ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Κεφ.1)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ – ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ - ΟΡΙΣΜΟΙ

ΣΟΛΩΜΟΥ 29 ΑΘΗΝΑ 210.38.22.157 – 495 www.arnos.gr – e-mail : [email protected]

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΣΤΗΡΙΞΗ ΦΟΙΤΗΤΩΝ

1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ – ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ – ΟΡΙΣΜΟΙ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ i.

Ηλεκτρικό ρεύµα i ρέει σ΄ έναν αγωγό, όταν ηλεκτρικό φορτίο q µεταφέρεται

από ένα σηµείο σε άλλο µέσα σ΄ αυτόν τον αγωγό. Το ρεύµα είναι το µεταφερόµενο

φορτίο ανά µονάδα χρόνου, δηλαδή :

i(ampere)=(second)dt

(coulomb) dq

∆ΙΑΦΟΡΑ ∆ΥΝΑΜΙΚΟΥ Ή ΤΑΣΗ υ

Η διαφορά δυναµικού ή τάση υ µεταξύ δυο σηµείων µετριέται από το έργο

που απαιτείται για να µεταφερθεί η µονάδα φορτίου από το ένα σηµείο στο άλλο.

Το volt (V) είναι η διαφορά δυναµικού µεταξύ δυο σηµείων, όταν απαιτείται έργο

1 joule για να µεταφερθεί φορτίο 1 coulomb από το ένα σηµείο στο άλλο :

1volt=1joule/coulomb.

Εάν δυο σηµεία ενός κυκλώµατος έχουν διαφορά δυναµικού υ και ένα φορτίο

q µεταφέρεται από το ένα σηµείο στο άλλο, τότε παράγεται έργο qυ.

ΙΣΧΥΣ p

Η ηλεκτρική ισχύς p είναι το γινόµενο της εφαρµοζόµενης τάσης υ επί το

ρεύµα i που οφείλεται σ’ αυτή.

p(watt) = υ(volt) × i(ampere)

Oρίζουµε θετικό το ρεύµα που έχει

τη φορά του βέλους της πηγής τάσεως.

Το θετικό ρεύµα βγαίνει από τον ακροδέκτη

+ της πηγής (Σχ. 1-2). Όταν η p έχει θετική

τιµή, τότε η πηγή δίνει ενέργεια στο κύκλωµα.

Εάν η ισχύς p είναι περιοδική συνάρτηση

του χρόνου t µε περίοδο Τ, τότε

Μέση ισχύς Ρ = ∫Τ

Τ0

pdt1

+ i

υ

-

σχ. 1.1

~

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ν.Φ. ΒΟΥ∆ΟΥΚΗ

2

ΕΝΕΡΓΕΙΑ w

Επειδή η ισχύς p είναι η ανά µονάδα χρόνου µεταφερόµενη ενέργεια,

θα είναι :

∫=και=2

1

t

t

pdt W dt

dw p

όπου W είναι η ενέργεια που µεταφέρεται στο χρονικό διάστηµα [t1, t2].

Μονάδα ενέργειας στο S.I. το joule.

Σηµείωση : Το σύµβολο “↑ „ (βελάκι) όταν χρησιµοποιείται για να δηλώσει µια

τάση υ στα άκρα κάποιου στοιχείου σηµαίνει ότι στην κατεύθυνση που

δείχνει το βέλος είναι το “+” ενώ στο άλλο άκρο (αρχή του βέλους) είναι

το “–” της τάσης.

ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ - ΠΗΝΙΟ - ΠΥΚΝΩΤΗΣ

ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ R

Η διαφορά δυναµικού υ(t) στις

άκρες ενός καθαρού αντιστάτη είναι

ανάλογη προς το ρεύµα i(t) που τον

διαρρέει. Η σταθερή R της αναλογίας

ονοµάζεται αντίσταση του αντιστάτη

και εκφράζεται σε volt/ampere ή

ohm (Ω).

Έτσι έχουµε :

R

t)(i(t) Ri(t) (t)

υ=και=υ

Κανένας περιορισµός δεν δεσµεύει τα υ(t) και i(t). Μπορούν να είναι

σταθερά ως προς τον χρόνο, όπως στα κυκλώµατα συνεχούς ρεύµατος, µπορούν

να είναι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου µπορούν επίσης στη γενική

περίπτωση να είναι µιγαδικοί αριθµοί.

i(t) +

R υ(t)

-

σχ. 1.2




3

ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ L (ΠΗΝΙΟ)

Όταν το ρεύµα σ’ ένα κύκλωµα

µεταβάλλεται, η µαγνητική ροή που διαρρέει

το κύκλωµα αυτό αλλάζει. Η µεταβολή αυτής

της ροής έχει σαν αποτέλεσµα την επαγωγή

στο κύκλωµα µιας ΗΕ∆ υ.

