Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Ульяновский государственный технический университет»

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ

ПО ФИЗИКЕ Часть 1. Механика. Электричество и магнетизм. Колебания

Методические указания для студентов дневной формы обучения

машиностроительного факультета

Составитель: Р. К. Лукс

Ульяновск 2012

2

УДК 53 (076) ББК 22.2я7 К32 К32 Конспекты лекций по физике: методические указания для студентов машиностроительного факультета /сост. Р. К. Лукс. – Ульяновск: УлГТУ, 2012. – 63 с. Сборник конспектов лекций по физике составлен в соответствии с типовой программой общего курса физики и федеральных государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлениям подготовки 19020162 – Наземные транспортно – технологические комплексы,

19060062 – Автомобили и автомобильное хозяйство,

15070062 – Машины и обработка металлов давлением,

15190062 – Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных

производств

Конспекты лекций включает теоретический материал, позволяющий студентам в компактной форме получить достаточную информацию о физических явлениях и закономерностях, необходимых для развития физического мышления и подготовки научной базы, без которой невозможно успешное решение профессиональных задач. УДК 53 (076) ББК 22. 2я7

3

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1

1.1. Механика. Материальная точка. Движение материальной точки. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки ………………………………………………………… 5

1.2. Кинематика вращательного движения …………………………………………………….. 7 1.3. Динамика движения материальной точки. Законы Ньютона …………………………… 8 Лекция 2 2.1. Закон всемирного тяготения. Сила тяготения, сила тяжести, вес тела …………………. 9 2.2. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции ……………………………………….. 9 2.3. Центр масс. Закон сохранения импульса ………………………………………………….. 10 2.4. Кинетическая энергия. Работа. Мощность ………………………………………………… 11 4.5. Потенциальная энергия ……………………………………………………………………... 11 Лекция 3 3.1. Вращательное движение твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера ………13 3.2. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела ……………………………………… 14 3.3. Основное уравнение динамики вращательного движения ………………………………... 14 3.4. Силы трения. Статическое и кинематическое трение ……………………………………... 15

Лекция 4

4.1. Условие неразрывности потока жидкости …………………………………………………. 17 4.2. Уравнение Бернулли …………………………………………………………………………. 17 4.3. Сила внутреннего трения ……………………………………………………………………. 18 4.4. Ламинарное и турбулентное течение ……………………………………………………….. 19 4.5. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея …………………………… 20 4.6. Специальная теория относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца …………………………………………………………………….. 21

Лекция 5

5.1. Следствия из преобразований Лоренца …………………………………………………….. 22 5.2. Релятивистские выражения массы и импульса тела ………………………………………. 24 5.3. Релятивистское выражение для энергии …………………………………………………… 25

Лекция 6

6.1. Электрические заряды. Закон Кулона ……………………………………………………… 26 6.2. Потенциальная энергия. Потенциал. Работа сил электрического поля ………………….. 27 6.3. Напряженность поля. Принцип суперпозиции полей …………………………………….. 28 6.4. Связь между потенциалом и напряженностью ……………………………………………. 29 6.5. Графическое изображение электростатических полей …………………………………… 29

Лекция 7

7.1. Поток и циркуляция вектора Eэлектростатического поля.

Теорема Гаусса для вектора E

……………………………………………………………… 30 7.2. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей …………………… 31

4

7.3. Электрическое поле в диэлектрике ………………………………………………………… 33

Лекция 8 8.1. Поле заряженного проводника …………………………………………………………….. 35 8.2. Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость конденсатора ……………. 36 8.3. Энергия заряженного тела, конденсатора. Энергия электрического поля ……………… 38 8.4. Сила и плотность тока. Законы Ома и Джоуля – Ленца …………………………………. 38 8.5. Электродвижущая сила. Закон Ома для неоднородного участка цепи …………………. 39 8.6. Правила Кирхгофа ………………………………………………………………………….. 40

Лекция 9

9.1. Магнитное поле. Закон Био – Савара – Лапласа …………………………………………. 40 9.2. Сила Лоренца. Закон Ампера ……………………………………………………………… 42 9.3. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

и теорема Гаусса для вектора B

………………………………………………………….. 43 9.4. Магнитное поле в веществе ……………………………………………………………….. 43

Лекция 10

10.1. Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции ………………………………. 45 10.2. Токи Фуко ………………………………………………………………………………… 46 10.3. Явления самоиндукции и взаимоиндукции ……………………………………………. 47 10.4. Второе уравнение Максвелла в интегральной форма. Ток смещения ……………….. 48 10.5. Уравнения Максвелла …………………………………………………………………… 49

Лекция 11

11.1. Гармонические колебания ………………………………………………………………. 50 11.2. Сложение гармонических колебаний ………………………………………………….. 52

Лекция 12

12.1. Затухающие колебания ………………………………………………………………….. 55 12.2. Вынужденные колебания ……………………………………………………………….. 57 12.3. Вынужденные колебания в цепи переменного тока …………………………………. 58 12.4. Мощность в цепи переменного тока ………………………………………………….. 59

Приложение

1. Векторы и скаляры ………………………………………………………………………… 60 2. Градиент скалярной величины a …………………………………………………………. 61

3. Циркуляция и поток вектора a

…………………………………………………………… 62

4. Дивергенция и ротор вектора a

…………………………………………………………… 62 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………………………………... 63

5

Лекция 1 1.1. Механика. Материальная точка. Движение материальной точки.

Скорость и ускорение произвольно движущейся точки

Механика – это наука о механическом движении тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Кинематика – раздел механики, который рассматривает лишь само перемещение тел в зависимости от времени.

Наиболее просто описать поведение тела, если можно приять это тело за материальную точку. Материальной точкой называют тело, размерам которого можно пренебречь в рассматриваемой задаче. Для определения положения тела в пространстве используют понятие системы отсчета: включающее тело отсчета, связанную с ним систему координат и прибор (часы) для измерения времени (рис. 1.1). Положение тела в пространстве задается либо с помощью радиус-вектора r

, проведенного из

начала координат в рассматриваемую точку (для точек 1 и 2 на рис. 1.1 это

векторы r

0 и r

), либо с помощью координат x, у, z – проекций вектора rна координатные

оси:

kzjyixr , (1.1)

где kji

,, - векторы, указывающие направление осей Ox, Oy, Oz и равные по модулю единице.

Вектор s

,соединяющий начальное и конечное положение тела (точки 1 и 2 на рис. 1.1), называют перемещением. Модуль перемещения меньше или равен пути l – расстоянию, пройденному телом по траектории; они равны в случае прямолинейного движения в одну сторону.

Для определения быстроты движения тела вводят понятие мгновенной скорости vтела

в данной точке траектории, равную первой производной от радиус-вектора r

(или перемещения s

) по времени t:

.dt

sd

dt

rd

(1.2)

Вектор v

в каждой точке траектории пространства направлен по касательной к ней (рис. 1.2).

Часто используют понятие средняя путевая скорость

vср – скалярная физическая величина, равная отношению пути l, пройденного телом за время t, к этому времени t.

Быстроту изменения скорости определяют, введя понятие мгновенного ускорения а

–

ускорения в данной точке траектории, равного первой производной от скоростиv

по времени t:

Рис. 1.1

Рис. 1.2

6

.2

2

2

2

dt

sd

dt

rd

dt

rd

dt

d

dt

vda

(1.3)

Проекцию вектора ускорения aна направление касательной к траектории называют

касательным (тангенциальным) ускорением a

, а на направление, перпендикулярное к

касательной, – нормальным (центростремительным) ускорением na

(см. рис. 1.2):

,,,, 222

nnn aaaaaaR

va

dt

dva

(1.4)

где v – числовое значение скорости; R – радиус кривизны траектории в данной ее точке, он равен радиусу окружности R , вписанный в малый участок траектории вблизи этой точки.

Касательное ускорение характеризует изменение скорости тела по ее числовой величине (по модулю скорости), а нормальное ускорение – по направлению.

Приведем вывод формул для ускорений aτ и an . Для этого возьмем на траектории движения две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени ∆t (рис. 1.3).

Перенесем вектор 2v

параллельно самому себе в точку 1 и, отложив на нем отрезок, равный по

модулю вектору 1v

, получим точку 3 (рис. 1.3б). Тогда вектор 12 vvv можно

представить в виде суммы двух векторов .nvvv При ∆t→ 0 углы α и β стремятся

соответственно к 00 и 90

0, поэтому вектор v

, направленный по касательной к траектории,

будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор nvd

будет

перпендикулярен к 1v

. Следовательно,

.,,dt

vda

dt

vdaaa

dt

vd

dt

vd

dt

vda n

nnn

(1.5)

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 (рис. 1.3а) при малых ∆t→dt

будут равны dl1,2 = ds1,2 = vdt. Из подобия треугольников ∆102 (рис. 1.3а) и ∆1v13 (рис. 1.3б) следует

Rv

dt

dva

Rvdt

v

dv nn

n2

, .

Рис. 1.3

7

1.2. Кинематика вращательного движения

Пусть м. т. движется со скоростью vпо окружности радиуса r вокруг неподвижной оси

вращения (рис.1.4а). Положение точки на окружности определяет радиус-вектор r

, а вектор его элементарного приращения rd

направлен по касательной к окружности. Введем понятие

вектора элементарного углового перемещения

d : он равен по модулю углу элементарного поворота dφ, направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, а именно: направление вращения буравчика должно совпадать с направлением вращения материальной точки, тогда поступательное движение буравчика определяет

направление вектора

d (рис. 1.4а).

Быстроту вращения м. т. характеризует угловая скорость

, равная первой

производной от вектора углового перемещения по времени t:

dt

d

(1.6)

Направление вектора угловой скорости

и вектора элементарного углового

перемещения

d совпадают.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения

,

равный первой производной от угловой скорости

по времени t:

.2

2

dt

d

dt

d

(1.7)

Кроме перечисленных выше величин, для описания вращательного движения тела используют частоту вращения n, определяемую как число оборотов, совершенных телом за единицу времени, и период обращения Т, как время одного полного оборота. Справедлива следующая взаимосвязь ω, n и Т:

ω = 2πn = 2π/Т. (1.8)

Установим взаимосвязь линейных ( v

, naa

, ) и угловых (

,

) характеристик при вращательном движении.

Пользуясь определением векторного произведения двух векторов (см. Прил. 1) и рис. 1.4а, можно записать

.rdrd (1.9)

Выражение (1.9) позволяет получить следующие формулы взаимосвязи линейных и угловых характеристик:

1) для скоростей vи

;rr

dt

d

dt

rdd

dt

rdv

rv ; v = ωr . (1.10)

2) для ускорений a

, na

,

Рис. 1.4

8

naavrdt

rdr

dt

dv

dt

d

dt

vda

;

ra ; aτ = εr , (1.11)

va n , an = ων =ν2/r = ω2r. (1.12)

1.3. Динамика движения материальной точки. Законы Ньютона Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами (взаимодействиями между

телами), которые обуславливают тот или иной характер движения. Механическое взаимодействие тела с другими телами описывают с помощью понятия силы F

, которая

определяется как векторная величина, характеризующая механическое взаимодействие данного тела с другими телами, приводящая к их деформации или к возникновению ускорения.

Все тела изменяют свою скорость не мгновенно, а постепенно при их взаимодействии с другими телами, то есть обладают инертностью. Количественной характеристикой инертности тела является его масса m. Она определяется как мера инертности тела при его прямолинейном движении.

В основе классической механики движения материальной точки лежат три закона Ньютона, являющиеся обобщением опытных фактов.

1 закон Ньютона рассматривает движение тела в отсутствии его взаимодействия с другими телами. Тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на тело не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

Оказывается, что законы Ньютона выполняется не во всех системах отсчета, а только в инерциальных. Поэтому среди всех систем отсчета выделяют инерциальные системы отсчет (ИСО), как системы отсчета, в которых выполняются все три закона Ньютона.

ИСО в природе не существует, так как тела отсчета либо вращаются, либо движутся прямолинейно с ускорением. Наиболее близкой к ИСО можно считать систему отсчета связанную с Солнцем. Для многих физических явлений систему отсчета, связанную с Землей, также можно считать ИСО. Системы отсчета, которые движутся прямолинейно и равномерно относительно инерциальных систем, так же являются инерциальными системами.

Для формулировки второго закона Ньютон ввел понятие импульса тела ркак векторную

физическую величину, характеризующую его прямолинейное движение и равную произведению массы тела на его скорость:

vmр . (1.13)

Согласно второго закона Ньютона первая производная от импульса р

тела по времени t равна векторной сумме сил, действующих на тело:

N

iiF

dt

pd

1

. (1.14)

Если масса тела не изменяется от времени, то тогда выражение (1.14) можно записать, вводя в него ускорение тела:

N

iiFam

1

, (1.15)

и сформулировать второй закон Ньютона следующим образом: произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме сил, действующих на тело.

Третий закон Ньютона устанавливает дополнительные связи между силами, возникающими при взаимодействии тел. Согласно этому закону силы, действующие между двумя талами равны по модулю и противоположны по направлению:

21 FF

. (1.16)

9

Лекция 2 2.1. Закон всемирного тяготения.

Сила тяготения, сила тяжести, вес тела Ньютон установил закон всемирного тяготения – материальные точки

притягиваются друг друга с силой F пропорциональной их массам m1 и m2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

221

r

mmGF . (2.1)

Коэффициент G = 6,67 × 10-11Н·м

2/кг

2 был определен экспериментально и назван

гравитационной постоянной. Силу, с которой Земля притягивает тела, находящиеся на поверхности Земли или близи

ее поверхности, определяющую выражением

mgR

mMGP 2 ; gmP

, (2.2)

называют силой тяжести. В формуле (2.2) m – масса тела, М – масса Земли, R – радиус Земли, g – ускорение свободного падения.

Сила, с которой тело действует на подвес или опору, называют весом тела.

2.2. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы

отсчета, которые движутся ускоренно относительно инерциальных систем, называют

неинерциальными. В неинерциальной системе отсчета ускорение тела aотличается от

ускорения aв инерциальной системе на величину иa

:

a

– a

= иa

. Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны

других тел, равна F

, тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно

Fm

a 1

.

