ГЕО

М

ДНІПРО

ОМЕТРИОРІЄНТО

05.

МІНІСТЕР

ОПЕТРОВ

ПО

ИЧНЕ МОВАНИХ

01.01 – П

дисерта

РСТВО О

ВСЬКИЙ

ІМЕНІ О

ОПОВА

МОДЕЛЮХ ОБ’ЄКТ

ГРА

Прикладна

АВТації на здокандидат

Дніпроп

ОСВІТИ І

НАЦІОН

ОЛЕСЯ ГО

Альбіна

ЮВАННЯТІВ З КУАНИЦЯМ

а геометр

ТОРЕФЕобуття ната техніч

петровськ

НАУКИ

НАЛЬНИЙ

ОНЧАРА

Вадимів

Я РОЗМІЩУСОЧНОМИ

рія, інжене

РАТ аукового сних наук

к – 2015

УКРАЇН

Й УНІВЕР

А

на

ЩЕННЯ О-НЕЛІН

ерна граф

ступеня

НИ

РСИТЕТ

УД

ПЛОСКНІЙНИМИ

фіка

ДК 514.18

КИХ И

8

Ди Ро

України

Наукови

Офіційн

Зах

спеціалізуніверсипросп. К

З днаціоналм. Дніпр

Ав

Вчспе

исертацією

обота викДержавн

ий керівн

ні опонен

хист відбзованої вчитеті іменК. Маркса,дисертацльного уопетровс

вторефера

чений секреціалізова

ю є рукоп

конана вної служби

ник: – до Со нач дія На цив

ти: – до Ау про ене На «К

– кан Реу доц тел Дн уні (м.

будеться ченої радні Олеся, 35, навчією можуніверситьк, пр. Га

ат розісла

ретар аної вчен

пис.

в Націони України

октор технболь Олечальник кяльності уціональнивільного з

ктор технушева Наофесор каергетичниціональнииївський

ндидат техута Олекцент кафелекомунікіпропетроіверситет Дніпропе

«1» груди К 08.0я Гончаральний ко

жна ознайету іменагаріна, 72

аний «23»

ої ради

нальному и з надзви

нічних наександр Мкафедри уу сфері циий універзахисту У

нічних нааталія Миафедри автих процесіий технічполітехн

хнічних нксандр Ваедри елеккацій, овський німені Олеетровськ).

удня 20151.01 у Да за адрорпус №3йомитисяні Олес2.

» жовтня 2

універсичайних с

аук, старшМиколайуправліннивільного рситет України (м

ук, доцениколаївнтоматизаців та систечний унівенічний інс

наук, доцеасильовиктронних

аціональнеся Гончар.

5 р. о 1Дніпропетресою: 43, ауд. 42. в біблія Гонча

2015 р.

итеті циситуацій.

ший наукойович, ня та органзахисту,

м. Харків

нт а, ції проектуем, ерситет Уститут» (м

ент ич, засобів

ний ра

4.00 годтровськом9044, м. . отеці Днара за

ивільного

овий спів

нізації

в).

ування

України м. Київ);

дині на му націонДніпропе

ніпропетрадресою:

С.В. Зе

захисту

робітник

засіданнінальномуетровськ,

ровського: 49010,

емляна

у

і у ,

о ,

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На теперішній час для моделювання реальних технологічних та економічних процесів, при створенні технічних систем, пов’язаних з обробкою складної геометричної інформації, виникає потреба у застосуванні ефективних методів геометричного та комп’ютерного моделювання. Важливе місце серед задач, пов’язаних з обробкою геометричної інформації, займають задачі оптимізаційного геометричного проектування (оптимізація розміщення, покриття, розбиття об’єктів, проведення оптимальних трас). Дані задачі виникають у таких галузях, як легка та важка промисловість (проектування карт розкрою), енергетика, машинобудування, будівництво тощо.

Серед класу задач оптимізаційного геометричного проектування одними з найбільш досліджених є задачі оптимального розміщення геометричних об’єктів. Існують численні методи оптимізації розміщення плоских об’єктів у однозв’язних, багатозв’язних та незв’язних областях, методи оптимізації розміщення тривимірних об’єктів тощо. Особливістю задач оптимального розміщення є те, що при їх розв’язанні необхідно виконання основних вимог на взаємний неперетин геометричних об’єктів, які розміщуються у заданій області, а також на належність геометричних об’єктів області розміщення. Для аналітичного опису даних вимог у науковій школі професора Ю.Г. Стояна був розроблений конструктивний апарат Φ-функцій. Незважаючи на те, що формулювання основних вимог є однаковим для всіх задач оптимального розміщення геометричних об’єктів, їх аналітичний вигляд та геометрична інтерпретація буде істотно змінюватись в залежності від форми геометричних об’єктів, що розміщуються, та області розміщення.

Одним із перспективних напрямків досліджень є геометричне моделювання оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Даний клас задач до теперішнього часу не розглядався, що пов’язано зі складністю аналітичного опису контуру дотику (0-рівень Φ-функції) відповідних геометричних об’єктів (на теперішній час нелінійні елементи границь апроксимуються за допомогою дуг кіл). Разом з тим, використання у якості геометричних моделей об’єктів з кусочно-нелінійними границями дозволить підвищити точність апроксимації границь реальних об’єктів, зменшити кількість елементів границь даних об’єктів, що впливає на обчислювальні ресурси, необхідні для розв’язання задач оптимального розміщення. Таким чином, геометричне моделювання розміщення плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями у заданих областях є актуальним.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Роботу виконано у відповідності до тематики та загального плану досліджень, проведених в Національному університеті цивільного захисту України Державної служби України з надзвичайних ситуацій, а також відповідно до плану науково-дослідної роботи за темою: «Розробка рекомендацій з підвищення ефективності процесу попередження ситуацій техногенного характеру на полігонах промислових та побутових відходів» (№ державної реєстрації 0112U002590).

2

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційного дослідження є розробка методу геометричного моделювання контуру дотику плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями та його застосування для оптимізації розміщення даних об’єктів у прямокутній області змінної довжини.

Для досягнення мети дисертаційного дослідження розв’язуються наступні основні задачі:

– провести аналіз існуючих підходів до розв’язання класу задач оптимального розміщення геометричних об’єктів;

– дослідити взаємодію елементів границь двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів та здійснити аналітичний опис фрагментів їх контуру дотику;

– розробити метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями;

– побудувати загальну модель оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями та дослідити її особливості;

– розробити методи оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями;

– здійснити комп’ютерне моделювання оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями у прямокутній області змінної довжини на прикладах задач, характерних для швейного виробництва;

– впровадити результати дисертаційного дослідження у швейне виробництво та у навчальний процес.

Об’єктом дослідження є процес оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

Предметом дослідження є метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями, моделі і методи оптимізаційного розміщення даних об’єктів в заданих областях.

Методи дослідження. Розв’язання поставлених в роботі задач виконувалось на базі положень прикладної геометрії, системного підходу, елементів топології, методів математичного та геометричного моделювання, геометричного проектування, елементів функціонального аналізу, методів аналітичної, багатовимірної, обчислювальної геометрії, методів оптимізації, методів дискретної прикладної геометрії.

