פונקציות מרוכבות חוברת קורס 2010

a ה א ו נ י ב ר ס י ט ה ה פ ת ו ח ה

ודים גרינשטיין: כתב

ע"תש –סמסטר סתיו - 2009 ראוקטוב משך זמן כפול

20243

פונקציות מרוכבות 2010א/1 סתיו -חוברת הקורס

משך זמן כפול

.לא להפצה –פנימי

. כל הזכויות שמורות לאוניברסיטה הפתוחה ©

תוכן העניינים

א יםאל הסטודנט

ב תיאור הקורס. 1

ב ת הגמרובחינ. 2

ב נקודות זכות מתקדמות 3-נקודות זכות רגילות ו 3התנאים לקבלת . 3

לוח זמנים ופעילויות. 4

למידה מתוקשבת ואתר הקורס באינטרנט. 5

ג

ה

מטלות הקורס

תיאור המטלות

נוהל הגשת מטלות

אי

יג

1 01ח "ממ

5 11ן "ממ

7 02ח "ממ

11 03ח "ממ

15 12ן "ממ

17 13ן "ממ

19 14ן "ממ

21 04ח "ממ

27 15ן "ממ

29 16ן "ממ

31 17ן "ממ

18ן "ממ

33

א

,יםיקר יםסטודנט

לימוד כםומאחלים ל" פונקציות מרוכבות"ללומדי הקורס כםעם הצטרפותאתכם אנו מברכים

.פורה ומהנה

. בלימוד קורס זה כםכדי לבצע את המוטל עלי, לדעת כםחוברת זו כוללת את כל הפרטים שעלי

. בלימוד הקורס ולהבהיר פרטים הקשורים בו כםהיא מהווה מעין מדריך אישי שתפקידו לסייע ל

את לוח הזמנים ובהמשך תמצא. בקורס כםעליה במשך כל לימודי רוחוברת זו בעיון ושמ וקרא

.טים על מועדי המפגשים יישלחו בנפרדפר. של הקורס ואת שאלוני המטלות של הסמסטר הזה

.ידיעון האקדמיפרטים לגבי נהלים המקובלים באוניברסיטה הפתוחה מפורטים ב

.הקורסים מופיעים בקטלוג הקורסים יתיאור

.יישלחו מדי סמסטרוהשלמות לקטלוג הקורסים ולידיעון האקדמי עדכונים

ותעורר בעיה במהלך הלימוד אל תהססאם ת. בקורס זה מרכז ההוראה הוא גם מנחה הקבוצה

.להתקשר טלפונית בשעות ההנחיה הטלפונית

.ודים גרינשטייןר "דמרכז ההוראה של הקורס הוא

מותר לנסות להשיגו . 09-7781424בטלפון , 18:00-16:30בין השעות ,'הניתן לפנות אליו בימי

.בטלפון גם בזמנים אחרים

.הצלחה בלימודים כםאנו מאחלים ל

,ב ב ר כ ה

צוות הקורס

ב

תיאור הקורס. 1

. יחידות לימוד 12מתקדם המבוסס על /הוא קורס רגיל" פונקציות מרוכבות"הקורס

:להלן פירוט היחידות בקורס

מספרים מרוכבים - 1יחידה

פונקציות רציפות - 2יחידה

גזירה - 3יחידה

אינטגרציה - 4יחידה

Iמשפט קושי - 5יחידה

טורי טיילור - 6יחידה

נקודות סינגולריות - 7יחידה

IIמשפט קושי - 8יחידה

שימושים של משפט השארית - 9יחידה

סדרות וטורים של פונקציות אנליטיות - 10 יחידה

המשכה אנליטית - 11יחידה

העתקות קונפורמיות - 12יחידה

בחינות גמר. 2

.בלבדובחוברת ההנחיות ללומד בבחינות הגמר מותר להיעזר ביחידות הלימוד

. מועד בחינה לפנידרישות הקורס בכל םלגשת לבחינת גמר בקורס רק אם עמדת םזכאי כםהנ

).בשאר פעילויות החובה של הקורס םמטלות במשקל מינימלי והשתתפת םכלומר הגשת(

הודעה על המועדים המדויקים תישלח . הסמסטר בחינות הגמר יחלו כשבוע ימים לאחר תום

.ידי מרכז ההישגים הלימודיים כחודשיים לאחר תחילת הסמסטר-לסטודנטים על

.בידיעון האקדמימועדי בחינות הגמר שנקבעו לסמסטרים הבאים מפורטים

!לתשומת לב

הסמסטר במועדים של הסמסטר הנוכחי או במועדים של : להיבחן בקורס פעמיים םזכאי כםהנ

.להיבחן בקורס כםאת זכות םובכך מיצית, הבא בו נלמד הקורס

להירשם לקורס זה פעם ויוכל, בשניהם ולבחינות גמר בשני מועדים ונכשל ושניגש יםסטודנט

.בידיעון האקדמיפרטים . נוספת ולקבל הנחה בשכר הלימוד

ותנקודות זכות מתקדמ 3 -נקודות זכות רגילות ו 3התנאים לקבלת . 3

30משקלן הכולל של המטלות הוא ( נקודות לפחות 20להגיש מטלות שסך משקלותיהן כםעלי .א

).נקודות

.לפחות בבחינת הגמר 60לקבל ציון כםעלי .ב

.לפחות 60הסופי בקורס צריך להיות כםציונ .ג

ג

משך זמן כפול -) 2010א1/ 20243(לוח זמנים ופעילויות . 4

למשלוח תאריך אחרון שבוע לימוד

יחידת הלימוד תאריכי שבוע הלימוד המומלצת

ח "ממ *ההנחיהמפגשי )פ"לאו(

ן "ממ )למנחה(

1-2

30.10.2009-18.10.2009

1יחידה

01ח "ממ

30.10.2009

3-4

13.11.2009-1.11.2009

2יחידה

11ן "ממ

13.11.2009

5-6

27.11.2009-15.11.2009

3יחידה

7-8

11.12.2009-29.11.2009

)חנוכהו ערב (

4,3יחידות

02ח "ממ

11.12.2009

9-10

25.12.2009-13.12.2009

)חנוכהו - א(

5,4יחידות

03ח "ממ

25.12.2009

11-12

8.1.2010-27.12.2009

5יחידה

13-14

22.1.2010-10.1.2010

6יחידה

12ן "ממ

22.1.2010

15-16

)2010סיום סמסטר א(5.2.2010-24.1.2010

7,6יחידות

17-18

19.2.2010-7.2.2010

7יחידה

13ן "ממ

19.2.2010

שבצו אותםאנא ". לוח מפגשים ומנחים"מופיעים ב התאריכים המדויקים של המפגשים הקבוצתיים*

.שירותי הוראה ממערך שקיבלתם מצוינים בהודעה ללומד הקבוצה ומספרמרכז הלימוד . ידכםבכתב

ד

המשך -לוח זמנים ופעילויות

למשלוח תאריך אחרון שבוע לימוד

יחידת הלימוד תאריכי שבוע הלימוד המומלצת

ח "ממ *ההנחיהמפגשי )פ"לאו(

ן "ממ )למנחה(

19-20

5.3.2010-21.2.2010

)ב פורים- א(

8יחידה

21-22

)2010בתחילת סמסטר (

19.3.2010-7.3.2010

9,8יחידות

14ן "ממ

12.3.2010

23-24

2.4.2010-21.3.2010

)ב ערב פסח(

)ו פסח-ג(

9יחידה

04ח "ממ

26.3.2010

25-26

16.4.2010-4.4.2010

)ב פסח- א(

)לשואה ב יום הזכרון(

10,9יחידות

15ן "ממ

16.4.2010

27-28

30.4.2010-18.4.2010

)יום העצמאות ג ,יום הזכרון ב(

11,10יחידות

29-30

14.5.2010-2.5.2010

)ג בעומר"א ל(

11יחידה

16ן "ממ

14.5.2010

31-32

28.5.2010-16.5.2010

)ד שבועות-ג(

12יחידה

33-34

11.6.2010-30.5.2010

12יחידה

17ן "ממ

4.6.2010

35

18.6.2010-13.6.2010

חזרה

18ן "ממ

18.6.2010

מועדי בחינות הגמר יפורסמו בנפרד

שבצו אותםאנא ". לוח מפגשים ומנחים"מופיעים ב התאריכים המדויקים של המפגשים הקבוצתיים* * .שירותי הוראה ממערך שקיבלתם מצוינים בהודעה ללומד הקבוצה ומספרמרכז הלימוד . ידכםבכתב

