Глава 6

Основы теории поля

В предыдущих главах уже широко применялись понятия векторныхи скалярных функций, а также, заимствованные из физики, понятиявекторных и скалярных полей. Поясним их различие на примере скаляр-ных функций и полей. Образно говоря, функции отличаются от полейтем, что первые есть просто функции многих аргументов, а аргументамиполей служат точки реального, окружающего нас, 3-мерного простран-ства. Типичным примером скалярного поля может служить температурав разных точках неравномерно нагретого тела.

Если в пространстве задана система координат, то зависимость поляот точек пространства выражают функциями 3-х аргументов – коорди-нат точек пространства. Тем не менее системы координат играют, приописании полей, подчиненную роль: Они как бы служат каркасом, поз-воляющим изучать пространственные свойства полей на языке функ-циональных зависимостей. Поэтому при описании полей главный упорделают на изучение инвариантных – независимых от систем координат– свойств полей. Таких как поверхности уровня, векторные линии, гра-диент скалярных полей, дивергенция и ротор векторных полей. Нижеизложены основы теории скалярных и векторных полей, и обсужденыметоды их аналитического и геометрического описания.

6.1 Скалярное полеНачнем с обсуждения скалярных полей. Тот факт, что их аргумент

– точка M – принадлежит 3-мерному пространству, будем символизиро-вать отношением M ∈ R3, даже если в пространстве не задана системакоординат.

Определение 6.1 Будем говорить, что в области W пространства

85

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

Рис. 6.1: График линий уровня двумерного скалярного поля u(x, y) =x2 + 2y2 + sin(xy) для равноотстоящих значений уровня c.

R3 задано скалярное поле, если в W определена однозначная скалярнаяфункция u(M)

u : (W ⊂ R3) 7→ R .Пространственную структуру скалярных полей удобно описывать с

помощью поверхностей уровня:

Определение 6.2 Поверхностью уровня скалярного поля u(M) назы-вают множество точек M ∈ W, где u(M) принимает конечное значе-ние c:

u(M) = c . (6.1)

Очевидно, поверхности уровня заполняют всю область W : Любаяточка M области W лежит на своей поверхности уровня. Причем че-рез любую точку M0 ∈ W проходит лишь одна поверхность уровняu(M) = u(M0). Действительно, в силу однозначности функции u(M),поверхности u(M) = c1 и u(M) = c2 (c1 6= c2) не имеют общих точек.

Пример: В случае двумерного пространства поверхности уровня вы-рождаются в линии уровня. На рис. 6.1 приведены линии уровня 2-мерного скалярного поля

u(x, y) = x2 + 2y2 + sin(xy) ,

заданного в декартовой системе координат {x, y}. Линии уровня соответ-ствуют равноотстоящим значениям c. Видно, что чем быстрее возрастаетфункция u(x, y), тем ближе расположены линии уровня. F

86

Рис. 6.2: Изображение векторов векторного поля ~A =~i y +~j z − ~k x.

6.2 Векторное полеПерейдем к обсуждению векторных полей:

Определение 6.3 Будем говорить, что в области W ⊂ R3 определеновекторное поле, если задана однозначная векторная функция ~A(M):

~A : (W ⊂ R3) 7→ R3 .Замечание: Эквивалентное, но физически более наглядное, опреде-

ление векторного поля можно сформулировать еще и так: В области Wзадано векторное поле ~A(M), если каждой точке M этой области постав-лен в однозначное соответствие (свой для каждой точки) вектор ~A. 4

Средством визуализации векторных полей служат векторные линии:

Определение 6.4 Пусть в области W ⊂ R3 задано векторное поле~A(M). Кривую L называют векторной линией поля ~A, если в каждойточке этой кривой направление касательной к ней совпадает с направ-лением ~A в этой точке.

Замечание: В тех случаях, когда векторное поле ~A задает напряжен-ность силовых полей, например гравитационного, электрического илимагнитного поля, векторные линии называют силовыми линиями. 4

Пример: На рис. 6.2 построены векторы, заданного в декартовойсистеме координат, векторного поля

~A =~i y +~j z − ~k x . (6.2)

87

Рис. 6.3: Иллюстрация к построению векторной линии.

Видно, что векторы в разных точках пространства, выстраиваясь в хвостдруг к другу, образуют цепочки, близкие к векторным линиям. F

В приложениях часто важно найти векторную линию поля ~A, про-ходящую через заданную точку M0. Укажем путь решения этой задачи,считая что точки пространства идентифицируются радиус-вектором ~r.Запишем искомое уравнение векторной линии L в виде ~r = ~r(t). Таккак производная ~r′(t) векторного уравнения любой гладкой линии по па-раметру t есть вектор, касательный к линии, то, согласно определениювекторной линии, во всех ее точках должно выполняться векторное ра-венство

~r′(t) = λ ~A (λ 6= 0) . (6.3)Его можно трактовать как дифференциальное уравнение относительновекторной функции ~r(t). Если точка M0 имеет радиус-вектор ~r0, то урав-нение (6.3) следует дополнить условием Коши ~r(t0) = ~r0. Иллюстрацияк построению векторной линии дана на рис. 6.3.

Если в пространстве задана декартова система координат, в которойвекторное поле задается в виде

~A(x, y, z) =~i P (x, y, z) +~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z) ,

то

~r(t) =~i x(t) +~j y(t) + ~k z(t) , ~r(t0) =~i x0 +~j y0 + ~k z0 , (6.4)

и задача нахождения векторной линии сводится к решению системы диф-ференциальных уравнений

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z)(6.5)

88

Рис. 6.4: Типичный пример векторной трубки.

с начальными условиями

x(t0) = x0 , y(t0) = y0 , z(t0) = z0 . (6.6)

Совокупности векторных линий могут образовывать поверхности иограничивать куски пространства, принадлежащие области определенияW векторной функции ~A. Эти части пространства имеют специальноеназвание, указанное в определении:

Определение 6.5 Пусть задано векторное поле~A : (W ⊂ R3) 7→ R3 .

Часть пространства, ограниченную гладкой поверхностью S ⊂ W, на-зывают векторной трубкой, если в любой точке M поверхности S вы-полнено равенство (

~n(M) · ~A(M))

= 0 , (6.7)

где ~n(M) -вектор нормали к поверхности S (см. рис. 6.4).Нетрудно сообразить, что векторные трубки “сотканы” из векторных

линий: Выделив некоторый контур L ⊂ R3, и проведя через все точкиконтура векторные линии, получим, содержащую данный контур, век-торную трубку (см. рис. 6.4).

Отметим еще тот важный факт, что любая, не принадлежащая век-торной трубке, векторная линия целиком лежит внутри векторной труб-ки, или целиком находится вне ее.

6.3 Производная по объемуДо сих пор мы рассматривали только функции скалярного или век-

торного аргумента. В теории поля ключевую роль играют, тесно свя-

89

занные со скалярными и векторными полями, скалярные и векторныефункции области (иногда их называют функционалами) F (T ), отобра-жающие области T ⊂ R3 в Rm (m > 1).

