ตอนที่ 21 เวกเตอร์ ตอนที่ 1a4%d9%e8%c1%d7… ·...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

ตอนท 21

เวกเตอร

เนอหาสวนท 2 เวกเตอรในระบบพกดฉาก

โดย

อาจารย ดร.ดาวด ทองทา

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ ปงบประมาณ 2555

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง เวกเตอร สอการสอน เรอง เวกเตอร มจ านวนตอนทงหมดรวม 4 ตอน ซงประกอบดวย

1. เนอหาตอนท 1 เวกเตอรในเชงเรขาคณต - ความหมายของเวกเตอร - การด าเนนการของเวกเตอร - การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

2. เนอหาตอนท 2 เวกเตอรในระบบพกดฉาก - ระบบพกดฉาก - เวกเตอรในระบบพกดฉาก - การด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉาก - ทศทางของเวกเตอร

3. เนอหาตอนท 3 การคณเวกเตอรเชงสเกลาร - ผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร - สมบตของผลคณเชงสเกลารของเวกเตอร 4. เนอหาตอนท 4 การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร - ผลคณเชงเวกเตอร - สมบตของผลคณเชงเวกเตอร - บทประยกตของผลคณเชงเวกเตอร

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดน รวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


2

เรอง เวกเตอร หมวด เนอหา ตอนท 2 (2/4) หวขอยอย 1. ระบบพกดฉาก

2. เวกเตอรในระบบพกดฉาก 3. การด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

4. ทศทางของเวกเตอร

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เกดความเขาใจในมโนทศนเรองระนาบสองมตและปรภมสามมต 2. สามารถหาผลการด าเนนการของเวกเตอรและการคณเวกเตอรดวยสเกลารในเชงพชคณต ได

3. สามารถหาเวกเตอรหนงหนวยได 4. เขาใจความหมายและสามารถหาโคไซนระบทศทางของเวกเตอรได

ผลการเรยนรทคาดหวง ผเรยนสามารถ 1. อธบายองคประกอบของระนาบสองมตและปรภมสามมตได

2. หาผลการด าเนนการของเวกเตอรและการคณเวกเตอรดวยสเกลารในเชงพชคณตได 3. หาเวกเตอรหนงหนวยได 4. หาโคไซนระบทศทางของเวกเตอรได


3

เนอหาในสอการสอน

หลงจากทผเรยนไดเรยนเนอหาเวกเตอรในเชงเรขาคณตแลว ในสอตอนน ผเรยนจะไดเรยนเนอหาเรองเวกเตอรในอกรปแบบหนงซงกคอเวกเตอรในระบบพกดฉาก รปแบบการเขยนเวกเตอรในระบบพกดฉากจะเขยนในรปของผลบวกของเวกเตอรในแนวแกนอางองในระบบพกด ซงสะดวกในการค านวณหาเวกเตอรผลลพธของการด าเนนการของเวกเตอรรวมถงการหาขนาดและการระบทศทางของเวกเตอร


4

1. ระบบพกดฉาก


5

1. ระบบพกดฉาก

ในระบบพกดฉากสองมต ผเรยนจะตองรจกแกนอางองในแนวตงและแกนอางองในแนวนอนซงกคอ แกน X และแกน Y ตามล าดบ รวมทงตองเขาใจเครองหมายของคาอางองในแตละแกนและวธการแบงระนาบเปน 4 บรเวณ หรอทเรยกวาจตภาค ดงนนหลงจากผสอนอธบายเนอหาดงกลาวแลว ผสอนอาจยกตวอยางหรอใหแบบฝกหดเพมเตมเพอใหผเรยนเขาใจระบบพกดฉากสองมตมากขนเพอเปนพนฐานส าหรบการเรยนระบบพกดฉากสามมต


6

ส าหรบระบบพกดฉากสามมต ผเรยนจะตองเขาใจวธการแบงระนาบเปน 8 บรเวณ หรอทเรยกวา อฐภาค รวมถงตองรจกระนาบ XY,XZ และ YZ ดงนนผสอนอาจสรางสอการสอนหรอกจกรรมเพมเตมเพอใหผเรยนเหนภาพระนาบทง 3 ระนาบและอฐภาคทง 8 อฐภาคมากขน เชน การประดษฐแกนระบบพกดฉากทง 3 แกนและใชกระดาษแทนระนาบทง 3 ระนาบประกอบการสอน ผสอนควรเนนย าใหผเรยนเขาใจวาบนระนาบ XY จะมคาอางองในแนวแกน Z เปนศนยเสมอ และในท านองเดยวกน บนระนาบ XZ และ YZ จะมคาอางองในแนวแกน Y และ X เปนศนยเสมอ ตามล าดบ

