НАТАША ПАВЛОВИЋ · 2018. 7. 5. · 10 > + + = − = = 0, рјешење...
TRANSCRIPT
Универзитет у Источном Сарајеву
Електротехнички факултет
НАТАША ПАВЛОВИЋ
ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ
ЗАДАТАКА ИЗ
МАТЕМАТИКЕ ЗА
ПРИЈЕМНИ ИСПИТ
Источно Сарајево, 2007. године
1
ПРЕДГОВОР
Збирка задатака је првенствено намијењена кандидатима који се припремају за студиј
електротехнике, а корисно ће послужити студентима Електротехничког факултета у Источном
Сарајеву за савладавање градива из предмета Математика I. Њоме се могу користити и сви
кандидати који се припремају за студиј на другим факултетима на којима се полаже
квалификациони испит из математике.
У збирку су уврштени задаци са вјежби из елементарне математике са припремне наставе на
Електротехничком факултету у Источном Сарајеву, као и неки задаци из досадашњих тестова
са полагања квалификационих испита на овом факултету.
Захваљујем се проф. др Вељку Вулетићу и проф. др Зорану Љубоју, те асистентима Наташи
Поповић, Мирославу Глигорићу и Драгани Глигорић на помоћи и сугестијама које су ми
давали при изради ове збирке.
Аутор
Источно Сарајево, 2007. године
2
САДРЖАЈ
1. ТРАНСФОРМАЦИЈА ИЗРАЗА..................................................................................................3
2. ЈЕДНАЧИНЕ, НЕЈЕДНАЧИНЕ И СИСТЕМИ ......................................................................9
3. ТРИГОНОМЕТРИЈА .................................................................................................................22
4. ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ И ЛОГАРИТАМСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ, НЕЈЕДНАЧИНЕ И
СИСТЕМИ............................................................................................................................................33
5. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА...............................................................................................44
6. ЗАДАЦИ ЗА ВЈЕЖБУ ................................................................................................................51
ЛИТЕРАТУРА .....................................................................................................................................55
3
1. ТРАНСФОРМАЦИЈА ИЗРАЗА
1. Упростити израз
а затим одредити вриједност израза за a=10-3
и b= -10-2
.
Рјешење: Дати израз је дефинисан за a≠ 0 и b≠0.
За a=10-3
и b=-10-2 вриједност израза је
2. Одредити вриједност разломка
Рјешење:
3. Поједноставити сљедећи израз
ако је x=2mn/(n2+1), m>>>>1 и 0<<<<n<<<<1.
Рјешење:
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
4 22 1 2 1
32 2 1 1
,ab a b ab
a b a b a b
− − −− − −− − −− − −
− − −− − −− − −− − −
. 4
5
13
41
1362
22842
a
b
ba
ba
babbaa
babaab==
−
−
−−−
−−−
( )( )
. 10010
10
10
10-12
10
43
52-
−=−
=−
−
−
(((( ))))37 5 2 2 1
.4 2 3 3
+ −+ −+ −+ −
+ −+ −+ −+ −
( ) ( )( )
( )( ). 112
331
1212
331
1212
2
3 3
=−=−+
−+=
−+
−+
m x m x
m x m x
+ + −+ + −+ + −+ + −
+ − −+ − −+ − −+ − −
. 2
222 222222
x
xmm
x
xmm
xmxm
xmxmxm
xmxm
xmxm
xmxm
xmxm −+=
−+=
+−+
−+−++=
−++
−++⋅
−−+
−++
4
Ако у овај израз уврстимо x=2mn/(n2+1), тада добијамо сљедећи израз:
За m>1 и 0<n<1 имамо да је m(n
2-1) <0, па горњи израз добија облик:
4. Да ли је исправна пропорција
Рјешење:
Пропорција је исправна.
5. Упростити израз
Рјешење:
Израз је дефинисан за x≠0 и x≠±1.
( ) ( ) ( ) ( )=
−⋅
−
++=
−
−
++
4
2
2
44 2
4
2
2
44 2 1
1
11
1
1
11
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
2
11
2
11
2
421
1
2
1
4
222222
22222422
2
22
222
mn
nmnm
mn
nmnm
mn
nmmnmnmnm
n
mn
n
nmmm
−++=
−++=
=−++++
=
+
+−+
( ) ( ).
1
2
1122
nmn
nmnm=
−−+
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2
2 4 2 3 3 2 3 2 3 2 2 2
6 18 15 45 4 12 5 135: :
4 108 24 72 3 9 9 27
acm acm ac m ac a b cm a b c ab m ab m?
a m a m a m a b c m b c b cm b cm
− + − −− + − −− + − −− + − −====
− + − −− + − −− + − −− + − −
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
6
5
6
5
3
4
8
5
9
935
932
3
9
935:
3
4
8
5:
932
3
39
275:
33
34
324
315:
274
36
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
32
32
22
3
2
32
=
⋅=++
⋅++
++=
++
−
−
−
−=
+
+
−
−
c
a
a
c
c
mma
mma
c
c
mma
c
a
a
c
mma
c
mcmb
mmab
mcb
mcba
ma
mac
mma
macm
4 524
2 2 4
1 11 2 .
1
x xx x
x x x
+++++ + −+ + −+ + −+ + −
−−−−
1)1(111)1( 24 2 +=+=++=++= xxxxxx
5
6. Упростити израз
Рјешење:
7. Упростити израз
Рјешење:
2 2
2 2
2 4 2 4 .
2 4 2 4
x x x x
x x x x
+ + − + − −+ + − + − −+ + − + − −+ + − + − −++++
+ − − + + −+ − − + + −+ − − + + −+ − − + + −
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )84
44222
84
44222
42
42
42
42
222222
22
22
22
22
+
−+−+−++
+
−+−+++
=+−+
−−+
++−+
−++
x
xxxx
x
xxxx
xx
xx
xx
xx
.84
82882 22
xx
xxx=
+
−+++=
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) , ( , 0, 0 ) .
a x b x a x x bx ab a b
a x x b a x x b
+ + + − −+ + + − −+ + + − −+ + + − −= > >= > >= > >= > >
+ + − − −+ + − − −+ + − − −+ + − − −
( )2
22222
22
))((222
))((-))((
))(())((
xab
bxxabxax
bxxabxxa
bxxaxbxa
+
−−++=
−−++
−−+++
2
2222 ))((
xab
bxxabxax
+
−−++=
abx = Уврстимо
( )ab
baabbaab
abab
bababaabbaba
2
))(( 22 −++=
+
−−++
( ) ( )
( )
12
2 3
2
0 2
2
0 1
2
2
=⇒=
=+−+
<⇒<−
=−++
>⇒>−
•
•
•
a
aaba
a
ab
ab
babaab
baba
b
ab
ab
baabbaab
baba
6
8. Упростити израз
Рјешење:
( ) ( )( )
.122 2
2
22
2222
22
222
p
q
qp
qpqp
qp
qp=−
−+−
+=
9. Трансформисати сљедећи израз
2 3 4
2 2
1 11
1 11
a a an n n
n an a
n
− − − +− − − +− − − +− − − +
− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅ + −+ −+ −+ − −−−−
.
Рјешење:
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
21 1 1
2 22 2 2 2 2
1 1
2 22 2
1 1, , , 0 .
21 1
x x p qx p q pq
pqx x
−−−−− −− −− −− −
− −− −− −− −
+ + −+ + −+ + −+ + − ++++ = > ≠= > ≠= > ≠= > ≠ + − −+ − −+ − −+ − −
242
242
2
22
22
2
22
22
12
122
11
11
1
1
1
1
1
1
1
1
−−=
−
−−=
++−
+−−=
−−
+
−+
+
−
xxxx
xx
xx
xx
xx
1122424 −−−= xxx
1122
22
2
4
2
1
22
2
2
1
22
4
2
1
22
−−
+
+−
+=
pq
qp
pq
qp
pq
qp
( ) ( ) ( )1
42 22
22222
22
222
−−+
−+
=qp
qp
pq
qp
qp
qp
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
2 3 4 2 3 4
2 2 2 2
33 2
1 1 11
1 11 1
1 1.
1 1
a n a an n n a n n a an n n
n nn an a n an a
a n na n n a n n n
n n a n n a n n n
− − − + − − + − + + − − ⋅ = ⋅ ⋅ =
− −+ − + −
+ −− + + + + += =
+ − + −
7
10. Упростити израз:
(((( ))))2
3 2
1 3 3 2 11 .
1 1 1 1
xx x x x
x x x x x
−−−− − − + − + +− − + − + +− − + − + +− − + − + + + + − + ++ + − + ++ + − + ++ + − + +
Рјешење:
( )
( )( )( )
( )( ) .111
11
1
11
121
1
12
1
3331
32
22
2
22
2
3
2
−=++−=
++
+
+−⋅
+−+
++−=++
+
+−+⋅
+
++−+−−
xxxx
xxx
xx
xxx
xxxxx
x
xxx
x
xxxx
11. Упростити израз
4 31 1 2 8 16
22 2 4
x x xx
x x
− + −− + −− + −− + − − ⋅ −− ⋅ −− ⋅ −− ⋅ −
− +− +− +− + .
Рјешење:
( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( ) ( ) .224222
422
24
82
22
42
4
282
22
22
222
33
−=−+−=−+
+−+=
−+−
⋅+−
=−−+−
⋅+−
+−+
xxxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
12. Упростити израз
2 2 2
2 1 3 6
4 2 6 3 2
a xx
a x x x ax a x
++++ + ⋅ ++ ⋅ ++ ⋅ ++ ⋅ +
− + − − +− + − − +− + − − +− + − − +
Рјешење:
( )( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( ) xaxaxa
xaa
xaxaxa
a
xaxxxaxa
a
x
xx
xaxxxaxa
a
x
xx
aaxxxxa
a
2
1
22
22
2
1
22
2
323
1
22
2
2
23
332
1
22
2
2
63
362
1
4
2222
+=
+−
−−=
−−
+−
=+⋅−+
++−
=
+
++⋅
+−++
+−
=
+
++⋅
−−++
−
за х≠ - а/2.
8
13. Упростити израз
3 2
2 2 2
2 2 4 8.
4 4 4 2 1
a a a a a
a a a a a
− − +− − +− − +− − + − −− −− −− −
− + − + −− + − + −− + − + −− + − + −
Рјешење:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( ) ( )1
14
1
14
1
42
42
2222
1
242
2
2
42
2
2
2
2
2
2
2
2
22
+
−=
−
+−=
−
−−⋅
−−
−+−++=
−
−−−⋅
+−
−+
−
a
a
a
aa
a
aa
aa
aaaaa
a
aaa
aa
a
a
a
За 1−≠a .
