Задания государственного экзамена по математике

15.05.2009II Вариант

I Часть

1. Упростить выражение

и найти его точное значение при и

2) Из 30 учащихся во время урока математики отсутствовало 20% учащихся. Известно что от общего числа отсутствующих были девушки, что составляло 20% от общего количества девушек класса. Сколько юношей присутствовало на уроке математики?

3

1

Всего 30 уч. 3

1- от отсут. дев. – 20% общ. кол-ва дев.

30 ∙ 0,2 = 6(ч) - отсутствуют6 ∙ = 2 (ч) - отсутствующие девушки6 – 2 = 4 (ч) – отсутствующие юноши

3

1

2 ч. – 20%Х ч. – 100%

1020

1002 =⋅=x (ч) – девочек в классе всего

30 – 10 = 20 (ч) - всего в классе юношей20 – 4 = 16 (ч) – присутствующих юношей

На том же самом уроке к доске вызываются учащиеся. Какова вероятность того, что а) один случайно вызванный учащийся окажется девушкой

всего присутствуют -24 чел.

24 – 16 = 8(ч) - девушек

16(ч) - юношей

А – вызов девушки к доскеn = 24 – всего вариантов

k = 8 – благоприятных исходов

Р(А) = - вероятность вызова девушки к доске 3

1

24

8 =

( )n

kAp =

Какова вероятность того, что б) случайно вызванные двое учащихся окажутся девушкой и юношей

I вариант II вариантвсего вариантов выбора двух учеников из 24 присутствующих

( ) 276122321

2423

!22!2

2423!22

!22!2

!24

!224!2

!24224 =⋅=

⋅⋅=

⋅⋅⋅=

⋅=

−=C

всего вариантов выбора одного юноши и одной девушки

( ) ( ) =⋅

⋅⋅

=−⋅

⋅−

=⋅!7!1

!8

!15!1

!16

!18!1

!8

!116!1

!1618

116 CC

128816!1!1

816

!7!1

8!7

!15!1

16!15 =⋅=⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅

В – вызов к доске юноши и девушки

( ) 464,069

32

276

128 ≈==Bp

Возможные варианты: ЮиД или ДиЮ

С – вызов к доске юноши

D – вызов к доске девушки

( ) 464,069

32

23

16

24

8

23

8

24

16 ≈=⋅+⋅=CDp

Какова вероятность того, что в) из четырёх случайно вызванных учащихся будет не менее 3 юношей

всего вариантов выбора четырёх учеников из 24 присутствующих

( ) 10626!204321

24232221!20

!20!4

!24

!424!4

!24424 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅=

−== Cn

возможные варианты: 3ю и 1д или 4ю

Е – из четверых вызванных учащихся будет не менее 3 юношей

=+⋅= 416

18

316 CCCk

( ) ( ) ( ) =⋅

+⋅

⋅⋅

=−

+−

⋅−

=!12!4

!16

!7!1

!8

!13!3

!16

!416!4

!16

!18!1

!8

!316!3

!16

( ) 593,0253

150

10626

6300 ≈==Ep

630045713816574321

16151413

1

8

321

161514 =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅⋅⋅⋅=

3) Дана функция f(x)=(2x+1)( )Найдите1) нули функции

42 −x

( ) 0=xf ( ) ( ) 0412 2 =−+ xx

012 =+x 042 =−x12 −=x

2

1−=x

42 =x4±=x

2±=x

−−= 2;

2

1;20X

Дана функция f(x)=(2x+1)( )Найдите2) область положительности

42 −x

−−= 2;

2

1;20X

xf(x)