Пример: Типичными физическими примерами функций области слу-жат масса m(T ) вещества, заключенного в области T (m = 1), и егосуммарный импульс ~p(T ) (m = 3). F

На функции области переносятся многие, привычные для математи-ческого анализа, понятия. Например понятие предела функции:

Определение 6.6 Пусть T ⊂ R3 произвольная область с объемом V (T ),и F (T ) скалярная или векторная функция области T со значениями вRm (m > 1). Будем говорить, что предел F (T ), при стягивании об-ласти T в фиксированную точку M0 ∈ R3, равен числу или векторуA:

limT →M0

F (T ) = A ,если для любого ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любойобласти T , включающей в себя точку M0 и имеющей диаметр d(T ) 6 δ,выполняется неравенство

‖F (T )− A‖Rm < ε .

Предел большинства физически значимых функций области, при стя-гивании области T в точку, равен нулю. Тем не менее, как правило, неравны нулю и несут полезную информацию дифференциальные харак-теристики функций области. В частности, производная по объему:

Определение 6.7 Производной по объему от функции области F (T ),T ⊂ R3, в точке M ∈ R3 называют предел отношения

limT →M

F (T )V (T ) . (6.8)

Производной по объему от функции области является обычное, ска-лярное или векторное, поле. Так производной по объему массы m(T )вещества внутри области T служит скалярное поле ρ(M) объемной плот-ности вещества.

6.4 Градиент скалярного поляРанее, во второй главе, мы уже давали определение градиента ска-

лярной функции: векторной функции, компоненты которой задаются

90

равенством (2.8). Только-что введенное понятие производной по объе-му дает возможность сформулировать универсальные, не опирающиесяна какие-либо системы координат, определения основных дифференци-альных операций над скалярными и векторными полями. Прежде всегоинвариантное определение градиента скалярного поля:

Определение 6.8 Пусть u : (W ⊂ R3) 7→ R –скалярное поле, и T ⊂W –любая область, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхно-стью S. Градиентом скалярного поля u(M) в точке M0 назовем произ-водную по объему от векторной функции

~F (T ) =∫∫

S~n(M) u(M) dS , (6.9)

где ~n(M) –внешняя нормаль к поверхности S:

gradu(M0) = limT →M01

V (T )∫∫

S~n(M) u(M) dS . (6.10)

Еще раз подчеркнем, что, согласно данному определению, градиентскалярного поля u(M) выражает пространственные свойства поля, и мо-жет быть вычислен, даже если в пространстве не задана система коор-динат. Однако аналитическое вычисление градиентов скалярных полейтребует наличия той или иной координатной системы. Следующая тео-рема дает алгоритм вычисления градиента в декартовой системе коор-динат:

Теорема 6.1Пусть u(x, y, z) ∈ C1(W). Тогда в любой точке M ∈ W с координатами{x, y, z} градиент gradu функции u(x, y, z) существует и равен

gradu(x, y, z) =~i∂u

∂x+~j

∂u

∂y+ ~k

∂u

∂z. (6.11)

Доказательство: Пусть M0 ∈ T , где T ⊂ W –область, ограниченнаягладкой поверхностью S, и ~n =~i cos α +~j cos β +~k cos γ нормаль к внеш-ней стороне поверхности S. Применяя формулу Гаусса-Остроградского ккомпонентам векторной функции области (6.9), а затем теорему о сред-

91

нем для возникающих при этом объемных интегралов, будем иметь∫∫

S~n(M) u(M) dS =

~i∫∫

Su(M) cos α dS +~j

∫∫

Su(M) cos β dS + ~k

∫∫

Su(M) cos γ dS =

~i∫∫∫

T

∂u

∂xdV +~j

∫∫∫

T

∂u

∂ydV + ~k

∫∫∫

T

∂u

∂zdV =

∫∫∫

T

(~i∂u

∂x+~j

∂u

∂y+ ~k

∂u

∂z

)dV = V (T )

(~i∂u

∂x

∣∣∣∣∣M1

+ ~j∂u

∂y

∣∣∣∣∣M2

+ ~k∂u

∂z

∣∣∣∣∣M3

).

Здесь M1, M2, M3 –некоторые точки из области T . Очевидно, при стяги-вании T в точку M0, все они стремятся к точке M0: M1 → M0, M2 → M0и M3 → M0. Следовательно, по определению градиента (6.10), и в силунепрерывности первых частных производных функции u(x, y, z), спра-ведливо равенство

gradu(M0) = limT →M01

V (T )∫∫

S~n(M) u(M) dS =

limM1,M2,M3→M0

(~i∂u

∂x

∣∣∣∣∣M1

+ ~j∂u

∂y

∣∣∣∣∣M2

+ ~k∂u

∂z

∣∣∣∣∣M3

)=

(~i∂u

∂x+~j

∂u

∂y+ ~k

∂u

∂z

)∣∣∣∣∣M0

.

Теорема доказана. ¤Укажем важное для дальнейшего побочное следствие только-что до-

казанной теоремы: В процессе ее доказательства возникло интегральноеравенство

∫∫

S~n(M) u(M) dS =

∫∫∫

T

(~i∂u

∂x+~j

∂u

∂y+ ~k

∂u

∂z

)dV .

Его можно записать в инвариантной (не зависящей от системы коорди-нат) форме ∫∫

S~n u dS =

∫∫∫

Tgradu dV , (6.12)

поскольку все входящие в предыдущее равенство величины определяют-ся независимо от системы координат.

6.5 Свойства градиента скалярного поляГрадиент скалярного поля gradu(M0) обладает свойствами, позволя-

ющими извлечь, не зависящую от систем координат, геометрическую и

92

физическую информацию о пространственном поведении поля u(M) вокрестности точки M0.

Перечислим три основных свойства градиента, делающие его ценныминструментом анализа геометрических и физических свойств скалярныхполей самой разной природы.

1. Связь градиента с производной по направлению:

Пусть u : (W ⊂ R3) 7→ R -скалярное поле. Если в точке M суще-ствует градиент поля u, и ~τ произвольный единичный вектор, тов точке M существует производная по направлению, связанная сградиентом равенством

∂u

∂~τ= (gradu · ~τ) . (6.13)

Мы уже встречались с этим свойством применительно к произволь-ным арифметическим пространствам (см. формулу (2.12) 2-й главы). Темне менее формула (6.11) несет новую информацию, поскольку нам из-вестен теперь инвариантный характер градиента, зависящего лишь отсвойств поля u(M).

Чтобы лучше понять геометрический смысл равенства (6.13), выве-дем его еще раз. Будем опираться при этом на декартову систему коор-динат (x, y, z), ясно сознавая ее вспомогательную роль.

Пусть в пространстве имеется гладкая кривая C, заданная равенством

~r =~i x(`) +~j y(`) + ~k z(`) ,

где ` естественный параметр кривой. Пусть, кроме того, задано скаляр-ное поле u(M) = u(x, y, z) -непрерывно-дифференцируемое в некоторойобласти W ⊂ R3, внутри которой лежит кривая C (C ⊂ W). Поведениескалярного поля u(x, y, z) вдоль данной кривой описывается функциейодного аргумента

f(`) = u(x(`), y(`), z(`)) ,

а скорость изменения поля вдоль кривой определяется производной этойфункции по длине кривой `. Согласно правилу дифференцирования функ-ции сложного аргумента, она равна

df(`)

d`=

∂u

∂x

dx(`)

d`+

∂u

∂y

dy(`)

d`+

∂u

∂z

dz(`)

d`.

