Κεφάλαιο 1.1

1. Επε ιδή η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ομαλή, ισχύει:

s - 1 2 0 / - ?n / υ = - ή υ = m / s ή v=30m/s . t 4

Για τα αντ ίστοιχα δ ιαγράμματα έχουμε:

u(m/s)>.

ψ.·.

s(m)> ι ί>:;..

2. Το τρένο βρίσκεται π ά ν ω στη γέφυρα για χρόνο t, ο οποίος είναι:

s + ^ . s + e . 1.980 + 20 . υ = η t = η t = s ή t = 200s t υ 10

3. Α. Το ζητούμενο διάστημα υπολογίζεται από το άθροισμα των αντίστοιχων εμβαδών: S=E j+E2 ή S = 1 0 1 0 m + 2 0 - 2 0 m ή S=500m.

τ, - s , - 5 0 , -Β. υ = - η υ = — η υ = 12,5m t 4

Ευθύγραμμη κίνηση

Γ.

4. Α. Α I 4 -

«ι «2

t=0

Β ι - t

t=0

Αυτοκίνητο (Α): υ ( = — ή χ = ι>| t ( 1 )

Αυτοκίνητο (Β): υ2 = s - χ

ή s - χ = υ2ί (2)

Προσθέτω κ α τ ά μέλη τ ις (1) και (2) και βρίσκω:

X+Syl('=V lt + V2t ή s = ^ ^ 2 ) t ή t = 1.000 -s ή t =

υ] + υ2 10 + 15 Η συνάντηση των δύο α υ τ ο κ ι ν ή τ ω ν γ ίνεται στο σημείο Σ] απέχε ι α π ό το Α α π ό σ τ α σ η x γ ια την οπο ία ισχύει:

χ =υ! t ή x = 1 0 - 4 0 m ή x = 4 0 0 m . Β. Τα ζητούμενα δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α είναι :

s(m).

40s

που

Min/s),

-15

10 20 30 40

Ευθύγραμμη κίνηση

5. Α. Αν ο ζητούμενος χρόνος ε ίναι t, ο μοτοσυκλετιστής και το περ ιπολ ικό δ ιανύουν μέχρι την ουνάντηοή τους δ ιάστημα: S., = υπ t και SM = υμ t αντ ίστο ιχα . Με την αφαίρεση των σχέσεων αυτών κατά μέλη έχω: Sn - 8μ = (υπ -υμ) ί ή d = (υπ -υμ)1

d 500 η t = = s ή t = 50s υπ - υμ 3 0 - 2 0

Β. Το ζητούμενο δ ιάστημα είναι: S n =wnt = 30-50m ή 8 π = 1.500m.

6. Από τη σύγκριση της σχέσης x = 1 0 t με την εξίσωση της κίνησης χ = υ ί της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης, συμπεραίνουμε ότι ο ποδηλά-της κ ινε ί τα ι ευθύγραμμα και ομαλά με τ α χ ύ τ η τ α υ = 10m/s .

Έ τ σ ι το ζητούμενο δ ιάγραμμα είναι:

i'<m ΌΛ

Το ζητούμενο δ ιάστημα είναι ίσο με: s =υ t = 10-5m ή s = 5 0 m , δηλαδή ίσο με το αντ ίστο ιχο εμβαδόν Ε.

7. Α. Η αρχ ική τ α χ ύ τ η τ α είναι υ 0 = 0 και έτσι ισχύει: υ = a t ή υ = 2·15πι/8 ή υ = 3 0 m / s .

Β. Η α π ό σ τ α σ η που διανύει ο μοτοσυκλετ ιστής είναι:

1 2 1 9 s = — at = - - 2 1 5 ra ή s = 225m. 2 2

8. A. To ζητούμενο δ ιάστημα είναι ίσο με το αντ ίστο ιχο εμβαδό.

Δηλαδή: s = Ε = 10 • 20m ή s = 100m.

