物体的几何表示 (1)

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内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

3

内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

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计算机图形学中的坐标系在计算机图形学中，常用的是空间直角坐标系

空间任何一点可以用三个坐标 (x, y, z) 表示 空间直角坐标系有两种：右手系和左手系

x

y

z 右手坐标系o x

y

z

左手坐标系o

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计算机图形学中的坐标系球坐标系： ( r, , ) 柱坐标系： ( r, h, )

r

r

h

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几何场景：定义在一个世界坐标系中，由许多物体组成 物体的几何描述与空间坐标系密切相关

对于相同的几何物体，在不同的坐标系中会有不同的表示形式 。选择空间坐标系，使得几何物体的表示最简单。该坐标系称为局部坐标系。

世界坐标系和局部坐标系

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x2+y2+z2=1 球心在原点(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-1=0 球心在 (1,1,1)最终表达式： x2+y2+z2-2x-2y-2z+2=0

结论：同为单位球面，前者最简单

局部坐标系：单位球面

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定义在局部坐标系和世界坐标系中的单位立方体：前者表示更为简洁局部坐标系z

x

y

Z

X

Y

世界坐标系

世界和局部坐标系：单位立方体

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世界坐标系和局部坐标系在局部坐标系中而不是在世界坐标系中直接表示物体的优势

表示形式简洁 在同一几何场景中，一个物体可能会多次出现，它们可以通过复制加变换的方式得到：

标准体素“＋”变换“＝”新的物体局部坐标系便于进行几何操作

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在局部坐标系和世界坐标系中旋转一个圆柱面局部坐标系中的旋转

z

x

y

Z

Y

X

世界坐标系中的旋转

局部坐标系和世界坐标系中的变换

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世界坐标系和局部坐标系世界坐标系和局部坐标系之间相互转换：简单的线性变换，如平移、旋转、放缩、剪切以及这些简单变换的组合

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内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

多边形表示的来源多边形表示的数据结构多边形表示的优势与不足

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内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

多边形表示物体的主要来源多边形表示的数据结构多边形表示的优势与不足

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(a) 线框图

物体的多边形表示实例

野鸭模型的多边形表示，有 6656 个面片， 3474 个顶点

(b) 原始法向着色图 (c) 平均法向着色图

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物体的多边形表示物体的多边形表示

大量的平面片：三角形、四边形或 n-边形本质：线性表示形式

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内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

多边形表示物体的主要来源多边形表示的数据结构多边形表示的优势与不足

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多边形表示物体的主要来源三维测量与扫描

原始数据一般为三维空间中的点集 采用适当的重建算法得到其多边形表示 该方法更适用于数学公式难以直接描述的自然界已有实物

断层扫描重建 CT 、 MRI 等值面抽取

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扫描重建与等值面多边形物体

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多边形表示物体的主要来源解析数学公式的逼近

常用的物体外形数学表示方法包括参数曲面、细分曲面、隐式曲面等 通过控制逼近误差，总可以得到满足精度的曲面物体的多边形逼近表示

隐式曲面的多边形逼近

参数曲面的多边形逼近

细分曲面的多边形逼近

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内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

多边形表示物体的主要来源多边形表示的数据结构多边形表示的优势与不足

参数曲面表示

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多边形表示方法： OBJ 格式顶点坐标表 (x,y,z) ：每个顶点处可能有多个平面片，一般情况下顶点数小于面片数。鸭子模型中含有 3474 个顶点纹理坐标表 (u,v) ：控制纹理映射时纹理在表面上的位置。鸭子的身体、脚趾、眼睛和嘴具有不同的颜色

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多边形表示方法： OBJ 格式 法向表 (nx,ny,nz) ：控制物体绘制时的着色光滑程度

如果顶点法向为取作该面片的法向，绘制出来的多边形物体是处棱角分明的 如果顶点法向是周围面片法向的某种平均，则绘制结果是光滑的

面表：由指向顶点、纹理坐标以及法向的指针组成。鸭子模型含有 6656 个面

基于面片法向着色

基于平均法向着色

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多边形表示的 OBJ 格式数据结构顶点坐标表 vi=(xi, yi, zi) i=1,2,…, 顶点数目纹理坐标表 vtp=(up, vp) p=1,2,… 纹理坐标数目法向表 vna=(nxa, nya, nza) a=1,2,… 法向数目面表 fs=(vi/vtp/vna, vi/vtp/vna, vj/vtq/vnb, vk/vtr/vnc,… )

s=1,2,…, 面片数详细信息可以参考：http://ozviz.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/dataformats/obj/