Вспоминая, что частные производные поля u(x, y, z) составляют ком-поненты его градиента в декартовой системе координат, а также, что

93

производные координат кривой C по ` равны направляющим косинусамединичного вектора ~τ , касательного к кривой C (см. равенства (3.10)),перепишем последнее равенство в инвариантной форме

df(`)

d`= (gradu · ~τ) . (6.14)

Сравнивая (6.14) с (6.13), заодно обнаруживаем геометрический смыслпроизводной по направлению: Она равна производной поля u по есте-ственному параметру ` вдоль любой гладкой кривой, проходящей черезточку M в заданном направлении ~τ .

Приведенное свойство позволяет указать

2. Физический смысл градиента:

Вектор gradu указывает направление наибыстрейшего возрастанияскалярного поля u, а длина этого вектора |gradu| равна скоростивозрастания поля в этом направлении.

В справедливости сказанного нетрудно убедиться, вспомнив, что ска-лярное произведение (6.13) вектора градиента на единичный вектор ~τравно модулю вектора градиента, умноженному на косинус угла междуним и вектором ~τ :

∂u

∂~τ= |gradu| cos

(̂gradu, ~τ

). (6.15)

Отсюда видно, что производная по направлению принимает наибольшеезначение, если gradu ↑↑ ~τ .

Следующее свойство градиента вскрывает его связь с поверхностямиуровня скалярного поля.

3. Связь с поверхностью уровня:

Для непрерывно-дифференцируемого скалярного поля u : (W ⊂R3) 7→ R в каждой точке M0 области W вектор gradu перпендику-лярен к поверхности уровня u(M) = u(M0), проходящей через этуточку.

Действительно, как нетрудно сообразить, производная непрерывно-дифференцируемого скалярного поля u по любому направлению ~τ , ка-сательному поверхности уровня, вдоль которой поле u не меняет своегозначения, равна нулю. С другой стороны, та же производная задаетсявыражением (6.15), которое обращается в нуль, если

gradu ⊥ ~τ ,

94

что и требовалось доказать. Из данного свойства вытекает важноеСледствие: Градиент gradu(~r0) перпендикулярен касательной плос-

кости к поверхности уровня в точке ~r0, а уравнение этой плоскости имеетвид

(gradu(~r0) · ~r − ~r0) = 0или, в декартовой системе координат,

∂u(~r0)

∂x(x− x0) + ∂u(~r0)

∂y(y − y0) + ∂u(~r0)

∂z(z − z0) = 0 .

Мы перечислили геометрические и физические свойства градиента.При аналитических построениях важны его дифференциальные свой-ства, которые указаны ниже.

3. Дифференциальные свойства:

Если u и v дифференцируемые скалярные поля, а f(u, v) -диффере-нцируемая функция своих аргументов, то

grad f(u, v) =∂f

∂ugradu +

∂f

∂vgrad v . (6.16)

В частности, если f равно u + v, u v или u/v, то из (6.16) имеем

grad (u + v) = gradu + grad v ,gradu v = v gradu + u grad v ,

grad(

u

v

)=

v gradu− u grad vv2

.

(6.17)

Иными словами, градиент обладает теми же дифференциальными свой-ствами, что и дифференциал функции.

Данное свойство удобно доказывать в декартовой системе координат,опираясь на свойства частных производных:

grad f(u, v) =~i∂f

∂x+~j

∂f

∂y+ ~k

∂f

∂z=

=~i

(∂f

∂u

∂u

∂x+

∂f

∂v

∂v

∂x

)+~j

(∂f

∂u

∂u

∂y+

∂f

∂v

∂v

∂y

)+ ~k

(∂f

∂u

∂u

∂z+

∂f

∂v

∂v

∂z

)=

=∂f

∂u

(~i

∂u

∂x+~j

∂u

∂y+ ~k

∂u

∂z

)+

∂f

∂v

(~i

∂v

∂x+~j

∂v

∂y+ ~k

∂v

∂z

)=

=∂f

∂ugradu +

∂f

∂vgrad v .

95

Дадим два простейших примера вычисления градиента скалярногополя.

Пример: Найдем градиент расстояния

r = |~r| =√

x2 + y2 + z2

от начала координат O. Здесь ~r = ~i x + ~j ~ry + ~k z -радиус-вектор точкиM(x, y, z). По формуле (6.11) вычисления градиента в декартовой систе-ме координат имеем

grad r =~i∂√

x2 + y2 + z2

∂x+~j

∂√

x2 + y2 + z2

∂y+ ~k

∂√

x2 + y2 + z2

∂z=

=~ix√

x2 + y2 + z2+~j

y√x2 + y2 + z2

+ ~kz√

x2 + y2 + z2.

Перепишем это равенство в инвариантной, не зависящей от системы ко-ординат, форме

grad r = ~m =~r

r. (6.18)

Таким образом, градиент скалярного поля r равен единичному векто-ру ~m, направленному от начала координат O. Результат геометрическиочевиден. Действительно, линиями уровня этого поля служат, вложен-ные друг в друга, сферы с центром в начале координат. Кроме того, rслужит естественным параметром для любого, испущенного из точки O,луча. Поэтому величина (модуль) градиента всюду одинакова и равнаединице. F

Следующий пример имеет физическую подоплеку:Пример: При описании векторных электростатических полей ~E(~r),

физики широко используют понятие электростатического потенциала.По определению, электростатическим потенциалом поля ~E(~r) называютскалярное поле ϕ(~r), связанное с ~E(~r) равенством

~E(~r) = −gradϕ(~r) . (6.19)

Из физики известно, что электростатический потенциал точечного заря-да величины q, расположенного в начале координат, равен

ϕ(~r) =1

4πε

q

r. (6.20)

Здесь ε -диэлектрическая проницаемость среды. Требуется найти элек-тростатическое поле точечного заряда.

96

Пользуясь формулой вычисления градиента от функции сложногоаргумента, и равенством (6.18), имеем

~E(~r) = − q4πε

grad1

r= − q

4πε

(1

r

)′grad r =

q

4πε

1

r2~m .

Объединяя начало и конец промежуточных выкладок, получим оконча-тельно

~E(~r) =q

4πε

1

r2~m . (6.21)

Как и в предыдущем примере, поверхностями уровня скалярного элек-тростатического потенциала ϕ(~r) служат концентрические сферы с цен-тром в точке, где помещен заряд. Поэтому векторное электростатиче-ское поле ~E(~r), равное минус градиенту электростатического потенциа-ла, пропорционально единичному вектору ~m (6.18). Модуль же электро-статического поля, пропорциональный 1/r2, уменьшается по мере удале-ния от точечного заряда. F

Замечание: По принятой терминологии, градиенты рассмотренныхв примерах полей относятся к центральным полям. Так называют век-торные поля, имеющие структуру

~A(~r) = f(r)~r

r= f(r) ~m . (6.22)

Их модуль одинаков во всех точках любой концентрической сферы сцентром в точке O, а векторными линиями служат лучи, испущенные изэтой точки. 4

6.6 Дивергенция векторного поляОбсудим еще одну, имеющую многочисленные применения, диффе-

ренциальную операцию 1-го порядка. Ее называют дивергенцией. В про-тивоположность операции градиента, превращающего скалярное поле ввекторное, дивергенция действует на векторные поля, а результатом дей-ствия этой операции оказывается скалярное поле. Как и в случае гра-диента, дивергенция выражает инвариантные, не зависящие от системыкоординат, свойства векторного поля. Это видно из приведенного нижеопределения дивергенции:

Определение 6.9 Пусть задано векторное поле ~A : (W ⊂ R3) 7→ R3.Дивергенцией векторного поля ~A в точке M0 ∈ W называют производ-

97

ную по объему от потока векторного поля

divA(M0) = limT →M01

V (T )∫∫

S

(~n · ~A(M)

)dS , (6.23)

где ~n(M) -внешняя нормаль к поверхности S, ограничивающей областьT ⊂ W.