Теоретичною базою досліджень є роботи вчених: – з геометричного моделювання об’єктів і процесів: Н.М. Аушевої,

Ю.І. Бадаєва, В.Д. Борисенка, В.В. Ваніна, В.М. Верещаги, В.В. Гнатушенка, М.С. Гумена, О.Т. Дворецького, С.М. Ковальова, Ю.М. Ковальова, В.М. Корчинського, Л.М. Куценка, Є.В. Мартина, В.Є. Михайленка, В.М. Найдиша, А.В. Найдиша, В.М. Несвідоміна, В.С. Обухової, А.В. Павлова, С.Ф. Пилипаки, О.Л. Підгорного, А.М. Підкоритова, В.О. Плоского, Є.В. Пугачова, О.В. Реути, К.О. Сазонова, І.А. Скідана, А.Н. Хомченка, В.П. Юрчука та їх учнів;

3

– з геометричного проектування: М.І. Гіля, В.М. Комяк, О.В. Панкратова, Е.Г. Петрова, В.П. Путятіна, В.Л. Рвачова, Т.Є. Романової, О.М. Соболя, Ю.Г. Стояна, С.В. Яковлєва та їх учнів.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше: – досліджено взаємодію з дотиком двох фрагментів кривих 2-го порядку

та здійснено аналітичне подання елементів контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, що дозволило створити метод геометричного моделювання замкненого контуру дотику зазначених об’єктів;

– розроблено метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, складовими якого є спосіб формування фрагментів контуру, який дозволяє враховувати довільну орієнтацію елементів границь об’єктів розміщення, що представлені за допомогою квадратичних форм, та спосіб збирання замкненого контуру. Розроблений метод дозволив формалізувати обмеження та побудувати модель оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями у заданих областях.

Удосконалено: – загальну модель оптимізації розміщення плоских орієнтованих

геометричних об’єктів у прямокутній області змінної довжини. Дослідження особливостей загальної моделі дозволило розробити методи оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями;

– методи оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, основою яких є метод оптимізації за групами змінних і метод гілок та меж. Це дозволило здійснити комп’ютерне моделювання нерегулярного розміщення зазначених геометричних об’єктів у прямокутній області змінної довжини на прикладах практичних задач, що характерні для швейного виробництва.

Отримали подальшого розвитку: – моделі та методи оптимізаційного геометричного проектування за

рахунок дослідження нового класу задач оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

Обґрунтованість і достовірність результатів. Основні теоретичні положення дисертації одержані шляхом коректного застосування методів геометричного проектування та геометричних методів оптимізації. Про достовірність одержаних результатів свідчать граничні переходи до відомих окремих випадків, розглянутих на основі незалежних теоретичних підходів, а також апробація геометричних та комп’ютерних моделей в тестових прикладах та розрахунки у процесі впровадження.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблений метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих

4

геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, створені загальна модель та методи оптимізаційного розміщення даних об’єктів дозволяють розв’язувати з позицій прикладної геометрії широке коло важливих практичних задач.

Одержані результати комп'ютерного моделювання нерегулярного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями дозволяють зробити висновок про скорочення часу проектування карт розкрою за рахунок автоматизації процесу розміщення викройок на тканині, про збільшення, як правило, коефіцієнту використання матеріалу за рахунок розв’язання задачі оптимізації.

Результати наукових досліджень у вигляді моделі і методів оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями впроваджено у підготовчо-розкрійному виробництві підприємства «Магнат» ХОР ВОІ СОІУ. Також результати дисертаційного дослідження впроваджено у навчальному процесі Національного університету цивільного захисту України при викладанні дисципліни «Системний аналіз і моделювання».

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дисертаційного дослідження, формулювання його мети та окреслення кола задач належить науковому керівнику. Усі положення, що виносяться на захист і складають наукову новизну дисертаційної роботи, отримані особисто здобувачем. У публікаціях, що підготовлені за участю співавторів, результати, що належать здобувачеві, указані в списку опублікованих праць за темою дисертації.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на: VII Міжнародній науково-практичній конференції «Геометричне моделювання, комп’ютерні технології та дизайн: теорія, практика, освіта» (ДВНЗ «Ужгородський національний університет», м. Ужгород, 2011 р.); VIII Всеукраїнській науково-практичній конференції «Прикладна геометрія, графічні технології та дизайн» (Полтавський національний технічний університет ім. Ю. Кондратюка, м. Полтава, 2012 р.); 8-10 Кримських міжнародних науково-практичних конференціях «Геометричне та комп’ютерне моделювання: енергозбереження, екологія, дизайн» (Національна академія природоохоронного та курортного будівництва, м. Сімферополь, 2011-2013 рр.); ІІІ Міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених «Прикладна геометрія, дизайн та об’єкти інтелектуальної власності» (Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут», м. Київ, 2014 р.); 16 Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (Мелітопольський державний педагогічний університет ім. Б. Хмельницького, м. Мелітополь, 2014 р.); науково-технічних семінарах Національного університету цивільного захисту України (м. Харків, 2012-2014 рр.); науково-технічному семінарі Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (м. Дніпропетровськ, 2015 р.).

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковані в 10 роботах (2 – без співавторів), із них 6 статей у виданнях, що рекомендовані МОН України, одна стаття у Російській Федерації, одна – у Болгарії.

5

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 203 найменувань та додатків. Робота містить 141 сторінку основного тексту, 79 рисунків, 3 таблиці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено загальну характеристику роботи, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження, визначено наукову новизну та практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі здійснено огляд літературних джерел за темою дисертаційного дослідження, який дозволив зробити висновок про те, що на теперішній час не існує методів розв’язання задач оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Разом з тим, дані задачі відносяться до одного з перспективних напрямків наукових досліджень в рамках класу задач оптимізаційного геометричного проектування, про що свідчить розроблена класифікація задач оптимального розміщення об’єктів.

Визначення 1. Геометричним об’єктом з кусочно-нелінійною границею будемо називати φ-об’єкт, вершини якого з’єднуються як фрагментами кривих, так і відрізками прямих ліній (у частковому випадку – лише фрагментами кривих ліній).

Властивість 1. В даній роботі у якості фрагментів кривих ліній, що з’єднують вершини об’єктів з кусочно-нелінійними границями, будемо розглядати фрагменти кривих 2-го порядку (точки екстремуму у середині сторін є неприпустимими).

Область та об’єкти розміщення задано за допомогою геометричної інформації, яка для області розміщення 0S має наступний вигляд:

0 0 0 0, ,G s m u , (1)

де 0s – прямокутник; 0 ,m l b , причому b – ширина, а l – змінна

довжина області; 0 0,0u , – параметри розміщення області (співпадають з

початком глобальної системи координат). Об’єкти розміщення задано за допомогою інформації виду:

, ,i i i iG s m u , (2)

де is – об’єкт з кусочно-нелінійною границею; , 1,;i id i dd cm v a ,

,id id idv x y , 1, , id n – координати вершин в локальній системі координат

(нумерація – проти годинникової стрілки), , 1,i dd ca , 1, ,6c – параметри

квадратичної форми, що описує фрагмент границі між вершинами idv та 1idv :

2 2, 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 0,i dd i i dd i i i dd i i dd i i dd i i dda x a x y a y a x a y a (3)

визначає

системи об’єкти р

Сфорієнтова

0S : введ

змінних

забезпечу

взаємногОд

геометриоб’єктів теперішнконструкЮ.Г. Стоособливиплоских границямрозробит

Дрплоских

Пеявляти соб’єкти

параметр

об’єкта

взаємоді

Рис.

