1

STRUCTURAL ANALYSIS

By

Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING

INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

2

บทที่ 2Slope-Deflection Method

วัตถุประสงค1. เพื่อใหเขาใจ concept ของวิธี slope-deflection2. เพื่อใหสามารถวิเคราะหคานและโครง frame แบบ statically

indeterminate โดยวิธี slope-deflection และเขียนแผนภาพ shear diagram, moment diagram และ elastic curve ไดอยางถูกตอง

3

equilibrium equations และ force-displacement relationships

displacementsDisplacement method

compatibility equations และ force-displacement relationships

forcesForce methodสมการที่ใชในการหาคําตอบUnknownวิธีการ

2.1 Displacement Method: General Procedures

ขอจํากัด:1. ภายใตแรงกระทํา วัสดุมีพฤติกรรมอยูในชวง linear elastic2. ภายใตแรงกระทํา การเปลี่ยนแปลงรูปรางที่เกิดขึ้นมีคานอยมาก

4

1. กําหนดใหมีการเปลี่ยนตําแหนงที่ไมทราบคาหรือ DOF เกิดขึน้ที่จุดเชื่อมตอ (joint) ของโครงสราง (node) ในที่นี้คือ θB และ θC

โดยทั่วไปแลว การวิเคราะหโครงสรางโดยวิธี displacement method มีขั้นตอนดังนี ้

จากนั้น เขียนความสัมพันธของแรงภายในและ DOF(force-displacement relations) ที่ชิ้นสวนตางๆ ของโครงสราง เชน

2 2 3 (FEM)BA B A BAIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

5

2. เขียนสมการความสมดุลของจุดเชื่อมตอ เพื่อหาคาการเปลี่ยนตําแหนงที่ไมทราบคา (DOF)

4. แทนคาการเปลี่ยนตําแหนงที่หามาไดลงใน force-displacement relations ของโครงสรางเพื่อหาคาแรง/โมเมนตตางๆ ที่เกิดขึ้นในโครงสราง

0532 =++ MMM

074 =+MM

3.แกสมการหาคาการเปลี่ยนตําแหนง

6

Degrees of FreedomNodes - จุดบนโครงสรางที่เราสนใจหาการเปลี่ยนตําแหนงที่ไมทราบคาDegree of freedom [ที่ไมยึดรั้ง] คือ การเปลี่ยนตําแหนงที่ไมทราบคาที่เกิดขึ้นที่ node ของโครงสราง ซึ่งขึ้นอยูกับลักษณะของโครงสราง

a.) Degree of indeterminacy = 3 และ degree of freedom = 1

b.) Degree of indeterminacy = 1 และ degree of freedom = 3

เมื่อไมนําแรงในแนวแกนและการยืด/หดในแนวแกนมาคิดแลว

7

ในโครงสรางใน 2 มิติ แตละ node มีจํานวน DOF ไดสูงสุด 3 คา ไดแก การเปลี่ยนตําแหนงเชิงเสนตรง 2 คา และการเปลี่ยนตําแหนงเชิงหมุน 1 คา อยางไรก็ตาม คาการเปลี่ยนตําแหนงบางตัวอาจมีคาเทากบัศูนยหรืออาจทราบคา เชน คาการทรุดตัว etc. ทําใหจํานวน DOF ของโครงสรางลดจํานวนลงได

DOF = 1 คา

DOF = 4 คา

8

DOF = 3 คา DOF = 9 คา

9 10

2.2 Slope-Deflection Equations

ความสัมพันธระหวาง moment ภายในที่เกดิขึ้นที่ปลายของชิ้นสวน AB(MAB และ MBA) ภายใตแรงกระทําและ DOF (θA, θB และ ∆) จะหาไดดังนี้

พิจารณาชิ้นสวน AB ของคานตอเนื่อง (continuous beam)

สมมุตฐิานการเปลี่ยนแปลงรูปรางของชิ้นสวนโครงสรางเกิดจาก bending moment เทานั้น จุดเชื่อมตอ (joint) ของโครงสรางเปน rigid joint