Хотя нахождение дивергенции векторного поля не требует заданияв пространстве системы координат, в конкретных вычислениях полезнознать способ вычисления дивергенции в декартовых координатах. Соот-ветствующая формула содержится в следующей теореме:

Теорема 6.2Если

~A(M) =~i P (x, y, z) +~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z) ,

непрерывно дифференцируемое в области W ⊂ R3 векторное поле, тодивергенция поля ~A существует в любой точке M ∈ W , и вычисляетсяпо формуле

div ~A(M) =∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z. (6.24)

Доказательство: Зафиксируем некоторую точку M0 ∈ W , и возь-мем некоторую область T и поверхность S из определения дивергенции.По формуле Гаусса-Остроградского и теореме о среднем имеем

∫∫

S

(~n · ~A(M)

)dS =

∫∫∫

T

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)dV =

= V (T )(

∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)

M=M∗.

Здесь M∗ -внутренняя точка области T (M∗ ∈ T ), такая что M∗ → M0при стягивании области T в точку M0 (T → M0). Используя определениедивергенции, получаем окончательно

div ~A(M) = limM∗→M0

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)

M=M∗=

∂P (M0)

∂x+

∂Q(M0)

∂y+

∂R(M0)

∂z.

Теорема доказана. ¤Замечание: Данное выше инвариантное определение (6.23) дивер-

генции окончательно убеждает в инвариантности – независимости отсистем координат, формулы Гаусса-Остроградского, записанной в видеравенства (5.8). 4

98

Рис. 6.5: Иллюстрация к вычислению потока жидкости через элементар-ную площадку dS.

6.7 Физический смысл потока и дивергенцииВекторные поля, дивергенцию которых вычисляют в разных физиче-

ских приложениях, имеют самый различный физический смысл. Однаковсюду дивергенция векторного поля напрямую связана с потоками череззамкнутые поверхности S. Напомним, до сих пор мы пользовались фор-мальным определением потока векторного поля ~A(~r) через поверхностьS, отождествляя его с поверхностным интегралом 2-го типа

Π =∫∫

S

(~A · ~n

)dS . (6.25)

Для лучшего осмысления связи понятий потока и дивергенции, подробнообсудим физические истоки понятия потока.

Само понятие потока первоначально возникло в гидродинамике, приописании движения несжимаемой жидкости, объемная плотность кото-рой во всех точках пространства одинакова: ρ = const. Поскольку поня-тие гидродинамического потока ближе всего житейскому опыту, обсудимего в первую очередь. Для пущей наглядности проиллюстрируем поня-тие потока двумерными картинками, где аналогом поверхности служаткривые на плоскости.

Введем вначале понятие потока несжимаемой жидкости через элемен-тарную площадку dS площадью σ[S]. Пусть ~v(~r) -поле скорости несжи-маемой жидкости. Если элементарная площадка dS настолько мала, чтоскорость жидкости во всех ее точках фактически одинакова, то масса

99

жидкости dΠ, протекающей через площадку в единицу времени, равна

dΠ = ρ |~v|σ[S] cos θ .

Здесь |~v| -величина скорости, а σ[S] cos θ -площадь проекции площадкиdS на плоскость, перпендикулярную направлению скорости жидкости ~v(см. рис. 6.5). Заметив, что θ можно заменить углом между векторомскорости жидкости ~v и нормалью ~n к площадке dS, получим оконча-тельно

dΠ = ρ (~v · ~n) σ[S] . (6.26)Подсчитанную массу жидкости, протекающую в единицу времени че-рез элементарную площадку dS, и называют потоком жидкости черезуказанную площадку. Согласно определению потока (6.26), он положите-лен, если угол θ между скоростью жидкости и нормалью к поверхностиострый (жидкость втекает в ориентированную площадку dS), и отри-цателен, если этот угол тупой (жидкость вытекает через dS).

Разбив, как это делалось при введении определенных интегралов, по-верхность S на множество элементарных площадок Si, заменив в (6.26)σ[S] на площадь σ[Si] указанных площадок, а затем вычислив пределсуммы потоков через все, составляющие поверхность S, элементарныеплощадки, при стремлении их диаметров к нулю, найдем, что полныйпоток жидкости через поверхность S равен поверхностному интегралу2-го типа (6.25) от векторного поля ~A(~r) = ρ~v(~r). Из сказанного яснотакже, что обсужденный выше гидродинамический поток равен скоро-сти протекания массы жидкости через заданную поверхность.

Заметим еще, что имеются наглядные геометрические связи междувекторными линиями поля ~A(~r) = ρ~v(~r), его потоком, и величиной поля~A. Укажем эти связи, построив векторные линии так, чтобы поток жид-кости между соседними векторными линиями был одинаков (например,равен dΠ). Тогда поток поля ~A(~r) через поверхность S будет пропорци-онален числу N пересекающих ее векторных линий: Π ∼ N . Возьмемтеперь плоский кусок поверхности ∆S настолько малого размера, чтово всех его точках поле ~A имеет практически одинаковые величину инаправление. Поместим центр поверхности ∆S в точку ~r, и ориентируем∆S перпендикулярно полю ~A(~r). Тогда число ∆N пересекающих ∆S век-торных линий связано с величиной поля ~A и площадью dS поверхности∆S соотношением

∆N ∼ ∆Π ' | ~A| dS .Отсюда видно, что величина поля ~A(~r) пропорциональна “густоте” век-

100

Рис. 6.6: Векторные линии, “втекающие” и “вытекающие” через замкну-тую поверхность.

торных линий в окрестности точки ~r:

| ~A(~r)| ∼ ∆N∆S

.

Пусть каждая векторная линия, “втекающая” в замкнутую поверх-ность S, ограничивающую область W , затем “вытекает” из нее, как этоизображено на рис. 6.6. Тогда полный поток через поверхность S окажет-ся равным нулю. Сказанное справедливо для любой замкнутой поверхно-сти S, ограничивающей произвольную область T ⊂ W . Следовательно,в любой точке области W , внутри которой векторные линии не заканчи-ваются и не возникают, дивергенция поля ~A (6.23) равна нулю. При этомравенство div ~A = 0 математически выражает закон сохранения массыпри отсутствии источников (или стоков) жидкости. Если же имеется ис-точник жидкости, например конец шланга, из которого вода во все сто-роны растекается по лужайке, то векторные линии поля ~A имеют вид,изображенный на рис. 6.7, а поток жидкости через любую замкнутуюповерхность, охватывающую конец шланга, не равен нулю. Мы привелипример точечного источника жидкости. В природе встречаются и рас-пределенные источники жидкости, например воды́, образующейся притаянии льдины. В этом случае поток жидкости будет пропорционаленобъему льдины, охваченной замкнутой поверхностью S. Соответствен-но, предел отношения потока через границу S, стягивающейся в точкуM области T , к его объему V (T ), называют плотностью источниковполя ~A. Согласно этой терминологии, дивергенция (6.23) поля ~A в точкеM0 равна плотности источников поля ~A в этой точке. Если же дивер-

101

Рис. 6.7: Векторные линии, начинающиеся в точке источника.