Αν η µαγνητική διαπερατότητα είναι σταθερή,

η επαγόµενη ΗΕ∆ υ είναι ανάλογη προς

την ταχύτητα µεταβολής του ρεύµατος.

Η σταθερή αυτής της αναλογίας λέγεται συντελεστής

αυτεπαγωγής L ή αυτεπαγωγή του κυκλώµατος.

Έτσι έχουµε :

dt

diL (t) =υ και ∫υ= dt

L

1 i(t)

Όταν η υ εκφράζεται σε volt και το di/dt σε ampere/second, τότε η L θα

εκφράζεται σε volt eresecond/amp⋅ ή henry(H). Η αυτεπαγωγή ενός κυκλώµατος

είναι 1 henry (1 Η), αν στο κύκλωµα αυτό επάγεται ΗΕ∆ 1volt όταν το ρεύµα

µεταβάλλεται κατά 1 ampere σε 1 second.

ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ C (ΠΥΚΝΩΤΗΣ)

Η διαφορά δυναµικού υ µεταξύ των

ακροδεκτών ενός πυκνωτή είναι ανάλογη προς

το φορτίο q που φέρει ο πυκνωτής.

Η σταθερή αναλογίας C ονοµάζεται χωρητικότητα

του πυκνωτή

∫=υυ

==υ= idtC

1 (t) ,

dt

dC

dt

dq i (t),C q(t)

Όταν το q εκφράζεται σε coulomb και το υ σε volt, το C εκφράζεται

σε coulomb/volt ή farad (F). Ένας πυκνωτής έχει χωρητικότητα 1 farad (1 F),

αν απαιτείται φορτίο 1coulomb ανά volt διαφοράς δυναµικού µεταξύ των

οπλισµών του.

Χρήσιµα υποπολλαπλάσια του farad είναι :

1nF = 1nanofarad = 10-9F και 1pF = 1picofarad = 10

-12F

i(t)

+

L υ(t)

-

σχ. 1.3

i(t)

+

C υ(t)

-

σχ. 1.4


4

NOMOI TOY KIRCHHOFF

α) Το αλγεβρικό άθροισµα όλων των ρευµάτων που συναντώνται σε ένα

(κοινό) κόµβο είναι µηδέν.

β) Το αλγεβρικό άθροισµα των διαφορών δυναµικού κατά µήκος ενός

κλειστού κυκλώµατος είναι µηδέν.

Πίνακας 1.1 Απόκριση Κυκλώµατος µε Απλά Στοιχεία

Στοιχείο Τάση

στα άκρα του στοιχείου

Ρεύµα

στο στοιχείο

Αντίσταση R

υ(t) = Ri(t) R

t)( i(t)υ

=

Αυτεπαγωγή L υ(t) = L

dt

di ∫υ= dt

L

1 i(t)

Χωρητικότητα C υ(t) = ∫ idtC

1

dt

dC i(t)

υ=

ΜΕΣΗ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΟΣ ΤΙΜΗ

Γενικά, µια περιοδική συνάρτηση y(t) µε περίοδο Τ έχει µέση τιµή Υav

που δίνεται από τον τύπο :

Υav = ∫Τ

Τ0

dt y(t)1

i5 R L

i1 i4

+ i +

υΑ υΒ

- -

i2

i3 Σ εισερχόµενων ρευµάτων = Σ εξερχόµενων ρευµάτων Σ ανυψώσεων δυναµικού = Σ πτώσεων δυναµικού

i1+i3=i2+i4+i5 υΑ-υΒ=Ri+L(di/dt)

ή i1+i3-i2-i4-i5=0 ή υΑ-υΒ-Ri-L(di/dt)=0

σχ. 1.5 σχ. 1.6

~ ~




5

Γενικά, µια περιοδική συνάρτηση y(t) µε περίοδο Τ έχει µέση τετραγωνική

ή ενεργός τιµή Υrms, που δίνεται από τον τύπο :

Υrms = ∫Τ

Τ0

2dty(t)1

ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Θα αναφέρουµε εδώ διάφορους τοπολογικούς ορισµούς που είναι απαραίτητοι

για την ανάλυση ενός κυκλώµατος.

Κλάδος ενός κυκλώµατος είναι στοιχείο δικτύου ή οµάδα στοιχείων που

έχει δύο ακροδέκτες (σχ. 1.13).

Κόµβος κυκλώµατος καλείται ο κοινός ακροδέκτης (ή κοινό σηµείο) δύο ή

περισσοτέρων κλάδων. ∆ιακρίνουµε τον απλό κόµβο που συνδέει δυο κλάδους

που µπορεί σε άλλη περίπτωση να παραληφθεί (σχ. 1.14) και το σύνθετο (ή απλά)

κόµβο που είναι το κοινό σηµείο τριών ή περισσοτέρων κλάδων (σχ. 1.15).

