ПРОФІЛЬНА ШКОЛА як шлях до ... · 2020-07-30 · УДК...

ПРОФІЛЬНА ШКОЛА як шлях до

конкурентоспроможної особистості

Íîâ³ íàâ÷àëüí³ ïðîãðàìè äëÿ 10–11 êëàñ³â çàêëàä³â çàãàëüíî¿ ñåðåäíüî¿ îñâ³òè (ð³âåíü ñòàíäàðòó, ïðîô³ëüíèé ð³âåíü)

Ìåòîäè÷í³ êîìåíòàð³ ïðîâ³äíèõ íàóêîâö³â ²íñòèòóòó ïåäàãîã³êè ÍÀÏÍ Óêðà¿íè

”

”

Національна академія педагогічних наук УкраїниІнститут педагогіки НАПН України

Національна академія педагогічних наук УкраїниІнститут педагогіки НАПН України

ПРОФІЛЬНА ШКОЛА як шлях до конкурентоспроможної особистості

МАТЕМАТИКА

• Нові навчальні програми для 10–11 класів закладів загальної середньої освіти

(рівень стандарту, профільний рівень)

• Методичні коментарі провідних науковців Інституту педагогіки НАПН України

Київ

2018

УДК 373.5.091.214:51*кл10/*кл11 М34

У к л а д а ч і:

О. М. Топузов, віце-президент Національної академії педагогічних наук України, директор Інституту педагогіки

НАПН України;

Т. М. Засєкіна, заступник директора з науково-експериментальної роботи Інституту педагогіки НАПН України,

кандидат педагогічних наук, старший науковий співробітник;

М. І. Бурда, завідувач відділу математичної та інформатичної освіти, доктор педагогічних наук,

професор, дійсний член НАПН України

ISBN 978-617-7712-21-2

М34 Математика : Нові навчальні програми для 10–11 кла-сів закладів загальної середньої освіти (рівень стандарту, профільний рівень); Методичні коментарі провідних нау-ковців Інституту педагогіки НАПН України. — К. : УОВЦ «Оріон», 2018. — 104 с.

ISBN 978-617-7712-21-2.УДК 373.5.091.214:51*кл10/*кл11

© МОН України, 2018© Інститут педагогіки НАПН

України, 2018© УОВЦ «Оріон», 2018

3

МЕТОДИЧНИЙ КОМЕНТАР

Особливості організації освітнього процесу з математики у 2018/2019 навчальному році

Бурда М.І., завідувач відділу математичної та інформатичної освіти Ін-ституту педагогіки НАПН України, доктор педагогічних наук, професор;Васильєва Д.В., старший науковий співробітник відділу математичної та інформатичної освіти Інституту педагогіки НАПН України, кандидат пе-дагогічних наук;Вашуленко О.П., старший науковий співробітник, відділу математичної та інформатичної освіти Інституту педагогіки НАПН України, кандидат педагогічних наук

Навчальні програми. У 2018/2019 навчальному році учні 5–9 класів закладів загальної середньої освіти продовжу-

ватимуть навчатися за оновленою навчальною програмою (за-твердженою наказом МОН України № 804 від 07.06.2017 р.). У програмі уточнено зміст математичної та ключових компе-тентностей, розвантажено очікувані результати навчально-піз-навальної діяльності й зміст навчання з метою забезпечення їх відповідності віковим особливостям учнів. Актуальними зали-шаються методичні рекомендації Міністерства освіти і науки України та Інституту педагогіки НАПН України попереднього року щодо організації освітнього процесу1.

У 2018/2019 навчальному році учні 10 класів вивчатимуть математику на рівні стандарту (3 год на тиждень) або на профіль-ному рівні (9 год на тиждень). Для вивчення математики на про-фільному рівні укладено дві навчальні програми. Одна призначе-на для учнів, які вивчали математику поглиблено у 8–9 класах, друга програма — для учнів, які в основній школі навчалися в загальноосвітніх класах й обрали математичний профіль у 10 класі. Основна мета оновлення програм — забезпечити перехід від традиційної знаннєвої, інформаційної освітньої парадигми до компетентнісної. У програмах реалізовано компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання є сформовані математична і ключові компетентності як здатнос-

1 Математика. Інформатика: методичні рекомендації МОН України щодо орга-нізації навчального процесу в 2017/2018 навчальному році; оновлені на компе-тентнісній основі навчальні програми 5–9 класів; методичні коментарі провідних науковців щодо впровадження ідей Нової української школи.— К. : УОВЦ «Оріон», 2017.— 96 с.

4


ті учня успішно діяти в навчальних і життєвих ситуаціях. Опис математичної компетентності подано в першому стовпці «Очі-кувані результати навчально-пізнавальної діяльності» програм, а у другому — зміст навчального матеріалу, необхідний для їх досягнення. Результати навчально-пізнавальної діяльності, як і в програмі для 5–9 класів, упорядковані за знаннєвим, діяльніс-ним й оцінно-ціннісним компонентами та конкретизовані їхні-ми складниками («розуміє», «називає», «наводить приклади», «класифікує», «зображає», «застосовує» тощо).

Відбулося розвантаження програм шляхом приведення у від-повідність змісту навчання очікуваним результатам навчаль-но-пізнавальної діяльності. Уточнені й скореговані результати навчання учнів з метою спрощення деяких з них. У програмі рівня стандарту вилучено вимоги: досліджує властивості функ-цій, обчислює значення тригонометричних виразів за допомо-гою тотожних перетворень і обчислювальних засобів із заданою точністю, встановлює взаємне розміщення прямих і площин у просторі та ін. У змісті навчального матеріалу також вилучено деякий матеріал. Наприклад, не передбачено вивчення: границі функції в точці, деяких застосувань інтеграла, випадкової події, відносної частоти події. Для профільного рівня у змісті навчаль-ного матеріалу вилучено: взаємно однозначна відповідність між елементами множин, рівнопотужні множини, числові множи-ни, множина дійсних чисел, рівносильні перетворення рівнянь, рівняння-наслідки, застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь, рівносильні перетворення нерівностей, рівняння і нерівності, що містять знак модуля та ін. Приділяєть-ся більша увага розв’язуванню сюжетних задач, як засобу набут-тя учнями ключових компетентностей.

Щодо організації навчання в 11 класах. Підручники для 10 класів в минулому навчальному році не містили тем «Похід-на та її застосування» і «Координати, геометричні перетворення та вектори у просторі». За відсутності можливості забезпечити учнів навчальними матеріалами, ці теми могли не вивчатися в 10 класі. Тож потрібно з’ясувати, чи вивчали учні теми «Похідна та її застосування» і «Координати, геометричні перетворення та вектори у просторі» в 10 класі, і відповідним чином організувати навчальний процес у 11 класі.

Загальні вимоги до формування математичної та ключових компетентностей. До математичної компетентності відносять:

5


змістову, процесуально-операційну, дослідну, інформаційно-технологічну. Змістова (має уявлення про ідеї та методи матема-тики, її роль у пізнанні дійсності; володіє формально-логічними (означення, властивості, ознаки математичних об’єктів) та опе-ративними (методи, прийоми, способи діяльності) знаннями; розуміє математичні формули й моделі як такі, що дають змогу описувати властивості об’єктів, процесів та явищ). Процесуаль-но-операційна (зображує математичні об’єкти, встановлює й об-ґрунтовує їхні властивості; класифікує їх за ознаками; обґрунто-вує математичні твердження; застосовує означення, властивості й ознаки математичних об’єктів до розв’язування задач; вимі-рює й обчислює геометричні величини; застосовує математичні методи, прийоми та способи діяльності у процесі розв’язування суто математичних і практичних задач). Дослідна (висуває та перевіряє гіпотези; складає програми діяльності, передбачає її результати; приймає рішення в умовах неповної, надлишкової, точної та ймовірнісної інформації; оцінює правильність і раціо-нальність розв’язаних задач, інтерпретує отримані результати з урахуванням конкретних умов і цілей дослідження). Інформа-ційно-технологічна (використовує інформаційно-комунікаційні технології в навчальній діяльності; відшукує й опрацьовує ма-тематичну інформацію (підручники, довідники, інтернет-ресур-си); оцінює здобуту інформацію, систематизує й узагальнює її, робить правильні висновки). Залежно від мети і завдань рівня навчання математики повнота оволодіння цими компетентнос-тями різна. Крім того, зміст навчання має сприяти формуванню ключових компетентностей. У навчальних програмах для 10–11 класів, як і для 5–9 класів, виокремлено чотири наскрізні лінії ключових компетентностей («Екологічна безпека та сталий роз-виток», «Громадянська відповідальність», «Здоров’я і безпека», «Підприємливість і фінансова грамотність»). Ці компетентнос-ті спрямовані на посилення мотивації, інтересу до навчання, на вироблення в учнів здатності застосовувати знання й уміння в різних сферах діяльності, реальних практичних ситуаціях, а та-кож на здобуття досвіду, формування цінностей та поглядів, які можуть бути впроваджені на практиці. Ключові компетентності набуваються в процесі розв’язування задач практичного змісту.

Математична і ключові компетентності взаємопов’язані. Їх формування передбачає дотримання певних дидактичних і мето-дичних вимог до процесу навчання.

6


1. Важлива вимога — посилення прикладної спрямованості змісту навчання математики, яка передбачає успішне викорис-тання знань, умінь і навичок як під час вивчення теоретичного матеріалу, розв’язування математичних задач та задач практич-ного змісту, так і для оволодіння іншими предметами в процесі навчання. У зв’язку із цим рекомендується, де це можливо, пока-зувати виникнення математичного факту із практичної ситуації та після його обґрунтування ілюструвати застосування на прак-тиці, у майбутній професійній діяльності, під час вивчення інших дисциплін. Дієвим засобом посилення прикладної спрямованос-ті навчання є застосування методу математичного моделювання. Він дає змогу розширити межі застосування математичних мето-дів, зокрема у природничих, гуманітарних і соціальних дисци-плінах. Вивчаючи математику на профільному чи поглибленому рівні, корисно пропонувати учням нескладні задачі на оптиміза-цію. Їх розв’язування сприяє виробленню умінь будувати та до-сліджувати найпростіші математичні моделі. Крім того, питання прийняття оптимальних рішень людині доводиться розглядати на різних рівнях — від побутового до проблем управління, тран-спорту, ефективного використання природних ресурсів. Тому навчальний матеріал має містити оптимізаційні задачі різних рівнів складності та основні способи їх розв’язування.

2. Успішне вироблення компетентностей передбачає забезпе-чення мотивації, інтересу до навчання. Важливу роль тут віді-грає використання історичного матеріалу, який стимулює на-укову творчість, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загаль-нолюдської культури. Ознайомлення з іменами та біографіями видатних українських математиків і педагогів, які творили на-уку, робили визначні відкриття, сприятиме також національно-му і патріотичному вихованню школярів. Варто якомога ширше використовувати естетичний, художньо-графічний, емоційно-ціннісний потенціал математики. Вибір фізико-математичного, математичного профілю навчання передбачає наявність в учня усвідомленого інтересу, мотивів до навчання математики, схиль-ності до вибору в майбутньому професії, пов’язаної з нею. Одним зі способів мотивації є створення проблемних ситуацій, органі-зація навчально-дослідницької та пошукової роботи, виконання проектних робіт (індивідуальних, парних, групових). У процесі виконання таких робіт учні ознайомлюються з етапами та мето-

7


дами наукових досліджень, пошуковою та творчою діяльністю. На доступних прикладах слід показувати учням, як розвивалися математичні поняття й відношення, теорії та методи. Усе це ро-бить математику привабливою для учнів, сприяє творчому вико-ристанню набутих математичних компетентностей на практиці.

3. Доступність навчального матеріалу — необхідна умова на-буття компетентностей. Вивчення математики на рівні стандар-ту, як правило, має спиратися на наочність, інтуїцію учнів, їхній життєвий досвід. Ознайомлення учнів з математичними факта-ми, за можливості, має розпочинатися з аналізу прикладів з до-вкілля, моделей, графіків, малюнків, фактів з інших навчальних предметів тощо. Вивчаючи тригонометричні, показникові, лога-рифмічні функції, учень має вміти встановлювати та ілюструва-ти за графіками основні їх властивості, застосовувати ці власти-вості до розв’язування нескладних рівнянь, до опису реальних процесів. Не слід приділяти занадто багато уваги виконанню громіздких перетворень тригонометричних, показникових та логарифмічних виразів і спеціальним методам розв’язування відповідних рівнянь. Основні ідеї математичного аналізу будуть доступними учням, якщо викладати їх на наочно-інтуїтивній основі. Так, слід приділити увагу як роз’ясненню механічного змісту похідної і виробленню геометричних уявлень про неї, так і розв’язуванню нескладних прикладних задач на знаходження найбільших і найменших значень реальних величин. Під час вивчення геометрії увага приділяється формуванню чітких уяв-лень про взаємовідношення геометричних об’єктів і відношень між ними з об’єктами навколишнього світу, виробленню вмінь зображати просторові фігури, конструювати і класифікувати їх, розв’язувати нескладні задачі на знаходження відстаней та кутів у просторі, елементів многогранників і круглих тіл, зокре-ма практичного змісту. Важливо, щоб наочність виконувала не лише ілюстративну, а й евристичну роль, сприяла створенню в учнів випереджального уявлення про суть змісту нового навчаль-ного матеріалу, полегшувала його сприйняття та розуміння.

4. Діяльнісна спрямованість навчання, що передбачає: по-стійне залучення учнів до різних видів навчально-пізнавальної діяльності; засвоєння не лише теоретичних, а й оперативних знань (як треба діяти в конкретних ситуаціях, щоб досягти по-ставленої мети); засвоєння способів міркувань, які застосову-ються в математиці; створення методичних ситуацій, що сти-

8


мулюють самостійні відкриття учнями математичних фактів; ознайомлення з порадами, вказівками, правилами щодо того, як діяти в певній навчальній ситуації. Засвоївши такі поради чи вказівки, учні більш вмотивовано й результативно викону-ють відповідні завдання практичного змісту. Навчання на про-фільному рівні передбачає також самостійне складання учнями алгоритмічних приписів чи евристик, ознайомлення зі структу-рою задач, їх видами та способами й прийомами розв’язування. Застосування навчального матеріалу до розв’язування задач, зокрема практичного змісту, значно покращується, якщо увагу приділяти систематизації вивчених фактів (таблиці, схеми, за-дачі за даними таблиць, класифікації).

5. Навчання математики має бути диференційованим — орієн-тованим на учнів з різними навчальними досягненнями. Цьому сприяють зразки розв’язування типових задач, проблемні запи-тання й завдання, навчальний матеріал для тих, хто бажає по-глибити свої знання, набори вправ і задач різної складності. Ре-комендується дотримуватись залежно від рівня навчання таких основних вимог до задач: чотири рівні складності (початковий, достатній, середній, високий); опорні задачі; пари аналогічних задач (для класної й домашньої роботи); задачі за таблицями; задачі з неповною, надлишковою інформацією; вправи на скла-дання задач; задачі високого рівня складності, що включають елементи задач середнього й достатнього рівнів, а останні — еле-менти задач початкового рівня; групи задач зі спільними чи ана-логічними способами розв’язування (ідеями, планами); задачі з використанням у розв’язуванні допоміжних елементів.

Загальною метою розв’язування задач має бути розумін-ня логіки виконання дій, усвідомлення математичних понять та їх властивостей як моделей реальних об’єктів і процесів зо-внішнього світу. Кількість розв’язаних задач не є пріоритетом. Корисними є обговорення різних пропозицій щодо способів розв’язування однієї задачі, аналіз та інтерпретація розв’язку та ін. Актуальним є дотримання внутрішньої логіки курсу ма-тематики, вивчення нового матеріалу на основі набутих знань, забезпечення всіх етапів навчальної діяльності (вправи для пояс-нення нового матеріалу, закріплення знань, самостійної, прак-тичної діяльності, рефлексії).

6. Важливо забезпечити інтенсивне навчання, що передбачає систематичне використання програмно-педагогічних засобів.

9


Вони дають змогу активізувати навчально-пізнавальну, дослід-ницьку діяльність учнів, посилити самостійність в опануванні компетенціями, викликати інтерес до навчання математики. У процесі використання цих засобів ураховуються такі їх мож-ливості: 1) інтегрованість (застосування однієї й тієї самої на-очності з різним цільовим призначенням; поєднання наочно-об-разної інформації зі знаково-символьною, спільний аналіз яких сприяє виробленню евристичних, дослідницьких умінь; підкрі-плення графічних образів понять, властивостей геометричних фігур їх числовими характеристиками, що дає змогу проводити дослідження); 2) конструктивність (перенесення комп’ютерних зображень реальних предметів та їх властивостей на відповід-ні моделі, де увага приділяється поелементному їх створенню, внаслідок чого учень самостійно формулює означення нових по-нять, властивості математичних об’єктів чи способи діяльності); 3) інтерактивність (використання ППЗ в різних методичних тех-нологіях; підтримка активних методів навчання; моделювання й конструювання математичних об’єктів; логічна організація фрагментів навчального матеріалу); 4) візуалізація (унаочнення абстрактних понять, різних граничних переходів шляхом ви-користання відповідних динамічних моделей; різне їх перетво-рення (переміщення, зміна форми та розмірів, розташування на площині) сприяє розвитку образного мислення, творчих та ев-ристичних його складових).

7. Застосування організаційних форм і методів навчання, що передбачають співпрацю (рольові ігри, дослідницькі проекти, експерименти, групові завдання тощо). Якщо учні залучати-муться до спільної діяльності, то це сприятиме їхній соціалізації й успішному набуванню суспільного досвіду. Відповідно до ці-лей навчання розрізняють такі організаційні форми: навчальні заняття (урок, лекція, семінар, лабораторне заняття, практичне заняття, індивідуальне заняття, навчальна конференція, кон-сультація, навчальна гра та ін.); самостійна робота (робота з дже-релами різного виду (підручники, навчальні посібники, збірники задач, довідники, фільми, сайти тощо), участь у роботі гуртків та ін.); практична підготовка (формування в учнів практичних умінь (вимірювання, побудови, конструювання, моделювання) і досвіду використовувати математичні знання на практиці).

10


Реалізація наскрізних ліній ключових компетентностей

Наскрізна лінія «Здоров’я і безпека» стосується становлення учня як емоційно стійкого члена суспільства, здатного вести здо-ровий спосіб життя й формувати навколо себе безпечне життєве середовище. Її реалізація уможливлює інтегрування знань бага-тьох предметів (математика, фізика, біологія, ОБЖ, фізкульту-ра тощо). Відомості, що стосуються здоров’я й безпеки, можна використати з метою забезпечення мотивації до навчання ма-тематики, вироблення окремих практичних умінь. Наприклад, вивчення теми «Логарифмічна функція» чи «Логарифмічні не-рівності» буде більш вмотивованим, якщо запропонувати учням розв’язати таку задачу.

Відомо, що ємність легень людини виражається формулоюf(x) = 100 · (lnх – 2)/х, де х — вік людини в роках (х ≥ 10), f(x) — ємність легень у літрах. Як з’ясувати, у якому віці ємність ле-гень більша, ніж у 15 років?

Для формування в учнів умінь використовувати набуті знан-ня на практиці під час вивчення степеневої функції пропонуємо задачу.

Під час пожежі при тривалості теплового впливу 30 с і щільності теплового потоку 12 кВт/м2 відбувається загорання дерев’яних конструкцій; при 10,5 кВт/м2 — обгорає фарба на по-фарбованих металевих конструкціях, обвуглюються дерев’яні конструкції. Людина відчуває сильний біль, коли температура верхнього шару шкірного покриву (~0,1 мм) підвищується до 45 °С. Час досягнення «порога болю» τ (c) пов’язаний зі щіль-ністю теплового потоку q (кВт/м2) співвідношенням τ = (35/q)1,33. За допомогою калькулятора встановіть час досягнення «порога болю» в умовах: а) загорання дерев’яних конструкцій; б) обвуг-лення дерев’яних конструкцій.

Для формування компетентностей стосовно здоров’я й без-пеки доцільними є задачі з фабулами про: режим харчування, якість харчових продуктів, уміння складати харчовий раціон з урахуванням можливостей, потреб і корисності; безпечне вико-ристання електоприладів та інших технічних засобів; негатив-ний вплив шкідливих звичок на молодий організм; застережен-ня щодо надмірного використання ІКТ тощо.

Реалізація наскрізної лінії «Громадянська відповідальність» спрямована на формування відповідального члена громади й сус-

11


пільства, свідомого ставлення особистості як члена суспільства до його вимог, уміння відповідати за власне життя, дії, вчинки. Її реалізація уможливлює інтегрування знань багатьох пред-метів (математика, історія, право, економіка, мистецтво тощо). Для формування компетентностей доцільно використовувати за-дачі з фабулами про: права й обов’язки людини, права дитини; роль законів у житті суспільства; демократичні та національні цінності; роль ЗМІ в суспільному житті; участь громадян у жит-ті громади й суспільства; необхідність суспільно значимих дій і вчинків; співпраця та спілкування з іншими людьми; повага до державних символів, історії, культури; економічні чинники роз-витку суспільства; необхідність засвоєння знань, зокрема істо-ричних і політико-правових. Наприклад:

Поліетиленові пакети дуже важко піддаються утилізації й по-трібно багато років для їх розкладання. Ці пакети забруднюють навколишнє середовище, містять шкідливі хімічні компонен-ти полімерних матеріалів, а під час їх спалювання виділяються отруйні сполуки, що забруднюють атмосферу. Середньостатис-тичний житель України витрачає на поліетиленові пакети від 150 до 200 грн на рік, хоча можна придбати багаторазові господарські екосумки (термін придатності — 3 роки) вартістю р: 30 грн ≤ р ≤ 75 грн. Скільки грошей міг би зекономити житель України, користу-ючись для покупок екосумкою: а) за рік; б) за три роки?

Наскрізна лінія «Підприємливість і фінансова грамотність» націлена на розвиток лідерських ініціатив, здатності успішно діяти в технологічному швидкозмінному середовищі, забезпе-чення кращого розуміння учнями практичних аспектів фінансо-вих питань (здійснення заощаджень, інвестування, запозичен-ня, страхування, кредитування тощо). Реалізація цієї змістової лінії надає можливість інтегрувати знання з математики, еко-номіки, права, історії, української та іноземної мови тощо. Для формування компетентностей доцільно використовувати задачі з фабулами про: податки; цінні папери; банківську справу; сі-мейний бюджет; вартість товарів і послуг; страхування; благо-дійність. Наприклад:

За якої швидкості легкового автомобіля витрати пального бу-дуть найменшими, якщо їх приблизно можна описати функцією y(x) = 0,0017x2 – 0,18x + 10,2, де х — швидкість автомобіля в км/год (30 < х < 200), у — кількість літрів пального на 100 км?

Наскрізна лінія «Екологічна безпека та сталий розвиток» стосується формування в учнів соціальної активності, відпові-

12


дальності та екологічної свідомості, готовності брати участь у вирішенні питань збереження довкілля й розвитку суспільства, усвідомлення важливості сталого розвитку для майбутніх по-колінь. Ця наскрізна лінія дає можливість інтегрувати знання з математики, екології, історії, економіки, фізики, хімії, біології тощо. Для формування компетентностей доцільно використову-вати задачі з фабулами про: зміни клімату; природні катаклізми й техногенні аварії; забруднення довкілля (викиди, відходи); ви-користання застарілих технологій; використання небезпечних матеріалів; економне використання енергоресурсів; екологіч-ність продукції споживання; порушення правил безпеки і техно-логій (ґрунти, водні ресурси). Наприклад:

Швидкість росту пустель світу через нераціональне природо-користування сягає 20 га/хв, а площа сільськогосподарських земель, включаючи пасовища та пашню, приблизно дорівнює 45 млн км2. Через який час кількість сільськогосподарських земель зменшиться удвічі?

Урізноманітнення організаційних форм, методів і засобів навчання. Для розвитку інтелектуального і творчого потенціалу учнів доцільне використання нових інформаційних технологій. Ефективним у цьому контексті може стати інтерактивне навчан-ня, за допомогою якого створюється атмосфера співробітництва та взаємодії. За інтерактивного навчання освітній процес орга-нізовується таким чином, що практично всі учні залучаються до пізнавальної діяльності, при цьому кожний робить індиві-дуальний внесок у вирішення загальних навчальних завдань. Використання інтерактивних форм і методів навчання сприяє розвиткові мислення учнів (зокрема, критичного): спонукання їх до висловлення своєї думки, стимулювання вироблення твор-чого ставлення до будь-яких висновків, правил тощо. Деякі з інтерактивних форм навчання («Робота в парах», «Робота у гру-пах», «Карусель», «Пошук інформації» та ін.) спрямовані на са-мостійне осмислення матеріалу, допомагають замислитися («Чи справді це так?»), дослідити факти, проаналізувати алгоритми розв’язувань, зрозуміти їхню суть, перевірити результати діяль-ності свої і свого товариша, знайти за необхідності помилку. Ці форми стимулюють до відстоювання власної думки, участі в дискусії, здійснення самоконтролю й самооцінки. Застосування форм «Аналіз ситуації», «Вирішення проблем» сприяє навчан-ню учнів протистояти тиску більшості, визначати позитивного і

13


негативного не тільки в діях товаришів, а й у власних; порівню-вати себе з іншими й ретельно оцінювати власну поведінку.

Забезпечити успішне навчання математики можна за умови наскрізного застосування інформаційно-комунікаційних техно-логій. Запровадження ІКТ має перейти від одноразових проек-тів у системний процес, який охоплює всі види діяльності. ІКТ суттєво розширюють можливості вчителя, оптимізують управ-лінські процеси, таким чином формуючи в учня технологічні компетентності. Візуалізація навчального матеріалу дає змогу інтенсифікувати навчання; активізувати навчальну та пізна-вальну діяльність; набувати досвіду образного представлення знань і навчальних дій. Спектр форм візуалізації навчального матеріалу досить широкий. Наприклад, комп’ютерні презен-тації, флеш-анімації, відео/аудіоматеріали, зображення, діа-грами, схеми, графіки, інтелект-карти тощо. Для візуалізації теоретичного матеріалу також стануть у пригоді такі програмні засоби, як GeoGebra чи Desmos.

Сучасні умови функціонування суспільства вимагають від людини інтегрованих знань і умінь. Із цією метою доцільно ви-користовувати «Хвильові занурення» — проектний підхід у на-вчанні, який передбачає детальне вивчення певної тематики. Бувають предметні хвильові занурення (учні вивчають детально одну тему в межах одного предмета) та тематичні хвильові зану-рення (учні вивчають одну тему на різних предметах). Наведемо приклад, як можна реалізувати тематичне хвильове занурення під час вивчення теми «Графіки функцій, геометричні перетво-рення графіків функцій». На уроці математики учні ознайомлю-ються з основним теоретичним матеріалом про графіки функцій. На уроці інформатики будують графіки засобами ІКТ. На уроці географії будують і читають графіки температур. На уроці фі-зики аналізують і будують графіки руху тіл, розв’язують відпо-відні задачі. На уроці біології досліджують графіки зміни рос-ту людини. На уроці економіки — графіки зміни курсу валют. На уроці англійської мови вивчають терміни: функція, графік функції, область значень тощо.

Учні дуже рідко засвоюють інформацію, що надається їм у го-товому вигляді. У такому контексті все більш актуальним стає змішане навчання. За такого навчання частину відомостей учень опановує самостійно онлайн (він сам контролює час, місце, ритм і послідовність виконуваних завдань), а частину відомостей —

14


у класі з учнями та вчителем. Однією з моделей для змішаного навчання є «Перевернутий клас» — організація навчального про-цесу, коли учні спершу самостійно вивчають теоретичний мате-ріал онлайн, а потім ідуть до школи, щоб на базі здобутих знань і засвоєних правил й інструкцій отримати додаткові відомості від учителя, набути досвіду в застосуванні теоретичного матеріа-лу, працювати над проектами. Тобто основна теоретична частина курсу засвоюється учнем самостійно онлайн. Звісно, не засвоївши теорію самостійно, учень не зможе розв’язувати задачі, брати ак-тивну участь у дискусіях з учителем чи реалізувати проект.

Щоб залучити учнів до самостійної навчальної діяльності, необхідно забезпечити її посильність, доступність і різноманіт-ність, ураховуючи при цьому вікові та індивідуальні особливості учнів. Будь-яку самостійну роботу слід починати з постановки мети та роз’яснення способів дії. Рекомендуються такі види са-мостійної роботи учнів: 1) робота з книжкою чи інтернет-ресур-сами; 2) розв’язування задач і вправ; 3) підготовка доповідей і рефератів; 4) виконання практичних і лабораторних робіт; 5) ви-конання індивідуальних і групових завдань; 6) домашні лабо-раторні досліди та спостереження; 7) технічне моделювання та конструювання. До самостійної роботи відносять і виконання учнями навчальних проектів. Учні під час виконання проекту осягають реальні процеси та об’єкти, проживають конкретні ситуації, залучаються до проникнення всередину явищ, проце-сів і конструювання нових об’єктів. Мета — створити умови, за яких учні: самостійно й охоче набувають знання з різних дже-рел; учаться користуватися набутими знаннями для вирішення пізнавальних і практичних завдань; набувають комунікативні вміння, працюючи в різних групах; розвивають у себе дослід-ницькі вміння, системне мислення.

Для ефективного управління навчальним процесом учителю необхідний постійний зворотний зв’язок з учнями: як вони за-своїли новий навчальний матеріал, як опрацювали матеріал удо-ма, з якими проблемами стикнулися? Важливо, щоб будь-який контроль знань і навичок сприймався вчителем не як покарання, а як засіб для здійснення моніторингу результативності навчаль-ної діяльності учнів. Організувати зворотний зв’язок швидко, якісно і завжди мати доступ до його результатів дають можли-вість сервіси для здійснення опитування, анкетування, тестуван-ня тощо. Використовуючи їх, можна: організовувати різнома-

15


нітні заходи; збирати відомості про учнів; вирішувати питання, що виникають у колективі; здійснювати корекцію навчального плану залежно від побажань учнів; перевіряти розуміння учня-ми навчального матеріалу; перевіряти знання та навички учнів (у класі та поза ним); здійснювати корекцію знань і планування навчальної роботи на підставі отриманих результатів; залучати кожного учня до обговорення проблеми, дискутування, роботи над проектом тощо. За наявності в кожного учня в класі планше-та або ж смартфону ці сервіси можна використовувати на уроці. В інших випадках — краще запланувати роботу з ними вдома або ж у комп’ютерному класі. Учитель може використовувати бага-то різноманітних сервісів, наприклад, Kahoot, Quizizz, Quizalize, Triventy, Plickers, Google Forms.

Порівняльна таблиця функціональних можливостей веб-сервісів

Веб-сервіс

Під

ійд

е д

ля

до

ма

шн

ьої

ро

бо

ти

Мо

жл

ив

ість

гр

ати

в

ко

ма

нд

і

На

яв

ніс

ть W

iFi в

уч

нів

Мо

жл

ив

ість

ви

кор

ис

тан

-н

я д

ля

кл

ас

но

ї ро

бо

ти

Ав

том

ати

чн

о г

ен

ер

уєть

-с

я Q

R-

код

дл

я в

ход

у

На

яв

ніс

ть с

ма

ртф

он

ів

чи

ко

мп

’юте

рів

в у

чн

ів

На

яв

ніс

ть с

ма

ртф

он

у в

уч

ите

ля

пр

и з

ап

уску

в

ікто

ри

ни

у к

ла

сі

На

яв

ніс

ть к

ом

п’ю

тер

а

в у

чи

тел

я п

ри

за

пус

ку

вік

тор

ин

и у

кл

ас

іKahoot + + + + +

Quiziz + + + + +

Quizalize + + + + +

Triventy + + + + +

Plickers + + +

Google Forms + + + + +

Доцільне використання цих засобів сприяє підвищенню ефек-тивності навчання, інтересу учнів до математики, а також дає змогу залучити їх до активної роботи на уроці.

16


НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМАЗ МАТЕМАТИКИ

(алгебра і початки аналізу та геометрія)для учнів 10–11 класів

закладів загальної середньої освіти

Рівень стандартуПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Мета базової загальної середньої освіти: розвиток особистос-ті, яка поєднує в собі творчий потенціал до навчання, ініціатив-ність до саморозвитку та самонавчання в сучасних умовах, здат-ності ідентифікувати себе як важливу й відповідальну складову українського суспільства, яка готова змінювати й відстоювати національні цінності українського народу. Важливим чинни-ком розвитку такої особистості є формування в учнів умінь за-стосовувати набуті знання в реальних життєвих ситуаціях, під час розв’язування практичних завдань та здатності визначати й обґрунтовувати власну життєву позицію.

Провідним засобом реалізації вказаної мети є запровадження компетентнісного підходу в навчально-виховний процес загаль-ноосвітньої школи шляхом формування предметних і ключових компетентностей.

В основу побудови змісту та організації процесу навчання ма-тематики покладено компетентнісний підхід, відповідно до яко-го кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності, які сприятимуть здатності учня застосовувати свої знання в реальних життєвих ситуаціях, нести відповідаль-ність за свої дії, брати повноцінну участь в житті суспільства.

Для успішної участі в сучасному суспільному житті особис-тість має володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язування практичних за-дач. Певної математичної підготовки й готовності її застосовува-ти потребує і вивчення багатьох навчальних предметів загально-освітньої школи. Володіння математикою на рівні розв’язування практичних задач необхідне для отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах, а також здо-буття престижної професії в майбутньому. Тому одним з голо-вних завдань цього курсу є забезпечення умов для досягнення кожним учнем практичної компетентності.

