גיאומטריה אנליטית_1

Dr Anatoly Shtarkman


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg


אנליטית בחקר גיאומטריה העוסק ענף היא הגיאומטריה באמצעות כלים אלגבריים.

בענף זה משתמשים לרוב במערכת צירים קרטזית מעגלים, ישרים, משוואות באמצעות לתאר כדי

עקומות, וכדומה, בדו ממד ובתלת ממד.

המאה של יצירה היא האנליטית הגיאומטריה - 17ה- הצרפתיים המתמטיקאים היו אבותיה .

שפיתחו יסודות של פייר דה פרמה ודקארט רנההגיאומטריה האנליטית באופן בלתי תלוי זה בזה.

המתמטיקה של היסטוריה


למעשה, תחילתה במאה השלישית לפנה"ס.

כבר אז עסקו במקומות גיאומטריים. המונח מקום להן שיש הנקודות כל קבוצת פירושו גיאומטרי

תכונה גיאומטרית משותפת.

הנקודות כל של הגיאומטרי המקום לדוגמה: קטע של קצותיו משני שווה מרחק המרוחקות

הנתון.

היווני מתמטיקאי עסק גיאומטריים במקומות דן הוא לפנה"ס(. השלישית )המאה אפולוניוס ע"י חרוט מחיתוך המתקבלים שונים בעקומות

מישור.



)פרמה Pierre de Fermat 1601-1665 כתב )גיאומטריים למקומות "מבוא בנושא עבודה במישור ובמרחב". בעבודתו הוא קבע כי משוואה פרמה עקום. או ישר מתארת משתנים בשני

חיפש הצגה גיאומטרית לנוסחאות אלגבריות.

אלגברי דקארט תאור חיפש לפרמה, בניגוד ,סימול הציע דקרט גיאומטריים. לעקומים האלפאבית, של הראשונות באותיות פרמטרים

סימול משתנים - באותיות האחרונות.

( עבודותו את פירסם מכן 1637דקארט ולאחר )התפתחה הגיאומטריה האנליטית.



הצירים" אחד מערכת ישר כללה דקארט של "ביצע הוא לישר. יוצאים קטעים מאונכים שממנו לו קטע פעולות אלגבריות בקטעים בהנחה שיש

המציין יחידה.

הכניסו מערכת צירים 18רק בתחילת המאה ה- דקרט של לכבודו והנקראת לזה זה המאונכים

"מערכת צירים קרטזית".

סדור זוג ע"י במישור נקודה מיוצגת זו במערכת מספרים ע"י (X,Y)של מיוצגת במרחב ונקודה

.(X,Y,Z)שלשה סדורה



" דקארט של נפתח La Geometrieהספר "בהצרה :

כל בעיה בגיאומטריה יכולה לעבור רדוקציה "שידע ישרים לכך קיום של אורכם בדבר

".מספיק לבנייתה מסוימים הינו

לאלגברה. מגיאומטריה המעבר היא רדוקציה לעשות מספיק עקום או מסוים קו למציאת ולתאר מעגלים קטעים, על אלמנטריות פעולות אותם על-ידי משוואות – הנו המפתח לפתרון כל

בעיה גיאומטרית.



בהמשך מתאר דקארט דרך אלגוריתמית לפתרון בעיות גיאומטריות:

"לכן אם ברצוננו לפתור בעיה כלשהי נניח תחילה הקווים לכל שמות וניתן אותה פתרנו כבר כי שלא, ולאלו הידועים לאלו לבנייתה, הנדרשים ואז ללא הבחנה בין קטעים ידועים ונעלמים עלינו לפתור בכל דרך המראה את היחסים בין קטעים, דרכים, בשתי קטע לבטא דרך נמצא אשר עד חייבים אנו ... משוואה יצירת יאפשר זה דבר הקווים כמספר משוואות שיותר כמה למצוא

הנעלמים..."



יש המשוואות, מערכת את שיצרנו "לאחר השוואת ע"י הנעלמים חילוץ בפעולת להתחיל משוואות אחת עם השנייה עד לקבלת ערך עבור כל אחד מן הנעלמים ונעצור כאשר נשאר עם רו או לריבועו, או ידוע, לקו השווה אחד נעלם

לחזקה כלשהי שלו, או לסכום קווים ידועים..."

נעלם לבודד ניתן כי תמיד היה משוכנע דקארט מתוך מערכת המשוואות ע"י פעולות אלמנטריות

והוצאת רדיקלים.



על עומדת דקארט של בעיה לפתרון שיטתה שלושה שלבים מרכזיים:

. מתן שמות לקטעים – זיהוי יחיד של כל קטע 1ע"י

משוואות נכתבות ומעגלים לקווים אורכו. המייצגות אותם.

הישויות 2 בין היחסים בין היחסים הבעת .במערכת

משוואות.

. פתרון מערכת המשוואות.3



אנליטית גיאומטריה

הישר .1 על נקודותהמפתח לשילובן של גיאומטריה ואלגברה הוא

בהתאמה בין מספרים לנקודות ולהיפך.נתחיל בנקודות שעל גבי ישר מכוון :

מתאים מספר ממשי Lלכל נקודה על הישר אחד ורק אחד ולכל מספר ממשי מתאימה

.Lנקודה אחת ויחידה על הישר . התאמה חד-חד ערכיתהתאמה זאת נקראת



X>0Y>0

X>0Y<0

X<0Y<0

X<0Y>0

III

III IV

במישור. 2 נקודות



3. במישור. נקודות שתי בין מרחק

1משפט

מרחק בין שתי נקודות נתונות שווה לשורש ריבועי של סכום רבעי-ההפרשים של

הקוארדינטות הדומות של שתי הנקודות:

2 2

p M p MMP x x y y



4. נתון. ביחס קטע חלוקת

1בעיה

B ו-Aנתונות הקואורדינטות של שתי נקודות במישור

Cצריך למצוא הקואורדינטות של נקודה שלישית

באופן הבא:ABהמחלקת הקטע

(AB נמצאת על הקטע C) הנקודה

ACk

CB



4. נתון. ביחס קטע חלוקת

2בעיה

B ו-Aנתונות הקואורדינטות של שתי נקודות במישור

Cצריך למצוא הקואורדינטות של נקודה שלישית

באופן הבא:ABהמחלקת הקטע

(AB נמצאת מחוץ לקטע C) הנקודה

ACk

CB


)אוקלידס(. 3בעיה למצוא חלוקת קטע נתון באופן הבא:

, ונקבל:AE = a, EB = bנסמן:

".יחס הזהב בAB "מחלקת את הקטע Eהנקודה

AB AEAE EB

a b a aa b b



4בעיה

A B,נתונות הקואורדינטות של שלוש נקודות במישור

ABC צריך למצוא מרכז הכובד של משולש Cו-



5. משולש. שטח

5בעיה

על-ידי ABCכיצד ניתן לחשב שטח המשולש

השיעורים של קודקודיו ?

גיאומטריה אנליטית_1

Documents