2

1−-2 2

I II III IV

I x∈ (-∞; -2) х = -3 ⇒ (2∙(-3)+1)(9 -4)= − ∙ + = −

−

II x∈ (-2; - ) х = -1 ⇒ (2∙(-1)+1)(1 -4)= − ∙ −= +2

1

+−+

III x∈ ( ; 2) х = 0 ⇒ (2∙ 0+1)(0 - 4)= +∙ −= −2

1−

IV x∈ (2 ;+∞) х = 3 ⇒ (2∙ 3+1)(9 -4)= + ∙ + = +

( )+∞∪

−−=+ ;2

2

1;2X

Дана функция f(x)=(2x+1)( )Найдите3) производную функции

42 −x

I вариант II вариант

(u∙v)′=u′v + uv′( ) ( ) ( ) ( ) =′−++−′+=′ 412412)( 22 xxxxxf

( ) ( ) 482412)( 232 −+−=−+= xxxxxxf

( ) ( ) =⋅++−= xxx 21242 2

8262482 222 −+=++−= xxxxx

( ) =′−−+=′ 482)( 23 xxxxf

( ) ( ) ( ) ( ) =′−′−′+′= 482 23 xxx

826 2 −+= xx

Дана функция f(x)=(2x+1)( )Найдите4) Координаты точки минимума функции

42 −x

826)( 2 −+=′ xxxf

Найдём критические точки0826 2 =−+ xx

D=4 – 4 ∙ 6 ∙ (-8)= 4+192=196

−=−=±−=

3

11

12

161

12

142x

Определим вид этих точек212)826()( 2 +=′−+=′′ xxxxf

min0142112)1( −>=+⋅=′′f

max023

1112)

3

11( −<+

−⋅=−′′f

( ) ( ) 9)3(341112)1( 2 −=−⋅=−+⋅=f

min (1;-9)

4) Две машины скорой помощи выезжают одновременно из больницы к двум местам происшествий и движутся по шоссе в противоположных направлениях. В первую минуту каждая машина проезжает путь длиной 1 км. В каждую следующую минуту первая машина проезжает путь на 1/12 км, а вторая машина на 1/6 км длиннее, чем за предыдущую минуту. Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и какова скорость (км/ч) машин в этот момент?

1 км1 км6

11+

12

11+

6

1...+ 12

1...+

1S2S

23 кмII машина I машинакмa 11 =

6

1=d

п = t – время движения

nn

S ⋅−+⋅

=2

)1(61

12

2

nnda

Sn ⋅−+=2

)1(2 1

кмa 11 =

12

1=d

п = t – время движения

nn

S ⋅−+⋅

=2

)1(121

12

1

4) Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент?

12 SSS += nn

⋅−+⋅

=2

)1(61

12n

n⋅

−+⋅+

2

)1(121

12

2

)121

121

2()61

61

2(23

nnnn ⋅−++⋅−+=

2121

121

261

61

223

22 nnnnnn −++−+=

nn4

33

4

1223 2 +=⋅

40464

33

4

1 2 ⋅=−+ nn

0184152 =−+ nnD=225+4∙184=225+736=961

−−

=±−=±−=лож

минn

23

)(8

2

3115

2

961152,1

Через 8 мин рассто-яние между маши-нами будет 23 км

4) Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент?

Скорость – это расстояние, проходящее телом за единицу времени

⇒ Расстояние проходящее за 8-мую минуту движения

8a⇒ ( )11 −+= ndaan

( ) чкмминкмv /130606

12/

6

127

6

1118

6

11 =⋅⇒=⋅+=−+=

II машина

I машина

( ) чкмминкмv /956012

71/

12

717

12

1118

12

11 =⋅⇒=⋅+=−+=

5) Три хутораK, L и N расположены у прямолинейного участка шоссе. От каждого хутора прямая дорога ведёт к магазину N. В целях экономии средств местное самоуправление решило закрыть дороги КМ и NМ для движения и сохранить только обслуживание дорог КN и LМ. Известно, что на плане с масштабом 1:30 000 длина отрезка КN составляет 62 мм, расстояние КL и LN равны, а также ∠МNК = 53° и ∠NКМ = 25°. Определите, на сколько километров увеличится путь до магазина М для жителей хуторов К и N в связи с закрытием дорог. Ответ дайте с точностью до 0,01 км.