ה

למידה מתוקשבת ואתר הקורס באינטרנט. 5http://telem.openu.ac.il

מרכז כמעין הפועל באינטרנטקיים אתר יםלומד םבו אתשלקורס

עם ערוץ תקשורת עבורכם אתר מהווה ה. לימוד וירטואלי של הקורס

ומאפשר לכם ליהנות , הוראהצוות האחרים בקורס ועם סטודנטים

בפעילות ההשתתפות . מרכז ההוראהמחומרי למידה נוספים שמפרסם

הכניסה לאתר . אינה דורשת הרשמה מיוחדת המתוקשבת באתר

במקום , בבית(מתבצעת מכל עמדת מחשב שיש בה חיבור לאינטרנט

.לכםנוחים הבשעות ובימים , )ממחשב של חבר, העבודה

?אתרבכדי לגלוש יםהציוד והתוכנה הנדרש םמה Microsoft Internetגישה למחשב המסוגל להריץ לבקר באתר ולהשתתף בפעילות נדרשת כדי

Explorer 6 מעבד התמלילים הכולל , ומעלהMicrosoft Word 7.0 תוכנות . ומעלהOffice אחרות

.מומלצות

?כיצד מגיעים לאתר הקורס \http://telem.openu.ac.il: תחילה עליכם להיכנס לאתר הראשי של שוהם בכתובת

:בחלון שלהלןלאחר מכן הקלידו את מספר הקורס או את שמו

?כוללים אתרי הקורסים מה הוראה לבין כל השותפים ללמידה ו זמינה ושוטפתתקשורת אתרי הקורסים מאפשרים לקיים

.בקורס

תרגול ,עדכונים ליחידות הלימוד :כגון חומרי לימודבאתרי הקורסים מתפרסמים נוסף על כך

: כגון חומרי העשרה. לומדות ועוד, המחשות, נים"משובים לממ, דוגמאות של מבחנים, נוסף

, מבחני רב ברירה עם משוב מיידי, נושאים אקטואליים ,של סטודנטיםלדוגמה עבודות , מצגות

.ועוד אתרים שונים ברשת האינטרנטמאגרי מידע ולקישורים ל

המזמנים לימוד הדומה ומחולקים לפרקים מוקלטים ה שיעורי וידיאו משולביםבחלק מהאתרים

פרקים ובמיוחד חזרה על ,יה נוחה בשיעוריהחלוקה לפרקים מאפשרת צפ. במקצת לשיעור חי

. עזרו בהם ללמידהיבדקו האם יש הפניה לשיעורי וידיאו בקורס שלכם וה. ספציפיים מתוך הרצף

החומרים באתר של כל קורס בוחר מרכז ההוראה להציג את - בלבד אלה הן דוגמאותכל

.המתאימים לתכני הקורס

ו

הפנקס האישי הערות אישיות לחומרים שתבחרו המאפשר לכם לרכז " פנקס אישי" משולבבאתרי הקורסים

אותו פנקס . רק אתם מורשים לצפות בו. אישי -כשמו כן הוא , הפנקס האישי. מתוך אתר הקורס

. ילווה אתכם בכל תקופת לימודיכם באוניברסיטה הפתוחה וישרת אתכם בכל הקורסים שתלמדו

.לכם הרשאה אליהםבתנאי שיש , שונים יםתוכלו לאסוף לפנקס האישי פריטי תוכן מאתרי קורס

אזור מידע לסטודנטים או ישירות , פרטים על הפנקס האישי והמלצות לשימוש בו ראו באתר תלם

http://telem.openu.ac.il/personal_notes: תובתבכ

.ברסיטה הפתוחהיהיה לכם לעזר במהלך לימודיכם באוני שהפנקס האישימקווים

?כיצד מתבצעת התקשורת באתר בו מתפרסמות הודעות שוטפות מטעם צוות ההוראה בנושאים לוח הודעותבדף הבית באתר פרוס

.ואירועים הקשורים לקורס. המאפשרת שיח שוטף בין כל משתתפי הקורס באמצעות חילופי טקסט קבוצת דיון יש באתר

לשאול שאלות ולקיים שיח לימודי , להעלות קשיים, לדון בחומר הלימוד, אפשר לשתף ולהתייעץ

. קבוצת הדיון פתוחה רק בפני הסטודנטים והמנחים הלומדים ומלמדים בקורס. וחברתי .אישית בין הסטודנטים ומול צוות ההוראהמאפשר קיום תקשורת בינהדואר האלקטרוני

בזמן אמת באמצעות הודעות " שוחחל", לומדים ומלמדים, מאפשר לכל משתתפי הקורס ט'הצ

.טקסט במועד שנקבע מראש

ביקור ראשון באתר הקורס במדורים השונים לשוטט התחילו -הכרות עימובאתר הוא לערוך כםהצעד הראשון בביקור

. שנמצאים בוצורה חופשית כדי להכיר את המבנה שלו ואת התכנים באתר בהנמצאים

:את הפעולות הבאות וובצע ל והיכנס

לקבל דואר ממרכז וכדי שתוכל שלכם את כתובת הדואר האלקטרוניעדכנו •

. ההוראה

כדי שסטודנטים אחרים יוכלו בדף רשימות הסטודנטים באתר כםפרסום שמ ואשר •

. ישירות אליכםלפנות

.)אם היא מסובכת מדי לזכירה( לשנות את סיסמת הגישה האישית לאתר תוכלו •

על לספר מעט ותוכל ,בפני צוות הקורס וחברי הקבוצה כםעצמ וגיבקבוצת הדיון והצ ובקר

נצלו את קבוצת הדיון , בביקורים הבאים באתר. מהקורס כםבציפיות של אחריםולשתף עצמכם

.לשתף אחרים בחוויות ובפתרונותלהציע רעיונות ו, להעלות שאלות

אליו ניתן , סביבת הלמידהמדריך למשתמש הכולל הנחיות טכניות לתפעול באתר קיים כםלרשות

.בראש דף הבית להגיע מהקישור

תדירות הביקור באתר ולמה כדאי לחזור ולבקר בו אחד מהם הוא האפשרות לעדכן את המידע , האינטרנט כידוע הוא מדיום בעל יתרונות רבים

היתרון הזה בא לידי ביטוי באתרי הקורסים ומאפשר לצוות ההוראה . באופן שוטף ובמהירות

דוגמאות ב, חידושיםב, באופן שוטף בפרסומים, הסטודנטים, לעדכן את האתר ואתכם

אתר הקורס כפי שמוצג , בניגוד ליחידות הלימוד הכתובות, רותבמילים אח. אקטואליות ועוד

אתרי הקורסים מתרחבים . בראשית הסמסטר אינו דומה כלל וכלל לאתר הקורס בסוף הסמסטר

. כםשאלותיאת אליובאופן שגרתי ולהפנות באתרמנהג לבקר כםלעצמ ועש. ומתעדכנים כל העת

אמצעי כםכי עומד לרשות ועם הזמן תיווכח, לץמכביד או מאואולי גם אם בהתחלה הדבר יהיה

.עזר יעיל ללמידה

ז

האתר נועד . היעזרו בתכנים השונים וכמובן השתתפו באופן פעיל, כנסו לאתריה

.לכם ושימוש נכון בו יכול להקל עליכם את הלמידה

!להתראות באתר

?ת גישה לאתר הקורססיסמכיצד מקבלים

נפתח באוניברסיטה חשבון אישי הכולל סיסמת גישה , לכל סטודנט הרשום לקורס מתוקשב

בכל אתכםותשרת , הסיסמה מופקת פעם אחת לכל תקופת הלימודים. לאתר הקורס באינטרנט

חשוב לשמור את הסיסמה גם לקורסים . מיםרשו םהקורסים המתוקשבים שאליהם את

כםתישלח לבית, בקורס מתוקשב יםלומד םשאתאם זו פעם ראשונה . ולסמסטרים הבאים

!לשמור פרטים אלה ידואנא הקפ .כםהודעה שתכלול את שם המשתמש והסיסמה המקורית של

את םאם שינית. כפתור הקורס בלשנות את הסיסמה האישית באתר ותוכל

ליצור קשר עם מוקד כםעלי, אותה םאם שכחת .כםלרשום אותה לפני ואנא הקפיד, הסיסמה

ואו תוכל [email protected]: באמצעות דואר אלקטרוני, 09-7782222 הפניות והמידע בטלפון

.09-7781111 פ בטלפון"להשתמש גם בשירותי קול האו

היא , בכל מקרה של דרישת סיסמה. מטעמי סודיות לא ניתן לקבל את הסיסמה בטלפון !לב מושי

.תישלח בדואר לכתובת המעודכנת במחשב האוניברסיטה הפתוחה

נים באמצעות מערכת המטלות המקוונת"שליחת ממ מערכת . ניתן להגיש מטלות באמצעות מערכת המטלות המקוונת, )למעט בודדים(בכל קורס

