ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Γραμμικά Κυκλώματα β’ τάξης

Διδακτικές σημειώσεις για το μάθημα

Εισαγωγή στα Κυκλώματα

του 2ου εξαμήνου

Ιάκωβος Στ. Βενιέρης

Καθηγητής Ε.Μ.Π

Αθήνα, 2003

2/30

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ας ΤΑΞΗΣ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναπτύχθηκαν τεχνικές για τον υπολογισμό των

αποκρίσεων γραμμικών κυκλωμάτων 1ης τάξης με ή χωρίς σταθερές πηγές. Στο

κεφάλαιο αυτό, επεκτείνονται οι τεχνικές και στην περίπτωση κυκλωμάτων 2ας

τάξης. Συχνά, αλλά όχι πάντα, ένα κύκλωμα 2ας τάξης περιλαμβάνει δύο δυναμικά

στοιχεία, τα οποία μπορεί να είναι (L,C), (C,C) ή (L,L). Τα κυκλώματα 2ας τάξης

χαρακτηρίζονται από 2ας τάξης διαφορικές εξισώσεις. Σε αντίθεση με τα κυκλώματα

1ης τάξης, των οποίων η απόκριση χωρίς διέγερση αποτελείται μόνο από

πραγματικούς εκθετικούς όρους, τα κυκλώματα 2ας τάξης έχουν απόκριση ποικίλων

κυματομορφών όπως εκθετικών, ταλαντώσεων, εκθετικά αποσβεννυμένων

ταλαντώσεων, εκθετικά αυξανομένων ταλαντώσεων κ.ά. Ο μετασχηματισμός

Laplace, τον οποίο θα εξετάσουμε σε επόμενο κεφάλαιο, αποτελεί το γενικό εργαλείο

που χρησιμοποιείται για την μελέτη κυκλωμάτων 2ας τάξης, με τυχαίες αρχικές

συνθήκες και τυχαίες διεγέρσεις. Για κυκλώματα 2ας τάξης χωρίς πηγές ή με

σταθερές πηγές, μερικές επεκτάσεις των τεχνικών που χρησιμοποιήθηκαν για 1ης

τάξης κυκλώματα είναι ικανές να δώσουν τις ζητούμενες αποκρίσεις. Η μελέτη των

κυκλωμάτων 2ας τάξης ξεκινά με την παρουσίαση ενός απλού κυκλώματος

ταλάντωσης.

2. ΕΚΦΟΡΤΙΣΗ ΠΥΚΝΩΤΗ ΜΕΣΩ ΠΗΝΙΟΥ

Όπως δείξαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, ένας φορτισμένος πυκνωτής

συνδεδεμένος παράλληλα με έναν αντιστάτη, έχει μία τάση η οποία μειώνεται

εκθετικά στο μηδέν. Ο πυκνωτής εκφορτίζεται και η αποθηκευμένη του ενέργεια

καταναλώνεται ως θερμότητα στον αντιστάτη. Στη συνέχεια εξετάζουμε την

περίπτωση όπου ο αντιστάτης αντικαθίσταται από ένα πηνίο.

C L+vc_

+vL

_

B iLic

Vo+vc_

C

BA

L

(a) (ß)

δ

Σχήμα 1. (α) φόρτιση, (β) εκφόρτιση πυκνωτή μέσω πηνίου

3/30

Στο σχήμα 1 ο διακόπτης δ μετακινείται στην θέση Β τη χρονική στιγμή t=0. Το κύκλωμα για 0t ≥ διαμορφώνεται όπως στο σχήμα 1(β). Στη συνέχεια θα καθορίσουμε μία έκφραση για την τάση του πυκνωτή ( )cv t στο 0t ≥ . Οι σχέσεις v-i για L και C και οι νόμοι NPK και ΝΤΚ δίνουν:

Ci

Ci

dtdv LCC −

== 1(α) Lv

Lv

dtdi CLL == 1(β)

Σε μορφή μητρών έχουμε:

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ldtdidt

dv

L

C

10

⎥⎥

⎦

⎤−

0

1C ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

L

C

iv

1(γ)

Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης καλείται εξίσωση κατάστασης του

κυκλώματος. Οι άγνωστοι vC, iL καλούνται μεταβλητές κατάστασης. Η διαφορική

εξίσωση 2ας τάξης του κυκλώματος προκύπτει ως εξής:

Παραγώγιση της (1α) dtdi

Cdtvd LC 12

2

−= .

Αντικαθιστούμε την (1β) στην (1α) και έχουμε CC v

LCdtvd 12

2

−= (2).

Στην εξίσωση (2) απαιτείται η δεύτερης τάξης παράγωγος της μεταβλητής να είναι

ίση με τη μεταβλητή πολλαπλασιασμένη με μία αρνητική σταθερά. Ακόμα κι αν δεν

υπάρχει η απαιτούμενη γνώση σε διαφορικές εξισώσεις η λύση της (2) μπορεί να

προκύψει απλά, αρκεί να θυμηθούμε τις ιδιότητες διαφόρισης των ημιτονοειδών

συναρτήσεων:

)cos()sin( ttdtd ωωω = και )sin()cos( tt

dtd ωωω −=

)cos()cos( 22

2

θωωθω +−=+tdtd και )sin()sin( 2

2

2

θωωθω +−=+tdtd

Αμφότερες οι συναρτήσεις συνημιτόνου και ημιτόνου έχουν την επιθυμητή ιδιότητα:

Η παράγωγος δευτέρας τάξης της συνάρτησης είναι ίση με τη συνάρτηση

πολλαπλασιασμένη επί μία αρνητική σταθερά. Κατά συνέπεια είναι εύλογο να

συμπεράνουμε ότι η λύση της (2) έχει την γενική μορφή:

4/30

)sin()cos()cos()( tBttKtvC ωωθω +Α=+= (3)

Η παράγωγος της )(tvC είναι

)sin()( θωω +−= tKtv΄C (4)

και με διαφόριση της (4) έχουμε

CC vK

dtvd 222

2

)cos( ωθωω −=+−= .

Με εξίσωση των συντελεστών της CC v

LCdtvd 12

2

−= και της (5) έχουμε

2 1LC

ω = ή 1LC

ω = (6)

Απομένει να καθορίσουμε τις σταθερές Κ, θ (ή Α και Β) της εξίσωσης (3). Αυτές

εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες ως εξής: Όταν ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση

Α η τιμή της τάσης του πυκνωτή είναι oC Vv =− )0( και το ρεύμα του πηνίου είναι

0)0( =−Li . Μόλις ο διακόπτης πάει στη θέση Β (t= 0+ ) η τάση του πυκνωτή και το

ρεύμα του πηνίου δεν μεταβάλλονται, δηλαδή oC Vv =+ )0( και 0)0( =+Li . Η αρχική

τιμή της παραγώγου της τάσης του πυκνωτή )0(' +Cv υπολογίζεται από την (1α) ως

εξής:

0)0()0()0(' =−

==++

+

Ci

Civ LC

C .

Η (3) και (4) στο t= 0+ δίνουν:

θcos0 KV = (7α) και θω sin0 Κ= (7β)

και 0V=Κ , 0=θ .

Άρα η λύση της )(tvC είναι

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= t

LCVtvC

1cos)( 0 (8).

