함수의 극한

1. 수렴과 발산

(1) 수렴 ; limx→a

f(x)= α (일정한 값)

(2) 발산 ; 극한이 일정한 값으로 나오지 않을 때

(3) 극한값의 존재 조건

• 좌극한값 = 우극한값

limx→a +0

f(x)= α (우극한값), limx→a -0

f(x)= β (좌극한값)

문제 1] 다음 함수들에 대한 극한을 조사하여라.

(1) limx→∞

sinx

(2) limn→∞

(-1) n

(3) limx→∞

1

x2

(4) limx→1

[x]

(5) limx→1- 0

1x-1

(6) limx→1+ 0

1x-1

2. 극한값의 성질

(1) 함수 f(x), g(x)에 대하여

limx→a

f(x)= α, limx→a

g(x)=β(α, β는 일정한 값)일 때① lim

x→akf(x)=kα (k는 상수)

② limx→a

{ f(x)±g(x)}= α±β (복부호 동순)

③ limx→a

f(x)g(x)= αβ

④ limx→a

f(x)g(x)

=αβ

(β≠0, g(x)≠0)

(2) 세 함수 f(x), g(x), h(x)에 대하여

① f(x)≤g(x)이고 limx→a

f(x)=α, limx→a

g(x)=β이면 α≤β 이다.

② f(x)≤g(x)≤h(x)이고 limx→a

f(x)= limx→a

h(x)=α 이면 limx→a

g(x)= α 이다.

문제 1] 다음 극한값을 구하여라.

(1) limx→1

x3-1

x2-3x+2

(2) limx→∞

3x3-x2+2x-1

10 10x2+10 8x+10 6

(3) limx→∞

( x2+x+1- x2-x+1)

(4) limx→0

x+1-1x

문제 2] 다음 식을 만족시키는 상수 a, b의 값을 구하여라.

limx→1

x2+ax+bx-1

= 2

초월함수의 극한(1)

1. 삼각함수의 극한

limx→0

sinxx

= 1

ΔOAB < (부채꼴OAB) < ΔOAT

문제 1] 다음 극한값을 구하여라.

(1) limx→0

sin3xsin2x

(2) limx→0

sin4x3x

(3) limx→0

tanxx

(4) limx→0

tan3xsin2x

(5) limx→0

sin( sinx)x

(6) limx→0

1-cosxx2

문제 2] limx→π

ax+bsinx

= 1 이 성립하도록 상수 a, b 를 정하여라.

초월 함수 극한(2)

1. 지수, 로그 함수의 극한

• a > 1 ; limx→∞

a x=∞ , limx→-∞

a x=0 , limx→∞

log ax=∞ , limx→+0

log ax=-∞

• a = 1 ; limx→∞

a x=1 , limx→-∞

a x=1

• 0 < a < 1 ; limx→∞

a x=0 , limx→-∞

a x=∞ , limx→∞

log ax=-∞ , limx→+0

log ax=∞

문제 1] 다음 극한을 구하여라.

(1) limx→∞

( 2 x

3 x )

(2) limx→∞

( 4 x

3 x )

(3) limx→-∞

( 2 x

2 x )

(4) limx→2+0

log 2(x-2)

(5) limx→2+0

log 12

(x-2)

(6) limx→1

log 2| x-1|

2. 극한값 e 의 정의

• limx→0

(1+x)1x =e , lim

x→∞(1+

1x) x=e

문제 2] 다음 각 값을 계산하여라.

(1) ln e 4

(2) ln 3 e

(3) ln1

e 3

문제 3] 다음 식을 만족하는 x 값을 구하여라.

(1) lnx=2

(2) ln (x-1)=1

(3) e x=3

문제 4] 다음 극한값을 구하여라.

(1) limx→0

(1+2x)1x

(2) limx→∞

(1+2x) x

(3) limx→0

( 1+2x)13x

초월 함수의 극한(3)

문제 1] 다음 극한값을 구하여라.

(1) limx→0

( 1+2x1+x )

1x

(2) limx→0

e x-1x

문제 2] 다음 극한값을 구하여라.

