B

ตองใชปรมาณความรอนเทากบ 600 จล ใสเขาในระบบ และในการขยายตวของระบบจาก B ไป C ตองการปรมาณความรอนเพมอก 200 จล จงหาวาพลงงานภายในของระบบทเปลยนแปลงในขบวนการจาก A ไป B ไป C มคากจล (560 จล)



178

Homework

1. (มช.46) ภายใตความดนคงตว ทอณหภม -73 องศาเซลเซยส แกสชนดหนงมปรมาตร 40 ลกบาศกเมตร ถาเพมอณหภมเปน 27 องศาเซลเซยส แกสจะมปรมาตรเทาใด (60 m3)

2. ในการสบอากาศเขายางรถยนต ท าใหอากาศภายในยางรถยนตมความดน 3 x 105 นวตนตอตารางเมตรทอณหภม 27 องศาเซลเซยส เมอรถเคลอนทดวยความเรวสง ยางรถยนตไดรอนขน อณหภมของอากาศในยางรถยนตเพมขนเปน 177 องศาเซลเซยส ถาปรมาตรของอากาศในยางรถยนตเปลยนแปลงนอยมากจนถอไดวาคงตว ความดนของอากาศภายในยางรถยนตจะมคาเพมขนเปนเทาไร (4.5 x 105 นวตนตอตารางเมตร)

3. อณหภมของน าทกนทะเลสาบแหงหนงเทากบ 7 0C ความดน 2.8 บรรยากาศ มฟองอากาศขนาดเสนผาศนยกลาง 4 cm ผดจากกนทะเลสาบขนมายงผวน าซงมอณหภม 27 0C ฟองอากาศทผวน าจะมขนาดเสนผาศนยกลางเทาใด (5.77 cm)

4. (มช.40) กระปองโลหะรปทรงกระบอกปากเปดกนปด มเสนผาศนยกลาง 10 เซนตเมตร สง 45

เซนตเมตร เมอคว ากระปองลง แลวกดลงไปในน าทะเลลก 100 เมตร ซง ณ ต าแหนงน น าทะเลมอณหภม 7 องศาเซลเซยส ถามวาน าทะเลจะเขาไปในกระปองนไดสงกเซนตเมตรนบจากปากกระปอง ถาอณหภม ณ ระดบน าทะเลเปน 27 องศาเซลเซยส ความหนาแนนของน าทะเลเปน 1025 กโลกรม/ลกบาศกเมตร และ ความดนบรรยากาศ ณ ระดบน าทะเลเปน 105 นวตน/ตารางเมตร (41.27)

5. ถงขนาดบรรจ 590 ลตร บรรจออกซเจนท STP จงค านวณหามวลของกาซออกซเจนในถง

(ก าหนดมวลอะตอมของออกซเจน = 16) (843 กรม) 6. ภาชนะปดปรมาตร 2 ลตร บรรจกาซคารบอนไดออกไซดซงมความดน 20.5 atm ทอณหภม - 23

0C กาซคารบอนไดออกไซดมจ านวนปรมาณกกรม ก. 176 กรม ข. 132 กรม ค. 88 กรม ง. 44 กรม

7. (Pre.Olp.34) น ากาซซนอน 2 โมล ท 30 องศาเซลเซยส ไปรวมกบกาซอารกอน 1 โมล ท 60

องศาเซลเซยส อณหภมของกาซผสมจะเปนเทาใด ( 40 องศา )



179

8. ผสมแกสฮเลยม 2 โมล อณหภม 60 0C กบแกสอารกอน 1 โมล อณหภม 30 0C จงหาวาอณหภมผสมเปนเทาใด (50 0C)

9. ถามโมเลกลของกาซทมอตราเรว v หนงโมเลกล 2v สองโมเลกล และ 3v หนงโมเลกล อตราเรว

รากทสองของก าลงสองเฉลยของโมเลกลของกาซทงหมดมคาเทาไร (2.1 v ) 10. (En.42) จงหาวากาซไนโตรเจนทอณหภมเทาใด ทคาคาเฉลยของก าลงสองของอตราเรวโมเลกล

เทากบของกาซออกซเจนทอณหภม 47 0C (ก าหนดให น าหนกโมเลกลของไนโตรเจน และ ออกซเจน เทากบ 28 และ 32 ตามล าดบ)

11. ถากาซอดมคตมจ านวนโมเลกลเพมเปน 3 เทา แตอณหภม T ลดลงครงหนง พลงงานภายในของ

ระบบจะเพมขน หรอลดลงจากคาเดมกเทา (เพมขน 1.5 เทา) 12. เมอใหความรอน 69.9 จล แกกาซ 1 โมล ทบรรจในกระบอกสบ กาซจะท างาน 20 จล ดนลกสบ

ใหเคลอนท อณหภมของกาซจะเพมขนกเคลวน 13. (PAT.53) กระบอกสบบรรจแกสอดมคต 2 โมล ถาอณหภมภายในกระบอกสบเพมขน 100 เคลวน

โดยไมมการถายเทความรอนทกระบอกสบ งานทใหกบกระบอกสบเปนกจล (2490 J) 14. แกสฮเลยมจ านวนหนง บรรจในกระบอกสบ ขณะทอณหภมคงท ปรมาตร และความดนของแกส

เปลยนแปลงไปดงรปกราฟ จงหางานทแกสท าในชวง ABCA มคากกโลจล (15 kJ) 15. บรรจแกสอดมคต ในกระบอกสบ ถาแกสภายในกระบอกสบมการเปลยนแปลงความดน และปรมาตร

ดงกราฟ จาก A B C จงหางานทแกสท าในกระบวนการดงกลาวในหนวยกโลจล

ขอ 14. ขอ 15.



180

6,300

3,600

4,450

(0 , 1)

(1 , 0) (-1 , 0)

(0 , -1)

X = COSθ , Y = Sinθ (Radian) = (Degree)¶ / 180

3 5

4

3

2,1200

4

3,1350

6

5,1500

6

11,3300

4

7,3150

3

5,3000

6

7,210 0

4

5,2250

3

4,240 0

2,900

2

3,2700

,1800 2,00

2

3,

2

1

2

2,

2

2

2

1,

2

3

X2 + Y2 = r2 = 1 COS2θ + Sin2θ = 1

2

3

2

1

53๐

37๐

2

2

2

1 2

2

2

3

สรุปเนื้อหาฟิสิกส์ 1 [ครูแดง physics plus astronomy]

Education