Wang chenggang

1/86

摘 要： 本章主要介绍投影法的基本知识，并将投影法直接——应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素

点、直线、平面的投影分析，从而为组合体的投影表达、读图分析提供必要的理论基础及方法。

投影法 点的投影 直线的投

影 平面的投影

第 2 章 点、直线、平面的投影

2.1

2.2

2.3

2.4

换面法2.5

Wang chenggang

2/86

承影面

影子

光线

物体光源

2.1.1 投影法的形成及分类

2.1 投影法

物体在光线照射下 ,能在面上产生影子 !S

投影面

投影中心

几何元素

投影的三要素

Wang chenggang

3/86

投影 (图 )

形体 投射线

投影面

投射方向 投射方向投影 (图 )

形体

投射线

投影面

投影法中心投影法

平行投影法

斜投影法

正投影法平行投影法

2.1.1 投影法的形成及分类

利用投影能把三维物体表达在平面上

点的一个投影不能确定点的空间位置 !

Wang chenggang

4/86

2.2 点的投影一、点在两投影面体系第一分角中的投影1、两投影面体系的建立

H

V

1

2

3

4

2、点的两面投影

OX

V

H

OX

A

a

a’

ax

用两个相互垂直的平面为影平面 ,构成两投影面体系

正立投影面

水平投影面投影轴

分角

Wang chenggang

5/86

一、点在两投影面体系第一分角中的投影

V

H

OX

A

a

a’

ax

2、点的两面投影

保持 V面正李位置不变 ,使 H面绕 OX轴相下旋转 90º!

OX

V

Ha

a’

ax

两面投影图

Wang chenggang

6/86

2、点的两面投影一、点在两面体系第一分角中的投影

（ 1）同一点的两面投影连线垂直于投影轴

（ 2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离。

OX

V

H

a

a’

axOX

a

a’

ax

两面投影图

点的投影规律

Wang chenggang

7/86

二、点在三投影面体系第一分角中的投影1、三投影面体系的建立 2、点的三面投影

V

H

OX

A

a

a’

axW

a’’

Z

Y

OX

V

Ha

a’

ax

wa’’

保持 V面正李位置不变 ,使 H面绕 OX轴 ,W面绕 OZ轴分别

相下相后旋转 90º!

Wang chenggang

8/86

二、点在三投影面体系第一分角中的投影

2、点的三面投影

（ 2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离。

OX

V

H

a

a’

ax

wa’’

（ 1）同一点的两面投影连线垂直于投影轴

三面投影图Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

a

ax

az

相等 !

水平投影到 OX轴的距离等于其侧面投影到 OZ轴的距离 !

Wang chenggang

9/86

二、点在三投影面体系第一分角中的投影2、点的三面投影

Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

a

ax

az

45º

ax

Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

az

例 :已知 A点的正面投影和侧面投影 ,求其水平投影

Wang chenggang

10/86

3 点的直角坐标二、点在三投影面体系第一分角中的投影

V

H

OX

A

a

a’

axW

a’’Xa

Ya

Za

Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

a

Xa

Ya

Za

Ya

Za

将投影轴视为笛卡尔坐标系的坐标轴 ,, 则点的投影与其直角坐标一一对应 .

Wang chenggang

11/86

例 2-2：已知点 A（ 25， 20， 30），试求其三面投影。

二、点在三投影面体系第一分角中的投影

25

30

25

X O

Z

YW

YH

a’

a

a’’

Wang chenggang

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特殊位置点的投影

X O YW

YH

a’

a

a’’

1:投影面上的点 :投影面上的点 ,到该投影面的距离为 0,故它的

一个投影与本身重合 ,另两面投影在投影轴上 ,.