ється вект

координрозміщенформульованих геом

демо вект

задачі по

ує розміщ

го неперетдним із скичних оброзміще

ній час ктивного ояна. Наий інтере

орієнтми. Це дти метод рругий рооб’єктів зерш за всесобою ел

1 1 1,S x y

ри розміщ

2 2S x xії кривих

1. Об’єкт

тором пар

ат даногоння, тобтовано посметрични

тор парам

значимо

щення об’

тину, прикладних зб’єктів єення та н

зазначеапарату

аведено ос викликаованих дозволитьрозв’язанозділ приз кусочное, було доементи г та 2S

щення об’

1 2 1,x y y2-го поря

т розміщен

раметрів

о об’єктао 0i , iстановку их об’єкті

метрів u

,Z Z u l’єктів iS ,

ичому парзавдань прє формалналежністена фору Φ-фуносновні ває побудогеометри

ь формалння постависвячено о-нелінійнослідженограниць о

2 2,x y з

єкта 1 0S

– змін

ядку:

ння

6

причомувідзначиз’єднані

, 1,1i dda параметр

1,2,i положенкоординсистемі визначаюоптиміза

Влрозміщен

,i iu x yа. В даній

1,2, , N задачі оів з кусоч

1 2, ,u u

1ql R .

, 1,2,i раметр l мри розв’ялізація оть данихрмалізацінкцій, ввластивосова контуичних олізувати овленої задгеометр

ними грано взаємодоб’єктів рз кусочно

0, 0 є фік

нними. Б

у при ити, якщо

відр

, 1,2i dda ри роз, N . Дан

ння почат об’єкткоордин

ються у пації. астивістння п

,i iy , де

й роботі N . оптимальнчно-нелін

, Nu , u

. Необхідн

, N , в об

має приймязанні задобмежень х об’єктівія здійсвведеногості -фуру дотикуоб’єктів обмеженндачі. ричному ницями. дію кривирозміщено-нелінійн

ксованим

Було розг

id n , о вершинрізком

, 1,3i dda міщення ні парамчатку ва розміщнат і є процесі р

ть 2. У загплоского

i – кут

розглядаю

ного розмнійною гр

qR , q

но визнач

бласті 0Sмати мінімдач оптимна взає

в областінюється в робункцій ту (0-рівняз кус

ня, побуд

моделю

их 2-го поння. Для ними гра

и, а парам

глянуто н

1 1d ни idv

прямої

3 0 ; iu

об’єктметри пвласної щення в глзміннимирозв’язанн

гальномуоб’єк

повороту

ються ор

міщення раницею

2N . Век

чити вект

з урахув

мальне знмізації розємний ні розміщеза до

ботах прта зазначя -функсочно-нелдувати м

юванню

орядку, щоцього роаницями,

метри роз

наступні

1 . Слідта 1idv ї, то ,i ix y –

тів iS ,оказуютьсистеми

лобальнійи, тобтоня задачі

у випадкукта iS

у власної

ієнтовані

плоскихв області

ктор всіх

ор Z , що

ванням їх

начення. зміщеннянеперетинення. Наопомогоюрофесорачено, щокції) двохлінійнимимодель та

взаємодії

о можутьозглянутопричому

зміщення

випадки

д о –

, ь и й о і

у

ї

і

х і

х

о

х

я н а ю а о х и а

ї

ь о у

я

и

1. Т

собою ду

до сторо

радіусу

здійснюєкола рад

2. Т

собою ф

забезпеч

являє соб

Рис. 2

Сл

об’єктів

кола радвизначає

де 2 2r x

3. Т

собою ф

забезпеч

також явнаведено

Трансляц

угу кола р

они 1l нер

1R . На

є рух траіусу R RТрансляц

фрагмент

чувався по

бою дугу

2. Взаємоумови,

лід зазнач

2 2S x xіусу 1R тється наст

1x – ра

Трансляц

фрагмент

чувався по

вляє собоо випадок

ція сторон

радіусу R

рухомого

рис. 2 на

аєкторією

1 2R R . Р

ція сторон

параболи

остійний

кола рад

дія двох дщо 1R R

чити, що

1 2 1,x y yта фрагментупним чи

2r

адіус крив

ція сторон

параболи

остійний

ою фрагмк, коли 1p

ни 2l рух

2R , таким

о об’єкта

аведено

ABC , дРозглянут

ни 2l рух

и з фока

дотик до

іусу 1R .

дуг кіл за

2R

о в дано

та 1 0S

нту BC пином:

21 1 2x r

вини фра

ни 2l рух

и з фока

дотик до

ент параб

1 2p , а т

7

хомого об

чином, щ

1 0, 0S ,

випадок,

де AB – дто також в

хомого об

альним п

сторони

а Рис

ому випа

0, 0 , явл

параболи,

2 2 1x x

агменту па

хомого об

альним п

сторони

боли з фот. 2,2P ру

б’єкта 2S

щоб забез

, яка тако

коли R

дуга колавипадки,

б’єкта 2S

араметро

1l нерухо

с. 3. Взаєм

адку елем

ляє собою

, радіус кр

1R ,

араболи l

б’єкта 2S

араметро

1l нерухо

окальнимухається т

2 1,x x yпечувався

ож являє

1 2R R , п

а радіусу коли 1R 2 1,x x yм 2p , та

омого об

модія фраз дугою

мент 21ю об’єднан

ривини як

2l .

2 1,x x yм 2p , та

омого об

параметртраєкторіє

2 1y y ,

я постійн

собою д

при цьом

1R , а BC

2R та 1R

2 1y y ,

аким чин

’єкта 1S

агменту пкола

контуру

ння дуг A

кої у кож

2 1y y ,

аким чин

’єкта 1S

ром 1p . Нєю ABCD

що являє

ний дотик

дугу кола

у т. 2,2P

C – дуга

1 2R .

що являє

ном, щоб

0, 0 , яка

параболи

у дотику

AB і CD

жній точці

(4)

що являє

ном, щоб

0, 0 , яка

На рис. 4D , де AB

є

к

а

а

є

б

а

у

і

)

є

б

а

4

і CD – радіус кнаступно

де 1 1r x

ТаАн

гіпербол

радіусів кТве

відноснопобудоварадіус ккривини

Длгеометривсе, одевзаємодіконтуру глобальн

Рис. 4. В

фрагменткривини ого виразу

– радіус

кож розглналогічноли та пара

кривини фердженняо вгнутогоа контурукривини яфрагмент

ля аналітиичних обержати анію з дотидотику

ній систем

2:AB x

2y

Взаємодіяумо

ти парабоякої у ку:

21r

кривини

лянуто ви було здіаболи, еліп

фрагментя 2. При о фрагмеу їх дотиякої у ктів кривиичного п’єктів з кналітичнииком дво(рух т. Oмі коорди

2 1 1x a

2x x

2 1y b

я двох фрови, що p

оли з паркожній то

1 2x r

фрагмен

ипадки, койснено мпса та пар

тів кривихтрансляценту кривику, що яожній тоих, що її уподання ккусочно-ний опис ох дуг к

2O ) можуинат:

22a

1 1x a a

1 2b b R

рагментів

1 2p p

8

раметромочці мож

2 1x x

нту парабо

оли 1p pмоделюванраболи, в

х, що її утції вгнутової 2-го пявляє собочці доріутворюютконтуру днелінійнийого ск

кіл за умуть бути

2 1y y

2 1 1; x a

2 1 1;R y b

парабол

м 1p , а Bже бути

1 1r x ,

оли 1l .