Ускорение же тела относительно неинерциальной системы можно представить в виде

a

= a

– иa

= иaFm

1.

Отсюда следует, что при F

= 0 тело будет двигаться по отношению к неинерциальной

системе отсчета с ускорением иa

, т. е. так, как если бы на него действовала сила, равная –

m иa

. Сказанное означает, что при описании движения в неинерциальных системах можно

пользоваться уравнениями движения Ньютона, если наряду с силами воздействия тел друг на

друга, учитывать так называемые силы инерции иF

. Силы инерции следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной систем отсчета:

ии amF

. Следовательно, уравнение движения в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид:

иFFam

. (2.3)

Поясним наше утверждение примерами.

10

1. Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик (рис. 2.1). Пока тележка покоится или движется без ускорения, нить расположена вертикально. Приведем тележку в поступательное

движение с ускорением a

. Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая

сил Pи rF

сообщала шарику ускорение a

.

Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что

результирующая сил Pи rF

отлична от нуля.

Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой

системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил Pи rFна шарик действует и

сила инерции inF

. Следовательно, в неинерциальной системе отсчета при ускоренном прямолинейном

движении этой системы на тела неподвижные относительно этой системы действует сила инерции

amFin

. (2.4) 2. Пусть, например, на горизонтальной платформе, которая может вращаться вокруг

вертикальной оси, лежит тело массой m, связанное с центром вращения О упругим элементом (рис. 2.2). Если платформа начнет вращаться с постоянной угловой скоростью

(и, следовательно, превратится в

неинерциальную систему отсчета), то благодаря трению тело тоже будет вовлечено во вращение. Вместе с тем оно будет перемещаться в радиальном направлении от центра платформы до тех пор, пока возвращающая сила упругости не остановит это перемещение. Тогда тело начнет вращаться на расстоянии r от центра О. С точки зрения наблюдателя, связанного с платформой, перемещение

шара относительно нее обусловлено некоторой силой ц.и.F

. Это сила инерции, поскольку она не вызвана действием на шар других определенных сил; ее называют центробежной силой инерции. Очевидно, что центробежная сила инерции равна по модулю и противоположна по направлению центростремительной силе, действующей на тело.

Поэтому

rmF 2ц.и. . (2.5)

2.3. Центр масс. Закон сохранения импульса Под центром масс системы тел понимают точку в пространстве, положение которой

относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором cr

:

i

iic rmm

r , 1

(2.6)

где i

imm– сумма масс тел (м.т.) системы; ir

– радиус-вектор i - го тела (м.т.) системы.

Если поместить в центр масс тело в виде материальной точки массой m, то оно будет

двигаться со скоростью cv

:

Рис. 2.1

Рис. 2.2

11

,m

p

m

vm

dt

rdv ciic

c

а .cc vmp (2.7)

Производная от cp

по времени

i

iccc Fam

dt

vdm

dt

pd.

(2.8)

Если система является замкнутой, или внешние силы, действующие на нее, компенсируют друг друга, то ее центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно или покоиться.

В замкнутой системе выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной:

.... constppp N 21 (2.9)

2.4. Кинетическая энергия. Работа. Мощность

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы, на которую действует

сила F

. Напишем уравнение движения этой частицы:

Fdt

vdm

(v << c).

Умножив левую и правую части уравнения на перемещение dtvSd

, получим:

sdFdtdt

vdvm

или ,sdFvdvm

dTmv

dmvdvmvdvvdvm

2

2

cos

,

2

2mvT , (2.10)

где Т – кинетическая энергия тела, dT – приращение кинетической энергии, а

cossFdsdFdA

, (2.11)

работа силы при элементарном перемещении. Формула dTdA утверждает, что работа силы идет на приращении кинетической энергии тела. Если на тело действует совокупность сил и перемещение тела осуществляется на конечную величину, то работа всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы:

А = Т2 – Т1. Работу силы за единицу времени называют мощностью. Мгновенная мощность

.vFdt

sdF

dt

dAN

(2.12)

2.5. Потенциальная энергия

Потенциальной энергией можно характеризовать систему тел только в том случае, если

между телами этой системы взаимодействие осуществляется посредством консервативных сил. Силы называют консервативными, если работа этих сил не зависит от формы траектории, по которой перемещается тело, и определяется только начальным и конечным положением тала. Для консервативных сил работ на любом замкнутом пути равна нулю. Консервативными силами являются: силы тяготения, силы упругости, электростатические силы взаимодействия.

Силы, не удовлетворяющие отмеченному выше свойству, называют диссипативными силами. Сила трения – это диссипативная сила.

12

Назовем определенное расположение тел в пространстве конфигурацией этой системы. Каждой конфигурации соответствует свое значение потенциальной энергии U. Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

Изменение конфигурации (взаимного расположения тел) приводит к изменению потенциальной энергии системы. Увеличение потенциальной энергии системы можно осуществить только посредством положительной работы внешних сил. Работа же внутренних (консервативных) сил приводит к убыли потенциальной энергии. Работа консервативных сил при бесконечно малом изменении конфигурации является полным дифференциалом функции U:

dA = – dU. (2.13) Работа консервативных сил при изменения конфигурации системы тел: А = – ∆U = U1 – U2. Зная вид функции U(x,y,z), можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке

поля. Рассмотрим перемещение частицы в произвольном направлении. Такое перемещение сопровождается совершением над частицей работы .sdFdA

В направлении оси х сила

Fсовершит работу хFdA х . Согласно (2.13) та же работа может быть представлена как

убыль потенциальной энергии: .UхF х Откуда

).,( constzconstyx

UF х

Для компонент силы по осям y и z получаются аналогичные выражения. Таким образом,

x

UF х

, y

UF y

, .

z

UFz

Зная компоненты, можно найти вектор силы:

).( kz

Uj

y

Ui

x

Uk

z

Uj

y

Ui

x

UkFjFiFF zyx

Выражение, стоящее в скобках, обозначим символом

kz

Uj

y

Ui

x

UU

(2.14)

и назовем градиентом потенциальной энергии. Таким образом

gradUUF

(2.15) Градиент потенциальной энергии это вектор, модуль который равен консервативной

силе, действующей на тело. Этот вектор указывает направление в котором потенциальная энергия увеличивается с наибольшей скоростью.

Можно показать, что в замкнутой консервативной системе полная механическая энергия, состоящая из кинетической и потенциальной энергии, сохраняется:

Е = Т + U = const, (2.16)

т.е. в замкнутой консервативной системе механическая энергия не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой (закон сохранения механической энергии).

13

Лекция 3 3.1. Вращательное движение твердого тела. Момент инерции. Теорема

Штейнера Твердыми называют тела, в которых не происходит перемещение одних частей этого

тела относительно других. Если прямая линия, проведенная через две точки этого тела, остается параллельной

самой себе, то такое движение твердого тела называют поступательным. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых

лежат на одной прямой, называемой осью вращения. При вращательном движении мерой инерции служит понятие момент инерции J . Если вращающееся тело можно принять за материальную точку, то

J = mr2 , (3.1) где r – кратчайшее расстояние от материальной точки до оси вращения.

Чтобы определить момент инерции тела относительно выделенной оси вращения, необходимо это тело разбить на отдельные материальные точки. Для произвольной материальной точки этого тела Ji = dmiri

2 .Сложение же моментов инерций отдельных точек этого тела позволяет определить момент инерции всего тела относительно выделенной оси:

2iii rdmJJ . (3.2)

Используя интегрирование, для однородных симметричных тел, оси вращения у которых проходят через центр масс этого тела, момент инерции можно выразит с помощью приведенные ниже формул.

1. Сплошной однородный диск (или цилиндр) массой m, радиусом R (рис. 3.1а):

2

2

1mRJ . (3.3)

2. Однородный шар с массой m и радиусом R (рис. 3.1б):

2

5

2mRJ . (3.4)

3. Тонкий однородный стержень массой m и длиной l (рис. 3.1в):

2

12

1mlJ . (3.5)

Для расчета момента инерции тела относительно произвольной оси вращения можно воспользоваться формулой теоремы Штейнера

2maJJ , (3.6)

где J и J - моменты инерции тела относительно двух осей – оси проходящей через центр масс

тела ( J ) и параллельной ей оси ( J ), отстоящей от нее на расстояние a (рис. 3.1г).

Так для О',О1 , проходящей через один из концов тонкого стержня (рис. 3.1г), можно получить

Рис. 3.1

14

.222

3

1

4

1

12

1

2mlml

lmJJ

3.2. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Определим выражение кинетической энергии для тела,

вращающегося вокруг выделенной оси (рис. 3.2). Разобьем тело на отдельные материальные точки. Для каждой из материальных точек можно записать выражение

2

2ii

i

vmT . Так как ii rv , то ,

2

22ii

i

rmT

где iii Jrm 2 и .

2

2 i

i

JT

Энергия вращательного движения тела

,

222

222 JJ

JTT i

ii (3.8)

где .JJ i В том случае, когда тело совершает не только поступательное, но и вращательное

движение полная кинетическая энергия

.22

22

JmvT

3.3. Основное уравнение динамики вращательного движения Если тело, закрепленное на неподвижной оси О, приходит во

вращательное движение под действием некоторой силы F

(рис. 3.3), то эта сила совершает над телом работу. Работа силы приводит к приращению кинетической энергии (dA = dT).

,cos dsFFdssdFdA

Так как sin)sin( FFF 180 , а rddS

то ,sin MdrdFdA где FrM

- момент силы.

Модуль момента силы sinrFM . Направление вектора Mопределяется по правилу

правого винта (см. приложение 1). На рис. 3.3 момент силы направлен по оси вращения от нас.

Так как ,

dJ

JddTdA

2

2

то . dJMd Взяв производную по

времени от последнего выражения, получим:

MJ или MJ

. (3.9) Записанное соотношение и называют основным уравнением динамики вращательного

движения. В динамике вращательного движения используется понятие момент импульса

.

JL Используя это понятие основное уравнение динамики вращательного движения можно

записать в виде:

.Mdt

Ld (3.10)

Из последнего выражения следует, что при 0M

, constJL

- закон сохранения момента импульса.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

15

Основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений можно записать, используя следующие формулы:

поступательное движение вращательное движение

Fam , MJ

,

,Fdt

pd .M

dt

Ld

3.4. Силы трения. Статическое и кинематическое трение

Всякое движущееся тело встречает сопротивление своему движению со стороны

окружающей его среды и других тел, с которыми оно соприкасается. На любое движущееся тело действуют силы трения. Природа этих сил может быть различной, но в результате их действия всегда происходит превращение механической энергии во внутреннюю энергию трущихся тел, т. е. в энергию теплового движения их частиц.

Остановимся на классификации сил трения. Внутренним трением (вязкостью) называют явление, которое состоит в возникновении касательных сил, препятствующих перемещению частей одного и того же тела по отношению друг к другу (например, трение в жидкостях и газах).

Внешним трением называют явление, заключающееся в возникновении в местах контакта двух соприкасающихся твердых тел касательных сил, которые препятствуют относительному перемещению этих тел. Различают два вида внешнего трения: статическое и кинематическое.

Статическое трение Если к телу, лежащему на горизонтальной плоскости

(рис. 3.4), приложить малую силу F

, направленную по касательной, то оно будет оставаться в покое, так как силу Fбудет уравновешивать сила статического трения,

действующая на тело со стороны опоры. При увеличении

силыFсила статического трения также будет возрастать. Из опыта известно, что сила

статического трения может увеличиваться лишь до некоторого предельного значения 0F

: при

F > F0, тело приходит в движение. Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили следующий закон статического трения: предельное значение F0 силы статического трения прямо пропорционально величине N силы нормального давления тела на опору, т. е.

F0 = f0 N . (3.11)

Безразмерный коэффициент пропорциональности f0 называют коэффициентом статического трения. Он, как показывает опыт, зависит от материала и состояния поверхностей соприкосновения тел.

Кинематическое трение

Закон Амонтона – Кулона для трения скольжения можно выразить формулой:

Fск = f ' N, (3.12) где f ' – коэффициент трения скольжения, а N – сила нормального давления. Коэффициент трения скольжения зависит от материала тел и состояния соприкасающихся поверхностей. Он

также несколько зависит от скорости движения. При малых скоростях f ' ≈ f0. Остановимся на причинах, вызывающих трение скольжения. Во время движения одного

тела относительно другого происходит разрушение зацепившихся друг за друга выступов, шероховатостей на соприкасающихся поверхностях. До тех пор, пока внешняя сила F меньше

Рис. 3.4

16

предельного значения (F < f0 N), происходит лишь незначительная деформация зацеплений и, соответственно, исчезающее малое смещение соприкасающихся поверхностей. Увеличение

внешней силы F влечет за собой разрушение зацеплений, и при F > F0 = f0 N начинается скольжение.

Из сказанного следует, что для уменьшения трения необходимо делать соприкасающиеся поверхности тел возможно более гладкими. Однако, как показывает опыт, целесообразно уменьшать шероховатость этих поверхностей лишь до определенного предела. Дальнейшее уменьшение шероховатости приводит не к уменьшению, а к возрастанию сил трения. Это связано с тем, что между частицами с гладкими поверхностями, вплотную прилегающими друг к другу, действуют значительные силы межмолекулярного притяжения. Поэтому «эффективная» сила нормального давления может значительно превосходить силу нормального давления N, обусловленную внешними нагрузками. Для учета указанного явления Б. В. Дерягиным был предложен двучленный закон трения скольжения:

Fск = f ( N + р0 S0), (3.13)

где р0S0 = N0 – дополнительная нормальная сила, являющаяся результирующей сил межмолекулярного притяжения в области непосредственного контакта поверхностей трущихся тел, р0 – давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, S0 - площадь действительного контакта, f – истинный коэффициент трения скольжения.

Необходимо отметить, что S0 всегда во много раз меньше площади кажущегося

контакта S. Для шероховатых поверхностей S0 мало и f ≈ f ', так что двучленный закон трения совпадает с законом Амонтона – Кулона.

