§ 2 柯西中值定理和不定式极限

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§2 柯西中值定理和不定式极限

一、柯西中值定理

柯西中值定理是比拉格朗日定理更一

定式极限的问题 .般的中值定理，本节用它来解决求不

二、不定式极限

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定理 6.5

( 柯西中值定理 ) 设函数 , 在区间

)(xf )(xg

],[ ba 上满足 :

(i) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续 ;

(iii)

;0)()( 22 xgxf

(iv) .)()( bgag

则在开区间内必定 ( 至少 ) 存在一点 , 使得),( ba

一、柯西中值定理

(ii) f(x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导 ;


( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

f f b f a

g g b g a

几何意义首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程

,)(xgu .)(xfv

它在 O- uv 平面上表示一段曲线 . 由拉格朗日定

理

恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率 ( 见下图 ):

d

d x

v

u

的几何意义 , 存在一点 ( 对应于参数　 ) 的导数


.)()()()(

agbgafbf

kAB

))(,)(( fgP

))(,)(( bfbgB

( ( ) , ( ))A g a f a

O u

v


证作辅助函数)).()((

)()()()(

)()()( agxgagbgafbf

afxfxF

显然 , 满足罗尔定理的条件 , 所以存在点)(xF

),,( ba 使得　　　　 , 即0)( F

.0)()()()()(

)( g

agbgafbf

f

( ) 0( ( ) (iii) ),g f 因为否则也为零,与条件矛盾

.)()()()(

)()(

agbgafbf

gf

从而


例 1 设函数 f 在区间 [a, b](a > 0) 上连续 , 在

(a, b)

.ln)()()(ab

fafbf

证设　　　　 , 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足xxg ln)(

柯西中值定理的条件 , 于是存在　　　　 , 使得),( ba

,1

)(lnln

)()(

fabafbf

变形后即得所需的等式 .

),( ba上可导 , 则存在　　　　 , 使得


在极限的四则运算中 , 往往遇到分子 , 分母均为

无

01.

0型不定式极限

二、不定式极限

究这类极限 , 这种方法统称为洛必达法则 .

称为不定式极限 . 现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生 . 我们将这类极限统

穷小量 ( 无穷大量 ) 的表达式 . 这种表达式的极限


定理 6.6 满足：和若函数 gf

0 0

0(i) lim ( ) lim ( ) ;x x x x

f x g x

0 0(ii) ( )x U x在点的某空心邻域内两者均可导，

0( ) ;g x 且

0

( )(iii) lim , .

( )x x

f xA A

g x

可以为实数，

则0 0

( ) ( )lim lim .

( ) ( )x x x x

f x f xA

g x g x

证 0 0 0( ) ( ) , ,f x g x f g 我们补充定义所以


],[),(. 000 xxxUxx 则在区间任取连续在点

有上应用柯西中值定理，)],[( 0xx

00

0

( ) ( )( ) ( )( .

( ) ( ) ( ) ( )

f x f xf x fx x

g x g x g x g

)介于与之间

0 0 0

( ) ( ) ( )lim lim lim .

( ) ( ) ( )x x x x x x

f x f f xA

g x g g x

注，，改为中的将定理 0001 xxxxxx

0 0, ,令故x x x 根据归结原理


只要修正相应的邻域，的情形 ,, xx

结论同样成立 .

例１π

4

1 tanlim .

sin4求

x

x

x

解 0

0.容易验证：这是一个型不定式

2

π π

4 4

1 tan sec 2 1lim lim .

sin4 4cos4 4 2x x

x x

x x

0

0

0

( )lim ,

( )x x

f x

g x如果仍是型不定式极限只要满足洛


例 2 .)1ln(

)21(elim 2

21

0 x

xx

x

求

解 2 20 1ln( ) ~ ,x x x 因为当时，所以1 1

2 2

2 20 0

e (1 2 ) e (1 2 )lim lim

ln(1 )

x x

x x

x x

x x

1 3

2 2

0 0

e (1 2 ) e (1 2 )lim lim 1.

2 2

x x

x x

x x

x

0

( )lim

( )x x

f x

g x

考察必达法则的条件,可再用该法则.

存在性 .


这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的

代换，其目的就是使得计算更简洁些 .

例3 0 1

lim .e

求 xx

x

解可直接利用洛必达型不定式极限这显然是 ,00

法则 . 但若作适当变换 , 在计算上会显得更简洁些 .

于是时有当令 ,00, txxt

0 0 0

11

11lim lim lim .

e eet txx t t

x t


例4

1

0

(1 ) elim .

x

x

x

x

求

解 11

0 0

(1 )(1 ) elim lim

1

xx

x x

xx

x

1

20

ln(1 )1lim(1 )

x

x

xx

xxx

20

(1 )ln(1 )elim

x

x x x

x

0

1 ln(1 ) 1 eelim .

2 2x

x

x


2.型不定式极限

定理 6.7 满足：和若函数 gf

0 0

(i) lim ( ) lim ( )x x x x

f x g x

；

0 0(ii) ( )x U x在点的某右邻域内二者均可导，

0( ) ;g x 且

0

( )(iii) lim , , .

( )x x

f xA A

g x

可以为实数

则0 0

( ) ( )lim lim .