9
2. ЈЕДНАЧИНЕ, НЕЈЕДНАЧИНЕ И СИСТЕМИ
1. Ријешити једначину:
2 2
1 1 1 1.
nx n mn mx mn nx mx m− = −− = −− = −− = −
− − − −− − − −− − − −− − − −
Рјешење:
Једначина је дефинисана за nxmxnm ≠∧≠∧≠ 0, .
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1111
nmxxmnx
xmnm
nm
nxmn
nm
mxmxmnxnmnxn
+=⇒−=−
−
+=
−
+
−−
−=
−−
−
2. Ријешити једначину
Рјешење: Дефиниционо подручје: x≠±1, тј. ∀x∈R\{-1,1}.
Рјешење је ∀x∈R\{-1,1}, тј. једначина је неодређена.
3. Ријешити једначину
Рјешење:
1 1 4 11 .
1 1 1 1
x x
x x x x
+ −+ −+ −+ − − = +− = +− = +− = +
− + + −− + + −− + + −− + + −
xx
x
x
x
x
x
x
xx
xxxx
44
1
4
1
4
1
11
1
4
1
1212
22
2
22
=
−=
−
−
−+⋅
+=
−
−+−++
2 2 2 7.
2 2 2 12
x x
x x
+ ++ ++ ++ +− =− =− =− =
+ ++ ++ ++ +
t.x
x=
+
+
2
22смјену Уводимо
( ) ( )+∞−∪−∞−∈⇒>+
+,12 0
22
2 :подручје оДефиницион ,x
x
x
24
257
012712
12
71
2,1
2
±=
=−−
=−
t
tt
tt
10
>
+
+=−=
=
отпада. рјешење ,02
22 је Како
4
3
3
4
22
1
tx
xtt
t
4. За које αααα из скупа реалних бројева рјешења квадратне једначине
2x2-ααααx+6=0 су:
а) реална и различита,
б) реална и једнака,
в) комплексна?
Рјешење:
Дискриминанта једначине је D=α2
-48.
5. Одредити све вриједности параметра m за које је квадратни трином
mx2-4mx+m
2+2m-3 позитиван за све вриједности промјенљиве x.
Рјешење:
Знамо да је ax
2+bx+c>0 за ∀x∈R ако су задовољени услови да је a>0 и D<0.
D=16m2-4m(m
2-2m-3)=-4m
3+8m
2+12m<0
-4m(m2-2m-3) <0
Из услова а>0 слиједи m>0, а то значи да је m2-2m-3>0.
m2-2m-3>0
(m+1)(m-3)>0 ⇒ m∈(-∞,-1) ∪ (3,+∞)
Због m>0 слиједи да је рјешење m∈(3,+∞).
6. Дата је једначина x2-2(a+1)x+3a+2=0. Дискутовати реалност рјешења.
Рјешење:
D=4(a+1)
2-4(3a+2)=4a
2-4a-4=4(a
2-a-1)
7
32161818
3
4
2
22
=
+=+
=+
+
x
xx
x
x
једнака. и реална рјешења ,2
51 0 2,1
±⇒= aD
различита. и реална рјешењасу случају у том ,,2
51
2
51 0
+∞
+∪
−∞−∈⇒> ,aD
( )( ) ( ) ( )
( )34,34 048 0 в)
34 048 0 б)
,3434, 3434 048 0 a)
2
2
2
−∈⇒<−⇒<
±=⇒=−⇒=
+∞∪−∞−∈⇒+−⇒>−⇒>
αα
αα
αααα
D
D
D
11
7. Дата је једначина 7(m+x)-11=m2-4+3(x+1). Одредити параметар m тако да рјешење
дате једначине буде негативно.
Рјешење: 7m+7x-11=m
2-4+3x+3
4x= m2—7m+10
x=( m2—7m+10)/4
За x<0 ⇒ m2—7m+10<0 ⇒ (m-2)(m-5) <0. Рјешење једначине је m∈(2,5).
8. За које вриједности једначина x4(a+3)-4ax
2+(1-a)=0(1) нема реална рјешења?
Рјешење:
Смјена: x2
=t
t2(a+3)-4at+1-a=0 (2)
Једначина нема реална рјешења ако је D<0.
D=16a2-4(a+3)(1-a)= 20a
2+8a-12<0 ⇒ a∈(-1,3/5).
Сада одредимо оне вриједности a за које су оба рјешења t1 и t2 једначине (2) негативна (да једначина (1)
не би имала реална рјешења). Ако су t1, t2<0, према Виетовим формулама је:
t1 + t2=4a/(a+3) <0 ∧ t1t2=(1-a)/(a+3)>0.
4a/(a+3) <0 ⇒ a∈(-3,0)
(1-a)/(a+3)>0 ⇒ a∈(-3,1)
Рјешење је a∈(-3,0), што заједно са a∈(-1,3/5) даје a∈(-3,3/5).
9. Дата је једначина x2+4tx-4(t+1)=0. Наћи све вриједности параметра t за које ова
једначина има реална рјешења.
Рјешење:
D≥0
D=16t2+16(t+1) ⇒ t
2+t+1≥0, а то је позитивно ∀t∈R.
10. Дата је једначина x2+4tx+2(t+1)=0. Наћи све вриједности параметра t за које ова
једначина има реална рјешења.
Рјешење:
D≥0
D=16t2-8(t+1) ⇒ 2t
2-t-1≥0
t1=1, t2= -1/2
Рјешење је: t∈(-∞,-1/2]∪[1,+∞).
12
11. Одредити све вриједности параметра p, тако да коријени једначине
x2-3px+p
2=0 задовољавају услов
Рјешење: По Виетовим формулама, за једначину ax
2+bx+c=0 важи x1+x2= -b/a , x1x2=c/a.
У нашем случају је x1+x2=3p, x1x2=p2.
Одавде ће бити :
12. Ријешити једначину
Рјешење: Дефиниционо подручје: (a-x)
2≠(b-x)2 ⇔ a-x≠ b-x ∧ a-x≠ b+x ⇒ a≠b ∧ x≠(a+b)/2.
13. Наћи све вриједности параметра t за које је неједначина
задовољена за свако реално x.
Рјешење:
Не постоји t∈R тако да је неједначина задовољена ∀x∈R.
3 3
2 2
( ) ( ) .
( ) ( )
a x b xa b
a x b x
− + −− + −− + −− + −= −= −= −= −
− − −− − −− − −− − −
[ ]
22
4)(
0)(
222
))((
)())(()()(
2
2,1
2
2222222
22
babaabbabax
abxbax
babaxbxbxbxaxabxaxa
baxbxaxbxa
xbxbxaxaxbxa
−±+=
−+±+=
=++−
+−=+−+−++−+−
−=+−−−+−
−+−−−−−+−
bx
ax
ba
=
=
>−
2
1
0 1�
ax
bx
ba
=
=
<−
2
1
0 2�
2 2
1 2
7.
4x x+ =+ =+ =+ =
( )4
72
4
722
4
7
212
21
212221
21
22
21
=−+
=−++
=+
xxxx
xxxxxx
xx
( )
2/1 ,2/1 4/1
4
77
4
723
212
2
22
−==⇒=
=
=−
ppp
p
pp
2
10
( 1) 4 3t x tx t<<<<
+ + + −+ + + −+ + + −+ + + −
Rtttt
tt
tttDt
ttxxt
∈∀>++⇒−−±−
=
<++
<−+−=∧<+
<−+++
,0323 нуле реалне нема 6
322
0323
0)3)(1(41601
034)1(
22,1
2
2
2
13
14. За коју вриједност параметра k∈∈∈∈R је задовољена неједначина kx2+3kx+k+2>0 , ∀∀∀∀x∈∈∈∈R?
Рјешење:
( )
∈⇒<−⇒>
−=−=
<∧>
5
8,0 085 0 je Kako
854
0 0
2
kkk
kkacbD
Dk
15. За које вриједности параметра m∈∈∈∈R важи неједнакост
Рјешење:
Рјешење је [ ).1,0∈m
16. За коју вриједност параметра k∈∈∈∈R важи неједначина
2 2
20,
2 2x R
kx kx k
−−−−> ∀ ∈> ∀ ∈> ∀ ∈> ∀ ∈
+ − ++ − ++ − ++ − +?
Рјешење:
( ) ( )( ) ( )
( )2,0због
,12,2,1
02024244
00022
21
2222
22
−∞−∈⇒<
+∞∪−∞−∈⇒−==
>−+⇒<−+=+−−=
<∧<⇒<+−+
kk
kkk
kkkkkkkkD
Dkkkxkx
17. За које m је тачна неједначина
mx2-2mx+m
2-2<0?
Рјешење: m≤0 ∧ D<0
D=4m2-4m(m
2-2)=4m(m-m
2+2)<0
Како је m<0 ⇒ - m2+m+2>0
( )2,1
2 ,1
2
31
2
91
21
2,1
−∈
=−=
−
±−=
−
±−=
m
mm
m
Рјешење је ( ]0,1−∈m .
2 2
30 , R ?
2 2x
mx mx m
−−−−< ∀ ∈< ∀ ∈< ∀ ∈< ∀ ∈
+ − ++ − ++ − ++ − +
0 0
02-222
<∧>
>++
Dm
mmxmx
2)(4 2 −+= mmmD
1) (-2,
0 2 0 је Kako 2
∈
<−+⇒>
m
mmm
14
18. Наћи сва рјешења једначине
Рјешење:
[ )
1 ,6
2
57
2
24497
067
634
,4 04 а)
21
2,1
2
2
==
±=
−±=
=+−
−=−
+∞∈⇒≥−
xx
x
xx
xxx
xx
( )
32
2
51
2
2411
06
634
4,04
21
2,1
2
2
=−=
−
±−=
−
+±−=
=++−
−=+−
∞−∈⇒<−
xx
x
xx
xxx
xx
,
б)
Рјешења једначине су: x= -2, x=3, x=6.
19. Ријешити неједначину
Рјешење:
-1 2
x+1 - + +
x-2 - - +
На основу табеле имамо сљедеће:
Рјешење је ( ).2,−∞∈x
20. Ријешити неједначину
Рјешење: -2 1
x+2 - + +
x-1 - - +
1 2 3, .x x x R+ − − < ∈+ − − < ∈+ − − < ∈+ − − < ∈
( ]1, :
33
321
]1,( а)
1 −∞−∈
<−
<−+−−
−−∞∈
xR
xx
x
( )2,1 :
2
321
]2,1( б)
2 −∈
<
<−++
−∈
xR
x
xx
x ( )
33
321
,2 в)
<
<+−+
+∞∈
xx
x
32 1 , .
