15.2 乘法公式

请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（ 1 ）第一天有 a 个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（ 2 ）第二天有 b 个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（ 3 ）第三天这（ a+b ）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（ 4 ）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？

(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)

在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？

我们知道 a2=a•a ，所以 (a+b)2=(a+b)(a+b) ，这样就转化成多项式与多项式的乘积了．

能不能将 (a+b)2 转化为我们学过的知识去解决呢？

像研究平方差公式一样，我们探究一下 (a+b)2 的运算结果有什么规律．

计算下列各式，你能发现什么规律？

（ 1 ） (p+1)2=(p+1)(p+1)=_______ ；

（ 2 ） (m+2)2=_______ ；

（ 3 ） (p-1)2=(p-1)(p-1)=________ ；

（ 4 ） (m-2)2=________ ；

（ 5 ） (a+b)2=________ ；

（ 6 ） (a-b)2=________ ．

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1

(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m•2+2×2=m2+4m+4

（ 3 ） (p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p•(-1)+(-1)•p+(-1)×(-1)

=p2-2p+1

（ 4 ） (m-2)2=(m-2)(m-2)

=m2+m•(-2)+(-2)•m+(-2)×(-2)=m2-4m+4

（ 5 ） (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

（ 6 ） (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2

通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？

完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 倍

用符号怎么表述呢？

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．

你能根据图（ 1 ）和图（ 2 ）中的面积说明完全平方公式吗？

先看图（ 1 ），可以看出大正方形的边长是 a+b ．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成， � 所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是 a ，所以它的面积是 a2 ；另一个小正方形的边长是 b ，所以它的面积是 b2 ；另外两个矩形的长都是 a ，宽都是 b ，所以每个矩形的面积都是 ab ；大正方形的边长是 a+b ，其面积是(a+b)2 ．于是就可以得出： (a+b)2=a2+2ab+b2 ．这正好符合完全平方公式．

如图（ 2 ）中，大正方形的边长是 a ，它的面积是 a2 ；矩形DCGE 与矩形 BCHF 是全等图形，长都是 a ，宽都是 b ，所以它们的面积都是 a•b ；正方形HCGM 的边长是 b ，其面积就是 b2 ；正方形 AFME 的边长是（ a-b ），所以它的面积是(a-b)2 ．从图中可以看出正方形 AEMF 的面积等于正方形 ABCD 的面积减去两个矩形 DCGE 和 BCHF 的面积再加上正方形 HCGM 的面积． � 也就是： (a-b)2=a2-2ab+b2 ．这也正好符合完全平方公式．

数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课时提出的老人用糖招待孩子的问题了．

(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab ． � 于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多 2ab 块．

例 3 运用完全平方公式计算 :

(1) (4m+n)2; (2) (y- )2.1

2

解 : (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2

= 16m2+8mn +n2;

(2) (y - )2 = y2 - 2•y• + ( )2

= y2-y +

1

2

1

2

1

2

1

4

例 4 运用完全平方公式计算 :

(1) 1022 ; (2) 992 .解 : (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .

(2) 992 = (100 -1)2

= 1002 -2Χ100Χ1+12

= 10 000 - 200 + 1

= 9 801.

1 、完全平方公式的内容是什么？

2 、请同学们总结完全平方公式的结构特征。公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍．

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

3 、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式