นอกจากน ผสอนควรเนนย าใหผเรยนเขาใจในเครองหมายของคาอางองในแตละแกนพกดฉากในทกอฐภาคดวย


7

ในการสอนการระบต าแหนงของจดในระนาบพกดฉากสามมตนน ผสอนควรเรมตนจากการ

อธบายหลกการในการระบต าแหนงของจดซงเกดจากการฉายจดนนลงบนแตระนาบ XY,XZ และYZ หลงจากผเรยนสามารถระบต าแหนงของจดภาพฉายในแตละระนาบไดแลว ผสอนจงสอนใหผเรยนพจารณาคาอางองของจดภาพฉายบนระนาบในแกน X, Y และ Z เพอน าคาอางองในแตละแกนมาระบต าแหนงของจดดงกลาว

ในสอการสอน ผบรรยายไดแสดงการระบต าแหนงของจดในระนาบพกดฉากสามมตโดยการระบจดภาพฉายบนระนาบ XY กอนแลวจงพจารณาคาอางองในแกน X, Y และ Z แตในความเปนจรงแลว การระบต าแหนงของจดในระบบพกดฉากสามมตสามารถเรมตนดวยการระบจดภาพฉายบนระนาบ XZ หรอ YZ แทนได หลงจากนนจงพจารณาคาอางองในแกน X, Y และ Z

หลงจากอธบายรายละเอยดของระบบพกดฉากแลว ผสอนสามารถอธบายหรอสรางกจกรรม

คนควาเพมเตมเกยวกบการประยกตใชระบบพกดฉากในสาขาวชาตาง ๆ เชน การประยกตใชในงานดานแผนทเพอใชในการก าหนดต าแหนงของสงตาง ๆ เพอใหผเรยนเหนประโยชนของระบบพกดฉาก พรอมทงอภปรายถงประโยชนของระบบพกดฉากดงกลาว


8

2. เวกเตอรในระบบพกดฉาก


9

2. เวกเตอรในระบบพกดฉาก

เนอหาในหวขอนกลาวถงการเขยนเวกเตอรในรปของผลบวกของเวกเตอรทมทศทางในแนวแกนอางองในระบบพกดฉากสองมตและสามมต ซงการเขยนเวกเตอรในรปแบบนจะท าใหสามารถบอกทศทางและค านวณขนาดของเวกเตอรได นอกจากนในหวขอนยงกลาวถงการเทากนของเวกเตอร ขนาดของเวกเตอรและการเขยนนเสธของเวกเตอรในรปของผลบวกของเวกเตอรทมทศทางในแนวแกนอางองในระบบพกดฉากอกดวย


10

ส าหรบการเทากนของ 2 เวกเตอรใด ๆ พจารณาโดยการเขยนเวกเตอรทงสองในรปของผลบวกของเวกเตอรในแนวแกนอางองในระบบพกดฉาก โดยทเวกเตอร 2 เวกเตอรจะเทากนกตอเมอเวกเตอรในแนวแกนอางองในแตละแกนของเวกเตอรทงสองตองเทากน ดงในสอการสอน ผบรรยายก าหนดให i , j และ k เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางพงจากจดก าเนดไปทางแนวแกน X, Y และ Z ทางดานบวก ถา u และ v เปนเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมตทสามารถเขยนไดในรป

u a i bj ck และ v d i ej fk โดยท a, b,c,d,e และ f เปนจ านวนจรง เราจะกลาวไดวา

u เทากบ v กตอเมอ a d , b e และ c f และพจารณาในท านองเดยวกนส าหรบเวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต โดยจะพจารณาเฉพาะเวกเตอรในแนวแกน X และ Y เทานน

ส าหรบขนาดของเวกเตอรในสองมตและสามมตนน สามารถค านวณไดโดยใชทฤษฎบทพทาโกรส ดงแนวคดตอไปน แนวคดส าหรบขนาดของเวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

ให u a i bj โดยท a และ b เปนจ านวนจรง เนองจาก |a i | | a | และ |b j | | b | โดยทฤษฎบทพทาโกรส จะไดวา