31м

м

31м

м

К

N

ML 62

мм

25°

53°

Дано: ∆KLM KN=62мм КL=LN ∠MNK=53° ∠NKM=25° M=1:30 000

Найти: KLM-KM или (KL+LM)-KM KLM- NM (NL+LM)-NM

Решение: KL=LN(по условию)⇒62:2=31(mm)∠KMN=180°-53°-25°=102°(как сумма углов треугольника)

KNM

KM

NKM

NM

KMN

KN

∠=

∠=

∠ sinsinsin(по теореме синусов)

)(788,26102sin

25sin62

sin

sinmm

KMN

NKMKNNM ≈⋅⇒

∠∠⋅=

)(622,50102sin

53sin62

sin

sinmm

KMN

KNMKNKM ≈⋅⇒

∠∠⋅=

NKMKMKLKMKLLM ∠⋅⋅⋅−+= cos2222 (по теореме косинусов)

)(059,2625cos622,5031622,5031 22 mmLM ≈⋅⋅−+=

KLM=NLM=31+26,059=57,059(mm)

KLM-KM=57,059-50,622=6,437(mm)

NLM-KM=57,059-26,788=30,271(mm)

⇒6,437∙30 000=193110(mm)=0,19011≈0,19(км)

⇒30,271∙30 000=908130(mm)=0,90813≈0,91(км)

II Вариант

II Часть

6) Даны функции f(x) = sin 2x и . 1) Докажите справедливость равенства g(x)= - cos x

−−

−=

3cos

3

2cos)(

ππxxxg

g(x)= - cos x

=

−−

−

3cos

3

2cos

ππxx

βαβαβα sinsincoscos)cos( +=−

xx sin3

2sincos

3

2cos

+

ππ

)3

sinsin3

cos(cos

+

− ππ

xx

xxxx sin2

3cos

2

1sin

2

3cos

2

1 −−+−=

xx coscos1 −=−=

6) Даны функции f(x) = sin 2x и . 2) Найдите решение уравнения f(x) = - cosx на промежутке [0;2π]

−−

−=

3cos

3

2cos)(

ππxxxg

f(x) = - cos x sin 2x = - cos x sin 2x + cos x = 02sin x cos x + cos x = 0cos x (2sin x + 1) = 0

cos x = 0 2sin x + 1= 0nx ππ +=

2 на промежутке [0;2π]

20

2

πππ =⋅+=xесли п = 0 ∈ [0;2π]

если п = 1 2

3

21

2

πππππ =+=⋅+=x ∈ [0;2π]

если п = 2 2

52

22

2

πππππ =+=⋅+=x ∉ [0;2π]

Ответ:

2

3;

2

ππ

2sin x = - 1

2

1sin −=x

( ) nx n ππ +⋅−= +

61 1

если п = 0 ( )6

06

1 10 πππ −=⋅+⋅−= +x ∉ [0;2π]

если п = 1 ( )6

7

61

61 11 πππππ =+=⋅+⋅−= +x ∈ [0;2π]

если п = 2 ( )6

112

62

61 12 πππππ =+−=⋅+⋅−= +x ∈ [0;2π]

если п = 3 ( )6

193

63

61 13 πππππ =+=⋅+⋅−= +x ∉ [0;2π]

6

11;

6

7;

2

3;

2

ππππ

6) Даны функции f(x) = sin 2x и . 3) В одной системе координат постройте графики функций у = f(x) и у = g(x). Используя данный чертёж, решите неравенство f(x) < g(x) на промежутке [0; 2π].

−−

−=

3cos

3

2cos)(

ππxxxg

у= sin 2x

х 0 π

у 0 1 0 -1 0 04

π2

π4

3π

2

3π

х

у

0

1

-1π 2π

2

π4

π4

3π

•

• •

•

•

у= sin 2x

g(x)= - cos x

х 0 π 2π

у -1 0 1 0 -12

π2

3π

•

•

•

•

•g(x)= - cos x

на промежутке [0; 2π]. решите неравенство f(x) < g(x)

sin 2x <- cos x

∪

∈

6

11;

2

3

6

7;

2

ππππx

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 1) Вычислите координаты вершины В, С и D прямоугольника АВСD и постройте прямоугольник АВСD в координатной плоскости. А(-4; 3) В(0; уВ)