B’ ZB”

b

A点在 H面上

B点在 V面上 2:投影轴上的点 :投影面轴的点 ,到两个投影面的距离

为 0,故它有两面投影重合在投影轴上 ,

另一投影与坐标圆点重合 .,.

c

c’ c’’

C点在 OY轴上

Wang chenggang

13/86

4、两点的相对位置二、点在三投影面体系第一分角中的投影

V

H

OX

A

a

a’

axW

a’’B

b’

b’’

b

Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

a

b’

b’’

b

两点的相对位置 ,是指它们上下左右前后间的关系

反映两点上下 ,左右 反映两点上下 ,前后

反映两点左右 ,前后

Wang chenggang

14/86

X

Z

YW

YH

O

a′ a"

返回

b′

b

b"

a

5

8

9

例：已知 A点在 B点之前 5毫米，上 9毫米，右 8毫米，求 A点的投影

Wang chenggang

15/86

5、重影点二、点在三投影面体系第一分角中的投影

当空间两个点处于同一投射线上时，它门在与该投射线垂直的投影面上的投影必重合，。此两点称为该投影面的重影点 。

在投影图上常把不可见的投影点加上括号。

V

H

OX

A

a

a’

axW

a’’

b’’

b

b’B

Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

a (b)

b’ b’’

Wang chenggang

16/86

例：判断 A、 B两点， C、 D两点的相对位置。

X

Z

YW

YH

O

a′ a"

c′

c

a(b)

b′

d′

d

c"(d")

A点在 B点的正上方

C点在 D点的正左侧

Wang chenggang

17/86

2-3 直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况投影为一点。

一、概述：

直线的投影可由直线上任意两点的同面投影确定。

b’’

b’

Z

OX

a’’a’

Yh

Yw

a

b

Wang chenggang

18/86

二、直线上的点

V

1．点在直线上，点的投影必在直线的同面投影上。反之，若点的各面投影均在直线的同面投影上，点一定在直线上。

2．直线上的点，分直线段的长度比，等于其投影分直线段投影的长度之比。

Wang chenggang

19/86

例 2-5：已知 AB直线的投影，在其上作出一点C ， 使 AC： CB=2： 3。

2

5

c

c’

分析 :利用平行线截的比例线段先在一面投影山作出 2:3的投影点

作图 :

Wang chenggang

20/86

三 . 直线与投影体系的关系

（ 1） 直线的分类

直线一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线 (简称一般位置线 )

特殊位置直线

投影面平行线：仅平行于一个投影面的直线

( V∥ ：正平线；∥ H：水平线；∥ W：侧平线 )

投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线

(⊥V：正垂线 ⊥； H：铅垂线 ⊥； W：侧垂线 )

Wang chenggang

21/86

ba

b

a

a b

ba

ba

a b

ABγ

γ

β

ββ

γ

•投影特性：•1.a′b′= //OX， a" b" //OY。•2. ab=AB。•3.反映、 角的真实大小。

1、投影面平行线

ox

z

yH

yW

V

H

W

OX

Y

Z

Wang chenggang

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表 2.1 投影面平行线

1 1）在所平行投影面上的投影反映实长，且它与投影轴的夹 角，分别等于直线与其它两个投影面的倾角 。

2） 在另外两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，长度缩

短 。

Wang chenggang

23/86

2、投影面垂直线

V

X O

Z

Y

o

z

X

YH

YWb

aa

b

A

B b

a

a

b

a(b) a(b)

投影特性：•1.a b 积聚成一点。•2.a′b′OX ; a″b″ OY 。•3.a′b′= a″b″=AB。

Wang chenggang

24/86

表 2.2 投影垂直线

1）在所垂直投影面上的投影积聚为一点。 2 ）在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，并且反映直线的实长。

Wang chenggang

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3、一般位置直线

b

a

b

a

a

bγ

α

β

.投影特性：•1.a b、 a′b′、 a″b″小于实长。•2.a b、 a′b′、 a″b″均倾斜于投影轴。•3. 不反映 、 、 实角。

oX

Z

YH

YW

Wang chenggang

26/86

V

H

OX

一般位置直线的实长及对投影面的倾角

=ab

a’ax-b’bx

AB

倾角

a

b

a’

b’

