スペクトル解析 演習課題 2005年 1月 21日担当 : 玉置

問 1. 図 1 に示すように，−f0 および f0 を帯域の中心周波数とし，帯域幅 B の範囲内に方形上の理想的な帯域通過特性をもつ白色雑音について，その自己相関関数 φ(τ) を求めよ。なお，このように帯域制限された白色雑音のパワースペクトルを ΦB(ω) とすると，

ΦB(ω) =

⎧⎨⎩

σ2 2π(f0− B

2

) ≤ |ω | ≤ 2π(f0+ B

2

)0 それ以外

(1)

で与えられる。

00f 0f

B B

f

2σ

BΦ

図 1 帯域制限された白色雑音のパワースペクトル

問 2. 周期 T の正弦波信号 :

x(t) = A sin(

2πt

T+ θ

)(A および T は定数) (2)

を考える。観測のたびに初期位相 θ が [ 0, 2π ] の範囲で一様に変動する (一様分布する)場合について，自己相関関数 φ(τ) を計算せよ。

問 3. パーシバルの等式 : ∫ ∞

−∞|x(t)|2dt =

12π

∫ ∞

−∞|X(ω)|2dω (3)

を証明せよ。

問 4. ウィナー・ヒンチンの定理 :

φ(τ) =12π

∫ ∞

−∞|X(ω)|2 ejωτdω (4)

すなわち，φ(τ) のフーリエ変換を Φ(ω) とすると，

Φ(ω) = |X(ω)|2 (5)

が成立することを証明せよ。

以上

略解

問 1. ウィナー・ヒンチンの定理を用いる．

φ(τ) =12π

∫ ∞

−∞ΦB(ω) ejωτdω (6)

=σ2

2π

{∫ −2π(f0−B/2)

−2π(f0+B/2)

ejωτdω +∫ 2π(f0+B/2)

2π(f0−B/2)

ejωτdω

}(7)

=σ2

πτsin(πBτ) e−j2πf0τ +

σ2

πτsin(πBτ) ej2πf0τ (8)

= 2Bσ2 sin(πBτ)πBτ

cos(2πf0τ) (9)

問 2. (a) 時間平均による計算．時間平均操作を一周期の範囲 [−T/2, T/2 ] で行えば極限操作不要．

φ(τ) = limM→∞

1M

∫ M/2

−M/2

A sin(

2πt

T+ θ

)· A sin

(2π(t+τ)

T+ θ

)dt (10)

=1T

∫ T/2

−T/2

A sin(

2πt

T+ θ

)· A sin

(2π(t+τ)

T+ θ

)dt (11)

=1T

∫ T/2

−T/2

A2

2

{cos

(2πτ

T

)− cos

(2π(2t+τ)

T+ 2θ

)}dt (12)

=A2

2cos

(2πτ

T

)(13)

(b) 集合平均による計算．初期位相が一様にばらつく確率を p(θ) とする (この場合 p(θ) = 1/2π )．

φ(τ) = E[ x(t) · x(t+τ) ] (14)

=∫ 2π

0

A sin(

2πt

T+ θ

)· A sin

(2π(t+τ)

T+ θ

)p(θ) dθ (15)

=∫ 2π

0

A2

2

{cos

(2πτ

T

)− cos

(2π(2t+τ)

T+ 2θ

)}12π

dθ (16)

=A2

2cos

(2πτ

T

)(17)

問 3. まず，

y(t) =∫ ∞

−∞x(t + τ)x∗(τ) dτ (18)

とおくと，この y(t) のフーリエ変換 Y (ω) は，

Y (ω) =∫ ∞

−∞

{∫ ∞

−∞x(t + τ)x∗(τ) dτ

}e−jωtdt (19)

=∫ ∞

−∞x∗(τ) ejωτ dτ

∫ ∞

−∞x(t + τ) e−jω(t+τ)dt (20)

={∫ ∞

−∞x(τ) e−jωτ dτ

}∗ ∫ ∞

−∞x(t + τ) e−jω(t+τ)dt (21)

= X∗(ω)X(ω) (22)

= |X(ω)|2 (23)

さらに

y(t) =12π

∫ ∞

−∞Y (ω) ejωtdω (24)

より， ∫ ∞

−∞x(t + τ)x∗(τ) dτ =

12π

∫ ∞

−∞|X(ω)|2 ejωtdω (25)

ここで，t = 0 とおき，あらためて τ → t とすると，∫ ∞

−∞|x(t)|2 dt =

12π

∫ ∞

−∞|X(ω)|2 dω (26)

問 4. 信号 x(t) のフーリエ変換を X(ω) とすると，

φ(τ) =∫ ∞

−∞x(t)x(t + τ) dt (27)

=∫ ∞

−∞x(t)

{12π

∫ ∞

−∞X(ω) ejω(t+τ)dω

}dt (28)

=12π

∫ ∞

−∞X(ω)

{∫ ∞

−∞x(t) ejωtdt

}ejωτdω (29)

=12π

∫ ∞

−∞X(ω)X∗(ω) ejωτdω (30)

=12π

∫ ∞

−∞|X(ω)|2 ejωτdω (31)

ここで，自己相関関数 φ(τ) のフーリエ変換を Φ(ω) とすると，

Φ(ω) =12π

∫ ∞

−∞Φ(ω) ejωτdω (32)

式 (31) と 式 (32) の対応から，Φ(ω) = |X(ω)|2 (33)