เฉลย กสพท. คณิตศาสตร์ 2556

เฉลยละเอยด

ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2556

วธทา ลองวาดบนเสนจานวน จะไดวา

+ - + - +

−1 − 12

0 3

จะไดวา จานวนเตมทสอดคลองกบอสมการ มทงหมด 4 จานวน ตอบ

วธทา จากทฤษฎบทของพหนาม หาก 2𝑖𝑖 เปนคาตอบของสมการพหนาม

จะไดวา −2𝑖𝑖 เปนคาตอบของสมการพหนามดวย

ดงนน 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 2𝑖𝑖)(𝑥𝑥 + 2𝑖𝑖)(𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵)

= (𝑥𝑥2 + 4)(𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵)

เทยบสมประสทธกบโจทย

จะไดวา 𝐴𝐴 = 2 และ 𝐵𝐵 = 3

เพราะฉะนน 𝑃𝑃(1) = (5)(2 + 3) = 25 ตอบ

เฉลยขอสอบ : กสพท. คณตศาสตร 2556

วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑎𝑎𝑏𝑏

= 23

จากกฎของ sin จะไดวา sin 𝐴𝐴sin 𝐵𝐵

= 23

จากโจทย 𝐵𝐵 = 2𝐴𝐴

เพราะฉะนน sin𝐵𝐵 = sin 2𝐴𝐴

sin𝐵𝐵 = 2 sin𝐴𝐴 cos𝐴𝐴

จะไดวา cos𝐴𝐴 = sin 𝐵𝐵2 sin 𝐴𝐴

= 12

× 32

เพราะฉะนน cos𝐴𝐴 = 34

ตอบ

วธทา จากโจทย จะไดวา (log7 625)(log5 343) = log 625log 7

× log 343log 5

= 4 log 5log 7

× 3 log 7log 5

เพราะฉะนน (log7 625)(log5 343) = 12 ตอบ


วธทา จากโจทย (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) ∙ 𝑤𝑤�� = (𝑤𝑤�� × ��𝑣) ∙ 𝑢𝑢�

= −(��𝑣 × 𝑤𝑤�� ) ∙ 𝑢𝑢�

= −�124� ∙ �

21−3

�

= −(2 + 2 − 12)

จะไดวา (��𝑣 × 𝑢𝑢� ) ∙ 𝑤𝑤�� = 8 ตอบ

วธทา โจทยตองการใหเลข 3 อยตดกน จงมองกอนเลข 3 ทอยรวมกนเปน ∆

ซงการสลบเลข 3 ใน ∆ ไมมผลตอการนบ เพราะสลบกนกเหมอนเดม

จะไดวา มของ 6 สงใหเรยงสบเปลยน คอ 1 , 2 , ∆ , 4 , 5 , 6

เพราะฉะนน จะสรางตวเลขไดทงหมด 6! = 720 จานวน ตอบ


วธทา จากโจทย พบวามการใช Row Operation

ซงสามารถเขยนเปนระบบสมการไดวา

𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 9 ------------------------- (๑)

𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 5 ------------------------- (๒)

𝑧𝑧 = 2 ------------------------- (๓)

นา (๓) แทน (๒) จะไดวา 𝑦𝑦 = −1

นา 𝑦𝑦 และ 𝑧𝑧 แทนคาใน (๑) จะไดวา 𝑥𝑥 = 1

จากโจทย 𝑐𝑐 = 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧

แทนคา 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , z ลงไป จะไดวา 𝑐𝑐 = 17 ตอบ


วธทา จากโจทย ใหความถสะสมมา

จะไดวา นกเรยนทไดคะแนนสอบอยในชวง 50-59 คะแนน มทงหมด 185 − 145 = 40 คน

และจะไดวา มนกเรยนทงหมด 200 คน

เพราะฉะนน ความนาจะเปนทสมนกเรยนไดชวงน เทากบ 40

200= 1

5 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑛𝑛3(𝑛𝑛+3)−𝑛𝑛2�𝑛𝑛2+2�(𝑛𝑛2+2)(𝑛𝑛+3)