2 2| u | a b X

Y

a i

bju


12

ส าหรบนเสธของเวกเตอร นยามจากแนวคดทวา นเสธของ u คอเวกเตอรทมขนาดเทากบขนาดของ u แตมทศทางตรงขามกบ u ดงนน จงนยามนเสธของ u ในระบบพกดฉากสองมตและสามมตใหเปนผลบวกของนเสธของเวกเตอรในแตละแนวแกนอางองทประกอบกนเปน u

สวนเวกเตอรทมการก าหนดจดเรมตนและจดสนสดนน กสามารถเขยนไดในรปของผลบวกของ

เวกเตอรทมทศทางในแนวแกนอางองเชนเดยวกน นอกจากนยงสงเกตจากภาพขางบนไดวา เวกเตอร 2 เวกเตอรมขนาดและทศทางเดยวกนจะเปนเวกเตอรทเทากนโดยทจดเรมตนและจดสนสดของทง 2 เวกเตอรอาจแตกตางกนได

จะเหนไดวา เวกเตอรในระบบพกดฉากเปนอกรปแบบหนงของการเขยนแทนเวกเตอรทมการน าระบบพกดฉากมาชวยอธบายลกษณะบางประการของเวกเตอร ดงนน ผสอนควรใหผเรยนศกษาและท าแบบฝกหดเพมเตมเพอใหผเรยนเขาใจการเขยนเวกเตอรในระบบพกดฉากมากขน


13

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ระบบพกดฉากและเวกเตอรในระบบพกดฉาก

1. จงก าหนดระบบพกดฉากของจดในปรภม 3 มต พรอมทงเขยนจดในปรภม 3 มต ทมพกด

ดงตอไปน 1.1 (1,0,3) 1.2 (2,3,1) 1.3 (3, 1, 2) 1.4 (4, 2, 1)

2. จงหาภาพฉายของจดตอไปนบนระนาบ XY,XZ และ YZ

2.1 (3, 2, 2) 2.2 (1, 3, 1) 2.3 ( 2,3,1)

3. จงเขยน AB ในรปของ i , j และ k เมอก าหนดจด A และจด B ดงตอไปน 3.1 A(3,1,2),B( 2,0,3) 3.2 A(1,0, 1),B(5,3, 2)

4. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปนพรอมทงตรวจสอบวา เวกเตอรเหลานเทากนหรอเปนนเสธกนหรอไม 4.1 3i 2 j k 4.2 เวกเตอรทมจดเรมตนท (0,1, 2) และมจดสนสดท (3, 1,3) 4.3 เวกเตอรทมจดเรมตนท (3,5, 2) และมจดสนสดท (0,7,1) 4.4 เวกเตอรทมจดเรมตนท (1, 4,3) และมจดสนสดท (4, 2, 2)

5. ใหจด A มพกด (3,0, 1) และจด B มพกด (1, 3, x) จงหาคา x ทท าให | AB | 7


14

3. การด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉาก


15

3. การด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

ในหวขอนจะกลาวถงการด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉากสองมตและสามมตซง

ประกอบดวย การบวก การลบ และการคณเวกเตอรดวยสเกลาร ผลลพธจากการด าเนนการดงกลาวจะเปนเวกเตอรในระบบพกดฉากซงสามารถค านวณหาขนาดและทศทางของเวกเตอรผลลพธได


16


17

ผสอนอาจยกตวอยางทซบซอนมากขนเพอใหผเรยนฝกคดและท าความเขาใจกบบทนยามของการด าเนนการตาง ๆ ดงตวอยางตอไปน ตวอยาง ให u 3x i 2yj และ v (3y 2) i (x 1) j จงหาจ านวนจรง x และ y ทท าให u v วธท า จะหาคา x และ y เปนจ านวนจรงทท าให u v นนคอ หาจ านวนจรง x และ y ทสอดคลอง สมการ 3x i 2yj (3y 2) i (x 1) j จากบทนยามของการเทากนของเวกเตอรในระบบพกดฉาก จะไดวา 3x 3y 2 ………………………………………………. (1) และ 2y x 1 ………………………………………………. (2) น า 3 (2) (1) จะได 6y 3x 3x 3 3y 2 3y 1

ดงนน 1y

3

แทนคา 1y

3 ใน (1) จะได 1

x3

ดงนน คาของ x และ y ทท าให u v คอ 1

3 และ 1

3 ตามล าดบ

ตวอยาง ให u 3i 2 j k และ v i 2 j k ถา w เปนเวกเตอรซง 3w 2u v และ 4u v 2w จงหา w วธท า จะหา w ซงสอดคลองสมการ 3w 2u v ………………………………………………. (1) และ 4u v 2w ……………………..…………………. (2) น า (1) (2) จะได 3w 2u 2v 2w w 2v 2u