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三角形网格表示的数据结构 ( 可选 )

存储空间的考虑拓扑上的考虑

闭流形或开流形？三角网格曲面或任意多边形曲面？能否表示非流形曲面？层次结构或者单一分辨率的曲面？

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三角形网格表示的数据结构算法上的考虑：数据结构所适用的算法

绘制网格曲面几何形状编辑拓扑连接关系的改变在顶点、边、面上附着其它信息邻接关系的查询：顶点的邻边、邻面？边的顶点、邻接面？面的顶点、边、相邻的面…曲面是否可定向的？

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三角形网格表示的数据结构半边结构 (Half-Edge Structure) ：可定向的二维流形及其子集

指向顶点指向半边指向相邻的半边指向面

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半边结构 (Half-Edge Structure)

每条边被记为两条半边，记录每条半边：起始顶点的指针邻接面的指针 ( 如果为边界，指针为 NULL ) 下一条半边 (逆时针方向 ) 相邻的半边 前一条半边 ( 可选 )

面：边界上的一条半边顶点

坐标值 指向以此顶点为起始端点的半边

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半边结构的实例

v1

v2

v3

v4

v5

f1

f2f3e1,1

e2,1

e3,1 e3,2e4,1

e5,1

e4,2

e6,1

e7,1

顶点 坐标 以此为起点的半边v1 (x1,y1,z1) e2,1

v2 (x2,y2,z2) e1,1

v3 (x3,y3,z3) e4,1

v4 (x4,y4,z4) e7,1

v5 (x5,y5,z5) e5,1

面 半边f1 e1,1

f2 e3,2

f3 e4,2

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半边结构的实例

v1

v2

v3

v4

v5

f1

f2f3e1,1

e2,1

e3,1 e3,2e4,1

e5,1

e4,2

e6,1

e7,1

半边 起点 相邻半边 面 下条半边 前条半边e3,1 v3 e3,2 f1 e1,1 e2,1

e3,2 v2 e3,1 f2 e4,1 e5,1

e4,1 v3 e4,2 f2 e5,1 e3,2

e4,2 v5 e4,1 f3 e6,1 e7,1

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关于半边结构半边结构讨论：

优势：查询时间 O(1) ， 操作时间 ( 通常 ) O(1)

缺点：只能表示可定向流形，信息冗余关于半边结构更多信息

CGAL ： the Computational Geometry Algorithms Library ， http://www.cgal.org

OpenMesh ： http://www.openmesh.org

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内容世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系多边形表示

多边形表示物体的主要来源多边形表示的数据结构多边形表示的优势与不足

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多边形表示的优势表示简单可以表示具有任意拓扑的物体可以表示具有丰富细节的物体大部分图形硬件支持多边形物体的加速绘制

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多边形表示的不足逼近表示，难以满足交互时放大要求难以用传统方法修改 (编辑 ) 物体外形缺乏解析表达式，几何属性计算困难在表示复杂拓扑和具有丰富细节的物体时，数据量庞大，建模、编辑、绘制、存储的负担重

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网格曲面的数字几何处理 (1)

网格曲面的来源三维扫描 CAD输出断层扫描

输入数据的预处理几何误差的消除拓扑误差的消除

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网格曲面的数字几何处理 (2)

网格曲面的质量检测曲率图曲率线图

网格去噪与光顺几何特征、细节与噪音保持几何特征与细节的前提下去噪音

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网格曲面的数字几何处理 (3)

网格曲面的参数化重新网格化形状编辑纹理映射 ……

网格曲面的简化降低几何复杂性提高处理、显式效率

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网格曲面的数字几何处理 (4)

重新网格化以提高网格曲面的质量面片简化逼近与拟合

网格曲面编辑多分辨率编辑自由编辑

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多边形表示的大规模场景：草地16.7×10

6个多边形

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多边形表示的复杂物体：油轮

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大规模网格模型：雕塑

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小结世界坐标系和景物 ( 局部 ) 坐标系物体的多边形表示：来源、数据结构、优势与不足