Παρατηρήσεις

• Η απόκριση τάσης και ρεύματος του κυκλώματος LC χωρίς πηγή του

σχήματος 1 είναι ημιτονοειδείς κυματομορφές με γωνιακή συχνότητα ίση με

1 LC . Επειδή η ημιτονοειδής ταλάντωση παραμένει σταθερή το κύκλωμα

λέγεται μη αποσβεννυμένο. Η γωνιακή συχνότητα 1 LCω = καλείται

συχνότητα μη αποσβεννυμένης ταλάντωσης.

5/30

• Η συχνότητα ημιτονοειδούς ταλάντωσης εξαρτάται μόνο από τις τιμές L, C,

ενώ το εύρος Κ και η φάση θ εξαρτώνται από τα L, C και τις αρχικές τιμές της

τάσης του πυκνωτή και του ρεύματος πηνίου.

• Παρόλο που η ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή και στο πηνίο

μεταβάλλεται με τον χρόνο το άθροισμά τους παραμένει σταθερό. Υπάρχει

δηλαδή μία συνεχής μεταφορά μεταξύ της ενέργειας που είναι αποθηκευμένη

στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου και αυτής που είναι αποθηκευμένη στο

ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή.

Στο σχήμα 1, εικονίζεται το απλούστερο κύκλωμα το οποίο παράγει ημιτονοειδείς

κυματομορφές. Το ηλεκτρονικό κύκλωμα που παράγει ημιτονοειδείς κυματομορφές

καλείται κύκλωμα ταλάντωσης. Στην πραγματικότητα η εκφόρτιση ενός πυκνωτή

μέσω ενός πηνίου δεν παράγει αμιγείς ημιτονοειδείς ταλαντώσεις, αλλά ημιτονοειδείς

κυματομορφές με προοδευτικά μειούμενα εύρη. Ο λόγος είναι ότι το πηνίο έχει μία

μικρή αντίσταση εν σειρά και ο πυκνωτής μία μεγάλη αντίσταση παράλληλα. Το

σχήμα 2 εικονίζει το πραγματικό μοντέλο κυκλώματος, όπου 1R έχει μία μικρή τιμή

και 2R μία μεγάλη τιμή. Αφού και οι δύο αντιστάτες καταναλώνουν ενέργεια, η

συνολική ενέργεια στο μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο φθίνει συνοδευόμενη με μία

σταδιακή μείωση του εύρους ταλάντωσης.

C L+vc_

iLic

R2

+vL

_

R1

Σχήμα 2. Πραγματικό μοντέλο κυκλώματος.

3. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ας ΤΑΞΗΣ ΧΩΡΙΣ ΠΗΓΗ

Αν όλες οι ανεξάρτητες πηγές ενός κυκλώματος 2ας τάξης είναι μηδενισμένες, το

κύκλωμα καλείται κύκλωμα χωρίς πηγή. Τα κυκλώματα χωρίς πηγή περιγράφονται

με μία εκ των επομένων δύο εξισώσεων, όπου τα x είναι συνήθως οι τάσεις των

πυκνωτών ή τα ρεύματα των πηνίων.

α. Εξισώσεις κατάστασης

111 1 12 2

dx a x a xdt

= + (9)

6/30

221 1 22 2

dx a x a xdt

= +

β. Διαφορική εξίσωση 2ας τάξης 2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + = (10)

Η σταθερά σ καλείται σταθερά απόσβεσης και η σταθερά nω κυκλική συχνότητα

συντονισμού. Τα σχετικά μεγέθη των σ και nω καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της

κυματομορφής απόκρισης, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Για ένα γενικευμένο

κύκλωμα 2ας τάξης χωρίς πηγή, η διαφορική εξίσωση (10) προκύπτει αφού αρχικά

γράψουμε τις εξισώσεις κατάστασης (9). Για απλά κυκλώματα, η διαφορική εξίσωση

2ας τάξης μπορεί να γραφτεί κατευθείαν χωρίς να περάσουμε από τις εξισώσεις

κατάστασης. Το παράδειγμα 1 αναφέρεται σε αυτήν την περίπτωση.

Παράδειγμα 1

Για τα εν σειρά και παράλληλα κυκλώματα RLC του σχήματος 3 να γραφτεί

η διαφορική εξίσωση 2ας τάξης και να ευρεθούν οι σταθερές nω και σ σε

παραμέτρους του κυκλώματος.

C

R L

I

(a)

CR L

A

+v_

(ß) Σχήμα 3. (α) Εν σειρά κύκλωμα RLC (β) Παράλληλο κύκλωμα RLC

(1) Καθορισμός της διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης του κυκλώματος 3(α)

Με ΝΤΚ στο βρόχο I έχουμε: ∫ ∞−=++

tzdzi

CdtdiLRi 0)()(1 .

Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε: 02

2

=++Ci

dtiLd

dtdiR .

Διαιρώντας με L : 012

2

=++ iLCdt

diLR

dtid (11)

(2) Καθορισμός παραμέτρων x(t), σ, nω της εξίσωσης (10)

7/30

22

2 2 0nd x dx xdt dt

σ ω+ + = (10)

x(t)=i(t), 1n LC

ω = , 0.5RL

σ =

(3) Καθορισμός της διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης του κυκλώματος 3(β)

Με ΝΡΚ στον κόμβο Α έχουμε:

∫ ∞−=++

tzdzv

LdtdvC

Rv 0)()(1

Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε:

012

2

=++Lv

dtvdC

dtdv

R

Διαιρώντας με C :

0112

2

=++ vLCdt

dvRCdt

vd (12)

(4) Καθορισμός παραμέτρων x(t), σ, nω της εξίσωσης (10)

22

2 2 0nd x dx xdt dt

σ ω+ + = (10)

x(t)=v(t), 1n LC

ω = , 0.5RC

σ =

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ας ΤΑΞΗΣ

Η μέθοδος εύρεσης λύσης της διαφορικής εξίσωσης (10) περιλαμβάνει τα ακόλουθα

βήματα

1 Καθορισμός της διαφορικής εξίσωσης του κυκλώματος.

2 Καθορισμός της χαρακτηριστικής εξίσωσης από την διαφορική εξίσωση και

εύρεση των ριζών της.

3 Καθορισμός της γενικής μορφής της λύσης από τη φύση (πραγματικοί ή

μιγαδικοί) των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η λύση περιέχει δύο

άγνωστες παραμέτρους.

4 Υπολογισμός των άγνωστων παραμέτρων από τις αρχικές τιμές του

κυκλώματος

Για να δείξουμε μία αρχική εφαρμογή της μεθόδου, υποθέτουμε ότι στην (10) 2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + = έχουμε σ=0. Η γενική λύση έχει τη μορφή μίας ημιτονοειδούς

8/30

ή συνημιτονοειδούς συναρτήσεως όπως δίνεται από την εξίσωση (3)

cos( ) cos( ) sin( )x K A t B tω ϑ ω ω= + = + με άγνωστες παραμέτρους Κ, θ. Όταν το

σ≠ 0, η μορφή της λύσης δεν είναι συγκεκριμένη. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία

των κυκλωμάτων 1ης τάξης, θεωρούμε μία λύση της μορφής : stKetx =)( (13)

και καθορίζουμε τις τιμές του s. Αντικαθιστώντας την (13) στην (10) έχουμε

0)2(2 2222 =++=++ nstst

nstst ssKeKeeKseKs ωσωσ .

Στην γενική περίπτωση Κ≠ 0, ενώ ste είναι πάντα διάφορο του μηδενός. Κατά

συνέπεια για να αποτελεί η (13) λύση της διαφορικής εξίσωσης πρέπει 2 22 0ns sσ ω+ + = .