Βρόχος κυκλώµατος καλείται µια κλειστή διαδροµή κλάδων όπου κάθε κλάδος

περιέχεται µια µόνο φορά.

∆ιακρίνουµε και εδώ απλούς βρόχους που στο εσωτερικό τους δεν περιέχεται

άλλος κλάδος του κυκλώµατος (σχ. 1.16) και σύνθετους βρόχους (σχ. 1.17).

κλάδος απλός

κόµβος

σχ. 1.13 σχ.1.14

σύνθετος κόµβος

σχ. 1.15


6

Ορισµός γραµµικού κλάδου δικτύου

Αν έχουµε σε ένα κλάδο του δικτύου ότι η σχέση τάσεως – ρεύµατος που το

χαρακτηρίζει είναι γραµµική συνάρτηση τότε ο κλάδος λέγεται γραµµικός.

Ορισµός γραµµικού δικτύου

Ένα δίκτυο που αποτελείται από γραµµικούς µόνο κλάδους θα λέγεται γραµµικό

δίκτυο. Ένας ισοδύναµος ορισµός του γραµµικού δικτύου µπορεί να δοθεί και κατά

τον ακόλουθο τρόπο. Θεωρούµε οι διεγέρσεις του δικτύου, f1(t), f2(t),…fn(t) και

y1(t),y2(t),…yn(t) αντίστοιχες αποκρίσεις. Αντίστοιχες λέγονται οι αποκρίσεις που

αντιστοιχούν στις συγκεκριµένες διεγέρσεις, όταν δρουν µόνες, δηλαδή η y1, στη

f1,y2 στη f2, …yn στη fn.

Γραµµικό θα καλείται λοιπόν ένα δίκτυο όταν σε κάποιο τυχαίο γραµµικό συνδυασµό

των διεγέρσεων k1f1 + k2f2 +…knfn η απόκριση είναι ο αντίστοιχος γραµµικός

συνδυασµός των αποκρίσεων.

Παράδειγµα µιας γραµµικής χρονικής συνάρτησης είναι η y=a t.

Η συνάρτηση όµως y=αt + b (b≠ 0) δεν είναι γραµµική συνάρτηση.

Απλός κόµβος

σχ. 1.16

Σύνθετος βρόχος

σχ. 1.17




7

Θεωρούµε τώρα ένα δίκτυο Ν. Γράφος του δικτύου είναι ένα απλοποιηµένο

σχεδίασµα του δικτύου στο οποίο κάθε κλάδος παριστάνεται µε τµήµα

γραµµής (σχ. 1.18)

Συνεκτικός θα λέγεται ο γράφος στον οποίο µπορούµε να µεταβούµε από

ένα τυχαίο κόµβο σε άλλο, οποιονδήποτε ακολουθώντας δ ιαδροµή που αποτελείται

συνεχώς από κλάδους του δικτύου (σχ. 1.18).

Επίπεδος λέγεται τώρα ο γράφος αν µπορεί να σχεδιαστεί σε ένα επίπεδο κατά

τέτοιο τρόπο ώστε δυο οποιοιδήποτε κλάδοι του να µη τέµνονται σε σηµείο το οποίο

να µην είναι κόµβος γράφου.

Παράδειγµα

Ο βρόχος του σχήµατος 1.18 είναι επίπεδος ενώ ο βρόχος του σχήµατος 1.19 είναι µη

επίπεδος. Απλός θα λέγεται ο βρόχος ενός επιπέδου γράφου όταν δεν περιέχει κλάδο

στο εσωτερικό του.

α β

Γράφος δικτύου

δ γ

σχ. 1.18

ε

2

3 1

4

θ α β κ

γ δ ζ

η

ι

Μη επίπεδος γράφος

σχ. 1.19

ε

1

3 2

4

5


8

Παράδειγµα

Αν ο γράφος του σχήµατος 1.18 σχεδιαστεί όπως στο σχήµα 1.20 τότε οι απλοί βρόχοι

είναι οι Ι,ΙΙ, και ΙΙΙ. Ύστερα από την εισαγωγή αυτών των στοιχειωδών τοπολογικών

εννοιών αναφέρουµε το παρακάτω βασικό θεώρηµα.

Θεώρηµα

Θεωρούµε επίπεδο συνεκτικό γράφο Ν µε b κλάδους και n κόµβους. Ο αριθµός των

απλών βρόχων αυτού είναι b-n+1. Επιπλέον οι εξισώσεις ΝΤΚ για τους απλούς αυτούς

βρόχους είναι γραµµικά ανεξάρτητοι.

Συγγραφέας : Βουδούκης Νικόλαος

θ α β ΙΙΙ κ

γ δ

σχ. 1.20

Ι

ε

ΙΙ

1

3 2

4

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ (Κεφ.1)

Documents