18

ดงนน w 2( i 2 j k) 2(3i 2 j k) 4 i 8 j 4k ขอดอกประการหนงของการด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉากคอ ผเรยนสามารถหา

เวกเตอรทมทศทางเดยวกนหรอทศทางตรงกนกบเวกเตอรใดเวกเตอรหนงและมขนาดตามตองการได ดงตวอยางตอไปนทแสดงไวในสอการสอน

ผสอนควรเนนย าใหผเรยนทบทวนเนอหาและท าแบบฝกหดเพมเตมเพอใหผเรยนมความเขาใจเกยวกบการบวก การลบ และการคณเวกเตอรดวยสเกลารมากขน ซงเปนพนฐานทส าคญในการศกษาเรองเวกเตอรในระดบตอไป


19

แบบฝกหดเพมเตม เรอง การด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

1. ให u i 2 j k และ v 2 i 3 j 4k จงหา

1.1 u 2v 1.2 3v 2u 4.5 3 2u 3v

2. ให u 3x i 5 j และ v 6 i 2yj จงหาจ านวนจรง x และ y ทท าให

2.1 u 2v

2.2 3u 2v 5v 3u

3. จงหาเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกนและเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกนกบเวกเตอร ตอไปน

3.1 3

u 5

2

3.2 1

v 3

0

4. ก าหนดให u i 2 j 2k และ v 3i 5 j 4k จงหา

4.1 เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ v u 4.2 เวกเตอรทมขนาดเทากบ u และมทศทางตรงขามกบ v 4.3 เวกเตอรทมขนาด 6 หนวย และมทศทางเดยวกบ u


20

4. ทศทางของเวกเตอร


21

4. ทศทางของเวกเตอร ในหวขอนจะกลาวถงการระบทศทางของเวกเตอรซงจะระบโดยพจารณามมระหวางเวกเตอรนนกบแกนอางองในระบบพกดฉาก ส าหรบเวกเตอรในสองมต จะพจารณามมระหวางเวกเตอรนนกบแกน X ทางดานบวก ในทศทางทวนเขมนาฬกา โดยใชความรทางตรโกณมตมาชวยในการค านวณมมดงกลาว ผสอนควรเนนย าใหผเรยนพจารณาเวกเตอรรวมกบคาของฟงกชนตรโกณมตในการระบมมของเวกเตอร หลงจากนน ผสอนอาจตวอยางเพมเตมดงน

ตวอยาง จงหามมทเวกเตอรตอไปนท ากบแกน X ทางดานบวก ในทศทางทวนเขมนาฬกา 1. u i 3 j 2. v 5 i 5 3 j

วธท า 1. u i 3 j

ให 1 เปนมมระหวาง u กบแกน X ดงรป

ดงนน 1

3tan 3

1

เพราะฉะนน 1 360 60 300 60

X

Y

i

3 ju

1


22

2. v 5 i 5 3 j

จากตวอยางขางบน จะเหนไดวา 1 2tan tan และ u ขนานกบ v แต u และ v มทศทางตางกน ซงผสอนจงควรเนนใหผเรยนตระหนกในจดนวา

1. ถา 1 2tan tan แลว เราสามารถสรปไดวา u ขนานกบ v 2. ถา 1 2tan tan แลว เราไมสามารถสรปไดวา u และ v มทศทางเดยวกน

X

Y

5i

5 3 jv

260

ให 2 เปนมมระหวาง u กบแกน X ดงรป

ดงนน 2

5 3tan 3

5

เพราะฉะนน 2 180 60 120


23

ส าหรบเวกเตอรในสามมตกใชแนวคดเดยวกบเวกเตอรในสองมต แตจะพจารณาเพยงคาของ

ฟงกชนโคไซนของมมระหวางเวกเตอรนนกบทงแกน X, Y และ Z ทางดานบวก ในทศทางทวนเขมนาฬกา และเรยกคาโคไซนของมมทงสามนวาโคไซนแสดงทศทาง


24

ผสอนอาจยกตวอยางเพมเตมดงตอไปน เพอใหผเรยนเขาใจในการระบทศทางของเวกเตอรในสามมตมากขน ตวอยาง จงหามมระหวาง u 3i 3 2 j 3k กบแกน X, Y และ Z ทางดานบวก ในทศทางทวนเขมนาฬกา วธท า

