Elve Vutt

IV kursus FUNKTSIOONID I

Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X vastab mingi kindla eeskirja järgi üks ja ainult üks muutuja y väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon hulgas X. Tähistatakse y = f(x). Siin x on sõltumatu muutuja ehk argument. Muutuja x kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y = f(x) väärtust saab arvutada, nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks ja tähistatakse tähega X. Arvutamisega tekib probleeme, kui avaldises esineb jagamist, sest 0-ga jagada ei saa, või juurimist paarisarvulise juurijaga, sest negatiivsest arvust selline juur puudub.

Kokkuvõtvalt: X: b

a siit 0≠b n a2 siit 0≥a

Näide 1. y = 22532

x

xx

−+−

Funktsiooni väärtusi saab arvutada, kui

≠

−≠

≥

⇒

≠−

≥−

5

5

5,1

025

0322

x

x

x

x

x

Teeme joonise ja kirjutame selle põhjal välja vastuse:X = [ [ ] [∞;55;5,1 U . Ülesanne 1(Tõnso 11.kl.õpik ül.95). Leia funktsiooni k(x) määramispiirkond.

1) k(x) = 15 −x 2) k(x) = 12 +x 3) k(x) = 12 −x

4) k(x) = x

13− 5) k(x) =

1

12 −x

6) k(x) = 32

12 −− xx

7) k(x) = 22 )1( −x 8) k(x) = 322 −− xx 9) k(x) = 32 −− x

Vastused: 1) R 2) R 3) ] ] [ [∞−∞− ;11; U 4) ] [ ] [∞∞− ;00; U ehk R va.0 5) ] [ ] [∞−∞− ;11; U

6) R va. -1 ja 3 7) R 8) ] ] [ [∞−∞− ;31; U 9) puudub (vt. joonist)

Muutuja y kõigi väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni väärtuste hulgaks või muutumispiirkonnaks ja tähistatakse tähega Y.

Kuidas funktsiooni graafiku järgi ära tunda määramispiirkonda ja ka muutumispiirkonda? Kui tervet graafikut saab joonestada pliiatsit paberilt tõstmata , siis on määramispiirkonnaks kõik reaalarvud st. X = R. Graafiku katkevuskohad tuleb määramispiirkonnast välja jätta, samuti need argumendi väärtuste piirkonnad, kus üles-alla (muutumispiirkonna puhul vasakule-paremale) liikudes nö. graafikut ees ei ole. Uurime mõningaid ül.1 antud graafikuid: 2 ja 7 graafikuid saab joonestada ühe pliiatsi tõmbega. Muutumispiirkond Y = [ [∞;1 ja Y = [ )∞;0 , kuna allpool y = 1 ja x-telge graafikut pole. 3 ja 5 graafikuid saab joonestada kahes osas. Vahemikus -1-st 1-ni graafikut pole. Erinevus seisneb üksnes selles, et 1± on 3. funktsiooni määramispiirkonda

Elve Vutt

kaasa arvatud, kuid 5. mitte 1. graafukut leiab eest nii x-telge pidi üles-alla kui ka y-telge pidi vasakule- paremale liikudes. Seega X = Y = R 4. katkevuskoht on 0 ja see määramispiirkonda ei kuulu. Graafikut ei leia eest ka y-teljel kohal 3 vasakule- paremale liikudes. Seega Y = ] [ ] [∞∞− ;33; U 6. graafikut tuleb joonestada kolmes „tükis“ ja keskmise „tüki“ kõrgeim punkt on kohal 1 ja funktsiooni väärtus sellel kohal on

y = 25,04

1321

12 −=

−=

−−. Seega Y = ] ] ] [∞−∞− ;025,0; U

Leia Wirise demol esitatud funktsioonide (vajutades nupule „New“) graafikute põhjal määramis- ja muutumispiirkonnad või sisesta ise funktsioonide valemeid ja uuri neid.

http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/lb-015.html

Kas said sellised vastused? Funktsiooni f(x) = 1 määramispiirkond X = R muutumispiirkond Y = { }1 f(x) = x X = R Y = R f(x) = x2 X = R Y = [ [∞;0 f(x) = x3 X = R Y = R

f(x) = x

1 X = R välja arvatud 0 Y = R v.a. 0

f(x) = x X = [ [∞;0 Y = [ [∞;0

f(x) = sinx X = R Y = [ ]1;1−

f(x) = 12

2

−x

x X = R v.a. 1± Y = ] ] ] [∞∞− ;10; U

Argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohaks.

