第 2 回　 R による記述統計

• 第 8 章　 R における ( 数値 ) データ• 第 9 章　データフレーム• 第 2 章　 1 つの変数の記述統計• 第 3 章　 2 つの変数の記述統計

• 1.6.5 パッケージのインストール• 1.6.3 新しい関数の定義と利用

R におけるデータ (8 章 P205-)

変数 ( スカラー )

変数 ( ベクトル )

変数 ( 行列 )( 数字だけからなるもの）

データフレーム ( 表 )

統計分析の対象となるデータ表( 異なる型の混在可）

関数代入 ( 付置 )

合成　 c( 　）

合成　matrix( 　 )縦合成　 cbind( )

横合成　 rbind( )

合成data.frame()

編集 edit()

NO. 名前 得点 身長

1 青木 5 165

20 和田 8 180抽出DF 名 $ 変数名

1.6.5 パッケージの利用 (p35)

• R の基本パッケージには , 基本的な関数や命令が登録されている .

• 専門的な関数や統計手法は , 内容ごとにまとめて，パッケージとして用意されている．

• パッケージは必要なときにネット上の登録サイトに読みに行く . （接続先を登録）

• パッケージ→パッケージのインストール• library （使用するパッケージ名）

8.1 　スカラー , ベクトル(p205)

• 変数名は，英数字でも , 全角文字でもよい• 大文字と小文字は区別される• x <- 5 (x に 5 というスカラーを代入 )• y1 <- c(1,2,4,6,7) 　ベクトル y1 に値を代入• y2 <- 1:5 1 から 5 の連続整数• y3 <- seq(10,2,-2) 　 10 から 2 まで -2 ずつ変

化• y4 <- rep(1,8) 同じ数字を個数並べる

8.2 ベクトルの基本演算

• 項毎の四則演算　– veca + vecb,veca – vecb,veca * vecb,veca / vecb

• ベクトル間の内積– veca 　 %*% 　 vecb

• ベクトルのスカラー倍– veca * 5

• ベクトルの要素を取り出す– veca[2], veca[2:4], veca[c(2,4,5)]

8.3 行列 (p210)

• 要素を全部指定するなら matrix– matrix( 行列の要素の並び ,nrow= 行数 ,ncol= 列数 )

– matrix(1:12, nrow=3,ncol=4) または matrix(1:12, 3, 4) 　

– 列方向優先で要素が並ぶ．行方向優先ならmatrix( 要素 , 行数，列数 ,byrow=TRUE)

• 列ベクトルを横方向に連結するなら cbind– cbind(veca,vecb)

• 行ベクトルを上下にかさねるのは　 rbind– rbind(veca,vecb)

8.3 行列の基本演算（ｐ 213 ）• 要素ごとの四則演算　 +-*/• 転置行列　 t( )• 行列の積　

– mata %*% matc mata %*% t(mata)

• 行列の要素　– mata[ 行 , 列 ] 　指定なしで全部を取り出す

• 行列式　 det( 　 )• 逆行列 solve( 　 )• 固有値 eigen （　）

9.1 外部データファイルの読み込み方

データフレームに代入（付置）する．• テキストファイル ( タブ区切り )　データフレーム名　 <- read.table( “ ファイル名” ,

header=TRUE)

• クリップボード（ Excel でコピー )　　　 データフレーム名 <-

read.table( “clipboard”,header=TRUE)

• CSV ファイル ( コンマ区切り )　　 データフレーム名 <- 　 read.csv( “ ファイル名” )

Excel ファイルを直接読むためには，ｘｌｓｘパッケージ内の関数を使う

2 章で使うデータフレームのExcel 　 File

クリップボードから読み込み

データフレーム名＄データ名　として使う

Excel ファイルの直接読み込み

• xls ファイル– gdata パッケージを読み込む (perl がある場合 )

– library(gdata)

– データフレーム名 <-read.xls(“xls ファイル名” )

• xlsx ファイル– xlsx パッケージを読み込む（ java が必要）– library(xlsx)

– データフレーム名 <-read.xlsx(“xlsx ファイル名” )

9.7 データフレームの編集(p246)• 新 DF 名　 <- 　 edit( データフレーム名 )

– データエディタウインドウで編集できる

データフレームの操作関数

データフレーム ( 表 )

NO. 名前 得点 身長

1 青木 5 165

20 和田 8 180

ケース

変数

条件を与えて一部のケースを取り出す

Subset(DF, 条件式 ,select=c( 変数リスト ))

