«Математик года 2012»

Работа Дегтярёвой Ирины 10 класс МОУ « СОШ с.Клинцовка»

«Велика наука!…И не заняться ей-

нельзя…»

«Некоторые применения

математики в экономике»

Цель проекта:Знакомство с

математическими моделями задач экономического

содержания.

Актуальность:

Постоянное решение встающих перед нами задач.

Математические модели-необходимый аппарат измерения

экономических объектов.

Задачи экономического

содержания:

• Задачи на вычисления процессов, сплавов и смесей;

• Задачи на вычисления производительности, работы

• Задачи на вычисления наибольшего и наименьшего значений.

1. Задачи на смеси и сплавы.1. Задачи на понижение концентрации.

2. Задачи на повышение концентрации.

3. Задачи на «высушивание»

4. Задачи на смешивание растворов разных концентраций.

5. Задачи на переливание.

10%-ный раствора спирта. Из сосуда отлили 1/3

содержимого, а оставшуюся часть долили водой так, что

сосуд оказался на 5/6 первоначальной массы. Какое

процентное содержание спирта оказалось окончательно в

сосуде?

Решение:• Пусть в сосуде 100 г раствора, тогда в сосуде

10 г спирта и 90 г воды. После того, как отлили 1/ 3 содержимого, масса стала 200/3 г, причём спирта 20/3 г. В раствор долили воды и его масса 100* 5/6= 250/3 г.

• Процентное содержание • ( 20/3 : 250/3) * 100%=8%.• • Ответ: 8%.

2.Задачи на проценты.

• Население города за два года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найти средний ежегодный процент роста населения этого города.

Решение:• Пусть х средний ежегодный процент роста населения. Тогда

20000х *0,01=200х – человек прибавившегося населения за 1-ый год.; (20000+200х)ч - стало через год.; 0,01(20000+200х)- человек населения, прибавившегося за 2-ой год. Зная, что население города составило 22050 человек, составим математическую модель:

• 20000+200х+0,01х(20000+200х)=22050;• х²+200х-1025=0.

• По теореме Виета, легко увидеть, что корни этого уравнения х1 = 5 и х2 = -205.

• По смыслу задачи х- положительное число, поэтому ответ 5.• • Ответ:5.

3.Задачи на работу, производительность.

• Опытный рабочий изготавливает 40 деталей на 2 часа быстрее, чем молодой рабочий изготавливает 30 деталей. За сколько часов оба этих рабочих изготовят вместе 120 деталей, если за 1 час опытный рабочий изготавливает на 5 деталей больше молодого рабочего?

Решение:• Пусть х деталей в час изготавливает молодой рабочий. (х +5) деталей

изготавливает опытный рабочий. 30/х –время изготовления 30 деталей молодым рабочим, тогда 40/х +5 – время выполнения 40 деталей опытным рабочим. Зная, что 2 часа разность выполнения работы, составим математическую модель:

• 30/х – 40/х+5=2;• 30(х+5)-40х=2х(х+5)• 30х+150-40х=2х²+10х• х²+10х-75=0• По теореме Виета легко увидеть, что корнями этого уравнения являются

числа 5 и -15, но – 15 не удовлетворяет условию задачи, так как кол-во деталей не может быть отрицательным.5 деталей изготавливает молодой рабочий. 10 деталей изготавливает опытный рабочий.

• 120/(5+10)= 120/15= 8 (ч)- Время изготовления 120 деталей.

Ответ: 8 часов.

4. Задачи на нахождение наименьшего или наибольшего

значений.• Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды.

Ежемесячно сборочный цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов.

• Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч на стенде В, а каждый спортивный велосипед проверяется 0,4 ч на стенде А и 0,3 на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может работать более 240 ч в месяц, а стенд В- не более 120 ч в месяц. Каждый прогулочный велосипед приносит фирме доход в 50000 рублей, а каждый спортивный- 90000 рублей. Сколько прогулочных велосипедов и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно выпускать фирма, чтобы её прибыль была наибольшей?

Решение:• Составим математическую модель этой задачи.• Обозначим через х ( десятков) количество прогулочных

велосипедов, выпускаемых ежемесячно фирмой, а через y(десятков) количество спортивных велосипедов.

• По условию, 0≤х≤60, 0≤y≤30.• Это кол-во велосипедов обрабатывается 3х + 4y часов на стенде

А и х +3 часов на стенде В. Далее, по условию 3х+4у≤240, а х+3≤120. Прибыль фирмы составляет S=500000х+900000у.

• Таким образом, мы пришли к следующей математической задаче: найти числа х и у, удовлетворяющие системе неравенств:

3х +4у≤240,

х+3у≤120,

х≥0,

у≥0,

х≤60,

у≤30. 

 И такие, чтобы прибыль S была наибольшей.

• Решением данной задачи является выпуск 480 прогулочных и 240 спортивных велосипедов. При этом наибольшая прибыль фирмы составляет S= 45,6 * 107 руб.

• Полученный результат показывает возможности фирмы при работе в «идеальных условиях» ,так как при составлении модели мы пренебрегли очень многими факторами-не учли возможный брак велосипедов, поломку станков и стендов, возможную нехватку электроэнергии.

•