Nullkohad X0: y = f(x) = 0 Graafiku lõikepunkti abstsiss x-teljega

Näide 2. Leiame funktsioonide nullkohad.

a) y = 2x+7 Lahendame võrrandi 2x+7 = 0. Lahend on x = -3,5. Vastus: X0= { }5,3−

b) y = x2 - x – 2 x2 - x – 2 = 0 x1 = -1 ja x2 = 2 Vastus: X0= { }2;1−

c) y = 352

+−

x

x

5,203

0520

352

=⇒

≠+

=−⇒=

+−

xx

x

x

x Vastus: X0= { }5,2

Elve Vutt

Ülesanne 2 (Tõnso 11.kl.õpik ül.109). Leia funktsiooni nullkohad ja skitseeri graafik. 1) y = 3x – 4 2) y = 3 3) y = -2x – 5 4) y = x2-4 5) y = -x2-3 6) y = x2 - 3x – 4

7) y = x3 8) y = x

x

2332

−−

9) y = x34

3−

Vastused:1,2,3 4,5,6,7

8,9

8) Kui 023 ≠− x ,

siis y = 123

32−=

−−

x

x.

Kui 3-2x=0, siis funktsioon ei ole määratud ning kohal x= 1,5 funktsioonil väärtus puudub.

9) Funktsioonil y = x34

3−

0-kohad puuduvad, sest lugeja ei võrdu kunagi nulliga. Et graafikut joonestada on tarvis mõningate graafikute punktide koordinaadid arvutada: x -4 -2 0 1 1,5 2 4 6 y 0,2 0,3 0,75 3 -6 -1,5 -0,4 -0,2

Kui graafikut skitseerisid, siis kõige pealt kandsid nullkohad x-teljele ja seejärel joonestasid tõusva (1) langeva (2) sirge, parabooli avanema üles (4) alla (5) jne. Kuidas saab graafiku põhjal üles leida nullkohti? Märkasid, et nullkohad on graafiku ja x-telje lõikepunktide x-koordinaadid. Nii näiteks 2.5. 8. ja 9. funktsioonil nullkohad puuduvad, kuna nende funktsioonide graafikud ei lõiku x-teljega. Argumendi kõigi selliste väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed (negatiivsed) nimetatakse vastavalt funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (negatiivsuspiirkonnaks).

Positiivsuspiirkond X+: y > 0 Negatiivsuspiirkond X-: y < 0 Graafik paikneb pealpool x-telge Graafik paikneb allpool x-telge

Elve Vutt

Vaata, millisesse piirkonda kuulub arv 1 Wirise poolt välja pakutud funktsioonide (kliki „New“) korral:

http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/lb-016.html Vastus: arv 1 kuulub positiivsuspiirkondadesse. Kui sinist punkti lohistada pikki x-telge, saab näha ka teiste argumendi väärtuste kuulumist nimetatud piirkondadesse. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus ja kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus.

Kasvamisvahemik ↑X Kahanemisvahemik ↓X Graafikul „sipelgas ronib“ Graafikul „sipelgas laseb liugu“

Ülesanne 3: Otsusta Wirise demo põhjal, millised alljärgnevatest funktsioonidest on kohal 1 kasvavad (Increasing). http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/lb-017.html

1. y = sinx 5. y = (sisesta f(x) välja: 2. y = x2 6. y =

3. y = 7. y = cos(3x) (sulud on sisestamisel vajalikud)

4. y = lnx 8. y = Vastus: 1, 2, 4 ja 7

Leia funktsioonide kasvamis- ja kahanemisvahemikud: http://www.allarveelmaa.com/geogebra/kaskahtuletiseta.html

Kui argumendi x-i suurenedes funktsiooni kasvamine läheb kohal x0 üle kahanemiseks, siis on koht x0 selle funktsiooni maksimumkoht ja funktsiooni väärtust sellel kohal nimetatakse funktsiooni maksimumiks. Kui argumendi x-i suurenedes funktsiooni kahanemine läheb kohal x0 üle kasvamiseks, siis on koht x0 selle funktsiooni miinimumkoht ja funktsiooni väärtust sellel kohal nimetatakse funktsiooni miinimumiks. Funktsiooni maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks ja tähistatakse sümbolitega ymax ja ymin.