מערכת ממוחשבת מבוססת אינטרנט לשינוע מטלות מן הסטודנטים , המקוונת היאהמטלות

המטלות נשלחות באמצעותה מהסטודנטים למנחי הקורס ומוחזרות לאחר . למנחים ובחזרה

, יתרונותיה הבולטים של המערכת. תוך בקרה מלאה של מרכזי ההוראה, בדיקתן כולל ציון ומשוב

הורדה למחשב (בכל שלב האם המטלה נמצאת אצל המנחה א האפשרות של הסטודנטים לדעתיה

על כל אלה יש להוסיף את היתרון כי שימוש במערכת . ומה הציון שניתן עליה, האם נבדקה, )שלו

לצד המעקב . המקוונת אינו מצריך מילוי ידני של טפסים וכמובן שאין צורך במשלוח בדואר

.תועד היטב בגוף המטלה או בקובץ נפרדקבלת משוב מסודר ומ, המערכת מאפשרת, המנהלי

תמיכה טכנית ובירורים

מוקד הפניות והמידע

[email protected]: דואר אלקטרוני , 09-7782222טלפון רב קווי :שעות הפעילות של מוקד הפניות הן 19:00 - 8:30: בימי ראשון עד חמישי בין השעות 12:30 - 8:30: בימי שישי וערבי חג בין השעות

.ז וקוד אישי"הנכם מתבקשים להצטייד במספר ת, בעת הפנייה למוקד :יש לפנות למוקד בנושאים

פ "בשירותי קול האוניתן גם להשתמש גם . לקבלה או שחזור סיסמה( סיסמת המשתמש • )09-7781111 בטלפון

לגשת לדף כלשהו באתר יםמורש אינכםהודעת שגיאה המודיעה כי •

הודעה שבקורס נעשה שימוש םקיבלתשבמידה (שיים בהפעלת מערכת שליחת מטלות ק • ) במערכת

למשל דף משובש או (תקלות טכניות באתר ודיווח על שאלות כלליות על אתרי הקורסים • )שגויה URLכתובת

.לפנות לצוות ההוראה בקורסכם עלי, בכל הנושאים הקשורים לתכנים באתר הקורס

ט

הקורסת מטלו

יא

תיאור המטלות

).חים"ממ(מטלות מחשב 4 -ו) נים"ממ(מטלות מנחה 8, מרוכבות פונקציותבקורס

:היחידות בהן הם עוסקים ומשקליהם, חים"נים והממ"בטבלה שלהלן מופיעה רשימת הממ

משקל המטלה נושא המטלה שם המטלה

נקודות 2 1 היחיד 01ח "ממ

נקודות 2 3, 2יחידות 02ח "ממ

תנקודו 2 4ה יחיד 03ח "ממ

נקודות 2 8יחידה 04ח "ממ

נקודות 2 2, 1יחידות 11ן "ממ

נקודות 3 6,5יחידות 12ן "ממ

נקודות 3 6יחידה 13ן "ממ

7 יחידה 14ן "ממ 8של יחידה 8.2, 1.8ופרקים

נקודות 3


נקודות 3 11,10יחידות 16ן "ממ


חזרה לחומר הקורס 18ן "ממ כולו

נקודות 2

.נקודות לפחות 20להגיש במהלך הקורס מטלות שמשקלן הכולל כםעלי

יב

!כםלתשומת לבהערות חשובות

להגיש מטלות רבות ולכן מומלץ שתשתדל, פתרון המטלות הוא מרכיב מרכזי בתהליך הלמידה

.להשיב רק באופן חלקי יםמצליח םכולל מטלות שעליהן את, ככל האפשר

:להגיש לבדיקה מספר רב של מטלות הנהגנו הקלה כדלהלן כםכדי לעודד

ציוני . בחישוב הציון הסופי נשקלל את כל המטלות שציוניהן גבוהים מהציון בבחינת הגמר

.סופימטלות כאלה תורמים לשיפור הציון ה

מתוכן נבחר רק את הטובות ביותר עד להשלמת . ליתר המטלות נתייחס במידת הצורך בלבד

.משאר המטלות נתעלם. המינימום ההכרחי לעמידה בתנאי הגשת מטלות

ומעלה והגישו מטלות 60ציון סופי מחושב רק לסטודנטים שעברו את בחינת הגמר בציון ! רוזכ

.כנדרש באותו קורס

ועם סגל ההוראה של הקורס על נושאי הלימוד ועל , מומלץ לדון עם עמיתיםואפילו , מותר

. מטלה שסטודנט מגיש לבדיקה אמורה להיות פרי עמלו, עם זאת. השאלות המופיעות במטלות

ידי המגיש היא עבירת - או שלא נוסחה אישית על, הגשת מטלה שפתרונה אינו עבודה עצמית

.משמעת

.העתק של המטלה כםלהשאיר לעצמ כםעלי

אין האוניברסיטה הפתוחה אחראית

.למטלה שתאבד בשל תקלות בדואר

יג

)ן"ממ(נוהל הגשת מטלות מנחה

:קיימות שתי חלופות להגשת מטלות

המקוונת המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •

דואר במשלוח, טפסים במילוי הצורך את חוסכת היא, להפעלה קלה המטלות שליחת מערכת

. ומאפשרת מעקב אחר המטלה, ובשמירת עותק של המטלה

מערכת "הגישה למערכת המטלות המקוונת היא דרך אתר הבית של הקורס בקישור

".המטלות

שליחת מטלות באמצעות הדואר או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיה •

.לווה אחדנלכל מטלת מנחה עליכם לצרף טופס

על כל חלקיו (הכניסו את הטופס . למלא את כל הפרטים בחלק א של הטופסהקפידו

כולל (יחד עם המטלה למעטפה המיועדת לכך ורשמו בכתב יד ברור את כתובתכם ) הצבעוניים

.במקום המיועד לכך!) מיקוד

).בהמשך ון רא"לווה לממנדוגמה לטופס . (רשמו את שם המנחה וכתובתו באופן מדויק

!של המטלה בידכםהשאירו עותק

מועדי הגשה ומשלוח מטלות בדואר

האחרון מועד "ליש לשלוח את המטלה עד . בעמוד הראשון של כל מטלה מצוין מועד הגשתה

המועד "שחותמת הדואר על המעטפה תישא תאריך מאוחר מ אסור. המצוין עבורה" הגשהל

.ן"הממ הגשתל" האחרון

!אין לשלוח מטלות בדואר רשום: שימו לב

.הקפידו לרשום את כתובת המנחה בצורה מדויקת כולל מיקוד

ן שיישלח למנחה "ממ. רק למנחה שלקבוצתו אתם משובציםן עליכם לשלוח לבדיקה "את הממ

.אחר ללא אישור מראש של מרכז ההוראה ציונו לא ייחשב

ן לא "מאם המ. ן"ן ייבדק ויוחזר לכם תוך שלושה שבועות מהתאריך האחרון להגשת הממ"הממ

.סיבת העיכובר ורילב אנא התקשרו עם המנחה, יוחזר אליכם במועד זה

דחייה בהגשת מטלות

תוכלו לפנות למנחה שלכם לקבלת אישור לדחיית מועד , כגון שירות מילואים, במקרים מיוחדים