Οι ρίζες της (14) είνα 2 21 ns σ σ ω= − + − και 2 2

2 ns σ σ ω= − − − (15).

Η εξίσωση 2 22 0ns sσ ω+ + = είναι η χαρακτηριστική εξίσωση του γραμμικού

κυκλώματος 2ας τάξης. Οι ρίζες της καλούνται φυσικές συχνότητες του κυκλώματος.

Από τη στοιχειώδη άλγεβρα είναι γνωστό ότι η εξίσωση (14) μπορεί να έχει

δύο πραγματικές ρίζες, δύο επαναλαμβανόμενες πραγματικές ρίζες ή δύο συζυγείς

μιγαδικές ρίζες, ανάλογα αν η διακρίνουσα είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη του

μηδενός. Η λύση της (10) συνοψίζεται στις επόμενες τρεις περιπτώσεις 2 2( 4 4 )nσ ωΔ = −

2 22 0ns sσ ω+ + = (14)

Περίπτωση 1 Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες 2 2nσ ω⟩

Αν οι ρίζες είναι πραγματικές και διακεκριμένες, τότε για τυχαίες σταθερές Κ1, Κ2

αμφότερες οι tseKtxtx 1

11 )()( == και tseKtx 222 )( =

ικανοποιούν την (10). Η (10) είναι γραμμική ομογενής διαφορική εξίσωση κι ως εκ

τούτου το άθροισμα 1 2( ) ( ) ( )x t x t x t= + είναι επίσης λύση. Κατά συνέπεια η πιο γενική

λύση της (14) είναι tsts eKeKtx 21

21)( += (16)

όπου 1 2s s≠ και 1 2,s s είναι πραγματικοί. Οι τυχαίες σταθερές Κ1, Κ2 εξαρτώνται από

τις αρχικές συνθήκες του κυκλώματος. Τέτοια απόκριση καλείται

υπεραποσβεννυμένη.

9/30

Περίπτωση 2 Μιγαδικές διακεκριμένες ρίζες 2 2nσ ω⟨

Οι μιγαδικές ρίζες της (14) δίνονται από τις σχέσεις

2 21,2 n ds j jσ ω σ σ ω= − ± − = − ± (17)

όπου

2 2d nω ω σ= − (18)

καλείται συχνότητα απόσβεσης του κυκλώματος. Αφού 1 2,s s είναι συζυγείς μιγαδικοί,

το ίδιο συμβαίνει για τους tse 1 και tse 2 στη (16). Για να είναι x(t) πραγματικός πρέπει

οι σταθερές Κ1, Κ2 να είναι επίσης συζυγείς μιγαδικοί. Δηλαδή Κ1=Κ2*. Με χρήση

της σχέσης του Euler yjye jy sincos += έχουμε ( ) ( ) =+=+= −−+− tjtjtsts dd eKeKeKeKts ωσωσ

212121)(

[ ] [ ]=−++= −− )sin()cos()sin()cos( 2211 tjKtKetjKtKe ddt

ddt ωωωω σσ

[ ])sin()cos( tBtAe ddt ωωσ += −

όπου οι Α = Κ1+Κ2 και Β = j Κ1-jΚ2 είναι δύο πραγματικοί αριθμοί. Κατά συνέπεια,

όταν οι φυσικές συχνότητες του κυκλώματος είναι μιγαδικοί αριθμοί, η γενική λύση

έχει μορφή:

[ ] )cos()sin()cos()( θωωω σσ +=+= −− tKetBtAetx dt

ddt (19)

όπου

22 BAK += και )(tan 1

AB−

= −θ

Η απόκριση είναι αποσβεννυμένη ημιτονοειδής και το κύκλωμα λέγεται

υποασβεννυμένο. Σημειώνεται ότι στην (19) η γωνιακή συχνότητα είναι dω αντί

nω και η ταλάντωση περιορίζεται από τον φάκελο tKe σ−±

Περίπτωση 3 Πραγματικές, μη διακεκριμένες ρίζες 2 2nσ ω=

Στην περίπτωση αυτή οι δύο ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι ίσες και η

γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δεν δίνεται από την (16). Η γενική λύση έχει

τη μορφή teBtAtx σ−+= )()( (20).

Η απόκριση λέγεται κριτικά αποσβεννυμένη.

10/30

Αποδεικνύουμε ότι η (20) αποτελεί λύση της διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης (10)

όταν 2 2nσ ω=

( )t tdx e B A Bt edt

σ σσ− −= − +

22

2 ( )t t td x e B e A Bt e Bdt

σ σ σσ σ σ− − −= − + + −

2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + = =>

0)()(22)( 22 ==++−+−++− −−−−−− tttttt eBtABtAeBeBeBtAeBe σσσσσσ σσσσσσ

Στο σχήμα 4 εικονίζονται οι κυματομορφές των εξισώσεων (3) (μη αποσβεννυμένη

ταλάντωση), (19) (υποαποσβεννυμένη ταλάντωση) και πιθανές κυματομορφές των

εξισώσεων (16) (υπεραποσβεννυμένη ταλάντωση) και (20) (κριτικά αποσβεννυμένη

ταλάντωση).

Σχήμα 4. Πιθανές κυματομορφές για διαφόρους βαθμούς απόσβεσης

(α) Μη αποσβεννυμένη ταλάντωση

(β) Υπο-απόσβεση (γ) Υπερ-απόσβεση

(δ) Κριτικά αποσβεννυμένη ταλάντωση.

11/30

Η απόκριση ενός μη αποσβεννυμένου γραμμικού συστήματος 2ας τάξης είναι

ημιτονοειδής κυματομορφή σταθερού εύρους. Η απόσβεση μειώνει το εύρος της

ταλάντωσης και προκαλείται από στοιχεία του συστήματος, τα οποία καταναλώνουν

ενέργεια. Στα ηλεκτρικά κυκλώματα, η παρουσία του αντιστάτη, προκαλεί το

φαινόμενο της απόσβεσης. Όταν η ποσότητα της απόσβεσης είναι τόση όση

χρειάζεται για να εμποδίσει την ταλάντωση το σύστημα είναι κριτικά

αποσβεννυμένο. Λιγότερη απόσβεση αντιστοιχεί στο υποαποσβεννυμένο σύστημα,

στο οποίο η ταλάντωση υπάρχει αλλά προοδευτικά φθίνει. Μεγαλύτερη απόσβεση

αντιστοιχεί στο υπεραποσβεννυμένο σύστημα, όπου η κυματομορφή δεν είναι

ταλάντωση.

Ο πίνακας 1 συνοψίζει τις γενικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης.

