第第 1010 章 期望效用值理论章 期望效用值理论

西安电子科技大学经济管理学院

— 期望收益值— 行为假设与偏好关系— 效用函数及其确定— 主观期望效用值理论

本节课的内容、重点与难点 主要内容：

– 期望收益值作为决策准则有其不完善之处；– 如何从备选方案后果集中对于后果的比较转化为方案的比较，建立备选方案比较的期望效用值准则；– 从决策理论的角度引入“效用”的概念。

目的：把决策的准则从期望收益值推广到期望效用值。

重点：期望效用值准则的建立。

难点：一个概念，三个假设，两个定理

Review 10.1 期望收益值决策问题的分类

–风险型决策分析–非确定型决策分析–多目标决策分析

一般地，假设有 m 个备选方案 Ai (i=1,2,…,m) ， n 个自然状态，各自然状态出现的概率分别为 p1, p2, …, pn. 各方案可表示为 Ai (θi1,θi2,…,θin; p1, p2, …, pn) ， i=1,2,…,m

风险型决策问题

从统计学的角度出发，用数学期望来权衡方案的各种可能结果，期望从多次决策中取得的平均收益最大。计算公式为

1

( )n

i j ijj

E A p θ

1( ) max ( )k ii mE A E A

取方案 kA

1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., ), 1,2,...,i i i in nA p p p i m

期望收益值作为决策准则的问题1 ．后果的多样性 后果可能反映直接经济效益、间接经济效益，也可能是生态效益、社会效益。

2 ．决策往往是一次性的，采用期望后果值是否合理？ 3. 没有考虑决策者的主观因素4. 不适合具有致命威胁后果的方案评价 5. 负效用

结论：—— 需要一种能表述人们主观价值的衡量指标，而且它能综合衡量各种定量和定性的结果；—— 这样的指标没有统一的客观评定尺度，因人而异，视各人的经济、社会和心理条件而定。

因此，需要探求一种较期望收益值更为完善的决策准则。 思路：后果值换为效用值。以期望效用值作为判别准则。 为此，先讨论行为假设与偏好关系。

10.2 行为假设与偏好关系一般的风险型决策可用事态体表示：简单事态体：

1 2 1 2( , ; , )T p p

1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., )n nT p p p

标准事态体复合事态体：

1 2( , ; ,1 )T T T p p

分析、比较各种事态体的办法及推导效用函数的基本途径是辩优。

对于后果集 中任意两个可能的结果 和 ，总可以按照既定目标的需要，前后一致地判定其中一个不比另一个差。

（ 不比 差）

},,,{ 21 nJ x

yyx x

y

Step.1 一个概念—偏好关系

偏好关系“ ”必须满足下面三个条件：1 ）自反性 （一个方案不会比它自己差）2 ）传递性 3 ）完备性 任何两个结果都可以比较优劣，即 二者必居其一

对于后果集 中任意两个可能的结果 和 ，总可以按照既定目标的需要，前后一致地判定其中一个不比另一个差。

（ 不比 差）

},,,{ 21 nJ x

yyx x

y

xx

zxzyyx ,

xyyxJyx ,,

Step.1 一个概念—偏好关系

若 ，且 ，称 与 无差别，记为 。 yx xy x yyx ~

在此基础上，也可定义优越关系： ( 优于 ) yx

Step.2 三个假设—把后果集 J 中结果的比较推广到标准事态体的比较假设 1

1 1 2 1 21 2

2 1 2 1 2

( , ; ) , ~

( , ; ) ,T p p q T TT q p q T T

若若

1T1

2

1

22T

p q

p = q p > q

假设 1

Ex.1 两组有奖储蓄，均发行储蓄券 1 万张，两组中奖者均获得同样数目奖金 (400 元 ) 。所不同的，第一组拥有可中奖彩券 150 张，而第二组中只拥有可中奖彩券 100 张，试问你愿参加哪一个组？

21

2121

212

211

,~,

);,();,(

TTqpTTqp

qTpT

若若

，使当 时， 。

假设 2 （连续性） 111 );,( pT

222 );,( qT

qp 21 pp 21 ~ TT

Ex.2 如同 Ex.1 ，但两组中奖数额不同。设 组奖金 元， 组奖金 ＝ 400 元。 。两组都发行 1万张。若 中奖个数 与 中奖个数 相同（均为 100个），显然 。若 组中奖个数不是 100 而降为小于 100 的某个数，储蓄者是否有可能改变主意？

