פרק 2ב אינטגרל - שני שטחים

לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות מעודכן לשנת תשע"ג

פולינום כתב וערך: יוסי דהן. -חשבון אינטגרלי -2חלק

0

0

שטחיםשני

. צבע כל פונקציה בצבע אחר ורשום את הפונקציה המתאימה1

. מלא את הטבלה2

3)(64. 1שאלה מספר 2 xxxfy

7)(16 . 2שאלה מספר 2 xxfy

7)(1. 3שאלה מספר 3 xxfy

x פונקציה עליונה x

קטן/שמאל 3y גדול/ימין

1x

פונקציה תחתונה

0x 0y


)(64 גדול/ימין 2 xxxf קטן/שמאל

3x


1x 0y



1x


0x 7y


)(1 גדול/ימין 3 xxf קטן/שמאל

2x


1x 7y



3x


0x 0y


)(16 ןגדול/ימי 2 xxf קטן/שמאל

4x


3x 0y



1

1

3)(96. 4שאלה מספר 2 xxxfxy

xxxfxy. 5שאלה מספר 6)(84 2

. 6שאלה מספר 2)3()(5 xxfxy

12112)(56. 7שאלה מספר 2 xxxfxyxy



1x


0x 3 xy



3x


1x 96)( 2 xxxf


xxxf גדול/ימין 6)( 2 קטן/שמאל

0x


2x



4x


0x 84 xy


)()3(2 גדול/ימין xxf קטן/שמאל

1x


3x 0y


5 גדול/ימין xy קטן/שמאל

0x


1x 0y



3x


2x 12 xy



4x


3x 112 xy



2

2

xxxfxxxg. 8שאלה מספר 7)(3013)( 22

)(56)(34. 9שאלה מספר 22 xxxfxxxg

. 11שאלה מספר 3

213

21 )(33)( xxgxxxf

xxgxxxf. 11שאלה מספר 352 )(82)(


)(3013 גדול/ימין 2 xxxg קטן/שמאל

5x


3x 0y

x ליונהפונקציה ע x


7x


5x 0y



3x


1x



5x


3x 0y


3 גדול/ימין

21)( xxg קטן/שמאל

1x


0x 0y


)(33 גדול/ימין 3

21 xxxf קטן/שמאל

2x


1x 0y


xxg גדול/ימין35)( קטן/שמאל

3x


0x 0y



4x

נהפונקציה תחתו

3x 0y



3

3

)(166)(162 12שאלה מספר 2 xxgxxxf

xyxgxxxf. 13שאלה מספר 44)(4)( 2

)(16)(163212. 14שאלה מספר 22 yxxxgxxf

)(41)(2424. 15שאלה מספר 2 xyxxgxxf



0x


2x 0y


)(162 גדול/ימין xxg קטן/שמאל

8x


0x 0y


xy גדול/ימין 4 קטן/שמאל

1x


0x 24)( xxxf


)(4 גדול/ימין xg קטן/שמאל

2x


1x 24)( xxxf



4x


0x 16)( 2 xxf



8x


4x 3212)( 2 xxxg



0x


5.0x 241)( xxf


)(24 גדול/ימין xxg /שמאלקטן

5.0x


0x 241)( xxf



4

4

שטחיםשני

חורף תש"עמועד 58133מבחן בגרות : 1שאלה מספר

)(64נתונה הפונקציה 2 xxxf

) ראה ציור( y= 3מעבירים ישר

y= 3מצא את נקודות החיתוך של הישר . (א)

. xf)(עם גרף הפונקציה

xf)(מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה .(ב)

x= 3על ידי הישר , y= 3על ידי הישר

ועל ידי הצירים.

) השטח המקווקו בציור(

פתרון:

. xf)(עם גרף הפונקציה y= 3)א(. מצא את נקודות החיתוך של הישר

)3,3()3,1(

13

2

24

)1(2

)3)(1(416)4(

340

643

3

64)(

21

2,1

2,1

2

2

2

xx

x

x

xx

xx

y

xxxf

נקודה החיתוך בין הישר לפונקציה

3y

)0,0(

y

x

3x

)3,1( )3,3(

)3,0(



5

5

, y= 3די גרף הפונקציה ,על ידי הישר )ב(. מצא את השטח המוגבל על י

ועל ידי הצירים. x= 3על ידי הישר

תשובה סופית:

(ב) )3,1()3,3()א( 3

27

3

243 S

3

27

3

243

21

T

T

S

SSS


642 גדול/ימין xxy קטן/שמאל

3x

קציה תחתונהפונ

1x 0y

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)64(

)064(

)0()64(

2

2

2

2

2

2

3

1

3

1

3

1

3

24

3

149

)1(62

)1(4

3

)1()3(6

2

)3(4

3

)3(

62

4

3

2

2

2323

2

23

2

3

1

S

S

S

xxx

S



1x


0x 0y

dxS

dxS

dxS

)3(

)03(

)0()3(

1

1

1

1

0

1

0

1

0

3

03

)0(3)1(3

3

1

1

1

1

1

0

S

S

S

xS

3y

)0,0(

y

x

3x

)3,1( )3,3(

)3,0(



6

6

.2112 א' קיץ תשע"ב מועד 13835מבחן בגרות : 2שאלה מספר

)(16בציור שלפניך מוצג גרף הפונקציה 2 xxf

A היא אחת הנקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- x .