2x x x x R+ − − < − ∈+ − − < − ∈+ − − < − ∈+ − − < − ∈
4 3( 2), R.x x x x− = − ∈− = − ∈− = − ∈− = − ∈
15
( ]
( ] ∅=
−∞−∩−
−<
−<−++
−∈
2
5,1,2:
2
5
2
312
12 б)
2R
x
xxx
,x ( )
( )
+∞=
+∞∩+∞
>
−<+−+
+∞∈
,2
9,
2
9,1:
2
9
2
312
,1 в)
3R
x
xxx
x
Рјешење је x∈(9/2,+∞).
21.Ријешити неједначину
Рјешење: Дефиниционо подручје: 3x+2≠0 ∧ x≠0, тј. x∈(-∞,-2/3)∪(-2/3,0)∪(0,+∞).
-4 -2/3
x+4 - + +
3x+2 - - +
+ - +
( ]
( )( )( )
( )0
23
12
023
2
01
23
4
1
23
4
4, )a
2
>+
−+
>+
−+
>−+
+
>+
+
−∞−∈
xx
xx
xx
xx
xx
x
xx
x
x
( )
2
417 ,
2
417
2
417
023
27
01
23
4
1
23
4
3
2,4 )б
212,1
2
−−=
+−=⇒
±−=
<+
+−
>−+
+−
>+
+−
−−∈
xxx
xx
xx
xx
x
xx
x
x
Види табелу 1. Види табелу 2.
Табела 1 -2 -2/3 0 1
x+2 - + + + +
x-1 - - - - +
x - - - + +
3x+2 - - + + +
k + - + - +
S: x∈(-∞,-2] ∪ (-2/3,0) ∪ [1,+∞)
R1 : (-∞,-4] ∩ S= (-∞,-4]
4 1.
3 2
x
x x
++++>>>>
++++
( ]
( ]1
а) 2
3 2 1
2
3
2
3 : , 2 ,
2
x ,
x x x
x
R
∈ −∞ −
− − + − < −
> −
−∞ − ∩ − +∞ = ∅
16
Табела 2 x2 -2/3 x1 0
x - - - - +
3x+2 - - + + +
x-x1 - - - + +
x-x2 - + + + +
k + - + - +
xx
x
x
1
23
4
,3
2 в)
>+
+
+∞−∈
( ] [ )
( )+∞∪
−=∩
+∞−∈
+∞∪
−∪−∞−∈
,10,3
2,
3
2:
,10,3
22,:
3 BxR
xB
Укупно рјешење је: R1∪ R2∪ R3=(-∞,-2/3)∪(-2/3,0)∪(1,+∞).
Рјешење је x∈(-∞,2).
22. Ријешити неједначину
||||x-1||||+||||x+3||||≤≤≤≤4.
Рјешење:
-3 1
x-1 - - +
x+3 - + +
( ]
3 :R
3
431
3, )
1 −=
−≥
≤−−+−
−−∞∈
x
x
xx
xa
( )
( )1,3 :
44
431
1,3 )
2 −∈
≤
≤+++−
−∈
xR
xx
xб
[ )
1 :R
1
431
,1 в)
3 =
≤
≤++−
+∞∈
x
x
xx
x
Коначно рјешење је [ ]1,3−∈x .
−−=∩
−−
+−∪
−
−−∈
3
2,4
3
2,4 :
0,2
417
3
2,
2
417:
2 AR
xA
17
(0,1) :
0
рјешење.) није 7
6
7
4 је Како(
7
4
1
1
22
1
R
x
yy
y
=
⇒<=
=
23. За које x∈∈∈∈R важи сљедећа неједнакост
||||x2-1||||<<<< 3 ?
Рјешење: -3<x
2-1<3
а) x2-1>-3 б) x
2-1<3
x2+2>0 (x-2)(x+2)<0
R1 :∀x∈R R2: x∈(-2,2)
Koначно рјешење је R=R1∩R2 ⇒ x∈(-2,2).
24. Ријешити систем једначина
Рјешење:
3 1 2
2 2 7 6 .
x y
x y y
+ + =+ + =+ + =+ + =
− + = −− + = −− + = −− + = −
( )7
6 067 6722
413
2>⇒>−∧−=+−
=++
yyyyx
yx
( )
04117
0287749
3684492332
33
2
2
2
=+−
=+−
+−=+−−
−=
yy
yy
yyyy
yx
36844922
33
2 +−=+−
=+
yyyx
yx
18
( ) ( )
4 2
1 1
1
01010
0913213
13
21
21
2
2
22
−=∧=
−=∧=
=
=−
=−−++−
−=
xx
yy
y
y
yyy
yx
3
2
9151
5
33
5
1 3
−<
+>−
+>−⇒>
b
b
byx
25. Ријешити систем једначина
Рјешење:
Рјешења су: (2,1) и (-4,-1).
26. Наћи све вриједности b∈∈∈∈R за које реални бројеви x и y задовољавају систем једначина
3x+y=b
x+2y=2b+1
при чему је x>>>>3y.
Рјешење:
27. Ријешити систем једначина
Рјешење:
(((( ))))
4
4 R .
x y
x y x, y
− =− =− =− =
+ = ∈+ = ∈+ = ∈+ = ∈
2 2 2 9 0
3 1 0 .
x y x
x y
+ + − =+ + − =+ + − =+ + − =
− + =− + =− + =− + =
( )0,4 :
0 ,4 4
4
0 0 0 a)
1R
yxyx
yx
yxyx
==⇒+
=+
=−
≥∧≥∧≥−
система.ог координатн
квадрантачетвртог област је D
D :R
4
4
0 0 0 б)
1
12 ∈∀
=−
=−
<∧≥∧≥−
yx,
yx
yx
yxyx
∅
≥∧<∧≥−
:R
0 0 0 в)
3
yxyx
)4,0(:R
4 ,0 4
4
0 0 0 г)
4 −
−==⇒+
=−−
=−
<∧<∧≥−
yxyx
yx
yxyx
5
3
3
5
1
122
226
+=
−=
−=
+
+=+
−=−−
by
xby
x
byx
byx
19
система.ог координатн
квадрантадругог област је
:
4
4
0 0 0 е)
2
27
D
Dyx,R
yx
yx
yxyx
∈∀
=+−
=+−
≥∧<∧<−
Укупно рјешење је: (4,0), (0,-4), (0,4), (-4.0), ∀ x,y∈D1 , ∀ x,y∈D2.
28. Ријешити систем једначина
Рјешење:
Рјешење је: x=0, y=1.
29. Ријешити систем једначина
Рјешење:
1 0
1 0 .
y x
y x
+ − =+ − =+ − =+ − =
− − =− − =− − =− − =
0
1
22
1
1
0y а)
=
=
=
+
=−
=+
≥
x
y
y
xy
xy
немогуће - 20
1
1
0y б)
=
+
=−−
=+
<
xy
xy
2 1 0
1 0 .
y x
y x
− + =− + =− + =− + =
− − =− − =− − =− − =
3
2
121
11
12
0y a)
=
=
−=−+
+=⇒=−
−=−
≥
y
x
xx
xyxy
xy
1
0
03
1
12
0 б)
−=
=
=−
=−−
−=−
<
y
x
x
xy
xy
y
( )4,0 :
4 ,0 4
4
0 0 0 д)
5R
yxyx
yx
yxyx
==⇒+
=+
=+−
≥∧≥∧<−
∅
<∧≥∧<−
:R
0 0 0 ђ)
6
y xyx
)0.4( :R
0 ,4 4
4
0 0 0 ж)
8 −
=−=⇒+
=−−
=+−
<∧<∧<−
yxyx
yx
y xyx
20
30. Ријешити систем једначина
Рјешење: -3 2 2-x + + -
x+3 - + +
Рјешења су: (-2,0) и (14,-8).
31. Ријешити систем једначина
Рјешење: -1 3
3-x + + -
x+1 - + +
Рјешења су: (-3,0) и (-1/3,4/3).
2- 4
3 2 1 .
x y
x y
+ =+ =+ =+ =
+ + =+ + =+ + =+ + =
3- 2 6
1 2 .
x y
x y
+ =+ =+ =+ =
+ + =+ + =+ + =+ + =
( )
7 ,8 21
623
,3 в)
−==⇒
=++
=+−−
+∞∈
xyyx
yx
x
( ]
3 ,0 21
623
1, a)
−==⇒
=+−−
=+−
−−∞∈
xyyx
yx
x( ]
3
1 ,
3
4
21
623
3,1 б)
−==⇒
=++
=+−
−∈
xyyx
yx
x
( ]
( ]
a) , 3
2 4 2, 0
3 2 1
Нема рјешења јер - ,-3
x
x yy x
x y
x
∈ −∞ −
− + = ⇒ = =
− − + =
∉ ∞
( ] б) 3,2
2 4 0, 2
3 2 1
x
x yy x
x y
∈ −
− + = ⇒ = = −
+ + =
( ) в) 2,
2 4 8, 14
3 2 1
x
x yy x
x y
∈ +∞
− + + = ⇒ = − =
+ + =
21
32. Ријешити систем једначина
3 2 2 2
1 0.
x y
x y
+ + =+ + =+ + =+ + =
− − − =− − − =− − − =− − − =
Рјешење: -∞ -1 1
2y+2 - + +
y-1 - - +
a)
( )( )
рјешење није - 7 ,6 01
2223
1,
==⇒
=−+−
=+−
−−∞∈
yxyx
yx
y
б)
( )( )
5
3 ,
5
2
01
2223
1,1
=−=⇒
=−+−
=++
−∈
yxyx
yx
y
в)
( )( )( )
3 ,2 01
2223
,1
=−=⇒
=−−−
=++
+∞∈
yxyx
yx
y
33. Наћи рјешења система неједначина
3x2-2x-1>>>>0 (1)
x2+x-6<<<<0 (2).
Рјешење:
Из (1) слиједи (x-1)(x+1/3)>0 , па је рјешење (1) x∈(-∞,-1/3) ∪ (1,+∞).
Из (2) слиједи (x-2)(x+3)<0 , па је рјешење (2) x∈(-3,2).