= 𝑛𝑛4+3𝑛𝑛3−𝑛𝑛4−2𝑛𝑛2

𝑛𝑛3+3𝑛𝑛2+2𝑛𝑛+6

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3𝑛𝑛3−2𝑛𝑛2

𝑛𝑛3+3𝑛𝑛2+2𝑛𝑛+6

เพราะฉะนน lim𝑛𝑛→∞ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 3

วธทา จะหาจดวกฤตของกราฟกอน

จากโจทย จะไดวา 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 − 9

จบ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0

จะไดวา 𝑥𝑥วกฤต = −3 , 1

จะหาคาสงสดสมบรณบนชวง [−1,2]

check คาของ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) เมอ 𝑥𝑥 = −1 , 1 , 2

จะไดวา 𝑓𝑓(−1) = 12 , 𝑓𝑓(1) = −4 และ 𝑓𝑓(2) = 3

เพราะฉะนน คาสงสดสมบรณของ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) บนชวง [−1,2] เทากบ 12 ตอบ


วธทา จากโจทย log 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 15) ≤ 2

จะไดวา 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 15) ≤ 102

𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥 − 100 ≤ 0

(𝑥𝑥 − 20)(𝑥𝑥 + 5) ≤ 0

จะไดวา 𝑥𝑥 ∈ [−5 , 20]

แตจากโจทย มเงอนไขวา หลง log > 0

จะไดวา 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 15) > 0

ดงนน 𝑥𝑥 ∈ (−∞ , 0) ∪ (15 ,∞)

เพราะฉะนน 𝑆𝑆 = [−5,0) ∪ (15,20]

จะไดวา 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = 10 ตอบ


วธทา พจารณาตวประกอบของ 2520 และ 60

จะไดวา 2520 = 23 × 32 × 5 × 7

และ 60 = 22 × 3 × 5

จากหลกการหา ห.ร.ม. แบบแยกตวประกอบ

จะไดวา 𝑎𝑎 = 22 × 3 × 5𝑚𝑚 เมอ 𝑚𝑚 > 1 และ 𝑚𝑚 เปนจานวนเตม

นนคอ 𝑎𝑎 จะตองม 2 , 3 , 5 เปนตวประกอบเฉพาะ และตองไมม 7 เปนตวประกอบเฉพาะ

พจารณาตวประกอบของ 420 และ 4620

จะไดวา 420 = 22 × 3 × 5 × 7

และ 4620 = 22 × 3 × 5 × 7 × 11

จากหลกการหา ค.ร.น. แบบแยกตวประกอบ

และอาศยเงอนไขดานบน

จะไดวา 𝑎𝑎 = 2𝑛𝑛 × 3 × 5 × 11 เมอ 𝑛𝑛 = 1 , 2

แตจากดานบน พบวา 𝑎𝑎 หารดวย 4 ลงตว 𝑛𝑛 = 2 เทานน

เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = 22 × 3 × 5 × 11 ตอบ


วธทา ทา 2𝑖𝑖 ในรปจานวนเชงขว

จะไดวา 2𝑖𝑖 = 2(0 + 1𝑖𝑖) = 2(cos 90° + 𝑖𝑖 sin 90°)

ดงนน รากท 2 ของ 2𝑖𝑖 จงเทากบ √2(cos 45° + 𝑖𝑖 sin 45°)

และ √2(cos 225° + 𝑖𝑖 sin 225°)

เพราะฉะนน 𝑧𝑧1 และ 𝑧𝑧2 จงเทากบ 1 + 𝑖𝑖 และ −1− 𝑖𝑖 จากทฤษฎบทพหนาม

ดงนน 1 − 𝑖𝑖 และ −1 + 𝑖𝑖 จะเปนคาตอบของสมการพหนามดวย

เพราะฉะนน 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 1 − 𝑖𝑖)(𝑥𝑥 − 1 + 𝑖𝑖)(𝑥𝑥 + 1 − 𝑖𝑖)(𝑥𝑥 + 1 + 𝑖𝑖)