К трению движения относится и трение при качении. При качении (например, цилиндра по плоскости) точки контакта соприкасаются лишь на мгновение, и одно из тел вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через точки контакта. При качении по плоской поверхности круглого цилиндра или шара возникают деформации. Поэтому точка А приложения силы реакции R

поверхности несколько смещается вперед, а линия действия силы отклоняется от вертикали назад (рис. 3.5).

Нормальная составляющая NR n

, а касательная

составляющая R

и является силой трения качения:

RF

кач .

При равномерном качении сила качF

компенсируется силой тяги F

, а реакция Rнаправлена вдоль прямой АО, так что ее момент сил относительно оси симметрии О

катящегося тела равен нулю. Если r – радиус катящегося тела, а fк – величина смещения точки

А приложения реакции R

, то из условия равенства нулю момента силы Rотносительно оси О

следует, что

кккач NffRrF n . Поэтому для силы трения качения справедлив закон Кулона:

r

NfF ккач . (3.14)

Величину fк называют коэффициентом трения качения.

Рис. 3.5

17

Лекция 4 4.1. Условие неразрывности потока жидкости

Течение жидкости принято изображать с помощью линий тока – это линии, в каждой

точке которых векторы скоростей vчастиц жидкости направлены по касательной к ним. Для

стационарного течения жидкости скорости ее частиц со временем не изменяются, и поэтому расположение линий тока также остается постоянным (рис. 4.1а).

В этих условиях удобно ввести понятие трубки тока. Для этого в плоскости, перпендикулярной к линиям тока, выделяют внутри жидкости замкнутый контур и проводят через его точки линии тока, они и будут ограничивать объем жидкости, называемый трубкой тока (рис. 4.1а).

Жидкость, заключенная внутри трубки тока, течет, не выходя за его пределы, перемешивание жидкости соседних трубок отсутствует. Причем для идеальной жидкости отсутствует и внутреннее трение между соседними трубками тока, а также и стенками трубы, по которой она течет.

Для несжимаемой жидкости (ее плотность во всех точках одинакова и не зависит от времени) в условиях стационарного течения за равные промежутки времени через сечения 1 и2

трубки тока пройдет одинаковые объемы жидкостей (V1 = V2 ; S1v1∆t = S2v2∆t, рис. 4.1б), что приводит к выполнению условия неразрывности потока жидкости:

S1v1 = S2v2. (4.1) 4.2. Уравнение Бернулли

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости по трубке тока. Под действием

сил давления ,F

действующих внутри жидкостей, большой объем V, находящийся между сечениями 1 и 2 будет перемещаться и через малый промежуток времени займет положение между сечениями 1'

и 2' (рис. 4.1б). В условиях стационарного течения жидкости изменение

энергии выделенного большого объема V будет связано только с изменением энергий,

происходящих в малых объемах V1 и V2. Изменение кинетической энергии этих объемов V1 и V2 определяется работой сил

тяжести и сил давления, действующих на выделенные объемы со стороны соседних слоев

жидкости. Причем работу совершают только силы давления ,1F

и 2F

.

Учитывая незначительность объемов V1 и V2, можно записать:

).()( 22112211

211

222

22lFlFghmghm

vmvmT

Введем в это уравнение плотность жидкости (ρ = m1/V1 = m2/V2 , m1 = m2, V1 = V2)

и давление, оказываемое жидкостью на сечения 1 и 2' объемов V1 и V2 (p1 =F1/S1, p2 = F2/S2). После несложных преобразований получим:

Рис. 4.1

18

.11

21

22

22

22pgh

vpgh

v

С учетом произвольности выбираемого объема и сечения в трубке тока окончательно

можно записать следующее уравнение:

,constpghv

2

2

(4.2)

которое получило название уравнения Бернулли.

Отдельные слагаемые в уравнении Бернулли имеют размерность давления. Принято

называть давление ρv2/2 – динамическим, ρgh – гидростатическим, давление р – статическим.

Уравнение Бернулли справедливо для любых точек внутри жидкости, расположенных вдоль определенной линии тока. При переходе от одной линии тока к дугой изменяются значения постоянной.

4.3. Сила внутреннего трения Идеальная жидкость, т. е. жидкость без трения, является абстракцией. Всем реальным

жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуща вязкость или внутреннее трение. Вязкость проявляется в том, что возникающее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается.

Рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружаются две параллельные друг другу пластины (рис. 4.2) на расстоянии d друг от друга. Нижняя пластина удерживается на месте,

верхняя приводится в движение относительно нижней с некоторой скоростью v0 . Для перемещения верхней пластины со скоростью v0 на нее необходимо действовать с постоянной

силой .F

Раз пластина не получает ускорения, значит, действие этой силы уравновешивается

равной ей по величине противоположно направленной силой трения .трF

Изменяя скорость v0 , площадь пластин S , расстояние между ними d , можно получить, что

,Sd

vFтр

0

(4.3)

где η – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости, или просто вязкостью жидкости (газа).

При движении верхней пластины на нижнюю будет действовать сила .трFFтр

Чтобы нижняя пластина была неподвижна, силу трF

необходимо уравновешивать с помощью

силы F

.

Рис. 4.2

19

Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин, между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (4.3). Это взаимодействие осуществляется через жидкость, расположенную между пластинами, передаваясь от одного слоя к другому.

Если в любом месте зазора жидкости провести мысленно плоскость, параллельную пластинам, то можно утверждать, что часть жидкости, лежащая над этой плоскостью, действует

с силой трF

, а часть жидкости, лежащей под плоскостью, в свою очередь действует на часть

жидкости, лежащей над плоскостью с силой ,трF

причем значения трF

и трF

определяются формулой (4,3).

Таким образом, можно утверждать, что формула (4.3) определяет не только силу трения, действующую на пластины, но силу трения между соприкасающимися частями жидкости.

Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z , перпендикулярно к пластинам (рис. 4.2) по линейному закону

.zd

vzv 0 (4.4)

Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают

к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Согласно (4.4) v/z = v0/d и

d

v

dz

dv 0 . (4.5)

Используя (4.5), формуле (4.3) можно придать вид

.Sdz

dvF тр (4.6)

dz

dvS

трF

- коэффициент вязкости. Он зависит от температуры. Но характер зависимости

различен для жидкостей и газов. У жидкостей η сильно уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет. Отличие в характере поведения η при изменениях температуры указывает на различие механизма внутреннего трения в жидкостях и газах.

4.4. Ламинарное и турбулентное течение Наблюдается два вида течения жидкости (или газа). В одних случаях жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Такое течение называют ламинарным (слоистым). Если в ламинарный поток ввести подкрашенную струйку, то она сохраняется, не размываясь, по всей длине потока. Частицы жидкости в ламинарном потоке практически не переходят из одного слоя в другой. Ламинарное течение – стационарно. При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер движения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называют турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом данном месте все время изменяется беспорядочным образом. Если в такой поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии она равномерно распределится по всему сечению потока. Английский ученый Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины:

,Re

vl

где ρ – плотность жидкости (или газа), v – средняя (по сечению трубы) скорость потока, η – коэффициент вязкости, l – характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата, радиус или диаметр трубы при круглом сечении и т. д, Re – число Рейнольдса. При

20

малых значениях Re наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если для круглой трубы в качестве l взять радиус, то критическое значение числа Рейнольдса оказывается примерно равным 1000. Характер течения разных жидкости в трубах разных сечений будит одинаков, если каждому сечению соответствует одно и то же значение Re. .

4.5. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея

Рассмотрим две инерциальные систем системы отсчета (рис. 4.3) – неподвижную К с осями координат Ох, Оу, Оz и движущуюся относительно ее с постоянной скоростью v

вдоль

совпадающих осей Ох и О'х

' систему отсчета К

' ( оси Оу и О

'у

', Oz и O

'z

' при движении остаются

параллельными). В начальный момент времени (t = 0) начала координат этих систем отсчета – точки О и О

' совпадают.

В классической механике считается, что предельная скорость передачи взаимодействия в

природе может быть бесконечно большой ( предv ), что приводит к дополнительным свойствам пространства и времени: пространство и время абсолютны, не связаны друг с

другом; время течет одинаково во всех ИСО (t = t'). Указанные свойства пространства и

времени, возникающие в классической физике, позволяют получить преобразования Галилея – это формулы, связывающие координаты и время одного и того же события в разных ИСО. Под событием понимается любое явление, происходящее в одной точке пространства в какой-либо момент времени. Пусть в точке М (рис. 4.3) происходит какое либо событие, координаты и время которого

в СОК (x, y, z, t), а в СОК' – (x

', y', z'. t'). Учитывая расположение точки М и дополнительные

свойства пространства и времени запишем преобразования Галилея: Переход из К

' в К:

Переход из К в К

':

x = x' + vt x' = x - vt y = y', z = z' y' = y, z' = z t = t' t' = t В заключение отметим важный принцип относительности Галилея, существенно упрощающий описание механических явлений в разных ИСО. Он является следствием опытных фактов и утверждает равноправие всех ИСО по отношению к происходящим в них механическим явлениям. Приведем различные эквивалентные формулировки этого принципа относительности:

1) никакими механическими опытами, находясь внутри ИСО, нельзя установить, движется она равномерно и прямолинейно или покоится;

Рис. 4.3

21

2) все законы механики выглядят, записываются одинаково во всех ИСО; 3) все механические явления протекают одинаково во всех ИСО; 4) все законы механики инвариантны относительно преобразований Галилея.

Под инвариантной величиной понимают величину, принимающую одинаковые значения во всех ИСО; инвариантная формула записывается одинаково во всех ИСО. Покажем, что второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея. Для этого рассмотрим, как преобразуются масса и ускорение при переходе из одной системы отсчета в другую. В классической механике масса тела является инвариантной

величиной (m = m'), ход времени во всех ИСО одинаков (t = t'

), и закон сложения скоростей выглядит таким образом:

vudt

vtxd

td

xdu xx

)( ,

где считается, что тело движется в СОК и К' со скоростями u

и u , направленными вдоль

осей Ох и Ох'. Тогда можно записать:

,)(

Fmadt

dum

td

vudm

td

udmamF xxx

что и требовалось показать.

4.6. Специальная теория относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца

Созданная Эйнштейном в 1905 г. специальная теория относительности представляет собой физическую теорию пространства и времени. Основу этой теории образуют два постулата, которые носят названия принципа относительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света. Приведем несколько эквивалентных формулировок принципа относительности Эйнштейна:

1) никакими физическими опытами, находясь внутри ИСО, нельзя установить, движется она равномерно и прямолинейно или покоится;

2) все законы физики выглядят, записываются одинаково во всех ИСО; 3) все физические явления протекают одинаково во всех ИСО; 4) все законы физики инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Согласно второму постулату специальной теории относительности скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от движения источника и приемника света. С помощью постулатов Эйнштейна можно показать, что координаты и время в разных системах отсчета связаны следующими соотношениями: Переход из К

' в К:

Переход из К в К

':

21

tvxx 21

vtxx

y = y' y' = y z = z' z' = z

2

2

1

xc

vt

t 2

2

1

xc

vt

t ,

где β = v/c – относительная скорость. Записанные соотношения называют преобразованиями Лоренца. Преобразования Лоренца – это более общие, по отношению к преобразованиям Галилея, преобразования. Преобразования Лоренца справедливы для любых скоростей движения, а преобразования Галилея только для малых (v << c).

22

Лекция 5 5.1. Следствия из преобразований Лоренца

Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами х1 и х2 происходят одновременно два события в момент времени t1 = t2 = b. В соответствии с преобразованиями Лоренца в системе К' этим событиям будут соответствовать моменты времени

,/

21

11

xcbt

22

21

xcbt

/.

Из данных формул видно, что в случае, если события в системе К пространственно

разобщены (х1 ≠ х2), то в системе К' они не будут одновременными (t1' ≠ t2

'). Знак разности

t2' – t1

' определяется знаком выражения (β/c)(x1 – x2); следовательно, в разных системах К'

(при разных β) разность t2' – t1

' будет различна по величине и может отличаться по знаку. Это

означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, в других системах, наоборот, событие 2 будет предшествовать событию 1. Заметим, что сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь.

Продолжительность явления. Пусть в одной и той же точке с координатой х' = а

системы К' происходит явление, которое начнется в момент времени t1' и закончится в момент

времени t2'. Согласно преобразований Лоренца этим событиям соответствуют в системе К моменты времени

,/

/2

21

11 cv

acvtt

./

/2

22

21 cv

acvtt

Отсюда

.

/ 212

121 cv

tttt

Введя обозначение t2 – t1 = ∆t и t2' – t1

' = ∆t' , получим формулу

,

/ 21 cv

tt

(5.1)

которая связывает промежутки времени между двумя событиями, измеренные в системах К и К

'. Допустим, что оба события происходят с одной и той же частицей, которая покоится в

системе К' и движется относительно системы К со скоростью v . Тогда ∆t' можно трактовать как промежуток времени, измеренный по часам, неподвижным относительно частицы, или, иными словами, измеренный по часам, движущимся вместе с частицей. Время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственное время этого тела и обозначается буквой τ. Таким образом, ∆t' = τ. С учетом этого формуле (5.1) можно придать вид

./ 21 cvt (5.2) Длина тел в разных системах. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси х' и

покоящийся относительно системы отсчета К' (рис. 5.1). Длина его в этой системе l0 = x2'- x1

',

где х1' и х2

' – не изменяющиеся со временем t'

координаты концов стержня. Относительно системы К стержень движется со скоростью v. Для определения его длины в этой системе

нужно отметить координаты концов стержня х1 и х2 в один и тот же момент времени t1= t2 = b. Их разность l = x2 – x1 дает длину стержня, измеренную в системе К. Чтобы найти

23

соотношения между l0 и l, следует взять ту из формул преобразований Лоренца, которая содержит х', х и t.

,

/ 21

11 cv

vbxx

,/ 2

22

1 cv

vbxx

откуда

,

/ 212

121 cv

xxxx

или .