ΠΙΝΑΚΑΣ 1. ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΠΗΓΗ 2ας ΤΑΞΗΣ

Γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης 2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + =

η οποία έχει χαρακτηριστική εξίσωση 2 21 22 ( )( ) 0nx x s s s sσ ω+ + = − − =

όπου 2 21,2 ns σ σ ω= − ± −

Περίπτωση 1 Πραγματικές, διακεκριμένες ρίζες ( 2 2nσ ω⟩ ) υπεραποσβεννυμένη

απόκριση tsts BeAetx 21)( +=

Περίπτωση 2 Μιγαδικές, διακεκριμένες ρίζες ( 2 2nσ ω⟨ ) υποαποσβεννυμένη απόκριση

[ ] )cos()sin()cos()( θωωω σσ +=+= −− tKetBtAetx dt

ddt

όπου 1,2 ds jσ ω= − ± και 2 2d nω ω σ= −

Περίπτωση 3 Πραγματικές, ταυτόσημες ρίζες ( 2 2nσ ω= ) κριτικά αποσβεννυμένη

απόκριση ( )( ) tx t A Bt e σ−= +

Αφού βρεθούν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης και επιλεγεί η έκφραση της

γενικής λύσης από τον Πίνακα 1, απομένει να προσδιοριστούν οι δύο άγνωστες

σταθερές. Αυτό επιτυγχάνεται με βάση τις τιμές των '(0) (0)x xκαι . Αφού η x(t)

παριστάνει την τάση πυκνωτή ή το ρεύμα πηνίου, η αρχική της τιμή (0)x ή δίνεται ή

12/30

προσδιορίζεται από την ιστορία του κυκλώματος. Από την άλλη πλευρά, η τιμή του ' (0)x είναι άγνωστη. Εν γένει πρέπει να υπολογιστεί ή από τις εξισώσεις κατάστασης

του κυκλώματος ή από το κύκλωμα. Αν )()( tvtx C= τότε C

ivx CC

)0()0()0(' '+

++ ==

και αν )()( titx L= τότε L

vix LL

)0()0()0(' '+

++ == . Κατά συνέπεια το πρόβλημα

εύρεσης των ' (0 )x + ανάγεται στην εύρεση των αρχικών τιμών του ρεύματος του

πυκνωτή και της τάσης του πηνίου. Αφού οι αρχικές τιμές )0( +Cv και )0( +

Li είναι

γνωστές, μπορούμε να χειρισθούμε τον πυκνωτή σαν μία ανεξάρτητη πηγή τάσης

τιμής )0( +Cv και το πηνίο σαν μία ανεξάρτητη πηγή ρεύματος )0( +

Li . Το κύκλωμά

μας εκφυλίζεται σε ένα κύκλωμα αντιστάσεων, όπου οι τιμές των )0( +Ci και )0( +

Lv

μπορούν να προσδιοριστούν εύκολα με τις συνηθισμένες μεθόδους ανάλυσης

κυκλωμάτων με αντιστάσεις. Αφού βρεθούν οι τιμές των )0( +Ci και )0( +

Lv

επιλύουμε ένα σύστημα 2 εξισώσεων, το οποίο μας δίνει τις τιμές των παραμέτρων Α

και Β.

Παράδειγμα 2

Ο διακόπτης δ βρίσκεται για πολύ χρόνο στη θέση Α. Τη χρονική στιγμή t=0

μετακινείται στη θέση Β. Να βρεθεί η )(tvC για 0t ≥ για τις εξής τιμές της

αντίστασης R2: 02 =R , 2 180R = Ω , 2 405R = Ω

10VR

+vc(0+)_

iL(0+)=0

ic(0+)

C=1µF

L

I

(ß)

R+vc_

10mH

A B10 2010mH

R2

R1L+vc_

C=1µF10V

(a)

δ Ω Ω

(γ)

Σχήμα 5 (α) φόρτιση πυκνωτή στο 0t ≤ , (β) κύκλωμα για 0t⟩ ,

(γ) κύκλωμα στο 0t +=

13/30

Για 0t⟩ το ισοδύναμο κύκλωμα εμφανίζεται στο σχήμα 5(β) με 1 2R R R= + . Στο

κύκλωμα αυτό υπολογίζουμε τη διαφορική εξίσωση 2ας τάξης. Με ΝΤΚ έχουμε

0)( =++ tvRidtdiL C

επίσης dt

dvCti C=)( αντικαθιστούμε και διαιρούμε με LC

012

2

=++ CCC v

LCdtdv

LR

dtvd (21)

συγκρίνοντας την (21) με την 2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + = (10) έχουμε

41 10secnradLCω = = και ( )2

0.5 50 20R RL

σ = = + .

(1) 2 0R = : Έχουμε R=20Ω, 310 nσ ω= ⟨ άρα οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης

είναι μιγαδικοί. Η απόκριση είναι υποαποσβεννυμένη. Από τον πίνακα 1, η απόκριση

έχει την μορφή

[ ])sin()cos()( tBtAetv ddt

C ωωσ += − (22)

με 2 2 9,950d nω ω σ= − = rad/sec.

Προσδιορίζω τις σταθερές Α, Β της (22). Για 0t = έχουμε:

Ισχύει AvC =+ )0( (23α)

και με παραγώγιση της (22) BAv dC ωσ +−=+ )0(' (23β)

Αφού ο διακόπτης δ ήταν στη θέση Α για μεγάλο χρονικό διάστημα, το κύκλωμα είχε

φθάσει στη μόνιμη κατάσταση πριν ο διακόπτης μετακινηθεί στη θέση Β. Δηλαδή

VvC 10)0( =− και 0)0( =−Li . Η τάση του πυκνωτή και το ρεύμα του πηνίου δεν

μπορεί να αλλάξει στιγμιαία, άρα Vvv CC 10)0()0( == −+ και

0)0()0( == −+LL ii .

Όμως 0)0()0()0(' ===++

+

Ci

Civ LC

C . Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (23) έχουμε

Α=10 και VABd

005,1==ωσ

[ ])950,9sin(005,1)950,9cos(10)( 1000 ttetv tC +=

Vte ot )7,5950,9cos(05,10 1000 += − (24)

14/30

(2) 2 180R = Ω : Αν 2 180R = Ω τότε 4200 10 nR σ ω= Ω = = . Η χαρακτηριστική

εξίσωση έχει ταυτόσημες, πραγματικές ρίζες. Η απόκριση είναι κριτικά

αποσβεννυμένη. Από τον πίνακα 1, η απόκριση έχει τη μορφή t

C eBtAtv σ−+= )()( (25)

Προσδιορίζω τις σταθερές Α, Β. Για t=0 έχουμε AvC =+ )0( (26)

και με παραγώγιση της (25) BAvC +−=+ σ)0(' (27)

Όπως και πριν ισχύει Vvv CC 10)0()0( == −+ και 0)0()0()0(' ===++

+

Ci

Civ LC

C

Αντικαθιστώντας στις (26) και (27) παίρνουμε

Α=10V, 510B A Vσ= = και

Vettv tC

4104 )101(10)( −+=

(3) Ω= 4052R : Έχουμε Ω= 425R και σ=21 4250 10 nω⟩ = . Η χαρακτηριστική

εξίσωση έχει διακεκριμένες χαρακτηριστικές ρίζες

1875021250100002125021250 222,1 js ±−=−±−=

Η απόκριση είναι υπεραποσβεννυμένη και έχει γενική μορφή tt

C BeAetv 400002500)( −− += (29)

Ισχύει BAvC +=+ )0( (30α)

και BAvC 400002500)0(' −−=+ (30β)

Όπως και πριν Vvv CC 10)0()0( == −+ και 0)0()0()0(' ===++

+

Ci

Civ LC

C

Αντικαθιστώντας στις (30) έχουμε

Α=10,667 και Β=-0,667 και

Veetv ttC

000,40500,2 667,0667,10)( −− −= (31)

4. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2ας ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ

Όταν στο κύκλωμα υπάρχουν ανεξάρτητες πηγές, οι εξισώσεις του κυκλώματος

είναι ίδιες όπως όταν δεν υπάρχουν πηγές, εκτός από έναν όρο που προστίθεται στο

15/30

δεξιό μέρος, ο οποίος δείχνει την επίδραση των διεγέρσεων. Τέτοια κυκλώματα

περιγράφονται με μία εκ των δύο εξισώσεων που ακολουθούν

α. Εξισώσεις κατάστασης

)(12121111 tuxaxa

dtdx

++=

(32)

)(22221212 tuxaxa

dtdx

++=

β. Διαφορική εξίσωση 2ας τάξης 2

22 2 ( )n

d x dx x f tdt dt

σ ω+ + = (33)

όπου )(1 tu και )(2 tu είναι αθροίσματα των διεγέρσεων και f(t) άθροισμα των

εισόδων και των παραγώγων τους.