B 7היא אחת מנקודות החיתוך של הישרy עם גרף הפונקציה

)ראה ציור(

. Bו A)א( מצא את שיעורי הנקודות

)ב( מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה

x -, על ידי ציר ה 7yעל ידי הישר

)השטח המקווקו בציור(. y -ועל ידי ציר ה

פתרון:

. Bו A)א( מצא את שיעורי הנקודות

Aנקודה

)0,4(

44

16

16

160

0

16)(

2

2,1

2

2

2

A

xx

x

x

x

y

xxf

A

Bנקודה

)7,3(

33

9

9

167

7

16)(

2

2,1

2

2

2

B

xx

x

x

x

y

xxf

B

)0,4(A

)7,3(B

y

x

7y

)0,0( 0y



7

7

x -, על ידי ציר ה 7yל על ידי גרף הפונקציה על ידי הישר )ב( מצא את השטח המוגב

)השטח המקווקו בציור(. y -ועל ידי ציר ה


)0,4()7,3()א( BA )ב(3

224

3

2321 S.)

3

224

3

2321

21

T

T

S

SSS



4x


3x 0y

dxxS

dxxS

dxxS

)16(

)016(

)0()16(

2

2

2

2

2

2

4

3

4

3

4

3

3

23

393

242

)3(163

)3()4(16

3

)4(

163

2

2

33

2

3

2

4

3

S

S

S

xx

S



3x


0x 0y

dxS

dxS

dxS

)7(

)07(

)0()7(

3

1

1

1

0

3

0

3

0

21

021

)0(7)3(7

7

1

1

1

1

3

0

S

S

S

xS

0y )0,0( )0,4(A

)7,3(B

y

x

7y

1S 2S



8

8

ח"מועד חצב ברק תשס 35113מבחן בגרות : 3אלה מספר ש

)(1נתונה הפונקציה 3 xxf

7yונתון הישר

מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה א.

. x –עם ציר ה (1)

7yעם הישר (2)

, f(xמצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ) ב.

על ידי הצירים ו ,7yעל ידי הישר

קו בציור (ו)השטח המקו

פתרון:

מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה .(א)

. x –( עם ציר ה 1)

7y( עם הישר 2)

)0,1(

11

1

10

0

1)(

3

3

3

3

x

x

x

y

xxf

)7,2(

28

8

17

7

1)(

3

3

3

3

x

x

x

y

xxf

y

x

7y

)0,0(

)0,1(

)7,2(



9

9

,על ידי הצירים 7y, על ידי הישר f(x. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )(ב)

קו בציור(ו)השטח המקו

: סופית תשובה

)7,2(( 2)א )0,1(( 1)א )ב(4

111

4

147 S

4

111

4

147

21

T

T

S

SSS

x ליונהפונקציה ע x


1x


0x 7y

dxS

dxS

dxS

)7(

)70(

)7()0(

1

1

1

1

0

1

0

1

0

7

07

)0(3)1(7

7

1

1

1

1

1

0

S

S

S

xS



2x


1x 7y

dxxS

dxxS

dxxS

)8(

)71(

)7()1(

3

2

3

2

3

2

2

1

2

1

2

1

4

14

4

3712

)1(84

)1()2(8

4

)2(

84

2

2

44

2

4

2

2

1

S

S

S

xx

S

7y

y

x

)0,0(

)0,1(

)7,2(



10

10

"טתשס חורףמועד 35113מבחן בגרות : 4שאלה מספר

בציור שלפניך מוצגים

)(96הפרבולה 2 xxxf

)(3והישר xxg

B –ו Aים בנקודות פגשנהפרבולה והישר ה

(A משמאל ל- B )

.f(x)השיעורים של נקודת המקסימום של הפונקציה . מצא את (א)

.f(x)חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה . (ב)

ועל ידי הצירים g(x)הישר על ידי

) השטח המסומן(

פתרון:

.f(x)מום של הפונקציה השיעורים של נקודת המקסי . מצא את (א)

( B -משמאל ל A) B –ו Aהפרבולה והישר נפגשים בנקודות

( B -משמאל ל A) B –ו Aבנקודות x – ה שיעורי מצא את )ב(

נגזרת ראשונהm=0

3

62

620

0)('

62)('

x

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)0,3(

9)3(6)3()3(

96)(

2

2

f

xxxf

נגזרת שנייהMax/min

max2)('' xf

נקודת הקיצוןmax)0,3(

ABנקודות

61

2

57

)1(2

)6)(1(449)7(

067

0396

396

)()(

2,1

2,1

2

2

2

BA xx

x

x

xx

xxx

xxx

xgxf

ABנקודות

)9,6(

93)6(

6

)4,1(

43)1(

1

3)(

B

y

x

A

y

x

xxg

)0,0( y

x )0,3(

)4,1( A

)9,6( B



11

11

ידי הצירים ועל g(x)הישר על ידי .f(x)חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )ג(.

) השטח המסומן(

:תשובה סופית

)0,3(max)א( )4,1()9,6()ב( BA 6

16

3

22

2

13 S

6

16

3

22

2

13

21

T

T

S

SSS



1x


0x 31 xy

dxxS

dxxS

dxxS

)31(

)310(

)31()0(

1

0

1

0

1

0

1

1

1

2

13

02

13

)0(32

)0()1(3

2

)1(

32

1

1

1

42

1

2

1

1

0

S

S

S

xx

S



3x


1x 962 xxy

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)96(

)960(

)96()0(

23

2

2

2

2

2

1

3

1

3

1

3

22

3

169

)1(92

)1(6

3

)1()3(9

2

)3(6

3

)3(

92

6

3

2

2

2323

2

23

2

3

1

S

S

S

xxx

S

)0,0( y

x )0,3(

)4,1( A

)9,6( B



12

12

"טתשס מועד א' 13835מבחן בגרות : 5שאלה מספר

xxxfשלפניך מוצגת פרבולה בציור 6)( 2

84ומוצג הישר xy

B –ו Aהישר והפרבולה נחתכים בנקודות

A מימין ל– B

.Bשל הנקודה x –מצא את שיעור ה (1) (א)

Cבנקודה x –הישר חותך את ציר ה (2)

.Cקודה של הנ x –מצא את שיעור ה

מצא את השטח המקווקו בציור ) השטח המוגבל (ב)

(.x –על ידי הפרבולה , על ידי הישר ועל ידי ציר ה

פתרון:

.Bשל הנקודה x –( מצא את שיעור ה 1)א

Cבנקודה x –( הישר חותך את ציר ה 2א)

