1

∑ טורים אינסופיים∞

=1nna . naו נקרא האיבר הכללי של הטור-

1 2

1

...

n

n n k

k

S a a a a=

= + + + .טורהסכום חלקי של ∑=

אםS -טור אינסופי מתכנס ל :הגדרה n

nS S→∞→ אם :משפט ∑

∞

=1nna 0אז , מתכנס

n

na→∞→ .

∑ אם :טור מתכנס בהחלט∞

=1nna מתכנס אך לא בהחלטטור :תנאיבטור מתכנס . מתכנס.

- ש נובע.na<0 :טור חיובי: הגדרה. אם טור מתכנס בהחלט אז הטור המקורי מתכנס:משפט 1n n

S∞

= .מש מונוטונית עולה מ

∑אם :משפט∞

=1nnaו - ∑

∞

=1nnbמתכנסים אז :

1bn

nt

∞∑=

±∑∞

=1nna = ( )

1a bn n

nt

∞∑ ±=

.

: ושני ראשוןקריטריון השוואה

nbna מספיק גדול מתקייםnאם עבור .1 ∑אם ו0≥≥∞

=1nnbמתכנס אז∑

∞

=1nnaמתכנס .

nbna אם . 2 ≤≤ 0,0, ( )lim /L b an nn

=→∞

0 ואם L< < ∑הטור אז, ∞∞

=1nnaהטור מ "אמ מתכנס∑

∞

=1nnb מתכנס.

∑היי Cauchy קריטריון ∞

=1nnaנסמן. טור lim n

nn

C a→∞

1Cאם .= 1Cאם אז הטור מתכנס בהחלט ו> . אז הטור מתבדר<

∑יהי D’Alembert קריטריון∞

=1nnaנסמן. טור

na

na

nD

1lim

+

∞→1Dאם .= 1Dאם ו אז הטור מתכנס בהחלט> . אז הטור מתבדר<

]פונקציה מוגדרת בקטע fתהי מבחן אינטגרל , )I a= נניח שהטור.∞1

ann

∞∑=

) מקיים )a f nn = ,

)(0כאשר ≥= xfy .פונקציהאם הfמונוטונית יורדת בקטעI הטוראז∑∞

=1nna האינטגרל מתכנס אם ורק אם∫

∞

adxxf .תכנס)(

יהי: טורים עם סימנים מתחלפים ו Leibnitzמשפט1

1

( 1)n

n

nS a

∞+

=

= .na<0כאשר , ∑−

אם na הטור אז 0 -מונוטונית יורדת ושואפת ל סדרהS1 - מתכנס ו+<− nanSS.

:0x הנקודה טור חזקות סביב טורי חזקות2

0 0 1 0 2 0

0

( ) ( ) ( ) ...n

n

n

a x x a a x x a x x=

∞

− = + − + − +∑

D'Alembert משפטו Cauchy משפט :רדיוס התכנסות

1

limn n an

→∞

1

liman

n an

R = =→∞

+

0x מקייםx אם. x R− 0x מקייםx אם ו הטור מתכנס בהחלט > x R− .הטור מתבדר אז<

) בקטע עבור טורי חזקות מותר לבצע אינטגרציה וגזירה של טורי פונקציות:משפט )0 0,x R x R− +.

Taylor-Maclaurinפיתוח לטור חזקות לפי

R∈∑∞

== x

n n

nxx

e ,0 !

;

2 1

sin ( 1) ,0 (2 1) !

nn

x xn n

x+

∞∑= − ∈= +

R ;

2

cos ( 1) ,0 (2 ) !

nn

x xn n

x∞∑= − ∈=

R ;

0

, 1(1 )n

k nk

xn

x x∞

=

= <+

∑

1

1 , 111

nx

nx

x

∞∑= + <=−

; ( ], 1,11

ln (1 ) ( 1)1

x

nn

n n

xx ∈ −

∞ +∑+ = −=

;( ) [ ]2 1

1 , 1,10

arctan2 1

nn

xn

xx

n

+∞∑= − ∈ −= +

.