2p та 1pння взаємідрізка пр

дотикридозвнаст

транкриопуго здійконсобопоркож

творюютього фрагмпорядку (абою фрагмівнює різть. дотику двими граникладових. мови, що представ

1 2b b

2 1a R

2 2b R

за

BC – фродержани

2p . модії з дорямої та п

Дослідиком двих волило тупні твер

Тнсляції вгвої 2-го клого фрпорядку

йснюєтьсятуру їх дою фрагмядку, раджній точц

. менту криабо навпамент кризниці по

вох плосицями неТак, на

1 2R R .влені нас

2 22 1R R

,

1R ,

рагмент пий за до

отиком фрпараболи.дження вздвох фр2-го

сформрдження.Твердженгнутого фпорядку рагменту у (або я дотику, щмент кридіус кривиці дорівн

ивої 2-го аки) здійивої 2-го модулю

ских орієеобхідно, а рис. 5 . Тоді фрступним

21 ,

параболи,опомогою

(5)

рагментів. заємодії зрагментівпорядку

мулювати ня 1. При

фрагментувідноснокривої 2-навпаки)побудоващо являєивої 2-гоини якої унює сумі

порядкуснюєтьсяпорядку,радіусів

нтованихперш занаведенорагментичином у

(6)

, ю

)

в

з в у и

и у о -) а є о у і

у я , в

х а о и у

)

2 1x x

2 1x x

2:BC x

1 2a a

2:CD x

1 2a a

1 1x a

2 1 1;R R x

2 1 1x a

2 1;R x a

Рис. 5. Вз

Рис.

22a y

1 1 2a a

2 2a R

1 2 2a a R

заємодія д

6. Взаємо

9

2 1y y b

, 2 1y y

22 2y

2 1R , 2y

двох дуг

одія двох

21 2b b

1 2b b

1 1y b

1 1y b

кіл за умо

фрагмент

2 1R R

2 1;R R y

22 1b R

2 1;b y b

ови, що R

тів парабо

21 ,

1 1 2y b b

21 ,

1 2 1b b R

1 2R R

ол

2 , (7)

1 . (8)

)

)

10

При взаємодії з дотиком двох фрагментів парабол так, як це наведено на рис. 6, траєкторія т. 2O , що являє собою початок локальної системи координат

рухомого об’єкта 2 2 1 2 1,S x x y y , може бути представлена в глобальній

системі координат наступним чином:

22 1 1 2 1 2 1 1 2: 2 0AB x x a a p y y b b ,

12 1 2 1 1 2;M ax x x a x a a p , 12 1 1 2 1 2;b My y b b p y y b ,

(9)

1 1

22 1 1 2 2 2 1 1 2: 2 0a bBC x x a a p p y y b b p ,

1 22 1 1 2 1 2;a a Mx x a a p p x x a ,

1 22 1 2 1 1 2;M b by y y b y b b p p ,

(10)

2 2

22 1 1 2 1 2 1 1 2: 2 0a bCD x x a a p p y y b b p ,

2 1 22 1 1 2 1 1 2;a a ax x a a p x a a p p ,

1 2 22 1 1 2 1 1 2;b b by y b b p p y b b p .

(11)

У роботі наведено також інші приклади аналітичного подання фрагментів

контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Було зроблено висновок, що у випадку завдання кривих 2-го порядку за допомогою квадратичної форми необхідно розробити спосіб, який має враховувати довільну орієнтацію двох фрагментів кривих. Це дозволить створити метод геометричного моделювання замкненого контуру дотику зазначених об’єктів.

У третьому розділі розроблено метод геометричного моделювання замкненого контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями 1 1 1,S x y та 2 2 2,S x y .

Структура даного методу є наступною: 1. Фіксація параметрів розміщення об’єкта 1 0, 0S (нерухомий об’єкт),

при цьому параметри розміщення об’єкта 2 2 1 2 1,S x x y y (рухомий об’єкт)

будуть змінними. 2. Трансляція з дотиком кожної сторони 2l рухомого об’єкта

2 2 1 2 1,S x x y y відносно кожної сторони 1l нерухомого об’єкта 1 0, 0S .

Аналітичний опис фрагментів 21,l , 21

1, 2, ,l n .

3. З

геометри

2 2,S x y

Рогеометриграниць формами

Рис. 7.

Рис. 8.

в) т

Надо випад

та '2l ( l

фрагментрезульталокальноквадрати

Збирання

ичних о

2 .

зглянемоичних об

1l та 2lи, яка для

Елементи

об’єк

Визначен

т. Q

т. Q знах

а рис. 9, 1дку а). Іна

2l у систтів, а тааті одержої системичних фор

я замкнен

б’єктів

спосіб б’єктів з

2 відповія 1l може

и границьктів

ння положQ

ходиться «

10 наведеакше каж

темі кооракож розжуємо анми коордрм.

ного конт

з кусочн

формуваз кусочндних об’бути одер

ь двох

ження

ф

т

зрф

«ліворуч»

но приклжучи, здій

рдинат xзглядаєтьсналітичнеинат рух

11

туру доти

но-неліні

ання франо-неліній’єктів (риржаною з

1

2

3

2121,

21,

1 21,

21,

21,

:

A

P

P

P

B

x

x

x

lx

x

x

Анаформа дл

Наст. A та п

2l у даниПіс

знаходитьрозглядаюфрагмент

а) дб) т

1d ( 1d Q

» від 1d (

лади взаємйснюється

1 1 1x O y ) спся випаде поданнхомого о

ику 21 д

ійними г

агментів йними грис. 7) преза допомо

1 1

2 2

3 3

1 1

1, 1,

1, 1,

1, 1,

1, 1,

1, 1,

A A

P P

P P

P P

B B

x y

x y

x y

x y

x y

x y

алогічно ля 2l . ступний обудова дх точках сля визначься на ються натів кривихдотичні dт. Q знах

0 );

1 0d Q модії фрая пошук т

півпадаютдок, колиня контуб’єкта) з

двох плос

границям

контуру раницямиедставленогою насту

1

2

3

2121,

211,

211,

211,

21,

A

P

P

P

B

y x

y x

y x

y x

y x

y x

записуєт

крок – судотичних(рис. 8). чення коо

2l у ступні вих:

1 і 2d співходиться

).

агментів кточок, у я

ть, точоки дані тоуру рухуа допомо

ских оріє

ми 1 1S x

дотику и. Так, ні квадратупного ви

1 1

2 2

3 3

1 1

1, 1,

1, 1,

1, 1,

1, 1,

1, 1,

A A

P P

P P

P P

B B

x y

x y

x y

x y

x y

x y

ться квад

суміщеннях 1d і 2d

ординат т -окол

ипадки в

впадають«правор

кривих віяких доти

к перетиночки віду т. 2O огою від

нтованих

1 1, y та

плоскихелементиатичнимииразу:

1

1

1

01

1

1

.

дратична

я т. C з до 1l та

т. Q , що і т. C , взаємодії

; руч» від

ідповідноичні до 1l

ну данихдсутні. У

(початокдповідних

х

а

х и и

о

х У к х

Анвипадку

Рис. 9

спільні д

Рис. 11.

