เฉลยคณิต 1

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 จากกลมคณตมธยมปลาย หนา 2

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/ เพอการศกษาเทานน และไมเกยวของกบเชงธรกจใดๆทงสน

หลกในการแกอสมการพหนาม

1. ท าใหขางใดขางหนงเปน 0

2. ท าใหสมประสทธของตวแปรทมก าลงมากสดเปน

3. แยกตวประกอบ

4. เขยนเสนจ านวน

** ระวง คา x ทท าใหสวนเปน 0 ตองเปนชวงเปด

เฉลยขอสอบ 7 วชาสามญ ปการศกษา 2556 ตอนท 1 แบบระบายตวเลขทเปนค าตอบ จ านวน 10 ขอ ขอละ 2 คะแนน รวม 20 คะแนน

1. ตอบ 4

จากอสมการ ( 1)( 3)0

(2 1)

x x

x x

สามารถเขยนเสนจ านวนไดดงรป

ดงนนจ านวนเตมทสอดคลองกบอสมการดงกลาวม 4 จ านวนคอ -1 , 1 , 2 , 3 นนเอง

2. ตอบ 25

จากทเรารวา 2i เปนค าตอบของสมการ ( ) 0P x 2i จะเปนค าตอบของสมการ ( ) 0P x ดวย

เนองจาก ( )P x เปนพหนามก าลง 3 ดงนนจะตอง

มค าตอบของสมการ ( ) 0P x อกค าตอบหนงดวย

สมมตใหตวประกอบอกตวหนงคอ mx n

นนคอ ( ) ( 2 )( 2 )( )P x x i x i mx n

ดงนน 3 2 2 2 2( ) 2 12 ( 4 )( ) ( 4)( )P x x ax bx x i mx n x mx n

เมอเทยบสมประสทธของ 3x เลยท าใหเราไดวา 2m

เมอเทยบสมประสทธของพจนคาคงทพจนสดทาย เลยท าใหเราไดวา 3n

สรป : 2( ) ( 2 )( 2 )(2 3) ( 4)(2 3)P x x i x i x x x

ดงนน (1) (1 4)(2 3) 25P

ทฤษฎทเกยวกบรากของสมการพหนาม

ก าหนดให เปนพหนามทมสมประสทธ

เปนจ านวนเตม หากเรารวาจ านวนเชงซอน เปน

ค าตอบของสมการ แลว เราจะไดวา

จะเปนค าตอบของสมการ ดวย ^^

-1 0 3 -



ความสมพนธระหวางการ dot และการ cross

ส าหรบเวกเตอร ใดๆ เราจะไดวา

(นนคอ เวกเตอรสามารถเลอนไปทางขวาได 1 ต าแหนง

ทง 3 เวกเตอรในทางเดยวกนในท านองวาเปน loop

โดยทเครองหมาย และเครองหมาย ยงตองอยทเดม)

3. ตอบ 0.75

จาก 2 3b a จะไดวา 3

2b a

จากกฎของไซน sin sinA B

a b จะไดวา

32

sin sin 2A A

a a นนคอ

32

sin 2sin

AA

แตจาก sin2 2sin cosA A A

ดงนน 3 sin 2sin cos2

A A A

นนคอ 3cos 0.75

4A นนเอง

4. ตอบ 8

จาก v u w w v u

จะไดวา v u w v w u

2 4 2 3i j k i j k

( 1)(2) ( 2)(1) ( 4)( 3)

8

หมายเหต

1. ส าหรบเวกเตอร u และ v ใดๆ เราจะไดวา u v v u

2. ถา u ai b j ck และ v di e j f k จะไดวา u v ad be cf

ความรเพมเตม 1 : ความรพนฐานเกยวกบการด าเนนการตามแถว

การด าเนนการตามแถว (Row Operation) คอกระบวนการทเราจะปรบรปแบบของเมทรกซเพอใหได

เมทรกซใหมทสะดวกตอการค านวณมากขน มอยดวยกน 3 ลกษณะคอ

1. คณแถวท i ดวยคาคงท k (เมอ 0k ) เขยนแทนดวยสญลกษณ ikR

2. สลบแถวท i กบแถวท j เขยนแทนดวยสญลกษณ ijR

3. คณแถวท i ดวยคาคงท k (เมอ 0k ) แลวน าไปบวกกบแถวท j (แถวท j จะเปลยนแปลง)

เขยนแทนดวยสญลกษณ i jkR R

โดยเราจะใชเครองหมาย ~ แทนการด าเนนการตามแถวในแตละขนตอน และเขยนก ากบไวทกขนตอน

กฎของไซนส าหรบสามเหลยมทวไป

สามเหลยม ABC ทม

ความยาวดานตรงขาม

มม A , B, C คอ a , b ,c

ตามล าดบ เราจะไดวา

กฎของไซน คอ

หมายเหต : นะครบ :))