/ 201 cv

ll

(5.3)

Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе отсчета, относительно которой он

движется, оказывается меньше длины l0, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Заметим, что в направлении осей y и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета. Итак, у движущихся тел размеры их в направлении движения сокращаются тем больше, чем больше скорость движения. Это явление называют лоренцевым сокращением. Релятивистский закон сложения скоростей. Пусть вдоль совпадающих осей Ох и О

'х

' систем отсчета К и К

' в их положительном

направлении с постоянной скоростью движется тело. Проекция вектора скорости тела на координатные оси в СОК и К

' соответственно равны:

СОК': u

' = u'x = dx'/dt', u'

y = 0, u'z = 0;

СОК: u = ux = dx/dt, uy = 0, uz = 0. Необходимо найти формулы связи между u и u'

; в данном случае между ux и u'x. Для

этого в преобразованиях Лоренца возьмем бесконечно малые приращения координат и времени:

2

2

2 11 cv

xdc

vtd

dtcv

tvdxddx

/,

/

.

/

x

xx

uc

vvu

td

xd

c

vvtdxd

xdc

vtd

tvdxd

dt

dxu

222 11

Итак,

Рис. 5.1

24

.

x

xx

uc

vvu

u

21 (5.4)

Аналогично можно получить обратную формулу связи

.

x

xx

uc

vvu

u

21

(5.5)

Формулы (5.4) и (5.5) представляют собой закон сложения скоростей в релятивистской механике. При малых скоростях движения тел (v << c) эти формулы переходят в закон сложения скоростей классической механики. Из закона сложения скоростей следует, что скорость движения тел не может быть больше скорости света в вакууме. Приведем в подтверждение этому факту пример. Пусть световой сигнал в СОК

' распространяется вдоль оси О

'х

', т. е. u

' х = с. Тогда

согласно формуле (5.4)

,/

cccv

vc

uc

vvu

u

x

xx

2

211

Что и должно было получиться. 5.2. Релятивистские выражения массы и импульса тела Уравнения Ньютона инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Однако по отношению к преобразованиям Лоренца они оказываются не инвариантными, так как при больших скоростях движения масса тел зависит от скорости. Используя постулаты Эйнштейна и преобразования Лоренца, можно показать, что

20

1 cv

mm

/

, (5.4)

где m0 – масса покоящегося тела. Зависимость массы от скорости становится заметной только при очень больших скоростях, соизмеримых со скоростью света в вакууме (рис. 5.2). Поэтому в классической механике Ньютона, изучающей движения тел со сравнительно малыми скоростями (v << c), массы тел можно считать постоянными и равными их массам покоя. Следовательно, релятивистские выражения импульса и основного уравнения динамики поступательного движения имеют вид:

,

/ 20

1 cv

vmvmp

(5.5)

.)/(

Fcv

vm

dt

d

dt

pd

20

1 (5.6)

Рис. 5.2

25

5.3. Релятивистское выражение для энергии

Найдем выражение для кинетической энергии материальной точки в релятивистской механике. Приращение dT кинетической энергии материальной точки при элементарном

перемещении rdравно работе ( )rdF

, совершенной при этом перемещении силой F

,

действующей на точку:

,rdFdT

или

,dtvFdT

поскольку dtvrd .

Из основного уравнения релятивистской динамики (5.6) следует, что

vdt

dv

cvc

vm

dt

vd

cv

mF

2322

02

0

11/

//

.

Поэтому

vvcvc

vdvmvdv

cv

mdT

2322

02

0

11/

//

.

Так как vdvvdv и 2vvv

, то

232

02

2

20

111

1/

//

/

/ cv

vdvm

cv

cv

cv

vdvmdT

.

С другой стороны, как видно из формулы (5.4),

2322

0

1/

/ cvc

vdvmdm

.

Таким образом, при изменении скорости материальной точки изменение ее кинетической энергии и массы пропорциональны друг другу:

.dmcdT 2 (5.7) Интегрирование полученного соотношения дает

.

/const

cv

cmT

2

20

1

При v = 0, m = m0 и Т = 0. Отсюда для константы получается значение, равное – m0c

2. Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии частицы имеет вид

.

//

1

1

1

1 2

20

202

20

cvcmcm

cv

cmT (5.8)

В случае малых скоростей (v << c) формулу (5.8) можно преобразовать следующим образом:

26

.

/ 21

2

111

1

1 20

2

22

02

20

vm

c

vcm

cvcmT

Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии частицы. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньше скорости света, все формулы релятивистской механики должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики. Перепишем формулу (5.8) в следующем виде:

.

/

2

2

202

01

mccv

cmcmT

Анализируя это соотношение, Эйнштейн предположил, что полная энергия тела должна складываться из энергии его движения (кинетической) и энергии покоящегося тела (внутренней). Поэтому он отождествил второе слагаемое в этой формуле с внутренней энергией тела и назвал ее энергией покоя Е0, а сумму (Т + m0c

2) – полной энергией тела Е:

Е0 = m0c2; Е = mc2 . (5.9)

Нужно отметить, что энергия покоя и полная энергия не включают в себя потенциальной энергии тела во внешних полях. Из выражений для импульса (5.5) и энергии (5.9) можно получить полезные формулы связи между ними:

202 cmpcE ; .02

1ETT

cp

В классической физике

.mTp 2

Лекция 6 6.1. Электрические заряды. Закон Кулона

В природе существует два рода электрических зарядов – положительные и отрицательные. На основании ряда опытов было выявлено, что электрический заряд любого тела состоит из целого числа элементарных зарядов, равных 1,6·10-19 Кл. В замкнутой системе выполняется закон сохранения электрического заряда, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма электрических зарядов частиц замкнутой системы остается постоянной: q1 + q2 + … =const. Введение электрического заряда позволило сформулировать закон Кулона: силы, с которыми взаимодействуют два неподвижных точечных заряда в вакууме, прямо пропорциональны произведению их зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними; силы направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды (рис. 6.1а):

27

., 20

21213

0

21

442 r

qqFFFr

r

qqF k

(6.1)

Входящая в формулу (6.1) величина ε0 = 8,85·10

-12 Ф/м называется электрической

постоянной, она нужна при записи закона в международной системе единиц СИ.

6.2. Потенциальная энергия. Потенциал. Работа сил электрического поля

Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется посредством электростатического поля: взаимодействуют не заряды, а один заряд в месте своего расположения взаимодействует с полем, созданным другим зарядом. Покажем, что электростатическое поле является потенциальным. Для этого рассчитаем работу кулоновской силы при перемещении точечного положительного заряда q2 из точки 1 в точку 2 (рис. 6.1б) в электрическом поле, созданным точечным зарядом q1:

.

cos

21

2

1 20

21

10

212

0

21

2

1

2

1

2

112

444UU

r

qq

r

qq

r

drqq

drFdsFsdFA kkk

(6.2)

Как видно из формулы (6.2), в окончательное выражение входят величины, описывающие только начальное и конечное положение заряда q2, то есть работа сил поля не зависит от пути перехода из точки 1 в точку 2. Это означает, что кулоновская сила будет консервативной, а электрическое поле – потенциальное. В таком поле заряд q , помещенный в некоторую точку, обладает потенциальной энергией U. На основании формулы (6.2) для U можно записать следующее выражение:

.constr

qqU

0

21

4 (6.2а)

Как видно из выражения (6.2а), U определяется с точностью до постоянной величины. Для электростатического поля точечного заряда принято выбирать const так, чтобы на бесконечно большом расстоянии между зарядами их взаимная потенциальная энергия обращалась в ноль. Следовательно,

.r

qqU

0

21

4 (6.2б)

Рис. 6.1

28

Из формулы (6.2б) видно, что отношение потенциальной энергии U заряда q к его величине не зависит от q и поэтому может служить энергетической характеристикой электростатического поля. Отношение U/q обозначается через φ и называется потенциалом электрического поля:

,ii

i r

q

q

U

04 (6.3)

где ri – расстояние от точки поля, обладающего потенциалом φi, до заряда q, создающего поле. Работу, совершенную электрическими силами при перемещении произвольного по величине заряда q можно выразить через разность потенциалов φ1 и φ2 в точках 1 и 2:

.2121 qUUA (6.4)

6.3. Напряженность поля. Принцип суперпозиции полей

Количественной характеристикой силового действия электрического поля на

заряженные частицы и тела служит векторная величина E

, называемая напряженностью

электрического поля. Она равна отношению силы 0F

, действующей со стороны поля на точечный «пробный» электрический заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля, к величине q0 этого заряда:

./ 00 qFЕ

(6.5) Понятие «пробный заряд» означает, что заряд q0 не только сам не участвует в создании электрического поля, напряженность которого с его помощью определяется, но и столь мал, что своим присутствием не вызывает перераспределения в пространстве зарядов, создающих исследуемое поле.

Сила F

, действующая со стороны электрического поля на произвольный по величине точечный заряд q, помещенный в это поле

.EqF

(6.6) Выражение для напряженности поля точечного электрического заряда q запишем в виде

.rr

qЕ

3

04

1

(6.7)

Для расчета Еи φ, созданного системой зарядов, используют принцип суперпозиции. Он

заключается в следующем: вектор напряженности Е

(потенциал φ) электрического поля, созданного несколькими зарядами, равен векторной сумме напряженностей (алгебраической сумме потенциалов)полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

... 21 EEЕ

; φ = φ1 + φ2 + … (6.8)

29

6.4. Связь между потенциалом и напряженностью Элементарная работа, совершенная при бесконечно малом перемещении заряда q в электрическом поле

dlqEldEqldFdA l

и dA = – dU = – d(qφ). Так как q = const, а dll

d

, то

,l

E l

(6.9)

где El – проекция вектора Eна произвольное направление. В соответствии с формулой (6.9)

,x

E x

,y

E y

,z

E z

а

.

gradkz

jy

ix

kEjEiEE zyx

(6.10)

Напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала (см. Приложение) в этой точке, взятому с обратным знаком.

Из выражений (6.2) и (6.4) можно получить интегральную формулу связи Eи φ, в

которую входят две точки поля:

2

121 .cosEdl (6.11)

6.5. Графическое изображение электростатических полей Для графического изображения электростатических полей используют линии вектора E

- они проводятся так, чтобы в каждой точке вектор Eбыл направлен по касательной к ним

(рис. 6.2). Линии вектора Eнигде не пересекаются, они начинаются на положительных

зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Примеры графического изображения полей точечных зарядов приведены на рис. 6.2б,в,г. В случае однородного поля (рис. 6.2∂) в каждой точке которого вектор E

одинаков и

по модулю, и по направлению, линии Eпредставляют собой прямые, параллельные друг другу

и отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии.

Рис. 6.2

30

Обычно линии Eпроводят так, чтобы их густота в каждой точке поля определяла

числовое значение вектора E

. Под густотой линий Eпонимают количество линий,

пронизывающих перпендикулярную к ним плоскую поверхность фиксированной площади. На рис. 6.2 пунктирными линиями изображены эквипотенциальные поверхности. Эквипотенциальная поверхность – это поверхность равного потенциала, в каждой точке поверхности потенциал φ будет одинаковым. Поэтому элементарная работа по перемещению заряда q по такой поверхности будет равна нулю: dA = – qdφ = 0. Соответственно вектор E

в

каждой точке поверхности будет перпендикулярен к ней, то есть будет направлен по вектору нормали n

(рис. 6.2е).

Условились проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была одинаковой.

Лекция 7

7.1. Поток и циркуляция вектора Eэлектростатического поля.

Теорема Гаусса для вектора E

Возьмем произвольный контур Г и произвольную поверхность S в неоднородном электростатическом поле (см. рис. 7.1а,б).

Тогда циркуляцией вектора Eпо произвольному контуру Г называют интеграл вида

ГГ

EdlldE ,cos

(7.1)

а потоком ФЕ вектора Eчерез произвольную поверхность S следующее выражение:

SS

Е EdSSdEФ .cos

(7.2)

Входящие в эти формулы векторы ldи Sd

определяются следующим образом. По

модулю они равны элементарной длине dl контура Г и площади dS элементарной поверхности

S. Направление вектора ldсовпадает с направлением обхода контура Г, а вектор Sd

направлен по вектору нормали n

к площадке dS (рис. 7.1).

В случае электростатического поля циркуляция вектора Eпо произвольному

замкнутому контуру Г в соответствии с формулой (6.4) будет равна нулю:

,0 конначкруг

q

AldE

Г

(7.1а)

где Акруг – работа сил поля по перемещению точечного заряда q по этому контуру. Как отмечено в Прил., этот факт является признаком потенциальности электростатического поля. Следовательно, электрические заряды в электростатическом поле обладают потенциальной энергией. Уравнение (7.1а) в дифференциальной форме, справедливой для малой окрестности какой-либо точки электростатического поля, можно записать следующим образом (см. Прил. ):

Рис. 7.1

31

.0Erot

(7.1б) Теорема Гаусса в отсутствии диэлектрика (вакуум) формулируется следующим

образом: поток вектора Eчерез произвольную замкнутую поверхность равен

алгебраической сумме свободных зарядов iq , охватываемых этой поверхностью и деленной на ε0:

.0

i

S

qSdE

(7.2)

Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q (рис. 7.2а).

Тогда

SS

qR

R

qdS

R

qdS

R

qdSE .coscos

0

22

02

0

02

0

444

04 (7.3)

Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную

замкнутую поверхность (рис. 7.2б), так как поток вектора Eчисленно равен количеству линий

E

, пронизывающих поверхность, а число линий Eв случаях (а) и (б) одинаково.

Подобные рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести и в случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса. Запишем дифференциальную форму теоремы Гаусса, справедливую для любой малой окрестности какой-либо точки поля. С учетом формулы (П.10) Прил. получим

,/ 0Ediv

(7.4) где введена объемная плотность ρ свободных электрических зарядов

,dV

dq

то есть это заряд, содержащийся в единице объема. 7.2. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей Пример 1. Электрическое поле равномерно заряженной по поверхности бесконечно протяженной плоскости. 1-й этап. Введем поверхностную плотность заряда σ. Для этого на заряженной поверхности вблизи какой-либо ее точки выбирают элементарную площадку площадью dS, содержащую заряд dq, и рассчитывают по формуле

,dS

dq

то есть σ представляет собой заряд, приходящийся на

Рис. 7.2

Рис. 7.3

32

единицу поверхности. Если плоскость заряжена равномерно, то тогда во всех ее точках σ будет одинаковой (σ = const), и поэтому поле такой бесконечно протяженной плоскости является

однородным – линии Eпредставляют прямые, перпендикулярные к ней (рис. 7.3).