(1) limx→∞

(3 x+4 x)1x

(2) limx→0

ln(1+x)x

(3) limx→0

e 2x-1sin x

(4) limx→0

ln(1+x)e 3x-1

(5) limx→0

log a(1+x)

e x-1

(6) limx→+0

ln( sinx)lnx

문제 3] limx→0

ln(x+b)sinax

=12이 성립하도록 상수 a, b를 정하여라.

변화율

1. 평균 변화율

∙ 곡선 상의 두 점을 잇는 직선의 기울기

∙ 구간 [a, a+∆x]에서 평균 변화율

문제 1] 다음 각 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균 변화율을 구하여라.

(1) f (x)= 2x2-3x+1 , [2, 4]

(2) f (x)=x3 , [1, 3]

(3) f (x)= x, [4. 9]

(4) f (x)=-3x+1, [3, 5]

문제 2] 다음 함수가 구간 [a, a+∆x]에서 평균 변화율이 6일 때 이것을 만족하는 a 값은?

2. 변화율(미분 계수)

a xa D+

)(af

)( xaf D+

P

Q

xafxaf

xy

D-D+

=DD )()(

1)( 2 += xxf

∙ 정의 ; 구간 [a, a+∆x]에서 Δx→0일 때 함수 f(x)의 극한값

3. 도함수

∙ 정의 ; 함수 y= f (x)에서

문제 3] 다음 각 함수에 대하여 x = 1에서 변화율을 구하여라.

(1) y=x2

(2) y=1x

(3) y= |x-1|

문제 4] f '(1)= 1인 다항 함수 f(x)에 대하여 다음 극한값을 구하여라.

(1) limx→1

f (x)-f (1)x2-1

(2) limx→1

x3-1f (x)-f (1)

a xa D+

xafxaf

xy

dxdyyaf

xxaxax D

-D+=

DD

=úûù

êëé=¢=¢

®D®D==

)()()( limlim00

x xx D+

)(xf

)( xxf D+

P

)()()()()(limlim00

xfdxd

dxxdf

dxdyyxf

xxfxxf

xy

xx===¢=¢=

D-D+

=DD

®D®D

미분법 공식

1. 미분법의 기본 공식

(1) f (x)=k(상수) ⇒ f '(x)=0

(2) y=xn ⇒ y'=nxn - 1

(3) y=kf (x) (k는 상수) ⇒ y'=kf'(x)

(4) y=f (x)±g(x) ⇒ y'= f '(x)±g'(x) (복호 동순)

(5) y= f (x)⋅g(x) ⇒ y'= f '(x)g(x)+f (x)g'(x)

(6) y=f (x)g(x)

(g(x) /=0) ⇒ y'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

{g(x)} 2

문제 1] 다음 함수를 미분하여라.

(1) y=1x

(2) y= x

문제 2] 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.

(1) y= 3 x2

(2) y=x2 x

문제 3] 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.

(1) y= (x2+2)(x3-2x+1)

(2) y=(x-2)(2x+1)(x2-1)

(3) y=x-1

x2+1

(4) y=2x3-1

x2

합성 함수와 음함수 미분

1. 합성 함수의 미분

예] y=(2x+1) 5을 x 에 대하여 미분하여라.

문제 1] 다음 함수를 x 에 대하여 미분하여라.

(1) y= (3x2+2x-1) 4

(2) y= 2x-1

2. 음함수의 미분법

∙ 음함수 ; x 의 함수 y 가 F(x, y) = 0의 꼴로 주어질 때 y를 x 의 음함수라 한다.

∙ 양함수 ; x 의 함수 y 가 y = f(x)의 꼴로 주어질 때 y를 x 의 양함수라 한다.

∙ 음함수의 미분 ;ddx

yn= { ddy

yn} dydx =nyn -1 dydx

)())(())(( xgxgfyxgfy ¢¢=¢Þ=

{ } { } )()()( 1 xfxfnyxfy nn ¢=¢Þ= -

문제 2] 다음에서dydx를 구하여라.

(1) x2+2y2=3

(2) 2x2-y2=1

(3) x+ y=1

(4) x2+y2-2xy =0

문제 3] 다음에서dydx를 구하여라.