Kui tähistada ekstreemumkohti sümbolitega xmax ja xmin, siis funktsiooni graafiku punkte (xmax;ymax) ja (xmin;ymin) nimetatakse vastavalt maksimumpunktiks ja miinimumpunktiks .

Maksimumkoht xmax Miinimumkoht xmin Maksimumpunkt E(xmax;ymax) Miinimumpunkt E(xmin;ymin) Kasvamine läheb üle kahanemiseks Kahanemine läheb üle kasvamiseks Graafikul on „mäe hari“ Graafikul on „oru põhi“

Leia funktsioonide ekstreemumid. http://www.allarveelmaa.com/geogebra/ekstreemumid.html

Elve Vutt

Kokkuvõte funktsiooni y = f(x) uurimisest (ilma tuletiseta). Jrk Mida leiame Tähis Kuidas leiame 1.

Määramispiirkond ; ;

Reaalarvude hulgast jätame välja kõik need x-i väärtused, mille korral pole võimalik arvutada funktsiooni väärtust.

2. Muutumispiirkond Y Leiame pöördfunktsiooni määramispiirkonna. 3. Nullkohad Lahendame võrrandi

Graafiku lõikepunkti abstsiss x-teljega 4. Positiivsuspiirkonnad

Negatiivsuspiirkond

Lahendame võrratuse Graafik paikneb pealpool x-telge Lahendame võrratuse Graafik paikneb allpool x-telge

5. Kasvamisvahemikud Kahanemisvahemikud

Graafikul „sipelgas ronib mäest üles“ Graafikul „sipelgas laseb mäest alla liugu“

6. Ekstreemumkohad Ekstreemumkohtade liigid

Graafiku kõrgeima punkti (mäe hari) abstsiss Graafiku madalaima punkti (oru põhi) abstsiss

7. Ekstreemumid

Funktsiooni maksimumid Funktsiooni miinimumid

Ekstreemumpunktid

Fuktsiooni graafiku punktid: Maksimumpunkt ) Miinimumpunkt )

8*. Funktsiooni graafiku käänukohad Käänupunktid

Graafiku kumerus (kauss kummuli) läheb üle nõgususeks (kauss püsti) või vastupidi. Graafiku punkt , kus

9*. Funktsiooni graafiku kumeruspiirkond nõgususpiirkond

Graafik meenutab „kummuli kaussi“ Graafik meenutab „püstist kaussi“

Näide 3. Uurime funktsiooni y = -x3+3x2+9x tema graafiku põhjal.

1. Et graafikut saab joonistada pliiatsit paberilt tõstmata, siis X = R ja ka

2. Y = R 3. Lõikepunkte x-teljega on kolm ja

nende abstsissid (esimesed koordinaadid) on x1= -1,9 x2= 0 ja x3= 4,9

{ }9,4;0;9,10 −=X

Täpsete vastuste saamiseks lahendame võrrandi -x3+3x2+9x = 0

0)933(093 223 =++−⇒=++− xxxxxx Siit x1=0 ja -3x2+3x+9=0, millest

2533

2453

2

)9(*1*493 ±=

±=

−−±=x

2)51(3

2

+=x ja

2)51(3

3

−=x

4. Graafik paikneb pealpool x-telge ( ) ( )9,4;09,1; U−∞−=+X

Graafik paikneb allpool x-telge ( ) ( )∞−=− ;9,40;9,1 UX

Elve Vutt

5. „Sipelgas ronib“ ( )3;1−↑=X ning „Sipelgas laseb liugu“ ( ) ( )∞−∞−↓ ;31;: jaX 6. xmin=-1 ja xmax=3 7. ymin= -(-1)3+3(-1)2+9(-1)= -5 ja ymax= -33+3*32+9*3 = 27. 8*. xk=1 ja yk= -1+3*1+9*1=11 ning käänupunkt K(1;11) 9*. „Kauss kummuli“ ( )∞= ;1X

) ja „kauss püsti“ ( )1;∞−=X

(

Põhikoolis õppisime võrdelisi ja pöördvõrdelisi seoseid ja nende graafikuid.