Subset(DF, select=c( 変数リスト ))

リストに従い一部の変数を取り出す

Transform(DF, 変数 = 計算式 )

データフレーム中の変数を計算式で置き換える．新変数も追加可能

DF1[n+1:n+k] 　 <- 　 DF2

データフレームを横方向に結合

data.frame(DF １， DF2, ・・・ )merge(DF １， DF2, ・・・ ,all=TRUE)

現在存在しないケース番号に別のデータフレームを代

入して，縦方向に結合

save(DF, file=(“ ファイル名 .xdr”)

DF <- load( “ ファイル名 .xdr”)

XDR 形式 ( バイナリー ) ファイル

第 2 章　 1 つの変数の記述統計

• データの持つ特徴を簡潔に記述する– 20 人の英語の成績データ– → 「このクラスは大体このような英語力

です」• 数値要約　「大体 60 点です」

2.3 変数の種類• 量的変数

（四則演算ができる．平均が意味を持つ）– 比例尺度（ 0 が意味を持つ）絶対零度– 間隔尺度（間隔のみが意味を持つ）高度 , 温度

• 質的変数・・・・カテゴリーデータ（ factor 変数）– （四則演算が意味を持たない）– 順序尺度（大小関係が意味を持つ）好き嫌い

Ｆａｃｔｏｒ　Ｏｒｄｅｒｅｄ– 名義尺度（単に区別しているだけ）

Ｆａｃｔｏｒ　ｎｏｎ－ｏｒｄｅｒｅｄ

データフレーム名＄データ名　として使う

カテゴリーデータ (順序付 ) の定義

• 文字列を用いてデータフレームを作るカテゴリー変数名 <-factor （ factor 変数 ,水準を表す文字列のベクトル , labels=各水準の意味を示す文字ベクトル ,ordered=TRUE)

• カテゴリーを表す数値を用いて定義するカテゴリー変数名 <-factor （数値変数 ,水準を表す数字のベクトル , labels=各水準の意味を示す文字ベクトル ,ordered=TRUE)

• 連続数値データから分類して作るカテゴリー変数名 <-cut （数値変数 ,breaks= 分割点ベクト

ル ,right=FALSE,labels= 意味を示す文字ベクトル ,ordered_result=TRUE)

2.4 変数の視覚的表現 (p.40)度数分布表　 table( ベクトル )ヒストグラム　 hist( ベクトル )

度数分布表 (離散分布 )

• データがとりうる値のそれぞれについて，その出現回数を度数　 frequency 　という

可能な値 度数       

      

   

       

合計 n

1x

2x

kx

1f

2f

kf

度数分布表を図（棒グラフ）で表したものをヒストグラム (histogram) という

1x ix

1f

if

階級による度数分布表 階級 階級値 度数

　 相対度数 累積度数 累積相対度数9.95 ～ 10.85

10.4 1 0.02 1 0.0210.85～

11.7511.3 6 0.12 7 0.14

11.75～ 12.65

12.2 7 0.14 14 0.2812.65～

13.5513.1 12 0.24 26 0.52

13.55 ～14.45

14.0 12 0.24 38 0.7614.45～

15.3514.9 9 0.18 47 0.94

15.35～16.25

15.8 3 0.06 50 1.00

Sturgesの式 ：データ数 に対して階級数を決める一つの目安階級数 =

2log

log1

10

10 n 　 n が 50 前後→ 5～ 7階級　 n が 100 前後→ 8～ 12階級　 n が 100以上→ 10～ 20階級

階級による度数分布の表現

ヒストグラム 度数折れ線 累積度数折れ線1x ix

1f

if

1x ix

1f

if

1b1F

iF

ib

n

kb

箱ひげ図　 boxplot( 変数名 ) 　 MIN, １ QL,Median ，３ QL,MAX

2.5 平均　 2.6 代表値　 (p42)

• 代表値　 20 人の値を代表するひとつの値• 平均＝合計の値／データの個数

mean( ベクトル )＝ sum( ベクトル )／ length( ベクトル )

• 中央値 (median)– median( ベクトル )

• 最頻値 (mode)

特性値 ( 代表値 )

• 代表値 : 分布の特徴を代表する数値– 平均　 mean

– メディアン ( 中位数） median

　