Β. Από το δ ιάγραμμα συμπεραίνουμε ότι η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επ ιταχυνόμενη , χωρίς αρχ ική τ α χ ύ τ η τ α , με επ ι τάχυνση

Δυ 20 2 - , ο α - —- = — m / s η α = 2m / s . At 10

Ευθύγραμμη κίνηση

Έ τ σ ι το ζητούμενο δ ιάστημα s, είναι:

1 2 - at·, 2

s = s2 — s i = — a t 2 — at , 2 = — · 2 • 2 2 m - — · 2 · l 2 m ή s = 3m.

2 2 2

9. A. To ζητούμενο δ ιάστημα είναι ίσο με το εμβαδόν του τραπε-

3 0 + 1 0 ζίου. Δηλαδή: s = • 20m ή s = 400m.

, . - . - s 400 , . - 40 , Β. Η μεση τ α χ ύ τ η τ α υ είναι : υ = — = - ^ - m / s ή υ = — m / s .

10. Από τη σύγκριση της σχέσης υ = 8+2ί με την εξίσωση υ = υ 0 +αΙ , συμπεραίνουμε ότι η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ευθύγρμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχ ική τ α χ ύ τ η τ α u0 = 8 m / s και επ ιτάχυνση a = 2m/s 2 . Έτσ ι γ ια το ζητούμενο δ ιάστημα έχουμε:

1 2 S = S4 - s2 = υ 0 ί 4 + - a t 4 V 2 1 — at·,

ή s = υ 0 ( ί 4 - t 2 ) + ^ - a ( t 42 - t 2

2 ) ή s = 8(4 - 2) + ^ · 2(16 - 4) |m

ή s = 28m

11. υ( in/s)Ai

50 I

30

(«) /

— j i -/ ;

• '

<m

a 10

4 8 » em® *2 ·

t(s)

Α. Η κοινή τ α χ ύ τ η τ α προσδιορ ίζετα ι ως το σημείο τομής των δύο γραφ ικών π α ρ α σ τ ά σ ε ω ν υ = υ(1) γ ια τα δύο κ ινητά. Έ τ σ ι βλέπου-με ότι τη χρον ική στ ιγμή t =6s η κοινή τ α χ ύ τ η τ α των δύο κινη-τών είναι u = 3 0 m / s .

Β. Το δ ιάστημα που διένυσε το κ ινητό (α) σε 10s δ ίνεται και από το εμβαδόν του αντ ίστο ιχου τριγώνου.

Δηλαδή: s, = j • 10 · 50m ή s, = 250m.

Ευθύγραμμη κίνηση

Αντίστο ιχα το δ ιάστημα που διένυσε το κινητό (β) σε 10s δίνε-ται και α π ό το εμβαδόν του αντ ίστο ιχου παραλληλόγραμμου. Δηλαδή: s 2 = 10-30m ή s 2 = 300m. Αρα το κ ινητό (β) προηγε ί τα ι του κ ινητού (α) τη χρον ική στιγμή t = 10s κ α τ ά s = 300m - 2 5 0 m ή s = 50m.

Γ. Έ σ τ ω t η χρονική στιγμή κ α τ ά την οπο ία συναντώντα ι τα δύο' κ ινητά. Π ρ ο φ α ν ώ ς τότε θα έχουν διανύσει ίσα δ ιαστήματα , δη-

λαδή θα γίνει : — — — 50 = 30t ή 10t - 50 = 6t ή t = 12,5s.

12. Η κίνηση του αυτοκ ινήτου α π ό το Α έως το Β είναι ομαλά επ ι ταχυνόμενη με αρχ ική τ α χ ύ τ η τ α υΑ . Έ τ σ ι θα ισχύει:

υΒ = υΑ + a t ή 30 = υΑ +10α (α) και

1 9 1 ΑΒ = u A t + — at ή 200 = υΑ · 10 + — α · 100 (β)

Οι εξισώσεις (α) και (β) αποτελούν σύστημα δύο εξισώσεων α π ό την επίλυση του οπο ίου βρίσκονται η επ ι τάχυνση α και η τ α χ ύ τ η τ α υΑ. Η (α) μπορεί να γραφεί : υ Α = 3 0 - 1 0 α (γ) και με α ν τ ι κ α τ ά σ τ α σ η στη (β) έχουμε:

200 = (30 - 10α) 10 + 50α ή α = 2 m / s 2 . -Αντ ικαθ ιστώντας την επ ι τάχυνση α στη σχέση (γ) βρίσκουμε:

υΑ = (30 - 10-2)m/s ή u A = 1 0 m / s .

