บทท�� 2 ทฤษฏี�การวั ดและควัามคลาดเคล��อน

(Theory of Measurement and Errors)

อ.ดร.ชาติ�ชาย ไวัยสุ�ระสุ�งห์!ภาควั�ชาวั�ศวักรรมโยธาคณะวั�ศวักรรมศาสุติร!มห์าวั�ทยาล ยขอนแก(น

การวั ด (Measurement)

• การวั ด (Measurements) เป็*นกรรมวั�ธ�พื้�,นฐานของการได.มาซึ่0�งค(าสุ งเกติ (Observations) ของข.อม1ลติามท��ติ.องการ

• เม��อได.ก2ติามท��ม�การวั ด เม��อน ,นย(อมม�ควัามคลาดเคล��อน (Errors) ข0,นติามมาท�กคร ,ง

• ด งน ,น จึ0งไม(ม�การวั ดคร ,งใดท��ป็ราศจึากควัามคลาดเคล��อนอย1(ด.วัย

• น �นค�อ ในการวั ดท�กคร ,งจึ5าเป็*นจึ5าติ.องม�การป็ระเม�นค(าควัามถู1กติ.อง (Accuracy) และค(าควัามแม(นย5า (Precision)

• และน �นห์มายถู0ง ในศ0กษาถู0งควัามถู1กติ.องของการวั ดจึ5าเป็*นอย(างย��งท��จึะติ.องม�การเข.าใจึถู0งธรรมชาติ� ชน�ด และ ขนาดของควัามคลาดเคล��อนท��แติ(ละกระบวันการวั ดด.วัย

การวั ดและมาติรฐาน (Measurement and Standards)

• การวั ด เป็*นกระบวันการห์าขนาด ป็ร�มาณ ของสุ��งท��ติ.องการวั ดด.วัยการเท�ยบก บมาติรฐานอ นห์น0�งท��ใช.ในการห์าขนาดและป็ร�มาณติ(างๆ เช(น– ควัามยาวั น5,าห์น ก ท�ศทาง เวัลา ติลอดจึน ป็ร�มาติร– ติ วัอย(างของการเท�ยบก บสุ��งท��เป็*นมาติรฐาน เช(น • ควัามยาวัมาติรฐาน 1 เมติร ค�อ ระยะทางท��แสุงเด�น

ทางได.ในสุ�ญญากาศเป็*นเวัลา 1/299,792,458 วั�นาท� ซึ่0�งอาจึจึะท5าการวั ดเท�ยบก บสุ��งท��ใช.เป็*นมาติรฐานอ.างอ�งน ,นโดยติรงห์ร�อโดยอ.อม (Direct and Indirect Measurement)

การวั ดในงานสุ5ารวัจึ (Measurements in Surveying)

ม�ม• ม�มราบ (Horizontal

Angle)• ม�มด��ง (Vertical Angle)• ม�มด��งบน ห์ร�อม�มซึ่�น�ธ

(Zenith Angle)

ระยะด��งม�มราบ

ม�มด��งม�มด��งบน

ระยะราบO

BA

Cระ

ยะเอ

�ยง

ระยะ• ระยะราบ (Horizontal

Distance)• ระยะด��ง (Vertical

Distance)• ระยะเอ�ยง (Slope Distance)

การวั ดโดยติรงและโดยอ.อม(Direct and Indirect Measurements)

การวั�ดโดยตรง (Direct Measurement) • การวั ดป็ร�มาณใด ๆ ท��สุามารถูกระท5าได.โดยติรงด.วัยเคร��องม�อ• ควัามคลาดเคล��อนการวั ดข0,นอย1(ก บเคร��องม�อ และกรรมวั�ธ�การวั ดน ,น

ๆ โดยติรงการวั�ดโดยอ้ อ้ม (Indirect Measurement) • การวั ดป็ร�มาณใด ๆ ท��ไม(สุามารถูกระท5าได.โดยติรงด.วัยเคร��องม�อ• ติ.องม�การค5านวัณป็ร�มาณน ,นด.วัยควัามสุ มพื้ นธ!ทางคณ�ติศาสุติร!• ควัามคลาดเคล��อนจึะไม(ข0,นอย1(ก บเคร��องม�อและกรรมวั�ธ�การวั ดน ,น ๆ

โดยติรง• ติ.องม�การค5านวัณห์าค(าควัามคลาดเคล��อนท��แพื้ร(กระจึาย (error

propagation) มาจึากการป็ร�มาณท��วั ดโดยค5านวัณติามควัามสุ มพื้ นธ!ทางคณ�ติศาสุติร!ท��ใช.

