Глава 9. АФФИННЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 9.1. N-мерное точечное пространство

Если на плоскости или в пространстве введена система координат, то каждая пара чисел задает точку на плоскости, а каждая тройка чисел – точку в пространстве. Более того, множество всех пар чисел можно отождествить с множеством всех точек плоскости, а множество всех троек чисел – с множеством всех точек пространства, что позволяет следующим образом обобщить понятия точки, плоскости и пространства.

Произвольный упорядоченный набор из n чисел называется n-мерной точкой, а сами числа – координатами этой точки. Совокупность всех n-мерных точек называется n-мерным точечным пространством .

Если точка М пространства имеет координаты , то будем писать . Точка называется началом координат.

Множество всех точек пространства , у которых все координаты, кроме k-й, равны нулю, называется координатной осью . Из этого определения следует, что ось состоит из всех точек вида

, где – произвольное действительное число. Отметим, что в пространстве имеется n координатных осей .

Совокупность всех точек пространства , у которых k-я координата равна нулю, называется координатной гиперплоскостью . Таким

образом, гиперплоскость состоит из точек вида ,

где независимо друг от друга пробегают все действительные числа. В пространстве имеется n координатных гиперплоскостей .

На плоскости и в трехмерном пространстве направленным отрезком называется отрезок, у которого отмечены начало и конец. Первой в обозначении направленного отрезка записывают точку, которая называется его началом, а второй – точку, являющуюся концом этого направленного отрезка. Таким образом, направленный отрезок однозначно определяется упорядоченной парой точек, т. е. парой, в которой определено, какая из двух точек является первой, а какая – второй. Обобщим это определение направленного отрезка на случай пространства

.Упорядоченная пара точек А, В пространства называется

направленным отрезком, который по-прежнему обозначается через .

188

Точка А называется началом, а точка В – концом направленного отрезка .

Определим координаты направленного отрезка следующим образом. Если , , то числа , которые равны разностям координат конца и начала , называются координатами направленного отрезка . В этом случае будем писать

.Если соответствующие координаты n-мерного вектора и

направленного отрезка совпадают, то будем говорить, что вектор отложен от точки пространства , и писать . Таким образом, чтобы отложить n-мерный вектор от точки , надо построить такую точку В, чтобы соответствующие координаты направленного отрезка и вектора совпадали.

Каждый n-мерный вектор можно отложить от любой точки пространства . Действительно, обозначим точку с координатами . Тогда .

Полагаем , если их соответствующие координаты равны. Сложение направленных отрезков и умножение их на число осуществляется по правилам, сформулированным для n-мерных векторов. Направленный отрезок часто называют вектором.

Вектор называется радиус-вектором точки . Ясно, что координаты точки и радиус-вектора этой точки совпадают. Вместо вектора будем писать . Так как координаты векторов и равны, то .

Теорема 9.1. Справедливы следующие утверждения, где – произвольные точки пространства :

; ; . Доказательство 1) ;2) ;3) Расстоянием между точками и пространства называется

длина вектора . Расстояние между точками и обозначим .

Тогда .

Теорема 9.2. Расстояние между точками пространства обладает следующими свойствами:

1) ; 2) ;

189

3) .Доказательство

1) ;

2) ;

3) . ■

Задачи

Доказать следующие утверждения, где и т. д. − произвольные точки пространства :

1. .2. .3. .4. .

§ 9.2. Аффинные множества

В этом параграфе в пространстве определим аффинные множества таким образом, чтобы в пространстве каждое аффинное множество являлось либо прямой, либо плоскостью. Для этого надо сформулировать такие свойства этих множеств в пространстве , которыми обладают только они, а затем принять эти свойства в качестве определения аффинного множества в пространстве .

Если вектор параллелен прямой или плоскости , то найдется такая пара точек , принадлежащих , что . Вектор параллелен , если вектор параллелен множеству и . Отметим еще одно свойство прямых и плоскостей в пространстве . Если вектор , параллельный прямой или плоскости , отложить от точки этого множества: , то конец вектора будет принадлежать множеству . Эти два свойства прямой и плоскости возьмем в качестве определения аффинного множества.

Пусть – подмножество точек пространства Вектор называется параллельным множеству , если найдется такая пара точек из множества , что . Из этого определения следует, что вектор , где и – точки из множества , параллелен . Множество всех векторов пространства , которые параллельны множеству , обозначим символом . Будем говорить, что множество проходит параллельно вектору , если вектор параллелен этому множеству. Подмножество пространства называется аффинным, если оно обладает следующими свойствами:

190

1. Если вектор , параллельный аффинному множеству , отложить от некоторой точки множества : , то конец этого вектора также принадлежит , т. е. , , C D 2. Если параллелен , то вектор параллелен множеству при любом .

Примеры1. Множество , состоящее из одной точки , является аффинным

множеством.Решение. Имеется только один вектор , параллельный

множеству . Отсюда следует, что обладает свойством 1 и 2, так как . 2. Множество , совпадающее со всем пространством является

аффинным множеством. Первое и второе свойство определения аффинных множеств

выполняются, так как все точки пространства принадлежат множеству . ● Связи между аффинным множеством и множеством содержатся в следующей теореме. Теорема 9.3. Если точка принадлежит аффинному множеству , то справедливы следующие утверждения:

1) вектор , ; 2) точка 1. Необходимость. Отложим вектор от точки множества

: . Из 1-го свойства аффинных множеств следует N .Достаточность. Вектор , . Точка также

принадлежит множеству , поэтому вектор параллелен множеству т. е. .

2. Необходимость. Из условия следует, что оба конца вектора принадлежат множеству , а поэтому

Достаточность. Дано, что вектор , т. е. вектор параллелен множеству и отложен от точки этого множества. Из 1-го свойства аффинных множеств следует ■

Символом обозначим множество всех векторов пространства вида , где вектор фиксирован, а вектор “пробегает” все множество

. Утверждение: , будем обозначать символом . Теорема 9.4. Справедливы следующие утверждения:1) Если аффинное множество, то множество является

подпространством.2) Для каждой точки и подпространсва множество

является аффинным и .

191

3) Если точка принадлежит аффинному множеству , то .

Доказательство.1) Достаточно доказать, что если векторы принадлежат

множеству , то . Отложим вектор от точки : . Из первого своства аффинного множества следует . Теперь отложим вектор от точки : . Из первого своства аффинного множества следует . Наконец, . Так как точки и принадлежат множеству , то вектор принадлежит .