(1) y= 4 x2+1

(2) x= t2+1, y=2t-1

삼각함수 미분

1. 삼각함수의 도함수

(1) y= sinx ⇒ y'= cosx

(2) y= cosx ⇒ y'=- sinx

(3) y= tanx ⇒ y'= sec 2x

(4) y= cotx ⇒ y'=- csc 2x

(5) y= secx ⇒ y'= secxtanx

(6) y= cscx ⇒ y'=- cscxcotx

문제 1] 도함수의 정의를 이용하여 다음 각 함수를 미분하여라.

(1) y= cosx

(2) y= cotx

문제 2] 다음 각 함수를 미분하여라.

(1) y= cos 3x

(2) y= 2-cosx

(3) y= sin ( cosx)

(4) y= cos (1+x2)

문제 3] 다음에서dydx를 구하여라.

(1) x= cosy

(2) cosx+ cosy= 1

(3) x=cos 2θ,y= sin 3θ (단, θ는 매개 변수이다.)

(4) xsiny+ysinx=1

지수, 로그 함수 미분

1. 지수함수의 도함수

(1) y=e x ⇒ y'= e x

(2) y=a x ⇒ y'=a xlna

문제 1] 도함수의 정의를 이용하여 y= e x를 미분하여라.

문제 2] 다음 각 함수의 도함수를 구하여라.

(1) y= 3 2x+ 1

(2) y=xe x

(3) y= e xcosx

(4) y=(e x+x) 2

2. 로그함수의 도함수

(1) y=lnx ⇒ y'=1x

(2) y=log ax ⇒ y'=1x

1lna

문제 3] 도함수의 정의를 이용하여 y = ln x 의 도함수를 구하여라.

문제 4] 다음 함수의 도함수를 구하여라.

(1) y=xlnx

(2) y=e xlnx

(3) y=xx

(4) y=ln( lnx)

(5) y= e x2

sinx

(6) y= x ln x

고계 도함수

1. 이계 도함수 ; 도함수의 도함수

2. 삼계 도함수와 n계 도함수

∙ 이계 도함수를 미분하여 삼계 도함수

∙ 함수 y= f(x)를 n번 미분하여 얻는 함수를 n계 도함수

문제 1] 다음 각 함수의 이계 도함수를 구하여라.

(1) y=(x 2+x+1) 4

(2) y=sin2x

(3) y=e 2x

(4) y= e xsinx

(5) y= e xlnx

(6) y=xe x

문제 2] 함수 f (x)=xe ax+b에 대하여 f '(0)= 1,f ''(0)=1e일 때 상수 a, b 값을 구하여라.

접선과 미분(1)

1. 미분 계수와 도함수

함수 y = f(x)에 대하여

∙ x = a 인 점에서 접선 기울기 = 미분 계수 = f '(a )

∙ 임의의 점 x에서 접선 기울기 = 도함수 = f (x)

∙ 접점 (a,f (a ))에서 접선의 방정식 ; y-f (a)= f'(a)(x-a)

문제 1] 다음 곡선에서 주어진 점을 지나는 접선 방정식을 구하여라.

(1) y= xe x,(1,e)

(2) y=lnx,(e,1)

(3) y=sinx,(π,0)

(4) y=tanx,( π4,1)

문제 2] 다음 곡선 위의 점 (x1 ,y1 )에서 그은 접선 방정식을 구하여라.

(1) x2+y2=r 2

(2)x2

a 2 +y2

b2 =1

(a, f(a))

접선과 미분(2)

1. 접선과 법선

∙ 법선 ; 접점을 접선과 공유하며 접선에 수직인 직선

접선 방정식 ; y-f (a)= f'(a )(x-a)

법선 방정식 ; y-f (a)=-1

f'(a )(x-a)

문제 1] 다음 곡선과 주어진 점에서 그은 접선 방정식과 법선 방정식을 구하여라.

(1) y= e x,(1,e)

(2) y=2sinx,( π6,1)

문제 2] 다음 각 물음에 답하여라.

(1) 곡선 y=lnx에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식을 구하여라.