משתניםמספרפונקציות של

1( ( , ) ( , )

( , ) ( , )0

limf f a t b f a b

f a b a bx tx t

∂ + −=

→∂= ,

( , ) ( , )( , ) ( , )

0lim

f f a b t f a bf a b a by ty t

∂ + −=

→∂=.

) אם )2 , )1 2n nn =

n בכיוון של fשל הנגזרת הכיוונית אזוקטור יחידה

- שווה ל( , ) ( , )

1 2( , )

0lim

f a tn b tn f a bfa b

t tn

+ + −∂=

→∂ .

הגבולאומרים ש) 3( ) ( ), ,

( , )limx y a b

f x y l→

anx סדרות 2 אם לכל קיים= →≠

,bny →≠

)מתקיים , )lim f x y ln nn

=→∞

.

) אומרים שהפונקציה , )z f x y= בנקודה רציפה),( ba אם( ) ( )

( , ) ( , ), ,

lim f x y f a bx y a b

=→

.

.K -ב בעלת נקודות קיצון מוחלטf אז ) א תחום חסום וסגור"ז( קומפקטי K פונקציה רציפה בתחום f אם:Weierstrassמשפט ) 4

2

5 (( , )z f x y= בנקודהרנציאביליתדיפ ),( yx םא: ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f f

f x u y v f x y x y u x y v Rx y

∂ ∂+ + − = + +

∂ ∂ - ו

( ) ( )0

, 0,0

2 2lim ( , ) /

u vu vR u v =

→ מסוג פונקציה f - אומרים ש .+

1Cבסביבה Dהנקודה של P מסדר ראשון נגזרות חלקיותכל ה אם

מסוג f אם הפונקציה : משפט .D - ברציפותקיימות ו1

Cתחום פטוח ב D הפונקציה אז f בכל נקודה של ) ולכן גם רציפה( דיפרנציאביליתD.

בנוסף מתקיים 1 2

( , ) ( , ) ( , )raf f f

a b g d f a b n a b nx yn

n +∂ ∂ ∂

=∂ ∂ ∂

=

i

.

מסוג פונקציה f(x,y,z) תהי:כלל שרשרת) 61

Cבסביבה D קודהשל הנ (x0,y0,z0)=P.

)a (יהיו x(t),y(t),z(t)נגדיר . פונקציות גזירות u(t)= f (x(t),y(t),z(t))פונקציה של t. אז

du f dx f dy f dz

dt x dt y dt z dt

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂.

) b (יהיו x(t,s) ,y(t,s) ,z(t,s)נגדיר. פונקציות בעלות נגזרות חלקיות רציפות u(t,s) = f (x(t,s),y(t,s),z(t,s)) פונקציה של s,t.אז

,u f x f y f z u f x f y f z

t x t y t z t s x s y s z s

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

)אז .(x,y) בסביבתn=2 נגזרות חלקיות רציפות עד סדר בעלת פונקציה z=f(x,y) תהי: Taylor נוסחת )7 , ) ( , )xy yx

f x y f x y=ו-

2 2 2

2 2

2 2

1

2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) 2 ( , ) ( , )( )f x y f x y

f f f f fx y x x y y x y x x y x y x y y R

x y x x y yx y ++ + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∆ ∆

רות חלקיות ובנוסף יש לפונקציה נגז מקומי היא נקודת קיצוןP אם .P פונקציה מוגדרת בסביבת הנקודהf תהי :Fermat טמשפ) 8

) : אז כל הנגזרות הללו מתאפסותבנקודה זורציפות מסדר ראשון ) ( ) ( ), ( ), ( ) 0f f f

grad f P f P P P Px y z

→ → ∂ ∂ ∂= ∇ = =

∂ ∂ ∂

.

