كمى102مبادئ االحصاءالوحدة الثانية: مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية

يقص��د بالنزع�ة المركزي��ة مي�ل البيان��ات إلى التمرك�ز ح�ول قيمة معينة في منتصف هذه البيانات.

قياس النزعة المركزية:أي التمرك�ز ح�ول القيم�ة يمكن قي�اس النزع�ة المركزي�ة للبيان�ات )

( بعدد من المقاييس هي:الوسطى للبيانات

Arithmetic Mean- الوسط الحسابي 1 Geometric Mean- الوسط الهندسي 2 Harmonic Mean- الوسط التوافقي 3Median- الوسيط 4Mod- المنوال 4

كمي102مبادئ اإلحصاء

تعريف النزعة المركزية

تعريفة:يع�رف الوس�ط الحس�ابي لمجموع�ة من القيم بأن�ه عب�ارة عن

مجموع هذه القيم على عددها.

طرق حسابه الوسط الحسابي:أوال: في حالة البيانات غير المبوبة:

يتم حساب الوسط الحسابي بالمعادلة

الوسط الحسابي = )مجموع القيم ÷ عدد القيم(

=

مقاييس النزعة المركزية

كمي102مبادئ اإلحصاء

Arithmetic Mean 1-الوسط الحسابي

البيان�ات التالي�ة تمث�ل المس�افة ب�الكيلو م�تر بين (:2-1)مث�ال الجامعة والمنزل لسبع طالب .

18 37 25 46 57 77 20

: حس�اب الوس�ط الحس�ابي للمس�افة بين الجامع�ة والمطل�وبوالمنزل.

الحل

= = 40 كم

= . 40 أي أن متوسط المسافة بين الجامعة والمنزل كم

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

ثانيا: في حالة البيانات المبوبة: حساب الوسط الحسابي في حالة البيانات المبوبة يمكن

بالخطوات اآلتية:

إضافة عمود ثالث للجدول التكراري يمثل مراكز الفئات ويتم -1حساب مركز الفئة كما يلي.

2 مركز الفئة =) بداية الفئة + نهاية الفئة( ÷

في x إضافة عمود رابع هو عبارة عن حاصل ضرب مركز الفئة -2 للحصول علىfالتكرار

التعويض في المعادلة التالية:

x :عبارة عن مجموع حاصل ضرب مركز الفئة حيث.fفي التكرار

، هو عبارة عن مجموع التكرارات.

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

عامل حسب فئات 100البيانات التالية تمثل توزيع (2-2:)مثال األجر اليومي بالريال :

الوسط الحسابي ألجر والمطلوب: حسابالعامل اليومي.

90-100 80- 70- 60- 50- فئات األجر

5 10 15 12 8 عدد العمال

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

الحل:لحساب الوسط الحسابي ألجر العامل اليومي نتبع الخطوات اآلتية:

:x- حساب مركز الفئة 1

) بداي�ة الفئ�ة األولى + نهاي�ة الفئ�ة األولى( = مرك�ز الفئ�ة األولى÷2( = 50 + 60 ÷ )2 = 55

55مرك�ز الفئ�ة األولى + ط�ول الفئ�ة = مرك�ز الفئ�ة الثاني�ة = +10 = 65

65مرك�ز الفئ�ة الثاني�ة + ط�ول الفئ�ة = مرك�ز الفئ�ة الثالث�ة = +10 = 75

75مرك�ز الفئ�ة الثالث�ة + ط�ول الفئ�ة = مرك�ز الفئ�ة الرابع�ة = +10 = 85

مرك�ز الفئ�ة الرابع�ة + ط�ول الفئ�ة = مرك�ز الفئ�ة الخامس�ة = 85 + 10 = 95

في x- إيجاد مجموع حاصل ضرب مركز الفئة 2 من خالل الجدول التالي .fالتكرار

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

X .f مركز x)الفئة)

عدد العمال (f)

فئات األجر

440 55 8 50-

780 65 12 60- 1125 75 15 70- 850 85 10 80- 475 95 5 90- 100

3670 - 50 المجموع

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

- التعويض في المعادلة التالية لحساب 3 الوسط الحسابي ألجر العامل:

73.4ريال

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

مزايا وعيوب الوسط الحسابي

العيوب-يت����أثر في حس����ابه ب����القيم 1

المتطرفة أو الشاذة.