11

Sign conventionMAB และ MBA ทีป่ลายชิ้นสวนคานเปน “+” เมื่อมีทิศทางหมุนตามเข็มฯ θA และ θB ทีป่ลายชิ้นสวนคานเปน “+” เมื่อเสน tangent ของ

deflection curve ที่ปลายของชิ้นสวนของคาน มีทิศทางหมุนตามเข็มฯ จากแนวแกนของคานในตําแหนงกอนถูกแรงกระทํา ∆ เปน “+” เมื่อ ∆ มีทิศทางที่ทําใหชิ้นสวนของคานเกิดการหมุนตามเข็มฯ จากแนวแกนของคาน (มุม ψ) 12

โดยใช principle of superposition สมการของโมเมนตที่ปลายชิ้นสวนของคาน MAB และ MBA จะหาไดดังตอไปนี้

1. โมเมนตเนื่องจากการหมุนที่ปลาย A(θA) เมื่อปลาย B ถกูยึดแนน

2. โมเมนตเนื่องจากการหมุนที่ปลาย B(θB) เมื่อปลาย A ถกูยึดแนน

3. โมเมนตเนื่องจากการเปลี่ยนตําแหนงเชิงเสนตรงสัมพัทธที่ปลาย B เทยีบกับที่ปลาย A (∆) โดยที่ปลายทั้งสองถูกยึดแนน

4. โมเมนตเนื่องจากการกระทําของแรงภายนอกโดยที่ปลายทั้งสองถูกยึดแนน คือไมมีการหมุนของ tangent ที่ปลายทั้งสอง และไมมีการหมุนของ cord

13

=

+

+

+

จาก principle of superposition เราจะได

14

กรณีที่ 1: โมเมนตเนื่องจาก θA

0;AM ′+ =∑12 3

ABM LLEI

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

0;BM ′+ =∑12 3

BAM LLEI

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4AB A

EIML

θ=

2BA A

EIML

θ=

1 2 02 3

BAM LLEI

⎡ ⎤⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

1 2 02 3

ABA

M LL LEI

θ⎡ ⎤⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

15

กรณีที่ 2: โมเมนตเนื่องจาก θB

4BA B

EIML

θ=

2AB B

EIML

θ=

16

กรณีที่ 3: โมเมนตเนื่องจาก ∆

0;BM ′+ =∑

1 22 3M LLEI

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

เนื่องจาก moment M มีทิศทางทวนเข็มฯ ดังนั้น

2

6AB BA

EIM M ML

−= = − = ∆

12 3M LLEI

⎡ ⎤⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦0−∆ =

17

กรณีที่ 4: โมเมนตเนื่องจากแรงกระทําหรือ Fixed-End Moment (FEM)

0;yF+ ↑ =∑1 12 02 4 2PL ML LEI EI

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

8PLM =

FEM ที่ node A มีคาเปน - (ทวนเข็มฯ)FEM ที่ node B มีคาเปน+ (ตามเข็มฯ)

18

Slope-Deflection Equation

2 2 3 (FEM)AB A B ABIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

2 2 3 (FEM)BA B A BAIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

4AB A

EIML

θ=2

BA AEIML

θ=

4BA B

EIML

θ=2

AB BEIML

θ=

2

6AB BA

EIM ML

−= = ∆

19

Pin-Supported End Span

2 2 3 (FEM)AB A B ABIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

0 2 2 3B AIEL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

จากสมการที่สอง เราจะได

3 (FEM)AB A ABIM EL L

θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

32 2A

B Lθθ ∆

= − +

2 2 3 (FEM)AB A B ABIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

2 2 3 (FEM)BA B A BAIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

20

2 2 3 (FEM)AB A B ABIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

2 2 3 (FEM)BA B A BAIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

3 (FEM)AB A ABIM EL L

θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

สรุป Slope-Deflection Equation:

21

ตาราง Fixed-End Moment (FEM)

22

ตาราง Fixed-End Moment (ตอ)

23

2.3 ขั้นตอนในการวิเคราะห1. หาคา FEM ของโครงสรางแตละชวง2. แทนคา/เทอมตางๆ (E, I, L, ∆, และ FEM) ลงในสมการ slope-

deflection ของโครงสรางแตละชวง 3. เขียนสมการความสมดุลที่ joint และ/หรือ support ของโครงสราง จากนั้น แทนสมการ slope-deflection (จากขอ 2) ลงในสมการความสมดุล และแกสมการเชิงซอน (simultaneous equation) เพื่อหาคา slope และ deflection ที่เกดิขึ้นที่ joint และ/หรือ support