נקודות קיצון מקומי) 9

)נניח כי .P=(x,y) בסביבתn=2 משתנים עם נגזרות חלקיות רציפות עד סדר 2 פונקציה של z=f(x,y) תהי ) 0( ) f Pgrad f→

∇ ==.

. מקומינקודת מינימום (x,y)אז , det H >0 וכןfxx(x,y)>0 אם. א

. מקומי נקודת מקסימום(x,y)אז , det H >0 וכןfxx(x,y)<0 אם. ב

( , ) ( , )

( , ) ( , )

xx xy

xy yy

f x y f x y HessianH

f x y f x y matrix

= =

.ת אוכף נקוד(x,y)אז , det H <0 אם. ג2

det ( , ) ( , ) ( , )xx yy xyH f x y f x y f x y∆ = = −

) של פונקציה מציאת מינימום ומקסימום :Lagrangeכופלי ) 10 , )z f x y= עם תנאי אילוץ : ( , ) 0C g x y =.

)ון פתר כל , )x y המערכת של :

( , ) ( , ); ( , ) ( , )

( , ) 0

f g f gx y x y x y x y

x x y y

g x y

λ λ∂ ∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

=

. מהווה נקודה חשודה לקיצון

)תהי אינטגרל כפול , )z f x y=פונקציה המוגדרת בתחום מישורי D ⊆2

R.

( )v x d

D ( )v y D( )u y

( )u x

c

b a

: Fubiniמשפט ( )

( )

( , ) ( , )

v xb

D a u x

f x y dA f x y dydx=∫∫ ∫ ∫

( )

( )

( , ) ( , )

v yd

D c u y

f x y dA f x y dxdy=∫∫ ∫ ∫

)תהי אינטגרל משולש , , )f x y z פונקציה המוגדרת בתחום מרחבי G ⊆3

R . נניח כיGפן הבא מתואר באו:

: ( ) ( )

( , ) ( , )

a x b

G c x y d x

u x y z v x y

≤ ≤

≤ ≤

≤ ≤

ז א

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , )

d x v x yb

G a c x u x y

f x y z dV f x y z dzdydx=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

ישומים של אינטגרל כפול ומשולש

3

Dמישורישל תחום שטח ⊆2

R :( ) 1

D

Area D dA= ∫∫.

D של לוחית מישורית מסה ⊆2

R בעלת צפיפות ( , ) 0x yρ ) :חיובית≤ ) ( , )

D

m D x y dAρ= ∫∫

)(קואורדינטות ,c cC x y= של לוחית מרכז המסה של D ⊆2

R :

( , ) ( , )

, ( ) ( )

D Dc c

x x y dA y x y dA

x ym D m D

ρ ρ

= =∫∫ ∫∫

Gשל גוף נפח ⊆3

R :( ) 1

G

vol G dV= ,ט בפר .∫∫∫

)גוף פשוט של נפח ) ( , , ) : ( , ) ( , ), ,G x y z g x y z f x y x y D= ∈ ≤ ≤ ∈3

R שווה ל- ( )( ) ( , ) ( , )D

vol G dAf x y g x y= −∫∫ .

G של גוף מסה ⊆3

R בעל צפיפות מרחבית ( , , ) 0x y zρ ρ= ≥: ( ) ( , , )

G

m G x y z dVρ= ∫∫∫ .