( ) ( )x x x x

f x f xA

g x g x


证1 00. ( ),A x U x 设为实数对于任意的，

0 1 ,x x x x 满足不等式的每一个

( ),

( )

f xA

g x

使由柯西中值定理，存在 ,, 1xx

1

1

( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

f x f x f

g x g x g

从而有

1

1

( ) ( ) ( ), (1)

( ) ( ) ( )

f x f x fA A

g x g x g


另一方面，

1

1 1

11 1

11

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

g xf x f x f x f x f x g x

f xg x g x g x g x g xf x

上式的右边的第一个因子有界 ; 第二个因子对固定

1 0 0, ,x x x 的是当时的无穷小量所以

,,0,)1( 100 时当存在正数式由 xxxx

,01 有时当 ,100 xxx


0 0 11 2( ) ( ), x x x 综合和对一切满足不等式

( ),

( )

f xA

g x

这就证明了

0

( )lim .

( )x x

f xA

g x

,, 或，若请大家想一想 A 应该如何证明？

的 x 有

1

1

22

( ) ( ) ( ), ( )

( ) ( ) ( )

f x f x f x

g x g x g x


注0 0 0x x x x x x 这里的可以用，，

件要作相应的改变 .

例5

.ln

limxx

x 求

解 .型不定式这是一个

1ln

lim lim 0.1x x

x xx

.x x ，来替换当然定理的条,x


例6

.e

lim 3x

x

x 求

解 .6e

lim6e

lim3e

lime

lim 23

x

x

x

x

x

x

x

x xxx

例7

.sin2sin2

limxxxx

x

求极限

解 ,.如果用洛必达法则型不定式这是一个

2 23

2 2

sin coslim lim . ( )

sin cosx x

x x x

x x x

2

2

coslim ,

cosx

x

x

而极限不存在但是原极限


.1sin

2

sin2

limsin2sin2

lim

xx

xx

xxxx

xx

(3) 式不成立 . 这就说明 :

lim lim .x x

f x f x

g x g x

不存在时,不能推出不存在

我们再举一例 :

例8

.2arctan

arctanlim

xx

Ax

求极限

解 π πlim arctan , lim arctan2 ,

2 2x xx x

因为


所以 A = 1. 若错误使用洛必达法则：2

2

arctan 1 1 4lim lim 2,

arctan2 1 2x x

x x

x x

这就产生了错误的结果 . 这说明 : 在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是 0

.0

或型

3. 其他类型的不定式极限0 00 1 0 , 不定式极限还有，，，，等类型它

0.

0

们一般均可化为型或者型

.下面我们举例加以说明


解1

lnln ,

xx x

x注意到则

0 0 0 02

11

1ln

lim ln lim lim lim( ) 0.x x x x

x xx x xx x

但若采用不同的转化方式 :2

0 0 0 0

2

1lim ln lim lim lim ln

1 1ln ln

x x x x

xx x x x

x x x

很明显 , 这样下去将越来越复杂 , 难以求出结果 .

例9

0lim ln .x

x x

求0( )型

,


解 2 2

1 lncos

20

lncos 0(cos ) e , lim .

0

xx x

x

xx

x 而是型

由于,

21

cos2sin

limcosln

lim020

xx

x

x

xxx

因此 2

1 1

2

0lim(cos ) e .x

xx

例 102

1

0lim(cos ) .x

xx

求( 1 )型


解

πln arctan

2lim kx

x

x

1 2

1lim

πarctan 1

2

x kx kx x

1

1 1lim

πarctan

2

x kkx x

例 11

1

02

πlim arctan ( ) .

kx

xx k

求00( )型


x

xk

k

x arctan2

lim1 1

,0lim

1

11

lim1

2

2

k

x

k

xx

kk

x

xk

k

所以，原式 = e0 = 1.

例 12 2

0

1lim 2cot .

1 cosxx

x

求( ) 型


解

x

xx

2

0cot2

cos11

lim

xx

xxxx 2

322

0 sincos1

cos2cos2sinlim

4

322

0

cos2cos2sinlim2

x

xxxx

3

2

0 4

cossin6cossin6lim2

x

xxxxx

x

xxx 2

2

0 sin

cos2cos11

lim


例 13( ) , 0

( ) .0 , 0

g x x xf x

x

设

(0) (0) 0, (0) 3, (0).g g g f 已知求

解0 0 0

( ) ( ) (0)lim ( ) lim lim

0x x x

g x g x gf x

x x

因为

(0) 0,g

( ) 0 .f x x 所以在处连续

.23cos1

lim3 20

x

xx2

2

0

coscoslim3

x

xxx


0 0

( ) 1 ( ) (0)lim lim

2 2 0x x

g x g x g

x x

20 0 0

( ) (0) ( ) ( )(0) lim lim lim

0x x x

f x f f x g xf

x x x

例 14 ( ) [ , )f x a 设在上连续可微，

lim ( ( ) ( ) ) . lim ( ) .x x

f x f x A f x A

求证

证先设 A > 0. 因为

1 3(0) .

2 2g


根据洛必达法则，有

e ( )lim ( ) lim lim [ ( ) ( )] .

e

x

xx x x

f xf x f x f x A

同样可证 A < 0 的情形 .

0 ( ) ( ) 1,A F x f x 对于的情形，可设则有

lim ( e ( ) ) lim e ( ) ( ) ,x x

x xf x f x f x

lim e ( ) .x

xf x

所以由本章第１节例４，得


lim ( ) 0.x

f x

即

定理 6.7 中的条件

)(lim0

xfxx

是可以去掉的 ,

为什么？

由上面的讨论，得到lim ( ) 1,x

F x

lim ( ) ( ) 1.x

F x F x

复习思考题

§ 2 柯西中值定理和 不定式极限

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§ 2 柯西中值定理和不定式极限