材料之應力與應變分析1.楊氏彈性模量 (Young’s Modulus)

2.扭擺 (Torsion Pendulum)

楊氏系數 _ 目的 (Object)利用虎克定律的關係，及在彈性限度內，應力與應

變的關係維持一固定值。拉長或壓縮一個線狀或棒狀彈性物體，應力與應變

比值應滿足一常數，即 楊氏模量（ Young’s Modulus ）

利用光槓桿 (optical level) 來測量金屬線的楊氏模量

學習光槓桿的原理與操作

彈性體與楊氏彈性模量•彈性體受外力作用時會變形，若外力移去，在彈

性限度內可完全回復原狀，由虎克定律得，

•拉長及壓縮一線狀彈性體時，此常數稱為楊氏模量 (Y) ，隨材料的不同而異。則

模量單位長度所改變的長度應變

單位面積所受的力應力

1

0

llA

FY

楊氏儀與光槓桿• 彈性體受拉張力產生的伸長量很小，所以利用楊氏儀（圖一）＞附測量微位移的光槓桿（圖二），可精確測量伸長量。

楊氏儀與光槓桿• 光槓桿原理：從望遠鏡附設米尺的 A 點發出之光線AO，垂直投射於平面鏡而由原路反射。若平面鏡轉 θ 角 ( 平面鏡切圓柱面，會隨圓柱轉相同角度 ) ，則由米尺的 B 點發出之光線 BO，反射後沿 OA進入望遠鏡 (ON是法線 ) ，則∠ BON＝∠ NOA＝ θ。

• →平面鏡轉 θ角，反射線轉 2θ角。

楊氏模量的計算• 由楊氏儀測金屬線伸長量： (1)望遠鏡裝於米尺 A 點附近，由望遠鏡讀出的間隔變化 ( 金屬線伸長帶動光槓桿的轉動 )D與米尺至平面鏡之距離 R ，可求 2θ，即

• • (2) 金屬線繞在半徑為 r(cm)的銅圓柱，故伸長量

• • （ θ用弧度 ， ）• 求楊氏模量： (1)量金屬線的長度 l0與截面積 A(2)作用力 F→砝碼掛重 (3)伸長量

RD1

21 tan

rl

23600

1 弧度

l

扭擺 _1.目的（ object ）剛體物體均具有某種程度的彈性，可由拉、推、扭

或壓縮物體，使其體積作少許改變。切應力（ shear stress ）是負重轉動中的軸承彎

曲變形，或彎曲造成骨折等問題的重要因素。利用扭擺（ torsion pendulum ）測擺動週期

（ period ），並計算金屬棒之切變係數（ shear modulus ）。

扭擺 _2.理論（ theory ）切變係數 S 之定義為切應力（ shear stress ）與切

應變（ shear strain ）之比，如圖 1 所示。

h/x

A/F

strainshear

stressshearS

圖 1 切變係數說明

F: 應力 (stress)A: 作用面積 (Area)x: 剪切位移 (shear displacement)h: 樣本高度 (height)

扭擺 _ 棒狀剛體之扭力形變位移設一棒之部份環形沿環之截面受 dFi 之力作用而扭轉

了一角度 θ （弧度），其所對應的相對位移為 x ，如圖 2 所示。

x ＝ rθdA ＝

2πr ． dr

圖 2 棒之恢復力矩說明r: 棒之部分環形之內徑。

扭擺 _ 棒狀剛體之恢復力矩

根據定義 ，

此力所生的恢復力矩 (dLi) 為

rdr2

iFdh

h/rrdr2

iFd

h/x

A/FS

2

h

rdr2SFd

2i

h

rdr2SiFdriLd

3

扭擺 _ 棒狀剛體之切變係數作用於整個棒上的總恢復力矩 L 為

今將高度 h 改為棒之全長 l，則總力矩變為

於是切變係數 S 為

h2

r

h

rdr2SLdL

43

0

Si

r

l

S

2

rL

4

4r

2S

Ll

長為 l ，半徑 r 之實心金屬棒的切變係數為

4r

2S

Ll

扭擺 _ 棒狀剛體之切變係數

扭擺 _3.方法（ method ）對一做角度簡諧運動（ simple harmonic motion ）的

物體，若其轉動慣量為 I ，力矩常數（ torque constant ）為 K' ，則其擺動週期為

……………………..………….……………(2)

K' 乃力矩 L 與扭轉角（ angle of torsion ）（角位移）θ 之比

……………………………………………….(3)

K'

I2T

L

K'

扭擺 _ 角度簡諧運動物體之切變係數

將 (3) 式代入 (1) 得　 …………… ..(4)

由 (2) 、 (4) 式消去得　 ……… .......(5)

4r

K2S

l

42 rT

I8S

l

L

K'4r

2S

Ll

K'

I2T

……….(1) ， ……… .(3)

……….(2)