4. แทนคา slope และ deflection ที่หามาไดลงในสมการ slope-deflection (จากขอ 2) เพื่อหาคา end-moment M ทีป่ลายของชิ้นสวนของโครงสราง

5. เขียนแผนภาพ shear diagram, moment diagram และ elastic curve24

การบาน: slope-deflection2.2, 2.7, และ 2.9 + ตองมีผลการคํานวณจากคอมพิวเตอรเปรียบเทียบทกุขอ ไมเชนนั้น จะไมตรวจใหคะแนน

25

ตัวอยางที่ 2-1จงวิเคราะหคานโดยวิธี slope-deflection และเขียนแผนภาพ shear และ moment diagram จากนั้น จงราง elastic curve เมื่อ E = 200 GPa, IAB = 0.006 m4 และ IBC = 0.008 m4

คานมีจํานวน DOF = 3 คอื θA, θB, และ θCแตจุดรองรับ A และ C เปน pin และ roller ดังนั้น DOF ลดลงเหลือ θB

คานมี degree of Indeterminacy = 4-3 = 1

26

1. หาคา fixed-end momentเนื่องจากจุดรองรับ A และ C ของคานเปน pin และ roller ดังนั้น

2

(FEM)8BAwL

= +

2

(FEM)8BCwL

= −

28(5) 25 kN-m8

= =

212(6) 54 kN-m8

= − = −

FEMBA FEMBC

3 (FEM)AB A ABIM EL L

θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

27

2. แทนคาตางๆ ลงในสมการ slope-deflectionเนื่องจากจุดรองรับ A และ C ของคานเปน pin และ roller ดังนั้น

3 (FEM)AB A ABIM EL L

θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

3 ( ) 25ABBA B

AB AB

IM EL L

θ ∆= − +

3 ( ) 255 AB BEI θ= +MBA MBC

3 ( ) 546BC BC B

BC

M EIL

θ ∆= − −

1 ( ) 542 BC BEI θ= −

28

3. สมการความสมดุล0BA BCM M+ =

MBA MBC

3 (0.006) 255 BE θ + +

1 (0.008) 54 02 BE θ − =

3815.79B E

θ =51.9079(10 ) radian−=

4. แทนคากลับ 3 (0.006) 255BA BM E θ= + 38.74 kN-m=

1 (0.008) 542BC BM E θ= − 38.74 kN-m= −

3 ( ) 255BA AB BM EI θ= +

1 ( ) 542BC BC BM EI θ= −

29

5. เขียน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

5 m 6 m

30

31

6. ราง elastic curve ของคาน

32

ตัวอยางที่ 2-2จงวิเคราะหคานโดยวิธี slope-deflection และเขียนแผนภาพ shear และ moment diagram ของคาน จากนั้น จงหาคาการโกงตัวของคานที่จุด D และราง elastic curve เมื่อคานมีการทรุดตัวในแนวดิ่งลงที่จุดรองรับ B = 10 mm และ EIAB = 100 kN-m2 และ EIBC = 200 kN-m2

คานมีจํานวน DOF = 1 คอื θBคานมี degree of Indeterminacy = 7-3 = 4 เมื่อคิดแรงในแนวแกน

33

2

2(FEM)ABPabL

= −

2

2(FEM)ABPbaL

= +

2

(FEM)12BCwL

= −

2

(FEM) 4.167 kN-m12CBwL

= + = +

1. หาคา fixed-end moment

FEMBA FEMBCFEMAB FEMCB

2

210(1)2 4.444 kN-m

3= − = −

2

210(2)1 2.222 kN-m

3= + = +

22(5) 4.167 kN-m12

= − = −

จากรูป เราจะใชสมการ slope-deflection กรณีที่ 1 why???