ให , และ เปนมมระหวาง u กบแกน X, Y และ Z ดงรป

เนองจาก 2 2 2| u | 3 (3 2) ( 3) 6

ดงนน 3 3 1cos

| u | 6 2

3 3 2 2cos

| u | 6 2

3 3 1cos

| u | 6 2

จากรปและโคไซนแสดงทศทาง ท าใหสรปไดวา เพราะฉะนน 60 , 45 และ

0 0180 60 120

3k

u

X

Y

Z

(3,3 2, 3)

3i

3 2 j


25

หลงจากค านวณหาโคไซนแสดงทศทางแลว จะทราบวาเวกเตอรแตละเวกเตอรมทศทางอยางไร นอกจากนโคไซนแสดงทศทางยงเปนเครองมอในการตรวจสอบวาเวกเตอร 2 เวกเตอรมทศทางเดยวกนหรอมทศทางตรงขามกนหรอไม ดงตวอยางทแสดงไวในสอการสอน


26

แบบฝกหดเพมเตม เรอง ทศทางของเวกเตอร

1. จงหามมทเวกเตอรตอไปนท ากบแกนX ทางดานบวกในทศทวนเขมนาฬกา

1.1 3i 3 j

1.2 1 3i j

2 2

1.3 4 j

2. จงหาโคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรตอไปน 2.1 3i 5 j 2k 2.2 เวกเตอรทมจดเรมตนอยทจดก าเนดและจดสนสดอยทจด (1, 2, 3) 2.3 เวกเตอรทมจดเรมตนอยทจด (3,5, 1) และจดสนสดทจด (1,3, 2)

3. จงตรวจสอบวาเวกเตอรทก าหนดใหตอไปนมเวกเตอรใดบางทมทศทางเดยวกนหรอมทศทางตรงขามกน

3.1 1

u 3

5

3.2 v เปนเวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ 1 5i j k

3 3

3.3 w 3i j 5k 3.4 a เปนเวกเตอรทมจดเรมตนทจด (2,7, 3) และจดสนสดทจด (4,1,7)


27

สรปสาระส าคญประจ าตอน


28

สรปสาระส าคญประจ าตอน


29


30

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


31

แบบฝกหดระคน

1. ภาพฉายของจด (3, 1, 2) บนระนาบ XY, XZ และ YZ ตามล าดบ ตรงกบขอใดตอไปน

1. (0,0,2) , (0, 1,0) และ (3,0,0) 2. (3, 1,0) , (3,0, 2) และ (0, 1, 2) 3. (3,0, 2) , (3, 1,0) และ (3, 1,0) 4. (0, 1,2) , (3, 1,0) และ (3,0, 2)

2. ให u = i +2j 3k , v = 3 i +6j +9k และ 1 2w = i + j k

3 3 ขอใดตอไปนเปนจรง

1. u มทศทางเดยวกบ w 2. u เปนนเสธของ v 3. v ขนานกบ w 4. u ขนานกบ v

3. ให u = i +2j k , v = 3 i + k และ w = 2i 3 j 2k ขอใดตอไปนถกตอง

1. 2u v = i +4j +3k 2. u + w =3 i + j k 3. 3v 2w =5i 6 j k 4. 2v + u = 7 i + 2 j k

4. ให u =(x + y+2) i +(5x + y)j +3k และ v =(2x + y 1) i +(x 3y 1)j +2k ถา 2u =3v แลว 2x +3y มคาเทาใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. ให u =3 i +2j +2k และ A และ B เปนจดทมพกดเปน (1,0, 2) และ (a, b,3) ตามล าดบ โดยท a และ b เปนจ านวนจรง ถา u มทศทางเดยวกบ AB แลว 2a b มคาตรงกบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 6 4. 11 6. ให ABCD เปนรปสเหลยม โดยท AB 3 i + j + k , BC 2 i +3 j + k และCD i 2 j + 2k แลวนเสธของ DA คอเวกเตอรใดตอไปน 1. 2 j + 4k 2. 2i 4k 3. 6 i 4 j 4k 4. 6 i + 4 j + 4k