2) Из следующей цепочки равносильных утверждений вытекает, что множество совпадает с подпространством :

. Из равенства и следующей цепочки импликаций вытекает, что обладает первым свойством аффиных множеств: , , . Так как является подпространством, то выполняется второе условие определения аффинного множества. 3) Имея ввиду второе утверждение теоремы 9.3, получим следующую цепочку равносильных утверждений: ,из которой следует . ■ Подпространство называется направляющим подпространством аффинного множества . Направляющее подпространство играет значительную роль при изучении аффинных множеств. В следующей теореме с помощью направляющих подпространств решается вопрос о том, когда одно аффинное множество содержится в другом и когда они совпадают.

Теорема 9.5. Если аффинные множества и имеют общую точку М, то справедливы следующие утверждения:

1) ; 2) = .Доказательство. 1. Из третьего утверждения теоремы 9.4 следует,

что , . Теперь первое утверждение теоремы 9.5 вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

2. Доказательство этого утверждения использует первое утверждение

теоремы 9.5 и вытекает из цепочки равносильных утверждений:= , , ■

Задачи

192

9.1. Точка принадлежит пересечению аффинных множеств и . Доказать, что .

9.2. Доказать, что аффинное множество, содержащее две различные точки, содержит бесконечно много различных точек.

9.3. Дано аффинное множество в пространстве и матрица порядка . Доказать, что множество , состоящее из всех точек пространства для которых является аффинным множеством.

9.4. Дано множество в пространстве или , содержащее более одной точки. Доказать равносильность утверждений:

а) – аффинное множество;б) для каждых двух различных точек , из множества

прямая принадлежит множеству .9.5. Дано аффинное множество в . Доказать, что:

а) множество , содержащее различные точки и , содержит прямую, проходящую через эти точки;

б) множество , содержащее прямую и точку не принадлежащую , содержит плоскость, проходящую через точку и прямую ;

в) множество , содержащее плоскость и точку, не принадлежащую этой плоскости, совпадает с пространством .

9.6. Доказать, что каждое аффинное множество в пространстве совпадает с одним из следующих множеств: точка, прямая, плоскость и пространство . 9.7. Даны два аффинных множества и , причем . Доказать, что если множество содержит точку, которая не принадлежит множеству , то множества и не имеют общих точек.

§ 9.3. Задание аффинных множеств

Задание аффинного множества точкой и системой векторов

Пусть точка и векторы пространства . Обозначим через множество точек пространства , которые являются решениями уравнения

где произвольные числа. Замечание. Точка является решением этого уравнения, если можно подобрать такие числа что выполняется векторное равенство

. Так как равенство

193

справедливо, то точка принадлежит множеству .Теорема 9.6. Множество точек пространства

является аффинным множеством, проходящим через точку параллельно векторам , и его направляющее подпространство совпадает с линейной оболочкой , т.е. . Доказательство. Имеем следующую цепочку равносильных утверждений ,из которой вытекает, что . Теперь из теоремы 9.4 получаем, что – аффинное множество и его направляющее подпространство . Векторы принадлежат подпространству и, значит, параллельны множеству . Выше было установлено, что точка . ■

Свойство аффинного множества . Аффинное множество содержится в каждом

аффинном множестве , которое проходит через точку параллельно векторам .

Доказательство. Точка . Векторы принадлежат направляющему подпространству . Теперь из следствия к теореме 8.2 вытекает что . Наконец из теоремы 9.5 следует, что аффинное множество содержится во множестве . ♦

Задание аффинного множества системой линейных уравненийВектор называется перпендикулярным или нормальным аффинному

множеству , если . В этом случае будем также писать . Так как , то множество всех векторов, перпендикулярных аффинному

множеству совпадает с подпространством Точка пространства называется решением системы уравнений

, если .Теорема 9.7. Все решения совместной системы уравнений

образуют в пространстве аффинное множество , проходящее перпендикулярно векторам-строкам матрицы , и совпадает с подпространством решений однородной системы уравнений .

Доказательство. Обозначим через множество решений даннойсистемы уравнений и пусть – какое-нибудь решение системы , а

фундаментальный набор решений системы . Используя теорему 5.10, получим следующую цепочку равносильных утверждений

,

194

из которой вытекает, что . Теперь из теоремы 9.4 следует, что – аффинное множество, а . Так как

базис подпространства и подпространства решений однородной системы уравнений , то эти подпространства совпадают. Cистему уравнений запишем в векторно-скалярной форме: . (9.1)Теперь из теоремы 8.25 следует, что . Строки матрицы

принадлежат подпространству , поэтому они перпендикулярны аффинному множеству ■ Свойство аффинного множества решений системы уравненцй. Аффинное множество решений системы уравнений содержит каждое аффинное множество , которое проходит через точку перпендикулярно векторам-строкам матрицы . Доказательство. Точка . Докажем, что . Если вектор

, то , так как векторы перпендикулярны подпространству . Отсюда следует, что – решение системы уравнений ( 9.1) и, значит, системы , поэтому . Этим установлено, что . Из теоремы 9.5 следует . ♦

Описание способов перехода от одного задания аффинного множества к другому его заданию содержатся в нижеследующей теореме.

Теорема 9.8. Справедливы следующие утверждения.1. Если – аффинное множество решений системы , –

какое-нибудь решение этой системы, а фундаментальный набор решений системы , то .

2. Дано аффинное множество . Построим систему линейных уравнений , задающую подпространство . Тогда множество совпадает с множеством решений системы уравнений .

Доказательство.1. Обозначим через аффинное множество . Тогда точка

и . Из теоремы 9.5 следует совпадение аффинных множеств и .2. Обозначим множество решений системы символом . Тогда точка и , так как и совпадают с множеством решений системы уравнений . Из теоремы 9.5 следует совпадение аффинных множеств и .■.

ПримерСодержится ли аффинное множество ,

195

, в аффинном множестве решений системы уравнений

Решение. Аффинное множество будет содержаться в аффинном множестве , если оно проходит через точку параллельно векторам . Подстановка координат точки в систему уравнений вместо неизвестных приводит к верным числовым равенствам, т. е. . Подпространство задается системой уравнений

После подстановки координат векторов и вместо неизвестных в однородную систему уравнений получим верные числовые равенства. Следовательно, векторы и принадлежат подпространству , т.е. множество проходит параллельно векторам . ●

Задачи 9.8. Найти базис направляющего подпространства аффинного множества , заданного а) системой линейных уравнений

б) точкой и системой векторов , , , .

9.9 Принадлежат ли точки и множеству , если , , .

9.10. Выяснить, содержится ли аффинное множество в аффином множестве , если множество решений системы линейных уравнений , , ,

, где .