генция отрицательна, как в случае испарения жидкости, div ~A называютплотностью стоков поля ~A. Заметим еще, что теперь мы можем датьформуле Гаусса-Остроградского (5.8) наглядную физическую интерпре-тацию: Поток поля ~A через поверхность S равен алгебраической суммеисточников, заключенных внутри поверхности.

6.8 Ротор векторного поляКроме обсужденных выше градиента и дивергенции, в приложениях

часто встречается еще одна дифференциальная операция 1-го порядка,называемая ротором, и отображающая векторные поля в векторные по-ля. Дадим инвариантное определение ротора:

Определение 6.10 Пусть задано векторное поле ~A : (W ⊂ R3) 7→ R3.Ротором векторного поля ~A называют производную по объему

rot ~A(M0) = limT →M01

V (T )∫∫

S

[~n(M)× ~A(M)

]dS , (6.27)

от векторной функции области

~F (T ) =∫∫

S

[~n(M)× ~A(M)

]dS .

Здесь ~n(M) внешняя нормаль к поверхности S, ограничивающей об-ласть T ⊂ W.

102

Способ вычисления ротора векторного поля в декартовой системе ко-ординат дает следующая

Теорема 6.3Если

~A(x, y, z) =~i P (x, y, z) +~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z)

непрерывно-дифференцируемое поле в области W ⊂ R3, то ротор суще-ствует в любой точке M0 ∈ W , и вычисляется по формуле

rot ~A(M0) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=~i (Ry−Qz)+~j (Pz−Rx)+~k (Qx−Py) . (6.28)

Доказательство: Выберем произвольную точку M0 ∈ W , и пустьT область, а S ограничивающая ее поверхность, фигурирующие в опре-делении ротора. Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского, а затемтеоремой о среднем, будем иметь

∫∫

S

[~n(M)× ~A(M)

]dS =

∫∫

S

∣∣∣∣∣∣∣

~i ~i ~kcos α cos β cos γ

P Q R

∣∣∣∣∣∣∣dS =

=~i∫∫

S(R cos β −Q cos γ) dS+

+~j∫∫

S(P cos γ −R cos α) dS + ~k

∫∫

S(Q cos α− P cos β) dS =

=∫∫∫

T

{~i(Ry −Qz) +~j(Pz −Rx) + ~k(Qx − Py)

}dV =

= V (T )

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣M1,M2,M3

,

где M1, M2,M3 точки, принадлежащие области T , для которых с оче-видностью выполняются соотношения M1 → M0, M2 → M0, M3 → M0.Следовательно из верхних равенств и определения ротора (6.27) получа-ем равенство (6.28). ¤

Укажем важное следствие приведенных выше соотношений.Следствие: Равенство∫∫

S

[~n× ~A

]dS =

∫∫∫

T

{~i(Ry −Qz) +~j(Pz −Rx) + ~k(Qx − Py)

}dV ,

103

Рис. 6.8: К определению скорости вращения колесика в жидкости.

полученное в ходе доказательства предыдущей теоремы, и связывающееповерхностный и объемный интегралы, можно записать в инвариантнойформе ∫∫

S

[~n× ~A

]dS =

∫∫∫

Trot ~AdV . (6.29)

Дадим еще одно инвариантное, то есть независящее от систем коорди-нат, определение ротора. Оно опирается на уже знакомую инвариантнуюформу записи формулы Стокса

∮

C

(~A · ~τ

)d` =

∫∫

S

(~n · rot ~A

)dS . (6.30)

Пусть S -плоская площадка, направление нормали к которой одинако-во во всех точках площадки S (~n = const). Тогда, согласно теореме осреднем, справедливо равенство

∫∫

S

(~n · rot ~A

)dS = S

(~n · rot ~A

)∣∣∣∣∣∣M∗

,

где S -площадь площадки S, а M∗ ∈ S. Стягивая затем площадку Sв точку M0, и считая поле rot ~A непрерывным, получим определениепроекции ротора на выбранное направление ~n:

(~n · rot ~A

)= lim

S→M0

∮C

(~A · ~τ

)d`

S. (6.31)

Здесь направление вектора ~n и направление обхода контура C считаютсясогласованными.

104

6.9 Физический смысл ротораНаиболее наглядно, физический смысл ротора удается пояснить на

примере поля скорости ~v(~r) жидкости. Мысленно поместим в жидкостьмаленькое колесико K с центром в точке M0, способное вращаться лишьвокруг своей оси, направление которой определяется единичным векто-ром ~n. Под воздействием окружающей жидкости, колесико будет вра-щаться с некоторой скоростью, зависящей как от поля скорости жидко-сти в окрестности колесика, так и от ориентации оси вращения. Будемсчитать экспериментально установленным, что скорость вращения коле-сика равна, усредненным по его ободку, проекциям скорости жидкостив точках ободка, на касательные к ободку направления ~τ (см. рис. 6.8).Сказанное математически выражается равенством

V =1

2πR

∮

C(~v · ~τ) d` .

Здесь V величина линейной скорости точек обода колесика, R -его ра-диус, а C -контур обода колесика. Соответственно, угловая скорость вра-щения колесика равна

ω =V

R=

1

2πR2

∮

C(~v · ~τ) d` = 1

2S

∮

C(~v · ~τ) d` .

Устремляя радиус колесика к нулю, и пользуясь предельным равенством(6.31), обнаруживаем, что угловая скорость вращения бесконечно-малогоколесика равна половине проекции, на направление оси колесика, ротораполя скорости в его центре

ω =1

2(~n · rot~v) .

Причем угловая скорость вращения колесика оказывается максималь-ной, если ~n · rot~v. Отметим в заключение, что вектор

~ω =1

2rot~v (6.32)

можно трактовать как вектор угловой скорости вращения бесконечно-малой жидкой частицы. В справедливости формулы (6.32) убеждает сле-дующий пример:

Пример: Пусть абсолютно жесткое тело вращается вокруг централь-ной точкиO с угловой скоростью ~ω. Тогда векторное поле скорости точектела равно

~v(~r) = [~ω × ~r] .

105

Вычислим ротор этого векторного поля в декартовой системе координатс центром в точке O. Подставив выражение для поля ~v(~r)

~v(~r) =~i (ωyz − ωzy) +~j (ωzx− ωxz) + ~k (ωxy − ωyx) ,

где (ωx, ωy, ωz) -компоненты вектора угловой скорости ~ω, в формулу (6.28),после несложных выкладок вернемся к формуле (6.32). F

106

Глава 7

Дифференциальное исчислениевекторного анализа

В предыдущей главе мы обсудили основные характеристики скаляр-ных и векторных полей, и ввели, применимые к ним, инвариантные диф-ференциальные операции 1-го порядка – градиент, дивергенцию и ротор.В данной главе подробно обсуждаются свойства этих и некоторых дру-гих инвариантных дифференциальных операций векторного анализа.

