1

Ημερομηνία: 13/12/2006

Τμήμα: Πληροφορικής του Ιονίου

Πανεπιστημίου

Ακαδημ. Έτος: Α΄

MATHEMATICA

2

2η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ MATHEMATICA

ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΡΟΖΟΥ ΑΡΓΥΡΩ

ΚΟΥΓΚΑ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΣΟΥΛΟΥΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ

3

Να θυμηθούμε:

Οι 5 βασικές αριθμητικές λειτουργίες στο MATHEMATICA ορίζονται ως εξής:

ΠΡΑΞΗ ΣΥΜΒΟΛΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Πρόσθεση + 5+3

Αφαίρεση - 5-3

Πολλαπλασιασμός

* ή διάκενο

5*3

Διαίρεση / 5/3

Ύψωση σε δύναμη

^ 5^3

4

ΣΥΜΒΟΛΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICAπ Pi

∞ Infinity

x/y

Sqrt[x]

x→y x- >y

x≤y x<=y

x≥y x>=y

∫f(x)dx Integrate[f[x]]

ημχ Sin[x]

y

x

x

5

ημx Sin[x]

συνx Cos[x]

εφx Tan[x]

Εκθετική Exp[x]

Λογάριθμος Log[x]

Υπερβολικές Συναρτήσεις

Sinh[x], Cosh[x], Tan[x]

Απόλυτη Τιμή Abs[x]

Πρόσημο του x Sign[x]

e E

i I

6

Ακόμη,για να βρούμε το αποτέλεσμα που επιθυμούμε πληκτρολογούμε την κάθε εντολή και μετά κρατώντας το πλήκτρο SHIFT πατάμε το πλήκτρο ENTER.

7

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Do

Σύνταξη της εντολής Do: Do[έκφραση,{i,imin,imax,istep}]

a[0]=1;Do[a[n+1]=f[n,a[n]],{n,0,N}]

Παράδειγμα a[0]=1;Do[a[n=1]=(n+1)=(n+1)a[n],{n,0,10}];Table[a[n],{n,0,10}]

Out[1]={a[0],11 a[10],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9],a[10]}

8

Άσκηση:

xn+1=xn - Με g(x)=x-cosx

Λύση στο MATHEMATICA:x[0]=1.0;Do[x[n+1]=x[n]-(x[n]-Cos[x[n]])/

(1+Sin[x[n]]),{n,0,10}];Table[x[n],{n,0,10}]

Out[2]={1.,0.750364,0.739113,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085,0.739085}

)('

)(

n

n

xg

xg

9

Λύση εξίσωσης x=f(x)

x=x0;Do[x=f[x],{N}];x

Παράδειγμα:

x=0.1;Do[x=Cos[x],{20}];x

Out[3]=0.73894

10

Λογισμός ΠινάκωνDet[A], Inverse[A], Eigensystem[A], MatrixPower[A,n], MatrixExp[A]

ΕΝΤΟΛΗ ΤΙ ΚΑΝΕΙ

Det[A] Υπολογίζει την ορίζουσα του πίνακα Α

Inverse[A] Υπολογίζει την αντίστροφη του πίνακα Α

Eigensystem[A] Υπολογίζει την ιδιοτιμία και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α

MatrixPower[A,n] Υπολογίζει τη νιοστή δύναμη του πίνακα Α

MatrixExp[A] Υπολογίζει το εκθετικό του πίνακα Α Ae

11

Παράδειγμα σύνταξης ενός πίνακα Α n×n:

A={{a11,…,a1n},{a21,…,a2n},…{an1,..ann}}

nnn

n

n

aa

aa

aa

A

...

...

...

1

221

111

12

Πίνακες: λίστα από λίστες

}}3,1{},1,3{{

31

13

A

A

13

Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα Α:

Det[A]

Out[5]=8

Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα Α:

Inverse[A]

Out[6]= }}8

3,8

1{},

8

1,8

3{{

14

Πιο συγκεκριμένα ο αντίστροφος του πίνακα Α είναι:

Α-1=

8

3

8

18

1

8

3

15

Υπολογισμός των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα Α:

Eigensystem[A]

Out[7]={{4,2},{{1,1},{-1,1}}}

Προβολή των ιδιοτιμών ΜΟΝΟ:

Eigensystem[A][[1]]

Out[8]={4,2}

16

Προβολή των ιδιοδιανυσμάτων ΜΟΝΟ:

Eigensystem[A][[2]]