VÕRDELINE SEOS y = ax PÖÖRDVÕRDELINE SEOS y = a/x

Kontrolli testi abil, kas mäletad varem õpitut: http://www.mathema.ee/testid/7/poordvE.html

LINEAARFUNKTSIOON y = ax + b

Lineaarfunktsiooni graafik sõltuvalt a ja b väärtustest. Liugurid tulevad nähtavale, kui vasakut algebravälja vähendada. Redigeerimisest „võta tagasi“ saad ühekordse graafiku. http://www.allarveelmaa.com/geogebra/linfunktsioon.html Lineaarfunktsioon http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/lb-020.html Valemi leidmine graafiku järgi http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/ex-018.html Joone lõikepunktid koordinaattelgedega http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/ex-019.html Kokkuvõte lineaarfunktsioonist y = ax + b.

Tõus a>0 Tõus a<0 y = ax+b Graafik on tõusev sirge ja läbib punkti (0;b)

y = ax+b Graafik on langev sirge ja läbib punkti (0;b)

RUUTFUNKTSIOON y = ax2+bx+c

Ruutfunktsioon http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/lb-021.html Valemi leidmine parabooli järgi http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/ex-020.html Parabooli lõikepunktid koordinaattelgedega http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/ex-021.html Ruutfunktsioon y = ax2

http://www.allarveelmaa.com/geogebra/ruutfunktsioon1.html Ruutfunktsioon y = ax2+c http://www.allarveelmaa.com/geogebra/ruutfunktsioon6.html Ruutfunktsioon y = ax2+bx http://www.allarveelmaa.com/geogebra/ruutfunktsioon2.html Ruutfunktsioon y = ax2+bx+c

Elve Vutt

http://www.allarveelmaa.com/geogebra/ruutfunktsioon4.html Elementaarfunktsioonid http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/ex-002.html Funktsioonide omaduste lugemine graafiku järgi http://www.wiris.net/demo/whiteboard/en/lb-015.html Kokkuvõte ruutfunktsioonist y = ax2+bx+c.

a>0 a<0 Graafik on üles avanev parabool ja läbib punkti (0;c)

Graafik on alla avanev parabool ja läbib punkti (0;c)

ASTMEFUNKTSIOONID y = x n

Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = xn, kus n ≠ 0 ja n∈Z Naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioonid: http://www.allarveelmaa.com/geogebra/naturaalarvulineaste.html http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/astmefunktsioon.pdf Negatiivse astendajaga astmefunktsioonid: http://www.allarveelmaa.com/geogebra/negaste.html

PAARIS- JA PAARITUD FUNKTSIOONID

Kui funktsiooni y = f(x) väärtused kohtadel –x ja x on iga x∈X korral võrdsed, st. f(-x) = f(x), siis nimetatakse seda funktsiooni paarisfunktsiooniks. Kui funktsiooni y = f(x) väärtused kohtadel –x ja x on iga x∈X korral erinevad ainult märgi poolest, st. f(-x) = -f(x), siis nimetatakse seda funktsiooni paarituks funktsiooniks.

Paarisfunktsioon: f(-x) = f(x) Paaritu funktsioon: f(-x) = -f(x) Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes Graafik on sümmeetriline 0-punkti suhtes

Näide 4: Näitame, et funktsioon 4

1)(

xxf = on paarisfunktsioon ja xxxg −= 3)( on paaritu.

Leiame f(-x) ja g(-x).

)(1

)(1

)(44

xfxx

xf ==−

=− ja )()()()()( 333 xgxxxxxxxg −=−−=+−=−−−=−

Et f(-x)=f(x) on funktsioon f(x) paarisfunktsioon. Et g(-x)=-g(x) on funktsioon g(x) paaritu funktsioon. Joonistel on kujutatud nimetatud funktsioonide graafikud. Joonistele on kantud ka

Elve Vutt

y-telje suhtes sümmeetrilised punktid A2 ja A1, B ja B1 ning C ja C1 ; 0-punkti suhtes sümmeetrilised punktid D ja D1, E ja E1 ning F ja F1.

Uuri veel paaris- ja paarituid funktsioone: http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/paarispaaritu.pdf Ülesanne 4. Selgita, missugused järgmistest funktsioonidest on paaris- või paaritud funktsioonid.

1) Y = 7x2 2) y = 7x 3) y = x

7 4) y = x2+7

5) y = x2+7x 6) y = 7x3 7) y = x3+7x 8) y = x3+x

7

Vastused: paarisfunktsioonid on 1ja 4; paaritud on 2,3,6,7 ja 8.