แตโจทยบอกวา สมประสทธหนา 𝑥𝑥4 เทากบ 1 ดงนน 𝑎𝑎 = 1

จะไดวา 𝑃𝑃(1) = (−𝑖𝑖)(𝑖𝑖)(2 − 𝑖𝑖)(2 + 𝑖𝑖)

= −(−1)(4 + 1)

เพราะฉะนน 𝑃𝑃(1) = 5 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวาวงรในโจทยเปนวงรตง ซงม 𝑎𝑎 = 5 และ 𝑏𝑏 = 3

จะไดวา 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = 4

ดงนน วงรนมจดโฟกสอยท 𝐹𝐹1(3,9) , 𝐹𝐹2(3,1)

จะหาสมการเสนตรงทผาน 𝐹𝐹1(3,9) และ (0,5)

จะไดวา สมการเสนตรงน คอ 𝑦𝑦 = 43𝑥𝑥 + 5 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 15 = 0

เพราะฉะนน ระยะหางระหวาง 𝐹𝐹2(3,1) กบเสนตรง 4𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 + 15 = 0

เทากบ 4(3)−3(1)+15

5=

245

หนวย ตอบ


วธทา พจารณาขอ (ก)

จะไดวา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� + 𝐵𝐵𝐵𝐵�� + 𝐵𝐵𝐴𝐴�� = 𝐴𝐴𝐴𝐴�� = 0� ดงนน ขอ (ก) จงถกตอง

พจารณาขอ (ข)

จากสมบตการ dot �𝐴𝐴𝐵𝐵�� ∙ 𝐵𝐵𝐵𝐵�� = �𝐴𝐴𝐵𝐵�� 𝐵𝐵𝐵𝐵�� cos 𝜃𝜃

เนองจาก −1 ≤ cos 𝜃𝜃 ≤ 1

ดงนน �𝐴𝐴𝐵𝐵�� ∙ 𝐵𝐵𝐵𝐵�� ≤ �𝐴𝐴𝐵𝐵�� 𝐵𝐵𝐵𝐵�� ดงนน ขอ (ข) จงถกตอง

พจารณาขอ (ค)

จะไดวา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� × 𝐴𝐴𝐵𝐵�� = −𝐵𝐵𝐴𝐴�� × −𝐵𝐵𝐴𝐴�� = 𝐵𝐵𝐴𝐴�� × 𝐵𝐵𝐴𝐴�� ≠ 𝐵𝐵𝐴𝐴�� × 𝐵𝐵𝐴𝐴��

ดงนน ขอ (ค) จงผด

พจารณาขอ (ง)

จะไดวา 𝐴𝐴𝐵𝐵�� ∙ �𝐵𝐵𝐵𝐵�� × 𝐵𝐵𝐴𝐴�� = �𝐴𝐴𝐵𝐵�� × 𝐵𝐵𝐵𝐵�� ∙ 𝐵𝐵𝐴𝐴�� = 𝐵𝐵𝐴𝐴�� ∙ �𝐴𝐴𝐵𝐵�� × 𝐵𝐵𝐵𝐵��

ดงนน ขอ (ง) จงถกตอง


วธทา ใชสตรเปลยนผลบวกเปนผลคณ

จะไดวา 2 sin �𝛼𝛼+𝛽𝛽2� cos �𝛼𝛼−𝛽𝛽

2� = − 2

3 ---------------------- (๑)

และ 2 cos �𝛼𝛼+𝛽𝛽2� cos �𝛼𝛼−𝛽𝛽

2� = 2

√3 ---------------------- (๒)

นา (๑) หารดวย (๒)

