Valószínűségszámítás2. előadás

Arató Miklós

ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

Esély

Kockázat

Várható

Véletlen

Hiba Előrejelzés

Teljes eseményrendszer

• Definíció: 𝐴1, 𝐴2, … teljes eseményrendszert alkotnak, ha

𝐴𝑖𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗-re és

ራ

𝑖

𝐴𝑖 = Ω

Teljes valószínűség tétele

• Tegyük fel, hogy 𝐴1, 𝐴2, … (0 < 𝑃 𝐴𝑖 )teljes eseményrendszer, ekkor

𝑃 𝐵 =

𝑖

𝑃 ȁ𝐵 𝐴𝑖 𝑃(𝐴𝑖)

Bizonyítás:

𝐵 = 𝑖𝐵𝐴𝑖ڂ ⟹ 𝑃 𝐵 = σ𝑖 𝑃 𝐵𝐴𝑖 =

σ𝑖𝑃 𝐵𝐴𝑖

𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)

Szindbád és a háremhölgyek

• Szindbád a szultánnak tett szolgálataiért cserében 100 háremhölgy közül választhat. Azonban a háremhölgyeket nem egyszerre, hanem sorban egymás után mutatják be neki. Amennyiben egy bemutatott hölgyet nem választ ki azonnal, úgy már az örökké elveszik számára. Milyen stratégiát válasszon Szindbád, hogy a legszebb választásának minél nagyobb legyen a valószínűsége?

Stratégia

• Szindbád azt a stratégiát választja, hogy elengedi az első 𝑘 hölgyet, és az utána következők közül az addigi legszebbet választja.

• Mennyi az optimális 𝑘?

Megoldás

• 𝐴𝑖: 𝑖 − edik hölgyet választja Szindbád 𝑖 = 𝑘 + 1, 𝑘 + 2,… , 𝑛 = 100 .

• 𝐴0 egyik hölgyet sem választja ki Szindbád

• 𝐴0, 𝐴𝑘+1, 𝐴𝑘+2, …, 𝐴𝑛 teljes eseményrendszer

• 𝐵: a legszebbet választja ki

Megoldás (folyt.)

• 𝑃 𝐵 = σ𝑖 𝑃 𝐵𝐴𝑖• 𝑃 𝐵𝐴0 = 0

• 𝑃 𝐵𝐴𝑖 =1∙2∙ … ∙𝑘∙𝑘∙ 𝑘+1 ∙ … ∙ 𝑖−2 ∙1∙𝑖∙ … ∙(𝑛−1)

1∙2∙ … ∙ 𝑛=

=𝑘

𝑖 − 1 𝑛

• 𝑃 𝐵 = σ𝑖=𝑘+1𝑛 𝑘

𝑖−1 𝑛=

𝑘

𝑛σ𝑖=𝑘𝑛−1 1

𝑖

• Milyen 𝑘–ra lesz ez maximális?

Megoldás (folyt.)

• 𝑘𝑛∗ : az optimális érték

•𝑛

𝑘𝑛∗ → 𝑒

Bayes-formula általános alakja

• Tegyük fel, hogy 𝑃 𝐵 > 0, 𝐴1, 𝐴2, …

(0 < 𝑃 𝐴𝑖 ) teljes eseményrendszer, ekkor

𝑃 ȁ𝐴𝑘 𝐵 =𝑃 ȁ𝐵 𝐴𝑘 𝑃(𝐴𝑘)

σ𝑖 𝑃 ȁ𝐵 𝐴𝑖 𝑃(𝐴𝑖)

Bizonyítás:

𝑃 ȁ𝐴𝑘 𝐵 =𝑃(𝐵𝐴𝑘)

𝑃(𝐵)=

𝑃 𝐵𝐴𝑘𝑃 𝐴𝑘

𝑃(𝐴𝑘)

σ𝑖 𝑃 ȁ𝐵 𝐴𝑖 𝑃(𝐴𝑖)

Monty Hall-paradoxon • Képzeljük el, hogy egy

vetélkedőben szerepel, és három ajtó közül kell választania. Az egyik mögött kocsi van, a másik kettő mögött viszont kecske. Tegyük fel, hogy maga a 3. ajtót választja, mire a műsorvezető, aki tudja, melyik ajtó mögött mi van, kinyitja az 1. ajtót, megmutatván, hogy amögött kecske van. Ezután önhöz fordul, és megkérdezi: „Nem akarja esetleg mégis a 2. ajtót választani?” Vajon előnyére válik, ha vált?