. אישור המנמק את סיבת האיחור/לכל מטלה המוגשת באיחור צרפו מכתב. ההגשה

אלא אם קיבל הנחיות (ן "שלכם לאשר לכם איחור של עד שבוע בהגשת ממבסמכותו של המנחה

במקרה חריג ביותר שנדרש איחור בהגשה של למעלה מזה יש לבקש ). אחרות ממרכז ההוראה

ידי המנחה -מטלות שתגענה באיחור וללא אישור תיבדקנה על. אישור של מרכז ההוראה בקורס

.חשבון המטלות המוגשותאך לא יינתן להן ציון והן לא תובאנה ב

ן"ערעור על ציון בממ

ן תוכלו להגיש ערעור מנומק בכתב למנחה שלכם "אם יש לכם השגות על הציון שקיבלתם בממ

.ן"תוך שבוע ימים מיום קבלת הממ, )ההעתק הצהוב(ן והטופס המלווה "בצירוף הממ

ה בקורס בצירוף הרשות בידכם לערער בפני מרכז ההורא, אם המנחה לא יקבל את ערעורכם

החלטת מרכז . תוך שבוע מיום קבלת תשובת המנחה על ערעורכם, ן והטופס המלווה"הממ

.ההוראה היא סופית

ו על

כתבו). רות

).מ"ס 5ות

שור( פוליו

לפחו(מנחה

תוב על דפי

להערות המ

ן"ווה לממ

יד

קשים לכת

ים רחבים ל

לוי טופס מלו

הנכם מתבק

שאירו שוליי

דוגמה למיל

ה נים"לממ

העמוד והש

!מו לב

התשובות ל

האחד של ה

שימ

את ה

צדו ה

טו

ח"ממ -מטלות מחשב

.הנבדק באמצעות מחשב, ")מבחן אמריקאי" ("ברירה-מבחן רב"ח הוא "הממ

יותר התשובותאל תקדים במשלוח . ח במועד שנקבע"שובות לממיש להקפיד לשלוח את הת

. ח"לאותו ממ הנקוב בלוח הזמנים ךמשבוע לפני התארי

:תקבל לביתך הודעה שתכלול, המצוין בלוח הזמנים, בתוך שלושה שבועות מהתאריך האחרון

.ח לעומת תשובותיך"התשובות הנכונות לממ. א

.המתייחסות לתשובותיך) אם תהיינה כאלה(הערות . ב

.ח זה בחישוב הציון הסופי בקורס"ח ומשקלו של ממ"ציונך בממ. ג

ח"הנחיות לפתרון הממ

קריאה זהירה והבנה מדויקת של . יש לקרוא כל שאלה פעמים מספר ולהתייחס לכל מלה בה

.ח"משמעות כל משפט בשאלה הן תנאי ראשון להצלחתך בממ

החלט מהי , קרא תחילה את כל האפשרויות הנתונות. אחת לכל שאלה יש רק תשובה נכונה

.האפשרות הנכונה ביותר מבין כל האפשרויות ואז סמן אפשרות זו

לאחר קריאת , ייתכן כי תגלה, או אף שלוש, אם נדמה לך שיש לשאלה אחת שתי תשובות נכונות

מובן , כזה במקרה". שלוש התשובות הקודמות נכונות"תשובה אחת האומרת , כל התשובות

הרי רק אחת התשובות , אם לא מופיע משפט מסוג זה. שתסמן תשובה זו ואותה בלבד כנכונה

.נכונה

ובמקרה כזה תינתן לך אפשרות לסמן כנכונה את , קיימת גם אפשרות שאין כל תשובה נכונה

".אין אף תשובה נכונה: "התשובה

ח"משלוח הממ

שירותים אינטראקטיביים ( שאילתארכת ח באמצעות מע"יש לשלוח את התשובות לממ

).לסטודנטים באמצעות תקשורת ואינטרנט :פ באינטרנט בכתובת"הסבר על המערכת ניתן למצוא בחוברת הקורס וכן באתר האו

www.openu.ac.il/sheilta

.פרסומן ח מיד עם"במערכת ניתן לראות את תוצאות בדיקת הממ

טז

שאילתא ח באמצעות מערכת"למילוי תשובות ומשלוח ממהוראות

פ בכתובת "הכניסה היא מאתר הבית של האו. (היכנס למערכת שאילתא .1

www.openu.ac.il/sheilta באמצעות שם המשתמש והסיסמה שנשלחה אליך(.

".קורסים"היכנס לתפריט .2

.הקורס המבוקש" פירוט"בחר ב, בדף הקורסים .3

".מטלת מחשב"היכנס לקישור , בפירוט הקורס .4

הזנת "ח ולחץ על "י הקלקה על הכפתור שמימין לממ"ח שברצונך לשלוח ע"בחר בממ .5

".תשובות

).לבחירת התשובה לחץ על החץ שבכל תיבה. (הזן את התשובות לכל השאלות .6

".שלח"ל לחצן ידי לחיצה ע- שלח את תשובותיך על .7

.ח ששלחת"תוכל לראות את פרטי הממ" פניות"בתפריט .8

ח"ערעור על ציון בממ

תוך שבוע מיום קבלת תוצאות למרכז ההישגים הלימודייםח יוגש "ערעור על ציון שקיבלת בממ

).או צילומה(ובצירוף ההודעה על הציון שקיבלת מהמחשב , ח"הממ

.זהאין ערעור נוסף על ההחלטה בערעור

1

01) ח"ממ(מטלת מחשב פונקציות מרוכבות – 20243 :הקורס

1יחידה :חומר הלימוד למטלה

נקודות 2 : משקל המטלה 15 :מספר השאלות

30.10.2009 : מועד אחרון להגשה 2010א/1 : סמסטר

שאילתאלשלוח באמצעות מערכת ישח "את התשובות לממ

www.openu.ac.il/sheiltaבכתובת

1שאלה

2010 2010(1 ) (1 )i i+ + − =

1. ה i. ד 10052. ג 1. ב 0. א i− ו .1

2i+

1006. ז 122i+⋅

.אין תשובה נכונהז –א התשובות ביןאם " ח"סמן

2שאלה

41 3Re 1

ii

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

2 .ב 2 .א 2 .ד 4 .ג 3 3− 2. ז 1. ו −2 . ה + 2 3+

.ז אין תשובה נכונה –אם בין התשובות א " ח"סמן

3שאלה

Arg( 3 3)i− =

11. א6π 7. ב

4π ג .π

−. ד 3 π 0. ז 6. ו 3. ה 4

.ז אין תשובה נכונה –אם בין התשובות א " ח"סמן

2

4שאלה

0 , Arg(1 cos sin )iα π α α≤ < + − =

2 .אα

2 .בαπ −

α .ג

2 .דα−

2 .הαπ +

.ה אין תשובה נכונה –אם בין התשובות א " ו"סמן

אם רק הטענה הראשונה נכונה - א : סמן 15 – 5בכל אחת מן השאלות

נכונה שנייהאם רק הטענה ה - ב

אם שתי הטענות נכונות -ג

אם שתי הטענות לא נכונות - ד

5שאלה

0קיים .1 z≠ ∈ C 2009 - כך ש 2010Re( ) Re( ) 0z z= =.

)1Im -טבעי כך ש nאם קיים .2 ) Im( ) 0n nz z += .מספר ממשי zאז =

6שאלה

0zאם .1 ∈ C 7פתרון למשוואה 5 46 3 7 0z z z− + − .למשוואה זופתרון 0zאז גם =

0zאם .2 ∈ C 2משוואה לפתרון 0z z+ .למשוואה זופתרון 0zאז גם =

7שאלה

1אם .1 , 1b a= 11בהכרח מתקיים אז =a b

ab− =−

.

1אם .2 , 1b a< 11בהכרח מתקיים אז >a b

ab− <−

.

3

8שאלה

Argאם .1 5z π= 16אזArg( ) 6 5z π= .

)3Argאם .2 ) 2z π= אזArg 6z π= .

9שאלה

0zאם r= אז <

1. 21Im 2

rz z z⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2. 21Re 2

rz z z⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

10שאלה

3אם 2 1, ,z z z 3 -מספרים מרוכבים כך ש 2 1Arg Arg Argz z z> 1 -ו < 2 3 0z z z= = אז, ≠

1. 2 3 2

3 1 1Arg Argz z z

z z z− =−

.

2. 3 2 2

3 1 1

1Arg Arg2z z zz z z− =−

.

)גאומטרי הפירוש החשוב על : רמז(

11שאלה

, אם .1 z wλ λ= אז ,ממשיz w z w+ = + .

zאם .2 w z w+ = 0zאז + Argאו = Argz w= .

12שאלה

0 -טבעי כך ש nאם קיים .1 nz≠ ∈ R אז1 Arg zπ מספר רציונלי.

אם .21 Arg zπ רציונלי אז הקבוצה - אי{ }nz n ∈: N אינסופית.

4

13שאלה

1אם .1 2 3 4, , ,z z z z ∈ C 1-ו, הם קדקודי מקבילית 3,z z 4אז , לא סמוכים 1 2 3z z z z= − + .

1אם .2 2 3 4, , ,z z z z ∈ C 1מקיימים 2 3 4 0z z z z+ + + .אז הם קדקודי מקבילית, =

14שאלה

3נקודות םא .1 2 1, ,z z z 1אז יוצרות משולש שווה צלעות 2 3 0z z z+ + = .

1אם .2 2 3 0z z z+ + 1 - ו = 2 3 0z z z= = 3אז נקודות ≠ 2 1, ,z z z יוצרות משולש שווה

. צלעות

15שאלה

,יהיו ,a b a b≠ ∈ C .

}הישרים .1 }z z a z b− = } -ו :− }z z ia z ib− = .מאונכים זה לזה :−

}הישרים .2 }z z a z b− = } -ו :− }z z a z b+ = .מאונכים זה לזה :−

5

11) ן"ממ(מטלת מנחה פונקציות מרוכבות – 20243 :הקורס

2,1 יחידות :חומר הלימוד למטלה

נקודות 2: משקל המטלה 8 :מספר השאלות



באתר הבית של הקורס המקוונת המטלות מערכת באמצעות מטלות שליחת •

מטלות באמצעות הדואר או הגשה ישירה למנחה במפגשי ההנחיהשליחת • "נוהל הגשת מטלות מנחה"הסבר מפורט ב

)נקודות 10( 1שאלה

a,1יהי a≠ ∈ C .