Рјешење система неједначина добијамо из [(-∞,-1/3)∪(1,+∞)]∩(-3,2)=(-3,-1/3)∪(1,2).
22
2 2 2 2
1 1 1 17 .
sin tg ctg cosα α α αα α α αα α α αα α α α+ + + =+ + + =+ + + =+ + + =
3. ТРИГОНОМЕТРИЈА
1. Доказати
Рјешење:
2. Израчунати sin22αααα ако је
Рјешење:
2
2 2 2 2
1 1 2cos( ) sin ( ) .
sin sin sin sin sin sin
α β α βα β α βα β α βα β α β
α β α β α βα β α β α βα β α β α βα β α β α β
− −− −− −− −+ − =+ − =+ − =+ − =
7cossin
sinsincoscos
7cos
1
cos
sin
sin
cos
sin
1
22
2442
22
2
2
2
2
=+++
=+++
αα
αααα
αα
α
α
α
α
9
82sin
9
8cossin4
9
2cossin
2cossin9
cossin7sincos1
2
22
22
22
2244
=
=
=
=
=++
α
αα
αα
αα
αααα
=−−−−−+
=
=−−+
=
=+−+
=
βα
αββαβαβαβα
βα
βαβαβαβα
βα
βαβαβαβα
22
222222
22
2222
22
22
sinsin
)cos1(sin)cos1(sinsinsincoscos2sinsin
sinsin
sinsin2sinsincoscos2sinsin
sinsin
sinsin)sinsincos(cos2sinsin
βα
βα
βα
αββαβαβα
βα
αβββααβαβαβα
22
2
22
2222
22
22222222
sinsin
)(sin
sinsin
cossinsinsincoscos2cossin
sinsin
cossinsincossinsinsinsincoscos2sinsin
−=
=+−
=
=+−+−−+
=
=−
−+βα
βα
βα sinsin
)cos(2
sin
1
sin
122
23
3. Доказати идентитет
Рјешење:
4. Доказати да вриједи tgααααtgββββ+tgββββtgγγγγ+tgγγγγtgαααα=1 ако је αααα+ββββ+γγγγ=ππππ/2.
Рјешење:
5. Доказати
Рјешење:
1 cos(2 630 ) sin(2 810 )ctg .
1 cos(2 630 ) sin(2 630 )
x xx
x x
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +====
− − + +− − + +− − + +− − + +
� �� �� �� �
� �� �� �� �
xxxx
xxx
xxxxxx
xxxxxx
xx
xx
xxxx
xxxx
ctg)sin(cossin2
)sin(coscos2
sincoscossin2cossin
sincoscossin2cossin
2cos2sin1
2cos2sin1
630sin2cos630cos2sin630sin2sin630cos2cos1
810sin2cos810cos2sin630sin2sin630cos2cos1
1810sin ,0810cos ,90720810
1630sin ,0630cos ,90720630
2222
2222
=+
+
=+−++
−+++=
−+
++
=++−−
++−+
==+=
−==−=
����
����
�����
�����
=
+−+
+−+
=−+−=
αβαπ
βαπ
ββα
πβα
πγ
tg)(2
tg)(2
tgtgtgtg
ctg)2
tg( ),(2
xx
1tgtg
tgtg
tgtg
tgtgtgtgtgtgtgtgtgtg
tgtgtg
tgtg1
tgtg
tgtg1tgtgtg
tg)ctg()ctg(tgtgtg
2222
=+
+=
=+
−+−++=
=+
−+
+
−+=
=++++=
βα
βα
βα
βααβαββαβα
αβα
βα
βα
βαββα
αβαβαββα
2 2 sin 2sin ( ) sin ( ) , ( ).
8 8 2R
π π απ π απ π απ π αα α αα α αα α αα α α+ − − = ∈+ − − = ∈+ − − = ∈+ − − = ∈
2
2sin2sin
2
22sin
4sin
2sin)]88
sin()88
[sin(2
12cossin
8sin
8cos4
2
88cos2
88sin22
88sin2
88cos2
)8
sin()8
sin()8
sin()8
sin(
ααα
π
αππππ
ααππ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
απ
===
=−−+⋅==
=
+−+−++
⋅
+−+−++
=
=
−++
−−+
24
6. Доказати идентитет
cos4αααα+4cos2αααα+3=8cos4αααα.
Рјешење: cos
22α-sin
22α+4cos2α+3=8cos
4α
(cos2α-sin
2α)2-4sin
2αcos2α+4(cos
2α-sin2α)+3=8cos
4α
cos4α-2sin
2αcos2α+sin
4α-4sin2αcos
2α+4cos2α-4sin
2α+3=8cos4α
cos4α-6(1-cos
2α)cos2α+4cos
2α+(1-cos2α)
2-4(1-cos
2α)+3=8cos4α
cos4α-6cos
2α+6cos4α+4cos
2α+1-2cos2α+cos
4α-4+4cos2α+3=8cos
4α
8cos4α=8cos
4α
7. Доказати једнакост
sin 20 cos10 cos160 cos100
1 .sin 21 cos 9 cos159 cos 99
++++====
++++
� � � �� � � �� � � �� � � �
� � � �� � � �� � � �� � � �
Рјешење:
[ ] [ ]
[ ] [ ]1
258cos12sin1
260cos10sin1
258cos2
112sin
2
1
260cos2
110sin
2
1
258cos60cos2
112sin30sin
2
1
260cos60cos2
110sin30sin
2
1
=++
++=
+++
++=
+++
+++
��
��
��
��
����
����
( )( ) ����
����
12sin12270cos258cos
10sin10270cos260cos
−=−=
−=−=
8. Доказати идентитет
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
2 2 2 2
3 3
cos 2sin cos 4sin sin 2 .
cos 4 cos 4sin 1 cos
α α π α α α πα α π α α α πα α π α α α πα α π α α α π
α π α α αα π α α αα π α α αα π α α α
+ − + + ++ − + + ++ − + + ++ − + + ++ =+ =+ =+ =
− +− +− +− +
Рјешење:
( )( )( )
( )
αα
αα
ααα
ααα
ααα
α
αα
απα
απα
απα
33
33
222
3
22
3
22
cos
2
cos
2
cos
2
cos
cossin2cos
cos
2
1sin4cos
sinsin4cos
cos
sin2cos
cos4cos
sinsin
sinsin
=
=++
=+
+++
+
=−
−=−
−=+
25
9. Доказати идентитет
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
3 3 2
2 2
2 sin cos 1 2cos .
1 sin cos 1 sin cos cos 1tg tg
α α αα α αα α αα α α
α α α α αα α α α αα α α α αα α α α α α αα αα αα α
+ ++ ++ ++ += −= −= −= −
+ − −+ − −+ − −+ − − −−−−
Рјешење:
( )( )( )( )
( )
1
2
1
2
1
2
cossin
cos2
1
2
cossin
cos2cossin2
1
2
cossin
cos21coscossin2sin
1
2
cossin
cos21cossin
1
2
cossin
cos21
cossin1cossin
cossincossincossin
22
2
22
222
22
22
22
222
+=
+
+=
+
+=
−
−
+=
−
−−++
+=
−
−−+
+=
−
+−
−−
−++
αα
ααα
α
ααα
ααα
ααα
ααααα
ααα
ααα
ααα
α
αααα
αααααα
tgtg
tg
tg
tg
tg
tg
10. Одредити sinαααα и cosαααα ако је 3 sinαααα+4 cosαααα=5.
Рјешење:
11. Ријешити једначину cos22x+sin
4x=2.
Рјешење:
.2cos :Смјена
072cos22cos5
2)2cos1(4
12cos
)2cos1(2
1sin
2
22
2
mx
xx
xx
xx
=
=−−
=−+
−=
2)12()12(212cos
немогуће 5
72cos
1 ,5
7
0725
21
2
ππ +=⇒+=⇒−=
−=
−==
=−−
kxkxx
x
mm
mm
( )5
3sin ,
5
4cos
016cos4025cos
1cos3
4cos-5 1cos sin
3
4cos-5sin 4cos-53sin
1,2
2
22
2
==
=+−
=+
⇒=+
=⇒=
αα
αα
αα
αα
αααα
26
12. Ријешити једначину sin4x+sinx=sin3x+sin2x.
Рјешење:
13. Ријешити једначину
Рјешење:
(да би имала реална рјешења)
2cos
2
5sin
2
3cos
2
5sin
2
23cos
2
23sin2
2
4cos
2
4sin2
xxxx
xxxxxxxx
=
−+=
−+
02
sinsin2
5sin
0)2
22
3
sin2
22
3
sin2(2
5sin
0)2
cos2
3(cos
2
5sin
=
=−+
−
=−
xx
x
xxxx
x
xxx
:,...2,1,0 ,202
sin в)
0sin б)
5
2
2
50
2
5sin а)
3
2
1
±±==⇒=
=⇒=
=⇒=⇒=
kkxx
kxx
kxk
xx
π
π
ππ
2
2tg 3.
1
x
x x
ππππ= −= −= −= −
+ ++ ++ ++ +
1 ,0 ,1
0)1)(3
5(0523
,0)13(4)73(
013)73()13(
)1)(3(6
,31
2
321
2
22
2
2
2
==−=
≤−+⇒=−+
∈≥−−−=
=−+−+−
+++−=
∈+−=++
kkk
kkkk
ZkkkD
kxkxk
xxkx
Zkkxx
x
πππ
πππ
10121 За
2
5370170 За
2 ,2
102521 За
6,52
3
4,32
2
212
1
=⇒=+−⇒=
±−=⇒=++⇒=
−=−=⇒=++⇒−=
xxxk
xxxk
xxxxk
. ,5
2:су Рјешења 21 π
πkx
kx ==
27
14. Наћи сва рјешења једначине
Рјешење:
Дефиниционо подручје: 1+ctg
2x≠0, ∀x∈R.
15. а) Ријешити једначину
б) Колико има рјешења у сегменту [5ππππ,7ππππ]????
Рјешење:
б) У сегменту [5π,7π] налазе се два рјешења и то су : x=6π и x=5π/3+4π=2π/3+5π.
2
25sin 2.