АВ || СDАВ ⊥ ВС

АВ || СD ⇒ kAB= kCD

СD : х – у + 1 = 0

СD : у = х+ 1 ⇒ kCD =1 ⇒ kАВ =1АВ : kАВ =1 А(-4; 3)

если а||в, то kа= kв

если а⊥в, то kа∙ kв = -1 у – у1= k (х – х1)

у – 3 = 1(х + 4) у – 3 = х + 4х – у + 7 = 0

В ∈ АВ ⇒ 0 - уВ+ 7 =0 ⇒ уВ= 7 В(0; 7)

АВ ⊥ ВС ⇒ kAB∙ kВС =-1 ⇒ 1∙ kВС =-1 ⇒ kВС =-1 и В(0; 7) ⇒ у – 7 = -1(х -0) у – 7 = - х

ВС : х + у – 7 =0 С ∈ ВС ⇒ хC+ yC – 7= 0

С ∈ CD ⇒ хC – yC + 1= 0

хC = 3 ⇒ yC + 3 – 7 = 0 yC = 4 С(3; 4)

АD || BC ⇒ kAD= kBC ⇒ kAD = -1 и А(-4; 3) ⇒ АD : у - 3 = -1(х + 4)у - 3 = -х - 4х + у + 1 = 0

D ∈ AD ⇒ хD+ yD +1= 0D ∈ CD ⇒ хD – yD + 1= 0

2хD +2 = 0 хD = -1

2хC - 6 = 0

⇒ -1 + yD + 1 = 0 yD = 0

D(-1; 0)

x

y

0

2

4

6

8

2 4 6 8-2-4-6-8-2

-4

-6

-8

A•

B•

C•

D•

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 2) Cоставьте уравнение прямой, на которой лежит диагональ АС прямоугольника.

АС - диагональА(-4; 3) С(3; 4)

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−−=

−−

АС

А

АС

А

yy

yy

xx

xxAC

−−=

−−

:

34

3

43

4:

−−=

++ yx

AC1

3

7

4 −=+⇒ yx ⇒ х+4=7(у - 3)х+4=7у - 217у – х – 25 = 0

АС : 7у – х – 25 = 0

или – х + 7у – 25 = 0 или7

25+= xy

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 3) Вычислите точное значение периметра прямоугольника АВСD.

Р = 2 (АВ + ВС) Р = 2 (а + в)2

122

12 )()( yyxxd −+−=А(-4; 3) С(3; 4) В(0; 7)

22 )()( ABAB yyxxAB −+−= 22 )37()40( −++= 22 44 += 2432 ==

22 )()( BCBC yyxxBC −+−= 22 )74()03( −+−= 22 )3(3 −+= 2318 ==

)2324(2 +=P 214272 =⋅= (ед.)

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0 4) Составьте уравнение окружности, описанного около прямоугольника АВСD.

А В

СD

Оr

(x-x0)2 +(y – y0)2 = r2

2;

221

021

0

yyy

xxx

+=+=

В(0; 7) D(-1; 0)

2;

2 00DВDB уу

уxx

x+=+=

2

1

2

100 −=−=x

2

13

2

070 =+=y

2

BDr =

2

)70()01( 22 −+−−=

2

)7()1( 22 −+−=

2

491+= 25,22

25

2

50 ===

222 )25,2()2

13()

2

1( =−++ yx

5,12)2

13()

2

1( 22 =−++ yx

8) Ведётся строительство здания, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, Объём которого равен V м2 . Крыша здания является прямоугольником, одна сторона которого в 2 раза короче другой. Стоимость одного квадратного метра крыши стоит 1250 кроны. Стоимость одного квадратного метра одной из двух больших боковых стен здания равна 1000 крон, а стоимость одного квадратного метра остальных трёх боковых стен равна 2000 кроны.1) Определите при каких значениях длины, ширины и высота, выраженных через объём здания V, стоимость данных строительных работ будет минимальной?