34

2. แทนคาตางๆ ลงในสมการ slope-deflection

MBA MBCMAB MCB

2 2 3 (FEM)AB A B ABIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦2 2 3 (FEM)BA B A BA

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

ABEI EI= 2BCEI EI=

2 0.0102 3 4.4443 3AB A BEIM θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2 0.020 4.4443 3BEI θ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

2 0.0102 3 2.2223 3BA B AEIM θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2(2 ) 0.0102 3 4.1675 5BC B CEIM θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

8 0.120 4.1675 25BEI θ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

2(2 ) 0.0102 3 4.1675 5CB C BEIM θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4 0.120 4.1675 25BEI θ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4 0.020 2.2223 3BEI θ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

35

3. สมการความสมดุล

MBA MBCMAB MCB

0BA BCM M+ =

[ ]2.933 0.001867 1.945BEI θ − =

37.27(10 ) radianBθ−=

เครื่องหมายบวก แสดงวามีทิศหมุนตามเข็มนาฬิกา

4 0.020 2.2223 3B

BAM EI θ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦8 0.120 4.1675 25B

BCM EI θ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

2100 kN-mEI =

36

4. แทนคากลับ 37.27(10 ) radianBθ−=

2 0.020 4.4443 3B

ABM EI θ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦4 0.020 2.2223 3B

BAM EI θ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦4 0.120 4.1675 25B

CBM EI θ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

8 0.120 4.1675 25B

BCM EI θ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

4.626 kN-mABM = −

2.525 kN-mBAM = +

2.525 kN-mBCM = −

5.229 kN-mCBM = +

2.525 2.5254.626 5.229

2100 kN-mEI =

37

5. เขียน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน4.626 kN-mABM = − 2.525 kN-mBAM = + 2.525 kN-mBCM = − 5.229 kN-mCBM = +

1 m 2 m 5 m

38

39

6. ราง elastic curve ของคาน

40

7. หาคาการโกงตัวของคานที่จุด D

0;DM ′ =∑1 2.741 0.372(0.372)2 3D MEI

′∆ = =

1 4.626 2(0.628) 0.372 (0.628)2 3EI

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦1.085EI

= − 0.011 m= ↓

คาการโกงตัวที่จุด D คือ คาโมเมนตภายใน conjugate beam ที่จุด D'

41

ตัวอยางที่ 2-3จงวิเคราะหคานโดยวิธี slope-deflection และเขียนแผนภาพ shear และ moment diagram ของคาน จากนั้น จงราง elastic curve เมื่อ EI = 10,000 kN-m2

คานมีจํานวน DOF = 7 คอื θA, θB, θC, θD, θE, θF และ ∆F

แตเนื่องจากชิ้นสวน EF เปนปลายยื่นและจุด A เปนหมุด ดังนั้น DOF ลดลงเหลือ 4 คือ θB, θC, θD และ θE