13. Το κ ινητό θα κινηθεί επί 0 ,7s με την τ α χ ύ τ η τ α υ0 που εκινε ίτο στην αρχή, δ ιανύοντας δ ιάστημα s , =\)0t, = 20 .0 ,7m ή s , = 14m.

Έ τ σ ι μέχρι το εμπόδ ιο υπάρχε ι δ ιάστημα s = ( 5 0 - 1 4 ) m ή s = 36m. Το δ ιάστημα που θα διανύσει το αυτοκ ίνητο μέχρι να μηδενιστεί η

τ α χ ύ τ η τ ά του μπορεί να είναι:

υ02 2 0 2

smax = — = ^ 7 : m η Smax = 20m. 2α 2 - 10

Επε ιδή s m a x < s θα αποφευχθε ί η σύγκρουση του αυτοκ ινήτου με το εμπόδιο.

14. Για να περάσει ολόκληρο το τρένο π ά ν ω α π ό τη γέφυρα πρέπε ι να κινηθεί κ α τ ά {( + s)m. Το δ ιάστημα αυτό το τρένο θα το διανύσει ε π ι τ α χ υ ν ό μ ε ν ο με επ ι τάχυνση α = 2 m / s 2 , έ χοντας αρχ ική τ α χ ύ τ η τ α

1 , 1 , u0 = 20m/s. Έτσι θα ισχύει: (Ρ, + s) = υ0 t + — α t ή 70 + 55 = 20t + — · 2t .

Ευθύγραμμη κίνηση

Από την επίλυση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης βρίσκουμε t , = -25s που α π ο ρ ρ ί π τ ε τ α ι και t 2 = 5s που είναι η δεκτή λύση.

15. Α. Ό τ α ν τα κ ινητά συναντηθούν θα έχουν διανύσει ίσα δ ιαστή-ματα.

Δηλαδή: x! = x 2 ή 1 0 t = 4 t 2 ή 4t = 1 0 ή t =2,5s. Β. Από τις εξισώσεις κίνησης συμπεραίνουμε ότι το πρώτο όχημα

κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με σταθερή ταχύτητα υ ^ Ι Ο ι η / s , ενώ το δέντρο ομαλά επιταχυνόμενη με υ0 = 0 και a = 8m/s 2 . Έ τ σ ι τα ζητούμενα δ ιαγράμματα είναι:

ν ( ι ι ι ) > ι Χ

n(ni/s)A

20

10

l>2=/ (t) x

• Χ ,

r* λ /

/

»l= '(f)

2.=; ->•

L(S)

"ι= ' ( 0

—ν t(s)

16. Α. Στη δ ιάρκε ια των l i s ο δρομέας δ ιανύε ι δ ιάστημα

3ολ Ι 3 . 9 + 5 · 9 + — 2 2

•3 m ή So) = 81m.

Έ τ σ ι η μέση τ α χ ύ τ η τ α του είναι:

- S θ λ ;ι m / s ή υ = 7,36m / s.

t 11 Β. Για τα π ρ ώ τ α 3s ο δρομέας επ ι ταχύνετα ι με επ ι τάχυνση

Δυ 9 - 0 α, = At

j , 2 m / s~ η α, = 3m / s , ενώ τα τελευταία 3s επι-

Δυ 3 2 · . , 2 βραδύνετα ι με επ ιβράδυνση «2 — - ^ m ' s Ί α 2 — im / s .

17. Α. Από τις εξισώσεις της επ ιβραδυνόμενης κίνησης έχουμε:

υ = υ0 - a t ή -y- = υ0 - a t ή 5 = 10 - 2t ή t = 2,5s

Ευθύγραμμη κίνηση

1 2 · και s = v0 t - — a t ή s = 1

1 0 - 2 , 5 - - 2 - 2 , 5 -2 ,

m ή s = 18,75m. >

Β. Από τη σχέση u = D 0 - a t θέτοντας υ = 0 βρίσκουμε γ ια το ζητού-

ι • s ή t = 5s. n . · . υο 1 0

μενο χρονο: 0 = υ0 - a t η t = — = — α 2

Για το ζητούμενο δ ιάστημα (μέγιστο) έχουμε:

- V . 102 . smax 2 α 2 2 m S m a" ~ 25m.