Η λύση της (33) για τυχαίες εισόδους και αρχικές συνθήκες προκύπτει

καλλίτερα με τη μέθοδο μετασχηματισμού Laplace, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Για

την ειδική περίπτωση σταθερών εισόδων, η λύση μπορεί να προκύψει εύκολα όπως

στην περίπτωση που δεν έχουμε πηγές. Με σταθερές εισόδους η f(t) στο δεξιό μέρος

της (33) είναι μία σταθερά την οποία συμβολίζουμε με F. Οι εκφράσεις του πίνακα 1

αφορούν ομογενή διαφορική εξίσωση (10). Η γενική λύση της (33) προκύπτει

προσθέτοντας μία σταθερά Xf στις εκφράσεις του πίνακα 1. Η μορφή λοιπόν της

γενικής λύσης της (33) είναι

fn Xtxtx += )()( (34)

όπου ( )nx t η ( )x t του πίνακα 1. Απομένει να καθορίσουμε τις Α, Β και Xf. Η Xf

μπορεί να υπολογισθεί με μία από τις δύο μεθόδους που ακολουθούν

Μέθοδος 1 Η fn Xtxtx += )()( τοποθετείται στην (33) με f(t)=F

FXtxdt

tdxdt

txdfnnn

nn =+++ 222

2

)()(2)( ωωσ

Ισχύει από την ομογενή (10) 2

22

( ) ( )2 ( ) 0n nn n

d x t dx t x tdt dt

σ ω+ + = , άρα

2n

fFXω

=

16/30

Μέθοδος 2 Αφού η σταθερά x(t)=σταθερά=Xf ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση, η Xf

παριστάνει σταθερή τάση πυκνωτή ή σταθερό ρεύμα πηνίου, τα οποία ικανοποιούν

τους ΝΤΚ και ΝΡΚ και τη χαρακτηριστική v-i του στοιχείου. Όταν ο πυκνωτής έχει

σταθερή τάση το ρεύμα του είναι μηδενικό, και όταν το πηνίο έχει σταθερό ρεύμα η

τάση του είναι μηδενική. Κατά συνέπεια η Xf είναι η κατάλληλη τιμή της τάσης

πυκνωτή ή του ρεύματος του πηνίου, η οποία υπολογίζεται όταν ο πυκνωτής είναι

ανοιχτοκύκλωμα και το πηνίο βραχυκύκλωμα.

Αφού βρεθεί η Xf, οι A, B υπολογίζονται κατά τα γνωστά.

Παράδειγμα 3

Να ευρεθεί η τάση )(tvC στα άκρα του πυκνωτή. Θεωρούμε ότι η τάση εισόδου είναι

μοναδιαία βηματική συνάρτηση. Επίσης R=0,2Ω, R=2Ω, R=4,25Ω.

R 1H

iL(t)u(t)V 1F+vc(t)_

Σχήμα 6. Εν σειρά κύκλωμα RLC με βηματική τάση εισόδου.

Με ΝΤΚ έχουμε 12

2

=++ CCC v

dtdvR

dtvd , ισχύει

dtdv

dtdvCi CC

L == με χαρακτηριστική

εξίσωση ( )( )21 21 0s Rs s s s s+ + = − − = .

Συγκρίνοντας με τον πίνακα 1 έχουμε ωn=1, σ=0.5R και F=1.

R=0.2Ω: η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται:

012,01 22 =++=++ ssRss , οι ρίζες είναι μιγαδικές

995,01,02,1 js ±−= και από τον πίνακα 1 έχουμε

[ ] ft

C XtBtAetv ++= − )995,0sin()995,0cos()( 1,0 (35)

Για τον προσδιορισμό της Χf χρησιμοποιούμε τη μέθοδο 2. Ανοιχτοκυκλώνοντας τον

πυκνωτή και βραχυκυκλώνοντας το πηνίο έχουμε VvX Cf 1== . Για να καθορίσουμε

τις Α, Β χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες. Η πηγή τάσης είναι βηματική με

17/30

μηδενική τιμή για t<0. Κατά συνέπεια στο 0t −= όλη η ενέργεια που πιθανά είχε

αποθηκευτεί στα L, C έχει δαπανηθεί στην R. Δηλαδή 0)0( =−Cv και 0)0( =−

Li .

Κατά συνέπεια 0)0()0( == −+CC vv και 0)0()0( == −+

LL ii .

Από το σχήμα 6 έχουμε dt

tdvdt

tdvCtiti CCCL

)()()()( === άρα 0)0(' =+Cv αφού

0)0( =+Li . Υπολογίζοντας την τιμή της (35) και της παραγώγου της στο 0t +=

έχουμε

Α+1=0 (36α)

-0,14+0,995Β=0 (36β).

Το σύστημα των εξισώσεων δίνει Α=-1 και Β=-0,1005. Η λύση της )(tvC για t>0

είναι:

[ ]Vte

ttetvot

tC

1)3,174995.0cos(005,1

1)995,0sin(1005,0)995,0cos()(1,0

1,0

++=

=+−−=−

−

(37)

R=2Ω: Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ταυτόσημες,

δηλαδή η απόκριση του κυκλώματος είναι κριτικά αποσβεννυμένη. Από τον πίνακα 1

η γενική μορφή της απόκρισης είναι

ft

C XeBtAtv ++= −σ)()( (38)

όπου fX =1 όπως στην προηγούμενη περίπτωση και σ=0,5R=1.

Υπολογίζοντας την τιμή της (38) και της παραγώγου της στο 0t += έχουμε

1)0( +=+ AvC (39α)

BAvC +−=+ σ)0(' (39β)

Επίσης 0)0( =+Cv και 0)0(' =+

Cv όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Επιλύοντας

το σύστημα ως προς Α και Β βρίσκουμε Α=-1 και Β=-1. Η λύση της )(tvC για t>0

είναι

Vettv tC 1)1()( ++−= − (40)

R=4.25Ω Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και

διακεκριμένες.

