第 2 章 点、直线和平面的投影

2.1 投影法的基本概念

2.2 点的投影

2.3 直线的投影

2.4 平面的投影

教学要求1 、了解投影法的基本概念、投影法的分类。2 、掌握正投影法的原理及特性，建立初步的空 间投影概念。3 、掌握点、直线、平面在三投影面体系中投影 特性和作图方法。4 、理解空间两直线的相对位置及判断方法，完 成相关作图问题。5 、掌握直线上的点和平面上的点、线的作图方 法。

2. １ 投影法的基本概念一、投影概念

S 投射中心

B

c投射线

投影面 P

C

A

b

a

二、 投影法种类中心投影法

平行投影法

S 投射中心

A投射线

(a) 中心投影法

P P

(b) 平行投影法

1 、常用的投影方法有两大类

P

b c

C

A

BC

b c

a a

B

2 、平行投影法 投射线相互平行的投影法称为平行投影法。 在平行投影法中又分为两种： (1) 正投影法 ---- 投射线与投影面垂直。 (2) 斜投影法 ---- 投射线与投影面倾斜。

H

(a) 正投影法 (b) 斜投影法

Hc

C

B

b

B

C

b

c

A A

a a

2.2 点的投影点的投影仍然是点点的一个投影不能确定其空间位置

b

H

A

B1

B2

B3

a

1 、三投影面体系相互垂直的三个投影面将空间分成八个分角。

我国国家标准《机械制图》规定，机械图样是按正投影法将物体放在第一分角进行投影

W

H

V

OX

Z

Y

H

V

W

一、点在三投影面体系中的投影

H

W

V

三投影面体系

正立投影面 V X Z

水平投影面 H X Y

侧立投影面 W Y Z

互相垂直的三个投影面的交线称为投影轴

OX

Z

Y

W

H

V

OX

Z

Y

a' 点 A 的正面投影

a 点 A 的水平投影

a" 点 A 的侧面投影

a"●

a ●

a'●

A●

标记规定：1 、空间点用大写字母表示。2 、点的投影用小写字母表示。

2 、点的三面投影

H

● ●

●

●

X

Y

Z

O

V

H

WA

a

a"

a'

xa

az

ay

W 面向 右转 90°

H 面向下转 90°

V 面不动

WV

a'

a

a"● ●

●

Z

YW

YH

X

V

3 、投影面展开

a

● ●

●

●

X

Y

Z

O

V

H

WA

a

a"

a'

aax=

a'ax=

aay=

xa

az

ay●

●

Y

Zaz

a"

X

Y

ay

Oax

ay

a'●

= y= Aa' （ A 到 V 面的距离）

a'az = x =Aa" （ A 到 W 面的距离）

a"ay =z =Aa （ A 到 H 面的距离）

a"az

X

Z

Y

二、点的直角坐标和投影规律

● ●

●

●

X

Y

Z

O

V

H

WA

a

a"

a'

1 、 a'a⊥OX 轴

3 、 aa

xa

az

ay●

●

Y

Zaz

a"

X

Y

ay

O

a

ax

ay

a'●

2 、 a'a"⊥OZ 轴

= ya"az

点的投影规律

=x

●

●

a'

a

ax

●a"●

●

a'

a

ax

a

a

方法一 :

方法二 : a"●

通过作 45° 线使aaz=aax

用圆规直接量取a"az=aax

z

z

[ 例 1] 已知点的两个投影，求第三投影。

[ 例 2] 已知点 A （ 10 ， 12 ， 15 ），求作它的三面投影。

a

a"a'

1 、两点的相对位置

判断方法：

X 坐标大的在左

b'

a

a' a'

b"

b

●

●

●

●

●

●

X

Y

Y

Z

o

B 点在 A 点之前

B 点在 A 点之下

B 点在 A 点之有右

Y 坐标大的在前

Z 坐标大的在上

三、两点的相对位置和重影点

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。

[ 例 3] 已知 A 点的 V 面投影 a' 和 W 面投影 a" ，求作 A 点的 H 面投影 a 。

a'

aA

a"

b'

b

b"B

V

X

W

H

Z

Y

O

X

Z

YH

YW

a' a"

a

O

b

b"