2-й этап. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к плоскости (рис. 7.3). Тогда поток ФЕ через боковую поверхность будет

равен нулю (α =900, линии E

не пересекают боковой поверхности), и поэтому остается поток

только через основание площади S1 = S2 = S:

S S S

E ESEdSEdSEdSФ1 2

2 .coscoscos

3-й этап. Рассчитаем заряд плоскости, попадающий внутрь цилиндра:

S Si SdSdqq .

4-й этап. Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора E

:

,0

2

S

ES ;2

E0

(7.5)

здесь учтен случай отрицательно заряженной плоскости. Формула (7.5) позволяет провести расчет поля плоского конденсатора как поля двух параллельных плоскостей с равными по модулю и противоположными по знаку поверхностными зарядами (рис. 7.4а).

Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно сделать вывод о том, что поле конденсатора существует между его пластинами (рис. 7.4б), а модуль вектора этого поля

,00

S

qEEE (7.6)

где q - модуль заряда одной из пластин конденсатора площадью S. Между обкладками конденсатора вакуум или газ.

Оценим разность потенциалов φ1 – φ2 (или напряжение U) между обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии d друг от друга. Для этого используем формулы (6.5) и (7.6):

2

121 .cos EdEdlU (7.7)

Пример 2. Поле равномерно заряженной бесконечно длинной прямолинейной нити. 1-й этап. Введем линейную плотность заряда нити. Для этого на заряженной нити выбираем элемент длины dl, содержащий заряд dq, и рассчитаем τ по формуле

Рис. 7.4

33

dldq

.

Для равномерно заряженной нити во всех ее точках τ будет одинаковой (τ = const),

поэтому поле такой нити обладает осевой симметрией: линии Eпредставляют собой прямые,

выходящие из нити и лежащие в плоскостях, перпендикулярных к ней (рис. 7.5а).

На одинаковых расстояниях от нити, то есть на цилиндрических поверхностях, модуль Eбудет

одинаковым. 2-й этап. Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, имеющего высоту H и радиус r, ось цилиндра совпадает с нитью. Поток ФЕ через основания цилиндра равен нулю (α =900

), поэтому остается поток только через боковую поверхность:

S S

Eбок

rHEESEdSEdSФ .coscos 2бок

3-й этап. Рассчитаем заряд отрезка нити длины H, попадающий внутрь цилиндра:

S S

i Hdldqq .

4-й этап. Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора E

:

,0

2

H

rHE .r

E02

(7.8)

Формула (7.8) позволяет оценить разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях r1 и r2 от нити (рис. 7.5а):

.lncos1

2

0

2

1 021 22

2

1 r

r

r

drEdlU

r

r

(7.9)

7.3. Электрическое поле в диэлектрике

К диэлектрикам относятся вещества в которых нет свободных зарядов или их число настолько мало, что они не оказывают существенного влияния на их характеристики. Известно, что по сравнению с вакуумом сила взаимодействия между зарядами в диэлектрике ослабевает и поэтому в формулы электростатики вводят новую характеристику – относительную диэлектрическую проницаемость среды ε.

Рис. 7.5

34

Параметр ε описывает ослабление силы взаимодействия ,F

напряженности поля E

, потенциальной энергии U, потенциала φ в среде (ε = Fвак/Fсред). Для вакуума ε = 1, для всех сред ε > 1, но с достаточной степенью точности при проведении многих расчетов можно принять ε для газа равной единице. Молекулы среды характеризуются электрическим дипольным моментом. Электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов +q и –q, расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых

определяется поле системы. lqp - дипольный момент. Вектор p

направлен по оси диполя

от отрицательного заряда к положительному заряду (рис. 7.6).

Молекулы делятся на полярные и не полярные молекулы. У полярных молекул в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы представляют собой диполи, у которых дипольные моменты pориентированы в пространстве при отсутствии электростатического поля произвольным

образом. Электрическое поле оказывает ориентирующее действие на такие молекулы. У неполярных молекул в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают, поэтому дипольный момент молекулы равен нулю. В электрическом поле неполярная молекула за счет смещения ее положительных и отрицательных зарядов приобретает дипольный момент, пропорциональный

векторуEэлектрического поля:

,Ep 0

где α – скалярная величина, называемая поляризуемостью молекулы.

Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле напряженности 0E

, поляризуется – создает собственное электрическое поле напряженности E

. При этом

напряженность результирующего поля Eбудет равна

.EEE

0 Поляризация диэлектрика сопровождается появлением на его противоположных гранях

некомпенсированных связанных зарядов q , которые создают поле E

. Поверхностная

плотность заряда характеризует распределение заряда q по поверхности диэлектрика. Из рисунка 7.7 видно, что внутри происходит компенсация зарядов соседних молекул. Некомпенсированными остаются заряды молекул на противоположных гранях диэлектрика, они называются связанными зарядами, поскольку находятся внутри молекул и не могут свободно перемещаться по всему объему диэлектрика.

Рис. 7.7

Рис. 7.6

35

В полярном диэлектрике в отсутствие электрического поля за счет теплового движения

молекул их дипольные моменты pразбросаны хаотически по всем направлениям,

следовательно, диэлектрик не поляризован (рис. 7.8а). Во внешнем электрическом поле его

силы стремятся установить дипольные моменты молекул вдоль поля 0E

, чему препятствует тепловое движение молекул. За счет действия этих двух факторов наблюдается преимущественная ориентация дипольных моментов молекул вдоль поля (рис. 7.8б).

Для облегчения расчетов электрических полей в диэлектриках вводится понятие

поляризованность P

(вектор поляризации) среды. Она равна векторной сумме дипольных моментов молекул, находящихся в единице объема диэлектрика. Опытным путем была установлена формула

,EP

0 где величина χ определена как диэлектрическая восприимчивость диэлектрика. Теорема Гаусса в диэлектрике принимает вид:

.0

qqSdE i

S

Так как сумму связанных зарядов q ,заключенных в выделенном объеме, трудно определить,

вводят вектор электрического смещения ,ED

0 ε = 1+χ.

Теорема Гаусса с введением D

принимает более простой вид:

. i

SqSdD

Лекция 8

8.1. Поле заряженного проводника

К проводникам относятся вещества, проводящие электрический ток; в них имеются свободные заряды, которые способны перемещаться по проводнику под действием электрического поля. В металлических проводниках свободными зарядами являются электроны, они образуют газ, заполняющий кристаллическую решетку положительно заряженных ионов. Рассмотрим, что произойдет, если проводнику сообщить избыточный заряд. В условиях равновесия избыточного заряда справедливы следующие утверждения.

Рис. 7.8

36

1. Электрическое поле внутри проводника отсутствует, а объем проводника и его поверхность являются эквипотенциальными:

., constE внвн 0 (8.1)

Действительно, если равенство (8.1) не выполняется, то тогда свободные заряды в проводнике будут перемещаться, так как работа сил электростатического поля не будет равна нулю. Это противоречит условию равновесия избыточного заряда: в условиях равновесия они должны быть неподвижными. 2. Избыточный заряд распределится только по внешней поверхности, так как из-за кулоновского отталкивания одноименных зарядов они стараются разойтись на максимально возможные расстояния. 3. Распределение избыточного заряда по внешней поверхности проводника является неравномерным: поверхностная плотность заряда σ больше в тех точках поверхности проводника, где ее кривизна больше (рис. 8.1).

Если в электрическое поле напряженности 0E

поместить незаряженный проводник, то под действием сил поля свободные заряды в проводнике приходят в движение и на его противоположных сторонах появляются индуцированные заряды, которые компенсируют внешнее поле внутри проводника (рис. 8.2), и искажают внешнее поле снаружи, вблизи поверхности.

Итак, внешнее электрическое поле не проникает внутрь металла. Это позволяет использовать металлическую оболочку, сплошную или в виде сетки, для защиты различных приборов от внешних электрических полей.

8.2. Электроемкость уединенного проводника. Электроемкость конденсатора

Рассмотрим уединенный проводник, в окружающем пространстве которого нет других тел. Из формул электростатики следует, что заряд проводника q и его потенциал φ (он в условиях равновесия одинаковый внутри и на поверхности проводника) будут пропорциональны друг другу (q = c·φ). Поэтому коэффициент пропорциональности между ними

qc (8.2)

Рис. 8.1

Рис. 8.2

37

не будет зависеть ни от q ни от φ, он называется электроемкостью проводника. Электроемкость проводника характеризует его способность накапливать заряды и зависит только от геометрических размеров проводника, его формы и диэлектрических свойств окружающей среды (ε). Действительно, в случае металлической сферы можно записать:

.222

222 cUqU

c

qW (8.3)

Электроемкость уединенного проводника является достаточно малой величиной. Так, если рассматривать планету Земля как проводящий шар, то тогда ее электроемкость составит всего 711 мкФ. Эксперименты показывают, что приближение к проводнику каких-либо тел ведет к увеличению электроемкости этого проводника. Наибольший эффект увеличения электроемкости проводника достигается для конденсаторов, представляющих собой две металлические пластины, разделенные слоем диэлектрика. На пластины (обкладки) подают заряды, одинаковые по модулю и противоположные по знаку. Форма обкладок конденсатора обеспечивает существование электрического поля только в пространстве между ними. Это позволяет устранить влияние на электроемкость конденсатора других тел. На рис. 8.3 приведено схематическое изображение плоского, цилиндрического и

сферического конденсаторов.

Электроемкость конденсатора вводится по формуле

,Uqq

c

21

(8.4)

где q – заряд положительно заряженной пластины конденсатора, φ1 – φ2 – разность потенциалов между его обкладками. Запишем формулы для электроемкости конденсаторов разного вида.

1. Плоский конденсатор.

.

d

S

dS

q

qqc 0

0

21

(8.5)

2. Цилиндрический конденсатор.

.

ln/ln1

2

0

01

221

2

2R

RH

R

R

qqc

(8.6)

3. Сферический конденсатор.

Рис. 8.3

38

.// 12

210

201021

4

44 RR

RR

RqRq

qqc

(8.7)

8.3. Энергия заряженного тела, конденсатора.

Энергия электрического поля Выведем формулу для энергии заряженного проводника. Рассмотрим работу внешних

сил по увеличению заряда проводника от q1 = 0 до q2. Для этого будем малыми порциями dq перемещать заряд из бесконечности на поверхность проводника. При этом работа внешней силы будет совершаться против кулоновской силы отталкивания одноименных зарядов и поэтому

,c

qdq

c

qdAAWWA

qq q

2

22

00 012

22 2

кулкулвн

где учтено, что W1 = 0. Учитывая, что q = cφ, для энергии заряженного уединенного проводника можно записать

.222

222

qc

c

qW (8.8)

Аналогично рассуждая, можно получить формулу для энергии заряженного конденсатора.

.222

222 cUqU

c

qW (8.9)

Преобразовав формулу (8.9), для энергии заряженного плоского конденсатора получим

,wVVE

Edd

ScUW

222

2020

2

где V = Sd – объем пространства между обкладками конденсатора, w – объемная плотность электростатического поля. Введение w позволяет рассчитать энергию W электростатического поля в любом конечном объеме пространства:

.

V

wdVW

8.4. Сила и плотность тока. Законы Ома и Джоуля – Ленца Под электрическим током понимают упорядоченное движение заряженных частиц. Электрический ток существует при наличии свободных зарядов и электрического поля. Протекающий по проводнику ток характеризует сила тока I, определяемая по формуле

,dt

dqI

где dq – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за единицу времени.

Распределение тока по сечению проводника характеризует вектор плотности тока j

,

направление которого в каждой точке проводника совпадает с направлением скорости V

упорядоченных положительных частиц. Модуль вектора jравен

,

dS

dIj

где dI – сила тока, протекающего в данной точке внутри проводника через элементарную

площадку dS , расположенную перпендикулярно к направлению тока.

Введение вектора плотности тока j

позволяет найти силу тока, протекающего через любую поверхность S:

39

S S

jdSSdjI .cos

Вектор плотности тока ,vnqj

0 где q0 – заряд свободной заряженной частицы, v

- средняя скорость направленного движения заряженной частицы. Г. Ом экспериментально установил следующий закон: сила тока I, текущего по однородному участку цепи, прямо пропорциональна напряжению U , приложенному к нему и обратно пропорциональна сопротивлению R этого участка цепи:

.R

UI

Однородным участком электрической цепи называют участок, на котором направленное движение зарядов происходит под действием только кулоновских сил. Отметим, что для

однородного участка цепи напряжение U совпадает с разностью потенциалов φ1 – φ2 между начальной и конечной точками участка. Закон Джоуля - Ленца формулируется следующим образом: количество теплоты, выделяемое в проводнике при протекании по нему электрического тока, равно произведению квадрата силы тока на сопротивление проводника и на время протекания по нему тока:

.RtIQ 2

Учитывая, что /,, 1l

RS

S

lR , законы Ома и Джоуля – Ленца можно

записать в дифференциальной форме:

,Ej

,2Ew

где Vt

Qw - количество теплоты, которое выделяется в единице объема проводника за

единицу времени. 8.5. Электродвижущая сила. Закон Ома для неоднородного участка цепи Возьмем замкнутую электрическую цепь, содержащую источник тока. Рассмотрим как происходит движение положительного заряда (+q) по этой цепи (рис. 8.4). Во внешней части цепи сопротивлением R под действием кулоновских сил заряд (+q) перемещается от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом. Кулоновские силы только соединяют разноименные заряды, поэтому в источнике тока на заряды, кроме них, должны действовать так же и сторонние силы, совершающие работу по разделению разноименных зарядов и переводящие заряд (+q) от отрицательного полюса источника к его положительному полюсу. Источник тока можно охарактеризовать внутренним сопротивлением r и электродвижущей силой (ЭДС) ε – она определяет работу сторонних сил по перемещению точечного положительного заряда в один кулон от отрицательного полюса к его положительному полюсу:

.

q

Астор

Природа сторонних сил может быть любой, от них требуется лишь способность разделять разноименные заряды. Это могут быть силы трения, силы химической реакций, протекающих в гальванических элементах, силы магнитного поля и т. д. Участок цепи, на котором одновременно действуют кулоновские и сторонние сил, называют неоднородным участком цепи. Для участка цепи, изображенного на рис. 8.5, формула закона Ома имеет вид

Рис. 8.4

40

.,, 211221 IR

8.6. Правила Кирхгофа Эти правила используются для расчета разветвленных цепей. Для формулировки первого правила Кирхгофа введем понятие узла электрической цепи – это точка цепи, в которой сходятся три и более проводников. Тогда из закона сохранения электрического заряда следует

,0 iI согласно которому алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Если записать закон Ома для замкнутой цепи, то из него следует второе правило Кирхгофа:

N

ll

N

iii RI

11.