ควัามคลาดเคล��อนของการวั ด (Measurement Errors)

ค(าควัามคลาดเคล��อน (errors)• ค�อ ค(าควัามแติกติ(างระห์วั(างค(าท��วั ดได.ก บค(าจึร�ง

ของป็ร�มาณน ,นε = y - μ

ε

μ

y- ค(าคลาดเคล��อน (Error)

- ค(าท��ร งวั ดมา (Observed Value)

- ค(าท��ถู1กติ.อง (True Value)

ค(าเศษเห์ล�อ (Residuals)

ค�อ ค(าควัามแติกติ(างระห์วั(าง ค(าเฉล��ย ก บ ค(าท��ร งวั ดมาแติ(ละค(า

i iv = X - X

iv

iXX

- ค(าเศษเห์ล�อ (Residual)

- ค(าเฉล��ยของค(าท��ร งวั ดมา (Mean Value)

- ค(าท��ร งวั ดมา (Observed Value)

Errors VS Residuals

Errors และ Residual จึากสุมการท��กล(าวัมา น ,น จึะเห์2นวั(า

• ม�ขนาดเท(าก น • ม�เคร��องห์มายติรงข.ามก น (เพื้��อแสุดงถู0งควัาม

แติกติ(าง)• ย��งจึ5านวันของค(าท��ร งวั ดมาม�จึ5านวันมากเท(าใด ค(า

Residual จึะม�ขนาดเข.าใกล.ค(า Errors

สมมต�ฐานเก��ยวัก�บควัามคลาดเคล��อ้น

• การวั ดท�กคร ,งไม(ม�ควัามแม(นย5าท��แน(นอน• การวั ดท�กคร ,งม�ควัามคลาดเคล��อนเก�ดข0,นเสุมอ• ค(าท��ถู1กติ.องของการวั ดไม(สุามารถูทราบได.แน(นอน• ค(าควัามคลาดเคล��อนท��แน(นอนไม(สุามารถูทราบได.

องค!ป็ระกอบของการวั ด• ม�การบอกขนาดของการวั ด เช(น ระยะทาง 4.1• ม�การบอกห์น(วัยท��ใช.ในการวั ด เช(น ระยะทาง 4.1

กม.• ม�การป็ระมาณช(วังของควัามคลาดเคล��อน เช(น ระยะ

ทาง 4.1 (±0.2) กม.• ม�การบอกระด บควัามเช��อม �นของช(วังควัามคลาด

เคล��อนท��เก�ดข0,นในการวั ด เช(น ท��ระด บควัามเช��อม �น 95% ม�ระยะทาง 4.1 (±0.2) กม.

สาเหต�การเก�ดควัามคลาดเคล��อ้น(Sources of Errors in

Measurements)ควัามคลาดเคล��อ้นที่��เก�ดจากสภาพธรรมชาต� (Natural errors)

• ม�ป็ร�มาณท��เป็ล��ยนข0,นอย1(ก บสุภาวัะทางธรรมชาติ� เช(น wind, temperature, humidity, atmospheric pressure and refraction, gravity and magnetic declination

ควัามคลาดเคล��อ้นที่��เก�ดจากเคร��อ้งม�อ้วั�ด (Instruments errors)

• โดยท �วัไป็สุามารถูห์าขนาด และขจึ ด ห์ร�อ ติรวัจึแก.ได.เก�ดจึากควัามไม(สุมบ1รณ!ของเคร��องม�อ เช(น graduations on scale, collimation error

ควัามคลาดเคล��อ้นเก�ดจากผู้# ที่$าการวั�ด (Personal errors)• ข0,นก บข�ดควัามสุามารถูของมน�ษย!ในการมอง และการสุ มผั สุ การ

ใช.เคร��องม�อ เช(นการสุ(องเป็;าในการวั ดม�ม การติ ,งเป็;าให์.ติรงก บสุถูาน� เป็*นติ.น

ชน�ดขอ้งควัามคลาดเคล��อ้น(Types of Errors)

Systematic errors• สุาเห์ติ�เก�ดจึากองค!ป็ระกอบ

ของระบบการวั ด ไม(วั(าจึะเป็*น สุภาวัะแวัดล.อม เคร��องม�อ และ ผั1.ท5าการร งวั ด

• ม�ขนาดเป็ล��ยนไป็ติามสุภาพื้ของสุภาวัะด งกล(าวั

• ม�ล กษณะเป็*นแบบสุะสุม (Cumulative Errors)

• สุามารถูห์าป็ร�มาณและค5านวัณติรวัจึแก.ได.