(2) 곡선 y=cos2x,(0≦x≦π)에 접하고 직선 x+2y-2=0에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.

문제 3] 원점에서 다음 곡선에 그은 접선 방정식을 구하여라.

(1) y=lnx

(2) y=e x

x

(a, f(a))

미분 가능성과 연속

1. 미분 가능성과 연속

∙ 함수가 x = a에서 연속일 조건

∙ x = a에서 미분 가능일 조건

∙ 함수 f(x)가 x = a에서 미분 가능 ⇒ x = a에서 연속

∙ 함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분 가능 ⇒ 그 구간에서 연속

문제 1] 다음 각 함수에 대하여 x = 0에서 미분 가능성을 조사하여라.

(1) f (x)= |x|

(2) f (x)= 3 x2

문제 2] 다음과 같이 정의된 함수 f(x)가 x = 1에서 미분 가능할 때 상수 a, b 값을 구하여라.

2. 평균값의 정리

)()(lim)3(

)(lim)2( )()1(

afxf

xfaf

ax

ax

=®

®존재가

존재가

존재)()()(lim0

afh

afhafh

¢=-+

®

îíì

³£

=)1( ln)1(

)(3

xbxxax

xf

(1) 롤의 정리

∙ 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속, 개구간 (a, b)에서 미분 가능할 때

f(a) = f(b)이면 f '(c)= 0 (a < c < b)인 c 가 적어도 하나 존재

(2) 평균값의 정리

∙ 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속, 개구간 (a, b)에서 미분 가능할 때

인 c 가 적어도 하나 존재

문제 3] 다음 각 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균값의 정리를 만족하는 c 값을 구하여라.

(1) f(x)= x, [0,1]

(2) f(x)= lnx, [1,e]

a c b

f(a)=f(b)

)( )()()( bcacfabafbf

<<¢=--

a c b a c b

f(a)=f(b)

f(b)

f(a)

)( )()()( bcacfabafbf

<<¢=--

함수의 증감

1. 함수의 증감

∙ 정의 ; 증가 ⇔ a < b일 때 f (a ) < f (b), 감소 ⇔ a < b일 때 f (a ) > f (b)

2. 증가 상태와 감소 상태

함수 f(x)에서 충분히 작은 양수 h 에 대하여

∙ 증가 상태 ; f (a-h)< f (a) < f (a+h)

∙ 감소 상태 ; f (a-h)> f (a) > f (a+h)

3. f(x)의 증감과 f(x)의 부호

문제 1] 다음 함수의 증감을 조사하여라.

(1) f (x)=x+ cosx 구간(-∞,∞)

(2) f (x)=x3 구간(-∞,∞)

(3) f (x)=x-e-x 구간[0,∞)

(4) f (x)=x- lnx, (x> 0)

(5) f (x)=xe x

(6) f (x)=lnxx

구간(0,∞)

문제 2] 다음 함수 f(x)가 모든 실수 구간에서 증가 함수이기 위한 a의 범위를 구하여라.

a bx a bx

증가는 )(0)( xfxf Þ³¢

감소는 )(0)( xfxf Þ£¢

13)( 23 +++= xaxxxf

극대, 극소(1)

1. 극대, 극소의 뜻

(1) 극대 ; 연속 함수가 증가 상태에서 감소 상태로

(2) 극소 ; 연속 함수가 감소 상태에서 증가 상태로

2. 도함수에 의한 극대, 극소 판정

f '(x)=0이고, x=a 좌우에서 f (x)의 부호가

∙ (+)에서 (-)로 바뀌면 x=a에서 극대

∙ (-)에서 (+)로 바뀌면 x=a에서 극소

예] 다음은 어떤 함수에 대한 도함수 f '(x)를 나타난 것이다. 이

그래프로 미루어 함수 f (x)는 극대값과 극소값이 몇 개 존재하는

가?

문제 1] 다음 함수의 극값을 구하고 그래프를 그려라.

(1) y=-x3+3x2-1

(2) y=x 4-2x2

문제 2] 다음 함수의 극값을 구하여라.

(1) f(x)= |x2-1 |

(2) f (x)= 3 x2

)(xfy ¢=

극대, 극소(2)

문제 1] 다음 함수의 극값을 구하여라.