B1

А1

D

СВ

А

C1

D1

Дано: АВСD D1 А1 B1 C1

AB<BC в 2 раза V м2 - объём стоимость 1 м2 крыши = 1250 еек стоимость 1 м2 большей бок. стор. = 1000 еек стоимость 1 м2 ост. бок. стор. = 2000 еек V = 1728 м3

Найти: 1) минимальную стоимость 2) стоимость строительства

Решение: пусть АВ = х ВС = 2х

B1

А1

D

СВ

А

C1

D1

22х

V

S

VH

крыши

==

Sкрыши = х ∙ 2х = 2 х2 (м2) Стоим. = 2 х2 ∙ 1250 = 2500х2(еек)

2. 22

x

VхS бокбол ⋅=

x

V=

Стоимость строительства всего здания:

x

V

x

V 20002000Стоим. =⋅=

x

V

x

V 10001000Стоим. =⋅=

2.. 2x

VхS бокменьш ⋅=

x

V

2=

x

V

x

V 20002000

22Стоим. =⋅⋅=

=fx

V

x

V

x

Vx

2000200010002500 2 +++

x

Vx

50002500 2 +=

Найдём минимальную стоимость строительства всего здания:

=′f )5000

2500( 2 ′+x

Vx )50002500( 12 ′⋅+= −xVx

2

50005000

x

Vx −=

Найдём критические точки:

05000

50002

=−x

Vx 0

500050002

3

=−⇒x

Vx 5000 х3 – 5000V = 05000 х3 = 5000V

х3 = V3 Vx =

=′′f )5000

5000(2

′−x

Vx )50005000( 2 ′⋅−= −xVx min0

100005000

4−>+=

x

V

ширинамVxAB −== )(3

длинамVxBС −== )(22 3

высотамV

V

V

x

VН −=== )(

222

3

3 22

2) Вычислите наименьшую стоимость строительных работ, если объём здания 1728 м3?

3 217282500 ⋅=f =⋅+3 1728

17285000

= 360000

x

Vxf

50002500 2 +=

+ 720000 = 1 080 000 (еек)

9) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1 D1 является ромбом АВСD, тупой угол ∠АВС которого равен β и диагональ АС равна d . Диагональ прямого параллелепипеда DВ1 составляет с основанием угол α. 1) Выразите площади диагональных сечений через углы α и β и диагональ dA1

C1 B1

D1

A

B O

D

C

d α

β

Дано: АВСD D1 А1 B1 C1 - прямой параллелепипед ∠АВС = β - тупой АС = d ∠ B1 DB = α

Найти: SBBDD и SAACC

Решение: ABCD – ромб ⇒∠АВС = ∠АDC = β - как противолежащие углы ромба

ββ −=−=∠ 00

1802

2360DCB - как углы ромба

АС – биссектриса ∠BCD – как диагональ ромба ⇒ 290

2

180 00 ββ −=−=∠BCA

Рассм. ∆АВСBCA

ABAC

∠=

sinsin β- по теореме синусов

)2

90sin(sin 0 ββ −= ABd

2cossin ββ

ABd =⇒β

β

sin2

cos⋅=⇒

dAB АВ = ВС – как стороны ромба

Рассм. ∆ВОС – прямоугольный, т.к. диагонали ромба перпендикулярны22 COBCBO −= - по теореме Пифагора

СО = АС : 2 (точкой пересечения диагонали делятся пополам)

2

2

2sin2

cos

−

⋅= dd

BOβ

β 2

2

22

cos2

sin2

2cos

−

⋅

⋅= dd

ββ

β2

2

22

sin2

−

⋅= dd

β 42

sin4

2

2

2 dd −= β2

sin4

2sin

2

222

β

β⋅−=

dd

2sin4

2sin

2

222

β

β⋅−=

dd

2sin4

)2

sin1(

2

22

β

β−=

d

2sin4

2cos

2

22

β

β⋅=

d

2sin2

2cos

β

β

⋅

⋅=

d

2tan2

β⋅= d = ВО

BD = 2∙ВО2

tanβ

d⇒A1

C1 B1

D1

A

B O

D

C

d α

β

Рассм. ∆ВB1D – прямоугольный, т.к. ВB1⊥ ВD (боковая поверхность ⊥ основанию)