Random errors•เป็*นควัามคลาดเคล��อนท��อย1(นอกเห์น�อการควับค�มของมน�ษย! (Accidental Errors)•ม�ขนาดและท�ศทางไม(แน(นอน ไม(สุามารถูติรวัจึแก.ได.โดยติรง•การค5านวัณป็ร บแก.อาศ ยห์ล กการทางสุถู�ติ�และทฤษฎี�ควัามน(าจึะเป็*น เช(น การห์า•ค(าเฉล��ย การค5านวัณแบบ least square เป็*นติ.น

Precision, Accuracy and Discrepancy

ค&าควัามแม&นย$า (Precision )• ค�อ ควัามแม(นย5าในการวั ดห์ลายๆ คร ,ง กล(าวัค�อ ม�

Discrepancy มากห์ร�อน.อยซึ่0�งข0,นอย1(ก บ ควัามละเอ�ยดของเคร��องม�อ และ ควัามช5านาญของผั1.ใช.

ค&าควัามถู#กต อ้ง (Accuracy)• ค�อ ควัามถู1กติ.องของค(าการวั ดท��ได.วั(า ใกล.เค�ยง ก บค(าจึร�ง

เพื้�ยงใด Accuracyค&าควัามแตกต&าง หร�อ้ ค&าแย ง (Discrepancy)• ค�อ ค(าแติกติ(างของการวั ด 2 คร ,งในป็ร�มาณเด�ยวัก นเม��อ

ม�การขจึ ด Systematic Errors ออกไป็แล.วั• ถู.า Discrepancy น.อยสุามารถูบอกได.วั(า ไม(ม�

Mistake, Blunders และ Gross Errors.

Accuracy VS Precision

Accuracy VS Precision (ติ(อ)

การขจึ ด Mistakes และ Systematic Errors

Mistakes• วั ดซึ่5,าห์ลายๆค(า• ติ ดค(าร งวั ดท��ม�ผั�ดแป็ลกแติกติ(างจึากกล�(มออกไป็

Systematic Errors• ติรวัจึห์าและค5านวัณค(าแก.• แก.ไขค(าร งวั ดมาโดยใช.ค(าแก.ท��ค5านวัณได.

True Value & Residuals

จึากสุมม�ติ�ฐานควัามคลาดเคล��อน ท��วั(า • ค(าท��ถู1กติ.องห์ร�อค(าจึร�งของการวั ดไม(สุามารถูทราบได.

แน(นอน(True value of measurement is not known exactly)

ด งน ,น True Value = Most Probable Value = Mean Value =

ค&าเศษเหล�อ้ (Residuals, v )

n

i=1

XiX=

n

i iv = X - X

Example 1 จึงค5านวัณห์า Residuals ของข.อม1ลแติ(ละติ วัRow 1: 41.8, 41.9, 42.0, 42.2, 42.5Row 2: 42.6, 42.6, 42.8, 43.0, 43.1Row 3: 43.2, 43.2, 43.3, 43.4, 43.4Row 4: 43.6, 44.1, 44.2, 44.3, 44.3Row 5: 44.3, 44.6, 44.7, 44.7, 44.7Row 6: 45.0, 45.5, 45.5 45.5, 45.5Row 7: 45.6, 45.6, 45.7 45.9, 46.0Row 8: 46.1, 46.1, 46.1 46.2, 46.3Row 9: 46.3, 46.8, 47.1, 47.2, 47.4Row 10: 47.5, 47.6, 49.5, 49.5, 52.0

Example 1 (ต&อ้)• Row 1: 41.8 41.9 42.0 42.2 42.5• Row 2: 42.6 42.6 42.8 43.0 43.1• Row 3: 43.2 43.2 43.3 43.4 43.4• Row 4: 43.6 44.1 44.2 44.3 44.3• Row 5: 44.3 44.6 44.7 44.7 44.7• Row 6: 45.0 45.5 45.5 45.5 45.5• Row 7: 45.6 45.6 45.7 45.9 46.0• Row 8: 46.1 46.1 46.1 46.2 46.3• Row 9: 46.3 46.8 47.1 47.2 47.4• Row 10: 47.5 47.6 49.5 49.5 52.0Translated rows ( yi - 40 )Translated rows ( yi - 40 )