7.1 Оператор Гамильтона и вектор наблаВычисления градиента скалярных полей, а также дивергенции и ро-

тора векторных полей обычно оказываются проще и геометрически на-гляднее, если записывать их на языке оператора Гамильтона, которыйчаще называют вектором набла. Это дифференциальный оператор, име-ющий в декартовой системе координат вид:

~∇ =~i ∂∂x

+~j∂

∂y+ ~k

∂

∂z. (7.1)

Название “набла” происходит от греческого слова ναβλα –арфа – на-звания музыкального инструмента, напоминающего по форме значок ~∇.Между арфой и ~∇ можно усмотреть и более глубокое родство. Как арфаобретает звучание лишь в руках музыканта, так и оператор ~∇ наполня-ется содержанием лишь в совокупности со скалярными или векторнымиполями, к которым его применяют. Действительно, в отличие от обычно-го вектора, компонентами вектора набла служат не числа, а дифферен-циальные операторы. Поэтому сам по себе вектор набла не имеет вели-чины и направления. Тем не менее, будучи приложенным к скалярному

107

или векторному полю, он порождает обычные, векторные или скаляр-ные, поля. К примеру, домножив вектор набла справа на скалярное полеu(x, y, z) или, как еще говорят, подействовав оператором набла на полеu, получим его градиент:

gradu = ~∇u =~i ∂u∂x

+~j∂u

∂y+ ~k

∂u

∂z. (7.2)

Аналогично, дивергенция векторного поля равна скалярному произведе-нию вектора набла и заданного векторного поля ~A:

div ~A = (~∇ · ~A) = ∂P∂x

+∂Q

∂y+

∂R

∂z, (7.3)

а ротор равен векторному произведению набла с данным вектором:

rot ~A = [~∇× ~A] = rot ~A(M) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣. (7.4)

Здесь (P,Q, R) –компоненты вектора ~A в выбранной декартовой системекоординат.

Первые равенства в (7.2)-(7.4) являются, по определению, разнымиформами записи градиента, дивергенции и ротора произвольных полейu и ~A. Поскольку перечисленные дифференциальные операции опреде-лены инвариантными равенствами (6.10), (6.23), (6.27), то говорят, чтои действие вектора набла на скалярные и векторные поля не зависит отсистем координат, и определяется упомянутыми равенствами:

~∇ u = limT →M

1

V (T )∫∫

S~n u dS ,

(~∇ · ~A) = limT →M

1

V (T )∫∫

S

(~n · ~A

)dS ,

[~∇× ~A] = limT →M

1

V (T )∫∫

S

[~n× ~A

]dS .

Соответственно, формулу Гаусса-Остроградского (5.8), а также родствен-ные формулы (6.12) и (6.29) часто записывают в легко запоминающейсяформе ∫∫

S~n u dS =

∫∫∫

T

~∇u dV ,∫∫

S

(~n · ~A

)dS =

∫∫∫

T(~∇ · ~A) dV ,

∫∫S

[~n× ~A

]dS =

∫∫∫T

[~∇× ~A

]dV ,

(7.5)

108

где переход от поверхностного к объемному интегралу сопровождаетсязаменой вектора нормали на вектор набла. Отметим еще, что три послед-ние формулы в совокупности составляют содержание так называемойобщей теоремы Гаусса-Остроградского.

7.2 Действия с вектором наблаПопулярность вектора набла среди физиков и инженеров обусловлена

тем, что многие нетривиальные свойства скалярных и векторных полейудается раскрыть, обращаясь с вектором набла как с обычным вектором,и пользуясь привычными правилами векторной алгебры. Так довольногромоздкие выкладки, проведенные в декартовой системе координат, по-казывают, что имеют место тождества:

rot grad U ≡ ~O , div rot ~A ≡ 0 . (7.6)Сюда вошел нулевой вектор ~O все компоненты которого равны нулю.В то же время эти тождества, будучи выраженными на языке векторанабла:

[~∇× ~∇U ] = [~∇× ~∇] U = ~O U ≡ ~O , (~∇ · [~∇× ~A ]) = (~∇, ~∇, ~A ) ≡ 0 ,кажутся очевидными – как бы вытекают из геометрического смысла век-торного и смешанного произведений. В самом деле, левая часть первогоиз них содержит векторное произведение двух “параллельных векторов”~∇, отличающихся лишь “скалярным множителем” U . А как известно,векторное произведение коллинеарных векторов всегда равно нулю. Вто-рое же тождество справедливо, поскольку в нем присутствует смешанноепроизведение трех векторов, два из которых одинаковы. Конечно, подоб-ное слишком вольное обращение с выражениями, содержащими векторнабла, может давать и сбои. Так несмотря на то, что векторное произ-ведение [~∇U × ~∇V ] содержит два “параллельных вектора” ~∇, нетрудноубедиться, что данное векторное произведение нулем вообще говоря неявляется, поскольку векторные поля gradU и gradV в одной и той жеточке могут иметь разные направления.

Тем не менее можно строго доказать, что преобразование выражений,содержащих вектор набла, по правилам векторной алгебры всегда даетправильный результат, если придерживаться двух естественных правил.

Прежде всего не стоит забывать, что вектор набла – линейный диф-ференциальный оператор 1-го порядка. Поэтому, действуя им на про-изведение полей, необходимо руководствоваться известными правиламивычисления производной сумм и произведений.

109

Проиллюстрируем сказанное на примере дивергенции произведенияскалярного и векторного полей:

div (U ~A) = (~∇ · U ~A ) .Согласно законам дифференциального исчисления, оператор набла дол-жен вначале действовать на первый сомножитель, а затем на второй.Запишем сказанное на языке формул:

(~∇ · U ~A ) = (~∇· ↓U ~A ) + (~∇ · U↓~A ) .

Здесь вертикальная стрелка указывает на тот сомножитель, к которомув данном слагаемом применяется оператор ~∇. Оставшийся множительможно “высвободить” из под оператора ~∇, что дает:

(~∇ · U ~A ) = (~∇U · ~A ) + U(~∇ · ~A ) .В итоге мы вывели полезную формулу векторного анализа. Запишем

ее еще раз, в форме, не привлекающей вектор набла:

div (U ~A) = (~∇ · U ~A) = ( ~A · gradU) + Udiv ~A .

Второе правило обращения с вектором набла состоит в том, что дляполучения осмысленных формул надо, пользуясь свойствами скалярныхи векторных произведений обычных векторных полей, переставлять век-тор набла до тех пор, пока вектор набла не примет “надлежащее поло-жение” – слева от поля, на которое он должен действовать.

Пример: Найдем, с учетом обоих правил, еще одно важное соотно-шение. А именно выясним, чему равна дивергенция векторного произве-дения векторных полей. Согласно дифференциальной природе векторанабла имеем:

(~∇ · [ ~A× ~B]) = (~∇ · [↓~A × ~B]) + (~∇ · [ ~A×

↓~B]) . (7.7)

Воспользуемся далее тем хорошо известным фактом, что смешанное про-изведение не меняется при циклической перестановке входящих в неговекторов:

(~∇ · [↓~A × ~B]) = ( ~B · [~∇× ~A]) = ( ~B · rot ~A ) .

Мы убрали вертикальную стрелку во второй части равенства, посколькууже нет сомнений, на какое из полей действует вектор ~∇.

110

Во втором слагаемом в (7.7) поменяем вначале местами векторы ~A и~B, из-за чего знак векторного произведения сменится на обратный, а ужзатем воспользуемся циклической перестановкой:

(~∇ · [ ~A×↓~B]) = −(~∇ · [

↓~B × ~A]) = −( ~A · [~∇× ~B]) = ( ~A · rot ~B ) .