32

7. ก าหนดให A (3, 1,2) และ B (5,1,1) จด C และ D ในขอใดตอไปนท าให CD มทศทาง เดยวกบ AB และมขนาด 6 หนวย 1. C = (1,0,2) และ D (5, 4,0) 2. C = (3, 1,1) และ D (7,3, 1) 3. C = (5,4,2) และ D (1, 2, 4) 4. C = (1,3,2) และ D (5, 1,4) 8. ให u = 2 i j 2k และ v และ w เปนเวกเตอรซง u +3w = 2w + v และ 2v + w = u 2w ขอใดตอไปนเปนจรง

1. | v w | 2 2. | 2v 3w | 5

3. |2w +3v| 6 4. 2| w |

5

9. ให u =3i 3 j และ v = 3i j มมท u v ท ากบแกน X ทางดานบวกในทศทางทวนเขม นาฬกาตรงกบ ขอใดตอไปน 1. 30 2. 60 3. 90 4. 120 10. เวกเตอรในขอใดตอไปนท ามม 45 องศา 60 องศา และ 120 องศา กบแกน X แกนY และแกนZ ทางดานบวก ตามล าดบ 1. i j 2k 2. 2 i j k 3. i 2 j k 4. i + 2 j k


33

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


34

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง ระบบพกดฉากและเวกเตอรในระบบพกดฉาก

1. 1.1

1.2

X

Y

Z

(1,0,3)

X

Y

Z

(2,3,1)


35

1.3 1.4

X

Y

Z

(3, 1,2)

X

Y

Z

(4,2, 1)


36

2. 2.1 ภาพฉายของจด (3, 2, 2) บนระนาบ XY,XZ และ YZ คอ (3, 2,0), (3,0, 2) และ (0, 2, 2) ตามล าดบ 2.2 ภาพฉายของจด (1, 3, 1) บนระนาบ XY,XZ และ YZ คอ (1, 3,0), (1,0, 1) และ (0, 3, 1) ตามล าดบ 2.3 ภาพฉายของจด ( 2,3,1) บนระนาบ XY,XZ และ YZ คอ ( 2,3,0), ( 2,0,1) และ (0,3,1) ตามล าดบ

3. 3.1 AB 5i j + k 3.2 AB 4 i 3 j k

4. ให u 3i 2 j k

v เปนเวกเตอรทมจดเรมตนอยทจด (0,1, 2) และมจดสนสดอยทจด (3, 1,3) w เปนเวกเตอรทมจดเรมตนอยทจด (3,5, 2) และมจดสนสดอยทจด (0,7,1) และ s เปนเวกเตอรทมจดเรมตนอยทจด (1, 4,3) และมจดสนสดอยทจด (4, 2, 2)

ดงนน v 3i 2 j k w 3i 2 j k s 3i 2 j k

ท าใหสรปไดวา 1. u เทากบ v 2. u และ v เปนนเสธของ w

5. x 5 หรอ 7


37

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง การด าเนนการของเวกเตอรในระบบพกดฉาก

1. 1.) u 2v 3 i 8j 9k

2.) 3v 2u 8i 5 j 10k 3.) 3(2u 3v) 12 i 39 j 42k

2. 1.) x = 4 และ 5y =

4 2. x =1 และ y = 5

3. 1.) เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ u คอ u 1(3 i +5j + 2k)

|u| 38

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบ u คอ u 1(3 i +5 j + 2k)

|u| 38

2.) เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ v คอ v 1( i +3 j )

|v| 10

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางตรงขามกบ u คอ v 1( i +3 j )

|v| 10

4. 1.) เนองจาก v u 2 i +3j +6k และ |v u| 7 ดงนน

เวกเตอรหนงหนวยทมทศทางเดยวกบ v u คอ v u 1(2 i +3j +6k )

|v u| 7

2.) เนองจาก |u | 3 และ | v| 50 ดงนน เวกเตอรทมขนาดเทากบ u และมทศทางตรงขามกบ v คอ

(| u |)v 3(3i +5 j + 4k )

| v| 50

3.) เนองจาก |u | 3 ดงนน

เวกเตอรทมขนาด 6 หนวย และมทศทางเดยวกบ u คอ 6u2 i + 4 j 4k

|u|


38

cos

เฉลยแบบฝกหดเพมเตม เรอง ทศทางของเวกเตอร

1. 1. 315 2. 300 3. 270

2. ให u 3i 5 j 2k

v เปนเวกเตอรทมจดเรมตนอยทจดก าเนด และจดสนสดอยทจด 1,2, 3 และ w เปนเวกเตอรทมจดเรมตนอยทจด 3,5, 1 และจดสนสดทจด 1,3,2 ดงนน v = i + 2j 3k และ w = 2i 2j 3k