你会画 B 点的投影吗？？

b'

( )a b

b'

2 、重影点

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。

●

●

● ●

●

a' a"

b"

在该面投影不可见加 ( )

A 、 B 为 H 面的重影点

一、直线的投影的基本特性1 、直线对一个投影面的投影特性

直线倾斜于投影面 投影比空间线段短

ab=AB.cos

直线平行于投影面 投影反映线段实长 cd=CD

直线垂直于投影面 投影积聚为一点 积 聚 性

2.3 直线的投影

E

F

P

C

D

P P

A

B

e=f c

da

b

二、直线在三投影面体系中的投影特性

投影面平行线

投影面垂直线

一般位置直线

平行于某一投影面，倾斜于另两个投影面

垂直于某一投影面，平行于另两个投影面

与三个投影面都倾斜

正平线 水平线

侧平线

正垂线 铅垂线 侧垂线

特殊位置直线

1 、一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。直线对三个投影面的倾角分别用 α 、 β 、 γ 表示，则 :

ab=AB cos α a'b'=AB cosβ a"b"=AB cosγ

2 、投影面平行线

（ 1 ）正平线

Z

YW

Y

oX

HY

a'

a

a"

b'

b

b"

Y

Z

XA

B

H

V

oW W

YH

X

Z

V

o

平行于一个投影面，且倾斜于另外两个投影面的直线。平行于Ｖ面 a′b′=AB

ab 平行于 ox ， a"b" 平行于oz

反映 α 、 γ 角

（ 2 ）水平线

(b)(a)

Y

Z

X

A

b

B

b'

H

V b' b"

b

H

W

Y

o Y

z

oW

X

b"

平行于 H 面， ab=AB

a'b' 平行于 ox ， a"b" 平行于OYW反映 β 、 γ 角

βγ

β γ

XW

o

z

Yo

Y

W

H

V

H

B

AX

Z

Y(a) (b)

3 、投影面垂直线

（ 1 ）正垂线

垂直一个投影面即与另两个投影面平行。

ab=a"b" =AB 反映实长

●

垂直 V 面，积聚为一点

a

b

b"a' (b ')

a"

a

b

a' (b ') b" a"

（ 2 ）铅垂线

b'

b"B

Ab"b'

XW

oYo

YH

V

H

X

Z

Y(b)

(b)(b)

a′b′=a"b" =AB 反映实长

垂直 H 面，积聚为一点

（ 3 ）侧垂线

(b)(a)Y

Z

X

H

V

H

W

Y

Y

z

WX

b'

b'

A Bo(b")

bb

o

a'

a

a"

a'

a

a"(b")

ab=a'b' =AB 反映实长垂直 W 面，积聚为一点

三、 直线上点的投影1 、直线上点的投影点在直线上，点的各个投影必定在该直线的同面投影上。

(b)

H

Wx

Y

o Y

z

(a)Y

Z

X

A

B

W

H

V

o

2 、点分割线段成定比点分割线段成定比，则分割线段的各个投影之比等于其线段之比。 AC:CB=a'c':c'b'=ac:cb=a"c":c"b"

c'

c

c'

c

c"

c"

C

四、两直线的相对位置空间两直线之间的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉（ 异面）

1 、平行两直线

2 、相交两直线

若空间两直线相交，则此两直线的同面投影定相交，且交点一定符合点的投影规律。

K

k k

k' k'

3 、交叉两直线 在空间既不平行又不相交的两直线叫交

叉两直线。

1

1'1

(2)

2

2"