17


Практична компетентність передбачає, що випускник загаль-ноосвітнього навчального закладу:

• вміє будувати й досліджувати найпростіші математичні мо-делі реальних об’єктів, процесів і явищ, задач, пов’язаних з ними, за допомогою математичних об’єктів, відповідних ма-тематичних задач;

• вміє оволодівати необхідною оперативною інформацією для розуміння постановки математичної задачі, її характеру й особливостей; уточнювати вихідні дані, мету задачі, знахо-дити необхідну додаткову інформацію, засоби розв’язування задачі; переформульовувати задачу; розчленовувати задачі на складові, встановлювати зв’язки між ними, складати план розв’язування задачі; вибирати засоби розв’язування задачі, їх порівнювати та застосовувати оптимальні; перевіряти пра-вильність розв’язування задачі; аналізувати й інтерпретувати отриманий результат, оцінювати його придатність із різних позицій; узагальнювати задачу, всебічно її розглядати; при-ймати рішення за результатами розв’язування задачі;

• володіє технікою обчислень, раціонально поєднуючи усні, письмові, інструментальні обчислення, зокрема наближені;

• вміє проектувати й здійснювати алгоритмічну та евристичну діяльність на математичному матеріалі;

• вміє працювати з формулами (розуміти змістове значення кожного елемента формули, знаходити їх числові значення при заданих значеннях змінних, виражати одну змінну через інші);

• вміє читати й будувати графіки функціональних залежнос-тей, досліджувати їхні властивості;

• вміє класифікувати й конструювати геометричні фігури на площині й у просторі, встановлювати їхні властивості, зобра-жати просторові фігури та їхні елементи, виконувати побудо-ви на зображеннях;

• вміє вимірювати геометричні величини на площині й у про-сторі, які характеризують розміщення геометричних фігур (відстані, кути), знаходити кількісні характеристики фігур (площі та об’єми);

• вміє оцінювати шанси настання тих чи інших подій.Практична компетентність є важливим показником якості

математичної освіти, природничої підготовки молоді. Вона пев-ною мірою свідчить про готовність молоді до повсякденного жит-

18


тя, до найважливіших видів суспільної діяльності, до оволодін-ня професійною освітою.

Формування навичок застосування математики є однією з головних цілей навчання математики. Радикальним засобом реалізації прикладної спрямованості шкільного курсу матема-тики є широке систематичне застосування методу математично-го моделювання протягом усього курсу. Це стосується введення понять, виявлення зв’язків між ними, характеру ілюстрацій, системи вправ і, нарешті, системи контролю. Інакше кажучи, математики треба так навчати, щоб учні вміли її застосовувати. Забезпечення прикладної спрямованості викладання математи-ки сприяє формуванню стійких мотивів до навчання взагалі й до навчання математики зокрема.

Реалізація практичної спрямованості в процесі навчання математики означає:1) створення запасу математичних моделей, які описують

реальні явища та процеси, мають загальнокультурну значу-щість, а також вивчаються в суміжних предметах;

2) формування в учнів знань і вмінь, які необхідні для дослі-дження цих математичних моделей;

3) навчання учнів побудові й дослідженню найпростіших мате-матичних моделей реальних явищ і процесів.

Практична спрямованість математичної освіти суттєво підви-щується завдяки впровадженню інформаційно-комунікаційних засобів у навчання математики.

Одним з найважливіших засобів забезпечення практичної спрямованості навчання математики є встановлення міжпред-метних зв’язків математики з іншими предметами, насампе-ред із природничими. Особливої уваги заслуговує встановлення зв’язків між математикою та інформатикою — двома освітніми галузями, які є визначальними в підготовці особистості до жит-тя в постіндустріальному, інформаційному суспільстві. Широке застосування інформаційно-комунікаційних засобів у навчанні математики доцільне для проведення математичних експери-ментів, практичних занять, інформаційного забезпечення, ві-зуального інтерпретування математичної діяльності, проведен-ня досліджень.

Крім того, навчання математики має зробити певний внесок у формування ключових компетентностей.

19


№Ключові

компетент-ності

Компоненти

1

Спілкування державною (і рідною в разі від-мінності) мовою

Уміння: ставити запитання й розпізнавати пробле-му; міркувати, робити висновки на основі інформа-ції, поданої в різних формах (у таблицях, діаграмах, на графіках); розуміти, пояснювати та перетворюва-ти тексти математичних задач (усно та письмово), грамотно висловлюватися рідною мовою; доречно та коректно вживати в мовленні математичну термі-нологію, чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати думку, аргументувати, доводити правильність твер-джень; поповнювати свій словниковий запас.Ставлення: розуміння важливості чітких і лаконіч-них формулювань.Навчальні ресурси: означення понять, фор-мулювання властивостей, доведення теорем, розв’язування задач

2Спілкування іноземними мовами

Уміння: спілкуватися іноземною мовою з викорис-танням числівників, математичних понять і найужи-ваніших термінів; ставити запитання, формулювати проблему; зіставляти математичний термін чи бук-вене позначення з його походженням з іноземної мови, правильно використовувати математичні терміни в повсякденному житті.Ставлення: усвідомлення важливості вивчення іноземних мов для розуміння математичних тер-мінів і позначень, пошуку інформації в іншомовних джерелах.Навчальні ресурси: тексти іноземною мовою з використанням статистичних даних, математичних термінів

3Математич-на компе-тентність

Уміння: оперувати числовою інформацією, геомет-ричними об’єктами на площині та в просторі; вста-новлювати просторові відношення між реальними об’єктами навколишньої дійсності (природними, культурними, технічними тощо); розв’язувати за-дачі, зокрема практичного змісту; будувати й дослі-джувати найпростіші математичні моделі реальних об’єктів, процесів і явищ, інтерпретувати та оціню-вати результати; прогнозувати в контексті навчаль-них і практичних задач; використовувати матема-тичні методи в життєвих ситуаціях.

20


№Ключові



Ставлення: усвідомлення значення математики для повноцінного життя в сучасному суспільстві, розвитку технологічного, економічного й оборон-ного потенціалу держави, успішного вивчення ін-ших дисциплін.Навчальні ресурси: розв’язування математичних задач, зокрема таких, що моделюють реальні жит-тєві ситуації

4

Основні компе-тентності у природни-чих науках і технологіях

Уміння: розпізнавати проблеми, що виникають у довкіллі та які можна розв’язати засобами матема-тики; будувати й досліджувати математичні моделі природних явищ і процесів.Ставлення: усвідомлення важливості математики як універсальної мови науки, техніки та технологій.Навчальні ресурси: складання графіків та діа-грам, які ілюструють функціональні залежності ре-зультатів впливу людської діяльності на природу

5

Інформацій-но-цифрова компетент-ність

Уміння: структурувати дані; діяти за алгоритмом та складати алгоритми; визначати достатність даних для розв’язування задачі; використовувати різні знакові системи; знаходити інформацію й оцінюва-ти її достовірність; доводити істинність тверджень.Ставлення: критичне осмислення інформації та джерел її отримання; усвідомлення важливості ІКТ для ефективного розв’язування математичних задач.Навчальні ресурси: візуалізація даних; побудова графіків і діаграм, зображень стереометричних фі-гур за допомогою програмних засобів

6Уміння вчи-тися впро-довж життя

Уміння: визначати мету навчальної діяльності, від-бирати й застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення цієї мети; організову-вати та планувати свою навчальну діяльність; мо-делювати власну освітню траєкторію, аналізувати, контролювати, коригувати й оцінювати результати своєї навчальної діяльності; доводити правильність власного судження або визнавати його помилко-вість.

21


№Ключові



Ставлення: усвідомлення власних освітніх потреб та цінності нових знань і вмінь; зацікавленість у пізнанні світу; розуміння важливості вчитися впро-довж життя; прагнення до вдосконалення результа-тів своєї діяльності.Навчальні ресурси: моделювання власної освіт-ньої траєкторії; статистична інформація; історичні задачі; завдання ймовірнісного змісту

7

Ініціатив-ність і під-приємли-вість

Уміння: генерувати нові ідеї, вирішувати життєві проблеми, аналізувати, прогнозувати, ухвалювати оптимальні рішення; використовувати критерії ра-ціональності, практичності, ефективності й точності з метою вибору найкращого рішення; аргументу-вати та захищати свою позицію, дискутувати; ви-користовувати різні стратегії, шукаючи оптимальні способи розв’язування життєвого завдання.Ставлення: ініціативність, відповідальність, упев-неність у собі; переконаність, що успіх команди — це й особистий успіх; позитивне оцінювання та під-тримка конструктивних ідей інших.Навчальні ресурси: задачі підприємницького змісту (оптимізаційні задачі)

8

Соціальна та грома-дянська компетент-ності

Уміння: висловлювати власну думку, слухати й чути інших, оцінювати аргументи та змінювати думку на основі доказів; аргументувати й відстоювати свою позицію; ухвалювати аргументовані рішення в жит-тєвих ситуаціях; співпрацювати в команді, виділя-ти та виконувати власну роль у командній роботі; аналізувати власну економічну ситуацію, родинний бюджет, застосовуючи математичні методи; орієн-туватися в широкому колі послуг і товарів на основі чітких критеріїв, робити споживчий вибір, спираю-чись, зокрема, і на математичні дані.Ставлення: ощадливість і поміркованість; рівне ставлення до інших незалежно від статків, соціаль-ного походження; відповідальність за спільну спра-ву; налаштованість на логічне обґрунтування пози-ції без передчасного переходу до висновків; повага до прав людини, активна позиція щодо боротьби з дискримінацією.Навчальні ресурси: задачі соціального змісту

22


№Ключові



9

Обізнаність і самови-раження у сфері куль-тури

Уміння: здійснювати необхідні розрахунки для встановлення пропорцій, відтворення перспекти-ви, створення об’ємно-просторових композицій; унаочнювати математичні моделі, зображати фігу-ри, графіки, рисунки, схеми, діаграми.Ставлення: усвідомлення взаємозв’язку матема-тики та культури на прикладах з архітектури, живо-пису, музики та ін.; розуміння важливості внеску математиків у загальносвітову культуру.Навчальні ресурси: математичні моделі в різних видах мистецтва

10

Екологічна грамотність і здорове життя

Уміння: аналізувати й критично оцінювати соціаль-но-економічні події в державі на основі статистич-них даних; ураховувати правові, етичні, екологічні й соціальні наслідки рішень; розпізнавати, як інтер-претації результатів вирішення проблем можуть бути використані для маніпулювання.Ставлення: усвідомлення взаємозв’язку математи-ки та екології на основі статистичних даних; ощад-ливе й бережливе ставлення до природних ресурсів, чистоти довкілля та дотримання санітарних норм побуту; розгляд порівняльної характеристики щодо вибору здорового способу життя; власна думка та позиція щодо зловживання алкоголем, нікотином тощо. Навчальні ресурси: навчальні проекти, задачі со-ціально-економічного, екологічного змісту; задачі, які сприяють усвідомленню цінності здорового спо-собу життя

Наскрізні лінії та їх реалізація. У навчальній програмі ви-окремлюються такі чотири наскрізні лінії ключових компетент-ностей: «Екологічна безпека та сталий розвиток», «Громадян-ська відповідальність», «Здоров’я і безпека», «Підприємливість і фінансова грамотність», які спрямовані на формування в учнів здатності застосовувати знання й уміння в реальних життєвих ситуаціях.

Наскрізні лінії є засобом інтеграції ключових і загальнопред-метних компетентностей, навчальних предметів і предметних циклів, їх необхідно враховувати під час формування шкільного середовища життєдіяльності.

23


Наскрізні лінії є соціально значимими надпредметними тема-ми, які допомагають формуванню в учнів уявлень про суспіль-ство загалом, розвивають здатність застосовувати отримані знання в різних життєвих ситуаціях.

Навчання за наскрізними лініями реалізується насамперед: • через організацію відповідного навчального середовища —

зміст і цілі наскрізних тем враховуються під час формування духовного, соціального та фізичного середовища навчання;

• через базові навчальні предмети — під час навчання, вихо-дячи з наскрізних тем, проводяться відповідні трактування, приклади й методи навчання, реалізуються надпредметні, міжкласові та загальношкільні проекти. Роль навчальних предметів під час навчання наскрізних тем — різна й зале-жить від цілей і змісту навчального предмета та від того, на-скільки тісно пов’язаний з конкретною наскрізною темою той чи інший предметний цикл;

• через предмети за вибором; • через спеціальні курси за вибором; • через позакласну навчальну роботу.

Наскрізні лінії:1. Наскрізна лінія «Екологічна безпека та сталий розвиток»

орієнтована на формування в учнів соціальної активності, від-повідальності та екологічної свідомості, готовності брати участь у вирішенні питань збереження довкілля й розвитку суспіль-ства, усвідомлення важливості сталого розвитку для майбутніх поколінь.

Проблематика наскрізної лінії «Екологічна безпека та сталий розвиток» реалізується в курсі математики, насамперед через завдання з реальними даними про використання природних ре-сурсів, їх збереження та примноження. Аналіз цих даних сприяє розвитку бережливого ставлення до навколишнього середовища, екології, формуванню критичного мислення, вмінню вирішува-ти проблеми, критично оцінювати перспективи розвитку навко-лишнього середовища та людини. Можливе проведення уроків просто неба. Під час розгляду цієї лінії важливе місце посідають відсоткові обчислення, функції, елементи теорії ймовірностей і статистики.

2. Реалізація наскрізної лінії «Громадянська відповідаль-ність» сприятиме формуванню відповідального члена громади й суспільства, що розуміє принципи та механізми функціонуван-ня суспільства. Ця наскрізна лінія освоюється переважно через

24


колективну діяльність (дослідницькі роботи, роботи в групі, проекти тощо), яка поєднує математику з іншими навчальними предметами й розвиває в учнів готовність до співпраці, толерант-ність щодо різноманітних способів діяльності та думок.

Навчання математики має викликати в учнів якомога більше позитивних емоцій, а її зміст — бути спрямованим на вихован-ня порядності, старанності, систематичності, послідовності, по-сидючості та чесності. Приклад учителя покликаний відіграти важливу роль у формуванні толерантного ставлення до товари-шів, незалежно від рівня навчальних досягнень. Із цією ж на-скрізною лінією пов’язані, наприклад, процентні обчислення, елементи статистики, що дають змогу учням зрозуміти значення кількісних показників при характеристиці суспільства та його розвитку.

3. Завданням наскрізної лінії «Здоров’я і безпека» є станов-лення учня як емоційно стійкого члена суспільства, здатного вести здоровий спосіб життя і формувати навколо себе безпечне життєве середовище.

Наскрізна лінія «Здоров’я і безпека» в курсі математики реалізується через завдання з реальними даними про безпеку й охорону здоров’я (текстові завдання, пов’язані з середовищем дорожнього руху, рухом пішоходів і транспортних засобів, від-сотковими обчисленнями та графіками, що стосуються чинників ризику). Особливо важливим є аналіз причин ДТП, що пов’язані з перевищенням швидкості. Варто звернути увагу на проблеми, пов’язані з ризиками для життя і здоров’я під час вивчення основ теорії ймовірностей та математичної статистики. Вирішення проблем, знайдених з «ага-ефектом»2, розгляд красивих матема-тичних конструкцій, пошук оптимальних методів розв’язування задач здатні викликати в учнів позитивне відчуття успіху.

4. Наскрізна лінія «Підприємливість і фінансова грамот-ність» срямована на розвиток лідерських ініціатив, здатність успішно діяти в технологічному швидкозмінному середовищі, забезпечення кращого розуміння учнями практичних аспектів фінансових питань (здійснення заощаджень, інвестування, за-позичення, страхування, кредитування тощо).

Ця наскрізна лінія пов’язана з розв’язуванням практичних задач щодо планування господарської діяльності та реальної оцінки власних можливостей, складання сімейного бюджету,

2 Під «ага-ефектом» мається на увазі спільне вирішення задачі з ефектом рапто-вого здогаду, «еврики».

25


формування економного ставлення до природних ресурсів. Вона реалізується під час вивчення відсоткових обчислень, рівнянь та функцій.

З метою підвищення ефективності навчання необхідною умо-вою є залучення до навчально-виховного процесу компетентніс-ного, діяльнісного та особистісно орієнтованого підходів, які передбачають систематичне включення учнів до різних видів ак-тивної навчально-пізнавальної діяльності та формування умінь, корисних у реальних життєвих ситуаціях. Доцільно, де це мож-ливо, не лише показувати виникнення математичного факту з практичної ситуації, а й ілюструвати його застосування на прак-тиці. Формуванню математичної та ключових компетентностей сприяє встановлення та реалізація в навчанні математики між-предметних і внутрішньопредметних зв’язків, а саме: змістово-інформаційних, операційно-діяльнісних й організаційно-мето-дичних. Їх використання посилює пізнавальний інтерес учнів до навчання та підвищує їхній рівень загальної культури, створює умови для систематизації навчального матеріалу й формування наукового світогляду. Учні набувають досвіду застосування знань на практиці.

Важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської куль-тури. На дохідливих прикладах слід показувати учням, як роз-вивалися математичні поняття й відношення, теорії та методи. Ознайомлення учнів з іменами та біографіями видатних учених, які створювали математику, зокрема видатних українських ма-тематиків, сприятиме національному й патріотичному вихован-ню школярів.

Рекомендації щодо роботи з програмою. Однією з головних змістових ліній курсу «Математика» в старшій школі є функ-ціональна лінія. Тому доцільно розпочинати вивчення курсу з теми «Функції, їхні властивості та графіки» — його фундаменту. У цій темі здійснюється повторення, систематизація матеріалу стосовно функцій, який вивчався в основній школі, його поглиб-лення й розширення, зокрема за рахунок степеневих функцій. Головною метою опрацювання цієї теми є підготовка учнів до ви-вчення нових класів функцій (тригонометричних, степеневих, показникових, логарифмічних), а також мотивація необхідності

26


розширення апарату дослідження функцій за допомогою похід-ної. Лейтмотивом теми має бути моделювання реальних процесів за допомогою функцій. Оскільки робота з діаграмами, рисунка-ми, графіками є одним з поширених видів практичної діяльності людини, то одним з головних завдань вивчення теми слід вва-жати розвиток графічної культури учнів. Ідеться передусім про «читання» графіків, тобто про встановлення властивостей функ-ції за її графіком.

У наступних темах розширюються класи функцій, які ви-вчалися в основній школі. У темах «Тригонометричні функції» і «Показникова та логарифмічна функції» вміння досліджувати функції, які сформовані в першій темі, закріплюються і засто-совуються до моделювання закономірностей коливального руху, процесів зростання та спадання. В уявленні учнів характер фі-зичного процесу має асоціюватись із відповідною функцією, її графіком, властивостями.

Важливим завершенням функціональної лінії курсу «Мате-матика» є розгляд понять похідної та інтеграла, які є необхід-ним інструментом дослідження руху. Основні ідеї математич-ного аналізу виглядають досить простими й наочними, якщо викладати їх на тому інтуїтивному рівні, на якому вони виникли історично і який цілком задовольняє потреби загальноосвітньої підготовки учнів. Не варто захоплюватися формально-логічною строгістю доведень та відводити багато часу суто технічним пи-танням і конструкціям. Більше уваги слід приділити змісту ідей і понять, їх геометричному і фізичному тлумаченню. Вивчення інтегрального числення зазвичай починається з розгляду сукуп-ності первісних даної функції, яку доцільно розуміти як сукуп-ність функцій, що задовольняють умову у′ = f(х).

У курсі математики старшої школи набувають розвитку й інші змістові лінії: обчислення, вирази й перетворення, рівнян-ня та нерівності.

Розглядаються обчислення, оцінювання та порівняння зна-чень тригонометричних, степеневих, показникових, логариф-мічних виразів.

Певне місце в курсі займають тотожні перетворення тригоно-метричних, степеневих і логарифмічних виразів. Тригономет-ричні функції пов’язані між собою багатьма співвідношеннями. Їх умовно можна поділити на три групи. Перша група формул установлює зв’язок між координатами точки кола — це так звані основні співвідношення. Друга група формул має своїм джере-

27


лом симетрію та періодичність руху точки по колу. Вона скла-дається з формул зведення. Третю групу тотожностей породжу-ють повороти точки навколо центра кола. Формули додавання пов’язують координати точок Pα, Pβ, Pα + β.

Не слід приділяти занадто багато уваги громіздким перетво-ренням тригонометричних, степеневих і логарифмічних виразів та спеціальним методам розв’язування тригонометричних, по-казникових і логарифмічних рівнянь. Вони, як правило, не зна-ходять практичних застосувань.

У старшій школі розширюються класи рівнянь, нерівностей, їх систем, методи розв’язування, сфери застосування. Вивчен-ня цього матеріалу пов’язується з властивостями відповідних функцій.

Як і в основній школі, геометрія у старшій школі має навчати учнів правильному сприйманню навколишнього світу. Але для цього стереометрія має більше можливостей. Ідеться про розви-ток логічного мислення, формування просторової уяви, вироблен-ня навичок застосування геометрії до розв’язування практичних завдань. Розв’язування цих завдань розпочинається з розгляду теми «Паралельність прямих і площин у просторі». У ній закла-дається фундамент для вивчення стереометрії — геометрії про-стору. Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості теми. Головним внеском у розв’язання зазначеної проблеми є формування чітких уявлень про взаємовідношення геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними з об’єктами навколишнього світу. Важливе місце в темі необхідно відвести навчанню учнів зображенню просторових фігур на пло-щині й застосуванню цих зображень під час розв’язування задач.

У процесі вивчення теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі» закладається фундамент для вимірювань у стереометрії. Значної уваги вимагає формування таких фунда-ментальних понять, як загальне поняття відстані, поняття кута як міри розміщення прямих і площин та двогранного кута як геометричної фігури. З введенням відношення перпендикуляр-ності прямих і площин, перпендикулярності площин, а також від-станей і кутів моделюючі можливості курсу стереометрії значно зростають. Розгляд теми «Координати і вектори» дасть змогу по-вторити навчальний матеріал із стереометрії й застосувати но-вий підхід до вивчення прямих і площин у просторі. Окремим за-вданням вивчення теми «Координати і вектори» є узагальнення векторного й координатного методів у випадку простору.

28


У темах «Многогранники», «Тіла обертання» розглядаються основні види геометричних тіл та їхні властивості. Під час ви-вчення цих тем важливим є підхід, що передбачає формування навичок конструювання і класифікації тіл та їх поверхонь. Та-кий підхід потребує використання конструктивних означень. Конструктивні означення дають змогу встановити спільність між призмами й циліндрами, пірамідами та конусами. У процесі вивчення теми «Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл» мають бути розглянуті різні методи обчислення об’ємів і площ поверхонь. Особливу увагу необхідно приділити методу розбит-тя, який має велике практичне значення. Використання анало-гії між вимірюваннями площ плоских фігур й об’ємів сприятиме засвоєнню матеріалу учнями. Під час вивчення площ поверхонь тіл доцільно широко користуватися природною й важливою з практичної точки зору ідеєю розгортки.

Програма передбачає реалізацію діяльнісного підходу до на-вчання математики як головної умови забезпечення ефективнос-ті математичної освіти.

Навчальний процес у старшій школі потребує і робить можли-вим використання специфічних форм та методів навчання. Мож-ливість їх використання зумовлена віковими особливостями старшокласників, набутими в основній школі навичками само-стійної роботи, рівнем розвинення загальнонавчальних і пізна-вальних видів діяльності. Основною формою проведення занять залишається система уроків: вивчення нового матеріалу, форму-вання вмінь розв’язувати задачі, узагальнення та систематизації знань, контролю й корекції знань. Поряд із цим використовуєть-ся шкільна лекція, семінарські та практичні заняття, інтегрова-ні уроки математики з профільним предметом тощо.

Реалізація рівневої диференціації на практичних заняттях є однією з головних умов ефективності навчання. Особливістю практичних занять має бути постійне залучення учнів до само-стійної роботи. Доцільно спільно обговорити ідею та алгоритм розв’язування певного класу задач. Після цього кожний учень може виконувати запропоновану систему вправ, спілкуючись із вчителем.

Важливе місце в організації навчання математики має по-сісти вдосконалення, у порівнянні з основною школою, системи самостійної роботи учнів. Формуванню відповідних мотивів до самостійної роботи сприяє застосування завдань на рисунках, контрольних запитань, зокрема прикладного характеру, домаш-

29


ніх робіт з дослідження конкретних класів функцій, геометрич-них конструкцій.

Важливим засобом навчання можуть стати контрольні запи-тання й тестові завдання, які спрямовані не на відтворення озна-чень, фактів, формул, а на з’ясування елементів та структури означень математичних об’єктів; їх місця в системі інших понять; операцій, які можна виконувати з об’єктом, його особливостей і властивостей. Подібні контрольні запитання стимулюють продук-тивне мислення учнів, сприяють неформальному засвоєнню тео-ретичного матеріалу, формують навички порівняння, класифіка-ції, узагальнення, застосування математичних понять й об’єктів.

Обов’язковим елементом технології навчання має бути постій-на діагностика навчальних досягнень учнів. Вивчення кожної теми слід починати з виконання діагностичної роботи, що дає змо-гу встановити рівень володіння матеріалом попередньої теми. За результатами діагностичної роботи виявляються прогалини в під-готовці учня, його досягнення, що допомагає спрямувати зусилля як самого учня, так і викладача на поліпшення стану справ.

Значне місце в технології навчання має посідати тематичний контроль навчальних досягнень як засіб управління навчальним процесом. До кожної теми система контролю може складатися з тематичної контрольної роботи, що, як правило, включає дві частини — теоретичну й тестову.

Обов’язковим елементом навчання мають стати індивідуальні завдання з теми. Їх варто пропонувати на завершальному етапі вивчення теми для самостійного опрацювання після всіх контро-люючих заходів. Мета завдань — охопити матеріал теми зага-лом, привернути увагу до головного, дати додаткові приклади й пояснення окремих складних моментів, підкреслити особливості й тонкощі, переконати учнів у можливості розв’язування задач основних типів. Індивідуальні завдання перевіряються, оціню-ються вчителем та захищаються учнем. Варто планувати вико-нання індивідуальних завдань, які передбачають ознайомлення як з розвитком математики в історичному аспекті (наприклад, з теми «Скільки існує геометрій?»), так і змістовних («Перспек-тива», «Математика і соціологія»).

Одним з ефективних засобів удосконалення навчання, особ-ливо у старшій школі, є модульне проектування навчального процесу, яке передбачає, що одиницею виміру навчального про-цесу є не урок, а певна сукупність уроків, що охоплює логічно пов’язаний блок навчальних питань теми.

30


Програма передбачає насамперед оволодіння загальною ма-тематичною культурою, вироблення математичного стилю мис-лення, тобто вміння класифікувати об’єкти, встановлювати закономірності, виявляти зв’язки між різними явищами, при-ймати рішення тощо.

Структура навчальної програми. Програму подано у формі таблиці, що містить дві колонки: очікувані результати навчаль-но-пізнавальної діяльності учнів та зміст навчального матеріалу. Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів орієнтують на результати навчання, які є об’єктом контролю й оцінювання. У змісті вказано навчальний матеріал, який підля-гає вивченню з метою досягнення відповідних результатів.

Зміст навчання математики структуровано за темами відпо-відних навчальних курсів із зазначенням послідовності тем та кількості годин на їх вивчення. Такий розподіл змісту й навчаль-ного часу є орієнтовним. Учителям й авторам підручників нада-ється право коригувати послідовність вивчення тем та змінювати розподіл годин на їх вивчення залежно від прийнятої методич-ної концепції та конкретних навчальних ситуацій. На початку кожного класу вказано значну кількість резервних годин, які вчитель на власний розсуд може витрачати на систематизацію та повторення матеріалу на початку й у кінці року, збільшення кількості годин на кожну із вказаних тем, зокрема для внесення змін до орієнтовного календарно-тематичного плану. За умови виділення годин варіативної складової на вивчення математики додатковий час поповнює години резерву.

Програма містить перелік очікуваних результатів рівня під-готовки учнів за кожною темою. Він слугує основою для плану-вання системи тематичного контролю, для діагностичного кон-структивного задання цілей вивчення теми у вигляді системи завдань, можливість розв’язування яких надає вивчення теми.

Програма надає вчителю широкі можливості для використан-ня різних засобів, форм, методів навчання, вибору методичних шляхів і прийомів викладення конкретного матеріалу.

Навчальні теми, визначені програмою, можуть вивчатися учнями на різних рівнях засвоєння теоретичного матеріалу й формування вмінь. За умови недостатнього рівня математичної підготовки учнів класу деякі теми на уроках можуть розгляда-тися без доведень, на простих і доступних прикладах, і не вино-ситися в повному обсязі для тематичного контролю. Зацікавлені учні можуть детальніше опановувати такі теми самостійно за

31


підручником, на курсах за вибором чи під час індивідуального навчання в позаурочний час.

Особливості оцінювання та ведення журналу. У кінці кож-ної теми з алгебри і початків аналізу та з геометрії вчитель про-водить тематичне оцінювання. Під час виставлення тематичної оцінки враховуються всі види навчальної діяльності, що підля-гали оцінюванню протягом вивчення теми.

Семестрове оцінювання здійснюється на підставі тематичного окремо з алгебри і початків аналізу й окремо з геометрії. Типо-вими навчальними планами закладів загальної середньої освіти ІІІ ступеня передбачене оцінювання учнів 10–11 класів з мате-матики. Семестрова оцінка з математики виводиться як середнє арифметичне семестрових оцінок із двох математичних курсів (алгебри і початків аналізу та геометрії) і здійснюється округлен-ня до цілого числа. (Наприклад, учень/учениця має семестрові оцінки: 8 — з алгебри і початків аналізу і 9 — з геометрії. Тоді се-реднє значення становитиме (8 + 9) : 2 = 8,5 ≈ 9. Отже, семестрова оцінка з математики — 9.) Семестрова оцінка з математики ви-ставляється без дати до класного журналу на сторінку з алгебри і початків аналізу в стовпчик з надписом «І семестр. Математи-ка», «ІІ семестр. Математика» та на сторінку зведеного обліку. Семестрова оцінка може підлягати коригуванню відповідно до «Інструкції з ведення класного журналу учнів 5–11(12)-х класів загальноосвітніх навчальних закладів», затвердженої наказом Міністерства освіти і науки України від 03 червня 2008 р. № 496. Коригована семестрова оцінка з математики виводиться як се-реднє арифметичне скоригованих семестрових оцінок із двох математичних курсів (алгебри і початків аналізу та геометрії) і здійснюється округлення до цілого числа за наведеним прикла-дом. Виставляється коригована семестрова оцінка з математики на сторінку з алгебри і початків аналізу.

Річне оцінювання здійснюється на основі семестрових або скоригованих семестрових оцінок з математики. Річна оцінка з математики виставляється на сторінку з алгебри і початків ана-лізу в стовпчик з надписом «Річна. Математика». На сторінку зведеного обліку навчальних досягнень учнів річна оцінка з ма-тематики виставляється у стовпчик «Математика».

32


Ал

гебр

а і

поч

атк

и а

на

ліз

у

10

кл

ас

(54

год

, I с

емес

тр

— 1

6 г

од, 1

год

на

ти

жд

ень,

II с

емес

тр

— 3

8 г

од, 2

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 7

год

)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 1

. Ф

УН

КЦ

ІЇ,

ЇХН

І ВЛ

АС

ТИ

ВО

СТ

І ТА

ГР

АФ

ІКИ

(1

5 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

кор

ис

тує

тьс

я р

ізн

им

и с

по

соб

ами

зад

анн

я ф

ункц

ій;

зн

ахо

ди

ть о

бла

сть

визн

аче

нн

я ф

ункц

іон

альн

их

зале

жн

ост

ей

; зн

аче

нн

я ф

ункц

ій п

ри

зад

ани

х зн

аче

нн

ях а

ргу

ме

нту

і з

нач

ен

ня

аргу

ме

нту

, за

яки

х ф

ункц

ія н

абув

ає д

ано

го з

нач

ен

ня;

вс

тан

ов

лю

є з

а гр

афік

ом

фун

кції

її о

сно

вні в

ласт

иво

сті;

вс

тан

ов

лю

є в

ласт

иво

сті ф

ункц

ій;

об

чи

сл

ює

та

по

рів

ню

є з

нач

ен

ня

вир

азів

, як

і м

істя

ть с

теп

ен

і з

рац

іон

альн

им

и п

ока

зни

кам

и, к

ор

ен

і;р

оз

піз

на

є

та

схе

ма

тич

но

з

об

ра

жує

гр

афік

и

сте

пе

не

вих

фун

кцій

;м

од

ел

ює

ре

альн

і пр

оц

еси

за

до

по

мо

гою

сте

пе

не

вих

фун

кцій

Чи

сло

ві ф

ункц

ії та

їхн

і вл

асти

вост

і. С

по

соб

и

зад

анн

я ф

ункц

ій. П

арн

і та

не

пар

ні ф

ункц

ії.К

ор

інь

n-г

о

сте

пе

ня.

А

ри

фм

ети

чни

й

кор

інь

n-г

о с

теп

ен

я, й

ого

вла

сти

вост

і.С

теп

інь

з р

аціо

нал

ьни

м

по

казн

ико

м

і й

ого

вл

асти

вост

і.С

теп

ен

еві

фун

кції,

їхн

і вла

сти

вост

і та

граф

іки

Тем

а 2

. Т

РИ

ГОН

ОМ

ЕТ

РИ

ЧН

І ФУ

НК

ЦІЇ

(1

8 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

вм

іє п

ер

ехо

ди

ти в

ід р

адіа

нн

ої м

іри

кут

а д

о г

рад

усн

ої й

нав

пак

и;

вс

тан

ов

лю

є в

ідп

ові

дн

ість

між

дій

сни

ми

чи

слам

и й

то

чкам

и н

а о

ди

ни

чно

му

колі

;р

оз

піз

на

є

і с

хем

ати

чн

о

буд

ує

граф

іки

тр

иго

но

ме

три

чни

х ф

ункц

ій;

Си

нус

, ко

син

ус,

тан

ген

с ку

та.

Рад

іан

не

ви

мі-

рю

ван

ня

куті

в.Тр

иго

но

ме

три

чні

фун

кції

числ

ово

го а

ргу

ме

н-

ту.

Осн

овн

і сп

івві

дн

ош

ен

ня

між

тр

иго

но

ме

-тр

ичн

им

и ф

ункц

іям

и о

дн

ого

ар

гум

ен

ту.

Фо

р-

мул

и з

вед

ен

ня.

33


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

ілю

стр

ує в

ласт

иво

сті т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

за

до

по

мо

гою

гр

афік

ів;

пе

ре

тво

рю

є н

еск

лад

ні т

ри

гон

ом

етр

ичн

і ви

раз

и;

за

сто

со

вує

тр

иго

но

ме

три

чні

фун

кції

до

о

пи

су

ре

альн

их

пр

оц

есі

в;р

оз

в’я

зує

най

пр

ост

іші т

ри

гон

ом

етр

ичн

і рів

нян

ня

Пе

ріо

ди

чніс

ть ф

ункц

ій. В

ласт

иво

сті т

а гр

афік

и

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

.Ф

ор

мул

и

до

дав

анн

я д

ля

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

і н

аслі

дки

з н

их.