- ال يمكن حس��ابه من البيان��ات 2الوصفية.

-ال يمكن حس���ابه من الج���داول 3التكراري���ة المفتوح���ة من أح���د

الطرفين أو من كليهما.

- ال يمكن إيجاده بيانيا بالرسم.4

المزاي��ا- س�هولة حس�ابه والتعام�ل مع�ه 1

جبريا.- دخ�ول جمي�ع القيم في حس�ابه 2

) أي ال يمكن إهم���ال أي مف���ردة عند حسابه(

- يعت����بر األس����اس في معظم 3عمليات االستدالل اإلحصائي.

الوسط الحسابي كمي102مبادئ اإلحصاء

تعريف الوسط الهندسي:

يع��رف الوس��ط الهندس��ي لمجموع��ة من القيم بأن��ه الج��ذر ( GMالنوني لحاصل ضرب هذه القيم ويرمز له بالرمز )

حيث:

يس�تخدم الوس�ط الهندس�ي عن�د حس�اب القيم�ة المتوس�طةلعدد من النسب المئوية.

:يتميز الوسط الهندسي عن الوسط الحسابي باألتي- ان�ه أق�ل ت�أثرا من الوس�ط الحس�ابي ب�القيم المتطرف�ة أو 1

الشاذة .- ال يمكن حس��ابه إذا ك��انت القيم تحت��وى على أص��فار أو 2

قيم سالبة.

Geometric Mean 2- الوسط الهندسي

الوسط الهندسي كمي102مبادئ اإلحصاء

(2-3)مثال أحسب الوسط الهندسي للقيم اآلتية:

20 30 37 28 17 32

الحل

26.39 =

الوسط الهندسي كمي102مبادئ اإلحصاء

تعريف الوسط التوافقي:

يع�رف الوس�ط الت�وافقي لمجموع�ة من القيم بأن�ه مقل�وب (. HMالوسط الحسابي لمقلوب القيم ويرمز له بالرمز )

: حيث

يس�تخدم الوس�ط الت�وافقي في الح�االت ال�تي ال يص�لح فيها استخدام الوسط الحسابي أو الوسط الهندسي.

والوس�ط الت�وافقي يعتم�د في حس�ابه على جمي�ع القيم مثل الوسط الحسابي والوسط الهندسي.

الوسط التوافقي كمي102مبادئ اإلحصاء

Harmonic Mean 3- الوسط التوافقي

(2-4)مثال

أحسب الوسط التوافقي للقيم األتية: 18 37 25 46 57 77 20

الحل

الوسط التوافقي كمي102مبادئ اإلحصاء

تعريف الوسيط: يع�رف الوس�يط بأن�ه عب�ارة عن القيم�ة ال�تي تق�ع في منتص�ف القيم، أي القيم�ة ال�تي ع�دد القيم قبله�ا يك�ون مس�اوي لع�دد القيم بع�دها

.Mبعد ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا . ويرمز له بالرمز طرق حساب الوسيط:

أوال : حساب الوسيط في حالة البيانات غير المبوبة.لحساب الوسيط من البيانات الغير مبوبة نتبع األتي .

- ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا حسب قيمها.1- حساب الوسيط )تحديد موقع الوسيط(.2 ( إذا كان عدد المفردات n) : عدد فردى فان

قيمة الوسيط = القيمة الوسطى ( إذا كان عدد المفردات n) عدد زوجي فان

قيم����ة الوس����يط =) مجم����وع القيم����تين 2الوسيطتين( ÷

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

Median 4- الوسيط

البيان�ات التالي�ة تمث�ل األج�ور اليومي�ة بالري�ال لعين�تين (:2-5)مث�ال

من العاملين بإحدى القطاعات.90 70 100 60 80( 1العينة )50 90 70 100 60 80( 2العينة )

حس�اب وس�يط األج�ر لك�ل عين�ة من العين�تين والمطل�وب : السابقتين .