.Cשל הנקודה x - מצא את שיעור ה

Cנקודות

)0,2(

2

48

840

0

84

C

x

x

x

y

xy

C

ABנקודות

082

0846

846

)(

2

2

2

xx

xxx

xxx

yxf

24

2

62

)1(2

)8)(1(44)2(

2,1

2,1

BA xx

x

x

ABנקודות

)8,4(

88)4(4

4

)16,2(

168)2(4

2

84

A

y

x

B

y

x

xy

)0,0(

y

x )8,4(A

B)16,2(

C)0,2(



13

13

(.x –י הפרבולה , ע"י הישר וע"י ציר ה "ע מצא את השטח המקווקו בציור ) השטח המוגבל ב()

: תשובה סופית

)16,2( (1א) B (2א) )0,2(C (ב) .31

31 1789 S



0x


2x 84 xy

dxxxS

dxxxxS

dxxxxS

)82(

)846(

)84()6(

2

1

2

1

2

1

0

2

0

2

0

2

3

19

3

190

)2(82

)2(2

3

)2(1)0(8

2

)0(2

3

)0(1

82

2

3

1

1

1

2323

1

23

1

0

2

S

S

S

xxx

S



2x


0x 84 xy

3

1178

3

19

21

T

T

S

SSS

dxxS

dxxS

dxxS

)84(

)840(

)84()0(

2

2

2

2

0

2

0

2

0

8

08

)0(82

)0(4)2(8

2

)2(4

82

4

2

2

22

2

2

2

2

0

S

S

S

xx

S

y

)0,0( x )8,4(A

B)16,2(

C)0,2(



14

14

"טתשס חורףמועד 13835 מבחן בגרות : 6שאלה מספר

)()3(2בציור מוצגת הפרבולה xxf

5ומוצג הישר xy

( B –מימין ל A) B –ו Aהפרבולה והישר נפגשים בנקודות

נימום של הפרבולה.של נקודת המי x –מצא את שיעור ה .(א)

של נקודת המינימום של הפרבולה. x –מצא את שיעור ה)ב(

מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה , על ידי הישר , .(ב)

x –ועל ידי ציר ה y –על ידי ציר ה

)השטח המקווקו בציור (

פתרון:

.פרבולהשל נקודת המינימום של ה x –. מצא את שיעור ה (א)


3

62

620

0)('

62)('

x

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)0,3(

9)3(6)3()3(

96)(

)3()(

22

2

2

f

xxxf

xxf


min2)('' xf

נקודת הקיצוןmin)0,3(

ABנקודות

41

2

35

)1(2

)4)(1(425)5(

045

0596

596

)(

2,1

2,1

2

2

2

BA xx

x

x

xx

xxx

xxx

yxf

A

)0,0(

y

x

B

A )4,1(

)1,4( )5,0(

)0,3(

ABנקודות

)1,4(

15)4(

4

)4,1(

45)1(

1

5

B

y

x

A

y

x

xy



15

15

מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה , על ידי הישר , .(ב)

) השטח המקווקו בציור ( x –ועל ידי ציר ה yעל ידי ציר ה


)ב(. )0,3()א(. 6

17

2

14

3

22 S



0x


1x 0y

dxxS

dxxS

dxxS

)5(

)05(

)0()5(

0

1

0

1

0

1

2

2

2

2

14

2

140

)1(52

)1()0(5

2

)0(

52

2

2

22

2

2

2

0

1

S

S

S

xx

S

6

17

2

14

3

22

21

T

T

S

SSS



1x


3x 0y

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)96(

)096(

)0()96(

2

1

2

1

2

1

1

3

1

3

1

3

3

22

93

16

)3(92

)3(6

3

)3()1(9

2

)1(6

3

)1(

92

6

3

1

1

2323

1

23

1

1

3

S

S

S

xxx

S

)0,0(

y

x

B

A )4,1(

)1,4( )5,0(

)0,3(



16

16

א' תש"ע .מועד 35813מבחן בגרות : 7שאלה מספר

)(56נתונה פרבולה שמשוואתה 2 xxx f

)ראה ציור(.

12היא Aמשוואת הישר המשיק לפרבולה בנקודה x y.

112היא Bמשוואת הישר המשיק לפרבולה בנקודה x y.

,Aשל הנקודה x –. מצא את שיעור ה )א(

.Bשל הנקודה x –ואת שיעור ה

. מצא את השטח המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הפרבולה.)ב(

) השטח המקווקו בציור(.

פתרון:

,Aשל הנקודה x –מצא את שיעור ה . (א)

.Bשל הנקודה x –ואת שיעור ה

Aנקודה

2

2

04

)1(2

)4)(1(416)4(

044

01256

1256

)(

2,1

2,1

2

2

2

Ax

x

x

xx

xxx

xxx

yxf

Aנקודה

)3,2(

3

1)2(2

2

12

A

y

y

x

xy

A

Bנקודה

4

2

08

)1(2

)16)(1(464)8(

0168

011256

11256

)(

2,1

2,1

2

2

2

Bx

x

x

xx

xxx

xxx

yxf

Bנקודה

)3,4(

3

11)4(2

4

112

B

y

y

x

xy

B

Cנקודה

)5,3(

5

11)3(2

112

3

124

11212

C

y

y

xy

x

x

xx

yy

y

x

B A

C

)3,4( )3,2(

)5,3(



17

17

מצא את השטח המוגבל על ידי המשיקים ועל ידי הפרבולה.. (ב)



24)א(. AB xx )ב(3

2

3

1

3

1TS



4x


3x 112 xy

3

2

3

1

3

1

21

T

T

S

SSS

dxxxS

dxxxxS

dxxxxS

)168(

)11256(

)112()56(

2

2

2

2

2

2

4

3

4

3

4

3

3

1

213

121

)3(162

)3(8

3

)3()4(16

2

)4(8

3

)4(

162

8

3

2

2

2323

2

23

2

4

3

S

S

S

xxx

S



3x

ה תחתונהפונקצי

2x 12 xy

dxxxS

dxxxxS

dxxxxS

)44(

)1256(

)12()56(

2

1

2

1

2

1

3

2

3

2

3

2

3

1

3

223

)2(42

)2(4

3

)2()3(4

2

)3(4

3

)3(

42

2

3

1

2

2323

1

23

1

3

2

S

S

S

xxx

S

y

x

B A

C

)3,4( )3,2(

)5,3(



18

18

3013)(

7)(

2

2

xxxg

xxxf

תשס"ו 2116ברק /מועד חצב 35113מבחן בגרות .8שאלה מספר

נתונות שתי הפונקציות

)ראה ציור(

נקודת החיתוך בין של x –שיעור המצא את א.