1 ctgx
x= −= −= −= −
++++
Zkkx
Zkkxx
x
tt
tt
tx
xx
x
x
x
∈π+π
=
∈π+π
=⇒=
−=
==
=+−
=
=+−
−=
+
,26
5
,26
2
1sin
немогуће 2sin
2
1 ,2
0252
sin :Смјена
02sin5sin2
2sin5
sin
cos1
2
2
1
21
2
2
2
2
sin cos 1 .2
xx+ =+ =+ =+ =
Z ,43
5
Z ,26
5
2
2
1
2sin 3
,43
Z ,262
2
1
2sin 0
2sin21 2
Z ,2 02
sin 1
02
sin212
sin
02
sin22
sin
2sin2cos1
2sin 1cos
2sin a)
2
2
∈π+π
=
∈π+π
=⇒=
π+π
=
∈π+π
=⇒=⇒=−
∈π=⇒=
=
−
=−
=−=⇒=+
mmx
mmxx
nx
nnxxx
kkxx
xx
xx
xx
xx
x
m
n
k
�
�
�
28
16. Наћи нуле функције
Рјешење:
17. а) Ријешити једначину
б) Колико има рјешења у сегменту [[[[ππππ, 3ππππ]]]]?
Рјешење:
а)
б)
2 2 2 2f ( ) cos 2 sin -sin cos -2 .x x x x x= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅
( )( ) ( )
5
1- 1, 01-4-5 sin :Смјена
01-4sin-5sin
02sin-1sin-sin2sin-1
02-cossin-sinsin-cos
02-cossin-sin2cos
2122
24
22222
222222
2222
==⇒=⇒=
=
=−+
=⋅+
=⋅+
ttttxx
xx
xxxx
xxxxx
xxxx
sin4 -sin3 sin2 -sin .x x x x====
.5
14 ,
5
12 ,
5
8 ,
5
6 ,3 ,2 , 7654321
πππππππ ======= xxxxxxx
{ }2,...1,0,,, , 0sin
5
2 0
2
5sin ,2 0
2sin
0sin 02
5sin 0
2sin
0sin2
5sin
2sin
0 2
2
3
2
7
sin2
2
3
2
7
sin22
sin
2:02
3cos
2
7cos
22sin
2sin
2
32cos
2sin
2
72cos
±±∈=⇒=
=⇒==⇒=
=∨=∨=
=
=
−+
−
=
−
=
smksxx
mxx
kxx
xxx
xxx
xxxx
x
xxx
xxxx
s
mk
π
ππ
29
18. а) Ријешити једначину
б) Колико има рјешења у сегменту [[[[2ππππ, 4ππππ]]]]?
Рјешење:
а)
б) .3
10 ,3 21
ππ == xx
19. Ријешити једначину
sinx+sin3x+sin2x=1+cos2x+cosx.
Рјешење:
( ) ( )( )( )( ) ( )
Zssxxx
Znmnx
mxxx
Zkkxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
s
n
m
k
∈π+π
=⇒=⇒=
∈π+π
=
π+π
=⇒−=⇒=+
∈π+π
=⇒=
=−∨=∨=+
=−+
=−+
+=+
+=+
+=+
−
,26
2
1sin 01-sin2
, 23
4
23
2
2
1cos 01cos2
,2
0cos
01sin2 0cos 01cos2
01sin2cos1cos2
0cos2sin1cos2
1cos2cos1cos22sin
coscos22sincos2sin2
coscos22sin2
2cos
2
4sin2
2
2
cos cos 1 .2
xx− =− =− =− =
{ }2,...1,0, , ,
43
2 2
32
43
2 2
32 0
2cos21
±±∈
+−=⇒+−=
+=⇒+=⇒=−
snk
sxsx
nxnxx
s
n
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
ππ
kx
kxx
xxxx
xxxx
x
k 2
22 0
2cos
02
cos21 02
cos 02
cos212
cos
2cos
2cos2
2cos cos1
2cos
+=
+=⇒=
=−∨=⇒=
−
−=⇒+=
30
20. Ријешити једначину
sin
ctg 21 cos
xx
x+ =+ =+ =+ =
++++ .
Рјешење: Zsksxkxxx ∈+≠≠⇒≠∧≠ , ,2 , -1cos 0sin :подручје оДефиницион πππ
( )
( ) ( )
( )( )( )
ππ
ππ
kxkxx
xxx
xxx
xxxxxx
xxxxx
xxx
x
x
x
26
5 ,2
6
2
1sin
0sin21 0sin211cos
cos1sin21cos
cossin2sin2sincoscos
cos1sin2sincos1cos
cos1sin 2cos1
sin
sin
cos
22
2
+=+=⇒=
=−⇒=−+
+=+
+=++
+=++
+⋅=+
+
21. Ријешити тригонометријску једначину
21 cos 2 sin 3 cos2
x x xππππ
− = − +− = − +− = − +− = − +
.
Рјешење:
( )( )
( )
Zkmmxx
kxx
kxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
xxx
xxxxx
xxx
xx
m
k
k
∈+=⇒=
=⇒=
=⇒=
=−∨=∨=
=−
=−
=−
=
−+=
+=−
−=
+
, ,22
1sin
2 0cos
2 02sin
01sin 0cos 02sin
01sincos2sin
0cos2cossin22sin
0cos22sin2sin
cos2sin22sin
2
3cos
2
3sin22sin
sin3sin2cos1
sin2
cos
2
2
2
ππ
π
π
π
31
22. Наћи оно рјешење неједначине
за које је x∈∈∈∈(0,2ππππ).
Рјешење:
<+
<−
>+
>−
>+−
>−⇒<−
−
0)cos21(
0)cos21( или
0)cos21(
0)cos21(
0)cos21)(cos21(
0cos410cos41
cos2 2
2
2
x
x
x
x
xx
xx
x
23. Ријешити неједначину
3 3 5cos cos 3 sin sin 3
8x x x x− >− >− >− >
Рјешење:
( ) ( )
( ) ( )
212212
23
4232
14cos
4
5
2
4cos14cos
4
52cos2cos4cos
4
5sincos2cossincos4cos
8
54cos2cossin
2
12cos4coscos
2
1
8
53sinsinsin3coscoscos
2222
22
22
π+
π<<
π+
π−
π+π
<<π+π
−⇒>
>+
+
>+
>−++
>−−+
>−
kx
k
kxkx
xx
xxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
2
1 cos 1 cos
1 2cos 1 4cos
x x
x x
− +− +− +− +<<<<
− −− −− −− −
0cos41
cos1)cos21)(cos1(
0cos41
cos1
cos21
cos1
2
2
<−
−−+−
<−
+−
−
−
x
xxx
x
x
x
x
3
4,
3
2,
3
5,
3 0cos210cos21 :подручје оДефиницион
ππππ≠⇒≠+∧≠− xxx
}3
{\)3
5,
3
4()
3
2,
3( :Рјешење
πππππ±∪∈x
32
)( ,2
0)cos(
)( ,262
3)cos(
0)cos(
0sinsincoscos)1()2(
2
3)cos(
2
3coscossinsin)2()1(
Zkkyxyx
Znnyxyx
yx
yxyx
yx
yxyx
∈+=+⇒=+
∈+±=−⇒=−
=+
=−⇒−
=−
=+⇒+
ππ
ππ
24. Ријешити неједначину
2 1 3 3cos cos .
2 4x x
−−−−− <− <− <− <
Рјешење:
ππ
ππ
ππ
ππ
kxk
kxk
xttt
tt
tt
tx
23
52
6
7
26
52
3
2
1cos
2
3
2
1,
2
30
2
3
2
1
2
3 ,
2
1
04
3
2
31
cos :Смјена
21
2
+<<+
+<<+
<<−⇒
−∈⇒<
+
−
−==
<−−
−
=
25. Ријешити систем једначина
Рјешење:
3(1) sin sin
4
3(2) cos cos .
4
x y
x y
====
====
1
1
226
2 (2 )3
2
(2 )3 2
( 2 )6 2
x y n
x n k
x y k
x n k
y k n
ππ
ππ
ππ
π π
π π
− = +
⇒ = + ++ = +
= + +
= + −
2
2
26
2 (2 )3
2
(2 )6 2
( 2 )3 2
x y n
x n k
x y k
x n k
y k n
ππ
ππ
ππ
π π
π π
− = − +
⇒ = + ++ = +
= + +
= + −
33
4. ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНЕ И ЛОГАРИТАМСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ, НЕЈЕДНАЧИНЕ И
СИСТЕМИ
1. Ријешити једначину 5⋅⋅⋅⋅32x-1-9
x-0.5=9
x+4⋅⋅⋅⋅32x-2
.
Рјешење:
Једначина нема рјешење.
2. Ријешити једначину
Рјешење:
3. Ријешити једначину
Рјешење:
( )
03 09
41
3
43
034334
0343335
343335
22
22212
2221212
2225.0212
=⇒=
−−
=⋅−−⋅
=⋅−−−⋅
⋅+=−⋅
−−
−−−
−−−
xx
xxx
xxxx
xxxx
(((( ))))3 81 10 9 3 0 0 .x x x− + = ≠− + = ≠− + = ≠− + = ≠
2 33 3
19
2 33 39
3
1 ,3
03103
9 :Смјена
0391093
1
2
2
21
2
2
−=⇒=⇒=
=⇒=⇒=
==
=+−
=
=+−
− x
x
tt
tt
t.
xx
xx
x
xx
1 23 3 4 3 5 3 202.5 2 .
x x x x+ ++ ++ ++ +⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
( )
3 x 2
3
2
3
8
27
2
3 2
2
405603
22
405353433
3
2
=⇒
=
⇒=⇒⋅=⋅
⋅=⋅+⋅+
x
x
xxx
xx
34
4. Ријешити једначину
Рјешење: Област дефинисаности: x>0.
Уведимо смјену: logx=t.
5. Ријешити једначину logx-1(x2-5x+10)=2.
Рјешење:
Дефиниционо подручје: x2-5x+10>0 за ∀x∈R, x-1>0 ∧ x-1≠1, тј. x>1 и x≠2.
x2-5x+10=(x-1)
2
x2-5x+10- x
2+2x+1=0 ⇒ -3x+9=0 ⇒ x=3
6. Ријешити једначину
Рјешење: Дефиниционо подручје: x-1>0 ∧ x>0 тј. x>1.
1)1log(100
5log
)1log(25loglog
)1log(4
1215log
2
1log
2
1
−−=
−−=−+
−−=−+
xx
xx
xx
4 ,5
020
1
1
20
21
2
−==
=−−
−=
xx
xx
x
x
Рјешење је x=5, јер x=-4 не припада дефиниционом подручју.
