+∆ − 1 = − e rit ft - 釧路工業高等専門学校 - 公式ウェブサ …l =...

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過渡現象の数値的解法 (オイラー法とルンゲクッタ法の比較) 1 L-R回路(電圧印加) 図のように,L-R回路について,時刻 0 = t にスイッチS を投入する場合を考 える.初等的解法で学んだように,回路方程式は () ( ) E dt t di L t Ri = + である.これを解くと () = τ t e R E t i 1 R L = τ を得る. ここでは,微分方程式の数値的解法(差分方程式による計算)を示し,解析解と比較する. 1) オイラー法 解析解から結果は素直な指数関数曲線になることがわかっているので,まず練習としてオイラー法で計算し てみる. 微分方程式を書き換えると ( ) () ( ) t Ri E L dt t di = 1 となり,これを差分 t Δ を用いて差分方程式に書き換えると ( ) ( ) () ( ) ( ) i t f t Ri E L t t i t t i , 1 = Δ Δ + である.したがって, ( ) ( ) ( ) t i t f t i t t i Δ + = Δ + , すなわち, t f i i n n n Δ + = +1 という差分方程式になる.したがって,たとえば Excel を使って,以下のように計算すればよい. A B C 1 t i(n) f(n) 2 0 0 3 0.05 4 0.1 A 列の時間の刻み幅はRとCの値で決定する. ・セル B2 は初期値を手入力する(この場合は電流の初期値はゼロ) ・セル C2 には数式 () ( ) t Ri E L = 1 Excel のセル参照に注意しながら入力する. ・セル B3 には差分方程式を数式として t Δ + = * C2 B2 を入力する. ・あとは,必要な時間だけ下に向かってコピー&ペーストする. なお,回路のそれぞれの定数は,あらかじめ別のセルに設定しておき,数式の中でセル参照する方が良い. E S R L L v ( ) t i

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Page 1: +∆ − 1 = − E Rit ft - 釧路工業高等専門学校 - 公式ウェブサ …L = である.これを解くと () = − − τ t e R E it 1 ,R L τ= を得る. ここでは,微分方程式の数値的解法(差分方程式による計算)を示し,解析解と比較する.

過渡現象の数値的解法 (オイラー法とルンゲクッタ法の比較)

1 L-R回路(電圧印加)

図のように,L-R回路について,時刻 0=t にスイッチSを投入する場合を考

える.初等的解法で学んだように,回路方程式は

( ) ( )E

dt

tdiLtRi =+

である.これを解くと

( )

−=

−τt

eR

Eti 1 ,

R

L=τ

を得る.

ここでは,微分方程式の数値的解法(差分方程式による計算)を示し,解析解と比較する.

1) オイラー法

解析解から結果は素直な指数関数曲線になることがわかっているので,まず練習としてオイラー法で計算し

てみる.

微分方程式を書き換えると

( ) ( )( )tRiELdt

tdi−=

1

となり,これを差分 t∆ を用いて差分方程式に書き換えると

( ) ( ) ( )( ) ( )itftRiELt

titti,

1≡−=

∆−∆+

である.したがって,

( ) ( ) ( ) titftitti ∆⋅+=∆+ ,

すなわち,

tfii nnn ∆⋅+=+1

という差分方程式になる.したがって,たとえばExcelを使って,以下のように計算すればよい.

A B C

1 t i(n) f(n)

2 0 0

3 0.05

4 0.1

・A列の時間の刻み幅はRとCの値で決定する.

・セルB2は初期値を手入力する(この場合は電流の初期値はゼロ)

・セルC2には数式 ( )( )tRiEL

−=1

をExcelのセル参照に注意しながら入力する.

・セルB3には差分方程式を数式として t∆+= *C2B2 を入力する.

・あとは,必要な時間だけ下に向かってコピー&ペーストする.

なお,回路のそれぞれの定数は,あらかじめ別のセルに設定しておき,数式の中でセル参照する方が良い.

E

S

R

LLv

( )ti

Page 2: +∆ − 1 = − E Rit ft - 釧路工業高等専門学校 - 公式ウェブサ …L = である.これを解くと () = − − τ t e R E it 1 ,R L τ= を得る. ここでは,微分方程式の数値的解法(差分方程式による計算)を示し,解析解と比較する.

実際に計算した結果および解析解の計算結果を図1に示す.