Согласно ему алгебраическая сумма падений напряжений на разных участках замкнутой цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этой цепи. Для иллюстрации воспользуемся схемой, приведенной на рис. 8.6. Зададим произвольные направления токов на разных участках цепи и произвольные направления обхода в замкнутых контурах (например, указанные на рис. 8.6). Записывая уравнения по первому правилу Кирхгофа, принято брать силу тока I со знаком «+», если ток входит в узел, и со знаком «-», если ток выходит из узла. Записывая уравнения по второму правилу Кирхгофа, используют следующий выбор знаков. При совпадении направления тока с направлением обхода контура для силы тока выбирают знак «+», в противном случае – знак «-». Если в направлении обхода контура ЭДС ε источника тока повышает свой потенциал (происходит переход от отрицательного полюса источника к его положительному полюсу), то выбирается знак «+», в противном случае – знак «-». Используя правила Кирхгофа, запишем систему не зависимых уравнений (ни одно из них не является следствием других) для схемы рис. 8.6:

I1 – I2 + I3 = 0, I1R1 + I2R2 = ε1, I2R2 + I3R3 = ε2. Если при решении этой системы уравнений окажется, что некоторые из токов имеют отрицательное значение, это означает, что эти токи имеют направление противоположное выбранным направлениям.

Лекция 9 9.1. Магнитное поле. Закон Био – Савара – Лапласа

В опыте Эрстеда проволока, по которой пропускался ток, была натянута над магнитной стрелкой, вращающейся на игле. При включении тока стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока заставляло стрелку повернуться в противоположную сторону. Из опыта следовало, что электрический ток создает в окружающем

Рис. 8.6

Рис. 8.5

41

пространстве магнитное поле, которое должно характеризоваться векторной величиной. Эту величину назвали магнитной индукцией B

.

Опыты показывают, что для магнитного поля, как и для электростатического,

справедлив принцип суперпозиции: поле B

, порожденное несколькими токами, равно

векторной сумме полей ,iB

порожденных каждым током в отдельности:

.iBB

Лаплас обобщил результаты экспериментов Био и Савара в виде следующего дифференциального закона, названного законом Био – Савара – Лапласа

,rldr

IBd

3

0

4

(9.1)

где ld

– вектор, численно равный длине dl элемента проводника и

совпадающий по направлению с током, r

– радиус-вектор, проведенный из элемента

проводника dl в рассматриваемую точку поля, 0 – магнитная постоянная (рис. 9.1). Закон Био – Савара – Лапласа позволяет определить магнитную индукцию поля, созданную проводниками различной формы, в интересующей нас точке пространства. Применим формулу (9.1) для вычисления поля прямого тока (рис. 9.2а). Все векторы

Bdв интересующей нас точке имеют одинаковое направление (в нашем случае за чертеж).

Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Модуль Bdопределяется

выражением

,sin

20

4 r

IdldB

(9.2)

где α – угол между векторами ld

и r

. Из рис. 9.2а видно, что

.sinsin

,sin

2

bdrddl

br

Подставим эти значения в формулу (9.2):

.sinsin

sinsin

d

b

I

b

IbddB

440

22

20

Рис. 9.1

Рис. 9.2

42

Угол α для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно,

.sinb

Id

b

IdBB

2

440

0

0

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой

.b

IB

2

40

(9.3)

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей (рис. 9.2б).

9.2. Сила Лоренца. Закон Ампера

На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной. Эта сила определяется зарядом q, скоростью его движения и магнитной индукцией B

в той точке, где находится заряд в рассматриваемый момент времени. Опытным путем

установлено, что сила F

, действующая на заряд, движущейся в магнитном поле, определяется формулой

.BvqF

(9.4) Модуль магнитной силы равен

,sin qvBF где α – угол между векторами v

и B

. Направлена магнитная сила перпендикулярно

плоскости, в которой лежат векторы vи B

. Если заряд q положителен, направление силы совпадает с направлением

вектора .Bv

В случае отрицательного q направления Fи

Bv

противоположны (рис. 9.3). Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу, равна

BvqEqF

. (9.5) Это выражение было получено из опытов Лоренца и носит название силы Лоренца. Если провод, по которому течет ток, находится в магнитном поле, на каждый из носителей тока, а, следовательно, на проводник действует магнитная

сила. Опытным путем установлено, что на элемент проводника длиной dl с током в магнитном поле действует сила

BldIFd

, (9.10) получившая название силы Ампера. Модуль этой силы вычисляется по формуле sinIBdldF ,

где α – угол между векторами ld

и B

(рис. 9.4).

Рис. 9.3

Рис. 9.4

43

9.3. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции и теорема Гаусса для вектора B

Можно доказать теорему о циркуляции вектора B

для вакуума: циркуляция вектора B

по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов, охватываемых

этим контуром, умноженной на 0 :

i

iГ

IldB 0

. (9.11)

Знак силы тока в формуле (9.11) выбирается следующим образом: если направление тока связано с направлением обхода контура правилом правого буравчика, то это «+», если нет – «-».

В присутствии вещества в правую часть теоремы о циркуляции вектора Bнеобходимо

ввести микротоки Iмикро, охватываемые контуром Г:

прмикро jBrotIIIldBi

ii

iГ

000

, , (9.12)

где μ – относительная магнитная проницаемость среды. Под микротоками, или молекулярными токами, понимают токи, вызванные движением электронов в молекулах. Эти токи создают магнитное поле вещества, помещенного во внешнем магнитном поле.

Из формулы (9.12) следует физический смысл теоремы о циркуляции вектора B

, а именно источником магнитного поля являются токи проводимости и микротоки. В природе не

существует магнитных зарядов, поэтому линии Bявляются замкнутыми.

Магнитное поле в отличие от электростатического – непотенциальное поле: циркуляция вектора B

магнитной индукции вдоль замкнутого контура, вообще говоря, не равна нулю и

зависит от выбора контура. Такое поле называют вихревым или соленоидальным.

Так как в природе нет магнитных зарядов, линии Bявляются замкнутыми, теорему

Гаусса для вектора магнитной индукции Bзапишем следующим образом:

S

BdivSdB 00

, .

9.4. Магнитное поле в веществе

Все вещества являются магнетиками – при помещении их во внешнее магнитное поле

0B

они создают свое магнитное поле B

, то есть намагничиваются:

.BBB

0

Качественно возникновение собственного магнитного поля B

магнетика можно пояснить на основе гипотезы Ампера существовании внутри молекул молекулярных токов (микротоков). Произведение кругового тока на обтекаемую им площадь называют магнитным

моментом (рис. 9.5) mp

. Модуль вектора .ISpm Для характеристики

магнетика вводят вектор намагничивания J

, который равен векторной

сумме магнитных моментов атmp .

атомов, находящихся в единице объема вещества:

..

V

атi i

mpJ

Ориентация магнитных моментов атmp .

атомов во внешнем магнитном поле и создает

не равное нулю магнитное поле B вещества и соответственно J

(рис. 9.6).

Рис. 9.5

44

Для удобства описания магнитных полей в среде вводится вектор напряженности магнитного поля

.JB

H

0

В случае вакуума J

= 0, 0BB

и поэтому

., HBB

H

000

0

Для однородных изотропных магнетиков из опыта установлена следующая формула

связи векторов JиH

:

,HJ

где χ – магнитная восприимчивость вещества.

Для векторов Hи Bв случае однородного и изотропного магнетика с учетом выше

приведенных формул получаются следующие выражения:

,, 00000

11 BBHBHB

JB

H

., 10 HB

Теорему о циркуляции вектора H

по произвольному замкнутому контуру Г можно

представить в виде

.

ii

ГIldH

По магнитным свойствам вещества можно разбить на три группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики. Диамагнетиками называются вещества, магнитные моменты атомов или молекул которых при отсутствии внешнего магнитного поля равны нулю. При внесении диамагнитного

вещества в магнитное поле в каждом атоме наводится магнитный момент ,mp направленный

противоположно вектору Bмагнитной индукции поля. Для диамагнитных веществ

χ < 0 и μ < 1. У парамагнитных веществ магнитные моменты атомов или молекул при отсутствии внешнего магнитного поля не равны нулю. При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты атомов стремятся сориентироваться по направлению этого поля. Для парамагнитных веществ χ > 0 и μ > 1. Эксперименты указывают, что μ пара- и диамагнитных веществ незначительно отличаются от единицы. Ферромагнитными веществами называют такие вещества, в которых внутреннее магнитное поле в сотни и тысячи раз превышает вызвавшее его внешнее поле. Объемная плотность энергии магнитного поля в неферромагнитной среда равна

Рис. 9.6

45

.22

20 BHH

w m

Лекция 10 10.1. Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции После десяти лет упорной работы Фарадею удалось показать, что не только электрический ток создает в окружающем пространстве магнитное поле, но и магнитное поле способно порождать в замкнутом проводящем контуре электрический ток, получивший название индукционного тока. В опытах Фарадей магнитный поток, пронизывающий первый контур (катушку 1), изменялся различными способами (рис. 10.1): 1) замыкалась и размыкалась цепь второго контура; 2) с помощью реостата изменялась сила тока второго контура; 3) второй контур приближался или удалялся относительно первого контура; 4) постоянный магнит приближался или удалялся относительно первого контура; 5) движение совершал первый контур относительно магнита и контура 2, по которому протекал постоянный ток, и т. д.

В результате в контуре возникала ЭДС индукции εi и индукционный ток Ii , который фиксировался амперметром. Причем индукционный ток изменял свое направление при смене направления движения магнита, при изменении направления тока в контуре 2, при замене замыкания цепи второго контура ее размыканием. В итоге Фарадей показал, что сила индукционного тока и ЭДС индукции зависят от скорости изменения магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, и не зависит от способа изменения магнитного потока Ф. На основании опытов Фарадей сформулировал закон электромагнитной индукции, который гласит: при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, в нем возникает ЭДС индукции εi , равная скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

dt

di

Ф . (10.1)

Наличие ЭДС индукции εi в проводящем контуре сопротивлением R приводит к возникновению в нем индукционного тока, который можно рассчитать по закону Ома для полной цепи:

R

I ii

. (10.2)

Направление же индукционного тока можно найти по правилу Ленца, которое гласит: индукционный ток в контуре возникает такого направления, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовало любым изменениям магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток. Рассмотрим пример определения направления индукционного тока по правилу Ленца

(рис. 10.2). Пусть проводящий контур находится во внешнем магнитном поле B

, которое возрастает со временем (dB/dt > 0). Тогда магнитный поток Ф, пронизывающий контур,

Рис. 10.1

46

увеличивается ( ∆Ф > 0), то есть возрастает число линий B

, пронизывающих поверхность контура. Согласно правилу Ленца, индукционный ток препятствует нарастанию магнитного потока,

поэтому он создает свое магнитное поле iB

, линии которого

направлены против линий Bвнешнего магнитного поля. Зная

направление линий iB

, определяют по правилу правого буравчика направление индукционного тока. Максвелл показал, что при всяком изменении магнитного поля в пространстве возникает вихревое электрическое поле (существует два вида электрических полей – электростатическое и вихревое). Изменяющееся магнитное поле и порождает сторонние силы способные привести в движение свободные носители электрических зарядов в проводнике. Сторонние силы совершают работу по разделению разноименных зарядов:

;

Гвихр

Гсторстор ldEldFA

(10.3)

Г

i ldEA

вихрстор

q . (10.4)

Для установления взаимосвязи между электрическим и магнитным полями проводник не нужен; он является прибором, который обнаруживает наличие в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Выберем в качестве контура Г воображаемую замкнутую линию. Тогда, учитывая (10.1), можно записать:

SГ

Sdt

BldE

, (10.5)

где элвихр EEE

- суммарная напряженность вихревого и электростатического полей. Уравнение (10.5) представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Его физический смысл состоит в следующем: источником вихревого электрического поля является переменное магнитное поле (в правой части находится источник того, что записано в левой части уравнения).

10.2. Токи Фуко Токи Фуко – это индукционные токи, возникающие в массивных проводниках. Для таких проводников сопротивление R будет мало, и по этому индукционные токи (Ii = εi/R) достигают большой величины. Их можно использовать для нагревания и плавления металлических заготовок, демпфирования подвижных частей электроприборов. Токи Фуко могут приводить и к нежелательным явлениям – нагреву сердечников трансформаторов, электродвигателей и т. д. Поэтому сопротивление массивного проводника увеличивают, набирая его в виде отдельных пластин, и тем самым уменьшают нагрев проводников. Нужно также отметить, что возникновение индукционного тока при пропускании по проводнику переменного тока приводит к перераспределению суммарного тока по сечению проводника, а именно он вытесняется на поверхность проводника (скин-эффект). Явление скин-эффекта наиболее заметно в СВЧ-диапазоне (диапазон сверх высоких частот ν ~ 10

10 Гц), в

этом случае переменный ток течет в слое малой толщины в близи поверхности проводника. Дадим краткое объяснение этому явлению. Рассмотрим текущий по проводнику переменный ток проводимости в тот момент времени, когда вектор

Рис. 10.2

Рис. 10.3

47

напряженности Eвнешнего электрического поля направлен вверх, а сила тока и

соответственно вектор магнитной индукции Bвозрастают по модулю (рис. 10.3). Согласно

первому уравнению Максвелла переменное магнитное поле создает в окружающем

пространстве вихревое электрическое поле. Направление линий вихрE

этого поля показано на рис. 10.3. Как видно из рисунка, около осевой линии проводника в его центральной части линии

Eи вихрE

направлены в противоположные стороны, а в близи поверхности проводника – в одну сторону. Это и приводит к ослаблению плотности тока в центральной части и его возрастанию около поверхности проводника.