– モード (最頻値 ) 　 mode• 最多の頻度を持つ階級の階級値

n

iixn

x1

1

k

iiixfn

x1

1

kn

kn

xx

xx

kk

k

2

12

2/)(~

)1()(

)1(

1

11

2/~

ii

ii FF

Fnhax

2.7散布度 (p46)

• 分布の特徴を把握しようとする場合 ,中心的位置を表す「代表値」に加えて ,どの程度のちらばり，バラツキがあるのかを示すことが必要となる .– 散らばり ,ばらつきの程度を表す数値を

「散布度」という．• 分散＝平均からの偏差の２乗の平均値　　　　＝２乗の平均値－平均値の２乗• 標準偏差＝分散の正の平方根

特性値 (散布度 )

• 散布度：データが平均のまわりに集中して分布するか，平均のまわりから散らばって分布するかの程度を表わす数値– 分散　 variance

– 平均偏差 mean deviation

　

– 四分偏差　 quartile deviation

n

ii xx

nx

1

22 )(1

)(

k

iii fxx

nx

1

22 )(1

)(

n

ii xx

nxMD

1

1)( i

k

ii fxx

nxMD

1

1)(

))()((2

1)( 13 xQxQxQ

標準偏差

• 分散の正の平方根– もとのデータと同じ単位を持つ

n

ii xx

nx

1

2)(1

)(

k

iii fxx

nx

1

2)(1

)(

不偏分散と不偏標準偏差

• 標本分散：データからそのまま計算した分散– （平均からの偏差 2乗の和 / データ数）

• 標本標準偏差：その平方根

• 不偏分散：データが母集団からのサンプルであると考えたときの母集団の分散： var( )– 平均からの偏差 2乗の和 /( データ数ー１）

• 不偏標準偏差：不偏分散の平方根　： sd( )

1.6.3 関数を自作する (p31)

• 標本分散を求める関数 varp( ) を新しく作るvarp <- function(x) {

+ 標本分散 <- var(x) *(length(x)-1)/length(x)

+ 標本分散+ }

• 使うときは , すでにある関数と同様に ,> varp( テスト a)

[1] 6.3

R における記述統計• 個別の関数

– Mean( 変数名 ) ， sd( 変数名 )• NA (欠損値）があると計算できない• Mean( 変数名 ,na.rm=TRUE ）

– 代替関数の定義• Mean2 <- function(x) mean(x, na.rm=TRUE)• Mean2( 変数名 )

• 数個の記述統計を一括表示– Summary( 変数名 )

• 特定の関数を選択的に適用– Sapply( 対象となる変数 , 関数 ,na.rom=TRUE)

2.9 その他の散布度• 平均偏差：「平均からの偏差の絶対値」の平

均値dvave <- function(x) {

+ 平均偏差 <- mean(abs(x - mean(x)))

+ 平均偏差+ }

• 範囲（レンジ）：最大値と最小値との差> drange <- function(x) {

+ 範囲 <- max(x) - min(x)

+ 範囲+ }

2.10標準化 (p51) 　 2.11偏差値(p53)

• Z 得点：– （データの値－平均値）／標準偏差– この得点の平均は 0 ，分散 ,標準偏差は 1

• 偏差値： z 得点 ×10+50– 偏差値の平均は 50 ，分散は 100,標準偏差は

10

2 章練習問題 (p54)

（１）以下は A 大学と B 大学の学生 (各 10 人 )の一日のテレビの視聴時間 (単位は分 ) のデータです . 大学ごとにヒストグラムを描いてみましょう

　 A 大学： 60,100,50,40,50,230,120,240,200,30　 B 大学： 50,60,40,50,100,80,30,20,100,120（２）上記のデータについて , 大学ごとに平均

と標準偏差を求めてみましょう（３）上記のデータについて , 大学ごとにデー

タを標準化してみましょう

【問題１】代表値の算出　次のデータは，あるカルチャーセンターにおける読書会の会員４０名の年齢である．スタージェスの式をもちいて度数分布表・ヒストグラム・累積度数分布図を作成せよ．また，平均値，最大値，最小値，中位数，最頻値を求めよ．

