материалы ЕГЭ и Г(И)А

2013 - 2014г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Геометрия является одним из центральных разделов школьной математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела вызывает у учащихся затруднения.

Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.

Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить этот пробел.

Все задачи взяты из открытого банка задач: http://mathege.ru/

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Геометрия является одним из центральных разделов школьной математики. Но по ряду причин иногда изучение именно этого раздела вызывает у учащихся затруднения.

Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики.

Задания частей В и С единого государственного экзамена содержат задания по геометрии, в том числе и из планиметрии. Итоги предыдущих лет показали, что учащиеся с данными заданиями справлялись хуже, а иногда даже не выполняли их, что связано с малым опытом решения геометрических задач. Одно из назначений данной презентации восполнить этот пробел.

Все задачи взяты из открытого банка задач: http://mathege.ru/

содержание

• треугольник

• параллелограмм

• прямоугольник, ромб, квадрат

• трапеция

• вписанная окружность и описанная окружность

• площади

Решение:

• ∆ ABС – прямоугольный.• АВ = 26; ВС =10. по теореме Пифагора:

содержание

Задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26.

Один из его катетов равен 10. Найдите другой катет.

Ответ: 24

В треугольнике ABC  АС = ВС , угол C равен 120˚ , АВ = 2√3 .

Найдите AC. Решение: • ∆ ABС – равнобедренный • проведем СН, СН – медиана, биссектриса, высота.• АН = ВН = 2√3 : 2 = √3;˚BСН = 120˚ : 2 = 60ے = AСНے ∆ ABН – прямоугольный.

• Ответ: 2содержание

Н

Задача: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию.

Найдите периметр треугольника. Решение: • ∆ ABD - равнобедренный

АС = СВ = СК + КВ = 5 + 3 = 8.

• касательные, проведенные из общей точки, расположенной вне окружности равны.

ВК =ВМ = 3; АЕ = АМ = 3.

• AB = АМ + ВМ = 3 + 3 = 6.

• РАВС = АС +ВС + АВ = 8 + 8 + 6 = 22

• Ответ: 22

К

М

Е

содержание

Задача: Две стороны параллелограмма относятся как  3 : 4, а периметр его равен 70. Найдите большую сторону параллелограмма.

Решение: • в параллелограмме

противоположные стороны равны АD = BC; AB = DC.

• AD : AB = 3 : 4 и BC : DC = 3 : 4.

• Р = 20.• AB = DC = 70 : (3+4+3+4)* 4=

=70:14*4 = 5*4 =20.

• Ответ: 20.

содержание

Задача: Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение: • по условию АК : ВК = 4 : 3.• биссектриса параллелограмма

отсекает равнобедренный треугольник.

• АВК – равнобедренный;

AD = AK.• AD : АВ = 4 :7.• РABCD = 88.• АВ = DC = 88 : (4+7+4+7)*7 =

= 88 : 22*7 = 4*7 = 28

Ответ: 28

К

содержание

Задача: Периметр параллелограмма равен 46. Одна сторона параллелограмма на 3 больше другой.

Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Решение: • в параллелограмме

противоположные стороны равны АD = BC; AB = DC.

• РABCD = 46. AD + DC = 46 : 2 = 23.• AD = (23 – 3) : 2 = 10

• Ответ: 10

содержание

Задача: Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.

Найдите его большую сторону. Решение: • биссектриса параллелограмма

отсекает равнобедренный треугольник.

• АВЕ – равнобедренный;

АВ =АЕ =5.

СDE –равнобедренный

CD = DE = 5• AD = AE = DE = 5 + 5 = 10.

Ответ: 10

содержание

Задача: Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 5, соединены отрезками.

Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. Решение: • HG – средняя линия треугольника ADC;

HG = 5 : 2 = 2,5.

EF – средняя линия треугольника ABC;

EF = 5 : 2 = 2,5.

GF– средняя линия треугольника BDC;

GF = 5 : 2 = 2,5.

HE – средняя линия треугольника ADB;

HE = 5 : 2 = 2,5.

• PHGFE = 4*2,5 = 10

Ответ:10

содержание

Задача: Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5.

Найдите его большую сторону. Решение: • биссектриса параллелограмма

отсекает равнобедренный треугольник.

• АВЕ – равнобедренный;

АВ =АЕ =5.

СDE –равнобедренный

CD = DE = 5• AD = AE = DE = 5 + 5 = 10.

Ответ: 10

содержание

Задача: Найдите диагональ прямоугольника, если его периметр равен 28, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 24

Решение: • у прямоугольника

противоположные стороны равны АD = BC; AB = DC.

• РABCD = 28;

AD + DC = 28 : 2 = 14.• PABC =24.

AD + DC + AC = 24.• AC = PABC – (AD + DC) = 24 -14 =10.