)הוכח שהפונקציה ) 1z af z za−=−

}היחידה מעגל מעתיקה את }1z z .על עצמו :=


בונים ריבוע ABCDעל כל צלע של מרובע

,הנקודות . כמו בציור שלפניך , ,H G F E הן

של) נקודות חיתוך אלכסונים(נקודות המרכז

. ריבועים אלה

השתמש במספרים מרוכבים כדי להוכיח כי

. שווים ומאונכים זה לזה FH -ו EGהקטעים


ln - הוכח ש 1 z z+ .−1- מרוכב שונה מ zלכל ≥


2009הוכח כי לפולינום 24 11 2( ) 243 212 4 1p z z z z z= + − + 1zקיים שורש בעיגול + < .

6

)נקודות 10( 5 שאלה

0 במישור עבורן zאת קבוצת הנקודות וצייר תאר Arg 4z iz i

π+< <−

.


} מצא את התמונה של הקבוצה }Re Im 1z z z− )2תחת הפונקציה := )f z z= .


.לא חסומה וקשירה פוליגונלית Gאיחוד של עיגולים פתוחים כך שקבוצה Gיהי

0אם : הוכח G∈ 0אז לכלM zקיימת נקודה < G∈ כך ש - 3z z z M+ + =.


והסק שאלה הן C או ∅הוכח שכל קבוצה במישור המרוכב שהיא גם סגורה וגם פתוחה היא

.הקבוצות היחידות ששפתן ריקה

7


3,2יחידות :חומר הלימוד למטלה





רק הטענה הראשונה נכונה אם –א : בכל אחת מן השאלות הבאות סמן

נכונה שנייהרק הטענה האם –ב

אם שתי הטענות נכונות –ג

אם שתי הטענות לא נכונות –ד

:הבאות נעסוק בקבוצות 4 – 1בשאלות

{ }0 Im ReA z z z= < ≤: , { }Im ReB z z z= <: ,{ }0D z z π= < <:

1שאלה

1. B תחום.

2. A B∩ תחום.

2שאלה

1. B D∪ קשירה.

2. A∪R כמובן(סגורה ,R ים הממשייםרהיא קבוצת המספ.(

3שאלה

1. D קומפקטית.

A-קומפקטית כך ש Kקיימת .2 K⊆.

8

4שאלה

)נסמן ) expf z z=.

1. f ערכית ב-חד-חד -D.

2. 1( )f B− פתוחה.

5שאלה

Int - נסמן ב R קבוצה של כל הנקודות הפנימיות של קבוצהR.

:אז בהכרח מתקיים, שתי קבוצות במישור המרוכב B - ו Aתהיינה

1. Int( ) (Int ) (Int )A B A B=∪ ∪ .

2. Int( ) (Int ) (Int )A B A B=∩ ∩ .

6שאלה

1. 0

Re Imlimz

z i zz→

− .קיים

2. ( )0

lim Argz

z z→

.קיים ⋅

7שאלה

2הפונקציה .1Re Im , 0

( )0 , 0

z z zzf zz

⋅⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

.רציפה במישור כולו

)הפונקציה .2 ) Re Imzf z z z=−

.רציפה בתחום הגדרתה

8שאלה

1. ( ) inf z z ne zα= 2כאשר ( + , ,n n α≥ ∈ ∈N R (הפתוח ערכית בעיגול היחידה-חד-חד.

)אם פונקציה .2 )f z ערכית בתחום חסום -חד-חדD אז היא חסומה בתחום זה.

9שאלה

aאם .1 S∈ ו -f רציפה ב-a ביחס ל -S עבור כל פונקציהf מוגדרת בה -S , אזa נקודה

.Sמבודדת של

}אם .2 }kz סדרת הנקודות בקבוצהS 0השואפת לנקודהz S∈ ואםf מוגדרת ב-S ורציפה

k,1,2לכל S- ביחס ל kz-ב = .S- ביחס ל 0z- ורציפה ב fאז , …

9

10שאלה

)sinhאם .1 ) sin( )x iy x iy+ = xאז + y=.

2 . 2 2 2sinh( ) sinh sinx iy x y+ = x,לכל + y ∈ R.

11שאלה

1. { }1 2 Im 0R z zπ= − < . expתחום יסודי של :>

2. { }2 0 Re 2R z z π= < . exp תחום יסודי של :>

12שאלה

}אם .1 }3 33 (Re ) Im (Re ) 2R z z z z π= < < אז :+

3( ) 1RL e iπ− = +.

}אם .2 }4 0 ImR z z π= < אז :>4( ) 2RL i iπ=.

13שאלה

z,אז לפחות אחד מהמספרים , ממשיים zαאם כל הערכים של .1 α הוא מספר ממשי.

expאם .2 z חסומה בתחוםR , אזR תחום חסום.

14שאלה

1.

2( ) , 0( )

0 , 0

z zzf zz

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

0z - אנליטית ב =.

1 -ו Dאנליטית בתחום f אם .2 2( ) ( )f z f z= 1לכל 2,z z D∈ 1המקיימים 2Im Imz z=

)אז )f z קבועה ב - D.

15שאלה

2פונקציה .1 2( ) ( 3) ( 5) sin( )f x iy x y x y+ = − + .לא אנליטית באף נקודה +

.גזירה באינסוף נקודות אז קיימת נקודה בה היא אנליטית fאם .2

16שאלה

)הפונקציה .1 ) ( )3 2 2 3( ) 3 3f x iy x xy x i x y y y+ = − + + − .אנליטית במישור כולו +

2הפונקציה .2 2( ) y ixf x iy x y++ =+

.אנליטית בתחום הגדרתה

10

17שאלה

.R -אינה אנליטית ב fאז Rאנליטית ואינה קבועה בתחום fאם .1

)אם .2 )f z מקבלת ערכים ממשיים בלבד עבור , שלמהz (0), ממשי 0f = ,(0) 0f ′ =/

.זה הוא הציר המדומהאז קו , ותמונתו של הציר המדומה היא קו ישר

.נעסוק בפונקציות הרמוניות 20 – 18בשאלות

),(פונקציה yxf 2בתחום הרמוניתנקראתR⊂D 2כל הנגזרות החלקיות שלה מסדר אם

Dyxלכל ו D- רציפות ב : מתקיים ),(∋

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yf

xf

.

18שאלה

)אם .1 )f z אנליטית בתחוםD אזIm , Ref f הרמוניות ב-D .

Im-אנליטית בתחום אז ל fבהמשך הקורס נלמד שאם ( , Ref f יש נגזרות חלקיות

.)מותר להסתמך על כך בשאלה זו, רציפות מכל סדר בכל נקודה של תחום זה

v,אם .2 u הרמוניות בתחוםD אז ( ) ( , ) ( , )f x iy u x y iv x y+ = .D - אנליטית ב +

19שאלה

v,אם .1 u הרמוניות בתחוםD, f u iv= g - ו + v iu= v - ו uאז D -אנליטיות ב +

.פונקציות קבועות

fאם .2 u iv= gאז גם Dתחום אנליטית ב + v iu= .D-אנליטית ב −

20שאלה

Re -כך ש Dבתחום fאז קיימת פונקציה אנליטית Dהרמונית בתחום uאם .1 f u=.

)אם .2 ) ( , ) ( , )f x iy u x y iv x y+ = uאז D -אנליטית ב + v⋅ הרמונית ב-D.

11










אם שתי הטענות לא נכונות -ד

:הבאות במסילותנעסוק 5 – 1בשאלות

2 21( ) , , ( 0)t t i R t R t R Rγ = + − − ≤ ≤ >

2 ( ) , 0 , ( 0)itt Re t Rγ π= ≤ ≤ >

3 ( ) 1 2 , 0 1t t tγ = − ≤ ≤

24 ( ) 1 , 0 2itt e tγ π= − ≤ ≤

5 ( ) cos , 0 2t i t tγ π= ≤ ≤

6 ( ) cos , 0t i t tγ π= ≤ ≤

.jγאת הקו המכוון המתאים למסילה jΓ- נסמן ב

1שאלה

1. 2γ סגורה.

2. 3γ פשוטה.

12

2שאלה

1. 4γ פשוטה- סגורה.

2. 5γ סגורה.

3שאלה

1. 4γ חלקה.

2. 5γ חלקה.

4שאלה

1. 6 5Γ = Γ .

1Rאם .2 2אז = 3Γ + Γ פשוט-הוא קונטור סגור.

5שאלה

1. 5 6

zdz zdzΓ Γ

=∫ ∫ .