10.3. Явления самоиндукции и взаимоиндукции

Возьмем контур, по которому протекает ток I . Он создает в окружающем пространстве магнитное поле, линии которого пронизывают плоскость контура (рис.10.4). Возникающий при этом поток получил название магнитного потока самоиндукции ФS, так как сам ток индуцирует этот магнитный поток. Под явлением самоиндукции можно понимать возникновение магнитного потока самоиндукции при протекании по цепи тока. В случае, когда контур содержит N витков, используется понятие потокосцепления ψS самоиндукции (ψS = NФS). Оказывается, что ψS и I прямо пропорциональны друг другу и поэтому можно записать ψS = LI, где коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью контура. Он описывает способность контура создавать потокосцепление самоиндукции и равен отношению ψS и I:

IL S .

Индуктивность контура зависит от геометрических размеров контура и от магнитных свойств среды. Самоиндукцией называют также явление возникновения ЭДС индукции в том контуре, по которому протекает переменный ток. Возникающие при этом ЭДС индукции

εi и индуктивный ток II называют ЭДС самоиндукции εS и током самоиндукции IS. Для них можно записать

dt

dI

R

L

RI

dt

dIL

dt

d SS

SS

, . (10.6)

Из формулы (10.6) следует, что любое изменение тока в цепи тормозится, и тем сильнее, чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление. Пусть в пространстве находится два проводящих контура 1 и 2 (рис. 10.5). Если пропустить по контуру 1 ток I1, то часть

линий вектора магнитной индукции 1B

, созданного током I1 магнитного поля, будет пересекать плоскость второго контура. вследствие чего возникает потокосцепление ψ21 взаимной индукции, которое прямо пропорционально силе тока I1: ψ21 = L21I1. (10.7) Если пропустить ток I2 по второму контуру, то аналогичные рассуждения приведут к следующей формуле: Ψ12 = L12I2. (10.8)

Рис. 10.4

Рис. 10.5

48

Можно показать, что в случае неферромагнитной среды входящие в формулы (10.7) и (10.8) коэффициенты пропорциональности L12 и L21 будут одинаковыми, они получили название взаимной индуктивности контуров 1 и 2: L12 = L21 = Ψ12/I2 = ψ21/I1. (10.9) Взаимная индуктивность зависит от расположения контуров, их геометрии и магнитных свойств окружающей среды. Явление взаимной индукции – это явление возникновения ЭДС индукции в одном контуре при протекании переменного тока в другом контуре. Используя закон Фарадея можно записать:

.,dt

dIL

dt

d

dt

dIL

dt

d 212

121

121

212

(10.10)

На явлении взаимной индукции основан принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока. 10.4. Второе уравнение Максвелла в интегральной форма. Ток смещения Основная идея теории Максвелла заключается во взаимосвязи электрических и магнитных полей: если переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве электрическое поле, то, в свою очередь, и переменное электрическое поле должно создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Следовательно, в теореме о циркуляции вектора Bк источникам магнитного поля в виде

токов проводимости добавляется еще один источник, который Максвелл назвал током смещения:

SГ iSdjjIIldB

смпрсмпрi 00 . (10.11)

Формула (10.11) получила название закона полного тока. Под током смещения Iсм понимают скалярную физическую величину, измеряемую в амперах, характеризующую способность электрического поля создавать магнитное поле и пропорциональную скорости

изменения во времени напряженности Eэлектрического поля.

Установим формулу связи плотности тока смещения смj

с напряженностью Eпеременного электрического поля. Для этого рассмотрим электрическую цепь, содержащую

плоский конденсатор с площадью пластин S (рис.10.6а). Протекание переменного тока в такой цепи сопровождается плавным переходом на границе пластин конденсатора тока проводимости в ток смещения, который существует в пространстве внутри конденсатора. Записывая условие непрерывности не границе обкладок, получим

,,S

q

dt

dE

dt

dq

SS

Ijj пр

00

1

0

см т.к.E

,,

S t

EjSdjI

0смсмсм (10.12)

Рис. 10.6

49

где σ – поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора; E

- напряженность электрического поля внутри конденсатора; ε – относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками. Подставляя формулу (10.12) в выражение (10.11), получим второе уравнение Максвелла в интегральной форме следующего вида:

SГ iSd

t

EjIIldB .

000 прсмпрi (10.13)

Уравнение (10.13) читается следующим образом: циркуляция вектора Bмагнитного

поля по произвольному замкнутому контуру Г равна сумме токов проводимости и смещения, охватываемых контуром Г, умноженной на коэффициент (μμ0). Физический смысл уравнения (10.13) заключается в том, что источниками магнитного поля являются токи проводимости, микротоки и переменное электрическое поле. 10.5. Уравнения Максвелла В основе теории Максвелла, позволяющей описать электрические и магнитные явления в любой среде, лежат записанные ниже уравнения.

1.

SГ

Sdt

BldE

2.

SГ iSd

t

EjIIldB .

000 прсмпрi

3. .0

i

S

qSdE

4. S

SdB .0

5. .E

0D

6. .HB

0

7. .Ej

Первые два уравнения говорят о взаимосвязи электрических и магнитных полей. Согласно этим уравнениям переменное во времени магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле и переменное во времени электрическое поле создает в пространстве магнитное поле. Физический смысл третьего и четвертого уравнений состоит в следующем: источником электростатического поля являются свободные и связанные заряды; в природе отсутствуют магнитные заряды.

Пятое и шестое уравнения вводят векторы электрического смещения Dи

напряженности Hмагнитного поля, которые, в отличие от истинных векторов E

и B

, являются вспомогательными, вводимыми для удобства описания полей в присутствии вещества. Седьмое уравнение представляет собой закон Ома в дифференциальной форме. Следствием теории Максвелла является существование электромагнитного поля в виде электромагнитных волн (ЭМВ). В основе образования таких волн лежат взаимные превращения электрического и магнитного полей: переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве переменное электрическое поле, и это изменяющееся электрическое поле также

50

создает в окружающем пространстве переменное магнитное поле и т.д. Процесс образования переменных электрического и магнитного полей охватывает все новые и новые области пространства (рис. 10.6б, здесь источником ЭМВ является текущий по проводнику переменный электрический ток).

Лекция 11

11.1. Гармонические колебания

К колебательным движениям относят такие движения, которые характеризуются той или иной степенью повторяемости во времени описывающих их величин. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменного тока, радиоволн и т. д. Не смотря на большое разнообразие колебательных процессов, как по физической природе, так и по степени сложности, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодических колебаний, называемых гармоническими. К периодическим колебаниям относят колебания, при которых описывающие их величины повторяются через промежуток времени, называемый периодом Т. При гармонических колебаниях (ГК) эти величины изменяются по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса. Рассмотрим колебания, происходящие под действием упругой силы, например колебания пружинного мятника. Пружинный маятник состоит из массивного шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить (рис. 11.1), пружины, закрепленной на шаре и в конце стержня. В состоянии покоя шар находится в положении О (рис. 11.1а). Если его передвинуть в положение В , сжав пружину, а затем

отпустить, он начнет ускоренно двигаться под действием упругой силы xkF y

, где к –

коэффициент упругости а x

- вектор смещения шара из положения равновесия. По мере приближения шара к положению равновесия числовое значение упругой силы уменьшается и в точке О становиться равной нулю. За счет приобретенной кинетической энергии шар будет продолжать свое движение, растягивая пружину. Когда вся кинетическая энергия превратится в потенциальную энергию, шар на мгновение остановится, после чего упругая сила растянутой пружины заставит его возвращаться в положение равновесия и т. д. Колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию переменных внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называют свободными. Если система консервативная, то при колебаниях не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные колебания называют незатухающими. Покажем, что незатухающие колебания пружинного маятника будут гармоническими. Согласно второму закону Ньютона

,,,, 00 2

2

2

2

2

2

xm

k

dt

xdkx

dt

xdmkx

dt

xdmFam у

или

,020 xx (11.1)

Рис. 11.1.

51

где mk /0 . Уравнение (11.1) является дифференциальным уравнением колебаний. Из теории дифференциальных уравнений следует, что решением приведенного уравнения являются гармонические колебания

,coscos AtAx 00 (11.2) то есть смещение тела от положения равновесия изменяется по гармоническому закону. В уравнение (11.2) введены такие понятия, как: А – максимальное смещение, или амплитуда колебания;

00 t – фаза колебания, выражение стоящая под знаком синуса или косинуса; φ0 – начальная фаза колебаний – фаза в начальный момент времени t = 0; ω0 – циклическая (круговая) частота свободных незатухающих гармонических колебаний системы. Циклическая частота ω0 связана с периодом колебаний и линейной частотой n соотношениями

ω0 = 2π/Т = 2πn. (11.3) Запишем выражения для проекций скорости, проекции ускорения на ось Ох, а так же для потенциальной, кинетической и полной энергии тела:

;AvvtAxv mmx 0000 ,sinsin

(11.4)

;xaAaavxa xmmxx2

02

0 ,,cos (11.5)

22

22 kAW

kxW pmp , ; (11.6)

.,22

22m

KmK

mvW

mvW (11.7)

Покажем, что амплитуды колебаний кинетической и потенциальной энергии совпадают:

.pmm

Km WkAAmmv

W

222

2220

2

(11.8)

Тогда

.constmvkA

WWWWW mKmpmKp

22

22

(11.9)

52

Из полученных формул следует, что проекция скорости vx и ускорения ах, кинетическая и потенциальная энергии тела изменяются по гармоническому закону подобно ее смещению х, а полная энергия колебаний остается при этом неизменной.

Приведем в пределах одного периода колебаний Т графики зависимости х, vx, ах,WK, Wp и W от времени t (рис.11.2, φ0 = 0).

Гармонические электромагнитные колебания будут наблюдаться в закрытом идеальном контуре. В такой контур не подается внешнее напряжение (Uвнеш = 0) и в нем отсутствуют потери энергии на нагревание проводников (R ≈ 0), поэтому дифференциальное уравнение колебаний для такого контура

,020 qq

его решением является гармоническое колебание

,coscos mqtqq m 00

где q – заряд на обкладке конденсатора, LC/10 , L – индуктивность катушки, С – емкость конденсатора. 11.2. Сложение гармонических колебаний 1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (А1 ≠ А2, φ01 ≠ φ02):

1011 tАx cos , 2022 tАx cos . Результирующее движение, равное сумме колебаний х1 и х2, будет гармоническим колебанием той же циклической частоты ω:

021 tAxxx cos . (11.10) Определим амплитуду и начальную фазу результирующего колебания методом векторных диаграмм. Для этого проведем из точки О векторы

1Aи 2A

под углами φ01 и φ02 к оси Ох и приведем их во вращение с угловой скоростью ω (рис. 11.3). Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому

угол φ2 – φ1 между ними все время остается неизменным. Проекции векторов 1Aи 2A

на ось Ох

Рис. 11.2.

Рис. 11.3.

53

совершают гармонические колебания. Результирующее колебание будет изображаться

проекцией на ось Ох вектора A

, полученного из векторов 1Aи 2A

по правилу параллелограмма. Из построения на рис. 11.3 следует, что (по теореме косинусов)

0102212

22

12 2 ,cosAAAAA ,

cos212

22

12 2 AAAAA . (11.11)

Из треугольников ∆ОА1В и ∆ОАС для начальной фазы φ0 результирующего колебания следует выражение

022011

0220110

coscos

sinsin

AA

AA

OC

ACtg . (11.12)

Рассмотрим частные случаи сложения колебаний.

1а. 210102 2102 AAAnn ,...,,, , то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.

1б. 210102 21012 AAAnn ,...,,, , то есть, если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга.

2. Биения – это колебания, которые возникают в результате сложения двух гармонических колебаний х1 и х2 одного направления с близкими частотами (ω2, ω1 >> ∆ω = ω2 – ω1):

tAxtAxxxx 22211121 cos,cos, . Рассмотрим подробнее результаты сложения таких колебаний. Для простоты будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы: А1 = А2 = А. Используя известную формулу сложения косинусов, получим:

222

coscoscoscos

и определим:

ttAxxx22

2 2121

coscos . (11.13)

Первый сомножитель в выражении (11.13) изменяется со временем значительно медленнее второго (∆ω << ω1, ω2), поэтому можно считать, что результирующее колебание представляет собой колебание с циклической частотой ω = (ω1 + ω2)/2 и с изменяющейся со временем амплитудой биений:

tAtАБ 22

cos . (11.14)

Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой; эти колебания не являются гармоническими. При этом период изменения амплитуды (период биений ТБ) и циклическая частота биений Ω будут определяться по формулам:

54

2

21 БT, . (11.15)

На рис. 11.4 приведены графики изменения амплитуды биения АБ и смещения х м. т. от времени. Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов.

3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Допустим, что м. т. может совершать колебания как вдоль оси х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, м. т. будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

tAytAx cos,cos 21 , (11.16) где ∆φ – разность фаз обоих колебаний. Чтобы получить уравнение траектории движения в обычном виде, нужно исключить из уравнений (11.16) параметр t. Из первого уравнения следует, что

cos ωt = x/A1. Следовательно,

21

2

1A

xt sin .

Теперь преобразуем второе уравнение (11.16). В результате получим

21

2

12

1A

x

A

x

A

y sincos .

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

2

212

2

2

21

2 2sincos

AA

xy

A

y

A

x. (11.17)

Последнее уравнение является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Определим траекторию движения для некоторых частных случаев.

1. ∆φ = 0. В этом случае уравнение (11.17) принимает вид

Рис. 11.4.

55

02

21

A

y

A

x,

Откуда получается уравнение прямой

xA

Ay

1

2 .

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой ω и

амплитудой, равной 2

22

1 AA (рис. 11.5а).

2. ∆φ = ± π. Уравнение (11.17) имеет вид

02

21

A

y

A

x,

Откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис.11.5б)

xA

Ay

1

2 .