1l існс

Тарухомого

налогічноб) (рис. 1

9. Ситуац

дотичні досторін (в

Ситуаціянують точспівпадаю

ким чино об’єкта

дослідж11) та вип

ія, коли іс

о '2l та 1l

випадок а

я, коли на чки, дотичють (випад

ном, одера відносн

жується впадку в) (р

снують

всередина)

сторонахчні в якихдок б)

ржимо мно кожної

12

взаємодія рис. 12).

ні

Рис.

х '2l і

х Р

множину ї сторони

фрагмен

. 10. Ситу

перетину

Рис. 12. Ге

контуріви нерухом

нтів крив

уація, кол

у фрагмен(випадок

еометрич

випадк

в дотику мого об’є

вих відпо

ли існують

нтів '2l та

к а)

чна інтерпку в)

кожної єкта 21,

овідно до

ь точки

а 1l

претація

сторони

l jj

g ,

о

и ,

1, 2,l довільнудопомогофрагмент

Розгеометрипредстав

Для дано

Початков

яка точкдотику, яконтурів

Ри

На

розгляда

свою чефрагмент

Якпов’язандекілька У роботпроходят

Прдосягнут

21, n . С

у орієнтацою квадрту кривоїзглянемо ичних овлена мно

ої множин

вою точк

ка, що наякому нал ,ji l нео

ис. 13. Фр

а рис. 14ається, а в

ергу, на тів конту

кщо точкний з неюточок петі такожть декількроцес побта початко

Слід зазна

цію елемератичних ї 2-го порспосіб з

об’єктів ожина кон

ни здійсн

ою конту

алежить глежить даобхідно зн

рагменти к

4 наведенвідповідн

рис. 15 урів ,ji l т

ка перетию фрагмеретину, тж розглянка фрагмебудови зова точка

ачити, що

ентів гранформ, а ядку та взбирання з кусочнтурів до

нюється п

уру дотику

границі гаана точка, найти такі

контуру д

но прикий фрагм

зображета ,ji r .

ину є єдент контто поточннуто ситентів контзамкненога контуру

13

о розробл

ниць об’єктакож одідрізку прзамкнен

чно-нелінотику ji

побудова г

ку ji об’

абаритног стає потоі фрагмен

дотику об

клад, колмент конт

ено прип

диною, тотуру – пною стає ттуацію, ктурів. го конту ji .

лений спо

ктів розмідержати рямої; двоного контнійними

,l елемен

габаритно

єктів jS

го прямоочним еленти, що пе

б’єктів jS

ли одержтуру ,ji rпустимий

о вона соточним точка, щоколи чер

уру завер

осіб дозв

іщення, яелементиох відрізктуру дотиграницям

нтів грани

ого прямо

,j jx y т

окутника. ементом. еретинают

,j j jx y т

жана точ вилучаєт

випадок

стає потофрагмен

о є ближчрез одну

ршується

воляє вра

які предсти контуруків прямиику двох ми. На иць двох

окутника

та ,i iS x y

ЕлементДалі – із ть поточн

та ,i iS x y

чка переться з роз

к перети

очною тонтом. Якщчою до поточку

тоді, ко

аховувати

тавлені зау дотику:их. плоскихрис. 13

об’єктів.

,S A B .

iy є будь

т контурумножининий.

iy

етину незгляду. У

ину двох

очкою, ащо існуєочаткової.перетину

оли буде

и

а :

х .

.

ь

у и

е У

х

а є . у

е

Ри

Р

Сл

0i об’єк

область рдотику т

Тазамкненокусочно-побудувау прямок

Чеметодів тгеометризмінної виробниц

Заггеометризмінної д

ис. 14. Неп

Рис. 15. Пр

лід відзнач

кта ,i iS x

розміщентакож будким чиого конту-нелінійниати моделкутній облетвертийта комп’юичних об’довжини цтва. гальна ичних об’довжини м

припусти

рипустим

чити, що

, iy та до

ння є прямде являти ином, роуру дотикими грль та розрласті змінй розділ ютерному’єктів з куна прик

модель ’єктів з кумає насту

имий випа

мий випад

в роботі

оповненн

мокутниксобою прозробленику двох планицями робити менної довжприсвяч

у моделюусочно-некладі пра

оптимізаусочно-неупний виг

14

адок пере

док перет

наведено

ня області

ком зміннрямокутниий метолоских ор

дозволетоди оптжини. чено побюванню опелінійнимактичних

ації розелінійнимгляд:

тину фра

ину фрагм

о підхід до

і 0 0,0S

ої довжиник. од геомрієнтованилить фотимізації

будові заптимізаційми границзадач, х

зміщеннями границ

агментів

ментів j

о побудов

до прост

ни, то і ві

метричногих геометормалізуврозміщен

агальної йного розцями у пряхарактерн

плоскицями в пря

,ji l та j

,ji l та ji

ви контур

тору 2R .

ідповідни

го модетричних овати обмння даних

моделі, зміщеннярямокутніних для ш

их орієямокутні

,ji r

,r

ру дотику

Оскільки

ий контур

елюванняоб’єктів змеження,х об’єктів

розробція плоскихй областішвейного

нтованихй області

у

и

р

я з , в

і х і о

х і

15

1 1min , , , ,N NW

l x y x y , (12)

де W :

, , , 0i i j jx y x y , 1, ,i N , 1, ,j i N , (13)

0

, ,0,0 0cS i ix y , 1, ,i N . (14) В моделі (12)÷(14) вираз (12) являє собою цільову функцію задачі; вираз

(13) – умову взаємного неперетину об’єктів розміщення; вираз (14) – умову належності об’єктів області розміщення, причому 0cS – доповнення 0S до

простору 2R . Формалізація обмежень здійснена за допомогою -функцій, що являють собою відстані між відповідними об’єктами.

Дослідження даної моделі дозволили виявити наступні особливості: – задача оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних

об’єктів з кусочно-нелінійними границями відноситься до задач нелінійного програмування;

– область припустимих розв’язків визначається системою лінійних та нелінійних нерівностей і, в загальному випадку, є обмеженою та незв’язною;

– загальна кількість наборів нерівностей, за допомогою яких

здійснюється формалізація обмежень задачі, дорівнює 2NC N .

Для мінімізації цільової функції (12) було розроблено модифікований метод оптимізації за групами змінних. Структура даного методу наступна:

1. Отримання випадкової перестановки номерів об’єктів розміщення 1 2, , , 1, ,Ni i i N для кожної оптимізаційної серії, кількість яких дорівнює sN .

2. Згідно даної перестановки здійснюється послідовне розміщення

геометричних об’єктів ,j j ji i iS x y , 1, ,j N , з обчисленням цільової функції

(12). На рис. 16 наведено визначення можливих точок розміщення початку

локальної системи координат об’єкта 3 3 3,i i iS x y . Так, для знаходження т.

3,1iP

і 3,2iP необхідно розв’язати систему лінійних рівнянь 2-го порядку. Дані

рівняння описують елементи контуру дотику 0ji об’єктів з кусочно-

нелінійними границями та доповнення області 0 0,0S до простору 2R . Що

стосується т. 3,3iP ,

3,4iP , 3,5iP і

3,6iP , то їх координати визначаються шляхом

розв’язання системи, до якої входять лінійне та нелінійне рівняння (квадратична форма, що описує нелінійний фрагмент контуру дотику об’єктів розміщення), а для знаходження координат т.