Out[9]={{1,1},{-1,1}}

Υπολογισμός της νιοστής δύναμης του πίνακα Α:

MatrixPower[A,n] ,όπου n ο βαθμός της

δύναμης

Για ν=4 θα έχουμε:

MatrixPower[A,4]

17

Out[10]={{136,120},{120,136}}

Πιο συγκεκριμένα η 4η δύναμη του πίνακα Α είναι ο πίνακας:

Α4=

136120

120136

18

Υπολογισμός του εκθετικού πίνακα Α(eA):

MatrixExp[A]

Out[11]=

)}}(2

1),(

2

1{

)},(2

1),(

2

1{{

4242

4242

eeee

eeee

19

Πιο συγκεκριμένα ο εκθετικός του πίνακα Α είναι ο πίνακας:

eA=

2222

22224242

4242

eeee

eeee

20

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ (dot)

Παραδείγματα:

{{2,1},{-3,5}}.{{-4,6},{1,3}}

Out[12]={{-7,15},{17,-3}}

{{9,4},{-67,23}}.{{12,-46},{5,7}}

Out[13]={{128,-386},{-689,3243}}

21

Οι εντολές: MatrixForm, MatrixTable

Σύνταξη της MatrixForm

{{2,1},{-3,5}}.{{-4,6},{1,3}}//MatrixForm

Out[14]=

317

157

22

Η σύνταξη της TableForm

{{4,9},{-6,4}}.{{60,-43},{2,9}}//TableForm

Out[15]=294352

91258

23

ΤΕΛΟΣ

2ης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

MATHEMATICA

24

3η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ MATHEMATICA

ΑΠΟ ΤΙΣ ΚΑΡΟΖΟΥ ΑΡΓΥΡΩ

ΚΟΥΓΚΑ ΓΕΩΡΓΙΑ

ΣΟΥΛΟΥΚΟΥ ΔΗΜΗΤΡΑ

25

ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΟΥ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΕΙΔΩΝ

Α. Θεωρητική Εισαγωγή

(1)

a→a-bN (b>0) =(a-bN)N=-bN2+aN

ateNtNdt

dN

0)(

dt

dN

26

ΥΠΑΡΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ

Τότε:

b

aNNNbNa

dt

dN 0)(

NN

Na

dt

dN)(

27

ΑΡΧΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ: Ν=Ν(0)

Κάθε αρχικός Πληθυσμός Ν=Ν(0)<Ν∞

τείνει να αυξάνεται

Αν Ν=Ν(0)> Ν∞ τείνει να μειώνεται

θέτουμε τότε:

x(t):Ποσοστό οριακού πληθυσμού τη στιγμή t

a:=r

N

Nx

)1( xrxx

28

ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

x0: αρχικός πληθυσμόςx∞=1x=0 κρίσιμο σημείοx=-1 ασταθές σημείοx=1 ευσταθές σημείο , για κάθε αρχικό σημείο x0

rtexx

xtx

)1(

)(00

0

1)(lim

txt

29

Γραφική Παράσταση της Διαφορικής Εξίσωσης με Αρχικές Συνθήκες

Παράδειγμα

y΄+ =cos(x2)

Να γίνει η γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ολοκληρωτικές καμπύλες της Δ.Ε.)

x

y

30

s1=DSolve[{y΄[x]+ ==Cos[x2]},y[x],x]

Out[16]={{y[x]→ }}

p1=y[x]/.s1[[1]]

Out[17]=

x

xy ][

x

xSin

x

C

2

][]1[ 2

x

xSin

x

C

2

][]1[ 2

31

Plot[Evaluate[Table[p1/C[1]→i,{i,-2,2}],

{x,0,5}]]

Out[18]=

1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

32

Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΟ MATHEMATICA

«ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ» r, x(0)=a, χρόνος παρατήρησης

f[r_,a_a,T_]:=NDSolve[{x΄[t]==r*x[t]*(1-x[t]), x[0]==a},x,{t,0,T}]

Πειράματα:S1=f[0.1,0.5,30];S2=f[0.1,2,30];Plot[{x[t]/.S1,x[t]/.S2,1},{t,0,30},PlotRange→{0,2}]

Προσοχή: Το σύμβολο → θα το βρείτε στη βοηθητική παλέτα

33

Αποτέλεσμα: Σύγκλιση δύο λύσεων στην κοινή οριακή τιμή x=1

Out[16]=

5 10 15 20 25 30

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

34

ΤΕΛΟΣ

3ης ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ

MATHEMATICA