الحل( لحساب الوسيط نتبع األتي :1أ( العينة )

100 90 80 70 60ترتيب القيم تصاعديا ع�دد ف�ردى وبالت�الي ف�ان قيم�ة الوس�يط= 5عدد القيم =

ريال80( لحساب الوسيط نتبع األتي :2ب( العينة )

50 100 90 80 70 60ترتيب القيم تصاعديا 80 ع�دد زوجي وبالت�الي ف�ان قيم�ة الوس�يط= )6عدد القيم =

ريال150÷2 = 75 = 2÷70+)

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

ثانيا: في حالة البيانات المبوبة. لحساب الوسيط من البيانات المبوبة نتبع األتي:

تكوين جدول تكراري متجمع صاعد أو هابط .-1تحدي��د ت��رتيب الوس��يط .حيث ت��رتيب الوس��يط= )مجم��وع -2

÷ .2التكرارات( تحدي�د فئ�ة الوس�يط عن طري�ق ت�رتيب الوس�يط ثم تحدي�د -3

التك�رار الس�ابق لفئ�ة الوس�يط ، والتك�رار الالح�ق ثم تحدي�د طول فئة الوسيط .

التعويض في المعادلة التالية.-4

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

  بداي�ة فئ�ة الوس�يط وهى الفئ�ة ال�تي يق�ع فيه�ا الوس�يط Lحيث

وتحدد بترتيب الوسيط.

و هي ترتيب الوسيط حيث .

هي التكرار المتجمع السابق لموقع الوسيط. هي التكرار المتجمع الالحق لموقع الوسيط.

ط�ول فئ�ة الوس�يط = الح�د األعلى لف�ة الوس�يط- الح�د األدنى لفئة الوسيط

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

(:2-6)مثال فيم�ا يلي التوزي�ع التك�راري لل�دخول اليومي�ة بالري�ال لعين�ة حجمه�ا

عامل من العاملين بأحد القطاعات.50

والمطلوب : حساب وسيط األجر.

الحللحساب وسيط األجر نتبع اآلتى:

- تكوين جدول تكراري متجمع صاعد.1

90-10080- 70- 60- 50- 40- 30-

فئات األجر

3 6 8 15 9 5 عدد 4العمال

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

موقع الوسيط

تكرار متجمع صاعد الحدود العليا للفئات0 30أقل من

4 40أقل من

9 50أقل من

التكرار السابق 18 60أقل من

التكرار الالحق 33 70أقل من

41 80أقل من

47 90أقل من

50 90أقل من

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

فئة الوسي

ط

= 25 - تحديد ترتيب الوسيط 2

- حساب الوسيط . 3

64.67

ريال.64.67وسيط األجر=

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

مزايا وعيوب

الوسيط

العيوب- ال يمكن حسابه من البيانات الوصفية.1-ع��دم دخ��ول جمي��ع القيم في حس��ابه 2

) يتم الترك����يز على قيم����ة واح����دة أو قيمتين في حسابه(.

- من الص��عب اس��تخدامه في اإلحص��اء 3االس���تداللي وذل���ك لص���عوبة معالجت���ه

بالطرق الجبرية.

المزايا- ال يت����أثر في حس����ابه ب����القيم 1

المتطرفة أو الشاذة.- سهولة حسابه أو إيجاده.2-يمكن حس�������ابه من الج�������داول 3

التكراري�����ة المفتوح�����ة من أح�����د الطرفين أو من كليهما.

-يمكن إيجاده بالرسم.4

الوسيط كمي102مبادئ اإلحصاء

هو عبارة عن قيمة المفردة األكثر تكرارا أو المنوال .Modشيوعا و يرمز له بالرمز

طرق حساب المنوال:

أوال: في حالة البيانات غير المبوبة : نس�تخدم التعري�ف مباش�رة أي أن قيم�ة المن�وال = القيم�ة ال�تي تتك�رر أك�ثر من غيره�ا ) أي المف�ردة األك�ثر تك�رارا أو

شيوعا (.

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

Mod 5-المنوال

إذا ك�ان ل�دينا بيان�ات ألج�ر ثالث عين�ات من الع�املين :( 2-7)مث�ال بأحد القطاعات.

( 1العينة )60 100 60 80 70 90

(2العينة ) 50 50 90 100 70 80 100 50 100

60 10

( 3العينة )40 90 70 80 50 30 60 100

إيجاد المنوال لكل عينة من العينات السابقةوالمطلوب:

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

الحل

= Modمن تعري��ف المن��وال نج��د أن المن��وال ( 1العين��ة )ريال60

Modمن تعري�ف المن�وال نج�د أن المن�وال األول ( 2العين�ة )ريال50 =

ألن كليهم�ا تك�رر ثالث م�رات . Mod = 100المن�وال الث�اني ) الحظ في هذه العينة وجد منوالن ( .