2. 1γ 2היא רפרמטריזציה יורדת שלγ.

6שאלה

) אם .1 )f z רציפה על קונטורΓ אז( ) ( )f z dz f z dzΓ Γ

≤∫ ∫ .

2. 1

1 8z

z dz=

− =∫.

7שאלה

1dz אז, L קונטור שאורכו Γיהי .1 LΓ

=∫ .

1zקטע הישר המחבר את C יהי .2 = 1z - ו − i= אז ,)−1היאהתחלה נקודת ה( +

Im Re 2C C

zdz zdz i⋅ = +∫ ∫.

13

8שאלה

)קיימת פונקציה שלמה .1 )F z כך שלכלz ∈ C מתקיים( )F z z′ =.

}אנליטית בתחום fתהי .2 }1D z z= ומקיימת שם :>1( ) 1 2f z′ − <

.D- ערכית ב- חד- חד fאז

9שאלה

1. 2

310 1lim 0( 2)( 1)R

z R

z z dzz z z→∞=

+ − =− + +∫ .

2. 1

Im 1z

z z dzz=

⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

10שאלה

z - קטע של הישר שהתחלתו ב C יהי i= z -וסופו ב − i= ,

C

z dz =∫

i .א

−i .ב

0 .ג

2 .ד

.אין תשובה נכונה ד –א התשובות ביןאם " ה"סמן

11שאלה

,ריבוע עם קדקודים Cיהי 1 , 1 , 0i i+ ון השעוןובמגמה ההפוכה לכי,

2

Cz dz =∫

i .א

0 .ב

1 .ג i−

1 .ד i+


14

12שאלה

3תהי 2 2 3( ) ( 3 ) (3 )f x iy x xy i x y y+ = − + תהי , −20 , ( ) sin2t t t i tπ γπ

≤ ≤ = +,

( )f z dzγ

=∫

. ג −1. ב 0 .א3

2π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

iπ. ד


13שאלה

| | 1

z

ze dz

=

=∫

e. ד π. ג 1. ב 0 .א


14שאלה

2קשת הפרבולה Cיהי 1y x= ,0)מנקודה − Logאז , (1,0)עד נקודה −(1C

zdz∫ שווה ל-

12 .א iπ − −

2i .ב

ln .ג 2

.)האינטגרל לא מוגדר היטב(לא ניתן לחשב .ד


15שאלה

)תהי )f z ודהנקהרציפה בסביבת z a=, אז 0

( )limr

z a r

f z dzz a→

− = - שווה ל ∫−

0 .א

∞ .ב

) .ג )f a

2 .ד ( )if aπ


15









)2 חשב את כל הערכים של 1)z

C

e dzz z ,0,1 מעגל שלא עובר דרך הנקודות Cכאשר , ∫− 1−.


:חשב את האינטגרלים הבאים

1 . 2

( )

0

ie ie dθπ

θ θ−∫ .

2 . 3

z r

z dzz a=

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠∫ ,a r≠.


)תהי )f z נסמן , אנליטית בעיגול היחידהReu f= ,Imv f=.

(0)הוכח כי אם (0)u v= אז( ) ( )2 2

2 2

0 0( ) ( )i iu re d v re d

π πθ θθ θ=∫ 0לכל ∫ 1r< < .


חשב את האינטגרל z r

dza z

=aכאשר ∫− r≠ .

16


)ומקיימות במישור כולואנליטיות f מצא את כל הפונקציות ) zf z e≤ לכלz ∈ C .


) - כך ש Mפונקציות שלמות וקיים קבוע ממשי תהיינה ) ( )Re ( ) Re ( )f z M g z≤ ⋅

zלכל ∈ C .

b,הוכח כי קיימים מספרים מרוכבים .א a כל ש- ( ) ( )f z ag z b= zלכל + ∈ C .

1Mנניח בנוסף שקיים קבוע ממשי .ב M≠ כך ש - ( ) ( )1Re ( ) Re ( )f z M g z≤ zלכל ⋅ ∈ C .

.פונקציות קבועות : הוכח


)תהי )f z אנליטית בעיגול היחידה הפתוח ומתקיים1( )

1f z

z′ ≤

−1zלכל <.

הראה כי מקדמי פיתוח טיילור 0

( ) nn

nf z a z

∞

== naמקיימים ∑ e< 1לכלn ≥ .

,g f

,g f

17


6ה יחיד :חומר הלימוד למטלה







zפתח לטור טיילור סביב α= ומצא את רדיוס התכנסות הטור:

.א3

3sin( )(0) 1 , ( ) zf f z z= = ,0α =.

)2 .ב ) 1 2zf z z z=

− − ,0α =.

.ג2

2( ) ( 1)zf z z=+

,1α =.

)2 .ד ) sin(2 )f z z z= − ,1=α.


מקדמי טור החזקות 0

nn

na z

∞

= :מקיימים את נוסחת הנסיגה הבאה ∑

1 2 1 03 4 0 , 1 , 1n n na a a a a− −+ − = = − 2nלכל = ≥.

.מצא את סכום הטור ואת רדיוס התכנסותו

.דרך זו ארוכה ולא מועילה, לאיבר כללי של הטור לא כדאי לחפש את הנוסחה המפורשת: הערה


1zמצא את רדיוס ההתכנסות של טור טיילור סביב :עבור =

2 4 6 8 101( ) 1f z z z z z z=

+ + + + + .

.אין צורך לחשב את מקדמי הפיתוח: הערה

18


נגדיר , 01( )

1 , 0

zz zef z

z

⎧ ≠⎪ −= ⎨⎪ =⎩

.

)הראה כי .א )f z 0ניתנת לפיתוח לטור חזקות סביבz =.

?מהו רדיוס התכנסות הטור

)נסמן .ב ) (0)nnB f= ) המספריםnB נקראים מספריBernoulli תפקיד חשוב משחקיםוהם

).למשל בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, שונים תחומיםב

הוכח כי 1

00

n

kk

nB

k

−

=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠2nלכל ∑ 2 - ו ≤ 1 0nB + .טבעי nלכל =

פתח את .גcot , 0

( )1 , 0

z z zg z

z≠⎧

= ⎨=⎩

0zלטור טיילור סביב .ומצא את רדיוס התכנסות הטור =

)מצא קשר בין : הדרכה )g z ל- ( )f z.

tanהעזר בסעיף הקודם כדי לפתח את .ד z 0לטור טיילור סביבz ?מהו רדיוס ההתכנסות. =


)תהי )f z אנליטית בתחוםD המכיל את עיגול היחידה הפתוח ומקבלת ערכים ממשיים בלבד

]על הרדיוסים ,20( - ו 0,1( ie π⎡⎣ של העיגול .

.D-קבועה ב fהוכח כי


g,תהיינה f 0אנליטיות ולא מתאפסות בסביבתz , 0וקיימת סדרהnz z→ כך ש -

f f g g′ }בכל נקודות הסדרה =′ }nz.

) - כך ש cהוכח כי קיים קבוע ) ( )f z cg z= לכלz בתחום האנליטיות של הפונקציות.


:הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות

.D - קבועה ב fאז , ויש לה אינסוף אפסים בתחום זה Dאנליטית בתחום חסום fאם .א

0zקיימת פונקציה אנליטית יחידה המוגדרת בסביבת נקודה .ב :ומקיימת =

1 1 0 , (0) (0) 0f f f fn n⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′+ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.טבעי nלכל

0zאנליטית בסביבת נקודה fקיימת פונקציה .ג :ומקיימת =

3 31 1,1 1

n nf fn n n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.טבעי nלכל

19


8של יחידה 8.2, 8.1ופרקים 7ה יחיד :חומר הלימוד למטלה







.מצא את כל נקודות הסינגולריות של הפונקציות הבאות

. ציין את הסוג של כל סינגולריות ואת סדרו של כל אחד מהקטבים

24. א1( ) ( 1)

i zef z zπ +=−

. ב cot( ) zf z e

π3. ג = 2

1 cos( ) zf z z iz−=+


, הנתונה תן לפתחה לטור לורן בסביבת הנקודהעבור כל אחת מן הפונקציות הבאות קבע אם ני

.מצא את תחום ההתכנסות של הטור ואת שארית הפונקציה בנקודה ,ואם כן

) .א ) sin 1zf z z=−

1z סביב = .

) .ב ) Logf z z= 0סביבz = .

.ג1( ) tan 1f z z=−

1zסביב = .


}אנליטית בתחום fהאם קיימת פונקציה }\ 0C ומקיימת1( )f zz

0zלכל ≤ ≠ ?