הגרפים של שתי הפונקציות.

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים ב.

x –י ציר העל ידו של שתי הפונקציות

השטח המקווקו בציור()

פתרון:

מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. .(א)

f(x) חיתוך עם ציר ה- x

)0,7()0,0(

70

)7(0

0

7)(

21

2

xx

xx

y

xxxf

בין הגרפים החיתוךנקודת

)10,5(

10

)5(7)5(

5

306

030137

30137

)()(

2

22

22

y

y

x

x

xxxx

xxxx

xgxf

g(x) חיתוך עם ציר ה-x

)0,10()0,3(

103

2

713

)1(2

)30)(1(4169)13(

30130

0

3013)(

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

y

xxxg

)0,3( )0,0( )0,7( )0,10(

)10,5(

y

x



19

19

x –על ידי ציר ה של שתי הפונקציות חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים . (ב)


:סופית תשובה

)ב( )10,5()א( 3

222

3

111

3

111 S

3

222

3

111

3

111

21

T

T

S

SSS



5x

תחתונה פונקציה

3x 0y

dxxxS

dxxxS

)3013(

)0()3013(

2

1

2

1

5

3

5

3

3

111

2

140

6

129

)3(302

)3(13

3

)3()5(30

2

)5(13

3

)5(

302

13

3

1

1

2323

1

23

1

5

3

S

S

S

xxx

S



7x


5x 0y

dxxxS

dxxxS

)7(

)0()7(

2

2

2

2

7

5

7

5

3

111

6

545

6

156

2

)5(7

3

)5(

2

)7(7

3

)7(

2

7

3

2

2

2323

2

23

2

7

5

S

S

S

xxS

)0,3( )0,0( )0,7( )0,10(

)10,5(

y

x



20

20

.2112 קיץ תשע"ב מועד 13835מבחן בגרות : 9שאלה מספר

בציור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות:

56)(

34)(

2

2

xxxg

xxxf

.Aבנקודה x -שני הגרפים חותכים את ציר ה

.Cגם בנקודה x -חותך את ציר ה גרף

.Bגם בנקודה x -חותך את ציר ה גרף

.C -, ו A ,B)א(. מצא את שיעורי הנקודות

)ב(. קבע איזו מבין הפונקציות מתאר גרף

. נמק ואיזו מביניהן מתאר גרף

, )ג(. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף

x -ועל ידי ציר ה על ידי גרף

)השטח המקווקו בציור(.

פתרון:

.C -ו , A ,B)א(. מצא את שיעורי הנקודות

. נמק ואיזו מביניהן מתאר גרף קבע איזו מבין הפונקציות מתאר גרף )ב(.

)(56מתאים לפונקציה גרף 2 xxxg 0,1()0,3(מתאים לנקודות( BA

)(34מתאים לפונקציה גרף 2 xxxf 0,1()0,5(מתאים לנקודות( CA

g(x) חיתוך עם ציר ה-x

560

0

56)(

2

2

xx

y

xxxg

)0,5()0,1(

51

2

46

)1(2

)5)(1(436)6(

21

2,1

2,1

CA

xx

x

x

f(x) חיתוך עם ציר ה-x

340

0

34)(

2

2

xx

y

xxxf

)0,3()0,1(

31

2

24

)1(2

)3)(1(416)4(

21

2,1

2,1

BA

xx

x

x

גרף גרף

גרף

גרף

y

x

C B A )0,1( )0,3( )0,5(



21

21

x -ועל ידי ציר ה , על ידי גרף )ג(. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף

קו בציור(. )השטח המקוו


)0,5(,)0,3()0,1()א(. ABC ב(. גרף(= )(xg , גרף= )(xf .)ג(3

19

3

154 S



5x


3x 0y

3

19

3

154

21

T

T

S

SSS

dxxxS

dxxxS

)56(

)0()56(

2

2

2

2

5

3

5

3

3

15

33

18

)3(52

)3(6

3

)3()5(5

2

)5(6

3

)5(

52

6

3

2

2

2323

2

23

2

5

3

S

S

S

xxx

S



3x


1x 34)( 2 xxxf

dxxS

dxxxxxS

dxxxxxS

)22(

)3456(

)34()56(

3

1

3

1

3

1

1

22

1

22

1

4

13

)1(22

)1(2)3(2

2

)3(2

22

2

1

1

22

1

2

1

3

1

S

S

S

xx

S

y

x

C B A )0,1(

)0,3( )0,5(



22

22

מועד חורף תשס"ז 35113מבחן בגרות : 11שאלה מספר

נתונים הגרפים של שתי הפונקציות :

33)( 3

21 xxxf

3

21)( xxg

)ראה ציור(

מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. א.