1,2 2.125 2.125 1 2.125 1.875s = − ± − = − ±

18/30

Η απόκριση είναι υπεραπόσβεση. Από τον πίνακα 1 η γενική μορφή της απόκρισης

είναι

ftt

C XBeAetv ++= −− 425,0)( (41)

όπου fX =1, όπως πριν . Υπολογίζοντας την τιμή της (41) και της παραγώγου της στο

0t += έχουμε

1)0( ++=+ BAvC (42α)

BAvC 425,0)0(' −−=+ (42β)

Εξισώνοντας με 0)0( =+Cv και 0)0(' =+

Cv έχουμε από την επίλυση του συστήματος

ως προς Α και Β, Α=-1,0667 και Β=0,0667. Η λύση της )(tvC για t>0 είναι

Veetv ttC 100667,00667,1)( 425,0 ++−= −− (43)

5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗΣ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 2ας ΤΑΞΗΣ

Τα παραδείγματα κυκλωμάτων 2ας τάξης των προηγούμενων κεφαλαίων ήταν

μάλλον απλά κι ως εκ τούτου η εύρεση της εξίσωσης (10) ή (33) σχετικά εύκολη. Τα

γενικευμένα κυκλώματα 2ας τάξης απαιτούν μία πιο συστηματική μέθοδο για την

κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης. Στο παρόν κεφάλαιο

παρουσιάζουμε μία τέτοια μέθοδο για γενικευμένα κυκλώματα 2ας τάξης που

περιλαμβάνουν δύο πηνία ή δυο πυκνωτές ή ένα πηνίο και ένα πυκνωτή. Η μέθοδος

έχει δύο στάδια:

Στάδιο 1.Εύρεση εξισώσεων κατάστασης, δηλαδή δύο διαφορικών εξισώσεων 1ης

τάξης, όπου οι άγνωστοι είναι οι τάσεις των πυκνωτών και/ή τα ρεύματα

των πηνίων.

Στάδιο 2. Εξάλειψη της μη ζητούμενης μεταβλητής από τις εξισώσεις κατάστασης.

Εύρεση εξισώσεων κατάστασης.

Εξετάζουμε τις εξισώσεις (9) και (32). Οι εξισώσεις κατάστασης περιέχουν μόνο

τάσεις πυκνωτών, ρεύματα πηνίων, τις παραγώγους τους και τις εισόδους. Το πρώτο

βήμα για την εύρεση των εξισώσεων κατάστασης είναι οι σχέσεις v-i για τα C και/ή

L. Η τάση του πυκνωτή Cv και το ρεύμα πηνίου Li παίρνονται ως μεταβλητές

19/30

κατάστασης. Το ρεύμα του πυκνωτή Ci και η τάση του πηνίου Lv είναι μη

ζητούμενες μεταβλητές που πρέπει να εξαλειφθούν. Η εξάλειψη γίνεται βρίσκοντας

εκφράσεις για τα Ci και Lv συναρτήσει των Cv , Li και των εισόδων. Αυτό είναι το

δεύτερο βήμα. Στο τρίτο βήμα, αντικαθιστούμε τις εκφράσεις των Ci και Lv στις

εξισώσεις του πρώτου βήματος. Για να βρούμε εκφράσεις για τα Ci και Lv στο

δεύτερο βήμα, οι Cv και Li θεωρούνται γνωστές ποσότητες. Αντικαθιστούμε τον

πυκνωτή με μία ανεξάρτητη πηγή τάσης με τιμή Cv και το πηνίο με μία ανεξάρτητη

πηγή ρεύματος τιμής Li . Το απομένον κύκλωμα είναι ένα γραμμικό κύκλωμα

αντιστάσεων με πολλαπλές πηγές. Το κύκλωμα επιλύεται με τους γνωστούς τρόπους

ως προς Ci και Lv . Το επόμενο παράδειγμα δείχνει μία εφαρμογή της μεθόδου.

Παράδειγμα 4

Να βρεθούν οι εξισώσεις κατάστασης του κυκλώματος.

12

2+vc_1/3 FVin

(a)

3H

+ vL -

iL iC

12

2+vc_

Vin

(ß)

+ vL -

iLiC

iRA

Ω

Ω Ω

Ω

Σχήμα 7 (α) ΚύκλωμαRLC, (β) ενδιάμεσο γραμμικό κύκλωμα αντιστάσεων για την

εύρεση των εκφράσεων των Ci και Lv .

Από τις εξισώσεις v-i για τα L, C έχουμε

CCC ii

Cdtdv 31

== (44α)

LLL vv

Ldtdi

311

== (44β)

Για να εκφράσουμε τις Ci και Lv συναρτήσει των Cv και Li , αντικαθιστούμε την C

με μία πηγή τάσης και την L με μία πηγή ρεύματος, όπως φαίνεται στο σχήμα 7β.

Με NPK στο Α έχουμε CRL iii =− , 2C

Rvi = άρα LCC ivi +−= 5,0 (45α)

20/30

Με NTK έχουμε LinCL iVvv 12−+−= άρα inLCL Vivv +−−= 12 (45β).

Αντικαθιστούμε τις (45) στις (44) και έχουμε

LCC iv

dtdv 35,1 +−= (46α)

inLCL Viv

dtdi

314

31

+−−= (46β)

Μεθοδολογία κατάστρωσης διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης από τις εξισώσεις

κατάστασης

Οι εξισώσεις κατάστασης ενός γραμμικού κυκλώματος 2ας τάξης είναι της μορφής

)(12121111 tuxaxa

dtdx

++= (47α)

)(22221212 tuxaxa

dtdx

++= (47β)

Σκοπός μας είναι να εξαλείψουμε μία εκ των μεταβλητών κατάστασης, π.χ.

την 2x , και να καταστρώσουμε μία διαφορική εξίσωση 2ας τάξης για την 1x .

Η μέθοδος που ακολουθούμε βασίζεται στο εξής σκεπτικό:

Για να εξαλείψουμε μία μεταβλητή x από ένα ζεύγος γραμμικών εξισώσεων

πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις με αριθμούς οι οποίοι κάνουν τους συντελεστές του

x στις προκύπτουσες εξισώσεις ίσους. Στη συνέχεια αφαιρούμε ή προσθέτουμε

ανάλογα με το αν οι συντελεστές είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι. Για να εφαρμόσουμε

την παραπάνω μέθοδο σε διαφορικές εξισώσεις, οι πράξεις σε κάθε εξίσωση

περιλαμβάνουν και διαφόριση εκτός του πολλαπλασιασμού με έναν αριθμό.

Ξαναγράφουμε τις (47α) και (47β) ως εξής:

)(1212111 tuxaxadtd

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − (48α)

)(2222121 tuxadtdxa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+− (48β)

Για να εξαλείψουμε την 2x πολλαπλασιάζω την (48α) με 22d adt

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

και την (48β) με

12a

)(1222122211122 tuadtdxaa

dtdxa

dtda

dtd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

21/30

)(2122221212112 tuaxadtdaxaa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

και

1221

222212

12122111

221121

2

)( uadt

duxaadt

dxaxaadtdxaa

dtxd

−=+−++− (49α)

)(212222122

1212112 tuaxaadt

dxaxaa =−+− (49β)

Προσθέτω την (49β) στην (49α) και παίρνω την διαφορική εξίσωση 2ας τάξης

2121221

1211222111

221121

2

)()( uauadt

duxaaaadtdxaa

dtxd

+−=−++− (50α)

Κατ’ αναλογία για την 2x

1212112

2211222112

221122

2

)()( uauadt

duxaaaadt

dxaadt

xd+−=−++− (50β)

Λόγω συμμετρίας η (50β) μπορεί να προκύψει κατευθείαν από την (50α) με εναλλαγή

των δεικτών 1 και 2.

Συγκρίνοντας την (50) με την (33) 2

22 2 ( )n

d x dx x f tdt dt

σ ω+ + =

βρίσκουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για τις σ, 2nω , f(t)

(51α)

(51β)

Για 1x x=

)()()( 2121221 tuatua

dtdutf +−= (51c)

Για 2x x=

)()()( 1212112 tuatua

dtdutf +−= (51d)

Παράδειγμα 5

Στο κύκλωμα του σχήματος 7α, να βρεθεί η διαφορική εξίσωση 2ας τάξης ως προς

την Cv .