G של גוף מרכז המסהקואורדינטות של ⊆3

R:

( , , ) ( , , ) ( , , )

, , ( ) ( ) ( )

G G Gc c c

x x y z dV y x y z dV z x y z dV

x y zm G m G m G

ρ ρ ρ

= = =∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Jacobian - בעזרת הי מעבר לקואורדינטות חדשות''חישוב אינטגרל כפול ומשולש ע

D משתנים המוגדרת בתחום 3 או 2 פונקציה של fתהי ⊂2

R או3

G ⊂ R ,חדשיםמשתנים מהמשתנים הוא פונקציה של כאשר כל החד :

( , )

( , )

x x u v

y y u v

=

=

או ( , , )

( , , )

( , , )

x x u v w

y y u v w

z z u v w

=

= =

, ודיפרנציאביליות של D - בfבתנאי של אינטגרביליות של . R הינו חדשיםכאשר תחום ההשתנות של המשתנים ה ,x y zב - Rמתקיים :

( )

( )

( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) , ; ( , )

( , )

( , , )( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) , , ; ( , , )

( , , )

u v

u v

u v w

u v w

u v w

D R

G R

x xD x yf x y dA f x u v y u v J d u v J J u v

y yD u v

x x xD x y z

f x y z dV f x u v w y u v w z u v w J d u v w J J u v w y y yD u v w

z z z

= = = =

= = = =

∫∫ ∫∫

∫∫∫ ∫∫∫

) )פולריות( קואורדינטות קוטביות , )r θ 2 2 2cos ( , )

, , , 0, 0 2sin ( , )

x r D x yJ r x y r r

y r D r

θθ π

θ θ

== = + = > ≤ <

=

) דוריותקואורדינטות כ , , )ρ θ ϕ 2 2 2 2 2

2 2 2

sin cos( , , )

sin sin , sin , , 0( , , )

cos

cos , tan , 0 , 0 2

xD x y z

y J x y zD

z

z z y

xx y z

ρ ϕ θ

ρ ϕ θ ρ ϕ ρ ρρ ϕ θ

ρ ϕ

ϕ θ ϕ π θ πρ

=

= = = ⋅ + + = > =

= = = < < ≤ <+ +

ϕ - היא הזווית בין ציר ה –zלקרן שמחברת את הנקודה עם הראשית .

θ - הזווית בין החלק החיובי של ציר ה –x והיטל הקרן על מישור xy. ρ -המרחק בין הנקודה ( ), ,x y zלראשית .

וקואורדינטות גליליות קואורדינטות כדוריות

) קואורדינטות גליליות , , )r zθ 2 2 2

cos( , , )

sin , , , tan( , , )

x rD x y z y

y r J r x y rD r z x

z z

θ

θ θθ

=

= = = + = = =

r - הוא המרחק בין ההיטל של נקודה על מישור xyלבין הראשית . θ -היטל הקרן על מישור א הזווית בין היxy של ציר ה לחלק החיובי–x.

4

Cתהי Iאינטגרל קווי מסוג ⊂3

Rעקומה חלקה : ( ),

: ( ) ( ),

( ),

x x t

C r t y y t a t b

z z t

=

= = ≤ ≤

=

)נסמן ; ), ( )A r a B r b= =

.

) אז, מוגדרת לאורך העקומהסקלרית פונקציה fותהי ) 2 2 2( , , ) ( ), ( ), ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

b

C a

f x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt′ ′ ′= + +∫ ∫

) :C העקומה אורך Iישומים של אינטגרל קווי מסוג ) 1

C

length C ds= זה מצב פרטי של . ∫

)פיפות בעלת צC של עקומה מסה , , ) 0x y zρ ρ= ≥: ( ) ( , , )

C

m C x y z dsρ= ∫

.A - לB - או מB - לA -מ: אינטגרל הקווי מסוג ראשון אינו תלוי בכיוון מעבר העקומה :ההער

Cתהי IIאינטגרל קווי מסוג ⊂3

R עקומה חלקה :

( ),

: ( ) ( ),

( ),

x x t

C r t y y t a t b

z z t

=

= = ≤ ≤

=

) נסמן; ), ( )A r a B r b= =

.