9.11. Доказать, что .9.12. Точка принадлежит аффинному множеству .

Доказать равенство . 9.13. Какую фигуру в пространствах или образуют точки

аффинного множества , если и различные точки?9.14. Какую фигуру в пространстве образуют точки аффинного

множества , если и неколлинеарные векторы

196

9.15. Векторы образуют базис направляющего подпространства аффинного множества . Доказать равенство

. 9.16. Аффинное множество проходит через точку параллельно векторам и содержится в каждом аффинном множестве, которое проходит через точку параллельно векторам . Доказать, что

. 9.17. Доказать, что аффинное множество содержит аффинные множества и

9.18. Аффинное множество содержит аффинные множества и . Доказать, что где

и направляющие подпространства соответственно аффинных множеств и 9.19. Доказать, что аффинное множество

содержится в каждом аффинном множестве , содержащем и

§ 9.4. Размерность аффинного множества

Размерностью аффинного множества называется число, равное размерности его направляющего подпространства . Размерность аффинного множества будем обозначать символом . Тогда

. Найдем размерности аффинных множеств, которые были

рассмотрены в параграфе 9.3.Теорема 9.9. Справедливы следующие утверждения:1. Размерность аффинного множества решений системы

линейных уравнений равна , где – число неизвестных в системе уравнений, а – ранг матрицы А. 2. Размерность аффинного множества равна рангу системы векторов

Доказательство 1. В рассматриваемом случае совпадает с подпространством

решений однородной системы линейных уравнений (теорема 9.7). Размерность этого подпространства равна .

3. Из теоремы 9.6 вытекает, что направляющим подпространством аффинного множества является подпространство а поэтому ■

197

Введенное определение размерности аффинного множества позволяет доказать еще одну полезную теорему о совпадении двух аффинных множеств.

Теорема 9.10. Аффинные множества и совпадают тогда и только тогда, когда и dim = dim .

Доказательство. Используя первое и второе утверждения теоремы 9.5 и теорему 8.9, имеем цепочку следующих равносильных утверждений:

= , , , dim = dim . ■

Задачи

9.20. Найти размерность аффинного множества а) заданного системой уравнений б) заданного точкой и системой векторов .

9.21. Выяснить, совпадает ли аффинное множество решений системы линейных уравнений

с аффинным множеством , где , , .

9.22. Даны точки , , . Задать аффинное множество, которое содержит эти точки и размерность которого равна: а) двум; б) трем.

9.23. Даны два аффинных множества и . Доказать следующие утверждения:

а) , если , , ;б) , , и , –

число неизвестных в системе уравнений , – ранг матрицы .9.24. Доказать, что если аффинное множество имеет размерность

1 , то оно содержит аффинное множество, размерность которого равна

9.25. Найти необходимое и достаточное условие, чтобы точки содержались в аффинном множестве, рамерность которого равна .

9.26. Даны аффинные множества и , размерности которых равны соответственно и . Доказать, что можно построить аффинное множество , которое содержит и , и:

а) ;б) , если и не имеют общих точек и .

§ 9.5. Уравнения аффинного множества

198

Уравнение фигурыГеометрической фигурой или просто фигурой в пространстве

будем называть множество точек этого пространства. Задать фигуру – значит указать, из каких точек пространства она состоит. Примером фигуры является аффинное множество. Одним из способов задания фигуры в пространстве является ее задание при помощи уравнения с n неизвестными. Произвольное уравнение с n неизвестными будем записывать в виде .

Уравнение называется уравнением фигуры Ф, если выполняются следующие два условия:

1) если точка принадлежит фигуре Ф, то координаты точки М являются решением уравнения , т. е. – верное числовое равенство;

2) если же n чисел являются решением уравнения , то точка , координатами которой служат числа , принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной форме выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры , если

решение уравнения .Из определения уравнения фигуры следует, что фигура состоит

только из тех точек пространства , координаты которых являются решениями уравнения , т. е. является множеством решений уравнения и, значит, уравнение фигуры задает эту фигуру. Отсюда следует, что если уравнение некоторой фигуры, то равносильное ему уравнение также будет уравнением той же самой фигуры. В дальнейшем будет дана фигура , и надо будет найти уравнение этой фигуры. Для решения этой задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1) задать фигуру геометрически, т. е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);

2) записать в координатах условие, приведенное в первом пункте.Примеры1. Уравнение окружности в пространстве . Окружность Ф с

центром в точке и радиусом R задается условием где расстояние между точками и .

Пусть точки и имеют соответственно координаты и . Тогда вышеприведенное условие в координатах имеет вид

. (9.2)

199

Это уравнение является уравнением окружности Ф. Возведем обе части уравнения (9.2) в квадрат и получим равносильное уравнение, которое называется каноническим уравнением окружности

.2. Уравнение сферы в пространстве . Сфера Ф с центром в точке

и радиусом задается условием Если координаты центра , а координаты

произвольной точки сферы, то вышеприведенное условие в координатах имеет вид

(9.3)

Это уравнение является уравнением сферы в пространстве . Возведя обе части уравнения (9.3) в квадрат, получим равносильное уравнение, которое называется каноническим уравнением сферы

3. Уравнение является уравнением аффинного множества .

Это утверждение вытекает из определения множества .

Параметрическое уравнение аффинного множестваУравнение

(9.4) называется параметрическим уравнением аффинного множества , если 1) уравнение (9.4) является уравнением аффинного множества ; 2) векторы линейно независимы. Из этого определения следует, что уравнение (9.4) является параметческим уравнением аффинного множества , если векторы линейно независимы.

Теорема 9.11. Справедливы следующие утверждения:1. Множество решений уравнения (9.4), где – линейно

независимая система векторов, является аффинным множеством размерности , проходящим через точку параллельно векторам .

2. Через точку параллельно линейно независимым векторам проходит единственное аффинное множества размерности и

уравнение (9.4) является параметрическим уравнением этого аффинного множества. Доказательство. 1. Множество в § 9.3 было обозначено символом . В теореме 9.6 было установлено, что оно является аффинным, проходит

200

через точку и параллельно векторам . Из теоремы 9.9 следует, что . 2. В пункте 1 было установлено, что множество имеет размерность , проходит через точку параллельно линейно незавсимым векторам . Так как векторы линейно независимы, то (9.4) – параметрическое уравнение аффинного множества

. Теперь для доказательства пункта 2 достаточно установить совпадение произвольного аффинного множества размерности , проходящего через точку параллельно векторам , и множества . Из свойства аффинного множества

следует, что . Так как размерности множеств и

совпадают, то из теоремы 9.10 следует совпадание множеств и . ■

Замечание. В параметрическом уравнении аффинного множества , имеющего размерность , линейно независимые векторы образуют базис подпространства . Действительно, так как

, то из теоремы 8.8 следует, что система векторов базис подпространства . ♦

Из второго утверждения теоремы 9.11 и замечания к этой теореме вытекает алгоритм построения параметрического уравнения аффинного множества .