3,7iP і 3,8iP використовувалась

система нелінійних рівнянь 2-го порядку. Обчислення цільової функції (12) дозволяє обрати для розміщення

об’єкта

об’єктів

зростанн

3. У

4. П

1, ,j N Дл

систем ко

Такоптимізафункції (

Оц

де sN –

об’єктів

3 3,i iS x y

,j ji iS x y

ня цільово

Упорядку

Послідов

N , відповля відсіюв

оординат

ким чинації за г(12). цінка скла

1O N

– кількість

розміщен

3iy т. P

jiy , при

ої функції

Рис. 16

ування об

не розм

відно до пвання не

об’єктів S

ном, в групами

адності да

N

s di

N N

ь оптимі

ння i iS x

3,6iP . Ана

цьому об

ї (12).

6. Розміщ

б’єктів jiS

міщення

показникаеприпусти

,j ji i iS x y

результазмінних

аного мет

1

2 3N i

k

ізаційних

, iy , 1i

16

алогічно

бчислюєть

щення об’є

,j j ji ix y

упоряд

а глибиниимих точо

ji у робо

аті застоодержим

тоду має в

1

1ik

i

k k

n

х серій (

1, , N ); N

здійсню

ься jil –

єкта 3iS x

, 1,j

дкованих

и оптимізок розміщ

оті запропо

осування мо локал

вигляд:

1 1

1 1

i i

k j k

n

(випадков

dN – гли

юється ро

– внесок к

3 3,i ix y

, N , за уб

об’єкт

ації dN . щення по

оновано в

модифікльні екст

ij ikn n

вих перес

бина опти

озміщенн

кожного

буванням

тів jiS

очатків л

відповідни

кованого тремуми

,

становок

имізації (

ня інших

об’єкта у

jil .

,j ji ix y ,

локальних

ий спосіб.

методуцільової

(15)

номерів

(кількість

х

у

,

х

у ї

)

в

ь

17

перестановок номерів об’єктів розміщення в залежності від їх впливу на приріст цільової функції (12)) в рамках однієї оптимізаційної серії; N – кількість об’єктів розміщення;

ijn – кількість фрагментів контуру дотику

об’єктів ,i i iS x y та ,j j jS x y ; ik

n – кількість фрагментів контуру дотику

об’єктів ,i i iS x y та ,k k kS x y .

Для знаходження глобального екстремуму цільової функції (12) було розроблено модифікований метод гілок та меж, оцінка складності якого дорівнює:

2

21,1

4ij

N N

jij i

O N n

, (16)

де N – кількість об’єктів розміщення;

ijn – кількість фрагментів контуру

дотику об’єктів ,i i iS x y та ,j j jS x y .

Слід відзначити, що 1O та 2O є верхніми оцінками кількості локальних екстремумів, що підлягають аналізу для мінімізації цільової функції (12). Разом з тим є очевидним, що для розв’язання практичних задач оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями доцільно використовувати саме модифікований метод оптимізації за групами змінних.

На основі розроблених моделі, методів та алгоритмів оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями було створено програмне забезпечення у середовищі Visual C++.

Для оцінки вірогідності розроблених моделей та методів було проведено апробацію геометричних та комп’ютерних моделей у тестових прикладах та зроблено порівняння одержаних результатів із відомими.

Розв’язано практичну задачу, що характерна для швейного виробництва: здійснено комп’ютерне моделювання оптимізаційного розміщення геометричних об’єктів (викройок спортивного костюму) iS , 1, ,15i , з кусочно-нелінійними лінійними границями у прямокутній області шириною 1400 мм. Результат моделювання наведено на рис. 17.

У даному прикладі кількість оптимізаційних серій 5sN , глибина оптимізації 10dN , час на розв’язання склав 70 сек. Значення цільової функції 1526,7l мм. На рис. 18 наведено результат комп’ютерного моделювання розміщення

двох комплектів викройок. При аналогічних до попереднього випадку значеннях sN та dN , час на розв’язання задачі склав 1050 сек. Слід відзначити, що для розв’язання вищенаведених задач використовувався комп’ютер із процесором Intel Core2 Duo 2,80 GHz.

Такнерегулякусочно-часу провикройокматеріал

Рез

розкрійннавчальнпри викл

ким чинярного ро-нелінійниоектуваннк на тканлу за раху

Рис. 17.

Рис. 18. О

зультати ному вироному проладанні ди

ном, одозміщенними грання карт ронині, пронок розв’

. Результа

Оптиміза

досліджобництві цесі Націисципліни

держаніня плоскиницями доозкрою зао збільше’язання за

ат оптимі

аційне роз

ження опідприєміональноги «Систем

18

результаих орієнозволяютьа рахунокення, як падачі опти

ізаційного

зміщення

одержалимства «Мго універмний анал

ати компнтованих ь зробитик автоматправило, имізації.

о розміще

я двох ком

и впровМагнат» Хситету циліз і моде

п'ютерноггеометри

и висновоизації прокоефіцієн

ення 15 ви

мплектів в

вадження ХОР ВОІ ивільногоелювання»

го модеичних обок про скооцесу рознту вико

икройок

викройок

в підСОІУ, а о захисту».

елюванняб’єктів зороченнязміщенняристання

к

дготовчо-також у

у України

я з я я я

-у и

19

ВИСНОВКИ Дисертацію присвячено розробці методу геометричного моделювання

контуру дотику плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями та його застосуванню для оптимізації розміщення даних об’єктів у прямокутній області змінної довжини.

Значення для науки даної роботи полягає у подальшому розвитку моделей та методів оптимізації розміщення геометричних об’єктів за рахунок розробки нового методу геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, загальної моделі та методів оптимізації розміщення зазначених об’єктів, основою яких є метод оптимізації за групами змінних і метод гілок та меж.

Значення для практики досліджень полягає у здійсненні комп’ютерного моделювання оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, оскільки до даного класу можуть бути зведеними актуальні практичні задачі з різних сфер діяльності людини, у скороченні часу проектування карт розкрою за рахунок автоматизації процесу розміщення викройок на тканині, у збільшенні коефіцієнту використання матеріалу за рахунок розв’язання задачі оптимізації.

При цьому отримано результати, що мають науково-практичну цінність: 1. Аналіз існуючих методів геометричного моделювання об’єктів та

процесів, а також методів розв’язання класу задач оптимізаційного геометричного проектування дозволив зробити висновок про те, що на теперішній час не існує методів розв’язання задач оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Розроблено класифікацію задач оптимізаційного розміщення геометричних об’єктів.

2. Досліджено взаємодію фрагментів кривих 2-го порядку, що дозволило виявити основні властивості побудови контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Здійснено аналітичне подання елементів контуру, що описує 0-рівень -функції для двох геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Це дозволило розробити метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

3. Розроблено новий метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, складовими якого є: спосіб формування фрагментів контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, який дозволяє враховувати довільну орієнтацію елементів границь об’єктів розміщення, що представлені за допомогою квадратичних форм; спосіб збирання контуру, що описує 0-рівень Φ-функції для двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Розроблений метод дозволив формалізувати обмеження та побудувати модель оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів у заданих областях.