คานมี degree of Indeterminacy = 6-3 = 3

42

1. หาคา fixed-end momentเนื่องจากจุด A เปนหมุด

2

(FEM)8BAwL

= +23(3) 3.375 kN-m

8= =

FEMBA FEMBC

2

(FEM)12BCwL

= −23(3) 2.25 kN-m

12= − = −

FEMCB

(FEM) 2.25 kN-mCB =

FEMCD

(FEM)8CDPL

= − 8(3) 3.0 kN-m8

= − = −

FEMDC

(FEM) 3.0 kN-mDC =

FEMDE

2

(FEM)12DEwL

= −23(3) 2.25 kN-m

12= − = −

FEMED

(FEM) 2.25 kN-mED =

43

2. แทนคาตางๆ ลงในสมการ slope-deflection2 2 3 (FEM)AB A B AB

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦2 2 3 (FEM)BA B A BA

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

MBA MBC MCB

3 ( 0) 3.375ABBA B

AB

IM EL

θ= − + 3.375BEIθ= +

2 (2 0) 2.25BCBC B C

BC

IM EL

θ θ= + − −4 2 2.253 3B CEI EIθ θ= + −

2 (2 0) 2.25BCCB C B

BC

IM EL

θ θ= + − +

MCD

2 (2 0) 3.0CDCD C D

CD

IM EL

θ θ= + − −

7.5 kN-m

2 4 2.253 3B CEI EIθ θ= + +

4 2 3.03 3C DEI EIθ θ= + −

44

MBA MBC MCB MCD

4 2 3.03 3CD C DM EI EIθ θ= + −

MDC

2 (2 0) 3.0CDDC D C

CD

IM EL

θ θ= + − +

MDE

4 2 2.253 3DE D EM EI EIθ θ= + −

MED

2 4 2.253 3ED D EM EI EIθ θ= + +

7.5 kN-m

2 4 3.03 3C DEI EIθ θ= + +

45

3. สมการความสมดุล

MBA MBC MCB MCD

สมดุลของโมเมนตที่จุด B

สมดุลของโมเมนตที่จุด C

0BA BCM M+ =

7 2 1.1253 3B CEI EIθ θ+ = −3.375BA BM EIθ= +

4 2 2.253 3BC B CM EI EIθ θ= + −

0CB CDM M+ =

2 8 2 0.753 3 3B C DEI EI EIθ θ θ+ + =

2 4 2.253 3CB B CM EI EIθ θ= + +

4 2 33 3CD C DM EI EIθ θ= + −

7.5 kN-m

46

MDC MDE MED

สมดุลของโมเมนตที่จุด D

สมดุลของโมเมนตที่จุด E

7.5 kN-m

0DC DEM M+ =2 4 33 3DC C DM EI EIθ θ= + +

4 2 2.253 3DE D EM EI EIθ θ= + −

2 8 2 0.753 3 3C D EEI EI EIθ θ θ+ + = −

7.5 0EDM − =

2 4 5.253 3D EEI EIθ θ+ =2 4 2.25

3 3ED D EM EI EIθ θ= + +

47

แกสมการ simultaneous equation

0.7366B EI

θ = −0.8906

C EIθ =

1.7009D EI

θ = −4.7879

E EIθ =

7 2 0 0 1.1253 3B CEI EIθ θ+ + + = −

2 8 2 0 0.753 3 3B C DEI EI EIθ θ θ+ + + =

2 8 20 0.753 3 3C D EEI EI EIθ θ θ+ + + = −

2 40 0 5.253 3D EEI EIθ θ+ + + =

57.366(10 ) radianBθ−= −

58.906(10 ) radianCθ−=

517.009(10 ) radianDθ−= −

547.879(10 ) radianEθ−=

210000 kN-mEI =

48

4. แทนคากลับ

57.366(10 ) radianBθ−= − 58.906(10 ) radianCθ

−=517.009(10 ) radianDθ

−= − 547.879(10 ) radianEθ−=

3.375BA BM EIθ= +

4 2 2.253 3BC B CM EI EIθ θ= + −

2 4 2.253 3CB B CM EI EIθ θ= + +

4 2 33 3CD C DM EI EIθ θ= + −

2.638 kN-mBAM = 2.638 kN-mBCM = − 2.946 kN-mCBM =

2.946 kN-mCDM = − 1.326 kN-mDCM =

2 4 33 3DC C DM EI EIθ θ= + +

4 2 2.253 3DE D EM EI EIθ θ= + −

2 4 2.253 3ED D EM EI EIθ θ= + +

1.326 kN-mDEM = − 7.50 kN-mEDM =

MBA MBC MCB MCD MDC MDE MED

7.5 kN-m

49

5. เขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

50

6. ราง elastic curve ของคาน

จงหาคาของมุม θF ?

51

2.4 การวิเคราะห Frames ที่ไมมกีารเซ (No Sidesway)โครงขอแข็งจะไมมีการเซภายใตการกระทําของแรง เมื่อโครงขอแข็งถูกยึดรั้งหรือรองรับอยางเหมาะสม

52

และ/หรือ เมื่อโครงขอแข็งมีรูปรางที่สมมาตรและถูกกระทําโดยแรงที่สมมาตรรอบแกนใดแกนหนึ่งในแนวดิ่ง

53

ตัวอยางที่ 2-5จงวิเคราะหโครงขอแข็งโดยวิธ ีslope-deflection และเขียนแผนภาพ shear และ moment diagram จากนั้น จงราง elastic curve เมื่อโครงขอแข็งมีการทรุดตัวในแนวดิ่งลงที่จุดรองรับ D เทากับ 10 mm และ IAB = 0.0008 m4 และ IBC = IBD = 0.0006 m4

เมื่อไมคิดการหดตัวในแนวแกน โครงขอแข็งมี DOF = 2 คือ θB และ θCโครงขอแข็งมี degree of Indeterminacy = 8-3 = 5

54

1. หาคา fixed-end moment

FEMABชิ้นสวน BC และ BD มีคา FEM เทากับศูนย why?

