Урок 10

Углы между лучами и прямыми

Два луча называются сонаправленными, если один из них является подмножеством другого или они лежат на параллельных прямых в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала. Два луча называются противоположно направленными, если один из них сонаправлен с лучом, дополнительным к другому

p q и p q

Можно ли эти определения использовать в стереометрии?

В планиметрии мы доказывается, что отношение сонаправленности лучей является отношением эквивалентности. Что это означает?

Рефлексивность

Симметричность

Транзитивность

p р

p q q p

p q, q r p r

Доказать

Если три луча не лежат в одной плоскости, то их начала P, Q и R не лежат на одной прямой.

Рассмотрим (PQR);лучи р и r лежат на параллельных прямых, так как для параллельности прямых свойство транзитивности в пространстве доказано. Кроме того, так как p q, то эти лучи лежат в одной полуплоскости относительно (PQ), а значит и в одном полупространстве относительно (PQR). Аналогично, лучи q и r лежат в одном полупространстве относительно (PQR). Следовательно, это верно для лучей р и r, то есть, они лежат на параллельных прямых в одной полуплоскости относительно (PR)

Какие из этих свойств выполняются для противоположной направленности лучей?

Каким свойством обладают углы с соответственно сонаправленными сторонами в планиметрии?

Верно ли это в пространстве?

Теорема. Углы, стороны которых являются соответственно сонаправленными лучами, равны.

Следствие. Углы с противоположно направленными сторонами равны

Определение. 1) Угол между сонаправленными лучами равен 0.

2) Углом между лучами [OP) и [OQ) называется величина меньшего из плоских углов POQ.

3) Углом между лучами р и q, имеющими различные начала, называется угол между [OP) и [OQ), которые соответственно им сонаправлены .

. В каких границах лежит величина угла между лучам?

В правильной треугольной призме все ребра равны. Используя только вершины, укажите как можно больше пар лучей с различными углами между ними.

2

4 2

4

2

46

43

6

4

1) ([AA’); [BB’)) = 0;2) ([AA’); [C’C)) = 1803) ([AA’); [BC)) = 90;4) ([AA’); [BA’)) = 455) ([AA’); [A’B)) = 1356) ([AB); [AC)) = 60;7) ([AB); [CA)) = 1208) ([BA’); [BC’)) = 2arcsin

9) ([A’B); [BC’)) = – 2arcsin = 2arccos

10) ([CA’); [BC’)) = BC’D= 2arcsin , так как ABD = 90 и |BD| =

11) ([CA’); [C’B)) = – BC’D = 2arccos