《第25讲点位真误差及点位误差》

测绘工程系测绘工程系误差理论与测量平差误差理论与测量平差

点位真误差及点位误差点位真误差及点位误差

《第 25 讲点位真误差及点位误差》

主讲人：李海峰



提纲：

一、点位真误差

二、点位误差

三、任意方向上的位差



一、点位真误差一、点位真误差

点在坐标平面中的位置是用一对平面坐标来确定的，由于观测存在误差，所以表征点位的坐标也存在误差，如图所示，在一个确定的坐标系中， A 点

是已知点，假定坐标不带误差， P 为待定点真实位置， P′ 为平差值位置，其真位置和平差值位置坐标分别是，它们之间的差异为， ,P′ 与 P 间距离△ P 称为 P 点的点位真误差 ( 真位差 ). 且 △ x△y 为真位差在 x 轴和 y 轴方向上的两个位差分量。

)~,~( yx )ˆ,ˆ( yx

xxx ˆ~ yyy ˆ~

222 )()( yxP




若△ x△y 的中误差分别为且二者相互独立，则有上式中就是点 P 的点位方差，是点 P 的点位中误差。若将坐标系旋转一个角度，得出另一个新坐标系，在新坐

标系中 P 点的点位真误差（真位差）是 , 仿照前面的公式 P 点的点位方差是

这说明，尽管点位真误差△ P 在不同坐标系的两个坐标轴上的投影长度不同，但点位方差总是两个互相垂直的方向上的坐标方差之和，与坐标系的选取无关。

yx 、 222yxP

2P P

222 )()( yxP

222yxP

2P




考虑到坐标系变化是随意的，所以结论为：点位方差等于点位真误差在任意两个相互垂直方向上投影的方差之和。若设是△ P 在 AP 方向的连线方向的投影值 , 是与垂直方向的投影值 , 则有 , 根据误差传播定律可知

式中分别称为纵向误差和横向误差。工程实践中仅仅知道点位中误差是不够的，精密工程测量

有时要研究任意方向的位差大小，这一般通过求待定点误差椭圆来实现，分析待定点在任意方向的位差，可形象全面而精确的分析点位精度。

2P

s u222 )()( usP

222usP u 、s



二、点位误差二、点位误差

待定点的纵、横坐标的方差是按照下式计算的：点位方差是其中表示未知参数协因数阵主对角线上第的 i 个元素实际工作中，由于样本容量有限，只能求的估值，所以公式为。可见，只要求出 Qxx 、 Qyy 及单位权方差，即可求出点位误差

。在间接平差法中，对于三角网通常以未知点坐标为参数，法方程系数矩阵的逆矩阵就是参数的协因数阵。例如有 s 个待定点时，未知数的协因数阵为：

ii

i

i

ii

i

i

yyy

y

xxx

x

Qp

Qp

20

20

2

20

20

2

1

1

)(202

iiiii yyxxP QQ iixx

Q

XXQ

20

20̂ )(ˆˆ 2

02

iiiii yyxxP QQ



二、点位误差二、点位误差

对角线上的元素是待定点坐标的权倒数，相关权倒数则在主权倒数连线的两侧。

ssssisisss

ssssisisss

ssii

ssii

yyxyyyxyyyxy

yxxxyxxxyxxx

yyxyyyxyyyxy

yxxxyxxxyxxx

ssXX

QQQQQQ

QQQQQQ

QQQQQQ

QQQQQQ

Q

......

......

........................

......

......

,ˆˆ

11

11

11111111

11111111

22

)(ˆˆ 20

2

iiiii yyxxP QQ



三、任意方向的位差三、任意方向的位差

平差时，一般只求待定点坐标的中误差和点位中误差。点位中误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但是它却不能代表该点在某一任意方向上的位差大小。而前面提到的也都是在某些特定方向上的位差，不具有普遍性，在工程上经常关心任意方向上的位差问题。

(1) 用方位角表示任意方向的位差如图所示 P 为待定点的真实位置， P′ 为点经过平差所得到的位置，为了求 P 点在某一方向上的位差，需要先找出待定点在该方向




的真误差与纵坐标和横坐标的真误差△ x 、△ y 之间的函数关系，然后在求该方向上的位差。由图可知点位真误差PP′ 在方向上的投影为且有下式存在：

应用协因数传播律得：

待定点 P 在该方向上的位差为

若将上式的用来替换

PP

y

xyxPPPPPP sincossincos

2sinsincossin

cossincos 22

xyyyxxyyyx

xyxxQQQ

QQ

QQQ

2sinsincos 2220

20

2xyyyxx QQQQ

90 2sincossin 222

0290 xyyyxx QQQ



三、任意方向的位差三、任意方向的位差将以上两个式子相加，得

这再一次证明，任何一点的点位方差总等于两个互相垂直方向上的分量之和。注意到位置误差是相对其真实位置的，由于已知点间假定没有误差，所以 P 点真误差是 P 点相对已知点的真误差。

在众多位差权倒数 (Qxx 、 Qyy…) 必定存在极大值和极小值分别设为 QEE 、 QFF, 而相应的方向分别为 , 其中在方向上的位差具有极大值，而在方向上具有极小值，显然二者之差为 90° 。

利用线性代数中特征方程求特征根的方法求 QEE 、 QFF

等参数如下。

220

290

2pyyxx QQ

FE 、E

F




E 、 F 分别代表位差的极大值和极小值， QEE 、 QFF 分别代表极大值和极小值方向。

1( )2EE XX YYQ Q Q K

1( )2FF XX YYQ Q Q K

2 2( ) 4XX YY XYK Q Q Q

tan EE XX XYE

XY EE YY

Q Q Q

Q Q Q

tan FF XX XYF

XY FF YY

Q Q Q

Q Q Q

0 EEE Q0 FFF Q




(2) 用极值 EF 表示任意方向的位差利用极值 EF 也可以表示任意方向的位差，若以E 轴为坐标轴，计算任意方向的位差，必须先找出之间的关系 , 再利用协因数传播定律求。仿照前面的求法可得

为两个极值方向的互协因数 , 其值为 0. 所以22 sincos FFEE QQQ

EFQ

QE

FE 、与 E

F

E

F

X

sincos FE

2sinsincos 22EFFFEE QQQQ




用 E 、 F 表示任意方向的位差公式为

2222222

020

2 sincossincos FEQQQ FFEE



【例 25-1 】

已知某平面控制网平差后点 P 的坐标协因数阵为：

单位权方差，试求 E 、 F 和解 :

22ˆˆ /

20.125.0

25.040.2秒dmQ

XX

22

00.1 秒σ FE tantan 、

3.125.044.1 K

2.45)1.31.2(2.42

1EEQ

1.15)1.3-1.24.2(2

1FFQ

dmFdmE 07.115.11;57.145.21

0.22.4)/0.25-(2.45tan E

-52.4)/0.25-(1.15tan F

1( )2EE XX YYQ Q Q K

1( )2FF XX YYQ Q Q K

2 2( ) 4XX YY XYK Q Q Q

tan EE XX XYE

XY EE YY

Q Q Q

Q Q Q

tan FF XX XYF

XY FF YY

Q Q Q

Q Q Q

0 EEE Q 0 FFF Q



谢谢！

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