Таким образом, придерживаясь упомянутых правил обращения с векто-ром набла, мы довольно легко вывели еще одну важную формулу век-торного анализа:

div [ ~A× ~B ] = ( ~B · rot ~A)− ( ~A · rot ~B) . F (7.8)

Рассмотрим еще один характерный пример работы с вектором набла.

Пример: Мы уже достаточно набили руку на манипуляциях с век-тором набла, и в состоянии вывести довольно часто встречающуюся вприложениях формулу для градиента скалярного произведения вектор-ных полей:

grad ( ~A · ~B ) = ~∇ ( ~A · ~B ) .Следуя 1-му правилу, разобьем его на сумму двух слагаемых:

~∇ ( ~A · ~B ) = ~∇ (↓~A · ~B ) + ~∇ ( ~A·

↓~B ) . (7.9)

Вспомним затем знаменитую формулу “bac минус cab” для двойного век-торного произведения

[~a× [~b× ~c ]] = ~b (~a · ~c )− ~c (~a ·~b ) , (7.10)которую перепишем в подходящей для наших целей форме:

~c (~a ·~b ) = [~a× [~c×~b ]] + (~a · ~c )~b .

Положим здесь ~c = ~∇, ~a = ~A и ~b = ~B. В итоге придем к равенству,раскрывающему действие вектора набла во втором слагаемом справа в(7.9):

~∇ ( ~A·↓~B ) = [ ~A× [~∇× ~B ]] + ( ~A · ~∇) ~B .

Аналогично, для первого слагаемого в (7.9) имеем:

~∇ (↓~A · ~B ) = ~∇ ( ~B·

↓~A ) = [ ~B × [~∇× ~A]] + ( ~B · ~∇) ~A .

111

Подставив последние два равенства в (7.9), получаем:

~∇ ( ~A · ~B ) = [ ~A× [~∇× ~B ]] + [ ~B × [~∇× ~A ]] + ( ~A · ~∇) ~B + ( ~B · ~∇) ~A .Таким образом, оперируя с вектором набла, мы вывели следующую фор-мулу векторного анализа:

grad ( ~A · ~B ) = [ ~A× rot ~B] + [ ~B × rot ~A] + ( ~A · ~∇) ~B + ( ~B · ~∇) ~A . (7.11)

Наиболее часто в приложениях возникает ее частный случай при ~A ≡ ~B:1

2gradA2 = [ ~A× rot ~A ] + ( ~A · ~∇) ~A . F (7.12)

Замечание: В последнее слагаемое вошел оператор ( ~A· ~∇), родствен-ный оператору производной по направлению. В декартовой системе ко-ординат он принимает вид:

( ~A · ~∇) = P ∂∂x

+ Q∂

∂y+ R

∂

∂z. (7.13)

Иногда его записывают в форме производной по вектору:

( ~A · ~∇) = dd ~A

(7.14)

и переписывают равенство (7.9) в виде

grad ( ~A · ~B ) = [ ~A× rot ~B] + [ ~B × rot ~A] + d~A

d~B+

d ~B

d ~A.

В качестве справки приведем одну полезную частную формулу, отража-ющую свойства оператора (7.14). А именно, выясним чему равно дей-ствие этого оператора на радиус-вектор. Несложные выкладки в декар-товой системе координат дают:

d~r

d ~A= ( ~A · ~∇)~r = ~A . 4

Пример: Дадим еще один пример вывода, с помощью вектора наб-ла, полезной формулы векторного анализа, содержащей производную повекторному полю (7.14). Обсудим ротор векторного произведения

rot [ ~A× ~B] =[~∇× [ ~A× ~B]

]= [~∇× [

↓~A × ~B] ] + [~∇× [ ~A×

↓~B] ] .

112

Согласно формуле bac минус cab имеем

[~∇× [↓~A × ~B] ] = ~A(~∇ · ~B )− ~B(~∇ · ~B ) =

(~∇ · ~B ) ~A− ~B div ~A = d~A

d~B− ~B div ~A .

Аналогично

[~∇× [ ~A×↓~B] ] = −d

~B

d ~A+ ~A div ~B .

Таким образом окончательно

rot [ ~A× ~B] = ~A div ~B − ~B div ~A + d~A

d~B− d

~B

d ~A. F (7.15)

В качестве самостоятельного упражнения, предлагаем читателю, спомощью правил обращения с вектором набла, вывести следующую по-лезную формулу

rot (u ~A ) = u rot ~A +[gradu× ~A

]. (7.16)

Отметим в заключение, что наряду с оператором (7.13), в приложени-ях иногда применяется оператор [ ~A×~∇], в декартовой системе координатравный

[ ~A× ~∇] =~i(Q

∂

∂z−R ∂

∂y

)+~j

(R

∂

∂x− P ∂

∂z

)+ ~k

(P

∂

∂y−Q ∂

∂x

).

Здесь как обычно принято, что ~A = ~iP + ~jQ + ~kR. Появление этогооператора иллюстрирует очевидная цепочка равенств

[ ~A× gradu] = [ ~A× ~∇u] = [ ~A× ~∇] u .

7.3 Потенциальные поляМы уже вводили, в разделе 3.7, понятие потенциального векторного

поля, опираясь на его интегральное свойство: Криволинейный интеграл2-го типа от потенциального поля не зависит от кривой интегрирования,а лишь от начальной и конечной точек этой кривой. Не менее важноопределение потенциального поля, опирающееся на дифференциальнуюоперацию градиента:

113

Определение 7.1 Векторное поле ~A : (W ⊂ R3) 7→ R3 называют по-тенциальным, если оно представимо в виде

~A(M) = gradU(M) . (7.17)

При этом поле U(M) называют (скалярным) потенциалом векторногополя ~A(M).

Новизна формулы (7.17), по сравнению с аналогичным определени-ем потенциального векторного поля (3.24), состоит в том, что сейчас мыясно осознаем инвариантный, не зависящий от систем координат, смыслпонятия потенциального векторного поля. Как видно из (7.17), свойствапотенциальных векторных полей однозначно определяются их потенци-алом U(M). Естественно задаться вопросом: Можно ли, по заданномупотенциальному полю ~A, определить его потенциал U . Ответ на негодает следующая

Теорема 7.1Если векторное поле задается равенством (7.17), то его потенциал опре-деляется с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство: Пусть имеются два скалярных потенциала, U(M)и V (M), определяющих одно и то же потенциальное векторное поле:

~A(M) = gradU(M) , ~A(M) = gradU(M) .

Вычитая 2-е равенство из 1-го, найдем, что градиент разности указанныхпотенциалов тождественно равен нулю:

grad [U(M)− V (M)] ≡ 0 .В свою очередь это означает, что равна нулю производная скалярногополя U − V по любому направлению ~τ :

∂ U − V∂~τ

= (grad [U − V ] · ~τ) ≡ 0 .

Единственная функция, производная которой по любому направлениюравна нулю, есть константа. Следовательно

U(M)− V (M) ≡ const ,что и требовалось доказать. ¤

Другой естественный вопрос, возникающий при обсуждении потен-циальных векторных полей, состоит в следующем: При каких условияхвекторное поле ~A(M) можно представить в виде (7.17). Полезные сведе-ния на эту тему дает

114

Теорема 7.2Для того, чтобы непрерывно-дифференцируемое векторное поле ~A(M)было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тож-дество

rot ~A ≡ 0 . (7.18)Доказательство: Необходимость условия (7.18) вытекает из 1-го

тождества (7.6). Действительно, если ~A = gradU , то

rot ~A = rot gradU =[~∇× ~∇

]≡ ~O .