4. Побудовано модель оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями в прямокутній області

20

змінної довжини. Дослідження даної моделі дозволили виявити наступні особливості: задача оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями відноситься до задач нелінійного програмування; область припустимих розв’язків визначається системою лінійних та нелінійних нерівностей і, в загальному випадку, є обмеженою та незв’язною; загальна кількість наборів нерівностей, за

допомогою яких здійснюється формалізація обмежень задачі, дорівнює 2NC N .

Дослідження особливостей побудованої моделі дозволило розробити обґрунтовані методи оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

5. Розроблено модифікований метод оптимізації за групами змінних, який дозволяє знаходити припустимі розв’язки задачі шляхом послідовного розв’язання систем двох рівнянь (як лінійних, так і нелінійних). Застосування даного методу дозволяє, в загальному випадку, одержати локальні екстремуми цільової функції. Для знаходження глобального екстремуму цільової функції розроблено модифікований метод гілок та меж. Використання даного методу призводить до необхідності розв’язання систем, що складаються з 2 1N як лінійних, так і нелінійних рівнянь. Порівняльний аналіз оцінок складності наведених вище методів дозволив зробити висновок, що для розв’язання практичних задач оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями доцільно використовувати саме модифікований метод оптимізації за групами змінних.

6. Для здійснення комп’ютерного моделювання розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями у прямокутній області розроблено алгоритмічне та програмне забезпечення. Для підтвердження вірогідності розроблених моделі та методів здійснено розв’язання тестових прикладів, а також зроблено порівняння одержаних результатів із відомими. Результати комп'ютерного моделювання нерегулярного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями дозволяють зробити висновок про скорочення часу проектування карт розкрою за рахунок автоматизації процесу розміщення викройок на тканині, про збільшення, як правило, коефіцієнту використання матеріалу за рахунок розв’язання задачі оптимізації.

7. Практична значущість одержаних результатів дисертаційного дослідження підтверджується їх впровадженням на підприємстві «Магнат» ХОР ВОІ СОІУ та у навчальному процесі Національного університету цивільного захисту України при викладанні дисципліни «Системний аналіз і моделювання».

Розвиток одержаних у роботі результатів може бути продовжений шляхом розв’язання важливих практичних задач у різних галузях діяльності людини, що потребує створення нових моделей та методів:

– оптимізаційного розміщення неорієнтованих плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями;

– оптимізаційного розміщення плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, що задані інтервально, і т.д.

21

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Статті у наукових міжнародних виданнях 1. Problem of geometric design: placement, coverage, partition and defining

optimal routes / V.A. Andronov, V.M. Komyak, A.N. Sobol, V.V. Komyak, A.V. Popova // Годишник на техническия университет във Варна, – Варна: Технически ун.-т, 2013. – Т. 3. – С. 9-13.

Особисто здобувачем проведено аналіз існуючих моделей і методів розв’язання задач оптимізаційного геометричного проектування та визначено перспективні напрями досліджень.

2. Моделирование энергетических зон суммарного риска от стационарных потенциально опасных объектов / [Тютюник В.В., Соболь А.Н., Попова А.В., Калугин В.Д., Сушко Е.А.] // Научный вестник Воронежского государственного архитектурно-строительного университета – Воронеж: ВГАСУ, 2014. – Вып. 1 (33). – С. 159-166.

Особисто здобувачем досліджено вплив параметрів розміщення стаціонарних потенційно небезпечних об’єктів на утворення енергетичних зон сумарного ризику.

Статті у наукових фахових виданнях

3. Комяк В.М. Постановка задачі побудови 0-рівня Φ-функції для геометричних об'єктів з нелінійною границею / В.М. Комяк, О.М. Соболь, А.В. Попова // Міжвідомчий науково-технічний збірник «Прикладна геометрія та інженерна графіка». Вип. 87. – К.: КНУБА, 2011. – С. 202-206.

Особисто здобувачем сформульовано постановку задачі побудови контуру дотику плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

4. Комяк В.М. Побудова елементів 0-рівня Φ-функції для геометричних об'єктів з нелінійними границями / В.М. Комяк, О.М. Соболь, А.В. Попова // Міжвідомчий науково-технічний збірник «Прикладна геометрія та інженерна графіка». Вип. 88. – К.: КНУБА, 2011. – С. 186-190.

Особисто здобувачем розроблено спосіб побудови елементів контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

5. Комяк В.М. Класифікація задач оптимізаційного геометричного проектування / В.М. Комяк, О.М. Соболь, А.В. Попова, В.В. Комяк // Міжвідомчий науково-технічний збірник «Прикладна геометрія та інженерна графіка». Вип. 89. – К.: КНУБА, 2012. – С. 28-32.

Особисто здобувачем здійснено класифікацію задач оптимізаційного розміщення геометричних об’єктів.

6. Комяк В.М. Метод побудови 0-рівня Φ-функції для плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями / В.М. Комяк, О.М. Соболь, А.В. Попова // Міжвідомчий науково-технічний збірник «Прикладна геометрія та інженерна графіка». Вип. 90. – К.: КНУБА, 2012. – С. 151-155.

Особисто здобувачем розроблено метод побудови контуру дотику двох плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

22

7. Комяк В.М. Аналітичний опис фрагментів контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями / В.М. Комяк, О.М. Соболь, А.В. Попова // Міжвідомчий науково-технічний збірник «Прикладна геометрія та інженерна графіка». Вип. 91. – К.: КНУБА, 2013. – С. 122-126.

Особисто здобувачем розроблено підхід до аналітичного опису фрагментів контуру дотику плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями.

8. Попова А.В. Комп’ютерне моделювання оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями / А.В. Попова // Науковий вісник Кременчуцького університету економіки, інформаційних технологій і управління «Нові технології». – Кременчук: КУЕІТУ, 2014. – №3-4(45-46). – С. 87-92.

Матеріали і тези конференцій

9. Чапля Ю.С. Геометрична інформація в задачах оптимізації розміщення плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями / Ю.С. Чапля, А.В. Попова, О.М. Соболь // Матеріали ІІІ-ї Міжнародної науково-практичної конференції студентів, аспірантів та молодих вчених «Прикладна геометрія, дизайн та об’єкти інтелектуальної власності». Вип. 3. – К.: ДІЯ, 2014. – С. 214-219.

Особисто здобувачем досліджено питання геометричної інформації в задачах оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями в заданих областях.

10. Попова А.В. Модель та метод оптимізації розміщення плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями / А.В. Попова // Сучасні проблеми моделювання. – Мелітополь: МДПУ ім. Б. Хмельницького, 2014. – Вип. 2. – С. 88-93.

АНОТАЦІЯ

Попова А.В. Геометричне моделювання розміщення плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 – Прикладна геометрія, інженерна графіка. – Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України, Дніпропетровськ, 2015.

Робота присвячена розробці методу геометричного моделювання контуру дотику плоских орієнтованих об’єктів з кусочно-нелінійними границями та його застосуванню для оптимізації розміщення даних об’єктів у прямокутній області змінної довжини.

