第 11 章 递归 递归的定义 常见递归问题 递归的实现 递归转化为非递归的一般过程 递归的时间和空间复杂度

递归的定义概念：递归：一个事件或对象部分的由自己组成，或者按它自己来定义。 递归算法分类：

递推：为得到问题的解，将其推到比原来问题简单的问题求解上。 回归：简单问题得到解后，回归到原问题的解上。

递归函数分类：直接递归：函数直接调用本身。

A( ){…… CALL A( )

......}间接递归：一函数在调用其他函数时，又产生了对自身的调用。 A( ) B( ) {…… {…… CALL B （） CALL A （） …… } …… }

常见递归问题汉诺塔问题 八皇后问题 组合公式的计算

汉诺塔问题问题描述：有三个命名为 A 、 B 、 C 的塔座，在塔座A 上插有 n 个直径各不相同的，从小到大依次编号为1 ， 2 ， 3 ，……， n 的圆盘，编号越大的圆盘其直径越大；要求将 A 轴上的 n 个圆盘全部移至塔座 C 上并仍按同样顺序叠放，并且圆盘移动时必须遵循下列规则：

每次只能移动一个圆盘。圆盘可以插入 A 、 B 、 C 中任一个塔座上。任何时候都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘上。

实例： n=3

实例： n=6

汉诺塔问题的递归算法：void hanoi ( int n, char x, char y, char z){/* 递归算法 */ if(n= =1) move （ x ， z ）； else { hanoi （ n-1 ， x ， z ， y ）； /* 把 N-1 个盘子从 X 借助 Z 移到 Y*/ printf （” %c-%c\n”, x ， z ）； /* 把盘子 N 从 X直接移到 Z*/ hanoi （ n-1 ， y ， x ， z ）； /* 把 N-1 个盘子从 Y 借助 X 移到 Z */ }} 返回

八皇后问题问题描述：在一个 88 的棋盘上放置 8 个皇后，那么n 个皇后的问题就是在 nn 的棋盘上放置 n 个皇后。规则：不允许两个皇后在同一行，同一列或同一对角线上。图示：

实例：四皇后问题。

八皇后问题的算法：Void Eight_que(int q){ int i,j; while(i<max_N) { if (search(q,i) ！ = null) { queen[q]=j; if(q=max_n-1) { for(j=1;j<max_n;j++) printf(“%d,%d”,j, queen (j));} else Eight_que(q+1);} i++;} }

int search(int x,int i){ int j,m,atk; atk=0; j=1; while(atk = =0) && (j < x)) { m= queen[j]; atk=(m= =i)||(abs(m-i)= = abs(j-x)); j++; }return(atk);}/*search*/返回

组合公式的计算问题描述：递归的实现：

采用递归算法具备的条件： 要解决的问题可以转化成另一个问题，解决新问题的方法与原始问题的解决方法相同。 必须具备终止递归的条件。

递归的实现机制： 分配调用过程函数所需要的数据区。 保存返回地址，传递参数信息 。把控制权转移给被调用函数。

被调用函数运行结束后需完成的工作：保存返回时的有关信息。释放被调有函数占用的数据区。按调用时保存的返回地址，把控制权转移到调用函数中调用语句的下一条语句。

递归工作栈 的变化：

实例 1-- 求 n ！的算法：int Dg( int n){ long y ； int x ； x=n-1 ； if (n<0) return error ； else if ( n = =0|| n = =1 ) return(1) ； else y= Dg(x)return(Dg(x) * n) ；}

实例 2-- 调用 dg （ n ），求 6！：

实例 3--斐波那齐数列（ Fibonacci Number ）的递归算法： fib(n)=

int fib （ int n ）{if （ n<=1 ）return （ n ）；Else return （ fib （ n-1 ） +fib （ n-2 ））；}

n n=0 或 n=1fib(n-1)+fib(n-2) n>1

求 fib(6) ：

递归转化为非递归的一般过程转换步骤：写出问题的递归形式。转换成模拟形态，包括准备所有栈和临时地址。除去多余的栈和变量。得到一有效的非递归程序。

实例 --斐波那齐数列的非递归算法： void fib （ int n ）{ int prev ， now ， next ， j ； if （ n<=1 ） return(n); else { prev=0; now=1; for(j=2;j<=n;j++) { next=prev+now; prev=now; now=next; } return(next);} }

递归的时间和空间复杂度实例讨论：非递归的实现 6！的算法 Int Dg( ){ int i, result; result=1; for (i= =1; i<6; i++) result=result*i; return result;}时间复杂度为： T（ 6） =O（ 1 ） 空间空间复杂度： O（ 1 ）

6！递归实现的算法：int Dg(n){/* 递归调用函数 */int f ；if (n<0) return error ；else if (n= =0|| n= =1) f=1 ； else f=dg(n-1)*n ；return(f ) ；}时间复杂度： T（ 6） =O(f1(6))+O(f2(6)) 空间复杂度比非递归的要大。