ˆˆיהי ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )F P x y z i Q x y z j R x y z k P Q R= + + =

)נסמן . שדה וקטורי המוגדר לאורך העקומה , , )dr dx dy dz=

אז ,

) אינטגרל קווי מסוג שני )( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

b

C C a

W F dr Pdx Qdy Rdz P r t x t Q r t y t R r t z t dt′ ′ ′= = + + = + +∫ ∫ ∫ i

IIישומים של אינטגרל קווי מסוג Fשדה כוח עבודה של

F או שטף של שדה C במעבר חלקיק לאורך מסלול

)): בהתאם להקשר (C דרך עקומה )

C

C

W F F dr= ⋅∫

:האינטגרל הקווי מסוג שני תלוי בכיוון מעבר העקומה :ההער

A B B A

F dr F dr→ →

= −∫ ∫ i i.

Fאם : Newton-Leibnitz משפט ϕ=∇

) אז ) ( )( )

C

CB AF F drW ϕ ϕ= −= ∫

i, כאשר ( ), ( )A r a B r b= =

.

שדה משמר

)יהי : משתנים שני : 1מצב , ) ( , )F P x y i Q x y j= + Dשדה גזיר ברציפות בתחום ⊆

2R.

F השדה )א(

) אם ורק אם קיימת פונקצית פוטנציאל משמר , )x yϕ ש כך - F ϕ=∇

P,א "ז, Qx y

ϕ ϕ∂ ∂= =

∂ ∂ .

F השדה ) ב(

)0 משמר אם ורק אם )C

C F drW F == ∫ i

.תחום קשיר D -מניחים ש .D - ב מוכלת C רה סגועקומה לכל

F שדה ה) ג(

Dקשר פשוט אשר גזיר ברציפות בתחום ⊆2

R אם ורק אם שדה משמר הנו Q P

x y

∂ ∂=

∂ ∂)כל ל, ),x y D∈ .

)יהי : משתנים שלושה : 2מצב , , ) ( , , ) ( , , )F P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

Ω.גזיר ברציפות בתחום שדה וקטורי ⊆3

R

F השדה ) א(

) אם ורק אם קיימת פונקצית פוטנציאלΩ - משמר ב , , )x y zϕכך ש - F ϕ=∇

, א"ז, ,P Q Rx y z

ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ) ב( .

Fהשדה

)0 משמר אם ורק אם )C

C F drW F ⋅ == ∫

. תחום קשיר Ω -מניחים ש. Ω- ב מוכלת C סגורהעקומה לכל

Fהשדה ) ג(

Ω קשר פשוטר ברציפות בתחום אשר גזי ⊆3

R אם ורק אם בכל נקודהשדה משמרהנו ( ), ,x y z ∈ Ω

) רוטורה )rot F

Fשדה ה של

, :א"ז, מתאפס ,R Q P R Q P

y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ :רוטור של שדה וקטורי הגדרה .

( ) ( )

i j k

R Q P R Q Prot curl F i j k

x y z y z z x x y

P Q R

F F∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = ∇ × = = − + − + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

5

:עבור תחום פשוט קשר Green משפט

) עבור שדה וקטורי , ) ( , )F P x y i Q x y j= +

: מתקיים D - חיובית ביחס להמכוונת C וחלקה למקוטעין סגורה עקומהי"החסום ע D ותחום

( ) ( )C

C C D D

Q PW F F dr P dx Q dy dA

x yF k dA

∂ ∂= = + = − =

∂ ∂

∇× ⋅

∫ ∫ ∫∫ ∫∫ i

.D - ראשון רציפות ב קיימות נגזרות חלקיות מסדרP ,Qכאשר לפונקציות

) : Green חישוב שטחים בעזרת משפט: מסקנה )( )1

2C

Area D ydx xdy= − +∫

Σמשטח נתון I מסוג אינטרגל משטחי ⊂3

R ותהי:f Σ → Rפונקציה סקלרית .

Σ נניח שהמשטח )*( ⊂3

R בצורת פרמטרית חלק ומוגדר : ( , ) ( , ) ( , ) ( , )r u v x u v i y u v j z u v k= + +Σ

)כאשר , , )u v D∈ ⊂ 2R.