Οι εξισώσεις κατάστασης έχουν βρεθεί στο παράδειγμα 4 ως:

LCC iv

dtdv 35,1 +−= (46α)

( )11 220.5 a aσ = − +2

11 22 12 21n a a a aω = −

22/30

inLCL Viv

dtdi

314

31

+−−= (46β)

Συγκρίνοντας με τις (47) έχουμε

Αντικαθιστώντας στην (50β) έχουμε

inCCC Vv

dtdv

dtvd

=++ 75,52

2

Παράδειγμα 6

Στο κύκλωμα του Σχήματος 8α, να ευρεθεί η διαφορική εξίσωση 2ας τάξης ως προς

την outV .

`

`

-

+Vin

0.01

2F

2F iC2

iC1

-vC2+

0.5- vC1+

+Vout

_

-

+Vin

0.01

iC2

iC1

vC2

0.5vC1

+Vout

_

(a) (ß)

Ω Ω Ω Ω

Σχήμα 8 (α) Κύκλωμα τελεστικού ενισχυτή RC (op-amp)

(β) Ενδιάμεσο κύκλωμα για την εύρεση των 1cI και 2cI

Βήμα 1 Εύρεση εξισώσεων κατάστασης

Για πυκνωτές ισχύει

11 5,0 C

C idt

dv= (52α)

22 5,0 C

C idt

dv= (52β)

5,111 −=a 12 3a =

2113

a = − 22 4a = −

0)(1 =tu 3

)(2inVtu =

23/30

Για να εκφράσουμε τις 1Ci , 2Ci συναρτήσει των 1Cv , 2Cv και inV αντικαθιστούμε τους

πυκνωτές με ανεξάρτητες πηγές τάσης όπως δείχνεται στο σχήμα 8(β).

Αφού ο ιδανικός op-amp δεν επιτρέπει ροή ρεύματος στους ακροδέκτες

εισόδου, το ρεύμα 1ci είναι ίσο με το ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση των 0.5Ω η

οποία βρίσκεται υπό τάση )( 12 CC vv +− . Δηλαδή

)(5,0

1211 CCC vvi +−= (53α)

Το ρεύμα 2Ci είναι ίσο με το άθροισμα του 1Ci και του ρεύματος της αντίστασης των

0.01Ω. Λόγω της ιδιότητας της γείωσης του op-amp η τάση του αντιστάτη των 0.01Ω

είναι inC Vv +1 . Κατά συνέπεια

inCCinCCC VvvVvii 100298)01,0/1( 21112 −−=−+= (53β)

Αντικαθιστώντας τις (53) στις (52) έχουμε

211

CCC vv

dtdv

−−= (54α)

inCCC Vvv

dtdv 5049 21

2 −−= (54β)

Βήμα 2 Εύρεση διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης

Συγκρίνοντας την (54) με την (47) )(12121111 tuxaxa

dtdx

++= ,

)(22221212 tuxaxa

dtdx

++=

βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας τις παραπάνω τιμές στην (50α) έχουμε

inCCC Vv

dtdv

dtvd 50502 1

12

12

=++ (55α)

και στην (50β)

inin

CCC V

dtdVv

dtdv

dtvd 5050502 2

22

22

−−=++ (55β)

11 1a = − 12 1a = − 0)(1 =tu

21 49a = 22 1a = − inVtu 50)(2 −=

24/30

Από το σχήμα 8(α) ισχύει 21 CCout vvV += . Για να βρούμε τη διαφορική εξίσωση της

outV προσθέτουμε τις (55α) και (55β) και αντικαθιστούμε το 21 CC vv + με outV .

dtdVV

dtdV

dtVd in

outoutout 505022

2

−=++

6. ΛΟΙΠΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Μία σημαντική διαφορά των συμπεριφορών κυκλωμάτων πρώτου και δεύτερου

βαθμού, είναι η πιθανότητα αποκρίσεων ταλάντωσης που υπάρχει στα τελευταία. Σε

μερικές εφαρμογές, το κύκλωμα κατασκευάζεται για να παράγει ημιτονοειδείς

ταλαντώσεις, ενώ σε άλλες εφαρμογές οι ταλαντώσεις δεν είναι επιθυμητές.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα, το οποίο παράγει μία

ημιτονοειδή κυματομορφή τάσης σε μία ορισμένη συχνότητα. Όπως δείξαμε στα

προηγούμενα, ο απλούστερος τρόπος είναι η εκφόρτιση ενός πυκνωτή μέσω ενός

πηνίου. Στην πραγματικότητα όμως, αμφότερα το πηνίο και ο πυκνωτής έχουν

απώλειες οι οποίες προκαλούν προοδευτική μείωση του εύρους ταλάντωσης μέχρι να

εξαλειφθεί τελείως. Για να έχουμε αμιγώς ημιτονοειδή ταλάντωση, πρέπει με κάποιο

τρόπο η ενέργεια που χάνεται στο κύκλωμα να συμπληρώνεται. Μία απλή μέθοδος

είναι να συνδέσουμε ένα στοιχείο αρνητικής αντίστασης στο κύκλωμα. Ένα στοιχείο

αρνητικής αντίστασης προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα. Χωρίς να αποτελεί

αυτοτελές στοιχείο, η αρνητική αντίσταση κατασκευάζεται από εξαρτημένες πηγές ή

op-amp, οι οποίες λειτουργούν τροφοδοτούμενες από πηγές συνεχούς. Το επόμενο

παράδειγμα δείχνει τη γενική αρχή που διέπει ένα κύκλωμα ταλάντωσης με αρνητική

αντίσταση.

Παράδειγμα 7

Στο παρακάτω κύκλωμα, η eR αντιπροσωπεύει την αντίσταση φορτίου και την

αντίσταση πυκνωτή. Η αντίσταση r αντιπροσωπεύει την αντίσταση του επαγωγέα. Να

βρεθεί η τιμή της αρνητικής αντίστασης nR− , η οποία απαιτείται για αμιγώς

ημιτονοειδή ταλάντωση. Επίσης να βρεθεί η συχνότητα ταλάντωσης.

25/30

C L+vc_

+vL

_

iLr

iCRe-Rn

Σχήμα 9. Κύκλωμα ταλάντωσης με αρνητική αντίσταση.

Ο παράλληλος συνδυασμός των αντιστάσεων eR και nR− συμβολίζεται με

)//( ne RRR −= .

Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία για την κατάστρωση των εξισώσεων

κατάστασης, όπως το παράδειγμα 4 έχουμε

CC i

Cdtdv 1

= και LL v

Ldtdi 1

=

Με ΝΤΚ 0=++ RLC iii

Rvi C

R =

άρα LC

C iRvi −−=

Με ΝΤΚ rivvrivv LCLLCL −=⇒=+− 0

Αντικαθιστώντας έχουμε

LCC i

Cv

RCdtvd 11

−= (57α)

LCL i

Lrv

Ldtdi

−=1 (57β)

Από την εξίσωση (50α) 2121221

1211222111

221121

2

)()( uauadt

duxaaaadtdxaa

dtxd

+−=−++−

Γράφουμε την διαφορική εξίσωση του κυκλώματος ως εξής

01112

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ C

CC vLCR

rdtvd

Rr

RCdtvd (58)

Συγκρίνοντας με την (10) 2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + = έχουμε:

12 r

RC Lσ = + (59α)

26/30

LCRr

n112 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=ω (59β)

Για να έχουμε μη αποσβεννυμένη ταλάντωση πρέπει το σ να είναι μηδέν

1 0rRC L

+ = (60)

ισοδύναμα

rLC

R−=

1 (61)

Ισχύει

1 1 1R Re nR

= − (62)

Από τις (61), (62) βρίσκουμε τη συνθήκη αμιγούς ταλάντωσης ως

11n

e

R c rL R

=+

(63)

Υπό την συνθήκη (61) η συχνότητα ταλάντωσης της (59β) γίνεται

LCr

LC

n11 2−=ω (64)

Παράδειγμα 8

Στο παράλληλο RLC ο πυκνωτής είναι αρχικά αφόρτιστος και το πηνίο αμαγνήτιστο.