Досліджено взаємодію фрагментів кривих 2-го порядку, що дозволило виявити основні властивості побудови контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, та здійснено аналітичне подання елементів даного контуру. Розроблено новий метод геометричного моделювання контуру дотику двох плоских орієнтованих геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, складовими якого є:

23

спосіб формування фрагментів контуру дотику двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями, який дозволяє враховувати довільну орієнтацію елементів границь об’єктів розміщення, що представлені за допомогою квадратичних форм; спосіб збирання контуру, що описує 0-рівень Φ-функції для двох плоских геометричних об’єктів з кусочно-нелінійними границями. Побудовано модель, досліджено її особливості та розроблено методи оптимізації розміщення зазначених об’єктів у прямокутній області змінної довжини. Одержано оцінки складності розроблених методів. Здійснено комп’ютерне моделювання оптимізаційного розміщення плоских орієнтованих об’єктів на прикладах задач, характерних для швейного виробництва.

Результати дисертаційного дослідження впроваджено у виробництво та у навчальний процес.

Ключові слова: геометричне моделювання, орієнтований об’єкт з кусочно-нелінійною границею, взаємодія фрагментів кривих, контур дотику, оптимізація розміщення.

АННОТАЦИЯ

Попова А.В. Геометрическое моделирование размещения плоских ориентированных объектов с кусочно-нелинейными границами. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 – Прикладная геометрия, инженерная графика. – Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара Министерства образования и науки Украины, Днепропетровск, 2015.

Работа посвящена разработке метода геометрического моделирования контура касания плоских ориентированных объектов с кусочно-нелинейными границами и его применению для оптимизации размещения данных объектов в прямоугольной области переменной длины.

Анализ существующих методов геометрического моделирования объектов и процессов, а также методов решения класса задач оптимизационного геометрического проектирования позволил сделать вывод о том, что на сегодняшний день отсутствуют методы решения задач оптимизационного размещения плоских ориентированных геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами.

Приведено определение геометрического объекта с кусочно-нелинейной границей, конкретизирована геометрическая информация для данного класса объектов, сформулирована постановка задачи оптимизационного размещения плоских геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами.

Разработана классификация, показывающая место данной задачи среди задач оптимизационного размещения геометрических объектов. Сделан вывод о том, что задача оптимизационного размещения плоских геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами относится к одному из перспективных направлений научных исследований в рамках класса задач оптимизационного геометрического проектирования.

24

Исследовано взаимодействие фрагментов кривых 2-го порядка, а именно, двух дуг окружностей различного радиуса, дуги окружности и параболы, двух парабол с разными фокальными параметрами, гиперболы и параболы, эллипса и параболы, а также отрезка прямой и параболы. Это позволило выявить основные свойства построения контура касания двух плоских геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами.

Сформулированы утверждения о построении элементов контура касания двух плоских геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами, радиусы кривизны которых в каждой точке могут быть получены путем сложения или вычитания радиусов кривизны фрагментов кривых 2-го порядка – элементов границ заданных объектов. Получено аналитическое представление элементов контура, описывающего 0-уровень Φ-функции двух геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами.

Разработан новый метод геометрического моделирования замкнутого контура касания двух плоских ориентированных геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами, составляющими которого являются: способ формирования фрагментов контура касания двух плоских геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами, который позволяет учитывать произвольную ориентацию элементов границ, представленных с помощью квадратичных форм; способ сборки замкнутого контура касания. Данный метод позволил формализовать ограничения задачи размещения, построить модель и разработать методы решения поставленной задачи.

Приведен способ формирования замкнутого контура касания плоского ориентированного объекта с кусочно-нелинейной границей и дополнения области размещения (прямоугольник переменной длины) до двумерного пространства.

Получена оценка количества контуров касания двух геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами, а также контуров касания указанных объектов с дополнением области размещения до двумерного пространства, которые необходимо построить для решения задачи оптимизационного размещения плоских ориентированных объектов с кусочно-нелинейными границами в прямоугольной области переменной длины.

На основе разработанного метода геометрического моделирования замкнутого контура касания двух плоских ориентированных геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами построена модель оптимизации размещения данных объектов в прямоугольной области переменной длины, а также исследованы особенности полученной модели, которые заключаются в следующем: данная задача относится к задачам нелинейного программирования; область допустимых решений определяется системой линейных и нелинейных неравенств и, в общем случае, является ограниченной и несвязной; общее количество наборов неравенств, при помощи которых

осуществляется формализация ограничений задачи, равно 2NC N .

Разработан модифицированный метод оптимизации по группам переменных, позволяющий находить допустимые решения задачи

25

оптимизационного размещения плоских ориентированных объектов с кусочно-нелинейными границами в прямоугольной области переменной длины путем последовательного решения систем двух уравнений (как линейных, так и нелинейных). Применение данного метода позволяет, в общем случае, определять локальные экстремумы функции цели. Для нахождения глобального экстремума целевой функции был разработан модифицированный метод ветвей и границ.

Получены оценки сложности разработанных методов, которые позволили сделать вывод о том, что для решения практических задач оптимизационного размещения плоских ориентированных геометрических объектов с кусочно-нелинейными границами целесообразно использовать модифицированный метод оптимизации по группам переменных.

Осуществлено компьютерное моделирование оптимизационного размещения плоских ориентированных объектов на примерах задач, характерных для швейного производства. Для подтверждения достоверности разработанных модели и методов в работе было рассмотрено решение тестовой задачи, а также проведено сравнение полученных результатов с известными.

Результаты диссертационного исследования внедрены в производство и учебный процесс.

Ключевые слова: геометрическое моделирование, ориентированный объект с кусочно-нелинейной границей, взаимодействие фрагментов кривых, контур касания, оптимизация размещения.

ABSTRACT

Popova A.V. Geometric placement modeling of flat oriented objects with sectional nonlinear borders. – The manuscript.

Thesis for a Doctor of Philosophy degree in specialty 05.01.01 – Applied geometry, engineering graphics. – Oles Honchar Dnipropetrovsk National University of Ministry of Education and Science of Ukraine, Dnipropetrovsk, 2015.

The work is aimed to develop a geometric modeling method to create a contour for the case of osculation of flat oriented objects with sectional nonlinear borders and its further application to optimize the placement of such objects in a rectangular area with variable length. The interaction of 2nd order curve fragments reveal the basic properties of contour construction for the case of osculation of two flat geometric objects with sectional nonlinear borders. The interaction is researched and analytical representation of the contour elements is implemented. A new method of geometric modeling for the case of osculation of flat oriented objects with sectional nonlinear borders is developed. The method, firstly, consists of the process to form contour fragments for the case of osculation of two flat geometric objects with sectional nonlinear borders. The method takes into account random orientation of the frontier elements, which are represented using quadratic forms. Secondly, the method allows to assemble a confined contour that describes 0-level of Φ-functions for two flat geometric objects with sectional nonlinear borders. The optimum placement model of geometric objects is constructed and its features are researched. The methods of optimum placement of flat oriented objects with sectional nonlinear borders in a rectangular area with variable length are developed. Respective estimates of

26

complexity are provided. Computer modeling of the optimum placement of flat oriented objects using sample data sets from clothing industry is implemented.

Results of research are applied in industry and in the educational process. Keywords: geometric modeling, oriented flat object with sectional nonlinear

frontier, interaction of fragments curves, contour of osculation, placement optimization.

27

Підписано до друку 15.10.2015. Формат 60х84/16. Папір 80 г/м2. Друк ризограф. Ум.друк. арк. 1,0 Тираж 100 прим. Вид. № 125/15. Зам. № 525/15. Відділення редакційно-видавничої діяльності

Національного університету цивільного захисту України 61023, м. Харків, вул. Чернишевська, 94