2 3log 1 2 log0.4 6.25 0.x x+ −+ −+ −+ −− =− =− =− =
( )xx log3221log
5
2
5
22 −−+
=
05log6log
log641log
2
2
=+−
+−=+
xx
xx
10 1log
10 5log
1 ,5
056
5
21
2
=⇒=
=⇒=
==
=+−
xx
xx
tt
tt
(((( ))))
1
21
log log 5 12 log 0,01 .
1log 1
4
x
x
+ −+ −+ −+ −====
−−−−
35
1 ,3
2
0253
02tg5tg3
02cossin5sin
21
2
2
2
−=−=
=++
=++
=++
tt
tt
xx
xxx
7. Ријешити једначину 0,1xlogx-2
=100.
Рјешење:
Дефиниционо подручје: x>0.
8. Наћи сва рјешења једначине
Рјешење: Дефиниционо подручје: sin
2x+5sinxcosx+5>0, ∀x∈R.
Рјешење је: tgx=-1 ∧ tgx=-2/3.
( )
1
3
21
2
2
32log
32log
10 1log
10 3log
1 ,3
032
log :Смјена
03log2log
3log2log
10loglog
10
−
−
−
=⇒−=
=⇒=
−==
=−−
=
=−−
=−
=
=
xx
xx
tt
tt
tx
xx
xx
x
x
x
x
21
2
log (sin 5sin cos 5) 14 .
9
x x x+ ++ ++ ++ +
====
244
4
4
2
1
1loglog2
2
1log
loglog
log
loglog
aa
aa
b
aa
c
cb =−==⇒=
9
14
224 )5cossin5(sinlog =
−++ xxx
0)2cossin5)(sin8cossin5(sin
9)5cossin5(sin
22
22
=++++
=++
xxxxxx
xxx
рјешења реална нема 0
0859
.tg :Смјена
08tg5tg9
)tg1
1(cos ,0
cos
8tg5tg
)2
( 0cos:/08cossin5sin
2
2
2
2
2
2
22
⇒<
=++
=
=++
+==++
+≠≠=++
D
tt
tx
xx
xx
xxx
kxxxxx ππ
36
9. Ријешити једначину
Рјешење:
10. Ријешити једначину
3 2 1
2log 6 28 2 .x++++ + =+ =+ =+ =
Рјешење:
Дефиниционо подручје:
+∞−∈⇒−≥⇒≥+ ,
2
1
2
1012 xxx
2
3
412
212
366
64286
4286
12
12
3 12
=
=+
=+
=
=+
=+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
(((( ))))2
22
60.5 log 7
11
1 1 .
21 1 1 1
x xx
x x
−−−− − ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =
+ − + ++ − + ++ − + ++ − + +
)(0,0
-10
011
011
:подручје оДефиницион
+∞∈⇒
>
≥∧≠⇒
≠++
≠−+x
x
xx
x
x
( )
142log12
12
7
7
2log
11
67-log42
1
11
67log22
1
22
22
22
22
2
22
2
21-1
1111
xx
x
x
xxx
x
xx
x
xx
x
xx
x
=⋅
=⇒=⋅
=⋅+
++−++
⋅
−
8
1-3log ,42log ,21log
3 ,2 ,1067-
log t:Смјена
067log-log
01214log-log2
loglog2log
322212
3213
2
23
2
23
2
142
2log2
122
22
=⇒==⇒==⇒=
−===⇒=+
=
=+
=+
=+
xxxxxx
ttttt
x
xx
xx
xxx
37
11. Ријешити једначину
Рјешење:
12. Ријешити једначину
log 10 .xx ====
Рјешење:
Дефиниционо подручје: x>0, x≠1.
100
1 ,100
2log 2log 4log
2log2
1 10loglog
log100
21
2
22log
log
==
−=∧=⇒=
=⇒=
=
xx
xxx
xx
x
x
x
13. Ријешити једначину
(((( ))))1
1
56
log 5 25 2x x++++ − = −− = −− = −− = − .
Рјешење:
( )
1251931364254
031365
5 :Смјена
03136555
5655
56255
1 21 55 0255 :подручје оДефиницион
2
2
2
221
211
211x
−=⋅−=−=
=+−
=
=−−⋅
=−
=−
<⇒>+⇒>⇒>−
+
−−+
++
acbD
tt
t
xxx
x
xx
xx
xx
xxx
Како је D<0 то значи да немамо реална рјешења.
3 -1log 75 5 1 .x+ =+ =+ =+ =
9 21-
55 255
100575 10575
R :подручје оДефиницион
33
21-1-
1-21-
33
33
=⇒=
=⇒=
=+⇒=+
∈∀
xx
x
xx
xx
38
14. Ријешити једначину
2log 50.01
xx
−−−− ==== .
Рјешење: 1 0 :подручје оДефиницион ≠∧> xx
( )
10 2
1log
100 2log
2
1 ,2
4
35
4
16255
0252
log :Смјена
02log5log2
10loglog5log2
log10
21
2,1
2
2
2
25log2
=⇒=
=⇒=
==
±=
−±=
=+−
=
=+−
=−
=
−
−−
xx
xx
tt
t
tt
tx
xx
xx
xx
15. Ријешити једначину
(((( )))) (((( ))))2
32 1
log 10 1 log 33 3
x x− − + =− − + =− − + =− − + = .
Рјешење:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
1
88
6912 31
103
110
13
110log
13log1-log10
3
13log
3
2-1-log10
3
1
3 03 :подручје оДефиницион
2222
2
2
2
2
22
2
−=
=−
++=+−⇒+=−
=+
−
=+
−
=+−
=+
−>⇒>+
x
x
xxxxxx
x
x
x
x
xx
xx
xx
39
16. Ријешити једначину
21 log4
xx
++++ ==== .
Рјешење:
( )
4
1 2log
2 1log
2 ,1 02
log :Смјена
02loglog
2loglog1
4loglog
1 0 :подручје оДефиницион
22
12
212
2
222
22
2log1
22
=⇒−=
=⇒=
−==⇒=−+
=
=−+
=+
=
≠∧>
+
xx
xx
tttt
tx
xx
xx
x
xx
x
17. Ријешити једначину
(((( )))) (((( )))) (((( ))))12 log 2 1 log 5 1 log 5 5x x−−−−− + + = +− + + = +− + + = +− + + = +
Рјешење: Д.П. х ≥ 0.
.9355
)0 је јер рјешење није(1
,125
01251245
012551245
2555
15100
55
154
255
154
log
055log15log22log
3
2
1
2
2
11
1
12
=⇒=⇒=
>−=
=
=−−⇒=
=−⋅−
⇒⇒=+
+⇒=
+
+
=+
+
=
+−
++−
−−
−
−
xx
tt
t
ttt
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
xx
���
40
18. Ријешити једначину
2
3 3
3log log log 100.
xx
x+ =+ =+ =+ =
Рјешење: Д.П. х ≥ 0 1≠∧x
( )
( )
9
12log
31log
2 ,102log
рјешење није ,10log
0log2loglog
0log2loglog1
3log3logloglog1
1log3log
log
3log
1
1loglog3log
3
3
212
3
3
332
3
32
33
332
33
23
3
3
3
2333
=⇒−=
=⇒=
−==⇒=−+⇒=
=⇒=
=−+
=−+
=⋅+−
=+−
=+−
xx
xx
tttttx
xx
xxx
xxx
xxxx
xx
x
x
xxxx
Рјешења једначине су 9
13 =∧= xx .
19. Ријешити једначину
.4log25,016log4
1223log
14414 ⋅+−=−
− +−+
xxx
Рјешење:
1
Дефиниционо подручје: 4 1 0 4
x x+ ≥ ⇒ ≥ −
( )
( )
2
141
14414
14114414
14114414
14414
214414
14414
214414
10log2
23log
10log22log23log
2log223log
2log141223log
1412log2
1223log
4log2
144log
2
1223log
4log4
14log
4
1223log
=−
=−
−
=−
−
+−=−
−
+−⋅=−
−
⋅+
−=−
−
⋅+−=−
−
+−
+−+
+−+−+
+−+−+
+−+
+−+
+−+
+−+
x
xx
xxx
xxx
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
41
2
02
16
123
1233
9
123
2
2
22
22
2
−=
=+
=
=⋅
=⋅⋅
=⋅
+=
+
++
+
+
x
x
xy
x
xx
xx
xx
2002
223
1002
23
14
14414
141
14414
=⋅−
=−
+−
+−+
+−
+−+
x
xx
x
xx
2 314
66
21623
20022
3
314
1414
4
14
14
=⇒=+
=
=⋅
=−
+
++
+−
+
xx
x
xx
x
x
20. Ријешити неједначину
Рјешење:
Дефиниционо подручје: x>0 ∧ logx≠0 ∧ 1-logx≠0; слиједи да је x∈(0,1)∪(1,10)∪(10,+∞).
Смјена: logx=t
Како је 1-t+t
2>0 за ∀x∈R слиједи t(1-t)>0 ⇒ t∈(0,1).
0<logx<1 ⇒ 1<x< 10
Рјешење је x∈(1,10).
21. Ријешити систем једначина
Рјешење :
1 11.
log 1 logx x+ >+ >+ >+ >
−−−−
0)log1(log
loglog1
01)log1(log
1
2
>−
+−
>−−
xx
xx
xx
( )0
1
1 2
>−
+−
tt
tt
13 2
9
2 .
x y
y x
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
− =− =− =− =
42
22. Ријешити систем једначина
Рјешење:
Дефиниционо подручје: y>0 ∧ x>0 yx >∧3 .
Логаритмујмо прву једначину (са основом y).
Другу једначину можемо написати као:
Рјешење је x=16/9, y=4/3. Нема рјешења.
23. Ријешити систем једначина
22x⋅⋅⋅⋅32y+1
+16⋅⋅⋅⋅22y=48⋅⋅⋅⋅32y
2x⋅⋅⋅⋅3y
+4⋅⋅⋅⋅2y=8⋅⋅⋅⋅3y
.
Рјешење: Подијелимо прву једначину са 32y
, а другу са 3y:
5log 2
4log log (3 ) 1 .
y x
y
y x x
y x y
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ =
⋅ − =⋅ − =⋅ − =⋅ − =
2
1 ,2
012
5
.log: Смјена
01log2
5log
log2
5log1
logloglog
21
2
2
2
2
5log
==
=+−
=
=+−
=+
=+
tt
tt
tx
xx
xx
xxy
y
y
y
y
x
yy
y
y
y
1,3
4
043
43 )а
21
2
2
−==
=−−
=
=−
yy
yy
yx
yx
2
1693
043
43 )б
2,1
2
−±=
=+
=
=−
x
x-x
yx
yx
43
4log)3(log
=−
=−
yx
yx yy
y
y
yx
y
yx
y
yx
vu
===
=+
=⋅+⋅
3
2
3
2 ,2 :смјене Уводимо
83
242
483
21623
2
22
43
24. Ријешити систем једначина
(((( ))))
22log log 4
log 5 5 log 3 2 0.5
x y
x y
+ =+ =+ =+ =
− − − =− − − =− − − =− − − =
Рјешење:
Д.П.