1. Задать аффинное множество .2. Найти точку , принадлежащую аффинному множеству , и

базис направляющего подпространства .3. Написать параметрическое уравнение аффинного множества

Примеры1. Является ли уравнение параметрическим уравнением аффинного

множества

где , , ?Решение. Из теоремы 9.11 следует, что данное уравнение будет

параметрическим уравнением аффинного множества , если оно проходит через точку параллельно линейно независимым векторам и

.

201

Координаты точки являются решением системы уравнений, т. е. . Координаты векторов решения системы уравнений

значит, векторы принадлежат подпространству , т. е. множество параллельно векторам , которые линейно независимы. Базис подпространства содержит два вектора, поэтому . Следовательно, параметрическое уравнение множества .

2. Дано аффинное множество , где, , .

Напишите параметрическое уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и:

а) содержит точку ;б) вектор параллелен аффинному множеству . Решение:а) заметим, что линейно независимые векторы. Теперь

выясним, принадлежит ли точка аффинному множеству . Точка будет принадлежать множеству , если векторное уравнение

имеет решение или, на другом языке, вектор разлагается по векторам . Проверка показывает, что вектор не разлагается по векторам . Отсюда следует, что точка и что , линейно независимая система векторов. Полагаем . Множество является аффинным, имеет размерность равную трем (теорема 9.9) и содержит множество . Так как , то содержит точку , и уравнение

является параметрическим уравнением множества ; б) вектор не разлагается по линейно независимой системе векторов , а поэтому линейно независимые векторы. Пусть

, т. е. множество решений уравнения . Аффинное множество содержит множество , имеет размерность,

равную трем (теорема 9.9), вектор параллелен множеству (теорема 9.6). Уравнение параметрическое уравнение множества .

202

Задачи9.27. Аффинное множество

совпадает с множеством решений системы линейных уравнений

Написать параметрическое уравнение аффинного множества .

9.28. Дано аффинное множество , которое содержит точку (2,3,1,1) и направляющее подпространство которого задается системой уравнений

Найти параметрическое уравнение аффинного множества . 9.29. Написать параметрическое уравнение аффинного множества,

которое содержит точки и имеет размерность, равную двум.9.30. Аффинное множество задано системой уравнений

Напишите параметрическое уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и

а) содержит точку ,б) вектор параллелен множеству .9.31. Доказать, что уравнение будет параметрическим

уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда точка и базис подпространства .

9.32. Доказать, что если уравнение аффинного множества , то общее решение системы уравнений в векторной форме параметрическое уравнение множества .

Общее уравнение аффинного множества в пространстве Система уравнений называется общим уравнением аффинного

множества , если 1) уравнение аффинного множества ; 2) строки матрицы линейно независимые векторы.

Теорема 9.12. Справедливы следующие утверждения: 1. Множество решений системы уравнений

203

где линейно независимые векторы, является аффинным множеством размерности и векторы перпендикулярны . 2. Через точку перпендикулярно линейно независимым векторам

проходит единственное аффинное множество размерности и его общее уравнение имеет вид

(9.5)

Доказательство. 1. Из теоремы 9.7 следует, что является аффинным множеством и

векторы перпендикулярны . Так как является множеством решений системы уравнений, то из теоремы 9.9 следует, что

.2. Обозначим символом множество решений системы уравнений

(9.5). Из пункта 1 теоремы следует, что аффинное множество размерности , которое проходит перпендикулярно линейно независимым векторам . Точка является решением системы (9.5), поэтому

. Итак, уравнение (9.5) является общим уравнением аффинного множества .

Теперь для доказательства пункта 2 достаточно установить совпадение произвольного аффинного множества размерности , проходящего через точку перпендикулярно векторам

, и множества . Размерности множеств и равны. Из свойства аффинного множества решений системы уравнений следует, что . Теперь, из теоремы 9.10 следует совпадение множеств и . ■

Замечание. В общем уравнении аффинного множества , имеющего размерность, линейно независимые векторы образуют базис подпространства .

Действительно, так как , то из теоремы 8.8 следует, что базис подпространства . ♦

Из второго утверждения теоремы 9.12 и замечания к этой теореме вытекает алгоритм построения общего уравнения аффинного множества .

1. Задать аффинное множество .2. Найти точку и базис

подпространства . 3. Написать общее уравнение аффинного множества

Пример

204

Аффинное множество задано параметрическим уравнением , где , , .

Напишите общее уравнение аффинного множества . Решение. Чтобы написать общее уравнение множества достаточнознать координаты точки, принадлежащей , и базис подпространства . Из замечания к теореме 9.11 следует, что векторы и – базис направляющего подпространства , поэтому . Следовательно, подпространство задается системой уравнений (теорема 8.21)

Векторы 1 (1,1,1,0,0) ,

2 (0,1,0, 1,0) , 3 (1,1,0,0, 1) образуют

фундаментальный набор решений однородной системы уравнений, т. е. образуют базис подпространства . Теперь система уравнений , , (9.6) является общим уравнением множества . Так как

, ,то система уравнений (9.6) в координатной форме имеет вид , , .

Задачи 9.33. Найти общее уравнение аффинного множества, заданного системой уравнений: а) б)

9.34. Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит точку и

направляющее подпространство L которого совпадает с множеством решений системы уравнений

9.35. Дано аффинное множество . Напишите общее уравнение множества : а) ; б) .

9.36. Аффинное множество 0 задано системой уравнений

Напишите общее уравнение аффинного множества , которое содержит множество 0 , имеет размерности три и:

а) содержит точку ;б) вектор параллелен множеству .

205

9.37. Если A уравнение аффинного множество , то общим уравнением этого множества является общее решение B системы линейных уравнений ,A полученное методом Гаусса.

§ 9.6. Прямые, гиперплоскости и полупространства

В этом разделе рассматриваются наиболее важные для приложений множества: прямые, гиперплоскости и полупространства.