โคไซนแสดงทศทางของ u, v และ w เปนดงตารางตอไปน เวกเตอร cos cos

u 3

38 5

38

2

38

v 1

14 2

14 3

14

w 2

17

2

17

3

17

3. จากโจทย u i 3 j 5k

1 5

i j k1 3 53 3v i j k

1 5 35 35 35| i j k |3 3

w 3i j 5k และ a 2 i 6 j 10k โคไซนแสดงทศทางของเวกเตอรตาง ๆ และขอสรปเปนดงตารางตอไปน

เวกเตอร cos cos ขอสรป

u 1

35 3

35

5

35 1. u และ a ม

ทศทางเดยวกน 2. u และ a ม ทศทางตรงขามกบ v

v 1

35

3

35 5

35

w 3

35 1

35

5

35

a 1

35 3

35

5

35

cos


39

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 2 6. 1 2. 1 7. 2 3. 4 8. 3 4. 1 9. 1 5. 3 10. 2

ผ-1

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน

ประจาปงบประมาณ 2555

ผ-2

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 77 ตอน (ประจาปงบประมาณ 2555)

เรอง ตอน

คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ บทนาเรองคณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2) เซต แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง เซต (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3) ทฤษฎจานวน แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) จานวนจรง แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 5) แบบฝกหดเรอง จานวนจรง (ตอนท 6) เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย บทนาเรองเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จดและสวนของเสนตรง ความชนและเสนตรง ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงร ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย ความสมพนธและฟงกชน แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) แบบฝกหดเรอง ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) เมทรกซ บทนาเรองเมทรกซ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซขนาด 2x2 ดเทอรมแนนต อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน

ผ-3

เรอง ตอน เวกเตอร บทนาเรองเวกเตอร เวกเตอรในเชงเรขาคณต

เวกเตอรในระบบพกดฉาก

การคณเวกเตอรเชงสเกลาร

การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร จานวนเชงซอน บทนาเรองจานวนเชงซอน จานวนเชงซอน

สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน

พกดเชงขว

รากของจานวนเชงซอน ตรโกณมต แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 3)



แบบฝกหดเรอง ตรโกณมต (ตอนท 6) คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน ภาษและเครดต ดอกเบยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน ลาดบและอนกรม แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 4)

แบบฝกหดเรอง ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) แคลคลส บทนาเรองแคลคลส ลมต

ความตอเนอง

อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ

อนพนธ

คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ

การประยกตคาสดขด

ปรพนธ 1

ปรพนธ 2 หลกคณตศาสตร หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

ผ-4

เรอง ตอน สถต แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 1) แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 2)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 3)

แบบฝกหดเรอง สถต (ตอนท 4)

ผ-5


ปงบประมาณ 2554-2555

ผ-6


คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง บทนา คณตศาสตรกบการพฒนาประเทศ แบบฝกหด ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 1) ขอสอบวดความรคณตศาสตรระดบสง (ตอนท 2)

เซต บทนา เซต การใหเหตผลและตรรกศาสตร เนอหา ความหมายของเซต บทนา การใหเหตผลและตรรกศาสตร เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต เนอหา การใหเหตผล เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและ ประพจนและการสมมล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สจนรนดรและการอางเหตผล แบบฝกหด เซต (ตอนท 1) ประโยคเปดและวลบงปรมาณ เซต (ตอนท 2) แบบฝกหด การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 1) สอปฏสมพนธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 2) การใหเหตผลและตรรกศาสตร (ตอนท 3)

จานวนจรง สอปฏสมพนธ หอคอยฮานอย บทนา จานวนจรง ตารางคาความจรง เนอหา สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ ทฤษฎจานวนเบองตน ทฤษฎบทตวประกอบ บทนา ทฤษฎจานวนเบองตน สมการพหนาม เนอหา การหารลงตวและจานวนเฉพาะ อสมการ ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย เทคนคการแกอสมการ แบบฝกหด ทฤษฎจานวน (ตอนท 1) คาสมบรณ ทฤษฎจานวน (ตอนท 2) การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย แบบฝกหด จานวนจรง (ตอนท 1) บทนา เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย จานวนจรง (ตอนท 2) เนอห จดและสวนของเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 3) ความขนและเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 4) ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง จานวนจรง (ตอนท 5) วงกลม จานวนจรง (ตอนท 6) พาราโบลา สอปฏสมพนธ ชวงบนเสนจานวน วงร สมการและอสมการพหนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสมบรณ การตรวจสอบสมการภาคตดกรวย