18. Α. Αν μέχρι τη συνάντηση το αυτοκ ίνητο κινήθηκε κ α τ ά ts, ο μοτοσυκλετιστής χρε ιάστηκε γ ια να το φτάσει χρόνο (t - 4)s δ ιανύοντας π ρ ο φ α ν ώ ς το ίδιο δ ιάστημα. Έ τ σ ι έχουμε:

1 ] 2 s « = — α ι t και δ μ = — a 2 ( t - 4) .

Αλλά s a — 8μ, δηλαδή:

α ι t2 = ~ α 2 ( ι ~ ή l»6t2 = 2,5^t2 + 16 - 8 t j α π ό την επί -

λυση της οπο ίας βρίσκουμε γ ια το ζητούμενο χρόνο t = 20s

4 και* — s που α π ο ρ ρ ί π τ ε τ α ι ως μικροτερος του 4s. Επ ίσης

1,8

1 9 s = βμ = s a = — 1,6 · 20 m ή s = 320m.

Β. Για τις ταχύτητες του αυτοκ ινήτου " , m / s )

και του μοτοσυκλετιστή- έχουμε: ua = a , t = l , 6 -20m/s ή υα = 3 2 m / s και υμ = α 2 (t - 4) = 2,5 (20 - 4 ) m / s ή υμ = 4 0 m / s . Για τη ζητούμενη μέση

τ α χ ύ τ η τ α υ του αυτοκ ινήτου έχου-

s με: υ = -t

320

20 m / s ή υ = 16m / s.

Γ. Τα δ ιαγράμματα υ = f ( t ) και s = f( t ) είναι:

Ευθύγραμμη κίνηση

19. Α. Στο χρονικό διάστημα: 0 < t < 5s η κίνηση που εκτελεί το κινητό είναι ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα υ 0 =10πι /5 . Στ ο χρονικό δ ιάστημα: 5s < t < 15s η κίνηση είναι ομαλή με σταθερή τ α χ ύ τ η τ α υ = 2 0 m / s . Στ ο χρονικό δ ιάστημα: 15s < t < 2 0 s η κίνηση που εκτελεί το κ ινητό είναι ευθύγραμμη ομαλά επ ιβραδυνόμενη με επ ιβρά-

Δυ 2 . , δυνση αϊ = — = 4m / s μέχρι μηδενισμού της τ α χ ύ τ η τ α ς του.

Κατόπ ιν το κ ινητό αλλάζει φ ο ρ ά κίνησης και επ ι ταχύνετα ι

- Δυ - Λ ι 2 με την ιδια επ ι τάχυνση α 2 - — - 4m / s .

Β. Η επ ι τάχυνση του κ ινητού στο χρον ικό δ ιάστημα 0 < t < 5s είναι:

Δυ υ, - υΑ 2 0 - 1 0 , 2 -, , 2 α = — = — — = m / s = 2m / s z . At tx — t A 5 - 0

Γ. To δ ιάστημα που δ ιανύει το κ ι νητό προσδιορίζεται α π ό το εμβα-δόν που περικλείεται α π ό τη γ ρ α φ ι κ ή παράσταση και τον άξονα των χρόνων.

10 + 20 • 5 + 10 · 20 + - • 20 • 5 + - • 5 · 20 |m = (75 + 200 + 50 + 50)m = 375m 1, 2 2 2

Η μετακίνηση του κ ινητού είναι: Δχ = (75 + 200 + 50 - 5 0 ) m ή Δχ = 25πι . Προσέξτε τη δ ιαφορά μεταξύ του δ ιαστήματος και της μετακίνη-σης.

. „ . . , , - s 375 , -Δ. Η μεση ταχύτητα του κινητού είναι: υ = — = m / s ή υ = 15m / s.