Прямые в пространстве Прямой в пространстве называется аффинное множество,

размерность которого равна единице. Ненулевой вектор , параллельный прямой

, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой принадлежит подпространству . Это подпространство одномерно и направляющий вектор является его базисом. Отсюда следует, что каждые два направляющих вектора прямой пропорциональны. Теорема 9.13. Справедливы следующие утверждения: 1) Множество решений уравнения , является прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

2) Через точку параллельно вектору проходит единственная прямая и , параметрическое уравнение этой прямой. 3) Множество решений системы уравнений

где линейно независимые векторы, является прямой, проходящей

перпендикулярно векторам .

4) Через точку перпендикулярно линейно независимым векторам проходит единственная прямая, и ее общее уравнение имеет вид

Доказательство следует из теорем 9.11 и 9.12, в формулировке

которых .■

206

Через каждые две точки в пространствах и можно

провести только одну прямую. Это утверждение справедливо и в пространстве .

Теорема 9.14. Пусть и различные точки пространства . Тогда совокупность всех таких точек пространства

, для которых является единственной прямой в пространстве , проходящей через точки и

. Доказательство. Множество содержит точки и : точку получаем при значении , а точку – при значении . Из теоремы 9.13 следует, что через точку параллельно вектору проходит единственная прямая и ее параметрическое уравнение. Из цепочки равносильных утверждений вытекает совпадение множеств и .■

Множество точек называется отрезком в пространстве . Отрезок содержит точки и : точку

получаем при значении , а точку – при значении . Точки и называются концами отрезка . Точка , принадлежащая

отрезку и не совпадающая с его концами, называется внутренней точкой этого отрезка. Очевидно, что отрезок является подмножеством прямой, проходящей через точки и .

В пространстве прямая и плоскость либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо все точки прямой принадлежат плоскости. Обобщением этого утверждения является следующая теорема. Теорема 9.15. Прямая и аффинное множество в пространстве либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо все точки прямой принадлежат аффинному множеству.

Доказательство. Зададим прямую параметрическим уравнением , а аффинное множество – системой линейных уравнений

. Общие точки прямой и аффинного множества являются решениями системы

.Эта система уравнений имеет столько решений, сколько их имеет

уравнение или уравнение

. (9.7)

207

Возможны два случая: 1) и 2) .В первом случае уравнение (9.7) имеет единственное решение, если

векторы и пропорциональны, и не имеет решения в противном случае.

Во втором случае уравнение (9.7) не имеет решений, если .

Если же , то уравнение (9.7) имеет решение при любом значении Итак, уравнение (9.7) или не имеет ни одного решения, или имеет одно решение, или имеет решение при любом значении . Отсюда следует утверждение теоремы. ■

Примеры1. Даны точки

Выяснить, пересекаются ли отрезки и Решение. Напишем уравнения отрезков и

Эти отрезки имеют общую точку тогда и только тогда, когда имеет

решение система уравнений

(9.8)

Коэффициентами разложения вектора по векторам и являются числа: Так

как значение не принадлежит , то отрезки и не пересекаются.

2. Аффинное множество задано системой линейных уравнений

Написать уравнение прямой, не имеющей общих точек с множеством Решение. Как следует из теоремы 9.15, прямая не имеет

общих точек с аффинным множеством если и т. е. вектор является решением уравнения , а точка не является решением уравнения .

Вектор решение уравнения а точка не является решением уравнения . Следовательно, прямая

или не имеет общих точек с множеством ●

Задачи 9.38. Написать уравнение прямой, проходящей

208

а) через точку параллельно вектору ; б) через две точки и ; в) через точку перпендикулярно векторам ,

.9.39. Найти параметрическое уравнение прямой, принадлежащей

аффинному множеству, заданному уравнением 9.40. Написать параметрическое уравнение аффинного множества, содержащего две параллельные прямые , и имеющего размерность два, если , , . 9.41. Доказать, что две пересекающиеся прямые в пространстве содержатся в двумерном аффинном множестве.

9.42. Даны параметрические уравнения прямых , .Построить аффинное множество наименьшей размерности, содержащее эти прямые. 9.43. Написать параметрическое уравнение прямой, которая пересекает прямую , , , в точке, отличной от точки . 9.44. Доказать, что наименьшая размерность аффинного множества, проходящего через прямые, которые не пересекаются и направляющие векторы которых не пропорциональны, равна трем. 9.45. Доказать, что множество в пространстве будет аффинным, если оно содержит каждую прямую, проходящую через две различные точки из множества . 9.46. Задать две прямые, которые не содержатся в двумерном аффинном множестве. 9.47. Прямая и аффинное множество имеют общую точку. Направляющий вектор прямой принадлежит подпространству L . Доказать, что прямая содержится в аффинном множестве

9.48. Даны прямые и и их направляющие векторы не пропорциональны. Доказать, что

а) прямые не пересекаются тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы;

б) прямые имеют единственную общую точку тогда и только тогда, когда вектор разлагаатся по векторам и ;

в) прямые не могут совпадать.

Гиперплоскости в пространстве Аффинное множество в пространстве , размерность которого

равна , называется гиперплоскостью.

209

В пространстве прямые являются гиперплоскостями. В самом деле, размерность направляющего подпространства прямой равна единице. Следовательно, где

В пространстве плоскости являются гиперплоскостями. Действительно, размерность направляющего подпространства плоскости равна двум. Отсюда где . Теорема 9.16. В пространстве справедливы утверждения: 1) Множество решений уравнения

,

где линейно независимые вектора, является гиперплоскостью, проходящей через точку параллельно векторам . 2) Через точку параллельно линейно независимым векторам

проходит единственная гиперплоскость и

параметрическое уравнение этой гиперплоскости. 3) Множество решений уравнения , где , является уравнением гиперплоскости, которая перпендикулярна вектору . 4) Через точку перпендикулярно ненулевому вектору проходит единственная гиперплоскость и ее общее уравнение. Доказательство следует из теорем 9.11 и 9.12, в формулировке которых . ■

Ненулевой вектор , перпендикулярный гиперплоскости, называется нормальным вектором гиперплоскости. Так как и , то . Отсюда следует, что два нормальных вектора одной гиперплоскости пропорциональны.

Задачи

9.49. Найти точку пересечения гиперплоскости и прямой, проходящей через точку параллельно вектору . 9.50. Написать параметрическое уравнение гиперплоскости, которая а) задана уравнением ; б) проходит через точки . 9.51. Написать общее уравнение гиперплоскости, которая а) задана параметрическим уравнением , где

; б) проходит через точки

. 9.52. Доказать, что каждая прямая является пересечением конечного числа гиперплоскостей.