20


1zאנליטית במישור המרוכב פרט לנקודות fתהי = 3z -ו − fשהן קטבים פשוטים של =

ויהי 1

( 2)nn

na z

−

=−∞ . fטור לורן של ∑−

.את הרדיוסים של טבעת ההתכנסות של הטור ,fבלי לחשב את , מצא . א

.טור לורן הנתוןשל naידי מקדמי - על fבטא את כלומר , fמצא את . ב

)-התבונן ב: רמז ) ( 1)( 3) ( )g z z z f z= + −.


0אנליטית בעיגול נקוב fתהי z R< 0Mוקיים , > 0כך שלכל < r R< מתקיים >

2

0( )ir f re d M

πθ θ <∫ .

0zהוכח כי . fקוטב פשוט או נקודת סינגולריות סליקה של =


.אנליטית בעיגול היחידה הפתוח ורציפה על שפתו fפונקציה

)אם : הוכח ) 1f z 0עבור , כלומר(על החצי העליון של מעגל היחידה = , iz e θθ π≤ ≤ =(

.קבועה בעיגול היחידה fאז


)תהי .א )f z אנליטית בתחום{ }12z z >: .

)נתון כי ) 1f z 1zלכל ≥ 3ולביטוי =( )f zz קיים גבול סופי כאשרz → ∞ .

הוכח כי 3( )f z z≤ 1לכלz ≥ .

0קיימת נקודה ' הוכח כי אם בנוסף לנתון בסעיף א .ב 1z 3 - כך ש <0 0( )f z z= 3אז( )f z z=

לכל 12z > .

21







1שקדקודיו D נתייחס למלבן סגור 3 – 1בשאלות iπ± ) ולפונקציה ± ) zf z e e= − .

1שאלה

:הוא D- ב f המקסימום של

. ב 1. א1e e− ג .e ד .

1e e+ 2. הe

. אין אף תשובה נכונה ה –א אם בין התשובות " ו"סמן

2שאלה

:מתקבל D-ב f המקסימום של

.בנקודה אחת בלבד שעל שפת המלבן .א

.בשתי נקודות שעל שפת המלבן .ב

.באינסוף נקודות שעל שפת המלבן .ג

. Dבנקודה פנימית של .ד

. אין תשובה נכונה ד –א אם בין התשובות " ה"סמן

3שאלה

:D-ב f ימום של ינהמ

.Dלא מתקבל באף נקודה של .א

.Dמתקבל בנקודה אחת בדיוק והיא נקודה פנימית של .ב

.Dמתקבל בנקודה אחת בדיוק והיא נקודת שפה של .ג

.Dמתקבל בשתי נקודות בדיוק שלפחות אחת מהן היא נקודה פנימית של .ד

.תשובה נכונהאין ד –א אם בין התשובות " ה"סמן

22

לפונקציה נתייחס 7 – 4שאלות ב

2( ) exp( 2 4)g z z z= − + −

4שאלה

}בעיגול g להמינימום ש }2z z :הוא :≥

−16e. ה −12e. ד e. ג 1. ב 0. א

.אין תשובה נכונהה –א התשובות ביןאם " ו"סמן

5שאלה

}בעיגול g לימום שקסהמ }2z z :מתקבל :≥

2zבנקודה אחת בלבד הנמצאת על המעגל .א =.

2zבעיגול הפתוח בנקודה אחת בלבד הנמצאת .ב <.

2zאחת הנמצאת על המעגל , בשתי נקודות בדיוק .ג ואחת הנמצאת בעיגול הפתוח =

2z <.

2zנמצאות על המעגל הבשתי נקודות בדיוק .ד =.

.אין תשובה נכונהד –א התשובות ביןאם " ה"סמן

6שאלה

} הפתוח בעיגול g ל ימום שינהמ }2z z :מתקבל :>

.בנקודה אחת בלבד .א

.בשתי נקודות בדיוק .ב

.בארבע נקודות בדיוק .ג

.באינסוף נקודות .ד

.אין תשובה נכונהד –א התשובות ביןאם " ה"סמן

7שאלה

}בריבוע g לימום שקסהמ }0 2 , 0 2z x iy x y= + ≤ ≤ ≤ :הוא :≥

4. ה 1. ד 2e. ג e. ב −3e. א


23

:הנראה בציור שלהלן Γ נתייחס לקונטור 10 – 8בשאלות

8שאלה

12 1

z dzi zπ

π Γ

=+∫

0. ה −1. ד 1. ג −π. ב π .א


9שאלה

2 412 ( 2)( 1)

z ze dzi z zπ−

Γ

=+ +∫

5. א 12e e− 5. ב 12e e+ 12. גe 12. דe− 5. הe

.כונהאין תשובה נה –א התשובות ביןאם " ו"סמן

10שאלה

2 2 412

z ze dzi zπ− − +

Γ

=∫

0. ה −4e .ד 4e. ג −42e. ב 42e. א


01-2-

24




אם שתי הטענות לא נכונות - ד

11שאלה

, Dפונקציה אנליטית בתחום fתהי

)0אז D- ב fנקודת מקסימום מקומי של 0zאם .1 ) 0f z′ =.

)0אז D-ב fימום מקומי של יננקודת מ 0zאם .2 ) 0f z′ =.

12שאלה

)נסמן .1 ) min ( )z r

m r f z=

}אנליטית ולא מתאפסת בתחום המכיל את f תהי .= }z z R≤:.

)הפונקציה אם )m r לא קבועה בקטע[ ]0,R בקטע זהממש אז היא יורדת.

, Γ קבועה על f -ו D - נמצא ב Γפשוט -קונטור סגור, Dאנליטית בתחום f תהי .2

.Γיש אפס בתוך f -אז ל

13שאלה

)קיימת פונקציה אנליטית .1 )g z בתחום{ }2z z ) - כך ש :> ) 2 1g ze z= .בתחום +

)קיימת פונקציה אנליטית .2 )h z בתחום{ }1 2z z + 2 - כך ש :> 2( ) 10h z z= .בתחום +

14שאלה

}קבוצה ה .1 } { }3 1 1z z z z− < <: .קשר- היא תחום פשוט ∪:

}קבוצה ה .2 }Re Im 1z z z− .קשר- היא תחום פשוט :>

15שאלה

.קשר- פשוט קשר הוא תחום אז הוא תחום- אם חיתוך של שני תחומים פשוטי .1

.קשר-תחום פשוט Dהיא קבוצה קשירה אז D אם שפה של תחום .2

25

16שאלה

.קשר אם ורק אם הוא תחום קושי-הוא פשוט Dתחום .1

.יש פונקציה קדומה R-פונקציה רציפה בקשר אז לכל -תחום פשוט Rאם .2

17שאלה

cα\כך שלכל Γקיים קונטור סגור .1 ∈ Γ = ΓC מתקיים:

( , ) 0W αΓ ) או = , ) 2W αΓ )או = , ) 1W αΓ =.

) -ו Γמוכל במשלים של S-הוא עיגול פתוח כך ש Sאם . קונטור סגור Γיהי .2 , ) 0W βΓ =

Sβלכל )אז ∋ , ) 0W βΓ Sβלכל = ∈.

18שאלה

,, קונטור סגור Γאם .1 cα β ∈ Γ ו- ( , ) ( , )W Wα βΓ = Γ אז בהכרח קיים תחוםD כך

D -ש Γ = , - ו ∩∅ Dα β ∈.

cαכך שלכל Γקיים קונטור סגור .2 ∈ Γ מתקיים:

( , ) 1W αΓ )או = , ) 2W αΓ )או = , ) 3W αΓ =.

.02ח "בממ 20 – 18ראה שאלות , הרמוניות נעסוק בפונקציות 20,19שאלות ב

19שאלה

)תהי , )u x y הרמונית ולא קבועה בתחום D, אז:

)-אין ל .1 , )u x y מקסימום מקומי ב -D.

)-אין ל .2 , )u x y מינימום מקומי ב-D.

)השתמש בכך שלכל פונקציה : הדרכה( , )u x y הרמונית בתחוםD קיימת פונקציה( )f z אנליטית

Re -כך ש D-ב f u=.(

26

20שאלה

)קיימת .1 , )u x y הרמונית בתחום חסוםD ,רציפה ב- D ואינה קבועה ב -D כך ש - ( , )u x y

.D קבועה בשפה של

) ,תחום חסום Dיהי .2 , )x yϕ בשפה שלורציפה מוגדרת D.

)רציפה קיימת פונקציה םא , )u x y דיריכלה למשוואת לפלס תיבעיהמקיימת את :

2 2

2 2 0u ux y∂ ∂+ =∂ ∂

u - ו D- ב ϕ= שפה של בD ,

.אז הפונקציה כזאת היא יחידה

27










.א1

1

12 3 1

n

nz

z dzi zπ−

= .מספר טבעי nכאשר ∫−

) .ב 1)(2 1) z zz e dz−

Γ

3משולש בעל קודקודים Γכאשר ∫− ,2 , 1i i− + − .