FEMBA

2

(FEM)12 8ABwL PL

= − −215(4) 15(4)

12 8= − − 27.5 kN-m= −

(FEM) 27.5 kN-mBA = +

55

2. แทนคาตางๆ ลงในสมการ slope-deflection2 2 3 (FEM)AB A B AB

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦2 2 3 (FEM)BA B A BA

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

radian4AB BAL L

∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

radian3BC CBL L

∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0.0008 0.0102 2 3 27.54 4AB A BM E θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

MAB MBA

[ ]0.0004 0.0075 27.5BE θ= − −

0.0008 0.0102 2 3 27.54 4BA B AM E θ θ⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

MBC

0.0006 0.0103 ( ) 03 3BE θ ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

3 ( ) (FEM)BCBC B BC

BC BC

IM EL L

θ ∆= − +

0.0006 ( 0.003333)BE θ= +

[ ]0.0004 2 0.0075 27.5BE θ= − +

56

MAB

MBA MBC

MBD

MDB

0.0006 02 2 03 3BD B DM E θ θ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

0.0008 BEθ=

0.0006 02 2 03 3DB D BM E θ θ⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

0.0004 BEθ=

57

3. สมการความสมดุล

MAB

MBA MBC

MBD

MDB

สมดุลของโมเมนตที่จุด B

0BA BC BDM M M+ + =

[ ] 5.270075.020004.0 +−= BBA EM θ

)003333.0(0006.0 += BBC EM θ

BBD EM θ0008.0=

3172.5

440(10 )Bθ = 30.39205(10 ) radian−=

มีทิศการหมุนตามเข็มนาฬิกาตามที่ไดสมมุติไว 58

4. แทนคากลับ

30.39205(10 ) radianBθ−=

[ ]0.0004 2 0.0075 27.5BA BM E θ= − +

0.0006 ( 0.003333)BC BM E θ= +

0.0008BD BM Eθ=

0.0004DB BM Eθ=

[ ]0.0004 0.0075 27.5AB BM E θ= − −

596.136 kN-mABM = −

509.772 kN-mBAM = −

447.046 kN-mBCM =

62.726 kN-mBDM =

31.363 kN-mDBM =

MAB

MBA MBC

MBD

MDB

59

5. เขียนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

596.136

509.772 447.046

62.726

31.363

60

2.5 การวิเคราะห Frames ที่มีการเซ (Sidesway)โครงขอแข็งจะเกิดการเซหรือมีการเคลื่อนที่ไปทางดานขาง เมื่อโครงขอแข็งและ/หรือแรงกระทําไมมีความสมมาตร

61

โครงขอแข็งที่มีจํานวน DOF เนื่องจากการเคลื่อนที่เชิงเสนเทากบัหนึ่ง

31 2

sin sin(90 ) sin90o oθ θ∆∆ ∆

= =−

1 2 3tan sinθ θ∆ = ∆ = ∆

62

31 2

2 1 2 1sin sin( ) sinθ θ θ θ∆∆ ∆

= =+

63

โครงขอแข็งที่มีจํานวน DOF เนื่องจากการเคลื่อนที่เชิงเสนเทากบัสอง

31 2 4

1 2 2 1sin( ) sin(90 ) sin(90 )o oφ φ φ φ∆∆ + ∆ ∆

= =+ − −

31 2 4

1 2 2 1sin( ) cos cosφ φ φ φ∆∆ + ∆ ∆

= =+

64

31 2 4

1 2 2 1sin( ) sin(90 ) sin(90 )o oφ φ φ φ∆∆ −∆ ∆

= =+ − −

31 2 4

1 2 2 1sin( ) cos cosφ φ φ φ∆∆ −∆ ∆

= =+

65 66

ตัวอยางที่ 2-6จงวิเคราะหโครงขอแข็งโดยวิธ ีslope-deflection และเขียนแผนภาพ shear และ moment diagram จากนั้น จงราง elastic curve เมื่อ EI คงที่