A

B C a

b c



เชน ก าหนดให 1 4 2

2 1 0

0 3 4

A

ถาเมทรกซ ~A B โดยการด าเนนการ 32R จะไดวา 3

1 4 2

2 1 0

0 6 8 2

B

R

ถาเมทรกซ ~B C โดยการด าเนนการ 1 22R R จะไดวา 1 2

1 4 2

4 7 4 2

0 6 8

C R R

ถาเมทรกซ ~C D โดยการด าเนนการ 23R จะไดวา 23

1 4 2

0 6 8

4 7 4

D

R

ความรเพมเตม 2 : การแกระบบสมการกบการด าเนนการตามแถว

จากระบบสมการ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

a x a y a z

a x a y a z

a x a y a z

1

2

3

b

b

b

เราสามารถเขยนเปนเมทรกซแตงเตม (Augmented Matrix) ไดเปน 11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a a a

a a a

a a a

b

b

b

ซงไมวาเราจะใชการด าเนนการตามแถวทง 3 แบบทไดกลาวมาแลวขางตน กบเมทรกซแตงเตมน

อยางไรกตาม เราจะไดวา ค าตอบของระบบสมการจะไมเปลยนแปลง

5. ตอบ 17

จากระบบอสมการทโจทยก าหนดให 2 3

3

2 5 5

x y z a

x y b

x y z c

เขยนเปนเมทรกซไดเปน 1 2 3

1 3 0

2 5 5

a

b

c

แตโจทยก าหนดให 1 2 3 1 2 3 9

1 3 0 ~ 0 1 3 5

2 5 5 0 0 1 2

a

b

c

แสดงวาระบบสมการจะไมเปลยนไป

ซงจาก 1 2 3 9

0 1 3 5

0 0 1 2

จะท าใหเราไดวา 2z , 3 5y z และ 2 3 9x y z

นนคอ 1x , 1y และ 2z

ซงจากโจทยจะไดวา 2 5 5 2(1) 5( 1) 5(2) 17c x y z



6. ตอบ 12

7 5log 625 log 343

log625 log343

log7 log5

4 3log5 log7

log7 log5

4log5 3log712

log7 log5

7. ตอบ 0.20

จากตารางทก าหนดให ตองหาความถ

จากความถสะสมกอน ดงตาราง

ดงนนนกเรยนทงหมดม 200 คน

และมนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง

50-59 คะแนนทงหมด 40 คน

ดงนน เมอสมนกเรยนมา 1 คน

ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทได

คะแนนสอบในชวง 50-59 คะแนน เทากบ 400.20

200

8. ตอบ 720

โจทยก าหนดใหเลข 3 ทงสองตวตองอยตดกน

เราจงตองมดเลข 3 ทง 2 ตวไวดวยกน ดงน

1 , 2 , 3,3 , 4 , 5 , 6

ดงนนการสรางจ านวนทม 7 หลก จากเลขโดด

7 ตว ดงกลาว กคอการสลบของทแตกตางกน

ทงหมด 6 ชนนนเอง ซงสามารถท าได

6! 720 วธ นนเอง

คะแนนสอบ ความถสะสม (คน) ความถ 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69

70 ขนไป

10 35 80

145 185 195 200

10 25 45 65 40 10 5

สมบตของ log ส าหรบขอน

ก าหนดให

และ เปนจ านวนจรงใดๆ

1. เมอ คอฐาน log ใหมทตองการ

2.

หลกการพนฐานของการเรยงของตดกน

หากเราตองการใหสงของใดอยตดกน ใหมดรวมของเหลานน

อยดวยกน แลวนบวาเปนของเพยง 1 ชน และอยาลมคด

ดวยวา ของทเรามดอยตดกนนนสามารถสลบต าแหนงกน

ไดดวย ยกเวน!!! ของทเรามดตดกนนนมนเหมอนกน

เพราะของเหมอนกนสลบทกนไมท าใหเกดวธใหมนะครบ^^



9. ตอบ 3

3 2

2lim lim

2 3n

n n

n na

n n

3 2 2

2

( 3) ( 2)lim

( 2)( 3)n

n n n n

n n

4 3 4 2

3 2

3 2lim

3 2 6n

n n n n

n n n

3 2

3 2

3 2lim

3 2 6n

n n

n n n

2 3

23

lim3 2 6

1n

n

n n n

3

10. ตอบ 12

จาก 3 2( ) 3 9 1f x x x x

จะไดวา 2( ) 3 6 9f x x x ให ( ) 0f x เพอหาคาวกฤต

จะไดวา 23( 2 3) 0x x

นนคอ ( 3)( 1) 0x x

3x หรอ 1x

แตตองระวง เพราะขอนโจทย

ก าหนดใหเราพจารณาในชวง 1,2

ดงนนคาวกฤตจงคดเฉพาะ 1x

เพราะวา (1) 4f , ( 1) 12f และ (2) 3f

ดงนน คาสงสดสมบรณของฟงกชน 3 2( ) 3 9 1f x x x x บนชวง 1,2 มคาเทากบ 12

หลกการพนฐานของการหาลมตของล าดบ

ใหดดกรทมากทสดของเศษและสวน

1. ถา เศษ < สวน : ลมตจะตอบ 0

เชน

2. ถา เศษ > สวน : ลมตจะตอบไมมคา(เปนจ านวนจรง)

เชน ไมมคา

3. ถา เศษ = สวน : ลมตจะตอบคาส.ป.ส. เศษ สวน

เชน

หมายเหต : ถาเปน ไมมคา ไมมคา จะยงสรปไมได

ตองจดรปใหมกอนเสมอ แลวจงหาคาของลมตใหมอกครง

หลกการพนฐานของการหาสดขดสมบรณ

ในการหาคาสดขดสมบรณของ บนชวง

ขนท 1 : หาคาวกฤตทงหมดของฟงกชน โดยหา

ไดจาก แตจะพจารณาเฉพาะ

คาวกฤตทอยในชวง เทานนนะครบ

ขนท 2 : หาคาของฟงกชนทต าแหนงคาวกฤต

ขนท 3 : หาคาของฟงกชนทต าแหนง และ

ขนท 4 : เปรยบเทยบคาทไดจากขนท 2 และขนท 3

คาทมากทสด = คาสงสดสมบรณ

คาทนอยทสด = คาต าสดสมบรณ

เฉลยคณิต 1

Education