210

9.53. Доказать, что гиперплоскости и совпадают тогда и только тогда, когда они имеют общую точку и . 9.54. Доказать, что гиперплоскости и не имеют общих точек тогда и только тогда, когда , а векторы и не коллинеарные. 9.55. Доказать, что пересечение двух гиперплоскостей в пространстве

, , не является прямой. 9.56. Доказать, что прямая и гиперплоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда и . 9.57. Доказать, что каждое аффинное множество размерности можно задать как пересечение гиперплоскостей. 9.58. Доказать, что уравнение гиперплоскости , проходящей через точку имеет вид , где базис подпространства . 9.59. Точка принадлежит гиперплоскости , вектор

перпендикулярен . Доказать, что – уравнение

гиперплоскости .Полупространства пространства

Точка называетя проекцией точки на гиперплоскость , если и .

Теорема 9.17. В пространстве существует единственная проекция точки на гиперплоскость , и .

Доказательство. Рассмотрим прямую и покажем, что она пересекает гиперплоскость в единственной точке , которая является проекцией точки на гиперплоскость .Чтобы найти точки пересечения прямой и гиперплоскости , надо найти все решения системы уравнений

.

Имеем

,

т. е. система уравнений имеет единственное решение. После подстановки найденного значения в правую часть уравнения прямой получим точку

, которая принадлежит гиперплоскости. Так как точка принадлежит прямой , то . Отсюда или и, значит,

и . Пусть теперь и – две проекции точки на гиперплоскость . Докажем, что . Так как и , то векторы и являются нормальными векторами гиперплоскости, поэтому ,

. Из следующей цепочки импликаций вытекает, что :

211

. . Следовательно, . ■

Пусть дана гиперплоскость и – нормальный вектор этой гиперплоскости. Все точки пространства , не принадлежащие гиперплоскости, разобьем на два множества и , которые будем называть полупространствами: полупространству принадлежат

все точки М пространства , для которых векторы и одинаково (противоположно) направлены, где – проекция точки на гиперплоскость , т. е.

, .Заметим, что каждая точка пространства , не принадлежащая ,

попадает либо во множество , либо во множество . Действительно, если – проекция на гиперплоскость , то согласно следствию к теореме 9.17 векторы и коллинеарны. Следовательно, либо

, либо , а поэтому или , или . Теорема 9.18. Каждая гиперплоскость , заданная уравнением

, разбивает пространство на два полупространства и , причем точки полупространства являются решениями неравенства

, а точки полупространства – решениями неравенства

Доказательство. Пусть точка не принадлежит гиперплоскости , а – ее проекция на эту гиперплоскость. Тогда (9.9)

Из условия (9.9) и равенства имеем

. (9.10)

Используя равенство (9.10) и условия , получим

,

. ■ Расстоянием от точки до гиперплоскости называется расстояние от точки до ее проекции на гиперплоскость .

Следствие. Расстояние от точки до гиперплоскости , заданной уравнением находится по формуле

Доказательство. Из формулы (9.10) следует, что

.

212

Теперь из этого равенства, учитывая, что

находим расстояние от точки до гиперплоскости

Теорема 9.19. Дано уравнение гиперплоскости, которая разбивает пространство на два полупространства. Справедливы следующие утверждения:

1. Если точки и лежат в одном полупространстве, то все точки отрезка находится в том же полупространстве.

2. Если точки и лежат в разных полупространствах, то отрезок имеет единственную общую точку с гиперплоскостью.

Доказательство1. Предположим, что точки и лежат в полупространстве ,

т. е. , (9.11)

. (9.12)Если − произвольная точка интервала , то она удовлет-

воряет условию . Умножим неравенство (9.11) на число , а неравенство (9.12) на число и сложим полученные неравенства

,

т. е. произвольная точка интервала лежит в одном полупространстве с точками и .

Доказательство в случае, когда точки и лежат в полупространстве , проводится аналогично.

2. Так как точки и лежат в разных полупространствах, то , (9.13)

. (9.14)Умножим неравенство (9.13) на число

− (9.15) и сложим неравенства (9.14) и (9.15). После этого получаем

(9.16)

Найдем точку пересечения прямой , c гиперплоскостью . Имеем

.

213

Точка пресечения прямой с гиперплоскостью будет лежать на отрезке , если параметр принадлежит интервалу т. е. Из

условий (9.14) и (9.16) следует, что . Докажем, что . Предположим противное. Тогда, ввиду неравенства (9.16), имеем

,

что противоречит условию (9.13). ■

Задачи9.60. Выяснить, пересекает ли гиперплоскость

отрезок, ограниченный точками и . 9.61. Доказать, что аффинное множество, не имеющее общих точек с

гиперплоскостью, находится в одном полупространстве относительно гиперплоскости.

9.62. Написать уравнение аффинного множества размерности 3, расположенного в одном полупространстве относительно гиперплоскости

1 2 3 4 52 3 4x x x x x .9.63. Дана гиперплоскость и аффинное множество . Доказать, что

содержится в одном полупространстве относительно гиперплоскости тогда и только тогда, когда и аффинное множество 1 содержит точку, не принадлежащую .

§ 9.7. Прямые, плоскости и полупространства в

пространствах и

Параметрическое уравнение прямой в пространствах Т иТ и плоскости в пространстве Т

В пространствах Т и Т справедливы следующие два утверждения. 1) Множество решений уравнения , является прямой,проходящей через точку параллельно вектору . 2)Через точку параллельно вектору проходит единственная прямая и , параметрическое уравнение этой прямой.

Доказательство следует из теоремы 9.13. ■ В пространстве Т справедливы следующие два утверждения. 3) Множество решений уравнения

= + + ,

где вектора , линейно независимы, является плоскостью, проходящей через точку параллельно векторам и . 4) Через точку параллельно линейно независимым векторам и проходит единственная плоскость и = + +

214

параметрическое уравнение этой плоскости.Доказательство следует из теоремы 9.16 при . ■

Примеры1. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку М(−2;5)

параллельно прямой : . Решение. Коэффициенты при параметре t являются координатами

вектора , параллельного прямой и, значит, прямой l. Теперь параметрическое уравнение l имеет вид . 2. Найти точку пересечения прямых

.312

,28

ty

tx

Решение. Пусть точка является пересечением прямых. Тогда ее координаты − решение уравнения каждой прямой

Итак, точка имеет координаты . 3. Даны вершины треугольника: и . Составить

параметрическое уравнение биссектрисы угла .Решение. Биссектриса проходит через точку . Чтобы

написать ее уравнение, достаточно найти координаты направляющего вектора биссектрисы. Вектор будем искать в виде: +

Коэффициенты и найдем из условия равенства косинусов углов между векторами и . Находим координаты векторов ,

а затем найдем скалярные произведения , , . Теперь имеем следующую цепочку импликаций:

− ) = 0 ( + )( − ) = 0

+ ( − = 0 Полагая получим .