טח המוגבל על ידי הגרפיםחשב את הש ב.

x –של שתי הפונקציות על ידי ציר ה

) השטח המקווקו בציור ( 2xועל ידי הישר

פתרון:

מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים של שתי הפונקציות. .(א)

נקודת החיתוך

1

33

05.0335.0

5.0335.0

)()(

3

33

3

x

x

xxx

xxx

xgxf

נקודת החיתוך

)5.0,1(

5.0

)1(5.0

5.0

3

3

y

y

xy

y

x

2x

)5.0,1(



23

23

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים .(ב)

) השטח המקווקו בציור ( 2xועל ידי הישר x –שתי הפונקציות על ידי ציר ה של


5.0125.0375.0)ב( )5.0,1()א( S


)(335.0 גדול/ימין 3 xxxg קטן/שמאל

2x


1x 0y

2

1

8

3

8

1

21

T

T

S

SSS

dxxxS

dxxxS

)335.0(

)0()335.0(

3

2

3

2

2

1

2

1

8

3

8

512

)1(32

)1(3

4

)1(5.0)2(3

2

)2(3

4

)2(5.0

32

3

4

5.0

2

2

2424

2

24

2

2

1

S

S

S

xxx

S


)(35.0 גדול/ימין xxg קטן/שמאל

1x


0x 0y

dxxS

dxxS

)5.0(

)0()5.0(

3

01

3

1

1

1

0

8

1

08

1

4

)0(5.0

4

)1(5.0

4

5.0

1

1

44

1

4

1

1

0

S

S

S

xS

y

x

2x

)5.0,1(

1x



24

24

ע"אתש 2111פברואר מועד 35113ות מבחן בגר: 11שאלה מספר

822בציור שלפינך נתונה הפרבולה xxy

A ו– C .הן נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים

.C –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(

היא נקודה על גרף הפונקציה ברביע הראשון Bנתון כי )ב(

ראשית הצירים(. – Oסמ"ר ) 12הוא OBCכך ששטח המשולש

.Bמצא את שיעורי הנקודה

מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )ג(

x –ועל ידי ציר ה BOעל ידי הישר


פתרון:

.C –ו Aמצא את שיעורי הנקודות )א(

דה על גרף הפונקציה ברביע הראשון היא נקו B)ב( נתון כי

סמ"ר 12הוא OBCכך ששטח המשולש

(O – .)ראשית הצירים

.Bמצא את שיעורי הנקודה

Aנקודה

)0,4(

24

2

62

)1(2

)8)(1(44)2(

820

0

82

2

2,1

2,1

2

2

A

xx

x

x

xx

y

xxy

A

Cנקודה

)8,0(

8

8)0(2)0(

0

82

2

2

C

y

y

x

xxy

Bנקודה

)5,3(

5

8)3(2)3(

3

2

812

2

2

B

y

y

x

x

xOCS

B

B

B

BOמשוואת

xy

xy

m

xxmyy

3

5

)0(3

50

3

5

03

05)0,0(

)( 11

y

x

C

B

A O )0,4(

)5,3(

)8,0(

)0,0(

?h

12S

y

x

C

B

A

O



25

25

x –ועל ידי ציר ה BOעל ידי הישר מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )ג(

) השטח המקווקו בציר(


)0,4()8,0()א( CA .)5,3()ב(B .)ג(6

110

3

22

2

17 S



4x


3x 0y

6

110

3

22

2

17

21

T

T

S

SSS

dxxxS

dxxxS

)82(

)0()82(

2

2

2

2

4

3

4

3

3

22

243

226

)3(82

)3(2

3

)3()4(8

2

)4(2

3

)4(

82

2

3

2

2

2323

2

23

2

4

3

S

S

S

xxx

S


xy גדול/ימין35 קטן/שמאל

3x

הפונקציה תחתונ

0x 0y

dxxS

dxxS

)(

)0()(

3

5

01

3

51

3

3

0

2

17

02

17

2

)0(

2

)3(

2

1

1

2

3

52

3

5

1

2

3

5

1

3

0

S

S

S

xS

y

x

C

B

A O )0,4(

)5,3(

)8,0(

)0,0(

1S 2S



26

26

2111מועד נובמבר 35113מבחן בגרות : 12שאלה מספר

1662הפרבולה xxy

B –ו Aבנקודות x –חותכת את ציר ה

.Cבנקודה y –ואת ציר ה

. A ,B ,Cחשב את שיעורי הנקודות א.

חשב את השטח ב.1S המוגבל על ידי הפרבולה

) השטח המקווקו בציור(. ACועל ידי הישר

על ידי הפרבולה ACהוא השטח המוגבל על ידי הישר 2S ג.

2Sהשטח חשב את )השטח האפור בציור( x –ועל ידי ציר ה

פתרון:

. A ,B ,Cא. חשב את שיעורי הנקודות

ABנקודה

)0,2()0,8(

28

2

106

)1(2

)16)(1(436)6(

1660

0

166

2,1

2,1

2

2

BA

xx

x

x

xx

y

xxy

BA

Cנקודה

)16,0(

16

16)0(6)0(

0

166

2

2

C

y

y

x

xxy

ACמשוואת

162

)8(20

208

160)0,8(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

y

x

C

B A O )0,8( )0,2(

)16,0(

y

x

C

B A

O



27

27

חשב את השטח ב.1S ועל ידי הישר המוגבל על ידי הפרבולהAC .)השטח המקווקו בציור (

x –ועל ידי ציר ה ה על ידי הפרבול ACהוא השטח המוגבל על ידי הישר 2S ג.

2S)השטח האפור בציור( חשב את השטח

132 שטחים חיסורפעולת נבצע 2Sכדי לחשב את 3S הפרבולה נגדיר את שטח ג. SSS


)0,8()0,2()16,0()א( CBA )ב( 3

1851 S )ג(

3

181

3

117642 S

3

181

3

185

3

21662

132

S

SSS


166 ןגדול/ימי xxy קטן/שמאל

8x


0x 162 xy

dxxxS

dxxxxS

dxxxxS

)8(

)162166(

)162()166(

2

01

2

01

2

1

8

8

8

0

3

185

03

185

2

)0(8

3

)0(

2

)8(8

3

)8(

2

8

3

1

1

2323

1

23

1

8

0

S

S

S

xxS



8x


2x 0y

dxxxS

dxxxS

)166(

)0()166(

2

23

2

3

8

8

2

3

2166

3

117

3

1149

)2(162

)2(6

3

)2()8(16

2

)8(6

3

)8(

162

6

3

3

3

2323

3

23

3

8

2

S

S

S

xxx

S

y

x

C

B A O )0,8( )0,2(

)16,0(

y

x

C

B A O )0,8( )0,2(

)16,0(



28

28

2111קיץ 35113: מבחן גנוז בגרות 13שאלה מספר

)(24 נתונה פרבולה שמשוואתה xxxf .מעבירים שני ישרים

ישר אחד משיק לפרבולה בנקודת המקסימום שלה,

וישר אחר משיק לפרבולה בראשית הצירים.