[ 例 4] 判别下列直线的空间位置，并画出第三投影。

水平 一般位置 侧垂

a

b

a

b

ab

[ 例 5] 过点 E 作直线分别与 AB 、 CD 相交。

5. 平面

2. ４ 平面的投影一、平面的表示法

1. 三点 2. 一直线和线外一点

3. 相交两 4. 平行两 直线直线 图形

二、平面对一个投影面的投影特性

1 、平面倾斜投影面

投影比实形小 2 、平面垂直投影面

投影积聚为一直线3 、平面平行投影面

投影反映实形

三、 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：

投影面垂直面

投影面平行面

一般位置平面

特殊位置平面

垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面

平行于某一投影面，垂直于另两个投影面

与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面铅垂面

水平面 正平面

侧平面

1 、一般位置平面 一般位置平面对三个投影面都倾斜，因此它的三面

投影均为小于实形的类似形。

2 、投影面垂直面垂直一个投影面，且倾斜于另二个投影面的平面。

Ｖ面，积聚为一直线 （ 1 ）正垂面 H 面投影和 W 面投影

均为类似形。

a"

c"

b"a"

b"

c"

H 面，积聚为一直线 （ 2 ）铅垂面

V 面投影和 W 面投影均为类似形。

YH

W

A

a"V

a'a'

X O

b"

a"

c"

b'c'

ab

c

B C

H

O

B CX

b'

HY

YW

Z

a

b

c

c"

b"

c'

W 面，集聚为一直线

（ 3 ） 侧垂面

V 面投影和 H 面投影均为类似形。

3 、投影面平行面平行于一个投影面，必垂直于另外两个投影面的平面。

V 面投影反映实形。

H 面投影和 W 面投影积聚为一直线。

（ 1 ）正平面

H 面投影反映实形。

V 面投影和 W 面投影积聚为一直线。

（ 2 ）水平面

W 面投影反映实形。

V 面投影和 H 面投影积聚为一直线。

（ 3 ）侧平面

[ 例 6] 已知平面图形的 V 面和 H 面投影，求其 W 面投影。

1'1"

1

2"

（ 2）

2'

4 、平面上的点和直线

点和直线在平面内的几何条件是：(1) 如果一点位于平面上的一已知直线上，则该点必

定在该平面内。

(2) 一直线通过平面内的两个点，则此直 线必定在该平面内。

(3) 如果一直线通过平面内的一个点，且平行平 面内的另一直线，则此直线必定在该平面内。

F

f

f’

1. 过 d' 作 d'f '//a'b'2. 过 d 作 df//ab

[ 例 7] 试判断 M 点是否在△ ABC 所确定的平面内。

M 点不在 ABC 面内M 点不在 △ ABC 面内

[ 例 8] 完成平面四边形 ABCD 的水平投影。

k'

b

k

[ 例 9] 直线 MN 是△ ABC 面内的直线，已知 V 面投影 m‘n’, 求其 H 面的投影 mn 。

m

n

[ 例 10] 已知△ ABC 的 H 、 W 面投影，求该平面 图形的 V 面投影。

[ 例 11] 判别平面对投影面的相对位置。

一般位置 铅垂 侧垂

1 、实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2 、积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，其投影积聚成点或直线。

正投影法的投影特性总结

3 、类似性 当直线或平面图形既不平行、也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图的类似形，投影小于实长或实形。4 、平行性 两互相平行的直线，其投影仍然平行。

5 、定比性 两平行线段长度之比，与其投影长之比相等。直线上两线段长度之比，与其投影长之比相等。6 、从属性 直线上的点，或平面上的点和直线，其投影必在直线或平面的投影上。

正投影法的投影特性总结（ 2 ）

a a a

本章小结

1 、熟练掌握点的投影规律及点的投影及点的直角坐标的关系； 掌握两点的相对位置。

2 、熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法； 掌握直线上的点的投影特性及定比关系；掌握两直线平行、 相交、交叉三种相对位置的投影特性。 3 、熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法 , 掌握平面内 的点和直线的几何条件及作图方法。