จะไดวา tan �𝛼𝛼+𝛽𝛽2� = − 1

√3

เนองจากโจทยบอกวา –𝜋𝜋 ≤ 𝛼𝛼 ,𝛽𝛽 ≤ 0

แสดงวา –𝜋𝜋 ≤ 𝛼𝛼+𝛽𝛽2

≤ 0

ดงนน 𝛼𝛼+𝛽𝛽

2= −π

6

เพราะฉะนน 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = −𝜋𝜋3

ตอบ


วธทา เนองจากในโจทย อยในรป ∎∆ = 1 จงสามารถแยกได 3 กรณ คอ

กรณท 1 |𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 5| = 1

จะไดวา 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 5 = 1 หรอ 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 5 = −1

𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 4 = 0 หรอ 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6 = 0

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = −1 , −2 ,−3 ,−4

กรณท 2 𝑥𝑥 − 5 = 0 และ |𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 5| ≠ 0

จะไดวา 𝑥𝑥 = 5

เมอนาไปแทนคาในฐาน พบวา ฐาน ≠ 0

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = 5 จงใชได

กรณท 3 |𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 5| = −1 และ 𝑥𝑥 + 5 เปนเลขค

ซงพบวาเปนไปไมได เพราะคาแอบเปนบวกเสมอ

เพราะฉะนน ผลบวกคาตอบ = −5 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา (2𝑥𝑥)2 + 16 = 65 �2𝑥𝑥

2�

มองให 𝐴𝐴 = 2𝑥𝑥

จะไดวา 2𝐴𝐴2 − 65𝐴𝐴 + 32 = 0

(2𝐴𝐴 − 1)(𝐴𝐴 − 32) = 0

จะไดวา 2𝑥𝑥 = 12

หรอ 2𝑥𝑥 = 32

เพราะฉะนน 𝑥𝑥 = −1 , 5 ตอบ

สวนคาถามนน ไมมสาระสาคญอะไร


วธทา จากโจทย นาสมการกลางลบสมการลาง จะได 𝑥𝑥 = 2

นาไปแทนคาในสมการบนและสมการลาง จะไดวา 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 8 เหมอนกน

แสดงวา ระบบสมการนมคาตอบเปนอนนต ในรปของ (2 ,𝑘𝑘 , 8 − 𝑘𝑘) เมอ 𝑘𝑘 เปนจานวนจรง

พบวา (𝑦𝑦 , 𝑧𝑧) ทเปนไปได ไดแก (−2,10) , (−1,9), … , (10,−2)

ซงมทงหมด 13 ตว

ดงนน 𝑛𝑛(𝑆𝑆) = 13 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา

𝑃𝑃 �เลอกคนอยางนอย 1 คน

ไดเกรด 𝐴𝐴 � = 1 − 𝑃𝑃(ไมไดเกรด 𝐴𝐴 เลย)

= 1 −�25

3 �

�303 �

= 1 − 25×24×2330×29×28

= 1 − 115203

เพราะฉะนน ความนาจะเปนทไดนกเรยนอยางนอย 1 คนไดเกรด A เทากบ 88

203 ตอบ


วธทา จากโจทย บงบอกวาพนทเสนโคงจากตรงกลางไปถง 𝜇𝜇 ± 𝑎𝑎𝑎𝑎 เทากบ 0.17

จะไดวา คะแนนมาตรฐานของ 𝜇𝜇 + 𝑎𝑎𝑎𝑎 เทากบ 0.44

ดงนน 𝜇𝜇+𝑎𝑎𝑎𝑎−𝜇𝜇

𝑎𝑎= 0.44

แกสมการ จะไดวา 𝑎𝑎 = 0.44

จะหาคะแนนมาตรฐานของ 𝜇𝜇 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 เพอหาพนทใตเสนโคงปกต

จะไดวา 𝑧𝑧 = 𝜇𝜇+2𝑎𝑎𝑎𝑎−𝜇𝜇𝑎𝑎

= 2𝑎𝑎 = 0.88

ดงนน คะแนนมาตรฐานของ 𝜇𝜇 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 เทากบ 0.88

ซงมพนทจากตรงกลางไปจนถง 𝜇𝜇 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 เทากบ 0.31