Най

пр

ост

іші т

ри

гон

ом

етр

ичн

і рів

нян

ня

Тем

а 3

. П

ОХ

ІДН

А Т

А ЇЇ

ЗА

СТ

ОС

УВ

АН

НЯ

(1

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ро

зум

іє з

нач

ен

ня

по

нят

тя п

охі

дн

ої

для

оп

ису

ре

альн

их

пр

оц

е-

сів,

зо

кре

ма

ме

хан

ічн

ого

рух

у;з

на

ход

ить

шви

дкі

сть

змін

и в

ели

чин

и в

то

чці;

куто

вий

ко

еф

іціє

нт

і кут

нах

илу

до

тичн

ої д

о г

раф

іка

фун

кції

в д

аній

то

чці;

ди

фе

ре

нц

іює

фун

кції,

ви

кор

ист

ову

ючи

таб

лиц

ю п

охі

дн

их

і пр

а-ви

ла д

иф

ер

ен

цію

ван

ня;

за

сто

со

вує

по

хід

ну

для

зн

ахо

дж

ен

ня

пр

ом

іжкі

в м

он

ото

нн

ост

і й

екс

тре

мум

ів ф

ункц

ії, п

об

удо

ви г

раф

іків

;з

на

ход

ить

най

біл

ьше

і н

айм

ен

ше

зн

аче

нн

я ф

ункц

ії;р

оз

в’я

зує

не

скла

дн

і пр

икл

адн

і зад

ачі н

а зн

ахо

дж

ен

ня

най

біл

ь-ш

их

і най

ме

нш

их

знач

ен

ь р

еал

ьни

х ве

личи

н

По

хід

на

фун

кції,

її

гео

ме

три

чни

й і

фіз

ичн

ий

зм

іст.

Пр

ави

ла д

иф

ер

ен

цію

ван

ня.

Озн

ака

стал

ост

і ф

ункц

ії.

До

стат

ні

умо

ви

зро

стан

ня

і сп

адан

ня

фун

кції.

Е

кстр

ем

уми

ф

ункц

ії.З

асто

сува

нн

я п

охі

дн

ої

до

до

слід

же

нн

я ф

унк-

цій

та

п

об

удо

ви

їхн

іх

граф

іків

. Н

айб

ільш

е

і н

айм

ен

ше

зн

аче

нн

я ф

ункц

ії н

а п

ро

між

ку

34


Ал

гебр

а і

поч

атк

и а

на

ліз

у

11

кл

ас

(54

год

, I с

емес

тр

— 1

6 г

од, 1

год

на

ти

жд

ень,

II с

емес

тр

— 3

8 г

од, 2

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 1

8 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 1

. П

ОК

АЗ

НИ

КО

ВА

ТА

ЛО

ГАР

ИФ

МІЧ

НА

ФУ

НК

ЦІЇ

(1

6 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ро

зпіз

на

є і

буд

ує г

раф

іки

по

казн

ико

вої т

а ло

гар

иф

міч

ної ф

ункц

ій;

ілю

стр

ує в

ласт

иво

сті п

ока

зни

ково

ї та

лога

ри

фм

ічн

ої ф

ункц

ій з

а д

оп

ом

ого

ю г

раф

іків

;з

ас

тос

ов

ує п

ока

зни

кову

та

лога

ри

фм

ічн

у ф

ункц

ії д

ля о

пи

су

ре

альн

их

пр

оц

есі

в;р

оз

в’я

зує

най

пр

ост

іші п

ока

зни

кові

та

лога

ри

фм

ічн

і рів

нян

ня

і й

не

рів

но

сті

Вла

сти

вост

і та

граф

іки

по

казн

ико

вої ф

ункц

ії.Л

ога

ри

фм

и т

а їх

вла

сти

вост

і. В

ласт

иво

сті

та

граф

ік л

ога

ри

фм

ічн

ої ф

ункц

ії.Н

айп

ро

стіш

і п

ока

зни

кові

та

ло

гар

иф

міч

ні

рів

нян

ня

й н

ер

івн

ост

і

Тем

а 2

. ІН

ТЕ

ГРА

Л Т

А Й

ОГО

ЗА

СТ

ОС

УВ

АН

НЯ

(1

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

зн

ахо

ди

ть п

ер

вісн

і за

до

по

мо

гою

таб

лиц

і пе

рві

сни

х та

їх

влас

-ти

вост

ей

;в

ид

іля

є п

ер

вісн

у, щ

о з

адо

воль

няє

зад

ані п

оча

тко

ві у

мо

ви;

об

чи

сл

ює

інте

грал

за

до

по

мо

гою

таб

лиц

і пе

рві

сни

х та

їх

влас

-ти

вост

ей

;з

на

ход

ить

пло

щі к

ри

волі

ній

ни

х тр

апе

цій

Пе

рві

сна

та її

вла

сти

вост

і.В

изн

аче

ни

й

інте

грал

, й

ого

ге

ом

етр

ичн

ий

зм

іст.

Об

числ

ен

ня

пло

щ п

лоск

их

фіг

ур

Тем

а 3

. Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

ОМ

БІН

АТ

ОР

ИК

И,

ТЕ

ОР

ІЇ Й

МО

ВІР

НО

СТ

ЕЙ

І М

АТ

ЕМ

АТ

ИЧ

НО

Ї СТА

ТИ

СТ

ИК

И (

10

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ро

зум

іє щ

о т

аке

пе

ре

стан

овк

и, р

озм

іще

нн

я, к

ом

бін

ації

(бе

зЕ

лем

ен

ти к

ом

бін

ато

ри

ки.

Пе

ре

стан

овк

и,

ро

з-м

іще

нн

я, к

ом

бін

ації

(бе

з п

овт

ор

ен

ь).

35


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

по

вто

ре

нь)

, кл

аси

чне

ви

знач

ен

ня

по

нят

тя й

мо

вір

но

сті,

що

так

е

ген

ер

альн

а су

куп

ніс

ть і

ви

бір

ка,

озн

аче

нн

я се

ре

дн

ього

зн

аче

н-

ня,

мо

ди

та

ме

діа

ни

ви

бір

ки;

об

чи

сл

ює

від

но

сну

част

оту

по

дії;

кіл

ькіс

ть п

ер

ест

ано

вок,

ро

змі-

ще

нь,

ко

мб

інац

ій; й

мо

вір

ніс

ть п

од

ії, к

ор

ист

уючи

сь її

озн

аче

нн

ям

і ко

мб

інат

ор

ни

ми

схе

мам

и;

по

яс

ню

є з

міс

т се

ре

дн

іх п

ока

зни

ків

та х

арак

тер

ист

ик

виб

ірки

;з

на

ход

ить

чи

сло

ві х

арак

тер

ист

ики

ви

бір

ки д

ани

х;з

ас

тос

ов

ує й

мо

вір

ніс

ні

хар

акте

ри

сти

ки н

авко

лиш

ніх

яви

щ д

ля

пр

ий

нят

тя р

іше

нь

Кла

сичн

е в

изн

аче

нн

я й

мо

вір

но

сті в

ип

адко

вої

по

дії.

Ви

бір

кові

ха

рак

тер

ист

ики

: р

озм

ах

виб

ірки

, м

од

а, м

ед

іан

а, с

ер

ед

нє

знач

ен

ня.

Гр

афіч

не

п

од

анн

я ін

фо

рм

ації

пр

о в

иб

ірку

Гео

мет

рія

10

кл

ас

(51

год

, I с

емес

тр

— 3

2 г

од, 2

год

на

ти

жд

ень,

II с

емес

тр

— 1

9 г

од, 1

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 7

год

)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 1

. П

АР

АЛ

ЕЛ

ЬН

ІСТ

Ь П

РЯ

МИ

Х І

ПЛ

ОЩ

ИН

У П

РО

СТ

ОР

І (1

7 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

зи

ва

є о

сно

вні п

он

яття

сте

ре

ом

етр

ії;р

оз

різ

ня

є о

знач

уван

і та

не

озн

ачув

ані

по

нят

тя,

аксі

ом

и т

а те

о-

ре

ми

;ф

ор

мул

ює

акс

іом

и с

тер

ео

ме

трії

та н

аслі

дки

з н

их;

Осн

овн

і по

нят

тя, а

ксіо

ми

сте

ре

ом

етр

ії та

най

-п

ро

стіш

і нас

лід

ки з

ни

х.В

заєм

не р

озм

іщен

ня п

рям

их

у п

ро

сто

рі.

Пар

а-ле

льне

пр

оек

тува

ння

та й

ого

вла

сти

вост

і. З

о-

бр

ажен

ня ф

ігур

у с

тер

еом

етр

ії. П

арал

ельн

ість

п

рям

ої т

а п

лощ

ини

. Пар

алел

ьніс

ть п

лощ

ин

36


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

за

сто

со

вує

ак

сіо

ми

ст

ер

ео

ме

трії

та

нас

лід

ки

з н

их

до

р

озв

’язу

ван

ня

не

скла

дн

их

зад

ач;

кла

си

фік

ує з

а п

евн

им

и о

знак

ами

вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я п

ря-

ми

х, п

рям

их

і пло

щи

н, п

лощ

ин

у п

ро

сто

рі з

а кі

лькі

стю

їх с

піл

ьни

х то

чок;

вс

тан

ов

лю

є п

арал

ель

ніс

ть п

рям

их,

пр

ямо

ї та

пло

щи

ни

, д

вох

пло

щи

н;

з’я

со

вує

, чи

є д

ві п

рям

і ми

мо

біж

ни

ми

;з

об

ра

жа

є ф

ігур

и у

пр

ост

ор

і;з

ас

тос

ов

ує в

ідн

ош

ен

ня

пар

але

льн

ост

і між

пр

ями

ми

і п

лощ

ин

а-м

и у

пр

ост

ор

і до

оп

ису

від

но

ше

нь

між

об

’єкт

ами

нав

коли

шн

ього

св

іту

Тем

а 2

. П

ЕР

ПЕ

НД

ИК

УЛ

ЯР

НІС

ТЬ

ПР

ЯМ

ИХ

І П

ЛО

ЩИ

Н У

ПР

ОС

ТО

РІ (

17

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

вс

тан

ов

лю

є т

а о

бґр

унто

вує

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пр

ями

х, п

ря-

мо

ї та

пло

щи

ни

, дво

х п

лощ

ин

;ф

ор

мул

ює

озн

аче

нн

я ку

та м

іж п

рям

им

и, п

рям

ою

та

пло

щи

но

ю,

пло

щи

нам

и; т

ео

ре

му

пр

о т

ри

пе

рп

ен

ди

куля

ри

;з

ас

тос

ов

ує в

ідн

ош

ен

ня

між

пр

ями

ми

і п

лощ

ин

ами

у п

ро

сто

рі,

від

стан

і й к

ути

у п

ро

сто

рі д

о о

пи

су о

б’є

ктів

нав

коли

шн

ього

сві

ту;

ро

зв

’яз

ує з

адач

і на

знах

од

же

нн

я ві

дст

ане

й і

куті

в у

пр

ост

ор

і, зо

-кр

ем

а п

рак

тичн

ого

зм

істу

Пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пр

ями

х. П

ер

пе

нд

ику

ляр

-н

ість

пр

ямо

ї і п

лощ

ин

и.

Тео

ре

ма

пр

о т

ри

пе

р-

пе

нд

ику

ляр

и.

Пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

п

лощ

ин

. Д

вогр

анн

ий

кут

.В

им

ірю

ван

ня

від

стан

ей

у п

ро

сто

рі:

від

то

чки

д

о п

лощ

ин

и,

від

пр

ямо

ї до

пло

щи

ни

, м

іж п

ло-

щи

нам

и.

Ви

мір

юва

нн

я ку

тів

у п

ро

сто

рі:

між

п

рям

им

и,

між

пр

ямо

ю і

пло

щи

но

ю,

між

пло

-щ

ин

ами

Тем

а 3

. К

ОО

РД

ИН

АТ

И І

ВЕ

КТ

ОР

И (

10

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

кор

ис

тує

тьс

я а

нал

огі

єю м

іж в

ект

ор

ами

й к

оо

рд

ин

атам

и н

а п

ло-

щи

ні й

у п

ро

сто

рі;

Пр

ямо

кутн

і ко

ор

ди

нат

и в

пр

ост

ор

і.К

оо

рд

ин

ати

се

ре

ди

ни

від

різ

ка.

Від

стан

ь м

іж

дво

ма

точк

ами

.

37


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

усв

ідо

мл

ює

важ

ливі

сть

вект

ор

но

-ко

ор

ди

нат

но

го м

ето

ду

в м

а-те

мат

иц

і;в

ико

нує

оп

ер

ації

над

ве

кто

рам

и;

за

сто

со

вує

ве

кто

ри

для

мо

де

люва

нн

я й

об

числ

ен

ня

гео

ме

т-р

ичн

их

і фіз

ичн

их

вели

чин

;з

на

ход

ить

від

стан

ь м

іж д

вом

а то

чкам

и,

коо

рд

ин

ати

се

ре

ди

ни

ві

др

ізка

, ко

ор

ди

нат

и т

очо

к, с

им

етр

ичн

их

від

но

сно

по

чатк

у ко

ор

-д

ин

ат і

коо

рд

ин

атн

их

пло

щи

н;

ви

кор

ис

тов

ує к

оо

рд

ин

ати

у п

ро

сто

рі

для

ви

мір

юва

нн

я ві

дст

а-н

ей

, кут

ів

Ве

кто

ри

у п

ро

сто

рі.

Оп

ер

ації

над

ве

кто

рам

и.

Фо

рм

ули

для

об

числ

ен

ня

до

вжи

ни

ве

кто

ра,

ку

та м

іж в

ект

ор

ами

, ві

дст

ані

між

дво

ма

точ-

кам

и.

Си

ме

трія

від

но

сно

по

чатк

у ко

ор

ди

нат

і

коо

рд

ин

атн

их

пло

щи

н

Гео

мет

рія

11

кл

ас

(51

год

, I с

емес

тр

— 3

2 г

од, 2

год

на

ти

жд

ень,

II с

емес

тр

— 1

9 г

од, 1

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 1

4 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 1

. М

НО

ГОГР

АН

НИ

КИ

(1

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ро

зп

ізн

ає

осн

овн

і ви

ди

мн

ого

гран

ни

ків

та їх

еле

ме

нти

;з

об

ра

жує

осн

овн

і ви

ди

мн

ого

гран

ни

ків

та їх

еле

ме

нти

;м

ає

уя

вл

ен

ня

пр

о п

ер

ер

ізи

мн

ого

гран

ни

ка п

лощ

ин

ою

;ф

ор

мул

ює

озн

аче

нн

я вк

азан

их

у зм

істі

мн

ого

гран

ни

ків;

за

пи

сує

фо

рм

ули

для

об

числ

ен

ня

пло

щі б

ічн

ої т

а п

овн

ої п

ове

р-

хон

ь п

ри

зми

та

пір

амід

и;

Мн

ого

гран

ни

к та

йо

го е

лем

ен

ти.

Оп

уклі

мн

о-

гогр

анн

ики

. П

ри

зма.

Пр

яма

і п

рав

иль

на

пр

и-

зми

. П

арал

еле

піп

ед

. П

ірам

іда.

Пр

ави

льн

а п

і-р

амід

а. П

ер

ер

ізи

мн

ого

гран

ни

ків.

Пло

щі

біч

но

ї та

п

овн

ої

по

вер

хон

ь п

ри

зми

, п

ірам

іди

38


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

об

чи

сл

ює

ве

личи

ни

осн

овн

их

еле

ме

нті

в м

но

гогр

анн

икі

в;з

ас

тос

ов

ує в

ивч

ен

і ф

ор

мул

и і

вла

сти

вост

і д

о р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач, з

окр

ем

а п

ри

клад

но

го з

міс

ту

Тем

а 2

. Т

ІЛА

ОБ

ЕР

ТАН

НЯ

(1

2 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

об

чи

сл

ює

ве

личи

ни

осн

овн

их

еле

ме

нті

в ті

л о

бе

рта

нн

я;з

ас

тос

ов

ує в

ласт

иво

сті т

іл о

бе

рта

нн

я д

о р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач;

ро

зп

ізн

ає

ви

ди

тіл

об

ер

тан

ня,

їхн

і е

лем

ен

ти;

мн

ого

гран

ни

ки й

ті

ла о

бе

рта

нн

я в

їх к

ом

бін

ація

х в

об

’єкт

ах н

авко

лиш

ньо

го с

віту

Ци

лін

др

, ко

нус

, їх

еле

ме

нти

. П

ер

ер

ізи

ци

лін

-д

ра

й к

он

уса:

ось

ові

пе

ре

різ

и ц

илі

нд

ра

й к

о-

нус

а; п

ер

ер

ізи

ци

лін

др

а й

ко

нус

а п

лощ

ин

ами

, п

арал

ель

ни

ми

осн

ові

.К

уля

і сф

ер

а. П

ер

ер

із к

улі п

лощ

ин

ою

Тем

а 3

. О

Б’Є

МИ

ТА

ПЛ

ОЩ

І ПО

ВЕ

РХ

ОН

Ь Г

ЕО

МЕ

ТР

ИЧ

НИ

Х Т

ІЛ (

11

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

за

пи

сує

фо

рм

ули

для

об

числ

ен

ня

об

’єм

ів п

арал

еле

піп

ед

а, п

ри

-зм

и,

пір

амід

и,

ци

лін

др

а, к

он

уса,

кул

і, п

лощ

біч

но

ї та

по

вно

ї п

о-

вер

хон

ь ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, п

лощ

і сф

ер

и;

ма

є у

яв

ле

нн

я п

ро

об

’єм

тіл

а та

йо

го о

сно

вні в

ласт

иво

сті;

ро

зв

’яз

ує з

адач

і на

об

числ

ен

ня

об

’єм

ів і

пло

щ п

ове

рхо

нь

гео

-м

етр

ичн

их

тіл,

зо

кре

ма

пр

икл

адн

ого

зм

істу

По

нят

тя п

ро

об

’єм

тіл

а. О

сно

вні

влас

тиво

сті

об

’єм

ів.

Об

’єм

и п

ри

зми

, п

арал

еле

піп

ед

а, п

і-р

амід

и, ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, к

улі.

Пло

щі

біч

но

ї та

по

вно

ї п

ове

рхо

нь

ци

лін

др

а,

кон

уса.

Пло

ща

сфе

ри

39


НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА З МАТЕМАТИКИдля учнів 10–11 класів


Профільний рівень

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Вступ

Програма призначена для організації навчання математики на профільному рівні. Вона розроблена на основі Державного стандарту базової і повної середньої освіти з урахуванням особ-ливостей відповідних профілів навчання.

Мета навчання математики на профільному рівні полягає в забезпеченні свідомого й міцного оволодіння системою матема-тичних знань, навичок й умінь, які потрібні в повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, достатні для вивчення інших шкільних дисциплін і продовження навчання у вищих закладах освіти за спеціальностями із значною математичною складовою.

Досягнення зазначеної мети забезпечується виконанням таких завдань:

• формування в учнів наукового світогляду, уявлень про ідеї та методи математики, її роль у пізнанні дійсності, усвідом-лення математичних знань як невід’ємної складової загаль-ної культури людини, необхідної умови повноцінного життя в сучасному суспільстві; стійкої позитивної мотивації до на-вчання;

• оволодіння учнями мовою математики, системою математич-них знань, навичками та уміннями, потрібними в повсякден-ному житті та майбутній професійній діяльності, достатніх для успішного оволодіння знаннями інших освітніх галузей і забезпечення мотивації потреби неперервності навчатися впродовж життя;

• інтелектуальний розвиток особистості — розвиток логічного мислення та інтуїції учнів, просторової уяви, пам’яті, уваги, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури;

• громадянське виховання та формування позитивних рис осо-бистості — ініціативності та творчості, пізнавальної самостій-ності та інтересу, потреби в самоосвіті, здатності адаптувати-ся до умов, що змінюються;

40


• формування життєвих компетентностей учня — позитивних рис характеру (наполегливості, волі, культури думки й пове-дінки, обґрунтованості суджень, відповідальності за доручену справу тощо);

• формування загальнолюдських духовних цінностей особис-тості; виховання національної самосвідомості, поваги до на-ціональної культури і традицій України.Змістове наповнення програми реалізує компетентнісний під-

хід до навчання, спрямований на формування системи відповід-них знань, навичок, досвіду, здібностей і ставлення, що дає змо-гу обґрунтовано робити висновки про застосування математики в реальному житті, визначає готовність випускника школи до успішної діяльності в соціумі.

Передбачається, що випускник загальноосвітнього навчаль-ного закладу:

• розпізнає життєві чи предметні ситуації як задачі, що можна розв’язати математичними методами; формулює їх математич-ною мовою та розв’язує, використовуючи математичні компе-тентності, оцінює похибку обчислень й інтерпретує отримані результати з урахуванням конкретних умов, змісту та цілей предмета дослідження; застосовує математичні моделі під час вивчення природничих (фізика, астрономія, географія, еконо-міка, хімія, біологія) та інших навчальних предметів;

• логічно мислить (аналізує та порівнює, прогнозує результат, узагальнює й систематизує, класифікує математичні об’єкти за певними властивостями, наводить контрприклади, висуває та перевіряє гіпотези); володіє алгоритмами та евристиками;

• користується відповідними джерелами для пошуку матема-тичної інформації, може самостійно її проаналізувати та пе-редати математичну суть (у текстовій, графічній, табличній, знаково-символьній формах);

• виконує математичні розрахунки, раціонально поєднуючи усні та письмові обчислення, використовує електронні обчис-лювальні пристрої;

• виконує тотожні перетворення алгебраїчних, показнико-вих, логарифмічних, тригонометричних виразів під час розв’язування різних задач (рівнянь, нерівностей, їх систем, геометричних задач, задач із застосуванням тригонометрії);

• аналізує графіки функціональних залежностей, досліджує їхні властивості; використовує властивості елементарних

41


функцій для аналізу та опису реальних явищ, фізичних про-цесів, залежностей;

• володіє методами математичного аналізу в обсязі, що дає змо-гу досліджувати властивості елементарних функцій, будува-ти їх графіки й розв’язувати нескладні прикладні задачі;

• обчислює ймовірності випадкових подій, оцінює шанси їх на-стання, аналізує випадкові величини та знаходить їх найпро-стіші характеристики, розуміє значення головних статистич-них показників, обирає оптимальні рішення;

• зображує геометричні фігури, встановлює й обґрунто-вує їхні властивості; застосовує властивості фігур під час розв’язування задач; вимірює геометричні величини, які характеризують розміщення геометричних фігур (відстані, кути), знаходить кількісні характеристики фігур (площі, об’єми).Крім того, навчання математики має зробити певний внесок

у формування ключових компетентностей.

№Ключові



1


Уміння: ставити запитання й розпізнавати пробле-му; міркувати, робити висновки на основі інформа-ції, поданої в різних формах (у таблицях, діаграмах, на графіках); розуміти, пояснювати й перетворю-вати тексти математичних задач (усно й письмово), грамотно висловлюватися рідною мовою; доречно та коректно вживати в мовленні математичну тер-мінологію, чітко, лаконічно та зрозуміло формулю-вати думку, аргументувати, доводити правильність тверджень; поповнювати свій словниковий запас.Ставлення: розуміння важливості чітких і лаконіч-них формулювань.Навчальні ресурси: означення понять, фор-мулювання властивостей, доведення теорем, розв’язування задач


Уміння: спілкуватися іноземною мовою з викорис-танням числівників, математичних понять і найужи-ваніших термінів; ставити запитання, формулювати проблему; зіставляти математичний термін чи бук-вене позначення з його походженням з іноземної мови, правильно використовувати математичні терміни в повсякденному житті

42


№Ключові



Ставлення: усвідомлення важливості вивчення іноземних мов для розуміння математичних тер-мінів і позначень, пошуку інформації в іншомовних джерелах.Навчальні ресурси: тексти іноземною мовою з використанням статистичних даних, математичних термінів


Уміння: оперувати числовою інформацією, геомет-ричними об’єктами на площині та в просторі; вста-новлювати просторові відношення між реальними об’єктами навколишньої дійсності (природними, культурними, технічними тощо); розв’язувати за-дачі, зокрема практичного змісту; будувати й дослі-джувати найпростіші математичні моделі реальних об’єктів, процесів і явищ, інтерпретувати та оціню-вати результати; прогнозувати в контексті навчаль-них і практичних задач; використовувати матема-тичні методи в життєвих ситуаціях.Ставлення: усвідомлення значення математики для повноцінного життя в сучасному суспільстві, розвитку технологічного, економічного й оборон-ного потенціалу держави, успішного вивчення ін-ших дисциплін.Навчальні ресурси: розв’язування математичних задач, зокрема таких, що моделюють реальні жит-тєві ситуації

4


Уміння: розпізнавати проблеми, що виникають у довкіллі та які можна розв’язати засобами матема-тики; будувати та досліджувати математичні моделі природних явищ і процесів.Ставлення: усвідомлення важливості математики як універсальної мови науки, техніки та технологій.Навчальні ресурси: складання графіків і діаграм, які ілюструють функціональні залежності результа-тів впливу людської діяльності на природу

5


Уміння: структурувати дані; діяти за алгоритмом і складати алгоритми; визначати достатність даних для розв’язування задачі; використовувати різні знакові системи; знаходити інформацію та оціню-вати її достовірність; доводити істинність твер-джень.

43


№Ключові



Ставлення: критичне осмислення інформації та джерел її отримання; усвідомлення важливості ІКТ для ефективного розв’язування математичних задач.Навчальні ресурси: візуалізація даних, побудова графіків і діаграм за допомогою програмних засобів


Уміння: визначати мету навчальної діяльності, до-бирати й застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення цієї мети; організовувати та планувати свою навчальну діяльність; моделюва-ти власну освітню траєкторію, аналізувати, контро-лювати, коригувати та оцінювати результати своєї навчальної діяльності; доводити правильність влас-ного судження або визнавати його помилковість.Ставлення: усвідомлення власних освітніх потреб та цінності нових знань і вмінь; зацікавленість у пізнанні світу; розуміння важливості вчитися впро-довж життя; прагнення до вдосконалення результа-тів своєї діяльності.Навчальні ресурси: моделювання власної освіт-ньої траєкторії, статистична інформація, історичні задачі, завдання ймовірнісного змісту

7


Уміння: генерувати нові ідеї, вирішувати життє-ві проблеми, аналізувати, ухвалювати оптимальні рішення; використовувати критерії практичності, ефективності та точності, щоб обрати найкраще рі-шення; аргументувати та захищати свою позицію, дискутувати; використовувати різні стратегії, шука-ючи оптимальні способи розв’язування життєвого завдання.Ставлення: ініціативність; відповідальність, упев-неність у собі; переконаність, що успіх команди — це й особистий успіх; позитивне оцінювання та під-тримка конструктивних ідей інших.Навчальні ресурси: задачі підприємницького змісту (оптимізаційні задачі)

8

Соціальна та громадян-ська компе-тентності

Уміння: аргументувати та відстоювати свою пози-цію; ухвалювати аргументовані рішення в життєвих ситуаціях; співпрацювати в команді, вносити свою частку в роботу групи для вирішення проблеми;

44


№Ключові



аналізувати власну економічну ситуацію, родинний бюджет, застосовуючи математичні методи; орієн-туватися в широкому колі послуг і товарів на основі чітких критеріїв, робити споживчий вибір, спираю-чись, зокрема, і на математичні дані.Ставлення: ощадливість і поміркованість; рівне ставлення до інших незалежно від статків, соціаль-ного походження; відповідальність за спільну справу.Навчальні ресурси: задачі соціального змісту

9

Обізнаність і самови-раження у сфері куль-тури

Уміння: здійснювати необхідні розрахунки для встановлення пропорцій, відтворення перспекти-ви, створення об’ємно-просторових композицій; унаочнювати математичні моделі, зображати фігу-ри, графіки, рисунки, схеми, діаграми.Ставлення: усвідомлення взаємозв’язку матема-тики та культури на прикладах з архітектури, живо-пису, музики та ін.; розуміння важливості внеску математиків у загальносвітову культуру.Навчальні ресурси: задачі на золотий переріз, математичні моделі в різних видах мистецтва

10


Уміння: висловлювати власну думку, слухати й чути інших, оцінювати аргументи та змінювати дум-ку на основі доказів; аналізувати і критично оціню-вати соціально-економічні події в державі на основі статистичних даних; враховувати правові, етичні, екологічні й соціальні наслідки рішень; розпізнава-ти, як інтерпретації результатів вирішення проблем можуть бути використані для маніпулювання.Ставлення: усвідомлення взаємозв’язку мате-матики та екології на основі статистичних даних; ощадливе й бережливе ставлення до природних ресурсів, чистоти довкілля та дотримання сані-тарних норм побуту; розгляд порівняльної харак-теристики щодо вибору здорового способу життя; власна думка та позиція до зловживань алкоголем, нікотином тощо. Навчальні ресурси: задачі соціально-економічно-го, екологічного змісту; задачі, які сприяють усві-домленню цінності здорового способу життя

45


Наскрізні лінії та їх реалізація. У навчальній програмі ви-окремлюються такі чотири наскрізні лінії ключових компетент-ностей: «Екологічна безпека та сталий розвиток», «Громадян-ська відповідальність», «Здоров’я і безпека», «Підприємливість і фінансова грамотність», які спрямовані на формування в учнів здатності застосовувати знання й уміння в реальних життєвих ситуаціях.

Наскрізні лінії є засобом інтеграції ключових і загальнопред-метних компетентностей, навчальних предметів і предметних циклів; їх необхідно враховувати під час формування шкільного середовища життєдіяльності.

Наскрізні лінії є соціально значимими надпредметними те-мами, які допомагають формуванню в учнів уявлень про сус-пільство загалом, розвивають здатність застосовувати отримані знання в різних життєвих ситуаціях.



• через базові навчальні предмети — під час навчання, на під-ставі наскрізних тем, проводяться відповідні трактування, приклади й методи навчання, реалізуються надпредметні, міжкласові та загальношкільні проекти. Роль навчальних предметів під час навчання наскрізних тем різна й залежить від цілей і змісту навчального предмета та від того, наскільки тісно пов’язаний з конкретною наскрізною темою той чи ін-ший предметний цикл;


Наскрізні лінії:1. Наскрізна лінія «Екологічна безпека та сталий розвиток» орі-

єнтована на формування в учнів соціальної активності, відповідаль-ності та екологічної свідомості, готовності брати участь у вирішенні питань збереження довкілля й розвитку суспільства, усвідомлення важливості сталого розвитку для майбутніх поколінь.

Проблематика наскрізної лінії «Екологічна безпека та сталий розвиток» реалізується в курсі математики, насамперед через завдання з реальними даними про використання природних ре-сурсів, їх збереження та примноження. Аналіз цих даних сприяє

46


розвитку бережливого ставлення до навколишнього середовища, екології, формуванню критичного мислення, вміння вирішува-ти проблеми, критично оцінювати перспективи розвитку навко-лишнього середовища та людини. Можливе проведення уроків просто неба. Під час розгляду цієї лінії важливе місце посідають відсоткові обчислення, функції, елементи теорії ймовірностей та статистики.

2. Реалізація наскрізної лінії «Громадянська відповідаль-ність» сприятиме формуванню відповідального члена громади і суспільства, що розуміє принципи й механізми функціонування суспільства. Ця наскрізна лінія освоюється переважно через ко-лективну діяльність (дослідницькі роботи, роботи в групі, проек-ти тощо), яка поєднує математику з іншими навчальними пред-метами та розвиває в учнів готовність до співпраці, толерантність щодо різноманітних способів діяльності й думок.

Навчання математики має викликати в учнів якомога більше позитивних емоцій, а її зміст — бути спрямованим на виховання порядності, старанності, систематичності, послідовності, поси-дючості й чесності. Приклад учителя покликаний відіграти важ-ливу роль у формуванні толерантного ставлення до товаришів, незалежно від рівня навчальних досягнень. Із цієї ж наскрізною лінією пов’язані, наприклад, процентні обчислення, елементи статистики, що дають змогу учням зрозуміти значення кількіс-них показників при характеристиці суспільства і його розвитку.

3. Завданням наскрізної лінії «Здоров’я і безпека» є станов-лення учня як емоційно стійкого члена суспільства, здатного вести здоровий спосіб життя й формувати навколо себе безпечне життєве середовище.

Наскрізна лінія «Здоров’я і безпека» в курсі математики реалізується через завдання з реальними даними про безпеку і охорону здоров’я (текстові завдання, пов’язані із середовищем дорожнього руху, рухом пішоходів і транспортних засобів, від-сотковими обчисленнями та графіками, що стосуються чинників ризику). Особливо важливим є аналіз причин ДТП, пов’язаних з перевищенням швидкості. Варто звернути увагу на пробле-ми, пов’язані з ризиками для життя та здоров’я під час ви-вчення основ теорії ймовірностей та математичної статистики. Вирішення проблем, знайдених з «ага-ефектом3», розгляд кра-


47


сивих математичних конструкцій, пошук оптимальних методів розв’язування задач тощо здатні викликати в учнів позитивне відчуття успіху.

4. Наскрізна лінія «Підприємливість і фінансова грамот-ність» спрямована на розвиток лідерських ініціатив, здатність успішно діяти в технологічному швидкозмінному середовищі, забезпечення кращого розуміння учнями практичних аспектів фінансових питань (здійснення заощаджень, інвестування, за-позичення, страхування, кредитування тощо).

Ця наскрізна лінія пов’язана з розв’язуванням практичних задач щодо планування господарської діяльності та реальної оцінки власних можливостей, складання сімейного бюджету, формування економного ставлення до природних ресурсів. Вона реалізується під час вивчення відсоткових обчислень, рівнянь і функцій.

З метою підвищення ефективності навчання необхідною умо-вою є залучення до навчально-виховного процесу компетентніс-ного, діяльнісного та особистісно орієнтованого підходів, які передбачають систематичне включення учнів до різних видів ак-тивної навчально-пізнавальної діяльності та формування умінь, корисних у реальних життєвих ситуаціях. Доцільно, де це мож-ливо, не лише показувати виникнення математичного факту із практичної ситуації, а й ілюструвати його застосування на прак-тиці. Формуванню математичної та ключових компетентностей сприяє встановлення та реалізація в навчанні математики між-предметних і внутрішньопредметних звязків, а саме: змістово-інформаційних, операційно-діяльнісних й організаційно-мето-дичних. Їх використання посилює пізнавальний інтерес учнів до навчання й підвищує їхній рівень загальної культури, створює умови для систематизації навчального матеріалу та формуван-ня наукового світогляду. Учні набувають досвіду застосування знань на практиці.

Важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської куль-тури. На дохідливих прикладах слід показувати учням, як роз-вивалися математичні поняття й відношення, теорії та методи. Ознайомлення учнів з іменами та біографіями видатних учених,

48


які створювали математику, зокрема видатних українських ма-тематиків, сприятиме національному й патріотичному вихован-ню школярів.

Структура навчальної програми. Програма розрахована на 630 год: 420 год навчального часу відведено на вивчення алгебри та початків аналізу, 210 год — геометрії.

Розподіл змісту й навчального часу є орієнтовним. Учителям й авторам підручників надається право коригувати послідов-ність вивчення тем та змінювати розподіл годин на вивчення їх залежно від прийнятої методичної концепції та конкретних на-вчальних ситуацій. На основі орієнтовних тематичних планів учитель розробляє календарно-тематичний план, у якому кон-кретизується обсяг навчального матеріалу.

Програмою передбачено резерв навчального часу. Спосіб ви-користання резервного часу вчитель може обрати самостійно: для повторення на початку навчального року матеріалу, який вивчався в попередніх класах, як додаткові години на вивчення окремих тем, якщо вони важко засвоюються учнями, для прове-дення інтегрованих із профільним або іншими предметами уро-ків тощо.

Програму подано у формі таблиці, що містить дві колонки: очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів та зміст навчального матеріалу. У змісті вказано навчальний ма-теріал, який підлягає вивченню у відповідному класі. Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів орієнтують на результати навчання, які також є і об’єктом контролю та оці-нювання.

В основу формування змісту програми покладено такі прин-ципи:

• наступність у навчанні математики між різними ланками ма-тематичної освіти, наступність із допрофільним навчанням математики й навчанням математики на інших рівнях;

• збереження традицій вітчизняної методичної школи та на-копиченого досвіду підготовки випускників спеціалізованих шкіл з поглибленим вивченням математики та предметів при-родничо-наукового циклу;

• збереження високого рівня теоретичної математичної під-готовки як основи професійної підготовки, вироблення здат-ності успішно працювати в галузях природничих дисциплін, самостійно здобувати знання;

49


• формування необхідних загальнонаукових, загальнонавчаль-них та соціально-особистісних компетентностей на основі ці-леспрямованої реалізації міжпредметних зв’язків, зокрема предметів природничого циклу, які мають становити цілісну систему.Математика посідає особливе місце в системі знань людства,

виконуючи роль універсального та потужного методу сучасної науки. Тому особливу увагу варто приділити з’ясуванню ролі математики у сферах її застосування. Зокрема, забезпечити за-собами математики формування в учнів правильних уявлень про математичне моделювання та навчити школярів його застосову-вати для розв’язування широкого кола прикладних задач, зо-крема фізичних. Вивчаючи математику на профільному рівні, старшокласники мають усвідомити, що процес її застосування до розв’язування будь-яких прикладних задач розподіляється на три етапи: 1) формалізація (перехід від ситуації, описаної в задачі, до формальної математичної моделі цієї ситуації, та до чітко сформульованої математичної задачі); 2) розв’язування за-дачі в межах побудованої моделі; 3) інтерпретація одержаного розв’язку задачі та його застосування до вихідної ситуації.

Час, визначений на вивчення алгебри і початків аналізу, дає можливість поглибити рівень опанування предметом за ра-хунок розгляду на уроках прикладних задач зі сфери техніки, енергетики, ядерної фізики, екології, економіки тощо, методи розв’язування яких спираються на вивчений матеріал.

Для курсу «Алгебра і початки аналізу» однією з провідних змістових ліній навчання є функціональна, тому в процесі на-вчання приділяється особлива увага дослідженням властивостей функцій у тій чи іншій формі. Важливо при цьому демонстру-вати взаємозв’язок між основними поняттями курсу: функ-ція, рівняння та нерівність. Зокрема, розв’язування рівняння f(x) = 0, нерівностей f(x) > 0, f(x) < 0 є окремими випадками задачі на дослідження функції y = f(x) (знаходження нулів функції та проміжків її знакосталості). Також зауважте, що функції моде-люють реальні процеси, тому в уявленні учнів має асоціюватися характер реального процесу з відповідною функцією, її графіком та властивостями. Наприклад, змінювання маси радіоактив-ної речовини має викликати уявлення про функцію m = m

0e–kt

(k > 0). Важливо, щоб притаманні явищу властивості (напри-клад, зменшення чи збільшення маси, розпад речовини із часом)

50


пов’язувались із властивостями функцій (спадання, зростання, прямування до нуля, коли t → 0). Доцільно особливу увагу при-ділити показниковій функції, яка широко використовується під час моделювання процесів і явищ навколишнього світу.

Одним з головних завдань вивчення математики на профіль-ному рівні є також розвиток графічної культури учнів, що зу-мовлено практичними потребами — робота з графіками, діагра-мами, рисунками посідає чільне місце в діяльності спеціаліста технічного та природничого профілів. Тому особливу увагу під час вивчення функцій слід приділити формуванню в учнів умінь встановлювати властивості функції за її графіком, будувати ес-кізи графіків функцій, заданих аналітичним виразом, у формі таблиці або за експериментально визначеними даними, а також виконувати геометричні перетворення графіків. Необхідно на-вчити учнів за графіком функції встановлювати її неперервність, точки розриву, проміжки зростання та спадання, знакосталості, найбільше і найменше значення.

До поняття похідної приводять багато задач природознавства, математики, техніки. Тому його доцільно вводити як узагаль-нення результатів розв’язування відповідних прикладних задач. Це одразу виділяє головний прикладний зміст поняття, робить його більш природним і доступним для сприймання. Під час фор-мування поняття похідної слід виробляти розуміння того, що по-хідна моделює не лише швидкість механічного руху, а й швид-кість зміни будь-якого процесу із часом (наприклад, швидкість нагрівання тіла, швидкість випаровування тощо). Одночасне вивчення фізичного та геометричного змісту похідної дає мож-ливість показати учням зв’язок між швидкістю протікання про-цесу та «крутизною» його графіка.

Вивчення теми «Інтеграл та його застосування» починається з розгляду сукупності первісних даної функції. Особливо захо-плюватись постановкою в учнів техніки інтегрування не варто. Формування технічних навичок інтегрування не повинно підмі-нювати використання інтегралів при моделюванні реальних про-цесів.

Поняття ймовірності доцільно формувати, поєднуючи статис-тичний та аксіоматичний підходи. При цьому слід залучати до розгляду значну кількість побутових і прикладних задач, що ілю-струють і виявляють ймовірносні та статистичні закономірності.

Значне місце в програмі приділено розв’язуванню задач із параметрами. У процесі розв’язування таких задач до арсеналу

51


прийомів та методів мислення школярів природно включають-ся аналіз, індукція та дедукція, узагальнення та конкретизація, класифікація та систематизація, аналогія. Ці задачі дають змогу перевірити рівень знання основних розділів шкільного курсу ма-тематики, рівень логічного мислення учнів, початкові навички дослідницької діяльності. Тому завдання з параметрами мають діагностичну та прогностичну цінність.

Основною формою проведення занять залишається сис-тема уроків: вивчення нового матеріалу, формування вмінь розв’язувати задачі, узагальнення та систематизації знань, контролю та корекції знань. До того ж ширше, ніж при вивчен-ні курсу математики на академічному рівні, використовується шкільна лекція, семінарські та практичні заняття, а також не-традиційні форми навчання (динамічні слайд-лекції, дидактич-ні ігри, уроки «однієї задачі», «однієї ідеї», математичні «бої», інтегровані уроки математики й фізики, поєднання вивчення ал-гебри і початків аналізу з обробкою (у тому числі комп’ютерною) даних, одержаних під час проведення лабораторних і практич-них робіт на уроках фізики, астрономії, хімії, біології тощо). Можливі й різні форми індивідуальної або групової діяльності учнів, такі, наприклад, як звітні доповіді за результатами «по-шукової» роботи на сторінках книг, журналів, сайтів в Інтерне-ті, «Допишемо підручник» тощо. Бажаним є залучення до участі в навчальному процесі викладачів вищих навчальних закладів, учених та спеціалістів.

Вибір вивчення математики на профільному рівні передбачає наявність стійкого усвідомленого інтересу кожного учня до мате-матики, схильності до вибору в майбутньому професії, пов’язаної з нею. Незважаючи на це, мотиваційний етап навчального про-цесу в таких класах не можна ігнорувати. Одним зі способів мо-тивації, які доцільно використовувати в математичних та фізи-ко-математичних класах, є створення проблемної ситуації. Така ситуація може бути досить складною, потребувати серйозних математичних знань і значних зусиль для її розв’язування. При спробі знайти спосіб розв’язування проблеми учні стикаються з недостатністю наявних у них математичних знань і необхідністю оволодіння новою предметною інформацією.

Широкі можливості для інтенсифікації та оптимізації на-вчально-виховного процесу, активізації пізнавальної діяльності, розвитку творчого мислення учнів надають сучасні інформацій-

52


ні технології навчання. Використовуючи їх, доцільно дотриму-ватися таких педагогічних умов:

• враховувати особливості навчальної діяльності, її зміст і структуру; цикли життєдіяльності учня, його здібності, ін-тереси, нахили, індивідуальні відмінності учнів, форми їх прояву у сфері комунікативних відносин і в пізнавальній діяльності;

• відповідні технології навчання мають бути варіативними, особистісно орієнтованими, коли знання, вміння та навички розглядаються не лише як самоціль, а і як засіб розвитку піз-навальних й особистісних якостей учня; виховують в учня здатність бути суб’єктом свого розвитку, рефлексивного став-лення до самого себе;

• забезпечувати цілісне психолого-методичне проектування на-вчального процесу в умовах рівневої та профільної диферен-ціації навчання.Підвищенню ефективності уроків математики в старших кла-

сах сприяє використання програмних засобів навчального при-значення GRAN 1, GRAN 2D, GRAN 3D, DG, AGrapher, GeoGebra, бібліотек електронних наочностей та ін. За їх допомогою доступ-нішим стає вивчення низки тем курсу алгебри і початків аналізу та геометрії: побудова графіків функцій, розв’язування систем рівнянь і нерівностей, знаходження площ фігур, обмежених гра-фіками функцій, побудова перерізів геометричних тіл, обчис-лення об’ємів тіл обертання тощо.

Доцільною вбачається організація проблемно-пошукової (до-слідницької) діяльності учнів на уроках та позакласних і фа-культативних заняттях з математики.

Оцінювання навчальних досягнень учнів. Контроль навчаль-них досягнень учнів здійснюється у вигляді поточного, тематич-ного, семестрового, річного оцінювання та державної підсумко-вої атестації.

Поточне оцінювання здійснюється у процесі поурочного ви-вчення теми. Його основними завданнями є: встановлення й оцінювання рівнів розуміння й первинного засвоєння окремих елементів змісту теми, встановлення зв’язків між ними та за-своєним змістом попередніх тем, закріплення знань, умінь і навичок.

Формами поточного оцінювання є індивідуальне та фронталь-не опитування; тестова форма контролю та оцінювання навчаль-

53


них досягнень учнів; робота з графіками, схемами, діаграмами; виконання учнями різних видів письмових робіт; взаємокон-троль учнів у парах і групах; самоконтроль тощо. Поточне оці-нювання учнів з математики проводиться безпосередньо під час навчальних занять або за результатами виконання домашніх завдань, усних відповідей, письмових робіт тощо. Інформація, отримана на підставі поточного контролю, є основою для коригу-вання роботи вчителя на уроці.

Тематичному оцінюванню навчальних досягнень підлягають основні результати вивчення теми (розділу).

Тематичне оцінювання навчальних досягнень учнів забезпечує: • усунення безсистемності в оцінюванні; • підвищення об’єктивності оцінки знань, навичок і вмінь; • індивідуальний та диференційований підхід до організації

навчання; • систематизацію й узагальнення навчального матеріалу; • концентрацію уваги учнів до найсуттєвішого в системі знань.

Тематична оцінка виставляється на підставі результатів опа-нування учнями матеріалу теми впродовж її вивчення з ураху-ванням поточних оцінок, різних видів навчальних робіт (прак-тичних, лабораторних, контрольних) та навчальної активності школярів. У процесі вивчення значних за обсягом тем можливе проведення кількох проміжних тематичних оцінювань.

Перед початком вивчення чергової теми всі учні мають бути ознайомлені з тривалістю вивчення теми (кількість занять); кількістю й тематикою обов’язкових робіт і термінами їх прове-дення; критеріями оцінювання.

54


Ал

гебр

а і

поч

атк

и а

на

ліз

у

10

кл

ас

(21

0 г

од, 6

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 2

4 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 1

. Ф

УН

КЦ

ІЇ,

МН

ОГО

ЧЛ

ЕН

И,

РІВ

НЯ

НН

Я І

НЕ

РІВ

НО

СТ

І (3

6 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

зо

бр

аж

ує н

а д

іагр

амах

аб

о ч

исл

ові

й п

рям

ій о

б’є

дн

анн

я й

пе

ре

-р

із м

но

жи

н т

а іл

юс

трує

по

нят

тя п

ідм

но

жи

ни

;ф

ор

мул

ює

о

знач

ен

ня

під

мн

ож

ин

и,

об

’єд

нан

ня

й

пе

ре

різ

у м

но

жи

н;

зн

ахо

ди

ть о

б’є

дн

анн

я й

пе

ре

різ

чи

сло

вих

мн

ож

ин

;ко

ри

сту

єть

ся

різ

ни

ми

сп

осо

бам

и з

адан

ня

фун

кцій

;ф

ор

мул

ює

озн

аче

нн

я чи

сло

вої

фун

кції,

зр

ост

аючо

ї і

спад

но

ї ф

ункц

ій, п

арн

ої і

не

пар

но

ї фун

кцій

;з

на

ход

ить

об

ласт

ь ви

знач

ен

ня

фун

кцій

, зн

аче

нн

я ф

ункц

ій п

ри

за

дан

их

знач

ен

нях

ар

гум

ен

ту т

а зн

аче

нн

я ар

гум

ен

ту,

за я

ких

фун

кція

наб

уває

дан

ого

зн

аче

нн

я;в

ста

но

вл

ює

за

граф

іко

м ф

ункц

ії її

влас

тиво

сті;

ви

кон

ує й

по

яс

ню

є п

ер

етв

ор

ен

ня

граф

іків

фун

кцій

; д

осл

ідж

ує

фун

кції

та

ви

кор

ис

тов

ує

од

ер

жан

і р

езу

льта

ти

пр

и

по

буд

ові

гр

афік

ів ф

ункц

ій;

ви

кон

ує д

іле

нн

я м

но

гочл

ен

ів з

ост

аче

ю,

кор

ис

тує

тьс

я т

ео

ре

-м

ою

Бе

зу п

ри

ро

зв’я

зува

нн

і рів

нян

ь і н

ер

івн

ост

ей

;р

оз

в’я

зує

най

пр

ост

іші

рів

нян

ня

з п

арам

етр

ами

, н

ер

івн

ост

і за

д

оп

ом

ого

ю м

ето

ду

інте

рва

лів;

кор

ис

тує

тьс

я м

ето

до

м м

ате

мат

ичн

ої

інд

укц

ії д

ля д

ове

де

нн

я тв

ер

дж

ен

ь

Мн

ож

ин

и, о

пе

рац

ії н

ад м

но

жи

нам

и.

Чи

сло

ві

фун

кції.

С

по

соб

и

зад

анн

я ф

ункц

ій.

Об

ласт

ь ви

знач

ен

ня

і мн

ож

ин

а зн

аче

нь

фун

к-ц

ії. Г

раф

ік ф

ункц

ії. П

арн

ість

і н

еп

арн

ість

фун

к-ц

ій,

най

біл

ьше

і н

айм

ен

ше

зн

аче

нн

я ф

ункц

ії.

Вла

сти

вост

і гр

афік

ів п

арн

их

і не

пар

ни

х ф

унк-

цій

. П

об

удо

ва г

раф

іків

фун

кцій

за

до

по

мо

гою

ге

ом

етр

ичн

их

пе

ре

тво

ре

нь

від

ом

их

граф

іків

ф

ункц

ій.

Об

ор

отн

і ф

ункц

ії. В

заєм

но

об

ер

не

ні

фун

кції.

Гр

афік

об

ер

не

но

ї фун

кції.

Най

пр

ост

іші р

івн

янн

я з

пар

аме

трам

и.

Не

рів

но

сті.

Ме

тод

інте

рва

лів.

Діл

ен

ня

мн

ого

чле

нів

. Те

ор

ем

а Б

езу

та

нас

лід

-ки

з н

еї.

Ме

тод

мат

ем

ати

чно

ї ін

дук

ції

55


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 2

. С

ТЕ

ПЕ

НЕ

ВА

ФУ

НК

ЦІЯ

(3

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

кор

ен

я п

-го

сте

пе

ня,

ар

иф

ме

тичн

ого

ко

-р

ен

я п

-го

сте

пе

ня,

сте

пе

ня

з р

аціо

нал

ьни

м п

ока

зни

ком

, вла

сти

-во

сті к

ор

ен

ів т

а ст

еп

ен

я з

рац

іон

альн

им

по

казн

ико

м;

об

чи

сл

ює

, о

цін

ює

та п

ор

івн

ює

знач

ен

ня

вир

азів

, як

і міс

тять

ко

-р

ен

і та

сте

пе

ні з

рац

іон

альн

им

и п

ока

зни

кам

и;

зо

бр

аж

ує г

раф

ік

сте

пе

не

вої ф

ункц

ії;р

оз

в’я

зує

ір

рац

іон

альн

і р

івн

янн

я та

не

рів

но

сті,

зокр

ем

а з

па-

рам

етр

ами

; з

ас

тос

ов

ує в

ласт

иво

сті

фун

кцій

до

ро

зв’я

зува

нн

я ір

рац

іон

альн

их

рів

нян

ь і н

ер

івн

ост

ей

Ко

рін

ь n

-го

сте

пе

ня.

Ар

иф

ме

тичн

ий

кор

інь

n -г

о

сте

пе

ня,

йо

го в

ласт

иво

сті.

Пе

ре

тво

ре

нн

я ви

-р

азів

з к

ор

ен

ями

n-г

о с

теп

ен

я.

Фун

кція

n

xy=

та

її гр

афік

.С

теп

інь

з р

аціо

нал

ьни

м

по

казн

ико

м,

йо

го

влас

тиво

сті.

Пе

ре

тво

ре

нн

я ви

раз

ів,

які

міс

-тя

ть с

теп

інь

з р

аціо

нал

ьни

м п

ока

зни

ком

.С

теп

ен

ева

фун

кція

, її в

ласт

иво

сті т

а гр

афік

.Ір

рац

іон

альн

і р

івн

янн

я.

Ірр

аціо

нал

ьні

не

рів

-н

ост

і.Ір

рац

іон

альн

і рів

нян

ня,

не

рів

но

сті з

пар

аме

т-р

ами

Тем

а 3

. Т

РИ

ГОН

ОМ

ЕТ

РИ

ЧН

І ФУ

НК

ЦІЇ

(3

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ви

кон

ує п

ер

ехі

д в

ід р

адіа

нн

ої

мір

и к

ута

до

гр

адус

но

ї і н

авп

аки

; в

ста

но

вл

ює

від

по

від

ніс

ть м

іж д

ійсн

им

и ч

исл

ами

й т

очк

ами

на

од

ин

ичн

ом

у ко

лі;

об

чи

сл

ює

зн

аче

нн

я тр

иго

но

ме

три

чни

х ви

раз

ів з

а д

оп

ом

ого

ю

тото

жн

их

пе

ре

тво

ре

нь;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

син

уса,

ко

син

уса,

тан

ген

са і

ко

тан

ген

са

кута

чи

сло

вого

ар

гум

ен

ту;

влас

тиво

сті т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

фун

к-ц

ій; в

ласт

иво

сті п

ер

іод

ичн

их

фун

кцій

; буд

ує г

раф

іки

пе

ріо

ди

чни

х ф

ункц

ій;

Рад

іан

не

ви

мір

юва

нн

я ку

тів.

Си

нус

, ко

син

ус,

тан

ген

с,

кота

нге

нс

кута

. Тр

иго

но

ме

три

чні

фун

кції

числ

ово

го

аргу

ме

нту

. П

ер

іод

ичн

ість

ф

ункц

ій.

Вла

сти

вост

і та

гр

афік

и т

ри

гон

ом

ет-

ри

чни

х ф

ункц

ій.

Осн

овн

і сп

івві

дн

ош

ен

ня

між

тр

иго

но

ме

три

ч-н

им

и ф

ункц

іям

и о

дн

ого

ар

гум

ен

ту.

Фо

рм

ули

зв

ед

ен

ня.

Тр

иго

но

ме

три

чні

фо

рм

ули

: ф

ор

-м

ули

до

дав

анн

я, ф

ор

мул

и п

од

вій

но

го а

ргу

-м

ен

ту,

фо

рм

ули

пе

ре

тво

ре

нн

я су

ми

й р

ізн

иц

і

56


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

ілю

стр

ує

влас

тиво

сті

пе

ріо

ди

чни

х ф

ункц

ій

за

до

по

мо

гою

гр

афік

ів; п

ер

етв

ор

ює

тр

иго

но

ме

три

чні в

ир

ази

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

у д

об

уто

к, ф

ор

му-

ли п

ер

етв

ор

ен

ня

до

бут

ку т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

у с

уму,

фо

рм

ули

по

ни

же

нн

я ст

еп

ен

я,

фо

рм

ули

по

трій

но

го а

ргу

ме

нту

, ф

ор

мул

и п

о-

лови

нн

ого

ар

гум

ен

ту. В

ир

аже

нн

я тр

иго

но

ме

т-р

ичн

их

фун

кцій

че

ре

з та

нге

нс

по

лови

нн

ого

ар

гум

ен

ту

Тем

а 4

. Т

РИ

ГОН

ОМ

ЕТ

РИ

ЧН

І РІВ

НЯ

НН

Я І

НЕ

РІВ

НО

СТ

І (3

2 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

об

ер

не

ни

х тр

иго

но

ме

три

чни

х ф

ункц

ій;

об

ґрун

тову

є ф

ор

мул

и к

ор

ен

ів т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

рів

нян

ь;р

оз

в’я

зує

тр

иго

но

ме

три

чні

рів

нян

ня

та

не

рів

но

сті,

зокр

ем

а з

пар

аме

трам

и

Об

ер

не

ні

три

гон

ом

етр

ичн

і ф

ункц

ії: о

знач

ен

-н

я, в

ласт

иво

сті,

граф

іки

.Н

айпр

ост

іші т

ри

гоно

мет

ри

чні р

івня

ння.

Осн

ов-

ні

спо

соб

и р

озв

’язу

ван

ня

три

гон

ом

етр

ичн

их

рів

нян

ь.Тр

иго

но

ме

три

чні н

ер

івн

ост

і. Тр

иго

но

ме

три

чні

рів

нян

ня

і не

рів

но

сті з

пар

аме

трам

и. Р

івн

янн

я і н

ер

івн

ост

і, як

і міс

тять

об

ер

не

ні т

ри

гон

ом

ет-

ри

чні ф

ункц

ії

Тем

а 5

. ГР

АН

ИЦ

Я Т

А Н

ЕП

ЕР

ЕР

ВН

ІСТ

Ь Ф

УН

КЦ

ІЇ.

ПО

ХІД

НА

ТА

ЇЇ З

АС

ТО

СУ

ВА

НН

Я (

54

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

гран

иц

і ф

ункц

ії в

точц

і; н

еп

ер

ер

вно

сті

фун

кції;

фо

рм

улю

є о

сно

вні

влас

тиво

сті

гран

иц

і ф

ункц

ії та

ви

кор

ис

то-

вує

їх д

ля з

нах

од

же

нн

я гр

ани

ць

зад

ани

х ф

ункц

ій;

по

яс

ню

є г

ео

ме

три

чни

й і

фіз

ичн

ий

зм

іст

по

хід

но

ї;

Гран

иц

я ф

ункц

ії в

точц

і.О

сно

вні т

ео

ре

ми

пр

о г

ран

иц

і фун

кції

в то

чці.

Не

пе

ре

рвн

ість

фун

кції

в то

чці й

на

пр

ом

іжку

.З

адач

і, як

і пр

иво

дят

ь д

о п

он

яття

по

хід

но

ї.П

охі

дн

а ф

ункц

ії, ї

ї ге

ом

етр

ичн

ий

і ф

ізи

чни

й

зміс

т. Р

івн

янн

я д

оти

чно

ї д

о г

раф

іка

фун

кції.

57


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

фо

рм

улю

є

озн

аче

нн

я п

охі

дн

ої

фун

кції

в то

чці,

пр

ави

ла

ди

-ф

ер

ен

цію

ван

ня,

до

стат

ні

умо

ви з

ро

стан

ня

і сп

адан

ня

фун

кції,

н

ео

бхі

дн

і й д

ост

атн

і ум

ови

екс

тре

мум

у ф

ункц

ії;з

на

ход

ить

ку

тови

й

кое

фіц

ієн

т д

оти

чно

ї д

о

граф

іка

фун

кції

в д

аній

то

чці;

зн

ахо

ди

ть п

охі

дн

і фун

кцій

;з

ас

тос

ов

ує п

охі

дн

у д

ля з

нах

од

же

нн

я п

ро

між

ків

мо

но

тон

но

сті

й е

кстр

ем

умів

фун

кції;

зн

ахо

ди

ть н

айб

ільш

е і

най

ме

нш

е з

нач

ен

ня

фун

кції;

до

слід

жує

ф

ункц

ії за

до

по

мо

гою

по

хід

но

ї та

буд

ує г

раф

іки

фун

кцій

;р

оз

в’я

зує

пр

икл

адн

і за

дач

і н

а зн

ахо

дж

ен

ня

най

біл

ьши

х і

най

-м

ен

ши

х зн

аче

нь

ре

альн

их

вели

чин

;з

ас

тос

ов

ує

ре

зуль

тати

д

осл

ідж

ен

ня

фун

кції

за

до

по

мо

гою

п

охі

дн

ої

до

ро

зв’я

зува

нн

я р

івн

янь

і н

ер

івн

ост

ей

та

до

вед

ен

ня

не

рів

но

сте

й;

оп

ису

є п

он

яття

оп

укло

сті т

а то

чки

пе

ре

гин

у ф

ункц

ії; з

ас

тос

ов

ує

др

угу

по

хід

ну

до

зн

ахо

дж

ен

ня

пр

ом

іжкі

в о

пук

лост

і фун

кції

та т

о-

чок

її п

ер

еги

ну;

до

слід

жує

ф

ункц

ії за

д

оп

ом

ого

ю

пе

рш

ої

та

др

уго

ї п

охі

дн

их

і в

ико

ри

сто

вує

о

де

рж

ані

ре

зуль

тати

д

ля

по

буд

ови

гр

афік

ів

фун

кцій

;з

ас

тос

ов

ує п

охі

дн

у д

о р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач,

зокр

ем

а п

ри

клад

-н

ого

зм

істу

Пр

ави

ла

ди

фе

ре

нц

іюва

нн

я:

по

хід

на

сум

и,

до

бут

ку й

час

тки

фун

кцій

. С

клад

ен

а ф

ункц

ія.

По

хід

на

скла

де

но

ї фун

кції.

По

хід

ні

сте

пе

не

вої

та

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

.О

знак

а ст

ало

сті ф

ункц

ії. Д

ост

атн

і ум

ови

зр

ос-

тан

ня

і сп

адан

ня

фун

кції.

Екс

тре

мум

и ф

ункц

ії.

Най

біл

ьше

і н

айм

ен

ше

зн

аче

нн

я ф

ункц

ії н

а п

ро

між

ку.

Зас

тосу

ван

ня

по

хід

но

ї для

ро

зв’я

зува

нн

я р

ів-

нян

ь та

до

вед

ен

ня

не

рів

но

сте

й.

Др

уга

по

хід

на.

П

он

яття

о

пук

лост

і ф

ункц

ії.

Точк

и п

ер

еги

ну.

Зн

ахо

дж

ен

ня

пр

ом

іжкі

в о

пук

лост

і ф

ункц

ії та

то

чок

її п

ер

еги

ну.

Зас

тосу

ван

ня

пе

рш

ої

та д

руг

ої

по

хід

ни

х д

о

до

слід

же

нн

я ф

ункц

ій і

по

буд

ови

їх

граф

іків

. А

сим

пто

ти г

раф

іка

фун

кції.

Зас

тосу

ван

ня

по

хід

но

ї д

о

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

, зо

кре

ма

пр

икл

адн

ого

зм

істу

58


Ал

гебр

а і

поч

атк

и а

на

ліз

у

11

кл

ас

(21

0 г

од, 6

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 8

0 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 1

. П

ОК

АЗ

НИ

КО

ВА

ТА

ЛО

ГАР

ИФ

МІЧ

НА

ФУ

НК

ЦІЇ

(4

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є

озн

аче

нн

я п

ока

зни

ково

ї і

лога

ри

фм

ічн

ої

фун

кцій

та

їх в

ласт

иво

сті;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

лога

ри

фм

а та

вла

сти

вост

і ло

гар

иф

мів

;б

удує

гр

афік

и п

ока

зни

кови

х і л

ога

ри

фм

ічн

их

фун

кцій

;п

ер

етв

ор

ює

ви

раз

и, я

кі м

істя

ть л

ога

ри

фм

и;

зн

ахо

ди

ть

по

хід

ні

по

казн

ико

вих,

ло

гар

иф

міч

ни

х,

сте

пе

не

вих

фун

кцій

і з

ас

тос

ов

ує їх

до

до

слід

же

нн

я ц

их

клас

ів ф

ункц

ій;

ро

зв

’яз

ує п

ока

зни

кові

та

лога

ри

фм

ічн

і р

івн

янн

я і

не

рів

но

сті

та їх

си

сте

ми

, зо

кре

ма

з п

арам

етр

ами

;з

ас

тос

ов

ує

по

казн

ико

ву

та

лога

ри

фм

ічн

у ф

ункц

ії д

о

ро

зв’я

зува

нн

я п

ри

клад

ни

х за

дач

Сте

пін

ь з

дій

сни

м п

ока

зни

ком

. П

ока

зни

кова

ф

ункц

ія.

Ло

гар

иф

ми

та

їх в

ласт

иво

сті.

Ло

га-

ри

фм

ічн

а ф

ункц

ія.

По

казн

ико

ві т

а ло

гар

иф

-м

ічн

і р

івн

янн

я і

не

рів

но

сті

та ї

х си

сте

ми

, зо

-кр

ем

а з

пар

аме

трам

и.

По

хід

ні

по

казн

ико

вої

та

лога

ри

фм

ічн

ої

фун

кцій

Тем

а 2

. ІН

ТЕ

ГРА

Л Т

А Й

ОГО

ЗА

СТ

ОС

УВ

АН

НЯ

(3

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

пе

рві

сно

ї і н

еви

знач

ен

ого

інте

грал

а та

їх

осн

овн

і вла

сти

вост

і;о

пи

сує

по

нят

тя в

изн

аче

но

го ін

тегр

ала;

фо

рм

улю

є в

ласт

иво

сті в

изн

аче

но

го ін

тегр

ала;

зн

ахо

ди

ть п

ер

вісн

і та

ви

знач

ен

ий

ін

тегр

ал з

а д

оп

ом

ого

ю п

ра-

вил

знах

од

же

нн

я п

ер

вісн

их

та п

ер

етв

ор

ен

ь;з

ас

тос

ов

ує ін

тегр

ал д

ля р

озв

’язу

ван

ня

пр

икл

адн

их

зад

ач

Пе

рві

сна

та її

вла

сти

вост

і. Та

бли

ця

пе

рві

сни

х.Н

еви

знач

ен

ий

інте

грал

та

йо

го в

ласт

иво

сті.

Ви

знач

ен

ий

інте

грал

, йо

го ф

ізи

чни

й т

а ге

ом

ет-

ри

чни

й

зміс

т.

Фо

рм

ула

Нью

тон

а–Л

ей

бн

іца.

О

бчи

сле

нн

я п

лощ

пло

ски

х ф

ігур

. О

бчи

сле

нн

я о

б’є

мів

тіл

об

ер

тан

ня

59


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 3

. Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И К

ОМ

БІН

АТ

ОР

ИК

И,

ТЕ

ОР

ІЇ Й

МО

ВІР

НО

СТ

ЕЙ

(3

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

об

чи

сл

ює

й

мо

вір

ніс

ть

по

дії,

ко

ри

стую

чись

ак

сіо

мам

и

тео

рії

йм

ові

рн

ост

ей

, н

аслі

дка

ми

з н

их,

оп

ер

ація

ми

над

по

дія

ми

, п

о-

нят

тям

ум

овн

ої й

мо

вір

но

сті,

не

зале

жн

их

по

дій

, ко

мб

інат

ор

ни

ми

сх

ем

ами

, мат

ем

ати

чне

сп

од

іван

ня

вип

адко

вої в

ели

чин

и;

по

яс

ню

є з

міс

т п

он

ять

«ум

овн

а й

мо

вір

ніс

ть»,

«н

еза

леж

ні п

од

ії»,

«ви

пад

кова

ве

личи

на»

Еле

ме

нти

ко

мб

інат

ор

ики

. П

ер

ест

ано

вки

, р

оз-

міщ

ен

ня,

ко

мб

інац

ії.А

ксіо

ми

те

ор

ії й

мо

вір

но

сте

й. О

пе

рац

ії н

ад п

о-

дія

ми

. О

сно

вні

нас

лід

ки з

акс

іом

те

ор

ії й

мо

-ві

рн

ост

ей

. Н

еза

леж

ні

по

дії.

Ум

овн

а й

мо

вір

-н

ість

. В

ип

адко

ва в

ели

чин

а та

її

мат

ем

ати

чне

сп

од

іван

ня

(у д

осл

іді з

і скі

нче

нн

ою

мн

ож

ин

ою

е

лем

ен

тар

ни

х н

аслі

дкі

в)

Тем

а 4

. Р

ІВН

ЯН

НЯ

, Н

ЕР

ІВН

ОС

ТІ Т

А ЇХ

СИ

СТ

ЕМ

И.