Fig. 1 L-R回路(電圧印加)の計算結果(オイラー法)

ほぼ,解析解に近い結果となった.数値計算結果は常に解析解よりもわずかに大きな値を示す(青線は常に

赤線より上になる).オイラー法では単純に出発点の微係数から次の点を算出するためである.

2) ルンゲクッタ法

次に,ルンゲクッタ法により計算してみる.詳細は省略し,必要な式と計算結果を示す.

( ) ( )( ) ( )itftRiELdt

tdi,

1≡−=

( )

( )

( )43211

434

3

2

3

2

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2

11

226

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2

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it

tftk

ftk

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tftk

ftitftk

nn

nn

nn

nn

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++++=

⋅∆≡+∆+⋅∆=

⋅∆≡

+

∆+⋅∆=

⋅∆≡

+

∆+⋅∆=

⋅∆≡⋅∆=

+

(注) 1k から 4k は固定された係数ではないことに注意する.上式を見て分かるように,計算ステップごと

にこれらの値は変化する.すなわち, ( )nk1 から ( )nk4 として考えるべき数値である.

Page 3: +∆ − 1 = − E Rit ft - 釧路工業高等専門学校 - 公式ウェブサ …L = である.これを解くと () = − − τ t e R E it 1 ,R L τ= を得る. ここでは,微分方程式の数値的解法(差分方程式による計算)を示し,解析解と比較する.

Fig. 2 L-R回路(電圧印加)の計算結果(ルンゲクッタ法)

図中にもコメントしているが,数値計算と解析解は1%以下の誤差に収まっていて,図では差が見えない.

2 L-C-R回路

次に,L-C-R回路(振動的)について考える.この場合,電流信号の変化は激しく,オイラー法とルン

ゲクッタ法の違いが顕著に表れる.回路は教科書を参照すること.

回路方程式は

( ) ( ) ( ) Etvdt

tdvRC

dt

tvdLC C

CC =++2

2

である.

1) オイラー法

( )tvx C=1 ,( )

dt

dx

dt

tdvx C 1

2 ==

とおくと,回路方程式は

ExRCxdt

dxLC =++ 12

2

である.これらから

( ) ( )

( ) ( )t

txttxfx

LCx

L

R

LC

E

dt

dx

t

txttxfx

dt

dx

−∆+=≡−−=

−∆+=≡=

22

212

2

11

12

1

1

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である.したがって,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ttxxftxttx

ttxxftxttx

∆⋅==∆+

∆⋅==∆+

,,

,,

21222

21111

という差分方程式を得る.

これを計算して解析解と比較すると,図のようになる.

Fig. 3 オイラー法によるL-C-R回路(振動的)の計算

L-R回路の場合と同様に,オイラー法は常に「解析解の後追い」的な挙動となってしまう.最終値「1」

に対して,誤差量は最大で9%近い.

2) ルンゲクッタ法

途中まではオイラー法と同じだが,改めて差分方程式に至る式を示し,計算結果を示す.

( )tvx C=1 ,( )

dt

dx

dt

tdvx C 1

2 ==

とおくと,回路方程式は

ExRCxdt

dxLC =++ 12

2

である.これらから

( )

( )txxfxLC

xL

R

LC

E

dt

dx

txxfxdt

dx

,,1

,,

21212

2

2112

1

≡−−=

≡=

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( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]311322322311242

322322311141

21

1

22

2

22

2

21

1232

22

2

22

2

21

1131

11

1

12

2

12

2

11

1222

12

2

12

2

11

1121

1221212

221111

1,,

,,

22

1

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1

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2

1,,

,,

kxkxRCELC

tttkxkxftk

kxtttkxkxftk

kx

kxRCE

LCt

tt

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kxt

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kx

kxRCE

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kx

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kxt

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xRCxELC

ttxxftk

xttxxftk

+−+−⋅∆=∆+++⋅∆=

+⋅∆=∆+++⋅∆=

+−

+−⋅∆=

∆+++⋅∆=

+⋅∆=

∆+++⋅∆=

+−

+−⋅∆=

∆+++⋅∆=

+⋅∆=

∆+++⋅∆=

−−⋅∆=⋅∆=

⋅∆=⋅∆=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )4232221222

4131211111

226

1

226

1

kkkktxttx

kkkktxttx

++++=∆+

++++=∆+

計算結果を以下に示す.

Fig. 3 ルンゲクッタ法によるL-C-R回路(振動的)の計算

解析解と数値計算結果はほとんど一致している.ルンゲクッタ法の有効性が良くわかる.