חדו"א 2א - פר' מיכאל סודין מועד מיוחד פתרונות
DESCRIPTION
חדו"א 2אאוניברסיטת ת"אמרצה: פר' מיכאל סודיןמועד מיוחד שנה לא ידועהTRANSCRIPT
' א – פר' מיכאל סודין מועד מיוחד סמסטר ב 2 חדו"א : 1 שאלה
:חשבו את
∫0
1
cos ( lnx )dx
:פתרון
∫0
1
cos ( lnx )dx=[ t=lnx x=e t
dx=e tdt t (0 )=−∞ , t (1 )=0 ]=∫−∞
0
e t cost dt=[u=cost v=e t
v '=e t u'=−sint ]=[e t cost ]−∞0
+∫−∞
0
e t sintdt=[u=sint v=e t
v '=e t u'=cost ]=1+ [e t sint ]−∞0
−∫−∞
0
e t costdt
: 2 שאלה ?האם האינטגרל הבא מתכנס )בהחלט/בתנאי( או מתבדר
∫0
∞
(−1 )[x2 ]dx
:פתרון ראשית, ברור שהאינטגרל לא מתכנס בהחלט כי:
|∫0
∞
(−1 )[ x2 ]dx|=∫
0
∞
1dx=∞
נפריד:
∫0
∞
(−1 )[x2 ]dx=∑
n=0
∞
( ∫(2n )2
(2n+1)2
1dx¿− ∫(2n+1 )2
(2n+2 )2
1dx)=∑n=0
∞
[ (2n+2 )2¿−(2n )2]=∑n=0
∞
(4 n+4 )=∞ ¿¿
לכן, האינטגרל מתבדר.
: 3 שאלה
∑יהי n=1
∞ cnns
s>t. הוכיחו כי הטור מתכנס במ"ש ובהחלט עבור s=t מתכנס עבור
פתרון:נעיר כי:
∀ s>t ,∑n=1
∞ cnns
<∑n=1
∞ cnnt
<∞
של וויירשטראוס, הטור מתכנס במ"ש ובהחלט.Mלכן, לפי בוחן
: 4 שאלה חשבו:
( ∂2∂ x2+ ∂2
∂ y2 ) ln (x2+ y2)פתרון:נחשב:
©Noy Soffer 2013
( ∂2∂ x2+ ∂2
∂ y2 ) ln (x2+ y2 )= ∂∂ x ( 2x
x2+ y2 )+ ∂∂ y ( 2 y
x2+ y2 )=2( y2−x2
x2+ y2+ x
2− y2
x2+ y2 )=0 : 5 שאלה f קומפקטית, ופונקציה Kנתונה :K→R רציפה. הוכיחו כי הגרף של f:קומפקטית, כאשר
Γ f= {(x , f (x ) ) : x∈K }פתרון:
חסימות: קומפקטית אפילו(, אז:f(K) )למעשה I חסומה מוויירשטראוס f(K) חסומה, ו-Kמכיוון ש-
∃M 1≥0 :∀ x∈K ,||x||≤M 1
∃M 2≥0 :∀ y∈ f (K ) ,||y||≤M 2
לכן:
∀ ( x , y )∈Γ f ,||x+ y||≤||x||+||y||=M 1+M 2
חסומה.fולכן, הגרף של
סגירות:
yn∈Γתהי סדרה מתכנסת f : yn→ y נראה כי .y∈Γ f-מכיוון ש .yn∈Γ f:נסמן ,
yn={(xn , f (xn )) : xn∈K }
y=(a ,b)
=a סגורה, אז Kמכיוון ש- limn→∞
xn∈ K
fבאופן דומה, מכיוון ש- (K b=lim סגורה, אז (n→∞
f ( xn)∈ f (K רציפה, ולכן:f. בנוסף, (
b=limn→∞
f ( xn)=f ( limn→∞ xn)=f (a)ולכן:
y= (a , f (a ) )∈ Γ fΓולכן, f.סגורה ולכן, קומפקטית
©Noy Soffer 2013