УЗ

АГА

ЛЬ

НЕ

НН

Я Т

А С

ИС

ТЕ

МА

ТИ

ЗА

ЦІЯ

(3

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ро

зр

ізн

яє

ви

ди

рів

нян

ь та

їх

сист

ем

, н

ер

івн

ост

ей

та

їх с

ист

ем

, м

ето

ди

ро

зв’я

зува

нн

я р

івн

янь

і не

рів

но

сте

й т

а їх

си

сте

м;

об

ґрун

тову

є р

івн

оси

льн

ість

ви

кон

ани

х п

ер

етв

ор

ен

ь;з

ас

тос

ов

ує з

агал

ьні м

ето

ди

та

пр

ий

ом

и д

о р

озв

’язу

ван

ня

рів

-н

янь,

не

рів

но

сте

й т

а їх

си

сте

м;

ро

зв

’яз

ує р

івн

янн

я, н

ер

івн

ост

і, си

сте

ми

рів

нян

ь і

не

рів

но

сте

й

з п

арам

етр

ами

; за

оп

иса

ми

ре

альн

их

ситу

ацій

;р

оз

в’я

зує

зад

ачі,

мо

де

лям

и я

ких

є ві

до

мі р

івн

янн

я аб

о с

ист

ем

и

рів

нян

ь

Ме

тод

и р

озв

’язу

ван

ня

рів

нян

ь з

од

ніє

ю з

мін

-н

ою

(р

івн

оси

льн

і п

ер

етв

ор

ен

ня,

зам

іна

змін

-н

ої,

за

сто

сува

нн

я вл

асти

вост

ей

ф

ункц

ій

тощ

о).

Ме

тод

и р

озв

’язу

ван

ня

не

рів

но

сте

й з

од

ніє

ю

змін

но

ю

(рів

но

силь

ні

пе

ре

тво

ре

нн

я,

ме

тод

ін

тер

валі

в, з

амін

а зм

інн

ої,

зас

тосу

ван

ня

влас

-ти

вост

ей

фун

кцій

то

що

).С

ист

ем

и

рів

нян

ь і

ме

тод

и

їх

ро

зв’я

зува

нн

я (р

івн

оси

льн

і п

ер

етв

ор

ен

ня

та

вико

ри

стан

ня

рів

нян

ь-н

аслі

дкі

в, з

амін

а зм

інн

ої,

зас

тосу

ван

-н

я вл

асти

вост

ей

фун

кцій

то

що

)

60


Гео

мет

рія

10

кл

ас

(10

5 г

од, 3

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 1

8 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 1

. В

СТ

УП

ДО

СТ

ЕР

ЕО

МЕ

ТР

ІЇ (

15

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

нав

од

ить

пр

икл

ади

то

чок

і пр

ями

х, щ

о н

але

жат

ь о

дн

ій п

лощ

ин

і; м

но

гогр

анн

икі

в та

інш

их

сте

ре

ом

етр

ичн

их

фіг

ур;

по

яс

ню

є,

що

та

ке

пло

ска

і п

ро

сто

ро

ва

гео

ме

три

чні

фіг

ури

; п

ове

рхн

я м

но

гогр

анн

ика

; п

ер

ети

н

мн

ого

гран

ни

ка

січн

ою

п

лощ

ин

ою

;ф

ор

мул

ює

осн

овн

і по

нят

тя, а

ксіо

ми

, нас

лід

ки з

ни

х;в

ио

кре

мл

ює

се

ре

д м

но

гогр

анн

икі

в п

ірам

іду

та п

ри

зму;

ро

зр

ізн

яє

озн

ачув

ані т

а н

ео

знач

уван

і по

нят

тя; а

ксіо

му

та н

аслі

-д

ок;

ви

ди

мі й

не

вид

им

і еле

ме

нти

мн

ого

гран

ни

ка;

ілю

стр

ує т

екс

тови

й з

міс

т ак

сіо

ми

, те

ор

ем

и,

зад

ачі з

а д

оп

ом

о-

гою

ри

сун

ка;

зо

бр

аж

ає

пір

амід

и т

а п

ри

зми

, п

ер

ер

ізи

пір

амід

і п

рям

оку

тни

х п

арал

еле

піп

ед

ів;

по

яс

ню

є т

а з

ап

ис

ує:

нал

еж

ніс

ть т

очо

к та

пр

ями

х п

лощ

ин

і; п

о-

знач

ен

ня

мн

ого

гран

ни

ків,

їх

еле

ме

нті

в та

по

вер

хні;

ско

ро

чен

ий

за

пи

с ум

ови

зад

ачі;

хар

акт

ер

из

ує ф

ор

му

пр

ост

ор

ово

ї ге

ом

етр

ичн

ої

фіг

ури

; сл

іди

п

лощ

ин

и п

ер

ер

ізу;

ро

зміщ

ен

ня

дво

х то

чок

дво

х п

лощ

ин

, як

им

и

визн

ачає

ться

лін

ія їх

пе

ре

тин

у;

Осн

овн

і по

нят

тя с

тер

ео

ме

трії.

Акс

іом

и с

тер

ео

ме

трії

та н

аслі

дки

з н

их.

По

-н

яття

пр

о а

ксіо

мат

ику

та

по

буд

ову

нау

ки.

Пр

ост

ор

ові

ге

ом

етр

ичн

і ф

ігур

и.

По

чатк

ові

уя

вле

нн

я п

ро

мн

ого

гран

ни

ки.

Най

пр

ост

іші

зад

ачі

на

по

буд

ову

пе

ре

різ

ів п

і-р

амід

и т

а п

рям

оку

тно

го п

арал

еле

піп

ед

а м

е-

тод

ом

слі

дів

61


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: ви

кор

ист

анн

я ак

сіо

м с

те-

ре

ом

етр

ії та

нас

лід

ків

з н

их;

до

вед

ен

ня

та д

осл

ідж

ен

ня

висн

овк

ів

зад

ач,

вико

нан

ня

най

пр

ост

іши

х п

об

удо

в п

ер

ер

ізів

у п

ірам

ідах

і п

ри

змах

Тем

а 2

. П

АР

АЛ

ЕЛ

ЬН

ІСТ

Ь П

РЯ

МИ

Х І

ПЛ

ОЩ

ИН

У П

РО

СТ

ОР

І (2

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

де

мо

нс

трує

н

а п

ри

клад

ах

мо

де

лей

ст

ер

ео

ме

три

чни

х ф

ігур

(о

б’є

ктах

нав

коли

шн

ього

се

ре

до

вищ

а):

ро

зміщ

ен

ня

пар

але

ль-

ни

х п

рям

их

(від

різ

ків)

; м

им

об

іжн

их

пр

ями

х; п

арал

ель

ніс

ть п

ря-

мо

ї (ві

др

ізка

) д

о п

лощ

ин

и; п

арал

ель

ніс

ть д

вох

пло

щи

н;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня,

озн

аки

, те

ор

ем

и з

те

м,

зазн

аче

ни

х у

зміс

ті н

авча

льн

ого

мат

ер

іалу

;р

оз

різ

ня

є с

иту

ації

мо

жли

вост

і то

чок

і п

рям

их

нал

еж

ати

од

ній

п

лощ

ин

і; н

а зо

бр

аже

ни

х р

ису

нка

х, м

од

еля

х: п

лощ

ин

и г

ран

ей

м

но

гоку

тни

ків;

пар

але

льн

і та

ми

мо

біж

ні п

рям

і; п

ро

ект

уван

ня

від

-р

ізкі

в у

пе

вно

му

від

но

ше

нн

і;п

оя

сн

ює

та

за

пи

сує

озн

аки

: ми

мо

біж

ни

х п

рям

их;

пар

але

льн

ос-

ті п

рям

ої т

а п

лощ

ин

и; п

арал

ель

но

сті п

лощ

ин

;кл

ас

иф

ікує

вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я: д

вох

пр

ями

х; п

рям

ої

та п

ло-

щи

ни

; д

вох

пло

щи

н;

зоб

раж

ен

ня

пр

ост

ор

ови

х ф

ігур

на

пло

щи

ні

за в

ид

ом

і ф

ор

мо

ю;

зо

бр

аж

ає

пло

скі т

а п

ро

сто

ро

ві ф

ігур

и н

а п

лощ

ин

і; п

арал

ель

не

п

ро

ект

уван

ня

мн

ого

кутн

ика

на

пло

щи

ну;

пе

ре

різ

січ

но

ї пло

щи

ни

і м

но

гогр

анн

ика

;о

бґр

унто

вує

ме

тод

и с

лід

ів і

пр

ое

кцій

під

час

по

буд

ови

пе

ре

різ

ів

січн

ої п

лощ

ин

и т

а м

но

гогр

анн

ика

;

Вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я д

вох

пр

ями

х у

пр

ост

ор

і: п

рям

і, щ

о п

ер

ети

наю

ться

; п

арал

ель

ні

пр

ямі;

ми

мо

біж

ні п

рям

і. О

знак

а м

им

об

іжн

их

пр

ями

х.В

заєм

не

р

озм

іще

нн

я п

рям

ої

та

пло

щи

ни

у

пр

ост

ор

і: п

рям

а і п

лощ

ин

а, щ

о п

ер

ети

наю

ть-

ся; п

арал

ель

ні п

рям

а і п

лощ

ин

а.О

знак

а п

арал

ель

но

сті п

рям

ої т

а п

лощ

ин

и.

Вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я д

вох

пло

щи

н у

пр

ост

ор

і: п

лощ

ин

и,

що

п

ер

ети

наю

ться

, п

арал

ель

ні

пло

щи

ни

.О

знак

а п

арал

ель

но

сті

пло

щи

н.

Вла

сти

вост

і п

арал

ель

ни

х п

лощ

ин

.П

арал

ель

не

пр

ое

ктув

анн

я, й

ого

вла

сти

вост

і. З

об

раж

ен

ня

пло

ски

х і

пр

ост

ор

ови

х ф

ігур

у

сте

ре

ом

етр

ії.З

адач

і н

а п

об

удо

ву п

ер

ер

ізів

мн

ого

гран

ни

ків

ме

тод

ом

слі

дів

62


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

ілю

стр

ує т

екс

тови

й з

міс

т ге

ом

етр

ичн

их

тве

рд

же

нь

та з

адач

за

до

по

мо

гою

ри

сун

ка;

хар

акте

ри

зує

влас

тиво

сті

пар

але

льн

их

пло

щи

н і

пар

але

льн

ого

п

ро

ект

уван

ня;

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: ус

тан

овл

ен

ня

взає

мн

ого

р

озм

іще

нн

я д

вох

пр

ями

х; п

рям

ої

та п

лощ

ин

и;

дво

х п

лощ

ин

; за

-ст

осу

ван

ня

озн

ак п

арал

ель

но

сті п

рям

их,

пр

ямо

ї і п

лощ

ин

и, п

ло-

щи

н в

до

вед

ен

нях

пр

акти

чни

х за

дач

; зас

тосу

ван

ня

ме

тод

у сл

ідів

і

влас

тиво

сте

й

пр

ое

ктув

анн

я;

вико

нан

ня

по

буд

ови

п

ер

ер

ізів

м

но

гогр

анн

икі

в; м

од

елю

ван

ня

жи

ттєв

их

ситу

ацій

пар

але

льн

ост

і та

пр

ое

ктув

анн

я в

зад

ачах

пр

акти

чно

го т

а п

ри

клад

но

го з

міс

ту

Тем

а 3

. П

ЕР

ПЕ

НД

ИК

УЛ

ЯР

НІС

ТЬ

ПР

ЯМ

ИХ

І П

ЛО

ЩИ

Н У

ПР

ОС

ТО

РІ (

26

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

де

мо

нс

трує

н

а п

ри

клад

ах

мо

де

лей

ст

ер

ео

ме

три

чни

х ф

ігур

(о

б’є

ктах

нав

коли

шн

ього

се

ре

до

вищ

а) п

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть п

ря-

ми

х у

пр

ост

ор

і, п

рям

ої т

а п

лощ

ин

и, д

вох

пло

щи

н;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня,

озн

аки

, вл

асти

вост

і п

он

ять,

заз

нач

ен

их

у зм

істі

нав

чаль

но

го м

ате

ріа

лу;

ро

зр

ізн

яє

пе

рп

ен

ди

куля

р і

по

хилу

, п

ер

пе

нд

ику

ляр

і п

ро

екц

ію

по

хило

ї; к

ут м

іж д

вом

а п

рям

им

и п

ро

сто

ру,

кут

між

пр

ямо

ю і

пло

-щ

ин

ою

, кут

між

пло

щи

нам

и;

по

яс

ню

є т

а з

ап

ис

ує з

в’яз

ок

між

пар

але

льн

істю

та

пе

рп

ен

ди

ку-

ляр

ніс

тю п

рям

их

і пло

щи

н; в

ідст

ань

у п

ро

сто

рі:

від

то

чки

до

пр

я-м

ої,

від

різ

ка,

пр

ом

ен

я; в

ід т

очк

и д

о п

лощ

ин

и,

пів

пло

щи

ни

; ві

д

пр

ямо

ї д

о п

арал

ель

но

ї їй

пло

щи

ни

; ві

дст

ань

між

пар

але

льн

им

и

пло

щи

нам

и; в

ідст

ань

між

ми

мо

біж

ни

ми

пр

ями

ми

;

Пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пр

ями

х у

пр

ост

ор

і.П

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть

пр

ямо

ї та

п

лощ

ин

и.

Озн

ака

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ост

і п

рям

ої

та

пло

щи

ни

.П

ер

пе

нд

ику

ляр

і

по

хила

. Те

ор

ем

а п

ро

тр

и

пе

рп

ен

ди

куля

ри

.П

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть п

лощ

ин

. О

знак

а п

ер

пе

н-

ди

куля

рн

ост

і п

лощ

ин

. З

в’яз

ок

між

пар

але

ль-

ніс

тю т

а п

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

тю п

рям

их

і п

ло-

щи

н.

Кут

и у

пр

ост

ор

і: м

іж п

рям

им

и,

між

пр

ямо

ю

і пло

щи

но

ю, м

іж п

лощ

ин

ами

.Д

вогр

анн

і кут

и.

Лін

ійн

ий

кут

дво

гран

но

го к

ута.

63


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

по

яс

ню

є щ

о т

аке

дво

гран

ни

й к

ут, л

іній

ни

й к

ут д

вогр

анн

ого

кут

а;кл

ас

иф

ікує

вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я: д

вох

пр

ями

х п

ро

сто

ру;

пр

я-м

ої т

а п

лощ

ин

и; д

вох

пло

щи

н;

зо

бр

аж

ає

ри

сун

ком

пе

ре

тин

дво

х п

рям

их

пр

ост

ор

у; п

рям

ої

і п

лощ

ин

и п

ід п

рям

им

кут

ом

; п

ер

ети

н д

вох

(тр

ьох)

пло

щи

н п

ід

пр

ями

м к

уто

м;

кути

у п

ро

сто

рі:

між

дво

ма

пр

ями

ми

пр

ост

ор

у,

пр

ямо

ю і

пло

щи

но

ю,

дво

ма

пло

щи

нам

и;

ор

того

нал

ьне

пр

ое

кту-

ван

ня

мн

ого

кутн

ика

на

пло

щи

ну;

зн

ахо

ди

ть н

а р

ису

нку

та

зо

бр

аж

ає

від

різ

ок,

яки

м п

озн

ачає

ться

(в

изн

ачає

ться

) ві

дст

ань

у п

ро

сто

рі:

від

то

чки

до

пр

ямо

ї, в

ідр

ізка

, п

ро

ме

ня;

від

то

чки

до

пло

щи

ни

, пів

пло

щи

ни

; від

пр

ямо

ї до

пар

а-ле

льн

ої

їй п

лощ

ин

и;

між

пар

але

льн

им

и п

лощ

ин

ами

; м

іж м

им

о-

біж

ни

ми

пр

ями

ми

;а

на

ліз

ує т

а д

осл

ідж

ує п

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть д

еяк

ої п

рям

ої д

о п

о-

хило

ї чи

її п

ро

екц

ії за

те

ор

ем

ою

пр

о т

ри

пе

рп

ен

ди

куля

ри

;о

бґр

унто

вує

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пр

ями

х, п

рям

ої

і п

лощ

ин

и,

пло

щи

н;

ілю

стр

ує т

екс

тови

й з

міс

т ге

ом

етр

ичн

их

тве

рд

же

нь

і за

дач

за

до

по

мо

гою

ри

сун

ка;

хар

акт

ер

из

ує в

ласт

иво

сті п

ер

пе

нд

ику

ляр

ни

х п

рям

их

пр

ост

ор

у н

а п

ри

клад

ах;

пр

ямо

кутн

і тр

ику

тни

ки,

кути

яки

х ут

вор

ен

і тр

ьо-

ма

по

пар

но

пе

рп

ен

ди

куля

рн

им

и п

рям

им

и (

пло

щи

нам

и);

фо

рм

у о

рто

гон

альн

ої

пр

ое

кції

мн

ого

кутн

ика

; ку

т м

іж м

но

гоку

тни

ком

і й

ого

пр

ое

кціє

ю;

Від

стан

і у

пр

ост

ор

і: ві

д т

очк

и д

о п

рям

ої,

від

-р

ізка

, п

ро

ме

ня,

від

то

чки

до

пло

щи

ни

, п

івп

ло-

щи

ни

; ві

д п

рям

ої

до

пар

але

льн

ої

їй п

лощ

ин

и,

між

пар

але

льн

им

и п

лощ

ин

ами

, м

іж м

им

об

іж-

ни

ми

пр

ями

ми

.О

рто

гон

альн

е

пр

ое

ктув

анн

я.

Зо

бр

аже

нн

я ко

ла.

Пло

ща

ор

того

нал

ьно

ї п

ро

екц

ії м

но

гоку

тни

ка.

Пр

акти

чне

за

сто

сува

нн

я вл

асти

вост

ей

п

а-р

але

льн

ост

і та

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ост

і п

рям

их

і п

лощ

ин

64


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: ус

тан

овл

ен

ня

взає

мн

о-

го р

озм

іще

нн

я д

вох

пр

ями

х п

ро

сто

ру;

пр

ямо

ї та

пло

щи

ни

; д

вох

пло

щи

н;

заст

осу

ван

ня

озн

ак п

ер

пе

нд

ику

ляр

но

сті

пр

ямо

ї і

пло

-щ

ин

и;

дво

х п

лощ

ин

; вл

асти

вост

ей

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ост

і п

рям

их

пр

ост

ор

у; п

ер

пе

нд

ику

ляр

а і п

охи

лих;

ви

кон

анн

я п

об

удо

ви о

рто

-го

нал

ьно

ї п

ро

екц

ії м

но

гоку

тни

ка;

знах

од

же

нн

я лі

ній

ни

х ви

мір

ів

до

слід

жув

ани

х ф

ігур

; п

лощ

мн

ого

кутн

ика

та

йо

го о

рто

гон

альн

ої

пр

ое

кції,

кут

а м

іж м

но

гоку

тни

ком

та

йо

го о

рто

гон

альн

ою

пр

о-

екц

ією

; м

од

елю

ван

ня

жи

ттєв

их

ситу

ацій

зас

тосу

ван

ня

пе

рп

ен

-д

ику

ляр

но

сті

пр

ями

х і

пло

щи

н;

ор

того

нал

ьно

го п

ро

ект

уван

ня

в за

дач

ах н

авча

льн

о-п

рак

тичн

ого

та

пр

икл

адн

ого

зм

істу

Тем

а 4

. К

ОО

РД

ИН

АТ

И,

ВЕ

КТ

ОР

И,

ГЕО

МЕ

ТР

ИЧ

НІ П

ЕР

ЕТ

ВО

РЕ

НН

Я У

ПР

ОС

ТО

РІ (

22

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

во

ди

ть п

ри

клад

и м

од

еле

й с

им

етр

ії ві

дн

осн

о т

очк

и т

а п

рям

ої

з о

б’є

ктів

нав

коли

шн

ього

се

ре

до

вищ

а;ф

ор

мул

ює

озн

аче

нн

я, о

знак

и,

влас

тиво

сті

по

нят

ь, з

азн

аче

ни

х у

зміс

ті н

авча

льн

ого

мат

ер

іалу

;р

оз

різ

ня

є в

ект

ор

ні т

а ск

аляр

ні в

ели

чин

и;

рів

ні в

ект

ор

и,

колі

не

-ар

ні в

ект

ор

и, к

ом

пла

нар

ні в

ект

ор

и;

по

яс

ню

є т

а з

ап

ис

ує з

в’яз

ок

між

пар

але

льн

істю

та

пе

рп

ен

ди

ку-

ляр

ніс

тю п

рям

их

і пло

щи

н; в

ідст

ань

у п

ро

сто

рі:

від

то

чки

до

пр

я-м

ої,

від

різ

ка,

пр

ом

ен

я; в

ід т

очк

и д

о п

лощ

ин

и,

пів

пло

щи

ни

; ві

д

пр

ямо

ї д

о п

арал

ель

но

ї їй

пло

щи

ни

; ві

дст

ань

між

пар

але

льн

им

и

пло

щи

нам

и; в

ідст

ань

між

ми

мо

біж

ни

ми

пр

ями

ми

;кл

ас

иф

ікує

вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я д

вох

(тр

ьох)

ве

кто

рів

у п

ро

-ст

ор

і;

Пр

ямо

кутн

а д

ека

рто

ва с

ист

ем

а ко

ор

ди

нат

у

пр

ост

ор

і, ко

ор

ди

нат

ни

й п

ро

стір

. К

оо

рд

ин

ати

то

чки

. Фо

рм

ула

від

стан

і між

дво

ма

точк

ами

. К

оор

ди

нати

се

ред

ини

ві

др

ізка

. К

оор

ди

нати

то

чки

, яка

діл

ить

від

різ

ок у

зад

аном

у ві

дно

шен

ні.

Ве

кто

ри

у

пр

ост

ор

і. К

оо

рд

ин

ати

ве

кто

ра.

Д

овж

ин

а ве

кто

ра.

Р

івн

ість

ве

кто

рів

. К

олі

не

арн

ість

ве

кто

рів

. К

ом

пла

нар

ніс

ть в

ект

ор

ів.

Оп

ер

ації

над

ве

кто

-р

ами

та

їх в

ласт

иво

сті:

до

дав

анн

я і в

ідн

іман

ня

вект

ор

ів,

мн

ож

ен

ня

вект

ор

а н

а чи

сло

, ск

а-ля

рн

ий

до

бут

ок

вект

ор

ів.

Кут

між

ве

кто

рам

и.

По

нят

тя п

ро

ко

ор

ди

нат

ни

й і

вект

ор

ни

й м

ето

-д

и р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач

65


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

зо

бр

аж

ає

на

ри

сун

ку п

рав

ила

до

дав

анн

я ве

кто

рів

(тр

ику

тни

ка

та п

арал

ело

грам

а);

сум

у/р

ізн

иц

ю в

ект

ор

ів,

до

бут

ок

вект

ор

а н

а чи

сло

;з

на

ход

ить

на

ри

сун

ку т

а з

об

ра

жа

є н

апр

ямле

ни

й в

ідр

ізо

к як

ве

кто

р,

що

до

рів

ню

є су

мі,

різ

ни

ці

вект

ор

ів,

до

бут

ку в

ект

ор

а н

а чи

сло

; си

ме

трію

від

но

сно

то

чки

; си

ме

трію

від

но

сно

пло

щи

ни

;а

на

ліз

ує т

а д

осл

ідж

ує в

ко

ор

ди

нат

но

му

пр

ост

ор

і: ко

ор

ди

нат

и

точо

к; в

ідст

ань

між

дво

ма

точк

ами

; ко

ор

ди

нат

и с

ер

ед

ин

и в

ідр

із-

ка; к

оо

рд

ин

ати

то

чки

, яка

діл

ить

від

різ

ок

у за

дан

ом

у ві

дн

ош

ен

ні;

пе

ре

тво

ре

нн

я п

арал

ель

но

го п

ер

ен

есе

нн

я;о

бґр

унто

вує

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

, ко

лін

еар

ніс

ть т

а ко

мп

лан

ар-

ніс

ть в

ект

ор

ів п

ро

сто

ру;

ска

ляр

ни

й д

об

уто

к ве

кто

рів

;іл

юс

трує

те

ксто

вий

зм

іст

гео

ме

три

чни

х тв

ер

дж

ен

ь і

зад

ач з

а д

оп

ом

ого

ю р

ису

нка

;ха

ра

кте

ри

зує

най

пр

ост

іші

гео

ме

три

чні

міс

ця

точо

к п

ро

сто

ру;

ко

ор

ди

нат

ни

й і

вект

ор

ни

й м

ето

ди

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

; з

ас

тос

ов

ує

фо

рм

ули

д

овж

ин

и

від

різ

ка,

коо

рд

ин

ат

сер

ед

и-

ни

від

різ

ка,

коо

рд

ин

ат в

ект

ор

а, д

овж

ин

и в

ект

ор

а, с

каля

рн

ого

д

об

утку

дво

х ве

кто

рів

, за

галь

но

го в

игл

яду

рів

нян

ня

пло

щи

ни

/сф

ер

и, п

арал

ель

но

го п

ер

ен

есе

нн

я д

о р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач;

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: зн

ахо

дж

ен

ня

до

вжи

н в

ід-

різ

ків;

ве

кто

рів

; ку

та м

іж в

ект

ор

ами

; д

осл

ідж

ен

ня

вид

у м

но

го-

кутн

ика

за

до

вжи

нам

и й

ого

еле

ме

нті

в; д

ове

де

нн

я ви

ду

чоти

ри

-ку

тни

ка/т

ри

кутн

ика

за

від

ом

им

и к

оо

рд

ин

атам

и т

очо

к і в

ідо

ми

ми

вл

асти

вост

ями

їх

різ

но

вид

ів;

знах

од

же

нн

я р

озв

’язк

ів з

адач

ко

-о

рд

ин

атн

им

і ве

кто

рн

им

ме

тод

ами

; мо

де

люва

нн

я за

дач

пр

ир

од

-н

ичи

х д

исц

ип

лін

нав

чаль

но

-пр

акти

чно

го т

а п

ри

клад

но

го з

міс

ту

Най

пр

ост

іші

гео

ме

три

чні

міс

ця

точо

к п

ро

сто

ру.

Рів

нян

ня

пло

щи

ни

, сф

ер

и.

Пе

ре

тво

ре

нн

я у

пр

ост

ор

і: си

ме

трія

від

но

сно

то

чки

, си

ме

трія

від

но

сно

пло

щи

ни

, п

арал

ель

-н

е п

ер

ен

есе

нн

я

66


Гео

мет

рія

11

кл

ас

(10

5 г

од, 3

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 2

8 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 1

. М

НО

ГОГР

АН

НИ

КИ

(2

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

во

ди

ть п

ри

кла

ди

: ге

ом

етр

ичн

их

фіг

ур; м

но

гогр

анн

икі

в і ї

х ви

дів

;п

оя

сн

ює

, щ

о т

аке

: м

но

гран

ни

й к

ут;

біч

на

та п

овн

а п

ове

рхн

я п

ри

зми

, п

арал

еле

піп

ед

а, п

ірам

іди

, зр

ізан

ої

пір

амід

и;

пе

ре

тин

мн

ого

гран

ни

ка

січн

ою

пло

щи

но

ю;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

осн

овн

их

по

нят

ь і в

ласт

иво

сте

й д

ля м

но

гогр

ан-

ни

ків,

заз

нач

ен

их

у зм

істі

те

ми

;ф

ор

мул

ює

й д

ово

ди

ть т

ео

ре

ми

пр

о:

діа

гон

алі

пар

але

леп

іпе

да

та н

а-сл

ідки

з н

еї;

пло

щу

біч

но

ї п

ове

рхн

і п

рям

ої

пр

изм

и;

пло

щу

біч

но

ї п

о-

вер

хні

пр

ави

льн

ої

пір

амід

и;

пло

щу

біч

но

ї п

ове

рхн

і п

рав

иль

но

ї зр

ізан

ої

пір

амід

и;

кла

си

фік

ує м

но

гогр

анн

ики

за

хар

акте

ри

сти

кам

и ї

х е

лем

ен

тів:

пр

и-

зми

— з

а ви

до

м і

фо

рм

ою

, пір

амід

и —

за

вид

ом

і р

озм

іще

нн

ям п

ро

екц

ії ве

рш

ин

и п

ірам

іди

(зо

кре

ма,

за

рів

ніс

тю б

ічн

их

ре

бе

р і

куті

в, я

кі у

тво

рю

-ю

ть б

ічн

і ре

бр

а/гр

ані з

пло

щи

но

ю о

сно

ви);

пр

ави

льн

і мн

ого

гран

ни

ки;

ро

зр

ізн

яє

еле

ме

нти

пр

изм

и, п

арал

еле

піп

ед

а, п

ірам

іди

; ви

ди

мі й

не

ви-

ди

мі е

лем

ен

ти п

ри

зми

/пір

амід

и; п

рям

і, п

рав

иль

ні,

оп

уклі

мн

ого

гран

ни

-ки

; п

лоск

ий

кут

мн

ого

гран

ни

ка п

ри

ве

рш

ин

і та

дво

гран

ни

й к

ут м

но

го-

гран

ни

ка п

ри

ре

бр

і; п

рям

ий

і п

рям

оку

тни

й п

арал

еле

піп

ед

и;

пр

ави

льн

у п

ірам

іду

і те

трае

др

;

Мн

ого

гран

ні к

ути

.М

но

гогр

анн

ик

та й

ого

еле

ме

нти

.П

ри

зма.

Пр

яма

і пр

ави

льн

а п

ри

зми

.П

арал

еле

піп

ед

.П

ірам

іда.

Зр

ізан

а п

ірам

іда.

Пр

ави

льн

а п

ірам

іда.

Пе

ре

різ

и м

но

гогр

анн

икі

в.П

лощ

і біч

но

ї та

по

вно

ї п

ове

рхо

нь

пр

и-

зми

, пір

амід

и, з

різ

ано

ї пір

амід

и.

Пр

ави

льн

і мн

ого

гран

ни

ки

67


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

зо

бр

аж

ає

на

ри

сун

ку,

від

по

від

но

до

вла

сти

вост

ей

пар

але

льн

ого

пр

о-

ект

уван

ня:

пр

изм

у; п

арал

еле

піп

ед

; пір

амід

у; з

різ

ану

пір

амід

у; в

ид

им

і та

не

вид

им

і еле

ме

нти

, як

і є ш

укан

им

и в

зад

ачах

для

зн

ахо

дж

ен

ня

хар

ак-

тер

ист

ик

інш

их

та є

осн

овн

им

и д

ля з

адан

ого

мн

ого

гран

ни

ка, —

ви

сота

, тв

ірн

а, а

по

фе

ма;

пе

ре

різ

и п

лощ

ин

ами

(о

сьо

ві,

діа

гон

альн

і, п

арал

ель

ні

до

пло

щи

ни

осн

ови

то

що

);п

оя

сн

ює

та

за

пи

сує

від

по

від

но

до

ум

ови

зад

ачі:

ско

ро

чен

ий

зап

ис

вве

де

нн

я п

озн

аче

нь

за р

ису

нко

м; ф

ор

мул

и д

ля о

бчи

сле

нн

я п

лощ

біч

но

ї та

по

вно

ї по

вер

хні:

пр

ямо

ї пр

изм

и,

пар

але

леп

іпе

да,

пр

ави

льн

ої п

ірам

і-д

и, п

рав

иль

но

ї зр

ізан

ої п

ірам

іди

;а

на

ліз

ує т

а д

ос

лід

жує

кут

між

по

хило

ю т

а її

пр

ое

кціє

ю (

між

діа

гон

ал-

лю п

ри

зми

та

пло

щи

но

ю о

сно

ви,

між

ап

оф

ем

ою

пір

амід

и т

а п

лощ

ин

ою

о

сно

ви);

кут

між

дво

ма

пло

щи

нам

и (

кут

між

пе

ре

різ

ом

і п

лощ

ин

ою

осн

о-

ви,

кут

між

біч

но

ю г

ран

ню

та

пло

щи

но

ю о

сно

ви);

ро

зміщ

ен

ня

пр

ое

кції

вер

ши

ни

пір

амід

и в

пло

щи

ні о

сно

ви (

від

ом

а р

івн

ість

усі

х б

ічн

их

ре

бе

р,

рів

ніс

ть у

сіх

куті

в, у

тво

ре

ни

х б

ічн

им

и р

еб

рам

и/г

ран

ями

та

пло

щи

но

ю

осн

ови

);о

бґр

унто

вує

ро

зміщ

ен

ня

осн

ови

ви

соти

пір

амід

и; п

озн

аче

нн

я ку

та м

іж

апо

фе

мо

ю і

пло

щи

но

ю о

сно

ви,

між

біч

но

ю г

ран

ню

і п

лощ

ин

ою

осн

о-

ви,

пло

ско

го к

ута

пр

и в

ер

ши

ні

пір

амід

и,

утво

ре

но

го п

лощ

ин

ою

пе

ре

-р

ізу;

зас

тосу

ван

ня

тео

ре

ми

пр

о т

ри

пе

рп

ен

ди

куля

ри

та

тео

ре

м д

ля

ро

зв’я

зува

нн

я п

рям

оку

тно

го т

ри

кутн

ика

;ха

ра

кте

ри

зує

по

кро

кові

мо

жли

вост

і до

сягн

ен

ня

від

по

від

і до

нав

чаль

-н

о-п

рак

тичн

ої

зад

ачі;

мо

де

ль п

ри

клад

но

ї за

дач

і, п

ер

екл

адаю

чи ї

ї н

а м

ову

ге

ом

етр

ії; в

ид

пе

ре

різ

у м

но

гогр

анн

ика

та

шля

хи п

ош

уку

не

від

ом

их

лін

ійн

их

вим

ірів

і ве

личи

н д

ля й

ого

ро

зв’я

зува

нн

я;

68


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

ви

мір

ює

та

об

чи

сл

ює

пло

щі б

ічн

ої т

а п

овн

ої п

ове

рхн

і: п

рям

ої п

ри

зми

, п

арал

еле

піп

ед

а, п

рав

иль

но

ї пір

амід

и, п

рав

иль

но

ї зр

ізан

ої п

ірам

іди

;р

оз

в’я

зує

вп

рав

и, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: ви

кор

ист

анн

я ви

вче

ни

х о

знач

ен

ь,

тео

ре

м, ф

ор

мул

і вл

асти

вост

ей

до

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

, у т

. ч. п

ри

клад

-н

ого

та

пр

акти

чно

го з

міс

ту;

об

числ

ен

ня

пло

щ б

ічн

ої т

а п

овн

ої п

ове

рхн

і п

рям

ої

пр

изм

и,

пар

але

леп

іпе

да,

пр

ави

льн

ої

пір

амід

и,

пр

ави

льн

ої

зрі-

зан

ої п

ірам

іди

; ви

кон

анн

я п

об

удо

в п

ер

ер

ізів

, до

вед

ен

ня

та д

осл

ідж

ен

ня

їх в

ид

у

Тем

а 2

. Т

ІЛА

ОБ

ЕР

ТАН

НЯ

(2

1 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

нав

од

ить

пр

икл

ади

: тіл

об

ер

тан

ня;

по

яс

ню

є,

що

так

е:

ци

лін

др

; ко

нус

; зр

ізан

ий

ко

нус

; ку

ля;

куль

ови

й с

ег-

ме

нт,

се

кто

р, п

ояс

;ф

ор

мул

ює

озн

аче

нн

я о

сно

вни

х п

он

ять

і вла

сти

вост

ей

для

ге

ом

етр

ич-

ни

х ті

л, з

азн

аче

ни

х у

зміс

ті т

ем

и;

фо

рм

улю

є й

до

во

ди

ть т

ео

ре

ми

пр

о: п

ер

ер

із ц

илі

нд

ра

і ко

нус

а п

лощ

и-

но

ю, п

ер

пе

нд

ику

ляр

но

ю д

о о

сі ц

илі

нд

ра;

пе

ре

різ

кул

і буд

ь-як

ою

пло

щи

-н

ою

;кл

ас

иф

ікує

ге

ом

етр

ичн

і тіл

а за

ви

до

м:

ци

лін

др

; ко

нус

; зр

ізан

ий

ко

нус

; ку

ля; к

ульо

ві с

егм

ен

т, с

ект

ор

, по

яс;

ро

зр

ізн

яє

еле

ме

нти

ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а, к

улі,

сегм

ен

-та

, се

кто

ра,

по

яса;

ви

ди

мі

й н

еви

ди

мі

еле

ме

нти

; ц

ен

трал

ьни

й к

ут т

а п

лоск

і кут

и, у

тво

ре

ні п

ер

ер

ізо

м п

лощ

ин

и, щ

о п

ро

ход

ить

че

ре

з ве

рш

ин

у ко

нус

а;

Тіл

о о

бе

рта

нн

я.Ц

илі

нд

р,

кон

ус,

зріз

ани

й к

он

ус,

їх е

ле-

ме

нти

.П

ер

ер

ізи

ци

лін

др

а, к

он

уса

і зр

ізан

о-

го к

он

уса:

ось

ові

пе

ре

різ

и ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а і

зріз

ано

го

кон

уса;

п

ер

ер

ізи

ц

илі

нд

ра

і ко

нус

а п

лощ

ин

ами

, п

ара-

лель

ни

ми

о

сно

ві;

пе

ре

різ

и

ци

лін

др

а п

лощ

ин

ами

, пар

але

льн

им

и й

ого

осі

;п

ер

ер

ізи

ко

нус

а п

лощ

ин

ами

, як

і п

ро

-хо

дят

ь че

ре

з й

ого

ве

рш

ин

у.К

уля

і сф

ер

а. П

ер

ер

із к

улі п

лощ

ин

ою

.Ч

асти

ни

кул

і: се

гме

нт,

се

кто

р, п

ояс

.П

лощ

ин

а, д

оти

чна

до

сф

ер

и.