TEHTED FUNKTSIOONIDEGA*

http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/tehted.pdf

FUNKTSIOONI GRAAFIKU TEISENDUSED

Graafikute teisendusi nägid juba eespool Allar Veelmaa failides „linfunktsioon“( y = f(x) → y = af(x) ja y = f(x) → y = f(x) + a ), „ruutfunktsioon1“( y = f(x) → y = af(x) ), „ruutfunktsioon6“( y = f(x) → y = f(x) + a). Vaata neid faile uuesti nüüd juba uue pilguga.

Elve Vutt

Kokkuvõte funktsiooni f(x) graafik teisendustest ( a on positiivne arv) y = f(x) → y = -f(x) y = f(x) → y = f(-x)

peegel-dub x – telje suhtes

peegel-dub y – telje suhtes

y = f(x) → y = f(x) + a y = f(x) → y = f(x) - a

liigub a ühikut üles y –telje sihis

liigub a ühikut alla y –telje sihis

y = f(x) → y = f(x+a) y = f(x) → y = f(x- a)

liigub a ühikut vasakule x – telje sihis

liigub a ühikut paremale x – telje sihis

y = f(x) → y = af(x) y = f(x) → y = f(ax)

a > 1 a*-ne välja-veni- tamine y - telje sihis.

a > 1 a*-ne kokku- suru- mine x - telje sihis.

0< a <1 1/a*-ne kokku- suru- mine y - telje sihis.

0< a <1 1/a*-ne välja- venita- mine x - telje sihis.

y = f(x) → y = │f(x)│ graafiku x-teljest allpool asuvate osade peegeldus x-telje suhtes

Elve Vutt

LIITFUNKTSIOON Kui muutuja y on muutuja u funktsioon: y = f(u) ja muutuja u on omakorda muutuja x funktsioon: u = g(x), siis muutujat y nimetatakse muutuja x liitfunktsiooniks ja tähistatakse y = f[g(x)]. Näide 5. Avaldame muutuja y muutuja x funktsioonina, kui y = u3 ja u = 2x-1. Asendades esimeses võrduses u avaldisega 2x-1, saame y = (2x-1)3, mis ongi ülesande vastus.

PÖÖRDFUNKTSIOON

Kui funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks on X ja muutumispiirkonnaks Y ning funktsioon määrab hulkade X ja Y elementide vahel üksühese vastavuse, siis funktsiooni y = g(x) , mis saadakse antud võrdusest y = f(x) pärast muutuja x avaldamist (x = g(y)) ja muutujate tähiste vahetamist, nimetatakse antud funktsiooni pöördfunktsiooniks. Näid 6. Leiame lineaarfunktsiooni y = 3x+3 pöördfunktsiooni.

Esmalt avaldame avaldisest y = 3x+3 x-i: 131

33 −=⇒−= yxyx .Vahetame viimases

muutujate tähised: 131

−= xy , mis ongi funktsiooni y = 3x+3 pöördfunktsiooniks.

Pane tähele, et lineaarfunktsiooni nii määramispiirkonnaks X kui ka muutumispiirkonnaks Y on reaalarvude hulk R, st. X=Y=R ning et määramispiirkonna ja muutumispiirkonna vahel leiab aset üksühene vastavus, st. igala x-i väärtusele vastab ainult üks y-i väärtus ja vastupidi. Vaata esimest vasakpoolset joonist. Näide 7: Leiame funktsioonile y = x2 pöördfunktsiooni. Avaldame sellest võrdusest x-i:

yx ±= . Igale mittenegatiivsele x-i väärtusele vastab nüüd kaks y-i väärtust. Seega viimane

võrdus esitab kaht funktsiooni. Ruutfunktsiooni y = x2 määramispiirkond X = R, kuid muutumispiirkonnaks on mittenegatiivsete reaalarvude hulk, st. Y = [ )∞;0 ning määramispiirkonna ja muutumispiirkonna elementide vahel üksühene vastavus puudub, sest näiteks argumendi väärtustele x ja –x vastab üks ja seesama funktsiooni väärtus. Jaotades funktsiooni y = x2 kaheks funktsiooniks, võttes ühe määramispiirkonnaks positiivsete reaalarvude hulga ( )∞;0 ja

teise määramispiirkonnaks mittepositiivsete reaalarvude hulga ( ])0;∞− , saame neile mõlemale leida pöördfunktsiooni:

Funktsiooni y = x2, kus X = ( )∞;0 pöördfunktsiooniks on funktsioon xy = ja

funktsiooni y = x2, kus X = ( ]0;∞− pöördfunktsiooniks on funktsioon xy −= . Vaata parempoolset joonist.