)ראה ציור( Aהמשיקים נפגשים בנקודה

מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפרבולה. (1א. )

מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימום. (2)

מצא את משוואת המשיק לפרבולה בראשית הצירים. ב.

.Aשל הנקודה מצא את השיעורים (1ג. )

חשב את השטח המוגבל על ידי שני המשיקים (2)

ועל ידי הפרבולה )השטח האפור שבציור(

פתרון:

( מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפרבולה.1א. )

( מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימום2)

לפרבולה בראשית הצירים.ב. מצא את משוואת המשיק

.A( מצא את השיעורים של הנקודה 1ג. )


2

42

240

0)('

24)('

x

x

x

xf

xxf

פונקציה

y=?

)4,2(

)2()2(4)2(

4)(

2

2

f

xxxf


max2)('' xf


Aנקודות

)4,1(

1

44

A

x

x

yy

ימוםמשיק למקס

4

)2(04

0)4,2(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

משיק לראשית הצירים

xy

xy

fm

xxmyy

4

)0(40

4)0(24)0(')0,0(

)( 11

)4.1( )4,2(

y

x

A

O

)4,0(

)0,0(



29

29

חשב את השטח המוגבל על ידי שני המשיקים ועל ידי הפרבולה )השטח האפור שבציור( (2ג. )


)max)4,2 (.1)א (2א.) 4y (ב.) xy 4 (1ג.) )4,1(A (2ג.)

3

2

3

1

3

1S

3

2

3

1

3

12

21

S

SSST



2x


1x 24 xxy

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)44(

)44(

)4()4(

2

12

2

12

2

2

2

2

2

1

3

1

3

12

3

22

)1(42

)1(4

3

)1()2(4

2

)2(4

3

)2(

42

4

3

2

2

2323

2

23

2

2

1

S

S

S

xxx

S


xy גדול/ימין 4 קטן/שמאל

1x


0x 24 xxy

dxxS

dxxxxS

dxxxxS

)(

)44(

)4()4(

2

1

2

1

2

1

1

0

1

0

1

0

3

1

3

)0(

3

)1(

3

1

33

1

3

1

1

0

S

S

xS

)4.1( )4,2(

y

x

A

O

)4,0(

)0,0(

1S

2S



30

30

2111קיץ 35113: מבחן גנוז בגרות 14שאלה מספר

)(24 גרף הפרבולה שמשוואתה xxxf

מעבירים שני ישרים. .B -ו Aבשתי נקודות xחותך את ציר ה

ישר אחד משיק לפרבולה בנקודת המקסימום שלה,

.Bוישר אחר משיק לפרבולה בנקודה

)ראה ציור( kהמשיקים נפגשים בנקודה

מצא את השיעורים של נקודת המקסימום של הפרבולה. (1א. )

מצא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודת המקסימום. (2)

.Bא את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה מצ ב.

.kמצא את השיעורים של הנקודה (1ג. )

חשב את השטח המוגבל על ידי שני המשיקים (2)

ועל ידי הפרבולה )השטח האפור שבציור(


)max)4,2 (.1)א (2א.) 4y (ב.) 164 xy

(.2ג) k)4,3( (.1ג)3

2

3

1

3

1S

y

x A

K

B



31

31

מועד חצב/ ברק תש"ע 35813מבחן בגרות . 15שאלה מספר

בציור שלפניך נתונים שני הגרפים של שתי הפונקציות:

3212)(

16)(

2

2

xxxg

xxf

של מצא את שיעורי נקודות החיתוך (1)א()

.( B,C) הנקודות x –עם ציר ה xg)(גרף הפונקציה

מצא את שיעורי נקודת החיתוך (2)

.( A. ) הנקודה y –עם ציר ה xf)(של גרף הפונקציה

xהעבירו ישר המקביל לציר ה Aדקוד דרך הק )ב(.

כמתואר בציור. y –העבירו ישר המקביל לציר ה Cודרך הנקודה

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות

השטח המקווקו( .על ידי הישרים המקבילים לצירים )ו

פתרון:

.(B,C) הנקודות x –עם ציר ה xg)(( מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה 1)א

מצא את שיעורי נקודת החיתוך (2)

. yעם ציר ה xf)(של גרף הפונקציה

.( A) הנקודה

BC קודותנ

)0,8()0,4(

84

2

412

)1(2

)32)(1(4144)12(

32120

0

3212)(

2,1

2,1

2

2

CB

xx

x

x

xx

y

xxxg

BB

Aנקודה

)16,0(

16

16)0(

0

16)(

2

2

A

y

y

x

xxf

xמשוואת המקביל לציר ה

16

)0(016

0)16,0(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

y

x

A

O B C

)16,0(

)0,4( )0,8(



32

32

ל לציר העבירו ישר המקבי Cודרך הנקודה xהעבירו ישר המקביל לציר ה Aדרך הקדקוד )ב(.

כמתואר בציור. חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות y –ה

ועל ידי הישרים המקבילים לצירים ) השטח המקווקו( .


)0,4()0,8( ( 1)א CB 16,0( (2)א(A (.)ב 3

274

3

121

3

153 S

3

274

3

153

3

1212

21

S

SSST



8x


4x 32122 xxy

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)4812(

)321216(

)3212()16(

2

2

2

2

2

2

8

4

8

4

8

4

3

153

3

1117

3

2170

)4(482

)4(12

3

)4()8(48

2

)8(12

3

)8(

482

12

3

2

2

2323

2

23

2

8

4

S

S

S

xxx

S



4x


0x 162 xy

dxxS

dxxS

dxxS

)(

)1616(

)16()16(

2

1

2

1

2

1

4

0

4

0

4

0

3

121

03

121

3

)0(

3

)4(

3

1

1

33

1

3

1

1

0

S

S

S

xS

y

x

A

O B C

)16,0(

)0,4( )0,8(

1S 2S



33

33

2112 אוגוסט ברק/ מועד חצב 13835מבחן בגרות : 16שאלה מספר

xxxxfנתונה הפונקציה : 23)(

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה , )א(.