Ко

мб

інац

ії ге

ом

етр

ичн

их

тіл

69


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

зо

бр

аж

ає

ри

сун

ком

, ві

дп

ові

дн

о д

о в

ласт

иво

сте

й о

рто

гон

альн

ого

пр

о-

ект

уван

ня:

ци

лін

др

; ко

нус

; зр

ізан

ий

ко

нус

, ку

лю,

сегм

ен

т, с

ект

ор

, п

ояс

; ви

ди

мі т

а н

еви

ди

мі е

лем

ен

ти, я

кі є

шук

ани

ми

в з

адач

ах д

ля з

нах

од

же

н-

ня

хар

акте

ри

сти

к ін

ши

х та

є о

сно

вни

ми

для

зад

ани

х ф

ігур

, —

ви

сота

, тв

ірн

а, р

адіу

с, х

ор

да;

пло

щи

ну,

до

тичн

у д

о с

фе

ри

та

пе

ре

різ

кул

і пло

щи

-н

ою

; ось

ові

пе

ре

різ

и ц

илі

нд

ра

та к

он

уса;

ко

мб

інац

ії п

ро

сто

ро

вих

фіг

ур;

по

яс

ню

є т

а з

ап

ис

ує в

ідп

ові

дн

о д

о у

мо

ви з

адач

і: ск

ор

оче

ни

й з

апи

с вв

ед

ен

ня

по

знач

ен

ь за

ри

сун

ком

; ф

ор

мул

и д

ля о

бчи

сле

нн

я п

лощ

біч

-н

ої т

а п

овн

ої п

ове

рхн

і: ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

уса;

пе

ре

тин

кул

і п

лощ

ин

ою

;а

на

ліз

ує т

а д

ос

лід

жує

кут

між

по

хило

ю т

а її

пр

ое

кціє

ю (

між

діа

гон

аллю

тв

ірн

ою

ко

нус

а і п

лощ

ин

ою

осн

ови

, м

іж д

іаго

нал

лю п

ер

ер

ізу

ци

лін

др

а і

пло

щи

но

ю о

сно

ви);

кут

між

дво

ма

пло

щи

нам

и (

кут

між

пе

ре

різ

ом

і п

ло-

щи

но

ю о

сно

ви);

пе

ре

тин

кул

і п

лощ

ин

ою

; д

оти

чну

пло

щи

ну

до

сф

ер

и;

ком

бін

ацію

пр

ост

ор

ови

х ф

ігур

;о

бґр

унто

вує

вла

сти

вост

і тіл

об

ер

тан

ня;

по

знач

ен

ня

від

по

від

ни

х лі

ній

-н

их

і п

лоск

их

куті

в; з

асто

сува

нн

я те

ор

ем

и п

ро

тр

и п

ер

пе

нд

ику

ляр

и т

а те

ор

ем

для

ро

зв’я

зува

нн

я п

рям

оку

тни

х тр

ику

тни

ків;

рад

іусі

в вп

иса

но

го

й о

пи

сан

ого

ко

ла;

хар

акт

ер

из

ує п

окр

око

ві м

ож

ливо

сті д

ося

гне

нн

я ві

дп

ові

ді д

о н

авча

ль-

но

-пр

акти

чно

ї за

дач

і; м

од

ель

пр

икл

адн

ої

зад

ачі,

пе

ре

клад

аючи

її

на

мо

ву г

ео

ме

трії;

ви

д п

ер

ер

ізу

гео

ме

три

чно

го т

іла

об

ер

тан

ня

та ш

ляхи

п

ош

уку

не

від

ом

их

лін

ійн

их

вим

ірів

і в

ели

чин

для

йо

го р

озв

’язу

ван

ня;

е

лем

ен

ти к

ом

бін

ації

пр

ост

ор

ови

х ф

ігур

;р

оз

в’я

зує

вп

рав

и,

що

пе

ре

дб

ачаю

ть:

вико

ри

стан

ня

вивч

ен

их

озн

а-че

нь,

те

ор

ем

, фо

рм

ул і

влас

тиво

сте

й д

о р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач, у

т. ч

. пр

и-

клад

но

го т

а п

рак

тичн

ого

зм

істу

.

70


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 3

. О

Б’Є

МИ

МН

ОГО

ГРА

НН

ИК

ІВ (

16

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

по

яс

ню

є, щ

о т

аке

: об

’єм

мн

ого

гран

ни

ка; о

б’є

м п

арал

еле

піп

ед

а,п

ри

зми

, пір

амід

и, з

різ

ано

ї пір

амід

и;

фо

рм

улю

є о

сно

вні в

ласт

иво

сті о

б’є

мів

мн

ого

гран

ни

ка;

фо

рм

улю

є т

а д

ово

ди

ть т

ео

ре

ми

пр

о:

об

’єм

пр

ямо

кутн

ого

і п

охи

лого

п

арал

еле

піп

ед

а; о

б’є

м п

ри

зми

; об

’єм

пір

амід

и;

зо

бр

аж

ує р

ису

нко

м,

від

по

від

но

до

вла

сти

вост

ей

пар

але

льн

ого

пр

о-

ект

уван

ня:

пр

изм

у, п

арал

еле

піп

ед

, пір

амід

у, з

різ

ану

пір

амід

у; в

ид

им

і та

не

вид

им

і еле

ме

нти

, які

є ш

укан

им

и в

зад

ачах

для

зн

ахо

дж

ен

ня

хар

акте

-р

ист

ик

об

числ

ен

ня

об

’єм

у;п

оя

сн

ює

та

за

пи

сує

від

по

від

но

до

ум

ови

зад

ачі:

ско

ро

чен

ий

зап

ис

вве

де

нн

я п

озн

аче

нь

за р

ису

нко

м; ф

ор

мул

и д

ля о

бчи

сле

нн

я п

лощ

осн

о-

ви,

висо

ти т

а о

б’є

му

пр

ямо

кутн

ого

і п

охи

лого

пар

але

леп

іпе

да;

пр

изм

и;

пір

амід

и;

ан

ал

ізує

та

до

сл

ідж

ує л

іній

ні

вим

іри

та

вели

чин

и д

ля о

бчи

сле

нн

я о

б’є

му;

об

ґрун

тов

ує р

озм

іще

нн

я о

сно

ви в

исо

ти п

ірам

іди

, п

ри

зми

, п

арал

еле

-п

іпе

да;

по

кро

кові

ви

сно

вки

під

час

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

, за

сто

сову

ючи

ві

до

мі т

ео

ре

ми

та

інш

і тве

рд

же

нн

я;ха

ра

кте

ри

зує

по

кро

кові

мо

жли

вост

і до

сягн

ен

ня

від

по

від

і до

нав

чаль

-н

о-п

рак

тичн

ої

зад

ачі;

мо

де

ль п

ри

клад

но

ї за

дач

і, п

ер

екл

адаю

чи ї

ї н

а м

ову

ге

ом

етр

ії; ш

ляхи

по

шук

у н

еві

до

ми

х лі

ній

ни

х ви

мір

ів і

вели

чин

для

й

ого

ро

зв’я

зува

нн

я;

ви

мір

ює

та

об

чи

сл

ює

об

’єм

пр

ямо

кутн

ого

і п

охи

лого

пар

але

леп

іпе

да;

п

ри

зми

; пір

амід

и;

Об

’єм

м

но

гогр

анн

ика

та

вл

асти

вост

і о

б’є

му.

Об

’єм

мн

ого

гран

ни

ків:

пар

але

леп

іпе

да,

пр

изм

и, п

ірам

іди

,зр

ізан

ої п

ірам

іди

71


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, що

пе

ре

дб

ачаю

ть: в

ико

ри

стан

ня

вивч

ен

их

озн

аче

нь,

те

ор

ем

, фо

рм

ул і

влас

тиво

сте

й д

о р

озв

`язу

ван

ня

зад

ач, у

т. ч

. пр

икл

ад-

но

го т

а п

рак

тичн

ого

зм

істу

; об

числ

ен

ня

об

’єм

у п

рям

оку

тно

го і

по

хило

го

пар

але

леп

іпе

да;

пр

изм

и; п

ірам

іди

Тем

а 4

. О

Б’Є

МИ

ТА

ПЛ

ОЩ

І ПО

ВЕ

РХ

ОН

Ь Т

ІЛ О

БЕ

РТА

НН

Я (

16

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

во

ди

ть п

ри

кла

ди

тіл

об

ер

тан

ня;

по

яс

ню

є, щ

о т

аке

: об

’єм

ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а; о

б’є

м к

улі

та її

час

тин

; п

лощ

а б

ічн

ої п

ове

рхн

і, п

лощ

а п

овн

ої п

ове

рхн

і тіл

об

ер

тан

-н

я: ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

уса;

пло

ща

сфе

ри

;ф

ор

мул

ює

та

до

во

ди

ть т

ео

ре

ми

пр

о о

б’є

м: ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

-го

ко

нус

а; о

б’є

м к

улі т

а її

част

ин

;р

оз

різ

ня

є р

озг

ор

тки

по

вер

хні ц

илі

нд

ра

і ко

нус

а;з

об

ра

жує

ри

сун

ком

, ві

дп

ові

дн

о д

о в

ласт

иво

сте

й п

арал

ель

но

го п

ро

ек-

тува

нн

я: ц

илі

нд

р,

кон

ус,

зріз

ани

й к

он

ус;

кулю

та

її ча

сти

ни

; ви

ди

мі

та

не

вид

им

і еле

ме

нти

, які

є ш

укан

им

и в

зад

ачах

для

зн

ахо

дж

ен

ня

хар

акте

-р

ист

ик

об

числ

ен

ня

об

’єм

у;п

оя

сн

ює

та

за

пи

сує

від

по

від

но

до

ум

ови

зад

ачі:

ско

ро

чен

ий

зап

ис

вве

де

нн

я п

озн

аче

нь

за р

ису

нко

м; ф

ор

мул

и д

ля о

бчи

сле

нн

я п

лощ

осн

о-

ви,

висо

ти т

а о

б’є

му

ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а; о

б’є

му

кулі

та

її ча

сти

н;

ви

мір

ює

та

об

чи

сл

ює

пло

щі б

ічн

ої т

а п

овн

ої п

ове

рхн

і: ц

илі

нд

ра,

ко

ну-

са, з

різ

ано

го к

он

уса;

ан

ал

ізує

та

до

сл

ідж

ує л

іній

ні

вим

іри

та

вели

чин

и д

ля о

бчи

сле

нн

я о

б’є

му;

Об

’єм

тіл

об

ер

тан

ня:

ци

лін

др

а,ко

нус

а,зр

ізан

ого

ко

нус

а,ку

лі т

а її

част

ин

.П

лощ

а б

ічн

ої

по

вер

хні,

пло

ща

по

вно

ї п

ове

рхн

і ті

л о

бе

рта

нн

я: ц

илі

нд

ра,

ко

-н

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а. П

лощ

а сф

ер

и

72


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

об

ґрун

тов

ує р

озм

іще

нн

я о

сно

ви в

исо

ти ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го

кон

уса;

це

нтр

кул

і; п

окр

око

ві в

исн

овк

и п

ід ч

ас р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач,

за-

сто

сову

ючи

від

ом

і те

ор

ем

и т

а ін

ші т

вер

дж

ен

ня;

хар

акт

ер

из

ує п

окр

око

ві м

ож

ливо

сті д

ося

гне

нн

я ві

дп

ові

ді д

о н

авча

ль-

но

-пр

акти

чно

ї за

дач

і; м

од

ель

пр

икл

адн

ої

зад

ачі,

пе

ре

клад

аючи

її

на

мо

ву г

ео

ме

трії;

шля

хи п

ош

уку

не

від

ом

их

лін

ійн

их

вим

ірів

і ве

личи

н д

ля

йо

го р

озв

’язу

ван

ня;

в

им

ірю

є т

а о

бч

ис

лю

є о

б’є

м і

пло

щі п

ове

рхо

нь

ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

іза-

но

го к

он

уса;

об

’єм

кул

і та

її ча

сти

н; п

лощ

у сф

ер

и;

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: ви

кор

ист

анн

я ви

вче

ни

х о

зна-

чен

ь, т

ео

ре

м, ф

ор

мул

і вл

асти

вост

ей

до

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

, у т.

ч. п

ри

-кл

адн

ого

та

пр

акти

чно

го з

міс

ту;

об

числ

ен

ня

об

’єм

у ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а,

зріз

ано

го к

он

уса,

кул

і; п

лощ

біч

но

ї та

по

вно

ї по

вер

хні ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а,

зріз

ано

го к

он

уса,

пло

щу

сфе

ри

; зн

ахо

дж

ен

ня

пло

щ п

ове

рхо

нь

ком

бін

а-ц

ії п

ро

сто

ро

вих

фіг

ур

73


НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА З МАТЕМАТИКИдля учнів 10–11 класів

(початок вивчення на поглибленому рівніз 8 класу)


Профільний рівень

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Вступ

Програма призначена для організації навчання математики на поглибленому рівні. Вона розроблена на основі Державного стандарту базової і повної середньої освіти з урахуванням особ-ливостей відповідних профілів навчання.

Мета навчання математики на поглибленому рівні полягає в за-безпеченні свідомого й міцного оволодіння системою математичних знань, навичками й уміннями, які потрібні в повсякденному жит-ті та майбутній трудовій діяльності, достатні для вивчення інших шкільних дисциплін і продовження навчання у вищих закладах освіти за спеціальностями із значною математичною складовою.

Досягнення зазначеної мети забезпечується виконанням таких завдань:

• формування в учнів наукового світогляду, уявлень про ідеї та методи математики, її роль у пізнанні дійсності, усвідом-лення математичних знань як невід’ємної складової загаль-ної культури людини, необхідної умови повноцінного життя в сучасному суспільстві; стійкої позитивної мотивації до на-вчання;

• оволодіння учнями мовою математики, системою математич-них знань, навичками та уміннями, потрібними в повсякден-ному житті та майбутній професійній діяльності, достатніх для успішного оволодіння знаннями інших освітніх галузей і забезпечення мотивації потреби неперервності навчатися впродовж життя;

• інтелектуальний розвиток особистості — розвиток логічного мислення та інтуїції учнів, просторової уяви, пам’яті, уваги, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури;

• громадянське виховання та формування позитивних рис осо-бистості — ініціативності та творчості, пізнавальної самостій-

74


ності та інтересу, потреби в самоосвіті, здатності адаптувати-ся до умов, що змінюються;

• формування життєвих компетентностей учня — позитивних рис характеру (наполегливості, волі, культури думки й поведінки, об-ґрунтованості суджень, відповідальності за доручену справу тощо);

• формування загальнолюдських духовних цінностей особис-тості; виховання національної самосвідомості, поваги до на-ціональної культури і традицій України.Змістове наповнення програми реалізує компетентнісний під-

хід до навчання, спрямований на формування системи відповід-них знань, навичок, досвіду, здібностей і ставлення, яка дає змо-гу обґрунтовано робити висновки про застосування математики в реальному житті, визначає готовність випускника школи до успішної діяльності в соціумі.

Передбачається, що випускник закладу загальної середньої освіти:

• розпізнає життєві чи предметні ситуації як задачі, що можна розв’язати математичними методами; формулює їх математич-ною мовою та розв’язує, використовуючи математичні компе-тентності, оцінює похибку обчислень й інтерпретує отримані результати з урахуванням конкретних умов, змісту та цілей предмета дослідження; застосовує математичні моделі під час вивчення природничих (фізика, астрономія, географія, еконо-міка, хімія, біологія) й інших навчальних предметів;

• логічно мислить (аналізує та порівнює, прогнозує результат, узагальнює й систематизує, класифікує математичні об’єкти за певними властивостями, наводить контрприклади, висуває та перевіряє гіпотези); володіє алгоритмами та евристиками;

• користується відповідними джерелами для пошуку матема-тичної інформації, може самостійно її проаналізувати та пе-редати математичну суть (у текстовій, графічній, табличній, знаково-символьній формах);

• виконує математичні розрахунки, раціонально поєднуючи усні та письмові обчислення, використовує електронні обчис-лювальні пристрої;

• виконує тотожні перетворення алгебраїчних, показнико-вих, логарифмічних, тригонометричних виразів під час розв’язування різних задач (рівнянь, нерівностей, їх систем, геометричних задач, задач із застосуванням тригонометрії);

• аналізує графіки функціональних залежностей, досліджує їхні властивості; використовує властивості елементарних

75


функцій для аналізу та опису реальних явищ, фізичних про-цесів, залежностей;

• володіє методами математичного аналізу в обсязі, що дає змо-гу досліджувати властивості елементарних функцій, будува-ти їх графіки й розв’язувати нескладні прикладні задачі;

• обчислює ймовірності випадкових подій, оцінює шанси їх на-стання, аналізує випадкові величини та знаходить їх найпрос-тіші характеристики, розуміє значення головних статистич-них показників, обирає оптимальні рішення;

• зображує геометричні фігури, встановлює й обґрунтовує їхні властивості; застосовує властивості фігур при розв’язуванні задач; вимірює геометричні величини, які характеризують розміщення геометричних фігур (відстані, кути), знаходить кількісні характеристики фігур (площі, об’єми).Крім того, навчання математики має зробити певний внесок

у формування ключових компетентностей.

№Ключові



1


Уміння: ставити запитання й розпізнавати пробле-му; міркувати, робити висновки на основі інформа-ції, поданої в різних формах (у таблицях, діаграмах, на графіках); розуміти, пояснювати й перетворю-вати тексти математичних задач (усно й письмово), грамотно висловлюватися рідною мовою; доречно та коректно вживати в мовленні математичну тер-мінологію, чітко, лаконічно та зрозуміло формулю-вати думку, аргументувати, доводити правильність тверджень; поповнювати свій словниковий запас.Ставлення: розуміння важливості чітких і лаконіч-них формулювань.Навчальні ресурси: означення понять, фор-мулювання властивостей, доведення теорем, розв’язування задач


Уміння: спілкуватися іноземною мовою з викорис-танням числівників, математичних понять і найужи-ваніших термінів; ставити запитання, формулювати проблему; зіставляти математичний термін чи бук-вене позначення з його походженням з іноземної мови, правильно використовувати математичні терміни в повсякденному житті

76


№Ключові



Ставлення: усвідомлення важливості вивчення іноземних мов для розуміння математичних тер-мінів і позначень, пошуку інформації в іншомовних джерелах.Навчальні ресурси: тексти іноземною мовою з використанням статистичних даних, математичних термінів


Уміння: оперувати числовою інформацією, гео-метричними об’єктами на площині та в просторі; установлювати просторові відношення між реаль-ними об’єктами навколишньої дійсності (природ-ними, культурними, технічними тощо); розв’язувати задачі, зокрема практичного змісту; будувати й досліджувати найпростіші математичні моделі ре-альних об’єктів, процесів і явищ, інтерпретувати та оцінювати результати; прогнозувати в контексті на-вчальних і практичних задач; використовувати ма-тематичні методи в життєвих ситуаціях.Ставлення: усвідомлення значення математики для повноцінного життя в сучасному суспільстві, розвитку технологічного, економічного й оборон-ного потенціалу держави, успішного вивчення ін-ших дисциплін.Навчальні ресурси: розв’язування математичних задач, зокрема таких, що моделюють реальні жит-тєві ситуації

4


Уміння: розпізнавати проблеми, що виникають у довкіллі і які можна розв’язати засобами матема-тики; будувати та досліджувати математичні моделі природних явищ і процесів.Ставлення: усвідомлення важливості математики як універсальної мови науки, техніки та технологій.Навчальні ресурси: складання графіків і діаграм, які ілюструють функціональні залежності результа-тів впливу людської діяльності на природу

5


Уміння: структурувати дані; діяти за алгоритмом і складати алгоритми; визначати достатність даних для розв’язування задачі; використовувати різні знакові системи; знаходити інформацію та оціню-вати її достовірність; доводити істинність твер-джень

77


№Ключові



Ставлення: критичне осмислення інформації та джерел її отримання; усвідомлення важливості ІКТ для ефективного розв’язування математичних задач.Навчальні ресурси: візуалізація даних, побудова графіків і діаграм за допомогою програмних засобів


Уміння: визначати мету навчальної діяльності, до-бирати й застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення цієї мети; організовувати та планувати свою навчальну діяльність; моделюва-ти власну освітню траєкторію, аналізувати, контро-лювати, коригувати та оцінювати результати своєї навчальної діяльності; доводити правильність влас-ного судження або визнавати його помилковість.Ставлення: усвідомлення власних освітніх потреб та цінності нових знань і вмінь; зацікавленість у пізнанні світу; розуміння важливості вчитися впро-довж життя; прагнення до вдосконалення результа-тів своєї діяльності.Навчальні ресурси: моделювання власної освіт-ньої траєкторії

7


Уміння: генерувати нові ідеї, вирішувати життє-ві проблеми, аналізувати, ухвалювати оптимальні рішення; використовувати критерії практичності, ефективності й точності, щоб обрати найкраще рі-шення; аргументувати та захищати свою позицію, дискутувати; використовувати різні стратегії, шука-ючи оптимальні способи розв’язування життєвого завдання.Ставлення: ініціативність; відповідальність, упев-неність у собі; переконаність, що успіх команди — це й особистий успіх; позитивне оцінювання та під-тримка конструктивних ідей інших.Навчальні ресурси: задачі підприємницького змісту (оптимізаційні задачі)

8

Соціальна та грома-дянська компетент-ності

Уміння: аргументувати та відстоювати свою пози-цію; ухвалювати аргументовані рішення в життєвих ситуаціях; співпрацювати в команді, вносити свою частку в роботу групи для вирішення проблеми; аналізувати власну економічну ситуацію, родин-ний бюджет, застосовуючи математичні методи;

78


№Ключові



орієнтуватися в широкому колі послуг і товарів на основі чітких критеріїв, робити споживчий вибір, спираючись, зокрема, і на математичні дані.Ставлення: ощадливість і поміркованість; рівне ставлення до інших незалежно від статків, соціаль-ного походження; відповідальність за спільну справу.Навчальні ресурси: задачі соціального змісту

9

Обізнаність та самови-раження у сфері куль-тури

Уміння: здійснювати необхідні розрахунки для встановлення пропорцій, відтворення перспекти-ви, створення об’ємно-просторових композицій; унаочнювати математичні моделі, зображати фігу-ри, графіки, рисунки, схеми, діаграми.Ставлення: усвідомлення взаємозв’язку матема-тики та культури на прикладах з архітектури, живо-пису, музики та ін.; розуміння важливості внеску математиків у загальносвітову культуру.Навчальні ресурси: задачі на золотий переріз

10


Уміння: висловлювати власну думку, слухати й чути інших, оцінювати аргументи та змінювати дум-ку на основі доказів; аналізувати і критично оціню-вати соціально-економічні події в державі на основі статистичних даних; враховувати правові, етичні, екологічні та соціальні наслідки рішень; розпізнава-ти, як інтерпретації результатів вирішення проблем можуть бути використані для маніпулювання.Ставлення: усвідомлення взаємозв’язку матема-тики й екології на основі статистичних даних; ощад-не й бережливе ставлення до природних ресурсів, чистоти довкілля та дотримання санітарних норм побуту; розгляд порівняльної характеристики щодо вибору здорового способу життя; власна думка та позиція до зловживань алкоголем, нікотином тощо. Навчальні ресурси: задачі соціально-економічно-го, екологічного змісту; задачі, які сприяють усві-домленню цінності здорового способу життя

Наскрізні лінії та їх реалізація. У навчальній програмі ви-окремлюються такі чотири наскрізні лінії ключових компетент-ностей: «Екологічна безпека та сталий розвиток», «Громадян-ська відповідальність», «Здоров’я і безпека», «Підприємливість

79


і фінансова грамотність», які спрямовані на формування в учнів здатності застосовувати знання й уміння в реальних життєвих ситуаціях.

Наскрізні лінії є засобом інтеграції ключових і загальнопред-метних компетентностей, навчальних предметів і предметних циклів, їх необхідно враховувати під час формування шкільного середовища життєдіяльності.

Наскрізні лінії є соціально значимими надпредметними те-мами, які допомагають формуванню в учнів уявлень про сус-пільство загалом, розвивають здатність застосовувати отримані знання в різних життєвих ситуаціях.



• через базові навчальні предмети — під час навчання, на під-ставі наскрізних тем, проводяться відповідні трактування, приклади й методи навчання, реалізуються надпредметні, міжкласові та загальношкільні проекти. Роль навчальних предметів під час навчання наскрізних тем різна й залежить від цілей і змісту навчального предмета та від того, наскільки тісно пов’язаний з конкретною наскрізною темою той чи ін-ший предметний цикл;


Наскрізні лінії:1. Наскрізна лінія «Екологічна безпека та сталий розвиток»

орієнтована на формування в учнів соціальної активності, відпо-відальності та екологічної свідомості, готовності брати участь у вирішенні питань збереження довкілля й розвитку суспільства, усвідомлення важливості сталого розвитку для майбутніх поколінь.

Проблематика наскрізної лінії «Екологічна безпека та сталий розвиток» реалізується в курсі математики, насамперед через завдання з реальними даними про використання природних ре-сурсів, їх збереження та примноження. Аналіз цих даних сприяє розвитку бережливого ставлення до навколишнього середовища, екології, формуванню критичного мислення, вмінню вирішува-ти проблеми, критично оцінювати перспективи розвитку навко-

80


лишнього середовища і людини. Можливе проведення уроків на відкритому повітрі. При розгляді цієї лінії важливе місце посіда-ють відсоткові обчислення, функції, елементи теорії ймовірнос-тей та статистики.

2. Реалізація наскрізної лінії «Громадянська відповідаль-ність» сприятиме формуванню відповідального члена громади й суспільства, що розуміє принципи та механізми функціонуван-ня суспільства. Ця наскрізна лінія освоюється переважно через колективну діяльність (дослідницькі роботи, роботи в групі, проекти тощо), яка поєднує математику з іншими навчальними предметами й розвиває в учнів готовність до співпраці, толерант-ність щодо різноманітних способів діяльності й думок.

Навчання математики має викликати в учнів якомога більше позитивних емоцій, а її зміст — бути спрямованим на виховання порядності, старанності, систематичності, послідовності, посидю-чості та чесності. Приклад учителя покликаний відіграти важ-ливу роль у формуванні толерантного ставлення до товаришів, незалежно від рівня навчальних досягнень. Із цієї ж наскрізною лінією пов’язані, наприклад, процентні обчислення, елементи статистики, що дають змогу учням зрозуміти значення кількіс-них показників при характеристиці суспільства та його розвитку.

3. Завданням наскрізної лінії «Здоров’я і безпека» є станов-лення учня як емоційно стійкого члена суспільства, здатного вести здоровий спосіб життя й формувати навколо себе безпечне життєве середовище.

Наскрізна лінія «Здоров’я і безпека» в курсі математики реалізується через завдання з реальними даними про безпеку і охорону здоров’я (текстові завдання, пов’язані із середовищем дорожнього руху, рухом пішоходів і транспортних засобів, від-сотковими обчисленнями і графіками, що стосуються чинників ризику). Особливо важливим є аналіз причин ДТП, пов’язаних з перевищенням швидкості. Варто звернути увагу на проблеми, пов’язані з ризиками для життя та здоров’я під час вивчення основ теорії ймовірностей і математичної статистики. Вирішення проблем, знайдених з «ага-ефектом»4, розгляд красивих матема-тичних конструкцій, пошук оптимальних методів розв’язування задач тощо, здатні викликати в учнів позитивне відчуття успіху.


81


4. Наскрізна лінія «Підприємливість і фінансова грамот-ність» спрямована на розвиток лідерських ініціатив, здатність успішно діяти в технологічному швидкозмінному середовищі, забезпечення кращого розуміння учнями практичних аспектів фінансових питань (здійснення заощаджень, інвестування, за-позичення, страхування, кредитування тощо).

Ця наскрізна лінія пов’язана з розв’язуванням практичних задач щодо планування господарської діяльності та реальної оцінки власних можливостей, складання сімейного бюджету, формування економного ставлення до природних ресурсів. Вона реалізується під час вивчення відсоткових обчислень, рівнянь і функцій.

З метою підвищення ефективності навчання, необхідною умовою є залучення до навчально-виховного процесу компетент-нісного, діяльнісного та особистісно орієнтованого підходів, які передбачають систематичне включення учнів до різних видів ак-тивної навчально-пізнавальної діяльності та формування умінь, корисних у реальних життєвих ситуаціях. Доцільно, де це мож-ливо, не лише показувати виникнення математичного факту з практичної ситуації, а й ілюструвати його застосування на прак-тиці. Формуванню математичної та ключових компетентностей сприяє встановлення й реалізація в навчанні математики між-предметних і внутрішньопредметних зв’язків, а саме: змістово-інформаційних, операційно-діяльнісних й організаційно-мето-дичних. Їх використання посилює пізнавальний інтерес учнів до навчання та підвищує їхній рівень загальної культури, створює умови для систематизації навчального матеріалу та формуван-ня наукового світогляду. Учні набувають досвіду застосування знань на практиці.

Важливу роль у навчанні математики відіграє систематичне використання історичного матеріалу, який підвищує інтерес до вивчення математики, стимулює потяг до наукової творчості, пробуджує критичне ставлення до фактів, дає учням уявлення про математику як невід’ємну складову загальнолюдської куль-тури. На дохідливих прикладах слід показувати учням, як роз-вивалися математичні поняття й відношення, теорії та методи. Ознайомлення учнів з іменами та біографіями видатних учених, які створювали математику, зокрема видатних українських ма-тематиків, сприятиме національному й патріотичному вихован-ню школярів.

82


Структура навчальної програми. Програма розрахована на 630 год: 420 год навчального часу відведено на вивчення алгебри та початків аналізу, 210 год — геометрії.

Розподіл змісту й навчального часу є орієнтовним. Учителям й авторам підручників надається право коригувати послідовність вивчення тем і змінювати розподіл годин на їх вивчення залежно від прийнятої методичної концепції та конкретних навчальних ситуацій. На основі орієнтовних тематичних планів учитель роз-робляє календарно-тематичний план, у якому конкретизується обсяг навчального матеріалу.

Програмою передбачено резерв навчального часу. Спосіб ви-користання резервного часу вчитель може обрати самостійно: для повторення на початку навчального року матеріалу, який вивчався в попередніх класах, як додаткові години на вивчення окремих тем, якщо вони важко засвоюються учнями, для прове-дення інтегрованих із профільним або іншими предметами уро-ків тощо.

Програму подано у формі таблиці, що містить дві колонки: очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів та зміст навчального матеріалу. У змісті вказано навчальний ма-теріал, який підлягає вивченню у відповідному класі. У квадрат-них дужках подано матеріал, який не є обов’язковим для вивчен-ня. Очікувані результати навчально-пізнавальної діяльності учнів орієнтують на результати навчання, які також є і об’єктом контролю та оцінювання.