Ο διακόπτης δ κλείνει τη χρονική στιγμή t=0. Να ευρεθεί η τάση )(tvC του πυκνωτή

αν 24 LR C⟩ .

C+

vc (t)_

2R

2R LVin=E

(a)

C+

vc (t)_

R L

(ß)

iRiL iC δ

A

Σχήμα 10 (α) Παράλληλο RLC (β) Κύκλωμα χωρίς πηγές

27/30

Η χαρακτηριστική εξίσωση του κυκλώματος 10(α) μπορεί να βρεθεί από το

ισοδύναμο κύκλωμα χωρίς πηγές 10 (β). Για να βρούμε τη χαρακτηριστική εξίσωση

αρκεί να γράψουμε τη διαφορική εξίσωση για οποιαδήποτε τάση ή ρεύμα του

κυκλώματος. Στο κύκλωμα 10 (β) επιλέγουμε το ρεύμα του πηνίου )(tiL .

Με NPK στο Α έχουμε:

0)()()( =++ tititi CLR (65)

Επίσης dt

tdiLv LL

)(= και CRL vvv ==

Συνεπώς

dtdi

RL

Rv

Rvi LLR

R ===

2

2

dtidLC

dtdvC

dtdvCi LLC

C ===

Αντικαθιστώντας στην (65) έχουμε

02

2

=++ LLL i

dtdi

RL

dtidLC => 01

2

2

=++LCi

dtdi

RCdtid LLL

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι 2 1 1 0s s

RC LC+ + =

Συγκρίνοντας με την (10) 2

22 2 0n

d x dx xdt dt

σ ω+ + = έχουμε

12RC

σ = και 1

n LCω =

Σύμφωνα με την εκφώνηση ισχύει 24 LR C⟩ άρα nσ ω⟨ και έχουμε την περίπτωση

των μιγαδικών ριζών που αντιστοιχεί σε υποαποσβεννυμένη ταλάντωση, με την

22

2 21 41d n n

n

LR C

LCσω ω σ ωω

−⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Οι ρίζες είναι 1,2 ds jσ ω= − ±

Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης 2ας τάξης της τάσης πυκνωτή δίνεται από

τον πίνακα 1 ως

[ ] fddt XtBtAetx ++= − )sin()cos()( ωωσ

28/30

όπου Xf αντιπροσωπεύει τον όρο της λύσης λόγω της ύπαρξης πηγής.

Η Xf υπολογίζεται ως εξής: Η Xf είναι εκείνη η τάση του πυκνωτή, ώστε ο πυκνωτής

να συμπεριφέρεται ως ανοιχτοκύκλωμα και το πηνίο ως βραχυκύκλωμα στο σχήμα

10 (α). Παρατηρώ ότι όταν το πηνίο γίνεται βραχυκύκλωμα η τάση του πυκωντή είναι

μηδενική, δηλαδή

Xf=0

Για 0t ≤ ο πυκνωτής και το πηνίο έχουν εκφορτιστεί στην αντίσταση 2R οπότε

ισχύει 0)0( =−Cv και 0)0( =−

Li .

Επειδή η τάση του πυκνωτή και το ρεύμα του πηνίου δεν αλλάζουν στιγμιαία,

αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη ισχύει 0)0( =+Cv και 0)0( =+

Li .

Παρατηρείστε ότι τη στιγμή που κλείνει ο διακόπτης ο πυκνωτής συμπεριφέρεται ως

βραχυκύκλωμα, αφού η μηδενική του τάση δεν μπορεί να αλλάξει στιγμιαία, και το

πηνίο ως ανοιχτοκύκλωμα, αφού το μηδενικό του ρεύμα δεν μπορεί να αλλάξει

στιγμιαία.

Μεε βάση αυτήν την παρατήρηση το ρεύμα του πυκνωτή στο 0t += είναι

REiC 2

)0( =+

Ισχύει C

iv CC

)0()0('+

+ = άρα RCEvC 2

)0(' =+

Ισχύει RCEBA

dtdv

dC

2=+−= ωσ

και 0)0( ==+ AvC .

Από τις παραπάνω έχουμε Α=0, dRC

EBω2

= και teRC

Etv dRC

t

dC ω

ωsin

2)( 2

−= για

0t ≥

Παράδειγμα 9

Στο παρακάτω κύκλωμα οι πυκνωτές είναι αφόρτιστοι στο t=0. Να βρεθεί η

κυματομορφή εξόδου )(tv όταν η τάση εισόδου είναι βηματικής μορφής

)()( tEtV uin = .

29/30

2RR

C2C+

v(t)_

+v1

_Vin

ii1

i2 A

II I

Σχήμα 11. Κύκλωμα RCC

Ισχύει dtdvCti =)( .

Με ΝΤΚ στο βρόχο Ι έχουμε:

)(2

)()(2)(1

tvdtdvRC

tvtRitv

+=

=+=

Ισχύει: dtdvC

dtvdRC

dtdvCti 242)( 2

221

1 +==

Με ΝΡΚ στο Α έχουμε: dtdvC

dtvdRCtititi 34)()()( 2

22

12 +=+=

Με ΝΤΚ στο βρόχο ΙΙ έχουμε: vdtdvRC

dtvdCRvRiVin ++=+= 54 2

222

12 (66)

Η χαρακτηριστική εξίσωση του κυκλώματος είναι

04

14

522

2 =++CR

sRC

s

με RC85

=σ και RCn 21

=ω .

Ισχύει nσ ω⟩ άρα έχουμε υπεραπόσβεση και η γενική λύση της (66) έχει την μορφή

ftsts XBeAetv ++= −− 21)( (67)

όπου RC

s 11 −= και

RCs

41

2 −=

Κατά τα γνωστά η Xf είναι εκείνη η τάση του πυκνωτή που τον κάνει να

συμπεριφέρεται ως ανοιχτοκύκλωμα, δηλαδή Xf=E.

Για 0t⟨ ισχύει ( )0 0v − = και επίσης ( )0 0v + = . Δηλαδή ο πυκνωτής

συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα. Το ίδιο ισχύει για τον πυκνωτή 2C άρα όλο το

ρεύμα περνάει από αυτόν και κατά συνέπεια 0)0( =+i . Όμως )0()0( ' ++ =Cvi άρα

0)0(' =+v .

30/30

Εφαρμόζοντας τις αρχικές συνθήκες ( )0 0v + = και ( )' 0 0v + = στην (67) με Xf =E

έχουμε

3EA = και

43EB = −

Η λύση της (66) γίνεται ( ) 41 41

3 3t tRC RC

v te e

E− −

= + − για 0t ≥ .