וקבע את סוגן ) ענה בלי להסתמך על הגרף (

פונקציה העבירו משיק לגרף הפונקציהמנקודת המקסימום של ה )ב(.

רשום את משוואת המשיק . ( 1)

מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק,( 2)

xyעל ידי בישר ועל ידי גרף הפונקציה

)השטח המקווקו בציור(

פתרון:

הפונקציה , וקבע את סוגן ) ענה בלי להסתמך על הגרף ( מצא את נקודות הקיצון של )א(.

מנקודת המקסימום של הפונקציה העבירו משיק לגרף הפונקציה )ב(.

. ( רשום את משוואת המשיק1)


3

11

6

42

)3(2

)1)(3(44)2(

1230

0)('

123)('

21

2,1

2,1

2

2

xx

x

x

xx

xf

xxxf

פונקציה

y=?

),(

)()()()(

)1,1(

)1()1()1()1(

)(

27

5

3

1

3

12

3

13

3

1

3

1

23

23

B

f

A

f

xxxxf


min42)(6)('

max42)(6)1('

26)(''

3

1

3

2

f

f

xxf


min),(275

31

את המשיקמשוו

1

)1(01

0)1,1(

)( 11

y

xy

m

xxmyy

Cנקודה

)1,1(

1

1

1

C

x

x

y

xy

yy

),(275

31

A

x

Cy )1,1(

B



34

34

A

x

Cy )1,1(

B ),(275

31

)1,1(

xy( מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק, על ידי בישר 2)ב ועל ידי גרף הפונקציה

)השטח המקווקו בציור(


)1,1(max)א( min),(275

32 1 (.1)בy (. 2)ב

12

11

12

5

2

1S

12

11

12

5

2

12

21

S

SSST



0x


1x xy

dxxS

dxxS

)1(

)()1(

0

1

0

1

1

1

2

1

2

10

2

)1()1(1

2

)0()0(1

21

1

1

22

1

2

1

0

1

S

S

S

xxS



1x


0x xxxy 23

dxxxxS

dxxxxS

)1(

)()1(

23

2

23

2

1

0

1

0

12

5

012

5

2

)0(

3

)0(

4

)0()0(1

2

)1(

3

)1(

4

)1()1(1

2341

2

2

234234

2

234

2

1

0

S

S

S

xxxxS

2S 1S



35

35

"טתשסב' מרץ מועד 13135מבחן בגרות : 17ספר שאלה מ

)(241הפרבולה xxg חותכת את ציר

. ראה ציור.B -ו Aבנקודות x –ה

.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)

.Aמצא את משוואת המשיק בנקודה (1. )(ב)

.Bמצא את משוואת המשיק בנקודה (2)

שב את שטח המוגבל על ידי גרף הפרבולהח .(ג)

ועל ידי שני המשיקים ) השטח המקווקו בציור(. פתרון:

.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .(א)

.Aמצא את משוואת המשיק בנקודה (1(. )ב)

.Bמצא את משוואת המשיק בנקודה (2)

ABנקודות

)0,5.0()0,5.0(

25.0

25.041

410

0

41)(

2,1

22

2

2

BA

x

xx

x

y

xxg

Aמשיק לנקודה

4)5.0(8

8)('

m

xmxf

24

)5.0(40

4)0,5.0(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

Bמשיק לנקודה

4)5.0(8

8)('

m

xmxf

24

)5.0(40

4)0,5.0(

)( 11

xy

xy

m

xxmyy

)0,5.0(

x

y

A O B )0,5.0(

x

y

A B



36

36

חשב את שטח המוגבל על ידי גרף הפרבולה .(ג)

ועל ידי שני המשיקים



),0(),0(. (א)21

21 BA 24(1)ב xy

24. (2)ב xy (ג) 3

1

6

1

6

1S

3

1

6

1

6

12

21

S

SSST



0x


5.0x 241 xy

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)144(

)4124(

)41()24(

2

1

2

1

2

1

0

5.0

0

5.0

0

5.0

6

1

6

10

)5.0(12

)5.0(4

3

)5.0(4

)0(12

)0(4

3

)0(4

12

4

3

4

1

23

23

1

23

1

0

5.0

S

S

xxx

S


24 ל/ימיןגדו xy קטן/שמאל

5.0x


0x 241 xg

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)144(

)4124(

)41()24(

2

2

2

2

2

2

5.0

1

5.0

1

5.0

0

6

10

6

1

)0(12

)0(4

3

)0(4

)5.0(12

)5.0(4

3

)5.0(4

12

4

3

4

2

23

23

2

23

2

5.0

0

S

S

xxx

S

)0,5.0(

x

y

A O B

2S 1S

)0,5.0(



37

37

מועד ב' תש"ע 35813מבחן בגרות : 18שאלה מספר

)(4נתונה הפרבולה 2 xx f

על הפרבולה ברביע הראשון. , הנמצאת Bנקודה מ

.y –לציר ה BAואנך .x –לציר ה BCהעבירו אנך

)ראה ציור( )5,0(הם Aנקודה שיעורי ה

.ABמשוואת הישר מצא את .(א)

.Bמצא את שעורי הנקודה )ב(.

.ABCOהפרבולה מחלקת את שטח המלבן )ג(.

(O לשני שטחים ) 1 ראשית הצירים S השטח המנוקד בציור .

2 S חשב את היחס השטח המקווקו בציור 2

1

S

S

פתרון: .ABמשוואת הישר מצא את .(א)

.Bמצא את שעורי הנקודה )ב(.

ABמשוואת

5

)0(05

0)5,0(

0

y

xy

m

mלצירמקבילx

Bנקודה

5

42

y

xy

)5,1(

11

1

45

2

2

B

x

x

x

A

)5,1(

2S

1S

x

y

A

O

B

C

)5,0(

)0,1( )0,0(



38

38

לשני שטחים ראשית הציריםABCO (.O )הפרבולה מחלקת את שטח המלבן )ג(.