• Ответ: 10

содержание

Задача: Меньшая сторона прямоугольника равна 6, диагонали пересекаются под углом 60 градусов.

Найдите диагонали прямоугольника. Решение: • диагонали прямоугольника равны и

точкой пересечения делятся пополам.

AC = BD, поэтому

AO = OC = DO = OB.

• ∆АОD – равнобедренный,

где ےАОD = 60˚ значит

∆ АОD – равносторонний

АD =AO = OD = 6.

• AC = AO +OC = 6 + 6 += 12

• Ответ: 12.

содержание

.Задача: В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении  1 : 2, меньшая его сторона равна 6. Найдите диагональ данного прямоугольника

Решение: • ∆ ABD – прямоугольный. .˚AСD = 90ے + BAСے

.AСD = 2 : 1ے : BAС ے˚BAС = 90˚ :3 = 30 ے

• катет, лежащий против угла в 30˚ равен половине гипотенузы.

ВС = АС : 2. АС = 2* ВС = 2*6 =12.

Ответ: 12.

содержание

Задача: Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого

равны 2, а острый угол равен 60˚. Решение: • ABCD – ромб,

значит AB = BC = CD =AD.• ∆ ABD – равнобедренный,

где ےBAD = 60˚ значит

∆ АBD – равносторонний.

AD =AB = BD = 2

• Ответ: 2

содержание

Задача: Найдите высоту ромба, сторона которого равна √3

, а острый угол равен 60˚.

содержание

Задача: Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания

равны 30 и 16. Решение:

• средняя линия трапеции равна половине суммы её оснований.

ЕF = (AB + DC) : 2.

ЕF = (30 + 16) : 2 = 46 : 2 = 23.

• Ответ: 23

содержание

Задача: Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание

равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Решение: • средняя линия трапеции

равна половине суммы её оснований.

ЕF = (AB + DC) : 2.

тогда AB + DC = 2*EF

AB = 2*EF – DC

AB = 2*28 – 18 = 56 – 18 =38

• Ответ: 38

содержание

Задача: Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее

диагоналей. Решение: • средняя линия трапеции

параллельна основаниям

EF װ DC; EF װ AB.• AE = DE, значит по теореме

Фалеса

DM = BM.• ME – средняя линия ∆ ABD.

ME = AB : 2 = 10 :2 = 5.

• Ответ: 5

M

содержание

Задача: Около окружности, радиус которой равен √8, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около

этого квадрата.

О

М

содержание

Задача: Боковые стороны трапеции, описанной около окружности,

равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции. Решение:

• АDCB – описанная около окружности, поэтому

DC + AB = AD + CD.

DC + AB = 3 + 5 =8.

MN – средняя линия трапеции.

• Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.

MN = (DC + AB) : 2 = 8 : 2 = 4

Ответ: 4

содержание

Задача: Около окружности описана трапеция, периметр которой

равен 40. Найдите ее среднюю линию. Решение: • АDCB – описанная около

окружности, поэтому

DC + AB = AD + CD.

• Р ABCD = 40.

DC + AB = AD + CD = 40 : 2 = 20

MN – средняя линия трапеции.

• Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.

• MN = (DC + AB) : 2 = 20 : 2 = 10

• Ответ: 10

содержание

Задача: В четырехугольник ABCD вписана окружность, АВ =10 , СD = 16 . Найдите периметр

четырехугольника.    Решение: • в описанном около окружности

четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

АD + BC = AB + DC.

• АD + BC = AB + DC = 10 + 16.

• Р = (AB + DC) *2 = 16*2 = 32

• Ответ: 32

содержание

Задача: Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6.

Найдите большую из оставшихся сторон. Решение: • в описанном около окружности

четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

АD + BC = AB + DC.

• РABCD =24.

АD + BC = AB + DC = 24 : 2 = 12.

5 + 6 = 11 значит заданы длины соседних сторон.

• Пусть АВ = 5 и ВС = 6,

тогда АD =12 – BС = 12 – 6 =6.

DC = 12 – АВ = 12 – 5 = 7..• Ответ: 7

содержание

Задача: Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее

площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции. 

Н Е

содержание

Е

Задача:

Площадь параллелограмма АВСD равна 60. Точка Е – середина

стороны ВС. Найдите площадь треугольника DЕС.

Решение:

• Е –середина ВС.• проведем через точку Е

прямую ЕК, параллельную сторонам АВ и DС.

• площадь ∆ DСЕ составляет четвертую часть площади параллелограмма АВСD.

• SDEC = SABCD : 4 = 60 : 4 = 15.

• • Ответ: 15

содержание

ЕК

Задача:Площадь треугольника АВС равна 12. КМ – средняя линия треугольника АВС. Найдите площадь трапеции СВКМ.

содержание

М

А

С В

К

Задача: У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4.

Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

H

F

содержание