ผ-7

ความสมพนธและฟงกชน ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม บทนา ความสมพนธและฟงกชน บทนา ฟงกชนเลขชกาลงและฟงกชนลอการทม เนอหา ความสมพนธ เนอหา เลขยกกาลง โดเมนและเรนจ ฟงกชนเลขชกาลง อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของ ฟงกชนลอการทม ฟงกชน อสมการเลขชกาลง ฟงกชนเบองตน อสมการลอการทม พชคณตของฟงกชน อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส ตรโกณมต ฟงกชนประกอบ บทนา ตรโกณมต แบบฝกหด ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 1) เนอหา อตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 2) เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 3) และวงกลมหนงหนวย ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 4) ฟงกชนตรโกณมต 1 ความสมพนธและฟงกชน (ตอนท 5) ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3

เมทรกซ กฎของไซนและโคไซน บทนา เมทรกซ กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ฟงกชนตรโกณมตผกผน การคณและอนเวอรสการคณของเมทรกซ แบบฝกหด ตรโกณมต (ตอนท 1) ขนาด 2×2 ตรโกณมต (ตอนท 2) ดเทอรมแนนต ตรโกณมต (ตอนท 3) อนเวอรสการคณและการดาเนนการตามแถว ตรโกณมต (ตอนท 4) การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน ตรโกณมต (ตอนท 5) ตรโกณมต (ตอนท 6)

เวกเตอร สอปฏสมพนธ มมบนวงกลมหนงหนวย บทนา เวกเตอร กราฟของฟงกชนตรโกณมต เนอหา เวกเตอรในเชงเรขาคณต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพกดฉาก การคณเวกเตอรเชงสเกลาร กาหนดการเชงเสน การคณเวกเตอรเชงเวกเตอร บทนา กาหนดการเชงเสน เนอหา การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร

จานวนเชงซอน การหาคาสดขด บทนา จานวนเชงซอน เนอหา จานวนเชงซอน คณตศาสตรกบการเงนในชวตประจาวน สงยคและคาสมบรณของจานวนเชงซอน สารคด ภาษและเครดต พกดเชงขว ดอกเบยและคางวด รากของจานวนเชงซอน ผลตอบแทนและความเสยงในการลงทน

ผ-8

ลาดบและอนกรม สถตและการวเคราะหขอมล บทนา ลาดบและอนกรม บทนา สถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ลาดบ เนอหา บทนา เนอหา การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 ลมตของลาดบ แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 อนกรม การกระจายของขอมล ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม การกระจายสมบรณ 1 แบบฝกหด ลาดบและอนกรม (ตอนท 1) การกระจายสมบรณ 2 ลาดบและอนกรม (ตอนท 2) การกระจายสมบรณ 3 ลาดบและอนกรม (ตอนท 3) การกระจายสมพทธ ลาดบและอนกรม (ตอนท 4) คะแนนมาตรฐาน ลาดบและอนกรม (ตอนท 5) ความสมพนธระหวางขอมล 1 ความสมพนธระหวางขอมล 2

แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 บทนา แคลคลส โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 เนอหา ลมต แบบฝกหด สถต (ตอนท 1) ความตอเนอง สถต (ตอนท 2) อตราการเปลยนแปลงและบทนยามของอนพนธ สถต (ตอนท 3) อนพนธ สถต (ตอนท 4) คาสดขดสมพทธและคาสดขดสมบรณ การประยกตคาสดขด แบบจาลองทางคณตศาสตร ปรพนธ 1 สารคด แบบจาลองทางคณตศาสตรเบองตน ปรพนธ 2 ความสมพนธเวยนเกดและการประยกต

การนบและความนาจะเปน โครงงานทางคณตศาสตร บทนา การนบและความนาจะเปน วจย การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย เนอหา การนบเบองตน ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การเรยงสบเปลยน การถอดรากทสาม การจดหม เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎบททวนาม กระเบองทยดหดได การทดลองสม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลกคณตศาสตร เนอหา หลกการพสจนเบองตน หลกอปนยเชงคณตศาสตร

ตอนที่ 21 เวกเตอร์ ตอนที่ 1a4%d9%e8%c1%d7… ·...

Documents