Параметрическое уравнение биссектрисы угла имеет вид: .

4. Найти координаты точки которая симметрична точке (4;1;6) относительно прямой, проходящей через точки (−3;5;1) и (1;1;3).

Решение. Прямая проходит через точки и . Ее направляющий вектор коллинеарен вектору = (4;−4;2). Тогда направляющий вектор прямой . Теперь параметрическое уравнение прямой будет иметь вид .

Пусть координаты точки Точка −

середина отрезка и, значит, принадлежит прямой . Отсюда следует, что ее координаты являются решениями уравнения прямой

215

Так как точки и симметричны относительно прямой, то вектор

перпендикулярен прямой . Отсюда вытекает следующая цепочка импликаций:

прямой

Итак, координаты точки : 5. Доказать, что в пространстве прямые : = + и : =

+ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда , , = 0.

Решение вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений: прямые и лежат в плоскости векторы , ,

отложенные от точки лежат в плоскости векторы , ,

линейно зависимы 6. Написать параметрическое уравнение плоскости, проходящей через

точки (2;−1;2) и (1;0;1) параллельно прямой .Решение. Чтобы написать параметрическое уравнение плоскости,

надо знать координаты точки, принадлежащей плоскости, и координаты пары неколлинеарных векторов, параллельных плоскости.

В качестве точки, принадлежащей плоскости можно взять любую из точек . Так как эти точки принадлежат плоскости, то вектор

параллелен плоскости, т. е. вектор = =(−1;1;−1) параллелен плоскости. Вектор параллелен данной прямой и, значит, параллелен искомой плоскости. Векторы и – неколлинеарные векторы, так как координаты этих векторов не пропорциональны. Теперь параметрическое уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

= + + ,или в координатной форме

.7. Написать уравнение плоскости, в которой лежит каждая прямая

: : .Решение. Выясним сначала, лежат ли прямые и в одной

плоскости. Прямая проходит через точку (−2;0;1) параллельно вектору

, а прямая проходит через точку (3;1;7) параллельно вектору . Из примера 5 следует, что прямые и лежат в одной

плоскости тогда и только тогда, когда . Так как = (5;1;1), то

216

Итак, прямые и лежат в одной плоскости.Напишем параметрическое уравнение плоскости , которая проходит

через прямые и . Точка принадлежит плоскости , а векторы и параллельны плоскости и линейно независимые. Искомое уравнение плоскости имеет вид

8. Написать параметрическое уравнение прямой , перпендикулярной каждой из двух прямых : , : ,и пересекающей каждую из прямых .

Решение. Вектор и параллельны соответственно прямым прямой . Обозначим через направляющий вектор искомой прямой l. По условию прямая l перпендикулярна и прямой , и прямой . Отсюда вытекает

Полагаем координату = 1, а затем найдем значения координат и

: =2, . Следовательно, вектор имеет координаты: . Параметрическое уравнение прямой l имеет вид

,где координаты точки, принадлежащей прямой l. В условии дано, что прямая l должна пересекать прямые и . Отсюда следует, что прямые l и , а также прямые l и лежат в одной плоскости. Теперь, используя задачу 5, имеем

= 0, = 0.

Вычислим определители и после упрощений получим систему уравнений

Полагая в этой системе найдем значения координат и : = 1, . Параметрическое уравнение прямой l имеет вид

.

Задачи9.64. Выяснить, принадлежат ли прямой точки

и .

217

9.65. Даны точки (0;4) и (3;−1). Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (1;2) параллельно прямой MN.

9.66. Найти координаты точки пересечения прямых и

9.67. Найти проекцию точки на прямую, проходящую через точки и .

9.68. Составить параметрическое уравнение прямой, равноудаленной от параллельных прямых

9.69. Написать параметрическое уравнение прямых, которые делят

пополам углы, образованные двумя пересекающимися прямымиа) б)

9.70. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (2;−5;3) перпендикулярно прямой и пересекающей ее.

9.71. Найти точку пересечения прямых , .

9.72. Написать параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точку ( параллельно плоскости .

9.73. Составить параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точки и параллельно прямой

.9.74. Известны координаты вершин тетраэдра: А(0;0;2), B(3;0;5),

C(1;1;0) и D(4;1;2). Найти параметрические уравнения его граней и .9.75. Написать параметрическое уравнение плоскости, которая

проходит через две параллельные прямые , .

9.76. Составить параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точку и прямую .

Общее уравнение прямой в пространствах и и плоскости в пространстве

1. Множество решений уравнения является прямой в пространстве (плоскостью в пространстве ), которая перпендикулярна вектору .

Доказательство следует из теорем ы 9.16.

218

2. Если прямая в пространстве (плоскость в пространстве ) проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору , то уравнение (9.17)является общим уравнением прямой в пространстве (плоскости в пространстве ).

Доказательство следует из теоремы 9.16.Записывая уравнение (9.17) в координатах, получим, что

если прямая проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору , то ее общее уравнение имеет вид ;

если плоскость проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору, то ее общее уравнение имеет вид

3. Если прямая в пространстве проходит через точку

перпендикулярно линейно независимым векторам , то система уравнений

(9.18)

является ее общим уравнением. Доказательство следует из теоремы 9.13 при .4. Прямая , заданная уравнением (9.18) является пересечением

непараллельных плоскостей и , которые заданы соответственно уравнениями , .

Доказательство утверждения вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

.

Примеры1. Написать общее уравнение прямой l, проходящей через точку

параллельно прямой : Решение. Вектор перпендикулярен прямой . Так как

прямые и l параллельны, то вектор перпендикулярен прямой . Итак, уравнение прямой имеет вид или

2. Даны уравнения двух сторон и треугольника и . Написать уравнение стороны треугольника, если его

высоты пересекаются в точке .Решение. Точка − пересечение сторон и треугольника,

поэтому координаты точки решение системы уравнений .