X O

ab

a’b’

a’ax-b’bxAB

ß

一般位置直线的投影不反映其空间长度

及其对投影面的倾角 ,可用直角三角形

法作图求出

Wang chenggang

27/86

例 2-6：已知直线 AB的正面投影及端 A点的水平投影 α，且已知 AB 直线对 V面倾角为 30°， B点在 A点的后方，求作 AB直线的水平投影。

=a’b’

b

a’

b’

X O

a

=30º

分析 :已知正面投影即知道一直角边的长度 ,又知 V面倾角为 30°

就是知道斜边与正面投影直角边的夹角 ,能够作出该直角三角形 ,

另一直角边就是 A,B两点与 V面的距离差 .

作图 :

Wang chenggang

28/86

四、直线与直线的相对位置

平行两直线的所有同面投影都互相平行，且具有定比性。

相交两直线的所有同面投影都相交，其交点符合点的投影 规 律 ，且具有定比性。

1

2

3

（ ）交叉两直线的某个投影可能会出现平行，但不会三个投影都平行。

（ ）交叉两直线所有同面投影可能都相交，但相交处是重影点而不是交点。

（ ）重影点的可见性要根据它们另外的投影来判断。

a 'a '

b ' b '

c ca a

b b

c ' c '

d 'd '

d d

a ''

b '' c ''

d ''

a

b b

a

a ''

b ''

c c

c ''

d ''d '

c ' a '

b '

d

a '

b '

c '

d '

d

aa

b b c

c

d d

a ''

b '' c ''

d ''d '

b ' c '

a 'a '

d '

b ' c '

a ' a '

b ' b '

c ' c '

d ' d '

a ''

b '' c ''

d ''

d

c b

aa

b cd

K

1

k

BC

D2

3

4

1

2

3

1

2

4

2 1

21

1 2

3

4

( )

( )

( )2

4

13

1

2

k

kk k

空 间 情 况 投 影 图 投 影 特 性

平

行

两

直

线

相

交

两

直

线

交

叉

两

直

线

X

Z

O

YH

YW

X O

YH

YW

Z

Z

OX YW

YH

YH

YW

Z

X O

空两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉（异 面），1;平行两直线

平行两直线的所有同面投影都互相平行，且具有定比性。

相交两直线的所有同面投影都相交，其交点符合点的投影 规 律 ，且具有定比性。

1

2

3

（ ）交叉两直线的某个投影可能会出现平行，但不会三个投影都平行。

（ ）交叉两直线所有同面投影可能都相交，但相交处是重影点而不是交点。

（ ）重影点的可见性要根据它们另外的投影来判断。

a 'a '

b ' b '

c ca a

b b

c ' c '

d 'd '

d d

a ''

b '' c ''

d ''

a

b b

a

a ''

b ''

c c

c ''

d ''d '

c ' a '

b '

d

a '

b '

c '

d '

d

aa

b b c

c

d d

a ''

b '' c ''

d ''d '

b ' c '

a 'a '

d '

b ' c '

a ' a '

b ' b '

c ' c '

d ' d '

a ''

b '' c ''

d ''

d

c b

aa

b cd

K

1

k

BC

D2

3

4

1

2

3

1

2

4

2 1

21

1 2

3

4

( )

( )

( )2

4

13

1

2

k

kk k

空 间 情 况 投 影 图 投 影 特 性

平

行

两

直

线

相

交

两

直

线

交

叉

两

直

线

X

Z

O

YH

YW

X O

YH

YW

Z

Z

OX YW

YH

YH

YW

Z

X O

2;相交两直线

Wang chenggang

29/86

2;相交两直线

平行两直线的所有同面投影都互相平行，且具有定比性。

相交两直线的所有同面投影都相交，其交点符合点的投影 规 律，且具有定比性。

1

2

3

（ ）交叉两直线的某个投影可能会出现平行，但不会三个投影都平行。

（ ）交叉两直线所有同面投影可能都相交，但相交处是重影点而不是交点。

（ ）重影点的可见性要根据它们另外的投影来判断。

a 'a '