)ال Modمن تعري��ف المن��وال نج��د أن المن��وال ( 3العين��ة )يوجد منوال لهذه القيم لعدم وجود قيم مكررة(

الح�ظ األتي ) عن�د إيج�اد المن�وال لمجموع�ة من البيان�ات إذا لم يوج�د تك�رار في البيان�ات ) ال يوج�د من�وال( ، إذا وج�دت في البيان�ات قيم�ة واح�دة مك�ررة أك�ثر من غيره�ا )يوج�د من�وال وحي�د( ، إذا وج�دت أك�ثر من قيم�ة واح�دة مك�ررة

أكثر من غيرها في البيانات )يوجد أكثر من منوال(

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

طالب في 10البيان�ات التالي�ة تمث�ل تق�ديرات (:2-8)مث�ال مادة االقتصاد. A B D B C F D C B F

المطلوب :حساب المنوال لهذه التقديرات.الحل

هذه البيانات بيانات وصفية وبالتالي فان المنوال هو التقدير األكثر تكرارا.

Bالمنوال=

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

ثانيا : في حالة البيانات المبوبة:لحساب المنوال فى حالة البيانات المبوبة نتبع الخطوات اآلتية:

) وهى الفئ�ة المن�اظرة ألك�بر تك�رار في - تحدي��د فئ�ة المن�وال 1الجدول التكراري(

- حساب المنوال بالمعادلة : 2حيث:

Lبداية فئة المنوال: أكبر تكرار - التكرار السابق له. =

= أكبر تكرار - التكرار الالحق له. طول فئة المنوال.

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

سلعة تم إنتاجها 100فيما يلي التوزيع التكراري ألعمار (:2-9)مثال بواسطة أحد المصانع.

إيجاد المنوال لعمر السلعة .والمطلوب:

الحللحساب المنوال نتبع األتي.

تحدي��د فئ��ة المن��وال) هي الفئ��ة المن��اظرة ألك��بر تك��رار في -1الجدول (

28 حيث أكبر تكرار=

11-13 9- 7 - 5- 3- 1- أعمار السلع

)بالسنوات)

8 13 23 28 14 10 عدد السلع

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

.L=5( وبالتالي 5 - 7 فئة المنوال هي )-2

= 14=14-28= ، 2 إيج�اد : -3 ، 28-23=5 =

ريال6.47المنوال لعمر السلعة=

ويمكن إيجاد المنوال بيانيا من المدرج التكراري كما يلي:يتم تحدي��د المس��تطيل ال��ذي يمث��ل فئ��ة المن��وال )الفئ��ة المن��اظرة ألك��بر تك��رار( والمس��تطيل ال��ذي يمث��ل الفئ��ة

السابقة والمستطيل الذي يمثل الفئة الالحقة أيضا.نص��ل رؤوس المس��تطيالت ببض��عها فتتقاب��ل في نقط��ة نس�قط منه�ا عم�ود على المح�ور األفقي ، فتك�ون هي قيم�ة

المنوال.

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء

مزايا وعيوب المنوال

العيوبع���دم دخ���ول جمي���ع القيم في -1

حسابه أق�ل مق�اييس النزع�ة المركزي�ة -2

استخداما. يع�اب على المن�وال ع�دم وج�وده -3

في بعض البيان����ات ، كم����ا يمكن وج��ود أك��ثر من من��وال في بعض

البيانات. ع���ديم الفائ���دة في البيان���ات -4

قليلة العدد.

المزايا ال يت��أثر في حس��ابه كث��يرا ب��القيم -1

المتطرفة أو الشاذة. سهولة حسابه أو إيجاده.-2 يمكن حس�ابه من الج�داول التكراري�ة -3

المفتوح���ة من أح���د الط���رفين أو من كليهما.

يمكن إيجاده بالرسم.-4 يمكن حس���ابه فى حال���ة البيان���ات -5

الوصفية

المنوال كمي102مبادئ اإلحصاء