219

Так как − точка пресечения высот треугольника, то вектор = (1;6) перпендикулярен стороне . Чтобы написать уравнение этой

стороны, достаточно найти координаты точки .Сначала найдем уравнение высоты Вектор

перпендикулярен стороне и, значит, параллелен высоте . Точка лежит на высоте . Теперь можно написать параметрическое уравнение высоты :

. Точка − пересечение стороны и высоты

Итак, сторона проходит через точку перпендикулярно вектору = . Следовательно, общее уравнение стороны имеет вид

3. Написать параметрическое уравнение плоскости, если ее общее уравнение имеет вид . Решение. Чтобы написать параметрическое уравнение плоскости, надо найти точку, принадлежащую плоскости, и базис , ее направляющего подпространства, т. е. найти фундаментальный набор решений уравнения

. ФНР этого уравнения состоит из двух векторов: и , а точка (3;0;0) принадлежит плоскости. Параметрическое уравнение плоскости в векторной форме имеет вид , а в

координатной форме . 4. Найти общее уравнение плоскости , которая проходит через точки

и перпендикулярно плоскости Решение. Вектор перпендикулярен плоскости

и, значит, параллелен плоскости . Точки и лежат в плоскости и, значит, вектор параллелен плоскости . Параметрическое

уравнение плоскости имеет вид . Чтобы построить общее уравнение плоскости, найдем ее нормальный вектор , который перпендикулярен направляющему подпространству и, значит, является решением системы уравнений

Фундаментальный набор решений этой системы уравнений состоит из одного вектора . Так как плоскость проходит через точку , то ее общее уравнение в векторной форме имеет вид и в координатной форме .

5. Найти параметрическое уравнение прямой , если известно ее общее уравнение

220

Решение. Методом Гаусса найдем решение системы уравнений и базис направляющего подпространства , т. е. фундаментальный набор однородной системы уравнений

состоящий из одного вектора . Параметрическое уравнение прямой в векторной форме имеет вид = + или в координатной форме

.6. Найти проекцию точки на плоскость Решение. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно плоскости. Нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой. Следовательно, параметрическое уравнение этой прямой имеет вид

. Проекция точки на плоскость совпадает с пересечением прямой и плоскости и имеет координаты .

7. Найти общее уравнение плоскости, если известно ее параметрическое уравнение .

Решение. Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид , где , , .

Чтобы построить общее уравнение плоскости, найдем ее нормальный вектор , который образует фундаментальный набор решений (ФНР) системы уравнений

ФНР этой системы уравнений . Общее уравнение плоскости в векторной форме имеет вид и в координатной форме

.

Задачи9.77. Найти общее уравнение прямой, проходящей на одинаковых

расстояниях от точек и . 9.78. Даны вершины треугольника , и . Написать общее уравнения его высоты .

9.79. В прямоугольнике даны уравнения стороны и диагонали . Написать общие уравнения других сторон прямоугольника, если точка одна из его вершин.

9.80. Уравнения , и являются соответственно уравнениями сторон треугольника , и . Написать общее уравнение его высоты .

221

9.81. Найти координаты точки, которая симметрична точке относительно прямой .

9.82. Составить общее уравнение плоскости, проходящей на одинаковых расстояниях от точек и .

9.83. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

9.84. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки , и перпендикулярно плоскости .

9.85. Составить параметрическое уравнение прямой

9.86. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

9.87. Найти общее уравнение прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку параллельно плоскости

.9.88. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно плоскости .9.89. Найти координаты точки, которая симметрична точке

относительно плоскости .9.90. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку

перпендикулярно прямой . 9.91. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку

перпендикулярно прямой и пересекающей ее.

Полупространства в пространствах и Пусть дана прямая (плоскость) в пространстве (в пространстве

) и – нормальный вектор этой прямой (плоскости). Все точки пространства (пространства ), не принадлежащие прямой (плоскости), разобьем на два множества и . Полупространству принадлежат все точки М пространства (пространства ), для которых векторы и одинаково направлены, где – проекция точки на прямую (плоскость) , т. е.

.

Полупространству принадлежат все точки М пространства

(пространства ), для которых векторы и противоположно направлены, где – проекция точки на прямую (плоскость) , т. е.

.Заметим, каждая точка пространства (пространства ), не

принадлежащая , попадает либо во множество , либо во множество .

222

Действительно, если – проекция на прямую (плоскость) , то векторы и коллинеарны. Следовательно, либо , либо

.1. Каждая прямая (плоскость) , заданная уравнением ,

разбивает пространство (пространство ) на два полупространства и , причем точки полупространства являются решениями

неравенства , а точки полупространства – решениями неравенства

Доказательство следует из теоремы 9.18.2. Расстояние от точки до прямой (плоскости) ,

заданной уравнением , находится по формуле

Доказательство вытекает из следствия к теореме 9.18.

Примеры1. Выяснить, лежат ли точки и в одном, смежном или

в вертикальных углах, образованных при пересечении плоскостей и , заданных соответственно уравнениями , .

Решение. Точка является решением неравенства , а точка решение неравенства . Следовательно, точки и

лежат в разных полупространствах относительно плоскости . Точки и решения неравенства и, значит, точки и находятся в одном полупространстве относительно плоскости . Итак, точки и лежат в смежных углах, образованных при пересечении плоскостей и .

2. Написать общее уравнение плоскости , относительно которой точки находятся в одном полупространстве.

Решение. Векторы линейно независимые и образуют базис направляющего подпространства . Нормальный вектор

плоскости перпендикулярен векторам и , и является

решением системы уравнений . Ее фундаментальный набор

решений содержит один вектор . Плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору . Следовательно, общее уравнение этой плоскости в векторной форме имеет вид и в координатной форме

.

223

Координаты точек B и C являются решениями этого уравнения. Теперь уравнение является уравнением плоскости, относительно которой точки , ,A B C находятся в одном полупространстве, которое задается неравенством .

3. Написать уравнение плоскости , находящейся на расстоянии от плоскости .

Решение. Пусть ( ; )M x y − произвольная точка плоскости . Тогда,

используя следствие к теореме 2.21, будем иметь

Задачи9.92. Дана прямая . При каких значениях и точки

и : a) принадлежат одному полупространству, б) находятся в разных полупространствах.

9.93. Стороны треугольника заданы уравнениями: , , . При каких значениях точка лежит:

a) внутри треугольника; б) вне треугольника. 9.94. Определить, при каких значениях точки и

лежат в смежных углах, образованных при пересечении прямых , .

9.95. Определить, при каких значениях p точки и лежат в вертикальных углах, образованных при пересечении прямых и .

9.96. Выяснить, пересекает ли плоскость отрезок, ограниченный точками и .

9.97. Написать уравнение плоскости, делящей пополам двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями: и .

9.98. Написать уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя пересекающимися плоскостями

, , в котором находится точка .9.99. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями

, .9.100. Длина ребра куба равна 4 и – уравнение одной

из его граней. Написать уравнение параллельной грани куба, если точка A

(3;1;1) находится внутри куба.9.101. Написать уравнение плоскости, относительно которой точки

, , находятся в одном полупространстве с точкой .

224

225