2 .ג 41cos cos

Cz dzz z ⋅

} כאשר ∫+ }12C z z= =: .

1 .ד1

2 sin z

dziπ Γ} כאשר ∫ }1

5z zΓ = =: .


חשב את האינטגרל .א2

0

1 sin2 cos

x dxx

π ++∫.

חשב את האינטגרל .ב2 2

0

cos 35 4cos2 d

π θ θθ−∫ .

2חשב את האינטגרל .ג0

1 cosax dxx

∞ −∫ ,a ∈ R .

)2חשב את האינטגרל .ד )itxe dxx i

∞

−∞ +∫ ,t ∈ R .

28


1חשב את האינטגרל x

xe dxeα∞

−∞ 0כאשר ∫− 1α< <.


הוכח את השוויון 2

22 2

1 cosec( )a

a bn b bπ π∞

−∞=

כאשר ∑+ab ∉ Z.


4תהי 4 1 1

( ) 1 2 03 0 1

zA z z

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

.3על 3מטריצה מסדר

.בעיגול היחידה עבורן המטריצה אינה הפיכה zמצא את כמות הנקודות

).ולכן הפעם סופרים ללא ריבוי, מדובר בנקודות ולא בפתרונות: שים לב(


1λהוכח שעבור zzלמשוואה < eλ −= אין פתרונות לא ממשיים בחצי המישור הימני −

Re 0z > .


}יהי }D z z R= .Dלתוך Dומעתיקה את Dאנליטית בתחום המכיל את fותהי :>

zהוכח כי קיימת נקודה יחידה D∈ כך ש - ( )f z z=.

29









:הוכח או הפרך כל אחת מהטענות הבאות

וסדרת פולינומים Dקיימים עיגול סגור , הרציפה במישור המרוכב כולו, fלכל פונקציה .א

{ }( )np z שמתכנסת ל- f במידה שווה ב- D .

הטור .ב0

cos!n

nzn

∞

= .מגדיר פונקציה שלמה ∑


g,תהיינה f 1לכל . אנליטיות בעיגול היחידה הפתוחz r< :נתבונן בביטוי >

1 1 ( )2

w r

zf w g dwi w wπ=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫

)ומגדיר את הפונקציה r-הראה כי הביטוי אינו תלוי ב )h z אנליטית בעיגול היחידה הפתוח ,

ואם 0 0

( ) , ( )n nn n

n ng z b z f z a z

∞ ∞

= == =∑ 1zלכל ( ∑ אז ) >

0( ) n

n nn

h z a b z∞

== ∑ .


נגדיר 2

0

cos( )( ) tth z dte zt

∞

=+∫ .

}אנליטית בעיגול hהגדול ביותר עבורו R-מצא את ה }z z R<: .

30


xxfתהי arccos)( .xf)(מצא הרחבה אנליטית מרוכבת של . =

. ציין מה הוא תחום ההרחבה שמצאת


)1תהי ) ln argf z z i z= }מוגדרת על + }1 arg 2D z z ππ= − < <:,

2ותהי ( ) ln argf z z i z= }מוגדרת על + }230 arg 2D z z π= < <: .

2האלמנטים כי הוכח 2 1 1( , ) , ( , )f D f D מרכיב הם המשכות אנליטית ישירות זה של זה אך קיים

1קשיר של 2D D∩ 1שבו 2f f≠.


)תהי )f z אנליטית וחסומה בחצי המישור העליון{ }Im 0R z z= ,R-רציפה ב, :<

lim - ממשי ו xמקבלת ערכים ממשיים לכל ( ) 0x

f x→+∞

=.

)הוכח כי ) 0f z zלכל = R∈ .


. R- אנליטית ב fקשר ותהי -תחום פשוט Rיהי

aנניח כי קיימת R∈ כך שטור טיילור שלf סביבa מתכנס בעיגול פתוחD החותך את

), כלומר( Rהמשלים של \ )D R ≠ ∅∩ C .(האם נובע מכך כי ל-f יש הרחבה אנליטית

R-ל D∪ ?הוכח או תן דוגמה נגדית.



2 .א0 (1 )(1 )

x dxx xα∞

+ −∫ ,1 2α− < היעזר בפונקציה ( >ln

2( ) (1 )(1 )zef z z z

α=

+ − .(

.ב( )2

20

ln1

xdxx

∞

+∫ .

31









)- במישור המרוכב ו U בקבוצה פתוחה פונקציה אנליטית fתהי ) 0f z′ zלכל ≠ U∈ .

}הוכח כי }Re ( ) Im ( )f z f z z U+ . R- היא קבוצה פתוחה ב :∋

)נקודות10( 2שאלה

.מצא את הצורה הכללית ביותר של העתקת מביוס המעתיקה את הציר הממשי על הציר המדומה

)קודותנ 10( 3שאלה

}מצא את העתקת מביוס המעתיקה את חצי המישור העליון }Im 0z z על עיגול :<

}היחידה }1w w 1zכך שנקודה :> i= 0wעוברת לנקודה + ואילו נקודת האינסוף =

-עוברת ל2 (1 )2w i= +.

. )12.4בסעיף 9שאלה (יעילה ביותר קשורה לעקרון הסימטריה ההדרך : הערה


2תהיינה .א 1,z z שתי נקודות שבת של העתקת מביוסT )1,2, כלומר , ( )j jj T z z= = .(

1 -כך ש cהראה כי קיים קבוע 1

2 2

( )( )

T z z z zcT z z z z− −=− −

2zלכל z≠ בתחום ההגדרה שלT.

)כדי לחשב את ' השתמש בתוצאה של סעיף א .ב )nT z ) כביטוי שלz ושלn ( כאשר

1 3( ) 3

zT z z−=−

.

32


חשב את האינטגרל 11

12 9 6 3112 4 2 4 1

z

z dzz z z z

=− + − +∫ .


1kמספר טבעי מיםפונקציה שלמה ואם קיי f הוכח שאם ,-ו ≤ 0M R -כך ש <

( ) kf z M z≥ לכלz R> , אזf פולינום ממעלהk לפחות.


}על חצי המישור העליון D מצא איזומורפיזם של תחום }Im 0z z >:

:או הסבר מדוע הוא לא קיים

.א1 1Im 0, 2 2D z z z⎧ ⎫= > − <⎨ ⎬

⎩ ⎭: .

} .ב } { }1 1 \ 1 2 1 2D z z z z= − < − ≤: : .

\ .ג [ 1,1]D = −C .

} .ד }Re 0 , Im 0, 1D z z z z= > > ∞1,0,מועתקות לנקודות ∞i,1,כך שהנקודות , :<

.בהתאמה

33


חזרה לחומר הקורס כולו :חומר הלימוד למטלה







1יהיו 2, , , nz z z… קבוצה - הוכח כי קיימת תת. מספרים מרוכביםJ של הקבוצה{ }1,2, ,n…

-כך ש1

14 2

n

k kk J k

z z∈ =

≥∑ ∑ .


:הוכח או הפרך את הטענות הבאות

Reשלמה ומקיימת fאם .א ( ) Im ( ) 0f z f z⋅ .קבועה fאז zלכל ≤

0zאנליטית בנקודה fאם .ב )ומקיימת = ) (2 )f z f z= לכלz בתחום הגדרתה

.קבועה בתחום אנליטיות שלה fאז


). הן קטביה, אינה אנליטית fכל הנקודות בהן , כלומר(מרומורפית במישור המרוכב fתהי

מתקיים fך הקטבים של שלא עובר דר Γולכל קונטור סגור pאם לכל פולינום מרוכב : הוכח

( ) ( ) 0p z f z dzΓ

.שלמה fאז , ∫=

34


חשב את האינטגרל sin

1x dxx i

∞

−∞ + −∫ .

Re: רמז Imf f i f= +∫ ∫ כאשר ∫sin( ) 1

xf x x i=+ −

.


}אנליטית בתחום fתהי }0 1G z z= < ומקיימת :>1( ) lnf zz

zלכל ≥ G∈ .

0zהוכח כי .א .fנקודת סינגולריות סליקה של =

)הוכח כי .ב ) 0f z zלכל = G∈.


(0), פונקציה שלמה ולא קבועה fתהי 0f 0Mולכל = }הקבוצה < }( )z f z M<: היא

.קשירה

) - מרוכב כך ש c-טבעי ו nהוכח כי קיימים ) nf z cz= לכלz.


2מצא וצייר את תחום התכנסות הטור 1

1 exp 2n

nzn z

∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

∑ .

?אנליטית בכל נקודות הפנים של הקבוצה שמצאתהאם סכום הטור הוא פונקציה

פונקציות מרוכבות חוברת קורס 2010

Documents