Elve Vutt

Joonistele on kantud ka punktid A,B, C ja nende peegeldused A1, B1, C sirge y = x suhtes. Funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. Ülesanne 5. Esita, kui võimalik, järgmiste funktsioonide pöördfunktsioonid.

1) y = 2x-5 2) y = -3x-6 3) y = -4x+2 4) y = 4x2 5) y = x2-3 6) y = x3

Vastused: 1) y = 0,5x+2,5 2) y = -1/3x-2 3) y = 0,25x+0,5 4) üheselt pöördfunktsioon

puudub, kuid y = 4x2 , kus X = ( )∞;0 pöördfunktsioon on xy 5,0= ja kus X = ( ]0;∞−

pöördfunktsioon on xy 5,0−= . 6) 3 xy = (vt.allpool olevat joonist)

JUURFUNKTSIOONID

Juurfunktsioonid on sellised astmefunktsioonid, kus astendaja on a = n

1, kus n on 1-st

suurem naturaalarv.

Nii on näites 7 funktsioon 2

1

xxy == juurfunktsioon . Pane tähele, et see funktsioon, kus

juurija on paarisarv, on määratud, kui juuritav on mittenegatiivne st. X = [ )∞,0 ja ka

muutumispiirkond Y = [ )∞,0 .

Samas kui juurija on paaritu arv näiteks y = 3 x , siis X = Y = R. Ka see funktsioon on astmefunktsiooni y = x3 pöördfunktsioon. Vaata alljärgnevat joonist. Kirjutame graafiku

põhjal välja ka funktsiooni y = 3 x omadused: X0= { }0 ;

X+= ( )∞;0 ja X-= ( )0;∞− ;

X R↑= ja X↓ puudub; Xe puudub; Xk=0 ja K(0;0);

Elve Vutt

( )∞= ;0X)

ja ( ))0;∞−=X(

; Funktsioon on paaritu funktsioon, kuna graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Kokkuvõte astme- ja juurfunktsioonidest. Astendaja Juurija

paarisarv Astendaja Juurija

paaritu arv

positiivne y = x2n, n N∈ X = R, Y=[ )∞;0

X0= { }0

positiivne y = x2n-1, n N∈ X = Y = R X0= { }0

negatiivne y = x-2n, n N∈ X=R va.0 Y= ( )∞;0 X0 puudub

negatiivne y = x-(2n-1), n N∈ X=Y=R va.0 X0 puudub

y = n x2 , n N∈ X=Y= [ )∞;0

X0 = { }0

y = 12 −n x , n N∈ X = Y = R X0 = { }0

IV kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: funktsioonid I

1. Leida funktsiooni määramispiirkond.

a) 5

110

+−=

xy b) 12 −= xy c)

3242

2 −−−

=xx

xy

2. Leida funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond.

a) ( )( )7123 −+= xxxy b) x

y3

= c) 52 −−= xy

3. Määrata kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu (või pole kumbki). a) 36 xxy −= b) 13 −= xy c) 24 xxy −= 4. Avaldada muutuja y muutuja x funktsioonina. 4uy = ja 12 −= xu 5. Kas joonisel 1 on pöördfunktsioonide graafikud? Põhjendada vastust! 6. Leia jooniselt 2 funktsiooni määramis- piirkond, nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiir- konnad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkohad ja ekstreemumid.

Elve Vutt

Joonis 2

Vastused: 1. a) ( ) ( )∞−∪−∞−= ;55;X b) ( ] [ )∞∪−∞−= ;11;X c) [ ) ( )∞∪= ;33;2X 2.

a) { }7;0;40 −=X , ( ) ( )∞∪−=+ ;70;12X , ( ) ( )7;012; ∪−∞−=−X b) puudubX −0 ,

( ) ( )0;,;0 ∞−=∞= −+ XX c) { }5,20 −=X , ( ) ( )5,2;,;5,2 −∞−=∞−= +− XX

3. a) paaritu b) pole kumbki c) paaris. 4. y = (2x-1)4 5. Jah on, sest graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes. 6. ( ) ( ) ( )∞∪−∪−∞−= ;22;22;X , { }00 =X ,

( ) ( )2;02; ∪−∞−=+X , ( ) ( )∞∪−=− ;20;2X , XX ↑= , puudubX −↓ , puudubX e −