，使当 时， 。

假设 2 （连续性） 111 );,( pT

222 );,( qT

qp 21 pp 21 ~ TT

1T7001 2T 2 21

1n 2T 2n21 TT

1T1T

313221 ~~,~ TTTTTT

假设 3 无差关系、优越关系的传递性

1 2 2 3 1 3,T T T T T T

定理 1 设 ， －必然事件，

则必存在 ，使当 时，

Step.3 两个定理—决策分析的理论基础);,( 211 xT 3

231

]1,0[p );,(~ 213 px p

事实上， 。应用假设 2 即可得到证明。)1;,(~ 233

定理 1 设 ， －必然事件，

则必存在 ，使当 时，

Step.3 两个定理—决策分析的理论基础);,( 211 xT 3

231

]1,0[p );,(~ 213 px p

事实上， 。应用假设 2 即可得到证明。)1;,(~ 233

• 把随机事件转化为确定性事件。

• 若 ，则称 为 关于 和 的无差概率。

定理 1 设 ， －必然事件，

则必存在 ，使当 时，

Step.3 两个定理—决策分析的理论基础);,( 211 xT 3

231

]1,0[p );,(~ 213 px p

事实上， 。应用假设 2 即可得到证明。)1;,(~ 233

• 把随机事件转化为确定性事件。);,(~ 213 p 3 1 2p

Ex.3 掷硬币事件 掷出正面 H( 正 ) 和掷出方面 T( 反 ) 的概率均为0.5 ， A1(500,200;0.5) ， A2(200,200;0.5) 。 A1为风险型事件， A2 为确定型事件。二者何为优先？ 此时， A2 － 200 元 若 A2 － 500 元，肯定不接受 A1.若 A2 － 0 元，什么机会也没有，接受 A1 。

Ex.3 掷硬币事件 掷出正面 H( 正 ) 和掷出方面 T( 反 ) 的概率均为0.5 ， A1(500,200;0.5) ， A2(200,200;0.5) 。 A1为风险型事件， A2 为确定型事件。二者何为优先？ 此时， A2 － 200 元 若 A2 － 500 元，肯定不接受 A1.若 A2 － 0 元，什么机会也没有，接受 A1 。 参与不参与 A1 取决于另一个收益为确定值的方案，此确定值在 200 与 500 之间。可以推断，从肯定不参与到参与之间，此确定值相应有个转折点。这个转折点就是和事态体方案 A1 等价的确定值，即称为等价确定值。

1A

3052 A 12 AA

2952 A 12 AA

300~1A

如若 则则

假设 则 的等价确定值为 300 。等价确定值的作用：事态体的选择问题有可能转化为等价确定值的选择问题。

为 关于 与 的无偏概率

定理 10.2 （简化性）任一有 n 种可能结果的事态体 无差于某一简单事态体，即1 1( , ; , )n np p

);,(~),;,( **

11 ppp nn

n

jjjqpp

1

jq j * *

* max{ }ii * min{ }ii

其中，

作用：把简单事态体转化为标准事态体，进而可用 p进行比较以确定方案的优劣。

解释：把简单事态体转化为标准事态体。

np

～T1

2

n

1p2p

np ～

1p2p

*

*

*

*

*

*

1q

2q

nq*

*~ ( , ; )j jq

2 2(1 )p q～1 1p q *

1 1(1 )p q**

*

*

n np q(1 )n np q

～

*

*

nnqpqpqp 2211

)1()1()1( 2211 nn qpqpqp

T

～

*

*

nnqpqpqp 2211

)1()1()1( 2211 nn qpqpqp

);,(~),;,( **

11 ppp nn

n

jjjqpp

1

即

T

～

*

*

nnqpqpqp 2211

)1()1()1( 2211 nn qpqpqp

);,(~),;,( **

11 ppp nn

n

jjjqpp

1

即

比较 之间的大小即可对方案集进行排序，从而定出最优方案。

},,{ 1 mAAA

1 1( , ; , ), 1, 2, ,i i in nA p p i m

**

1

~ ( , ; )n

i j ijj

A p q );,(~ *

*ijij q

, 1,2,j ijj

p q i m

具体地说，对于方案集

Key: 计算 ijq

);,(~ **

ijij q

分析：当 固定时，

，即 对决策主体所能提供的作用或价值，转化为它对决策者的效用，而 就是衡量这种效用大小的数值，称为效用。 称为效用函数。

** ,

ijij q )( ijij uq

ij

ijq)( iju

Key: 计算 ijq

);,(~ **

ijij q