53 37 19 45 60 51 40 23 41 58

57 44 65 44 43 23 36 62 35 47

37 46 72 51 24 18 31 50 54 29

50 43 30 49 36 53 43 54 40 44

【問題２】代表値の算出• 問題１のデータから，分散，標準偏差，４分偏差を求めよ．• 問題１で作成した度数分布表から，それらの数値を求めて

比較せよ

53 37 19 45 60 51 40 23 41 58

57 44 65 44 43 23 36 62 35 47

37 46 72 51 24 18 31 50 54 29

50 43 30 49 36 53 43 54 40 44

【問題３】分散の計算方法• 分散は次式で定義されている

• その値は次の方法で計算できることを示せ

n

ii xx

nx

1

22 )(1

)(

2

1

22 )(1

)( xxn

xn

ii

【問題 4】標準偏差による基準化

• あるクラスの英語の試験の平均点　　は 67 で標準偏差　　　は 8.5 ．また，数学の試験の平均点　　は 53 で標準偏差　　　　は 12.6 でした．

• このクラスの A君の成績は英語が 75 点で数学が 68 点でした．• A君のクラスでの成績は，英語と数学のどちらの順位が上でしょうか．

xy)(x

)(y

第 3 章　 2 つの変数の記述統計

• データの持つ特徴を簡潔に記述する (p55)– ここでは、 2 つの変数の関係を記述したい

• 相関　「国語の点数が高い人ほど、英語の点数が高い」 ( 量的変数同士の関係 )

• 連関　「洋食派には甘党が多く、和食派には辛党が多い」 (質的変数同士の関係 )

• 相関があっても、因果関係によるものかは不明– ｢国語の成績が良いから、英語の教科書がうまく理解できて、英語の成績が上った」のかどうかは不明

散布図　 Scatter Diagram

• 変量　　　　　の組の測定値　　　　　　を平面上にプロットした図

yx, ),( ii yx

x

y

x

y

x

y

plot （ベクトル 1, ベクトル 2 ）

２変量の関係を表わす数値

• 共分散　 covariance– 測定単位の影響を受ける– 不偏共分散

　　 cov( ベクトル１ , ベクトル２ )

• 相関係数　 correlation coefficient

cor( ベクトル１ , ベクトル２）

n

iii yyxx

nyxC

1

))((1

),(

)()(

),(),(

yx

yxCyx

n

iii yyxx

nyxC

1

))((1

1),(

± １．０

± ０．７

± ０．４

± ０．２

０．０

強い相関

中程度の相関

弱い相関

相関なし

クロス集計表

table( 数学 , 統計 )

> 数学 <- 指導法データ$ 数学

　　　　 > 統計 <- 指導法データ$ 統計　　　　 > table( 数学 , 統計 )

　　　　　　 統計数学 嫌い 好き 嫌い 10 4　　好き 2 4

Φ係数• Φ係数： 2 値の質的データを 1,0 で置

き換えたときの相関係数

> 数学イチゼロ <-ifelse( 数学 =="好き ",1,0)> 統計イチゼロ <- ifelse( 統計 =="好き ",1,0)> 数学イチゼロ [1] 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0> 統計イチゼロ [1] 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0> cor( 数学イチゼロ , 統計イチゼロ )[1] 0.3563483

2 変量の度数分布表 ( クロス集計表 )

• 変量がとりうる値が多いとき

・・・

計

・・・

　： ： ： 　：・・・

計 ・・・

yx 1y ny

1x

mxn

11f nf1 1f

mf1mf mnf

1f nf

共分散

相関係数

m

i

n

jijji

m

i

n

jijji yxfyxn

fyyxxn

yxC1 11 1

1))((

1),(

)()(

),(),(

yx

yxCyx

【問題 5】データからの相関係数の計算• 次のデータについて，共分散，相関係数を求めよ

表 1.3: 二酸化硫黄と二酸化窒素の濃度

時刻 二酸化硫黄 二酸化窒素 時刻 二酸化硫黄 二酸化窒素x y x y

1 23 43 13 38 212 21 28 14 51 373 18 17 15 109 654 17 16 16 90 655 17 16 17 78 506 15 10 18 75 587 13 5 19 34 428 14 5 20 33 529 16 8 21 29 55

10 17 13 22 31 5511 17 11 23 25 5512 35 28 24 25 51

【問題 6】同時度数分布表からの相関係数の計算• ある学校のあるクラス５０名の英文法の試験の成績 x と

　　英会話の成績 y の同時度数分布は以下のようであった• 英文法の平均点と分散を求めよ• 英会話の平均点と分散を求めよ• 共分散と相関係数を求めよ

　　　y

x44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 計

24.5 1 1 2

34.5 1 1 2 4

44.5 1 4 2 1 8

54.5 1 3 8 5 3 20

64.5 1 2 2 4 1 10

74.5 2 3 5

84.5 1 1

計 5 10 17 14 4 50