0, 02
5 0 5 5,3
23 2 0
3
x y
x x x y
y y
> >
− > ⇒ > ⇒ > >− > ⇒ >
( ) ( )
2 log 2log 4
1 1 1 log5 5 log 3 2
2 2 2
x y
x y
+ =
− − − =
( ) ( ) 123log55log
2loglog
=−−−
=+
yx
yx
( )1
23
55log
2log
=−
−
=
y
x
xy
⇒ ( )10
23
55
100
=−
−
=
y
x
xy
⇒ 5305
100
=−
=
yx
xy
16
100
+=
=
yx
xy ⇒ 01006 2 =−+ yy
6
25 ,4 21 −==⇒ yy -не припада дефиниционом подручју
251 =x
Рјешење је (25,4).
( )
12
3
3
2
3
2
1222
22
3
091234816483
4884
48163
2,1
222
22
−=⇒=
⇒
=
=⇒=⇒=
=⇒=
=+−⇒=+−
−=⇒=+
=+
yv
xu
uv
vvvv
vuvu
vu
yy
xx
.1 ,1 : је Рјешење −== yx
44
5. АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА
1. Наћи једначину правца који је окомит на правац 2x-3y+4=0 и на оси y има три пута
већи одсјечак.
Рјешење:
2
3
3
2
1
3
4
3
2
342
−=−=
+=
−=−−
+=
k
nxy
yx
nkxy
42
3
43
43
+−=
==
xy
n
2. Дате су праве
ax-y=3b
x-2by=1, (a,b∈∈∈∈R,b≠≠≠≠0).
Одредити a и b тако да праве буду паралелне.
Рјешење:
y=ax-3b ⇒ k1=a
2by=x-1 ⇒ y=(1/2b)x-(1/2b) ⇒ k2=1/(2b)
Из услова паралелности k1=k2 слиједи рјешење a=1/(2b).
3. За које се αααα и ββββ праве
ααααx+2y-4=0
ββββx-3y+3=0
сијеку у првом квадранту ?
Рјешење:
Да би се праве сијекле у првом квадранту мора да вриједи: x>0 ∧ y >0.
За β>0 ⇒ α>(-2/3)β.
За β<0 ⇒ α>(-4/3)β.
( )
βα
βα
βα
βα
3
2
023
023
6
623
−>
>+
>+
=
=+
x
x
βα
βα
βα
βα
βα
α
3
4
043
023
43
4223
6
−>
>+
>+
+=
=++
y
y
45
54801664),( ==+=BAd
4. Испитати положај праве према кружници:
a) x-y=3
x2+y
2=25,
b) y=x-m
x2+y
2=m
2, (m∈∈∈∈R).
Рјешење:
а) x=y+3
(y+3)2+y
2=25
y2+3y-8=0
Из рјешења се види да права сијече кружницу.
б) x2
+(x-m)2 =m
2
2x(x-m)=0
x1=0, x2=m
Ако је m=0 права је тангента кружнице, а за остале m∈R права сијече кружницу.
5. Нацртати кружницу (k) и правац (p)
x2+y
2+10x=0 (k)
x-2y=0 (p).
Наћи пресјечне тачке A и B правца (p) и кружнице (k) и наћи њихово растојање.
Рјешење:
(x+5)
2+y
2=25 ⇒ C(-5,0,5)
x=2y
5y2+20y=0 ⇒ y(y+4)
y1=0 ∧ y2= -4
x1=0 ∧ x2= -8
A(0,0),B(-8,-4)
6. Дате су кружница (k) и права (p)
x2+y
2-2x=0 (k)
x+ty+1=0 (p).
а) Одредити све вриједности параметра t за које кружница (k) и права (p) немају
заједничких тачака.
б) за 2
1=t нацртати слику.
Рјешење: а) (x-1)
2+y
2=1 ⇒ C(1,0,1)
x=-ty-1
(-ty-1)2+y
2-2(-ty-1)=0
(t2+1)y
2+4ty+3=0
Да права и кружница немају заједничких
тачака мора бити задовољено D<0, тј.
)3,3(
0)3)(3(03
0)1(1216
2
22
−∈
<+−⇒<−
<+−
t
ttt
tt
2
4132,1
±−=y
46
б) (x-1)2+y
2=1
x+y/2+1=0
2x+y+2=0
y=0 ⇒ x= -1
x=0 ⇒ y= -2
7. Стране троугла леже на правцима 2x-3y+6=0; 3x+2y-12=0; 4x-y+8=0.
а) Одредити координате врхова троугла.
б) Наћи све тачке М(x,y) унутар датог троугла, при чему су x и y цијели
бројеви.
Рјешење:
а) Координате врхова добијају се као пресјеци заданих праваца:
б) Унутрашњост троугла је скуп E⊂R2:
Од ових координата се може формирати 18 тачака, а непосредним провјеравањем се одбацују оне које
не леже у унутрашњости троугла. Тако се добије сљедећих 7 тачака:
M1(-1,2), M2(-1,3), M3(0,3), M4(0,4), M5(0,5), M6(1,3), M7(1,4).
8. Врхови троугла налазе се у тачкама А(1,1), B(8,1), C(4,p). Одредити све вриједности
параметра p тако да површина P троугла ABC задовољава неједначину 6≤≤≤≤P<10 .
Рјешење:
а)
−⇒
=+−=
=−+=
−⇒
=+−=
=+−=
⇒
=−+=
=+−=
11
72,
11
4C
084
01223
5
4,
5
9B
084
0632
13
42,
13
24A
01223
0632
3
2
3
1
2
1
yxp
yxp
yxp
yxp
yxp
yxp
( ) ( ) ( ) ( ){ }
( )
{ } { }6,5,4,3,2,1 ,1,0,1
Z ,11
72
5
4 ,
13
24
5
9
.084 01223 0632:E
∈−∈
∈<<<<−
>+−∧<−+∧<+−=
yx
yx,yx
yxyxyxyx,
7
27
7
19
7
27 10)1(
2
7
7
19 6)1(
2
7
)1(2
7
2
)1)(18(
2P
1
11
11
11
≤≤⇒
<⇒<−
≥⇒≥−
−=−−
==
p
pp
pp
ppah
47
б)
9. Одредити једначину праве p која пролази кроз тачке A(1,3) и B(2,-2). Одредити
једначину праве s која је окомита на праву p и пролази кроз тачку C(5,5). Нацртати
обје праве.
Рјешење:
10. Дата је кружница x2+y
2-2x+4y-20=0. Одредити растојање тачке Т(10,0) од дате
кружнице. Нацртати кружницу.
Рјешење:
Растојање се рачуна до најближе тачке на кружници, нека је то тачка S .
7
5
7
13
7
13 10)1(
2
7
7
5 6)1(
2
7
)1(2
7
2
)1)(18(
2P
2
22
22
22
−≤<−⇒
<⇒<+
≥⇒≥+
+=+−
==
p
pp
pp
ppah
0.205 5)(5
15 :
5
1
k
1-k
5 85 1)(12
323
)-(-
:
1
1
112
121
=−−⇒−=−
==⇒⊥
−=⇒+−=⇒−−
−−=−
−=−
xyxys
ps
kxyxy
xxxx
yyyyp
( ) ( ) 521(252122
=−=++− r ),,C ,yx
( ) ( ) 585520110522
−=−++−=−=−== CTrCTSTd
48
11. Врхови троугла налазе се у тачкама A(0,0), B(8,0) и C(0,6). Одреди све тачке у
унутрашњости троугла које имају цјелобројне координате .
Рјешење:
Треба да одредимо једначину правца y=ax+b који пролази кроз тачке B и C,а затим за тачке xi=1,2,3,4,5,6,7
одредити све цијеле бројеве који су мањи од yi=y(xi)
Сада уврштавамо “ унутрашње” апсцисе
xi yi b
1 21/4 1 2 3 4 5
2 9/2 1 2 3 4
3 15/4 1 2 3
4 3 1 2
5 9/4 1 2
6 3/2 1
7 3/4 нема
12. Одреди пресјечну тачку Т правца 2x+3y-5=0 и 4x-2y+2=0. Одреди растојање тачке Т од
координатног почетка.
Рјешење:
( )4
37
4
9
16
10,
2
3,
4
1
2
3 ,
4
1
224
532
=+=
==⇒
−=−
=+
Td
T
yxyx
yx
13. Израчунати површину троугла чија се два врха налазе у тачкама А(0,0), B(10,0), а
трећи врх се налази у центру кружнице чија је једначина
x2+y
2-10x-10y+25=0.
Рјешење:
(x-5)
2-25+(y-5)
2-25+25=0
(x-5)2+(y-5)
2=25
C(5,5) , r=5
252
510
2=
⋅==
ahP
8)-(4
3 )-( : 1
12
121 xyxx
xx
yyyyp −=⇒
−
−=−
(6,1)T(5,2),T (5,1),T(4,2),T(4,1),T
(3,3)T (3,2),T),1,3(T),4,2(T),3,2(T ),2,2(T (2,1), T
(1,5)T (1,4),T (1,3)T (1,2),T , )1,1(T
1716151413
1211109876
54321
49
( ) ( ) ( ) 103012,22
=−+−=BAd
14. Тачке A и B дате су као пресјеци два правца:
2 6 0
:2 2 0
x yA
x y
+ − =+ − =+ − =+ − =
− − =− − =− − =− − =
3 2 3 0:
3 6 0
x yB
x y
− − =− − =− − =− − =
− + =− + =− + =− + =
Одредити тачке А и В и њихово растојање.
Рјешење:
( )2,2
2 ,2 22
62 :
A
yxyx
yxA ==⇒
=−
=+
( )3,3
3 ,3 63
323 :
B
yxyx
yxB ==⇒
−=−
=−
( ) ( ) ( ) 22323,22
=−+−=BAd
15. Одредити растојање тачака C1 и C2, гдје је C1 центар кружнице чија је
једначина x2+y
2+x-3y+1/4=0, a C2 центар кружнице чија је једначина
x2+y
2-5x-2y-7/4=0.