Megoldás

• 𝐴𝑖: 𝑖 − edik ajtó mögött van a kocsi

• 𝑃 𝐴𝑖 =1

3, 𝑖 = 1, 2, 3

• 𝐵: műsorvezető az első ajtót nyitja ki

• Kérdés: 𝑃 ȁ𝐴3 𝐵 =?

• 𝑃 ȁ𝐴3 𝐵 =𝑃 ȁ𝐵 𝐴3 𝑃(𝐴3)

𝑃 ȁ𝐵 𝐴1 𝑃 𝐴1 +𝑃 ȁ𝐵 𝐴2 𝑃 𝐴2 +𝑃 ȁ𝐵 𝐴3 𝑃 𝐴3=

=1

2

1

3

01

3+1

1

3+1

2

1

3

=1

3

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/hu/0/0b/Monty-hall2.png

Függetlenség

• Az egyik legfontosabb valószínűségszámítási fogalom.

• Definíció: 𝐴 és 𝐵 függetlenek, ha 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

• Ha 𝑃(𝐵) > 0, akkor

𝐴 és 𝐵 függetlenek ⇔ 𝑃 𝐴ȁ𝐵 = 𝑃(𝐴)

Bizonyítás:𝑃(𝐴𝐵)

𝑃(𝐵)= 𝑃(𝐴)

𝑃 𝐵 >0𝑃 𝐴𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel

• Egy dobozban 𝑀 piros és 𝑁 −𝑀 fehér golyó van. 2-szer húzunk.

• 𝐴: elsőre pirosat, 𝐵: másodikra pirosat húzunk. Függetlenek-e?

Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel (folyt.)

• 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐵 =𝑀

𝑁.

• Visszatevésesnél:

𝑃 𝐴𝐵 =𝑀2

𝑁2= 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

• Visszatevés nélkül:

𝑃 𝐴𝐵 =𝑀(𝑀−1)

𝑁(𝑁−1)≠ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

Több esemény függetlensége

• Definíció: 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛függetlenek, ha bárhogy választunk ki közülük 𝑘darabot (2 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) úgy:

𝑃(𝐴𝑖1𝐴𝑖2…𝐴𝑖𝑘) = 𝑃(𝐴𝑖1)𝑃(𝐴𝑖2)…𝑃(𝐴𝑖𝑘)

• Nem elég sem a páronkénti függetlenség, sem az ”𝑛-es szorzat”!

Páronkénti, de nem teljes függetlenség

Jogos volt-e az ítélet?

• 1999-ben egy brit bíróság elítélte Sally Clarkot, mert 2 gyermeke is hirtelen csecsemőhalállal hunyt el.

• Az indok az volt, hogy a gyermekorvos szakértő szerint egy csecsemőnél 1/8500 az esélye egy ilyen halálesetnek, ezért a bíróság szerint a 2 eset valószínűsége ~ 1/73 millió.

• Későbbi kutatások kimutatták, hogy az első haláleset után a második esetnek már 1/100 az esélye (nem függetlenek).

Tönkremenési feladat

• Péter és Gábor úgy játszanak, hogy mindketten ½ valószínűséggel nyernek egy játszmában a másiktól 1 forintot.

• A játék addig megy, amíg valaki a másik összes pénzét el nem nyeri. Péternél a játék kezdeténél 10 forint, Gábornál pedig 16 forint van.

• Mekkora valószínűséggel megy tönkre Péter?

Tönkremenés (folyt.)

• Legyen k = 10 es n = 26.

• Ekkor n - k = 16.

• A := {Péter k forintrol tönkremegy }

• p(k) := P(A).

• Ekkor p(0) = 1 es p(n) = 0.

• B1 : az első lépésben Péter nyer,

• B2 : az első lépésben Gábor nyer.

Szimmetrikus bolyongás

• Egy számegyenesen lépegetünk az egészeken 0-ból kiindulva, minden lépésben ugyanakkora eséllyel lépünk balra, mint jobbra.

• Kérdés: mekkora valószínűséggel térünk vissza a 0-ba? (ezt az eseményt jelöljük C-vel)