Διαγώνισμα 2ο: Επίπεδο Β΄

(ασκήσεις αποκλειστικά από το σχολικό βιβλίο)

2ο Κεφάλαιο Άλγεβρας – Μιγαδικοί Αριθμοί

Παράγραφοι: 2.1 – 2.2 – 2.3

Διάρκεια διαγωνίσματος: … ώρες

Ημερομηνία Εξέτασης: ………. Οκτωβρίου 2014

Στοιχεία μαθητή:

……………………………….……………………………

Βαθμός (100) …………

Βαθμός (20) …………..

2015

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος για το http://lisari.blogspot.gr 1/1/2015

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

………………….. ……. ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ 1

Α. Να δείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α βi και γ δi είναι το

άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Μονάδες 9

Β. Γράψτε τον ορισμό και τον τύπο για το μέτρο του μιγαδικού z.

Μονάδες 6

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα

που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση

είναι λανθασμένη.

i) i 4 ρ + 3

= -i .

i i) Το βi, β λέγεται φανταστικός αριθμός.

iii) Η εξίσωση 2αz βz γ 0, αβ, γ και α 0 , με λύσεις z1, z2, τότε ισχύει

1 2

βz z

α και

1 2

γz z

α .

iv) Για κάθε z ισχύει, 2z z z

v) Για κάθε z ισχύει, v vz z

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 2

A. Έστω ο μιγαδικός z με z 0 . Δίνεται η παράσταση Α = z z

z z .

Να δείξετε ότι:

i. A

Μονάδες 6

ii. 2 A 2

Μονάδες 7

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

B. Αν για τους μιγαδικούς 1 2 vz ,z ,..., z ισχύει

v1 2

1 2 v

z iz i z i1

z i z i z i

,

να αποδειχτεί ότι κανένας από αυτούς δεν είναι πραγματικός αριθμός.

Μονάδες 12

ΘEMA 3

A. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων Μ των μιγαδικών z , για τους οποίους

ισχύει:

| z 1| | z 4i | .

Ποιο από τα σημεία Μ απέχει την ελάχιστη απόσταση από την αρχή O(0,0) .

Μονάδες 13

B. Έστω ο μιγαδικός z , για τον οποίο ισχύει z 1 . Να αποδείξετε ότι:

αν | z | 1 , τότε, και μόνο τότε, ο z 1

wz 1

είναι φανταστικός αριθμός.

Μονάδες 12

ΘΕΜΑ 4

Α. Αν 1M και 2M είναι οι εικόνες των μιγαδικών 1z και 2z αντιστοίχως και 2 1

1

4z z

z .

Να αποδείξετε ότι:

« Όταν το 1M κινείται σε κύκλο κέντρου O(0,0) και ακτίνας 4, τότε το 2M κινείται σε μια

έλλειψη»

Μονάδες 7

Β. Δίνεται η εξίσωση 2x 2x 4 0 με ρίζες τις 1x και 2x .

i) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων 1 2x x , 1 2x x και 2 2

1 2x x .

Μονάδες 6

ii) Αν η εξίσωση 2x px q 0 έχει ως ρίζες τις 2

1x και 2

2x , να βρείτε τις τιμές των p και q

Μονάδες 7

Γ. Αν η εξίσωση ν ν *(1 iz) p(1 iz) , ν έχει πραγματική ρίζα, να αποδείξετε ότι | p | 1 .

Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους)

1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο

μάθημα). Τα θέματα να μην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα

χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο, μπορούν να γίνουν και με μολύβι.

2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων μόλις σας

παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε.

Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα

φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.

3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.

4. Κάθε λύση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.

5. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μιάμιση (1 1/2) ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