В основу формування змісту програми покладено такі прин-ципи:

• наступність у навчанні математики між різними ланками ма-тематичної освіти, наступність із допрофільним навчанням математики й навчанням математики на інших рівнях;

• збереження традицій вітчизняної методичної школи та на-копиченого досвіду підготовки випускників спеціалізованих шкіл з поглибленим вивченням математики та предметів при-родничо-наукового циклу;

• збереження високого рівня теоретичної математичної під-готовки як основи професійної підготовки, вироблення здат-ності успішно працювати в галузях природничих дисциплін, самостійно здобувати знання;

• формування необхідних загальнонаукових, загальнонавчаль-них та соціально-особистісних компетентностей на основі ці-леспрямованої реалізації міжпредметних зв’язків, зокрема

83


предметів природничого циклу, які мають становити цілісну систему.Математика посідає особливе місце в системі знань людства,

виконуючи роль універсального й потужного методу сучасної науки. Тому особливу увагу варто приділити з’ясуванню ролі математики у сферах її застосування. Зокрема, забезпечити за-собами математики формування в учнів правильних уявлень про математичне моделювання та навчити школярів його засто-суванню до розв’язування широкого кола прикладних задач, зо-крема фізичних. Вивчаючи математику на поглибленому рівні, старшокласники мають усвідомити, що процес її застосування до розв’язування будь-яких прикладних задач розподіляється на три етапи: 1) формалізація (перехід від ситуації, описаної в задачі, до формальної математичної моделі цієї ситуації та до чітко сформульованої математичної задачі); 2) розв’язування за-дачі в межах побудованої моделі; 3) інтерпретація одержаного розв’язку задачі та його застосування до вихідної ситуації.

Час, визначений на вивчення алгебри і початків аналізу, дає можливість поглибити рівень опанування предметом за ра-хунок розгляду на уроках прикладних задач зі сфери техніки, енергетики, ядерної фізики, екології, економіки тощо, методи розв’язування яких спираються на вивчений матеріал.

Для курсу «Алгебра і початки аналізу» однією з провідних змістових ліній навчання є функціональна, тому в процесі на-вчання приділяється особлива увага дослідженням властивостей функцій у тій чи іншій формі. Важливо при цьому демонстру-вати взаємозв’язок між основними поняттями курсу: функція, рівняння та нерівність. Зокрема, розв’язання рівняння f(x) = 0, нерівностей f(x) > 0, f(x) < 0 є окремими випадками задачі на до-слідження функції y = f(x) (знаходження нулів функції та про-міжків її знакосталості). Також зауважте, що функції моделю-ють реальні процеси, тому в уявленні учнів має асоціюватися характер реального процесу з відповідною функцією, її графіком та властивостями. Наприклад, змінювання маси радіоактив-ної речовини має викликати уявлення про функцію m = m

0e–kt

(k > 0). Важливо, щоб притаманні явищу властивості (напри-клад, зменшення чи збільшення маси, розпад речовини з часом) пов’язувались із властивостями функцій (спадання, зростання, прямування до нуля, коли t → 0). Доцільно особливу увагу при-ділити показниковій функції, яка широко використовується під час моделювання процесів і явищ навколишнього світу.

84


Одним з головних завдань вивчення математики на поглиб-леному рівні є також розвиток графічної культури учнів, що зу-мовлено практичними потребами — робота з графіками, діагра-мами, рисунками посідає чільне місце в діяльності спеціаліста технічного та природничого профілів. Тому особливу увагу під час вивчення функцій слід приділити формуванню в учнів умінь установлювати властивості функції за її графіком, будувати ес-кізи графіків функцій, заданих аналітичним виразом, у формі таблиці або за експериментально визначеними даними, а також виконувати геометричні перетворення графіків. Необхідно на-вчити учнів за графіком функції встановлювати її неперервність, точки розриву, проміжки зростання і спадання, знакосталості, найбільше і найменше значення.

До поняття похідної приводять багато задач природознавства, математики, техніки. Тому його доцільно вводити як узагаль-нення результатів розв’язування відповідних прикладних задач. Це одразу виділяє головний прикладний зміст поняття, робить його більш природним і доступним для сприймання. Під час фор-мування поняття похідної слід виробляти розуміння того, що по-хідна моделює не лише швидкість механічного руху, а й швид-кість зміни будь-якого процесу із часом (наприклад, швидкість нагрівання тіла, швидкість випаровування тощо). Одночасне вивчення фізичного й геометричного змісту похідної дає можли-вість показати учням зв’язок між швидкістю протікання проце-су та «крутизною» його графіка.

Вивчення теми «Інтеграл та його застосування» починається з розгляду сукупності первісних даної функції. Особливо захоп-люватись постановкою в учнів техніки інтегрування не варто. Формування технічних навичок інтегрування не повинно підмі-нювати використання інтегралів під час моделювання реальних процесів.

Поняття ймовірності доцільно формувати, поєднуючи ста-тистичний та аксіоматичний підходи. До того ж слід залучати до розгляду значну кількість побутових і прикладних задач, що ілюструють і виявляють ймовірнісні та статистичні закономір-ності.

Значне місце в програмі приділено розв’язуванню задач із параметрами. У процесі розв’язування таких задач до арсеналу прийомів і методів мислення школярів природно включаються аналіз, індукція та дедукція, узагальнення та конкретизація,

85


класифікація та систематизація, аналогія. Ці задачі дають мож-ливість перевірити рівень знання основних розділів шкільного курсу математики, рівень логічного мислення учнів, початкові навички дослідницької діяльності. Тому завдання з параметра-ми мають діагностичну та прогностичну цінність.

Основною формою проведення занять залишається сис-тема уроків: вивчення нового матеріалу, формування вмінь розв’язувати задачі, узагальнення та систематизації знань, контролю та корекції знань. Поряд із цим ширше використо-вується шкільна лекція, семінарські та практичні заняття, а також нетрадиційні форми навчання (динамічні слайд-лекції, дидактичні ігри, уроки «однієї задачі», «однієї ідеї», матема-тичні «бої», інтегровані уроки математики й фізики, поєднан-ня вивчення алгебри і початків аналізу з обробкою (у тому числі комп’ютерною ) даних, одержаних під час проведення лаборатор-них і практичних робіт на уроках фізики, астрономії, хімії, біо-логії тощо. Можливі й різні форми індивідуальної або групової діяльності учнів, такі, наприклад, як звітні доповіді за резуль-татами «пошукової» роботи на сторінках книг, журналів, сайтів в Інтернеті, «Допишемо підручник» тощо. Бажаним є залучення до участі в навчальному процесі викладачів вищих навчальних закладів, учених та спеціалістів.

Вибір вивчення математики на поглибленому рівні перед-бачає наявність стійкого усвідомленого інтересу кожного учня до математики, схильності до вибору в майбутньому професії, пов’язаної з нею. Незважаючи на це, мотиваційний етап навчаль-ного процесу в таких класах не можна ігнорувати. Одним зі спо-собів мотивації, які доцільно використовувати в математичних і фізико-математичних класах, є створення проблемної ситуації. Така ситуація може бути досить складною, потребувати серйоз-них математичних знань і значних зусиль для її розв’язування. При спробі знайти спосіб розв’язування проблеми учні стика-ються з недостатністю наявних у них математичних знань і необ-хідністю оволодіння новою предметною інформацією.

Широкі можливості для інтенсифікації та оптимізації на-вчально-виховного процесу, активізації пізнавальної діяльності, розвитку творчого мислення учнів надають сучасні інформацій-ні технології навчання. При їх використанні доцільно дотриму-ватися таких педагогічних умов:

86


• враховувати особливості навчальної діяльності, її зміст і структуру; цикли життєдіяльності учня, його здібності, ін-тереси, нахили, індивідуальні відмінності учнів, форми їх прояву в сфері комунікативних відносин і в пізнавальній діяльності;

• відповідні технології навчання мають бути варіативними, особистісно орієнтованими, коли знання, вміння та навички розглядаються не лише як самоціль, а і як засіб розвитку піз-навальних й особистісних якостей учня; виховують в учня здатність бути суб’єктом свого розвитку, рефлексивного став-лення до самого себе;

• забезпечувати цілісне психолого-методичне проектування на-вчального процесу в умовах рівневої та профільної диферен-ціації навчання.Підвищенню ефективності уроків математики в старших кла-

сах сприяє використання програмних засобів навчального при-значення GRAN 1, GRAN 2D, GRAN 3D, DG, AGrapher, GeoGebra, бібліотек електронних наочностей та ін. За їх допомогою доступ-нішим стає вивчення низки тем курсу алгебри і початків аналізу та геометрії: побудова графіків функцій, розв’язування систем рівнянь і нерівностей, знаходження площ фігур, обмежених гра-фіками функцій, побудова перерізів геометричних тіл, обчис-лення об’ємів тіл обертання тощо.

Доцільною вбачається організація проблемно-пошукової (до-слідницької) діяльності учнів на уроках та позакласних і фа-культативних заняттях з математики.

Оцінювання навчальних досягнень учнів. Контроль навчаль-них досягнень учнів здійснюється у вигляді поточного, тематич-ного, семестрового, річного оцінювання та державної підсумко-вої атестації.

Поточне оцінювання здійснюється у процесі поурочного ви-вчення теми. Його основними завданнями є: встановлення й оцінювання рівнів розуміння й первинного засвоєння окремих елементів змісту теми, встановлення зв’язків між ними та за-своєним змістом попередніх тем, закріплення знань, умінь і навичок.

Формами поточного оцінювання є індивідуальне та фронталь-не опитування; тестова форма контролю та оцінювання навчаль-них досягнень учнів; робота з графіками, схемами, діаграмами; виконання учнями різних видів письмових робіт; взаємокон-троль учнів у парах і групах; самоконтроль тощо. Поточне оці-

87


нювання учнів з математики проводиться безпосередньо під час навчальних занять або за результатами виконання домашніх завдань, усних відповідей, письмових робіт тощо. Інформація, отримана на підставі поточного контролю, є основою для коригу-вання роботи вчителя на уроці.

Тематичному оцінюванню навчальних досягнень підлягають основні результати вивчення теми (розділу).

Тематичне оцінювання навчальних досягнень учнів забезпечує: • усунення безсистемності в оцінюванні; • підвищення об’єктивності оцінки знань, навичок і вмінь; • індивідуальний та диференційований підхід до організації

навчання; • систематизацію й узагальнення навчального матеріалу; • концентрацію уваги учнів до найсуттєвішого в системі знань.

Тематична оцінка виставляється на підставі результатів опа-нування учнями матеріалу теми впродовж її вивчення з ураху-ванням поточних оцінок, різних видів навчальних робіт (прак-тичних, лабораторних, контрольних) та навчальної активності школярів. У процесі вивчення значних за обсягом тем можливе проведення декількох проміжних тематичних оцінювань.

Перед початком вивчення чергової теми всі учні мають бути ознайомлені з тривалістю вивчення теми (кількість занять); кількістю й тематикою обов’язкових робіт і термінами їх прове-дення; критеріями оцінювання.

88


Ал

гебр

а і

поч

атк

и а

на

ліз

у

10

кл

ас

(21

0 г

од, 6

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 2

2 г

од)

На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 1

. С

ТЕ

ПЕ

НЕ

ВА

ФУ

НК

ЦІЯ

(2

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

кор

ен

я n

-го

сте

пе

ня,

ар

иф

ме

тич-

но

го к

ор

ен

я n

-го

сте

пе

ня,

сте

пе

ня

з р

аціо

нал

ьни

м п

ока

з-н

ико

м, в

ласт

иво

сті к

ор

ен

ів т

а ст

еп

ен

я з

рац

іон

альн

им

по

-ка

зни

ком

;о

бч

ис

лю

є,

оц

іню

є та

п

ор

івн

ює

знач

ен

ня

вир

азів

, як

і м

істя

ть к

ор

ен

і та

сте

пе

ні

з р

аціо

нал

ьни

ми

по

казн

ика

ми

; з

об

ра

жує

гр

афік

сте

пе

не

вої ф

ункц

ії;р

оз

в’я

зує

ір

рац

іон

альн

і р

івн

янн

я та

не

рів

но

сті,

зокр

е-

ма

з п

арам

етр

ами

; з

ас

тос

ов

ує

влас

тиво

сті

фун

кцій

д

о р

озв

’язу

ван

ня

ірр

аціо

нал

ьни

х р

івн

янь

і не

рів

но

сте

й

Ко

рін

ь n

-го

сте

пе

ня.

Ар

иф

ме

тичн

ий

ко

рін

ь n

-го

сте

-п

ен

я, й

ого

вла

сти

вост

і. П

ер

етв

ор

ен

ня

вир

азів

з р

а-д

ика

лам

и.

Фун

кція

n

xy=

та

її гр

афік

.Ір

рац

іон

альн

і рів

нян

ня.

Ірр

аціо

нал

ьні н

ер

івн

ост

і.С

теп

інь

з р

аціо

нал

ьни

м п

ока

зни

ком

, й

ого

вла

сти

-во

сті.

Пе

ре

тво

ре

нн

я ви

раз

ів,

які

міс

тять

ст

еп

інь

з р

аціо

нал

ьни

м п

ока

зни

ком

.С

теп

ен

ева

фун

кція

, її в

ласт

иво

сті т

а гр

афік

.О

бо

ро

тні ф

ункц

ії. В

заєм

но

об

ер

не

ні ф

ункц

ії.Ір

рац

іон

альн

і р

івн

янн

я,

не

рів

но

сті

та

їх

сист

ем

и

з п

арам

етр

ами

Тем

а 2

. Т

РИ

ГОН

ОМ

ЕТ

РИ

ЧН

І ФУ

НК

ЦІЇ

(4

2 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ви

кон

ує

пе

ре

хід

ві

д

рад

іан

но

ї м

іри

ку

та

до

гр

адус

но

ї і н

авп

аки

;в

ста

но

вл

ює

від

по

від

ніс

ть м

іж д

ійсн

им

и ч

исл

ами

й т

очк

а-м

и н

а о

ди

ни

чно

му

колі

;о

бч

ис

лю

є з

нач

ен

ня

три

гон

ом

етр

ичн

их

вир

азів

за

до

по

-м

ого

ю т

ото

жн

их

пе

ре

тво

ре

нь;

Рад

іан

не

ви

мір

юва

нн

я ку

тів.

Си

нус

, ко

син

ус,

тан

-ге

нс,

ко

тан

ген

с ку

та.

Три

гон

ом

етр

ичн

і ф

ункц

ії чи

с-ло

вого

ар

гум

ен

ту.

Пе

ріо

ди

чніс

ть ф

ункц

ій.

Вла

сти

-во

сті т

а гр

афік

и т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

.О

сно

вні

спів

від

но

ше

нн

я м

іж

три

гон

ом

етр

ичн

им

и

фун

кція

ми

о

дн

ого

ар

гум

ен

ту.

Фо

рм

ули

зв

ед

ен

ня.

Тр

иго

но

ме

три

чні

фо

рм

ули

: ф

ор

мул

и

до

дав

анн

я,

89


На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

син

уса,

ко

син

уса,

тан

ген

са і

кота

н-

ген

са к

ута

числ

ово

го а

ргу

ме

нту

; вла

сти

вост

і тр

иго

но

ме

т-р

ичн

их

фун

кцій

; вла

сти

вост

і пе

ріо

ди

чни

х ф

ункц

ій;

буд

ує г

раф

іки

пе

ріо

ди

чни

х ф

ункц

ій;

ілю

стр

ує в

ласт

иво

сті

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

за

до

-п

ом

ого

ю г

раф

іків

;п

ер

етв

ор

ює

тр

иго

но

ме

три

чні в

ир

ази

фо

рм

ули

п

од

вій

но

го

аргу

ме

нту

, ф

ор

мул

и

пе

ре

-тв

ор

ен

ня

сум

и й

різ

ни

ці

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

у

до

бут

ок,

фо

рм

ули

пе

ре

тво

ре

нн

я д

об

утку

тр

иго

но

-м

етр

ичн

их

фун

кцій

у с

уму,

фо

рм

ули

по

ни

же

нн

я ст

е-

пе

ня,

фо

рм

ули

по

трій

но

го а

ргу

ме

нту

, ф

ор

мул

и п

о-

лови

нн

ого

ар

гум

ен

ту. В

ир

аже

нн

я тр

иго

но

ме

три

чни

х ф

ункц

ій ч

ер

ез

тан

ген

с п

оло

вин

но

го а

ргу

ме

нту

Тем

а 3

. Т

РИ

ГОН

ОМ

ЕТ

РИ

ЧН

І РІВ

НЯ

НН

Я І

НЕ

РІВ

НО

СТ

І (4

2 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є

озн

аче

нн

я о

бе

рн

ен

их

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

; об

ґрун

тову

є ф

ор

мул

и к

ор

ен

ів т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

рів

нян

ь si

n x

= a

,co

s x

= a

, tg

x =

a, c

tg x

= a

;р

оз

в’я

зує

тр

иго

но

ме

три

чні

рів

нян

ня,

тр

иго

но

ме

три

чні

не

рів

но

сті,

зокр

ем

а з

пар

аме

трам

и;

буд

ує

граф

ічн

і о

бр

ази

, п

ов’

язан

і з

пе

ріо

ди

чни

ми

ф

ункц

іям

и

Об

ер

не

ні т

ри

гон

ом

етр

ичн

і фун

кції:

озн

аче

нн

я, в

лас-

тиво

сті,

граф

іки

.Н

айп

ро

стіш

і тр

иго

но

ме

три

чні р

івн

янн

я. Т

ри

гон

ом

ет-

ри

чні

не

рів

но

сті.

Три

гон

ом

етр

ичн

і р

івн

янн

я і

не

рів

-н

ост

і з

пар

аме

трам

и.

Рів

нян

ня

і н

ер

івн

ост

і, як

і м

іс-

тять

о

бе

рн

ен

і тр

иго

но

ме

три

чні

фун

кції.

П

об

удо

ва

граф

ічн

их

об

раз

ів

Тем

а 4

. Ч

ИС

ЛО

ВІ П

ОС

ЛІД

ОВ

НО

СТ

І (1

2 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

ви

діл

яє

осн

овн

і кла

си п

осл

ідо

вно

сте

й;

фо

рм

улю

є

озн

аче

нн

я гр

ани

ці

числ

ово

ї п

осл

ідо

вно

сті,

осн

овн

і те

ор

ем

и п

ро

гр

ани

цю

чи

сло

вої п

осл

ідо

вно

сті;

за

сто

со

вує

осн

овн

і те

ор

ем

и п

ро

гр

ани

ці ч

исл

ови

х п

осл

і-д

овн

ост

ей

Важ

ливі

кла

си ч

исл

ови

х п

осл

ідо

вно

сте

й (

мо

но

тон

ні,

об

ме

же

ні т

ощ

о).

Гран

иц

я чи

сло

вої п

осл

ідо

вно

сті.

Гео

ме

три

чна

інте

р-

пр

ета

ція

гр

ани

ці

числ

ово

ї п

осл

ідо

вно

сті.

Осн

овн

і те

ор

ем

и

пр

о

гран

иц

і чи

сло

вих

по

слід

овн

ост

ей

. [Ч

исл

о е

.]

90


На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 5

. ГР

АН

ИЦ

Я Т

А Н

ЕП

ЕР

ЕР

ВН

ІСТ

Ь Ф

УН

КЦ

ІЇ (

18

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

гран

иц

і фун

кції

в то

чці;

не

пе

ре

рв-

но

сті

фун

кції;

ф

ор

мул

ює

о

сно

вні

влас

тиво

сті

гран

иц

ь та

ви

кор

ис

тов

ує ї

х д

ля з

нах

од

же

нн

я гр

ани

ць

зад

ани

х ф

ункц

ій;

зн

ахо

ди

ть а

сим

пто

ти г

раф

іків

фун

кції;

за

сто

со

вує

вл

асти

вост

і н

еп

ер

ер

вни

х ф

ункц

ій

до

р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач

Гран

иц

я ф

ункц

ії в

точц

і. О

сно

вні т

ео

ре

ми

пр

о г

ран

иц

і ф

ункц

ій у

то

чці.

Не

пе

ре

рвн

ість

фун

кції

в то

чці т

а н

а п

ро

між

ку.

Вла

с-ти

вост

і не

пе

ре

рвн

их

фун

кцій

.П

он

яття

гр

ани

ці ф

ункц

ії н

а н

еск

інче

нн

ост

і та

не

скін

-че

нн

о в

ели

ка ф

ункц

ія в

то

чці.

Аси

мп

тоти

гр

афік

а ф

ункц

ії.П

ер

ша

чуд

ова

гр

ани

ця

Тем

а 6

. П

ОХ

ІДН

А Т

А ЇЇ

ЗА

СТ

ОС

УВ

АН

НЯ

(5

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

по

хід

но

ї та

по

яс

ню

є її

ге

ом

етр

ич-

ни

й і

фіз

ичн

ий

зм

іст;

зн

ахо

ди

ть к

уто

вий

ко

еф

іціє

нт

до

тичн

ої д

о г

раф

іка

фун

к-ц

ії; з

на

ход

ить

по

хід

ні ф

ункц

ій;

за

сто

со

вує

по

хід

ну

до

зн

ахо

дж

ен

ня

пр

ом

іжкі

в м

он

ото

н-

но

сті т

а е

кстр

ем

умів

фун

кції;

зн

ахо

ди

ть н

айб

ільш

е й

най

ме

нш

е з

нач

ен

ня

фун

кції

на

пр

ом

іжку

; р

оз

в’я

зує

пр

икл

адн

і за

дач

і н

а зн

ахо

дж

ен

ня

най

біл

ьши

х і н

айм

ен

ши

х зн

аче

нь;

за

сто

со

вує

ре

зуль

тати

до

слід

же

нн

я ф

ункц

ії за

до

по

мо

-го

ю п

охі

дн

ої д

о р

озв

’язу

ван

ня

рів

нян

ь і н

ер

івн

ост

ей

та

до

-ве

де

нн

я то

тож

но

сте

й і

не

рів

но

сте

й;

оп

ис

ує п

он

яття

оп

укло

сті ф

ункц

ії та

то

чок

пе

ре

гин

у;з

ас

тос

ов

ує

др

угу

по

хід

ну

до

зн

ахо

дж

ен

ня

пр

ом

іжкі

в о

пук

лост

і фун

кції

та т

очо

к її

пе

ре

гин

у;д

осл

ідж

ує ф

ункц

ії за

до

по

мо

гою

пе

рш

ої

та д

руг

ої

по

хід

-

Зад

ачі,

які п

ри

вод

ять

до

по

нят

тя п

охі

дн

ої.

По

хід

на

фун

кції,

її

гео

ме

три

чни

й т

а ф

ізи

чни

й з

міс

т.

Рів

нян

ня

до

тичн

ої

до

гр

афік

а ф

ункц

ії. П

рав

ила

об

-чи

сле

нн

я п

охі

дн

их.

Скл

аде

на

фун

кція

. П

охі

дн

а ск

ла-

де

но

ї фун

кції

та о

бе

рн

ен

ої ф

ункц

ії.П

охі

дн

а ст

еп

ен

ево

ї, т

ри

гон

ом

етр

ичн

их

та о

бе

рн

ен

их

три

гон

ом

етр

ичн

их

фун

кцій

.О

сно

вні т

ео

ре

ми

ди

фе

ре

нц

іаль

но

го ч

исл

ен

ня.

Озн

ака

стал

ост

і ф

ункц

ії. Д

ост

атн

і ум

ови

зр

ост

анн

я і

спад

анн

я ф

ункц

ії. Е

кстр

ем

уми

фун

кції.

Най

біл

ьше

і н

айм

ен

ше

зн

аче

нн

я ф

ункц

ії н

а п

ро

між

ку.

Зас

тосу

ван

ня

по

хід

но

ї д

ля д

ове

де

нн

я то

тож

но

сте

й

і н

ер

івн

ост

ей

, а

тако

ж д

ля р

озв

’язу

ван

ня

рів

нян

ь і

не

рів

но

сте

й.

По

хід

ні

вищ

их

по

ряд

ків.

По

нят

тя о

пук

лост

і ф

ункц

ії та

то

чки

пе

ре

гин

у. З

нах

од

же

нн

я п

ро

між

ків

оп

укло

сті

фун

кції

та т

очо

к їі

пе

ре

гин

у.

91


На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

ни

х і

ви

кор

ис

тов

ує о

де

рж

ані

ре

зуль

тати

для

по

буд

ови

гр

афік

ів ф

ункц

ійЗ

асто

сува

нн

я п

ер

шо

ї та

др

уго

ї п

охі

дн

их

до

до

слі-

дж

ен

ня

фун

кцій

та

по

буд

ови

їх

граф

іків

. [Н

ер

івн

ість

Й

єнсе

на

та її

зас

тосу

ван

ня.

]З

асто

сува

нн

я п

охі

дн

ої

до

р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач,

зокр

ем

а п

ри

клад

но

го з

міс

ту

11

кл

ас

(21

0 г

од, 6

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 7

4 г

од)

На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 7

. П

ОК

АЗ

НИ

КО

ВА

ТА

ЛО

ГАР

ИФ

МІЧ

НА

ФУ

НК

ЦІЇ

(3

6 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є

озн

аче

нн

я п

ока

зни

ково

ї та

ло

гар

иф

міч

но

ї ф

ункц

ій і

їх в

ласт

иво

сті;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

лога

ри

фм

а та

вла

сти

вост

і ло

га-

ри

фм

ів;

буд

ує г

раф

іки

по

казн

ико

вих

і ло

гар

иф

міч

ни

х ф

ункц

ій;

пе

ре

тво

рю

є в

ир

ази

, які

міс

тять

ло

гар

иф

ми

;з

на

ход

ить

по

хід

ні

по

казн

ико

вих,

ло

гар

иф

міч

ни

х, с

теп

е-

не

вих

фун

кцій

і з

ас

тос

ов

ує ї

х д

о д

осл

ідж

ен

ня

ци

х кл

асів

ф

ункц

ій;

ро

зв

’яз

ує п

ока

зни

кові

та

лога

ри

фм

ічн

і р

івн

янн

я і

не

рів

-н

ост

і та

їх с

ист

ем

и, з

окр

ем

а з

пар

аме

трам

и

Сте

пін

ь з

дій

сни

м п

ока

зни

ком

. По

казн

ико

ва ф

ункц

ія.

Ло

гар

иф

ми

та

їх в

ласт

иво

сті.

Ло

гар

иф

міч

на

фун

кція

. П

ока

зни

кові

та

лога

ри

фм

ічн

і р

івн

янн

я і

не

рів

но

сті

та їх

си

сте

ми

, зо

кре

ма

з п

арам

етр

ами

.П

охі

дн

і по

казн

ико

вої і

ло

гар

иф

міч

но

ї фун

кцій

.[Н

ер

івн

ість

Ко

ші я

к н

аслі

до

к н

ер

івн

ост

і Йєн

сен

а.]

Зас

тосу

ван

ня

по

казн

ико

вої

та л

ога

ри

фм

ічн

ої

фун

к-ц

ій у

пр

икл

адн

их

зад

ачах

92


На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 8

. ІН

ТЕ

ГРА

Л Т

А Й

ОГО

ЗА

СТ

ОС

УВ

АН

НЯ

(3

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

пе

рві

сно

ї і н

еви

знач

ен

ого

інте

гра-

ла т

а їх

осн

овн

і вла

сти

вост

і;о

пи

сує

по

нят

тя в

изн

аче

но

го ін

тегр

ала;

фо

рм

улю

є в

лас-

тиво

сті в

изн

аче

но

го ін

тегр

ала;

зн

ахо

ди

ть п

ер

вісн

і та

визн

аче

ни

й ін

тегр

ал з

а д

оп

ом

ого

ю

пр

ави

л зн

ахо

дж

ен

ня

пе

рві

сни

х і п

ер

етв

ор

ен

ь;з

ас

тос

ов

ує в

изн

аче

ни

й ін

тегр

ал д

ля р

озв

’язу

ван

ня

гео

-м

етр

ичн

их

зад

ач

Пе

рві

сна

та її

вла

сти

вост

і. М

ето

ди

зн

ахо

дж

ен

ня

пе

р-

вісн

их.

Не

визн

аче

ни

й і

нте

грал

та

йо

го в

ласт

иво

сті.

Пр

икл

ади

зад

ач,

що

пр

иво

дят

ь д

о п

он

яття

ви

знач

е-

но

го ін

тегр

ала.

Ви

знач

ен

ий

ін

тегр

ал,

йо

го

фіз

ичн

ий

і

гео

ме

три

ч-н

ий

зм

іст.

О

бчи

сле

нн

я ви

знач

ен

ого

ін

тегр

ала.

О

бчи

сле

нн

я п

лощ

п

лоск

их

фіг

ур.

Об

числ

ен

ня

об

’єм

ів т

іл.

Ви

кор

ист

анн

я ін

тегр

ала

для

ро

зв’я

зува

нн

я п

ри

клад

-н

их

зад

ач

Тем

а 9

. Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И Т

ЕО

РІЇ

ЙМ

ОВ

ІРН

ОС

ТЕ

Й (

36

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

об

чи

сл

ює

й

мо

вір

ніс

ть

по

дії,

ко

ри

стую

чись

ак

сіо

мам

и

тео

рії

йм

ові

рн

ост

ей

, н

аслі

дка

ми

з н

их,

оп

ер

ація

ми

над

п

од

іям

и,

по

нят

тям

ум

овн

ої

йм

ові

рн

ост

і, н

еза

леж

ни

х п

о-

дій

, ко

мб

інат

ор

ни

ми

схе

мам

и,

мат

ем

ати

чне

сп

од

іван

ня

вип

адко

вої в

ели

чин

и;

по

яс

ню

є з

міс

т п

он

ять

«ум

овн

а й

мо

вір

ніс

ть»,

«н

еза

леж

ні

по

дії»

, «ви

пад

кова

ве

личи

на»

Бін

ом

Нью

тон

а та

тр

ику

тни

к П

аска

ля.

Акс

іом

и т

ео

рії

йм

ові

рн

ост

ей

. О

пе

рац

ії н

ад

по

дія

ми

. О

сно

вні

на-

слід

ки з

акс

іом

те

ор

ії й

мо

вір

но

сте

й. Н

еза

леж

ні п

од

ії.

Ум

овн

а й

мо

вір

ніс

ть.

Ви

пад

кова

ве

личи

на

та її

мат

е-

мат

ичн

е с

по

дів

анн

я (у

до

слід

і зі с

кін

чен

но

ю м

но

жи

-н

ою

еле

ме

нта

рн

их

нас

лід

ків)

. Ге

ом

етр

ичн

а й

мо

вір

-н

ість

Тем

а 1

0.

КО

МП

ЛЕ

КС

НІ Ч

ИС

ЛА

ТА

МН

ОГО

ЧЛ

ЕН

И (

34

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

оп

ис

ує п

он

яття

ко

мп

лекс

но

го ч

исл

а, й

ого

мо

дул

я й

ар

гу-

ме

нту

; ф

ор

мул

ює

пр

ави

ла д

ій н

ад к

ом

пле

ксн

им

и ч

исл

а-м

и в

алг

еб

раї

чній

і тр

иго

но

ме

три

чній

фо

рм

ах;

93


На

вч

ал

ьні д

ос

ягн

ен

ня

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

зн

ахо

ди

ть с

уму,

різ

ни

цю

, д

об

уто

к і

част

ку к

ом

пле

ксн

их

чисе

л, с

теп

інь

ком

пле

ксн

ого

чи

сла

та к

ор

інь

з ко

мп

лекс

-н

ого

чи

сла;

ви

кон

ує д

іле

нн

я м

но

гочл

ен

ів з

ост

аче

ю;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

крат

но

го к

ор

ен

я та

зн

ахо

ди

ть й

ого

кр

атн

ість

; з

ас

тос

ов

ує т

ео

ре

му

Віє

та д

о р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач

Мн

ож

ин

а ко

мп

лекс

ни

х чи

сел.

Ге

ом

етр

ичн

а ін

тер

-п

ре

тац

ія к

ом

пле

ксн

ого

чи

сла.

Алг

еб

раї

чна

і тр

иго

но

ме

три

чна

фо

рм

и з

апи

су к

ом

п-

лекс

но

го ч

исл

а. Д

ії н

ад к

ом

пле

ксн

им

и ч

исл

ами

в

різ

ни

х ф

ор

мах

зап

ису

. Фо

рм

ула

Муа

вра.

Ко

рін

ь n

-го

ст

еп

ен

я з

ком

пле

ксн

ого

чи

сла.

Мн

ого

чле

н т

а й

ого

ко

ре

ні.

Ро

зкла

д м

но

гочл

ен

а н

а н

езв

ідн

і мн

ож

ни

ки.

Кр

атн

і ко

ре

ні.

Осн

овн

а те

ор

ем

а ал

геб

ри

. Те

ор

ем

а В

ієта

. [М

но

гочл

ен

тр

еть

ого

сте

пе

-н

я. Р

івн

янн

я ви

щи

х ст

еп

ен

ів. Ф

ор

мул

а К

ард

ано

.]

По

вто

ре

нн

я,

уза

гал

ьне

нн

я т

а с

ис

тем

ати

за

ція

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу,

ро

зв

’яз

ува

нн

я з

ад

ач

(7

4 г

од

)

94


Гео

мет

рія

10

кл

ас

(10

5 г

од, 3

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 1

8 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 1

. В

СТ

УП

ДО

СТ

ЕР

ЕО

МЕ

ТР

ІЇ (

15

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

нав

од

ить

пр

икл

ади

то

чок

і пр

ями

х, щ

о н

але

жат

ь о

дн

ій п

лощ

ин

і; м

но

гогр

анн

икі

в та

інш

их

сте

ре

ом

етр

ичн

их

фіг

ур;

по

яс

ню

є,

що

та

ке

пло

ска

і п

ро

сто

ро

ва

гео

ме

три

чні

фіг

ури

; п

ове

рхн

я м

но

гогр

анн

ика

; п

ер

ети

н

мн

ого

гран

ни

ка

січн

ою

п

лощ

ин

ою

;ф

ор

мул

ює

осн

овн

і по

нят

тя, а

ксіо

ми

, нас

лід

ки з

ни

х;ви

окр

ем

лює

сер

ед

мн

ого

гран

ни

ків:

пір

амід

у та

пр

изм

у;іл

юс

трує

те

ксто

вий

зм

іст

аксі

ом

, те

ор

ем

, за

дач

за

до

по

мо

гою

р

ису

нка

;ха

ра

кте

ри

зує

ф

ор

му

пр

ост

ор

ово

ї ге

ом

етр

ичн

ої

фіг

ури

; р

оз

в’я

зує

вп

рав

и,

що

пе

ре

дб

ачаю

ть:

вико

ри

стан

ня

аксі

ом

сте

-р

ео

ме

трії

та н

аслі

дкі

в з

ни

х; в

ико

нан

ня

най

пр

ост

іши

х п

об

удо

в п

ер

ер

ізів

у п

ірам

ідах

і п

ри

змах

Осн

овн

і по

нят

тя с

тер

ео

ме

трії.