โครงขอแข็งมี DOF (เมื่อไมคิดการหดตัวในแนวแกน) = 3 คือ θC, θD และ ∆โครงขอแข็งมี degree of indeterminacy = 6-3 = 3

67

1. หาคา fixed-end moment

FEMCD

2

2(FEM)CDPabL

= −

2

2

40(3)4 39.184 kN-m7

= − = −

FEMDC

2

2(FEM)DCPbaL

= +

2

2

40(4)3 29.388 kN-m7

= + = +

68

2. แทนคาตางๆ ลงในสมการ slope-deflection2 2 3 (FEM)AB A B AB

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

2 2 3 (FEM)BA B A BAIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

MAC

radian5AC CA BD DBL L L L

∆ ∆ ∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 2 35 5AC A CEIM θ θ⎡ ⎤∆⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2 65 25CEI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 35 5CA C AEIM θ θ⎡ ⎤∆⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4 65 25CEI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

MCA

2 2 35 5BD B DEIM θ θ⎡ ⎤∆⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2 65 25DEI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

MBD

MDB

2 2 35 5DB D BEIM θ θ⎡ ⎤∆⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

4 65 25DEI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

69

MCD MDC

MAC

MCA

MBD

MDB

[ ]2 2 39.1847CD C DEIM θ θ= + −

4 2[ ] 39.1847 7C DEI θ θ= + −

[ ]2 2 29.3887DC D CEIM θ θ= + +

2 4[ ] 29.3887 7C DEI θ θ= + +

70

3. สมการความสมดุล

MCD MDC

MAC

MCA

MBD

MDB

สมดุลของโมเมนตที่จุด C

สมดุลของโมเมนตที่จุด D

4 65 25CA CM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

2 65 25AC CM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

2 65 25BD DM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

4 65 25DB DM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

4 2[ ] 39.1847 7CD C DM EI θ θ= + −

2 4[ ] 29.3887 7DC C DM EI θ θ= + +

0CA CDM M+ =

48 2 6 39.18435 7 25C DEI θ θ⎡ ⎤+ + ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦

0DB DCM M+ =

2 48 6 29.3887 35 25C DEI θ θ⎡ ⎤+ + ∆ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

71

สมดุลของแรงในแนวนอน 0A BV V+ =

แรงเฉือน VA และ VB หาไดจาก FBD ของเสาของโครงขอแข็ง ดังที่แสดงสมดุลของโมเมนตที่จุด C

5AC CA

AM MV +

= −

สมดุลของโมเมนตที่จุด D

5BD DB

BM MV +

= −

ดังนั้น 0AC CA BD DBM M M M+ + + =

6 6 24 05 5 25C DEI θ θ⎡ ⎤+ + ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦

72

แกสมการ simultaneous equation48 2 6 39.18435 7 25C DEI θ θ⎡ ⎤+ + ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦2 48 6 29.3887 35 25C DEI θ θ⎡ ⎤+ + ∆ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 6 24 05 5 25C DEI θ θ⎡ ⎤+ + ∆ =⎢ ⎥⎣ ⎦

36.212CEIθ =

26.946DEIθ = −

11.583EI∆ = −

ลบแสดงวา ทิศทางการเปลี่ยนตําแหนงที่เกดิขึ้นจริงตรงกันขามกับไดที่สมมุติไว

73

4. แทนคากลับ

MCD MDC

MAC

MCA

MBD

MDB

36.212CEIθ =26.946DEIθ = −

11.583EI∆ = −4 65 25CA CM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

2 65 25AC CM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

2 65 25BD DM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

4 65 25DB DM EI θ⎡ ⎤= + ∆⎢ ⎥⎣ ⎦

4 2[ ] 39.1847 7CD C DM EI θ θ= + −

2 4[ ] 29.3887 7DC C DM EI θ θ= + +

11.705 kN-mACM =

26.190 kN-mCAM =13.558 kN-mBDM = −

24.337 kN-mDBM = −26.190 kN-mCDM = −

24.337 kN-mDCM =

26.190 24.337

11.705

26.190

13.558

24.337

74

5. เขียน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

75

axial-force diagram มีความสําคัญในการออกแบบ frame ที่มีการเซเปนอยางมาก สาเหตุคืออะไร???