เมอคดทงสองดาน

จะไดวา ถานไฟฉายทใชไดระหวาง 𝜇𝜇 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 ถง 𝜇𝜇 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 จะมอย 62% ตอบ


วธทา อาศยทฤษฎบท ∑(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)2 มคานอยทสด

จะไดวา 𝑎𝑎 เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1

ดงนน 𝑎𝑎 =∑ �3−𝑖𝑖

5�9𝑖𝑖=1

9

=(3×9)−1

5�∑ 𝑖𝑖9𝑖𝑖=1 �

9

=27−1

5(1+2+⋯+9)

9

=27−1

5�9(10)

2 �

9

เพราะฉะนน 𝑎𝑎 = 2 จะไดวา 𝑦𝑦𝑗𝑗 = |2 − 𝑗𝑗|

อาศยทฤษฎบท ∑|𝑦𝑦 − 𝑏𝑏| มคานอยทสด

จะไดวา 𝑏𝑏 เปนมธยฐานของขอมลชดท 2

นา 𝑦𝑦𝑗𝑗 ทไดไปแทนคา

ดงนน ขอมลชดท 2 จะประกอบดวย 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

เพราะฉะนน 𝑏𝑏 = 3 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∫(2𝑥𝑥 + 5)𝑑𝑑𝑥𝑥 และผานจด (1,2)

ดงนน 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 𝐵𝐵

แทนคาจดผาน (1,2)

เพราะฉะนน 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 4

จากโจทย จะไดวา 𝑔𝑔′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥2 และผานจด (1,2)

ดงนน 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 𝐵𝐵

แทนคาจดผาน (1,2)

เพราะฉะนน 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 + 1

จะไดวา �𝑓𝑓𝑔𝑔�′

(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝑓𝑓′ (𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔′ (𝑥𝑥)

�𝑔𝑔(𝑥𝑥)�2

= �𝑥𝑥3+1�(2𝑥𝑥+5)−�𝑥𝑥2+5𝑥𝑥−4��3𝑥𝑥2�(𝑥𝑥3+1)2

แทนคา 𝑥𝑥 = 1

จะไดวา �𝑓𝑓𝑔𝑔�′

(1) = 2 ตอบ


วธทา เนองจาก 𝑓𝑓 ตอเนองทกจด

ดงนน 𝑓𝑓(−1) = 𝑔𝑔(−1) = lim𝑥𝑥→−1−|𝑥𝑥+1|1−𝑥𝑥2

= lim𝑥𝑥→−1−−(𝑥𝑥+1)

(1−𝑥𝑥)(1+𝑥𝑥)

= lim𝑥𝑥→−1− �−1

(1−𝑥𝑥)�

จะไดวา 𝑔𝑔(−1) = − 12

และ 𝑓𝑓(2) = 𝑔𝑔(2) = lim𝑥𝑥→2+ √2𝑥𝑥 − 3

จะไดวา 𝑔𝑔(2) = 1

โจทยตองการหา ∫ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥2−1

∫ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥2−1 = 𝑔𝑔(2) − 𝑔𝑔(−1)

= 1 − �− 12�

ดงนน ∫ 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥2−1 = 3

2 ตอบ


วธทา กาหนดให 𝐴𝐴 = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯+ (2𝑛𝑛 − 1)

จะไดวา 𝐴𝐴 = ∑ (2𝑛𝑛 + 1)𝑛𝑛𝑖𝑖=1 = 2(∑ 𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ) − ∑ 1𝑛𝑛𝑖𝑖=1