Рјешење:
−
=
−+
+
=+−
−+−
+
2
3,
2
1
4
9
2
3
2
1
04
1
2
9
2
3
4
1
2
1
1
22
22
C
yx
yx
( )
( )
( )
=−+
−
=−+
−
=−−−+−
−
1,2
5
912
5
4
361
2
5
04
711
4
25
2
5
2
22
22
22
C
yx
yx
yx
( )2
37
4
19
2
31
2
1
2
5,
22
21 =+=
−+
+=CCd
16. Права 3x+y-6=0 сијече кружницу x2+y
2-6x-4y+8=0. Одредити дужину тетиве и нацртати
слику.
Рјешење: (x-3)
2+(y-2)
2=5
y=6-3x
x2-6x+9+(6-3x)
2-4(6-3x)+4=5
10x2-30x+20=0
x2-3x+2=0 ⇒ (x-1)(x-2)=0
x1=1, x2=2
y1=3,y2=0
A(1,3), B(2,0)
50
( ) ( ) 5223CA,22 =−−+=d
17. Наћи растојање пресјечне тачке правих x+y-2=0 и 2x+3y-6=0 и центра кружнице
x2+y
2-6x+4y+9=0.
Рјешење:
( ) ( )2 2
2 0, 2
2 3 6
(0, 2)
3 2 4
(3, 2)
x yx y
x y
A
x y
C
+ = ⇒ = =
+ =
− + + =
−
18. Одреди растојање тачке А(5,5) од правца који пролази кроз тачке В(0,-2) и
С(-2,0).
Рјешење: Први начин рјешавања
Користимо формулу за удаљеност тачке од праве 22
11
BA
CByAxd
+
++=
Једначина праве кроз тачке В и С је
( )212
122 xx
xx
yyyy −
−
−=−
( ) 222
2−−=⇒+
−= xyxy 02 =++⇒ yx
262
12
11
255==
+
++=d .
Други начин рјешавања је да нађемо и праву која пролази кроз тачку А, а окомита је на праву која пролази кроз
тачке В и С, а затим нађемо њихову пресјечну тачку D и онда је удаљеност тачке А од праве уствари удаљеност
од тачке A до тачке D.
права ВС је 2−−= xy
права која пролази кроз А и окомита на ВС је xyxy =⇒−=− 55
јер је 1=k ,
пресјек правих:
1,12 −=−=⇒−−=
=
yxxy
xy
тј. D(-1,-1)
( ) ( ) 265151),(22
=−−+−−=DAd
51
6. ЗАДАЦИ ЗА ВЈЕЖБУ
1. Одредити вриједност израза
bab
aba
ba
ab
ab
ba
−
−
−
−
+
−
11
11
2
2
2
2
, за a=2, b=1. (Р: 8 )
2. Упростити израз
( )( ) ( )
+−
−−
−−
222
2
2
3
2
2
4
5:100
xxxx . (Р: 1/4(x+10)(x
2-4)
2)
3. Упростити израз
++
−+
+−
2
1
2
1:
1
2
1
44
2
aa
a
a
a
. (Р: -( )
a
a3
2−)
4. Упростити израз
x
a
x
a
ax
ax
xa
xaax++
++
−
−−
211
2
4
4 34 3
, ( )xaxa ≠>> , 0 ,0 . (Р: aax + )
5. Упростити израз
А=
−
+
+
−
+
−
− −5.0
4
4 313
5.0
4
4
4 3
2
842
2
8x
x
xxxx
x
x (Р: за ( ) ( )+∞∪∈ ,1616,0x ,
x
2A = )
6. Ријешити једначине:
а) ( ) ( )
33
32
2
25=
+
−−
+
−
x
x
x
x
б) ( )ab
baax
a
bx
b
ax2
32 −+=
−+
+. (Р: a) x= -
2
9; б) x=2b, за a≠b, a,b≠0)
7. Ријешити системе једначина:
а) 852
53
=+
+=+
yx
mmyx
б) . 012
01852
2
22
=−+
=−+
yxy
yxyx (Р: а)
( ),
152
72 ,
152
253
−
−=
−
−=
m
my
m
mx за
2
15≠m ; б) (4,2), (-4,-2) )
8. Ријешити систем неједначина
. 639175
2.13
2
3
74.0
−>+
−<+
xx
xx (Р: 20
4
53<< x )
52
9. Ријешити неједначину
112
522
2
>−−
+−
xx
xx . (Р: ( )2,1
2
1,3 ∪
−−∈x )
10. Ријешити неједначину
31
23<
−
+
x
x. (Р:
−∈
6
1,
6
1x )
11. Ријешити системе једначина:
а) 14
212
−=−−
=−−
yx
yx
б) . 132
732
−=+−−
=++−
yx
yx
(Р: а) (2,1), (8,13); б) (5,1) )
12. Дата је једначина ( ) ( ) 03122 2 =+++−− mxmxm .Одредити параметар m тако
да збир квадрата њених рјешења буде једнак 52.
(Р: 3 ,25
3221 == mm )
13. За које реалне вриједности параметра а неједначина
21
12
2
<++
++
xx
axx , вриједи R∈∀x ? (Р: ( )4,0∈a )
14. Ријешити једначине:
а) 122
6425.02 −+ =⋅ xx
б) 21 9233 −− ⋅=− xxx . (Р: а) 4 ,2 21 =−= xx ; б) х=3 )
15. Ријешити неједначину
xxx 250553 1 ⋅<+⋅ − . (Р: х<3 )
16. Ријешити једначине:
а) ( ) ( ) 9log4log232log2log2 −=−−− xx
б) ( ) ( ) 12log9log72log57log +=+++ xx
в) ( ) 132
1loglog32loglog
3
1
2
132 =+
+++
x
xx
г) ( ) 06log3log12log2
6
6
2
14 =+++− xx .
(Р: а) х=6; б) х=1; в) 2=x ; г) х=2 )
17. Ријешити неједначине:
а) 25log4
3log 2
22 −<
−− xx
б) 01
13log
2>
+
−
x
xx
53
в) 02
42log
2
2
≤++
+−
xx
xx.
(Р: а)
∪
−−∈ 2,
2
3
2
1,1x ; б) ( )2,11,
3
1∪
∈x ; в) ),
4
71[ +∞
+)
18. Ријешити систем једначина
( ) . 5.023log55log
2loglog
=−−−
=+
yx
yx (Р: (25,4) )
19. Ријешити систем једначина
7
133
7
1
322
22log2log22log2log
11
3333 =+
=+
−−−+
+−−+
yxyx
yxyx
(Р: (1/2,1/2) )
20. Доказати идентитет
( ) ( ) .15sin2
sin23sin2
3sin3
6644 =
−π+
+
π−
+π+
−
πxxxx
21. Упростити израз
22
21
xtg
xctg
xtgtgx
+
⋅+ (Р: tgx
2
1 )
22. Ријешити једначине:
а) ( ) 0cos3cossin33sin3 22 =++− xxxx (Р: 4
,6
π+π
=π+π
= kxkx ,k∈Z)
б) 1cossin3 −=+ xx ,
(Упутство: смјена: tx
tg =2
) (P: ( ) Zkkxkx ∈π+=π+π
−= ,12,23
)
в) ( ) 02
sincos1 =+π
+−π−x
x (P: π+π
±=π+π= kxkx 43
4 ,2 , k∈Z)
г) 032 =− xctgxtg (P: ( )10
12π
+= kx , k∈Z )
д) xxx 3sin22cos2sin =+ (P: 3 2
2 , 4 20 5
kx k x
π π ππ= + = + )
ђ) xx cossin 416 = (P:
4x k
ππ= + )
е) ( ) ( ) 02coslogsinlog sincos =−+ xx xx . (P: π+π
= kx 24
)
23. Ријешити неједначине:
а) 4
3cos
2
31cos
2 <−
− xx (Р: π+π
−<<π+π
−π+π
<<π+π
kxkkxk 23
26
5,2
6
52
3)
б) 04cos11cos6 2 >+− xx . (Р: π+π
<<π+π
kxk 23
52
3)
54
24. Одредити параметар k тако да права 1+= kxy додирује кружницу 03422 =+++ xyx .
(Р: 3
4 ,0 21 == kk )
25. На правој ( ) 01243 =−+ yxp наћи тачку једнако удаљену од тачака ( ) ( )4,1B ,2,-1-A .
(Р: М(0,3) )
26. Једначине двије странице паралелограма су 0138 =++ yx и 012 =−+ yx , а једначина једне његове
дијагонале је 0323 =++ yx . Одредити координате врхова паралелограма.
(Р: (-1,3), (-2,5), (5,-9), (8,-17) )
27. Написати једначину кружнице описане око троугла чија су тјемена дата са: ( ) ( ) ( )2,4-C ,0,8B ,7,7A .
(Р: ( ) ( )2 2
3 4 25x y− + − = )
28. Дата су два тјемена једнакокраког троугла А(1,-4), В(7,-2), а треће тјеме С припада правој 01 =+− yx .
Одредити координате тјемена С.
(R: C(2,3) )
29. Одредити једначину кружнице чији се центар налази у пресјеку правих линија :
0152 =−+ yx и 0173 =+− yx , а садржи тачку А(9,-5).
(R: C(4,7), r =13 )
30. У једначини праве ( ) 0487 =−++ ymmx одредити m тако да њено растојање од тачке А(2,1) буде 2.
(R: m1=5, m2=297)
31. Одредити једначине висина троугла чије су странице дате једначинама :
BC: 3x-y-18=0
CA: x-y-2=0
AB: x+2y+1=0, а затим одредити ортоцентар.
(Р: )2,4( ;0102: ;02: ;023: −=−−=−+=++ Oyxhyxhyxh cba )
32. Из тачке А(6,4) конструисане су нормале на праве 083 =++ yx и 062 =++ yx . Израчунати површину
троугла чија су тјемена тачка А и подножја нормала.
(R: P=30)
55
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Вулетић, Б. Гаковић, Ј. Јенчирагић: Збирка ријешених задатака из математике
2. В. Богославов: Збирка ријешених задатака из математике за II разред
3. В. Богославов: Збирка ријешених задатака из математике за III разред
4. С. Прешић, Б. Алимпић: Збирка задатака из математике за I разред
5. С. Минтаковић: Збирка задатака из математике за I и II разред
6. Р. Живковић: Збирка задатака из математике за II разред
7. И. Катић: Збирка задатака из математике са рјешењима и упутама за I разред