แผนภาพของแรงในแนวแกน (axial-force diagram) มีลักษณะเปนอยางไร??76

6. ราง elastic curve ของคาน 11.583EI∆ = −

77

ตัวอยางที่ 2-7จงวิเคราะหโครงขอแข็งโดยวิธ ีslope-deflection และเขียนแผนภาพ shear และ moment diagram จากนั้น จงราง elastic curve เมื่อ EI คงที่

โครงขอแข็งมี degree of indeterminacy = (6-1)-3 = 2โครงขอแข็งมี DOF = 4 คือ

Bθ

Bθ

( )C CBθ ( )C CDθ ∆

เนื่องจาก joint C เปน internal hinge ดังนั้น DOF ลดลงเหลือ 2 คือ

∆

78

1. หาคา fixed-end momentเนื่องจากโครงขอแข็งถูกกระทําโดยแรง 6 kN ที ่internal hinge C เทานั้น ดังนั้น ชิ้นสวนตางๆ ของโครงขอแข็งจะไมถูกกระทําโดย FEM

2. แทนคาตางๆ ลงในสมการ slope-deflection

radian4AB BAL L

∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

radian2CD DCL L

∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

79

2 2 3 (FEM)AB A B ABIM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦2 2 3 (FEM)BA B A BA

IM EL L

θ θ ∆⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

MAB

MBA

MDC

MBC radian4AB BAL L

∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

radian2CD DCL L

∆ ∆ ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

22 2 34 4AB A BIM E θ θ⎡ ⎤∆⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

[ ]2 0.75BEI θ= − ∆

23 ( 0)3BC BIM E θ= −

3 02 2DCIM E ∆⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

[ 0.75 ]BEI θ= − ∆

2 BEIθ=

0.75EI= − ∆

22 2 34 4BA B AIM E θ θ⎡ ⎤∆⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

80

3. สมการความสมดุล

สมดุลของโมเมนตที่จุด B

MAB

MBA

MDC

MBC

[ 0.75 ]AB BM EI θ= − ∆

[ ]2 0.75BA BM EI θ= − ∆

2BC BM EIθ=

0.75DCM EI= − ∆

0BA BCM M+ =

316Bθ = ∆

81

สมดุลของแรงในแนวนอน

แรงเฉือน VA และ VB หาไดจาก FBD ของเสาของโครงขอแข็ง ดังที่แสดงสมดุลของโมเมนตที่จุด B

สมดุลของโมเมนตที่จุด C

ดังนั้น

6A DV V+ =

4AB BA

AM MV +

= − (3 1.5 )4 BEI θ= − − ∆

2DC

DMV = −

38EI= ∆

3(3 1.5 ) 64 8BEI EIθ− − ∆ + ∆ =

82

แกสมการ

3(3 1.5 ) 64 8BEI EIθ− − ∆ + ∆ =

316Bθ = ∆

12813

EI∆ =

3 12816 13BEIθ = 24

13=

4. แทนคากลับ 5.54 kN-mABM = −

3.69 kN-mBAM = −

3.69 kN-mBCM =

7.39 kN-mDCM = −

2.31 kNAV =

3.69 kNDV =

[ 0.75 ]AB BM EI θ= − ∆

[ ]2 0.75BA BM EI θ= − ∆

2BC BM EIθ=

0.75DCM EI= − ∆

(3 1.5 )4A BEIV θ= − − ∆

2DC

DMV = −

MAB

MBA

MDC

MBC

83

5.54 kN-m

3.69 kN-m

7.39 kN-m

3.69 kN-m

5.54 kN-mABM = −

3.69 kN-mBAM = −

3.69 kN-mBCM =

7.39 kN-mDCM = −

2.31 kN

2.31 kN

1.23 kN

1.23 kN

3.69 kN

3.69 kN

1.23 kN

1.23 kN

1.23 kN

2.31 kN 2.31 kN

2.31 kN

3.69 kN

84

แรงปฏิกิริยาที่กระทําตอโครงขอแข็ง

85

5. เขียน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน

แผนภาพของแรงในแนวแกน (axial-force diagram) มีลักษณะเปนอยางไร??86

6. ราง elastic curve ของคาน

87

End of Chapter 2