= 2 �𝑛𝑛2

(𝑛𝑛 + 1)� − 𝑛𝑛

ดงนน 𝐴𝐴 = 𝑛𝑛2

เพราะฉะนน 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 1𝑛𝑛

กาหนดให 𝐵𝐵 = 2 + 4 + 6 + ⋯+ 2𝑛𝑛

จะไดวา 𝐵𝐵 = 2 �𝑛𝑛2

(𝑛𝑛 + 1)�

ดงนน 𝐵𝐵 = 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛

เพราะฉะนน 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 1𝑛𝑛+1

เพราะฉะนน โจทย = ∑ �1𝑛𝑛− 1

𝑛𝑛+1�∞

𝑛𝑛=1 = 11− 1

2+ 1

2− 1

3+ 1

3− 1

4+ ⋯ = 1 ตอบ


วธทา จากโจทย จะไดวา ดเทอรมแนนทของเมตรกซในเซต 𝑀𝑀 เทากบ 𝑎𝑎1𝑎𝑎4𝑎𝑎6

จะหาจานวนเมตรกซ ทมดเทอรมนนตเทากบ 27

นนคอ ตองการให 𝑎𝑎1𝑎𝑎4𝑎𝑎6 เทากบ 27 หรอ −27

ขนท ๑ : เลอกตวเลขใน 𝑎𝑎1 ,𝑎𝑎4 ,𝑎𝑎6

จะไดวา ตวเลขทงสามจะตองเปน 3 หรอ −3 เทานน จงทาได 23 = 8 วธ

ขนท ๒ : เลอกตวเลขใน 𝑎𝑎2 ,𝑎𝑎3 ,𝑎𝑎5 ซงเปนตวเลขอะไรกได จงทาได 63 = 216 วธ

ดงนน จานวนเมตรกซทมดเทอรมแนนทเทากบ 27 เทากบ 23 × 63 เมตรกซ

เนองจาก จานวนเมตรกซทสรางไดทงหมด เทากบ 66 เมตรกซ

ดงนน ความนาจะเปนทสมเมตรกซแลวไดเมตรกซทมดเทอรมแนนทเทากบ 27 เทากบ 2363

66 = 863 ตอบ


วธทา พจารณากราฟของเซต 𝐴𝐴

จะไดวา เปนเซตของ 𝑧𝑧 ทมผลรวมของระยะจาก 𝑧𝑧 ไปยง 1 และระยะจาก 𝑧𝑧 ไปยง 5 เทากบ 6

ซงเปนนยามวงรนนเอง ทม 2𝑎𝑎 = 6

จะไดวาวงรน ม 𝑎𝑎 = 3 , จดศนยกลางอยท (3,0) 𝑐𝑐 = 2

ดงนน 𝑏𝑏 = √𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐2 = √5

ดงนน สมการวงรน คอ (𝑥𝑥−3)2

9+ 𝑦𝑦2

5= 1

พจารณากราฟของเซต 𝐵𝐵

จะไดวา เปนเซตของ 𝑧𝑧 ทมผลตางของระยะจาก 𝑧𝑧 ไปยง 1 และระยะจาก 𝑧𝑧 ไปยง 7 เทากบ 4

ซงเปนนยามของไฮเพอรโบลานนเอง ทม 2𝑎𝑎 = 4

จะไดวาไฮเพอรโบลาน ม 𝑎𝑎 = 2 , จดศนยกลางอยท (4,0) 𝑐𝑐 = 3

ดงนน 𝑏𝑏 = √𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2 = √5

ดงนน สมการไฮเพอรโบลาน คอ (𝑥𝑥−4)2

4− 𝑦𝑦2

5= 1

เมอลองวาดกราฟด

พบวากราฟนนจะตดกน 3 จด

เพราะฉะนน 𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) = 3 ตอบ


วธทา กาหนดให 𝑆𝑆4𝑛𝑛 คอ ผลบวกทละ 4 พจนของอนกรมน

ดงนน 𝑆𝑆4𝑛𝑛 = (1 + 2 + 3 + 4) + (6 + 7 + 8 + 9) + ⋯+

�(5𝑛𝑛 − 4) + (5𝑛𝑛 − 3) + (5𝑛𝑛 − 2) + (5𝑛𝑛 − 1)�

= (1 + 2 + 3 + ⋯+ 5𝑛𝑛) − (5 + 10 + 15 + ⋯+ 5𝑛𝑛)