b ' b '

c ca a

b b

c ' c '

d 'd '

d d

a ''

b '' c ''

d ''

a

b b

a

a ''

b ''

c c

c ''

d ''d '

c ' a '

b '

d

a '

b '

c '

d '

d

aa

b b c

c

d d

a ''

b '' c ''

d ''d '

b ' c '

a 'a '

d '

b ' c '

a ' a '

b ' b '

c ' c '

d ' d '

a ''

b '' c ''

d ''

d

c b

aa

b cd

K

1

k

BC

D2

3

4

1

2

3

1

2

4

2 1

21

1 2

3

4

( )

( )

( )2

4

13

1

2

k

kk k

空 间 情 况 投 影 图 投 影 特 性

平

行

两

直

线

相

交

两

直

线

交

叉

两

直

线

X

Z

O

YH

YW

X O

YH

YW

Z

Z

OX YW

YH

YH

YW

Z

X O

四、直线与直线的相对位置

Wang chenggang

30/86

例：判断两側平线 AB、 CD的相对位置。方法一：作出 AB直线的侧面投影，因 α//b// c∥ //d//，所以 AB C ∥

方法二：分别连接 AC、 BD 成直线，

AB平行 CD

Wang chenggang

31/86

例：如图所示，求作一直线使与直线 AB 平行且与直 线 ,CD,EF相交 .

e

c’

a’

b’

a

b

cd

d’

e’

f’

f

m

n

m’

n/分析 :

作图 :

Wang chenggang

32/86

五、一边平行投影面的直角的投影1：两条互相垂直的直线，如果其中一直线为投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。

2：如果两直线在同一投影面上的投影互相垂直，且其中一直线为对该投影面的平行线，则空间两直线互相垂直。

Wang chenggang

33/86

例：试求 A点与水平线 MN间的距离。 分析：从点作直线的垂线，点和垂足间的线段长是该点与直线间的距离。直线MN为水平线，故可从水平投影入手先作垂直线。

b

b’

=a’b’

距离 AB

作图：： 1．作 αb垂直于 mn，交 mn于 b，按投影关系作出 b/，连接 α/b/，得距离 AB 的两面投影。

2．用直角三角形法求出 AB 的实长。

Wang chenggang

34/86

d’

d

C’

C

a’

a(b)

b’

Ox

m

m’n’

(n)

分析： AB为铅垂线公垂线与其垂直 ,则公垂线必为水平线 ; CD要垂直与水平线 ,它们的水平投影必互相垂直 .作图：

例：求作直线 AB、 CD的公垂线

Wang chenggang

35/86

2-4. 平面的投影

一、 平面的表示法

a) b) c) d) e)

（一）平面几何元素表示

Wang chenggang

36/86

2-4. 平面的投影 一、 平面的表示法 （二）平面的迹线表示

V

PV

V

平面与投影面的交线称为平面的迹线

QV

QH

Wang chenggang

37/86

二、 平面与投影面的关系 一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面 (简称一般面 )

平面 特殊位置平面：投影面垂直面：垂直 于一个投影面的平面

( V ⊥ ⊥：正垂面； H ⊥：铅垂面； W：侧垂面 )

投影面平行面 ：平行于一个投影面的平面

( V∥ ∥：正平面； H ∥：水平面； W：侧平面 )正垂面 B

水平面 Q

Wang chenggang

38/86

V

X O

Z

YPH

b

c

a

PA

B

C

b

ca

bc

a

b

c

a

投影特性：1. abc积聚为一条线。

2. abc , abc为 ABC的类似形。3. abc与 OX, OY的夹角反映 ,角的真实大小。

投影面的垂直面 :铅垂面

X

Z

YW

YH

O

Wang chenggang

39/86

表 2-3 投影面垂直面的投影

1。 在所垂直投影面上的投影积聚为直线，在其它两投影面上的投影为缩小的类似形。

2。平面的积聚性投影与投轴的夹角，分别反映平面与其它两投影面与

的夹角。

Wang chenggang

40/86

V

X O

Z

Y

投影面的平行面 :水平面

YH

X

Z

YW

O

b′ c′a′

AB

C

b

ca

b′ c′a′

b

c

a

b″ c″a″

•投影特性：• 1. abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性。• 2. 水平投影 abc反映 ABC实形。