• Row 1: 1.8 1.9 2.0 2.2 2.5• Row 2: 2.6 2.6 2.8 3.0 3.1• Row 3: 3.2 3.2 3.3 3.4 3.4• Row 4: 3.6 4.1 4.2 4.3 4.3• Row 5: 4.3 4.6 4.7 4.7 4.7• Row 6: 5.0 5.5 5.5 5.5 5.5• Row 7: 5.6 5.6 5.7 5.9 6.0• Row 8: 6.1 6.1 6.1 6.2 6.3• Row 9: 6.3 6.8 7.1 7.2 7.4• Row 10: 7.5 7.6 9.5 9.5 12.0

เกมการย�งเป็;าร1ป็ดาวั (The Shoot the Star out Game)

• ในการเล(นเกมสุ!ย�งเป็;าร1ป็ดาวัจึ5านวันน บคร ,งไม(ถู.วัน

• จึะเห์2นวั(า การย��งเข.าเป็;าสุ(วันให์ญ(จึะเข.าติรงกลาง

• ห์ากน5ามาพื้ล2อติเป็*นกราฟฮิ�สุโติรแกรมเป็*นโค.งแสุดงการกระจึายควัามคลาดเคล��อนแบบป็กติ� (Normal Distribution Curve)

โค.งการแจึกแจึงควัามคลาดเคล��อนป็กติ�The Normal Distribution Curve

การแจกแจงแบบปกต�และค&าเบ��ยงเบนมาตรฐาน

(Normal Distribution and Standard Deviation)

Interpretation of Standard Deviation

• เป็อร!เซึ่2นติ!ของพื้�,นท��ใติ.กราฟห์มายถู0งโอกาสุท��ควัามคลาดเคล��อนในช(วังน ,น จึะเก�ดข0,นได.ของการวั ดท ,งห์มด ห์ร�อกล(าวัได.วั(าเป็*นเป็อร!เซึ่2นติ!ของระด บ ควัามเช��อม �น (Confidential level) เช(น

95% ระด บควัามเช��อม �น

• จึากติาราง เม��อพื้�จึารณาพื้�,นท��ใติ. Normal Curve -s ถู0ง s = 68.27 % ของพื้�,นท��ใติ.กราฟท ,งห์มด -1.960s ถู0ง 1.960s = 9 5 % ของพื้�,นท��ใติ.กราฟท ,งห์มด -2.965s ถู0ง 2.965s = 9 9.7 % ของพื้�,นท��ใติ.กราฟ

ท ,งห์มด

ติ วัค1ณสุ5าห์ร บร.อยละควัามคลาดเคล��อนท��ยอมให์.ใดๆ

(Multiplier for various percent probable error)

การแพื้ร(ของควัามคลาดเคล��อน (Error Propagation)

• เม��อ l1, l2, l3, … ,lnเป็*นค(าสุ งเกติท��ร งวั ดได.และ• ม�ค(าควัามคลาดเคล��อนสุ�(ม E1, E2, E3, … ,En

ติามล5าด บ• Z = f(l1, l2, l3, … ,ln ) ค�อ ฟ?งก!ช นค(าท��

ค5านวัณได.จึากแบบจึ5าลองทางคณ�ติศาสุติร!• ด งน ,น การแพื้ร(กระจึายค(าควัามคลาดเคล��อนสุ�(ม

ของฟ?งก!ช น ค�อ

การแพื้ร(ของควัามคลาดเคล��อนในกรณ�ติ(างๆ

Error of Propagation of specific cases

Example 2

• แท2งค!น5,าร1ป็ทรงกระบอก– ม�ร ศม� (R) เป็*น 24.00 ± 0.05 ft – ม�ควัามสุ1ง (H) เป็*น36.00 ± 0.06 ft.

• จึงค5านวัณห์าป็ร�มาติรของแท2งค!น5,าน�, พื้ร.อมท ,งห์าค(าเบ��ยงเบนมาติรฐานของป็ร�มาติรแท2งค!น5,า?