(1) y= e-xsinx

(2) y=lnx

(3) y=2x-1

x2+2

(4) y=xe -x

문제 2] 함수 f(x)=ax+bx2+1

가 x=1에서 극대값이 1일 때 상수 a, b 값을 구하여라.

문제 3] 함수 f(x)=x2+ax+b

x-1가 극값을 갖지 않을 때 a, b의 관계식을 구하여라.

곡선의 개형

1. 곡선의 오목, 볼록

문제 1] 다음 각 곡선의 극값, 변곡점을 구하고 그 개형을 그려라.

(1) f (x)=x

x2+1

(2) f (x)=x+ lnx

(3) y=x+1x

(4) y=e x

x

AB

아래로볼록

AB

위로볼록

P

변곡점

0)( >¢¢ xf 0)( <¢¢ xf 0)( =¢¢ xf(단, 부호가바뀔때

변곡점존재)

함수의 최대, 최소

1. 함수의 최대, 최소

∙ 구간의 양끝값 조사

∙ 극대값, 극소값 조사 비교

문제 1] 구간 [1, 2]에서 함수 f (x)=x 2-x2의 최대값과 최소값을 각각 구하여라.

문제 2] 함수 f (x)=x+2sinx는 구간 [0,2π]에서 최대값과 최소값이 각각 얼마인가?

문제 3] 다음 각 함수의 최대값과 최소값을 구하여라.

(1) f (x)= sin 3x-3 cos 2x

(2) f (x)=lnxx

,(1≦x≦e 2)

문제 4] 그림과 같이 곡선 y=e -x 위의 x 좌표가 양인 점 P ( t, e- t )에서 그은 접선이 x축, y축과 만나

는 점을 각각 Q, R라 할 때, 삼각형 QOR의 넓이가 갖는 최대값은?

[a, b] (a, b] (a, b)

방정식, 부등식과 미분

1. 방정식과 미분

방정식의 실근

∙ f(x) = 0의 실근

∙ f(x) = g(x)의 실근

문제 1] 다음 방정식이 갖는 근이 몇 개인지 조사하여라.

(1) x3-6x2+9x-3=0

(2) x4-6x2+8x+12=0

문제 2] 방정식 lnx = kx 가 서로 다른 두 실근을 가질 때 k값의 범위를 구하여라.

2. 부등식과 미분

x>a 일 때 f(x) > g(x) 증명

∙ F(x) = f(x) - g(x) 로 놓고

∙ F'(x) > 0 이고 F(a) ≧ 0 임을 보인다.

문제 3] x > 0 일 때 부등식 (x-2)e 2+x+2〉0 임을 증명하여라.

문제 4] 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. 단, 0 < x< π 이다.

xey -=

),( tet -P

QO

R

)(xfy = )(xfy =

)(xgy =

2sin

2xxx ->

속도와 가속도

1. 속도와 가속도

수직선 위에서 움직이는 점 P 시각 t에서 좌표 x= f (t)일 때

(1) 평균 속도 ;ΔxΔt

=f (x+Δt )-f (t )

Δt

(2) 속도 ; v= limΔt→0

ΔxΔt

=dxdt

= f'(t )

(3) 속력 ; ∣f'(t )∣

(4) 가속도 ; a= limΔt→0

ΔvΔt

=dvdt

=v'= f''(t )

2. 시각에 대한 변화율

(1) 시각 t에서 길이 변화율 ; limΔt→0

ΔlΔt

=dldt

(2) 시각 t에서 넓이 변화율 ; limΔt→0

ΔSΔt

=dSdt

(3) 시각 t에서 부피 변화율 ; limΔt→0

ΔVΔt

=dVdt

문제 1] 직선 위를 움직이는 점의 위치와 시각 t 사이의 관계가 다음과 같을 때 t = 2에서 속도와 가속도

를 구하여라.

(1) f (t)=1- sinπx

(2) f ( t )= e t+e-t

문제 2] 벽에 세워 놓은 길이 5m의 사다리가 있다. 사다리가 미끄러지면서 사다리 아래끝이 매초 12cm로

벽에서 멀어진다고 할 때 아래끝이 3m 위치에 도달하는 순간 위끝이 내려오는 속도를 구하여라.