Wang chenggang

41/86

表 2-4 投影面平行面的投影

1。在 所平行投影面上的投影反映实形，在其它两投影面上的投影积聚为直线。

2．平面的积聚性投影平行于相应投影轴。

Wang chenggang

42/86

3、一般位置平面的投影 一般位置平面的三面投影均为类似形

V

Wang chenggang

43/86

三、 平面上的点和直线

Wang chenggang

44/86

例 2-7：已知点M △在 ABC平面上，现知M点的正 面投影 m /，试作出其水平投影。

1‘

1m

分析 :

作图 :

Wang chenggang

45/86

例 : 已知 ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。

c′

b′

a′

c

a

b

x o

d′

df

f′D 不 △在 上

Wang chenggang

46/86

[例 ] 如图 2.31a所示，过点 A作水平面 P，含直线 BC作铅垂面Q，过点 D作侧平面 R。

X OX O

解： (1)过点 A作水平面 P(2)含直线 BC作铅垂面 Q(3)过点 D作侧平面 R

分析 :包含几何元素作平面 ,就是几何元素在所作的平面上

Wang chenggang

47/86

1‘

2‘

12

d

e

分析 :ABE确定一平面 ,CD在此平面上作图 :

例：如图 2-28（ α），完成平面 ABCDEF 的水平投影。

Wang chenggang

48/86

2-5：直线与平面的变换 概述

V1

新投影面要平行或垂直于几何元素

新投影面要垂直原有的一个投影面

几何元首处于特殊位置 ,其投影反映实长 ,实形

如何把一般位置的几何元首变换为特殊位置 ?

Wang chenggang

49/86

一 :点的换面

1:名词术语

新投影面

新投影轴

新投影

旧投影面

旧投影面 保留投影

2点的换面规律 :

x2

a2

新投影与保留投影连线垂直于新轴新投影到

新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离

Wang chenggang

50/86

二：换面法的四个基本作图 1.把一般位置直线变换为投影面平行线

V1

a1’

b1’

X1

a1’b1’

实长

实长

对H面倾角

对 V面倾角 β

Wang chenggang

51/86

2.把投影面平行线变换为投影面垂直线一次换面可以实现 !

新投影轴与反映实长的投影垂直

把一般位置的直线变换为投影面的垂直线必须要两次换面

X1

X2

Wang chenggang

52/86

3.把一般位置平面变换为投影面垂直面一次换面可以实现 !在平面上取一条投影面平行线 ,将其变换为投影面垂直线 ,!

Wang chenggang

53/86

4.把投影面垂直面变换为投影面平行面一次换面即可 !新投影轴与平面的积聚性投影线垂直的投影垂直

把一般位置的平面变换为投影面的垂面必须要两次换面

X1

X2

Wang chenggang

54/86

把一般位置平面变换为投影面平行面

X2

Wang chenggang

55/86

应用举例1:已知直线 AB对 V面倾角为 30º,B点在 A点的后方求直线的水平投影 ,分析 ::

作图 X1

a1’

b1’

β30º

b

Wang chenggang

56/86

1:如图所示 ,试求 K点与平面 ABC间的距离 . 分析 ::作图

三 : 应用举例

Wang chenggang

57/86

2:试求两平面间的夹角 .

X1

X2⍺

作图分析 ::当两平面的交线垂直于投影面 ,该两平面在次投影面上的投影为两相交直线 ,其间夹角即两平面的夹角 .

Wang chenggang

58/86

作图分析 ::

3:如图所示 ,试求交叉两直线间的距离极其投影 .

X1

X2

实长

实长

Wang chenggang

59/86

作业P9,P10