Достаточность условия (7.18) удобнее всего доказывать, расписав его вдекартовой системе координат. Пусть rot ~A ≡ 0. Это означает, что

rot ~A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

~i ~j ~k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=~i (Ry −Qz) +~j (Pz −Rx) + ~k (Qx − Py) ≡ ~O ,

или∂P

∂y≡ ∂Q

∂x,

∂P

∂z≡ ∂R

∂x,

∂Q

∂z≡ ∂R

∂y.

Последние тождества являются условиями полного дифференциала дляPdx + Qdy + Rdz, то есть существования такой функции U(x, y, z), что

Pdx + Qdy + Rdz = dU , где P =∂U

∂x, Q =

∂U

∂y, R =

∂U

∂z.

Отсюда следует, что

~A =~i P +~j Q + ~k R =~i∂U

∂x+~j

∂U

∂y+ ~k

∂U

∂z= gradU .

Теорема доказана. ¤Пользуясь представлением потенциального векторного поля ~A в ви-

де (7.17), выведем еще раз уже знакомую формулу (3.26). Рассмотримкриволинейный интеграл от потенциального векторного поля ~A, взятыйпо произвольной гладкой кривой C, соединяющей точки M0 и M . В силу(7.17) имеем

M∫

M0

( ~A · d~r) =M∫

M0

(grad · d~r) =M∫

M0

dU = U(M)− U(M0) .

115

Отсюда следует, что скалярный потенциал U(M) потенциального век-торного поля можно найти по формуле

U(M) =

M∫

M0

( ~A · d~r) + C , (7.19)

где C -произвольная постоянная.

7.4 Соленоидальные поляЕще одной важной разновидностью векторных полей являются соле-

ноидальные поля:

Определение 7.2 Векторное поле ~A : (W ⊂ R3) 7→ R3 называют соле-ноидальным, если оно представимо в виде

~A(M) = rot ~B(M) . (7.20)

При этом ~B называют векторным потенциалом поля ~A.

Каждому соленоидальному полю отвечает множество векторных по-тенциалов. “Степень свободы” задания векторного потенциала определя-ет

Теорема 7.3Векторный потенциал соленоидального поля определяется с точностьюдо gradϕ, где ϕ(M) произвольное скалярное поле.

Доказательство: Пусть одновременно справедливы оба равенства~A = rot ~B и ~A = rot ~C. Тогда rot [ ~B− ~C] ≡ ~O. С другой стороны известно,что ротор любого потенциального векторного поля тождественно равеннулю. Следовательно, разность ~B− ~C -потенциальное поле, представимоев виде

~B − ~C = gradϕ . ¤

Условия соленоидальности векторного поля содержит

Теорема 7.4Для того, чтобы непрерывно-дифференцируемое поле ~A было соленои-дальным, необходимо и достаточно, чтобы

div ~A ≡ 0 . (7.21)

116

Доказательство: Необходимость условия (7.21) вытекает из 2-готождества (7.6): Пусть ~A = rot ~B. Тогда

div ~A = div rot ~B ≡ 0 .

Достаточность удобно доказывать, опираясь на декартову системукоординат. Пусть задано векторное поле

~A(x, y, z) =~i P (x, y, z) +~j Q(x, y, z) + ~k R(x, y, z) .

Надо доказать, что его можно представить в виде (7.20), где

~B(x, y, z) =~iB1(x, y, z) +~j B2(x, y, z) + ~k B3(x, y, z) .

Очевидно, входящие сюда функции должны удовлетворять следующейсистеме дифференциальных уравнений в частных производных

P =∂B3∂y

− ∂B2∂z

,

Q =∂B1∂z

− ∂B3∂x

,

P =∂B2∂x

− ∂B1∂y

,

∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z= 0 .

7.5 Дифференциальные операции 2-го поряд-ка

Выше мы подробно обсудили векторные дифференциальные опера-ции 1-го порядка – градиент дивергенцию и ротор. В приложениях век-торного анализа приходится иметь дело с различными комбинациямиэтих основных операций. Особенно часто встречаются дифференциаль-ные операции 2-го порядка, то есть попарные комбинации 3-х указан-ных выше операций 1-го порядка. Подобно последним, соответствующиедифференциальные операции 2-го порядка инвариантны – не зависят отиспользуемой системы координат.

Комбинируя попарно символы grad, div и rot, можно составить из них32 = 9 пар. Однако не все из них имеют смысл. Например, операция

rot div ~A

117

бессмысленна, поскольку ротор действует лишь на векторные поля. На-глядное представление о разрешенных дифференциальных операциях 2-го порядка дает следующая таблица:

gradu div ~A rot ~Agrad grad div ~Adiv div gradu div rot ~A ≡ 0rot rot gradu ≡ 0 rot rot ~A

в которой пустые клетки отвечают не имеющим смысла сочетаниям диф-ференциальных операторов 1-го порядка. Кроме того в 2-х клеточкахоказались тривиальные операции, при действии которых на произволь-ные поля получается тождественный нуль. В итоге, применительно к ска-лярному полю u(M), имеется всего одна осмысленная и нетривиальнаяоперация div gradu(M). Поскольку именно она чаще всего встречаетсяв приложениях, обсудим ее подробнее. Выразив эту операцию на языкевектора набла, получим

div gradu =(~∇ · ~∇ u

)=

(~∇ · ~∇

)u . (7.17)

Действующий здесь на поле u(M) дифференциальный оператор 2-го по-рядка, равный скалярному произведению векторов набла, называют опе-ратором Лапласа и символизируют значком ∆. Кроме того, посколькускалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его дли-ны, то, особенно в западной научной литературе, оператор Лапласа обо-значают еще и так: ∆ ≡ ∇2. Таким образом, имеются три общеупотреби-тельные формы записи действия оператора Лапласа на скалярное полеu(M):

∆ u(M) ≡ ∇2 u(M) ≡ div gradu(M) .Естественно, результат действия оператора Лапласа на поле u(M)

зависит лишь от пространственных свойств поля, и не зависит от системкоординат. Тем не менее полезно знать способ вычисления лапласианав заданных координатах. Как следует из (7.17) и (7.1), в декартовойсистеме координат лапласиан поля u(x, y, z) вычисляется по формуле

∆ u =∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2. (7.18)

118

В приложениях часто надо знать результат действия лапласиана напроизведение двух скалярных полей. Пользуясь равенством (7.18) и фор-мулой Лейбница для производной произведения, легко вывести формулу,в инвариантной форме записи имеющую вид

∆uv = v∆u + u∆v +(~∇u · ~∇v

). ()

Приведем в заключение связь между оператором Лапласа и двумянетривиальными дифференциальными операциями 2-го порядка, дей-ствующими на векторные поля. Пользуясь формулой bac минус cab (7.10),будем иметь

rot rot ~A =[~∇×

[~∇× ~A

]]= ~∇

(~∇ · ~A

)−∇2 ~A ,

или в традиционных обозначениях

rot rot ~A = grad div ~A−∆ ~A . ()

Расшифруем действие лапласиана на векторную функцию в последнемслагаемом. В декартовой системе координат он действует на каждуюкомпоненту векторного поля как на скалярное поле:

∆ ~A =~i ∆P +~j ∆Q + ~k ∆R .

119