문제 3] 키가 160cm인 사람이 4m 높이의 가로등 아래로부터 똑바로 매분 60m 속력으로 걸어갈 때 그림자

끝의 속력을 구하여라.

문제 4] 윗면의 반지름이 10cm, 높이가 30cm인 직원뿔 모양 그릇에 매초 15㎤ 속도로 물이 흘러 들어간다.

높이가 5cm일 때 수면의 상승 속도를 구하여라.

평면 위의 운동

1. 평면 위를 움직이는 점의 속도, 가속도

평면 위를 움직이는 점 P(x, y)에 대하여 x= f (t ),y=g(t)일 때

(1) 속도 ; v= (vx,vy)= (f '( t ),g'( t ))

(2) 속력 ; ∣v∣= v2x+v2

y= {f'(t )} 2+{g'(t )} 2

(3) 속도의 방향 ; tanθ=dydt

/dxdt

=dydx

,(단,dxdt

≠0)

(4) 가속도 ; a= (a x,a y)= (f ''(t ),g''(t ))

(5) 가속도의 크기 ; ∣a∣= a 2x+a 2

y= {f''(t )} 2+{g''(t )} 2

문제 1] 시각 t에서 점 P(x, y)는 다음 식을 만족한다.

x=2cos t, y= sin t

t= π3일 때 점 P의 속도와 가속도를 및 각각의 크기도 구하여라.

문제 2] 좌표 평면 위의 동점 P는 시각 t일 때 위치가 (2t + 1, 2t - t2)을 만족한다. t = 2에서 P의 속도

벡터의 방향을 구하여라.

문제 3] 평면 위를 운동하는 점 P(x, y)의 좌표가 시각 t에서 x=t- sin t,y=cost로 주어졌을 때 점 P의

최대 속력을 구하여라.

문제 4] 좌표 평면 위를 움직이는 동점 P(x, y)가 시각 t의 함수로 다음과 같이 주어진다.

x=e tcost,y= e tsint

점 P의 속도 벡터 크기를 구하고, t= π2일 때 속도 벡터와 x축이 이루는 각 θ를 구하여라.

단, 0 <θ< π이다.

미분법 심화(1)

문제 1] x=1-cosθ,y=θ- sinθ 일 때, θ=π2에 대응하는 점에서 접선 방정식은?

문제 2] 방정식 ae x-x+2=0이 서로 다른 두 실근을 가질 때 실수 a 값의 범위는?

문제 3] 함수 f(x)는 x = 0에서 연속이지만 미분 가능하지 않다. 다음 보기 중 x = 0에서 미분 가능한 함

수를 모두 고르면?

[보기]

ㄱ. y=xf (x) ㄴ. y=x2f (x) ㄷ. y=1

1+xf (x)

문제 4] 사각형 모양의 철판 3장을 구입하여 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으

로, 나머지 한 장은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양의 보일러를 제작하

려 한다. 철판의 가격은 1m2 당 1만원이다. 보일러의 부피가 64m2가 되도록 만들기 위해

필요한 철판을 구입하는 데 드는 최소 비용은?

미분법 심화(2)

문제 1] 함수 y=lnxx가 최대값을 가질 때의 x 값은?

문제 2] 반지름이 1m인 원판에 기대어 있는 막대 OP의 한 끝은 오른쪽 그

림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 O에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하

는 점을 Q라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 1.5m/

초로 움직인다. OQ = 2m 되는 순간, 막대 OP가 지면과 이루는 각의 크기

θ의 시간에 대한 순간 변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다.)

문제 3] 모든 실수에서 미분 가능한 함수 y = f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과

같다. g(x) = xf(x)로 정의되는 함수 g(x)에 대하여 다음 중 집합

{x dg(x)dx

> 0}의 원소인 것은?

문제 4] 길이가 10인 선분 AB를 지름으로 하는 반원에 내접하는 사다리꼴

ABCD는 최대 넓이가 얼마인가?

QO

P

q

1-1

-2

A B

CD