• สุ1ติรป็ร�มาติรของทรงกระบอก

Example 2 (ติ(อ)

• จึาก

• น �นค�อ2 2

2 2V R H

V VE E E

R H

Example 2 (ติ(อ)

• จึาก

• จึะได.วั(า และ

2 22 2

V R H

V VE E E

R H

2 . 2 (24.00)(36.00)(0.05) 271.43R R

VE RH E

R

2 2. (24.00) (0.06) 108.57H H

VE R E

H

Example 2 (ติ(อ)

• น ,นค�อ

• จึะได.วั(าแท2งค!ม�ป็ร�มาติรเป็*น 65,144.06 ± 292 ft3

2 2 3271.43 108.57 292VE ft

น5,าห์น กของการวั ด(Weight of Measurements)

• น5,าห์น กของค(าท��ร งวั ดมาจึะแป็รผักผั นก บก5าล งลองของค(าเบ��ยงเบนมาติรฐาน

• น �นค�อ โดยน�ยมใช.ท��

เม��อค(าท��ร งวั ดมาม�น5,าห์น กไม(เท(าก น• ค(าเฉล��ยถู(วังน5,าห์น ก (Weight Mean) จึะถู�อเป็*น

ค(าท��เป็*นไป็ได.มากท��สุ�ด (the most probable value) ของค(าท��ร งวั ดมา

2

1W

1 1 2 2 3 3w

1 2 3

... ( )Weight Mean M =

... ( )n n i i

i

X W X W X W X W XW

W W W W W

2

1W

Standard Deviationfor Weighted Observations

Example 3

• ในการวั ดระยะทางด.วัยเคร��องวั ดระยะอ�เล2คทรอน�คสุ! (EDM) ท ,งห์มด3 คร ,ง พื้บวั(า– ค(าระยะทาง 185.67 เก�ดข0,น 2 คร ,ง– ค(าระยะทาง 185.68 เก�ดข0,น 1 คร ,ง

• จึงห์าค(าเฉล��ยถู(วังน5,าห์น กของค(าท��ร งวั ดมาพื้ร.อมท ,งค(าเบ��ยงเบนมาติรฐานของค(าเฉล��ย

Example 3 (ติ(อ)

• จึากสุมการค(าเฉล��ยถู(วังน5,าห์น ก

• จึะได.วั(า

1 1 2 2 3 3w

1 2 3

... ( )Weight Mean M =

... ( )n n i i

i

X W X W X W X W XW

W W W W W

Example 3 (ติ(อ)• พื้�จึารณาการแพื้ร(ของควัามคลาดเคล��อนจึาก

สุมการ

• น �นค�อ

1 2

2 2

2 2

1 2

2 2

1 2

1 2 1 1 2 2

1 22 2 2

1 2 1 2

1 1

1 10.333

2 1

s S S

s

s

M ME E E

S S

W WE

W W W W W W

W WE

W W W W

Example 3 (ติ(อ)

• ด งน ,น ระยะทางท��วั ดโดย EDM ม�ค(าเท(าก บ 185.673±0.333 เมติร

Example 4

จึากติารางการร งวั ดม�มท ,ง 4 วั น

จึงห์า• ค(าเฉล��ยของค(าม�มท��วั ด

มาท ,ง 4 วั น• ค(าเบ��ยงเบนมาติรฐาน

ของค(าเฉล��ยม�มท ,ง 4 วั นท��วั ดมา

Example 4 (ติ(อ)

ค(าเฉล��ยถู(วังน5,าห์น กของม�มท��วั ดมา ค�อ• เน��องจึากค(าม�มในห์น(วัยองศาและล�ป็ดาม�ค(าเท(าก น จึ0ง

น5าเฉพื้าะค(าม�มในห์น(วัยฟ@ล�ป็ดามาค�ด• ด งน�,

• น �นค�อ ค(าเฉล��ยของม�มท��วั ดมาเท(าก บ

Example 4 (ติ(อ)

• จึากสุ1ติร

Example 4 (ติ(อ)

• Standard deviation of the mean:

• น �นค�อ ค(าม�มท��ร งวั ดมาม�ค(าเป็*น

จึบบทท�� 2

การวั�เคราะห-ควัามคลาดเคล��อ้นแบบส�&มขอ้งการวั�ดระยะที่างใดๆ

การวั�เคราะห-ควัามคลาดเคล��อ้นแบบส�&มขอ้งการวั�ดระยะที่างใดๆ

ผัลล พื้ธ!จึากการวั�เคราะห์!ด งกล(าวัสุามารถูท��จึะน5ามาเข�ยนเป็*นกราฟแท(งท��แสุดงควัามสุ มพื้ นธ!ระห์วั(างขนาดของควัามคลาดเคล��อนรวัมก บควัามน(าจึะเป็*น ด งร1ป็ด.านบน ถู.าเพื้��มจึ5านวันการวั ดมากข0,นเร��อยๆ ล กษณะของกราฟจึะม�กราฟกระจึายเป็*นร1ป็โค.งระฆั งควั5�า โดยจึะเร�ยกวั(า โค.งแสุดงการกระจึายควัามคลาดเคล��อนแบบป็กติ