Акс

іом

и

сте

ре

ом

етр

ії та

н

аслі

дки

з

ни

х.

По

нят

тя п

ро

акс

іом

ати

ку т

а п

об

удо

ву н

ауки

.П

ро

сто

ро

ві

гео

ме

три

чні

фіг

ури

. П

оча

тко

ві

уявл

ен

ня

пр

о м

но

гогр

анн

ики

.Н

айп

ро

стіш

і за

дач

і н

а п

об

удо

ву

пе

ре

різ

ів

пір

амід

и т

а п

ри

зми

ме

тод

ом

слі

дів

Тем

а 2

. П

АР

АЛ

ЕЛ

ЬН

ІСТ

Ь П

РЯ

МИ

Х І

ПЛ

ОЩ

ИН

У П

РО

СТ

ОР

І (2

4 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

де

мо

нст

рує

н

а п

ри

клад

ах

мо

де

лей

ст

ер

ео

ме

три

чни

х ф

ігур

(о

б’є

ктах

нав

коли

шн

ього

се

ре

до

вищ

а): п

арал

ель

ні п

рям

і; м

им

о-

біж

ні

пр

ямі;

пар

але

льн

ість

пр

ямо

ї (в

ідр

ізка

) д

о п

лощ

ин

и;

пар

а-ле

льн

ість

дво

х п

лощ

ин

;

Вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я д

вох

пр

ями

х у

пр

ост

ор

і: п

рям

і, щ

о п

ер

ети

наю

ться

; п

арал

ель

ні

пр

ямі;

ми

мо

біж

ні п

рям

і. О

знак

а м

им

об

іжн

их

пр

ями

х.В

заєм

не р

озм

іщен

ня п

рям

ої т

а п

лощ

ини

у п

ро

-ст

ор

і: п

рям

а і

пло

щи

на,

що

пер

ети

наю

ться

;

95


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня,

озн

аки

, те

ор

ем

и з

те

м,

зазн

аче

ни

х у

зміс

ті н

авча

льн

ого

мат

ер

іалу

;п

оя

сн

ює

та

за

пи

сує

озн

аки

: ми

мо

біж

ни

х п

рям

их;

пар

але

льн

ос-

ті п

рям

ої т

а п

лощ

ин

и; п

арал

ель

но

сті п

лощ

ин

;кл

ас

иф

ікує

вз

аєм

не

р

озм

іще

нн

я:

дво

х п

рям

их;

п

рям

ої

та

пло

щи

ни

; д

вох

пло

щи

н;

зоб

раж

ен

ня

пр

ост

ор

ови

х ф

ігур

н

а п

лощ

ин

і за

вид

ом

і ф

ор

мо

ю;

зо

бр

аж

ає

пло

скі т

а п

ро

сто

ро

ві ф

ігур

и н

а п

лощ

ин

і;ан

аліз

ує т

а д

осл

ідж

ує іс

нув

анн

я: п

рям

ої,

пар

але

льн

ої д

аній

пр

я-м

ій;

пр

ямо

ї, п

арал

ель

но

ї д

аній

пло

щи

ні;

пло

щи

ни

, п

арал

ель

но

ї д

аній

пло

щи

ні;

ілю

стр

ує т

екс

тови

й з

міс

т ге

ом

етр

ичн

их

тве

рд

же

нь

і за

дач

за

до

по

мо

гою

ри

сун

ка;

хар

акте

ри

зує

влас

тиво

сті

пар

але

льн

их

пло

щи

н і

пар

але

льн

ого

п

ро

ект

уван

ня;

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: вс

тан

овл

ен

ня

взає

мн

ого

р

озм

іще

нн

я д

вох

пр

ями

х; п

рям

ої

та п

лощ

ин

и;

дво

х п

лощ

ин

; за

-ст

осу

ван

ня

озн

ак п

арал

ель

но

сті п

рям

их,

пр

ямо

ї і п

лощ

ин

и, п

ло-

щи

н;

заст

осу

ван

ня

ме

тод

у сл

ідів

і в

ласт

иво

сте

й п

ро

ект

уван

ня;

ви

кон

анн

я п

об

удо

ви п

ер

ер

ізів

мн

ого

гран

ни

ків

пар

але

льн

і пр

яма

і пло

щи

на.

Озн

ака

пар

але

льн

ост

і пр

ямо

ї та

пло

щи

ни

.В

заєм

не

ро

зміщ

ен

ня

дво

х п

лощ

ин

у п

ро

сто

рі:

пло

щи

ни

, щ

о

пе

ре

тин

ають

ся,

пар

але

льн

і п

лощ

ин

и.

Озн

ака

пар

але

льн

ост

і п

лощ

ин

. В

ласт

иво

сті

пар

але

льн

их

пло

щи

н.

Пар

але

льн

е п

ро

ект

уван

ня,

йо

го в

ласт

иво

сті.

Зо

бр

аже

нн

я п

лоск

их

і п

ро

сто

ро

вих

фіг

ур

у ст

ер

ео

ме

трії.

Зад

ачі

на

по

буд

ову

пе

ре

різ

ів м

но

гогр

анн

икі

в м

ето

до

м с

лід

ів.

Уяв

лен

ня

пр

о ц

ен

трал

ьне

пр

ое

ктув

анн

я

Тем

а 3

. П

ЕР

ПЕ

НД

ИК

УЛ

ЯР

НІС

ТЬ

ПР

ЯМ

ИХ

І П

ЛО

ЩИ

Н У

ПР

ОС

ТО

РІ (

26

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

де

мо

нст

рує

н

а п

ри

клад

ах

мо

де

лей

ст

ер

ео

ме

три

чни

х ф

ігур

(о

б’є

ктах

нав

коли

шн

ього

се

ре

до

вищ

а) п

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть п

ря-

ми

х у

пр

ост

ор

і, п

рям

ої т

а п

лощ

ин

и, д

вох

пло

щи

н;

Пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пр

ями

х у

пр

ост

ор

і.П

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть

пр

ямо

ї та

п

лощ

и-

ни

. О

знак

а п

ер

пе

нд

ику

ляр

но

сті

пр

ямо

ї та

п

лощ

ин

и.

96


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня,

озн

аки

, вл

асти

вост

і п

он

ять,

заз

нач

ен

их

у зм

істі

нав

чаль

но

го м

ате

ріа

лу;

ро

зр

ізн

яє

пе

рп

ен

ди

куля

р і

по

хилу

, п

ер

пе

нд

ику

ляр

і п

ро

екц

ію

по

хило

ї; к

ут м

іж д

вом

а п

рям

им

и п

ро

сто

ру,

кут

між

пр

ямо

ю і

пло

-щ

ин

ою

, кут

між

пло

щи

нам

и;

кла

си

фік

ує

взає

мн

е

ро

зміщ

ен

ня:

д

вох

пр

ями

х п

ро

сто

ру;

п

рям

ої т

а п

лощ

ин

и; д

вох

пло

щи

н;

ан

ал

ізує

та

до

сл

ідж

ує п

ер

пе

нд

ику

ляр

ніс

ть д

еяк

ої

пр

ямо

ї д

о

по

хило

ї чи

її п

ро

екц

ії за

те

ор

ем

ою

пр

о т

ри

пе

рп

ен

ди

куля

ри

;о

бґр

унто

вує

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пр

ями

х, п

рям

ої

і п

лощ

ин

и,

пло

щи

н;

ілю

стр

ує т

екс

тови

й з

міс

т ге

ом

етр

ичн

их

тве

рд

же

нь

і за

дач

за

до

по

мо

гою

ри

сун

ка;

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: вс

тан

овл

ен

ня

взає

мн

о-

го р

озм

іще

нн

я д

вох

пр

ями

х п

ро

сто

ру;

пр

ямо

ї та

пло

щи

ни

; д

вох

пло

щи

н;

заст

осу

ван

ня

озн

ак п

ер

пе

нд

ику

ляр

но

сті

пр

ямо

ї і

пло

-щ

ин

и;

дво

х п

лощ

ин

; вл

асти

вост

ей

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ост

і п

рям

их

пр

ост

ор

у; п

ер

пе

нд

ику

ляр

а і п

охи

лих;

ви

кон

анн

я п

об

удо

ви о

рто

-го

нал

ьно

ї п

ро

екц

ії м

но

гоку

тни

ка;

знах

од

же

нн

я лі

ній

ни

х ви

мір

ів

до

слід

жув

ани

х ф

ігур

; п

лощ

мн

ого

кутн

ика

та

йо

го о

рто

гон

альн

ої

пр

ое

кції,

кут

а м

іж м

но

гоку

тни

ком

і й

ого

ор

того

нал

ьно

ю п

ро

ек-

ціє

ю;

мо

де

люва

нн

я ж

итт

єви

х си

туац

ій

заст

осу

ван

ня

пе

рп

ен

-д

ику

ляр

но

сті п

рям

их

і пло

щи

н

Пе

рп

ен

ди

куля

р

і п

охи

ла.

Тео

ре

ма

пр

о

три

п

ер

пе

нд

ику

ляр

и.

Пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

пло

щи

н.

Озн

ака

пе

рп

ен

-д

ику

ляр

но

сті

пло

щи

н.

Зв’

язо

к м

іж п

арал

ель

-н

істю

та

пе

рп

ен

ди

куля

рн

істю

пр

ями

х і

пло

-щ

ин

.К

ути

у п

ро

сто

рі:

між

пр

ями

ми

, м

іж п

рям

ою

і

пло

щи

но

ю, м

іж п

лощ

ин

ами

.В

ідст

ані

у п

ро

сто

рі:

від

то

чки

до

пр

ямо

ї, в

ід-

різ

ка,

пр

ом

ен

я, в

ід т

очк

и д

о п

лощ

ин

и,

пів

пло

-щ

ин

и;

від

пр

ямо

ї д

о п

арал

ель

но

ї їй

пло

щи

ни

, м

іж п

арал

ель

ни

ми

пло

щи

нам

и,

між

ми

мо

біж

-н

им

и п

рям

им

и.

Ор

того

нал

ьне

пр

ое

ктув

анн

я.П

лощ

а о

рто

гон

альн

ої

пр

ое

кції

мн

ого

кутн

ика

. П

рак

тичн

е

заст

осу

ван

ня

влас

тиво

сте

й

па-

рал

ель

но

сті

та п

ер

пе

нд

ику

ляр

но

сті

пр

ями

х і

пло

щи

н.

По

нят

тя в

ідст

ані в

ід т

очк

и д

о ф

ігур

и.

Пр

ий

ом

и з

нах

од

же

нн

я ві

дст

ане

й м

іж м

им

о-

біж

ни

ми

пр

ями

ми

.Д

вогр

анн

ий

кут

і й

ого

вла

сти

вост

і.М

но

гогр

анн

ий

кут

та

йо

го в

ласт

иво

сті.

Тео

ре

ма

пр

о т

ри

ко

син

уси

.Те

ор

ем

а п

ри

тр

и с

ин

уси

97


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

ти

на

вч

ал

ьно

-піз

на

ва

льн

ої д

іял

ьно

сті

уч

нів

Зм

іст

на

вч

ал

ьно

го м

ате

ріа

лу

Тем

а 4

. К

ОО

РД

ИН

АТ

И,

ВЕ

КТ

ОР

И,

ГЕО

МЕ

ТР

ИЧ

НІ П

ЕР

ЕТ

ВО

РЕ

НН

Я У

ПР

ОС

ТО

РІ (

22

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня,

озн

аки

, вл

асти

вост

і п

он

ять,

заз

нач

ен

их

у зм

істі

нав

чаль

но

го м

ате

ріа

лу;

ро

зр

ізн

яє

ве

кто

рн

і та

скал

ярн

і ве

личи

ни

; р

івн

і ве

кто

ри

, ко

лін

е-

арн

і ве

кто

ри

, ко

мп

лан

арн

і ве

кто

ри

;кл

ас

иф

ікує

вза

ємн

е р

озм

іще

нн

я д

вох

(тр

ьох)

ве

кто

рів

у п

ро

-ст

ор

і;з

об

ра

жа

є

на

ри

сун

ку

вект

ор

, р

івн

ий

су

мі/

різ

ни

ці

вект

ор

ів,

до

бут

ку в

ект

ор

а н

а чи

сло

;о

бґр

унто

вує

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ість

, ко

лін

еар

ніс

ть і

ко

мп

лан

ар-

ніс

ть в

ект

ор

ів п

ро

сто

ру;

ілю

стр

ує т

екс

тови

й з

міс

т ге

ом

етр

ичн

их

тве

рд

же

нь

і за

дач

за

до

по

мо

гою

ри

сун

ка;

за

сто

со

вує

ф

ор

мул

и

до

вжи

ни

ві

др

ізка

, ко

ор

ди

нат

се

ре

ди

-н

и в

ідр

ізка

, ко

ор

ди

нат

ве

кто

ра,

до

вжи

ни

ве

кто

ра,

ска

ляр

но

го

до

бут

ку д

вох

вект

ор

ів,

зага

льн

ого

ви

гляд

у р

івн

янн

я п

лощ

ин

и/

сфе

ри

, пар

але

льн

ого

пе

ре

не

сен

ня

до

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

;р

оз

в’я

зує

вп

рав

и,

що

пе

ре

дб

ачаю

ть:

знах

од

же

нн

я д

овж

ин

від

-р

ізкі

в; в

ект

ор

ів; к

ута

між

ве

кто

рам

и; д

осл

ідж

ен

ня

вид

у м

но

гоку

т-н

ика

за

до

вжи

нам

и й

ого

еле

ме

нті

в

Пр

ямо

кутн

а д

ека

рто

ва с

ист

ем

а ко

ор

ди

нат

у

пр

ост

ор

і, ко

ор

ди

нат

ни

й п

ро

стір

. К

оо

рд

ин

ати

то

чки

. Фо

рм

ула

від

стан

і між

дво

ма

точк

ами

. К

оо

рд

ин

ати

се

ре

ди

ни

ві

др

ізка

. К

оо

рд

ин

ати

то

чки

, як

а д

іли

ть в

ідр

ізо

к у

зад

ано

му

від

но

-ш

ен

ні.

Ве

кто

ри

у

пр

ост

ор

і. К

оо

рд

ин

ати

ве

кто

ра.

Д

овж

ин

а ве

кто

ра.

Р

івн

ість

ве

кто

рів

. К

олі

не

арн

ість

ве

кто

рів

. К

ом

пла

нар

ніс

ть в

ект

ор

ів.

Оп

ер

ації

над

ве

кто

-р

ами

та

їх в

ласт

иво

сті:

до

дав

анн

я і в

ідн

іман

ня

вект

ор

ів, м

но

же

нн

я ве

кто

ра

на

числ

о, с

каля

р-

ни

й д

об

уто

к ве

кто

рів

. К

ут м

іж в

ект

ор

ами

. П

о-

нят

тя п

ро

ко

ор

ди

нат

ни

й і

ве

кто

рн

ий

ме

тод

и

ро

зв’я

зува

нн

я за

дач

. Н

айп

ро

стіш

і ге

ом

етр

ичн

і м

ісц

я то

чок

пр

ост

ор

у.Р

івн

янн

я п

лощ

ин

и.

Пе

ре

тво

ре

нн

я у

пр

ост

ор

і: си

ме

трія

від

но

сно

то

чки

, си

ме

трія

від

но

сно

пло

щи

ни

, п

арал

ель

-н

е п

ер

ен

есе

нн

я, п

од

ібн

ість

98


Гео

мет

рія

11

кл

ас

(10

5 г

од, 3

год

на

ти

жд

ень,

рез

ерв

— 2

8 г

од)

Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 5

. М

НО

ГОГР

АН

НИ

КИ

(2

0 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

во

ди

ть п

ри

кла

ди

: ге

ом

етр

ичн

их

тіл

і ф

ігур

; м

но

гогр

анн

икі

в і ї

х ви

дів

;п

оя

сн

ює

, щ

о т

аке

: м

но

гогр

анн

ий

кут

; б

ічн

а та

по

вна

по

вер

хня

пр

изм

и,

пар

але

леп

іпе

да,

пір

амід

и,

зріз

ано

ї п

ірам

іди

; п

ер

ети

н

мн

ого

гран

ни

ка с

ічн

ою

пло

щи

но

ю;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

осн

овн

их

по

нят

ь і

влас

тиво

сте

й м

но

го-

гран

ни

ків,

заз

нач

ен

их

у зм

істі

те

ми

;ф

ор

мул

ює

й д

ов

од

ить

те

ор

ем

и п

ро

: д

іаго

нал

і пар

але

леп

іпе

да

та н

аслі

дки

з н

еї;

пло

щу

біч

но

ї п

ове

рхн

і п

рям

ої

пр

изм

и;

пло

щу

біч

но

ї п

ове

рхн

і пр

ави

льн

ої

пір

амід

и;

пло

щу

біч

но

ї п

ове

рхн

і пр

а-ви

льн

ої з

різ

ано

ї пір

амід

и;

кла

си

фік

ує м

но

гогр

анн

ики

: пр

изм

и —

за

вид

ом

і ф

ор

мо

ю, п

іра-

мід

и —

за

вид

ом

і р

озм

іще

нн

ям п

ро

екц

ії ве

рш

ин

и п

ірам

іди

(зо

-кр

ем

а, з

а р

івн

істю

біч

ни

х р

еб

ер

і ку

тів,

які

утв

ор

юю

ть б

ічн

і ре

бр

а/гр

ані з

пло

щи

но

ю о

сно

ви);

пр

ави

льн

і мн

ого

гран

ни

ки;

ро

зр

ізн

яє

ге

ом

етр

ичн

і фіг

ури

та

гео

ме

три

чні т

іла;

еле

ме

нти

пр

и-

зми

, п

арал

еле

піп

ед

а, п

ірам

іди

; п

рям

і, п

рав

иль

ні,

оп

уклі

мн

ого

-гр

анн

ики

; п

лоск

ий

кут

мн

ого

гран

ни

ка п

ри

ве

рш

ин

і та

дво

гран

-н

ий

кут

мн

ого

гран

ни

ка п

ри

ре

бр

і; п

рям

ий

і п

рям

оку

тни

й п

арал

е-

леп

іпе

ди

; пр

ави

льн

у п

ірам

іду

і те

трае

др

;

Мн

ого

гран

ни

к і й

ого

еле

ме

нти

.П

ри

зма.

Пр

яма

і пр

ави

льн

а п

ри

зми

.П

арал

еле

піп

ед

.П

ірам

іда.

Зр

ізан

а п

ірам

іда.

Пр

ави

льн

а п

ірам

іда.

Пе

ре

різ

и м

но

гогр

анн

икі

в.П

лощ

і б

ічн

ої

та п

овн

ої

по

вер

хон

ь п

ри

зми

, п

і-р

амід

и, з

різ

ано

ї пір

амід

и.

Від

но

ше

нн

я п

лощ

по

вер

хон

ь п

од

ібн

их

мн

ого

-гр

анн

икі

в.П

рав

иль

ні м

но

гогр

анн

ики

.Тр

игр

анн

ий

кут

і й

ого

вла

сти

вост

і.П

ер

ша

тео

ре

ма

коси

нус

ів

для

тр

игр

анн

ого

ку

та.

Др

уга

тео

ре

ма

коси

нус

ів

для

тр

игр

анн

ого

ку

та.

Тео

ре

ма

син

усів

для

тр

игр

анн

ого

кут

а.П

он

яття

ге

ом

етр

ичн

ого

тіл

а.Те

ор

ем

а Е

йле

ра

99


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

зо

бр

аж

ає

на

ри

сун

ку, в

ідп

ові

дн

о д

о в

ласт

иво

сте

й п

арал

ель

но

го

пр

ое

ктув

анн

я: п

ри

зму;

пар

але

леп

іпе

д;,

пір

амід

у; з

різ

ану

пір

амі-

ду

та їх

еле

ме

нти

;в

изн

ача

є в

ідно

шен

ня п

лощ

по

вер

хонь

по

діб

них

мно

гогр

анни

ків;

об

чи

сл

ює

пло

щі б

ічн

ої т

а п

овн

ої п

ове

рхн

і: п

рям

ої п

ри

зми

, пар

а-ле

леп

іпе

да,

пр

ави

льн

ої п

ірам

іди

, пр

ави

льн

ої з

різ

ано

ї пір

амід

и;

ро

зв

’яз

ує в

пр

ави

, щ

о п

ер

ед

бач

ають

: ви

кор

ист

анн

я ви

вче

ни

х о

знач

ен

ь, т

ео

ре

м,

фо

рм

ул і

влас

тиво

сте

й д

о р

озв

’язу

ван

ня

за-

дач

, у

т. ч

. п

ри

клад

но

го т

а п

рак

тичн

ого

зм

істу

; о

бчи

сле

нн

я п

лощ

б

ічн

ої

та п

овн

ої

по

вер

хні

пр

ямо

ї п

ри

зми

, п

арал

еле

піп

ед

а, п

ра-

виль

но

ї пір

амід

и, п

рав

иль

но

ї зр

ізан

ої п

ірам

іди

; ви

кон

анн

я п

об

у-д

ов

пе

ре

різ

ів, д

ове

де

нн

я та

до

слід

же

нн

я їх

ви

ду

Тем

а 6

. Е

ЛЕ

МЕ

НТ

И Г

ЕО

МЕ

ТР

ІЇ Т

ЕТ

РА

ЕД

РА

(1

1 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

во

ди

ть п

ри

кла

ди

: ор

тоц

ен

три

чни

х і р

івн

огр

анн

их

тетр

аед

рів

;п

оя

сн

ює

, що

так

е: м

ед

іан

а та

се

ре

дн

я лі

нія

те

трае

др

а;ф

ор

мул

ює

озн

аче

нн

я о

сно

вни

х ф

ігур

, заз

нач

ен

их

у зм

істі

те

ми

;ф

ор

мул

ює

й д

ов

од

ить

озн

аку

ор

тоц

ен

три

чно

го т

етр

аед

ра,

те

-о

ре

му

пр

о с

ер

ед

ні л

інії

тетр

аед

ра,

те

ор

ем

у п

ро

ме

діа

ни

те

тра-

ед

ра,

те

ор

ем

у М

ен

ела

я д

ля т

етр

аед

ра;

кла

си

фік

ує т

етр

аед

ри

за

вид

ом

(п

рав

иль

ни

й,

ор

тоц

ен

три

чни

й,

рів

но

гран

ни

й);

зо

бр

аж

ує н

а р

ису

нку

, від

по

від

но

до

вла

сти

вост

ей

пар

але

льн

ого

п

ро

ект

уван

ня:

се

ре

дн

і лін

ії, м

ед

іан

и,

висо

ти т

етр

аед

ра;

пе

ре

рі-

зи п

лощ

ин

ами

Ор

тоц

ен

три

чни

й т

етр

аед

р т

а й

ого

озн

аки

й

влас

тиво

сті.

Рів

но

гран

ни

й т

етр

аед

р і

йо

го в

ласт

иво

сті.

Ме

діа

ни

те

трае

др

а та

їх в

ласт

иво

сті.

Се

ре

дн

і лін

ії те

трае

др

а та

їх в

ласт

иво

сті.

Тео

ре

м М

ен

ела

я д

ля т

етр

аед

ра

100


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

Тем

а 7

. Т

ІЛА

ОБ

ЕР

ТАН

НЯ

(1

8 г

од

)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

нав

од

ить

пр

икл

ади

ге

ом

етр

ичн

их

тіл

і по

вер

хон

ь о

бе

рта

нн

я;п

оя

сн

ює

, щ

о т

аке

: ц

илі

нд

р;

кон

ус;

зріз

ани

й к

он

ус;

куля

; ку

льо

-ви

й с

егм

ен

т, с

ект

ор

, по

яс;

фо

рм

улю

є о

знач

ен

ня

осн

овн

их

по

нят

ь і в

ласт

иво

сте

й д

ля г

ео

-м

етр

ичн

их

тіл,

заз

нач

ен

их

у зм

істі

те

ми

;ф

ор

мул

ює

й д

ово

ди

ть т

ео

ре

ми

пр

о:

пе

ре

різ

ци

лін

др

а і

кон

у-са

пло

щи

но

ю,

пе

рп

ен

ди

куля

рн

ою

до

осі

ци

лін

др

а; п

ер

ер

із к

улі

буд

ь-як

ою

пло

щи

но

ю;

кла

си

фік

ує г

ео

ме

три

чні т

іла

за в

ид

ом

: ци

лін

др

; ко

нус

; зр

ізан

ий

ко

нус

; кул

я; к

ульо

ві с

егм

ен

т, с

ект

ор

, по

яс;

ро

зр

ізн

яє

ге

ом

етр

ичн

і фіг

ури

й г

ео

ме

три

чні т

іла;

еле

ме

нти

ци

-лі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

уса,

кул

і, се

гме

нта

, се

кто

ра,

по

яса;

ц

ен

трал

ьни

й к

ут і

пло

скі к

ути

, ут

вор

ен

і пе

ре

різ

ом

пло

щи

ни

, щ

о

пр

охо

ди

ть ч

ер

ез

вер

ши

ну

кон

уса;

зо

бр

аж

ає

від

по

від

но

до

вла

сти

вост

ей

пр

ое

ктув

анн

я: ц

илі

нд

р;

кон

ус; з

різ

ани

й к

он

ус, к

улю

, се

гме

нт,

се

кто

р, п

ояс

;р

оз

в’я

зує

вп

рав

и,

що

пе

ре

дб

ачаю

ть:

вико

ри

стан

ня

вивч

ен

их

озн

аче

нь,

те

ор

ем

, ф

ор

мул

і

влас

тиво

сте

й

до

р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач, у

т. ч

. пр

икл

адн

ого

та

пр

акти

чно

го з

міс

ту

Тіл

а і п

ове

рхн

і об

ер

тан

ня.

Ци

лін

др

, ко

нус

, зр

ізан

ий

ко

нус

, їх

еле

ме

нти

.П

ер

ер

ізи

ци

лін

др

а, к

он

уса

і зр

ізан

ого

ко

нус

а:

ось

ові

пе

ре

різ

и ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а і

зріз

ано

го

кон

уса;

пе

ре

різ

и ц

илі

нд

ра

і ко

нус

а п

лощ

ин

а-м

и,

пар

але

льн

им

и о

сно

ві;

пе

ре

різ

и ц

илі

нд

ра

пло

щи

нам

и, п

арал

ель

ни

ми

йо

го о

сі;

пе

ре

різ

и

кон

уса

пло

щи

нам

и,

які

пр

охо

дят

ь че

ре

з й

ого

ве

рш

ин

у.К

уля

і сф

ер

а. П

ер

ер

із к

улі п

лощ

ин

ою

.Ч

асти

ни

кул

і: се

гме

нт,

се

кто

р, п

ояс

.П

лощ

ин

а, д

оти

чна

до

сф

ер

и.

Ко

мб

інац

ії ц

илі

нд

ра

з п

ри

змо

ю.

Ко

мб

інац

ії ко

нус

а з

пір

амід

ою

.Р

івн

янн

я сф

ер

и.

Мн

ого

гран

ни

ки, в

пи

сан

і у с

фе

ру.

Мн

ого

гран

ни

ки, о

пи

сан

і нав

коло

сф

ер

и.

Ко

мб

інац

ії ц

илі

нд

ра

і сф

ер

и.

Ко

мб

інац

ії ко

нус

а і с

фе

ри

Тем

а 8

. О

Б’Є

МИ

МН

ОГО

ГРА

НН

ИК

ІВ (

14

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

нав

од

ить

пр

икл

ади

: ге

ом

етр

ичн

их

тіл

і фіг

ур;

по

яс

ню

є щ

о т

аке

: об

’єм

тіл

а; о

б’є

м п

арал

еле

піп

ед

а,п

ри

зми

, пір

амід

и, з

різ

ано

ї пір

амід

и;

Об

’єм

тіл

а.О

сно

вні в

ласт

иво

сті о

б’є

му.

Об

’єм

мн

ого

гран

ни

ків:

пар

але

леп

іпе

да,

пр

изм

и, п

ірам

іди

, зр

ізан

ої п

ірам

іди

.

101


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

фо

рм

улю

є о

сно

вні в

ласт

иво

сті о

б’є

мів

тіл

;ф

ор

мул

ює

й д

ов

од

ить

те

ор

ем

и п

ро

: об

’єм

пр

ямо

кутн

ого

й п

о-

хило

го п

арал

еле

піп

ед

а; о

б’є

м п

ри

зми

; о

б’є

м п

ірам

іди

; о

б’є

ми

д

вох

по

діб

ни

х м

но

гогр

анн

икі

в;з

об

ра

жує

р

ису

нко

м,

від

по

від

но

д

о

влас

тиво

сте

й

пар

але

ль-

но

го

пр

ое

ктув

анн

я:

пр

изм

у,

пар

але

леп

іпе

д,

пір

амід

у,

зріз

ану

пір

амід

у;а

на

ліз

ує т

а д

ос

лід

жує

лін

ійн

і ви

мір

и й

ве

личи

ни

для

об

числ

ен

-н

я о

б’є

му;

ви

зн

ач

ає

від

но

ше

нн

я о

б’є

мів

по

діб

ни

х м

но

гогр

анн

икі

в;о

бч

ис

лю

є

об

’єм

п

рям

оку

тно

го

і п

охи

лого

п

арал

еле

піп

ед

а;

пр

изм

и; п

ірам

іди

;р

оз

в’я

зує

вп

рав

и,

що

пе

ре

дб

ачаю

ть:

вико

ри

стан

ня

вивч

ен

их

озн

аче

нь,

те

ор

ем

, ф

ор

мул

і

влас

тиво

сте

й

до

р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач,

у т.

ч.

пр

икл

адн

ого

та

пр

акти

чно

го з

міс

ту;

об

числ

ен

ня

об

’єм

у п

рям

оку

тно

го й

по

хило

го п

арал

еле

піп

ед

а; п

ри

зми

; п

іра-

мід

и; д

вох

по

діб

ни

х м

но

гогр

анн

икі

в

Об

’єм

тіл

а як

ви

знач

ен

ий

інте

грал

пло

щі п

ер

е-

різ

у ті

ла

Тем

а 9

. О

Б’Є

МИ

ТА

ПЛ

ОЩ

І ПО

ВЕ

РХ

ОН

Ь Т

ІЛ О

БЕ

РТА

НН

Я (

14

го

д)

Уч

ен

ь/уч

ен

иц

я:

на

во

ди

ть п

ри

кла

ди

: тіл

об

ер

тан

ня;

по

яс

ню

є,

що

так

е:

об

’єм

тіл

а; о

б’є

м ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

-го

ко

нус

а; о

б’є

м к

улі т

а її

част

ин

; п

лощ

а б

ічн

ої

по

вер

хні,

пло

ща

по

вно

ї по

вер

хні т

іл о

бе

рта

нн

я: ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

у-са

; пло

ща

сфе

ри

;ф

ор

мул

ює

осн

овн

і вла

сти

вост

і об

’єм

ів т

іл;

від

но

ше

нн

я о

б’є

мів

п

од

ібн

их

тіл;

Об

’єм

тіл

об

ер

тан

ня:

ци

лін

др

а,ко

нус

а,зр

ізан

ого

ко

нус

а,ку

лі т

а її

част

ин

.В

ідн

ош

ен

ня

об

’єм

ів п

од

ібн

их

тіл.

Ро

зго

ртк

а ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

уса.

Пло

ща

по

вер

хні т

іла

за М

інко

вськ

им

.

102


Оч

ікув

ан

і ре

зул

ьта

тин

ав

ча

льн

о-п

ізн

ав

ал

ьно

ї дія

льн

ос

ті у

чн

івЗ

міс

т н

ав

ча

льн

ого

ма

тер

іал

у

фо

рм

улю

є і

до

во

ди

ть т

ео

ре

ми

пр

о о

б’є

м:

ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а; о

б’є

ми

дво

х п

од

ібн

их

тіл;

об

’єм

кул

і та

її ча

с-ти

н;

ро

зр

ізн

яє

ро

зго

ртк

и п

ове

рхн

і ци

лін

др

а і к

он

уса;

зо

бр

аж

ує р

ису

нко

м, в

ідп

ові

дн

о д

о в

ласт

иво

сте

й п

ро

ект

уван

ня:

ц

илі

нд

р, к

он

ус, з

різ

ани

й к

он

ус; к

улю

та

її ча

сти

ни

;а

на

ліз

ує т

а д

ос

лід

жує

лін

ійн

і ви

мір

и й

ве

личи

ни

для

об

числ

ен

-н

я о

б’є

му;

ви

зн

ач

ає

від

но

ше

нн

я о

б’є

мів

по

діб

ни

х ті

л о

бе

рта

нн

я;о

бч

ис

лю

є о

б’є

м і

пло

щі п

ове

рхо

нь

ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а; о

б’є

ми

дво

х п

од

ібн

их

тіл;

об

’єм

кул

і та

її ча

сти

н;

пло

щу

сфе

ри

;р

оз

в’я

зує

вп

рав

и,

що

пе

ре

дб

ачаю

ть:

вико

ри

стан

ня

вивч

ен

их

озн

аче

нь,

те

ор

ем

, ф

ор

мул

і

влас

тиво

сте

й

до

р

озв

’язу

ван

ня

зад

ач,

у т.

ч.

пр

икл

адн

ого

та

пр

акти

чно

го з

міс

ту;

об

числ

ен

ня

об

’єм

у ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

уса,

кул

і; п

лощ

біч

но

ї та

п

овн

ої п

ове

рхн

і ци

лін

др

а, к

он

уса,

зр

ізан

ого

ко

нус

а, п

лощ

у сф

е-

ри

, д

вох

по

діб

ни

х ті

л о

бе

рта

нн

я, з

нах

од

же

нн

я п

лощ

по

вер

хон

ь ко

мб

інац

ії п

ро

сто

ро

вих

фіг

ур

Пло

ща

біч

но

ї п

ове

рхн

і, п

лощ

а п

овн

ої

по

вер

х-н

і ц

илі

нд

ра,

ко

нус

а, з

різ

ано

го к

он

уса.

Пло

ща

сфе

ри

103


104


ПРОФІЛЬНА ШКОЛА як шлях до ... · 2020-07-30 · УДК...

Documents