Моделирование гуманитарных Моделирование гуманитарных процессовпроцессов

«Три пути ведут к знанию: размышление - путь самый благородный, подражание - путь самый легкий, опыт - путь самый горький».

(Конфуций)

Лекция 2

I.I.11 Процессы в обществеПроцессы в обществе

Существует класс социальных Существует класс социальных процессов описываемых с процессов описываемых с

помощью логистических функцийпомощью логистических функций

Антисоциальные движенияАнтисоциальные движенияВосстание луддитов 1811-1813 гг

Точки на графике показывают, сколько машин было разру шено в данный день плюс число машин, уже сломанных к этому времени.

Динамика развития Динамика развития инфраструктуры СШАинфраструктуры США

II.1 II.1 Логистическая криваяЛогистическая криваяЛогистическая кривая представляет собой математическую модель, которая используется для описания изменения во времени главного параметра при развитии системы в соответствии с законом S-образного развития.

Логистическую S-образную кривую иногда называют кривой Перла — по имени американского демографа Р. Перла (1870-1940), который провел огромное число эмпирических исследований рос та различных организмов и популяций. Он обнаружил, что по логистическому закону увеличивается вес тыквы, растет число дрожжевых бактерий, росло народонаселение США до 1940 г. Поз же выяснилось, что S-образные кривые хорошо описывают про цессы замещения одной техники другой, смену технологий, эво люционные процессы в экономической и социокультурной сферах.

Логистическая криваяЛогистическая кривая

III.1 III.1 Линейная регрессияЛинейная регрессия

III.2 III.2 Оценка параметров Оценка параметров линейной регрессиилинейной регрессии

В простом одномерном случае нам известны В простом одномерном случае нам известны наборы зависимостей (наборы зависимостей (xxii, y, yii)) – –

экспериментальные данные. экспериментальные данные.

Требуется оценить параметры Требуется оценить параметры aa ии kk линейной линейной регрессии, для того чтобы можно было регрессии, для того чтобы можно было спрогнозировать дальнейшее поведение спрогнозировать дальнейшее поведение системысистемы

Один из способов решения таких задач – Один из способов решения таких задач – метод наименьших квадратов.метод наименьших квадратов.

IV.1 IV.1 Метод наименьших Метод наименьших квадратовквадратов

Метод нахождения оптимальных параметров линейной регрессии, таких, что сумма квадратов ошибок минимальна

M – Объем выборки (количество изменений)Yk – истинное значение Yk^ - оценочное значение

IV.2 IV.2 ПримерПример

Требуется найти уравнение прямойТребуется найти уравнение прямой y=y=kkx+bx+b, , наилучшим образом наилучшим образом согласующейся с опытными точками.согласующейся с опытными точками.

Пусть мы нашли такую прямую. Обозначим через Пусть мы нашли такую прямую. Обозначим через εεii расстояние расстояние

опытной точки от этой прямой (измеренное параллельно оси y).опытной точки от этой прямой (измеренное параллельно оси y).

Чем меньше числа Чем меньше числа εεii по абсолютной по абсолютной

величине, тем лучше подобрана величине, тем лучше подобрана прямая. В качестве характеристики прямая. В качестве характеристики точности подбора прямой можно точности подбора прямой можно принять сумму квадратовпринять сумму квадратов

S=Σεi2

IV.2 IV.2 Метод наименьших Метод наименьших квадратов. Примерквадратов. Пример

Условия минимума Условия минимума S S будутбудут

ОтсюдаОтсюда

V. V. Практический примерПрактический пример

Допустим, у нас имеется совокупность Допустим, у нас имеется совокупность из N наблюдений у, за время и. Нам из N наблюдений у, за время и. Нам нужно минимизировать выражение нужно минимизировать выражение

Однако, при попытке решить это уравнение относительно a и b исходя из стандартных методов, описанных выше, то мы получим пару трансцендентных уравнений. Которые можно решить только в частных случаях

Практический примерПрактический пример

Практический примерПрактический пример

Красная линия – оценка параметров логистической кривой

ЛитератураЛитература

Плотницкий Ю.М. Моделирование Плотницкий Ю.М. Моделирование социальных процессов. Главы 9,12социальных процессов. Главы 9,12

http://multitest.semico.ru/mnk.htmhttp://multitest.semico.ru/mnk.htm

http://www.metodolog.ru/01175/01175.htmlhttp://www.metodolog.ru/01175/01175.html

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Глава 18математическая статистика. Глава 18