) פרמטריזציה מניחים שה , )r r u v=

) אז .ע"חח )( , , ) ( , ), ( , ), ( , )

D

r rf x y z dS f x u v y u v z u v dA

u vΣ

∂ ∂= ×

∂ ∂∫∫ ∫∫

Σ נניח שהמשטח )**( ⊂3

R גרף של פונקציה( מפורשתה ורבצ חלק ומוגדר ( :( , ): z z x y=Σ , כאשר( , )x y D∈.

) אז )22

1( , , ) , , ( , )

D

z zdA

x yf x y z dS f x y z x y

Σ

∂ ∂= + +

∂ ∂

∫∫∫∫ .

)1 )חלק ופשוט (Σ המשטח שטח ישומים של אינטגרל משטחי מסוג ראשון ) dSAreaΣ

Σ = רטי של זה מצב פ. ∫∫

) בעל צפיפותΣחלק של משטח מסה , , ) 0x y zρ ρ= ≥: ( ) ( , , )m x y z dSρΣ

=Σ ∫∫ .

IIאינטרגל משטחי מסוג

) האנטגרל )( )F F n dSΣ

Σ

Φ = ∫∫

i שדהה השטף של מהווה את ( , , ) ( , , ) ( , , )F P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

Σ ) חלקמכווןא משטח "ז( יאוריינטבילחלק דרך משטח ⊂3

R .n

: מצביםנינתאר ש . נורמל יחידה למשטח מסמן את

אז (*) בצורת פרמטרית מוגדר Σ )א(

r r

u vn

r r

u v

∂ ∂×

∂ ∂= ±∂ ∂

×∂ ∂

) ולכן )( ) ( , )

D

r rF F r u v dA

u vΣ

∂ ∂ Φ = ×

∂ ∂ ∫∫

i.

אז(**) שתבצורה המפור מוגדר Σ )ב(22

1

z zi j k

x yn

z z

x y

∂ ∂− − +

∂ ∂= ±

∂ ∂+

∂ ∂+

) ולכן )

D

z zF P Q R dA

x yΣ

∂ ∂Φ = − − +

∂ ∂ ∫∫

.

הנקודהאם :הערה0 0 0

( , , )P x y z= למשטחשייכת Σ מוגדר בצורה קרטזית : ( , , ) 0F x y zΣ Σ -המשיק למישור ה וואתמש אז , =

:היא P בנקודה0 0 0

( ) ( ) ( ) 0a x x b y y c z z− + − + − )כאשר , = , , ) ( )N a b c F P= = ∇

.P בנקודה Σ-ל מהווה כיוון נורמל

)Gauss-Ostrogradskiמשפט ( משפט הדיברגנץ

)עבור שדה וקטורי , , ) ( , , ) ( , , )F P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

Gותחום ⊆3

Rסגורי משטח " החסום ע Σמתקיים

( ) ( )( ) ,

G G G

P Q R

x y zF F n dS div F dV F dV dVΣ

Σ

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂Φ = = ∇

= =

∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

i i

n - ו G - קיימות נגזרות חלקיות מסדר ראשון רציפות בP,Q,R לפונקציות כאשר

.G לתחום חיצוני נורמל היחידה וקטור- )Stokesמשפט (משפט הרוטור

nומכוונת חיובית ביחס לווקטור הנורמל היחידה Σ מסילה פשוטה סגורה וחלקה המשמשת כשפה של משטח Cתהי

.Σ למשטח

)יהי , , ) ( , , ) ( , , )F P x y z i Q x y z j R x y z k= + +

, כאשר לפונקציות, שדה וקטורי ,P Q R קיימות נגזרות חלקיות מסדר ראשון

) : אזי. Σרציפות בתחום המכיל את ) ( ) ( )C

C

W F F dr rot F n dS F n dS

Σ Σ

= = = ∇ ×∫ ∫∫ ∫∫

i i i