= 5𝑛𝑛2

(5𝑛𝑛 + 1) − 5 �𝑛𝑛2

(𝑛𝑛 + 1)�

จะไดวา 𝑆𝑆4𝑛𝑛 = 10𝑛𝑛2

จะหาจานวนพจนททาใหผลบวกเทากบ 9000

ดงนน 10𝑛𝑛2 = 9000

จะไดวา 𝑛𝑛 = 30

เพราะฉะนน อนกรมนเกดจากการบวกกน 30 × 4 = 120 พจนแรก ตอบ


วธทา จากโจทย 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

จะไดวา ∫ 𝑝𝑝(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥10 = ��𝑎𝑎𝑥𝑥

3

3+ 𝑏𝑏𝑥𝑥2

2+ 𝑐𝑐𝑥𝑥��

𝑥𝑥=0

𝑥𝑥=1

ดงนน ∫ 𝑝𝑝(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥10 = 𝑎𝑎

3+ 𝑏𝑏

2+ 𝑐𝑐

ดงนน จะตองหากรณท 𝑎𝑎3

+ 𝑏𝑏2

+ 𝑐𝑐 เปนจานวนเตม

แสดงวา 𝑎𝑎 = 3 , 6 และ 𝑏𝑏 = 2 , 4 , 6 และ 𝑐𝑐 เปนอะไรกได

เพราะฉะนน 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ซงทาให ∫ 𝑝𝑝(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥10 เปนจานวนเตม จะมอย 2 × 3 × 6 อน

เพราะฉะนน ความนาจะเปนทสม 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ตรงตามเงอนไข จะเทากบ 2×3×66×6×6

= 16

ตอบ


วธทา พจารณาขอ (ก)

จะไดวา 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = −1 เมอ 2 < 𝑥𝑥 < 3

ดงนน 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 เมอ 2 < 𝑥𝑥 < 3

เพราะฉะนน ขอ (ก) ผด เพราะ 𝐵𝐵 ไมจาเปนตองเปน 0

พจารณาขอ (ข)

จากทฤษฎ ถา 𝑓𝑓 เปนฟงกชนลด แลว 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) < 0 ทกๆชวง 𝑥𝑥

เนองจากมคา 𝑥𝑥 ในชวง (0,2) ททาให 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) > 0

ดงนน 𝑓𝑓 จงไมไดเปนฟงกชนลด เมอ 0 < 𝑥𝑥 < 2 ดงนน ขอ (ข) ผด


ขอ 30 (ตอ) :

พจารณาขอ (ค)

เนองจาก 𝑓𝑓′(4) = 0 แสดงวา 𝑥𝑥 = 4 เปนคาวกฤต ทาใหเกดคาสงสดหรอตาสดสมพทธ

ลองเชค 𝑓𝑓′′ (4) พบวา 𝑓𝑓′′ (4) > 0

ดงนน 𝑓𝑓 มจดตาสดสมพทธท 𝑥𝑥 = 4 ดงนน ขอ (ค) ถก

พจารณาขอ (ง)

เนองจาก 𝑓𝑓′(1) = 0 แสดงวา 𝑥𝑥 = 1 เปนคาวกฤต ทาใหเกดคาสงสดหรอตาสดสมพทธ

ลองเชค 𝑓𝑓′′ (1) พบวา 𝑓𝑓′′ (1) < 0

ดงนน 𝑓𝑓 มจดสงสดสมพทธท 𝑥𝑥 = 1 ดงนน ขอ (ง) ถก


เฉลยไมละเอยด

ขอสอบ กสพท. คณตศาสตร 2556

1. 4 16. ตอบขอ 2

2. 25 17. ตอบขอ 1

3. 0.75 18. ตอบขอ 5

4. 8 19. ตอบขอ 1

5. 17 20. ตอบขอ 5

6. 12 21. ตอบขอ 2

7. 0.2 22. ตอบขอ 3

8. 720 23. ตอบขอ 4

9. 3 24. ตอบขอ 5

10. 12 25. ตอบขอ 3

11. ตอบขอ 1 26. ตอบขอ 4






เฉลย กสพท. คณิตศาสตร์ 2556

Education