BD

BB1tan =α BDBB ⋅=⇒ αtan1

2tan

tan βα d⋅=

2tan

tanβαd=

BDBBS DDBB ⋅= 111

= Н

2tan

2tan

tanββ

α dd ⋅=

ACBBS CCAA ⋅= 111d

d ⋅=

2tan

tanβα

2tan

tan

2

2

βαd=

2tan

tan2

βαd=

2) В данный прямой параллелепипед вписана пирамида OB1KL, вершины K и L которой являются соответственно серединами рёбер А1D1 и D1C1 прямого параллелепипеда, а точка О является точкой пересечения диагоналей ромба АВСD. Найдите отношение объёмов пирамиды OB1KL и прямого параллелепипеда

A1

C1 B1

D1

A

B O

D

C

d

K

L пирамиды

ипедапараллелеп

V

V

1

1

31

BBS

BBBCAB

oc ⋅

⋅⋅=ocS

BCAB ⋅= 3

ocS

AB23=

A1 D1

C1 B1

K

L

•

•Рассмотрим ромб А1D1С1В1

LKDLDBKBADCBAосн SSSSS111111111 ∆∆∆ −−−=

221111

1111

BDACDBCAS DCBA

⋅=⋅=2

2tan

βd

d ⋅

=

2tan2

βdd ⋅=

2tan2

2

βd= γsin

2

1 ⋅=∆ abS

1111 sin2

111

AKABAS KBA ∠⋅⋅=∆ ββ

β

β

β

sinsin2

2cos

sin2

cos

2

1 ⋅⋅

⋅⋅

⋅=dd

β

ββ

2

22

sin4

sin2

cos

⋅

⋅⋅=

d

β

β

sin42

cos22

⋅

⋅⋅=

dLBCKBA SSLBCKBA

11111111 ∆∆ =⇒∆=∆⇒А1В1=В1С1-как стороны ромбаА1K1=C1L- по условию∠А1=∠С1- как противоположные углы ромба

111 sin2

11

DLDKDS LKD ∠⋅⋅⋅=∆ βsin222

1 ⋅⋅= ABAB

)180sin(22

1 0 β−⋅⋅⋅= ABAB

βsin8

2AB= ββ

β

sinsin8

2cos

2

22

⋅⋅

=d

β

β

sin82

cos22

⋅

⋅=

d

β

β

β

β

β sin82

cos

sin42

cos2

2tan2

22222 ⋅

−⋅

⋅−=ddd

Sосн

β

β

β

β

ββ sin8

2

cos1

sin22

cos1

cos1sin

2

222

+⋅−

+⋅−

+

=ddd

ββ

ββ

ββ

sin16

)cos1(

sin4

)cos1(

sin2

)cos1( 222 +⋅−+⋅−+= ddd

ββββ

sin16

coscos44cos88 222222 ⋅−−−−+= dddddd

ββ

sin16

cos33 22 dd −−=β

βsin16

)cos1(3 2 +−= d

ββ

sin

cos1

16

3 2 +⋅−= d

2cot

16

3 2 β⋅−= d

2tan16

3 2

β⋅

−= d

αααααα

αα

ββα

βαβ

βα

cossin22sincos

sintan

tan

1cot

sin

cos1

2cot

2

cos1

2cos

cos1

sin

2tan

=

=

=

+=

+±=

+=

пирамиды

ипедапараллелеп

V

V

ocS

AB23=

2tan16

3:

sin2

cos3 2

2

22

ββ

βdd −⋅

⇒β

ββ

22

22

sin32

tan162

cos3

d

d

−

⋅⋅⋅⇒

β

β

ββ

2

2

sin2

cos

2sin

2cos16

−

⋅

=β

ββ

2sin2

sin2

cos16

−

⋅=

ββ

2sin

sin8

−=

βsin

8−=

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной

3) Докажите, что C1О перпендикулярна ВD.

A1

C1 B1

D1

A

B

O D

C

C1С⊥СО , т.к. боковая поверхность ⊥ основанию

••

•

•• •

CО⊥BD , т.к. диагонали ромба ⊥

⇒ CО⊥ BD по теореме о 3-х перпендикулярах