3. При ∆φ = ± π/2 уравнение (11.17) переходит в

122

2

21

2

A

y

A

x,

т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям (рис.11.5в). Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и отношение частот число рациональное, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных замкнутых кривых, называемых фигурами Лиссажу.

Лекция 12 12.1. Затухающие колебания

Затухающие колебания наблюдаются в замкнутой механической системе (Fвнеш = 0), в которой имеются потери энергии на преодоление сил сопротивления, или в закрытом колебательном контуре (Uвнеш = 0), в котором наличие сопротивления R приводит к потере энергии колебаний из-за нагревания проводников. В первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения, силы, вызывающие затухание механических колебаний,

Рис. 11.5.

56

пропорциональны величине скорости. Будем называть эти силы, независимо от их происхождения, силами трения, или сопротивления:

vrFтр

, где r – коэффициент сопротивления. Знак минус указывает, что сила трения всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ:

max = - kx - rvx .

Заменив и dt

dxv x 2

2

dt

xda x и перенеся все члены в левую часть уравнения,

получим

,, 00 2

2

2

2

xm

k

dt

dx

m

r

dt

xdkx

dt

dxr

dt

xdm

,02 202

2

xdt

dx

dt

xd (12.1)

где m

r

2 - коэффициент затухания.

Если β ≤ ω0, то в результате решения дифференциального уравнения (12.1) получается следующая зависимость смещения от времени:

00 teAx зt cos , (12.2)

где е – основание натуральных логарифмов. Выражение

teAA 0 (12.3)

называют амплитудой затухающих колебаний. Величину

22

0 з (12.4) называют собственной циклической частотой затухающих колебаний. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, так как в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения.

Поэтому называть ωз циклической частотой можно лишь условно. По этой же причине

220

22

з

T, (12.5)

обычно называемую периодом затухающих колебаний, правильнее называть условным периодом затухающих колебаний. Отношение амплитуд для моментов времени, отличающихся на период, равно

Te

TtA

tA . (12.6)

57

Это отношение называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

TTtA

tA

ln . (12.7)

На рис.12.1 дан график функции (12.2).

12.2. Вынужденные колебания

Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения), изменяющегося со временем по гармоническому закону. В этом случае колебания описываются дифференциальным уравнением

tm

Fxxx cos02

02 , (12.8)

где tFF cos0 - вынуждающая сила, ω – частота силы. Известно, что решением этого уравнения (12.8) является следующее выражение:

tAteAtx t coscos 00 з . (12.9) Первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы. Амплитуда этих колебаний с течением времени уменьшается. Для установившихся колебаний первое слагаемое уравнения (12.9) равно нулю и

tAtx cos . (12.10) Амплитуда вынужденных установившихся колебаний

222220

0

4

m

FA

(12.11)

зависит как от частоты ω вынуждающей силы, так и от параметров системы (m, k, r). Графики зависимостей А от ω для различных значений коэффициента затухания β приведены на рис. 12.2. Явление, при котором наблюдается резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных свободных незатухающих колебаний системы, называют резонансом. Частоты, при которых амплитуда вынужденных установившихся колебаний принимает максимальное значение, называют резонансными ωр. Найдем ωр при которой амплитуда имеет максимальное значение. Резонанс наблюдается в том случае, когда выражение под знаком квадратного корня в формуле (12.11) будет минимальным. Поэтому

04 22222

0

22

0 2 р . (12.12)

Рис. 12.1.

Рис. 12.2.

58

12.3. Вынужденные колебания в цепи переменного тока

Воспользуемся электрической схемой, приведенной на рис.12.3, которая состоит из резистора R, соленоида L, конденсатора C и источника переменного напряжения U = U0cos ωt. В такой цепи будут совершаться вынужденные установившиеся колебания. Сила тока этой цепи будет изменяться по закону

tII cos0 , (12.13) где I0 – амплитуда тока, φ – сдвиг фаз между приложенным напряжением и током. Амплитуда тока определяется амплитудой напряжения U0, параметрами цепи C, L, R и частотой ω:

22

00

1 CLR

UI

/ . (12.14)

Ток отстает по фазе от напряжения на угол φ, который зависит от параметров цепи и частоты:

R

CLtg

/1. (12.15)

В случае, когда φ < 0, ток опережает напряжение. Стоящее в знаменателе формулы (12.14) выражение

22 1 CLRZ / (12.16) называется полным электрическим сопротивлением. Если цепь состоит из одного лишь активного сопротивления R, то уравнение закона Ома имеет вид

tUIR cos0 . Отсюда следует, что ток в этом случае изменяется в одинаковой фазе с напряжением, а амплитуда силы тока равна

R

UI 0

0 .

Сравнение этого выражения с (12.14) показывает, что замена конденсатора и соленоида закороченным участком означает переход не к C = 0, а к C = ∞. Всякая реальная цепь обладает конечными R, L, и С. В отдельных случаях некоторые из этих параметров бывают таковы, что их влиянием на ток можно пренебречь. Допустим, что R цепи можно положить равным нулю, а С – равным бесконечности. Тогда из формул (12.14) и (12.15) следует, что

L

UI

0

0 , (12.17)

а tg φ = ∞ (соответственно φ = π/2). Величину ХL = ωL называют реактивным индуктивным сопротивлением или просто индуктивным сопротивлением цепи. Ток в индуктивности отстает от напряжения на π/2. Теперь допустим, что можно положить равными нулю R и L. Тогда

C

UI

/10

0 , tg φ = – ∞ (т. е. φ = – π/2). Величину

Рис. 12.3.

59

CX C

1

(12.18)

называют емкостным сопротивлением. Для постоянного тока XC = ∞ - постоянный ток через конденсатор течь не может. Поскольку φ = – π/2, ток, текущий через конденсатор опережает напряжение на π/2. Допустим, что можно положить R равным нулю. В этом случае формула (12.14) переходит в

CL

UI

/10

0 .

Величина CL XXC

LX

1

называется реактивным сопротивлением. В цепи переменного тока с последовательным включением R, L и С (рис. 12.3 ) при XL = XC возникает состояние резонанса напряжения. В этом случае

01

11 22

R

CLtgRCLRZL

C

/,/, . (12.19)

Из формул (12.19) следует, что при резонансе напряжения частота вынуждающего напряжения

LC

1 р ,

амплитуда силы тока оказывается максимально возможной

R

UI 0

0 , а .C

L

R

U

C

LI

LCLIUU CL

00000

1

При резонансе напряжения цепь может оказаться в состоянии, при котором

0

1U

C

L

R . В этом случае падение напряжения на L и C будет превышать приложенное

напряжение. Если не контролировать режим работы цепи, то может произойти пробой изоляции, короткое замыкание.

12.4. Мощность в цепи переменного тока

Найдем мощность, выделяемую в цепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

tItUtItUtP coscos 00 . (12.19) Воспользовавшись формулой

coscoscoscos2

1

2

1,

Выражению (11.19) можно придать вид

60

tIUIUtP 22

1

2

10000 coscos . (12.20)

Практический интерес представляет среднее по времени значение P(t), которое обозначим просто P. Так как среднее значение cos(2ωt – φ) равно нулю,

cos2

00 IUP . (12.21)

Из (12.20) следует, что мгновенная мощность колеблется около среднего значения с частотой, в два раза превышающей частоту тока (рис. 12.4). Множитель выражения (12.21)

22 1 cLR

R

Z

R

/cos

называют коэффициентом мощности. Выражение (12.21), записанное через действующие значения силы тока и напряжения, имеет вид

cosUIP ,

где 20I

I , 20U

U - действующие значения силы тока и напряжения. При эксплуатации

электрических цепей стремятся что бы cos φ был как можно большим. При малом cos φ, для выделения в цепи необходимой мощности, нужно пропустить ток большой силы, что приводит к возрастанию потерь в подводящих проводах.

Приложение 1. Векторы и скаляры

Величины, для задания которых достаточно одного числового значения, называются скалярными. Примерами скаляров могут служить путь, масса, время и т. д. Величины, для задания которых необходимы числовое значение и направление, называют векторами. Примерами векторов являются, например, перемещение, скорость,

ускорение, сила и т. д. Векторы принято обозначать буквами со стрелкой ( S

, v

. a

, F

). При отсутствии стрелки та же буква означает числовое значение или модуль соответствующего

вектора. Таким образом, SS

модуль вектора S

.

Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный. Показанная на рис. П. 1а операция сложения векторов символически записывается следующим образом:

cba . (П.1)

Рис. 12.4.

61

В результате умножения вектора Fна скаляр а получается новый вектор, модуль

которого в а раз больше вектора F

, а направление совпадает с направлением вектора F

, если скаляр положителен, и противоположно ему, если скаляр отрицателен.

Скалярное произведение двух векторов aи b

– это скалярная величина, равная

произведению модулей векторов aи b

, умноженному на косинус угла между ними:

ababba a соs

, (П.2)

где в формулу введена проекция вектора b

на направление вектора a

(bа = b cos α) (рис. П.1б).

Векторное произведение векторов aи b

– это вектор c

, равный по модулю

произведению модулей векторов aи b

на синус угла α между ними (рис. П.1в).

bac , c = absinα, (П.3)

Вектор c

перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы aи b

, его направление можно найти, например, по правилу правого буравчика – вращательное движение

буравчика должно совпадать с направлением кратчайшего поворота от aк b

, тогда его

поступательное движение дает направление c

. 2. Градиент скалярной величины a. Пусть в пространстве каким-либо образом распределена скалярная величина а – это может быть поле температуры (а = Т), потенциальной энергии (а = U) и т. д. Такое поле можно охарактеризовать градиентом а. Под градиентом скалярной величины понимают вектор, который в каждой точке пространства направлен в сторону наиболее быстрого возрастания а и численно равный приращению величины а на единицу длины этого направления.

,,dl

dagradak

z

aj

y

ai

x

agrada

(П.4)

где l

- направление grada в данной точке пространства;

векторы kji

,, - векторы единичной длины, указывающие направление осей Ох, Оу, Оz в пространстве (рис. П2). Они позволяют представить произвольный

вектор bв виде суммы его проекций на оси (рис. П2):

.kbjbibb zyx

(П.5)

При вычислении производной величины а по координате х в формуле (П.4) считается, что координаты y и z остаются постоянными – такая производная называется частной производной по координате х:

Рис. П.1.

Рис. П.2.

62

., constzconstydx

da

x

a

Аналогичные предположения принимаются при расчете частных производных по координатам y и z. 3. Циркуляция и поток вектора a

.

Возьмем в неоднородном поле воображаемый замкнутый контур Г, укажем произвольно направление его

обхода и введем вектор ld

, равный по модулю элементарной длине dl контура. В каждой точке вектор

ldсовпадает с касательной к контуру и

направлен по обходу контура (рис. П.3а).

Тогда циркуляцией вектора a

по произвольному замкнутому контуру Г называют интеграл следующего вида:

Г

adllda .cos

(П.6)

Можно утверждать, что если для поля вектора a

циркуляция вектора a

по произвольному замкнутому контуру Г равна нулю, то это поле является потенциальным

(например, электростатическое поле вектора E

). Если же циркуляция a

по произвольному

замкнутому контуру Г отлична от нуля, то поле вектора a

не является потенциальным, его называют вихревым полем.

Введем понятие потока Ф вектора a

. Возьмем в неоднородном поле вектора a

произвольную поверхность S, выделим на ней элементарную площадку dS и введем вектор

Sd

, направленный вдоль вектора нормали n

к площадке (рис. П.3б). Модуль Sdравен

площади dS элементарной площадки.

Тогда элементарным потоком dФ вектора aчерез площадку dS называют величину

.cos adSSdad

Ф Суммируя потоки dФ через все площадки dS поверхности S, найдем поток вектора a

через поверхность S:

SS S

adSSdadФ .cos

Ф (П.7)

Если учесть, что густота вектораa

определяет модуль вектора a

в данной точке поля,

то тогда поток вектора a

численно равен количеству N линий a

, пронизывающих поверхность S.

4. Дивергенция и ротор вектора a

. Для решения практических задач необходимо применять математический аппарат, позволяющий учитывать тип векторных полей не только в большом объеме пространства, но и в малой окрестности какой-либо точки. Для этого вводятся

понятия дивергенции ( adiv

) и ротора ( arot

) вектора a

. Возьмем объем поля V, ограниченного замкнутой поверхностью S, и будем стягивать поверхность в малую окрестность точки А (рис. П.4а)

Тогда дивергенцией вектора a

называют предел

SV

SdaV

adiv .lim 1

0 (П.8)

Рис. П.3.

63

Дивергенция aхарактеризует наличие источников первого типа в малой окрестности

точки А, например, электрических зарядов (рис. П.5а):

, constadiv

(П.9) где ρ – плотность заряда.

В математике для adiv

можно записать следующее выражение:

.z

a

y

a

x

aadiv zyx

(П.10)

Введем понятие ротора вектора a

. Возьмем замкнутый контур Г, ограничивающий поверхность S, и будем стягивать контур в малую

окрестность точки А (рис. П.4б). Тогда ротором вектора a

называют предел

rS

ldaS

arot .lim 1

0 (П.11)

Ротор (вихрь), напримерB

, характеризует наличие источников полей второго типа в малой окрестности точки А.

,jconstBrot

(П.12) где j – плотность электрического тока.

В математике для arot

можно записать следующее выражение:

.ky

a

x

ay

x

a

z

ai

z

a

y

aarot xyzxyz

(П.13)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валишев М. Г., Повзнер А. А. Курс общей физики: Учебное пособие. – Издательство «Лань», 2010. – 576 с.

2. Лозовский В. Н. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т. 1/ Под редакцией В. Н. Лозовского. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 576 с.

3. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики: Учебное пособие для втузов: В 3 т. Т. 1. – М., «Высшая школа», 1973. – 364 с.

4. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики: Учебное пособие для втузов: В 3 т. Т. – 2. М., «Высшая школа», 1977. – 375 с.

5. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебное пособие в 3 т. Т. 1. – М. «Наука», 1982. – 432 с.

6. Савельев И. В. Курс общей физики: Учебное пособие в 3 т. Т. 2. – М. «Наука», 1982. – 496 с.

Рис. П.4.