1 S . 2השטח המנוקד בציור S . השטח המקווקו בציור

חשב את היחס2

1

S

S


. )ג( B)5,1()ב(. 5ABy. (א)13

2

43

1

3

2

2

1 S

S

13

2

43

1

3

2

2

1 S

S



1x


0x 4)( 2 xxf

dxxS

dxxS

dxxS

)1(

)45(

)4()5(

2

1

2

1

2

1

1

0

1

0

1

0



1x

ה תחתונהפונקצי

0x 0y

dxxS

dxxS

)4(

)0()4(

2

2

2

2

1

0

1

0

3

140

3

14

)0(43

)0()1(4

3

)1(

43

2

33

2

3

2

1

0

S

S

xx

S

3

20

3

2

)0(13

)0()1(1

3

)1(

13

1

33

1

3

1

1

0

S

S

xx

S

)5,1(

2S

1S

x

y

A

O

B

C

)5,0(

)0,1( )0,0(



39

39

מועד ב' תש"ע 35113מבחן בגרות : 19מספר שאלה

)(4נתונה הפרבולה 2 xx f

, נמצאת על הפרבולה.1שלה הוא x –ששיעור ה Aהנקודה

העבירו משיק לפרבולה , Aדרך נקודה

(ראה ציור), -1וישר נוסף שהשיפוע שלו הוא

יק.( משוואת המש1. מצא את )א

( משוואת הישר הנוסף.2)

הוא השטח המוגבל על ידי הפרבולה S 1. ב

)השטח המנוקד בציור ( y -על ידי הישר הנוסף ועל ידי ציר ה

2 S הוא השטח המוגבל על ידי הפרבולה

)השטח המקווקו בציור ( y -ק ועל ידי ציר העל ידי המשי

חשב את היחס 2

1

S

S

פתרון:

מצא את משוואת המשיק. (. 1א)

משוואת הישר הנוסף.מצא את (. 2א)

הישר הנוסףמשוואת

61

511

)1(15

1)5,1(

xy

xy

xy

m

Aנקודה

)5,1(

54)1(

1

4

2

2

A

y

x

xy


2)1(2

2)('

m

xmxf

32

522

)1(25

2)5,1(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

O

2S

1S

x

y

A )5,1(



40

40

y -וגבל על ידי הפרבולה על ידי הישר הנוסף ועל ידי ציר ההוא השטח המ S 1. (ב)

הוא השטח המוגבל על ידי הפרבולה על ידי המשיק ועל ידי ציר S 2)השטח המנוקד בציור (

)השטח המקווקו בציור ( חשב את היחס y -ה2

1

S

S


32. (1א) xy ,6 ( 2)א xy (ב) .2

13

1

3

1

6

1

2

1 S

S

2

13

1

3

1

6

1

2

1 S

S



1x


0x 4)( 2 xxf

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)21(

)461(

)4()61(

2

1

2

1

2

1

1

0

1

0

1

0



1x


0x 32 xy

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)12(

)324(

)32()4(

2

2

2

2

2

2

1

0

1

0

1

0

3

1

3

10

3

1

)0(12

)0(2

3

)0()1(1

2

)1(2

3

)1(

12

2

3

2

2

2323

2

23

2

1

0

S

S

S

xxx

S

6

11

6

110

6

11

)0(22

)0(

3

)0()1(2

2

)1(

3

)1(

223

1

1

2323

1

23

1

1

0

S

S

S

xxx

S

2S

1S

x

y

A )5,1(



41

41

2112מועד חורף 35813מבחן בגרות : 21שאלה מספר

)(4בציור שלפניך מוצג גרף הפונקציה 3 xxf

העבירו משיק לגרף הפונקציה. x= 2בנקודה שבה

מצא את משוואת המשיק.( 1א. )

.x –מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה ( 2)

את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, 1S -נסמן ב ב.

.y –וציר ה x -המשיק )שאת משוואתו מצאת בסעיף א ( ציר ה

x –את השטח המוגבל על ידי המשיק , ציר ה 2S-נסמן ב

) השטח המקווקו בציור( y -וציר ה

21הראה כי SS .

פתרון:

( מצא את משוואת המשיק.1)א.

.x –( מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה 2)

xחיתוך המשיק עם צי ה

)0,1(

11212

12120

0

1212

xx

x

y

xy

Aנקודה

)12,2(

124)2(

2

4

3

3

A

y

x

xy


12)2(3

3)('

2

2

m

xmxf

1212

122412

)2(1212

12)12,2(

)( 11

xy

xy

xy

m

xxmyy

2S

1S x

y

)12,2(A

)0,0(

)0,1(



42

42

המשיק )שאת משוואתו מצאת בסעיף א את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, 1S -נסמן ב ב.

y -וציר ה x –את השטח המוגבל על ידי המשיק , ציר ה 2S-.נסמן ב y –וציר ה x -( ציר ה

21 הראה כי ) השטח המקווקו בציור( SS .

נגדיר ב 3S הפונקציה המשיק וציר ה את כל השטח המוגבל על ידי- y את שני השטחים והוא כולל

213 SSS

: ה סופיתתשוב

1212( 1)א xy 621)ב( )0,1(( 1)א SS



2x


0x 1212)( xxf

dxxxS

dxxxS

dxxxS

)1612(

)12124(

)1212()4(

3

3

3

3

3

3

2

0

2

0

2

0

12

12012

)0(162

)0(12

4

)0()2(16

2

)2(12

4

)2(

162

12

4

3

3

2424

3

24

3

2

0

S

S

S

xxx

S

3S

x

y

)12,2(A

O

)0,1(

2S

1S x

y

)12,2(A

O

)0,1(

)12,0(

2Sמציאת שטח

62

1212

S

1Sמציאת שטח 6612131 SSS

פרק 2ב אינטגרל - שני שטחים

Education